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天津市和平区2019-2020学年高二下学期期中数学试题

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2019-2020学年浙江省9 1高中联盟高二(下)期中数学试卷(含答案解析)

2019-2020学年浙江省9 1高中联盟高二(下)期中数学试卷(含答案解析)

2019-2020学年浙江省9 1高中联盟高二(下)期中数学试卷一、单选题（本大题共10小题，共40.0分）1. 设全集U ={x|x >0}，集合M ={x|x −3>0}，则∁U M =( )A. {x|0<x ≤3}B. {x|x <3}C. {x|x ≤3}D. {x|0<x <3}2. x ∈[0,2π]，y =√tanx +√−cosx 定义域为( )A. x ∈[0,π2)B. (π2,π]C. [π,3π2)D. (3π2,2π]3. 如图所示，A ，B ，C 是圆O 上的三点，CO 的延长线与线段BA 的延长线交于圆O 外的点D ，若OC⃗⃗⃗⃗⃗ =m OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +n OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，则m +n 的取值范围是( ) A. (0,1) B. (1,+∞) C. (−∞,−1) D. (−1,0)4. 已知z =m −1+(m +2)i 在复平面内对应的点在第二象限，则实数m 的取值范围是( )A. (−1,2)B. (−2,1)C. (1,+∞)D. (−∞,−2)5. 不等式a 1x 2+b 1x +c <0和a 2x 2+b 2x +c 2<0解集分别为M ，N 则a1a 2=b1b 2=c1c 2是M =N 的( ) A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件6. 要得到函数y =2cosx ⋅sin(x +π6)−12的图象，只需将y =sinx 的图象( )A. 先向左平移π6个单位长度，再将所有点的横坐标缩短为原来的12倍(纵坐标不变) B. 先向左平移π6个单位长度，再将所有点的横坐标缩短为原来的2倍(纵坐标不变) C. 先将所有点的横坐标缩短为原来的2倍(纵坐标不变)，再向左平移π6个单位长度 D. 先将所有点的横坐标缩短为原来的12倍(纵坐标不变)，再向左平移π6个单位长度7. 若a ，b 在区间[0,√3]上取值，则函数f(x)=13ax 3+bx 2+14ax 在R 上有两个相异极值点的概率是( )A. 14B. 1−√32C. 34D. √328. 将甲、乙、丙、丁、戊共五位同学分别保送到北大、上海交大和浙大3所大学，若每所大学至少保送1人，则不同的保送方案共有( )种．A. 114B. 100C. 72D. 1509. 定义在R 上的奇函数f(x)对任意x ∈R 都有f(x +1)=f(3−x)，若f(1)=−2，则2012f(2012)−2013f(2013)=( )A. −4026B. 4026C. −4024D. 402410. 已知函数f(x)={ax 2+1,(x ≥0)(a +2)e ax ,(x <0)为R 上的单调函数，那么实数a 的取值范围是( )A. ( 0,+∞)B. [−1,0 )C. (−2,0)D. (−∞,−2)二、单空题（本大题共3小题，共12.0分）11. 要做一个母线长为30cm 的圆锥形的漏斗，要使其体积最大，则其底面半径为______cm ． 12. 已知函数f(x)={x(x +4),x ≥0x(x −4),x <0，则f(1)+f(−3)=______．13. 已知向量a ⃗ =(2,1)，b ⃗ =(k,−3)，若(a ⃗ +b ⃗ )⊥a ⃗ ，则实数k =______． 三、多空题（本大题共4小题，共24.0分）14. 已知点A(2,0)，B(1,2)，C(2,2)，|AP ⃗⃗⃗⃗⃗ |=|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ −AC ⃗⃗⃗⃗⃗ |，O 为坐标原点，则|AP ⃗⃗⃗⃗⃗ |= ，OP ⃗⃗⃗⃗⃗ 与OA⃗⃗⃗⃗⃗ 夹角的取值范围是 ．15. 袋中有大小相同的3个红球，2个白球，1个黑球．若不放回摸球，每次1球，摸取3次，则恰有两次红球的概率为 (1) ；若有放回摸球，每次1球，摸取3次，则摸到红球次数的期望为 (2) ．16. 若(1+x)(1−2x)7=a 0+a 1x +a 2x 2+⋯+a 8x 8，则a 1+a 2+⋯+a 7的值是 ；在上述展开式右边的九项中，随机任取不同的三项，假设这三项均不相邻，则有 种不同的取法． 17. 对于实数x ，用[x]表示不超过x 的最大整数，如[0.3]=0，[5.6]=5.若n ∈N ∗，a n =[n4]，S n 为数列{a n }的前n 项和，则S 8= (1) ；S 4n = (2) ． 四、解答题（本大题共5小题，共74.0分）18. 已知函数f(x)=2√3sinx ⋅cosx +cos2x ，x ∈R ．(1)求f(x)的最小正周期；(2)若x ∈[−π6,π3]，求f(x)的最大值和最小值．19.汽车租赁业被称为“朝阳产业”，因为它具有无须办理保险、无须年检维修、车型可随意更换等优点，以租车代替买车来控制陈本，正慢慢受到国内企事业单位和个人用户的青睐，可以满足人民群众个性化出行、商务活动需求和保障重大社会活动．2013年国庆长假期间某汽车租赁公司为了调查P、Q两种车型的出租情况，现随机抽取了这两种车型各100辆，分别统计了每辆车某个星期内的出租天数，统计数据如表：P型车出租天数1234567车辆数51030351532Q型车出租天数1234567车辆数1420201615105(1)根据一周内的统计数据，预测该公司一辆P型车，一辆Q型车一周内合计出租天数恰好为4天的概率；(2)如果两种车型每辆车每天出租获得的利润相同，该公司需要从P、Q两种车型中购买一辆，请你给出建议应该购买哪一种车型，并说明理由．20.(本小题满分12分)已知向量=3i−4j，=6i−3j，=(5−m)i−(3+m)j其中i，j分别是直角坐标系内x轴与y轴正方向上的单位向量(1)A，B，C能够成三角形，求实数m应满足的条件。

北京市西城区2023-2024学年高二下学期期中考试数学试题含答案

北京市西城区2023-2024学年高二下学期期中考试数学试题含答案

2025届高二第二学期期中数学试题（答案在最后）一、单选题1.在等差数列{}n a 中，若45615aa a ++=，则28a a +=（）A.6B.10C.7D.5【答案】B 【解析】【分析】由等差数列的性质可得：462852a a a a a +=+=，代入可得55a =，而要求的值为52a ，代入可得．【详解】由等差数列的性质可得：462852a a a a a +=+=所以45615a a a ++=，即5315a =，55a =，故28522510a a a +==⨯=，故选：B ．2.已知数列{}n a 的通项公式为n a ＝n 2－n －50，则－8是该数列的()A.第5项B.第6项C.第7项D.非任何一项【答案】C 【解析】【分析】令8n a =-，解出正整数n 即为数列的第几项.【详解】由题意，令8n a =-，解得7n =或6-（舍），即为数列的第7项.故选C.【点睛】本题考查数列通项公式的应用，熟练掌握数列的基本性质，n 为数列的项数.3.《九章算术》之后，人们进一步地用等差数列求和公式来解决更多的问题，《张邱建算经》卷上第22题为：今有女善织，日益功疾（注：从第2天起每天比前一天多织相同量的布），第一天织5尺布，现在一月（按30天计），共织420尺布，则第2天织的布的尺数为A.16329B.16129C.8115D.8015【答案】A【解析】【详解】设公差为d ,由题意可得：前30项和30S =420=30×5+30292⨯d ,解得d =1829.∴第2天织的布的尺数=5+d =16329.故选A.4.如图，函数y＝f(x)在A，B 两点间的平均变化率等于()A.-1B.1C.-2D.2【答案】A 【解析】【分析】根据平均变化率的概念求解.【详解】易知()13f =，()31f =，因此()()31131f f -=--，故选A【点睛】求平均变化率的一般步骤：①求自变量的增量△x=x 2-x 1，②求函数值的增量△y=f （x 2）-f （x 1），③求函数的平均变化率()()2121f x -f x y =x x -x ∆∆.5.已知等比数列{}n a 的各项均为正数，其前n 项和为n S ，若22a =，5646a a a +=，则5(a =)A.4B.10C.16D.32【答案】C 【解析】【分析】根据等比数列的通项公式，建立方程关系求出公比即可．【详解】由6546a a a +=得260q q +-=，解得2q =，从而352216a a =⋅=．故选C ．【点睛】本题主要考查等比数列通项公式的应用，建立方程关系求出公比是解决本题的关键．6.李明自主创业种植有机蔬菜，并且为甲、乙、丙、丁四家超市提供配送服务，甲、乙、丙、丁四家超市分别需要每隔2天、3天、5天、6天去配送一次．已知5月1日李明分别去了这四家超市配送，那么整个5月他不用去配送的天数是（）A.12B.13C.14D.15【答案】B【解析】【分析】由题意将剩余天数编号，转化条件得李明每逢编号为3、4、6、7的倍数时要去配送，利用分类加法即可得解.【详解】将5月剩余的30天依次编号为1，2，3⋅⋅⋅30，因为甲、乙、丙、丁四家超市分别需要每隔2天、3天、5天、6天去配送一次，且5月1日李明分别去了这四家超市配送，所以李明每逢编号为3的倍数的那天要去甲超市配送，每逢编号为4的倍数的那天要去乙超市配送，每逢编号为6的倍数的那天要去丙超市配送，每逢编号为7的倍数的那天要去丁超市配送，则李明去甲超市的天数编号为：3、6、9、12、15、18、21、24、27、30，共10天；李明去乙超市但不去甲超市的天数编号为：4、8、16、20、28，共5天；李明去丙超市但不去甲、乙超市的天数编号不存在，共0天；李明去丁超市但不去甲、乙、丙超市的天数编号为：7、14，共2天；+++=，所以李明需要配送的天数为1050217-=.所以整个5月李明不用去配送的天数是301713故选：B.【点睛】本题考查了计数原理的应用，考查了逻辑推理能力、转化化归思想与分类讨论思想，关键是对于题目条件的转化与合理分类，属于中档题.7.“十二平均律”是通用的音律体系，明代朱载堉最早用数学方法计算出半音比例，为这个理论的发展做出了重要贡献.十二平均律将一个纯八度音程分成十二份，依次得到十三个单音，从第二个单音起，每一个单音的频率与它的前一个单音的频率的比都等于.若第一个单音的频率为f，则第八个单音的频率为A.fB.C. D.【答案】D 【解析】【详解】分析：根据等比数列的定义可知每一个单音的频率成等比数列，利用等比数列的相关性质可解.详解：因为每一个单音与前一个单音频率比为，所以1(2,)n n a n n N -+=≥∈，又1a f =，则7781a a q f ===故选D.点睛：此题考查等比数列的实际应用，解决本题的关键是能够判断单音成等比数列.等比数列的判断方法主要有如下两种：（1）定义法，若1n n a q a +=（*0,q n N ≠∈）或1n n aq a -=（*0,2,q n n N ≠≥∈），数列{}n a 是等比数列；（2）等比中项公式法，若数列{}n a 中，0n a ≠且212n n n a a a --=⋅（*3,n n N ≥∈），则数列{}n a 是等比数列.8.已知等比数列{}n a 公比为q ，其前n 项和为n S ，若3S 、9S 、6S 成等差数列，则3q 等于（）A.1B.12-C.12-或1 D.1-或12【答案】B 【解析】【分析】因为3S 、9S 、6S 成等差数列，所以9632S S S +=，显然1q ≠，代由等比数列的前n 项和公式化简即得所求【详解】因为3S 、9S 、6S 成等差数列，所以9632S S S +=，显然1q ≠，由等比数列的前n 项和公式有()()()9631112111111a q a q a q q q q---=+---，化简得9632q q q =+，又0q ≠，所以6321q q =+解得312q =-或31q =（舍），故312q =-，故选：B.9.等比数列{}n a 中，12a =，84a =，函数128()()()()f x x x a x a x a =---，则(0)f '=A.62 B.92 C.122 D.152【答案】C 【解析】【分析】将函数看做x 与()()()128x a x a x a --⋅⋅⋅-的乘积，利用乘法运算的求导法则，代入0x =可求得()1280f a a a '=⋅⋅⋅；根据等比数列性质可求得结果.【详解】()()()()128f x x a x x a x a --⋅''=⎡⋅-⎤⎣⎦⋅()()()()()()128128x a x a x a x a x a x a x x ''=+--⋅⋅⋅---⋅⋅⋅⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦-()()()()()()128128x x a x a x a x a x a x a --⋅⋅⋅---⋅⋅'=+⎡⎤-⎡⎤⎣⎦⎣⎦⋅()1280f a a a '∴=⋅⋅⋅又18273645a a a a a a a a ===()()441218082f a a '∴===本题正确选项：C【点睛】本题考查导数运算中的乘法运算法则的应用，涉及到等比数列性质应用的问题，关键是能够将函数拆解为合适的两个部分，从而求解导数值时直接构造出数列各项之间的关系.10.设()f x 是定义在R 上恒不为零的函数，对任意实数,x y R ∈，都有()()()f x f y f x y =+，若112a =，()()n a f n n N +=∈，则数列{}n a 的前n 项和n S 的取值范围是()A.1,12⎡⎫⎪⎢⎣⎭ B.1,22⎡⎫⎪⎢⎣⎭C.1[,2]2 D.1[,1]2【答案】A 【解析】【分析】根据f （x ）•f （y ）＝f （x +y ），令x ＝n ，y ＝1，可得数列{a n }是以12为首项，以12为等比的等比数列，进而可以求得S n ，进而S n 的取值范围．【详解】∵对任意x ，y ∈R ，都有f （x ）•f （y ）＝f （x +y ），∴令x ＝n ，y ＝1，得f （n ）•f （1）＝f （n +1），即()()11n n f n a a f n ++==f （1）12=，∴数列{a n }是以12为首项，以12为等比的等比数列，∴a n ＝f （n ）＝（12）n ，∴S n 11122112n ⎛⎫- ⎪⎝⎭==-1﹣（12）n ∈[12，1）．故选A ．【点睛】本题主要考查了等比数列的求和问题，解题的关键是根据对任意x ，y ∈R ，都有f （x ）•f （y ）＝f （x +y ）得到数列{a n }是等比数列，属中档题．二、填空题（共5小题；共10分）11.已知{}n a 是等差数列，若171,13a a ==，则4a =_______.【答案】7【解析】【分析】根据等差数列的性质，直接计算结果.【详解】1742a a a +=，所以17472a a a +==.故答案为：712.已知函数2()42f x x x =-+，且0()2f x '=，那么0x 的值为_____．【答案】3【解析】【分析】求导得()24f x x '=-，进而由0()2f x '=可得结果.【详解】由2()42f x x x =-+得()24f x x '=-，则00()242f x x '=-=，解得03x =.故答案为：3.13.n S 是正项等比数列{}n a 的前n 和，318a =，326S =，则1a =______．公比q =______．【答案】①.2②.3【解析】【分析】讨论公比q 的取值，联立方程组即可解出答案.【详解】当1q =时，333S a ≠，不满足题意，故1q ≠；当1q ≠时，有()2131181261a q a q q⎧=⎪-⎨=⎪-⎩，解之得：123a q =⎧⎨=⎩.故答案为：2；3.【点睛】本题考查等比数列基本量的计算，属于基础题.熟练掌握等比数列的通项公式与前n 项和公式是解本题的基础.14.将一个边长为6的正方形铁片的四角截去四个边长为x 的小正方形，做成一个无盖方盒.当方盒的容积V 取得最大值时，x 的值为_________.【答案】1【解析】【分析】由题可得该方盒的容积()32424+36V x x x x =-，03x <<，利用导数判断其单调性可求出最值.【详解】由题可得03x <<，可知该方盒的底面是一个边长为62x -，则该方盒的容积()()23262424+36V x x x x x x =-⋅=-，03x <<，()()()21248+361213V x x x x x '∴=-=--，则当()0,1x ∈时，()0V x '>，()V x 单调递增，当()1,3x ∈时，()0V x '<，()V x 单调递减，∴当1x =时，()()max 116V x V ==，故当方盒的容积V 取得最大值时，x 的值为1.故答案为：1.15.小明用数列{a n }记录某地区2019年12月份31天中每天是否下过雨，方法为：当第k 天下过雨时，记a k ＝1，当第k 天没下过雨时，记a k ＝﹣1（1≤k ≤31）；他用数列{b n }记录该地区该月每天气象台预报是否有雨，方法为：当预报第k 天有雨时，记b k ＝1，当预报第k 天没有雨时，记b k ＝﹣1（1≤k ≤31）；记录完毕后，小明计算出a 1b 1+a 2b 2+…+a 31b 31＝25，那么该月气象台预报准确的的总天数为_____；若a 1b 1+a 2b 2+…+a k b k＝m ，则气象台预报准确的天数为_____（用m ，k 表示）.【答案】①.28②.2m k +【解析】【分析】根据题意得到a k b k ＝1表示第k 天预报正确，a k b k ＝﹣1表示第k 天预报错误，从而得到2m kx +=，根据25m =得到该月气象台预报准确的的总天数.【详解】依题意，若1k k a b =（131k ≤≤），则表示第k 天预报正确，若1k ka b =-（131k ≤≤），则表示第k 天预报错误，若1122k ka b a b a b m +++=⋯，假设其中有x 天预报正确，即等式的左边有x 个1，()k x -个1-，则()x k x m --=，解得2m kx +=，即气象台预报准确的天数为2m k+；于是若1122313125a b a b a b ++⋯=+，则气象台预报准确的天数为3125282+=.故答案为：28，2m k+.【点睛】本题考查数列的实际应用，考查化归与转化的能力，属于中档题.三、解答题16.已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且35a =-，424S =-．（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）求n S 的最小值．【答案】（1）211n a n =-（2）25-【解析】【分析】（1）根据等差数列通项公式和前n 项和公式列方程组求解可得；（2）利用通项公式确定数列的负数项，可得5S 最小，然后由求和公式可得.【小问1详解】设等差数列{}n a 的公差为d ，则由条件得11254624a d a d +=-⎧⎨+=-⎩，解得192a d =-⎧⎨=⎩，所以()921211n a n n =-+-=-．【小问2详解】由（1）知211n a n =-，令2110n a n =-≤，得 5.5n ≤，所以数列{}n a 的前5项和5S 是n S 的最小值，即()()51min 5105921025n S S a d ==+=⨯-+⨯=-．17.已知在直三棱柱111ABC A B C -中，1901BAC AB BB ∠=︒==，，直线1B C 与平面ABC 成30︒的角．（1）求三棱锥11C AB C -的体积；（2）求二面角1B B C A --的余弦值．【答案】（1）6（2）33【解析】【分析】（1）根据侧棱与底面垂直可得130B CB ∠=，由此求得底面三角形各边长；根据线面垂直的判定可证得AB ⊥平面1ACC ，得到三棱锥11B ACC -的高为11A B ；利用等体积法1111C AB C B ACC V V --=，根据三棱锥体积公式求得结果；（2）以A 为原点建立空间直角坐标系，根据二面角的空间向量求法可求得结果.【详解】（1） 三棱柱为直三棱柱1BB ∴⊥平面ABC ，1AA ⊥底面ABC 1B C ∴与底面ABC 所成角为1B CB ∠130B CB ∴∠=11AB BB ==BC ∴=AC ∴=1AA ⊥ 底面ABC ，AB ⊂平面ABC 1AB AA ∴⊥又90BAC ∠= ，即AB AC ⊥，1,AA AC ⊂平面1ACC ，1AA AC A= AB ∴⊥平面1ACC ，又11//AB A B 11A B ∴⊥平面1ACC 1111111111113326C AB C B ACC ACC V V S A B --∆∴==⋅=⨯=（2）以A为原点，可建立如图所示空间直角坐标系则()0,1,0B ，()10,1,1B，)C，()0,0,0A )1,0BC ∴=-，()10,0,1BB = ，()10,1,1AB =，)AC =设平面1BB C 的法向量()1111,,n x y z =11111100BC n y BB n z ⎧⋅=-=⎪∴⎨⋅==⎪⎩ ，令11x =，则1y =，10z=()1n ∴=设平面1AB C 的法向量()2222,,n x y z =12222200AB n y z AC n ⎧⋅=+=⎪∴⎨⋅==⎪⎩ ，令21y =，则21z =-，20x =()20,1,1n ∴=-121212cos ,3n n n n n n ⋅∴<>==二面角1B B C A --为锐角∴二面角1B B C A --的余弦值为3【点睛】本题考查立体几何中三棱锥体积的求解、空间向量法求解二面角的问题；求解三棱锥体积的常用方法为等体积法，将所求三棱锥转化为高易求的三棱锥，结合三棱锥体积公式求得结果.18.已知函数()3f x x ax b =++的图象是曲线C ，直线1y kx =+与曲线C 相切于点()1,3．（1）求函数()f x 的解析式；（2）求函数()f x 的递增区间；（3）求函数()()23F x f x x =--在区间[]0,2上的最大值和最小值．【答案】（1）()33f x x x =-+；（2）,3⎛-∞- ⎝⎭，3⎛⎫∞ ⎪ ⎪⎝⎭；（3）()F x 的最大值为2，最小值为2-【解析】【分析】（1）将切点坐标代入切线方程可得k ，根据切点处的导数等于切线斜率可得a ，再将切点坐标代入曲线方程即可求得曲线方程；（2）求导，解不等式()0f x '>即可；（3）求导，解方程()0F x '=，然后列表求极值，比较极值和端点函数值大小即可得解.【小问1详解】因为切点为()1,3，所以13k +=，得2k =．因为()23f x x a ='+，所以()132f a ='+=，得1a =-．则()3f x x x b =-+．由()13f =得3b =．所以()33f x x x =-+．【小问2详解】由()33f x x x =-+得()231f x x ='-．令()2310f x x -'=>，解得3x <-或3x >．所以函数()f x的递增区间为,3∞⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭，,3∞⎛⎫+ ⎪ ⎪⎝⎭．【小问3详解】()()323,33F x x x F x x '=-=-，令()2330F x x -'==，得1211x x =-=，．列表：x 0()0,11()1,22()F x '-0+()F x 0递减极小值递增2因为()()()12,00,22F F F =-==，所以当[]0,2x ∈时，()F x 的最大值为2，最小值为2-．19.已知函数()ln f x x x a =--．（1）若()0f x ≥，求a 的取值范围；（2）证明：若()f x 有两个零点1x ，2x ，则121x x <．【答案】（1）(],1∞-；（2）证明见解析.【解析】【分析】（1）求导，分别解不等式()0f x '>，()0f x '<即可；（2）设12x x <，结合（1）可知1201x x <<<，构造函数()()1g x f x f x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，利用导数判断单调性即可得()()1221f x f x f x ⎛⎫=> ⎪⎝⎭，结合()f x 在()0,1上单调递减即可得证.【小问1详解】由题意知函数()f x 的定义域为()0,∞+，解()10x f x x -'=>得1x >，解()10x f x x-'=<得01x <<，所以函数()f x 在()0,1上单调递减，在()1,∞+上单调递增，所以()()min 11f x f a ==-，又()0f x ≥，所以10a -≥，解得1a ≤，所以a 的取值范围为(],1∞-．【小问2详解】不妨设12x x <，则由（1）知1201x x <<<，2101x <<，构造函数()()112ln g x f x f x x x x ⎛⎫=-=-- ⎪⎝⎭，则()()22211210x g x x x x-=+-=≥'，所以函数()g x 在()0,∞+上单调递增，所以当1x >时，()()10g x g >=，即当1x >时，()1f x f x ⎛⎫> ⎪⎝⎭，所以()()1221f x f x f x ⎛⎫=> ⎪⎝⎭，又()f x 在()0,1上单调递减，所以12101x x <<<，即121x x <．20.已知椭圆2222:1(0)x y a b a b ω+=>>过点(2,0)A -，且2a b =.（1）求椭圆ω的方程；（2）设O 为原点，过点(1,0)C 的直线l 与椭圆ω交于P ，Q 两点，且直线l 与x 轴不重合，直线AP ，AQ 分别与y 轴交于M ，N 两点.求证：||||OM ON ⋅为定值.【答案】（1）2214x y +=；（2）证明见解析.【解析】【分析】（1）由题可得2a =，进而得出1b =，即可得出椭圆方程；（2）先考虑直线斜率不存在时，可得1||||=3OM ON ⋅，当斜率存在时，设出直线方程，联立直线与椭圆，得出韦达定理，得出直线AP 的方程，可表示出M 坐标，同理表示出N 的坐标，进而利用韦达定理可求出||||OM ON ⋅.【详解】解：（1）因为椭圆ω过点(2,0)A -，所以2a =.因为2a b =，所以1b =.所以椭圆ω的方程为2214x y +=.（2）当直线l 斜率不存在时，直线l 的方程为1x =.不妨设此时3(1,2P ，(1,)2Q -，所以直线AP的方程为2)y x =+，即M .直线AQ 的方程为(2)6y x =-+，即(0,)3N -.所以1||||=3OM ON ⋅.当直线l 斜率存在时，设直线l 的方程为(1)y k x =-，由22(1)14y k x x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩，得2222(41)8440k x k x k +-+-=.依题意，0∆>.设11(,)P x y ，22(,)Q x y ，则2122841k x x k +=+，21224441k x x k -=+.又直线AP 的方程为11(2)2y y x x =++，令0x =，得点M 的纵坐标为1122M y y x =+，即112(0,)2y M x +.同理，得222(0,)2y N x +.所以||||=OM ON ⋅12124(2)(2)y y x x ++212124(1)(1)(2)(2)k x x x x --=++2121212124[()1]2()4k x x x x x x x x -++=+++2222222224484(1)41414416+44141k k k k k k k k k --+++=-+++22222224(44841)44+16164k k k k k k k --++=-++221236k k =13=.综上，||||OM ON ⋅为定值，定值为13.【点睛】方法点睛：解决直线与圆锥曲线相交问题的常用步骤：（1）得出直线方程，设交点为()11A x y ，，()22B x y ，；（2）联立直线与曲线方程，得到关于x （或y ）的一元二次方程；（3）写出韦达定理；（4）将所求问题或题中关系转化为1212,x x x x +形式；（5）代入韦达定理求解.21.约数，又称因数.它的定义如下：若整数a 除以整数()0m m ≠得到的商正好是整数而没有余数，我们就称a 为m 的倍数，称m 为a 的约数．设正整数a 共有k 个正约数，即为1a ，2a ，L ，1k a -，()12k k a a a a <<⋅⋅⋅<．（1）当4k =时，若正整数a 的k 个正约数构成等比数列，请写出一个a 的值；（2）当4k ≥时，若21a a -，32a a -，L ，1k k a a --构成等比数列，求正整数a 的所有可能值；（3）记12231k k A a a a a a a -=+++ ，求证：2A a <．【答案】（1）8a =（答案不唯一）；（2）12k a a -=，中2a 为质数；（3）证明见解析.【解析】【分析】（1）根据定义得11a =，然后取公比为2即可得8a =；（2）根据约数定义分析其规律，然后化简3212112k k k k a a a a a a a a -----=--可得232321a a a a a ⎛⎫-= ⎪-⎝⎭，由2a 是整数a 的最小质因数可得232a a =，进而可得公比，然后可求a ；（3）利用()11i k ia a a i k +-=≤≤变形得22212112k k k k a a a A a a a a a a ---=++⋅⋅⋅+，然后利用裂项相消法结合放缩放即可得证.【小问1详解】由题意可知，11a =，当4k =时,正整数a 的4个正约数构成等比数列，取公比为2得：1，2，4，8为8的所有正约数，即8a =．【小问2详解】根据约数定义可知，数列{}n a 中，首尾对称的两项之积等于a ，即()11i k i a a a i k +-=≤≤，所以11a =，k a a =，12k a a a -=，23k a a a -=，因为4k ≥，依题意可知3212112k k k k a a a a a a a a -----=--，所以3222123aa a a a a a a a a a --=--，化简可得()()2232231a a a a -=-，所以232321a a a a a ⎛⎫-= ⎪-⎝⎭，因为3a *∈N ，所以3221a a a a *-∈-N ，因此可知3a 是完全平方数．由于2a 是整数a 的最小质因数，3a 是a 的因子，且32a a >，所以232a a =，所以，数列21a a -，32a a -，L ，1k k a a --的公比为2322222121a a a a a a a a --==--，所以2132a a a a --，，L ，1k k a a --为21a -，222a a -，L ，1222k k a a ---，所以()124k a a k -=≥，其中2a 为质数．【小问3详解】由题意知1i k i a a a +-=（1i k ≤≤），所以22212112k k k k a a a A a a a a a a ---=+++ ，因为21121212111a a a a a a a a -≤=-，L ，1111111k k k k k k k ka a a a a a a a -----≤=-，所以22212112k k k k a a a A a a a a a a ---=++⋅⋅⋅+212112111k k k k a a a a a a a ---⎛⎫=++⋅⋅⋅+ ⎪⎝⎭2212231111111111k k k a a a a a a a a a a -⎛⎫⎛⎫≤-+-+⋅⋅⋅+-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭因为11a =，k a a =，所以1111ka a -<，所以22111k A a a a a ⎛⎫≤-< ⎪⎝⎭，即2A a <．【点睛】关键点睛：本题关键在于根据约数定义分析其性质，抓住11,k a a k ==，()11i k i a a a i k +-=≤≤，以及2a 为质数即可求解.。

天津市和平区2022-2023高二上学期期中质量调查数学试题Word版含答案

天津市和平区2022-2023高二上学期期中质量调查数学试题Word版含答案

天津市和平区2022-2023高二上学期期中质量调查数学试题第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共10个小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项 中，只有一项是符合题目要求的．1．已知直线l 的倾斜角为030，则直线l 的斜率为（ ） A ．33 B ．22C ．1D ．32．在x 轴、y 轴上的截距分别是2、3-的直线方程为（ ）A ．132=+y xB ．132=-y xC ．123=-x yD ．132-=+y x3．若b a ,是异面直线，α//a ，则b 与α的位置关系是（ ）A ．α//b 或α⊂bB ．b 与α相交或α//bC ．b 与α相交或α⊂bD ．b 与α相交或α⊂b 或α//b4．若一个长方体的长、宽、高分别为3、2、1，则它的外接球的表面积为（ ）A ．23πB ．π5C ．π6D ．π245．过点)1,1(-A 与)1,1(-B 且圆心在直线02=-+y x 上的圆的方程为（ ）A ．4)1()3(22=++-y xB ．4)1()3(22=-++y x C ．4)1()1(22=+++y x D ．4)1()1(22=++-y x 6．如果轴截面为正方形的圆柱的侧面积是π4，那么圆柱的体积等于（ ）A ．πB ．π2C ．π4D ．π87．过点)4,2(-P 作圆C ：0202422=---+y x y x 的切线l ，直线m ：03=-y ax 与直线l 平行，则直线l 与m 之间的距离为（ ）A ．58B ．512C ．4D ．28．已知平面⊥α平面β，l =βα ，点l A A ∈∈,α，直线l AB //，直线l AC ⊥，直线βα//,//m m ，则下列四种位置关系中，不一定成立的是（ ）A ．β⊥AB B ．m AC ⊥ C ． β//ABD ．m AB //第Ⅱ卷（共60分）二、填空题（每题4分，满分20分，将答案填在答题纸上）9．若点)2,2(A ，)0,(a B ，)4,0(C 三点共线，则a 的值等于 . 10．一个圆锥的母线为cm 20，母线与轴的夹角为030，则圆锥的高为 cm .11．圆9)3()3(22=-+-y x 上到直线01143=-+y x 的距离等于1的点有 个. 12．若直线l 与平面α相交于点O ，l B A ∈,，α∈D C ,，且BD AC //，则D C O ,,三点的位置关系是 .13．如图，正方体1111D C B A ABCD -中，给出以下四个结论：①//1C D 平面11ABB A ；②11D A 与平面1BCD 相交；③⊥AD 平面DB D 1；④平面⊥1BCD 平面11ABB A ，其中正确结论的序号是 ．14．三棱锥ABC P -中，E D ,分别为PC PB ,的中点，记三棱锥ABE D -的体积为1V ，ABC P -的体积为2V ，则=21:V V ．三、解答题 （本大题共5题，共40分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）15．已知直线l 经过直线0243=-+y x 与直线022=++y x 的交点P .（1）若直线l 垂直于012=--y x ，求直线l 的方程；（2）若直线l 与经过两点)6,8(-A ，)2,2(B 的直线平行，求直线l 的方程.16．已知方程04222=+--+m y x y x . （1）若此方程表示圆，求m 的取值范围；（2）若（1）中的圆与直线042=-+y x 相交于N M ,两点，且ON OM ⊥（O 为坐标原点），求m 的值.17．如图，直三棱柱111C B A ABC -中，1111C B C A =，B A AC 11⊥，N M ,分别是AB B A ,11的中点，求证：（1）⊥M C 1平面11ABB A ；（2）AM B A ⊥1；（3）平面//1AMC 平面C NB 1.18．如图，在四棱锥ABCD P -中，底面四边形ABCD 是矩形，⊥PA 平面ABCD ，F E ,分别是PD AB ,的中点，AD PA =.（1）求证：//AF 平面PEC ；（2）求二面角B CD P --的大小；（3）若22,2==CD AD ，求直线PE 与平面PCD 所成角的正弦值.19．已知O 为坐标原点，设动点),(t s M ．（1）当34,0==t s 时，若过点M 的直线l 与圆C ：0822=-+x y x 相切，求直线l的方程；（2）当0,2>=t s 时，求以OM 为直径且被直线0543=--y x 截得的弦长为2的圆的方程；（3）当0,2>=t s 时，设)0,1(A ，过点A 作OM 的垂线，与以OM 为直径的圆交于点N ，垂足为H ，试问：线段ON 的长是否为定值？若为定值，求出这个定值；若不为定值，请说明理由.试卷答案一、选择题1-5：ABDCD 6-8：CA二、填空题9．4 10．310 11．3 12．在同一条直线上 13．①④ 14．4:1三、解答题15．解：由⎩⎨⎧=++=-+0220243y x y x ，解得⎩⎨⎧=-=22y x∴点P 的坐标为)2,2(-.（1）∵直线012=--y x 的斜率为21，∴与该直线垂直的直线l 的斜率为2-，∴直线l 的方程为)2(22+-=-x y ，即022=++y x .（2）直线AB 的斜率为342826-=---=AB k ，∵直线l 与直线AB 平行， ∴34-==l AB k k ，∴直线l 的方程为)2(342+-=-x y ，即0234=++y x .16．（1）解：∵方程04222=+--+m y x y x 表示圆， ∴m F E D =-=-=,4,2，∴0420422>-=-+m F E D ，解得5<m .∴m 的取值范围是5<m .（2）设N M ,的坐标分别为),(),,(2211y x y x ，则由⎩⎨⎧=-+=+--+04204222y x m y x y x 消去x 并整理得081652=++-m y y ， ∴58,5162121m y y y y +==+，∵ON OM ⊥，且2211,x y k x y k ON OM ==，∴12211-=⋅x y x y ，即02121=+y y x x ，∵221124,24y x y x -=-=，∴0)24)(24(2121=+--y y y y ，整理得016)(852121=++-y y y y ∴0165168585=+⨯-+⨯m ， 解得58=m ，即m 的值为58. 17．（1）证法一：由直三棱柱111C B A ABC -得⊥1AA 平面111C B A ，∵⊂M C 1平面111C B A ，∴⊥1AA M C 1，又∵1111C B C A =，M 为11B A 的中点，∴111B A M C ⊥，又∵1111A B A AA = ，∴⊥M C 1平面11ABB A .证法二：由直三棱柱111C B A ABC -得平面⊥11ABB A 平面111C B A ，且平面 11ABB A 平面11111B A C B A =， ∵1111C B C A =，M 为11B A 的中点，∴111B A M C ⊥，又∵⊂M C 1平面111C B A ，∴⊥M C 1平面11ABB A .（2）由（1）知，⊥M C 1平面11ABB A∵⊂B A 1平面11ABB A ，∴⊥M C 1B A 1，∵⊥1AC B A 1， 1AC 11C M C =，∴⊥B A 1平面1AMC ，∵⊂AM 平面1AMC ，∴AM B A ⊥1.（3）证法一：由直三棱柱111C B A ABC -知，四边形11ABB A 是矩形， ∵N M ,分别是AB B A ,11的中点，∴M B AN 1//，且M B AN 1=，∴四边形N AMB 1是平行四边形，∴N B AM 1//，∵⊄AM 平面C NB 1，⊂N B 1平面C NB 1，∴//AM 平面C NB 1，连接MN ，则四边形MN BB 1是矩形，∴MN BB //1，且MN BB =1，又∵11//CC BB ，11CC BB =，∴1//CC MN ，且1CC MN =，∴四边形1MNCC 是矩形，∴CN M C //1，∵⊄M C 1平面C NB 1，⊂CN 平面C NB 1，∴//1M C 平面C NB 1又∵N N B CN M M C AM ==11, ，∴平面//1AMC 平面C NB 1.证法二：由（2）知，⊥B A 1平面1AMC ，∵⊂AM 平面1AMC ，∴⊥B A 1AM ，∵1//NB AM ，∴⊥B A 11NB ，∵⊥CN 平面11ABB A ，⊂B A 1平面11ABB A ，∴⊥CN B A 1，∵ 1NB N CN =，∴⊥B A 1平面C NB 1，∴平面//1AMC 平面C NB 1.18、（1）证明：取PC 的中点G ，连接FG EG ,，∵F 是PD 的中点，∴DC FG //，且DC FG 21=，∵四边形ABCD 是矩形，∴DC AB //，且DC AB =，∴AB FG //，且AB FG 21=，又∵E 是AB 的中点，∴AB AE 21=， ∴AE FG //，且AE FG =，∴四边形AEGF 是平行四边形，∴EG AF //，∵⊄AF 平面PEC ，⊂GE 平面PEC∴//AF 平面PEC .（2）∵⊥PA 平面ABCD ，⊂CD 平面ABCD∴⊥PA CD ，∵四边形ABCD 是矩形，∴⊥AD CD ，∵ PA A AD =，PA 、⊂AD 平面PAD ，∴⊥CD 平面PAD ，又∵⊂PD 平面PAD ，⊥CD PD∴PDA ∠为二面角B CD P --的平面角，∵AD PA =，∴PAD ∆为等腰直角三角形∴045=∠PDA ，即二面角B CD P --的大小为045.（3）由（2）知，PAD ∆为等腰直角三角形∵F 是斜边PD 的中点，∴PD AF ⊥，由（1）知，EG AF //，∴PD EG ⊥，又由（2）知，⊥CD 平面PAD ，⊂AF 平面PAD ，∴⊥CD AF ，∴⊥CD EG ，又∵⊂=CD PD D CD PD ,, 平面PCD ，∴⊥EG 平面PCD ，∴PG 是直线PE 在平面PCD 上的射影，∴EPG ∠为直线PE 与平面PCD 所成的角，在PAE Rt ∆中，2=PA ，222212121=⨯===AB CD AE ， ∴62)2(2222=+=+=PA AE PE ， 在等腰直角PAD ∆中，222222=+=PD∵F 是PD 的中点， ∴221==PD AF ， ∴2=EG ∴3362sin ===∠PE EG EPG ， 即直线PE 与平面PCD 所成角的正弦值为33.19、(1)解：依题意)34,0(M ，将圆C ：0822=-+x y x 化为标准方程为：16)4(22=+-y x ， 则圆心)0,4(C ，半径为4=r ，∵直线l 过点M ，∴当斜率不存在时，直线l 的方程为0=x ，符合题意；当斜率存在时，设过点M 的直线l 的方程为34+=kx y ，即034=+-y kx . ∵直线l 与圆C 相切，∴圆心C 到直线l 的距离为4， 即41|344|2=++=k k d ，解得33-=k ， ∴3433+-=x y ，即0123=-+y x ，综上可得，所求直线l 的方程为0=x 或0123=-+y x .（2）依题意得，),2(t M （0>t ），∴以OM 为直径的圆圆心为)2,1(t ，半径为412t r +=， ∴圆的方程为14)2()1(222+=-+-t t y x ， ∵以OM 为直径的圆被直线0543=--y x 截得的弦长为2，∴圆心到直线0543=--y x 的距离为21)14(122t t r d =-+=-=， ∴)0(2)4(3|523|22>=-+--t t t ，解得4=t .∴圆心为)2,1(，半径为5=r ，∴所求圆的方程为5)2()1(22=-+-t x . （3）ON 的长为定值.理由如下：依题意得),2(t M （0>t ）由于OHN ∆∽ONM ∆，则OM ON ON OH =，即OM OH ON ⋅=2， ∵直线NH 的方程为)1(2--=x t y ，即022=+-ty x ∴由点到直线的距离公式得242t OH +=， 又由两点间的距离公式得24t OM +=， ∴2442222=+⋅+=t t ON ， ∴2=ON ，∴ON 的长为定值为2.。

2019-2020学年天津市和平区七年级下学期期中数学试卷 (解析版)

2019-2020学年天津市和平区七年级下学期期中数学试卷 (解析版)

2019-2020学年天津市和平区七年级第二学期期中数学试卷一、选择题（共12小题）.1．64的立方根是（）A．4B．±4C．8D．±82．估算的值是（）A．在1和2之间B．在2和3之间C．在3和4之间D．在4和5之间3．下面四个点位于第四象限的是（）A．（﹣1，2）B．（﹣2，﹣2）C．（2，5）D．（6，﹣2）4．点A为直线a外一点，点B是直线a上一点，点A到直线a的距离为5cm，则AB的长度可能为（）A．2cm B．3cm C．4cm D．18cm5．将点P（1，﹣5）向左平移3个单位，再向上平移6个单位，得到点Q，点Q的坐标为（）A．（﹣2，1）B．（4，1）C．（4，﹣11）D．（﹣2，﹣11）6．已知小明从点O出发，先向西走10米，再向南走20米，到达点M，如果点M的位置用（﹣10，﹣20）表示，那么（10，﹣10）表示的位置是（）A．点A B．点B C．点C D．点D7．已知点A在第二象限，到x轴的距离是5，到y轴的距离是6，点A的坐标为（）A．（﹣5，6）B．（﹣6，5）C．（5，﹣6）D．（6，﹣5）8．下列各组数中，是方程组的解是（）A．B．C．D．9．小亮的妈妈用28元钱买了甲乙两种水果，甲种水果每千克4元，乙种水果每千克6元，且乙种水果比甲种水果多买了2千克，求小亮妈妈两种水果各买了多少千克？设小亮妈妈买了甲种水果x千克，乙种水果y千克，则可列方程组为（）A．B．C．D．10．在以下说法中：①实数分为正有理数、0、负有理数．②实数和数轴上的点一一对应．③过直线外一点有且只有一条直线和已知直线垂直．④过一点有且只有一条直线和已知直线平行．⑤假命题不是命题．⑥如果两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行．⑦若一个数的立方根和平方根相同，那么这个数只能是0．其中说法正确的个数是（）A．3B．4C．5D．611．已知，EF∥AB，CD⊥DF，判断∠1，∠2，∠3之间的关系满足（）A．∠1+∠2+∠3＝180°B．∠2＝∠3+∠1C．∠1+∠2﹣∠3＝90°D．∠2+∠3﹣∠1＝90°12．已知关于x，y的方程组和有相同的解，那么的平方根是（）A．0B．±1C．D．±2二、填空题：（每题3分，共18分）13．已知如图，若满足，则可以判定AB∥CD．（仅可添加一个条件）14．如图，同旁内角有对．15．某楼梯的截面如图，其中ER＝5米，RQ＝10米，若在楼梯上铺设地毯，至少需要米．16．比较下列各数的大小关系：①2；②2；③．17．已知△ABC的面积为16，其中两个顶点的坐标分别是A（﹣7，0），B（1，0），顶点C在y轴上，那么点C的坐标为．18．阅读材料后完成．有这样一个游戏，游戏规则如下所述：如图①﹣图④，都是边长为1的5×5网格图，其中每条实线称为格线，格线与格线的交点称为格点．在图①和图②中，可知EF⊥EH，LM⊥AB．在图③和图④中，可知CD∥AB．根据上面的游戏规则，同学们开始闯关吧！第一关：在图⑤的6×6网格图中，所给各点均为格点，经过给定的一点（不包括边框上的点），在图中画出一条与线段AB垂直的线段（或者直线）BC，再画出与线段AB 平行的一条线段（或者直线）EF；第二关：在图⑥的6×6网格图中，所给各点均为格点，经过两对给定的点，构造两条互相垂直的直线．（在图中直接画出）三、解答题：本大题共7小题，共58分.其中19、20、22、23题每小题0分，21题6分，24、25题每小题0分，解答应写出文字说明、演算步骤或简单推理过程.19．计算：（1）；（2）；20．解下列二元一次方程组（1）；（2）；21．已知如图，在△ABC中，三个顶点的坐标分别为A（2，3），B（5，﹣1），C（1，1），将△ABC沿x轴负方向平移4个单位长度，再沿y轴负方向平移2个单位长度，得到△DEF，其中点A的对应点为点D，点B的对应点为点E，点C的对应点为点F．（1）直接写出平移后的△DEF的顶点坐标：D、E、F；（2）在坐标系中画出平移后的△DEF；（3）求出△DEF的面积．22．已知如图，△ABC过点A做∠DAE＝∠BAC，且AD∥BC，∠1＝∠2．（1）求证AB∥DE；（2）若已知AE平分∠BAC，∠C＝35°，求∠BAD的度数．23．现有36卷相同的布料做工作服，每卷布料可制作成上衣25件，或者制作成裤子40件，一件上衣和两件裤子组成一套，问，用多少卷布料制作上衣，多少卷布料制作裤子可以使上衣和裤子正好配套？24．已知，△ABC，点E是直线AC上一个动点（不与A，C重合），点F是BC边上一个定点，过点E做DE∥BC，交直线AB于点D，连接BE，过点F作FG∥BE，交直线AC于点G．（1）如图①，当点E在线段AC上时，求证：∠DEB＝∠GFC；（2）在（1）的条件下，判断∠DEC、∠EGF、∠BFG这三个角的度数和是否为一个定值？如果是，求出这个值，如果不是，说明理由；（3）如图②，当点E在线段AC的延长线上时，（2）中的结论是否仍然成立？如果不成立，请直接写出∠DEC、∠EGF、∠BFG之间的关系；（4）当点E在线段CA的延长线上时，（2）中的结论是否仍然成立？如果不成立，请直接写出∠DEC、∠EGF、∠BFG之间的关系．25．如图，在长方形OABC中，O为平面直角坐标系的原点，点A的坐标为（a，0），点C的坐标为（0，b）且a，b满足，点B在第一象限内，点P从原点出发，以每秒2个单位长度的速度沿着O﹣A﹣B﹣C﹣O的线路移动．（1）求点B的坐标为；当点P移动5秒时，点P的坐标为；（2）在移动过程中，当点P移动11秒时，求△OPB的面积；（3）在（2）的条件下，坐标轴上是否存在点Q，使△OPQ的面积与△OPB的面积相等，若存在，求点Q的坐标；若不存在，说明理由．参考答案一、选择题：本大题共12小题，每小题3分，共24分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．64的立方根是（）A．4B．±4C．8D．±8【分析】如果一个数x的立方等于a，那么x是a的立方根，根据此定义求解即可．解：∵4的立方等于64，∴64的立方根等于4．故选：A．2．估算的值是（）A．在1和2之间B．在2和3之间C．在3和4之间D．在4和5之间【分析】根据，可以估算出所在的范围．解：∵，∴，故选：B．3．下面四个点位于第四象限的是（）A．（﹣1，2）B．（﹣2，﹣2）C．（2，5）D．（6，﹣2）【分析】根据各象限内点的坐标特征对各选项分析判断后利用排除法求解．解：A、（﹣1，2）在第二象限，故本选项不合题意；B、（﹣2，﹣2）在第三象限，故本选项不合题意；C、（2，5）在第一象限，故本选项不合题意；D、（6，﹣2）在第四象限，故本选项符合题意．故选：D．4．点A为直线a外一点，点B是直线a上一点，点A到直线a的距离为5cm，则AB的长度可能为（）A．2cm B．3cm C．4cm D．18cm【分析】垂线段最短指的是从直线外一点到这条直线所作的垂线段最短．它是相对于这点与直线上其他各点的连线而言．解：∵A为直线a外一点，B是直线a上一点，点A到直线a的距离为5cm，∴AB最短为5cm．∴AB≥5cm，∴AB的长度可能为18cm．故选：D．5．将点P（1，﹣5）向左平移3个单位，再向上平移6个单位，得到点Q，点Q的坐标为（）A．（﹣2，1）B．（4，1）C．（4，﹣11）D．（﹣2，﹣11）【分析】根据横坐标，右移加，左移减；纵坐标，上移加，下移减可得答案．解：将点P（1，﹣5）向左平移3个单位，再向上平移6个单位，得到点Q，点Q的坐标为（﹣2，1）故选：A．6．已知小明从点O出发，先向西走10米，再向南走20米，到达点M，如果点M的位置用（﹣10，﹣20）表示，那么（10，﹣10）表示的位置是（）A．点A B．点B C．点C D．点D【分析】直接根据题意得出横纵坐标的意义，进而得出答案．解：∵点M的位置用（﹣10，﹣20）表示，∴（10，﹣10）表示D点．故选：D．7．已知点A在第二象限，到x轴的距离是5，到y轴的距离是6，点A的坐标为（）A．（﹣5，6）B．（﹣6，5）C．（5，﹣6）D．（6，﹣5）【分析】根据第二象限内点到x轴的距离是点的纵坐标，点到y轴的距离是横坐标的相反数，可得答案．解：A位于第二象限，到x轴的距离为5，到y轴的距离为6，则点A的坐标为（﹣6，5），故选：B．8．下列各组数中，是方程组的解是（）A．B．C．D．【分析】方程组的解，指的是该数值满足方程组中的每一方程，直接解方程组即可求解．解：方程组，两方程相加得到2x＝12，解得x＝6，把x＝6代入其中一个方程得6+y＝8，解得y＝2．故原方程组的解为．故选：B．9．小亮的妈妈用28元钱买了甲乙两种水果，甲种水果每千克4元，乙种水果每千克6元，且乙种水果比甲种水果多买了2千克，求小亮妈妈两种水果各买了多少千克？设小亮妈妈买了甲种水果x千克，乙种水果y千克，则可列方程组为（）A．B．C．D．【分析】根据关键语句“用28元钱买了甲乙两种水果，甲种水果每千克4元，乙种水果每千克6元，且乙种水果比甲种水果多买了2千克”找到等量关系列出方程即可．解：设小亮妈妈买了甲种水果x千克，乙种水果y千克，根据题意得：，故选：C．10．在以下说法中：①实数分为正有理数、0、负有理数．②实数和数轴上的点一一对应．③过直线外一点有且只有一条直线和已知直线垂直．④过一点有且只有一条直线和已知直线平行．⑤假命题不是命题．⑥如果两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行．⑦若一个数的立方根和平方根相同，那么这个数只能是0．其中说法正确的个数是（）A．3B．4C．5D．6【分析】根据实数、的分类、实数与数轴、垂直的定义、命题的概念、平方根和立方根的概念判断即可．解：①实数分为正实数、0、负实数，本说法错误；②实数和数轴上的点一一对应，本说法正确；③在同一平面内，过直线外一点有且只有一条直线和已知直线垂直，本说法错误；④过直线外一点有且只有一条直线和已知直线平行，本说法错误；⑤假命题也是命题，本说法错误；⑥如果两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行，本说法正确；⑦若一个数的立方根和平方根相同，那么这个数只能是0，本说法正确；故选：A．11．已知，EF∥AB，CD⊥DF，判断∠1，∠2，∠3之间的关系满足（）A．∠1+∠2+∠3＝180°B．∠2＝∠3+∠1C．∠1+∠2﹣∠3＝90°D．∠2+∠3﹣∠1＝90°【分析】延长CD交EF于点M，延长DC交AB于点N，先由CD⊥DF得出∠DMF＝90°﹣∠1，结合EF∥AB知∠DMF＝∠CNA＝90°﹣∠1，再根据∠2＝∠3+∠CNA可得答案．解：如图，延长CD交EF于点M，延长DC交AB于点N，∵CD⊥DF，∴∠MDF＝90°，∴∠DMF＝90°﹣∠1，又∵EF∥AB，∴∠DMF＝∠CNA＝90°﹣∠1，∵∠2＝∠3+∠CNA，∴∠2＝∠3+90°﹣∠1，则∠1+∠2﹣∠3＝90°，故选：C．12．已知关于x，y的方程组和有相同的解，那么的平方根是（）A．0B．±1C．D．±2【分析】根据已知条件，知x，y的值适合四个方程，故可以联立解方程组，求得x，y的值后，再联立解方程组，从而求解．解：根据题意得，解得，把代入含有a，b的两个方程得，解得，则＝2，2的平方根是．故选：C．二、填空题：（每题3分，共18分）13．已知如图，若满足∠1＝∠2（答案不唯一），则可以判定AB∥CD．（仅可添加一个条件）【分析】直接利用平行线的判定方法得出答案．解：当∠1＝∠2时，则AB∥CD．故答案为：∠1＝∠2（答案不唯一）．14．如图，同旁内角有4对．【分析】根据同旁内角定义进行分析即可．解：∠1和∠2，∠1和∠6，∠2和∠6，∠3和∠7是同旁内角，共4对，故答案为：4．15．某楼梯的截面如图，其中ER＝5米，RQ＝10米，若在楼梯上铺设地毯，至少需要15米．【分析】根据题意，结合图形，先把楼梯的横竖向上向左平移，构成一个矩形，可求得其长度．解：如图，利用平移线段，把楼梯的横竖向上向左平移，构成一个矩形，长宽分别为10米，5米，则地毯的长度为10+5＝15（米），故答案为：15．16．比较下列各数的大小关系：①2＜；②＜2；③＜．【分析】①先对+1进行估算，然后与2进行比较即可；②先对进行估算，然后估算出的值，最后与2进行比较即可得出答案；③分别对与进行估算，然后进行比较即可．解：①2＜；②＜2；③＜．故答案为：＜，＜，＜．17．已知△ABC的面积为16，其中两个顶点的坐标分别是A（﹣7，0），B（1，0），顶点C在y轴上，那么点C的坐标为（0，±4）．【分析】由A、B的坐标，易求得AB的长，以AB为底，根据△ABC的面积，即可求出C点坐标．解：根据题意，得：AB＝1﹣（﹣7）＝8；∴S△ABC＝AB•|y C|＝＝16，可得：h＝4，所以点C的坐标为（0，±4），故答案为：（0，±4）．18．阅读材料后完成．有这样一个游戏，游戏规则如下所述：如图①﹣图④，都是边长为1的5×5网格图，其中每条实线称为格线，格线与格线的交点称为格点．在图①和图②中，可知EF⊥EH，LM⊥AB．在图③和图④中，可知CD∥AB．根据上面的游戏规则，同学们开始闯关吧！第一关：在图⑤的6×6网格图中，所给各点均为格点，经过给定的一点（不包括边框上的点），在图中画出一条与线段AB垂直的线段（或者直线）BC，再画出与线段AB 平行的一条线段（或者直线）EF；第二关：在图⑥的6×6网格图中，所给各点均为格点，经过两对给定的点，构造两条互相垂直的直线．（在图中直接画出）【分析】利用数形结合的思想，根据要求画出图形即可．解：第一关：在图⑤中，线段BC，线段EF即为所求．第二关：在图⑥中，直线EF，直线GH即为所求．三、解答题：本大题共7小题，共58分.其中19、20、22、23题每小题0分，21题6分，24、25题每小题0分，解答应写出文字说明、演算步骤或简单推理过程.19．计算：（1）；（2）；【分析】（1）直接利用立方根的性质以及绝对值的性质、二次根式的性质分别化简得出答案；（2）直接利用二次根式的混合运算法则计算得出答案．解：（1）原式＝﹣3﹣π﹣（π﹣3）＝﹣3﹣π﹣π+3＝﹣2π；（2）原式＝＝＝0．20．解下列二元一次方程组（1）；（2）；【分析】（1）方程组利用加减消元法求出解即可；（2）方程组整理后，利用加减消元法求出解即可．解：（1）①﹣②得：6y＝﹣12，解得：y＝﹣2，把y＝﹣2代入①得：x＝﹣2，∴这个方程组的解为；（2），由①得，3x﹣2y＝﹣10③，由②得：4x+3y＝﹣2④，③×3+④×2，得：x＝﹣2，把x＝﹣2代入③得：y＝2，∴这个方程组的解为．21．已知如图，在△ABC中，三个顶点的坐标分别为A（2，3），B（5，﹣1），C（1，1），将△ABC沿x轴负方向平移4个单位长度，再沿y轴负方向平移2个单位长度，得到△DEF，其中点A的对应点为点D，点B的对应点为点E，点C的对应点为点F．（1）直接写出平移后的△DEF的顶点坐标：D（﹣2，1）、E（1，﹣3）、F （﹣3，﹣1）；（2）在坐标系中画出平移后的△DEF；（3）求出△DEF的面积．【分析】（1）利用点平移的坐标变换规律写出A、B、C的对应点D、E、F的坐标；（2）利用点D、E、F的坐标描点即可；（3）用一个矩形的面积分别减去三个直角三角形的面积去计算△DEF的面积．解：（1）D（﹣2，1）；E（1，﹣3）；F（﹣3，﹣1）；（2）如图，△DEF为所作；（3）△DEF的面积＝4×4﹣×2×1﹣×4×2﹣×4×3＝5．22．已知如图，△ABC过点A做∠DAE＝∠BAC，且AD∥BC，∠1＝∠2．（1）求证AB∥DE；（2）若已知AE平分∠BAC，∠C＝35°，求∠BAD的度数．【分析】（1）根据平行线的性质得出∠DAE＝∠2，求出∠BAC＝∠1，根据平行线的判定得出即可；（2）根据角平分线的定义得出∠BAE＝∠CAE，根据∠DAE＝∠BEA求出∠BAE＝∠EAC＝∠DAC，根据平行线的性质得出∠C＝∠DAC，求出∠C＝∠BAE＝∠DAC＝35°，即可得出答案．【解答】（1）证明：∵AD∥BC，∴∠DAE＝∠2，∵∠1＝∠2，∴∠DAE＝∠1，∵∠DAE＝∠BAC，∴∠BAC＝∠1，∴AB∥DE；（2）解：∵∠DAE＝∠BEA，∴∠BAE＝∠EAC＝∠DAC，∵AD∥BC，∴∠C＝∠DAC，∴∠C＝∠BAE＝∠DAC＝35°，∵AE平分∠BAC，∴∠BAC＝2∠BAE＝70°，∴∠BAD＝∠BAC+∠CAD＝105°．23．现有36卷相同的布料做工作服，每卷布料可制作成上衣25件，或者制作成裤子40件，一件上衣和两件裤子组成一套，问，用多少卷布料制作上衣，多少卷布料制作裤子可以使上衣和裤子正好配套？【分析】设用x卷布料制作上衣，y卷布料制作裤子可以使上衣和裤子正好配套，根据制作的上衣和裤子正好配套，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论．解：设用x卷布料制作上衣，y卷布料制作裤子可以使上衣和裤子正好配套，依题意，得：，解得：．答：用16卷布料制作上衣，20卷布料制作裤子可以使上衣和裤子正好配套．24．已知，△ABC，点E是直线AC上一个动点（不与A，C重合），点F是BC边上一个定点，过点E做DE∥BC，交直线AB于点D，连接BE，过点F作FG∥BE，交直线AC于点G．（1）如图①，当点E在线段AC上时，求证：∠DEB＝∠GFC；（2）在（1）的条件下，判断∠DEC、∠EGF、∠BFG这三个角的度数和是否为一个定值？如果是，求出这个值，如果不是，说明理由；（3）如图②，当点E在线段AC的延长线上时，（2）中的结论是否仍然成立？如果不成立，请直接写出∠DEC、∠EGF、∠BFG之间的关系；（4）当点E在线段CA的延长线上时，（2）中的结论是否仍然成立？如果不成立，请直接写出∠DEC、∠EGF、∠BFG之间的关系．【分析】（1）由DE∥BC，FG∥BE，其性质得∠DEB＝∠EBC，∠EBC＝∠GFC，再根据等量代换证明∠DEB＝∠GFC；（2）由FG∥BE，其性质得∠EBC+∠BFG＝180°，∠BEG+∠EGF＝180°，再根据等式的性质得∠EBC+∠BFG+∠BEG+∠EGF＝360°，最后由平行线的性质，等量代换，角的和差证明∠DEC+∠EGF+∠BFG＝360°，其值是一个定值；（3）当点E在线段AC的延长线上时，同理可得∠DEC+∠EGF+∠BFG＝360°，（2）中结论仍然成立；（4）当点E在线段CA的延长线上时，同理可得∠DEC+∠EGF+∠BFG＝180°，（2）中结论不成立．解：（1）如图①所示：∵DE∥BC，∴∠DEB＝∠EBC，又∵FG∥BE，∴∠EBC＝∠GFC，∴∠DEB＝∠GFC；（2）∠DEC+∠EGF+∠BFG＝360°．如图①所示，理由如下：又∵FG∥BE，∴∠EBC+∠BFG＝180°，∠BEG+∠EGF＝180°，∴∠EBC+∠BFG+∠BEG+∠EGF＝360°，又∵DE∥BC，∴∠DEB＝∠EBG，∴∠DEB+∠BFG+∠BEG+∠EGF＝360°，又∵∠DEC＝∠DEB+∠BEG，∴∠DEC+∠EGF+∠BFG＝360°，即三个角的和是一个定值；（3）当点E在线段AC的延长线上时（2）结论仍然成立．如图②所示，理由如下：∵FG∥BE，∴∠EGF+∠GEB＝180°，∠BFG+∠FBE＝180°，又∵BC∥DE，∴∠BED＝∠FBC，∴∠DEC+∠EGF+∠BFG＝∠DEB+∠BEC+∠EGF+∠BFG＝∠FBE+∠BEC+∠EGF+∠BFG＝360°；（4）点E在线段CA的延长线上时不成立．如图③所示，理由如下：∠EGF＝180°﹣∠CGF，∠BFG＝180°﹣∠CFG，∴∠EGF+∠BFG＝360°﹣（∠CGF+∠CFG），又∵∠C＝180°﹣（∠CGF+∠CFG）∴∠EGF+∠BFG＝180°﹣∠C，又∵DE∥BC，∴∠DEC＝∠C，∴∠EGF+∠BFG＝180°﹣∠DEC，∴∠DEC+∠EGF+∠BFG＝180°，即点E在线段CA的延长线上时不成立．25．如图，在长方形OABC中，O为平面直角坐标系的原点，点A的坐标为（a，0），点C的坐标为（0，b）且a，b满足，点B在第一象限内，点P从原点出发，以每秒2个单位长度的速度沿着O﹣A﹣B﹣C﹣O的线路移动．（1）求点B的坐标为（6，12）；当点P移动5秒时，点P的坐标为（8，2）；（2）在移动过程中，当点P移动11秒时，求△OPB的面积；（3）在（2）的条件下，坐标轴上是否存在点Q，使△OPQ的面积与△OPB的面积相等，若存在，求点Q的坐标；若不存在，说明理由．【分析】（1）由非负数的性质可得a、b的值，据此可得点B的坐标；由点P运动速度和时间可得其运动5秒的路程，结合OA＝8知AP＝2，从而得出其坐标；（2）先根据点P运动11秒判断出点P的位置，再根据三角形的面积公式求解可得；（3）分点Q在x轴和y轴上两种情况，根据三角形的面积公式求出OQ的长，从而得出答案．解：（1）∵a，b满足，∴a＝8，b＝12，∴点B（6，12）；当点P移动5秒时，其运动路程为5×2＝10，∵OA＝8，∴AP＝2，则点P坐标为（8，2），故答案为：（6，12）、（8，2）；（2）如图1，当点P移动11秒时，11×2＝22，∵OA＝AB＝8+12＝20＜22，OA+AB+BC＝8+12+8＝28＞22，∴点P在边BC上，此时PB＝22﹣20＝2．∴；△OPQ的面积与△OPB的面积相等（3）①当点Q在x轴上时，∵，∴OQ＝2，∴Q（2，0）或者Q（﹣2，0）；②当点Q在y轴上时，CP＝6，∵，∴OQ＝4，∴Q（0，4）或者Q（0，﹣4）．综上所述，Q1（2，0），Q2（﹣2，0），Q3（0，4），Q4（0，﹣4）。

天津市和平区2024-2025学年八年级上学期11月期中考试数学试题

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天津市和平区2024-2025学年八年级上学期11月期中考试数学试题一、单选题1．下面四幅作品分别代表二十四节气中的“立春”、“芒种”、“白露”、“大雪”，其中是轴对称图形的是（）A．B．C．D．2．周日，小乔在家帮妈妈打扫卫生，为方便拆取窗帘，他拿来一个人字梯，并且在人字梯的中间绑了一条结实的绳子，如图所示，请问小乔这样做的道理是（）A．两点之间，线段最短B．两点确定一条直线C．三角形具有稳定性D．过一点有且只有一条直线与已知直线垂直3．已知如图中的两个三角形全等，则α∠度数等于（）A．45︒B．50︒C．60︒D．70︒△≌△成立的是（）4．如图，已知12∠=∠，则下列条件中，不能使ABC DCBA ．AB CD=B ．AC BD =C ．A D∠=∠D ．ABC DCB ∠=∠5．如图，在ABC V 中，边AB 上的高是（）A ．CEB ．BEC ．AFD ．BD6．将一副三角板按如图所示的方式摆放，点F 在边AB 上，BC DE ∥，作EFD ∠的平分线FM ，则BFM ∠的度数是（）A ．50︒B ．60︒C ．45︒D ．30︒7．2023年10月17日至118日，第三届“一带一路”国际合作高峰论坛在北京举行，中国与150多个国家、30多个国际组织签署了230多份合约，携手实现经济共同发展．北京、莫斯科、雅典三地之间想建立一个货物中转仓，使其到三地的距离相等，如图所示则中转仓的位置应选在（）A ．三边垂直平分线的交点B ．三边中线的交点C ．三条角平分线的交点D ．三边上高的交点8．如图，G 为ABC V 三边中线AD ，BE ，CF 的交点，212cm ABC S =，则阴影部分的面积为（）A ．24cmB ．25cmC ．26cmD ．28cm 9．如图，将一张三角形纸片ABC 的一角折叠，使点A 落在ABC V 外的A '处，折痕为DE ．如果．A α∠=，CEA β'∠=，BDA γ'∠=，那么下列式子中正确的是（）A ．2γαβ=+B ．2γαβ=+C ．γαβ=+D ．180γ=︒10．如图，CD ⊥AB ，BE ⊥AC ，垂足分别为D 、E ，BE 、CD 相交于点O ．如果AB ＝AC ，那么图中全等的直角三角形的对数是（）A ．1B ．2C ．3D ．411．如图，点C 在AOB ∠的OB 边上，用尺规作出了BCD AOB ∠=∠．以下是排乱的作图过程：①以点C 为圆心，OE 长为半径画 MN ，交OB 于点M ．②作射线CD ，则BCD AOB ∠=∠．③以点M 为圆心，EF 长为半径画弧，交 MN于点D ．④以点O 为圆心，任意长为半径画 EF ，分别交OA ，OB 于点E ，E 则正确的作图顺序是（）A ．①②③④B ．③②④①C ．④①③②D ．④③①②12．如图，在ABC 中，45ABC ∠︒＝，过点C 作CD AB ⊥于点D ，过点B 作BM AC ⊥于点M ，连接MD ，过点D 作DN MD ⊥，交B 于点N ，C 与B 交于点E ．下列结论：①∠ABM ACD ∠=；②DM DN =；③45AMD ∠=︒；④EDN ADM S S = ．其中正确结论有（）个A ．1B ．2C ．3D ．4二、填空题13．已知一个多边形的外角和与内角和的比为1:3，则这个多边形的边数为．14．在平面直角坐标系中，点(),2m -与点()3n ,关于x 轴对称，则m n +=．15．如图，AC CD ⊥，BD AB ⊥，请添加一个条件，使ABD ACD △≌△这个条件可以是．16．如图15AOE BOE ∠∠︒＝＝，EF OB ，EC OB ⊥于点C ，若2EC ＝，则OF =．17．如图,在ABC V 中,90,8cm,10cm ACB AC BC ∠=== ．点C 在直线l 上,动点P 从A 点出发沿A C →的路径向终点C 运动;动点Q 从B 点出发沿B C A →→路径向终点A 运动．点P 和点Q 分别以每秒1cm 和2cm 的运动速度同时开始运动,其中一点到达终点时另一点也停止运动,分别过点P 和Q 作PM ⊥直线l 于,M QN ⊥直线l 于N ．当点P 运动时间为秒时,PMC △与QNC 全等．三、解答题18．图①、图②、图③均是33⨯的正方形网格，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点称为格点．点A 、B 均在格点上，只用无刻度的直尺，分别在给定的网格中按下列要求作格点图形．(1)在图①中，作ABC V ，使其面积为32；(2)在图②中，作四边形ABEF ，使其是轴对称图形且面积为3．19．已知ABC V 的三边长是a b c ，，．(1)若68a b ==，，且三角形的周长是小于22的偶数，求c 的值；(2)化简a b c c a b +---+．20．如图，在平面直角坐标系中，(0,3)A ，(2,1)B -，()3,2C ．(1)在图中作出ABC V 关于y 轴对称的A B C ''' ．(2)点C '的坐标为__________；A B C ''' 的面积为__________．(3)在x 轴上找出一点P ，使得PA PB +的值最小．（不写作法，保留作图痕迹）21．小军想要测量如图所示的雕像底座两端的距离，A 、B 两点分别为雕像底座的两端（其中A 、B 两点均在地面上）．因为A 、B 两点间的实际距离无法直接测量，小军设计出了如下方案：在平地上取一个可以直接到达点A 、B 的点O ，连接AO 并延长到点C ，连接BO 并延长到点D ，使CO AO =，DO BO =，连接DC ，测出DC 的长即为雕塑底座两端A 、B 间的距离．小军的方案可行吗？请说明理由．22．如图，已知点D 、E 在△ABC 的边BC 上，AB ＝AC ，AD ＝AE ．(1)求证：BD ＝CE ；(2)若AD ＝BD ＝DE ＝CE ，求∠BAE 的度数．23．如图1，点M N ，分别是正五边形ABCDE 的边，BC CD 上的点，且,BM CN =AM 交BN 于点P ．(1)求APN ∠的度数；(2)将上述正五边形改成正六边形，如图2，其他条件不变，则APN ∠=．(3)探究：改成正n 边形()5n ≥，其他条件不变，则APN ∠=．（用含有n 的式子表示）24．图1是一个平分角的仪器，其中OD OE FD FE ==，．(1)如图2，将仪器放置在ABC V 上，使点O 与顶点A 重合，D ，E 分别在边AB AC ，上，沿AF 画一条射线AP ，交BC 于点P ．AP 是BAC ∠的平分线吗？请判断并说明理由．(2)如图3，在（1）的条件下，过点P 作PQ ⊥AB 于点Q ，若69PQ AC ==，，ABC V 的面积是60，求AB 的长．25．如图，在Rt ABC △中，90604ACB A AC CD ∠=︒∠=︒=，，，平分ACB ∠，交边B 于点D ，点E 是边B 的中点．点P 为边B 上的一个动点．(1)AE =，ACD ∠=度；(2)当四边形ACPD 为轴对称图形时，求CP 的长；(3)若CPD △是等腰三角形，求CPD ∠的度数；(4)若点M 在线段C 上，连接MP ME 、，直接写出MP ME +的值最小时CP 的长度．。

天津市和平区2019-2020学年八年级上学期期中质量调查数学试题 (解析版)

天津市和平区2019-2020学年八年级上学期期中质量调查数学试题 (解析版)

2019-2020学年八年级上学期期中质量调查数学试题一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．在一些美术字中，有的汉字是轴对称图形．下面4个汉字中，可以看作是轴对称图形的是（）A．B．C．D．2．下列图形中具有稳定性的是（）A．B．C．D．3．如图，在△ABC和△ADC中，∠B＝∠D＝90°，BC＝DC．有以下结论：①AB＝AD；②AC平分∠BAD；③CA平分∠BCD．其中，正确结论的个数是（）A．0 B．1 C．2 D．34．如图，已知∠ABC＝∠BAD，添加下列条件还不能判定△ABC≌△BAD的是（）A．AC＝BD B．∠CAB＝∠DBA C．∠C＝∠D D．BC＝AD5．等腰三角形一边长等于5，一边长等于9，则它的周长是（）A．14 B．23 C．19 D．19或236．如图，在△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC于点D，若AB＝6，CD＝4，则△ABC的周长是（）A．10 B．14 C．16 D．207．如图，△ABC是等边三角形，D为BA的中点，DE⊥AC，垂足为点E，EF∥AB，AE＝1，下列结论错误的是（）A．∠ADE＝30°B．AD＝2C．△ABC的周长为10 D．△EFC的周长为98．如图，在四边形ABCD中，AC，BD相交于点O，BC⊥CD，∠1＝∠2＝∠3，∠4＝60°，∠5＝∠6，下列结论错误的是（）A．CO是△BCD的高B．∠5＝30°C．∠ABC＝100°D．DO＝OB9．如图，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝30°，以B为圆心，BC的长为半径圆弧，交AC于点D，连接BD，则∠ABD＝（）A．30°B．45°C．60°D．90°10．如图，在△ABC中，E，D分别是边AB，AC上的点，且AE＝AD，BD，CE交于点F，AF 的延长线交BC于点H，若∠EAF＝∠DAF，则图中的全等三角形共有（）A．4对B．5对C．6对D．7对11．点（1，2m﹣1）关于直线x＝m的对称点的坐标是（）A．（2m﹣1，1）B．（﹣1，2m﹣1）C．（﹣1，1﹣2m）D．（2m﹣1，2m﹣1）12．如图，过边长为2的等边△ABC的边AB上一点P，作PE⊥AC于E，Q为BC延长线上一点，当PA＝CQ时，连接PQ交AC边于D，则DE的长为（）A．B．1 C．D．不能确定二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）13．如图，点B、E、C、F在一条直线上，AB∥DE，AB＝DE，BE＝CF，AC＝6，则DF＝．14．如图，点D在△ABC边BC的延长线上，CE平分∠ACD，∠A＝80°，∠B＝40°，则∠ACE的大小是度．15．如图，AB＝AD，∠BAE＝∠DAC，要使△ABC≌△ADE，还需添加一个条件，这个条件可以是．16．如图，已知Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°．在直线BC或AC上取一点P，使得△PAB是等腰三角形，则符合条件的P点有个．（在图上作出点P的位置）17．在△ABC中，已知∠CAB＝60°，D、E分别是边AB、AC上的点，且∠AED＝60°，ED+DB ＝CE，∠CDB＝2∠CDE，则∠DCB等于．18．已知，在四边形ABCD中，∠F为四边形ABCD的∠ABC的平分线及外角∠DCE的平分线所在的直线构成的锐角，若∠A＝α，∠D＝β，（1）如图①，当α+β＞180°时，∠F＝（用含α，β的式子表示）；（2）如图②，当α+β＜180°时，请在图②中，画出∠F，且∠F＝（用含α，β的式子表示）；（3）当α，β满足条件时，不存在∠F．三、解答题（本大题共6小题，共46分．解答应写出文字说明、演算步骤或推理过程）19．如图，点B，F，C，E在一条直线上，BF＝CE，AB∥ED，AC∥FD．求证：△ABC≌△DEF．20．如图，在△ABC中，∠C＝80°，点D在边BC上，且∠ADB＝100°，∠BAD＝∠DAC，BE平分∠ABC，交AD于点E．求∠BED的大小．21．如图，在3×3的正方形格纸中，格线的交点称为格点，以格点为顶点的三角形称为格点三角形．图中△ABC是一个格点三角形．在每张图中画出一个与△ABC成轴对称的格点三角形，并将所画三角形涂上阴影．22．已知，如图，AB＝AC，BD＝CD，DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F，求证：DE＝DF．23．已知，在△ABC中，DE垂直平分AB，垂足为点D，交直线BC于点E．MN垂直平分AC，垂足为点M，交直线BC于点N，连接AE，AN．（1）如图①，若∠BAC＝100°，求∠EAN的大小；（2）如图②，若∠BAC＝70°，求∠EAN的大小；（3）若∠BAC＝α（α≠90°），用含α的式子表示∠EAN的大小（直接写出结果即可）．24．如图1，△ABC的边BC在直线l上，AC⊥BC，且AC＝BC；△EFP的边FP也在直线l上，边EF与边AC重合，且EF＝FP（备注：当EF＝FP，∠EFP＝90°时，∠PEF＝∠FPE＝45°，反之当∠PEF＝∠FPE＝45°时，当EF＝FP）．（1）在图1中，请你通过观察、测量、猜想并写出AB与AP所满足的数量关系和位置关系．（2）将△EFP沿直线l向左平移到图2的位置时，EP交AC于点Q，连接AP，BQ．猜想并写出BQ与AP所满足的数量关系和位置关系，并证明你的猜想；（3）将△EFP沿直线l向左平移到图3的位置时，EP的延长线交AC的延长线于点Q，连接AP、BQ．你认为（2）中所猜想的BQ与AP的结论还成立吗？若成立，给出证明：若不成立，请说明理由．参考答案与试题解析一．选择题（共12小题）1．在一些美术字中，有的汉字是轴对称图形．下面4个汉字中，可以看作是轴对称图形的是（）A．B．C．D．【分析】根据轴对称图形的概念求解．【解答】解：A、是轴对称图形，故本选项正确；B、不是轴对称图形，故本选项错误；C、不是轴对称图形，故本选项错误；D、不是轴对称图形，故本选项错误．故选：A．2．下列图形中具有稳定性的是（）A．B．C．D．【分析】根据三角形具有稳定性对各选项图形分析判断即可得解．【解答】解：A、对角线两侧是四边形，不具有稳定性，故本选项错误；B、对角线两侧是三角形，具有稳定性，故本选项正确；C、对角线下方是四边形，不具有稳定性，故本选项错误；D、对角线两侧是四边形，不具有稳定性，故本选项错误．故选：B．3．如图，在△ABC和△ADC中，∠B＝∠D＝90°，BC＝DC．有以下结论：①AB＝AD；②AC平分∠BAD；③CA平分∠BCD．其中，正确结论的个数是（）A．0 B．1 C．2 D．3【分析】证明Rt△ABC≌Rt△ADC（HL），得出AB＝AD，∠BAC＝∠DAC，∠BCA＝∠DCA 【解答】解：在Rt△ABC和Rt△ADC中，，∴Rt△ABC≌Rt△ADC（HL），∴AB＝AD，∠BAC＝∠DAC，∠BCA＝∠DCA，∴AC平分∠BAD，CA平分∠BCD．∴①正确；②正确；③正确；正确结论的个数有3个；故选：D．4．如图，已知∠ABC＝∠BAD，添加下列条件还不能判定△ABC≌△BAD的是（）A．AC＝BD B．∠CAB＝∠DBA C．∠C＝∠D D．BC＝AD【分析】根据全等三角形的判定：SAS，AAS，ASA，可得答案．【解答】解：由题意，得∠ABC＝∠BAD，AB＝BA，A、∠ABC＝∠BAD，AB＝BA，AC＝BD，（SSA）三角形不全等，故A错误；B、在△ABC与△BAD中，，△ABC≌△BAD（ASA），故B正确；C、在△ABC与△BAD中，，△ABC≌△BAD（AAS），故C正确；D、在△ABC与△BAD中，，△ABC≌△BAD（SAS），故D正确；故选：A．5．等腰三角形一边长等于5，一边长等于9，则它的周长是（）A．14 B．23 C．19 D．19或23【分析】分腰长为5和腰长为9两种情况分别讨论，再利用三角形三边关系进行判断，可求得其周长．【解答】解：当腰长为5时，则三角形的三边分别为5、5、9，满足三角形的三边关系，其周长为19；当腰长为9时，则三角形的三边分别为9、9、5，满足三角形的三边关系，其周长为23；综上可知三角形的周长为19或23，故选：D．6．如图，在△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC于点D，若AB＝6，CD＝4，则△ABC的周长是（）A．10 B．14 C．16 D．20【分析】根据等腰三角形的性质求出BC，根据三角形的周长公式计算即可．【解答】解：∵AC＝AB＝6，AD⊥BC，∴BC＝2CD＝8，∴△ABC的周长＝AB+AC+BC＝20，故选：D．7．如图，△ABC是等边三角形，D为BA的中点，DE⊥AC，垂足为点E，EF∥AB，AE＝1，下列结论错误的是（）A．∠ADE＝30°B．AD＝2C．△ABC的周长为10 D．△EFC的周长为9【分析】解直角三角形求出AD＝2即可解决问题．【解答】解：∵△ABC是等边三角形，∴∠A＝60°，AB＝BC＝AC，∵DE⊥AC，∴∠AED＝90°，∴∠ADE＝30°∵AE＝1，∴AD＝2AE＝2，故选项A，B正确，∵AD＝DB＝2，∴AB＝BC＝AC＝4，∴△ABC的周长为12，故选项C错误．∵EF∥AB，∴∠CEF＝∠A＝60°，∠EFC＝∠B＝60°，∴△EFC是等边三角形，∴△EFC的周长＝3×（4﹣1）＝9，故选项D正确，故选：C．8．如图，在四边形ABCD中，AC，BD相交于点O，BC⊥CD，∠1＝∠2＝∠3，∠4＝60°，∠5＝∠6，下列结论错误的是（）A．CO是△BCD的高B．∠5＝30°C．∠ABC＝100°D．DO＝OB【分析】根据等腰三角形的判定和性质，以及直角三角形的性质即可得到结论．【解答】解：在△BDC中，∵∠BCD＝90°，∴∠1+∠2＝90°，又∵∠2＝∠3，∴∠1+∠3＝90°，∴CO⊥DB，∴CO是△BCD的高；故A选项不符合题意；∵CO⊥DB，∴∠5＝90°﹣∠4＝90°﹣60°＝30°故B选项不符合题意；∵∠1＝∠2，∴CD＝BC，∵OC⊥BD，∴OD＝OB，故D选项不符合题意；∵∠CDA＝∠1+∠4＝45°+60°＝105°，∵∠5＝∠6＝30°∴∠DAB＝∠5+∠6＝30°+30°＝60°，∴∠ABC＝105°，故C选项符合题意；故选：C．9．如图，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝30°，以B为圆心，BC的长为半径圆弧，交AC于点D，连接BD，则∠ABD＝（）A．30°B．45°C．60°D．90°【分析】根据等腰三角形两底角相等求出∠ABC＝∠ACB，再求出∠CBD，然后根据∠ABD ＝∠ABC﹣∠CBD计算即可得解．【解答】解：∵AB＝AC，∠A＝30°，∴∠ABC＝∠ACB＝（180°﹣∠A）＝（180°﹣30°）＝75°，∵以B为圆心，BC的长为半径圆弧，交AC于点D，∴BC＝BD，∴∠CBD＝180°﹣2∠ACB＝180°﹣2×75°＝30°，∴∠ABD＝∠ABC﹣∠CBD＝75°﹣30°＝45°．故选：B．10．如图，在△ABC中，E，D分别是边AB，AC上的点，且AE＝AD，BD，CE交于点F，AF 的延长线交BC于点H，若∠EAF＝∠DAF，则图中的全等三角形共有（）A．4对B．5对C．6对D．7对【分析】根据全等三角形的判定方法解答即可．【解答】解：在△AEF和△ADF中，∴△AEF≌△ADF（SAS），∴EF＝DF，∠EFA＝∠DFA，∴∠FDC＝∠FEB，在△EBF和△DFC中，∴△EBF≌△DFC（ASA），∴BF＝CF，∴∠HFC＝∠HFB，在△HFC和△HFB中，∴△HFC≌△HFB（SAS），∴△ABF≌△ACF（SSS），同理可得△ABH≌ACH（SSS），△BEC≌BDC（SSS），故选：C．11．点（1，2m﹣1）关于直线x＝m的对称点的坐标是（）A．（2m﹣1，1）B．（﹣1，2m﹣1）C．（﹣1，1﹣2m）D．（2m﹣1，2m﹣1）【分析】根据关于直线x＝m的对称点的横坐标的中点在直线上，纵坐标相等解答．【解答】解：点（1，2m﹣1）关于直线x＝m的对称点的坐标为（2m﹣1，2m﹣1），故选：D．12．如图，过边长为2的等边△ABC的边AB上一点P，作PE⊥AC于E，Q为BC延长线上一点，当PA＝CQ时，连接PQ交AC边于D，则DE的长为（）A．B．1 C．D．不能确定【分析】过P作PF∥BC交AC于F，得出等边三角形APF，推出AP＝PF＝QC，根据等腰三角形性质求出EF＝AE，证△PFD≌△QCD，推出FD＝CD，推出DE＝AC即可．【解答】解：过P作PF∥BC交AC于F．∵PF∥BC，△ABC是等边三角形，∴∠PFD＝∠QCD，△APF是等边三角形，∴AP＝PF＝AF，∵PE⊥AC，∴AE＝EF，∵AP＝PF，AP＝CQ，∴PF＝CQ．，∴△PFD≌△QCD（AAS），∴FD＝CD，∵AE＝EF，∴EF+FD＝AE+CD，∴AE+CD＝DE＝AC，∵AC＝2，∴DE＝1．故选：B．二．填空题（共6小题）13．如图，点B、E、C、F在一条直线上，AB∥DE，AB＝DE，BE＝CF，AC＝6，则DF＝ 6 ．【分析】根据题中条件由SAS可得△ABC≌△DEF，根据全等三角形的性质可得AC＝DF＝6．【解答】证明：∵AB∥DE，∴∠B＝∠DEF∵BE＝CF，∴BC＝EF，在△ABC和△DEF中，，∴△ABC≌△DEF（SAS），∴AC＝DF＝6．故答案是：6．14．如图，点D在△ABC边BC的延长线上，CE平分∠ACD，∠A＝80°，∠B＝40°，则∠ACE的大小是60 度．【分析】由∠A＝80°，∠B＝40°，根据三角形任意一个外角等于与之不相邻的两内角的和得到∠ACD＝∠B+∠A，然后利用角平分线的定义计算即可．【解答】解：∵∠ACD＝∠B+∠A，而∠A＝80°，∠B＝40°，∴∠ACD＝80°+40°＝120°．∵CE平分∠ACD，∴∠ACE＝60°，故答案为6015．如图，AB＝AD，∠BAE＝∠DAC，要使△ABC≌△ADE，还需添加一个条件，这个条件可以是AE＝AC．【分析】求出∠BAC＝∠DAE，根据全等三角形的判定定理SAS推出即可．【解答】解：AE＝AC．理由是：∵∠BAE＝∠DAC，∴∠BAE+∠EAC＝DAC+∠EAC，∴∠BAC＝∠DAE，在△ABC和△ADE中∴△ABC≌△ADE，故答案为：AE＝AC．16．如图，已知Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°．在直线BC或AC上取一点P，使得△PAB是等腰三角形，则符合条件的P点有 6 个．（在图上作出点P的位置）【分析】本题是开放性试题，根据题意，画出图形结合求解．【解答】解：如图，第1个点在AC上，作线段AB的垂直平分线，交AC于点P，则有PA ＝PB；第2个点是以A为圆心，以AB长为半径截取AP＝AB，交AC延长线上于点P；第3个点是以A为圆心，以AB长为半径截取AP＝AB，在上边于CA延长线上交于点P；第4个点是以B为圆心，以BA长为半径截取BP＝BA，与AC的延长线交于点P；第5个点是以B为圆心，以BA长为半径截取BP＝BA，与BC在左边交于点P；第6个点是以A为圆心，以AB长为半径截取AP＝AB，与BC在右边交于点P；故符合条件的点P有6个点．故答案为：6．17．在△ABC中，已知∠CAB＝60°，D、E分别是边AB、AC上的点，且∠AED＝60°，ED+DB ＝CE，∠CDB＝2∠CDE，则∠DCB等于20°．【分析】延长AB到F使BF＝AD，连接CF，如图，先判断△ADE为等边三角形得到AD＝DE＝AE，∠ADE＝60°，再利用∠CDB＝2∠CDE得到∠CDE＝40°，∠CDB＝80°，接着证明AF＝AC，从而可判断△AFC为等边三角形，则有CF＝AC，∠F＝60°，然后证明△ACD ≌△FCB得到CB＝CD，最后根据等腰三角形的性质和三角形内角和计算∠DCB的度数．【解答】解：延长AB到F使BF＝AD，连接CF，如图，∵∠CAD＝60°，∠AED＝60°，∴△ADE为等边三角形，∴AD＝DE＝AE，∠ADE＝60°，∴∠BDE＝180°﹣∠ADE＝120°，∵∠CDB＝2∠CDE，∴3∠CDE＝120°，解得∠CDE＝40°，∴∠CDB＝2∠CDE＝80°，∵BF＝AD，∴BF＝DE，∵DE+BD＝CE，∴BF+BD＝CE，即DF＝CE，∵AF＝AD+DF，AC＝AE+CE，∴AF＝AC，而∠BAC＝60°，∴△AFC为等边三角形，∴CF＝AC，∠F＝60°，在△ACD和△FCB中，∴△ACD≌△FCB（SAS），∴CB＝CD，∴∠CBD＝∠CDB＝80°，∴∠DCB＝180﹣（∠CBD+∠CDB）＝20°．18．已知，在四边形ABCD中，∠F为四边形ABCD的∠ABC的平分线及外角∠DCE的平分线所在的直线构成的锐角，若∠A＝α，∠D＝β，（1）如图①，当α+β＞180°时，∠F＝（α+β）﹣90°（用含α，β的式子表示）；（2）如图②，当α+β＜180°时，请在图②中，画出∠F，且∠F＝90°﹣（α+β）（用含α，β的式子表示）；（3）当α，β满足条件α+β＝180°时，不存在∠F．【分析】（1）根据四边形的内角和定理表示出∠BCD，再表示出∠DCE，然后根据角平分线的定义可得∠FBC＝∠ABC，∠FCE＝∠DCE，三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和可得∠F+∠FBC＝∠FCE，然后整理即可得解；（2）同（1）的思路求解即可；（3）根据∠F的表示，∠F为0时不存在．【解答】解：（1）由四边形内角和定理得，∠BCD＝360°﹣∠A﹣∠D﹣∠ABC，∴∠DCE＝180°﹣（360°﹣∠A﹣∠D﹣∠ABC）＝∠A+∠D+∠ABC﹣180°，由三角形的外角性质得，∠DCE＝∠A+∠D+∠ABC，∠FCE＝∠F+∠FBC，∵BF、CF分别是∠ABC和∠DCE的平分线，∴∠FBC＝∠ABC，∠FCE＝∠DCE，∴∠F+∠FBC＝（∠A+∠D+∠ABC﹣180°）＝（∠A+∠D）+∠ABC﹣90°，∴∠F＝（∠A+∠D）﹣90°，∵∠A＝α，∠D＝β，∴∠F＝（α+β）﹣90°；（2）如图3，同①可求，∠F＝90°﹣（α+β）；（3）∠F不一定存在，当α+β＝180°时，∠F＝0，不存在．故答案为：（1）（α+β）﹣90°，（2）90°﹣（α+β），（3）α+β＝180°．三．解答题（共6小题）19．如图，点B，F，C，E在一条直线上，BF＝CE，AB∥ED，AC∥FD．求证：△ABC≌△DEF．【分析】先证明∠B＝∠E，∠ACB＝∠DFE，BC＝EF，进而利用全等三角形的判定定理ASA 证明两个三角形全等．【解答】证明：∵BF＝CE，∴BF+FC＝CE+FC，即BC＝EF．∵AB∥ED，∴∠B＝∠E．∵AC∥FD，∴∠ACB＝∠DFE．在△ABC和△DEF中，∴△ABC≌△DEF（SAS）．20．如图，在△ABC中，∠C＝80°，点D在边BC上，且∠ADB＝100°，∠BAD＝∠DAC，BE平分∠ABC，交AD于点E．求∠BED的大小．【分析】根据∠BED＝∠BAD+∠ABE，求出∠BAD，∠ABE即可解决问题．【解答】解：∵∠ADB＝∠C+∠DAC，∠ADB＝100°，∠C＝80°，∴∠DAC＝∠ADB﹣∠C＝100°﹣80°＝20°，∵，∴20°＝10°，在△ABD中，∠ABC＝180°﹣∠ADB﹣∠BAD＝180°﹣100°﹣10°＝70°，∵BE平分∠ABC，∴70°＝35°，∴∠BED＝∠BAD+∠ABE＝10°+35°＝45°．21．如图，在3×3的正方形格纸中，格线的交点称为格点，以格点为顶点的三角形称为格点三角形．图中△ABC是一个格点三角形．在每张图中画出一个与△ABC成轴对称的格点三角形，并将所画三角形涂上阴影．【分析】直接利用轴对称图形的性质分别得出符合题意的答案．【解答】解：如图所示：22．已知，如图，AB＝AC，BD＝CD，DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F，求证：DE＝DF．【分析】连接AD，利用“边边边”证明△ABD和△ACD全等，然后根据全等三角形对应角相等可得∠BAD＝∠CAD，再根据角平分线上的点到角的两边距离相等证明即可．【解答】证明：如图，连接AD，在△ABD和△ACD中，，∴△ABD≌△ACD（SSS），∴∠BAD＝∠CAD，又∵DE⊥AB，DF⊥AC，∴DE＝DF．23．已知，在△ABC中，DE垂直平分AB，垂足为点D，交直线BC于点E．MN垂直平分AC，垂足为点M，交直线BC于点N，连接AE，AN．（1）如图①，若∠BAC＝100°，求∠EAN的大小；（2）如图②，若∠BAC＝70°，求∠EAN的大小；（3）若∠BAC＝α（α≠90°），用含α的式子表示∠EAN的大小（直接写出结果即可）．【分析】（1）根据线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等可得AE＝BE，再根据等边对等角可得∠BAE＝∠B，同理可得，∠CAN＝∠C，然后利用三角形的内角和定理求出∠B+∠C，再根据∠EAN＝∠BAC﹣（∠BAE+∠CAN）代入数据进行计算即可得解；（2）同（1）的思路，最后根据∠EAN＝∠BAE+∠CAN﹣∠BAC代入数据进行计算即可得解；（3）根据前两问的求解方法，分0°＜α＜90°与180°＞α＞90°两种情况解答．【解答】解：（1）∵DE垂直平分AB，∴AE＝BE，∴∠BAE＝∠B，同理可得：∠CAN＝∠C，∴∠EAN＝∠BAC﹣∠BAE﹣∠CAN，＝∠BAC﹣（∠B+∠C），在△ABC中，∠B+∠C＝180°﹣∠BAC＝80°，∴∠EAN＝∠BAC﹣（∠BAE+∠CAN）＝100°﹣80°＝20°；（2）∵DE垂直平分AB，∴AE＝BE，∴∠BAE＝∠B，同理可得：∠CAN＝∠C，∴∠EAN＝∠BAE+∠CAN﹣∠BAC，＝（∠B+∠C）﹣∠BAC，在△ABC中，∠B+∠C＝180°﹣∠BAC＝110°，∴∠EAN＝∠BAE+∠CAN﹣∠BAC＝110°﹣70°＝40°；（3）当0°＜α＜90°时，∠EAN＝180°﹣2α；当180°＞α＞90°时，∠EAN＝2α﹣180°．24．如图1，△ABC的边BC在直线l上，AC⊥BC，且AC＝BC；△EFP的边FP也在直线l上，边EF与边AC重合，且EF＝FP（备注：当EF＝FP，∠EFP＝90°时，∠PEF＝∠FPE＝45°，反之当∠PEF＝∠FPE＝45°时，当EF＝FP）．（1）在图1中，请你通过观察、测量、猜想并写出AB与AP所满足的数量关系和位置关系．（2）将△EFP沿直线l向左平移到图2的位置时，EP交AC于点Q，连接AP，BQ．猜想并写出BQ与AP所满足的数量关系和位置关系，并证明你的猜想；（3）将△EFP沿直线l向左平移到图3的位置时，EP的延长线交AC的延长线于点Q，连接AP、BQ．你认为（2）中所猜想的BQ与AP的结论还成立吗？若成立，给出证明：若不成立，请说明理由．【分析】（1）根据图形就可以猜想出结论．（2）要证BQ＝AP，可以转化为证明Rt△BCQ≌Rt△ACP；要证明BQ⊥AP，可以证明∠QMA ＝90°，只要证出∠1＝∠2，∠3＝∠4，∠1+∠3＝90°即可证出．（3）类比（2）的证明就可以得到，结论仍成立．【解答】解：（1）AB＝AP；AB⊥AP；证明：∵AC⊥BC且AC＝BC，∴△ABC为等腰直角三角形，∴∠BAC＝∠ABC＝（180°﹣∠ACB）＝45°，又∵△ABC与△EFP全等，同理可证∠PEF＝45°，∴∠BAP＝45°+45°＝90°，∴AB＝AP且AB⊥AP；（2）BQ＝AP；BQ⊥AP．证明：①由已知，得EF＝FP，EF⊥FP，∴∠EPF＝45°．又∵AC⊥BC，∴∠CQP＝∠CPQ＝45°．∴CQ＝CP．∵在Rt△BCQ和Rt△ACP中，BC＝AC，∠BCQ＝∠ACP＝90°，CQ＝CP，∴△BCQ≌△ACP（SAS），∴BQ＝AP．②如图，延长BQ交AP于点M．∵Rt△BCQ≌Rt△ACP，∴∠1＝∠2．∵在Rt△BCQ中，∠1+∠3＝90°，又∠3＝∠4，∴∠2+∠4＝∠1+∠3＝90°．∴∠QMA＝90°．∴BQ⊥AP；（3）成立．证明：①如图，∵∠EPF＝45°，∴∠CPQ＝45°．又∵AC⊥BC，∴∠CQP＝∠CPQ＝45°．∴CQ＝CP．∵在Rt△BCQ和Rt△ACP中，BC＝AC，CQ＝CP，∠BCQ＝∠ACP＝90°，∴Rt△BCQ≌Rt△ACP．∴BQ＝AP．②如图③，延长QB交AP于点N，则∠PBN＝∠CBQ．∵Rt△BCQ≌Rt△ACP，∴∠BQC＝∠APC．∵在Rt△BCQ中，∠BQC+∠CBQ＝90°，又∵∠CBQ＝∠PBN，∴∠APC+∠PBN＝90°．∴∠PNB＝90°．∴QB⊥AP．。

天津市和平区2023-2024学年九年级上学期期中数学试题(含解析)

天津市和平区2023-2024学年九年级上学期期中数学试题(含解析)

． ．． ．．若，是一元二次方程的两个根，则的值为（．．二次函数的开口方向、对称轴和顶点坐标分别为（αβαβ+4-3-(5y x =-A ．C ．8．如图，是A ．9．如图，是，则A ．B ()(204306x --()(206304x --AB O 43DEC ABC 12DCB ∠=︒AFD ∠33︒．．．．A ．C ．12．已知抛物线①图象的对称轴为直线2AB BC=ACB BOC ∠=∠2y a bx =+x15．飞机着陆后滑行的距离滑行米才能停下来．16．若方程x2－408444117．如图，在四边形18．如图，在每个小正方形的边长为AB（Ⅰ）线段的长等于；（Ⅱ）请用无刻度的直尺，在如图所示的网格中，在圆上画出点迹）三、解答题（本大题共(1)在位置①处，当时，(2)有一个计时点的计时装置出现了故障，编号可能是______；(3)利用函数图象推测当此滑雪者滑行距离为(4)求s 与t 的函数关系式，并求出滑雪者在故障位置的滑行距离．(1)求的大小；0=t BDC ∠(2)如图②，连接并延长交的延长线于点，若，求的大小．23．2023年杭州亚运会胜利闭幕．本次亚运会中国代表团共获得383枚奖牌，位居奖牌榜第一，创造了新的历史．在亚运会期间，买一件印有亚运会元素的T 恤去看比赛，成为了体育迷们的“仪式感”．某商店以每件40元的价格购进一批这样的T 恤，以每件60元的价格出售．经统计，4月份的销售量为192件，6月份的销售量为300件．(1)求该款T 恤4月份到6月份销售量的月平均增长率；(2)从7月份起，商场决定采用降价促销回馈顾客，销售利润不超过30%．经试验，发现该款T 恤在6月份销售量的基础上，每降价1元，月销售量就会增加20件．如何定价才能使利润最大？并求出最大利润是多少元？24．已知矩形，，，将矩形绕A 顺时针旋转，得到矩形，点B 的对应点是点E ，点C 的对应点是点F ，点D 的对应点是点G ．(1)如图①；当时，连接，求的长；(2)如图②，当边经过点D 时，延长交于点P ，求的长；(3)连接，点M 是的中点，连接，在旋转过程中，线段的最大值______．25．已知抛物线（，，是常数，）的顶点为，与轴相交于，两点（点在点的左侧），与轴相交于点．(1)若点，求点和点的坐标；(2)将点绕点逆时针方向旋转，点的对应点为，若，两点关于点中心对称，求点的坐标和抛物线解析式：(3)在（1）的条件下，点为直线下方抛物线上的一个动点，过点作轴，与相交于点，过点作轴，与轴相交于点，求的最大值及此时点的坐标．DC AB P 10CAB ∠=︒P ∠ABCD 3AB =5BC =ABCD ()0180αα︒<<︒AEFG 90α=︒CF CF 'EF FE BC EP CF CF BM BM 2y ax bx c =++a b c 0a ≠()1,4M -x A B A B y C ()0,3C -A B A B 90︒A 1A A 1A M 1A P BC P PD x ∥BC D P PE y x E PD PE +P由作图可知：垂直平分∵，∴，∴∵，∵，∴∵∴CD 4AB =11124OM OB AB ===22CM OC OM =-=CD OB ⊥45ACB ∠=︒12DCB ∠=︒45ACD ACB DCB ∠=∠-∠=DMF AMC∠=∠D AFD A ACD ∠+∠=∠+∠∵，∴，∴ ，∴，∵，2AOB BOC ∠=∠ 2AB BC= AD BDBC ==AD BD BC ==AB AD BD <+∵，∴，∴，∵，∴，∴点F 在以为直径的半圆上运动，∴当点F 运动到与的交点90ABC BAD ∠=∠=︒AD BC ∥DAE AEB ∠=∠ADF BAE =∠∠90DFA ABE ==︒∠∠AD OB O F【点睛】本题考查的是勾股定理与勾股定理的逆定理的应用，垂径定理的应用，三角形的外接圆的圆心的确定，熟练的利用垂径定理应用于作图是解本题的关键．19．（Ⅰ），；（Ⅱ【分析】（Ⅰ）利用公式法解一元二次方程即可解题；（Ⅱ）①根据一元二次方程根的判别式求解即可；11x =215x =-②由题可得，，当选择①时，，解得：或（舍去）；当选择②时，，解得：；当选择③时，则，即，解得：；【点睛】本题考查一元二次方程的解法，根的判别式，根与系数的关系，，熟练掌握一元二次方程根的判别式与根的情况的关系，以及根与系数关系并能灵活运用是解答的关键．20．(1)(2)平滑曲线见详解，③(3)(4)（），【分析】（1）将，代入函数解析式，即可求解；（2）画出图象，观察图象即可求解；（3）根据图象可找出当时，对应的近似值，即可求解；（4）图象经过，，可求，验证，是否在抛物线上，从而可以确定s 与t 的函数关系式，再当即可求解．【详解】（1）解：当时，，，，故答案：．（2）解：画图如下，观察图象可知，除了③号点，其它各点都在同一个抛物线上，故这个计时点的位置编号可能是③．故答案为：③；（3）解：如图，1221x x k +=+2121x x k =+212k +=1k =1k =-213k +=1k =()2121x x -=()()()2221212421411x x x x k k +-=+-+=1k =03.122.52s t t =+0t ≥10.625m0=t 0s =30s =t ()1,4.5()2,1422.52s t t =+()3,28.5()4,481.5t =0=t 0s =∴000c ++=0c ∴=0由图象得：当此滑雪者滑行距离为30m 时，用时约为，故答案：．（4）解：由题意得，图象经过，，则有，解得：，，当时，当时，，，在抛物线上，s 与t 的函数关系式（），当时，（），答：s 与t 的函数关系式（），滑雪者在故障位置的滑行距离．【点睛】本题考查了二次函数在实际问题中的应用，数形结合是解题的关键．21．(1)(2)【分析】（1）直接利用圆周角定理得出的度数，再利用等弧所对的圆周角相等得到求出答案；（2）连接，，首先求出的度数，得到为等边三角形，再根据等边三角形的性质求出答案．【详解】（1）∵四边形内接于，∴，3.1s 3.1()1,4.5()2,144.54214a b a b +=⎧⎨+=⎩2.52a b =⎧⎨=⎩∴22.52s t t =+3t =22.532328.5s =⨯+⨯=4t =22.542448s =⨯+⨯=()3,28.5∴()4,4822.52s t t =+∴22.52s t t =+0t ≥1.5t =22.5 1.52 1.5s =⨯+⨯10.625=m 22.52s t t =+0t ≥10.625m 30︒3DCB ∠DCB DBC ∠=∠OB OC BOC ∠OBC ABCD O 180DCB BAD ∠+∠=︒【点睛】本题考查的是圆内接四边形的性质、圆周角定理的推论、等边三角形的判定和性质，掌握圆内接四边形的对角互补是解题的关键．22．(1)，(2)．26D ∠=︒DBC ∠30P ∠=︒（2）如图，连接，由题意可知，在根据勾股定理得∵，∴，又∵，PA Rt AED ED AD =90PEA PBA ∠=∠=︒EPA BPA ∠=∠BC AD【点睛】本题考查了矩形的性质，三角形中位线，勾股定理，圆的性质，掌握这些知识点灵活运用是解题关键．25．(1)，(2)，(3)取得最大值()1,0A -()3,0B ()5,8A '-()2114y x =-PD PE +498将点代入得，解得：()30A -,()214y a x =--1640a -=14a =。

天津市和平区汇文中学2023-2024学年八年级下学期期中数学试题(解析版)

天津市和平区汇文中学2023-2024学年八年级下学期期中数学试题(解析版)

2023-2024（2）八年级数学学科试卷一、选择题（共12小题，满分24分，每小题2分）1. 若直角三角形的两直角边长分别为5、12，则这个直角三角形的斜边长是（ ）A. 13B. C. 169 D. 【答案】A【解析】【分析】根据勾股定理：在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方，求解即可．【详解】解：斜边．故选A ．【点睛】本题考查了勾股定理的知识，如果直角三角形的两条直角边长分别是a ，b ，斜边长为c，那么a 2+b 2=c2．2. 有意义，则x的取值范围是（ ）A. x ≥0B. x ≤0C. x ＞0D. x ＜0【答案】A【解析】【详解】由题意得，x ≥0 .故选A.3. 下列计算正确的是（ ）A.B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】据二次根式的加减法对A 、B 、D 进行判断；根据二次根式的乘法法则对C 进行判断即可求解．【详解】解：A、原式＝，所以A 选项错误，不符合题意；B 、原式＝2+3＝5，所以B 选项错误，不符合题意；CC 选项正确，符合题意；D 、原式＝D 选项错误，不符合题意．13=-===-==故选C ．【点睛】本题考查了二次根式的运算，二次根式的加减先把二次根式化为最简二次根式，然后对被开方数相同的二次根式加减即可．熟练掌握二次根式的运算法则是解题关键．4. 在下列二次根式中，最简二次根式是（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】本题考查了最简二次根式的知识，熟练掌握最简二次根式的定义是解答本题的关键．最简二次根式必须满足两个条件：①被开方数不含分母；②被开方数不含能开得尽方的因数或因式．【详解】A，故不是最简二次根式；BC，故不是最简二次根式；D是最简二次根式．故选D ．5.是整数，正整数n 的最小值为( )A. 0B. 1C. 6D. 36【答案】C 【解析】【详解】是整数，∴是整数，即6n是完全平方数；∴n 的最小正整数值为6．故选C ．6. 如图，Rt △ABC 中，CD 是斜边AB 上的高，∠A=30°，BD=2cm ，则AB 的长度是（ ）A. 2cmB. 4cm==x ===C. 8cmD. 16cm【答案】C【解析】【分析】根据题意易得：∠BCD =30°，然后根据30°角的直角三角形的性质先在直角△BCD 中求出BC ，再在直角△ABC 中即可求出AB ．【详解】解：Rt △ABC 中，∵∠A =30°，∠ACB =90°，∴∠B =60°，∵CD 是斜边AB 上的高，∴∠BCD =30°，∵BD =2cm ，∴BC =2BD =4cm ，∵∠ACB =90°，∠A=30°，∴AB =2BC =8cm ．【点睛】本题考查的是直角三角形的性质，属于基本题型，熟练掌握30°角所对的直角边等于斜边的一半是解题关键．7. 下列各组数中，不能构成直角三角形的一组是（ ）A. 1，2B. 1，2C. 3，4，5 D. 6，8，12【答案】D【解析】【分析】由勾股定理的逆定理，只要验证两小边的平方和等于最长边的平方即可．【详解】解：A 、，能构成直角三角形；B 、，能构成直角三角形；C 、，能构成直角三角形；D 、，不能构成直角三角形．故选：D ．【点睛】本题考查勾股定理的逆定理的应用．判断三角形是否为直角三角形，已知三角形三边的长，只要利用勾股定理的逆定理加以判断即可．8. 下列图形：①一组邻边相等的矩形；②两条对角线互相垂直的矩形；③有一个角是直角的菱形；④对角线相等的菱形；⑤对角线互相垂直的平行四边形，其中一定是正方形的有（ ）A. 2个B. 3个C. 4个D. 5个【答案】C【解析】【分析】本题考查了正方形的判定定理，矩形，理性的性质，熟练掌握知识点是解题的关键．22212+=2221+2=222345+=2226812+≠根据正方形的判定定理得到①③符合题意，②④根据菱形和矩形的性质结合垂直平分线，全等三角形证明即可，⑤对角线互相垂直的平行四边形是菱形，即可作出判断．【详解】解：①一组邻边相等的矩形是正方形，正确，符合题意；②两条对角线互相垂直的矩形是正方形，正确，符合题意，理由如下：如图，在矩形中，，证明：四边形是正方形，证明：∵矩形，∴，∵，∴，∴矩形是正方形；③有一个角是直角的菱形是正方形，正确，符合题意；④对角线相等菱形是正方形，正确，符合题意，理由如下：如图，在菱形中，，证明：四边形是正方形，∵四边形是菱形，∴，∵，∴，∴，∵，∴，的ABCD AC BD ⊥ABCD ABCD OA OC =AC BD ⊥BA BC =ABCD ABCD AC BD =ABCD ABCD AD BC =AD BC∥,AB AB AC BD ==DAB CBA ≌ABC DAB ∠=∠AD BC ∥180∠+∠=︒ABC DAB∴，∴菱形是正方形；⑤对角线互相垂直的平行四边形是菱形，不符合题意，因此正确的有4个，故选：C ．9. 顺次连接梯形四边中点得到一个菱形，则该梯形的两条对角线（ ）A. 相等B. 互相垂直C. 互相平分D. 互相垂直且平分【答案】A【解析】【分析】此题主要考查了菱形的性质以及三角形的中位线定理，根据已知得出进而得出是解题关键．顺次连接梯形四边中点得到的四边形是菱形，则根据菱形的性质及三角形的中位线的性质进行分析，从而不难求解．【详解】解：如图点，，，分别是梯形各边的中点，且四边形是菱形，点，，，分别是梯形各边的中点，∴，∵四边形是菱形，∴，，即该梯形的两条对角线相等．故选：A ．10. 如图，已知△ABC ，分别以A ，C 为圆心，BC ，AB 长为半径画弧，两弧在直线BC 上方交于点D ，连接AD ，CD ，则有()90ABC ∠=︒ABCD EF FG =AC BD =E F G H EFGH E F G H 11,22EF BD FG AC ==EFGH FE FG =AC BD ∴=A. ∠ADC 与∠BAD 相等B. ∠ADC 与∠BAD 互补C. ∠ADC 与∠ABC 互补D. ∠ADC 与∠ABC 互余【答案】B【解析】【详解】如图，依题意得AD=BC 、CD=AB ，∴四边形ABCD 是平行四边形，∴∠ADC+∠BAD=180°，∠ADC=∠ABC ，∴B 正确．11. 如图，在直角三角形ABC 中，，，，点M 是边AB 上一点（不与点A ，B 重合），作于点E ，于点F ，若点P 是的中点，则CP 的最小值是（ ）A. 1.2B. 1.5C. 2.4D. 2.5【答案】A【解析】【分析】先由勾股定理求出，再证四边形CEMF 是矩形，得，当时，CM 最短，此时EF 也最小，则CP 最小，然后由三角形面积求出，即可得出答案．【详解】解：连接CM ，如图所示：∵，，，∴，∵，，，∴四边形CEMF是矩形，90ACB ∠=︒3AC ==4BC ME AC ⊥MF BC ⊥EF =5AB =EF CM CM AB ⊥=2.4CM 90ACB ∠=︒3AC ==4BC 5AB ===ME AC ⊥MF BC ⊥90ACB ∠=︒∴，∵点P 是EF 的中点，∴，当CM ⊥AB 时，CM 最短，此时EF 也最小，则CP 最小，∵，∴，∴，故选：A ．【点睛】本题考查了矩形的判定与性质、勾股定理、三角形面积以及最小值等知识；熟练掌握矩形的判定与性质是解题的关键．12. 如图，在菱形ABCD 中，∠A ＝60°，E 、F 分别是AB ，AD 的中点，DE 、BF 相交于点G ，连接BD ，CG ．有下列结论：①∠BGD ＝120°；②BG ＋DG ＝CG ；③△BDF ≌△CGB ；④S 菱形ABCD ＝AB 2；⑤2DE；⑥BF ＝BC ，正确结论的有（ ）个．A. 1B. 2C. 3D. 4【答案】C【解析】【分析】由菱形的性质及等边三角形的性质就可以得出∠GDB =∠GBD =30°，得出∠GDC =∠GBC =90°，DG =BG ，由四边形的内角和为360°就可以求出∠BGD 的值，由直角三角形的性质就可以得出CG =2GD 就可以得出BG +DG =CG ，在Rt △GBC 中，CG ＞BC =BD ，故△BDF 与△CGB 不全等，由三角形的面积关系可判断④，结合④和菱形的性质进而得出结论．【详解】解：∵四边形ABCD 是菱形∴AB =BC =CD =AD ．∠A =∠BCD∵∠A =60°∴∠BCD =60°=EF CM 1=2CP EF 11×=×22ABC S AB CM AC BC•3×4===2.45AC BC CM AB 11===1.222CP EF CM∴△ABD 是等边三角形，△BDC 是等边三角形∴∠ADB =∠ABD =60°，∠CDB =∠CBD =60°∵E ，F 分别是AB ，AD 的中点∴∠BFD =∠DEB =90°∴∠GDB =∠GBD =30°∴∠GDC =∠GBC =90°，DG =BG∴∠BGD =360°-90°-90°-60°=120°，故①正确；在△CDG 和△CBG 中∴△CDG ≌△CBG （SSS ）∴∠DGC =∠BGC =60°∴∠GCD =30°∴CG =2GD =GD +GD∴CG =DG +BG故②正确．∵△GBC 为直角三角形∴CG ＞BC∴CG ≠BD∴△BDF 与△CGB 不全等故③错误；∵S 菱形ABCD =2S △ADB = 2×AB •DE=AB •）=ABAB 2，故④错误；∵CDCB DG BG CG CG ⎧⎪⎨⎪⎩＝＝＝12,DE AB ===∴2DECD故⑤正确；∵BD ＞BF ，BD =BC∴BC ＞BF故⑥错误．∴正确的有：①②⑤共三个．故选：C．【点睛】此题考查了菱形的性质、全等三角形的判定与性质及等边三角形的判定与性质，综合的知识点较多，注意各知识点的融会贯通．二、填空题（共6小题，满分18分，每小题3分）13 ＝___2＝______．【答案】①. ②. 5③. 【解析】【分析】直接利用二次根式的性质分别化简得出答案．）2＝5．故答案为：5；．【点睛】此题主要考查了二次根式的性质，正确化简二次根式是解题关键．14._________________________________．【答案】① ②.③. ##【解析】【分析】本题考查二次根式的除法运算，解题的关键是掌握二次根式除法运算法则，根据二次根式除法运算法则进行计算即可．；；..353535=÷==243-113-==2===．；；．15. 如图，已知四边形是平行四边形，从①，②，③中选择一个作为条件，补充后使四边形成为菱形，则其选择是___（限填序号）．【答案】①【解析】【分析】根据菱形的判定、矩形的判定、平行四边形的性质即可得．【详解】解：①时，平行四边形是菱形（有一组邻边相等的平行四边形是菱形）；②时，平行四边形是矩形（对角线相等的平行四边形是矩形）；③由平行四边形的性质可知，，则不能作为构成菱形的条件；故答案为：①．【点睛】本题考查了菱形的判定、矩形的判定、平行四边形的性质，熟练掌握菱形的判定方法是解题关键．16. 已知，则代数式的值为 __________．【答案】【解析】【分析】直接把的值代入，利用二次根式的混合运算法则计算得出答案．【详解】解：，．43===-243-ABCD ABAD =AC BD =ABC ADC ∠=∠ABCD AB AD =ABCDAC BD =ABCD ABC ADC ∠=∠2x=(22x x ++8-x 2x = ∴2(2x x++2(2(2=+-4343=+--8=-故答案为：．【点睛】此题主要考查了二次根式的化简求值，正确掌握二次根式的性质是解题的关键．17. 如图，在等边三角形中，，射线，点E 从点A 出发，沿射线以的速度运动，同时点F 从点B 出发，沿射线以的速度运动，设运动时间为________秒时，以A ，F ，C ，E 为顶点的四边形是平行四边形．【答案】2或6##6或2【解析】【分析】本题考查了平行四边形的判定．此题难度适中，注意掌握分类讨论思想、数形结合思想与方程思想的应用．分别从当点F 在C 的左侧时与当点F 在C 的右侧时去分析，由当时，以A 、C 、E 、F 为顶点四边形是平行四边形，可得方程，解方程即可求得答案．【详解】解：设运动时间，根据题意得：，，①当点F 在C 的左侧时，，∵，∴当时，四边形是平行四边形，即，解得：；②当点F 在C 的右侧时，，∵，∴当时，四边形是平行四边形，即，解得：；综上可得：当运动时间为秒或6秒时，以A 、C 、E 、F 为顶点四边形是平行四边形．故答案为：2或6．18. 如图，矩形ABCD 中，交CD 于点E ，点F 在AD 上，连接CF 交AE 于点G，为8-ABC 6cm BC =AG BC ∥AG 1cm/s BC 2cm/s AE CF =s t cm =AE t 2cm BF t =()62cm CF BC BF t =-=-AG BC ∥AE CF =AECF 62t t =-2t =()26cm CF BF BC t =-=-AG BC ∥AE CF =AEFC 26t t =-6t =2AE BD ⊥，若，则CD 的值为________．【解析】【分析】连接AC 交BD 于点O ，连接OG ，令BD 与CF 交于点M ，根据矩形的性质，三角形中位线定理，平行线的性质，对顶角相等和余角的性质可得∠GMO =∠MDF =∠MOG =∠FMD ，设OG =GM =x ，则CG =GF =AF =2x ，用x 表示出CD 和AD ，利用勾股定理列出方程即可解答．【详解】解：连接AC 交BD 于点O ，连接OG ，令BD 与CF 交于点M ，∵GF =AF ，∴∠FAG =∠FGA ，∵四边形ABCD 为矩形，∴BD =AC ，OB =OD ，∵CG =GF ，∴OG 为△CAF 的中位线，∴AF =2OG ，OG ∥AD ，∴∠FDM =∠MOG ，∵AE ⊥BD ，∴∠FGA +∠GMO =90°，∠MDF +∠FAG =90°，.∴∠GMO =∠MDF ，∴∠GMO =∠MDF =∠MOG =∠FMD ，∴OG =GM ，FM =FD ，CG GF AF ==BD =设OG =GM =x ，则CG =GF =AF =2x ，∴FD =FM =FG -MG =2x -x =x ，∴CF =4x ，AD =3x ，在Rt △DCF 中，由勾股定理得，,在Rt △ADC 中，由勾股定理得，DC 2+AD 2=AC 2，即15x 2+9x 2=48，解得x，∴故答案为: ．【点睛】本题考查了矩形的性质，解题的关键是根据矩形的性质，三角形中位线定理，平行线的性质，对顶角相等和余角的性质得到相关的角相等．三、解答题（共7小题，满分58分）19. 计算：（1）；（2）【答案】（1（2）【解析】【分析】（1）根据二次根式的加法运算法则计算即可；（2）根据二次根式的混合运算法则计算即可．【小问1详解】解：原式＝【小问2详解】CD ==CD ==+-))2112++-8-+-+解：原式＝＝＝．【点睛】本题考查了二次根式的混合运算，掌握二次根式的性质并运用性质和法则准确计算是本题的关键．20. 在中，（1）已知，求它的周长；（2）已知，求其余各内角的度数．【答案】（1）16；（2），，【解析】【分析】（1）根据平行四边形的性质可知CD =AB =5，AD =BC =3，再由四边形ABCD 的周长=AB +BC +CD +AD ，即可求解；（2）根据平行四边形的性质可知平行四边形的对角相等即∠C =∠A =38°，再由AD ∥BC ，即可得到∠B =180°-∠A =142°，∠D =180°-∠C =142°．【详解】解：（1）∵四边形ABCD 是平行四边形，∴CD =AB =5，AD =BC =3，∴四边形ABCD 的周长=AB +BC +CD +AD =5+5+3+3=16；（2）∵四边形ABCD 是平行四边形，∴∠C =∠A =38°，AD ∥BC ，∴∠B =180°-∠A =142°，∠D =180°-∠C =142°．【点睛】本题主要考查了平行四边形的性质，解题的关键在于能够熟练掌握平行四边形的性质．21. 已知：如图，中，，点分别是中点，点在的延长线上，且，求证：的2214-+-+2134-+-8-ABCD Y 5,3AB BC ==38A ∠=︒142︒38︒142︒ABC 90ACB ∠=︒D E 、AC AB 、F BC CF DE =（1）（2）．【答案】（1）见详解（2）见详解【解析】【分析】（1）利用直角三角形斜边上中线等于斜边的一半即可求证；（2）由三角形中位线定理先证明四边形为平行四边形，再由平行四边形的性质即可求证．【小问1详解】证明：为的中点，，，【小问2详解】证明：分别是的中点，，点在的延长线上，，，四边形为平行四边形，，，，．【点睛】本题考查了直角三角形的性质，等腰三角形的性质，三角形的中位线定理，平行四边形的判定与性质，熟练掌握知识点是解题的关键．22. 如图，在长方形纸片中，，点E 在上，将沿折叠，使点A落ECA A∠=∠CDF A ∠=∠CEDF 90,ACB E ∠=︒ AB 12CE AB AE ∴==A ECA ∴∠=∠D E 、AC AB 、DE BC ∴∥ F BC DE CF ∴∥DE CF = ∴CEDF DF CE ∴∥CDF ECA ∴∠=∠A ECA ∠=∠ CDF A ∴∠=∠ABCD 125AB BC ==，AB DAE DE在对角线上的点F 处，（1）求的长；（2）求的长．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）利用勾股定理计算即可；（2）由翻折得：，求出，，设，则，在中，由勾股定理得，代入求出x 即可．【小问1详解】解：∵四边形是矩形，∴，∴；【小问2详解】由翻折得：，∴，设，则，在中，，∴，∴∴．【点睛】此题考查了矩形的性质，勾股定理，折叠的性质，正确掌握矩形的性质及勾股定理的计算是解题的关键．23. 如图，在平行四边形中，，E ，F 是对角线上的点，且，连接，BDBD AE 13103,90,5F DF A AE A DFE E D ==∠=︒=∠=BF 90BFE ∠=︒AE EF x ==12BE x =-Rt BFE △222EF BF BE +=ABCD 90,5A AD BC ∠=︒==13BD ===590DF DA DFE A AE EF ==∠=∠=︒=，，1358BF BD DF =-=-=90BFE ∠=︒AE EF x ==12BE x =-Rt BFE △222EF BF BE +=()222812+=-x x 103x =103AE =ABCD AB AD =BD BE DF =AE，，．求证：四边形是菱形．【答案】见解析【解析】【分析】本题考查了菱形的判定与性质以及平行四边形的判定与性质等知识，熟练掌握菱形的判定与性质是解题的关键．连接，交于点O ，证明平行四边形是菱形，得，再证明，则四边形是平行四边形，然后由菱形的判定即可得出结论．【详解】证明：如图，设交于点O ，∵，四边形是平行四边形，∴平行四边形是菱形，∴，∵，∴，即，∴四边形是平行四边形，又∵，∴平行四边形是菱形．24. 如图1，已知，分别以点为圆心，为半径，在的上方画弧，两弧相交于点，连接．CF AF CE AFCE AC BD ABCD ,,AC BD AO CO BO DO ⊥==EO FO =AECF AC BD AB AD =ABCD ABCD ,,AC BD AO CO BO DO ⊥==BE DF =OB BE OD DF -=-EO FO =AECF AC BD ⊥AFCE 6890AB BC ABC ==∠=︒，，A C ，BC AB ，BC D AD CD ，（1）求证：四边形是矩形；（2）如图2，连接是边上一点，于点于点．则___________．【答案】（1）见详解（2）4.8【解析】【分析】本题考查了矩形的判定与性质、平行四边形的判定与性质、勾股定理等知识；熟练掌握矩形的判定与性质是解题的关键．（1）由题意可知，，，则四边形是平行四边形，再由矩形的判定即可得出结论；（2）由矩形的性质得，，，，则，再由勾股定理得，则，然后由等面积法即可求解．【小问1详解】证明：由题意可知，，，四边形是平行四边形，又，平行四边形是矩形；【小问2详解】解：设、交于点，连接，如图2所示：四边形是矩形，，，，，，ABCD AC BD E ，，AD EF AC ⊥E EG BD ⊥，G EF EG +=AD BC =AB CD =ABCD 12OA OC AC ==12OB OD BD ==AC BD =90ABC ∠=︒OA OD =10AC =5OA OD ==AD BC =AB CD =∴ABCD 90ABC ∠=︒ ∴ABCD AC BD O OE ABCD 12OA OC AC ∴==12OB OD BD ==AC BD =90ABC ∠=︒OA OD =∴，∴，∵，，∵的面积矩形的面积，又的面积的面积的面积，，即，解得：，故答案为：4.8．25. 如图，点是正方形对角线的延长线上任意一点，以线段为边作一个正方形，线段与、分别相交于点、．（1）求证：；（2）判断与的位置关系，并说明理由；（3）若，，求的长．【答案】（1）见解析；（2），见解析；（3）【解析】【分析】（1）利用正方形的性质及定理证明；（2）由（1）的结论得出，，再根据，通过等OA OB OC OD ===AOD BOC COD DOA S S S S === 90ABC ∠=︒10AC ∴===5OA OD ∴==AOD △14=ABCD 168124=⨯⨯=AOE DOE +△AOD =△∴111222OA EF OD EG ⨯+⨯=15()122EF EG ⨯⨯+=4.8EF EG +=G ABCD CA AG AEFG DG BE AE H K EAB GAD ≌△△BE DG AB =6AG =DK BEDG ⊥SAS EAB GAD ≌△△AGK KEH =∠AKG HKE ∠=∠90AGK AKG ∠+∠=︒量代换即可证明；（3）连接，证明出四边形是正方形，利用正方形的性质得出条件，证明，在中利用勾股定理求解可得．【详解】（1）证明：四边形、四边形是正方形，，，，，在和中，，；（2）解：，理由如下：，在中，（3）解：连接在中，，又．．，且．四边形是正方形，DE AEDO ()DKE GKA AAS ≌△△Rt DKE △ ABCD AGFE AB AD ∴=AE AG =DAB EAG ∠=∠EAB GAD ∴∠=∠AEB △AGD △AE AG EAB GAD AB AD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩()EAB GAD SAS ∴≌△△BE DG ⊥EAB GAD≌△△AGK KEH ∴∠=∠AKG HKE∠=∠ Rt AGK △90AGK AKG ∠+∠=︒90KEH HKE EHK∴∠+∠=︒=∠BE DG∴⊥DERt ABC△AB BC == 12AC ∴=162AO DO AC ===06DO A ==6AG AE ==AO DO ⊥//DO AE DO AE =∴AEDO 90DEK GAK ∠=∠=︒DKE GKA ∠=∠，，在中，．【点睛】本题考查了正方形的性质、三角形全等的判定及性质、线线垂直的判定、勾股定理的使用，解题的关键是：掌握相关知识点，添加适当的辅助线，利用等量代换的思想求解．DE AG=()DKE GKA AAS ∴≌△△3EK AK ∴==Rt DKE△DK ===。

2022-2023学年天津市和平区九年级上学期数学期中试卷及答案

2022-2023学年天津市和平区九年级上学期数学期中试卷及答案

2022-2023学年天津市和平区九年级上学期数学期中试卷及答案一、选择题（本大题共12小题，共36分．在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）1. “垃圾分类，利国利民”，在2019年7月1日起上海开始正式实施垃圾分类，到2020年底先行先试的46个重点城市，要基本建成垃圾分类处理系统．以下四类垃圾分类标志的图形，其中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）A. 可回收物B. 有害垃圾C. 厨余垃圾D. 其他垃圾 【答案】B【解析】【分析】由题意根据轴对称图形和中心对称图形的定义对各选项进行判断，即可得出答案．【详解】解：A 、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不合题意；B 、既是轴对称图形，也是中心对称图形，故此选项符合题意；C 、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不合题意；D 、既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故此选项不符合题意；故选：B.【点睛】本题考查中心对称图形与轴对称图形的概念，注意掌握判断轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合；判断中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合．2. 一元二次方程的根的情况是（ ）2210x x -+=A. 有两个不等的实数根B. 有两个相等的实数根C. 无实数根D. 无法确定 【答案】B【解析】【分析】求出其根的判别式，然后根据根的判别式的正负情况即可作出判断．【详解】∵，，， 1a =2b =-1c =∴，()2242411440b ac =-=--⨯⨯=-=△∴方程有两个相等的实数根．故选：B ．【点睛】本题考查了一元二次方程（）的根的判别式：20ax bx c ++=0a ≠24b ac =-△当＞0，方程有两个不相等的实数根；当=0，方程有两个相等的实数根；当＜0，方程 没有实数根．3. 如图，菱形对角线交点与坐标原点重合，点，则点的坐标为ABCD O ()2,5A -C （ ）A. B. C. D. ()5,2-()2,5-()2,5()2,5--【答案】B【解析】【分析】根据菱形的中心对称性，A 、C 坐标关于原点对称，利用横反纵也反的口诀求解即可．【详解】∵菱形是中心对称图形，且对称中心为原点，∴A、C 坐标关于原点对称，∴C 的坐标为，()2,5-故选C ．【点睛】本题考查了菱形的中心对称性质，原点对称，熟练掌握菱形的性质，关于原点对称点的坐标特点是解题的关键．4. 用配方法解方程，变形后的结果正确的是( )2890x x ++=A. B. C. D. ()249x +=-()247x +=-()2425x +=()247x +=【答案】D【解析】【分析】先将常数项移到右侧，然后两边同时加上一次项系数一半的平方，配方后进行判断即可.【详解】，2890x x ++=，289x x +=-，2228494x x ++=-+所以，()247x +=故选D.【点睛】本题考查了配方法解一元二次方程，熟练掌握配方法的一般步骤以及注意事项是解题的关键.5. AB 是⊙O 的直径，点C 在圆上，∠ABC=65°，那么∠OCA 的度数是（ ）A. 25°B. 35°C. 15°D. 20°【答案】A【解析】 【分析】根据直径得出∠ACB=90°，进而得出∠CAB=25°，进而解答即可．【详解】解：∵AB 是⊙O 的直径，∴∠ACB=90°，∵∠ABC=65°，∴∠CAB=25°，∵OA=OC，∴∠OCA=∠CAB=25°，故选A ．【点睛】本题考查了圆周角定理，正确理解圆周角定理是关键．6. 把抛物线y=﹣2x 2先向右平移1个单位长度，再向上平移2个单位长度后，所得函数的表达式为（ ）A. y=﹣2（x+1）2+2B. y=﹣2（x+1）2﹣2C. y=﹣2（x﹣1）2+2D. y=﹣2（x﹣1）2﹣2【答案】C【解析】【详解】解：把抛物线y=﹣2x 2先向右平移1个单位长度，再向上平移2个单位长度后， 所得函数的表达式为y=﹣2（x﹣1）2+2，故选C ．7. 若，，为二次函数的图象上的三点，则()14,A y -()23,B y -()31,C y 245y x x =+-，，的大小关系是（ ）1y 2y 3y A. B. C. D. 123y y y <<213y y y <<312y y y <<132y y y <<【答案】B【解析】【分析】把三个点的横坐标代入函数解析式，求出对应函数值，比较大小即可．【详解】解：把，，分别代入得， ()14,A y -()23,B y -()31,C y 245y x x =+-；；； 1164(4)55y =+⨯--=-294(3)58y =+⨯--=-314150y =+⨯-=则，，的大小关系是，1y 2y 3y 213y y y <<故选：B ．【点睛】本题考查了二次函数比较函数值大小，准确求出二次函数对应函数值是解题关键．8. 某农机厂四月份生产零件50万个，第二季度共生产零件182万个．设该厂五、六月份平均每月的增长率为x ，那么x 满足的方程是（ ）A.250(1)182x +=B.25050(1)50(1)182x x ++++=C.50(12)182x +=D.5050(1)50(12)182x x ++++=【答案】B【解析】【分析】主要考查增长率问题，一般增长后的量＝增长前的量×（1+增长率），如果该厂五、六月份平均每月的增长率为x ，那么可以用x 分别表示五、六月份的产量，然后根据题意可得出方程．【详解】解：依题意得五、六月份的产量为、，50(1)x +250(1)x +∴．25050(1)50(1)182x x ++++=故选：B ．【点睛】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程—增长率问题，一般形式为，a 为起始时间的有关数量，b 为终止时间的有关数量．2(1)a x b +=9. 关于二次函数，下列说法正确的是（ ）2241y x x =+-A. 图像与轴的交点坐标为B. 图像的对称轴在轴的右侧 y ()0,1yC. 当时，的值随值的增大而减小D. 的最小值为-3 0x <y x y 【答案】D【解析】【详解】∵y=2x 2+4x-1=2（x+1）2-3，∴当x=0时，y=-1，故选项A 错误，该函数的对称轴是直线x=-1，故选项B 错误，当x ＜-1时，y 随x 的增大而减小，故选项C 错误，当x=-1时，y 取得最小值，此时y=-3，故选项D 正确，故选：D ．【点睛】本题考查二次函数的性质、二次函数的最值，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答．10. 高速公路的隧道和桥梁最多．如图是一个隧道的横截面，若它的形状是以为圆心的圆O 的一部分，路面米，净高米，则此圆的半径12AB =9CD =()OA =A. 6米B. 米C. 7米D. 米 132152【答案】B【解析】 【分析】先设此圆的半径为r ，用r 表示出OA ，OD 的长，再由垂径定理求出AD 的长，根据勾股定理即可求解．【详解】设此圆的半径为r ，则OA=r ，OD=9−r ， ∵AB=12米，CD⊥AB， ∴AD=AB=×12=6米，、 1212在Rt△AOD 中，∵OA=r，OD=9−r ，AD=6米，、∴OA 2=OD 2+AD 2,即r 2=(9−r)2+62，解得r=米. 132故选B.【点睛】本题考查的是圆的综合运用，熟练掌握垂径定理是解题的关键.11. 如图 ，已知△ABC 中，∠C＝90°，AC ＝BC，将△ABC 绕点 A 顺时针方向旋转60°得到△A′B′C′的位置，连接 C′B，则 C′B 的长为 ( )A. 2D. 11-【答案】C【解析】 【分析】如图，连接BB′，延长BC′交AB′于点D ，证明△ABC′≌△B′BC′，得到∠DBB′=∠DBA=30°；求出BD 、C′D 的长，即可解决问题．【详解】解：如图，连接BB′，延长BC′交AB′于点D ，由题意得：∠BAB′=60°，BA=B′A，∴△ABB′为等边三角形，∴∠ABB′=60°，AB=B′B；在△ABC′与△B′BC′中，''''''AC B C AB B B BC BC =⎧⎪=⎨⎪=⎩∴△ABC′≌△B′BC′（SSS ），∴∠DBB′=∠DBA=30°，∴BD⊥AB′，且AD=B′D，∵AC＝BC，∴，'2AB AB ====∴，，， 112ADAB ==BD ===1''12DC AB ==．''1BC BD DC ∴=-=故选：C ．【点睛】本题考查旋转的性质，全等三角形的性质和判定，等边三角形的判定与性质，等腰直角三角形的性质，直角三角形斜边上的中线．作辅助线构造出全等三角形并求出BC′在等边三角形的高上是解题的关键，也是本题的难点．12. 二次函数y ＝ax 2+bx+c （a ，b ，c 是常数，a≠0）的自变量x 与函数值y 的部分对应值如表： x… ﹣2 ﹣1 0 1 2 … y ＝ax 2+bx+c… t m ﹣2 ﹣2 n … 且当x ＝时，与其对应的函数值y ＞0，有下列结论： 12-①abc＜0；②m＝n ；③﹣2和3是关于x 的方程ax 2+bx+c ＝t 的两个根；④． 83a <其中，正确结论的个数是（ ）. A. 1B. 2C. 3D. 4 【答案】B【解析】【分析】根据二次函数的性质逐一进行分析即可 【详解】解：①函数的对称轴为：x ＝（0+1）＝，则ab ＜0，c ＝﹣2＜0，故abc ＞0，1212故①错误，不符合题意；②根据表格可得：x ＝﹣1和x ＝2关于函数对称轴对称，故m ＝n 正确，符合题意； ③函数的对称轴为：x ＝，根据表格可得：x ＝﹣2和x ＝3关于函数对称轴对称，此时的12函数值为t ，则﹣2和3是关于x 的方程ax 2+bx+c ＝t 的两个根，故③正确，符合题意； ④函数的对称轴为：x ＝，则b=-a ，当x ＝﹣时，y ＝a b﹣2＞0，所以 3a﹣8＞12121412-0，故④错误，不符合题意；【点睛】本题考查的是二次函数图象与系数的关系，熟悉函数的基本性质，能熟练求解函数与坐标轴的交点及顶点的坐标等．二、填空题（本大题共6小题，共18.0分）13. 写出下列一元二次方程的根_____．()()2720x x -+=【答案】 127,22x x ==-【解析】【分析】根据因式分解法，解一元二次方程即可求解．【详解】解：，()()2720x x -+=即或，270x -=20x +=解得， 127,22x x ==-故答案为：． 127,22x x ==-【点睛】本题考查了解一元二次方程，掌握解一元二次方程的方法是解题的关键．14. 抛物线的顶点坐标为____________．22(1)3y x =--【答案】(1,3)-【解析】【分析】根据二次函数顶点式的顶点坐标为即可求出．2()y a x h k =-+(,)h k 【详解】∵二次函数的顶点坐标为，2()y a x h k =-+(,)h k ∴抛物线的顶点为（1，-3）．22(1)3y x =--故答案为：（1，-3）．【点睛】本题考查了二次函数的顶点式，需熟练理解二次函数顶点式的顶2()y a x h k =-+点坐标为．(,)h k 15. 如图，线段AB 经过圆心O ，交⊙O 于点A 、C ，∠B＝30°，直线BD 与⊙O 切于点D ，则∠ADB 的度数是_______．【答案】120°【分析】连接OD ，由圆的切线性质可知∠ODB=90°，则可得∠DOB=2∠A=60°，从而求解．【详解】解：连接OD ，如图，BD 切⊙O 于D ，∴∠ODB=90°，∵∠B=30°∴∠DOB=60°∴∠A=30°∴∠ADB=180°-∠B-∠A=180°-30°-30°=120°故答案为∶120°．【点睛】本题考查了切线的性质，三角形的内角和定理，圆周角定理的应用，解题的关键是熟练运用这些性质进行推理和计算．16. 已知二次函数的图象与轴有交点，则的取值范围是________．277y ax x =--x a 【答案】且 74a ≥-0a ≠【解析】【分析】根据二次函数的定义和根的判别式进行计算即可．【详解】∵二次函数的图象和轴有交点，277y ax x =--x ∴，2449280b ac a ∆=-=+≥0a ≠∴，且， 74a ≥-0a ≠故答案为：，且． 74a ≥-0a ≠【点睛】本题考查了二次函数的定义，根的判别式，掌握这些知识点是解题关键．17. ABC 为⊙O 的内接三角形，若∠AOC＝160°，则∠ABC 的度数是____．【答案】80°或100°【解析】【分析】根据圆周角定理和圆的内接四边形的性质即可求解．【详解】解：如图，∵∠AOC=160°， ∴∠ABC=∠AOC=×160°=80°，1212∵∠ABC+∠AB′C=180°，∴∠AB′C=180°-∠ABC=180°-80°=100°．故答案为：80°或100°．【点睛】本题主要考查圆周角定理和圆的内接四边形，掌握圆的内接四边形的对角互补是关键．18. 如图，是等边三角形，，D 是的中点，F 是直线上一动点，ABC AB =BC AB 线段绕点D 逆时针旋转，得到线段，当点F 运动时，的最小值是DF 90︒DE CE ________________．【解析】【分析】作FM⊥BC，EN⊥BC，根据AAS 定理证得△EDN≌△DFM，然后设BM=x ，根据含30°的直角三角形性质及勾股定理列出AE 2，结合二次根式的性质及完全平方公式的结构分析其最值，从而求解．【详解】解：作FM⊥BC，EN⊥BC．∵线段绕点D 逆时针旋转，得到线段DF 90︒DE ∴DE=DF，∠FDM+∠EDN=90°又∵FM⊥BC，EN⊥BC∴∠DMF=∠END=90°，∠FDM+∠DFM=90°∴∠EDN=∠DFM∴△EDN≌△DFM由题意可得：∠B=60°，BD=∴在Rt△BFM 中，∠BFM=30°如图，①当点F 在线段AB 上时，设BM=x ，则，CN=CD+DN=，NE=DM=x 在Rt△CEN 中，222CE CN NE =+∴ ()()(22222312CE x =x +⎡⎤=+++⎣⎦此时，CE 无最小值，如图，②当点F 在AB 的延长线上时设BM=x ，则，CN=CD-DN=，NE=DM=在Rt△CEN 中，222CE CN NE =+∴ ()()(22222312CE x =x ⎡⎤=++-+⎣⎦此时，当CE 2有最小值为 12∴CE 3=+【点睛】本题考查含30°的直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题．三、解答题（本大题共7小题，共64.0分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）19. 解方程：（Ⅰ）x 2+x﹣12＝0；（Ⅱ）5x （x﹣1）＝2（x﹣1）．【答案】（Ⅰ）x 1＝﹣4，x 2＝3；（Ⅱ）x 1＝1，x 2＝25【解析】【分析】（Ⅰ）利用因式分解法解方程；（Ⅱ）先移项得5x （x﹣1）﹣2（x﹣1）＝0，然后利用因式分解法解方程．【详解】解：（Ⅰ）（x+4）（x﹣3）＝0，x+4＝0或x﹣3＝0，所以x 1＝﹣4，x 2＝3；（Ⅱ）5x （x﹣1）﹣2（x﹣1）＝0，（x﹣1）（5x﹣2）＝0，x﹣1＝0或5x﹣2＝0，所以x 1＝1，x 2＝． 25【点睛】本题考查了解一元二次方程-因式分解法：因式分解法就是利用因式分解求出方程的解的方法，这种方法简便易用，是解一元二次方程最常用的方法．20. 如图，在半径为的中，弦长．求：50mm O AB 50mm（1）的度数；AOB （2）点O 到的距离．AB【答案】（1）60°；（2）【解析】【分析】（1）证明是等边三角形，从而可得结论；AOB （2）过点O 作OC⊥AB，垂足为点C ，利用垂径定理求解 再利用勾股定理可得答,,AC BC 案.【详解】解：（1）∵OA，OB 是⊙O 的半径，∴OA＝OB ＝50mm ，又∵AB＝50mm ，∴OA＝OB ＝AB ，∴△AOB 是等边三角形，∴∠AOB＝60°． （2）过点O 作OC⊥AB，垂足为点C ，如图所示，由垂径定理得AC ＝CB ＝AB ＝25mm ，12在Rt△OAC 中OC 2＝OA 2－AC 2＝502－252＝252×3，（mm ），即点O 到AB 的距离是．【点睛】本题考查的是等边三角形的判定与性质，圆的性质，垂径定理的应用，勾股定理的应用，熟练垂径定理的运用是解题的关键.21. 已知，分别与相切于点，，，为上一点． PA PB O A B 80APB ︒∠=C O（Ⅰ）如图①，求的大小；ACB ∠（Ⅱ）如图②，为的直径，与相交于点，若，求的AE O AE BC D AB AD =EAC ∠大小．【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）.50ACB ︒∠=20EAC ︒∠=【解析】【分析】（Ⅰ）连接OA 、OB ，根据切线的性质得到∠OAP=∠OBP=90°，根据四边形内角和等于360°计算；（Ⅱ）连接CE ，根据圆周角定理得到∠ACE=90°，根据等腰三角形的性质、三角形的外角性质计算即可．【详解】解：（Ⅰ）如图，连接． OAOB ，∵是的切线，PA PB ，O ∴，．OA PA ⊥OB PB ⊥即．90OAP OBP ︒∠=∠=∵，80APB ︒∠=∴在四边形中，．OAPB 360100AOB OAP OBP APB ︒︒∠=-∠-∠-∠=∵在中，， O 12ACB AOB ∠=∠∴． 50ACB ︒∠=（Ⅱ）如图，连接．CE ∵为的直径，AE O ∴．90ACE ︒∠=由（Ⅰ）知，，50ACB ︒∠=∴．40BCE ACE ACB ︒∠=∠-∠=∴．40BAE BCE ︒∠=∠=∵在中，，ABD ∆AB AD =∴． 1(180)702ADB ABD BAE ︒︒∠=∠=-∠=又是的一个外角，有，ADB ∠ADC ∆EAC ADB ACB ∠=∠-∠∴．20EAC ︒∠=【点睛】本题考查的是切线的性质、圆周角定理、等腰三角形的性质，掌握圆的切线垂直于经过切点的半径是解题的关键22. 如图，某小区规划在一个长30 m ，宽20 m 的长方形ABCD 上修建三条同样宽的通道，使其中两条与AB 平行，另一条与AD 平行，其余部分种花草．要使每一块花草的面积都为78 m 2，那么通道的宽应设计成多少m ？【答案】通道应设计成2米．【解析】【分析】设道路的宽为xm ，将6块草地平移为一个长方形，长为（30－2x ）m ，宽为（20－x ）m ．根据长方形面积公式即可列方程（30－2x ）（20－x ）=6×78．【详解】设道路的宽为xm ，由题意得：（30﹣2x）（20﹣x）=6×78，整理得：（x﹣2）（x﹣33）=0，解得x=2或x=33舍去），答：通道应设计成2米．【点睛】此题主要考查了一元二次方程的应用，掌握长方形的面积公式，求得6块草地平移为一个长方形的长和宽是解决本题的关键．23. 某书店销售复习资料，已知每本复习资料进价为40元，市场调查发现：若以每本50元销售，平均每天可销售90本，在此基础上，若售价每提高1元，则平均每天少销售3本．设涨价后每本的售价为元，书店平均每天销售这种复习资料的利润为元．x y （1）涨价后每本复习资料的利润为______元，平均每天可销售______本；（2）求与的函数关系式；y x （3）当复习资料每本售价为多少时，平均每天的利润最大？最大利润为多少？【答案】（1），；（2）；（3）当复习资料每本(40)x -()3240x -+33609600y=x x 2－＋－售价为60元时，平均每天的利润最大，最大利润为1200元．【解析】【分析】（1）用原来的利润加上涨价的利润即为现在的利润，销量在原来的基础上减少后即可；（2）用涨价后单件的利润乘以销售量即可列出函数关系式；（3）利用公式或配方后即可确定最大值．【详解】解：（1）涨价后每本复习资料的利润为（x −40）元，平均每天可销售90−3（x −50）＝（240−3x ）本．故答案为：， ；(40)x -()3240x -+（2）()()40240y x x+-3=- （其中，）； 33609600=x x 2－+－80x 50≤≤（3）当时， 3606026b x a =-=-=- ()()()224396003604120044ac b y ==a 最大-3´-´---=´∴当复习资料每本售价为60元时，平均每天的利润最大，最大利润为1200元．【点睛】本题考查二次函数的应用和性质，解题的关键是掌握二次函数的应用和性质．24. 如图，等腰直角中，，点在上，将绕顶点沿顺时ABC ∆90ABC ∠=︒P AC ABP ∆B 针方向旋转90°后得到.CBQ ∆（1）求的度数；PCQ ∠（2）当，时，求的大小；4AB =AP =PQ （3）当点在线段上运动时（不与，重合），求证：.P AC P A C 2222PB PA PC =+【答案】（1）；（2）；（3）见解析.90PCQ ∠=︒PQ =【解析】【分析】（1）由于∠PCB=∠BCQ=45°，故有∠PCQ=90°;（2）利用勾股定理得出AC 的长，再利用旋转的性质得出AP=CQ ，求得PC 的长度，进而利用勾股定理得出PQ 的长；（3）先证明△PBQ 也是等腰直角三角形，从而得到PQ 2=2PB 2=PA 2+PC 2．【详解】（1）∵△ABP 绕顶点B 沿顺时针方向旋转90°后得到△CBQ，∴，ABP CQB ∆≅∆∴，45A ACB BCQ ∠=∠=∠=︒∴.90PCQ ACB BCQ ∠=∠+∠=︒（2）当时，有，4AB =AC =AP CQ ==，PC =∴PQ ==（3）由（1）可得，，，ABP CBQ ∠=∠AP CQ =PB BQ =，90ABP PBC CPQ PBC ∠+∠=∠+∠=︒∴是等腰直角三角形，是直角三角形.BPQ ∆PCQ ∆∴，PQ =∵，AP CQ =∴，22222PQ PC CQ PA PC =+=+故有.2222PB PA PC =+【点睛】考查了旋转的性质以及勾股定理和等腰直角三角形的性质等知识，得出旋转前后对应线段之间关系是解题关键．25. 如图，已知顶点为的抛物线与轴交于，两点，且()0,6C -()20y ax b a =+≠x A B ．OC OB =（1）求点的坐标；B （2）求二次函数的解析式； ()20y ax b a =+≠（3）作直线，问抛物线上是否存在点，使得．若CB ()20y ax b a =+≠M 15MCB ∠=︒存在，求出点的坐标：若不存在，请说明理由． M【答案】（1）点B 的坐标为(6，0)；（2）二次函数的解析式为；（3）点M 的2166y x =-坐标为或（12)4)-【解析】 【分析】（1）由条件可知OC ＝6，根据OB ＝OC ，可求出点B 的坐标；（2）将B ，C 两点的坐标代入y ＝ax 2＋b ，求出a ，b 的值，即可求得二次函数的解析式；（3）根据题意，分M 在BC 上方和下方两种情况进行解答，画出相应的图形，然后根据二次函数的性质和锐角三角函数可以求得点M 的坐标．【详解】解：（1）∵C(0，－6)∴6OC =∵OC OB =∴6OB =∴点B 的坐标为(6，0)（2）∵抛物线（≠0）经过点C(0，－6)和点B(6，0)，2y ax b =+a ∴，解得 6360b a b =-⎧⎨+=⎩1,66a b ⎧=⎪⎨⎪=-⎩∴该二次函数的解析式为 2166y x =-（3）存在①若点M 在BC 上方，设MC 交轴于点D ，则∠ODC=45°+15°=60°．x ∴∠OCD=30°.∴设OD=，则CD=2.x x ∵在Rt△OCD 中，∠COD=90°，OC=6，∴,222=+CD OD OC 即，()22236x x =+解得，.1x =-2x =∴点D 的坐标为(0).设直线DC 的函数解析式为6y kx =-∴，解得06=-k =∴直线DC 的函数解析式为6y=-∴，解得（舍）， 26,166y y x ⎧=-⎪⎨=-⎪⎩110,6x y =⎧⎨=-⎩2212x y ⎧=⎪⎨=⎪⎩∴(1M ②若点M 在BC 下方，设MC 交轴于点E ，则∠OEC=45°－15°=30°．x ∵OC=6，则CE=12.∵在Rt△OCE 中，∠COE=90°，∴=108,∴222OE CE OC =-OE =∴点E 的坐标为(，0).设直线EC 的函数解析式为，6y kx =-∴，解得06=-k =∴直线EC 的函数解析式为 6yx =-∴，解得（舍），. 26166y x y x ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩1106x y =⎧⎨=-⎩224x y ⎧=⎪⎨=-⎪⎩∴ 2M（-4)综上所述，点M 的坐标为或.（12)4)-【点睛】本题考查二次函数的综合、待定系数法求二次函数解析式，二次函数的性质、锐角三角函数等知识．熟练运用方程思想是解题的关键．。

2019-2020学年天津市和平区九年级(上)期中数学试卷(含详解)

2019-2020学年天津市和平区九年级(上)期中数学试卷(含详解)

2019-2020学年天津市和平区九年级（上）期中数学试卷一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．（3分）下列图形中，可以看作是中心对称图形的是（）A．B．C．D．2．（3分）已知⊙O的半径为10cm，点P到圆心O的距离为12cm，则点P和⊙O的位置关系是（）A．点P在圆内B．点P在圆上C．点P在圆外D．不能确定3．（3分）用配方法解方程：x2﹣4x+2＝0，下列配方正确的是（）A．（x﹣2）2＝2B．（x+2）2＝2C．（x﹣2）2＝﹣2D．（x﹣2）2＝6 4．（3分）二次函数y＝x2+4x+3的图象可以由二次函数y＝x2的图象平移而得到，下列平移正确的是（）A．先向左平移2个单位，再向上平移1个单位B．先向左平移2个单位，再向下平移1个单位C．先向右平移2个单位，再向上平移1个单位D．先向右平移2个单位，再向下平移1个单位5．（3分）某种品牌的手机经过四、五月份连续两次降价，每部售价由3200元降到了2500元，设平均每月降低的百分率为x，根据题意列出的方程是（）A．2500（1+x）2＝3200B．2500（1﹣x）2＝3200C．3200（1﹣x）2＝2500D．3200（1+x）2＝25006．（3分）正方形ABCD在坐标系中的位置如图所示，将正方形ABCD绕D点顺时针方向旋转90°后，B点到达的位置坐标为（）A．（﹣2，2）B．（4，1）C．（3，1）D．（4，0）7．（3分）抛物线的顶点为（1，﹣4），与y轴交于点（0，﹣3），则该抛物线的解析式为（）A．y＝x2﹣2x﹣3B．y＝x2+2x﹣3C．y＝x2﹣2x+3D．y＝2x2﹣3x﹣3 8．（3分）如图，在Rt△AOB中，∠O＝90°，以点A为旋转中心，把△ABO顺时针旋转得△ACD，记旋转角为α，∠ABO为β，当旋转后满足BC∥OA时，α与β之间的数量关系为（）A．α＝βB．α＝2βC．α+β＝90°D．α+2β＝180°9．（3分）如图，MN是⊙O的直径，A，B，C是⊙O上的三点，∠ACM＝60°，B点是的中点，P点是MN上一动点，若⊙O的半径为1，则PA+PB的最小值为（）A．1B．C．D．﹣1 10．（3分）二次函数y＝x2+bx+c中（b，c是常数）的自变量x与函数值y的部分对应值如下表：x…﹣101234…y＝x2+bx+c…1052125…下列结论正确的是（）A．当x＝2时，y有最大值1B．当x＜2时，y随x的增大而增大C．点（5，9）在该函数的图象上D．若A（m，y1），B（m+1，y2）两点都在该函数的图象上，则当m＞时，y1＜y2 11．（3分）已知关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0与cx2+bx+a＝0，下列判断不正确的是（）A．若方程ax2+bx+c＝0有两个实数根，则方程cx2+bx+a＝0也有两个实数根B．如果m是方程ax2+bx+c＝0的一个根，那么是cx2+bx+a＝0的一个根C．如果方程ax2+bx+c＝0与cx2+bx+a＝0有一个根相等，那么这个根是1D．如果方程ax2+bx+c＝0与cx2+bx+a＝0有一个根相等，那么这个根是1或﹣1 12．（3分）在平面直角坐标系中，若点P的横坐标和纵坐标相等，则称点P为完美点．已知二次函数y＝ax2+bx﹣（a，b是常数，a≠0）的图象上有且只有一个完美点（，），且当0≤x≤m时，函数y＝ax2+bx﹣3的最小值为﹣3，最大值为1，则m的取值范围是（）A．﹣1≤m≤0B．2≤m＜C．2≤m≤4D．m≥2二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）13．（3分）方程8x2+3x﹣10＝0的一次项系数是．14．（3分）点（﹣5，0）关于原点对称的点的坐标是．15．（3分）如图，A，B是⊙O上的两点，∠AOB＝120°，C是的中点，则∠A的大小为（度）．16．（3分）已知抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）与x轴交于A，B两点，若点A的坐标为（﹣2，0），抛物线的对称轴为直线x＝2，则线段AB的长为．17．（3分）如图，△ABC内接于⊙O，∠BAC＝60°，D是BC的中点，且∠AOD＝166°，AE，CF分别是BC，AB边上的高，则∠BCF的大小＝（度）．18．（3分）已知抛物线y＝ax2﹣4ax+4a﹣1．（Ⅰ）该抛物线的对称轴是x＝；（Ⅱ）该抛物线与x轴交于点A，点B，与y轴交于点C，点A的坐标为（1，0），若此抛物线的对称轴上的点P满足∠APB＜∠ACB，则点P的纵坐标n的取值范围是．三、解答题（本大题共7小题，共6分，解答应写出文字说明、演算步骤成推理过程）19．（8分）（Ⅰ）x（2x+1）＝2x+1（Ⅱ）x2+3x+1.5＝020．（8分）如图，AB是⊙O的直径，AB平分弦CD，交CD于点E，∠AOC＝60°，OC ＝2，求CD的长．21．（10分）已知△ABC，以AB为直径的⊙O分别交AC于D，BC于E，连接ED，若ED ＝EC．（1）求证：AB＝AC；（2）若AB＝4，BC＝2，求CD的长．22．（10分）一个矩形周长为56厘米．（1）当矩形面积为180平方厘米时，长宽分别为多少？（2）能围成面积为200平方厘米的矩形吗？请说明理由．23．（10分）俄罗斯世界杯足球赛期间，某商店销售一批足球纪念册，每本进价40元，规定销售单价不低于44元，且获利不高于30%．试销售期间发现，当销售单价定为44元时，每天可售出300本，销售单价每上涨1元，每天销售量减少10本，现商店决定提价销售．设每天销售量为y本，销售单价为x元．（1）请直接写出y与x之间的函数关系式和自变量x的取值范围；（2）当每本足球纪念册销售单价是多少元时，商店每天获利2400元？（3）将足球纪念册销售单价定为多少元时，商店每天销售纪念册获得的利润w元最大？最大利润是多少元？24．（10分）（Ⅰ）在△ABC中，AB＝AC，M是平面内任意一点，将线段AM绕点A顺时针旋转与∠BAC相等的角度，得到线段AN，连接NB．①如图①，若M是线段BC上的一点，且∠MAC＝20°，MC＝2，则∠NAB的大小＝（度），NB的长＝；②如图②，点E是AB延长线上的一点，若M是∠CBE内部射线BD上任意一点，连接MC，∠NAB与∠MAC的数量关系是什么？NB与MC的数量关系是什么？并分别给于证明；（Ⅱ）如图③，在△A1B1C1中，A1B1＝8，∠A1B1C1＝60°，∠B1A1C1＝75°，P是B1C1上的任意一点，连接A1P，将A1P绕点A1顺时针旋转75°．得到线段A1Q，连接B1Q．求线段B1Q长度的最小值（直接写出结果即可）．25．（10分）在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，抛物线y＝ax2+bx+5经过点M（1，3）和N（3，5）．（1）求该抛物线的解析式及顶点坐标；（2）把该抛物线向（填“上”成“下”）平移个单位长度，得到的抛物线与x轴只有一个公共点；（3）平移该抛物线，使平移后的抛物线经过点A（﹣2，0），且与y轴交于点B，同时满足以A，O，B为顶点的三角形是等腰直角三角形，请你写出平移过程，并说明理由．2019-2020学年天津市和平区九年级（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．（3分）下列图形中，可以看作是中心对称图形的是（）A．B．C．D．【分析】根据中心对称的定义，结合所给图形即可作出判断．【解答】解：A、不是中心对称图形，故本选项错误；B、是中心对称图形，故本选项正确；C、不是中心对称图形，故本选项错误；D、不是中心对称图形，故本选项错误；故选：B．【点评】本题考查了中心对称图形的特点，属于基础题，判断中心对称图形的关键是旋转180°后能够重合．2．（3分）已知⊙O的半径为10cm，点P到圆心O的距离为12cm，则点P和⊙O的位置关系是（）A．点P在圆内B．点P在圆上C．点P在圆外D．不能确定【分析】根据点与圆心的距离d，则d＞r时，点在圆外；当d＝r时，点在圆上；当d＜r时，点在圆内．【解答】解：∵⊙O的半径r＝10cm，点P到圆心O的距离OP＝12cm，∴OP＞r，∴点P在⊙O外，故选：C．【点评】本题考查了对点与圆的位置关系的判断．关键要记住若半径为r，点到圆心的距离为d，则有：当d＞r时，点在圆外；当d＝r时，点在圆上，当d＜r时，点在圆内．3．（3分）用配方法解方程：x2﹣4x+2＝0，下列配方正确的是（）A．（x﹣2）2＝2B．（x+2）2＝2C．（x﹣2）2＝﹣2D．（x﹣2）2＝6【分析】在本题中，把常数项2移项后，应该在左右两边同时加上一次项系数﹣4的一半的平方．【解答】解：把方程x2﹣4x+2＝0的常数项移到等号的右边，得到x2﹣4x＝﹣2，方程两边同时加上一次项系数一半的平方，得到x2﹣4x+4＝﹣2+4，配方得（x﹣2）2＝2．故选：A．【点评】配方法的一般步骤：（1）把常数项移到等号的右边；（2）把二次项的系数化为1；（3）等式两边同时加上一次项系数一半的平方．选择用配方法解一元二次方程时，最好使方程的二次项的系数为1，一次项的系数是2的倍数．4．（3分）二次函数y＝x2+4x+3的图象可以由二次函数y＝x2的图象平移而得到，下列平移正确的是（）A．先向左平移2个单位，再向上平移1个单位B．先向左平移2个单位，再向下平移1个单位C．先向右平移2个单位，再向上平移1个单位D．先向右平移2个单位，再向下平移1个单位【分析】把二次函数y＝x2+4x+3化为顶点坐标式，再观察它是怎样通过二次函数y＝x2的图象平移而得到．【解答】解：根据题意y＝x2+4x+3＝（x+2）2﹣1，按照“左加右减，上加下减”的规律，它可以由二次函数y＝x2先向左平移2个单位，再向下平移1个单位得到．故选：B．【点评】此题不仅考查了对平移的理解，同时考查了学生将一般式转化顶点式的能力．5．（3分）某种品牌的手机经过四、五月份连续两次降价，每部售价由3200元降到了2500元，设平均每月降低的百分率为x，根据题意列出的方程是（）A．2500（1+x）2＝3200B．2500（1﹣x）2＝3200C．3200（1﹣x）2＝2500D．3200（1+x）2＝2500【分析】可根据：原售价×（1﹣降低率）2＝降低后的售价得出两次降价后的价格，然后即可列出方程．【解答】解：依题意得：两次降价后的售价为3200（1﹣x）2＝2500，故选：C．【点评】本题考查降低率问题，由：原售价×（1﹣降低率）2＝降低后的售价可以列出方程．6．（3分）正方形ABCD在坐标系中的位置如图所示，将正方形ABCD绕D点顺时针方向旋转90°后，B点到达的位置坐标为（）A．（﹣2，2）B．（4，1）C．（3，1）D．（4，0）【分析】利用网格结构找出点B绕点D顺时针旋转90°后的位置，然后根据平面直角坐标系写出点的坐标即可．【解答】解：如图，点B绕点D顺时针旋转90°到达点B′，点B′的坐标为（4，0）．故选：D．【点评】本题考查了旋转与坐标与图形的变化，根据网格结构找出点B旋转后的位置是解题的关键．7．（3分）抛物线的顶点为（1，﹣4），与y轴交于点（0，﹣3），则该抛物线的解析式为（）A．y＝x2﹣2x﹣3B．y＝x2+2x﹣3C．y＝x2﹣2x+3D．y＝2x2﹣3x﹣3【分析】由抛物线的顶点坐标可设抛物线的解析式为y＝a（x﹣1）2﹣4，代入点（0，﹣3）可求出a值，进而可得出抛物线的解析式．【解答】解：设抛物线的解析式为y＝a（x﹣1）2﹣4，将（0，﹣3）代入y＝a（x﹣1）2﹣4，得：﹣3＝a（0﹣1）2﹣4，解得：a＝1，∴抛物线的解析式为y＝（x﹣1）2﹣4＝x2﹣2x﹣3．故选：A．【点评】本题考查了待定系数法求二次函数解析式，熟练掌握待定系数法是解题的关键．8．（3分）如图，在Rt△AOB中，∠O＝90°，以点A为旋转中心，把△ABO顺时针旋转得△ACD，记旋转角为α，∠ABO为β，当旋转后满足BC∥OA时，α与β之间的数量关系为（）A．α＝βB．α＝2βC．α+β＝90°D．α+2β＝180°【分析】由旋转的性质可得△AOB≌△ADC，∠BAC＝∠OAD＝α，可得AB＝AC，∠BAO ＝∠CAD，由等腰三角形的性质可得∠ABC＝（180°﹣α），由平行线的性质可得∠OBC ＝90°，即可求解．【解答】解：∵把△ABO顺时针旋转得△ACD，∴△AOB≌△ADC，∠BAC＝∠OAD＝α，∴AB＝AC，∠BAO＝∠CAD，在△ABC中，∠ABC＝（180°﹣α），∵BC∥OA，∴∠OBC＝180°﹣∠O＝180°﹣90°＝90°，∴β+（180°﹣α）＝90°，整理得，α＝2β．故选：B．【点评】本题考查了旋转的性质，全等三角形的性质，等腰三角形的性质，灵活运用旋转的性质是本题的关键．9．（3分）如图，MN是⊙O的直径，A，B，C是⊙O上的三点，∠ACM＝60°，B点是的中点，P点是MN上一动点，若⊙O的半径为1，则PA+PB的最小值为（）A．1B．C．D．﹣1【分析】点B关于MN的对称点B′，连接OA、OB、OB′、AB′，根据轴对称确定最短路线问题可得AB′与MN的交点即为PA+PB的最小时的点，根据在同圆或等圆中，同弧所对的圆心角等于圆周角的2倍求出∠AON＝60°，然后求出∠BON＝30°，再根据对称性可得∠B′ON＝∠BON＝30°，然后求出∠AOB′＝90°，从而判断出△AOB′是等腰直角三角形，再根据等腰直角三角形的性质可得AB′＝OA，即为PA+PB的最小值．【解答】解：作点B关于MN的对称点B′，连接OA、OB、OB′、AB′，则AB′与MN的交点即为PA+PB的最小时的点，PA+PB的最小值＝AB′，∵∠ACM＝60°，∴∠AOM＝2∠ACM＝2×60°＝120°，∴∠AON＝60°，∵点B为劣弧AN的中点，∴∠BON＝∠AON＝×60°＝30°，由对称性，∠B′ON＝∠BON＝30°，∴∠AOB′＝∠AON+∠B′ON＝60°+30°＝90°，∴△AOB′是等腰直角三角形，∴AB′＝OA＝×1＝，即PA+PB的最小值＝．故选：C．【点评】本题考查了轴对称确定最短路线问题，在同圆或等圆中，同弧所对的圆心角等于圆周角的2倍的性质，作辅助线并得到△AOB′是等腰直角三角形是解题的关键．10．（3分）二次函数y＝x2+bx+c中（b，c是常数）的自变量x与函数值y的部分对应值如下表：x…﹣101234…y＝x2+bx+c…1052125…下列结论正确的是（）A．当x＝2时，y有最大值1B．当x＜2时，y随x的增大而增大C．点（5，9）在该函数的图象上D．若A（m，y1），B（m+1，y2）两点都在该函数的图象上，则当m＞时，y1＜y2【分析】根据表格中的数据和二次函数图象具有对称性即可判断各个选项中的说法是否正确，从而可以解答本题．【解答】解：A、观察表格知：函数的图象经过点（1，2）和（3，2），∴对称轴为：x＝＝2．∵函数图象开口向上且，经过点（2，1）∴x＝2时，y有最小值1，故A说法错误；B、由表格可知：当x＜2时，y随x的增大而减小，故B错误；C、∵对称轴是直线x＝2，∵点（﹣1，10）的对称点是（5，10），∴点（5，10）在该函数的图象上，故C错误；D、∵当m＞时，|2﹣m|＜|m+1﹣2|，∴y1＜y2，故D正确；故选：D．【点评】本题考查二次函数的性质、二次函数的最值、二次函数图象上点的坐标特征，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答．11．（3分）已知关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0与cx2+bx+a＝0，下列判断不正确的是（）A．若方程ax2+bx+c＝0有两个实数根，则方程cx2+bx+a＝0也有两个实数根B．如果m是方程ax2+bx+c＝0的一个根，那么是cx2+bx+a＝0的一个根C．如果方程ax2+bx+c＝0与cx2+bx+a＝0有一个根相等，那么这个根是1D．如果方程ax2+bx+c＝0与cx2+bx+a＝0有一个根相等，那么这个根是1或﹣1【分析】根据根的判别式和一元二次方程的解的定义即可得到结论．【解答】解：A、∵方程ax2+bx+c＝0有两个实数根，∴△1＝b2﹣4ac≥0，∵△2＝b2﹣4ac≥0，∴方程cx2+bx+a＝0也有两个实数根，正确；B、∵m是方程ax2+bx+c＝0的一个根，∴am2+bm+c＝0，∴是cx2+bx+a＝0的一个根，故正确；C、由题意知，a≠c，设相等的根是m，则am2+bm+c＝0①，cm2+bm+a＝0②，①﹣②得am2﹣cm2+c﹣a＝0，整理得，（a﹣c）（m2﹣1）＝0，∵a≠c，∴m2﹣1＝0，∴m＝±1，故C错误；D正确；故选：C．【点评】本题考查了根的判别式和一元二次方程的解，正确的理解题意是解题的关键．12．（3分）在平面直角坐标系中，若点P的横坐标和纵坐标相等，则称点P为完美点．已知二次函数y＝ax2+bx﹣（a，b是常数，a≠0）的图象上有且只有一个完美点（，），且当0≤x≤m时，函数y＝ax2+bx﹣3的最小值为﹣3，最大值为1，则m的取值范围是（）A．﹣1≤m≤0B．2≤m＜C．2≤m≤4D．m≥2【分析】根据完美点的概念令ax2+bx﹣＝x，即ax2+（b﹣1）x﹣＝0，由题意，△＝（b﹣1）2﹣4a•（﹣）＝0，即（b﹣1）2＝﹣9a，方程的根为＝，从而求得a＝﹣1，b＝4，所以函数y＝ax2+bx﹣3＝﹣x2+4x﹣3，根据函数解析式求得顶点坐标与纵坐标的交点坐标，根据y的取值，即可确定x的取值范围．【解答】解：令ax2+bx﹣＝x，即ax2+（b﹣1）x﹣＝0，由题意，△＝（b﹣1）2﹣4a•（﹣）＝0，即（b﹣1）2＝﹣9a，又方程的根为＝，解得a＝﹣1，b＝4或（b＝1舍去）故函数y＝ax2+bx﹣3＝﹣x2+4x﹣3，如图，该函数图象顶点为（2，1），与y轴交点为（0，﹣3），由对称性，该函数图象也经过点（4，﹣3）．由于函数图象在对称轴x＝2左侧y随x的增大而增大，在对称轴右侧y随x的增大而减小，且当0≤x≤m时，函数y＝﹣x2+4x﹣3的最小值为﹣3，最大值为1，∴2≤m≤4，故选：C．【点评】本题是二次函数的综合题，考查了二次函数图象上点的坐标特征，二次函数的性质以及根的判别式等知识，利用分类讨论以及数形结合得出是解题关键．二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）13．（3分）方程8x2+3x﹣10＝0的一次项系数是3．【分析】一元二次方程的一般形式是：ax2+bx+c＝0（a，b，c是常数且a≠0）．在一般形式中ax2叫二次项，bx叫一次项，c是常数项．其中a，b，c分别叫二次项系数，一次项系数，常数项．【解答】解：一元二次方程8x2+3x﹣10＝0的一次项系数是3；故答案为：3．【点评】一元二次方程的一般形式是：ax2+bx+c＝0（a，b，c是常数且a≠0）特别要注意a≠0的条件．这是在做题过程中容易忽视的知识点．在一般形式中ax2叫二次项，bx 叫一次项，c是常数项．其中a，b，c分别叫二次项系数，一次项系数，常数项．14．（3分）点（﹣5，0）关于原点对称的点的坐标是（5，0）．【分析】根据“平面直角坐标系中，任意一点（x，y）关于原点的对称点是（﹣x，﹣y）”解答．【解答】解：点（﹣5，0）关于原点过对称的点的坐标是（5，0）．故答案为：（5，0）．【点评】本题主要考查了关于原点对称的点的坐标的特点，关于原点的对称点，横纵坐标都变成相反数．15．（3分）如图，A，B是⊙O上的两点，∠AOB＝120°，C是的中点，则∠A的大小为60（度）．【分析】连接OC，利用圆周角定理得出∠AOC＝60°，进而利用等边三角形的性质解答即可．【解答】解：连接OC，∵∠AOB＝120°，C是的中点，∴∠AOC＝60°，∵OA＝OC，∴△AOC是等边三角形，∴∠A＝60°，故答案为：60【点评】此题考查圆周角定理，关键是根据圆周角定理得出∠AOC＝60°解答．16．（3分）已知抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）与x轴交于A，B两点，若点A的坐标为（﹣2，0），抛物线的对称轴为直线x＝2，则线段AB的长为8．【分析】由抛物线y＝ax2+bx+c的对称轴为直线x＝2，交x轴于A、B两点，其中A点的坐标为（﹣2，0），根据二次函数的对称性，求得B点的坐标，再求出AB的长度．【解答】解：∵对称轴为直线x＝2的抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）与x轴相交于A、B两点，∴A、B两点关于直线x＝2对称，∵点A的坐标为（﹣2，0），∴点B的坐标为（6，0），AB＝6﹣（﹣2）＝8．故答案为：8．【点评】此题考查了抛物线与x轴的交点．此题难度不大，解题的关键是求出B点的坐标．17．（3分）如图，△ABC内接于⊙O，∠BAC＝60°，D是BC的中点，且∠AOD＝166°，AE，CF分别是BC，AB边上的高，则∠BCF的大小＝23（度）．【分析】连接BO，CO，根据圆周角定理得到∠BOD＝∠BOC＝∠BAC＝60°，求得∠AOB＝∠AOD﹣∠BOD＝106°，根据垂径定理定理得到OD⊥BC，求得AE∥OD，根据平行线的性质得到∠OAE＝180°﹣∠AOD＝14°，求出∠BAE＝23°，即可得到结论．【解答】解：连接BO，CO，如图所示：∵∠BAC＝60°，∴∠BOC＝2∠BAC＝120°，∵OB＝OC，D是BC的中点，∴∠BOD＝∠BOC＝∠BAC＝60°，OD⊥BC，∵∠AOD＝166°，∴∠AOB＝∠AOD﹣∠BOD＝106°，∠BAO＝（180°﹣∠AOB）＝37°，∵AE，CF分别是BC，AB边上的高，∴AE⊥BC，CF⊥AB，∵OD⊥BC，∴AE∥OD，∴∠OAE＝180°﹣∠AOD＝14°，∴∠BAE＝∠BAO﹣∠OAE＝37°﹣14°＝23°，∵∠BCF+∠B＝∠BAE+∠B＝90°，∴∠BCF＝∠BAE＝23°；故答案为：23．【点评】本题考查了圆周角定理，垂径定理，平行线的判定和性质，等腰三角形的性质，正确的作出辅助线是解题的关键．18．（3分）已知抛物线y＝ax2﹣4ax+4a﹣1．（Ⅰ）该抛物线的对称轴是x＝2；（Ⅱ）该抛物线与x轴交于点A，点B，与y轴交于点C，点A的坐标为（1，0），若此抛物线的对称轴上的点P满足∠APB＜∠ACB，则点P的纵坐标n的取值范围是n＞2+或n＜﹣2﹣．【分析】（Ⅰ）抛物线的对称轴为：x＝﹣＝2；（Ⅱ）当点P在圆上时，∠APB＝∠ACB，点P在圆外时，∠APB＜∠ACB，即可求解．【解答】解：（Ⅰ）抛物线的对称轴为：x＝﹣＝2，故答案为：2；（Ⅱ）将点A的坐标代入抛物线表达式并解得：a＝1，故抛物线的表达式为：y＝x2﹣4x+3，则点A、B、C的坐标分别为：（1，0）、（3，0）、（0，3），过点A、B、C作△ABC的外接圆M（2，m），当点P在圆上时，∠APB＝∠ACB，点P在圆外时，∠APB＜∠ACB，则MA＝MC，即4+（m﹣3）2＝1+m2，解得：m＝2，则圆的半径为：，则点P的坐标为：（2，2+），则点P关于x轴的对称点P′（2，﹣2﹣），故答案为：n＞2+或n＜﹣2﹣．【点评】本题考查的是二次函数综合运用，本题的关键是构建圆M，利用等弧所对的圆周角相等求解．三、解答题（本大题共7小题，共6分，解答应写出文字说明、演算步骤成推理过程）19．（8分）（Ⅰ）x（2x+1）＝2x+1（Ⅱ）x2+3x+1.5＝0【分析】（Ⅰ）利用因式分解法求解可得；（Ⅱ）利用公式法求解可得．【解答】解：（Ⅰ）∵x（2x+1）＝2x+1，∴x（2x+1）﹣（2x+1）＝0，则（2x+1）（x﹣1）＝0，∴2x+1＝0或x﹣1＝0，解得x＝﹣0.5或x＝1；（Ⅱ）∵a＝1，b＝3，c＝1.5，∴△＝32﹣4×1×1.5＝3＞0，则x＝．【点评】本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键．20．（8分）如图，AB是⊙O的直径，AB平分弦CD，交CD于点E，∠AOC＝60°，OC ＝2，求CD的长．【分析】根据垂径定理和含30°的直角三角形的性质解答即可．【解答】解：∵AB是⊙O的直径，AB平分弦CD，∴OA⊥CD，CE＝ED，∵∠AOC＝60°，OC＝2，∴CE＝，∴CD＝2．【点评】本题主要考查了垂径定理以及三角函数，关键是根据含30°的直角三角形的性质得出CE．21．（10分）已知△ABC，以AB为直径的⊙O分别交AC于D，BC于E，连接ED，若ED ＝EC．（1）求证：AB＝AC；（2）若AB＝4，BC＝2，求CD的长．【分析】（1）由等腰三角形的性质得到∠EDC＝∠C，由圆内接四边形的性质得到∠EDC＝∠B，由此推得∠B＝∠C，由等腰三角形的判定即可证得结论；（2）连接AE，由AB为直径，可证得AE⊥BC，由（1）知AB＝AC，证明△CDE∽△CBA后即可求得CD的长．【解答】（1）证明：∵ED＝EC，∴∠EDC＝∠C，∵∠EDC＝∠B，（∵∠EDC+∠ADE＝180°，∠B+∠ADE＝180°，∴∠EDC＝∠B）∴∠B＝∠C，∴AB＝AC；（2）方法一：解：连接AE，∵AB为直径，∴AE⊥BC，由（1）知AB＝AC，∴BE＝CE＝BC＝，∵△CDE∽△CBA，∴，∴CE•CB＝CD•CA，AC＝AB＝4，∴•2＝4CD，∴CD＝．方法二：解：连接BD，∵AB为直径，∴BD⊥AC，设CD＝a，由（1）知AC＝AB＝4，则AD＝4﹣a，在Rt△ABD中，由勾股定理可得：BD2＝AB2﹣AD2＝42﹣（4﹣a）2在Rt△CBD中，由勾股定理可得：BD2＝BC2﹣CD2＝（2）2﹣a2∴42﹣（4﹣a）2＝（2）2﹣a2整理得：a＝，即：CD＝．【点评】本题考查了圆周角定理，等腰三角形的判定和性质，勾股定理，正确的作出辅助线是解题的关键．22．（10分）一个矩形周长为56厘米．（1）当矩形面积为180平方厘米时，长宽分别为多少？（2）能围成面积为200平方厘米的矩形吗？请说明理由．【分析】（1）设出矩形的一边长为未知数，用周长公式表示出另一边长，根据面积列出相应方程求解即可．（2）同样列出方程，若方程有解则可，否则就不可以．【解答】解：（1）设矩形的长为x厘米，则另一边长为（28﹣x）厘米，依题意有x（28﹣x）＝180，解得x1＝10（舍去），x2＝18，28﹣x＝28﹣18＝10．故长为18厘米，宽为10厘米；（2）设矩形的长为x厘米，则宽为（28﹣x）厘米，依题意有x（28﹣x）＝200，即x2﹣28x+200＝0，则△＝282﹣4×200＝784﹣800＜0，原方程无实数根，故不能围成一个面积为200平方厘米的矩形．【点评】考查一元二次方程的应用；用到的知识点为：长方形的长＝周长的一半﹣宽．解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程，再求解．23．（10分）俄罗斯世界杯足球赛期间，某商店销售一批足球纪念册，每本进价40元，规定销售单价不低于44元，且获利不高于30%．试销售期间发现，当销售单价定为44元时，每天可售出300本，销售单价每上涨1元，每天销售量减少10本，现商店决定提价销售．设每天销售量为y本，销售单价为x元．（1）请直接写出y与x之间的函数关系式和自变量x的取值范围；（2）当每本足球纪念册销售单价是多少元时，商店每天获利2400元？（3）将足球纪念册销售单价定为多少元时，商店每天销售纪念册获得的利润w元最大？最大利润是多少元？【分析】（1）售单价每上涨1元，每天销售量减少10本，则售单价每上涨（x﹣44）元，每天销售量减少10（x﹣44）本，所以y＝300﹣10（x﹣44），然后利用销售单价不低于44元，且获利不高于30%确定x的范围；（2）利用每本的利润乘以销售量得到总利润得到（x﹣40）（﹣10x+740）＝2400，然后解方程后利用x的范围确定销售单价；（3）利用利用每本的利润乘以销售量得到总利润得到w＝（x﹣40）（﹣10x+740），再把它变形为顶点式，然后利用二次函数的性质得到x＝52时w最大，从而计算出x＝52时对应的w的值即可．【解答】解：（1）y＝300﹣10（x﹣44），即y＝﹣10x+740（44≤x≤52）；（2）根据题意得（x﹣40）（﹣10x+740）＝2400，解得x1＝50，x2＝64（舍去），答：当每本足球纪念册销售单价是50元时，商店每天获利2400元；（3）w＝（x﹣40）（﹣10x+740）＝﹣10x2+1140x﹣29600＝﹣10（x﹣57）2+2890，当x＜57时，w随x的增大而增大，而44≤x≤52，所以当x＝52时，w有最大值，最大值为﹣10（52﹣57）2+2890＝2640，答：将足球纪念册销售单价定为52元时，商店每天销售纪念册获得的利润w元最大，最大利润是2640元．【点评】本题考查了二次函数的应用：利用二次函数解决利润问题，解此类题的关键是通过题意，确定出二次函数的解析式，然后利用二次函数的性质确定其最大值；在求二次函数的最值时，一定要注意自变量x的取值范围．也考查了一元二次方程的应用．24．（10分）（Ⅰ）在△ABC中，AB＝AC，M是平面内任意一点，将线段AM绕点A顺时针旋转与∠BAC相等的角度，得到线段AN，连接NB．①如图①，若M是线段BC上的一点，且∠MAC＝20°，MC＝2，则∠NAB的大小＝20（度），NB的长＝2；②如图②，点E是AB延长线上的一点，若M是∠CBE内部射线BD上任意一点，连接MC，∠NAB与∠MAC的数量关系是什么？NB与MC的数量关系是什么？并分别给于证明；（Ⅱ）如图③，在△A1B1C1中，A1B1＝8，∠A1B1C1＝60°，∠B1A1C1＝75°，P是B1C1上的任意一点，连接A1P，将A1P绕点A1顺时针旋转75°．得到线段A1Q，连接B1Q．求线段B1Q长度的最小值（直接写出结果即可）．【分析】（Ⅰ）①结论：∠NAB＝∠MAC，BN＝MC．根据SAS证明△NAB≌△MAC即可．②①中结论仍然成立．证明方法类似．（Ⅱ）如图3中，在A1C1上截取A1N＝A1B1，连接PN，作NH⊥B1C1于H，作A1M⊥B1C1于M．理由全等三角形的性质证明B1Q＝PN，推出当PN的值最小时，QB1的值最小，求出HN的值即可解决问题．【解答】解：（Ⅰ）①结论：∠NAB＝∠MAC，BN＝MC．理由：如图1中，∵∠MAN＝∠CAB，∴∠NAB+∠BAM＝∠BAM+∠MAC，∴∠NAB＝∠MAC，∵AB＝AC，AN＝AM，∴△NAB≌△MAC（SAS），∴BN＝CM＝2，∠NAB＝∠MAC＝20°故答案为20，2．②如图2中，结论：∠NAB＝∠MAC，BN＝CM．理由：∵∠MAN＝∠CAB，∴∠NAB+∠BAM＝∠BAM+∠MAC，∴∠NAB＝∠MAC，∵AB＝AC，AN＝AM，∴△NAB≌△MAC（SAS），∴BN＝CM，∠NAB＝∠MAC．（Ⅱ）如图3中，在A1C1上截取A1N＝A1B1，连接PN，作NH⊥B1C1于H，作A1M⊥B1C1于M．∵∠C1A1B1＝∠PA1Q，∴∠QA1B1＝∠PA1N，∵A1A＝A1P，A1B1＝AN，∴△QA1B1≌△PA1N（SAS），∴B1Q＝PN，∴当PN的值最小时，QB1的值最小，在Rt△A1B1M中，∵∠A1B1M＝60°，A1B1＝8，∴A1M＝A1B1•sin60°＝4，∵∠MA1C1＝∠B1A1C1﹣∠B1A1M＝75°﹣30°＝45°，∴A1C1＝4，∴NC1＝A1C1﹣A1N＝4﹣8，在Rt△NHC1，∵∠C1＝45°，∴NH＝4﹣4，根据垂线段最短可知，当点P与H重合时，PN的值最小，∴QB1的最小值为4﹣4．【点评】本题属于几何变换综合题，考查了全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，解直角三角形，垂线段最短等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，学会利用垂线段最短解决最值问题，属于中考压轴题．25．（10分）在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，抛物线y＝ax2+bx+5经过点M（1，3）和N（3，5）．（1）求该抛物线的解析式及顶点坐标；（2）把该抛物线向下（填“上”成“下”）平移个单位长度，得到的抛物线与x轴只有一个公共点；（3）平移该抛物线，使平移后的抛物线经过点A（﹣2，0），且与y轴交于点B，同时满足以A，O，B为顶点的三角形是等腰直角三角形，请你写出平移过程，并说明理由．【分析】（1）将点M、N的坐标代入抛物线表达式即可求解；（2）由抛物线的顶点坐标知，把该抛物线向下平移个单位长度，得到的抛物线与x 轴只有一个公共点，即可求解；（3）分点B（0，2）、点B（0，﹣2）两种情况，分别求解即可．【解答】解：（1）将点M、N的坐标代入抛物线表达式得：，解得：，故抛物线的表达式为：y＝x2﹣3x+5＝（x﹣）2+，故顶点坐标为：（，）；（2）由抛物线的顶点坐标知，把该抛物线向下平移个单位长度，得到的抛物线与x 轴只有一个公共点，故答案为：下，；（3）A，O，B为顶点的三角形是等腰直角三角形，则点B的坐标为：（0，2）或（0，﹣2），①当点B（0，2）时，抛物线的表达式为：y＝x2+bx+2，将点A的坐标代入上式并解得：b＝3，故抛物线的表达式为：y＝x2+3x+2＝（x+）2﹣，此时顶点坐标为：（﹣，﹣）；②当点B（0，﹣2）时，同理可得顶点坐标为：（﹣，﹣），故将原抛物线向左平移3个单位向下平移3或向左平移2个单位向下平移5个单位即可满足条件．【点评】本题考查的是二次函数综合运用，涉及到函数与图象交点问题、等腰直角三角形的性质、图象的平移等，其中（3），要注意分类求解，避免遗漏．。

第一中学高二数学下学期期中试题理

第一中学高二数学下学期期中试题理

陕西省西安市长安区第一中学2019—2020学年高二数学下学期期中试题 理时间：120分钟选择题（本大题共12小题,每小题5分,共60分）．1.设集合2{|430}A x xx =-+<，{|230}B x x =->，则=AB ( )A ．3(3,)2-- B ．3(3,)2- C ．3(,3)2D ．3(1,)22.在复平面内，复数11i+的共轭复数对应的点位于（ ） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限3。

已知向量a =（1,2），b =（1,0），c =（3,4)．若λ为实数， ()λ+∥a b c，则λ=( )A ． 14B ．12 C ．1 D ．24。

某城市为了解游客人数的变化规律,提高旅游服务质量,收集并整理了2014年1月至2016年12月期间月接待游客量（单位:万人）的数据，绘制了下面的折线图．根据该折线图，下列结论错误的是( )A ．月接待游客量逐月增加B ．年接待游客量逐年增加C ．各年的月接待游客量高峰期大致在7,8月份D ．各年1月至6月的月接待游客量相对7月至12月，波动性更小，变化比较平稳5。

下列叙述中正确的是（ ) A ．若,,a b c R ∈，则2"0"ax bx c ++≥的充分条件是2"40"bac -≤B ．若,,a b c R ∈，则22""abcb >的充要条件是""a c >C ．命题“对任意x R ∈，有2x≥”的否定是“存在x R ∈，有2x≥”D ．l 是一条直线，,αβ是两个不同的平面，若,l l αβ⊥⊥，则//αβ6. 设()ln f x x =，0a b <<，若p f =，()2a b q f +=,1(()())2r f a f b =+，则下列关系式中正确的是（ ） A 。

q r p =<B ．q r p =>C ．p r q =<D ．p r q =>7。

2019-2020学年淮安市高中校协作体高二下学期期中数学试卷(含答案解析)

2019-2020学年淮安市高中校协作体高二下学期期中数学试卷(含答案解析)

2019-2020学年淮安市高中校协作体高二下学期期中数学试卷一、单空题（本大题共14小题，共70.0分） 1. 已知i 是虚数单位，则i 2014= ______ ．2. 若z =−1+√3i(其中i 为虚数单位)，则z 3= ______ ．3. 从集合{−1,1，2，3}中任意取出两个不同的数记作m ，n ，则方程x 2m+y 2n=1表示焦点在x 轴上的双曲线的概率是______．4. 已知(3x +1)(x +m)6的展开式中x 5的系数为3，则m =______5. 已知(x 13−2x)n 的展开式中，各项的系数与它的二项式系数和的差为−33，则n =______． 6. 因指数函数y =a x 是增函数(大前提)，而y =(13)x 是指数函数(小前提)，所以y =(13)x 是增函数(结论)，上面推理错误的原因是______ 是错误的(填大前提或小前提或结论)．7. 已知S n =1n+1+1n+2+⋯+12n ，n ∈N ∗，利用数学归纳法证明不等式S n >1324的过程中，从n =k到n =k +l(k ∈N ∗)时，不等式的左边S k+1=S k +______． 8. 如图，正方形边长为，分别作边上的三等分点，得正方形，再分别取边上的三等分点，得正方形，如此继续下去，得正方形，……，则正方形的面积为 ．9. 已知点A(1,2，3)，B(0,1，2)，C(−1,0，λ)，若A ，B ，C 三点共线，则λ=______．10. 若直线l 的方向向量为a⃗ =(1,0，2)，平面α的法向量为u ⃗ =(−2,0，−4)，则直线与平面的位置关系是______ ．11. 已知向量a ⃗ =(2,−1,2)，b ⃗ =(−4,2，m)，且a ⃗ //b⃗ ，则m 的值为______ ． 12. 已知空间三点A(0,2，3)，B(2,5，2)，C(−2,3，6)，则以AB ，AC 为邻边的平行四边形的面积为______．13. 已知点M ，N 是椭圆x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)上的点，直线OM 与直线ON 的斜率之积为b 2a 2(O 为坐标原点)，P 为平面内任意一点．研究发现：若OP ⃗⃗⃗⃗⃗ =OM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +ON ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，则点p 的轨迹方程为x 2a 2+y 2b 2=2； 若OP ⃗⃗⃗⃗⃗ =2OM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +ON ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，则点p 的轨迹方程为x 2a 2+y 2b 2=5； 若OP ⃗⃗⃗⃗⃗ =OM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +2ON ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，则点p 的轨迹方程为x 2a 2+y 2b 2=5； 若OP ⃗⃗⃗⃗⃗ =3OM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +ON ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，则点p 的轨迹方程为x 2a 2+y 2b 2=10； 若OP ⃗⃗⃗⃗⃗ =OM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +3ON ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，则点p 的轨迹方程为x 2a 2+y 2b2=10； 根据上述研究结果，可归纳出：OP ⃗⃗⃗⃗⃗ =m OM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +n ON ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ (m,n ∈N ∗)则点p 的轨迹方程为______ ． 14. 14.，则。

2019-2020年高二下学期期末数学试卷(文科)含解析

2019-2020年高二下学期期末数学试卷(文科)含解析

2019-2020年高二下学期期末数学试卷（文科）含解析一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．设全集U=R，A={x|x（x﹣2）＜0}，B={x|x﹣1＞0}，则A∩B=（）A．（﹣2，1）B．[1，2）C．（﹣2，1] D．（1，2）2．已知数列…，则2是这个数列的（）A．第6项B．第7项C．第11项D．第19项3．下列四个命题中的真命题为（）A．∃x0∈Z，1＜4x0＜3 B．∃x0∈Z，5x0+1=0C．∀x∈R，x2﹣1=0 D．∀x∈R，x2+x+2＞04．函数y=在x=1处的导数等于（）A．1 B．2 C．3 D．45．“a=﹣2”是“复数z=（a2﹣4）+（a+1）i（a，b∈R）为纯虚数”的（）A．充分非必要条件B．必要非充分条件C．充要条件 D．既非充分又非必要条件6．已知a=30.2，b=log64，c=log32，则a，b，c的大小关系为（）A．c＜a＜b B．c＜b＜a C．b＜a＜c D．b＜c＜a7．设函数f（x）（x∈R）为奇函数，f（1）=，f（x+2）=f（x）+f（2），则f（5）=（）A．0 B．1 C．D．58．高二第二学期期中考试，按照甲、乙两个班级学生数学考试成绩优秀和不优秀统计后，得到如表：A．0.600 B．0.828 C．2.712 D．6.0049．已知函数f（x）=x|x|﹣2x，则下列结论正确的是（）A．f（x）是偶函数，递增区间是（0，+∞）B．f（x）是偶函数，递减区间是（﹣∞，1）C．f（x）是奇函数，递减区间是（﹣1，1）D．f（x）是奇函数，递增区间是（﹣∞，0）10．为提高信息在传输中的抗干扰能力，通常在原信息中按一定规则加入相关数据组成传输信息．设定原信息为a0a1a2，a i∈{0，1}（i=0，1，2），传输信息为h0a0a1a2h1，其中h0=a0⊕a1，h1=h0⊕a2，⊕运算规则为：0⊕0=0，0⊕1=1，1⊕0=1，1⊕1=0，例如原信息为111，则传输信息为01111．传输信息在传输过程中受到干扰可能导致接收信息出错，则下列接收信息一定有误的是（）A．11010 B．01100 C．10111 D．00011二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）11．设复数z满足（1﹣i）z=2i，则z=_______．12．函数y=的值域为_______．13．若P=﹣1，Q=﹣，则P与Q的大小关系是_______．14．已知变量x，y具有线性相关关系，测得（x，y）的一组数据如下：（0，1），（1，2），（2，4），（3，5），其回归方程为=1.4x+a，则a的值等于_______．15．已知函数则的值为_______．16．按程序框图运算：若x=5，则运算进行_______次才停止；若运算进行3次才停止，则x的取值范围是_______．三、解答题（本大题共5小题，共52分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17．已知函数f（x）=log a（x+1）﹣log a（1﹣x），a＞0且a≠1．（1）求f（x）的定义域；（2）判断f（x）的奇偶性并予以证明．18．命题p方程：x2+mx+1=0有两个不等的实根，命题q：方程4x2+4（m+2）x+1=0无实根．若“p或q”为真命题，“p且q”为假命题，求m的取值范围．19．在边长为60cm的正方形铁片的四角切去相等的正方形，再把它的边沿虚线折起（如图），做成一个无盖的方底箱子，箱底的边长是多少时，箱子的容积最大？最大容积是多少？20．已知函数f（x）=ax+lnx（a∈R）．（Ⅰ）若a=2，求曲线y=f（x）在x=1处的切线方程；（Ⅱ）求f（x）的单调区间；（Ⅲ）设g（x）=x2﹣2x+2，若对任意x1∈（0，+∞），均存在x2∈[0，1]，使得f（x1）＜g（x2），求a的取值范围．21．在无穷数列{a n}中，a1=1，对于任意n∈N*，都有a n∈N*，且a n＜a n+1．设集合A m={n|a n ≤m，m∈N*}，将集合A m中的元素的最大值记为b m，即b m是数列{a n}中满足不等式a n≤m的所有项的项数的最大值，我们称数列{b n}为数列{a n}的伴随数列．例如：数列{a n}是1，3，4，…，它的伴随数列{b n}是1，1，2，3，…．（I）设数列{a n}是1，4，5，…，请写出{a n}的伴随数列{b n}的前5项；（II）设a n=3n﹣1（n∈N*），求数列{a n}的伴随数列{b n}的前20项和．2015-2016学年北京市东城区高二（下）期末数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．设全集U=R，A={x|x（x﹣2）＜0}，B={x|x﹣1＞0}，则A∩B=（）A．（﹣2，1）B．[1，2）C．（﹣2，1] D．（1，2）【考点】交集及其运算．【分析】先求出不等式x（x﹣2）＜0的解集，即求出A，再由交集的运算求出A∩B．【解答】解：由x（x﹣2）＜0得，0＜x＜2，则A={x|0＜x＜2}，B={x|x﹣1＞0}={x|x＞1}，∴A∩B═{x|1＜x＜2}=（1，2），故选D．2．已知数列…，则2是这个数列的（）A．第6项B．第7项C．第11项D．第19项【考点】数列的概念及简单表示法．【分析】本题通过观察可知：原数列每一项的平方组成等差数列，且公差为3，即a n2﹣a n﹣12=3从而利用等差数列通项公式an2=2+（n﹣1）×3=3n﹣1=20，得解，n=7【解答】解：数列…，各项的平方为：2，5，8，11，…则a n2﹣a n﹣12=3，又∵a12=2，∴a n2=2+（n﹣1）×3=3n﹣1，令3n﹣1=20，则n=7．故选B．3．下列四个命题中的真命题为（）A．∃x0∈Z，1＜4x0＜3 B．∃x0∈Z，5x0+1=0 C．∀x∈R，x2﹣1=0 D．∀x∈R，x2+x+2＞0【考点】四种命题的真假关系．【分析】注意判断区分∃和∀．【解答】解：A错误，因为，不存在x0∉ZB错误，因为C错误，x=3时不满足；D中，△＜0，正确，故选D答案：D4．函数y=在x=1处的导数等于（）A．1 B．2 C．3 D．4【考点】导数的运算．【分析】先求原函数的导函数，再把x=1的值代入即可．【解答】解：∵y′=，∴y′|x=1==1．故选：A．5．“a=﹣2”是“复数z=（a2﹣4）+（a+1）i（a，b∈R）为纯虚数”的（）A．充分非必要条件B．必要非充分条件C．充要条件 D．既非充分又非必要条件【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断；复数的基本概念．【分析】把a=﹣2代入复数，可以得到复数是纯虚数，当复数是纯虚数时，得到的不仅是a=﹣2这个条件，所以得到结论，前者是后者的充分不必要条件．【解答】解：a=﹣2时，Z=（22﹣4）+（﹣2+1）i=﹣i是纯虚数；Z为纯虚数时a2﹣4=0，且a+1≠0∴a=±2．∴“a=2”可以推出“Z为纯虚数”，反之不成立，故选A．6．已知a=30.2，b=log64，c=log32，则a，b，c的大小关系为（）A．c＜a＜b B．c＜b＜a C．b＜a＜c D．b＜c＜a【考点】对数值大小的比较．【分析】a=30.2＞1，利用换底公式可得：b=log64=，c=log32=，由于1＜log26＜log29，即可得出大小关系．【解答】解：∵a=30.2＞1，b=log64=，c=log32==，∵1＜log26＜log29，∴1＞b＞c，则a＞b＞c，故选：B．7．设函数f（x）（x∈R）为奇函数，f（1）=，f（x+2）=f（x）+f（2），则f（5）=（）A．0 B．1 C．D．5【考点】函数奇偶性的性质；函数的值．【分析】利用奇函数的定义、函数满足的性质转化求解函数在特定自变量处的函数值是解决本题的关键．利用函数的性质寻找并建立所求的函数值与已知函数值之间的关系，用到赋值法．【解答】解：由f（1）=，对f（x+2）=f（x）+f（2），令x=﹣1，得f（1）=f（﹣1）+f（2）．又∵f（x）为奇函数，∴f（﹣1）=﹣f（1）．于是f（2）=2f（1）=1；令x=1，得f（3）=f（1）+f（2）=，于是f（5）=f（3）+f（2）=．故选：C．8．高二第二学期期中考试，按照甲、乙两个班级学生数学考试成绩优秀和不优秀统计后，得到如表：A．0.600 B．0.828 C．2.712 D．6.004【考点】独立性检验的应用．【分析】本题考查的知识点是独立性检验公式，我们由列联表易得：a=11，b=34，c=8，d=37，代入K2的计算公式：K2=即可得到结果．【解答】解：由列联表我们易得：a=11，b=34，c=8，d=37则K2===0.6004≈0.60故选A9．已知函数f（x）=x|x|﹣2x，则下列结论正确的是（）A．f（x）是偶函数，递增区间是（0，+∞）B．f（x）是偶函数，递减区间是（﹣∞，1）C．f（x）是奇函数，递减区间是（﹣1，1）D．f（x）是奇函数，递增区间是（﹣∞，0）【考点】函数奇偶性的判断．【分析】根据奇函数的定义判断函数的奇偶性，化简函数解析式，画出函数的图象，结合图象求出函数的递减区间．【解答】解：由函数f（x）=x|x|﹣2x 可得，函数的定义域为R，且f（﹣x）=﹣x|﹣x|﹣2（﹣x ）=﹣x|x|+2x=﹣f（x），故函数为奇函数．函数f（x）=x|x|﹣2x=，如图所示：故函数的递减区间为（﹣1，1），故选C．10．为提高信息在传输中的抗干扰能力，通常在原信息中按一定规则加入相关数据组成传输信息．设定原信息为a0a1a2，a i∈{0，1}（i=0，1，2），传输信息为h0a0a1a2h1，其中h0=a0⊕a1，h1=h0⊕a2，⊕运算规则为：0⊕0=0，0⊕1=1，1⊕0=1，1⊕1=0，例如原信息为111，则传输信息为01111．传输信息在传输过程中受到干扰可能导致接收信息出错，则下列接收信息一定有误的是（）A．11010 B．01100 C．10111 D．00011【考点】抽象函数及其应用．【分析】首先理解⊕的运算规则，然后各选项依次分析即可．【解答】解：A选项原信息为101，则h0=a0⊕a1=1⊕0=1，h1=h0⊕a2=1⊕1=0，所以传输信息为11010，A选项正确；B选项原信息为110，则h0=a0⊕a1=1⊕1=0，h1=h0⊕a2=0⊕0=0，所以传输信息为01100，B 选项正确；C选项原信息为011，则h0=a0⊕a1=0⊕1=1，h1=h0⊕a2=1⊕1=0，所以传输信息为10110，C 选项错误；D选项原信息为001，则h0=a0⊕a1=0⊕0=0，h1=h0⊕a2=0⊕1=1，所以传输信息为00011，D 选项正确；故选C．二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）11．设复数z满足（1﹣i）z=2i，则z=﹣1+i．【考点】复数相等的充要条件；复数代数形式的乘除运算．【分析】由条件利用两个复数相除，分子和分母同时乘以分母的共轭复数，计算求得结果．【解答】解：∵复数z满足（1﹣i）z=2i，则z====﹣1+i，故答案为：﹣1+i．12．函数y=的值域为{y|y≠2} ．【考点】函数的值域．【分析】函数y===2+，利用反比例函数的单调性即可得出．【解答】解：函数y===2+，当x＞1时，＞0，∴y＞2．当x＜1时，＜0，∴y＜2．综上可得：函数y=的值域为{y|y≠2}．故答案为：{y|y≠2}．13．若P=﹣1，Q=﹣，则P与Q的大小关系是P＞Q．【考点】不等式比较大小．【分析】利用作差法，和平方法即可比较大小．【解答】解：∵P=﹣1，Q=﹣，∴P﹣Q=﹣1﹣+=（+）﹣（+1）∵（+）2=12+2，（ +1）2=12+2∴+＞+1，∴P﹣Q＞0，故答案为：P＞Q14．已知变量x，y具有线性相关关系，测得（x，y）的一组数据如下：（0，1），（1，2），（2，4），（3，5），其回归方程为=1.4x+a，则a的值等于0.9．【考点】线性回归方程．【分析】求出横标和纵标的平均数，写出样本中心点，把样本中心点代入线性回归方程，得到关于a的方程，解方程即可．【解答】解：∵==1.5，==3，∴这组数据的样本中心点是（1.5，3）把样本中心点代入回归直线方程，∴3=1.4×1.5+a，∴a=0.9．故答案为：0.9．15．已知函数则的值为﹣．【考点】函数的值；函数迭代．【分析】由题意可得=f（﹣）=3×（﹣），运算求得结果．【解答】解：∵函数，则=f（﹣）=3×（﹣）=﹣，故答案为﹣．16．按程序框图运算：若x=5，则运算进行4次才停止；若运算进行3次才停止，则x 的取值范围是（10，28] ．【考点】循环结构．【分析】本题的考查点是计算循环的次数，及变量初值的设定，在算法中属于难度较高的题型，处理的办法为：模拟程序的运行过程，用表格将程序运行过程中各变量的值进行管理，并分析变量的变化情况，最终得到答案．【解答】解：（1）程序在运行过程中各变量的值如下表示：x x 是否继续循环循环前5∥第一圈15 13 是第二圈39 37 是第三圈111 109 是第四圈327 325 否故循环共进行了4次；（2）由（1）中数据不难发现第n圈循环结束时，经x=（x0﹣1）×3n+1：x 是否继续循环循环前x0/第一圈（x0﹣1）×3+1 是第二圈（x0﹣1）×32+1 是第三圈（x0﹣1）×33+1 否则可得（x0﹣1）×32+1≤244且（x0﹣1）×33+1＞244解得：10＜x0≤28故答案为：4，（10，28]三、解答题（本大题共5小题，共52分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17．已知函数f（x）=log a（x+1）﹣log a（1﹣x），a＞0且a≠1．（1）求f（x）的定义域；（2）判断f（x）的奇偶性并予以证明．【考点】函数奇偶性的判断；函数的定义域及其求法．【分析】（1）使函数各部分都有意义的自变量的范围，即列出不等式组，解此不等式组求出x范围就是函数的定义域；（2）根据函数奇偶性的定义进行证明即可．【解答】解：（1）由题得，使解析式有意义的x范围是使不等式组成立的x范围，解得﹣1＜x＜1，所以函数f（x）的定义域为{x|﹣1＜x＜1}．（2）函数f（x）为奇函数，证明：由（1）知函数f（x）的定义域关于原点对称，且f（﹣x）=log a（﹣x+1）﹣log a（1+x）=﹣log a（1+x）+log a（1﹣x）=﹣[log a（1+x）﹣log a （1﹣x）]=﹣f（x）所以函数f（x）为奇函数．18．命题p方程：x2+mx+1=0有两个不等的实根，命题q：方程4x2+4（m+2）x+1=0无实根．若“p或q”为真命题，“p且q”为假命题，求m的取值范围．【考点】复合命题的真假．【分析】先将命题p，q分别化简，然后根据若“p或q”为真命题，“p且q”为假命题，判断出p，q一真一假，分类讨论即可．【解答】解：由题意命题P：x2+mx+1=0有两个不等的实根，则△=m2﹣4＞0，解得m＞2或m＜﹣2，命题Q：方程4x2+4（m+2）x+1=0无实根，则△＜0，解得﹣3＜m＜﹣1，若“p或q”为真命题，“p且q”为假命题，则p，q一真一假，（1）当P真q假时：，解得m≤﹣3，或m＞2，（2）当P假q真时：，解得﹣2≤m＜﹣1，综上所述：m的取值范围为m≤﹣3，或m＞2，或﹣2≤m＜﹣1．19．在边长为60cm的正方形铁片的四角切去相等的正方形，再把它的边沿虚线折起（如图），做成一个无盖的方底箱子，箱底的边长是多少时，箱子的容积最大？最大容积是多少？【考点】函数模型的选择与应用；基本不等式在最值问题中的应用．【分析】先设箱底边长为xcm，则箱高cm，得箱子容积，再利用导数的方法解决，应注意函数的定义域．【解答】解：设箱底边长为xcm，则箱高cm，得箱子容积（0＜x＜60）．（0＜x＜60）令=0，解得x=0（舍去），x=40，并求得V（40）=16 000由题意可知，当x过小（接近0）或过大（接近60）时，箱子容积很小，因此，16 000是最大值答：当x=40cm时，箱子容积最大，最大容积是16 000cm320．已知函数f（x）=ax+lnx（a∈R）．（Ⅰ）若a=2，求曲线y=f（x）在x=1处的切线方程；（Ⅱ）求f（x）的单调区间；（Ⅲ）设g（x）=x2﹣2x+2，若对任意x1∈（0，+∞），均存在x2∈[0，1]，使得f（x1）＜g（x2），求a的取值范围．【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程；利用导数研究函数的单调性；利用导数求闭区间上函数的最值．【分析】（Ⅰ）把a的值代入f（x）中，求出f（x）的导函数，把x=1代入导函数中求出的导函数值即为切线的斜率，可得曲线y=f（x）在x=1处的切线方程；（Ⅱ）求出f（x）的导函数，分a大于等于0和a小于0两种情况讨论导函数的正负，进而得到函数的单调区间；（Ⅲ）对任意x1∈（0，+∞），均存在x2∈[0，1]，使得f（x1）＜g（x2），等价于f（x）max＜g（x）max，分别求出相应的最大值，即可求得实数a的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）由已知，f'（1）=2+1=3，所以斜率k=3，又切点（1，2），所以切线方程为y﹣2=3（x﹣1）），即3x﹣y﹣1=0故曲线y=f（x）在x=1处切线的切线方程为3x﹣y﹣1=0．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（Ⅱ）①当a≥0时，由于x＞0，故ax+1＞0，f'（x）＞0，所以f（x）的单调递增区间为（0，+∞）．﹣﹣﹣﹣﹣﹣②当a＜0时，由f'（x）=0，得．在区间上，f'（x）＞0，在区间上，f'（x）＜0，所以，函数f（x）的单调递增区间为，单调递减区间为．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（Ⅲ）由已知，转化为f（x）max＜g（x）max．g（x）=（x﹣1）2+1，x∈[0，1]，所以g （x）max=2由（Ⅱ）知，当a≥0时，f（x）在（0，+∞）上单调递增，值域为R，故不符合题意．（或者举出反例：存在f（e3）=ae3+3＞2，故不符合题意．）当a＜0时，f（x）在上单调递增，在上单调递减，故f（x）的极大值即为最大值，，所以2＞﹣1﹣ln（﹣a），解得．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣21．在无穷数列{a n}中，a1=1，对于任意n∈N*，都有a n∈N*，且a n＜a n+1．设集合A m={n|a n ≤m，m∈N*}，将集合A m中的元素的最大值记为b m，即b m是数列{a n}中满足不等式a n≤m的所有项的项数的最大值，我们称数列{b n}为数列{a n}的伴随数列．例如：数列{a n}是1，3，4，…，它的伴随数列{b n}是1，1，2，3，…．（I）设数列{a n}是1，4，5，…，请写出{a n}的伴随数列{b n}的前5项；（II）设a n=3n﹣1（n∈N*），求数列{a n}的伴随数列{b n}的前20项和．【考点】数列的求和；数列的应用．【分析】（I）由{a n}伴随数列{b n}的定义可得前5项为1，1，1，2，3．（II）由a n=3n﹣1≤m，可得n≤1+log3m，m∈N*，分类讨论：当1≤m≤2时，m∈N*，b1=b2=1；当3≤m≤8时，m∈N*，b3=b4=…=b8=2；当9≤m≤20时，m∈N*，b9=b10=…=3；即可得出数列{a n}的伴随数列{b n}的前20项和．【解答】解：（Ⅰ）数列1，4，5，…的伴随数列{b n}的前5项1，1，1，2，3；（Ⅱ）由，得n≤1+log3m（m∈N*）．∴当1≤m≤2，m∈N*时，b1=b2=1；当3≤m≤8，m∈N*时，b3=b4=…=b8=2；当9≤m≤20，m∈N*时，b9=b10=…=b20=3．∴b1+b2+…+b20=1×2+2×6+3×12=50．2016年9月9日。

天津市和平区2023-2024学年七年级上学期期中数学试题(含解析)

天津市和平区2023-2024学年七年级上学期期中数学试题(含解析)

15．若，那么2|2|(1)0x y -++=x y +=三、解答题（本大题共7小题，共58分．解答应写出文字说明、演算步骤或推理过程）19．如图是一条不完整的数轴，相邻两点之间相距1个单位长度，点A 表示的数是．(1)补全数轴，并指出点所表示的数是______；(1)用，表示的长；(2)若安装篱笆的造价是每米3-B x y AB∴，，∴，故该选项正确，符合题意．故选D ．【点睛】本题考查有理数的乘方，有理数的大小比较．利用特殊值法解题是解题关键．12．C【分析】分三种情况：当x≥1时；当-2＜x ＜1时；当x≤-2时；进行讨论可求代数式|x-1|-|x+2|的值，即可求出a 与b 的值．【详解】解：当x≥1时，|x ﹣1|﹣|x+2|＝x ﹣1﹣x ﹣2＝﹣3；当﹣2＜x ＜1时，|x ﹣1|﹣|x+2|＝﹣（x ﹣1）﹣（x+2）＝﹣2x ﹣1；当x≤﹣2时，|x ﹣1|﹣|x+2|＝﹣（x ﹣1）+（x+2）＝3．∵代数式|x ﹣1|﹣|x+2|的最大值为a ，最小值为b ，∴a ＝3，b ＝﹣3．故选：C ．【点睛】考查了绝对值，如果用字母a 表示有理数，则数a 绝对值要由字母a 本身的取值来确定：①当a 是正有理数时，a 的绝对值是它本身a ；②当a 是负有理数时，a 的绝对值是它的相反数-a ；③当a 是零时，a 的绝对值是零．注意分类思想的运用．13．【分析】根据相反意义量直接求解即可得到答案；【详解】解：∵水位升高时记作，∴水位下降时记作，故答案为：；【点睛】本题考查相反意义量，解题的关键是规定一方为正方向则相反方向为负．14．【分析】根据刻度尺上“”对应数轴上原点“0”的位置，而“”在数轴上的数“0”的左侧的位置，即可求解．【详解】解：根据题意，可知刻度尺上“”对应数轴上原点“0”的位置，∴“”在数轴上的数“0”的左侧的位置，即刻度尺上“”对应数轴上的数为，故答案为：【点睛】本题主要考查了在数轴上表示有理数，数形结合是解题的关键．15．1【分析】根据非负数的性质求出x 、y 的值，代入所求代数式计算即可．20a >30a a <<32a a a <<5-3m +3m 5m 5m -5-0.6-3cm 3.6cm 0.63cm 3.6cm 0.63.6cm 0.6-0.6-【详解】解：∵，，，∴，∴，∴，故答案为：1．【点睛】本题考查了非负数的性质：几个非负数的和为0时，这几个非负数都为0．16．2【分析】先将原式去括号，然后合并同类项可得，再把前两项提取，然后把的值代入可得结果.【详解】解：当时，原式，故答案为：．【点睛】此题主要是考查了整式的化简求值，能够熟练运用去括号法则，合并同类项法则化简是解题的关键.17．1【分析】根据解一元一次方程的定义求得的值，根据方程的解满足方程，把解代入方程，可得关于的一元一次方程，解方程可得答案．【详解】解：方程是关于的一元一次方程，，解得，关于的一元一次方程的解为，，解得，，故答案为：1．【点睛】本题考查了一元一次方程的定义，一元一次方程的解，代数式求值，求得，的值是解题的关键．18． 4 3【分析】倒推，将所有可能的路径都找到即可．【详解】解：∵输出结果为1，路径长为7，∴倒推得出：①1248163264128；2|2|(1)0x y -++=|2|0x -≥2(1)0y +≥2010x y -=+=，21x y ==-，211x y +=-=5a b --+1-3a b +=2(2)(35)5a b a b +-++24355a b a b =+--+5a b =--+()5a b =-++3a b +=352=-+=2a m 224a x m ++=x 21a ∴+=1a =- x 24x m +=1x =214m ∴⨯+=2m =2(1)1m a ∴=-=a m124816326421124816510201248165103点所表示的数是4，即．【点睛】本题考查了有理数与数轴，解题的关键是掌握有理数与数轴，绝对值，相反数．B 21(2)|2|1(1) 2.5|5|2----<-<--<-<<22．(1)，(2)，88【分析】（1）根据整式的加减运算法则计算，再结合其差不含和即可求解；（2）根据整式的加减运算法则计算即可化简，再将（1）所求的值代入化简后的式子计算即可．【详解】（1）解：．∵关于的多项式与的差不含和项，∴，，解得：，；（2）解：．当，时，原式　．【点睛】本题考查整式加减中的无关型问题，整式加减中的化简求值．掌握整式的加减运算法则是解题关键．23．(1)22(2)(3)181【分析】（1）根据表格可知，每一行有4个数，其中奇数行的数字从左往右是由小到大排列；偶数行的数字从左往右是由大到小排列，即可求表示的自然数；（2）用除以4，根据除数与余数确定所在的行数，以及是此行的第几个数，进而求解即可；（3）若正方形框内第一行为奇数行，设四个数分别为，，，，若正方形框内第一行为偶数行，设四个数分别为，，，，根据题意列出方程可求解，并根据数的位置判断是否符合题意．【详解】（1）解：第6行为偶数行，偶数行的数字从左往右是由大到小排列，故第6行四个数为：，，，记为的这个自然数是，1m =-4n =2225m n mn -()()222222(2)2mx y x y x ny x --⎤-⎣⎦-⎡--2x 2y ()()2222432m n mn m n mn --+m n ，()()222222(2)2mx y x y x ny x --⎤-⎣⎦-⎡--22222422mx y x y x ny x =--++-+()()2222422m x n y x y +--+=+x y ，()2222(2)mx y x y ---222x ny x --2x 2y 220m +=40n -=1m =-4n =()()2222432m n mn m n mn --+22224322m n mn m n mn =---2225m n mn =-1m =-4n =()()2282151448=⨯-⨯⨯-=-⨯(506,2)(6,3)20232023x 1x +2x +3x +x 1x -5x +6x +24232221(6,3)22（2）根据月结话费月基本费+主叫超时费+流量超出费，由此列方程即可求解；（3）①根据计费规则直接列出套餐A 的费用，分和两种情况列出套餐B 费用即可；②根据计费规则计算出两种套餐的月结话费，比较大小即可．【详解】解：（1）小张六月份使用流量为：，（2）由题意知，小王使用流量，流量免费，则，解得；（3）①主叫时间不超过，因此使用两种套餐均无主叫超时费；使用A 套餐费用为：（元），使用B 套餐费用为：当且是整数时，（元），当且是整数时，（元），②使用A 套餐费用为：（元），使用B 套餐费用为：99＋15＋200×0.15＋（30+1-23）×3=168元171.56＞168因此B 套餐更合算．【点睛】本题考查一元一次方程的实际应用，有理数混合运算的实际应用，解题的关键是看懂两个套餐的计费规则．=2023x <≤23x >()()56GB+200100100100212200MB 30GB 512MB=30.5GB ⨯-+-++=+14.5GB<15GB ()8006000.15109a +-⨯=79a =500min ()79515(45)x x +-=+2023x <≤x ()99520(51)x x +-=-23x >x ()9915323(453)x x ++-=+()791000.153********.005171.56+⨯+-⨯+⨯=。

2019-2020年高二下学期期末数学试卷(理科) 含解析

2019-2020年高二下学期期末数学试卷(理科) 含解析

2019-2020年高二下学期期末数学试卷（理科）含解析一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，在每小题中，只有一项是符合题目要求的）1．已知集合A={x∈R||x|≤2}，B={x∈R|x≤1}，则A∩B=（）A．（﹣∞，2]B．[1，2]C．[﹣2，2] D．[﹣2，1]2．已知复数=i，则实数a=（）A．﹣1 B．﹣2 C．1 D．23．将点M的极坐标（4，）化成直角坐标为（）A．（2，2）B．C．D．（﹣2，2）4．在同一平面的直角坐标系中，直线x﹣2y=2经过伸缩变换后，得到的直线方程为（）A．2x′+y′=4 B．2x′﹣y′=4 C．x′+2y′=4 D．x′﹣2y′=45．如图，曲线f（x）=x2和g（x）=2x围成几何图形的面积是（）A．B．C．D．46．10件产品中有3件次品，不放回的抽取2件，每次抽1件，在已知第1次抽出的是次品的条件下，第2次抽到仍为次品的概率为（）A．B．C．D．7．下列说法中，正确说法的个数是（）①命题“若x2﹣3x+2=0，则x=1”的逆否命题为：“若x≠1，则x2﹣3x+2≠0”；②“x＞1”是“|x|＞1”的充分不必要条件；③集合A={1}，B={x|ax﹣1=0}，若B⊆A，则实数a的所有可能取值构成的集合为{1}．A．0 B．1 C．2 D．38．设某批产品合格率为，不合格率为，现对该产品进行测试，设第ε次首次取到正品，则P（ε=3）等于（）A．C32（）2×（）B．C32（）2×（）C．（）2×（）D．（）2×（）9．在10件产品中，有3件一等品，7件二等品，从这10件产品中任取3件，则取出的3件产品中一等品件数多于二等品件数的概率（）A． B．C．D．10．函数f（x）=e﹣x+ax存在与直线2x﹣y=0平行的切线，则实数a的取值范围是（）A．（﹣∞，2]B．（﹣∞，2）C．（2，+∞）D．[2，+∞）11．函数y=e sinx（﹣π≤x≤π）的大致图象为（）A．B． C． D．12．已知曲线C1：y=e x上一点A（x1，y1），曲线C2：y=1+ln（x﹣m）（m＞0）上一点B（x2，y2），当y1=y2时，对于任意x1，x2，都有|AB|≥e恒成立，则m的最小值为（）A．1 B．C．e﹣1 D．e+1二、填空题（本大题共4个小题，每小题5分，共20分）13．已知随机变量X服从正态分布X～N（2，σ2），P（X＞4）=0.3，则P（X＜0）的值为．14．若函数f（x）=x2﹣alnx在x=1处取极值，则a=．15．如图的三角形数阵中，满足：（1）第1行的数为1；（2）第n（n≥2）行首尾两数均为n，其余的数都等于它肩上的两个数相加．则第10行中第2个数是．16．在平面直角坐标系xOy中，直线1与曲线y=x2（x＞0）和y=x3（x＞0）均相切，切点分别为A（x1，y1）和B（x2，y2），则的值为．三、解答题（本大题共6小题，共70分，解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤）17．在平面直角坐标系xOy中，圆C的参数方程为（φ为参数），直线l过点（0，2）且倾斜角为．（Ⅰ）求圆C的普通方程及直线l的参数方程；（Ⅱ）设直线l与圆C交于A，B两点，求弦|AB|的长．18．在直角坐标系xOy中，已知直线l：（t为参数），以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C：ρ2（1+sin2θ）=2．（Ⅰ）写出直线l的普通方程和曲线C的直角坐标方程；（Ⅱ）设点M的直角坐标为（1，2），直线l与曲线C 的交点为A、B，求|MA|•|MB|的值．19．生产甲乙两种元件，其质量按检测指标划分为：指标大于或者等于82为正品，小于82为次品，现随机抽取这两种元件各100件进行检测，检测结果统计如表：测试指标[70，76）[76，82）[82，88）[88，94）[94，100）元件甲8 12 40 32 8元件乙7 18 40 29 6（Ⅰ）试分别估计元件甲，乙为正品的概率；（Ⅱ）在（Ⅰ）的前提下，记X为生产1件甲和1件乙所得的正品数，求随机变量X的分布列和数学期望．20．设函数f（x）=x3﹣+6x．（Ⅰ）当a=1时，求函数f（x）的单调区间；（Ⅱ）若对∀x∈[1，4]都有f（x）＞0成立，求a的取值范围．21．为了研究家用轿车在高速公路上的车速情况，交通部门对100名家用轿车驾驶员进行调查，得到其在高速公路上行驶时的平均车速情况为：在55名男性驾驶员中，平均车速超过100km/h的有40人，不超过100km/h的有15人．在45名女性驾驶员中，平均车速超过100km/h 的有20人，不超过100km/h的有25人．（Ⅰ）完成下面的列联表，并判断是否有99.5%的把握认为平均车速超过100km/h的人与性别有关．平均车速超过100km/h人数平均车速不超过100km/h人数合计男性驾驶员人数女性驾驶员人数合计（Ⅱ）以上述数据样本来估计总体，现从高速公路上行驶的大量家用轿车中随机抽取3辆，记这3辆车中驾驶员为男性且车速超过100km/h的车辆数为X，若每次抽取的结果是相互独立的，求X的分布列和数学期望．参考公式与数据：Χ2=，其中n=a+b+c+dP（Χ2≥k0）0.150 0.100 0.050 0.025 0.010 0.005 0.001 k0 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.82822．已知函数f（x）=﹣alnx+1（a∈R）．（1）若函数f（x）在[1，2]上是单调递增函数，求实数a的取值范围；（2）若﹣2≤a＜0，对任意x1，x2∈[1，2]，不等式|f（x1）﹣f（x2）|≤m||恒成立，求m的最小值．2015-2016学年吉林省东北师大附中净月校区高二（下）期末数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，在每小题中，只有一项是符合题目要求的）1．已知集合A={x∈R||x|≤2}，B={x∈R|x≤1}，则A∩B=（）A．（﹣∞，2]B．[1，2]C．[﹣2，2] D．[﹣2，1]【考点】交集及其运算．【分析】先化简集合A，解绝对值不等式可求出集合A，然后根据交集的定义求出A∩B即可．【解答】解：∵A={x||x|≤2}={x|﹣2≤x≤2}∴A∩B={x|﹣2≤x≤2}∩{x|x≤1，x∈R}={x|﹣2≤x≤1}故选D．2．已知复数=i，则实数a=（）A．﹣1 B．﹣2 C．1 D．2【考点】复数代数形式的乘除运算．【分析】直接由复数代数形式的乘除运算化简复数，再根据复数相等的充要条件列出方程组，求解即可得答案．【解答】解：===i，则，解得：a=1．故选：C．3．将点M的极坐标（4，）化成直角坐标为（）A．（2，2）B．C．D．（﹣2，2）【考点】简单曲线的极坐标方程．【分析】利用x=ρcosθ，y=ρsinθ即可得出直角坐标．【解答】解：点M的极坐标（4，）化成直角坐标为，即．故选：B．4．在同一平面的直角坐标系中，直线x﹣2y=2经过伸缩变换后，得到的直线方程为（）A．2x′+y′=4 B．2x′﹣y′=4 C．x′+2y′=4 D．x′﹣2y′=4【考点】伸缩变换．【分析】把伸缩变换的式子变为用x′，y′表示x，y，再代入原方程即可求出．【解答】解：由得，代入直线x﹣2y=2得，即2x′﹣y′=4．故选B．5．如图，曲线f（x）=x2和g（x）=2x围成几何图形的面积是（）A．B．C．D．4【考点】定积分在求面积中的应用．【分析】利用积分的几何意义即可得到结论．【解答】解：由题意，S===4﹣=，故选：C．6．10件产品中有3件次品，不放回的抽取2件，每次抽1件，在已知第1次抽出的是次品的条件下，第2次抽到仍为次品的概率为（）A．B．C．D．【考点】条件概率与独立事件．【分析】根据题意，易得在第一次抽到次品后，有2件次品，7件正品，由概率计算公式，计算可得答案．【解答】解：根据题意，在第一次抽到次品后，有2件次品，7件正品；则第二次抽到次品的概率为故选：C．7．下列说法中，正确说法的个数是（）①命题“若x2﹣3x+2=0，则x=1”的逆否命题为：“若x≠1，则x2﹣3x+2≠0”；②“x＞1”是“|x|＞1”的充分不必要条件；③集合A={1}，B={x|ax﹣1=0}，若B⊆A，则实数a的所有可能取值构成的集合为{1}．A．0 B．1 C．2 D．3【考点】命题的真假判断与应用．【分析】①根据逆否命题的定义进行判断②根据充分条件和必要条件的定义进行判断，③根据集合关系进行判断．【解答】解：①命题“若x2﹣3x+2=0，则x=1”的逆否命题为：“若x≠1，则x2﹣3x+2≠0”正确，故①正确，②由|x|＞1得x＞1或x＜﹣1，则“x＞1”是“|x|＞1”的充分不必要条件；故②正确，③集合A={1}，B={x|ax﹣1=0}，若B⊆A，当a=0时，B=∅，也满足B⊆A，当a≠0时，B={}，由=1，得a=1，则实数a的所有可能取值构成的集合为{0，1}．故③错误，故正确的是①②，故选：C8．设某批产品合格率为，不合格率为，现对该产品进行测试，设第ε次首次取到正品，则P（ε=3）等于（）A．C32（）2×（）B．C32（）2×（）C．（）2×（）D．（）2×（）【考点】n次独立重复试验中恰好发生k次的概率．【分析】根据题意，P（ε=3）即第3次首次取到正品的概率，若第3次首次取到正品，即前两次取到的都是次品，第3次取到正品，由相互独立事件的概率计算可得答案．【解答】解：根据题意，P（ε=3）即第3次首次取到正品的概率；若第3次首次取到正品，即前两次取到的都是次品，第3次取到正品，则P（ε=3）=（）2×（）；故选C．9．在10件产品中，有3件一等品，7件二等品，从这10件产品中任取3件，则取出的3件产品中一等品件数多于二等品件数的概率（）A． B．C．D．【考点】古典概型及其概率计算公式．【分析】先求出基本事件总数，再求出取出的3件产品中一等品件数多于二等品件数包含的基本事件个数，由此能求出取出的3件产品中一等品件数多于二等品件数的概率．【解答】解：∵在10件产品中，有3件一等品，7件二等品，从这10件产品中任取3件，基本事件总数n==120，取出的3件产品中一等品件数多于二等品件数包含的基本事件个数m==22，∴取出的3件产品中一等品件数多于二等品件数的概率p===．故选：C．10．函数f（x）=e﹣x+ax存在与直线2x﹣y=0平行的切线，则实数a的取值范围是（）A．（﹣∞，2]B．（﹣∞，2）C．（2，+∞）D．[2，+∞）【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】利用在切点处的导数值是切线的斜率，令f′（x）=2有解；利用有解问题即求函数的值域问题，求出值域即a的范围．【解答】解：f′（x）=﹣e﹣x+a据题意知﹣e﹣x+a=2有解即a=e﹣x+2有解∵e﹣x+2＞2∴a＞2故选C11．函数y=e sinx（﹣π≤x≤π）的大致图象为（）A．B． C． D．【考点】抽象函数及其应用．【分析】先研究函数的奇偶性知它是非奇非偶函数，从而排除A、D两个选项，再看此函数的最值情况，即可作出正确的判断．【解答】解：由于f（x）=e sinx，∴f（﹣x）=e sin（﹣x）=e﹣sinx∴f（﹣x）≠f（x），且f（﹣x）≠﹣f（x），故此函数是非奇非偶函数，排除A，D；又当x=时，y=e sinx取得最大值，排除B；故选：C．12．已知曲线C1：y=e x上一点A（x1，y1），曲线C2：y=1+ln（x﹣m）（m＞0）上一点B（x2，y2），当y1=y2时，对于任意x1，x2，都有|AB|≥e恒成立，则m的最小值为（）A．1 B．C．e﹣1 D．e+1【考点】利用导数求闭区间上函数的最值．【分析】当y1=y2时，对于任意x1，x2，都有|AB|≥e恒成立，可得：=1+ln（x2﹣m），x2﹣x1≥e，一方面0＜1+ln（x2﹣m）≤，．利用lnx≤x﹣1（x≥1），考虑x2﹣m≥1时．可得1+ln（x2﹣m）≤x2﹣m，令x2﹣m≤，可得m≥x﹣e x﹣e，利用导数求其最大值即可得出．【解答】解：当y1=y2时，对于任意x1，x2，都有|AB|≥e恒成立，可得：=1+ln（x2﹣m），x2﹣x1≥e，∴0＜1+ln（x2﹣m）≤，∴．∵lnx≤x﹣1（x≥1），考虑x2﹣m≥1时．∴1+ln（x2﹣m）≤x2﹣m，令x2﹣m≤，化为m≥x﹣e x﹣e，x＞m+．令f（x）=x﹣e x﹣e，则f′（x）=1﹣e x﹣e，可得x=e时，f（x）取得最大值．∴m≥e﹣1．故选：C．二、填空题（本大题共4个小题，每小题5分，共20分）13．已知随机变量X服从正态分布X～N（2，σ2），P（X＞4）=0.3，则P（X＜0）的值为0.3．【考点】正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义．【分析】根据随机变量X服从正态分布，可知正态曲线的对称轴，利用对称性，即可求得P （X＜0）．【解答】解：∵随机变量X服从正态分布N（2，o2），∴正态曲线的对称轴是x=2∵P（X＞4）=0.3，∴P（X＜0）=P（X＞4）=0.3．故答案为：0.3．14．若函数f（x）=x2﹣alnx在x=1处取极值，则a=2．【考点】利用导数研究函数的极值．【分析】求出函数的导数，得到f′（1）=0，得到关于a的方程，解出即可．【解答】解：∵f（x）=x2﹣alnx，x＞0，∴f′（x）=2x﹣=，若函数f（x）在x=1处取极值，则f′（1）=2﹣a=0，解得：a=2，经检验，a=2符合题意，故答案为：2．15．如图的三角形数阵中，满足：（1）第1行的数为1；（2）第n（n≥2）行首尾两数均为n，其余的数都等于它肩上的两个数相加．则第10行中第2个数是46．【考点】归纳推理．【分析】由三角形阵可知，上一行第二个数与下一行第二个数满足等式a n +1=a n +n ，利用累加法可求．【解答】解：设第一行的第二个数为a 1=1，由此可得上一行第二个数与下一行第二个数满足等式a n +1=a n +n ，即a 2﹣a 1=1，a 3﹣a 2=2，a 4﹣a 3=3，…a n ﹣1﹣a n ﹣2=n ﹣2，a n ﹣a n ﹣1=n ﹣1， ∴a n =（a n ﹣a n ﹣1）+（a n ﹣1﹣a n ﹣2）+…+（a 4﹣a 3）+（a 3﹣a 2）+（a 2﹣a 1）+a 1 =（n ﹣1）+（n ﹣2）+…+3+2+1+1 =+1=，∴a 10==46．故答案为：46．16．在平面直角坐标系xOy 中，直线1与曲线y=x 2（x ＞0）和y=x 3（x ＞0）均相切，切点分别为A （x 1，y 1）和B （x 2，y 2），则的值为．【考点】抛物线的简单性质．【分析】求出导数得出切线方程，即可得出结论．【解答】解：由y=x 2，得y ′=2x ，切线方程为y ﹣x 12=2x 1（x ﹣x 1），即y=2x 1x ﹣x 12， 由y=x 3，得y ′=3x 2，切线方程为y ﹣x 23=3x 22（x ﹣x 2），即y=3x 22x ﹣2x 23， ∴2x 1=3x 22，x 12=2x 23， 两式相除，可得=．故答案为：．三、解答题（本大题共6小题，共70分，解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤） 17．在平面直角坐标系xOy 中，圆C 的参数方程为（φ为参数），直线l 过点（0，2）且倾斜角为．（Ⅰ）求圆C 的普通方程及直线l 的参数方程；（Ⅱ）设直线l 与圆C 交于A ，B 两点，求弦|AB |的长． 【考点】参数方程化成普通方程． 【分析】（Ⅰ）圆C 的参数方程为（φ为参数），利用cos 2φ+sin 2φ=1消去参数可得圆C 的普通方程．由题意可得：直线l 的参数方程为．（Ⅱ）依题意，直线l的直角坐标方程为，圆心C到直线l的距离d，利用|AB|=2即可得出．【解答】解：（Ⅰ）圆C的参数方程为（φ为参数），消去参数可得：圆C的普通方程为x2+y2=4．由题意可得：直线l的参数方程为．（Ⅱ）依题意，直线l的直角坐标方程为，圆心C到直线l的距离，∴|AB|=2=2．18．在直角坐标系xOy中，已知直线l：（t为参数），以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C：ρ2（1+sin2θ）=2．（Ⅰ）写出直线l的普通方程和曲线C的直角坐标方程；（Ⅱ）设点M的直角坐标为（1，2），直线l与曲线C 的交点为A、B，求|MA|•|MB|的值．【考点】简单曲线的极坐标方程；参数方程化成普通方程．【分析】（Ⅰ）直线l：（t为参数），消去参数t可得普通方程．曲线C：ρ2（1+sin2θ）=2，可得ρ2+（ρsinθ）2=2，把ρ2=x2+y2，y=ρsinθ代入可得直角坐标方程．（Ⅱ）把代入椭圆方程中，整理得，设A，B对应的参数分别为t1，t2，由t得几何意义可知|MA||MB|=|t1t2|．【解答】解：（Ⅰ）直线l：（t为参数），消去参数t可得普通方程：l：x﹣y+1=0．曲线C：ρ2（1+sin2θ）=2，可得ρ2+（ρsinθ）2=2，可得直角坐标方程：x2+y2+y2=2，即．（Ⅱ）把代入中，整理得，设A，B对应的参数分别为t1，t2，∴，由t得几何意义可知，．19．生产甲乙两种元件，其质量按检测指标划分为：指标大于或者等于82为正品，小于82为次品，现随机抽取这两种元件各100件进行检测，检测结果统计如表：测试指标[70，76）[76，82）[82，88）[88，94）[94，100）元件甲8 12 40 32 8元件乙7 18 40 29 6（Ⅰ）试分别估计元件甲，乙为正品的概率；（Ⅱ）在（Ⅰ）的前提下，记X为生产1件甲和1件乙所得的正品数，求随机变量X的分布列和数学期望．【考点】离散型随机变量的期望与方差；古典概型及其概率计算公式；离散型随机变量及其分布列．【分析】（Ⅰ）利用等可能事件概率计算公式能求出元件甲，乙为正品的概率．（Ⅱ）随机变量X的所有取值为0，1，2，分别求出相应的概率，由此能求出随机变量X的分布列和数学期望．【解答】解：（Ⅰ）元件甲为正品的概率约为：，元件乙为正品的概率约为：．（Ⅱ）随机变量X的所有取值为0，1，2，，，，所以随机变量X的分布列为：X 0 1 2P所以：．20．设函数f（x）=x3﹣+6x．（Ⅰ）当a=1时，求函数f（x）的单调区间；（Ⅱ）若对∀x∈[1，4]都有f（x）＞0成立，求a的取值范围．【考点】利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究函数的单调性．【分析】（Ⅰ）求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间即可；（Ⅱ）问题转化为在区间[1，4]上恒成立，令，根据函数的单调性求出a的范围即可．【解答】解：（Ⅰ）函数的定义域为R，当a=1时，f（x）=x3﹣x2+6x，f′（x）=3（x﹣1）（x﹣2），当x＜1时，f′（x）＞0；当1＜x＜2时，f′（x）＜0；当x＞2时，f′（x）＞0，∴f（x）的单调增区间为（﹣∞，1），（2，+∞），单调减区间为（1，2）．（Ⅱ）即在区间[1，4]上恒成立，令，故当时，g（x）单调递减，当时，g（x）单调递增，时，∴，即．21．为了研究家用轿车在高速公路上的车速情况，交通部门对100名家用轿车驾驶员进行调查，得到其在高速公路上行驶时的平均车速情况为：在55名男性驾驶员中，平均车速超过100km/h的有40人，不超过100km/h的有15人．在45名女性驾驶员中，平均车速超过100km/h 的有20人，不超过100km/h的有25人．（Ⅰ）完成下面的列联表，并判断是否有99.5%的把握认为平均车速超过100km/h的人与性别有关．平均车速超过100km/h人数平均车速不超过100km/h人数合计男性驾驶员人数401555女性驾驶员人数202545合计6040100（Ⅱ）以上述数据样本来估计总体，现从高速公路上行驶的大量家用轿车中随机抽取3辆，记这3辆车中驾驶员为男性且车速超过100km/h的车辆数为X，若每次抽取的结果是相互独立的，求X的分布列和数学期望．参考公式与数据：Χ2=，其中n=a+b+c+dP（Χ2≥k0）0.150 0.100 0.050 0.025 0.010 0.005 0.001 k0 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828【考点】离散型随机变量的期望与方差；独立性检验；离散型随机变量及其分布列．【分析】（Ⅰ）完成下面的列联表，并判断是否有99.5%的把握认为平均车速超过100km/h的人与性别有关．求出Χ2，即可判断是否有99.5%的把握认为平均车速超过100km/h的人与性别有关．（Ⅱ）根据样本估计总体的思想，从高速公路上行驶的大量家用轿车中随机抽取1辆，驾驶员为男性且车速超过100km/h的车辆的概率，X可取值是0，1，2，3，，求出概率得到分布列，然后求解期望即可．【解答】解：（Ⅰ）平均车速超过100km/h人数平均车速不超过100km/h人数合计男性驾驶员人数40 15 55女性驾驶员人数20 25 45合计60 40 100因为，所以有99.5%的把握认为平均车速超过100km/h与性别有关．…（Ⅱ）根据样本估计总体的思想，从高速公路上行驶的大量家用轿车中随机抽取1辆，驾驶员为男性且车速超过100km/h的车辆的概率为．X可取值是0，1，2，3，，有：，，，，分布列为X 0 1 2 3P．…22．已知函数f（x）=﹣alnx+1（a∈R）．（1）若函数f（x）在[1，2]上是单调递增函数，求实数a的取值范围；（2）若﹣2≤a＜0，对任意x1，x2∈[1，2]，不等式|f（x1）﹣f（x2）|≤m||恒成立，求m的最小值．【考点】利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究函数的单调性．【分析】（1）求出函数的导数，问题转化为a≤x2，求出a的范围即可；（2）问题可化为，设，求出函数的导数，问题等价于m≥x3﹣ax在[1，2]上恒成立，求出m的最小值即可．【解答】解：（1）∵在[1，2]上是增函数，∴恒成立，…所以a≤x2…只需a≤（x2）min=1…（2）因为﹣2≤a＜0，由（1）知，函数f（x）在[1，2]上单调递增，…不妨设1≤x1≤x2≤2，则，可化为，设，则h（x1）≥h（x2）．所以h（x）为[1，2]上的减函数，即在[1，2]上恒成立，等价于m≥x3﹣ax在[1，2]上恒成立，…设g（x）=x3﹣ax，所以m≥g（x）max，因﹣2≤a＜0，所以g'（x）=3x2﹣a＞0，所以函数g（x）在[1，2]上是增函数，所以g（x）max=g（2）=8﹣2a≤12（当且仅当a=﹣2时等号成立）．所以m≥12．即m的最小值为12．…2016年10月17日。

天津市和平区2019-2020学年七年级上学期期中数学试题

天津市和平区2019-2020学年七年级上学期期中数学试题
（3）计算出 ，－4，2.5，－1，0，3， ，5这些数的和的绝对值.
20．计算：
（1） ；
（2） ；
（3） ；
（4） .
21．已知，
， .
（1）求 的值（结果用化简后的 、 的式子表示）；
（2）若 ，当 ， 时，求 的值.
22．某市有两家出租车公司，收费标准不同，甲公司收费标准为：起步价8元，超过3千米后，超过的部分按照每千米1.5元收费.乙公司收费标准为：起步价11元，超过3千米后，超过的部分按照每千米1.2元收费.车辆行驶 千米.本题中 取整数，不足 的路程按 计费.
C．c为正数，a为负数D．c为负数，a为负数
二、填空题
13．甲冷库温度为 ，乙冷库的温度比甲冷库低 ，乙冷库的温度是________ .
14．绝对值大于1且小于4的所有整数的和为_____．
15．减去 得 的式子为________.
16．若x=﹣3是方程k（x+4）﹣2k﹣x=5的解，则k的值是_____．
A．1个B．2个C．3个D．4个
10．若 与 是同类项，则 的值是（）
A．0B．1C．7D．－1
11．已知方程(m+1)x︱m︱+3=0是关于x的一元一次方程，则m的值（）
A．±1B．1C．-1D．0或1
12．如果a+b+c=0，且|a|＞|b|＞|c|．则下列说法中可能成立的是（ ）
A．b为正数，c为负数B．c为正数，b为负数
5．D
【分析】
根据等式的性质，即可得到答案．
【详解】
解：A、如果2x-y=7，那么y=2x-7，故A错误；
B、k=0时，两边都除以k无意义，故B错误；
C、如果 ，那么 ，故C错误；
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天津市和平区2019-2020学年高二下学期期中数学
试题
学校_________ 班级__________ 姓名__________ 学号__________
一、单选题
1. 已知空间向量，1，，，，，且，则实数
（）
A．B．
C．
D．6
2. 如图，在平行六面体中，为与的交点.若
，，，则下列向量中与相等的向量是（）
A．B．C．D．
3. 在下列条件中，使与，，一定共面的是（）
A．
B．
C．D．
4. 函数的最大值是( )
A．1
B．
C．0 D．
5. 下列函数求导数，正确的个数是（）
①；
②
③；
④.
A．0 B．1 C．2 D．3
6. 在“志愿和平”活动中，某校高二年级3名男教师和4名女教师参与社区防控新冠肺炎疫情的志愿服务.根据岗位需求应派3人巡视商户，且至少有1名男教师；另外4人测量出入人员体温.则这7名教师不同的安排方法有（）A．15种B．18种C．31种D．45种
7. 某学校周一安排有语文、数学、英语、物理、化学、生物六节课，要求生物课不排在第一节课，物理不排在第四节课，则这天课表的不同排法种数为
（）
A．240 B．384 C．480 D．504
8. 已知定义在上的函数的图象（如图所示）与轴分别交于原
点、点和点，若和3是函数的两个零点，则不等式
的解集（）
A．，，B．，，
C．，，D．，，
二、填空题
9. 已知曲线在点，处的切线为，则__.
10. 的二项展开式中，的系数是________________（用数字作答）．
11. 已知函数，为的导函数，则__.
12. 若函数在区间上单调递增，则实数的取值范围是__.
三、解答题
13. 已知，的展开式的各二项式系数的和等于128，
（1）求的值；
（2）求的展开式中的有理项；
（3）求的展开式中系数最大的项和系数最小的项.
14. 如图，在长方体中，，，点，，
分别是线段，，的中点.
（1）求证：平面；
（2）在线段上有一点，若二面角的余弦值为，求点
到平面的距离.
15. 如图，在四棱锥中，底面为平行四边形，侧面底面
.已知，，，.
（1）求直线与平面所成角的正弦值；
（2）在线段上是否存在一点，使？若存在，请求出的长；若不存在，请说明理由.
16. 已知函数，.
（1）求函数的单调区间；
（2）若函数的极小值为0，.
①求的值；
②若对于任意的，，有成立，求实数的取值范围.。

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