张量与向量
张量及其运算的定义及应用
张量及其运算的定义及应用
张量的定义
张量是指在向量、矩阵等数学对象的基础上扩展形成的一种数
学工具。
它是一种多重线性函数，可以表示多个向量之间的关系。
张量在物理学、数学、计算机等领域都有广泛的应用。
在线性代数中，张量可以由向量和矩阵生成。
在物理学中，张
量可以描述弹性力学、流体运动和电磁学等现象。
张量的运算
张量在运算中主要有以下几种方式：
1. 张量乘法：张量乘法是指将一个张量与另一个向量或矩阵相乘。
这种方法常用于求解矩阵的特征值、特征向量以及矩阵的相
似性等问题。
2. 张量变形：将张量的某些维度进行重新排列，得到新的张量。
这种方法常应用于机器学习、计算机视觉等场景中。
3. 张量积：将两个不同的向量或矩阵进行混合，生成一个新的张量。
4. 条件张量积：是指将两个张量按某种方式组合起来，形成一个新的张量。
这种方法广泛应用于量子计算和量子信息等领域。
应用领域
1. 物理学：张量在物理中的应用广泛，如爱因斯坦场方程、黎曼张量等都是张量概念的应用。
2. 工程学：张量在工程学领域中也有广泛的应用，如机械工程领域中常用的应力张量、应变张量等，在材料工程领域中也有重要应用。
3. 计算机：张量也是计算机领域中的热门话题，如深度学习模型中的卷积神经网络、循环神经网络等都是基于张量的设计。
总之，张量作为一种数学工具在不同领域都有着广泛的应用和巨大的发展前景。
张量 向量 矩阵 高阶
张量向量矩阵高阶全文共四篇示例，供读者参考第一篇示例：张量、向量和矩阵是线性代数中重要的概念，它们在数学和物理学中发挥着核心作用。
随着研究的深入，高阶张量的概念也逐渐被引入到了我们的视野中。
本文将从这些概念的基础开始，逐步深入探讨它们的定义、性质以及在现实世界中的应用。
首先我们来介绍一下向量。
在几何学和物理学中，向量是指有大小和方向的量。
向量通常用箭头表示，箭头的长度代表了向量的大小，箭头的方向代表了向量的方向。
向量可以在空间中任意位置起点，但是只要有确定的大小和方向，就称为同一向量。
在数学中，我们通常用坐标表示一个向量，如向量v = (x, y, z)。
向量具有加法和数乘运算，可以进行向量的相加、数乘、内积和外积等运算。
接下来是矩阵。
矩阵是一个按行和列排列的数表，其中的元素可以是实数或者复数。
矩阵可以看作是向量的延伸，是一种用来表示线性关系的数学工具。
矩阵可以进行加法、数乘、矩阵乘法等运算，可以表示线性方程组、转换矩阵等。
矩阵在计算机图形学、量子力学、统计学等领域有广泛的应用。
然后是张量。
张量是描述多维线性关系的数学概念，它将向量和矩阵的概念进行了推广。
张量可以看作是多维数组，可以有任意多个维度和任意多个分量。
张量在相对论、电磁学、连续介质力学等领域有重要的应用，尤其是在描述物质的力学性质方面。
最后是高阶张量。
高阶张量是指具有超过二维的张量，即三维、四维、五维等张量。
高阶张量可以更加复杂地描述物理系统中的线性关系，如弹性体的应力张量、电磁力场的场张量等。
高阶张量的性质和运算更加复杂，但是在解决一些复杂的问题和建立精确的模型时有着重要的作用。
第二篇示例：张量、向量、矩阵是数学中非常重要的概念，它们在各个领域都有着广泛的应用。
在这些基本概念的基础上，我们还可以推广到更高阶的对象，比如高阶张量。
本文将逐步介绍这些概念，并探讨它们在现实生活和科学领域中的应用。
让我们从向量开始讲起。
在数学中，向量是一个有大小和方向的量。
张量的基本概念(我觉得说的比较好-关键是通俗)
向量是在一个线性空间中定义的量，当这个线性空间的基变换时，向量的分量也跟着变换。
而一个线性空间有一个伴随的对偶空间。
张量是一个同时定义在几个线性空间的量，这几个线性空间的基可同时变换，或者只是只变换几个，此时，张量的分量也跟着变换。
我们一般见到的张量是同时定义在几个线性空间及其对偶空间里的量，在实际的符号表达中，就表现为同时有几个上指标和下指标，也即线性空间及其对偶空间。
张量其实是一种线性代数，即多重线性代数，从字面上理解，也正好是上面提到的“定义在多个线性空间的量”。
在流形中，一点的切空间正好同构于一个欧氏空间，也即，与一个欧氏空间的性质一样。
而这个欧氏空间有一个伴随的对偶空间，所以可以定义张量。
要对流形上张量作微分运算，必须比较流形上相距很近两点的张量的差，这就引出了联络的概念，而联络的概念的引出，需要这两个不同的点的欧氏空间是同构的。
进而发展了张量分析。
现代数学是建立在代数与拓扑基础上的，很多概念如果代数水平不行，是很难理解的。
比如泛函分析、纤维从理论等。
代数方面的知识，最好能掌握抽象代数的概念，进而掌握交换代数的知识。
其实，线性代数是很多现代数学概念的基础，而线性代数的核心就是空间的概念。
而现在，我们国内工科学的线性代数只是讲一讲矩阵、矩阵运算、特征值、特征向量、二次形等等。
线性代数的精髓概念根本涉及不到。
这也就造成了很多同学理解现代数学中很多概念的困难。
现代数学的一个非常重要的方法论就是公理化的方法。
这是希尔伯特在其《几何基础》中最先明确提出的，这本书当初得到了彭加莱的很高的评价。
公理化思想的威力我当初是在学习《实变函数论》这门课时深刻体会到的。
武熙鸿老师的《黎曼几何初步》中，则是处处渗透着公理化的思想，读来颇有味道。
应该这样说，是低阶张量被我们找到了可以比拟的物理意义，但张量本身并不需要具有几何比拟其实，张量是有很强的几何背景的，不管是低阶的，还是高阶的。
这主要是因为现代张量的定义是建立在线性空间概念的基础上的。
张量是
（张量是n维空间，有r n个分量的一种量，其中每个分量都是坐标的函数，而在坐标变换时，这些分量也依照某些规则做线性变换。
r标为该张量的秩。
第零阶（0r）张量为标=量，第一阶（1=r）张量为向量，第二阶（2r）则为矩阵。
由于变换方式的不同，张量=分成协变张量（Covariant Tensor，指标在下者），逆变张量（Contra variant Tensor，指标在上者），混合张量（指标在上和指标在下两者都有）三类。
在数学里，张量是一种几何实体，或者说广义上的“数量”。
张量概念包括标量、向量和线性算子。
张量可以用坐标系统来表达，记作标量的数组，但是它定义为“不依赖于参照系选择的”。
注意“张量”一词通常是用作张量场的简写，而张量场是对流形的每一点给定一个张量值。
张量可以用分量的多维数组来表示，我们都生活在形形色色的空间中。
数学上所说的空间就是点的集合，如果我们给这个点集赋予特定的空间结构（引入不同的确定关系）。
但世界上不存在毫无任何空间结构的“裸空间”。
如果我们赋予空间以线性结构（可加性与数乘性），则这个空间就叫做线性空间。
一、线性空间只要在点集中定义了加法和数乘两种代数运算，则称之为赋予空间以线性结构，这样的点集（空间）就叫做数域P上的线性空间。
其中用于数乘的数域P是指包含0和1的数集，并且数集对加、减、乘、除（0不作除数）运算是封闭的。
此外，实数域R上的线性空间叫做实线性空间，复数域C上的线性空间叫做复线性空间。
二、广义向量空间线性空间的元素是空间点，任一元素都可以用一组有序的数（x1，x2，…）（或曰一组空间坐标）来表示。
如果我们把空间点的一组坐标看作一种广义的向量，则线性空间又可视为广义向量的集合，称之为广义向量空间。
换句话说，线性空间的元素是广义的向量。
广义向量的维数可以有限，也可以无限。
所以线性空间的维数可以是有限的，也可以是无限的。
如果一组向量线性无关，则其中任何一个向量都无法用其余向量线性表出。
08张量分析1
z = x3
图 1－1
向量的定义
k = i3
a
P
y = x2
i = i1
O
j = i2
x = x1
向量的位置（作用点）效应可用向量函数来反映。如图 1－2，水流各点的流速可用向量函数 v ( x , y , z ) 表示， x , y , z 表示 v 作用点的空间坐标。
图 1－2
流速场
A B C
vA vB vC
a + b = b + a 交换律
(a + b) + c = a + (b + c ) 结合律
( λµ ) a = λ ( µ a )
λ (a + b ) = λ a + λ b
1a = a
结合律 分配律
a+0 = a
a + (−a ) = 0
零向量 负向量
(λ + µ ) a = λ a + µ a 分配律
(
)
ɶ1 , a ɶ2 , a ɶ3 = a ɶj = a ɶ je j a= a
(
)
1.2 点积与欧氏空间
★ 同义词 ： 点积、 点积、内积、 内积、数量积、 数量积、标量积 在线性空间里，没有长度和夹角的概念，从而没有几何度量的概念，此外几何上求向量在数轴上的投影， 物理上功与功率的计算等等，都需引入的点积的概念。
式中，小写指标 k , ℓ , m 为整型变量，称自由标，可在默认范围内取任意值。本书仅讨论 3 维线性 空间，自由标默认取值为 1 , 2 , 3 （n 维线性空间中，自由标默认取值为 1 ，… ,n） 。字母带自由标不 仅简化了数 （向量） 组的表示， 而且具有双重意义： 它既可代表数 （向量） 组全体(当视自由标为变量时)， 亦可表示数（向量）中某－分量(当视自由标为某－数值时)。
张量物理意义
张量物理意义张量是现代物理学中非常重要的数学工具。
它是一个多维数组，具有特殊的变换属性和物理意义。
在物理学中，张量通常被用来描述物理量的旋转和变形。
张量可以抽象地被认为是一个具有特定张量积性质的多重线性函数。
简而言之，这意味着它可以以各种不同的方式组合，而不影响它的结果。
例如，在物理学中，张量可以表示物体的质量、速度、力和能量等重要物理量，这些量可以被旋转或变形，但它们的值在空间中的位置是固定的。
物理学家通常将张量分为几类，如标量、向量和张量。
标量是一个没有方向并且与位置无关的物理量，例如温度、密度和能量。
向量是一个有方向的物理量，如速度、力和磁场。
张量是一个具有多个方向和大小的物理量。
下面是一些常见的张量及其物理意义：1. 度规张量：度规张量描述了时空的几何结构，它是引力通常描述的度量。
在相对论中，度规张量的广义化被认为是描述引力场（即扭曲的时空）的最好方法。
度规张量中的项用于描述时空的距离和角度。
2. 电磁张量：电磁张量用于描述电场和磁场，它是一个反对称张量。
根据相对论的视角，电磁张量的物理意义是在不同的参考系中变换时，它们将表现出新的电场和磁场。
3. 动量张量：动量张量用于描述质点的动量，它是一个对称张量。
在相对论下，动量张量被定义为第一能动张量的二次形式。
动量张量是描述粒子质量和速度之间的关系的重要工具。
4. 应力张量：应力张量用于描述物体的应变和应力，它是一个对称张量。
在固体力学中，应力张量通常被用来计算物体在不同环境中的破裂和失效条件。
5. 能张量：能张量用于描述粒子的内能，包括质量和能量密度，它是一个对称张量。
能张量可以被用来计算物体内部的压力和密度变化。
总而言之，张量在物理学中扮演着重要的角色，它们不仅仅是简单的数值，还可以描述物理量的变换和旋转。
在今天的各种科学应用中，张量无疑扮演着重要的角色，从物质和能量的宏观和微观描述到计算机图像处理和机器学习技术中的使用。
张量与并矢(即向量的直积)
明了二阶张量等价于
的线性组合。
然后，从规则 (4) 可以证明，全部的
是线性无关的，因此构成了
的基底。
最后，利用规则（6）到（9）不难把所有的缩并最终归结为计算 果就非常简单了。
。特别是，如果所给的基是标准正交基，那么结
实线性空间上的并矢张量和线性变换互相等同（爱因斯坦指标升降）
对于 维欧几里得空间 而言，由于
特别是如果所给的基是标准正交基那么结实线实线实线实线性空性空性空性空间间间间上的上的上的上的并并并并矢矢矢矢张张张张量和量和量和量和线线线线性性性性变换变换变换变换互相等同互相等同互相等同互相等同爱爱爱爱因斯坦指因斯坦指因斯坦指因斯坦指标标标标升降升降升降升降对于维欧几里得空间或者而言由于的映射是线性映射所以欧规则欧欧欧几里得空几里得空几里得空几里得空间和间间间上的上的上的上的并表明给定任意一个并矢张量之后从矢量到并并并矢矢矢矢张张张张量量量量总总总总是是是是对应对应对应对应着着着着它它它它自身上的自身上的自身上的自身上的线线线线性性性性变换变换变换变换
动量耦合理论中，这样的张量被等同为某些角动量本征态，除了物理上的考虑之外，这更主要地还是有关李群
代数
的表示的另外一个话题，请参看李群的表示 (Lie group representation) 及李代数的表示 (Lie algebra
representation) ，在这里就不再深入探讨了。
及其李
实际上可以这样说，在量子力学中，只要物理问题涉及了系统的耦合，数学上就会导致态矢量的并矢。在这方面，还可以举一 个常见的例子：由一维谐振子的态矢量所构成的并矢张量可以用来描述二维谐振子系统。
。
进阶定义
设 是域 上的一个线性空间，则下述定义是等价的。
张量分析
张量分析张量分析，又称张量微积分，是一门研究多维空间中的向量和张量的数学工具。
它在物理学、工程学、计算机科学等领域有着广泛的应用。
张量分析的核心思想是通过张量的计算和运算，来描述和解释多维空间中的现象和问题。
在数学中，张量是一种广义的向量概念。
它不仅可以表示标量和向量，还可以表示具有更高维度的物理量。
例如，二阶张量可以表示物体的形变和应力分布，三阶张量可以表示电磁场的分布，四阶张量可以表示弹性材料的性质等。
张量分析的基本概念包括张量的定义和表示、张量的变换规律以及张量的运算。
对于二阶张量，可以用一个矩阵来表示。
张量的变换规律与坐标系的选择有关，不同的坐标系下，同一个张量可以表示为不同的矩阵形式。
张量的运算包括加法、数乘、内积和外积等。
这些运算在物理和工程问题中具有重要的意义，可以帮助研究人员推导和解决实际问题。
在物理学中，张量分析被广泛应用于描述和分析物体的运动、形变、应力等问题。
例如，通过分析物体的应力张量，可以判断物体是否会发生破坏或变形。
在工程学中，张量分析可以用于解决弹性力学、流体力学、电磁学等问题。
在计算机科学中，张量分析可以用于图像处理、模式识别等领域。
张量分析的发展离不开数学家们的努力。
早在19世纪，克里斯托弗·亚当斯（Christopher Adams）就提出了张量的概念。
20世纪初，爱因斯坦在相对论的研究中也广泛应用了张量分析。
随着计算机的发展和计算能力的提高，张量分析在科学研究中的应用也越来越广泛。
虽然张量分析在各个领域中都有广泛的应用，但它的理论和方法并不容易掌握。
要学好张量分析，需要对线性代数、微积分和向量分析等数学知识有扎实的掌握。
此外，也需要具备一定的物理学和工程学的基础知识。
对于初学者来说，可以通过学习相关的教材和参考资料，同时结合实际问题进行练习和应用。
总之，张量分析是一门重要的数学工具，对于描述和解决多维空间中的问题具有重要的意义。
它在物理学、工程学、计算机科学等领域有着广泛的应用。
对张量的理解 -回复
对张量的理解-回复张量是一种多维数组，它是数学上向量和矩阵的扩展形式。
在机器学习和深度学习领域，张量被广泛应用于表示和处理数据。
本文将以中括号内的内容为主题，逐步回答关于张量的理解。
1. 什么是张量？张量是一种多维数组，它可以表示各种数据类型，包括标量、向量、矩阵等。
在数学上，标量是零维数组，向量是一维数组，矩阵是二维数组。
而张量可以是任意维度的数组，可以是任意形状的数据结构。
2. 张量的维度和形状是如何定义的？张量的维度表示它的数组的维数，即张量具有多少个轴。
例如，一维张量具有一个轴，它的形状类似于[n]，其中n是数组的长度；二维张量具有两个轴，它的形状类似于[m, n]，其中m表示行数，n表示列数；以此类推，高维张量拥有更多的轴。
张量的形状表示了每个轴上的元素数量，例如[3, 4, 2]表示一个三维张量，其中第一个轴有3个元素，第二个轴有4个元素，第三个轴有2个元素。
3. 张量的数据类型有哪些？张量可以存储多种数据类型，常见的有整数、浮点数和布尔值。
在机器学习和深度学习中，张量通常是浮点数类型，因为它们可以进行连续的计算和优化。
不同的框架和库可能支持不同的数据类型，如TensorFlow、PyTorch等。
4. 张量的操作包括哪些？张量支持丰富的操作，包括数学运算、切片、索引和重塑等。
数学运算包括加法、减法、乘法、除法等，这些运算可以逐元素地应用于张量的对应位置。
切片和索引可以用于提取或修改张量的部分元素。
重塑操作可以改变张量的形状，使其适应不同的计算需求。
5. 如何创建张量？可以使用不同的方法来创建张量，如以下几种常见的方式：- 直接创建：可以使用数组或列表作为输入，通过库提供的函数将其转换为张量。
例如，在TensorFlow中，可以使用tf.convert_to_tensor()函数创建张量。
- 随机创建：可以使用随机数生成函数来创建张量，如np.random.rand()或tf.random_normal()。
关于向量及张量的乘法_朱正元
(f
g ) = f g ij11……ijrs11++ rs22
ij11…… ijrs11 ijrs 11++ 11…… ijrs11++ rs22
易知 ,如上定义的张量积 f g 与基的选取无关 .
可以看到 ,两个张量相乘就是它们作为多重线性函数的张量积 .
由于 E. Cart an外微分方法的深远意义 ,使得反对称张量在流形理论的研究中发挥了巨大
( f , g )→ fΛg=
( r+ r!
s )! s!
Ar+ s ( f
g)
把 Λ称为外乘 . ( r+ s)阶反称共变张量 fΛg 称为 f 与 g 的外积 .
外积是双线性的 ,特别地它满足反交换律:
fΛg= ( - 1)rs gΛf , f ∈ Λr ( V* ) , g∈ Λs ( V* )
r 1+
1 ,…
, v*
, v r1+ r 2 s 1+
1,…
, vs1+
s2 )
其中对于任意
58
中央民族大学学报 (自然科学版 )
第 9卷
( v* 1 ,… , v* ) ∈ r1பைடு நூலகம் r 2
V0 r 1+ r2
和
( v1 ,… , vs1+ s2 ) ∈ Vs01+ s2
此外 , f
g 关于基 {ei }的分量是 f 的分量和 g 的分量的乘积 ,即
的 n 个分量分别是第一行元素的代数余子式 A1 ,… , An
于是有
[a1 ,… , an - 1 ] = Ai ei
( 5)
数学中什么叫做“张量”？
数学中什么叫做“张量”？对于数域 K 上的 n 维线性空间 V，当给定一组基{ε₁, ε₂, ..., ε_n} 后，其中任意一个向量（也叫矢量）α 都对应唯一的坐标系数(a₁, a₂, ..., a_n) 使得：又有另外一个向量β = b₁ε₁ + b₂ε₂ + ... + b_nε_n，将α 和β 自然相乘，有：令，则有：称ω 为二阶（秩）张量，在 V 确定一组基{ε₁, ε₂, ..., ε_n}后，对应一个系数方阵 Z。
当然，这个定义是非常粗糙的，甚至有如下缺陷：•张量和向量对并不一一对应，例如：下面的一组二维向量对中任何一对之积都一样，即，•如果令 z_{ij} = a_i b_j 则 z_{ij} 会受到限制，例如：对应二维线性空间，有于是，得到 z_{ij} 之间的比例关系：显然就不满足上面的比例关系。
因此，考虑脱离乘法而用 (1) 的形式直接定义张量，但是显然不能是任意n² 个数就可以构成张量的系数矩阵，我们需要找到规律。
我们知道，n 维度线性空间中的向量α ，其坐标向量(a₁, a₂, ..., a_n) 是依赖于基{ε₁, ε₂, ..., ε_n} 的，当基变为{ε₁', ε₂', ..., ε_n'} 后就相应的变为 (a₁', a₂', ..., a_n')。
若已知，{ε₁, ε₂, ..., ε_n} 到{ε₁', ε₂', ..., ε_n'} 过渡矩阵是 T，即：则，有：于是，有：等式两边左乘 (Tᵀ)⁻¹，整理后得到：以上推导说明：向量α 的坐标向量虽然随着基的不同而变化，但是向量α 从未改变，是一个不变量，即：并且，不同基下的坐标向量之间满足(2) 。
受此启发，分析：ω 的系数矩阵 Z = (z_{ij}) 也是依赖于基{ε₁, ε₂, ..., ε_n} 的，当基变为{ε₁', ε₂', ..., ε_n'} 后就相应的变为 Z' = (z_{ij}')，并且有：于是，有：等式两边左乘 (Tᵀ)⁻¹，右乘 T⁻¹，整理后得到：于是，给出二阶张量的正式定义：与 n 维线性空间 V 有关的量ω，在线性空间 V 的基变化时，具有不变性，满足，并且，不同基下的系数矩阵之间满足 (3)，则称ω 为二阶张量。
矢量与张量[整理版]
![矢量与张量[整理版]](https://img.taocdn.com/s3/m/25ee281f591b6bd97f192279168884868762b84a.png)
§1 向量代数1.1向量的定义从几何观点来看，向量定义为有向线段。
在三维欧氏空间中，建立直角坐标系，沿坐标方向的单位向量为，即其标架为。
设从坐标原点至点的向量为，它在所述坐标系中的坐标为，那么可写成(1.1)设在中有另一个坐标系，其标架为，它与之间的关系为（1.2）由于单位向量之间互相正交，之间也互相正交，因此矩阵(1.3)将是正交矩阵，即有，其中上标表示转置。
从(1.2)可反解出（1.4）向量在新坐标系中的分解记为(1.5)将(1.4)代入(1.1),得到(1.6)公式(1.6)是向量的新坐标和旧坐标之间的关系，它是坐标变换系数的一次齐次式。
这个式子应该是有向线段的几何客观性质（如：长度、角度）不随坐标的人为主观选取而变化的一种代数反映。
可以说，公式(1.6)表示了向量在坐标变换下的不变性。
这样，我们就从向量的几何定义，得到了向量的代数定义：一个有序数组，如果在坐标变换下为关于变换系数由（1.6）所示的一次齐次式，则称之为向量。
1.2 Einstein约定求和用求和号，可将(1.1)写成(1.7)所谓Einstein约定求和就是略去求和式中的求和号，例如(1.7)可写成(1.8)在此规则中两个相同指标就表示求和，而不管指标是什么字母，例如(1.8)也可写成(1.9)有时亦称求和的指标为“哑指标”。
本书以后如无相反的说明，相同的英文指标总表示从1 至3 求和。
按约定求和规则，(1.2)、(1.4)可写成(1.10)(1.11)将(1.11)代入(1.8)，得(1.12)由此就得到了(1.6)式的约定求和写法，(1.13)今引入Kronecker记号，(1.14)例如。
应用，单位向量之间的内积可写成(1.15)向量和向量之间的内积可写成(1.16)上式中最后一个等号是因为只有时，才不等于零，在这里的作用似乎是将换成了，因而也称为“换标记号”。
再引入Levi-Civita记号，(1.17)其中分别取1，2，3中的某一个值。
张量积的几何意义
张量积的几何意义一、张量积的定义与性质1.张量积的定义：张量积，又称为Kronecker乘积或张量乘积，是指两个矩阵或张量之间的乘积。
设A和B分别为m×n矩阵和p×q矩阵，则它们的张量积为：A B = [[a_ijb_ij]_{m×p}]其中，a_ij表示A的第i行第j列元素，b_ij表示B的第i行第j列元素。
2.张量积的性质：（1）交换律：A B = B A（2）结合律：(A B) C = A (B C)（3）单位矩阵与任意矩阵的乘积等于该矩阵：E A = A（4）任意矩阵与零矩阵的乘积等于零矩阵：A 0 = 0二、张量积与向量积的关系1.向量积的定义：对于三维空间中的两个向量a和b，它们的向量积（也称为叉乘）是一个新的向量，记作a × b。
向量积满足右手法则：当右手的四指从向量a转向向量b时，大拇指指向的方向就是向量a和向量b的向量积的方向。
2.张量积与向量积的异同：相同点：它们都是两个量之间的乘积，且具有一定的交换律和结合律。
不同点：（1）对象不同：张量积适用于矩阵或张量之间的乘积，而向量积适用于向量之间的乘积。
（2）运算结果：张量积得到一个新的矩阵或张量，向量积得到一个新的向量。
三、张量积的几何意义1.二维空间中的张量积：以二维平面上的两个向量a和b为例，它们的张量积a b表示的是一个面积。
直观上，我们可以将张量积看作是向量a和向量b的“转动”过程中，旋转轴所扫过的面积。
2.三维空间中的张量积：在三维空间中，张量积a b表示的是一个体积。
我们可以将张量积看作是向量a和向量b的“转动”过程中，旋转轴所扫过的体积。
3.更高维空间中的张量积：对于更高维空间中的张量积，它们表示的是更高维度的几何体。
四、张量积在实际应用中的案例1.物理中的应用：在电磁学、力学等领域，张量积被用于描述物理量之间的关系，如电场强度和磁感应强度之间的乘积表示电磁场。
2.工程中的应用：在结构力学、流体力学等领域，张量积被用于分析应力、应变等物理量之间的关系。
向量与张量的代数运算和分析运算
本章介绍向量与张量的代数运算和分析运算，作为后面章节的数学准备。
第一章矢量与张量§1. 矢量代数1.1 向量的定义1.2 Einstein约定求和1.3 e ijk与d ij 之间的关系§2. 张量代数2.1 张量的定义2.2 张量的运算2.3 张量与矢量之间的运算2.4 张量与张量之间的运算§3. 矢量分析3.1 Hamilton算子3.2 无旋场与标量势3.3 无散场与矢量势3.4 Helmholtz分解§4. 张量分析4.1 矢量的梯度4.2 张量的散度和旋度4.3 ▽(A·α)等公式4.4 两个有关左右旋度的展开式4.5 张量的Gauss公式和Stokes公式§1 向量代数1.1向量的定义从几何观点来看，向量定义为有向线段。
在三维欧氏空间中，建立直角坐标系，沿坐标方向的单位向量为，即其标架为。
设从坐标原点至点的向量为，它在所述坐标系中的坐标为，那么可写成(1.1)设在中有另一个坐标系，其标架为，它与之间的关系为（1.2）由于单位向量之间互相正交，之间也互相正交，因此矩阵(1.3)将是正交矩阵，即有，其中上标表示转置。
从(1.2)可反解出（1.4）向量在新坐标系中的分解记为(1.5)将(1.4)代入(1.1),得到(1.6)公式(1.6)是向量的新坐标和旧坐标之间的关系，它是坐标变换系数的一次齐次式。
这个式子应该是有向线段的几何客观性质（如：长度、角度）不随坐标的人为主观选取而变化的一种代数反映。
可以说，公式(1.6)表示了向量在坐标变换下的不变性。
这样，我们就从向量的几何定义，得到了向量的代数定义：一个有序数组，如果在坐标变换下为关于变换系数由（1.6）所示的一次齐次式，则称之为向量。
1.2 Einstein约定求和用求和号，可将(1.1)写成(1.7)所谓Einstein约定求和就是略去求和式中的求和号，例如(1.7)可写成(1.8)在此规则中两个相同指标就表示求和，而不管指标是什么字母，例如(1.8)也可写成(1.9)有时亦称求和的指标为“哑指标”。
张量与向量运算-中国科学技术大学
第一章 电磁现象的基本规律
1.1 场论和张量分析
2. 线性正交坐标变换 在 N 维空间引入线性齐次变换 要求实现位置矢量不变 长度不变(空间间隔不变）
N
N
xi′ = aij x j
2 2 ′ x Βιβλιοθήκη = ∑ i ∑ i i =1 i =1 N
(1.1.3) (1.1.4)
2 2 ′ ∑ xi = aij x j ail xl = aij ail x j xl = ∑ xi i =1 i =1
物理要求 实现途径
a) 限于三维位置空间─ 物理量和物理规律与位置空间坐标系选择无关 b) 进入四维时空 ─ 物理量和物理规律与参考系选择无关(相对性原理) a) 物理量必须是在参考系或坐标系变换下的不变量 张量 b) 物理规律可以写成张量形式（不变形式） c) 需要用到场论和张量分析的基本概念和数学工具
′ 由基矢等于坐标梯度也可导出基矢变换关系： ei
2015/2/2
= ∇xi′ = aij ∇x j = aij e j
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第一章 电磁现象的基本规律
1.1 场论和张量分析
位移分量变换和位移矢量的不变性（由变换的线性性质） 1. 定义： 2. 变换：
dxi = xi( 2 ) − xi(1) ,
(1.1.16)
例如前面已经提到的位置矢量和位移矢量；作为一个整体不变 二阶张量： 含 N 2 个分量,按如下方式变换(按系数第2下标求和)
Tij′ = aim a jnTmn
(1.1.17)
T = Tij ei e j (1.1.18) aim ail = δ ml
利用变换矩阵的性质，可证明二阶张量整体不变： a jn a jk = δ nk
关于向量及张量的乘法_朱正元
( f , g )→ fΛg=
( r+ r!
s )! s!
Ar+ s ( f
g)
把 Λ称为外乘 . ( r+ s)阶反称共变张量 fΛg 称为 f 与 g 的外积 .
外积是双线性的 ,特别地它满足反交换律:
fΛg= ( - 1)rs gΛf , f ∈ Λr ( V* ) , g∈ Λs ( V* )
( 7)
事实上 ,
[a1 ,… , an - 1 ]· an = an1 A1+ an2 A2+ …+ ann An
an1
an2 … ann
a
1 1
a21 … an1
a
1 1
=…
a
2 1
…
… …
an1 …
=
( - 1)n- 1
… a1
n- 1
… a2
n- 1
… …
… an
n- 1
a1 n- 1
a2 n- 1
关于向量及张量的乘法朱正元张量乘法朱正元向量乘法向量的乘法向量乘法公式空间向量乘法矩阵向量乘法向量的乘法公式向量乘法的几何意义
2000年 1月 第 9卷 第 1期
中央民族大学学报 (自然科学版 ) Journal of t he CU N ( N atu ral Sci ences Edi tion )
则行列式
|aji|
称为 a1 ,… , an 的混合积 ,记作 ( a1 ,… , an ) .
对于另一组基 {e′i } ,设
al = a′il e′i , ( l = 1,… , n )
则由 ( 6)有
|a′il|=
|alj dij|=
什么是向量？
什么是向量？来源：公众号数学经纬网作者：林木物理学家、航空管制员以及社会学家都有一个共同的东西：向量。
它们到底是什么？又为什么这么重要？为了回答这个问题，首先我们需要理解标量。
标量是一个有大小的量。
它告诉我们一个东西的多少，你和长椅之间的距离、杯子里饮料的体积和温度都由标量来描述。
向量也有大小，此外还有一个另外的信息：方向。
要从家走到商场，你得知道它离你多远，还要知道要走的方向，这不是距离，而是位移。
那么我们如何来表示向量呢？回顾我们日常生活中的描述，例如：向东走200米再向北走300米；或者面向东方，向前走200米再向左走300米。
可以看出来，这两种描述都需要首先指定两个方向作为基准，然后再给出这两个方向上的距离。
那么把这两个距离写在一块儿凑成一个数对，就可以表示这个向量。
在平面上，我们指定了两个基准方向，而在空间中我们还需要增加一个向上或者向下的基准方向，用三元数组表示。
虽然这个表示的方法和点的坐标很像，但要表示的意思是不同的。
坐标表示的是一个固定的点，如果原点变了，坐标的数值就会变；而向量只是代表一个有方向的距离，没有确定的起点和终点，坐标原点的变化对于向量的表示没有影响。
对于自然科学中天生带方向和大小的量自然可以用向量来表示，那社会科学有为什么会需要向量呢？其实这是借用了基准方向的概念。
比如评判城市之间的差异，需要从人口、经济、教育和科技等许多方面来考虑。
这些方面都可以作为评判的指标，而且这些标准又各不相关。
那么我们就可以把这些指标都当作基准，再赋予具体的数值，就可以用来描述一个城市的情况。
我们同样把这个量叫做向量，只是它的基准方向比较多。
有没有比矢量表达更多信息的量呢？当然，这就是张量。
向量是有一个方向的量，张量就是有两个甚至更多“方向”的量。
比如说我们在拧像床单这样比较长的衣物的时候，既要有一个拧的力用来拧干又要有一个拉力来保证衣物不会扭在一起。
在拧衣服这个动作中这两个力应该是当作一个整体来看，而且为了维持拧的状态这样的力在衣物的各个地方都是存在的，我们把它叫做应力。