长春市高考数学二模试卷(理科)B卷
吉林省长春市普通高中高三质量监测二数学理科试题题解析版
()
A. 1
B． 2 C. 3 D. ４
【答案】C
【解析】
【分析】
通过标准差的比较,得出两只股票的稳定性，通过极差的比较,得出风险和回报,再根据折线图得出股票的上升
和下跌趋势，可分析出答案．
【详解】由题可知,甲的标准差为２.０４元,乙的标准差为９．63 元,可知股票甲在这一年中波动相对较小,
表现的更加稳定，故①正确；
A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
【答案】B
【解析】
因为复数 =
，所以对应的点位于第二象限.
2．集合
，
,则
（)
A．
B.
C.
D.
【答案】A
【解析】
【分析】
由题,先求出集合 A=
,再根据交集的定义求出答案即可.
【详解】
,
．
故选Ａ.
【点睛】本题主要考查了交集的定义,属于基础题.
A.
B.
C.
D.
【答案】C
【解析】
【分析】
由题意,画岀切线 扫过的区域,得当
时,此时切线 都在 轴的上方，即可作出判断，得到答案.
【详解】由题意,画岀切线 扫过的区域，如图所示，
当
时，此时切线 都在 轴的上方，
所以不可能在直线上的点为
.故选 C.
【点睛】本题主要考查了曲线在某点处的切线方程应用，其中解答中熟记
8.直线 绕原点顺时针旋转 得到直线 ，若 的倾斜角为 ,则 的值为（ )
A．
B.
【答案】Ｄ 【解析】 【分析】
C.
D.
根据题意，可得
，解得
，
进而根据余弦的倍角公式,即可求解. 【详解】由题意，直线 的斜率为 2,将
2024-2025学年吉林省长春市长春二中高三(上)第二次调研数学试卷(含答案)
2024-2025学年吉林省长春二中高三（上）第二次调研数学试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合A ={x|2x 2+x−1<0}，B ={y|y =lg(x 2+1)}，则A ∩B =( )A. (−1,0]B. [0,12)C. (−12,0]D. [0,1)2.设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 10−S 3=35，a 3+a 10=7，则{a n }的公差为( )A. 1B. 2C. 3D. 43.“α=π4+kπ(k ∈Z)”是“3cos 2α+sin 2αsinαcosα=3+1”的( )A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条伴D. 既不充分也不必要条件4.设α∈(0,π2)，β∈(0,π2)，且tanα=1+sinβcosβ，则( )A. 3α−β=π2B. 3α+β=π2C. 2α−β=π2D. 2α+β=π25.将函数f(x)=cos (ωx−π4)(ω>0)的图象向右平移π4ω个单位长度后得到函数g(x)的图象，若函数y =g(x)在区间[0,3π4]上单调递增，则ω的最大值为( )A. 13B. 23C. 1D. 36.已知a >1，b >0，若a +log 2a =b +log 2b ，则( )A. a >2bB. a <2bC. a >b 2D. a <b 27.已知集合A ={−12,−13,12,13,2,3}，若a ，b ，c ∈A 且互不相等，则使得指数函数y =a x ，对数函数y =log b x ，幂函数y =x c 中至少有两个函数在(0,+∞)上单调递增的有序数对(a,b,c)的个数是( )A. 16B. 24C. 32D. 488.现定义如下：当x ∈(n,n +1)时(n ∈N)，若f(x +1)=f′(x)，则称f(x)为延展函数.现有，当x ∈(0,1)时，g(x)=e x 与ℎ(x)=x 10均为延展函数，则以下结论( )(1)存在y =kx +b(k,b ∈R ；k ，b ≠0)与y =g(x)有无穷个交点(2)存在y =kx +b(k,b ∈R ；k ，b ≠0)与y =ℎ(x)有无穷个交点A. (1)(2)都成立B. (1)(2)都不成立C. (1)成立(2)不成立D. (1)不成立(2)成立二、多选题：本题共3小题，共18分。
2020年吉林省长春市高考数学二模试卷(理科) (含答案解析)
2020年吉林省长春市高考数学二模试卷(理科)一、单项选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.已知集合A={1,3，5，7}，B={x|x2−7x+10≤0}，则A∩B=()A. {1,3}B. {3,5}C. {5,7}D. {1,7}2.已知z=ai(a∈R)，若(1+z)(1+i)是实数，则|z+2|=()A. √3B. √5C. 3D. 53.下列函数中，值域为R且在区间(0,+∞)上单调递增的是()．A. y=x2+2xB. y=2x+1C. y=x3+1D. y=(x−1)|x|4.在等差数列{a n}中，a2=5，a6=17，则a14等于()A. 45B. 41C. 39D. 375.已知a⃗，b⃗ 为单位向量，其夹角为120°，则(a⃗−2b⃗ )⋅b⃗ =()A. −52B. −32C. −1D. 26.如图是甲、乙、丙三个企业的产品成本(单位：万元)及其构成比例，则下列判断正确的是()A. 乙企业支付的工资所占成本的比重在三个企业中最大B. 由于丙企业生产规模大，所以它的其他费用开支所占成本的比重也最大C. 甲企业本着勤俭创业的原则，将其他费用支出降到了最低点D. 乙企业用于工资和其他费用支出额比甲丙都高7.已知命题p：∀x>0，x<tanx，命题q：∃x>0使得ax<lnx，若p∨(￢q)为真命题，则实数a的取值范围是()A. a≥1B. a≥1e C. a<1 D. a<1e8.在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若2c−ba =cosBcosA，a=2√3，则△ABC面积的最大值为()A. √3B. 2√3C. 3√3D. 4√39. 为了实施“科技下乡，精准脱贫”战略，某县科技特派员带着A ，B ，C 三个农业扶贫项目进驻某村，对该村仅有的甲、乙、丙、丁四个贫困户进行产业帮扶．经过前期实际调研得知，这四个贫困户选择A ，B ，C 三个扶贫项目的意向如下表：扶贫项目 A B C 贫困户甲、乙、丙、丁甲、乙、丙丙、丁若每个贫困户只能从自己已登记的选择意向项目中随机选取一项，且每个项目至多有两个贫困户选择，则不同的选法种数有( )A. 24种B. 16种C. 10种D. 8种10. 如图，在正方体ABCD −A 1B 1C 1D 1中，下列结论错误的是A. C 1D 1⊥B 1CB. BD 1⊥ACC. BD 1⊥B 1CD. BD 1⊥B 1D11. 抛物线y 2=4x 的焦点为F ，点P(2,a)在抛物线上，则|PF|=( )A. 3B. 4C. 5D. 612. 定义域为R 的函数f(x)满足f′(x)>f(x)，则不等式e x−1f(x)<f(2x −1)的解为( )A. (14,+∞)B. (12,+∞)C. (1,+∞)D. (2,+∞)二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13. 已知实数x ，y 满足{2x −y ≤0,x −y +1≥0,y ≥0,则x +2y 的最大值为__________．14. 若∫1x a 1dx =1(a >1)，则a = ______ ．15. 已知函数f(x)=sinωx +cosωx(ω>0)，x ∈R.若函数f(x)在区间(−ω,ω)内单调递增，且函数y =f(x)的图象关于直线x =ω对称，则ω的值为____．16. 已知正方体ABCD −A 1B 1C 1D 1的棱AA 1的中点为E,AC 与BD 交于点O ，平面α过点E ，且与直线OC 1垂直，若AB =1，则平面α截该正方体所得截面图形的面积为______． 三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17.20名学生某次数学考试成绩(单位：分)的频数分布直方图如图所示．(Ⅰ)求频数直方图中a的值；(Ⅱ)分别球出成绩落在[50,60)与[60,70)中的学生人数．18.如图，三棱柱ABC−A1B1C1中，底面ABC是等边三角形，侧面BCC1B1是矩形，AB=A1B，N是B1C的中点，M是棱AA1上的一点，且AA1⊥CM，(1)证明：直线MN//平面ABC；(2)若AB⊥A1B，求二面角A−CM−N的余弦值．19. 已知数列{a n }的前n 项和S n =32n 2+52n(n ∈N ∗)(1)求数列{a n }的通项公式； (2)设b n =1an a n+1，求数列{b n }的前n 项和T n ．20. 已知点(1,32)在椭圆C ：x 2a 2+y2b 2=1(a >b >0)上，且椭圆的离心率为12． (1)求椭圆C 的方程；(2)若M 为椭圆C 的右顶点，点A ，B 是椭圆C 上不同的两点(均异于M)且满足直线MA 与MB 斜率之积为14.试判断直线AB 是否过定点，若是，求出定点坐标，若不是，说明理由．21.已知函数f(x)=4lnx−mx2+1(m∈R)．(1)若函数在点(1,f(1))处的切线与直线2x−y−1=0平行，求实数m的值；(2)若对任意x∈[1,e)，都有f(x)≤0恒成立，求实数m的取值范围．22.已知曲线C1的参数方程为{x=tcosα,y=1+tsinα,(t为参数)，曲线C2的参数方程为{x=sinθ,y=√1+cos2θ,(θ为参数)．(1)求C1与C2的普通方程；(2)若C1与C2相交于A，B两点，且|AB|=√2，求sinα的值．23.设函数f(x)=|x+a|+|x−a|．(1)当a=1时，解不等式f(x)≥4；(2)若f(x)≥6在x∈R上恒成立，求实数a的取值范围．【答案与解析】1.答案：B解析：解：B={x|2≤x≤5}；∴A∩B={3,5}．故选：B．可解出集合B，然后进行交集的运算即可．考查描述法、列举法的定义，一元二次不等式的解法，交集的运算．2.答案：B解析：本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数模的求法，是基础的计算题．利用复数代数形式的乘除运算化简，由虚部为0求得a值，再由复数模的计算公式求解．解：∵z=ai(a∈R)，且(1+z)(1+i)是实数，∴(1+ai)(1+i)=(1−a)+(1+a)i是实数，则a=−1，∴|z+2|=|2−i|=√5．故选B．3.答案：C解析：根据题意，依次分析选项中函数的单调性以及值域，综合即可得答案．本题考查函数的单调性以及值域，关键是掌握常见函数的单调性以及值域，属于基础题．解：根据题意，依次分析选项：对于A，y=x2+2x=(x+1)2−1，其值域为[−1,+∞)，不符合题意；对于B，y=2x+1，其值域为(0,+∞)，不符合题意；对于C，y=x3+1，值域为R且在区间(0,+∞)上单调递增，符合题意；对于D ，y =(x −1)|x|={x 2−x,x ≥0−x 2+x,x <0，在区间(0,12)上为减函数，不符合题意．故选C ．4.答案：B解析：解：设等差数列{a n }的公差为d ， 由a 2=5，a 6=17得，d =a 6−a 24=3，则a 14=a 6+(14−6)×3=17+24=41， 故选：B ．根据题意和等差数列的通项公式求出公差d ，代入通项公式即可． 本题考查了等差数列的通项公式，属于基础题．5.答案：A解析：本题考查了平面向量的数量积运算，属于基础题． 利用数量积运算律求解即可．解：∵a ⃗ ，b ⃗ 为单位向量，其夹角为120°，∴a ⃗ 2=b ⃗ 2=1，a ⃗ ⋅b ⃗ =1×1×cos120°=−12． ∴(a ⃗ −2b ⃗ )⋅b ⃗ =a ⃗ ⋅b ⃗ −2b ⃗ 2=−12−2=−52．故选：A ．6.答案：C解析：先对图表数据的分析处理，再结合进行简单的合情推理逐一检验即可得解． 本题考查了对图表数据的分析处理能力及进行简单的合情推理，属中档题． 解：三个企业中甲企业工资所占成本的比重最大，故A 错误，虽然丙企业生产规模大，但它的其他费用开支所占成本的比重与乙企业是一样的，故B 错， 甲企业其他费用开支确实最低，故C 正确，甲企业的工资和其他费用开支额为4000万元，乙企业为5400万元，丙企业为6000万元，所以丙企业用于工资和其他费用支出额比甲乙都高，故D 错误， 故选：C ．7.答案：B解析：解：命题p ：∀x >0，x <tanx 为假命题，如x =3π4；∵p ∨(￢q)为真命题，则￢q 为真命题， 即∀x >0使得ax ≥lnx 为真命题， 则a ≥lnx x对任意x >0恒成立，令f(x)=lnx x，则f′(x)=1−lnx x 2，当x ∈(0,e)时，f(x)为增函数，当x ∈(e,+∞)时，f(x)为减函数， 则f(x)的最大值为f(e)=1e ． ∴a ≥1e ．故选：B ．举例说明p 为假命题，由p ∨(￢q)为真命题，可得￢q 为真命题，即∀x >0使得ax ≥lnx 为真命题，则a ≥lnx x 对任意x >0恒成立，令f(x)=lnx x，利用导数求其最大值得答案．本题考查复合命题的真假判断，考查利用导数研究函数的单调性，是中档题．8.答案：C解析：解：根据题意，在△ABC 中，若2c−b a=cosB cosA，则有2ccosA −bcosA =acosB ，由正弦定理可得：2sinCcosA =sinAcosB +sinBcosA =sinC ， 则有cosA =12， 则有b 2+c 2−a 22bc=12，变形可得b 2+c 2−12=bc ，又由b 2+c 2≥2bc ， 则有bc ≤12，又由cosA =12，则sinA =√32，则△ABC面积S=12bcsinA≤3√3，即△ABC面积的最大值为3√3．故选C．根据题意，将2c−ba =cosBcosA变形可得2ccosA−bcosA=acosB，结合正弦定理可得2sinCcosA=sinAcosB+sinBcosA=sinC，变形可得cos A的值，又由余弦定理b2+c2−a22bc =12，变形可得b2+c2−12=bc，结合基本不等式可得b2+c2≥2bc，则有bc≤12，由三角形面积公式分析可得答案．本题考查三角形中的几何计算，涉及正弦定理、余弦定理的应用，属于综合题．9.答案：B解析：本题主要考查计数原理的相关知识，属于中档题．先分类讨论不同可能性的排列组合，再根据加法计数原理求出答案即可．解：依题意，可让甲先选择扶贫项目，有A或B共2种选择．再让乙进行选择，①若甲选择A，则乙可选择A或B共2种选择．若乙选择A，则丙可选A或B或C，当丙选择A时，丁只能选C；当丙选择B或C时，丁可选A或C.共1+2x2=5(种)．②若甲选择B，则乙可选择A或B共2种选择.若乙选择B，则丙只能选A或C，此时丁均有A或C两种选择；共2x2=4(种)选择．若乙选怎A，则丙可选A或B或C，当丙选择A时，丁只能选C；当丙选择B或C时，丁课选A或C.共1+2x2=5(种)．根据加法计数原理，可知总选法有2+5+4+5=16(种)．故选B．10.答案：D解析：本题考查空间直线与直线的位置关系，同时考查直线与平面垂直的判定定理，题目基础．据题目特点逐项判断求解即可．解：A.因为C1D1⊥平面BCC1B1，所以C1D1⊥B1C，故正确；B.因为AC⊥平面BDD1B1，所以BD1⊥AC，故正确；C .因为B 1C ⊥平面BC 1D 1，所以BD 1⊥B 1C ，故正确；D .因为四边形BDD 1B 1为矩形，所以BD 1⊥B 1D 不正确．故选D ．11.答案：A解析：本题考查了抛物线的概念，抛物线的标准方程及其性质，属于基础题．解：由抛物线y 2=4x 可得准线方程：即x =−1．因为点P(2,a)在抛物线上，所以|PF|等于点P 到准线x =−1的距离．所以|PF| =2+1=3，故选A .12.答案：C解析：解：令g(x)=f(x)e x ，则g′(x)=f′(x)−f(x)e x >0， 故g(x)在R 递增，不等式e x−1f(x)<f(2x −1)，即f(x)e x <f(2x−1)e 2x−1，故g(x)<g(2x −1)，故x <2x −1，解得：x >1，故选：C ．令g(x)=f(x)e x ，求出函数的导数，根据函数的单调性得到关于x 的不等式，解出即可．本题考查了函数的单调性问题，考查导数的应用以及转化思想，是一道常规题．13.答案：5解析：本题考查利用简单线性规划求最值，属于基础题目．由约束条件作出可行域，再由目标函数的几何意义求出最值即可．解：由约束条件{2x −y ≤0,x −y +1≥0,y ≥0,作出可行域如图：由目标函数z =x +2y 可知当目标函数z =x +2y 过点B(1,2)取得最大值，其最大值为5． 故答案为5．14.答案：e解析：解：∫1xa 1dx =1=lnx| 1a =lna ，(a >1)，所以a =e ． 故答案为：e ．找出被积函数的原函数，得到关于a 的方程解之．本题考查了定积分的计算；找出被积函数的原函数是关键．15.答案：√π2解析：本题考查y =Asin(ωx +φ)的图象及性质，属于中档题．解：f(x)=sin ωx +cos ωx =√2sin(ωx +π4)，因为函数f(x)的图象关于直线x =ω对称，所以f(ω)=√2sin(ω2+π4)=±√2，所以ω2+π4=π2+kπ，k ∈Z ，即ω2=π4+kπ，k ∈Z ，又函数f(x)在区间(−ω,ω)内单调递增，所以ω2+π4≤π2，即ω2≤π4，取k=0，得ω2=π4，所以ω=√π2．故答案为√π2．16.答案：√64解析：本题考查平面的基本性质.由条件可知平面α与正方体的截面是过O的截面三角形，不难求出其面积．解：由已知可算出OE=√32,OC1=√62,EC1=32．则OE⊥OC1所以平面α与正方体的截面为△EBD，S△EBD=12×BD×OE=12×√2×√32=√64．故答案为√64．17.答案：解：(I)由频率分布直方图得：(2a+3a+7a+6a+2a)×10=1⇒a=0.005；(II)成绩落在[50,60)与[60,70)的频率分布为0.01×10+0.015×10=0.25，∴成绩落在[50,60)与[60,70)中的学生人数为20×0.25=5(人)．解析：(I)根据所有小矩形的面积之和为1求a的值；(II)根据频率=小矩形的高×组距求得成绩落在[50,60)与[60,70)的频率，再利用频数=样本容量×频率求得人数．本题考查了由频率分布直方图求频率与频数，在频率分布直方图中，频率=小矩形的高×组距=频数样本容量．18.答案：解：(1)如图1，在三棱柱ABC−A1B1C1中，连结BM，因为四边形BCC1B1是矩形，所以BC⊥BB1，因为AA1//BB1，所以AA1⊥BC．又因为AA 1⊥MC,BC ∩MC =C ，所以，MB ⊂平面BCM ，所以AA 1⊥MB ，又因为AB =A 1B ，所以M 是AA 1中点．取BC 中点P ，连结NP ，AP ，因为N 是B 1C 的中点，则NP //BB 1且NP =12BB 1，所以NP //MA 且NP =MA ，所以四边形AMNP 是平行四边形，所以MN //AP ．又因为MN ⊄平面ABC ，AP ⊂平面ABC ，所以．(2)因为AB ⊥A 1B ，所以△ABA 1是等腰直角三角形，设AB =√2a ，则AA 1=2a,BM =AM =a ．在Rt △ACM 中，AC =√2a ，所以MC =a ．在△BCM 中,CM 2+BM 2=2a 2=BC 2，所以MC ⊥BM ．由(1)知，MC ⊥AA 1,BM ⊥AA 1，如图2，以M 为坐标原点，MA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，MB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，MC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 的方向分别为x 轴，y 轴，z 轴的正方向建立空间直角坐标系，则M(0,0,0),C(0,0,a),B 1(2a,a,0)．所以N(a,a 2,a 2)，则MC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,0,a )，MN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(a,a 2,a2)． 设平面CMN 的法向量为n⃗ 1=(x,y,z )， 则{n ⃗ 1⋅MC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0n ⃗ 1⋅MN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0，即{az =0ax +a 2y +a 2z =0, 取x =1得y =−2．故平面CMN 的一个法向量为n 1⃗⃗⃗⃗ =(1,−2,0)．因为平面ACM 的一个法向量为n 2⃗⃗⃗⃗ =(0,1,0)，则． 因为二面角A −CM −N 为钝角，所以二面角A −CM −N 的余弦值为−2√55．解析：本题主要考查立体几何中线面平行的判定，以及二面角余弦值的求法，考查学生的空间想象能力与应用能力.属于中档题。
2025届吉林省长春市九台区师范高中、实验高中高考数学二模试卷含解析
2025届吉林省长春市九台区师范高中、实验高中高考数学二模试卷注意事项:1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内。
2．答题时请按要求用笔。
3．请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效。
4．作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。
5．保持卡面清洁，不要折暴、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．复数的()12z i i =--为虚数单位在复平面内对应的点位于（ ） A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限2．若0,0x y >>，则“222x y xy +=”的一个充分不必要条件是 A ．x y = B ．2x y = C ．2x =且1y =D ．x y =或1y =3．如图，在圆锥SO 中，AB ，CD 为底面圆的两条直径，AB ∩CD ＝O ，且AB ⊥CD ，SO ＝OB ＝3，SE 14SB =.，异面直线SC 与OE 所成角的正切值为（ ）A ．222B ．53C ．1316D ．1134．51(1)x x-+展开项中的常数项为 A ．1B ．11C ．-19D ．515．向量1,tan 3a α⎛⎫= ⎪⎝⎭，()cos ,1b α=，且//a b ，则cos 2πα⎛⎫+=⎪⎝⎭（ ） A ．13B ．223-C ．23-D ．13-6．已知12,F F 分别为双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>的左、右焦点，过1F 的直线l 与双曲线C 的左、右两支分别交于,A B 两点，若22240,5BF AB BF AF ⋅==，则双曲线C 的离心率为（ ） A ．13B ．4C ．2D ．37．若函数()ln f x x x h =-++，在区间1,e e ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上任取三个实数a ，b ，c 均存在以()f a ，f b ，()f c 为边长的三角形，则实数h 的取值范围是（ ） A ．11,1e ⎛⎫-- ⎪⎝⎭B ．11,3e e ⎛⎫--⎪⎝⎭C ．11,e ⎛⎫-+∞⎪⎝⎭D ．()3,e -+∞8．已知盒中有3个红球，3个黄球，3个白球，且每种颜色的三个球均按A ，B ，C 编号，现从中摸出3个球（除颜色与编号外球没有区别），则恰好不同时包含字母A ，B ，C 的概率为（ ） A ．1721B ．1928C ．79D ．23289．已知复数z 满足()1i +z =2i ，则z =（ ）A ．2B ．1C ．22D ．1210．若双曲线()22210x y a a-=>的一条渐近线与圆()2222x y +-=至多有一个交点，则双曲线的离心率的取值范围是（ ） A ．)2,⎡+∞⎣B ．[)2,+∞C ．(1,2⎤⎦D ．(]1,211．已知函数()()1xe a axf x e ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，若()()0f x x R ≥∈恒成立，则满足条件的a 的个数为（ ）A ．0B ．1C ．2D ．312．已知向量(2,4)a =-，(,3)b k =，且a 与b 的夹角为135︒，则k =（ ） A ．9-B ．1C ．9-或1D ．1-或9二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
2020年吉林省长春市高考数学二模试卷(理科)
2020年吉林省长春市高考数学二模试卷（理科）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知集合{|(2)0}A x x x =-…，{1B =-，0，1，2，3}，则(A B =I ) A ．{1-，0，3} B ．{0，1} C ．{0，1，2} D ．{0，2，3} 2．若1(1)()z a i a R =+-∈，||2z =，则(a = )A ．0或2B ．0C ．1或2D ．13．下列与函数y x=定义域和单调性都相同的函数是( )A ．22log xy = B ．21log ()2x y = C ．21log y x= D ．14y x =4．已知等差数列{}n a 中，5732a a =，则此数列中一定为0的是( )A ．1aB ．3aC ．8aD ．10a5．若单位向量1e u r ，2e u u r 夹角为60︒，12a e e λ=-u r u u r r ，且||3a =r，则实数(λ= ) A ．1-B ．2C ．0或1-D ．2或1-6．《高中数学课程标准》(2017版）规定了数学直观想象学科的六大核心素养，为了比较甲、乙两名高二学生的数学核心素养水平，现以六大素养为指标对二人进行了测验，根据测验结果绘制了雷达图（如图，每项指标值满分为5分，分值高者为优），则下面叙述正确的是 （注：雷达图()RadarChart ，又可称为戴布拉图、蜘蛛网图()SpiderChart ，可用于对研究对象的多维分析）( )A ．甲的数据分析素养高于乙B ．甲的数学建模素养优于数学抽象素养C ．乙的六大素养中逻辑推理最差D ．乙的六大素养整体水平优于甲7．命题p ：存在实数0x ，对任意实数x ，使得0sin()sin x x x +=-恒成立：:0q a ∀>，()a xf x lna x +=-为奇函数，则下列命题是真命题的是( ) A ．p q ∧ B ．()()p q ⌝∨⌝ C ．()p q ∧⌝ D ．()p q ⌝∧8．在ABC ∆中，30C =︒，2cos 3A =-，152AC ，则AC 边上的高为( )A 5B ．2C 5D 159．2020年是脱贫攻坚决战决胜之年，某市为早日实现目标，现将甲、乙、丙、丁4名干部派遣到A 、B 、C 三个贫困县扶贫，要求每个贫困县至少分到一人，则甲被派遣到A 县的分法有( ) A ．6种B ．12种C ．24种D ．36种10．在正方体1111ABCD A B C D -中，点E ，F ，G 分别为棱11A D ，1D D ，11A B 的中点，给出下列命题：①1AC EG ⊥；②//GC ED ；③1B F ⊥平面1BGC ；④EF 和1BB 成角为4π．正确命题的个数是( )A ．0B ．1C ．2D ．311．已知抛物线2:2(0)C y px p =>的焦点为F ，1(2M ，0)y 为该抛物线上一点，以M 为圆心的圆与C 的准线相切于点A ，120AMF ∠=︒，则抛物线方程为( ) A ．22y x = B ．24y x = C ．26y x = D ．28y x = 12．已知11()x x f x e e x --=-+，则不等式()(32)2f x f x +-„的解集是( ) A ．[1，)+∞B ．[0，)+∞C ．(-∞，0]D ．(-∞，1]二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分13．若x ，y 满足约条条件222022x y y x y +⎧⎪-⎨⎪-⎩…„„，则z x y =+的最大值为14．若1205()3a x dx -=⎰，则a = ． 15．已知函数()sin()(0)6f x x πωω=+>在区间[π，2)π上的值小于0恒成立，则ω的取值范围是 ．16．三棱锥A BCD -的顶点都在同一个球面上，满足BD 过球心O，且BD =，三棱锥A BCD -体积的最大值为 ；三棱锥A BCD -体积最大时，平面ABC 截球所得的截面圆的面积为 ．三、解答题：共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22～23题为选考题，考生根据要求作答.17．（12分）2019年入冬时节，长春市民为了迎接2022年北京冬奥会，增强身体素质，积极开展冰上体育锻炼．现从速滑项目中随机选出100名参与者，并由专业的评估机构对他们的锻炼成果进行评估打分（满分为100分）并且认为评分不低于80分的参与者擅长冰上运动，得到如图所示的频率分布直方图：（Ⅰ）求m 的值；（Ⅱ）将选取的100名参与者的性别与是否擅长冰上运动进行统计，请将下列22⨯列联表补充完整，并判断能否在犯错误的概率在不超过0.01的前提下认为擅长冰上运动与性别有 擅长 不擅长 合计 男生 30 女生 50 合计1002()P K x …0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001 k2.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828参考公式及数据：2()()()()K a b c d a c b d =++++，n a b c d =+++．18．（12分）如图，直三棱柱111ABC A B C -中，底面ABC 为等腰直角三角形，AB BC ⊥，124AA AB ==，M ，N 分别为1CC ，1BB 的中点，G 为棱1AA 上一点，若1A B ⊥平面MNG ． （Ⅰ）求线段AG 的长；（Ⅱ）求二面角B MG N --的余弦值．19．（12分）已知数列{}n a 满足，11a =，24a =且*21430()n n n a a a n N ++-+=∈． （Ⅰ）求证：数列1{}n n a a +-为等比数列，并求出数列{}n a 的通项公式； （Ⅱ）设2n n b n a =g ，求数列{}n b 的前n 项和n S ．20．（12分）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左、右顶点分别为A 、B ，焦距为2，点P 为椭圆上异于A 、B 的点，且直线PA 和PB 的斜率之积为34-．（Ⅰ）求C 的方程；（Ⅱ）设直线AP 与y 轴的交点为Q ，过坐标原点O 作//OM AP 交椭圆于点M ，试探究2||||||AP AQ OM g 是否为定值，若是，求出该定值；若不是，请说明理由．21．（12分）已知函数()x f x e =．（Ⅰ）求曲线()y f x =在点(1，f （1）)处的切线方程；（Ⅱ）若对任意的m R ∈，当0x >时，都有21(2())221m f x km x+>-恒成立，求最大的整数k ．（二）选考题：共10分，请考生在22、23题中任选一题作答，如果多做则按所做的第一题计分.[选修4-4：坐标系与参数方程]22．（10分）已知曲线1C 的参数方程为22cos (2sin x y ααα=+⎧⎨=⎩为参数），曲线2C 的参数方程为38cos 4(3sin4x t ty t ππ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩为参数） （Ⅰ）求1C 和2C 的普通方程；（Ⅱ）过坐标原点O 作直线交曲线1C 于点(M M 异于)O ，交曲线2C 于点N ，求||||ON OM 的最小值．[选修4-5：不等式选讲]（10分） 23．已知函数()|1||1|f x ax x =++-． （Ⅰ）若2a =，解关于x 的不等式()9f x <；（Ⅱ）若当0x >时，()1f x >恒成立，求实数a 的取值范围．2020年吉林省长春市高考数学二模试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知集合{|(2)0}A x x x =-„，{1B =-，0，1，2，3}，则(A B =I ) A ．{1-，0，3}B ．{0，1}C ．{0，1，2}D ．{0，2，3}【思路分析】可解出集合A ，然后进行交集的运算即可． 【解析】{|02}A x x =剟；{0A B ∴=I ，1，2}．故选：C ．【归纳与总结】考查描述法、列举法的定义，一元二次不等式的解法，以及交集的运算． 2．若1(1)()z a i a R =+-∈，||z =(a = )A ．0或2B ．0C ．1或2D ．1【思路分析】根据复数求模公式计算即可． 【解析】因为1(1)()z a i a R =+-∈，2||(1)10z a a ∴=-=⇒=或2；故选：A ．【归纳与总结】本题考查了复数求模问题，考查复数的运算，是一道常规题．3．下列与函数y定义域和单调性都相同的函数是( )A ．22log xy = B ．21log ()2x y = C ．21log y x= D ．14y x =【思路分析】可看出，y=在定义域{|0}x x >上单调递减，然后可判断选项A 的函数在定义域{|0}x x >上单调递增，而选项B ，D 的函数的定义域都不是{|0}x x >，从而得出选项A ，B ，D 都错误，只能选C ．【解析】y在定义域{|0}x x >上单调递减，22log x y x ==在定义域{|0}x x >上单调递增，21()2x y log =的定义域为R ，21y log x=在定义域{|0}x x >上单调递减，14y x =的定义域为{|0}x x …．故选：C ．【归纳与总结】本题考查了幂函数、一次函数和对数函数的单调性，对数函数和指数函数的定义域，对数的运算性质，考查了计算能力，属于基础题．4．已知等差数列{}n a 中，5732a a =，则此数列中一定为0的是( ) A ．1aB ．3aC ．8aD ．10a【思路分析】利用等差数列的通项公式即可得出．【解析】Q 等差数列{}n a 中，5732a a =，113(4)2(6)a d a d ∴+=+，化为：10a =． 则此数列中一定为0的是1a ．故选：A ．【归纳与总结】本题考查了等差数列的通项公式，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．5．若单位向量1e u r ，2e u u r 夹角为60︒，12a e e λ=-u r u u r r ，且||a =r，则实数(λ= ) A ．1-B ．2C ．0或1-D ．2或1-【思路分析】根据条件即可求出1212e e =u r u u r g ，然后对12a e e λ=-u r u u r r两边平方，进行数量积的运算即可得出213λλ-+=，解出λ即可．【解析】Q 12||||1e e ==u r u u r ，12,60e e <>=︒u r u u r ，∴1212e e =u r u u r g ，且||3a =r，∴222221122213a e e e e λλλλ=-+=-+=u r u r u u r u u r rg ，解得2λ=或1-．故选：D ．【归纳与总结】本题考查了向量数量积的运算及计算公式，单位向量的定义，考查了计算能力，属于基础题．6．《高中数学课程标准》(2017版）规定了数学直观想象学科的六大核心素养，为了比较甲、乙两名高二学生的数学核心素养水平，现以六大素养为指标对二人进行了测验，根据测验结果绘制了雷达图（如图，每项指标值满分为5分，分值高者为优），则下面叙述正确的是 （注：雷达图()RadarChart ，又可称为戴布拉图、蜘蛛网图()SpiderChart ，可用于对研究对象的多维分析）( )A ．甲的数据分析素养高于乙B ．甲的数学建模素养优于数学抽象素养C ．乙的六大素养中逻辑推理最差D ．乙的六大素养整体水平优于甲【思路分析】先对图表数据进行分析，再结合简单的合情推理逐一检验即可得解． 【解析】对于A 选项，甲的数据分析为3分，乙的数据分析为5分，即甲的数据分析素养低于乙，故选项A 错误，对于B 选项，甲的数学建模素养为3分，数学抽象素养为3分，即甲的数学建模素养与数学抽象素养同一水平，故选项B 错误，对于C 选项，由雷达图可知，乙的六大素养中数学建模、数学抽象、数学运算最差，故选项C 错误，对于D 选项，乙的六大素养中只有数学运算比甲差，其余都由于甲，即乙的六大素养整体水平优于甲，故选项D 正确，故选：D ．【归纳与总结】本题考查了对数据的分析处理能力及进行简单的合情推理，属中档题． 7．命题p ：存在实数0x ，对任意实数x ，使得0sin()sin x x x +=-恒成立：:0q a ∀>，()a xf x lna x +=-为奇函数，则下列命题是真命题的是( ) A ．p q ∧ B ．()()p q ⌝∨⌝ C ．()p q ∧⌝ D ．()p q ⌝∧【思路分析】根据题意，由诱导公式分析可得P 为真命题，分析函数()a xf x ln a x+=-在0a >时的奇偶性，可得q 为真命题；由复合命题的真假判断方法分析可得答案．【解析】根据题意，命题p ：存在实数0x ，对任意实数x ，使得0sin()sin x x x +=-恒成立， 当0x π=时，对任意实数x ，使得sin()sin x x π+=-恒成立，故P 为真命题；命题:0q a ∀>，()a xf x ln a x+=-，有0a x a x +>-，解可得a x a -<<，函数的定义域为(,)a a -，关于原点对称，有()()a x a xf x ln ln f x a x a x++-==-=---，即函数()f x 为奇函数，故其为真命题；则p q ∧为真命题，()()p q ⌝∨⌝、()P q ∧⌝、()p q ⌝∧为假命题；故选：A ． 【归纳与总结】本题考查复合命题真假的判断，涉及全称命题和特称命题的真假的判断，属于基础题．8．在ABC ∆中，30C =︒，2cos 3A =-，152AC =-，则AC 边上的高为( )A ．5B ．2C ．5D ．15【思路分析】先利用平方关系求得sin A ，再由sin sin()ABC A C ∠=+及正弦定理可求得3AB =，最后由等面积法求得AC 边长的高．【解析】Q 2cos ,03A A π=-<<，∴5sin A =，∴5321152sin sin()sin cos cos sin 32ABC A C A C A C -∠=+=+=⨯-⨯=， 由正弦定理有，sin sin AC ABABC C =∠，即15211522AB -=-，解得3AB =， ∴11sin 22AB AC A AC BD ⨯⨯⨯=⨯⨯，即53(152)(152)BD ⨯-⨯=-⨯，∴5BD =，即AC 边上的高为5．故选：C ．【归纳与总结】本题考查三角恒等变换与解三角形的综合运用，涉及了正弦定理，三角形的面积公式等知识点，考查计算能力，属于基础题．9．2020年是脱贫攻坚决战决胜之年，某市为早日实现目标，现将甲、乙、丙、丁4名干部派遣到A 、B 、C 三个贫困县扶贫，要求每个贫困县至少分到一人，则甲被派遣到A 县的分法有( ) A ．6种B ．12种C ．24种D ．36种【思路分析】根据分类计数原理，分两类，若甲单独被派遣到A 县，若若甲不单独被派遣到A 县，问题得以解决．【解析】若甲单独被派遣到A 县，则有22326C A =种， 若若甲不单独被派遣到A 县，则有336A =种，故根据分类计数原理可得，共有6612+=种，故选：B ． 【归纳与总结】本题考查了分类计数原理，属于基础题．10．在正方体1111ABCD A B C D -中，点E ，F ，G 分别为棱11A D ，1D D ，11A B 的中点，给出下列命题：①1AC EG ⊥；②//GC ED ；③1B F ⊥平面1BGC ；④EF 和1BB 成角为4π．正确命题的个数是( ) A ．0B ．1C ．2D ．3【思路分析】如图对于①，连接1A C ，11B D ，可得11//EG D B ，又1CA ⊥平面EFG ，即可判断出正误． 对于②，取11B C 的中点M ，连接CM ，EM ，可得四边形CDEM 为平行四边形，进而判断出正误；③由于1B F 与11B C 不垂直，11//B C BC ，可得1B F 与BC 不垂直，即可判断出正误．④由于11//D D B B ，EF 和1DD 所角为4π．即可判断出正误．【解析】如图对于①，连接1A C ，11B D ，则11//EG D B ，而1CA ⊥平面EFG ，所以1AC EG ⊥；故①正确； 对于②，取11B C 的中点M ，连接CM ，EM ，可得四边形CDEM 为平行四边形，//CM ED ∴，因此//GC ED 不正确；③由于1B F 与11B C 不垂直，11//B C BC ，1B F ∴与BC 不垂直，因此1B F ⊥平面1BGC 不成立．④11//D D B B Q ，EF 和1DD 所角为4π．EF ∴和1BB 成角为4π．正确．正确命题的个数是2．故选：C ．【归纳与总结】本题考查了空间位置关系、平行与垂直的判定与性质、简易逻辑的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．11．已知抛物线2:2(0)C y px p =>的焦点为F ，1(2M ，0)y 为该抛物线上一点，以M 为圆心的圆与C 的准线相切于点A ，120AMF ∠=︒，则抛物线方程为( )A ．22y x =B ．24y x =C ．26y x =D ．28y x =【思路分析】根据抛物线的定义和三角形的性质即可求出．【解析】1(2M ，0)y 为该抛物线上一点，以M 为圆心的圆与C 的准线相切于点A ，过点M 作MB x ⊥轴，1||||22p MA MF ∴==+，1||22p BF =-120AMF ∠=︒Q ，30BMF ∴∠=︒，2||||BF MF ∴=，112()2222p p∴-=+，解得3p =， ∴抛物线方程为26y x =，故选：C ．【归纳与总结】本题考查抛物线的定义，利用抛物线的定义进行线段的转化是关键． 12．已知11()x x f x e e x --=-+，则不等式()(32)2f x f x +-„的解集是( ) A ．[1，)+∞B ．[0，)+∞C ．(-∞，0]D ．(-∞，1]【思路分析】观察11()x x f x e e x --=-+，可得()(2)2f x f x +-=，于是()(32)2f x f x +-„等价转化为()(32)()(2)f x f x f x f x +-+-„，即(32)(2)f x f x --„，再分析()f x 的单调性，脱“f ”即可求得答案．【解析】11()x x f x e e x --=-+Q ①，(2)11(2)11(2)(2)2x x x x f x e e x e e x ------∴-=-+-=-+-②， ①+②得：()(2)2f x f x +-=，()(32)2()(32)()(2)f x f x f x f x f x f x ∴+-⇔+-+-剟，(32)(2)f x f x ∴--„③，又11()10x x f x e e --'=++>恒成立，11()x x f x e e x --∴=-+为R 上的增函数，∴③式可化为：322x x --„，解得：1x …，故选：A ．【归纳与总结】本题考查利用导数研究函数的单调性，分析出()(2)2f x f x +-=是关键，考查观察与推理、运算能力，涉及等价转化思想的运用，属于难题． 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分13．若x ，y 满足约条条件222022x y y x y +⎧⎪-⎨⎪-⎩…„„，则z x y =+的最大值为 4【思路分析】由约束条件作出可行域，数形结合得到最优解，求出最优解的坐标，代入目标函数得答案．【解析】由x ，y 满足约条条件222022x y y x y +⎧⎪-⎨⎪-⎩…„„作出可行域如图：化目标函数z x y =+为y x z =-+，由图可知，当直线y x z =-+过A 时，z 取得最大值，由222y x y =⎧⎨-=⎩，解得(2,2)A 时，目标函数有最大值为4z =．故答案为：4．【归纳与总结】本题考查了简单的线性规划，考查了数形结合的解题思想方法，是中档题．14．若1205()3a x dx -=⎰，则a = 2 ．【思路分析】直接利用定积分知识的应用和被积函数的原函数的求法和应用求出结果．【解析】1205()3a x dx -=⎰，整理得1213100015()||33a x dx ax x -=-=⎰，所以1533a -=，解得2a =． 故答案为：2【归纳与总结】本题考查的知识要点：定积分知识的应用，被积函数的原函数的求法和应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型．15．已知函数()sin()(0)6f x x πωω=+>在区间[π，2)π上的值小于0恒成立，则ω的取值范围是 5(6，11]12 ．【思路分析】由题意可得，[66x ππωωπ+∈+，2)6πωπ+，由此求得ω的取值范围．【解析】Q 函数()sin()(0)6f x x πωω=+>在区间[π，2)π上的值小于0恒成立，故()f x 的最大值小于零． 当[x π∈，2)π，[66x ππωωπ+∈+，2)6πωπ+，6πωππ∴+>，且226πωππ+„，求得511612ω<„，故答案为：5(6，11]12．【归纳与总结】本题主要考查正弦函数的定义域和值域，函数的恒成立问题，属于基础题． 16．三棱锥A BCD -的顶点都在同一个球面上，满足BD 过球心O ，且22BD =，三棱锥A BCD -体积的最大值为223；三棱锥A BCD -体积最大时，平面ABC 截球所得的截面圆的面积为 ．【思路分析】由于BD 过球心，所以可得90BAD BCD ∠=∠=︒，AO ⊥面BCD ，所以当BC CD =时体积最大，这时三角形ABC 为等边三角形，故求出外接圆的半径，进而求出面积．【解析】当BD 过球心，所以90BAD BCD ∠=∠=︒，所以AO ⊥面BCD ，1132A BCD V BC CD OA -=g g g ，当BC CD =时体积最大，因为22BD =，2OA =，所以2BC CD ==，所以最大体积为：112222232=g g g g ；三棱锥A BCD -体积最大时，三角形ABC 中，222AB AC OC OA BC ==+==，设三角形ABC 的外接圆半径为r ，则23r =，所以3r =，所以外接圆的面积为243S r ππ==，故答案分别为：22，43π．【归纳与总结】本题考查平面的基本性质及其外接球的半径与棱长的关系，面积公式，属于中档题．三、解答题：共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22～23题为选考题，考生根据要求作答.17．（12分）2019年入冬时节，长春市民为了迎接2022年北京冬奥会，增强身体素质，积极开展冰上体育锻炼．现从速滑项目中随机选出100名参与者，并由专业的评估机构对他们的锻炼成果进行评估打分（满分为100分）并且认为评分不低于80分的参与者擅长冰上运动，得到如图所示的频率分布直方图：（Ⅰ）求m 的值；（Ⅱ）将选取的100名参与者的性别与是否擅长冰上运动进行统计，请将下列22⨯列联表补充完整，并判断能否在犯错误的概率在不超过0.01的前提下认为擅长冰上运动与性别有 擅长 不擅长 合计 男生30女生 50 合计1002()P K x …0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001 k2.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828参考公式及数据：2()()()()K a b c d a c b d =++++，n a b c d =+++．【思路分析】（Ⅰ）由小矩形面积之和为1即可求出m ；（Ⅱ）根据频率分布直方图先求出擅长冰上运动的人数，再计算其余人数，然后根据公式求出2K 并与6.635比较，从而得出答案．【解析】（Ⅰ）由图可知，(0.0050.0150.0200.0300.005)101m +++++⨯=， 解得0.025m =； 擅长 不擅长 合计 男性 20 30 50 女性 10 40 50 合计307010024.762 6.635()()()()50503070K a b c d a c b d ==≈<++++⨯⨯⨯，故不能在犯错误的概率在不超过0.01的前提下认为擅长冰上运动与性别有关系． 【归纳与总结】本题主要考查频率分布直方图与独立性检验的应用，属于基础题． 18．（12分）如图，直三棱柱111ABC A B C -中，底面ABC 为等腰直角三角形，AB BC ⊥，124AA AB ==，M ，N 分别为1CC ，1BB 的中点，G 为棱1AA 上一点，若1A B ⊥平面MNG ． （Ⅰ）求线段AG 的长；（Ⅱ）求二面角B MG N --的余弦值．【思路分析】（Ⅰ）由线面垂直的性质可得1A B GN ⊥，在BNE ∆中可求得BE ，进而得到1A E ，再解△1AGE ，即可求得AG 的长； （Ⅱ）建立空间直角坐标系，求出平面BMG 及平面MNG 的法向量，利用向量的夹角公式即可求得所求余弦值．【解析】（Ⅰ）1A B ⊥Q 平面MNG ，GN 在平面MNG 内，1A B GN ∴⊥， 设1A B 交GN 于点E ，在BNE ∆中，可得145cos 2164BE BN ABN =∠=⨯=+g ， 则114565164A E A B BE =-=+-=， 在△1AGE 中，11165534cos 25A EA G AA B===∠，则1AG =； （Ⅱ）以1B 为坐标原点，1B B ，1B C ，11B A 所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴建立如图所示的空间直角坐标系，则(4B ，0，0)，(2M ，2，0)，(3G ，0，2)，(2N ，0，0)，故(2,2,0),(1,0,2)BM BG =-=-u u u u r u u u r，(0,2,0),(1,0,2)NM NG ==u u u u r u u u r，设平面BMG 的一个法向量为(,,)m x y z =r ，则22020m BM x y m BG x z ⎧=-+=⎪⎨=-+=⎪⎩u u u u r r g u u u rr g ，可取(2,2,1)m =r ， 设平面MNG 的一个法向量为(,,)n a b c =r ，则2020n NM b n NG a c ⎧==⎪⎨=+=⎪⎩u u u u r r g u u u rr g ，可取(2,0,1)n =-r ， 设二面角B MG N --的平面角为θ，则5|cos ||cos ,|||||||m n m n m n θ=<>==r r g r rr r ，∴二面角B MG N --的余弦值为5．【归纳与总结】本题考查空间中线线，线面，面面间的位置关系，考查利用空间向量求解二面角问题，考查推理能力及计算能力，属于基础题．19．（12分）已知数列{}n a 满足，11a =，24a =且*21430()n n n a a a n N ++-+=∈． （Ⅰ）求证：数列1{}n n a a +-为等比数列，并求出数列{}n a 的通项公式；（Ⅱ）设2n n b n a =g ，求数列{}n b 的前n 项和n S ．【思路分析】本题第（Ⅰ）题将递推式进行转化可得到2113()n n n n a a a a +++-=-，则数列1{}n n a a +-是以3为首项，3为公比的等比数列．然后计算出数列1{}n n a a +-的通项公式，再应用累加法可计算出数列{}n a 的通项公式；第（Ⅱ）题先根据第（Ⅰ）题的结果可计算出数列{}n b 的通项公式3n n b n n =-g．构造数列{}n c ：令3n n c n =g ．设数列{}n c 的前n 项和为n T ，可运用错位相减法计算出数列{}n c 的前n 项和为n T ，最后运用分组求和法计算出数列{}n b 的前n 项和n S ．【解答】（Ⅰ）证明：依题意，由21430n n n a a a ++-+=，可得 2143n n n a a a ++=-，则2111333()n n n n n n a a a a a a ++++-=-=-． 21413a a -=-=Q ，∴数列1{}n n a a +-是以3为首项，3为公比的等比数列．11333n n n n a a -+∴-==g ，*n N ∈． 由上式可得，1213a a -=，2323a a -=，g gg113n n n a a ---=，各项相加，可得：11211331333331322n n n n a a ---=++⋯+==--g ，113131331(31)22222n n nn a a ∴=-+=-+=-g g g ，*n N ∈．（Ⅱ）由（Ⅰ）知，122(31)32nn n n b n a n n n ==-=-g g g g ．构造数列{}n c ：令3n n c n =g． 设数列{}n c 的前n 项和为n T ，则1231231323333n n n T c c c c n =+++⋯+=+++⋯+g g g g ， 2331323(1)33n n n T n n =++⋯+-+g g g g ， 两式相减，可得：112333233233333331322n nnn n n n T n n +---=+++⋯+-=-=---g g g ，233344n n n T -∴=+g ．故12n n S b b b =++⋯+12(1)(2)()n c c c n =-+-+⋯+- 12()(12)n c c c n =++⋯+-++⋯+(1)2n n n T +=-22331134422n n n n -=+--g ．【归纳与总结】本题主要考查数列由递推公式推导出通项公式，以及运用错位相减法和分组求和法求前n 项和．考查了转化与化归思想，构造法，等比数列的通项公式和求和公式，逻辑推理能力和数学运算能力．本题属中档题．20．（12分）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左、右顶点分别为A 、B ，焦距为2，点P 为椭圆上异于A 、B 的点，且直线PA 和PB 的斜率之积为34-．（Ⅰ）求C 的方程；（Ⅱ）设直线AP 与y 轴的交点为Q ，过坐标原点O 作//OM AP 交椭圆于点M ，试探究2||||||AP AQ OM g 是否为定值，若是，求出该定值；若不是，请说明理由．【思路分析】（Ⅰ）设P 的坐标，由离心率及直线PA 和PB 的斜率之积为34-．P 点代入椭圆的方程，再由a ，b ，c 之间的关系求出a ，b 进而求出椭圆的方程； （Ⅱ）设直线AP 的方程，与椭圆联立求出P 的纵坐标，代入直线方程进而求出横坐标，即求出P 的坐标，再由椭圆令直线的0x =求出Q 的纵坐标，进而求出||||AP AQ 之积，有题意设直线OM 的方程与椭圆联立求出M 的坐标，进而求出2||OM ，进而求出2||||||AP AQ OM g 为定值【解析】（Ⅰ）有题意可得22c =，即1c =，(,0)A a -，(,0)B a ，设(,)P x y ，由直线PA 和PB 的斜率之积为34-可得34y y x a x a =-+-g ，即22234y x a =--， 而P 在椭圆上，所以22221(0)x y a b a b +=>>，22222222(1)()x b y b x a a a=-=--g ，所以2234b a =，而222b ac =-可得：24a =，23b =，所以椭圆的方程为：22143x y +=；（Ⅱ）设直线AP 的方程为：2x my =-，联立与椭圆的方程：22234120x my x y =-⎧⎨+-=⎩，整理可得22(43)120m y my +-=， 所以21243P m y y m +=+，所以21243P my m =+，226843P m x m -=+，所以||AP ==，在2x my =-中，令0x =，2y m =，即2(0,)Q m，所以||AQ =所以221||||643m AP AQ m +=+g ，有题意设OM 的方程为：x my =，代入椭圆中可得22(43)12m y +=，所以221243M y m =+，所以2221243Mm x m =+，所以2222212(1)||43M M m OM x y m +=+=+，所以222226(1)||||614312(1)||12243m AP AQ m m OM m ++===++g 为定值． 【归纳与总结】本题考查求椭圆的方程及直线与椭圆的综合和两点间的距离公式，属于中档题．21．（12分）已知函数()x f x e =．（Ⅰ）求曲线()y f x =在点(1，f （1）)处的切线方程；（Ⅱ）若对任意的m R ∈，当0x >时，都有21(2())1m f x x+>-恒成立，求最大的整数k ．【思路分析】()I 先对函数求导，然后结合导数的几何意义可求切线的斜率，进而可求切线方程；()II 由已知对m 分类讨论，当0m =时，显然成立，当0m ≠时，原不等式可化为12()f x x +>，然后构造函数11()2()2xh x f x e x x=+=+，结合导数及函数的性质可求()h x 最小值的范围，可求． 【解析】()()x I f x e '=，则曲线()y f x =在点(1，f （1）)处的切线斜率k f ='（1）e =，又f （1）e =， 故曲线()y f x =在点(1，f （1）)处的切线方程(1)y e e x -=-即y ex =，()II因为21(2())1m f x x+>-恒成立，当0m =时，显然成立，当0m ≠时，不等式可化为12()f x x +>， 令11()2()2x h x f x e x x =+=+，则21()2x h x e x'=-，因为21()2x h x e x '=-在(0,)+∞上单调递增，且1()402h '=<，2330h '=->>，故存在01(2x ∈使得00201()20x h x e x '=-=当0(0,)x x ∈时，()0h x '<，函数单调递减，当0(x x ∈，)+∞时，()0h x '>，函数单调递增，故当0x x =时，函数取得最小值002000111()2x h x e x x x =+=+，令01t x =∈，则0202000111()2(3x h x e t t x x x =+=+=+∈+，将()h x 的最小值记为a ，则(3a ∈+．因此原式需要满足a >即210am -+>恒成立， 又0a >，可知△840k a =-<即可，即12k a <，且(3a ∈+．故k 可以取得的最大整数为2．【归纳与总结】本题主要考查了导数的几何意义的应用及利用导数及函数的性质求解由不等式恒成立求解参数范围 问题，体现了转化思想及分类讨论思想的应用．（二）选考题：共10分，请考生在22、23题中任选一题作答，如果多做则按所做的第一题计分.[选修4-4：坐标系与参数方程]22．（10分）已知曲线1C 的参数方程为22cos (2sin x y ααα=+⎧⎨=⎩为参数），曲线2C 的参数方程为38cos 4(3sin4x t ty t ππ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩为参数） （Ⅰ）求1C 和2C 的普通方程；（Ⅱ）过坐标原点O 作直线交曲线1C 于点(M M 异于)O ，交曲线2C 于点N ，求||||ON OM 的最小值．【思路分析】（Ⅰ）由22cos (2sin x y ααα=+⎧⎨=⎩为参数），消去参数α，可得1C 的参数方程；化38cos 43sin 4x t y t ππ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩为8x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，消去参数t ，可得2C 的普通方程； （Ⅱ）分别写出圆1C 的极坐标方程与直线2C 的极坐标方程，设过坐标原点且与两曲线相交的直线方程为()42ππθαα=-<<，可得8|||cos sin |||4|cos |ON OM ααα+=，整理后利用三角函数求最值．【解析】（Ⅰ）由22cos (2sin x y ααα=+⎧⎨=⎩为参数），消去参数α，可得1C 的参数方程为22(2)4x y -+=；由38cos 4(3sin 4x t t y t ππ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩为参数），得8x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，消去参数t ，可得2C 的普通方程为8x y +=；（Ⅱ）如图，圆1C 的极坐标方程为4cos ρθ=，直线2C 的极坐标方程为cos sin 8ρθρθ+=， 即8cos sin ρθθ=+，设过坐标原点且与两曲线相交的直线方程为()42ππθαα=-<<，则28||244|cos sin |||4|cos||sin cos ||sin 2cos 21||2sin(2)1|4ON OM cos ααπααααααα+====+++++． Q 42ππα-<<，∴52444πππα-<+<．∴|2sin(2)1|[1,12]4πα++∈+，则||||ON OM 的最小值为4(21)21=-+．【归纳与总结】本题考查简单曲线的极坐标方程，考查参数方程化普通方程，训练了利用三角函数求最值，考查计算能力，是中档题． [选修4-5：不等式选讲]（10分） 23．已知函数()|1||1|f x ax x =++-． （Ⅰ）若2a =，解关于x 的不等式()9f x <；（Ⅱ）若当0x >时，()1f x >恒成立，求实数a 的取值范围．【思路分析】（Ⅰ）当2a =时，()|21||1|f x x x =++-，由绝对值的意义，去绝对值符号，解不等式，求并集，可得所求解集；（Ⅱ）由题意可得1()min f x <，(0)x >，讨论0a =，0a <，0a >，结合绝对值不等式的性质，可得所求范围．【解析】（Ⅰ）当2a =时，3,11()|21||1|2,1213,2x x f x x x x x x x ⎧⎪>⎪⎪=++-=+-⎨⎪⎪-<-⎪⎩剟，则()9f x <等价为139x x >⎧⎨<⎩或11229x x ⎧-⎪⎨⎪+<⎩剟或1239x x ⎧<-⎪⎨⎪-<⎩，解得13x <<或112x -剟或132x -<<-， 综上可得原不等式的解集为(3,3)-；（Ⅱ）当0x >时，()1f x >恒成立，即为1()min f x <，当0a =时，()|1|f x x =-，其最小值为f （1）0=，不符题意； 当a <，即0a ->时，111()|1||1||||1|(1)||(|1|||)f x ax x a x x a x x x a a a=++-=-++-=--++-++，当10a --…，()f x 有最小值，且为1|1|a +，又1|1|1a+>不恒成立；当0a >，0x >时，()1|1f x ax x =++-的最小值为f （1）1|1a =+>恒成立， 综上可得，a 的范围是(0,)+∞．【归纳与总结】本题考查绝对值不等式的解法和不等式恒成立问题解法，考查分类讨论思想和转化思想，以及化简运算能力、推理能力，属于中档题．。
吉林省长春市实验中学2025届高三第二次模拟考试数学试卷含解析
吉林省长春市实验中学2025届高三第二次模拟考试数学试卷注意事项：1． 答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区。
2．选择题必须使用2B 铅笔填涂；非选择题必须使用0．5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。
3．请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。
4．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．在平面直角坐标系xOy 中，锐角θ顶点在坐标原点，始边为x轴正半轴，终边与单位圆交于点P m ⎫⎪⎪⎝⎭，则sin 24πθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭（ ）ABCD2．设实数x 、y 满足约束条件1024x y x y x +≤⎧⎪-≤⎨⎪≥⎩，则23z x y =+的最小值为（ ）A ．2B ．24C ．16D ．143．已知函数()ln f x x =，()()23g x m x n =++，若()0,x ∀∈+∞总有()()f x g x ≤恒成立.记()23m n +的最小值为(),F m n ，则(),F m n 的最大值为（ ）A ．1B ．1eC ．21e D ．31e 4．盒子中有编号为1，2，3，4，5，6，7的7个相同的球，从中任取3个编号不同的球，则取的3个球的编号的中位数恰好为5的概率是（ ） A ．235B ．835C ．635D ．375．函数()3sin 3x f x x π=+的图象的大致形状是（ ）A ．B ．C ．D ．6．已知i 是虚数单位，则（ ） A ．B ．C ．D ．7．已知数列{}n a 是公比为2的正项等比数列，若m a 、n a 满足21024n m n a a a <<，则()21m n -+的最小值为（ ） A ．3B ．5C ．6D ．108．我国数学家陈景润在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界领先的成果．哥德巴赫猜想是“每个大于2的偶数可以表示为两个素数（即质数）的和”，如16511=+，30723=+．在不超过20的素数中，随机选取两个不同的数，其和等于20的概率是（ ） A ．114B ．112C ．328D ．以上都不对9．设集合{}2{|22,},|log 1A x x x Z B x x =-<∈=<，则A B =（ ）A ．(0,2)B ．(2,2]-C ．{1}D ．{1,0,1,2}-10．已知七人排成一排拍照，其中甲、乙、丙三人两两不相邻，甲、丁两人必须相邻，则满足要求的排队方法数为（ ）. A ．432B ．576C ．696D ．96011．已知直线l 320x y ++=与圆O ：224x y +=交于A ，B 两点，与l 平行的直线1l 与圆O 交于M ，N 两点，且OAB 与OMN 的面积相等，给出下列直线1l 330x y +-=320x y +-=，③320x -+=，330x y ++=.其中满足条件的所有直线1l 的编号有（ ） A ．①②B ．①④C ．②③D ．①②④12．已知直三棱柱中111ABC A B C -，120ABC ∠=︒，2AB =，11BC CC ==，则异面直线1AB 与1BC 所成的角的正弦值为（ ）． A ．32B ．105C ．155D ．63二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
2025届吉林省长春市综合实验中学高三第二次模拟考试数学试卷含解析
2025届吉林省长春市综合实验中学高三第二次模拟考试数学试卷考生请注意：1．答题前请将考场、试室号、座位号、考生号、姓名写在试卷密封线内，不得在试卷上作任何标记。
2．第一部分选择题每小题选出答案后，需将答案写在试卷指定的括号内，第二部分非选择题答案写在试卷题目指定的位置上。
3．考生必须保证答题卡的整洁。
考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．由曲线3,y x y x ==围成的封闭图形的面积为（ ）A ．512B ．13C ．14 D ．122．已知01a b <<<，则（ ）A ．()()111b b a a ->-B ．()()211bb a a ->- C ．()()11a b a b +>+ D ．()()11a b a b ->-3．已知i 为虚数单位，实数,x y 满足(2)x i i y i +=-，则||x yi -= ( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．54．函数的图象可能是下面的图象( )A ．B ．C ．D ．5．已知函数()21x f x x -＝，则不等式121()()x x f e f e ﹣﹣＞的解集是（ ）A ．2,3⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭ B ．2,3⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭ C ．(,0)-∞ D ．2,3⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭6．已知抛物线24y x =的焦点为F ，P 为抛物线上一点，(1,1)A ，当PAF ∆周长最小时，PF 所在直线的斜率为（ ） A ．43- B ．34- C ．34 D ．437．已知函数e 1()e 1x x f x -=+，()0.32a f =，()0.30.2b f =，()0.3log 2c f =，则a ，b ，c 的大小关系为（ ）A ．b a c <<B ．c b a <<C ．b c a <<D ．c a b <<8．已知集合{}2,1,0,1A =--，{}22*|,B x x a a N =≤∈，若A B ⊆，则a 的最小值为（ ） A ．1 B ．2 C ．3 D ．49．函数()y f x =()x R ∈在(]1∞-，上单调递减，且(1)f x +是偶函数，若(22)(2)f x f -> ，则x 的取值范围是（ ）A ．（2，+∞）B ．（﹣∞，1）∪（2，+∞）C ．（1，2）D ．（﹣∞，1）10．在ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，若cos cos 4c a B b A -=，则2222a b c-=（ ） A ．32 B ．12 C ．14 D ．1811．台球是一项国际上广泛流行的高雅室内体育运动，也叫桌球（中国粤港澳地区的叫法）、撞球（中国地区的叫法）控制撞球点、球的旋转等控制母球走位是击球的一项重要技术，一次台球技术表演节目中，在台球桌上，画出如图正方形ABCD ，在点E ，F 处各放一个目标球，表演者先将母球放在点A 处，通过击打母球，使其依次撞击点E ，F 处的目标球，最后停在点C 处，若AE =50cm ．EF =40cm ．FC =30cm ，∠AEF =∠CFE =60°，则该正方形的边长为（ ）A ．502cmB ．402cmC ．50cmD ．206cm12．如图，在平行四边形ABCD 中，对角线AC 与BD 交于点O ，且2AE EO =，则ED =（ ）A ．1233AD AB - B ．2133AD AB + C ．2133AD AB - D ．1233AD AB + 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
吉林省长春市普通高中2022届高三质量监测(二)理科数学试题(含答案解析)
吉林省长春市普通高中2022届高三质量监测（二）理科数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单选题1．已知复数z 在复平面内对应的点的坐标为()2,1-，则i z -=（ ）A B ．2C ．D ．82．命题“00x ∃≥，001xe x -≥”的否定是（ ）A ．00x ∃<，001xe x -< B ．00x ∃≥，001xe x -<C ．0x ∀<，1x e x -<D ．0x ∀≥，1x e x -<3．已知集合{}24,Z A x x x =≤∈，{}2,B y y x x A ==∈，则A B =（ ）A ．{}0,2,4B ．{}0,1,4C ．{}0,1D ．{}0,44．我国冰雪健儿自1992年实现冬奥奖牌数0的突破，到北京冬奥会结束，共获得77块奖牌.现将1992年以来我国冬奥会获得奖牌数量统计如下表：则1992年以来我国获得奖牌数的中位数为（ ）A ．8 B ．9 C ．10D ．115．下列函数是偶函数，且在区间(),0∞-上为增函数的是（ ） A ．2yxB ．2y x =+C ．2x y =D ．31y x =-6．在某次展会中，有来自北京、上海、长春和杭州的四名志愿者，现将这四名志愿者分配到这四个城市的代表团服务，每个代表团只分配到其中一名志愿者，则这四名志愿者中恰有两名为自己家乡代表团服务的概率为（ ） A ．16B ．14C ．13D ．127．已知数列{}n a 是等比数列，{}n b 是等差数列，若31598a a a =，99b a =，则711b b +=（ ） A ．4B ．8C ．12D ．168．已知()cos ()f x ax a x a R =++∈，则在曲线()y f x =上一点()0,2处的切线方程为（ ） A ．20x y -+=B ．20x y +-=C ．220x y -+=D ．220x y +-=9．已知双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>的左、右焦点分别为()1,0F c -、()2,0F c ，点P 为双曲线C 右支上一点，点M 的坐标为()0,c ，若1PMPF 的最小值为，则双曲线C 的离心率为（ ）AB C ．2D10．某同学在参加《通用技术》实践课时，制作了一个工艺品，如图所示，该工艺品可以看成是一个球被一个棱长为4的正方体的六个面所截后剩余的部分（球心与正方体的中心重合），若其中一个截面圆的周长为2π，则该球的表面积为（ ）A ．20πB ．16πC ．12πD ．8π11．函数()()2sin 0,2f x x πωϕωϕ⎛⎫=+>< ⎪⎝⎭的部分图象如图所示，则下列说法正确的是（ ）A ．()f x 是周期为2π的周期函数 B ．点,03π⎛⎫⎪⎝⎭是()f x 图象的一个对称中心 C ．直线6x π=是()f x 图象的一条对称轴D ．对任意实数x ，()712f x f π⎛⎫≤⎪⎝⎭恒成立12．已知a 为函数()21log f x x x=-的零点，b =c =a 、b 、c 的大小关系正确的是（ ） A ．a b c >> B ．b a c >> C ．c a b >> D ．b c a >>二、填空题13．已知向量()3,4a =，()2,1b =，则()a b b -⋅=______.14．已知实数x ，y 满足约束条件202010x y x y x --≤⎧⎪+≤⎨⎪+≥⎩，则x y +的最小值是______.15．已知1F 、2F 为椭圆2214x y +=的左、右焦点，点P 是椭圆上第一象限内的点，且12PF PF ⊥，则2PF =______.16．已知数列{}n a 中，11a =，22a =，且1212n n n n n n a a a a a a ++++⋅⋅=++，其中*n N ∈，则1232022a a a a ++++=______.三、解答题17．从某地区高中二年级学生中随机抽取质量监测数学得分在120分以下和120分以上（含120分）的学生各250名作为样本（全体高二学生均参加监测），分别测出他们的注意力集中水平得分，统计如下表.(1)若将学生在质量监测中数学得分在120分以上（含120分）定义为数学成绩优秀，将学生注意力集中水平得分在500分以上（含500分）称为注意力集中水平高；试问：能否有99%以上的把握认为数学成绩优秀与注意力集中水平高有关？(2)若将上述样本的频率视为概率，现从该地区所有高二学生中随机抽取100人，设抽取到的数学得分在120分以上（含120分）且注意力集中水平得分在500分以上（含500分）的人数为随机变量X ，求X 的数学期望.（()()()()()22n ad bc K a b c d a c b d -=++++，其中n a b c d =+++）18．在ABC 中，a ，b ，c 分别是内角A ，B ，C 的对边，已知5c =，3B π=，sin 3sin sin a A C b B =+.(1)求ABC 的面积；(2)若D 是AC 边上一点，且2DC AD =，求BD 的长.19．直三棱柱111ABC A B C -中，11AA B B 为正方形，AB BC =，120ABC ∠=︒，M 为棱1BB 上任意一点，点D 、E 分别为AC ，CM 的中点.(1)求证：//DE 平面11AA B B ；(2)当点M 为1BB 中点时，求直线1B C 和平面CDM 所成角的正弦值. 20．若()212ln 2f x x bx a x =++． (1)当0a >，2b a =--时，讨论函数()f x 的单调性；(2)若2b =-，且()f x 有两个极值点1x ，2x ，证明()()123f x f x +>-． 21．已知圆M 过点()1,0，且与直线1x =-相切. (1)求圆心M 的轨迹C 的方程；(2)过点()2,0P 作直线l 交轨迹C 于A 、B 两点，点A 关于x 轴的对称点为A '，过点P 作PQ A B '⊥，垂足为Q ，在平面内是否存在定点E ，使得EQ 为定值.若存在，求出点E 的坐标；若不存在，请说明理由.22．在平面直角坐标系xOy 中，以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系.曲线1C 的极坐标方程为()223sin 12ρθ+=，曲线2C 的参数方程为1cos sin x t y t αα=+⎧⎨=⎩，（t 为参数），0,2πα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭.(1)求曲线1C 的直角坐标方程，并判断该曲线是什么曲线；(2)已知点()1,0P ，设曲线2C 与曲线1C 的交点为A 、B ，当72PA PB +=时，求cos α的值.23．设函数()1f x x =+，()21g x x =-. (1)解关于x 的不等式()()1f x g x ->；(2)若()()22f x g x ax +>+对一切实数恒成立，求实数a 的取值范围.参考答案：1．C 【解析】 【分析】根据题意先表示出复数的标准形式，再用模长公式计算即可. 【详解】由已知得2i z =-，所以i 22i z -=-== 故选：C 2．D 【解析】 【分析】将特称命题的否定改为全称命题即可 【详解】命题“00x ∃≥，001xe x -≥”的否定是“0x ∀≥，1x e x -<”，故选：D 3．C 【解析】 【分析】解不等式化简集合A ，再求函数的值域得集合B ，然后利用交集的定义计算作答. 【详解】解不等式24x ≤得：22x -≤≤，于是得{2,1,0,1,2}A =--，{0,1,4}B =， 所以{0,1}A B =. 故选：C 4．B 【解析】 【分析】把数表中的奖牌数从小到大排列即可求出中位数. 【详解】将自1992年以来我国冬奥会获得奖牌数从小到大排列为：3，3，8，8，9，9，11，11，15，所以1992年以来我国获得奖牌数的中位数为9. 故选：B 5．A 【解析】 【分析】根据奇偶性与单调性分别判断各选项. 【详解】 A 选项：221yf xxx，()()()2211f x f x x x -===-，为偶函数，在(),0∞-上单调递增，故A 选项正确；B 选项：()2y g x x ==+，()()22g x x x g x -=-+=+=，为偶函数，0x <时，2y x =-+，在(),0∞-上单调递减，故B 选项错误； C 选项：()2xy h x ==，()22xxh x --==，为偶函数，0x <时，122xxy -⎛⎫== ⎪⎝⎭，在(),0∞-上单调递减，故C 选项错误；D 选项：()31y s x x ==-，()()()3311s x x x s x -=--=--≠，且()()s x s x -≠-，为非奇非偶函数，且在R 上单调递增，故D 选项错误； 故选：A. 6．B 【解析】 【分析】求出4名志愿者分到四个城市的代表团服务的基本事件种数，再求出恰有两名为自己家乡代表团服务的基本事件数即可求解作答. 【详解】依题意，4名志愿者分到四个城市的代表团服务的试验的基本事件种数为44A ，它们等可能，四名志愿者中恰有两名为自己家乡代表团服务的事件为A ，4人中任取2人为自己家乡代则另2人只能到对方家乡代表团服务，事件A 含有的基本事件数为24C 1⨯，于是得2444C 11()A 4P A ⨯==，所以所求概率是14.故选：B 7．D 【解析】 【分析】运用等比数列和等差数列的下标性质进行求解即可. 【详解】因为数列{}n a 是等比数列，所以0n a ≠，由23159999888a a a a a a =⇒=⇒=，即998b a ==，因为{}n b 是等差数列， 所以711922816b b b +==⨯=， 故选：D 8．A 【解析】 【分析】由点()0,2在函数()f x 的图像上，求出a 的值，再求出()f x '，由导数的几何意义可得切线的斜率，从而得出切线方程. 【详解】因为点()0,2在曲线上，所以()0cos02f a =+=，于是1a =， 所以()cos 1f x x x =++，()1sin f x x =-'，()01f '=， 故切线方程为20y x -=-，即20x y -+=. 故选：A 9．A【分析】根据双曲线的定义，将1PM PF 转化为2||2PM PF a ，再通过最小值得到等式后可求解. 【详解】由于点P 为双曲线C 右支上一点，根据双曲线的定义， 有1212||||2||||2PF PF a PF PF a -=⇒=+，所以122222PM PF PM PF a MF a a +=++≥+=+=，所以有ec a === 故选：A 10．A 【解析】 【分析】设截面圆半径为r ，球的半径为R ，根据截面圆的周长求得1r =，再利用2222R r 求解.【详解】设截面圆半径为r ，球的半径为R ，则球心到某一截面的距离为正方体棱长的一半即2， 根据截面圆的周长可得22r ππ=，则1r =， 由题意知2222R r ，即222125R =+=，∴该球的表面积为2420R ππ=． 故选：A 11．B【分析】根据给定图象求出函数()f x 的解析式，再逐一分析各个选项，计算判断作答. 【详解】依题意，令()f x 的周期为T ，则5555()46124T πππ=--=，解得T π=，22T πω==， 由5()212f π-=-得：52()2,Z 122k k ππϕπ⨯-+=-∈，而2πϕ<，则有0,3k πϕ==，即()2sin(2)3f x x π=+，函数()f x 的最小正周期T π=，A 不正确；因()2sin(2)0333f πππ=⨯+=，则点,03π⎛⎫⎪⎝⎭是()f x 图象的一个对称中心，B 正确；因()2sin(2)2663f πππ=⨯+=≠，则直线6x π=不是()f x 图象的对称轴，C 不正确；77()2sin(2)212123f πππ=⨯+=-，即7()12f π是函数()f x 的最小值，D 不正确.故选：B 12．B 【解析】 【分析】对b 、c ，同时进行6次方运算，利用6y x =的单调性比较大小；先利用零点存在定理判断出：3825a <<.对a 、c ，同时进行3次方运算，利用3y x =的单调性比较大小； 对a 、b ，同时进行平方运算，利用2y x 的单调性比较大小.【详解】因为b =c =所以366355e 1528b ⎛⎫==>= ⎪⎝⎭，()6262 3.210.24c π==<=，所以66b c >.因为6y x =在()0,∞+上单增，所以b c >.因为a 为函数()21log f x x x =-的零点，所以()21log 0f a a a=-= 因为2log y x =为增函数，1y x =-为增函数，所以()21log f x x x =-为增函数，所以()21log f x x x=-有且仅有一个零点a . 又2233132log log 322232f ⎪⎛⎫=-=- ⎛⎫⎛⎫ ⎪⎝⎭⎝⎭⎪⎝⎭，因为1132133333327,24228⎡⎤⎛⎫⎛⎫===⎢⎥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦，所以23322<,所以2233132log log 0322232f ⎛⎫=-=-< ⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭； 2288185log log 855585f ⎪⎛⎫=-=- ⎛⎫⎛⎫ ⎪⎝⎭⎝⎭⎪⎝⎭，因为1815188888843,23255⎡⎤⎛⎫=≈=⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦，所以58825>，所以2288185log log 0855585f ⎛⎫=-=-> ⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭；由零点存在定理，可得：3825a <<. 所以3333825a ⎛⎫⎛⎫<< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，33c π==，所以3333273.37528a c π⎛⎫>==>= ⎪⎝⎭.因为3y x =在()0,∞+上单调递增，所以.a c >因为3825a <<，所以228 2.565a ⎛⎫<= ⎪⎝⎭，而2 2.71828b e =≈，所以22b a >.因为2yx 在()0,∞+上单调递增，所以.b a >所以b a c >>. 故选：B 13．5 【解析】 【分析】由平面向量数量积的坐标表示即可求解. 【详解】解：因为向量()3,4a =，()2,1b =，所以()()()3,42,11,3a b -=-=， 所以()()()1,32,112315a b b ⋅=-⨯==+⋅⨯， 故答案为：5.14．4- 【解析】 【分析】作出x ，y 满足的约束条件表示的平面区域，再利用目标函数的几何意义计算作答. 【详解】作出实数x ，y 满足的约束条件202010x y x y x --≤⎧⎪+≤⎨⎪+≥⎩表示的平面区域，如图中阴影ABC 及内部，其中24(1,3),(,),(1,2)33A B C ----，令x y z +=，即y x z =-+表示斜率为-1，纵截距为z 的平行直线系，作出直线0:l y x =-，平移直线0l 到直线1l ，当直线1l 过点A 时，直线1l 的纵截距最小，即z 最小，min 4z =-， 所以x y +的最小值是4-. 故答案为：4- 15．2【解析】 【分析】根据椭圆的定义及12PF PF ⊥，列出关于1PF 和2PF 方程组求解即可. 【详解】由椭圆的定义，124PF PF +=∴，又12PF PF ⊥，222121212PF PF F F +==∴，∴∴联立得222420PF PF -+=，解得22PF =P 是椭圆上第一象限内的点，有12PF PF >，22PF ∴=.故答案为：2 16．4044 【解析】 【分析】根据递推公式可以确定数列的周期，利用数列的周期进行求解即可. 【详解】因为1212(1)n n n n n n a a a a a a ++++⋅⋅=++，所以当2,n n N *≥∈时，有111(2)n n n n n n a a a a a a -+-⋅⋅=++，(1)(2)-得：12121211()()(1)0n n n n n n n n n n a a a a a a a a a a ++-+-+-+-=-⇒--=，因为11a =，22a =，所以333233a a a =+⇒=，显然231a a ≠，即11n n a a +≠，于是有210n n a a +--=，于是当n *∈N 时，3n n a a +=，所以数列{}n a 是以3为周期的周期数列，因为1236a a a ++=， 所以123202267464044a a a a ++++=⨯=，故答案为：4044 【点睛】关键点睛：利用递推公式判断数列的周期是解题的关键.17．(1)有99%以上的把握认为数学成绩优秀与注意力集中水平高有关； (2)()E X =36. 【解析】 【分析】（1）根据表格中的数据，代入求观测值公式，求出观测值同临界值进行比较即可得出结论；（2）根据二项分布期望计算公式，计算出数学期望. (1)由22⨯列联表中数据计算可得，2K 的观测值为()25001007015018051.948 6.635250250280220k ⨯⨯-⨯=≈>⨯⨯⨯所以能有99%以上的把握认为数学成绩优秀与注意力集中水平高有关. (2)从22⨯列联表可知，数学得分在120分以上(含120分) 且注意力集中水平得分在500分以上(含500分)的频率为=180950025， 由题意知,XB ⎛⎫ ⎪⎝⎭910025，所以()E X =⨯=91003625.18．(1). 【解析】 【分析】（1）根据给定条件结合正余定理计算出边a 的值，再利用面积公式计算作答. （2）由（1）结合余弦定理求出角A ，再利用余弦定理计算作答. (1)在ABC 中，由正弦定理sin sin sin a b cA B C==及sin 3sin sin a A C b B =+得： 223a c b =+，由余弦定理得：2222cos b a c ac B =+-，即222b a c ac =+-，则2223a c a c ac =++-，而5c =，解得8a =，7b =，1sin 2ABC S ac B =△185sin 23π=⨯⨯⨯=所以ABC 的面积是 (2)由（1）及余弦定理得2222227581cos 22757b c a A bc +-+-===⨯⨯，而2DC AD =，则1733AD b ==，在ABD △中，由余弦定理得2222cos BD AD AB AD AB A =+-⋅=22771244()5253379+-⨯⨯⨯=，解得BD =所以BD . 19．(1)证明见解析；(2)14. 【解析】 【分析】（1）连接AM ，证明//DE AM ，再利用线面平行的判定推理作答.（2）利用等体积法求出点B 到平面CDM 的距离，可得点1B 到平面CDM 的距离，再借助线面角的正弦公式计算作答. (1)在直三棱柱111ABC A B C -中，M 为棱1BB 上任意一点，连接AM ，如图，因点D 、E 分别为AC ，CM 的中点，则//DE AM ，而AM ⊂平面11AA B B ，DE ⊄平面11AA B B ，所以//DE 平面11AA B B . (2)直三棱柱111ABC A B C -中，令2AB =，则2BC =，而120ABC ∠=︒，点D 为AC 中点，则有BD AC ⊥，1BD =，CD =12BCDSCD BD =⋅=， 又1BB ⊥平面ABC ，AC ⊂平面ABC ，则1BB AC ⊥，而BD BM B =，,BD BM ⊂平面MBD ，有CD ⊥平面MBD ，DM ⊂平面MBD ，于是得CD MD ⊥，又点M 为1BB 中点，即1MB =，MD =12MCDSCD MD =⋅=B 到平面CDM 的距离为h ，由B MCD M BCD V V --=得： 1133MCD BCD S hS BM ⋅=⋅1=，解得h = 因平面CDM 经过线段1BB 的中点M ，则点1B 到平面CDM 的距离d 等于点B到平面CDM 的距离h ，即d =1B C =1BC 和平面CDM 所成角为θ，则11sin 4d B C θ===，所以直线1B C 和平面CDM 所成角的正弦值为14.20．(1)答案不唯一，具体见解析 (2)证明见解析 【解析】 【分析】（1）首先求出函数的导函数，再对a 分类讨论，分别求出函数的单调区间；（2）首先求出函数的导函数，依题意方程2220x x a -+=有两个正根12,x x ，利用韦达定理得到不等式组，即可求出参数a 的取值范围，从而得到()()122ln222f x f x a a a +=--，再令()12ln22202h a a a a a ⎛⎫=--<< ⎪⎝⎭，利用导数说明函数的单调性，即可得证；(1)解：因为()212ln 2f x x bx a x =++ 当0,2a b a >=--时，所以()()()()222222(0)x a x a x a x a f x x a x x x x-++--=--+==>'， 令()0f x '=，解得x a =或2，当2a >时，则当02x <<或x a >时()0f x '>，当2x a <<时()0f x '<，即函数()f x 在()0,2上单调递增，在()2,a 上单调递减，在(),a +∞上单调递增；当2a =时，()()220x f x x-'=>，故函数()f x 在()0,∞+上单调递增；当02a <<时，当0x a <<或2x >时()0f x '>，当2a x <<时()0f x '<，即函数()f x 在()0,a 上单调递增，在(),2a 上单调递减，在()2,+∞单调递增；(2)证明：当2b =-时，()22222(0)a x x af x x x x x'-+=-+=>．函数()f x 有两个极值点12,,x x ∴方程2220x x a -+=有两个正根12,x x ，12122,20,x x x x a +=⎧∴⎨⋅=>⎩且480a ∆=->，解得10,2a <<，由题意得()()22121112221122ln 22ln 22f x f x x x a x x x a x +=-++-+ ()()()22121212122ln 2x x x x a x x =+-++⋅ ()()()212121212122ln 2x x x x x x a x x =+-⋅-++⋅ 2ln222a a a =--，令()12ln22202h a a a a a ⎛⎫=--<< ⎪⎝⎭．则()()2ln20,h a a y h a <'=∴=在10,2⎛⎫⎪⎝⎭上单调递椷，()132h a h ⎛⎫∴>=- ⎪⎝⎭，()()123f x f x ∴+>-．21．(1)24y x =；(2)存在定点E ，使得||2EQ =，点(0,0)E . 【解析】 【分析】（1）设出点M 的坐标，利用给定条件列式化简作答.（2）设出直线l 的方程，与轨迹C 的方程联立，探求出直线A B '所过定点，再推理计算作答. (1)设圆心(,)M x y|1|x =+，化简整理得：24y x =，所以圆心M 的轨迹C 的方程是：24y x =.依题意，直线l 的斜率存在且不为0，设直线l 的方程为：2x ty =+，1122(,),(,)A x y B x y ，则11(,)A x y '-，12y y ≠-，由抛物线对称性知，点A '在轨迹C 上，直线A B '的斜率为()212122212121444y y y y k y y x x y y --+===---， 直线A B '的方程为：222214()4y y y x y y -=--，化简整理得：1221214y y y x y y y y =---， 由224x ty y x =+⎧⎨=⎩消去x 并整理得：2480y ty --=，则有128y y =-， 直线A B '的方程化为：214(2)y x y y =+-，因此直线A B '恒过定点(2,0)P '-， 因PQ A B '⊥于点Q ，于是得PQP '是直角三角形，且点(0,0)O 是斜边PP '的中点，则恒有1||||22OQ PP '==， 令点(0,0)为E ，从而有||2EQ =，所以存在定点E ，使得||2EQ =为定值，点E 坐标为(0,0). 【点睛】思路点睛：涉及动直线与圆锥曲线相交满足某个条件问题，可设出直线方程，再与圆锥曲线方程联立，利用韦达定理并结合已知推理求解. 22．(1)22143x y +=；椭圆；. 【解析】 【分析】（1）利用极坐标与直角坐标互化公式求出1C 的直角坐标方程，再由方程确定曲线作答. （2）将2C 的参数方程代入1C 的直角坐标方程，利用几何意义计算作答. (1)把222,sin x y y ρρθ=+=代入()223sin 12ρθ+=得：223412x y +=，即22143x y +=， 所以曲线1C 的直角坐标方程是22143x y +=，它是焦点在x 轴上的椭圆.由（1）知，把方程1cos sin x t y t αα=+⎧⎨=⎩代入223412x y +=并整理得：22(4cos )6cos 90t t αα-+-=，设点A 、B 所对参数分别为12,t t ，于是得1226cos 4cos t t αα-+=-，122904cos t t α-=<-， 由直线参数方程的几何意义知：122127||4cos 2PA PB t t α+=-=-=，解得24cos 7α=，而0,2πα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，于是得cos α=所以cos α. 23．(1)1(,1)3； (2)1a 2-<<. 【解析】 【分析】（1）利用分类讨论法解含绝对值的不等式作答.（2）分段讨论去绝对值符号，再结合不等式恒成立列式计算作答. (1)因函数()1f x x =+，()21g x x =-，则()()1|1||21|1f x g x x x ->⇔+-->， 当1x <-时，1211x x --+->，解得3x >，无解， 当112x -≤<时，1211x x ++->，解得13x >，则有1132x <<，当12x ≥时，1211x x +-+>，解得1x <，则有112x ≤<， 综上得：113x <<，所以不等式()()1f x g x ->的解集是1(,1)3. (2)依题意，R x ∀∈，()()22|22||21|2f x g x ax x x ax +>+⇔++->+，当1x ≤-时，3222124x x ax a x ---+>+⇔>--，而34x --在(,1]-∞-上单调递增，当1x =-时，max 3(4)1x--=-，于是得1a >-，当112x -<<时，2221210x x ax ax +-+>+⇔-<，则有110210a a ⎧-≤⎪⎨⎪--≤⎩，解得12a -≤≤，当12x ≥时，1222124x x ax a x ++->+⇔<-+，而14x -+在1[,)2+∞上单调递增，当12x =时，min 1(4)2x-+=，于是得2a <，于是得2a <， 综上得1a 2-<<，所以实数a 的取值范围1a 2-<<.。
助力2020高考 2020年吉林省长春市高考数学二模试卷(理科)
《高中数学教研微信系列群》“助力2020高考”特别奉献备考（纯WORD ）资料—（17）2020年吉林省长春市高考数学二模试卷（理科）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知集合{|(2)0}A x x x =-…，{1B =-，0，1，2，3}，则(A B =I ) A ．{1-，0，3} B ．{0，1} C ．{0，1，2} D ．{0，2，3} 2．若1(1)()z a i a R =+-∈，||2z =，则(a = )A ．0或2B ．0C ．1或2D ．13．下列与函数y x=定义域和单调性都相同的函数是( )A ．22log xy = B ．21log ()2x y = C ．21log y x= D ．14y x =4．已知等差数列{}n a 中，5732a a =，则此数列中一定为0的是( )A ．1aB ．3aC ．8aD ．10a5．若单位向量1e u r ，2e u u r 夹角为60︒，12a e e λ=-u r u u r r ，且||3a =r，则实数(λ= ) A ．1-B ．2C ．0或1-D ．2或1-6．《高中数学课程标准》(2017版）规定了数学直观想象学科的六大核心素养，为了比较甲、乙两名高二学生的数学核心素养水平，现以六大素养为指标对二人进行了测验，根据测验结果绘制了雷达图（如图，每项指标值满分为5分，分值高者为优），则下面叙述正确的是 （注：雷达图()RadarChart ，又可称为戴布拉图、蜘蛛网图()SpiderChart ，可用于对研究对象的多维分析）( )A ．甲的数据分析素养高于乙B ．甲的数学建模素养优于数学抽象素养C ．乙的六大素养中逻辑推理最差D ．乙的六大素养整体水平优于甲7．命题p ：存在实数0x ，对任意实数x ，使得0sin()sin x x x +=-恒成立：:0q a ∀>，()a xf x lna x +=-为奇函数，则下列命题是真命题的是( ) A ．p q ∧ B ．()()p q ⌝∨⌝ C ．()p q ∧⌝ D ．()p q ⌝∧8．在ABC ∆中，30C =︒，2cos 3A =-，152AC ，则AC 边上的高为( )AB ．2 CD9．2020年是脱贫攻坚决战决胜之年，某市为早日实现目标，现将甲、乙、丙、丁4名干部派遣到A 、B 、C 三个贫困县扶贫，要求每个贫困县至少分到一人，则甲被派遣到A 县的分法有( ) A ．6种B ．12种C ．24种D ．36种10．在正方体1111ABCD A B C D -中，点E ，F ，G 分别为棱11A D ，1D D ，11A B 的中点，给出下列命题：①1AC EG ⊥；②//GC ED ；③1B F ⊥平面1BGC ；④EF 和1BB 成角为4π．正确命题的个数是( )A ．0B ．1C ．2D ．311．已知抛物线2:2(0)C y px p =>的焦点为F ，1(2M ，0)y 为该抛物线上一点，以M 为圆心的圆与C 的准线相切于点A ，120AMF ∠=︒，则抛物线方程为( ) A ．22y x = B ．24y x = C ．26y x = D ．28y x = 12．已知11()x x f x e e x --=-+，则不等式()(32)2f x f x +-„的解集是( ) A ．[1，)+∞B ．[0，)+∞C ．(-∞，0]D ．(-∞，1]二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分13．若x ，y 满足约条条件222022x y y x y +⎧⎪-⎨⎪-⎩…„„，则z x y =+的最大值为14．若1205()3a x dx -=⎰，则a = ． 15．已知函数()sin()(0)6f x x πωω=+>在区间[π，2)π上的值小于0恒成立，则ω的取值范围是 ．16．三棱锥A BCD -的顶点都在同一个球面上，满足BD 过球心O，且BD =，三棱锥A BCD -体积的最大值为 ；三棱锥A BCD -体积最大时，平面ABC 截球所得的截面圆的面积为 ．三、解答题：共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22～23题为选考题，考生根据要求作答.17．（12分）2019年入冬时节，长春市民为了迎接2022年北京冬奥会，增强身体素质，积极开展冰上体育锻炼．现从速滑项目中随机选出100名参与者，并由专业的评估机构对他们的锻炼成果进行评估打分（满分为100分）并且认为评分不低于80分的参与者擅长冰上运动，得到如图所示的频率分布直方图：（Ⅰ）求m 的值；（Ⅱ）将选取的100名参与者的性别与是否擅长冰上运动进行统计，请将下列22⨯列联表补充完整，并判断能否在犯错误的概率在不超过0.01的前提下认为擅长冰上运动与性别有 擅长 不擅长 合计 男生 30 女生 50 合计1002()P K x …0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001 k2.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828参考公式及数据：2()()()()K a b c d a c b d =++++，n a b c d =+++．18．（12分）如图，直三棱柱111ABC A B C -中，底面ABC 为等腰直角三角形，AB BC ⊥，124AA AB ==，M ，N 分别为1CC ，1BB 的中点，G 为棱1AA 上一点，若1A B ⊥平面MNG ． （Ⅰ）求线段AG 的长；（Ⅱ）求二面角B MG N --的余弦值．19．（12分）已知数列{}n a 满足，11a =，24a =且*21430()n n n a a a n N ++-+=∈． （Ⅰ）求证：数列1{}n n a a +-为等比数列，并求出数列{}n a 的通项公式； （Ⅱ）设2n n b n a =g ，求数列{}n b 的前n 项和n S ．20．（12分）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左、右顶点分别为A 、B ，焦距为2，点P 为椭圆上异于A 、B 的点，且直线PA 和PB 的斜率之积为34-．（Ⅰ）求C 的方程；（Ⅱ）设直线AP 与y 轴的交点为Q ，过坐标原点O 作//OM AP 交椭圆于点M ，试探究2||||||AP AQ OM g 是否为定值，若是，求出该定值；若不是，请说明理由．21．（12分）已知函数()x f x e =．（Ⅰ）求曲线()y f x =在点(1，f （1）)处的切线方程；（Ⅱ）若对任意的m R ∈，当0x >时，都有21(2())221m f x km x+>-恒成立，求最大的整数k ．（二）选考题：共10分，请考生在22、23题中任选一题作答，如果多做则按所做的第一题计分.[选修4-4：坐标系与参数方程]22．（10分）已知曲线1C 的参数方程为22cos (2sin x y ααα=+⎧⎨=⎩为参数），曲线2C 的参数方程为38cos 4(3sin4x t ty t ππ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩为参数） （Ⅰ）求1C 和2C 的普通方程；（Ⅱ）过坐标原点O 作直线交曲线1C 于点(M M 异于)O ，交曲线2C 于点N ，求||||ON OM 的最小值．[选修4-5：不等式选讲]（10分） 23．已知函数()|1||1|f x ax x =++-． （Ⅰ）若2a =，解关于x 的不等式()9f x <；（Ⅱ）若当0x >时，()1f x >恒成立，求实数a 的取值范围．2020年吉林省长春市高考数学二模试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知集合{|(2)0}A x x x =-„，{1B =-，0，1，2，3}，则(A B =I ) A ．{1-，0，3}B ．{0，1}C ．{0，1，2}D ．{0，2，3}【思路分析】可解出集合A ，然后进行交集的运算即可． 【解析】{|02}A x x =剟；{0A B ∴=I ，1，2}．故选：C ．【归纳与总结】考查描述法、列举法的定义，一元二次不等式的解法，以及交集的运算． 2．若1(1)()z a i a R =+-∈，||z =(a = )A ．0或2B ．0C ．1或2D ．1【思路分析】根据复数求模公式计算即可． 【解析】因为1(1)()z a i a R =+-∈，2||(1)10z a a ∴=-=⇒=或2；故选：A ．【归纳与总结】本题考查了复数求模问题，考查复数的运算，是一道常规题．3．下列与函数y定义域和单调性都相同的函数是( )A ．22log xy = B ．21log ()2x y = C ．21log y x= D ．14y x =【思路分析】可看出，y=在定义域{|0}x x >上单调递减，然后可判断选项A 的函数在定义域{|0}x x >上单调递增，而选项B ，D 的函数的定义域都不是{|0}x x >，从而得出选项A ，B ，D 都错误，只能选C ．【解析】y在定义域{|0}x x >上单调递减，22log x y x ==在定义域{|0}x x >上单调递增，21()2x y log =的定义域为R ，21y log x=在定义域{|0}x x >上单调递减，14y x =的定义域为{|0}x x …．故选：C ．【归纳与总结】本题考查了幂函数、一次函数和对数函数的单调性，对数函数和指数函数的定义域，对数的运算性质，考查了计算能力，属于基础题．4．已知等差数列{}n a 中，5732a a =，则此数列中一定为0的是( ) A ．1aB ．3aC ．8aD ．10a【思路分析】利用等差数列的通项公式即可得出．【解析】Q 等差数列{}n a 中，5732a a =，113(4)2(6)a d a d ∴+=+，化为：10a =． 则此数列中一定为0的是1a ．故选：A ．【归纳与总结】本题考查了等差数列的通项公式，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．5．若单位向量1e u r ，2e u u r 夹角为60︒，12a e e λ=-u r u u r r ，且||a =r，则实数(λ= ) A ．1-B ．2C ．0或1-D ．2或1-【思路分析】根据条件即可求出1212e e =u r u u r g ，然后对12a e e λ=-u r u u r r两边平方，进行数量积的运算即可得出213λλ-+=，解出λ即可．【解析】Q 12||||1e e ==u r u u r ，12,60e e <>=︒u r u u r ，∴1212e e =u r u u r g ，且||3a =r，∴222221122213a e e e e λλλλ=-+=-+=u r u r u u r u u r rg ，解得2λ=或1-．故选：D ．【归纳与总结】本题考查了向量数量积的运算及计算公式，单位向量的定义，考查了计算能力，属于基础题．6．《高中数学课程标准》(2017版）规定了数学直观想象学科的六大核心素养，为了比较甲、乙两名高二学生的数学核心素养水平，现以六大素养为指标对二人进行了测验，根据测验结果绘制了雷达图（如图，每项指标值满分为5分，分值高者为优），则下面叙述正确的是 （注：雷达图()RadarChart ，又可称为戴布拉图、蜘蛛网图()SpiderChart ，可用于对研究对象的多维分析）( )A ．甲的数据分析素养高于乙B ．甲的数学建模素养优于数学抽象素养C ．乙的六大素养中逻辑推理最差D ．乙的六大素养整体水平优于甲【思路分析】先对图表数据进行分析，再结合简单的合情推理逐一检验即可得解． 【解析】对于A 选项，甲的数据分析为3分，乙的数据分析为5分，即甲的数据分析素养低于乙，故选项A 错误，对于B 选项，甲的数学建模素养为3分，数学抽象素养为3分，即甲的数学建模素养与数学抽象素养同一水平，故选项B 错误，对于C 选项，由雷达图可知，乙的六大素养中数学建模、数学抽象、数学运算最差，故选项C 错误，对于D 选项，乙的六大素养中只有数学运算比甲差，其余都由于甲，即乙的六大素养整体水平优于甲，故选项D 正确，故选：D ．【归纳与总结】本题考查了对数据的分析处理能力及进行简单的合情推理，属中档题． 7．命题p ：存在实数0x ，对任意实数x ，使得0sin()sin x x x +=-恒成立：:0q a ∀>，()a xf x lna x +=-为奇函数，则下列命题是真命题的是( ) A ．p q ∧ B ．()()p q ⌝∨⌝ C ．()p q ∧⌝ D ．()p q ⌝∧【思路分析】根据题意，由诱导公式分析可得P 为真命题，分析函数()a xf x ln a x+=-在0a >时的奇偶性，可得q 为真命题；由复合命题的真假判断方法分析可得答案．【解析】根据题意，命题p ：存在实数0x ，对任意实数x ，使得0sin()sin x x x +=-恒成立， 当0x π=时，对任意实数x ，使得sin()sin x x π+=-恒成立，故P 为真命题；命题:0q a ∀>，()a xf x ln a x+=-，有0a x a x +>-，解可得a x a -<<，函数的定义域为(,)a a -，关于原点对称，有()()a x a xf x ln ln f x a x a x++-==-=---，即函数()f x 为奇函数，故其为真命题；则p q ∧为真命题，()()p q ⌝∨⌝、()P q ∧⌝、()p q ⌝∧为假命题；故选：A ． 【归纳与总结】本题考查复合命题真假的判断，涉及全称命题和特称命题的真假的判断，属于基础题．8．在ABC ∆中，30C =︒，2cos 3A =-，152AC =-，则AC 边上的高为( )A ．5B ．2C ．5D ．15【思路分析】先利用平方关系求得sin A ，再由sin sin()ABC A C ∠=+及正弦定理可求得3AB =，最后由等面积法求得AC 边长的高．【解析】Q 2cos ,03A A π=-<<，∴5sin A =，∴5321152sin sin()sin cos cos sin 32ABC A C A C A C -∠=+=+=⨯-⨯=， 由正弦定理有，sin sin AC ABABC C =∠，即15211522AB -=-，解得3AB =， ∴11sin 22AB AC A AC BD ⨯⨯⨯=⨯⨯，即53(152)(152)BD ⨯-⨯=-⨯，∴5BD =，即AC 边上的高为5．故选：C ．【归纳与总结】本题考查三角恒等变换与解三角形的综合运用，涉及了正弦定理，三角形的面积公式等知识点，考查计算能力，属于基础题．9．2020年是脱贫攻坚决战决胜之年，某市为早日实现目标，现将甲、乙、丙、丁4名干部派遣到A 、B 、C 三个贫困县扶贫，要求每个贫困县至少分到一人，则甲被派遣到A 县的分法有( ) A ．6种B ．12种C ．24种D ．36种【思路分析】根据分类计数原理，分两类，若甲单独被派遣到A 县，若若甲不单独被派遣到A 县，问题得以解决．【解析】若甲单独被派遣到A 县，则有22326C A =种， 若若甲不单独被派遣到A 县，则有336A =种，故根据分类计数原理可得，共有6612+=种，故选：B ． 【归纳与总结】本题考查了分类计数原理，属于基础题．10．在正方体1111ABCD A B C D -中，点E ，F ，G 分别为棱11A D ，1D D ，11A B 的中点，给出下列命题：①1AC EG ⊥；②//GC ED ；③1B F ⊥平面1BGC ；④EF 和1BB 成角为4π．正确命题的个数是( ) A ．0B ．1C ．2D ．3【思路分析】如图对于①，连接1A C ，11B D ，可得11//EG D B ，又1CA ⊥平面EFG ，即可判断出正误． 对于②，取11B C 的中点M ，连接CM ，EM ，可得四边形CDEM 为平行四边形，进而判断出正误；③由于1B F 与11B C 不垂直，11//B C BC ，可得1B F 与BC 不垂直，即可判断出正误．④由于11//D D B B ，EF 和1DD 所角为4π．即可判断出正误．【解析】如图对于①，连接1A C ，11B D ，则11//EG D B ，而1CA ⊥平面EFG ，所以1AC EG ⊥；故①正确； 对于②，取11B C 的中点M ，连接CM ，EM ，可得四边形CDEM 为平行四边形，//CM ED ∴，因此//GC ED 不正确；③由于1B F 与11B C 不垂直，11//B C BC ，1B F ∴与BC 不垂直，因此1B F ⊥平面1BGC 不成立．④11//D D B B Q ，EF 和1DD 所角为4π．EF ∴和1BB 成角为4π．正确．正确命题的个数是2．故选：C ．【归纳与总结】本题考查了空间位置关系、平行与垂直的判定与性质、简易逻辑的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．11．已知抛物线2:2(0)C y px p =>的焦点为F ，1(2M ，0)y 为该抛物线上一点，以M 为圆心的圆与C 的准线相切于点A ，120AMF ∠=︒，则抛物线方程为( )A ．22y x =B ．24y x =C ．26y x =D ．28y x =【思路分析】根据抛物线的定义和三角形的性质即可求出．【解析】1(2M ，0)y 为该抛物线上一点，以M 为圆心的圆与C 的准线相切于点A ，过点M 作MB x ⊥轴，1||||22p MA MF ∴==+，1||22p BF =-120AMF ∠=︒Q ，30BMF ∴∠=︒，2||||BF MF ∴=，112()2222p p∴-=+，解得3p =， ∴抛物线方程为26y x =，故选：C ．【归纳与总结】本题考查抛物线的定义，利用抛物线的定义进行线段的转化是关键． 12．已知11()x x f x e e x --=-+，则不等式()(32)2f x f x +-„的解集是( ) A ．[1，)+∞B ．[0，)+∞C ．(-∞，0]D ．(-∞，1]【思路分析】观察11()x x f x e e x --=-+，可得()(2)2f x f x +-=，于是()(32)2f x f x +-„等价转化为()(32)()(2)f x f x f x f x +-+-„，即(32)(2)f x f x --„，再分析()f x 的单调性，脱“f ”即可求得答案．【解析】11()x x f x e e x --=-+Q ①，(2)11(2)11(2)(2)2x x x x f x e e x e e x ------∴-=-+-=-+-②， ①+②得：()(2)2f x f x +-=，()(32)2()(32)()(2)f x f x f x f x f x f x ∴+-⇔+-+-剟，(32)(2)f x f x ∴--„③，又11()10x x f x e e --'=++>恒成立，11()x x f x e e x --∴=-+为R 上的增函数，∴③式可化为：322x x --„，解得：1x …，故选：A ．【归纳与总结】本题考查利用导数研究函数的单调性，分析出()(2)2f x f x +-=是关键，考查观察与推理、运算能力，涉及等价转化思想的运用，属于难题． 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分13．若x ，y 满足约条条件222022x y y x y +⎧⎪-⎨⎪-⎩…„„，则z x y =+的最大值为 4【思路分析】由约束条件作出可行域，数形结合得到最优解，求出最优解的坐标，代入目标函数得答案．【解析】由x ，y 满足约条条件222022x y y x y +⎧⎪-⎨⎪-⎩…„„作出可行域如图：化目标函数z x y =+为y x z =-+，由图可知，当直线y x z =-+过A 时，z 取得最大值，由222y x y =⎧⎨-=⎩，解得(2,2)A 时，目标函数有最大值为4z =．故答案为：4．【归纳与总结】本题考查了简单的线性规划，考查了数形结合的解题思想方法，是中档题．14．若1205()3a x dx -=⎰，则a = 2 ．【思路分析】直接利用定积分知识的应用和被积函数的原函数的求法和应用求出结果．【解析】1205()3a x dx -=⎰，整理得1213100015()||33a x dx ax x -=-=⎰，所以1533a -=，解得2a =． 故答案为：2【归纳与总结】本题考查的知识要点：定积分知识的应用，被积函数的原函数的求法和应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型．15．已知函数()sin()(0)6f x x πωω=+>在区间[π，2)π上的值小于0恒成立，则ω的取值范围是 5(6，11]12 ．【思路分析】由题意可得，[66x ππωωπ+∈+，2)6πωπ+，由此求得ω的取值范围．【解析】Q 函数()sin()(0)6f x x πωω=+>在区间[π，2)π上的值小于0恒成立，故()f x 的最大值小于零． 当[x π∈，2)π，[66x ππωωπ+∈+，2)6πωπ+，6πωππ∴+>，且226πωππ+„，求得511612ω<„，故答案为：5(6，11]12．【归纳与总结】本题主要考查正弦函数的定义域和值域，函数的恒成立问题，属于基础题． 16．三棱锥A BCD -的顶点都在同一个球面上，满足BD 过球心O ，且22BD =，三棱锥A BCD -体积的最大值为223；三棱锥A BCD -体积最大时，平面ABC 截球所得的截面圆的面积为 ．【思路分析】由于BD 过球心，所以可得90BAD BCD ∠=∠=︒，AO ⊥面BCD ，所以当BC CD =时体积最大，这时三角形ABC 为等边三角形，故求出外接圆的半径，进而求出面积．【解析】当BD 过球心，所以90BAD BCD ∠=∠=︒，所以AO ⊥面BCD ，1132A BCD V BC CD OA -=g g g ，当BC CD =时体积最大，因为22BD =，2OA =，所以2BC CD ==，所以最大体积为：112222232=g g g g ；三棱锥A BCD -体积最大时，三角形ABC 中，222AB AC OC OA BC ==+==，设三角形ABC 的外接圆半径为r ，则23r =，所以3r =，所以外接圆的面积为243S r ππ==，故答案分别为：22，43π．【归纳与总结】本题考查平面的基本性质及其外接球的半径与棱长的关系，面积公式，属于中档题．三、解答题：共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22～23题为选考题，考生根据要求作答.17．（12分）2019年入冬时节，长春市民为了迎接2022年北京冬奥会，增强身体素质，积极开展冰上体育锻炼．现从速滑项目中随机选出100名参与者，并由专业的评估机构对他们的锻炼成果进行评估打分（满分为100分）并且认为评分不低于80分的参与者擅长冰上运动，得到如图所示的频率分布直方图：（Ⅰ）求m 的值；（Ⅱ）将选取的100名参与者的性别与是否擅长冰上运动进行统计，请将下列22⨯列联表补充完整，并判断能否在犯错误的概率在不超过0.01的前提下认为擅长冰上运动与性别有 擅长 不擅长 合计 男生30女生 50 合计1002()P K x …0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001 k2.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828参考公式及数据：2()()()()K a b c d a c b d =++++，n a b c d =+++．【思路分析】（Ⅰ）由小矩形面积之和为1即可求出m ；（Ⅱ）根据频率分布直方图先求出擅长冰上运动的人数，再计算其余人数，然后根据公式求出2K 并与6.635比较，从而得出答案．【解析】（Ⅰ）由图可知，(0.0050.0150.0200.0300.005)101m +++++⨯=， 解得0.025m =； 擅长 不擅长 合计 男性 20 30 50 女性 10 40 50 合计307010024.762 6.635()()()()50503070K a b c d a c b d ==≈<++++⨯⨯⨯，故不能在犯错误的概率在不超过0.01的前提下认为擅长冰上运动与性别有关系． 【归纳与总结】本题主要考查频率分布直方图与独立性检验的应用，属于基础题． 18．（12分）如图，直三棱柱111ABC A B C -中，底面ABC 为等腰直角三角形，AB BC ⊥，124AA AB ==，M ，N 分别为1CC ，1BB 的中点，G 为棱1AA 上一点，若1A B ⊥平面MNG ． （Ⅰ）求线段AG 的长；（Ⅱ）求二面角B MG N --的余弦值．【思路分析】（Ⅰ）由线面垂直的性质可得1A B GN ⊥，在BNE ∆中可求得BE ，进而得到1A E ，再解△1AGE ，即可求得AG 的长； （Ⅱ）建立空间直角坐标系，求出平面BMG 及平面MNG 的法向量，利用向量的夹角公式即可求得所求余弦值．【解析】（Ⅰ）1A B ⊥Q 平面MNG ，GN 在平面MNG 内，1A B GN ∴⊥， 设1A B 交GN 于点E ，在BNE ∆中，可得145cos 2164BE BN ABN =∠=⨯=+g ， 则114565164A E A B BE =-=+-=， 在△1AGE 中，11165534cos 25A EA G AA B===∠，则1AG =； （Ⅱ）以1B 为坐标原点，1B B ，1B C ，11B A 所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴建立如图所示的空间直角坐标系，则(4B ，0，0)，(2M ，2，0)，(3G ，0，2)，(2N ，0，0)，故(2,2,0),(1,0,2)BM BG =-=-u u u u r u u u r，(0,2,0),(1,0,2)NM NG ==u u u u r u u u r，设平面BMG 的一个法向量为(,,)m x y z =r ，则22020m BM x y m BG x z ⎧=-+=⎪⎨=-+=⎪⎩u u u u r r g u u u rr g ，可取(2,2,1)m =r ， 设平面MNG 的一个法向量为(,,)n a b c =r ，则2020n NM b n NG a c ⎧==⎪⎨=+=⎪⎩u u u u r r g u u u rr g ，可取(2,0,1)n =-r ， 设二面角B MG N --的平面角为θ，则5|cos ||cos ,|||||||m n m n m n θ=<>==r r g r rr r ，∴二面角B MG N --的余弦值为5．【归纳与总结】本题考查空间中线线，线面，面面间的位置关系，考查利用空间向量求解二面角问题，考查推理能力及计算能力，属于基础题．19．（12分）已知数列{}n a 满足，11a =，24a =且*21430()n n n a a a n N ++-+=∈． （Ⅰ）求证：数列1{}n n a a +-为等比数列，并求出数列{}n a 的通项公式；（Ⅱ）设2n n b n a =g ，求数列{}n b 的前n 项和n S ．【思路分析】本题第（Ⅰ）题将递推式进行转化可得到2113()n n n n a a a a +++-=-，则数列1{}n n a a +-是以3为首项，3为公比的等比数列．然后计算出数列1{}n n a a +-的通项公式，再应用累加法可计算出数列{}n a 的通项公式；第（Ⅱ）题先根据第（Ⅰ）题的结果可计算出数列{}n b 的通项公式3n n b n n =-g．构造数列{}n c ：令3n n c n =g ．设数列{}n c 的前n 项和为n T ，可运用错位相减法计算出数列{}n c 的前n 项和为n T ，最后运用分组求和法计算出数列{}n b 的前n 项和n S ．【解答】（Ⅰ）证明：依题意，由21430n n n a a a ++-+=，可得 2143n n n a a a ++=-，则2111333()n n n n n n a a a a a a ++++-=-=-． 21413a a -=-=Q ，∴数列1{}n n a a +-是以3为首项，3为公比的等比数列．11333n n n n a a -+∴-==g ，*n N ∈． 由上式可得，1213a a -=，2323a a -=，g gg113n n n a a ---=，各项相加，可得：11211331333331322n n n n a a ---=++⋯+==--g ，113131331(31)22222n n nn a a ∴=-+=-+=-g g g ，*n N ∈．（Ⅱ）由（Ⅰ）知，122(31)32nn n n b n a n n n ==-=-g g g g ．构造数列{}n c ：令3n n c n =g． 设数列{}n c 的前n 项和为n T ，则1231231323333n n n T c c c c n =+++⋯+=+++⋯+g g g g ， 2331323(1)33n n n T n n =++⋯+-+g g g g ， 两式相减，可得：112333233233333331322n nnn n n n T n n +---=+++⋯+-=-=---g g g ，233344n n n T -∴=+g ．故12n n S b b b =++⋯+12(1)(2)()n c c c n =-+-+⋯+- 12()(12)n c c c n =++⋯+-++⋯+(1)2n n n T +=-22331134422n n n n -=+--g ．【归纳与总结】本题主要考查数列由递推公式推导出通项公式，以及运用错位相减法和分组求和法求前n 项和．考查了转化与化归思想，构造法，等比数列的通项公式和求和公式，逻辑推理能力和数学运算能力．本题属中档题．20．（12分）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左、右顶点分别为A 、B ，焦距为2，点P 为椭圆上异于A 、B 的点，且直线PA 和PB 的斜率之积为34-．（Ⅰ）求C 的方程；（Ⅱ）设直线AP 与y 轴的交点为Q ，过坐标原点O 作//OM AP 交椭圆于点M ，试探究2||||||AP AQ OM g 是否为定值，若是，求出该定值；若不是，请说明理由．【思路分析】（Ⅰ）设P 的坐标，由离心率及直线PA 和PB 的斜率之积为34-．P 点代入椭圆的方程，再由a ，b ，c 之间的关系求出a ，b 进而求出椭圆的方程； （Ⅱ）设直线AP 的方程，与椭圆联立求出P 的纵坐标，代入直线方程进而求出横坐标，即求出P 的坐标，再由椭圆令直线的0x =求出Q 的纵坐标，进而求出||||AP AQ 之积，有题意设直线OM 的方程与椭圆联立求出M 的坐标，进而求出2||OM ，进而求出2||||||AP AQ OM g 为定值【解析】（Ⅰ）有题意可得22c =，即1c =，(,0)A a -，(,0)B a ，设(,)P x y ，由直线PA 和PB 的斜率之积为34-可得34y y x a x a =-+-g ，即22234y x a =--， 而P 在椭圆上，所以22221(0)x y a b a b +=>>，22222222(1)()x b y b x a a a=-=--g ，所以2234b a =，而222b ac =-可得：24a =，23b =，所以椭圆的方程为：22143x y +=；（Ⅱ）设直线AP 的方程为：2x my =-，联立与椭圆的方程：22234120x my x y =-⎧⎨+-=⎩，整理可得22(43)120m y my +-=， 所以21243P m y y m +=+，所以21243P my m =+，226843P m x m -=+，所以||AP ==，在2x my =-中，令0x =，2y m =，即2(0,)Q m，所以||AQ =所以221||||643m AP AQ m +=+g ，有题意设OM 的方程为：x my =，代入椭圆中可得22(43)12m y +=，所以221243M y m =+，所以2221243Mm x m =+，所以2222212(1)||43M M m OM x y m +=+=+，所以222226(1)||||614312(1)||12243m AP AQ m m OM m ++===++g 为定值． 【归纳与总结】本题考查求椭圆的方程及直线与椭圆的综合和两点间的距离公式，属于中档题．21．（12分）已知函数()x f x e =．（Ⅰ）求曲线()y f x =在点(1，f （1）)处的切线方程；（Ⅱ）若对任意的m R ∈，当0x >时，都有21(2())1m f x x+>-恒成立，求最大的整数k ．【思路分析】()I 先对函数求导，然后结合导数的几何意义可求切线的斜率，进而可求切线方程；()II 由已知对m 分类讨论，当0m =时，显然成立，当0m ≠时，原不等式可化为12()f x x +>，然后构造函数11()2()2xh x f x e x x=+=+，结合导数及函数的性质可求()h x 最小值的范围，可求． 【解析】()()x I f x e '=，则曲线()y f x =在点(1，f （1）)处的切线斜率k f ='（1）e =，又f （1）e =， 故曲线()y f x =在点(1，f （1）)处的切线方程(1)y e e x -=-即y ex =，()II因为21(2())1m f x x+>-恒成立，当0m =时，显然成立，当0m ≠时，不等式可化为12()f x x +>， 令11()2()2x h x f x e x x =+=+，则21()2x h x e x'=-，因为21()2x h x e x '=-在(0,)+∞上单调递增，且1()402h '=<，2330h '=->>，故存在01(2x ∈使得00201()20x h x e x '=-=当0(0,)x x ∈时，()0h x '<，函数单调递减，当0(x x ∈，)+∞时，()0h x '>，函数单调递增，故当0x x =时，函数取得最小值002000111()2x h x e x x x =+=+，令01t x =∈，则0202000111()2(3x h x e t t x x x =+=+=+∈+，将()h x 的最小值记为a ，则(3a ∈+．因此原式需要满足a >即210am -+>恒成立， 又0a >，可知△840k a =-<即可，即12k a <，且(3a ∈+．故k 可以取得的最大整数为2．【归纳与总结】本题主要考查了导数的几何意义的应用及利用导数及函数的性质求解由不等式恒成立求解参数范围 问题，体现了转化思想及分类讨论思想的应用．（二）选考题：共10分，请考生在22、23题中任选一题作答，如果多做则按所做的第一题计分.[选修4-4：坐标系与参数方程]22．（10分）已知曲线1C 的参数方程为22cos (2sin x y ααα=+⎧⎨=⎩为参数），曲线2C 的参数方程为38cos 4(3sin4x t ty t ππ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩为参数） （Ⅰ）求1C 和2C 的普通方程；（Ⅱ）过坐标原点O 作直线交曲线1C 于点(M M 异于)O ，交曲线2C 于点N ，求||||ON OM 的最小值．【思路分析】（Ⅰ）由22cos (2sin x y ααα=+⎧⎨=⎩为参数），消去参数α，可得1C 的参数方程；化38cos 43sin 4x t y t ππ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩为8x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，消去参数t ，可得2C 的普通方程； （Ⅱ）分别写出圆1C 的极坐标方程与直线2C 的极坐标方程，设过坐标原点且与两曲线相交的直线方程为()42ππθαα=-<<，可得8|||cos sin |||4|cos |ON OM ααα+=，整理后利用三角函数求最值．【解析】（Ⅰ）由22cos (2sin x y ααα=+⎧⎨=⎩为参数），消去参数α，可得1C 的参数方程为22(2)4x y -+=；由38cos 4(3sin 4x t t y t ππ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩为参数），得8x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，消去参数t ，可得2C 的普通方程为8x y +=；（Ⅱ）如图，圆1C 的极坐标方程为4cos ρθ=，直线2C 的极坐标方程为cos sin 8ρθρθ+=， 即8cos sin ρθθ=+，设过坐标原点且与两曲线相交的直线方程为()42ππθαα=-<<，则28||244|cos sin |||4|cos||sin cos ||sin 2cos 21||2sin(2)1|4ON OM cos ααπααααααα+====+++++． Q 42ππα-<<，∴52444πππα-<+<．∴|2sin(2)1|[1,12]4πα++∈+，则||||ON OM 的最小值为4(21)21=-+．【归纳与总结】本题考查简单曲线的极坐标方程，考查参数方程化普通方程，训练了利用三角函数求最值，考查计算能力，是中档题． [选修4-5：不等式选讲]（10分） 23．已知函数()|1||1|f x ax x =++-． （Ⅰ）若2a =，解关于x 的不等式()9f x <；（Ⅱ）若当0x >时，()1f x >恒成立，求实数a 的取值范围．【思路分析】（Ⅰ）当2a =时，()|21||1|f x x x =++-，由绝对值的意义，去绝对值符号，解不等式，求并集，可得所求解集；（Ⅱ）由题意可得1()min f x <，(0)x >，讨论0a =，0a <，0a >，结合绝对值不等式的性质，可得所求范围．【解析】（Ⅰ）当2a =时，3,11()|21||1|2,1213,2x x f x x x x x x x ⎧⎪>⎪⎪=++-=+-⎨⎪⎪-<-⎪⎩剟，则()9f x <等价为139x x >⎧⎨<⎩或11229x x ⎧-⎪⎨⎪+<⎩剟或1239x x ⎧<-⎪⎨⎪-<⎩，解得13x <<或112x -剟或132x -<<-， 综上可得原不等式的解集为(3,3)-；（Ⅱ）当0x >时，()1f x >恒成立，即为1()min f x <，当0a =时，()|1|f x x =-，其最小值为f （1）0=，不符题意； 当a <，即0a ->时，111()|1||1||||1|(1)||(|1|||)f x ax x a x x a x x x a a a=++-=-++-=--++-++，当10a --…，()f x 有最小值，且为1|1|a +，又1|1|1a+>不恒成立；当0a >，0x >时，()1|1f x ax x =++-的最小值为f （1）1|1a =+>恒成立， 综上可得，a 的范围是(0,)+∞．【归纳与总结】本题考查绝对值不等式的解法和不等式恒成立问题解法，考查分类讨论思想和转化思想，以及化简运算能力、推理能力，属于中档题．————————————————————————————————————《初、高中数学教研微信系列群》简介：目前有8个群（7个高中群、1个初中群），共3000多大学教授、教师、中学优秀、特、高级教师，省、市、区县教研员、教辅公司数学编辑、报刊杂志初、高中数学编辑等汇聚而成，是一个围绕初、高中数学教学研究展开教研活动的微信群. 宗旨：脚踏实地、不口号、不花哨、接地气的高中数学教研！ 特别说明：1.本系列群只探讨初、高中数学教学研究、数学试题研究等相关话题；2.由于本群是集“研究—写作—发表（出版）”于一体的“桥梁”，涉及业务合作，特强调真诚交流，入群后立即群名片： 教师格式：省+市+真实姓名，如：四川成都张三 编辑格式：公司或者刊物（简写）+真实姓名欢迎各位老师邀请你身边热爱初、高中数学教研（不喜欢研究的谢绝）的教师好友（学生谢绝）加入，大家共同研究，共同提高！ 群主二维码：见右图————————————————————————————————————附:《高中数学教研微信系列群》 “助力2020高考”特别奉献备考 （纯WORD ）资料 已分享目录——（1）2020上海市春季高考数学试卷(精美纯WORD 版全详解)（2）2020年广东省广州市天河区高考数学一模试卷（理科）(精美纯WORD 版全详解) （3）2020年河南省郑州市高考数学一模试卷（理科）(精美纯WORD 版全详解) （4）2020年四川省成都七中高考数学一诊试卷（理科）(精美纯WORD 版全详解) （5）2020年安徽省合肥市高考数学一模试卷（理科）(精美纯WORD 版全详解) （6）2020年辽宁省沈阳市高考数学一模试卷（理科）(精美纯WORD 版全详解) （7）2020年湖北省武汉市高三三月调考数学试卷（理科）(精美纯WORD 版全详解) （8）2020年广东省深圳市高考数学一模试卷（理科）(精美纯WORD 版全详解) （9）2020年广西高考数学一诊试卷（理科）(精美纯WORD 版全详解) （10）2020年安徽省合肥市数学一模试卷（文科）(精美纯WORD 版全详解)（11）2020年山东省新高考数学模拟试卷（十二）(精美纯WORD版全详解)（12）2020年宁夏六盘山高中高考数学模拟试卷（理科）（4月份）(精美纯WORD版全详解)（13）2020年广东省深圳市高考数学二模试卷（文科）(精美纯WORD版全详解) （14）2020年山西省大同市高考数学模拟试卷（文科）（4月份）(精美纯WORD版全详解)（15）2020年广东省深圳市高考数学二模试卷（理科）(精美纯WORD版全详解) （16）2020年新疆高考数学模拟试卷（文科）（问卷）（4月份）(精美纯WORD版全详解)（17）2020年吉林省长春市高考数学二模试卷（理科）(精美纯WORD版全详解)不断更新中.......。
长春市数学高考理数真题试卷(新课标Ⅱ卷)B卷
长春市数学高考理数真题试卷（新课标Ⅱ卷）B卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、选择题：在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 (共12题；共24分)1. （2分） (2018高一上·长春月考) 若，则函数（）A . 有最小值，无最大值B . 有最小值，最大值1C . 有最小值1，最大值D . 无最小值，也无最大值2. （2分）(2017·成安模拟) 已知复数为纯虚数，那么实数a的值为（）A . ﹣1B . 0C . 1D . 23. （2分） (2019高一下·佛山月考) 已知等比数列中，有，数列是等差数列，其前项和为，且，则（）A . 26B . 52C . 78D . 1044. （2分） (2015高二上·西宁期末) 对于平面α，β，γ和直线a，b，m，n，下列命题中真命题是（）A . 若α∥β，α∩γ=a，β∩γ=b，则a∥bB . 若a∥b，b⊂α，则a∥αC . 若a⊂β，b⊂β，a∥α，b∥α，则β∥αD . 若a⊥m，a⊥n，m⊂α，n⊂α，则a⊥α5. （2分）的展开式中，x4的系数为（）A . －40B . 10C . 40D . 456. （2分）根据如图所示的程序，当输入a，b分别为2，3时，最后输出的m的值是（）A . 0B . 2C . 3D . 17. （2分） (2016高一下·黔东南期末) 已知某几何体的正（主）视图，侧（左）视图和俯视图均为边长为1的正方形（如图），若该几何体的顶点都在同一球面上，则此球的表面积为（）A . 4πB . 3πC . 2πD . π8. （2分） (2017高一下·怀远期中) 已知a＞b＞0，则下列结论中不正确的是（）A . ＜B . ＞C . ＜D . log0.3 ＜log0.39. （2分）(2017·万载模拟) 在区间[0，2]上任取两个实数a，b，则函数f（x）=x3+ax﹣b在区间[﹣1，1]上有且只有一个零点的概率是（）A .B .C .D .10. （2分） (2015高二下·和平期中) 若函数f（x）=x3﹣3ax+1在区间（0，1）内有极小值，则a的取值范围是（）A . （0，1）B . （0，1]C . [0，1）D . [0，1]11. （2分） (2017高二上·南宁月考) 已知抛物线上一点到焦点的距离为5，则的面积为（）A . 1B . 2C . 3D . 412. （2分）已知直线与圆相切，且与直线平行，则直线的方程是（）A .B . 或C .D . 或二、填空题 (共4题；共5分)13. （2分）在等腰梯形ABCD中，已知AB∥CD，AB=4，BC=2，∠ABC=60°，动点E和F分别在线段BC和DC 上，且=λ，=，则•当λ=________时有最小值为________14. （1分） (2017高一下·衡水期末) 一个均匀的正四面体的表面上分别标有数字1，2，3，4，现随机投掷两次，得到朝下的面上的数字分别为a，b，若方程x2﹣ax﹣b=0至少有一根m∈{1，2，3，4}，就称该方程为“漂亮方程”，则方程为“漂亮方程”的概率为________．15. （1分） (2020高一上·铜仁期末) 已知，则 ________.16. （1分） (2016高三上·承德期中) 已知等差数列{an}满足：，且它的前n项和Sn有最大值，则当Sn取到最小正值时，n=________．三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤： (共8题；共75分)17. （10分） (2018高二上·南宁月考) 在中，内角所对的边分别为，已知.（1）求角的大小；（2）若，求的值.18. （5分） (2017高二上·信阳期末) 已知直棱柱ABC﹣A1B1C1中，AC=BC=CC1= AB，E是线段CC1的中点，连接AE，B1E，AB1 ， B1C，BC1 ，得到的图形如图所示．（Ⅰ）证明BC1⊥平面AB1C；（Ⅱ）求二面角E﹣AB1﹣C的大小．19. （5分）(2017·石家庄模拟) 某篮球队对篮球运动员的篮球技能进行统计研究，针对篮球运动员在投篮命中时，运动员在篮筐中心的水平距离这项指标，对某运动员进行了若干场次的统计，依据统计结果绘制如下频率分布直方图：（Ⅰ）依据频率分布直方图估算该运动员投篮命中时，他到篮筐中心的水平距离的中位数；（Ⅱ）在某场比赛中，考察他前4次投篮命中到篮筐中心的水平距离的情况，并且规定：运动员投篮命中时，他到篮筐中心的水平距离不少于4米的记1分，否则扣掉1分．用随机变量X表示第4次投篮后的总分，将频率视为概率，求X的分布列和数学期望．20. （10分） (2016高二上·大连期中) 已知椭圆的焦点在x轴上，短轴长为4，离心率为．（1）求椭圆的标准方程；（2）若直线l过该椭圆的左焦点，交椭圆于M、N两点，且，求直线l的方程．21. （10分）(2018·广安模拟) 已知函数（为自然对数的底数）（1）讨论函数的单调性；（2）当且时，在上为减函数，求实数的最小值.22. （15分）如图所示，BC 为⊙O 的直径，，以点 A 为切点的切线与 CD 的延长线交于点E（1）∠AED 是否等于90°？为什么？（2）若 AD=2 ，ED：EA=1：2，求⊙O的半径；（3）在（2）的条件下，求∠CAD的正弦值．23. （10分） (2016高三上·闽侯期中) 已知在直角坐标系xOy中，圆C的参数方程为（θ为参数），以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为．（1）求圆C的普通方程和直线l的直角坐标方程；（2）设M是直线l上任意一点，过M做圆C切线，切点为A、B，求四边形AMBC面积的最小值．24. （10分） (2017高二下·赤峰期末) 已知函数是自然对数的底数， .（1）求函数的单调递增区间；（2）若为整数，，且当时，恒成立，其中为的导函数，求的最大值.参考答案一、选择题：在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 (共12题；共24分) 1-1、2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、7-1、8-1、9-1、10-1、11-1、12-1、二、填空题 (共4题；共5分)13-1、14-1、15-1、16-1、三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤： (共8题；共75分) 17-1、17-2、18-1、19-1、20-1、20-2、21-1、21-2、22-1、22-2、22-3、23-1、23-2、24-1、24-2、。
吉林省长春市届高三第二次模拟考试数学试题(理)含答案
吉林省长春市届高三第二次模拟考试数学试题（理）含答案长春市普通高中2017届高三质量检测（二）数学试卷（理科）一选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每个小题给出的四个选项中，有且只有一项符合题目要求.1.已知集合{}{}0,1,2,|2,x A B y y x A ===∈，则A B =A. {}0,1,2B. {}1,2C. {}1,2,4D. {}1,42.已知复数1z i =+，则下列命题中正确的是.①2z = ②1z i =- ； .③z 的虚部为i ； ④z 在复平面上对应的点位于第一象限.A. 1B. 2C. 3D. 43.下列函数中，既是奇函数又在上单调递增的函数是A. B. C. D.4.圆()2224x y -+=关于直线3y x =对称的圆的方程是 A. (()22314x y -+-= B. ((22224x y +=C. ()2224x y +-=D. ()(22134x y -+= 5.堑堵，我国古代数学名词，其三视图如图所示.《九章算术》中有如下问题：“今有堑堵，下广二丈，表一十八丈六尺，高二丈五尺，问积几何？”意思是说：“今有堑堵，底面宽为2丈，长为18丈6尺，高为2丈5尺，问它的体积是多少？”（注：一丈=十尺），答案是A. 25500立方尺B. 34300立方尺C. 46500立方尺D. 48100立方尺6.在ABC ∆中，D 为三角形所在平面内一点，且1132AD AB AC =+，则BCD ABD S S ∆∆= A.16 B. 13 C. 12 D.23 7.运行如图所示的程序框图，则输出结果为A. 1008B. 1009C. 2016D. 20178.关于函数2sin 314y x π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，下列叙述有误的是 A. 其图象关于直线4x π=-对称 B. 其图像可由2sin 14y x π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭图象上所有点横坐标变为原来的13倍得到 C. 其图像关于点11,012π⎛⎫ ⎪⎝⎭对称 D.其值域为[]1,3-9.右图是民航部门统计的2017年春运期间十二个城市售出的往返机票的平均价格以及相比去年同期变化幅度的数据统计图表，根据图表，下面叙述不正确的是A. 深圳的变化幅度最小，北京的平均价格最高B. 深圳和厦门的春运期间往返机票价格同去年相比有所下降C. 平均价格从高到低居于前三位的城市为北京、深圳、广州D. 平均价格变化量从高到低居于前三位的城市为天津、西安、厦门10.如图，扇形AOB 的圆心角为120，点P 在弦AB 上，且13AP AB =，延长OP 交弧AB 于点C ，现向扇形AOB 内投一点，则该点落在扇形AOC 内的概率为A. 14B. 13C. 27D. 3811.双曲线C 的渐近线方程为23y x =，一个焦点为(0,7F -，点)2,0A ，点P 为双曲线第一象限内的点，则当点P 的位置变化时，PAF ∆周长的最小值为A. 8B. 10C.437+ D. 3317+12.已知定义域为R 的函数()f x 的图象经过点()1,1，且对x R ∀∈,都有()2f x '>-，则不等式()2log 2313log 31x x f ⎡⎤⎡⎤-<--⎣⎦⎣⎦的解集为 A.()(),00,1-∞ B. ()0,+∞ C. ()()1,00,3- D.(),1-∞二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分. 13.11e x dx x ⎛⎫+= ⎪⎝⎭⎰ . 14. 将1,2,3,4…正整数按如图所示的方式排成三角形数组，则第10行左数第10个数为 .15. 某班主任准备请2016年毕业生作报告，要从甲、乙等8人中选4人发言，要求甲、乙两人至少一人参加，若甲、乙同时参加，则他们发言中间恰好间隔一人，那么不同的发言顺序共有 （种）.（用数字作答）16.已知四棱锥P ABCD -的底面为矩形，平面PBC ⊥平面ABCD ，PE BC ⊥于点E ，1,6,3,2EC AB BC PE ====，则四棱锥P ABCD -的外接球半径为 .三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出必要的文字说明或推理、验算过程. 17.（本题满分12分）已知数列{}na 满足()113,31.2n n a a a n N *+==-∈ （1）若数列{}nb 满足12n n ba =-，求证：{}nb 是等比数列； （2）若数列{}n c 满足312log ,n n n n c a T c c c ==+++，求证：()1.2n n n T ->18.（本题满分12分）为了打好脱贫攻坚战，某贫困县农科院针对玉米种植情况进行调研，力争有效的改良玉米品种，为农民提供技术支.现对已选出的一组玉米的茎高进行统计，获得茎叶图如右图（单位：厘米），设茎高大于或等于180厘米的玉米为高茎玉米，否则为矮茎玉米.（1）完成22⨯列联表，并判断是否可以在犯错误的概率不超过1%的前提下，认为抗倒伏与玉米矮茎有关？（2）①按照分层抽样的方式，在上述样本中，从易倒伏和抗倒伏两组中抽取9株玉米，设取出的易倒伏矮茎玉米株数为X，求X的分布列（概率用组合数算式表示）；②若将频率视为概率，从抗倒伏的玉米试验田中再随机抽取出50株，求取出的高茎玉米株数的数学期望和方差.19.（本题满分12分）已知三棱锥A BCD∆是等腰-中，ABC直角三角形，且,2,⊥=⊥平面AC BC BC ADBCD AD=, 1.（1）求证：平面ABC⊥平面ACD；（2）若E为AB的中点，求二面角A CE D--的余弦值.20.（本题满分12分）已知抛物线()2:20C y px p =>与直线240x +=相切.（1）求该抛物线的方程；（2）在x 轴的正半轴上，是否存在某个确定的点M,过该点的动直线l 与抛物线C 交于A,B 两点，使得2211AM BM +为定值.如果存在，求出点M 的坐标；如果不存在，请说明理由.21.（本题满分12分）已知函数()()211ln ,.2f x x a x a x a R =+--∈（1）若()f x 存在极值点1，求a 的值；（2）若()f x 存在两个不同的零点12,x x ，求证：12 2.x x +>请考生在第22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按照所做的第一题计分.22.（本题满分10分）选修4-4：极坐标与参数方程在平面直角坐标系xoy 中，以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系.曲线1C 的极坐标方程为()223sin 12ρθ+=，曲线2C 的参数方程为1cos sin x t y t αα=+⎧⎨=⎩（t 为参数）,0,.2πα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭（1）求曲线1C 的直角坐标方程，并判断该曲线是什么曲线；（2）设曲线2C 与曲线1C 的交点为A,B ，()1,0P ,当72PA PB +=时，求cos α的值.23.（本题满分10分）选修4-5：不等式选讲（1）如果关于x 的不等式15x x m ++-≤的解集不是空集，求实数m 的取值范围；（2）若,a b 均为正数，求证：a b b a a ba b ≥.长春市普通高中2017届高三质量监测（二）数学（理科）试题参考答案及评分标准一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）1. B2. C3. D4. D5.C6. B7. A 8. C 9. D 10. A 11.B 12. A简答与提示：1.【命题意图】本题考查集合中元素的计算与交集的运算.【试题解析】B题意可知，{}1,2A B=.B=，{}1,2,4故选B.2.【命题意图】本题考查复数的模、共轭复数、虚部与复数与平面内点的对应关系.【试题解析】C 由已知，①②④正确，③错误.故选C.3.【命题意图】本题考查函数的单调性与奇偶性知识.【试题解析】D A、B选项为偶函数，排除，C选项是奇函数，但在(0,)+∞上不是单调递增函数.故选D.4.【命题意图】本题考查直线与圆的相关知识.【试题解析】D 圆22(2)4-+=x y 的圆心关于直线3=y x 对称的坐标为3)，从而所求圆的方程为22(1)(3)4-+=x y .故选D.5. 【命题意图】本题主要考查空间几何体的体积.【试题解析】C 由已知，堑堵的体积为12018625465002⨯⨯⨯=. 故选C.6. 【命题意图】本题主要考查利用平面向量确定点的位置进而解决平几问题.【试题解析】B 由已知，点D 在AB 边的中位线上，且为靠近BC 边的三等分点处，从而有12ABD ABC S S ∆∆=，13ACDABC SS ∆∆=，111(1)236BCDABC ABCSS S ∆∆∆=--=，有13BCD ABDSS∆∆=.故选B.7. 【命题意图】本题考查直到型循环结构程序框图运算.【试题解析】A 有已知，01234201520161008=-+-++-+=S .故选A.8. 【命题意图】本题考查三角函数的有关性质. 【试题解析】C 由已知，该函数图象关于点11(,1)12π对称.故选C.9. 【命题意图】本题主要考查考试对统计图表的识别.【试题解析】D 由图可知D 错误.故选D. 10. 【命题意图】本题主要考查几何概型. 【试题解析】A 设3=OA ，则33,3==AB AP 弦定理可求得3=OP 有30∠=︒AOP ，所以扇形AOC 的面积为34π，扇形AOB 的面积为3π，从而所求概率为31434ππ=.故选A.11. 【命题意图】本题考查双曲线定义的相关知识.【试题解析】B 由已知双曲线方程为22143-=y x ，设双曲线的上焦点为'F ，则||||4'=+PF PF ，△PAF 的周长为||||||||4||3'++=+++PF PA AF PF PA ，当P 点在第一象限时，||||'+PF PA 的最小值为||3'=AF ，故△PAF 的周长的最小值为10.故选B.12. 【命题意图】本题是考查导数在研究函数单调性上的应用.【试题解析】A 令()()2=+F x f x x ，有()()20''=+>F x f x ，所以()F x 在定义域内单调递增，由1)1(=f ，得(1)(1)23=+=F f ，因为22(log|31|)3log |31|-<--x x f 等价于22(log |31|)2log |31|3-+-<x x f ，令2log|31|=-x t ，有()23+<f t t ，则有1<t ，即2log |31|1-<x ，从而|31|2-<x，解得1,<x 且0≠x . 故选A.二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分） 13. 212+e 14. 91 15.108016. 2 简答与提示：13. 【命题意图】本题考查定积分的求解. 【试题解析】22211111()(ln )12222++=+=+-=⎰eex e e x dx x x .14. 【命题意图】本题考查考生有关数列归纳的相关能力.【试题解析】由三角形数组可推断出，第n 行共有21n -项，且最后一项为2n ，所以第10行共19项，最后一项为100，左数第10个数是91. 15. 【命题意图】本题考查排列组合综合问题. 【试题解析】若甲乙同时参加，有2226222120=CA A 种，若甲乙有一人参与，有134264960=C C A种，从而总共的发言顺序有1080种.16. 【命题意图】本题考查四棱锥的外接球问OO 1F EPDB题.【试题解析】如图，由已知，设三角形PBC 外接圆圆心为1O ，由正弦定理可求出三角形PBC 外接圆半径为102，F 为BC 边中点，进而求出112=O F ，设四棱锥的外接球球心为O ，外接球半径的平方为221()42+=BD O F ，所以四棱锥外接球半径为2.三、解答题17. (本小题满分12分) 【命题意图】本题考查等比数列及利用不等式性质证明与数列前n 项和有关的不等式. 【试题解析】(1) 由题可知*1113()()22N +-=-∈n n a a n ，从而有13+=n nbb ，11112=-=b a ，所以{}nb 是以1为首项，3为公比的等比数列. （6分）(2) 由(1)知13-=n n b ，从而1132-=+n n a ，11331log (3)log 312--=+>=-n n n c n ，有12(1)01212-=+++>+++-=n n n n T c c c n ，所以(1)2->nn n T.（12分）18. (本小题满分12分)【命题意图】本小题主要考查学生对概率统计知识的理解，以及统计案例的相关知识，同时考查学生的数据处理能力.【试题解析】解：(1) 根据统计数据做出22⨯列联表如下：抗倒伏 易倒伏 合计 矮茎 15 4 19 高茎 10 16 26 合计 252045经计算7.287 6.635k ≈>，因此可以在犯错误概率不超过1%的前提下，认为抗倒伏与玉米矮茎有关. （4分） (2) (i) 按照分层抽样的方式抽到的易倒伏玉米共4株，则X 的可能取值为0,1,2,3,4.416420(0)C P X C ==，13416420(1)C C P X C ⋅==，22416420(2)C C P X C ⋅==，31416420(3)C CP X C ==，44420(4)C P X C ==即X 的分布列为：X0 1 2 3 4 P416420C C13416420C C C ⋅22416420C C C ⋅31416420C C C44420C C(ii) 在抗倒伏的玉米样本中，高茎玉米有10株，占25，即每次取出高茎玉米的概率均为25，设取出高茎玉米的株数为ξ，则2(50,)5B ξ，即250205E np ξ==⨯=，23(1)501255D np p ξ=-=⨯⨯=. （12分）19. (本小题满分12分)【命题意图】本题以三棱锥为载体，考查平面与平面垂直，求二面角问题等. 本题考查学生的空间想象能力、推理论证能力和运算求解能力. 【试题解析】（1）证明：因为AD ⊥平面,BCD ⊂BC 平面BCD ，所以⊥AD BC ，又因为,⊥=AC BC ACAD A，所以⊥BC 平面,ACD ⊂BC 平面ABC ，所以平面ABC ⊥平面ACD. （6分）（2）由已知可得3=CD 如图所示建立空间直角坐标系，由已知(0,0,0)C ，(0,2,0)B ，3,0,1)A ，z yxABCDE3,0,0)D ，31,1,)22E .有31()2=CE ，(3,0,1)=CA ，(3,0,0)=CD ，设平面ACE的法向量(,,)=n x y z ，有300,310022⎧+=⎧⋅=⎪⎨⋅=++=⎪⎪⎩⎩x z n CA n CE x y z ，令1=x ，得(1,0,3)=-n ，设平面CED的法向量(,,)=m x y z ，有300,31002⎧=⎧⋅=⎪⎪⎨⎨⋅=++=⎪⎪⎩x m CD m CE x y z ，令1=y ，得(0,1,2)m =-，二面角--A CE D的余弦值||2315cos 5||||25n m n m θ⋅===⋅.（12分）20. (本小题满分12分)【命题意图】本小题考查直线与抛物线的位置关系及标准方程，考查学生的逻辑思维能力和运算求解能力.【试题解析】(1) 联立方程有，22402⎧+=⎪⎨=⎪⎩x y px，有2280-+=y p ，由于直线与抛物线相切，得28320,4∆=-==p p p ，所以28=yx. （4分）(2) 假设存在满足条件的点(,0)(0)>M m m ，直线:=+l x ty m，有28=+⎧⎨=⎩x ty my x，2880--=y ty m ，设1122(,),(,)A x y B x y ，有12128,8+==-y y t y y m，22222111||()(1)AM x m y t y =-+=+，22222222||()(1)BM x m y t y =-+=+，222122222222222212121111114()()||||(1)(1)(1)(1)4y y t mAM BM t y t y t y y t m+++=+==++++，当4=m 时，2211||||AMBM +为定值，所以(4,0)M .（12分） 21. (本小题满分12分)【命题意图】本小题主要考查函数与导数的知识，具体涉及到导数的运算，用导数来研究函数的单调性等，考查学生解决问题的综合能力. 【试题解析】(1)()1'=+--af x x a x，因为()f x 存在极值点为1，所以(1)0'=f ，即220,1-==a a ，经检验符合题意，所以1=a . （4分）(2) ()1(1)(1)(0)'=+--=+->a af x x a x x x x①当0≤a 时，()0'>f x 恒成立，所以()f x 在(0,)+∞上为增函数，不符合题意； ②当0>a 时，由()0'=f x 得=x a ， 当>x a 时，()0'>f x ，所以()f x 为增函数， 当0<<x a 时，()0'<f x ，所()f x 为减函数， 所以当=x a 时，()f x 取得极小值()f a又因为()f x 存在两个不同零点12,x x ，所以()0<f a ，即21(1)ln 02+--<aa a a a整理得1ln 12>-a a ，作()=y f x 关于直线=x a 的对称曲线()(2)=-g x f a x ， 令2()()()(2)()22ln -=-=--=--a x h x g x f x f a x f x a x a x222222()220(2)()a a h x a x x x a a '=-+=-+≥---+所以()h x 在(0,2)a 上单调递增， 不妨设12<<x a x ，则2()()0h x h a >=，即2221()(2)()()=->=g x f a x f x f x ，又因为212(0,),(0,),-∈∈a x a x a 且()f x 在(0,)a 上为减函数，故212-<a x x ，即122+>x xa，又1ln 12>-a a ，易知1>a 成立， 故122+>x x.（12分）22. (本小题满分10分)【命题意图】本小题主要考查极坐标系与参数方程的相关知识，具体涉及到极坐标方程与平面直角坐标方程的互化、把曲线的参数方程和曲线的极坐标方程联立求交点等内容. 本小题考查考生的方程思想与数形结合思想，对运算求解能力有一定要求.【试题解析】 (1) 由22(3sin )12ρθ+=得22143+=x y ，该曲线为椭圆. （5分）（2）将1cos sin x t y t αα=+⎧⎨=⎩代入22143+=x y 得22(4cos )6cos 90t t αα-+-=，由直线参数方程的几何意义，设12||||,||||==PA t PB t ，1226cos ,4cos t t αα-+=- 12294cos t t α-=-，所以21212122127||||||()44cos 2PA PB t tt t t t α+=-=+-==-，从而24cos 7α=，由于(0,)2πα∈，所以7cos 7α=. （10分） 23. (本小题满分10分)【命题意图】本小题主要考查不等式的相关知识，具体涉及到绝对值不等式解法及不等式证明等内容. 本小题重点考查考生的化归与转化思想.【试题解析】 (1) 令24,1|1||5|6,1524,5-+≤-⎧⎪=++-=-<<⎨⎪-≥⎩x x y x x x x x ，可知|1||5|6++-≥x x ，故要使不等式|1||5|++-≤x x m 的解集不是空集，有6≥m . （5分）（2）由,a b 均为正数，则要证≥a bb aa ba b ，只需证1--≥a b b a a b ，整理得()1-≥a bab ，由于当≥a b 时，0-≥a b ，可得()1-≥a bab ，当<a b 时，0-<a b ，可得()1->a bab ，可知,a b 均为正数时()1-≥a b a b，当且仅当=a b 时等号成立，从而≥a b b a a b a b 成立.（10分）。
吉林省长春市普通高中2020届高三质量监测(二)理科数学 (含答案)
长春市高考数学二模试卷(理科)B卷(考试)
长春市高考数学二模试卷（理科）B卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、选择题 (共12题；共24分)1. （2分）已知，则（）A .B .C .D .2. （2分） (2016高三上·嘉兴期末) 已知集合，，则（）A .B .C .D .3. （2分）(2020·达县模拟) 若实数，满足，则的最大值为（）A .B .C .D .4. （2分）程序框图如图所示：如果上述程序运行的结果S=1320，那么判断框中应填入（）A . k<10?B . k≤10?C . k<9?D . k≤11?5. （2分）已知点F1 ， F2是双曲线（a>0,b>0）的左右焦点，点P是双曲线上的一点，且，则△PF1F2面积为（）A .B .C .D .6. （2分） (2018高一下·齐齐哈尔期末) 《张丘建算经》中女子织布问题为：某女子善于织布，一天比一天织得快，且从第2天开始，每天比前一天多织相同量的布，已知第一天织5尺布，一月（按30天计）共织390尺布，则从第2天起每天比前一天多织（）尺布.A .B .C .D .7. （2分）(2017·河南模拟) 某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A .B .C . 4D .8. （2分）规定记号“”表示一种运算，即：，设函数。
且关于x的方程为恰有四个互不相等的实数根x1,x2,x3,x4 ，则x1+x2+x3+x4的值是（）A . -4B . 4C . 8D . -89. （2分）如图，边长为a的等边三角形ABC的中线AF与中位线DE交于点G，已知△A'DE是△ADE绕DE旋转过程中的一个图形，则下列命题中正确的是（）①FA'⊥DE；②BC∥平面A'DE；③三棱锥A'﹣FED的体积有最大值．A . ①B . ①②C . ①②③D . ②③10. （2分）设随机变量ξ～N（0，1），记Φ（x）=P（ξ＜x），则P（﹣1＜ξ＜1）等于（）A . 2Φ（1）﹣1B . 2Φ（﹣1）﹣1C .D . Φ（1）+Φ（﹣1）11. （2分）(2018·南宁月考) 在中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c，若，，则A＝（）A . 30°B . 60°C . 120°D . 150°12. （2分）等差数列中的是函数的极值点，则= （）A . 2B . 3C . 4D . 5二、填空题 (共4题；共4分)13. （1分） (2016高三上·连城期中) 设Sn是数列{an}的前n项和，且a1=﹣1， =Sn ．则数列{an}的通项公式an=________．14. （1分） (2019高三上·山西月考) 已知非零向量满足，设与的夹角为，则 ________。
2020届吉林省长春市二模数学(理科)试卷及答案
2020年吉林省长春市高考数学二模试卷（理科）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）已知集合{|(2)0}A x x x =- ，{1B =-，0，1，2，3}，则(A B = )A ．{1-，0，3}B ．{0，1}C ．{0，1，2}D ．{0，2，3}2．（5分）若1(1)()z a i a R =+-∈，||2z =，则(a =)A ．0或2B ．0C ．1或2D ．13．（5分）下列与函数1y x=定义域和单调性都相同的函数是()A ．22log xy =B ．21log ()2xy =C ．21log y x=D ．14y x=4．（5分）已知等差数列{}n a 中，5732a a =，则此数列中一定为0的是()A ．1a B ．3a C ．8a D ．10a 5．（5分）若单位向量1e ，2e 夹角为60︒，12a e e λ=- ，且||3a = ，则实数(λ=)A ．1-B ．2C ．0或1-D ．2或1-6．（5分）《高中数学课程标准》(2017版）规定了数学直观想象学科的六大核心素养，为了比较甲、乙两名高二学生的数学核心素养水平，现以六大素养为指标对二人进行了测验，根据测验结果绘制了雷达图（如图，每项指标值满分为5分，分值高者为优），则下面叙述正确的是（注：雷达图()RadarChart ，又可称为戴布拉图、蜘蛛网图()SpiderChart ，可用于对研究对象的多维分析）()A ．甲的数据分析素养高于乙B ．甲的数学建模素养优于数学抽象素养C ．乙的六大素养中逻辑推理最差D ．乙的六大素养整体水平优于甲7．（5分）命题p ：存在实数0x ，对任意实数x ，使得0sin()sin x x x +=-恒成立：:0q a ∀>，()a xf x lna x+=-为奇函数，则下列命题是真命题的是()A ．p q ∧B ．()()p q ⌝∨⌝C ．()p q ∧⌝D ．()p q⌝∧8．（5分）在ABC ∆中，30C =︒，2cos 3A =-，2AC =-，则AC 边上的高为()A．2B ．2CD．29．（5分）2020年是脱贫攻坚决战决胜之年，某市为早日实现目标，现将甲、乙、丙、丁4名干部派遣到A 、B 、C 三个贫困县扶贫，要求每个贫困县至少分到一人，则甲被派遣到A 县的分法有()A ．6种B ．12种C ．24种D ．36种10．（5分）在正方体1111ABCD A B C D -中，点E ，F ，G 分别为棱11A D ，1D D ，11A B 的中点，给出下列命题：①1AC EG ⊥；②//GC ED ；③1B F ⊥平面1BGC ；④EF 和1BB 成角为4π．正确命题的个数是()A ．0B ．1C ．2D ．311．（5分）已知抛物线2:2(0)C y px p =>的焦点为F ，1(2M ，0)y 为该抛物线上一点，以M为圆心的圆与C 的准线相切于点A ，120AMF ∠=︒，则抛物线方程为()A ．22y x=B ．24y x=C ．26y x=D ．28y x=12．（5分）已知11()x x f x e e x --=-+，则不等式()(32)2f x f x +- 的解集是()A ．[1，)+∞B ．[0，)+∞C ．(-∞，0]D ．(-∞，1]二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分13．（5分）若x ，y 满足约条条件222022x y y x y +⎧⎪-⎨⎪-⎩，则z x y =+的最大值为14．（5分）若1205()3a x dx -=⎰，则a =．15．（5分）已知函数()sin(0)6f x x πωω=+>在区间[π，2)π上的值小于0恒成立，则ω的取值范围是．16．（5分）三棱锥A BCD -的顶点都在同一个球面上，满足BD 过球心O ，且BD =，三棱锥A BCD -体积的最大值为；三棱锥A BCD -体积最大时，平面ABC 截球所得的截面圆的面积为．三、解答题：共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22～23题为选考题，考生根据要求作答.17．（12分）2019年入冬时节，长春市民为了迎接2022年北京冬奥会，增强身体素质，积极开展冰上体育锻炼．现从速滑项目中随机选出100名参与者，并由专业的评估机构对他们的锻炼成果进行评估打分（满分为100分）并且认为评分不低于80分的参与者擅长冰上运动，得到如图所示的频率分布直方图：（Ⅰ）求m 的值；（Ⅱ）将选取的100名参与者的性别与是否擅长冰上运动进行统计，请将下列22⨯列联表补充完整，并判断能否在犯错误的概率在不超过0.01的前提下认为擅长冰上运动与性别有关系？擅长不擅长合计男生30女生50合计1002()P K x 0.150.100.050.0250.0100.0050.001k 2.0722.7063.841 5.024 6.6357.87910.828参考公式及数据：22()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++，n a b c d =+++．18．（12分）如图，直三棱柱111ABC A B C -中，底面ABC 为等腰直角三角形，AB BC ⊥，124AA AB ==，M ，N 分别为1CC ，1BB 的中点，G 为棱1AA 上一点，若1A B ⊥平面MNG ．（Ⅰ）求线段AG 的长；（Ⅱ）求二面角B MG N --的余弦值．19．（12分）已知数列{}n a 满足，11a =，24a =且*21430()n n n a a a n N ++-+=∈．（Ⅰ）求证：数列1{}n n a a +-为等比数列，并求出数列{}n a 的通项公式；（Ⅱ）设2n n b n a = ，求数列{}n b 的前n 项和n S ．20．（12分）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左、右顶点分别为A 、B ，焦距为2，点P为椭圆上异于A 、B 的点，且直线PA 和PB 的斜率之积为34-．（Ⅰ）求C 的方程；（Ⅱ）设直线AP 与y 轴的交点为Q ，过坐标原点O 作//OM AP 交椭圆于点M ，试探究2||||||AP AQ OM 是否为定值，若是，求出该定值；若不是，请说明理由．21．（12分）已知函数()x f x e =．（Ⅰ）求曲线()y f x =在点(1，f （1）)处的切线方程；（Ⅱ）若对任意的m R ∈，当0x >时，都有21(2()1m f x x+>-恒成立，求最大的整数k ．（二）选考题：共10分，请考生在22、23题中任选一题作答，如果多做则按所做的第一题计分.[选修4-4：坐标系与参数方程]22．（10分）已知曲线1C 的参数方程为22cos (2sin x y ααα=+⎧⎨=⎩为参数），曲线2C 的参数方程为38cos 4(3sin4x t t y t ππ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩为参数）（Ⅰ）求1C 和2C 的普通方程；（Ⅱ）过坐标原点O 作直线交曲线1C 于点(M M 异于)O ，交曲线2C 于点N ，求||||ON OM 的最小值．[选修4-5：不等式选讲]（10分）23．已知函数()|1||1|f x ax x =++-．（Ⅰ）若2a =，解关于x 的不等式()9f x <；（Ⅱ）若当0x >时，()1f x >恒成立，求实数a 的取值范围．2020年吉林省长春市高考数学二模试卷（理科）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）已知集合{|(2)0}A x x x =- ，{1B =-，0，1，2，3}，则(A B = )A ．{1-，0，3}B ．{0，1}C ．{0，1，2}D ．{0，2，3}【解答】解：{|02}A x x = ；{0A B ∴= ，1，2}．故选：C ．2．（5分）若1(1)()z a i a R =+-∈，||z =(a =)A ．0或2B ．0C ．1或2D ．1【解答】解：因为1(1)()z a i a R =+-∈，2||(1)10z a a ∴==⇒-=⇒=或2；故选：A ．3．（5分）下列与函数y=()A ．22log xy =B ．21log ()2xy =C ．21log y x=D ．14y x=【解答】解：y={|0}x x >上单调递减，22log x y x ==在定义域{|0}x x >上单调递增，21(2x y log =的定义域为R ，21y log x=在定义域{|0}x x >上单调递减，14y x =的定义域为{|0}x x ．故选：C ．4．（5分）已知等差数列{}n a 中，5732a a =，则此数列中一定为0的是()A ．1a B ．3a C ．8a D ．10a 【解答】解： 等差数列{}n a 中，5732a a =，113(4)2(6)a d a d ∴+=+，化为：10a =．则此数列中一定为0的是1a ．5．（5分）若单位向量1e ，2e 夹角为60︒，12a e e λ=- ，且||3a =，则实数(λ=)A ．1-B ．2C ．0或1-D ．2或1-【解答】解： 12||||1e e == ，12,60e e <>=︒，∴1212e e = ，且||3a =，∴222221122213a e e e e λλλλ=-+=-+= ，解得2λ=或1-．故选：D ．6．（5分）《高中数学课程标准》(2017版）规定了数学直观想象学科的六大核心素养，为了比较甲、乙两名高二学生的数学核心素养水平，现以六大素养为指标对二人进行了测验，根据测验结果绘制了雷达图（如图，每项指标值满分为5分，分值高者为优），则下面叙述正确的是（注：雷达图()RadarChart ，又可称为戴布拉图、蜘蛛网图()SpiderChart ，可用于对研究对象的多维分析）()A ．甲的数据分析素养高于乙B ．甲的数学建模素养优于数学抽象素养C ．乙的六大素养中逻辑推理最差D ．乙的六大素养整体水平优于甲【解答】解：对于A 选项，甲的数据分析为3分，乙的数据分析为5分，即甲的数据分析素养低于乙，故选项A 错误，对于B 选项，甲的数学建模素养为3分，数学抽象素养为3分，即甲的数学建模素养与数学抽象素养同一水平，故选项B 错误，对于C 选项，由雷达图可知，乙的六大素养中数学建模、数学抽象、数学运算最差，故选对于D 选项，乙的六大素养中只有数学运算比甲差，其余都由于甲，即乙的六大素养整体水平优于甲，故选项D 正确，故选：D ．7．（5分）命题p ：存在实数0x ，对任意实数x ，使得0sin()sin x x x +=-恒成立：:0q a ∀>，()a xf x lna x+=-为奇函数，则下列命题是真命题的是()A ．p q ∧B ．()()p q ⌝∨⌝C ．()p q ∧⌝D ．()p q⌝∧【解答】解：根据题意，命题p ：存在实数0x ，对任意实数x ，使得0sin()sin x x x +=-恒成立，当0x π=时，对任意实数x ，使得sin()sin x x π+=-恒成立，故P 为真命题；命题:0q a ∀>，()a x f x ln a x +=-，有0a xa x+>-，解可得a x a -<<，函数的定义域为(,)a a -，关于原点对称，有()()a x a xf x lnln f x a x a x++-==-=---，即函数()f x 为奇函数，故其为真命题；则p q ∧为真命题，()()p q ⌝∨⌝、()P q ∧⌝、()p q ⌝∧为假命题；故选：A ．8．（5分）在ABC ∆中，30C =︒，2cos 3A =-，2AC =-，则AC 边上的高为()A．2B ．2CD．2【解答】解： 2cos ,03A A π=-<<，∴sin A =∴212sin sin()sin cos cos sin 32326ABC A C A C A C ∠=+=+=⨯⨯=，由正弦定理有，sin sin AC ABABC C =∠，即12AB =，解得3AB =，∴11sin 22AB AC A AC BD ⨯⨯⨯=⨯⨯，即32)2)3BD ⨯⨯=⨯，∴BD =，即AC 边上的高为．故选：C ．9．（5分）2020年是脱贫攻坚决战决胜之年，某市为早日实现目标，现将甲、乙、丙、丁4名干部派遣到A 、B 、C 三个贫困县扶贫，要求每个贫困县至少分到一人，则甲被派遣到A 县的分法有()A ．6种B ．12种C ．24种D ．36种【解答】解：若甲单独被派遣到A 县，则有22326C A =种，若若甲不单独被派遣到A 县，则有336A =种，故根据分类计数原理可得，共有6612+=种，故选：B ．10．（5分）在正方体1111ABCD A B C D -中，点E ，F ，G 分别为棱11A D ，1D D ，11A B 的中点，给出下列命题：①1AC EG ⊥；②//GC ED ；③1B F ⊥平面1BGC ；④EF 和1BB 成角为4π．正确命题的个数是()A ．0B ．1C ．2D ．3【解答】解：如图对于①，连接1A C ，11B D ，则11//EG D B ，而1CA ⊥平面EFG ，所以1AC EG ⊥；故①正确；对于②，取11B C 的中点M ，连接CM ，EM ，可得四边形CDEM 为平行四边形，//CM ED ∴，因此//GC ED 不正确；③由于1B F 与11B C 不垂直，11//B C BC ，1B F ∴与BC 不垂直，因此1B F ⊥平面1BGC 不成立．④11//D D B B ，EF 和1DD 所角为4π．EF ∴和1BB 成角为4π．正确．正确命题的个数是2．故选：C ．11．（5分）已知抛物线2:2(0)C y px p =>的焦点为F ，1(2M ，0)y 为该抛物线上一点，以M为圆心的圆与C 的准线相切于点A ，120AMF ∠=︒，则抛物线方程为()A ．22y x=B ．24y x=C ．26y x=D ．28y x=【解答】解：1(2M ，0)y 为该抛物线上一点，以M 为圆心的圆与C 的准线相切于点A ，过点M 作MB x ⊥轴，1||||22p MA MF ∴==+，1||22p BF =-120AMF ∠=︒ ，30BMF ∴∠=︒，2||||BF MF ∴=，112()2222p p∴-=+，解得3p =，∴抛物线方程为26y x =，故选：C ．12．（5分）已知11()x x f x e e x --=-+，则不等式()(32)2f x f x +- 的解集是()A ．[1，)+∞B ．[0，)+∞C ．(-∞，0]D ．(-∞，1]【解答】解：11()x x f x e e x --=-+ ①，(2)11(2)11(2)(2)2x x x x f x e e x e e x ------∴-=-+-=-+-②，①+②得：()(2)2f x f x +-=，()(32)2()(32)()(2)f x f x f x f x f x f x ∴+-⇔+-+- ，(32)(2)f x f x ∴-- ③，又11()10x x f x e e --'=++>恒成立，11()x x f x e e x --∴=-+为R 上的增函数，∴③式可化为：322x x -- ，解得：1x ，故选：A ．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分13．（5分）若x ，y 满足约条条件222022x y y x y +⎧⎪-⎨⎪-⎩ ，则z x y =+的最大值为4【解答】解：由x ，y 满足约条条件222022x y y x y +⎧⎪-⎨⎪-⎩作出可行域如图：化目标函数z x y =+为y x z =-+，由图可知，当直线y x z =-+过A 时，z 取得最大值，由222y x y =⎧⎨-=⎩，解得(2,2)A 时，目标函数有最大值为4z =．故答案为：4．14．（5分）若1205()3a x dx -=⎰，则a =2．【解答】解：1205()3a x dx -=⎰，整理得1213100015()||33a x dx ax x -=-=⎰，所以1533a -=，解得2a =．故答案为：215．（5分）已知函数()sin(0)6f x x πωω=+>在区间[π，2)π上的值小于0恒成立，则ω的取值范围是5(6，11]12．【解答】解： 函数()sin()(0)6f x x πωω=+>在区间[π，2)π上的值小于0恒成立，故()f x 的最大值小于零．当[x π∈，2)π，[66x ππωωπ+∈+，2)6πωπ+，6πωππ∴+>，且226πωππ+ ，求得511612ω< ，故答案为：5(6，11]12．16．（5分）三棱锥A BCD -的顶点都在同一个球面上，满足BD 过球心O ，且BD =，三棱锥A BCD -体积的最大值为3；三棱锥A BCD -体积最大时，平面ABC 截球所得的截面圆的面积为．【解答】解：当BD 过球心，所以90BAD BCD ∠=∠=︒，所以AO ⊥面BCD ，1132A BCD V BC CD OA -= ，当BC CD =时体积最大，因为BD =，OA =，所以2BC CD ==，所以最大体积为：1122323=；三棱锥A BCD-体积最大时，三角形ABC中，2AB AC BC====，设三角形ABC的外接圆半径为r，则2r=r=所以外接圆的面积为243S rππ==，故答案分别为：3，43π．三、解答题：共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22～23题为选考题，考生根据要求作答.17．（12分）2019年入冬时节，长春市民为了迎接2022年北京冬奥会，增强身体素质，积极开展冰上体育锻炼．现从速滑项目中随机选出100名参与者，并由专业的评估机构对他们的锻炼成果进行评估打分（满分为100分）并且认为评分不低于80分的参与者擅长冰上运动，得到如图所示的频率分布直方图：（Ⅰ）求m的值；（Ⅱ）将选取的100名参与者的性别与是否擅长冰上运动进行统计，请将下列22⨯列联表补充完整，并判断能否在犯错误的概率在不超过0.01的前提下认为擅长冰上运动与性别有关系？擅长不擅长合计男生30女生50合计1002()P K x 0.150.100.050.0250.0100.0050.001k2.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828参考公式及数据：22()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++，n a b c d =+++．【解答】解：（Ⅰ）由图可知，(0.0050.0150.0200.0300.005)101m +++++⨯=，解得0.025m =；（Ⅱ）擅长不擅长合计男性203050女性104050合计3070100222()100(800300) 4.762 6.635()()()()50503070n ad bc K a b c d a c b d -⨯-==≈<++++⨯⨯⨯，故不能在犯错误的概率在不超过0.01的前提下认为擅长冰上运动与性别有关系．18．（12分）如图，直三棱柱111ABC A B C -中，底面ABC 为等腰直角三角形，AB BC ⊥，124AA AB ==，M ，N 分别为1CC ，1BB 的中点，G 为棱1AA 上一点，若1A B ⊥平面MNG ．（Ⅰ）求线段AG 的长；（Ⅱ）求二面角B MG N --的余弦值．【解答】解：（Ⅰ）1A B ⊥ 平面MNG ，GN 在平面MNG 内，1A B GN ∴⊥，设1A B 交GN 于点E ，在BNE ∆中，可得1cos 25BE BN A BN =∠== ，则1155A E AB BE =-==，在△1A GE 中，111534cos A EA G AA B===∠，则1AG =；（Ⅱ）以1B 为坐标原点，1B B ，1B C ，11B A 所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴建立如图所示的空间直角坐标系，则(4B ，0，0)，(2M ，2，0)，(3G ，0，2)，(2N ，0，0)，故(2,2,0),(1,0,2)BM BG =-=-，(0,2,0),(1,0,2)NM NG ==，设平面BMG 的一个法向量为(,,)m x y z = ，则22020m BM x y m BG x z ⎧=-+=⎪⎨=-+=⎪⎩ ，可取(2,2,1)m = ，设平面MNG 的一个法向量为(,,)n a b c = ，则2020n NM b n NG a c ⎧==⎪⎨=+=⎪⎩ ，可取(2,0,1)n =- ，设二面角B MG N --的平面角为θ，则|cos ||cos ,|||||||m n m n m n θ=<>==，∴二面角B MG N --的余弦值为19．（12分）已知数列{}n a 满足，11a =，24a =且*21430()n n n a a a n N ++-+=∈．（Ⅰ）求证：数列1{}n n a a +-为等比数列，并求出数列{}n a 的通项公式；（Ⅱ）设2n n b n a = ，求数列{}n b 的前n 项和n S ．【解答】（Ⅰ）证明：依题意，由21430n n n a a a ++-+=，可得2143n n n a a a ++=-，则2111333()n n n n n n a a a a a a ++++-=-=-．21413a a -=-= ，∴数列1{}n n a a +-是以3为首项，3为公比的等比数列．11333n n n n a a -+∴-== ，*n N ∈．由上式可得，1213a a -=，2323a a -=，113n n n a a ---=，各项相加，可得：11211331333331322n n n n a a ---=++⋯+==-- ，113131331(31)22222n n n n a a ∴=-+=-+=- ，*n N ∈．（Ⅱ）由（Ⅰ）知，122(31)32n n n n b n a n n n ==-=- ．构造数列{}n c ：令3n n c n = ．设数列{}n c 的前n 项和为n T ，则1231231323333n n n T c c c c n =+++⋯+=+++⋯+ ，2331323(1)33n n n T n n =++⋯+-+ ，两式相减，可得：112333233233333331322n nnn n n n T n n +---=+++⋯+-=-=--- ，233344n n n T -∴=+ ．故12n nS b b b =++⋯+12(1)(2)()n c c c n =-+-+⋯+-12()(12)n c c c n =++⋯+-++⋯+(1)2n n n T +=-22331134422n n n n -=+--．20．（12分）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左、右顶点分别为A 、B ，焦距为2，点P为椭圆上异于A 、B 的点，且直线PA 和PB 的斜率之积为34-．（Ⅰ）求C 的方程；（Ⅱ）设直线AP 与y 轴的交点为Q ，过坐标原点O 作//OM AP 交椭圆于点M ，试探究2||||||AP AQ OM 是否为定值，若是，求出该定值；若不是，请说明理由．【解答】解：（Ⅰ）有题意可得22c =，即1c =，(,0)A a -，(,0)B a ，设(,)P x y ，由直线PA 和PB 的斜率之积为34-可得34y y x a x a =-+-，即22234y x a =--，而P 在椭圆上，所以22221(0)x y a b a b +=>>，22222222(1()x b y b x a a a =-=-- ，所以2234b a =，而222b a c =-可得：24a =，23b =，所以椭圆的方程为：22143x y +=；（Ⅱ）设直线AP 的方程为：2x my =-，联立与椭圆的方程：22234120x my x y =-⎧⎨+-=⎩，整理可得22(43)120m y my +-=，所以21243P m y y m +=+，所以21243P my m =+，226843P m x m -=+，所以||AP ===在2x my =-中，令0x =，2y m =，即2(0,)Q m，所以||AQ ==所以221||||643m AP AQ m +=+ ，有题意设OM 的方程为：x my =，代入椭圆中可得22(43)12m y +=，所以221243M y m =+，所以2221243Mm x m =+，所以2222212(1)||43MMm OM x y m +=+=+，所以222226(1)||||614312(1)||12243m AP AQ m m OM m ++===++ 为定值．21．（12分）已知函数()x f x e =．（Ⅰ）求曲线()y f x =在点(1，f （1）)处的切线方程；（Ⅱ）若对任意的m R ∈，当0x >时，都有21(2()1m f x x+>-恒成立，求最大的整数k ．【解答】解：()()x I f x e '=，则曲线()y f x =在点(1，f （1）)处的切线斜率k f ='（1）e =，又f （1）e =，故曲线()y f x =在点(1，f （1）)处的切线方程(1)y e e x -=-即y ex =，()II因为21(2())1m f x x+>-恒成立，当0m =时，显然成立，当0m ≠时，不等式可化为2112()f x x m -+>，令11()2()2x h x f x e x x =+=+，则21()2x h x e x'=-，因为21()2x h x e x '=-在(0,)+∞上单调递增，且1()402h '=-<，2330h '=->>，故存在01(23x ∈使得00201()20x h x e x '=-=当0(0,)x x ∈时，()0h x '<，函数单调递减，当0(x x ∈，)+∞时，()0h x '>，函数单调递增，故当0x x =时，函数取得最小值002000111()2x h x e x x x =+=+，令01t x =∈，则0202000111()2(3x h x e t t x x x =+=+=+∈+，将()h x 的最小值记为a ，则(3a ∈+．因此原式需要满足21a m->即210am -+>恒成立，又0a >，可知△840k a =-<即可，即12k a <，且(3a ∈+．故k 可以取得的最大整数为2．（二）选考题：共10分，请考生在22、23题中任选一题作答，如果多做则按所做的第一题计分.[选修4-4：坐标系与参数方程]22．（10分）已知曲线1C 的参数方程为22cos (2sin x y ααα=+⎧⎨=⎩为参数），曲线2C 的参数方程为38cos 4(3sin4x t t y t ππ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩为参数）（Ⅰ）求1C 和2C 的普通方程；（Ⅱ）过坐标原点O 作直线交曲线1C 于点(M M 异于)O ，交曲线2C 于点N ，求||||ON OM 的最小值．【解答】解：（Ⅰ）由22cos (2sin x y ααα=+⎧⎨=⎩为参数），消去参数α，可得1C 的参数方程为22(2)4x y -+=；由38cos 4(3sin 4x t t y t ππ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩为参数），得82x t y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，消去参数t ，可得2C 的普通方程为8x y +=；（Ⅱ）如图，圆1C 的极坐标方程为4cos ρθ=，直线2C 的极坐标方程为cos sin 8ρθρθ+=，即8cos sin ρθθ=+，设过坐标原点且与两曲线相交的直线方程为()42ππθαα=-<<，则28||244|cos sin |||4|cos ||sin cos ||sin 2cos 21|1|4ON OM cos ααπααααααα+====+++++． 42ππα-<<，∴52444πππα-<+<．∴1|[1,14πα++∈，则||||ON OM1)=-．[选修4-5：不等式选讲]（10分）23．已知函数()|1||1|f x ax x =++-．（Ⅰ）若2a =，解关于x 的不等式()9f x <；（Ⅱ）若当0x >时，()1f x >恒成立，求实数a 的取值范围．第21页（共21页）【解答】解：（Ⅰ）当2a =时，3,11()|21||1|2,1213,2x x f x x x x x x x ⎧⎪>⎪⎪=++-=+-⎨⎪⎪-<-⎪⎩ ，则()9f x <等价为139x x >⎧⎨<⎩或11229x x ⎧-⎪⎨⎪+<⎩ 或1239x x ⎧<-⎪⎨⎪-<⎩，解得13x <<或112x - 或132x -<<-，综上可得原不等式的解集为(3,3)-；（Ⅱ）当0x >时，()1f x >恒成立，即为1()min f x <，当0a =时，()|1|f x x =-，其最小值为f （1）0=，不符题意；当0a <，即0a ->时，111()|1||1||||1|(1)||(|1|||)f x ax x a x x a x x x a a a =++-=-++-=--++-++，当10a -- ，()f x 有最小值，且为1|1|a +，又1|1|1a +>不恒成立；当0a >，0x >时，()1|1f x ax x =++-的最小值为f （1）1|1a =+>恒成立，综上可得，a 的范围是(0,)+∞．。
吉林省长春市高考数学二模试卷(理科)
高考数学二模试卷（理科）一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.已知复数z=i+i2，则在复平面内z对应的点位于（）A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限2.集合，则A∩B=（）A. {-1，0，1，2}B. {-1，0，1}C. {0，1，2}D. {1，2，3}3.命题“∀x∈R，e x≥x+1”的否定是（）A. ∀x∈R，e x＜x+1B.C. ∀x∉R，e x＜x+1D.4.下列函数中，在（0，+∞）内单调递减的是（）A. y=22-xB.C.D. y=-x2+2x+a5.一个几何体的三视图如图所示，每个小方格都是长度为1的正方形，则这个几何体的体积为（）A. 32B.C.D. 86.等差数列{a n}中，S n是它的前n项和，a2+a3=10，S6=54，则该数列的公差d为（）A. 2B. 3C. 4D. 67.下面的折线图给出的是甲、乙两只股票在某年中每月的收盘价格，已知股票甲的极差是6.88元，标准差为2.04元；股票乙的极差为27.47元，标准差为9.63元，根据这两只股票在这一年中的波动程度，给出下列结论：①股票甲在这一年中波动相对较小，表现的更加稳定；②购买股票乙风险高但可能获得高回报；③股票甲的走势相对平稳，股票乙的股价波动较大；④两只股票在全年都处于上升趋势.其中正确结论的个数是( )A. 1B. 2C. 3D. 48.直线y=2x绕原点顺时针旋转45o得到直线l，若l的倾斜角为α，则cos2α的值为（）A. B. C. D.9.正方形ABCD边长为2，点E为BC边的中点，F为CD边上一点，若=||2，则||=（）A. 3B. 5C.D.10.已知曲线y=sin x在点P（x0，sin x0）（0≤x0≤π）处的切线为l，则下列各点中不可能在直线l上的是（）A. （-1，-1）B. （-2，0）C. （1，-2）D. （4，1）11.已知双曲线的左、右焦点分别为F1，F2，过F2且与渐近线垂直的直线分别与该渐近线和y轴相交于A，B两点，O为坐标原点，若，则双曲线的离心率为（）A. B. C. 2 D.12.定义在[0，π]上的函数y=sin（ωx-）（ω＞0）有零点，且值域M⊆[-，+∞），则ω的取值范围是（）A. [，]B. [，2]C. [，]D. [，2]二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.已知实数x，y满足，则z=x+2y的最大值为______．14.直线y=2x与抛物线x2=4y围成的封闭图形的面积为______．15.在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，a=，a cos B+b sin A=c，则△ABC的面积的最大值为______．16.正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为2，M，N，E，F分别是A1B1，AD，B1C1，C1D1的中点，则过EF且与MN平行的平面截正方体所得截面的面积为______，CE和该截面所成角的正弦值为______．三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17.各项均为整数的等差数列{a n}，其前n项和为S n，a1=-1，a2，a3，S4+1成等比数列．（Ⅰ）求{a n}的通项公式；（Ⅱ）求数列{（-1）n•a n}的前2n项和T2n．18.某研究机构随机调查了A，B两个企业各100名员工，得到了A企业员工收入的频数分布表以及B企业员工收入的统计图如图：B企业中随机抽取一名员工，求该员工收入不低于5000元的概率；（Ⅱ）（i）若从A企业收入在[2000，5000）的员工中，按分层抽样的方式抽取7人，而后在此7人中随机抽取2人，求这2人收入在[3000，4000）的人数X的分布列．（ii）若你是一名即将就业的大学生，根据上述调查结果，并结合统计学相关知识，你会选择去哪个企业就业，并说明理由．19.四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为直角梯形，AB∥CD，∠BAD=90°，CD=2AB=2，PA⊥平面ABCD，，M为PC中点．（Ⅰ）求证：平面PBC⊥平面BMD；（Ⅱ）求二面角M-BD-P的余弦值．20.已知椭圆（a＞b＞0）的左右焦点分别为F1、F2，P为椭圆上一点，且满足PF2⊥x轴，，离心率为．（Ⅰ）求椭圆的标准方程；（Ⅱ）若M为y轴正半轴上的定点，过M的直线l交椭圆于A，B两点，设O为坐标原点，，求点M的坐标．21.已知函数f（x）=e x+bx-1（b∈R）．（Ⅰ）讨论f（x）的单调性；（Ⅱ）若方程f（x）=ln x有两个实数根，求实数b的取值范围．22.在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为参数），以坐标原点为极点，x轴的非负半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C极坐标方程为．（Ⅰ）求直线l的普通方程以及曲线C的参数方程；（Ⅱ）当a=1时，P为曲线C上动点，求点P到直线l距离的最大值．23.设函数f（x）=|x+2|．（Ⅰ）求不等式f（x）+f（-x）≥6的解集；（Ⅱ）若不等式f（x-4）-f（x+1）＞kx+m的解集为（-∞，+∞），求k+m的取值范围．答案和解析1.【答案】B【解析】解：∵i+i2=-1+i，∴i+i2在复平面内对应的点（-1，1）在第二象限．故选：B．由i+i2=-1+i，知i+i2在复平面内对应的点（-1，1），由此能得到结果．本题考查复数代数形式的混合运算，是基础题．解题时要认真审题，仔细解答，注意复数的几何意义的灵活运用．2.【答案】A【解析】解：A={x|x≤2}；∴A∩B={-1，0，1，2}．故选：A．可求出集合A，然后进行交集的运算即可．考查描述法、列举法的定义，以及交集的运算．3.【答案】D【解析】解：因为全称命题的否定是特称命题，所以命题“∀x∈R，e x≥x+1”的否定是．故选：D．利用全称命题的否定是特称命题写出结果即可．本题考查含有一个量词的否定．特称命题与全称命题的否定关系．4.【答案】A【解析】【分析】本题考查函数的单调性的判断，关键是掌握常见函数的单调性，属于基础题．根据题意，依次分析选项中函数的单调性，综合即可得答案．【解答】解：根据题意，依次分析选项：对于A，y=22-x=4×（）x，在（0，+∞）内单调递减，符合题意；对于B，y==1-，在（0，+∞）内单调递增，不符合题意；对于C，y==log2x，在（0，+∞）内单调递增，不符合题意；对于D，y=-x2+2x+a=-（x-1）2+a+1，在（0，1）内单调递增，不符合题意；故选：A．5.【答案】B【解析】解：几何体的直观图如图：棱锥的顶点，在底面上的射影是底面一边的中点，易知这个几何体的体积为：=．故选：B．判断几何体的形状，画出直观图，利用三视图的数据求解几何体的体积即可．本题考查三视图的相关知识．几何体的直观图的与三视图的对应关系，是基本知识的考查．6.【答案】C【解析】解：根据题意，等差数列{a n}中，设其公差为d，若a2+a3=10，S6=54，则有a2+a3=（a1+d）+（a1+2d）=10，S6=6a1+15d=54，解可得：d=4，a1=-1，故选：C．根据题意，设等差数列{a n}的公差为d，结合等差数列的性质可得a2+a3=（a1+d）+（a1+2d）=10，S6=6a1+15d=54，解可得d的值，即可得答案．本题考查等差数列的前n项和公式的应用，涉及等差数列的性质，属于基础题．7.【答案】C【解析】【分析】本题主要考查折线图的应用，极差与标准差的应用，涉及统计识图能力，根据统计的有关知识是解决本题的关键，属于基础题．【解答】解：①甲的标准差2.04，乙的标准差为9.63，则甲的标准差小，即股票甲在这一年中波动相对较小，表现的更加稳定，故①正确，②股票甲的极差是6.88元，股票乙的极差为27.47元，则购买股票乙风险高但可能获得高回报，故②正确，③由图象知股票甲的走势相对平稳，股票乙的股价波动较大，故③正确，④甲股票在6到8月份之间出现下跌，故④错误，故正确的是①②③．故选C．8.【答案】D【解析】解：由题意可知tan（α+45°）==2，∴tanα=，∴cos2α===，故选：D．由题意可得tan（α+45°）==2，求得tanα的值，再根据二倍角公式、同角三角函数的基本关系求得cos2α的值．本题主要考查直线的倾斜角和斜率，一条直线到另一条直线的角的计算公式，及三角恒等变换的相关知识，属于基础题．9.【答案】D【解析】解：∵正方形ABCD边长为2，点E为BC边的中点，F为CD边上一点，∵=||2，由数量积的几何意义可知EF⊥AE，由E是BC中点，AE=，EF=，AF=，∵AE2+EF2=AF2，∴CF=，所以．故选：D．由=||2，结合数量积的几何意义可知EF⊥AE，根据勾股定理可求．本题主要考查平面向量的相关知识，属于基础试题．10.【答案】C【解析】解：画出切线l扫过的区域，如图所示，则不可能在直线上的点为（1，-2）．故选：C．画出函数的图象，以及切线方程，然后求解判断点的坐标位置，推出的结果．本题主要考查数形结合思想的运用．函数与方程的应用．11.【答案】B【解析】解：由题意双曲线的左、右焦点分别为F1，F2，过F2且与渐近线垂直的直线分别与该渐近线和y轴相交于A，B两点，可知：|F2A|==b，可知，所以，可得2a2=c2-a2，e＞1，3a2=c2，e2==3，从而．故选：B．利用已知条件求出，|F2A|，|AB|，然后推出a，b关系，然后求解双曲线的离心率．本题考查双曲线的相关知识．双曲线的离心率的求法，考查转化思想以及计算能力．12.【答案】C【解析】解：定义在[0，π]上的函数y=sin（ωx-）（ω＞0），ωx-∈[-，ωπ-]，∵函数有零点，∴ωπ-≥0，∴ω≥．且函数的值域M⊆[-，+∞），∴ωπ-≤，求得ω≤，则ω的取值范围为[，]，故选：C．由题意利用正弦函数的图象，正弦函数的定义域和值域，可得ωπ-≥0，且ωπ-≤，由此求得ω的取值范围．本题主要考查正弦函数的图象，正弦函数的定义域和值域，属于基础题．13.【答案】4【解析】解：作出实数x，y满足对应的平面区域如图：（阴影部分）．由z=x+2y得2y=-x+z，平移直线2y=-x+z，由图象可知当直线2y=-x+z经过点A时，直线y=-x+z的截距最大，此时z最大．由，解得A（0，2），代入目标函数z=x+2y得z=0+4=4．即目标函数z=x+2y的最大值为4．故答案为：4．作出不等式对应的平面区域，利用线性规划的知识，通过平移即可求z的最大值．本题主要考查线性规划的应用，利用数形结合是解决线性规划题目的常用方法．利用平移确定目标函数取得最优解的条件是解决本题的关键．14.【答案】【解析】解：由微积分基本定理知，直线y=2x与抛物线x2=4y围成的封闭图形的面积为（2x-）dx=x2|-|=64-=，故答案为：．由微积分基本定理知，直线y=2x与抛物线x2=4y围成的封闭图形的面积为（2x-）dx，求出积分值．本题考查了微积分基本定理和微积分的几何意义，属于简单题．15.【答案】【解析】解：∵a cos B+b sin A=c，∴由正弦定理得：sin C=sin A cos B+sin B sin A①又∵A+B+C=π，∴sin C=sin（A+B）=sin A cos B+cos A sin B②∴由①②得sin A =cos A，即：tan A=1，又∵A∈（0，π），∴A=；∵a=，∴由余弦定理可得：2=b2+c2-2bc cos A=b2+c2-bc≥2bc-bc=（2-）bc，可得：bc≤，当且仅当b=c时等号成立，∴△ABC的面积为S=bc sin A=bc≤×=，当且仅当b=c时，等号成立，即面积最大值为．故答案为：．运用正弦定理和诱导公式、两角和的正弦公式，同角的商数关系，计算即可得到A的值，由余弦定理，结合基本不等式，即可得到bc的最大值，利用三角形的面积公式即可计算得解．本题考查正弦定理、余弦定理和面积公式的运用，同时考查三角函数的恒等变换公式的运用，属于中档题．16.【答案】2【解析】解：取A1D1中点G，BC中点P，CD中点H，连结GM、GN、MN、PE、PH、PF，∵MG∥EF，NG∥EP，MG∩NG=G，EF∩EP=E，∴平面MNG∥平面PEFH，∴过EF且与MN平行的平面截正方体所得截面为PEFH，∵PE=2，EF==，四边形PEFH是矩形，∴过EF且与MN平行的平面截正方体所得截面的面积为：S矩形PEFH=2．以D1为原点，D1A1为x轴，D1C1为y轴，D1D为z轴，建立空间直角坐标系，E（1，2，0），F（0，1，0），H（0，1，2），C（0，2，2），=（-1，0，2），=（-1，-1，0），=（-1，-1，2），设平面EFHP的法向量=（x，y，z），则，取x=1，得=（1，-1，0），设CE和该截面所成角为θ，则sinθ===．∴CE和该截面所成角的正弦值为．故答案为：2，．取A1D1中点G，BC中点P，CD中点H，连结GM、GN、MN、PE、PH、PF，推导出平面MNG∥平面PEFH，过EF且与MN平行的平面截正方体所得截面为PEFH，由此能求出过EF且与MN平行的平面截正方体所得截面的面积；以D1为原点，D1A1为x轴，D1C1为y轴，D1D为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出CE和该截面所成角的正弦值．本题考查截面面积的求法，考查线面角的正弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想，是中档题．17.【答案】解：（Ⅰ）各项均为整数的等差数列{a n}，公差设为d，d为整数，a1=-1，a2，a3，S4+1成等比数列，可得a32=a2（1+S4），即（-1+2d）2=（-1+d）（-3+6d），可得d=2，则a n=2n-3；（Ⅱ）由（Ⅰ）可得T2n=-a1+a2-a3+a4+…-a2n-1+a2n=（1+1）+（-3+5）+…+（5-2n+2n-3）=2+2+…+2=2n．【解析】本题考查等差数列的通项公式和求和公式的运用，数列的并项求和，考查方程思想和运算能力，属于中档题．（Ⅰ）各项均为整数的等差数列{a n}，公差设为d，d为整数，运用等比数列的中项性质和等差数列通项公式和求和公式，解方程可得d，即可得到所求通项公式；（Ⅱ）由数列的通项公式，结合并项求和，即可得到所求和．18.【答案】解：（1）由饼状图知工资超过5000的有68人，故概率为0.68．（2）①A企业[2000，5000）中三个不同层次人数比为1：2：4，即按照分层抽样7人所抽取的收入在[3000，4000）的人数为2．X的取值为0，1，2，因此，，，②企业的员工平均收入为：=5260B企业的员工平均收入为：．参考答案1：选企业B，由于B企业员工的平均收入高．参考答案2：选企业A，A企业员工的平均收入只比B企业低10元，但是A企业有高收入的团体，说明发展空间较大，获得8000元以上的高收入是有可能的．参考答案3：选企业B，由于B企业员工平均收入不仅高，且低收入人数少．（如有其它情况，只要理由充分，也可给分）【解析】解：（1）由饼状图知工资超过5000的有68人，由此能求出概率．（2）①A企业[2000，5000）中三个不同层次人数比为1：2：4，即按照分层抽样7人所抽取的收入在[3000，4000）的人数为2．X的取值为0，1，2，分别求出相应的概率，由此能求出X的分布列．②求出A企业的员工平均收入和B企业的员工平均收入．考答案1：选企业B，由于B 企业员工的平均收入高．参考答案2：选企业A，A企业员工的平均收入只比B企业低10元，但是A企业有高收入的团体，说明发展空间较大，获得8000元以上的高收入是有可能的．参考答案3：选企业B，由于B企业员工平均收入不仅高，且低收入人数少．本题考查统计知识及概率相关知识等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．19.【答案】解：（Ⅰ）在直角梯形中，，在△BCD中，由余弦定理，，又，有△PCD，△PCB是等腰三角形，所以PC⊥MD，PC⊥MB，PC⊥平面MDB，所以平面PBC⊥平面BDM．（Ⅱ）以A为原点，AB，AD，AP为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，，，有，，令平面PBD的法向量为，由，可得一个，由（1）可知平面BDM的一个法向量为，所以cos＜，＞==，所以二面角M-BD-P的余弦值为．【解析】（Ⅰ）通过求解三角形证明PC⊥MD，PC⊥MB，推出PC⊥平面MDB，即可证明平面PBC⊥平面BDM．（Ⅱ）以A为原点，AB，AD，AP为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，求出平面的法向量，利用空间向量的数量积求解二面角的平面角的余弦函数值即可．本小题以四棱锥为载体，考查立体几何的基础知识．本题考查学生的空间想象能力、推理论证能力和运算求解能力．20.【答案】解：（Ⅰ）由题意知，，所以．（Ⅱ）设M（0，t），l：y=kx+t，设A（x1，y1），B（x2，y2），由条件可得，，联立直线l和椭圆C，有，有（3+4k2）x2+8ktx+4t2-12=0，∴x1+x2=，x1x2=由x1x2+（kx1+t）（kx2+t）=-3，∴（k2+1）x1x2+kt（x1+x2）+t2=-3，∴（k2+1）-kt•+t2=-3，整理可得7t2=3解得．故M（0，），【解析】（Ⅰ）由题意知，，即可求出椭圆方程，（Ⅱ）设M（0，t），l：y=kx+t，设A（x1，y1），B（x2，y2），根据题意和韦达定理即可求出本小题考查直线与椭圆的位置关系，考查椭圆的相关知识，考查了转化与化归能力以及运算求解能力，属于中档题21.【答案】解：（Ⅰ）由题可得f'（x）=e x+b，当b≥0时，f'（x）＞0，f（x）在（-∞，+∞）上单调递增；当b＜0时，x≥ln（-b），f'（x）＞0，f（x）在（ln（-b），+∞）上单调递增；x＜ln（-b），f'（x）＜0，f（x）在（-∞，ln（-b））上单调递减．（Ⅱ）令，易知g'（x）单调递增且一定有大于0的零点，不妨设为x0，g'（x0）=0，即，故若有g（x）有两个零点，需满足g（x0）＜0，即令h（x）=e x-e x x-ln x，h′（x）=-e x-＜0，所以h（x）在（0，+∞）上单调递减，由h（1）=0，所以的解集为（1，+∞），由，所以b＜1-e当b＜1-e时，e x+bx-1-ln x＞x+bx-ln x，有g（e b）＞e b+be b-ln e b=（b+1）e b-b，令g（x）=（x+1）e x-x=（x+1）（e x-1）+1，由于x＜1-e，所以x+1＜2-e＜0，e x＜1，故g（x）=（x+1）e x-x＞0，所以g（e b）＞0，故g（e b）g（x0）＜0，g（x）在（0，x0）上有唯一零点，另一方面，在（x0，+∞）上，当x→+∞时，由e x增长速度大，所以有g（x）＞0，综上，b＜1-e．【解析】（Ⅰ）求出f'（x）=e x+b，通过当b≥0时，当b＜0时，判断导函数的符号，得到函数的单调性．（Ⅱ）令，易知g'（x）单调递增且一定有大于0的零点，不妨设为x0，g'（x0）=0，若有g（x）有两个零点，需满足g（x0）＜0，令h（x）=e x-e x x-ln x，h′（x）=-e x-＜0，h（x）在（0，+∞）上单调递减，由h（1）=0，得到的解集为（1，+∞），推出b＜1-e，当b＜1-e时，令g（x）=（x+1）e x-x=（x+1）（e x-1）+1，说明g（x）在（0，x0）上有唯一零点，在（x0，+∞）上，当x→+∞时，由e x增长速度大，有g（x）＞0，推出结果．本小题主要考查函数与导数的相关知识，以导数为工具研究函数的方法，考查学生解决问题的综合能力．22.【答案】解（1）直线l的普通方程为，曲线C的极坐标方程可化为ρ2+2ρ2cos2θ=3，化简可得.（5分）（Ⅱ）当a=1时，直线l的普通方程为．有曲线C的直角坐标方程，可设点P的坐标为因此点P到直线l的距离可表示为当，d取最大值为．（10分）【解析】（Ⅰ）消去参数t可得l的普通方程；利用极坐标与直角坐标互化公式将C的极坐标方程化成普通方程后，再化成参数方程；（Ⅱ）问题转化为求圆心到直线的距离加上圆的半径．本题考查了简单曲线的极坐标方程，属中档题．23.【答案】解：（Ⅰ），由f（x）≥6，或或，解得x∈（-∞，-3]∪[3，+∞）．则不等式f（x）+f（-x）≥6的解集：（-∞，-3]∪[3，+∞）．（Ⅱ），由f（x-4）-f（x+1）＞kx+m的解集为（-∞，+∞）可知k=0，即k+m＜-5．【解析】（Ⅰ）化简f（x）+f（-x）去掉绝对值符号，然后求解不等式的解集；（Ⅱ）化简f（x-4）-f（x+1），去掉绝对值符号，通过不等式的解集为推出结果．本小题主要考查不等式的相关知识，具体涉及到绝对值不等式等内容．本小题重点考查化归与转化思想．。
长春市高考数学二模试卷(理科)B卷(模拟)
长春市高考数学二模试卷（理科）B卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、选择题： (共12题；共24分)1. （2分） (2018高一上·长安期末) 设函数的定义域，函数的定义域为 ,则=（）A .B .C .D .2. （2分）复数的虚部为（）A . －lB . －iC . －D .3. （2分） (2017高一上·焦作期末) 函数y=e|x|﹣x3的大致图象是（）A .B .C .D .4. （2分）等差数列{an}中，a5=2，则S9等于（）A . 2B . 9C . 18D . 205. （2分）某程序框图如图所示，则该程序运行后输出的S的值为（）A . 1B .C .D .6. （2分）(2017·乌鲁木齐模拟) 已知向量满足| |=2，| |=1，且（）⊥（2 ﹣），则的夹角为（）A .B .C .D .7. （2分）(2020·汨罗模拟) 已知实数 ,，则“ ”是“ ”的（）A . 充要条件B . 必要不充分条件C . 充分不必要条件D . 既不充分也不必要条件8. （2分）双曲线-=1的渐近线与圆（x-3）2+y2=r2（r＞0）相切，则r=（）A .B . 2C . 3D . 69. （2分）定义域为（0，+∞）的连续可导函数f（x），若满足以下两个条件：①f（x）的导函数y=f′（x）没有零点，②对∀x∈（0，+∞），都有f（f（x）+log x）=3．则关于x方程f（x）=2+ 有（）个解．A . 2B . 1C . 0D . 以上答案均不正确10. （2分）已知曲线的一条切线的斜率为，则切点的横坐标为（）A . 3B . 2C . 1D .11. （2分） (2016高一下·揭阳开学考) 若某空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是（）A . 15B . 20C . 30D . 6012. （2分）设，则数列{an}的最大项为（）A . 5B . 11C . 10或11D . 36二、填空题： (共4题；共4分)13. （1分）设a=dx，则二项式（ax2﹣）6展开式中的常数项为________14. （1分）直三棱柱ABC﹣A1B1C1的顶点在同一个球面上，AB=3，AC=4，AA1=2，∠BAC=90°，则球的表面积________15. （1分）(2018·江西模拟) 实数x、y满足，若z=kx+y的最大值为13，则实数k=________.16. （1分） (2017高二下·南昌期末) 随机变量ξ的分布列如下：ξ﹣101P a b c其中a，b，c成等差数列，若Eξ= ，则Dξ的值是________．三、解答题： (共7题；共60分)17. （10分）(2017·雨花模拟) 如图，在边长为2的正三角形△ABC中，D为BC的中点，E，F分别在边CA，AB上．（1）若，求CE的长；（2）若∠EDF=60°，问：当∠CDE取何值时，△DEF的面积最小？并求出面积的最小值．18. （10分）(2017·长沙模拟) 如图，三棱柱ABC﹣A1B1C1中，∠ACB=90°，CC1⊥底面ABC，AC=BC=CC1=2，D，E，F分别是棱AB，BC，B1C1的中点，G是棱BB1上的动点．（1）当为何值时，平面CDG⊥平面A1DE？（2）求平面AB1F与平面AD1E所成的锐二面角的余弦值．19. （5分） (2016高三上·成都期中) 为了解甲、乙两校高三年级学生某次期末联考地理成绩情况，从这两学校中分别随机抽取30名高三年级的地理成绩（百分制）作为样本，样本数据的茎叶图如图所示：（Ⅰ）若乙校高三年级每位学生被抽取的概率为0.15，求乙校高三年级学生总人数；（Ⅱ）根据茎叶图，分析甲、乙两校高三年级学生在这次联考中地理成绩；（Ⅲ）从样本中甲、乙两校高三年级学生地理成绩不及格（低于60分为不及格）的学生中随机抽取2人，求至少抽到一名乙校学生的概率．20. （10分）(2018·安徽模拟) 设椭圆的离心率为，椭圆上一点到左右两个焦点的距离之和是4.（1）求椭圆的方程；（2）已知过的直线与椭圆交于两点，且两点与左右顶点不重合，若，求四边形面积的最大值。
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长春市高考数学二模试卷（理科）B卷
姓名:________ 班级:________ 成绩:________
一、选择题 (共10题；共20分)
1. （2分） (2017高二下·肇庆期末) 若（1+i）+（2﹣3i）=a+bi（a，b∈R，i是虚数单位），则a，b的值分别等于（）
A . 3，2
B . 3，﹣2
C . 3，﹣3
D . ﹣1，4
2. （2分）已知集合，则（）
A . (0,1)
B . {(0,1)}
C .
D .
3. （2分）若关于x的方程f（x）=e|x|+|x|=k．有两个不同的实根，则实数k的取值范围是（）
A . （0，1）
B . （1，+∞）
C . （﹣1，0）
D . （﹣∞，﹣1）
4. （2分） (2017高一下·保定期末) 已知等差数列{an}中，a1=1，d=2，则a10=（）
A . 19
B . 22
C . 23
D . 24
5. （2分） (2016高二下·温州期中) 已知某三棱锥的三视图（单位：cm）如图所示，那么该三棱锥的体积等于（）
A . cm3
B . 2cm3
C . 3cm3
D . 9cm3
6. （2分）(2017·四川模拟) 运行如图所示的程序，若输出y的值为1，则输入x的值为（）
A . 0
B . 0或﹣1
C . ±1
D . 1
7. （2分）如图，直线EF与平行四边形ABCD的两边AB，AD分别交于E，F两点，且交其对角线AC交于K，其中＝，＝，＝λ，则λ的值为（）
A .
B .
C .
D .
8. （2分） (2016高一下·淮北开学考) 已知f（x）是奇函数，当x＞0时f（x）=﹣x（1+x），当x＜0时，f（x）等于（）
A . ﹣x（1﹣x）
B . x（1﹣x）
C . ﹣x（1+x）
D . x（1+x）
9. （2分）实数x、y满足若目标函数取得最大值4，则实数a的值为（）
A . -2
B . 2
C . 1
D . -1
10. （2分）已知为平面内两定点,过该平面内动点M作直线AB的垂线,垂足为N.若,其中为常数,则动点M的轨迹不可能是（）
A . 圆
B . 椭圆
C . 抛物线
D . 双曲线
二、填空题 (共5题；共5分)
11. （1分）表格是一个2×2列联表：
y1y2总计
x1a2170
x25c30
总计b d100
则b﹣d=________．
12. （1分）已知α，β均为锐角，且tan（α﹣β）= ，若cosα= ，则cos2β的值为________．
13. （1分） (2017高二下·陕西期中) 在（2x﹣1）5的展开式中，x2的系数为________．
14. （1分）(2019·福建模拟) 设函数，其中是给定的正整数，且，如果不等式在区间有解，则实数的取值范围是________．
15. （1分）(2017·万载模拟) 已知函数f（x）=|ln||x﹣1||，f（x）﹣m的四个零点x1 ， x2 ， x3 ， x4 ，
且k= + + + ，则f（k）﹣ek的值是________．
三、解答题 (共6题；共55分)
16. （15分） (2019高三上·杨浦期中) 如图是函数一个周期内的图象，将图象上所有点的横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标不变，再把所得图象向右平移个单位长度，得到函数的图象.
（1）求函数和的解析式；
（2）若，求的所有可能的值；
（3）求函数（为正常数）在区间内的所有零点之和.
17. （10分）(2018·长春模拟) 在如图所示的几何体中，四边形是正方形，平面，
分别是线段的中点， .
（1）求证：∥平面；
（2）求平面与平面所成锐二面角的余弦值.
18. （5分）(2017·西城模拟) 某大学为调研学生在A，B两家餐厅用餐的满意度，从在A，B两家餐厅都用
过餐的学生中随机抽取了100人，每人分别对这两家餐厅进行评分，满分均为60分．整理评分数据，将分数以10为组距分成6组：[0，10），[10，20），[20，30），[30，40），[40，50），[50，60]，得到A餐厅分数的频率分布直方图，和B餐厅分数的频数分布表：
B餐厅分数频数分布表
分数区间频数
[0，10）2
[10，20）3
[20，30）5
[30，40）15
[40，50）40
[50，60]35
定义学生对餐厅评价的“满意度指数”如下：
分数[0，30）[30，50）[50，60]
满意度指数012
（Ⅰ）在抽样的100人中，求对A餐厅评价“满意度指数”为0的人数；
（Ⅱ）从该校在A，B两家餐厅都用过餐的学生中随机抽取1人进行调查，试估计其对A餐厅评价的“满意度指数”比对B餐厅评价的“满意度指数”高的概率；
（Ⅲ）如果从A，B两家餐厅中选择一家用餐，你会选择哪一家？说明理由．
19. （5分）(2017·邯郸模拟) 已知数列{an}满足a1+2a2+…+nan=（n﹣1）2n+1+2，n∈N*
（Ⅰ）求数列{an}的通项公式；
（Ⅱ）若bn= ，Tn=b1+b2+…+bn ，求证：对任意的n∈N* ， Tn＜．
20. （5分）(2017·日照模拟) 已知椭圆C：的上、下焦点分别为F1 ， F2 ，上焦点F1到直线 4x+3y+12=0的距离为3，椭圆C的离心率e= ．
（I）若P是椭圆C上任意一点，求| || |的取值范围；
（II）设过椭圆C的上顶点A的直线l与椭圆交于点B（B不在y轴上），垂直于l的直线与l交于点M，与x 轴交于点H，若 =0，且| |=| |，求直线l的方程．
21. （15分） (2017高二下·武汉期中) 已知函数f（x）=（ax+1）lnx﹣ax+3，a∈R，g（x）是f（x）的导函数，e为自然对数的底数．
（1）讨论g（x）的单调性；
（2）当a＞e时，证明：g（e﹣a）＞0；
（3）当a＞e时，判断函数f（x）零点的个数，并说明理由．
参考答案一、选择题 (共10题；共20分)
1-1、
2-1、
3-1、
4-1、答案：略
5-1、
6-1、
7-1、
8-1、
9-1、
10-1、
二、填空题 (共5题；共5分)
11-1、
12-1、答案：略
13-1、
14-1、
15-1、
三、解答题 (共6题；共55分)
16-1、
16-2、
16-3、17-1、
17-2、
18-1、
19-1、
20-1、
21-1、21-2、
21-3、。