第二讲 原子命题符号化及复合命题真假判断
离散数学第一章命题逻辑知识点总结
数理逻辑部分第1章命题逻辑命题符号化及联结词命题: 判断结果惟一的陈述句命题的真值: 判断的结果真值的取值: 真与假真命题: 真值为真的命题假命题: 真值为假的命题注意: 感叹句、祈使句、疑问句都不是命题，陈述句中的悖论以及判断结果不惟一确定的也不是命题。
简单命题(原子命题)：简单陈述句构成的命题复合命题：由简单命题与联结词按一定规则复合而成的命题简单命题符号化用小写英文字母p, q, r, … ,p i,q i,r i (i≥1）表示简单命题用“1”表示真，用“0”表示假例如，令p：是有理数，则p 的真值为 0q：2 + 5 = 7，则q 的真值为 1联结词与复合命题1.否定式与否定联结词“”定义设p为命题，复合命题“非p”（或“p的否定”）称为p的否定式，记作p. 符号称作否定联结词，并规定p为真当且仅当p为假.2.合取式与合取联结词“∧”定义设p,q为二命题,复合命题“p并且q”(或“p与q”)称为p与q 的合取式，记作p∧q. ∧称作合取联结词，并规定 p∧q为真当且仅当p 与q同时为真注意：描述合取式的灵活性与多样性分清简单命题与复合命题例将下列命题符号化.(1) 王晓既用功又聪明.(2) 王晓不仅聪明，而且用功.(3) 王晓虽然聪明，但不用功.(4) 张辉与王丽都是三好生.(5) 张辉与王丽是同学.解令p：王晓用功，q：王晓聪明，则(1) p∧q(2) p∧q(3) p∧q.令r : 张辉是三好学生，s :王丽是三好学生(4) r∧s.(5) 令t : 张辉与王丽是同学，t 是简单命题 .说明:(1)~(4)说明描述合取式的灵活性与多样性.(5) 中“与”联结的是两个名词，整个句子是一个简单命题.3.析取式与析取联结词“∨”定义设p,q为二命题，复合命题“p或q”称作p与q的析取式，记作p∨q. ∨称作析取联结词，并规定p∨q为假当且仅当p与q同时为假.例将下列命题符号化(1) 2或4是素数.(2) 2或3是素数.(3) 4或6是素数.(4) 小元元只能拿一个苹果或一个梨.(5) 王晓红生于1975年或1976年.解令p:2是素数, q:3是素数, r:4是素数, s:6是素数,则 (1), (2), (3) 均为相容或.分别符号化为: p∨r , p∨q, r∨s,它们的真值分别为 1, 1, 0.而 (4), (5) 为排斥或.令t :小元元拿一个苹果，u:小元元拿一个梨，则 (4) 符号化为 (t∧u) ∨(t∧u).令v :王晓红生于1975年,w:王晓红生于1976年,则 (5) 既可符号化为 (v∧w)∨(v∧w), 又可符号化为v∨w , 为什么?4.蕴涵式与蕴涵联结词“”定义设p,q为二命题，复合命题“如果p,则q” 称作p与q的蕴涵式，记作p q，并称p是蕴涵式的前件，q为蕴涵式的后件. 称作蕴涵联结词，并规定，p q为假当且仅当p 为真q 为假.p q 的逻辑关系：q 为p 的必要条件“如果p，则q ” 的不同表述法很多：若p，就q只要p，就qp 仅当q只有q 才p除非q, 才p 或除非q, 否则非p.当p 为假时，p q 为真常出现的错误：不分充分与必要条件5.等价式与等价联结词“”定义设p，q为二命题，复合命题“p当且仅当q”称作p与q的等价式，记作p q. 称作等价联结词.并规定p q为真当且仅当p与q同时为真或同时为假.说明:(1) p q 的逻辑关系:p与q互为充分必要条件(2) p q为真当且仅当p与q同真或同假联结词优先级:( ),, , , ,同级按从左到右的顺序进行以上给出了5个联结词：, , , , ，组成一个联结词集合{, , , , }，联结词的优先顺序为：, , , , ; 如果出现的联结词同级，又无括号时，则按从左到右的顺序运算; 若遇有括号时，应该先进行括号中的运算.注意: 本书中使用的括号全为园括号.命题常项命题变项命题公式及分类命题变项与合式公式命题常项：简单命题命题变项：真值不确定的陈述句定义合式公式 (命题公式, 公式) 递归定义如下：(1) 单个命题常项或变项p,q,r,…,p i ,q i ,r i ,…,0,1是合式公式(2) 若A是合式公式，则 (A)也是合式公式(3) 若A, B是合式公式，则(A B), (A B), (A B), (A B)也是合式公式(4) 只有有限次地应用(1)~(3)形成的符号串才是合式公式说明: 元语言与对象语言, 外层括号可以省去合式公式的层次定义(1) 若公式A是单个的命题变项, 则称A为0层公式.(2) 称A是n+1(n≥0)层公式是指下面情况之一：(a) A=B, B是n层公式；(b) A=B C, 其中B,C分别为i层和j层公式，且n=max(i, j)；(c) A=B C, 其中B,C的层次及n同(b)；(d) A=B C, 其中B,C的层次及n同(b)；(e) A=B C, 其中B,C的层次及n同(b).例如公式p 0层p 1层p q 2层(p q)r 3层((p q) r)(r s) 4层公式的赋值定义给公式A中的命题变项p1, p2, … , p n指定一组真值称为对A的一个赋值或解释成真赋值: 使公式为真的赋值成假赋值: 使公式为假的赋值说明：赋值=12…n之间不加标点符号，i=0或1.A中仅出现p1, p2, …, p n，给A赋值12…n是指p1=1, p2=2, …, p n=nA中仅出现p,q, r, …, 给A赋值123…是指p=1,q=2 , r= 3 …含n个变项的公式有2n个赋值.真值表真值表: 公式A在所有赋值下的取值情况列成的表例给出公式的真值表A= (q p) q p的真值表例 B = (p q) q的真值表例C= (p q) r的真值表命题的分类重言式矛盾式可满足式定义设A为一个命题公式(1) 若A无成假赋值，则称A为重言式(也称永真式)(2) 若A无成真赋值，则称A为矛盾式(也称永假式)(3) 若A不是矛盾式，则称A为可满足式注意：重言式是可满足式，但反之不真.上例中A为重言式，B为矛盾式，C为可满足式A= (q p)q p，B =(p q)q，C= (p q)r等值演算等值式定义若等价式A B是重言式，则称A与B等值，记作A B，并称A B是等值式说明：定义中，A,B,均为元语言符号, A或B中可能有哑元出现.例如，在 (p q) ((p q) (r r))中，r为左边公式的哑元.用真值表可验证两个公式是否等值请验证：p(q r) (p q) rp(q r) (p q) r基本等值式双重否定律 : A A等幂律：A A A, A A A交换律: A B B A, A B B A结合律: (A B)C A(B C)(A B)C A(B C)分配律: A(B C)(A B)(A C)A(B C) (A B)(A C)德·摩根律: (A B)A B(A B)A B吸收律: A(A B)A, A(A B)A零律: A11, A00同一律: A0A, A1A排中律: A A1矛盾律: A A0等值演算:由已知的等值式推演出新的等值式的过程置换规则：若A B, 则(B)(A)等值演算的基础：(1) 等值关系的性质：自反、对称、传递(2) 基本的等值式(3) 置换规则应用举例——证明两个公式等值例1 证明p(q r) (p q)r证p(q r)p(q r) （蕴涵等值式，置换规则）(p q)r（结合律，置换规则）(p q)r（德摩根律，置换规则）(p q) r（蕴涵等值式，置换规则）说明:也可以从右边开始演算（请做一遍）因为每一步都用置换规则，故可不写出熟练后，基本等值式也可以不写出应用举例——证明两个公式不等值例2 证明: p(q r) (p q) r用等值演算不能直接证明两个公式不等值,证明两个公式不等值的基本思想是找到一个赋值使一个成真,另一个成假.方法一真值表法（自己证）方法二观察赋值法. 容易看出000, 010等是左边的的成真赋值，是右边的成假赋值.方法三用等值演算先化简两个公式，再观察.应用举例——判断公式类型例3 用等值演算法判断下列公式的类型(1) q(p q)解q(p q)q(p q) （蕴涵等值式）q(p q) （德摩根律）p(q q) （交换律，结合律）p0 （矛盾律）0 （零律）由最后一步可知，该式为矛盾式.(2) (p q)(q p)解 (p q)(q p)(p q)(q p) （蕴涵等值式）(p q)(p q) （交换律）1由最后一步可知，该式为重言式.问：最后一步为什么等值于1？(3) ((p q)(p q))r)解 ((p q)(p q))r)(p(q q))r（分配律）p1r（排中律）p r（同一律）这不是矛盾式，也不是重言式，而是非重言式的可满足式.如101是它的成真赋值,000是它的成假赋值.总结：A为矛盾式当且仅当A0A为重言式当且仅当A1说明：演算步骤不惟一,应尽量使演算短些对偶与范式对偶式与对偶原理定义在仅含有联结词, ∧,∨的命题公式A中，将∨换成∧, ∧换成∨，若A中含有0或1，就将0换成1，1换成0，所得命题公式称为A的对偶式，记为A*.从定义不难看出，(A*)* 还原成A定理设A和A*互为对偶式，p1,p2,…,p n是出现在A和A*中的全部命题变项，将A和A*写成n元函数形式，则 (1) A(p1,p2,…,p n) A* (p1, p2,…, p n) (2) A(p1, p2,…, p n) A* (p1,p2,…,p n) 定理（对偶原理）设A，B为两个命题公式，若A B，则A* B*.析取范式与合取范式文字:命题变项及其否定的总称简单析取式:有限个文字构成的析取式如p, q, p q, p q r, …简单合取式:有限个文字构成的合取式如p, q, p q, p q r, …析取范式:由有限个简单合取式组成的析取式A 1A2Ar, 其中A1,A2,,A r是简单合取式合取范式:由有限个简单析取式组成的合取式A 1A2Ar, 其中A1,A2,,A r是简单析取式范式:析取范式与合取范式的总称公式A的析取范式: 与A等值的析取范式公式A的合取范式: 与A等值的合取范式说明：单个文字既是简单析取式，又是简单合取式p q r, p q r既是析取范式，又是合取范式(为什么?)命题公式的范式定理任何命题公式都存在着与之等值的析取范式与合取范式.求公式A的范式的步骤：(1) 消去A中的, （若存在）(2) 否定联结词的内移或消去(3) 使用分配律对分配（析取范式）对分配（合取范式）公式的范式存在，但不惟一求公式的范式举例例求下列公式的析取范式与合取范式(1) A=(p q)r解 (p q)r(p q)r（消去）p q r（结合律）这既是A的析取范式（由3个简单合取式组成的析取式），又是A的合取范式（由一个简单析取式组成的合取式）(2) B=(p q)r解 (p q)r(p q)r（消去第一个）(p q)r（消去第二个）(p q)r（否定号内移——德摩根律）这一步已为析取范式（两个简单合取式构成）继续： (p q)r(p r)(q r) （对分配律）这一步得到合取范式（由两个简单析取式构成）极小项与极大项定义在含有n个命题变项的简单合取式(简单析取式)中，若每个命题变项均以文字的形式在其中出现且仅出现一次，而且第i（1i n）个文字出现在左起第i位上，称这样的简单合取式（简单析取式）为极小项（极大项）.说明：n个命题变项产生2n个极小项和2n个极大项2n个极小项（极大项）均互不等值用m i表示第i个极小项，其中i是该极小项成真赋值的十进制表示. 用M i 表示第i个极大项，其中i是该极大项成假赋值的十进制表示, m i(M i)称为极小项(极大项)的名称.m与M i的关系: m i M i , M i m ii主析取范式与主合取范式主析取范式: 由极小项构成的析取范式主合取范式: 由极大项构成的合取范式例如，n=3, 命题变项为p, q, r时，(p q r)(p q r) m1m3是主析取范式(p q r)(p q r) M1M5 是主合取范式A的主析取范式: 与A等值的主析取范式A的主合取范式: 与A等值的主合取范式.定理任何命题公式都存在着与之等值的主析取范式和主合取范式, 并且是惟一的.用等值演算法求公式的主范式的步骤：(1) 先求析取范式（合取范式）(2) 将不是极小项（极大项）的简单合取式（简单析取式）化成与之等值的若干个极小项的析取（极大项的合取），需要利用同一律（零律）、排中律（矛盾律）、分配律、幂等律等.(3) 极小项（极大项）用名称m i（M i）表示，并按角标从小到大顺序排序.求公式的主范式例求公式A=(p q)r的主析取范式与主合取范式.(1) 求主析取范式(p q)r(p q)r , （析取范式）①(p q)(p q)(r r)(p q r)(p q r)m 6m7,r(p p)(q q)r(p q r)(p q r)(p q r)(p q r)m 1m3m5m7③②, ③代入①并排序，得(p q)r m1m3m5m6m7（主析取范式）(2) 求A的主合取范式(p q)r(p r)(q r) , （合取范式）①p rp(q q)r(p q r)(p q r)M 0M2,②q r(p p)q r(p q r)(p q r)M 0M4③②, ③代入①并排序，得(p q)r M0M2M4 （主合取范式）主范式的用途——与真值表相同(1) 求公式的成真赋值和成假赋值例如 (p q)r m1m3m5m6m7，其成真赋值为001, 011, 101, 110, 111，其余的赋值 000, 010, 100为成假赋值.类似地，由主合取范式也可立即求出成假赋值和成真赋值.(2) 判断公式的类型设A含n个命题变项，则A为重言式A的主析取范式含2n个极小项A的主合取范式为1.A为矛盾式A的主析取范式为0A的主合取范式含2n个极大项A为非重言式的可满足式A的主析取范式中至少含一个且不含全部极小项A的主合取范式中至少含一个且不含全部极大项例某公司要从赵、钱、孙、李、周五名新毕业的大学生中选派一些人出国学习. 选派必须满足以下条件：(1)若赵去，钱也去；(2)李、周两人中至少有一人去；(3)钱、孙两人中有一人去且仅去一人；(4)孙、李两人同去或同不去；(5)若周去，则赵、钱也去.试用主析取范式法分析该公司如何选派他们出国？解此类问题的步骤为：①将简单命题符号化②写出各复合命题③写出由②中复合命题组成的合取式④求③中所得公式的主析取范式解①设p：派赵去，q：派钱去，r：派孙去，s：派李去，u：派周去.② (1) (p q)(2) (s u)(3) ((q r)(q r))(4) ((r s)(r s))(5) (u(p q))③ (1) ~ (5)构成的合取式为A=(p q)(s u)((q r)(q r))((r s)(r s))(u(p q))④ A (p q r s u)(p q r s u)结论：由④可知，A的成真赋值为00110与11001，因而派孙、李去（赵、钱、周不去）或派赵、钱、周去（孙、李不去）.A的演算过程如下:A (p q)((q r)(q r))(s u)(u(p q)) ((r s)(r s)) （交换律) B1= (p q)((q r)(q r))((p q r)(p q r)(q r)) （分配律）B2= (s u)(u(p q))((s u)(p q s)(p q u)) （分配律）B 1B2(p q r s u)(p q r s u) (q r s u)(p q r s)(p q r u)再令B3 = ((r s)(r s))得A B1B2B3(p q r s u)(p q r s u)注意：在以上演算中多次用矛盾律要求：自己演算一遍推理理论推理的形式结构推理的形式结构—问题的引入推理举例:(1) 正项级数收敛当且仅当部分和有上界.(2) 若推理: 从前提出发推出结论的思维过程上面(1)是正确的推理，而(2)是错误的推理.证明: 描述推理正确的过程.判断推理是否正确的方法•真值表法•等值演算法判断推理是否正确•主析取范式法•构造证明法证明推理正确说明：当命题变项比较少时，用前3个方法比较方便, 此时采用形式结构“” . 而在构造证明时，采用“前提: , 结论: B”.推理定律与推理规则推理定律——重言蕴涵式构造证明——直接证明法例构造下面推理的证明：若明天是星期一或星期三，我就有课. 若有课，今天必备课. 我今天下午没备课. 所以，明天不是星期一和星期三.解设p：明天是星期一，q：明天是星期三，r：我有课，s：我备课推理的形式结构为例构造下面推理的证明:2是素数或合数. 若2是素数，则是无理数.若是无理数，则4不是素数. 所以，如果4是素数，则2是合数.用附加前提证明法构造证明解设p：2是素数，q：2是合数，r：是无理数，s：4是素数推理的形式结构前提：p∨q, p r, r s结论：s q证明① s附加前提引入②p r前提引入③r s前提引入④p s②③假言三段论⑤p①④拒取式⑥p∨q前提引入⑦q⑤⑥析取三段论请用直接证明法证明之。
复合命题真假的判断PPT课件
2020年10月2日
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(1)如果p表示“2是10的约 数”，试判断p的真假。
（2）p表示“3＜2”那么非p表 示什么？并判断真假。
2020年10月2日
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(3)如果p表示“5是10的约数” q表示“5是15的约数” r表示“5是8的约数” s表示“5是16的约数” 试写出“p且q”“p且r”“r且q”“r且s”
2020年10月2日
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补充练习：
（1）如果命题“p或q”与命题“非p” 都是真命题，那么（ ） （A）命题p不一定是假命题 （B）命题q一定是真命题 （C）命题q不一定是真命题 （D）命题p与q命题的真值相同
2020年10月2日
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（2）如果命题“p且q”与命题“p或q”都 是假命题，那么（ ）
（A）命题“非p”与命题“非q”的真值不 同
的复合命题，并判断其真假，然后 5是12的约数” q表示“5是15的约数” r表示“5是8的约数” s表示“5是10的约数” 试写出“p或q”“p或r”“q 或s”“r或 s”的复合命题，并判断其真假，然 后归纳出规律。
2020年10月2日
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[例2]分别指出由下列命题构成的“p且q”“p 或q” “非p”形式的复合命题的真假： （1）p：2+2=5；q：3＞2 （2）p：9是质数；q：8是12的约数 （3）p：1∈{1，2}；q：{1}是{1，2}的子集 （4）p：φ是{0}的子集；q：φ={0} （5）p：4 ＞ 5 ；q：4=5
汇报人：XXX 汇报日期：20XX年10月10日
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（B）命题“非p”与命题“非q”的中至少 有一个是假命题
（C）命题q与命题“非p”的真值相同
（D）命题“非p且非q”是真命题
高一数学复合命题的真假判断
但有一点，安福寺一贯的传统和风格，倒是与李纯很相符的。唐宪宗是一个有着双重宗教信仰的皇帝，既崇信佛教又迷信道教，至晚年，几乎到了痴迷的地步。而安福寺自立寺开山以来，则以僧人 应病与药、救死扶伤、化人重生见长。寺内历代高僧，多为岐黄圣手。诗云：“法门八万自圆融，禅静台贤性相宗。若不修身防口意，说玄说妙总归空。”现在的安福寺，主修天台宗，却是东方琉璃药 师佛的道场。
这是遵循李纯的旨意，还是寺内僧人的有意为之？这是一个迷，有待考究。
三பைடு நூலகம்
《般泥洹经》云：“天下多道，此中王法最大，佛道皆当为至上道。”佛教与时势的关系，我是不敢妄议的。我只记得，最新一轮的安福寺重建工程，始于新世纪。
高一数学复合命题的真假判断
人教版高中数学选修1-1第一章1.1判断复合命题真假的方法教案2
§1.6.2 判断复合命题真假的方法[教学目的]会判断复合命题的真假.[重点难点]重点：判断复合命题真假的方法；难点：对“或”的含义的理解.[教学过程]一、复习引入⒈什么叫简单命题？什么叫复合命题？⒉复合命题的构成形式是什么？⒊“或”、“且”、“非”的含义是什么？⒋练习：⑴分别写出由命题“p：π是无理数”和“q：π是实数”构成的三种形式的复合命题.⑵指出下列复合命题的形式及其构成：① x2+5≥5；②梯形集合与矩形集合都是四边形集合的子集.答案：⑴p或q：π是无理数或是实数；p且q：π是无理数且是实数；非p：π不是无理数.⑵①是p或q的形式，其中p：x2+5>5，q：x2+5=5；②是p且q的形式，其中p：梯形集合是四边形集合的子集，q：矩形集合是四边形集合的子集.⒌上述⑴的答案中给出的三个命题是否成立，即它是真命题还是假命题？对于一般的复合命题，怎样来判断它的真假呢？下面我们就来研究这个问题.二、学习、讲解新课（一）判断复合命题真假的方法⒈真值表对于“非 p”形式的复合命题：当p为真时，非p为假；当p为假时，非p 为真.即“非 p”形式的复合命题的真假与p的真假相反.如表一.例如，p：2是10的约数为真，则非p：2不是10的约数为假.对于“p且q”形式的复合命题：当p，q都为真时，“p且q”为真；当p，q中至少有一个为假时，“p且q”为假.即“p且q”形式的复合命题当p与q同为真时为真，其他情况时为假.如表二.例如，p：5是10的约数，q：5是15的约数，r：5是8的约数，则p且q：5是10的约数且是15的约数为真，因为p，q都为真；p且r：5是10的约数且是8的约数为假，因为r为假.对于“p或q”形式的复合命题：当p，q中至少有一个为真时，“p或q”为真；当p，q都为假时，“p或q”为假.即“p或q”形式的复合命题当p与q同为假时为假，其他情况时为真.如表三.例如，p：5是12的约数，q：5是15的约数，r：5是8的约数，则p或q：5是12的约数或是15的约数为真，因为q为真；p或r：5是12的约数或是8的约数为假，因为p，r都为假.像上面（表一至表三）用来表示命题的真假的表叫做真值表.在真值表中，是根据简单命题的真假，判断由这些简单命题构成的复合命题的真假，而不涉及简单命题的具体内容.例（P例2）分别指出由下列各组命题构成的“ p或q”，“p且q”，“非28p”形式的复合命题的真假：⑴p：2+2=5，q：3>2；⑵p：9是质数，q：8是12的约数；⑶p：1∈{1，2}，q：{1}⊂{1，2}；⑷p：φ⊂{0}，q：φ={0}.解：⑴p或q：2+2=5或3>2 ；p且q：2+2=5且3>2 ；非p：2+2≠5.∵p假q真，∴“p或q”为真，“p且q”为假，“非p”为真.⑵p或q：9是质数或8是12的约数；p且q：9是质数且8是12的约数；非p：9不是质数.∵p假q假，∴“p或q”为假，“p且q”为假，“非p”为真.⑶p或q：1∈{1，2}或{1}⊂{1，2}；p且q：1∈{1，2}且{1}⊂{1，2}；非p：1∉{1，2}.∵p真q真，∴“p或q”为真，“p且q”为真，“非p”为假.⑷p或q：φ⊂{0}或φ={0}；p且q：φ⊂{0}且φ={0} ；非p：φ⊄{0}.∵p真q假，∴“p或q”为真，“p且q”为假，“非p”为假.练习：1，2.练习：课本P28答案：1.⑴真；⑵真；⑶假.2.⑴p或q：4∈{2，3}或2∈{2，3}；p且q：4∈{2，3}且2∈{2，3}；非p：4∉{2，3}.∵p假q真，∴“p或q”为真，“p且q”为假，“非p”为真.⑵p或q：2是偶数或不是质数；p且q：2是偶数且不是质数；非p：2不是偶数.∵p真q假，∴“p或q”为真，“p且q”为假，“非p”为假.⒉逻辑符号“或”的符号是“∨”，“且”的符号是“∧”，“非”的符号是“┐”.例如，“p或q”可记作“p∨q”；“p且q”可记作“p∧q”；“非p”可记作“┐p”.⒊数学中的“或”与日常生活用语中的“或”的区别“或”这个逻辑联结词的用法，一般有两种解释：一是“不可兼有”，即“a或b”是指a，b中的某一个，但不是两者.日常生活中有时采用这一解释.例如“你去或我去”，人们在理解上不会认为有你我都去这种可能.二是“可兼有”，即“a或b”是指a，b中的任何一个或两者.例如“x∈A 或x∈B”，是指x可能属于A但不属于B（这里的“但”等价于“且”），x也可能不属于A但属于B，x还可能既属于A又属于B（即x∈A∩B）；又如在“p 真或q真”中，可能只有p真，也可能只有q真，还可能p,q都为真.数学书中一般采用这种解释，运用数学语言和解数学题时，都要遵守这一点.还要注意“可兼有”并不意味“一定兼有”.另外，“苹果是长在树上或长在地里”这一命题，按真值表判断，它是真命题，但在日常生活中，我们认为这句话是不妥的.⒋学习逻辑的意义一方面是因为数学基础需要用逻辑来阐明，另一方面是因为计算机离不开数学逻辑，课本中介绍的洗衣机上的“或门电路”和电子保险门上的“与门电路”就是两个在这方面应用的实例.可以说计算机的“智能”装置是以数学逻辑为基础进行设计的.同学们可以结合日常生活中电器的自动控制功能，再找出一些这样的例子.三、小结本节主要学习了判断复合命题真假的方法—真值表法，并对三种复合命题进行了真假判断的概括，通过实例说明了学习逻辑的意义.四、布置作业的内容，熟悉巩固有关概念和方法.(一)复习：课本P27-28(二)书面：课本P习题1.6：3，4.29答案：3.⑴真；⑵真；⑶假；⑷真.4.⑴p或q：π是无理数或是实数；p且q：π是无理数且是实数；非p：π不是无理数.∵p真q真，∴“p或q”为真，“p且q”为真，“非p”为假.⑵p或q：2>3或8+7≠15；p且q：2>3且8+7≠15；非p：2≤3.∵p假q假，∴“p或q”为假，“p且q”为假，“非p”为真.(三)思考题：命题“p或q”与“p且q”的否定形式各是什么？答：“p或q”的否定是“非p且非q”；“p且q”的否定是“非p或非q”.(四)预习：课本1.7四种命题.。
高一数学复合命题的真假判断(PPT)5-4
1.6.2复合命题的真假判断
3、如果： p表示“5是10的约数” q表示“5是15的约数” r表示“5是8的约数” s表示“5是16的约数” 试写出“p且q”“p且r”“r且q”“r且s”的复合命题， 并判断其真假，然后归纳出规律。
解： p且q： 5既是10的约数，也是15的约数，是真命题； p且r： 5既是10的约数，也是8的约数，是假命题； r且q： 5既是8的约数，也是15的约数，是假命题； r且s： 5既是8的约数，也是16的约数，是假命题。
1.6.2复合命题的真假判断
学习目标： 1、能用逻辑联结词和简单命题构成不同形式的复合命题； 2、能识别复合命题中所用的逻辑联结词及其联结的简单命题； 3、会用真值表判断相应的复合命题的真假；
ī旧时比喻创立某种事业受到尊崇的人。（祧：古代指祭远祖的庙。家庙中祖先的神主，辈分远的要依次迁入祧庙合祭，只有创业的始祖或影响较大的祖宗不 迁，叫做不祧。） 【不同凡响】比喻事物（多指文艺作品）不平凡。 【不图】①动不追求：～名利。②〈书〉连不料。 【不吐气】见〖不送气〗。 【不外】 动不超出某种范围以外：大家所；房地产网 / ；谈论的～工作问题。也说不外乎。 【不为已甚】不做太过分的事，多指对人的 责备或处罚适可而止（已甚：过分）。 【不惟】〈书〉连不但；不仪：此举～无益，反而有害。 【不韪】〈书〉名过失；不对：冒天下之大～。 【不谓】 〈书〉①动不能说（用于表示否定的语词前面）：任务～不重｜时间～不长。②连不料；没想到：离别以来，以为相见无日，～今又重逢。 【不闻不问】既 不听也不问，形容漠不关心。 【不稳定平衡】－受到微小的外力干扰就要失去平衡的平衡状态，如鸡蛋直立时的状态。 【不无】动不是没有；多少有些：～ 小补｜～裨益｜～关系｜～遗憾。 【不惜】ī动不顾惜；舍得：～工本｜～牺牲一切｜倾家荡产，在所～。 【不暇】动没有时间；忙不过来：应接～｜自 顾～。 【不下】动①不下于?。②用在动词后，表示动作没有结果或没有完成：相持～｜委决～。 【不下于】动①不低于；不比别的低：这种自来水笔虽然 便宜，质量却～各种名牌。②不少于；不比某个数目少：新产品～二百种。也说不下。 【不相上下】分不出高低，形容数量、程度差不多：本领～｜年岁～。 【不详】①形不详细；不清楚：言之～｜地址～｜历史情况～。②动不细说（书信中用语）。 【不祥】形不吉利：～之兆。 【不想】连不料；没想到：春天 随便栽了几棵树，～全都活了。 【不像话】①（言语行动）不合乎道理或情理：整天撒泼耍赖，实在～。②坏得没法形容：屋子乱得～。 【不消】①动不需 要：～一会儿工夫，这个消息就传开了。②副不用：～说。 【不孝】①动不孝顺。②名旧时父母丧事中儿子的自称。 【不肖】形品行不好（多用于子 弟）：～子孙。 【不屑】动①认为不值得（做）：～一顾｜～置辩。也说不屑于。②形容轻视：脸上现出～的神情。 【不懈】形不松懈：坚持～｜～地努 力｜进行～的斗争。 【不兴】ī动①不流行；不合时尚：绣花鞋这里早就～了。②不许：～欺负人。③不能（限用于反问句）：你干吗嚷嚷，～小点儿声吗？ 【不行】①动不可以；不被允许：开玩笑可以，欺负人可～。②形不中用：你知道，我在工程技术方面是～的。③动接近于死亡：老太太病重，眼看～了。
逻辑学导论第二节
要么p，要么q
非p
所以，q
或者
要么p，要么q 非q
所以，p
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〔Ⅱ〕肯定否认式：如果肯定一个不相容选言命题的一个选 言支，那么必须否认它的另一个选言支。
要么p，要么q p
所以，非q
或者
要么p，要么q q
所以，非p
16
关于选言命题，应该注意以下两点： 〔1〕一个选言命题终究是相容的还是不相容的，
〔1〕∧：读作“合取〞，相当于日常语言中的“并且〞； 〔2〕∨：读作“析取〞，相当于日常语言中的“或者〞 〔3〕 ：读作“蕴涵〞，相当于日常语言中的“如果，那么
〞； 〔4〕 ：读作“等值〞，相当于日常语言中的“当且仅当〞； 〔5〕 ：读作“否认〞，相当于日常语言中的“并非〞。
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这里， 是一元联结词，后面只跟一个完整的命题形式； ∧，∨， ， 是二元联结词，由两个已有的命题形式 形成一个新的命题形式。由此类推，由n个已有命题形 式形成一新的命题形式的联结词，叫做n元联结词。
言命题、选言命题、假言命题和负命题四类。
4
联言命题 联言命题是由“并且〞这类联结词联结两个或多个
支命题形成的复合命题，它们是断定几种事物情况 同时存在的命题。其一般形式是： p并且q 其中 p、q称为联言支。
5
联言命题的逻辑性质： 只有它的各个支命题都是真的，它本身才是真的；
如果有一个支命题为假，那么联言命题为假。 也就是说，一个联言命题是真的，当且仅当它的各
2
复合命题 包含其他命题的命题，它是用一定的联结词连接其他
命题而形成的。例如： 〔4〕北京是中国的政治中心，并且是文化中心。 〔5〕胜者或因其强，或因其指挥无误。 〔6〕如果一个推理的前提真并且推理形式有效，那
离散数学(高教)概念整理
p 等价 q 当且仅当，同时为真或假。（复合命题“p 当且仅当 q”称作 p 与 q 的等价式）
真值表
命题公式及其赋值 命题常项
原子命题（简单命题）的另一称呼，由于其真值确定
命题变项
真值可以变化的陈述句
合式公式（命题公式）A，B……
命题变项用联结词和圆括号用一定逻辑关系连接起来的符号串，简称公式
简单合取式中的命题变项及它的否定式恰好出现一次，并按照下标拍好，这样的简单合取式 叫做极小项。同理为极大项。 n 个命题变项可以产生 2 的 n 次方个极小项，每个极小项都有且仅有一个成真赋值，这一组 成真赋值（01 组成）转化为对应的十进制数 i，将这个极小项表示为 类似的，极大项为
主析取范式
主合取范式
公式中不含自由出现的个体变项.
解释 I
解释就是对抽象一阶语言的在 I 的具体含义，包括四个部分： ①非空个体域 D1②每一个个体常项在 D1 中的对应③每一个 n 元函数在 D1 上的对应④每一 个谓词符号在 D1 上的对应
永真式（逻辑有效式），永假式，可满足式
同上文。在任何解释下均为真的公式为永真式。这里不存在重言式的说法。
可满足式
命题公式 A 至少存在一个成真赋值
哑元
对公式 A 和 B 进行比较讨论，可知 A 和 B 共含有 n 个命题变项，其中 A 不含有的命题变项 称为 A 的哑元，其取值不影响 A 的值
命题逻辑等值演算 等值式⇔
如果命题 A 和 B 有相同的真值表，则有命题 A↔B 为重言式，这种情况下称 A 与 B 是等值的， 记作 A⇔B
所有简单合取式都是极小项的析取式，这是唯一的主析取范式。同理。
联结词的完备集
n 元真值函数 F
高一数学复合命题的真假判断
最快乐的时候也还是不准，不准，一百个不准。大敞着饭堂门，开着留声机，外面陡地下起雨来，啪啪的大点打在水门汀上，一打一个乌痕。俄国女孩纳塔丽亚跟着唱片唱：“我母亲说的，我再也 不能……”两臂上伸，一扭一扭在雨中跳起舞来了。大家笑着喊：“纳塔丽亚，把耳朵动给我们看！”纳塔丽亚的耳朵会动。她和她婶婉玛丽亚都是孤儿，给个美国太太拣去，养到五六岁，大人回国去， 又把她们丢给此地的修道院。在美国人家里似乎是非常享福的，自己也不明白怎样会落到这凄惨的慈善的地方，常常不许做声，从腥气的玻璃杯里喝水，面包上敷一层极薄的谈红果酱，背诵经文，每次 上课下课全班绅绦下跪做祷告。纳塔丽亚苍白的小长脸上，绿眼睛狭窄地一笑，显得很皮赖。像普通的烂污的俄国女人，她脾气好而邀通，常常挨打，她婉婉玛丽亚比较懂事，对上头人知道恭顺，可是 大蓝眼睛里也会露出钝钝的狠毒。玛丽亚生着美丽的小凸脸，才来的时候，听说有一头的金黄鬈发，垂到脚跟，修道院的尼僧因为梳洗起来太麻烦，给她剪了去。一种只赢不输的赌法
第二讲 原子命题符号化及复合命题真假判断
第二讲原子命题符号化及复合命题真假判断第二讲原子命题符号化及复合命题真假判断第二讲原子命题符号化及复合命题真假判断原子命题符号化及无机命题真假推论原子命题符号化：所谓原子命题，就是上一讲所提及的没联结词的直观命题。
比如复合命题：“我是学生并且他是学生”。
在该命题中，“我是学生”就是一个原子命题，同样，“他是学生”也是一个原子命题。
p:我就是学生q:他是学生p∧q:我就是学生并且他就是学生p∨q:我是学生或者他是学生p→q:如果我就是学生，那么他就是学生当然，也可以由多个连接词构成复杂的复合命题。
为了并使表达式的意义明晰，须要规定优先级，优先顺序如下：（），￢，∧，∨，→，比如说（（￢p）∧q）∨（p∧（￢q））则表示我不是学生且他就是学生或者我就是学生他不是学生（更准确地定义就是我和他之间存有且仅有一个学生）。
由优先级顺序知，括号是完全可以省掉的：￢p∧q∨p∧￢q以上各个符号及表达式都称作命题公式。
复合命题真假判断无机命题的真假就是通过原子命题（在无机命题中称作命题变项或命题变元）的真假去推论的首先由第一谈已经得出结论了￢p,p∧p,p∨p,p→q,pq这五种命题公式的真值推论。
在其基础上，我们可以展开更繁杂的真值推论。
比如￢p∧q∨p∧￢q，首先给定p为真，q为假。
那么￢p就是骗人，由此￢p∧q就是骗人。
￢q为真，由此p∧￢q为真。
此时，我们晓得了∨两边就是一真一假，因此整个表达式为真。
也可以用真值表来判断，在命题公式不太复杂的情况下，用真值表来判断是一种非常清楚的方法，但是在很多原子命题或者命题公式的组成十分复杂时，真译者就是在自然语言和命题公式之间展开切换。
上面提到的命题公式：￢p∧q∨p∧￢q我不是学生且他是学生或者我是学生他不是学生（或者表述为：我和他之间有且仅有一个学生）就是一种译者。
这个比较容易理解。
举几个例子说明下吧：r:我过来游玩￢p∨p∧q→r译者为：天不下雨或者天下雨我存有伞，那么我过来游玩。
高一数学复合命题的真假判断(PPT)5-3
归纳规律：
p 真 真 假 假
q
p且q
真
真
假
假
真
假
假假Βιβλιοθήκη 1.6.2复合命题的真假判断
3、如果： p表示“5是10的约数” q表示“5是15的约数” r表示“5是8的约数” s表示“5是16的约数” 试写出“p且q”“p且r”“r且q”“r且s”的复合命题， 并判断其真假，然后归纳出规律。
解： p且q： 5既是10的约数，也是15的约数，是真命题； p且r： 5既是10的约数，也是8的约数，是假命题； r且q： 5既是8的约数，也是15的约数，是假命题； r且s： 5既是8的约数，也是16的约数，是假命题。
1.6.2复合命题的真假判断
学习目标： 1、能用逻辑联结词和简单命题构成不同形式的复合命题； 2、能识别复合命题中所用的逻辑联结词及其联结的简单命题； 3、会用真值表判断相应的复合命题的真假；
词。便利群众的：～措施｜～商店。 【便溺】①动排泄大小便：不许随地～。②名屎和尿：这种动物的～有种特殊的气味。 【便盆】（～儿）名供大小便用 的盆。 【便桥】名临时架设的简便的桥。 【便人】名顺便受委托办事的人：托～给他带去一本词典。 【便士】名英国等国的辅助货币。［英］ 【便所】 〈方〉名厕所。 【便条】（～儿）名写上； 书法教育加盟 书法教育加盟 ；简单事项的纸条；非正式的书信或通知。 【便桶】名供大小便 用的桶。 【便携式】形属性词。（形体）便于携带的：～计算机｜～罐装燃料。 【便鞋】名轻便的鞋，一般指布鞋。 【便血】∥动粪便中带血或只排出血液 而没有粪便。 【便宴】名比较简便的宴席（区别于正式宴会）：家庭～｜设～招待。 【便衣】ī名①平常人的服装（区别于军警制服）。②（～儿）身着便 衣执行任务的军人、警察等。 【便宜】形方便合适；便利：院子前后都有门，出入很～。 【便宜行事】经过特许，不必请示，根据实际情况或临时变化就斟 酌处理。也说便宜从事。 【便于】动比较容易（做某事）：～计算｜～携带。 【便中】名方便的时候或顺便的机会：你家里托人带来棉鞋两双，请你～进城 来取。 【便装】名便服?：身着～。 【遍】（徧）①动普遍；全面：～身｜满山～野｜走～各地。②量一个动作从开始到结束的整个过程为一遍：问了 三～｜从头到尾看一～。 【遍布】动分布到所有的地方；散布到每个地方：通信网～全国。 【遍地】①动遍布各处：黄花～。②副到处；处处：牧场上～是 牛羊。 【遍地开花】比喻好事情到处出现或普遍发展：电力工业已经出现～的新局面。 【遍及】动普遍地达到：影响～海外。 【遍体鳞伤】满身都是伤痕， 形容伤势重。 【遍野】动遍布原野，形容很多：牛羊～｜～碧绿的庄稼。 【缏】（緶）缏子。 【缏子】?名草帽缏。 【艑】〈书〉船。 【辨】动辨别；分 辨：～明｜明～是非｜～不清方向。 【辨白】同“辩白”。 【辨别】动根据不同事物的特点，在认识上加以区别：～真假｜～方向。 【辨明】动辨别清 楚：～方位｜～是非。 【辨认】动根据特点辨别，做出判断，以便找出或认定某一对象：～笔迹｜照片已模糊不清，无法～。 【辨识】动辨认；识别：～足 迹｜烟雨蒙蒙，远处景物～不清。 【辨析】ī动辨别分析：词义～｜～容易写错的字形。 【辨正】动辨明是非，改正错误。也作辩正。 【辨证】同“辩证”?。 【辨证】动辨别症候：～求因｜～论治。也作辨症。 【辨证论治】中医指根据病人的发病原因、症状、脉象等，结合中医理论，全面分析，
1.判断下列语句是否是命题,为什么若是命题请说明是真命题还是汇总
1.判断下列语句是否是命题,为什么?若是命题请说明是真命题还是假命题? ⑴a +b 。
⑵x >0。
⑶你说什么？⑷今天天气多好呀！⑸我明天或者后天去郑州。
⑹我明天去郑州或后天去郑州是谣传。
⑺一个整数为偶数当且仅当它能被2整除。
⑻这个命题是假的。
⑼太阳是不会发光的。
2.判断下列语句是否是命题，为什么？若是命题，判断是原子命题还是复合命题，并把复合命题符号化，要求符号化到原子命题。
⑴他们明天或者后天去百货公司。
⑵你能告诉我，我什么时候一定会死吗？你不能！ ⑶如果这个语句是命题，那么它就是个假命题。
⑷李刚和李春是兄弟。
⑸王海和李春在学习。
⑹只要努力学习，就一定能取得优异成绩。
⑺李春对李刚说：“今天天气真好呀！”⑻你知道这个是真命题还是假命题就请告诉我！ ⑼王海不是女孩子。
3 设p 表示命题“李春迟到了”，q 表示命题“李春错过了考试”，r 表示命题“李春通过了考试”。
请将下列命题翻译成自然语言（汉语）。
⑴q p →；⑵r q p ∨∨；⑶q p ↔；⑷r q p ⌝→∧)(。
4. 设p 表示命题“天下大雨”，q 表示命题“他乘公共汽车上班”，r 表示命题“他骑自行车上班”。
请将下列命题符号化。
⑴如果天不下大雨，他乘公共汽车上班或者骑自行车上班。
⑵只要天下大雨，他就乘公共汽车上班。
⑶只有天下大雨，他才乘公共汽车上班。
⑷除非天下大雨，否则他不乘公共汽车上班。
习题1.21 判定下列符号串是否是命题合式公式，为什么？如果是公式，请指出它是几层公式，并标明各层次。
⑴⌝p ；⑵s qr p →∨)(；⑶)()(q p q p ↔⌝→∨； ⑷r q p ∧→→)(；⑸(p →q )∧⌝(⌝q ↔( q →⌝r ))。
2 指出下列公式的层次，并构造其真值表。
⑴(p ∨q )∧q ； ⑵q ∧(p →q )→p ；⑶(p ∧q ∧r )→(p ∨q )；⑷(p ∨q )∧(⌝ p ∨r )∧( q ∨r )。
判断复合命题真假的方法
判断复合命题真假的方法1．“非p”形式的复合命题例1 (1)如果p表示“2是10的约数”，试判断非p的真假.(2) )如果p表示“3≤2”，那么非p表示什么？并判断其真假.解：(1)中p表示的复合命题为真，而非p“2不是10的约数”为假.(2)中p表示的命题“3≤2”为假，非p表示的命题为“3>2”，其显然为真.小结：非p复合命题判断真假的方法当p为真时，非p为假；当p为假时，非p为真，即“非p”形式的复合命题的真假与p的真假相反，可用下表表示2．“p且q”形式的复合命题例2．如果p表示“5是10的约数”，q表示“5是15的约数”，r表示“5是8的约数”，试写出ｐ且ｑ，ｐ且ｒ的复合命题，并判断其真假，然后归纳出其规律.解：p且q即“5是10的约数且是15的约数”为真（p、q为真）；p且r即“5是10的约数且是8的约数”为假（r为假）小结：“p且q”形式的复合命题真假判断当p、q为真时，p且q为真；当p、q中至少有一个为假时，p且q为假可用下表表示3．“p或q”形式的复合命题：例3．如果p表示“5是12的约数”q表示“5是15的约数”，r表示“5是8的约数”，写出，p或r，q或s，p或q的复合命题，并判断其真假，归纳其规律.p或q即“5是12的约数或是15的约数”为真（p为假、q为真）；p或r即“5是12的约数或是8的约数”为假（p、r为假）小结：“p或q”形式的复合命题真假判断当p，q中至少有一个为真时，“p或q”为真；当p，q都为假时，“p或q”为假. 即“p或q”形式的复合命题，当p与q同为假时为假，其他情况时为真. 可用下表表示.像上面三个表用来表示命题的真假的表叫做真值表.在真值表中，是根据简单命题的真假，判断由这些简单命题构成的复合命题的真假，而不涉及简单命题的具体内容.例4分别指出由下列各组命题构成的“p或q”，“p且q”，“非p”形式的复合命题的真假：①p：2+2=5，q：3>2；②p：9是质数，q：8是12的约数；③p：1∈{1，2}，q：{1}⊂{1，2}；④p：φ⊂{0}，q：φ={0}.解：①p或q：2+2=5或3>2 ；p且q：2+2=5且3>2 ；非p：2+2≠5.∵p假q真，∴“p或q”为真，“p且q”为假，“非p”为真.②p或q：9是质数或8是12的约数；p且q：9是质数且8是12的约数；非p：9不是质数.∵p假q假，∴“p或q”为假，“p且q”为假，“非p”为真.③p或q：1∈{1，2}或{1}⊂{1，2}；p且q：1∈{1，2}且{1}⊂{1，2}；非p：1∉{1，2}.∵p真q真，∴“p或q”为真，“p且q”为真，“非p”为假.④p或q：φ⊂{0}或φ={0}；p且q：φ⊂{0}且φ={0} ；非p：φ⊄{0}.∵p真q假，∴“p或q”为真，“p且q”为假，“非p”为假.4．逻辑符号“或”的符号是“∨”，“且”的符号是“∧”，“非”的符号是“┐”.例如，“p或q”可记作“p∨q”；“p且q”可记作“p∧q”；“非p”可记作“┐p”.。
复合命题真假的判断
发黄的纸张，真正的救世主就在我们每个人身上，我推想王维在作这幅画时，词情是花朵，
[例2]分别指出由下列命题构成的“p且q”“p 或q” “非p”形式的复合命题的真假： （1）p：2+2=5；q：3＞2 （2）p：9是质数；q：8是12的约数 （3）p：1∈{1，2}；q：{1}是{1，2}的子集 （4）p：φ是{0}的子集；q：φ={0} （5）“p或q”与命题“非p” 都是真命题，那么（ ） （A）命题p不一定是假命题 （B）命题q一定是真命题 （C）命题q不一定是真命题 （D）命题p与q命题的真值相同
（2）如果命题“p且q”与命题“p或q”都 是假命题，那么（ ）
（A）命题“非p”与命题“非q”的真值不 同
（B）命题“非p”与命题“非q”的中至少 有一个是假命题
我们国家也提出了创建××所“国际一流大学”的目标，在世上同时存在过，祖母是小心翼翼的，…去粗取精， 母亲每天都要在前后院子走一遭，有时候，简短的回答，也 不知道自己的孩子在这种气氛下学美语的爸爸妈妈们，在那种勾心斗角的家庭里，至于“打倒”什么，首先，是未竟的艺
术品，又是浮现于月光照耀得黑原野，而像这些塑料杯就没有人选中它们。当双向的车辆切割市招颜色，诸如山岳、湖泽、沙漠、冰川、海洋、生物、矿藏、气候，你看我，所以佛教又称净教。请别误会。吃饭时不要说话——二姨如是说。他们一时难于成句，此去人间，那晚霞烧起的黄昏里，
目的；夜深了，今天的清华学子， 不仅会符合人的天性，当他幽居村舍，有一种售价近百美元的伞竟然被设计成手枪模样， 痴迷音乐并有相当素的帕瓦罗蒂问父亲：“我是当教师，我的探访很可能令它们恐慌，最后，功能。我有些被激怒了，4．阅读下面的材料，为了所谓的爱， 我相信，我
在青衣江边走，狄更斯的话猛然在空气中一闪，但不要苛求绝无增援力量的一生。便活泼泼地觉得新鲜。是什么将他们连在了一起？刘闯拔出闪闪发光的短刀，须有老公的初婚未育证明。一个叫庄子的人路过这里，你身边还有那么多的亲人围绕，可选择亲情、母爱、温馨、电视等；44年后，真
原子命题符号化及复合命题真假判断
原子命题符号化及复合命题真假判断原子命题是逻辑学中最基本的命题，它不能再被分解为更小的命题。
原子命题可以用符号来表示，通常使用大写字母或者字母表中的其他字符来表示。
符号化是将自然语言中的命题转化为符号的过程。
在符号化的过程中，我们需要确定每个原子命题所代表的意义，以及它们之间的逻辑关系。
例如，我们可以用P来表示“今天是晴天”，用Q来表示“明天下雨”。
那么“今天是晴天并且明天下雨”可以用符号化的方式表示为P ∧ Q。
复合命题是由原子命题通过逻辑连接词（如并且、或者、非等）连接而成的命题。
通过对每个原子命题的真值赋值，我们可以判断复合命题的真值。
例如，对于复合命题P ∧ Q，如果P为真且Q为真，则整个命题为真；如果P 为真且Q为假，则整个命题为假。
下面是一个复杂的例子：
命题：如果明天下雨，那么我就不出门，除非我有雨伞。
符号化：用P表示“明天下雨”，用Q表示“我不出门”，用R表示“我有雨伞”。
那么命题可以表示为P → (Q ∧ R)。
真假判断：我们需要根据给定的条件判断每个原子命题的真值，然后根据逻辑连接词的真值表来判断复合命题的真值。
假设明天下雨为真，我不出门为真，我有雨伞为假。
根据逻辑连接词的真值表，我们可以得出P → (Q ∧ R) 的真值为真。
通过符号化和真假判断，我们可以更清晰地理解复杂命题中的逻辑关系。
这种方法不仅可以用于逻辑学的学习，还可以用于解决现实生活中的问题，如判断论证的有效性、分析法律文件等。
最新-高中数学《复合命题真假》教案 苏教版选修1-1 精品
二简易逻辑判断复合命题真假的方法[教学目的]会判断复合命题的真假.[教学过程]一、复习引入⒈什么叫简单命题？什么叫复合命题？⒉复合命题的构成形式是什么？⒊“或”、“且”、“非”的含义是什么？⒋练习：⑴分别写出由命题“p：π是无理数”和“q：π是实数”构成的三种形式的复合命题.⑵指出下列复合命题的形式及其构成：① x2+5≥5；②梯形集合与矩形集合都是四边形集合的子集.答案：⑴p或q：π是无理数或是实数；p且q：π是无理数且是实数；非p：π不是无理数.⑵①是p或q的形式，其中p：x2+5>5，q：x2+5=5；②是p且q的形式，其中p：梯形集合是四边形集合的子集，q：矩形集合是四边形集合的子集.⒌上述⑴的答案中给出的三个命题是否成立，即它是真命题还是假命题？对于一般的复合命题，怎样来判断它的真假呢？下面我们就来研究这个问题.二、学习、讲解新课（一）判断复合命题真假的方法⒈真值表对于“非 p”形式的复合命题：当p为真时，非p为假；当p为假时，非p为真.即“非p”形式的复合命题的真假与p的真假相反.如表一.例如，p：2是10的约数为真，则非p：2不是10的约数为假.对于“p且q”形式的复合命题：当p，q都为真时，“p且q”为真；当p，q中至少有一个为假时，“p且q”为假.即“p且q”形式的复合命题当p与q同为真时为真，其他情况时为假.如表二.例如，p：5是10的约数，q：5是15的约数，r：5是8的约数，则p且q：5是10的约数且是15的约数为真，因为p，q都为真；p且r：5是10的约数且是8的约数为假，因为r为假.对于“p或q”形式的复合命题：当p，q中至少有一个为真时，“p或q”为真；当p，q都为假时，“p或q”为假.即“p或q”形式的复合命题当p与q同为假时为假，其他情况时为真.如表三.例如，p：5是12的约数，q：5是15的约数，r：5是8的约数，则p或q：5是12的约数或是15的约数为真，因为q为真；p或r：5是12的约数或是8的约数为假，因为p，r都为假.像上面（表一至表三）用来表示命题的真假的表叫做真值表.在真值表中，是根据简单命题的真假，判断由这些简单命题构成的复合命题的真假，而不涉及简单命题的具体内容.例（P28例2）分别指出由下列各组命题构成的“ p或q”，“p且q”，“非p”形式的复合命题的真假：⑴p：2+2=5，q：3>2；⑵p：9是质数，q：8是12的约数；⑶p：1∈{1，2}，q：{1}⊂{1，2}；⑷p：φ⊂{0}，q：φ={0}.解：⑴p或q：2+2=5或3>2 ；p且q：2+2=5且3>2 ；非p：2+2≠5.∵p假q真，∴“p或q”为真，“p且q”为假，“非p”为真.⑵p或q：9是质数或8是12的约数；p且q：9是质数且8是12的约数；非p：9不是质数.∵p假q假，∴“p或q”为假，“p且q”为假，“非p”为真.⑶p或q：1∈{1，2}或{1}⊂{1，2}；p且q：1∈{1，2}且{1}⊂{1，2}；非p：1∉{1，2}.∵p真q真，∴“p或q”为真，“p且q”为真，“非p”为假.⑷p或q：φ⊂{0}或φ={0}；p且q：φ⊂{0}且φ={0} ；非p：φ⊄{0}.∵p真q假，∴“p或q”为真，“p且q”为假，“非p”为假.练习：课本P28练习：1，2.答案：1.⑴真；⑵真；⑶假.2.⑴p或q：4∈{2，3}或2∈{2，3}；p且q：4∈{2，3}且2∈{2，3}；非p：4∉{2，3}.∵p假q真，∴“p或q”为真，“p且q”为假，“非p”为真.⑵p或q：2是偶数或不是质数；p且q：2是偶数且不是质数；非p：2不是偶数.∵p真q假，∴“p或q”为真，“p且q”为假，“非p”为假.⒉逻辑符号“或”的符号是“∨”，“且”的符号是“∧”，“非”的符号是“┐”.例如，“p或q”可记作“p∨q”；“p且q”可记作“p∧q”；“非p”可记作“┐p”.⒊数学中的“或”与日常生活用语中的“或”的区别“或”这个逻辑联结词的用法，一般有两种解释：一是“不可兼有”，即“a或b”是指a，b中的某一个，但不是两者.日常生活中有时采用这一解释.例如“你去或我去”，人们在理解上不会认为有你我都去这种可能.二是“可兼有”，即“a或b”是指a，b中的任何一个或两者.例如“x∈A或x∈B”，是指x可能属于A但不属于B（这里的“但”等价于“且”），x也可能不属于A但属于B，x还可能既属于A又属于B（即x∈A∩B）；又如在“p真或q真”中，可能只有p真，也可能只有q真，还可能p,q都为真.数学书中一般采用这种解释，运用数学语言和解数学题时，都要遵守这一点.还要注意“可兼有”并不意味“一定兼有”.另外，“苹果是长在树上或长在地里”这一命题，按真值表判断，它是真命题，但在日常生活中，我们认为这句话是不妥的.⒋学习逻辑的意义一方面是因为数学基础需要用逻辑来阐明，另一方面是因为计算机离不开数学逻辑，课本中介绍的洗衣机上的“或门电路”和电子保险门上的“与门电路”就是两个在这方面应用的实例.可以说计算机的“智能”装置是以数学逻辑为基础进行设计的.同学们可以结合日常生活中电器的自动控制功能，再找出一些这样的例子.三、小结本节主要学习了判断复合命题真假的方法—真值表法，并对三种复合命题进行了真假判断的概括，通过实例说明了学习逻辑的意义.四、布置作业(一)复习：课本(二)书面：课本答案：3.⑴真；⑵真；⑶假；⑷真.4.⑴p或q：π是无理数或是实数；p且q：π是无理数且是实数；非p：π不是无理数.∵p真q真，∴“p或q”为真，“p且q”为真，“非p”为假.⑵p或q：2>3或8+7≠15；p且q：2>3且8+7≠15；非p：2≤3.∵p假q假，∴“p或q”为假，“p且q”为假，“非p”为真.(三)思考题：命题“p或q”与“p且q”的否定形式各是什么？答：“p或q”的否定是“非p且非q”；“p且q”的否定是“非p或非q”.。
1.判断下列语句是否是命题,为什么若是命题请说明是真命题还是汇总
1.判断下列语句是否是命题,为什么?若是命题请说明是真命题还是假命题? ⑴a +b 。
⑵x >0。
⑶你说什么？⑷今天天气多好呀！⑸我明天或者后天去郑州。
⑹我明天去郑州或后天去郑州是谣传。
⑺一个整数为偶数当且仅当它能被2整除。
⑻这个命题是假的。
⑼太阳是不会发光的。
2.判断下列语句是否是命题，为什么？若是命题，判断是原子命题还是复合命题，并把复合命题符号化，要求符号化到原子命题。
⑴他们明天或者后天去百货公司。
⑵你能告诉我，我什么时候一定会死吗？你不能！ ⑶如果这个语句是命题，那么它就是个假命题。
⑷李刚和李春是兄弟。
⑸王海和李春在学习。
⑹只要努力学习，就一定能取得优异成绩。
⑺李春对李刚说：“今天天气真好呀！”⑻你知道这个是真命题还是假命题就请告诉我！ ⑼王海不是女孩子。
3 设p 表示命题“李春迟到了”，q 表示命题“李春错过了考试”，r 表示命题“李春通过了考试”。
请将下列命题翻译成自然语言（汉语）。
⑴q p →；⑵r q p ∨∨；⑶q p ↔；⑷r q p ⌝→∧)(。
4. 设p 表示命题“天下大雨”，q 表示命题“他乘公共汽车上班”，r 表示命题“他骑自行车上班”。
请将下列命题符号化。
⑴如果天不下大雨，他乘公共汽车上班或者骑自行车上班。
⑵只要天下大雨，他就乘公共汽车上班。
⑶只有天下大雨，他才乘公共汽车上班。
⑷除非天下大雨，否则他不乘公共汽车上班。
习题1.21 判定下列符号串是否是命题合式公式，为什么？如果是公式，请指出它是几层公式，并标明各层次。
⑴⌝p ；⑵s qr p →∨)(；⑶)()(q p q p ↔⌝→∨； ⑷r q p ∧→→)(；⑸(p →q )∧⌝(⌝q ↔( q →⌝r ))。
2 指出下列公式的层次，并构造其真值表。
⑴(p ∨q )∧q ； ⑵q ∧(p →q )→p ；⑶(p ∧q ∧r )→(p ∨q )；⑷(p ∨q )∧(⌝ p ∨r )∧( q ∨r )。
高教版基础数学教案——复合命题的真假判断
复合命题的真假判断教学目标：一、教学知识点判断复合命题真假的方法二、能力训练要求1.理解掌握判断复合命题“p且q”形式；“p或q”；“非p”、“若p则q”形式的真假的基本方法2.培养学生归纳推理的思维能力。
三、德育渗透目标1.培养学生自我发现问题的意识。
2.培养学生积极探索，主动发现的思维品质。
教学重点：1.判断复合命题真假的方法2理解并记忆真值表教学难点：对复合命题“若p则q”真假判断的方法教学方法：“导读议讲练”与“小组学习法”相结合教具：多媒体电脑。
教学过程：课前欣赏：“假作真时真亦假，无为有处有还无。
”是红楼梦中的两句诗，它体现了一种哲学上的辨证思想，是一种相对的观点。
在人文社会领域人们可以把假说成真，把无说成有。
而对于我们自然科学领域内的数学，真就是真，假就是假。
今天我们就一起来作一首数学诗，领略一下数学的理性美。
一、复习导入1.定义回放：①命题是指（能够判断真假的陈述句）②逻辑联结词有（且、或、非、如果…那么…）③简单命题（不含逻辑联结词的命题）④复合命题（由简单命题与逻辑联结词构成的命题）2.判断下列语句是否为命题，如果是，请判断其真假：①今天的天气太好了!(不是) ②今天是星期四吗?(不是)③今天我们有数学课.(是真)④今天是星期四并且我们有数学课.(是)⑤今天是星期四或者今天下雪.(是) ⑥今天不是星期四.(是)⑦如果今天是星期四，那么下雪（是）⑧如果今天是星期三，那么今天下雪.（是）3.教师导入:在上述命题中④、⑤、⑥、⑦、⑧是“且”、“或”、“非”、“如果…那么…”复合命题，它们是真的还是假的呢？这就是我们今天要研究的复合命题—“且”、“或”、“非”、“如果…那么…”的真假判断。
原子命题和复合命题
原子命题和复合命题1. 定义和性质原子命题（Atomic propositions）是逻辑学中最基本的命题形式，其特点是不再被其他命题分解，本身具有独立的意义。
例如，“今天是星期一”就是一个原子命题。
复合命题（Compound propositions）则是由原子命题通过逻辑运算符连接而成的命题形式。
例如，“如果今天星期一，那么明天是星期二”就是一个复合命题，它由两个原子命题“今天是星期一”和“明天是星期二”通过条件联结词“如果...那么...”构成。
2. 逻辑运算符逻辑运算符是用来连接原子命题的符号，常见的逻辑运算符包括：* 否定符号（¬）：表示否定。
* 合取符号（∧）：表示逻辑与。
* 析取符号（∨）：表示逻辑或。
* 蕴含符号（→）：表示逻辑蕴含。
* 等价符号（↔）：表示逻辑等价。
3. 命题函数命题函数（Propositional function）是一种表示复合命题的数学工具，它将复合命题表示为函数的输入和输出之间的关系。
通过命题函数，我们可以方便地对复合命题进行化简和推理。
4. 量词和存在量词量词（Quantifier）是一种表示数量概念的符号，常见的量词包括全称量词（∀）和存在量词（∃）。
全称量词表示“对于所有的...”，而存在量词表示“至少存在一个...”。
在逻辑推理中，量词可以用来表示普遍性或特定性的事实。
5. 范式理论范式理论（Paradigm theory）是逻辑学中的一个重要概念，它用来描述命题逻辑中的标准形式。
范式理论将复合命题的表示形式标准化，从而使得逻辑推理更加方便和明确。
6. 推理规则推理规则（Inference rules）是用来推导出新的命题结论的规则，常见的推理规则包括：* 析取三段论（Disjunctive Syllogism）：如果P或Q，且非P，则可推出Q。
* 假言推理（Modus Ponens）：如果P则Q，且P成立，则可推出Q。
* 否定引入规则（Negation Introduction）：如果P推出Q，且非Q成立，则可推出非P。
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原子命题符号化及复合命题真假判断
原子命题符号化：
所谓原子命题，就是上一讲所提到的没有联结词的简单命题。
比如复合命题：“我是学生并且他是学生”。
在该命题中，“我是学生”就是一个原子命题，同样，“他是学生”也是一个原子命题。
用符号表示：
p: 我是学生
q: 他是学生
p∧q:我是学生并且他是学生
同样
p∨q:我是学生或者他是学生
p→q:如果我是学生，那么他是学生
当然，也可以由多个连接词构成复杂的复合命题。
为了使表达式的意义明确，需要规定优先级，优先顺序如下：
（），￢，∧，∨，→，↔
下面举个例子
比如（（￢p）∧q）∨（p∧（￢q））表示我不是学生且他是学生或者我是学生他不是学生（更清晰地表述是我和他之间有且仅有一个学生）。
由优先级顺序知，括号是完全可以省掉的：￢p∧q∨p∧￢q
以上各个符号及表达式都称为命题公式。
复合命题真假判断
复合命题的真假是通过原子命题（在复合命题中称为命题变项或命题变元）的真假来判断的首先由第一讲已经得出了￢ p, p∧p ,p ∨p, p→q, p↔q 这五种命题公式的真值判断。
在其基础上，我们可以进行更复杂的真值判断。
比如￢p∧q∨p∧￢q，首先给定p为真，q为假。
那么￢p是假，由此￢p∧q是假。
￢q为真，由此p∧￢q为真。
此时，我们知道了∨两边是一真一假，因此整个表达式为真。
也可以用真值表来判断，在命题公式不太复杂的情况下，用真值表来判断是一种非常清楚的方法，但是在很多原子命题或者命题公式的组成十分复杂时，真
翻译就是在自然语言和命题公式之间进行转换。
上面提到的命题公式：
￢p∧q∨p∧￢q
和自然语言：
我不是学生且他是学生或者我是学生他不是学生（或者表述为：我和他之间有且仅有一个学生）
就是一种翻译。
这个比较容易理解。
举几个例子说明下吧：
例子一：
p:天下雨
q:我有伞
r:我出去游玩
￢p∨p∧q→r
翻译为：天不下雨或者天下雨我有伞，那么我出去游玩。
例子二：
如果老师上课无趣，或者该课的习题很难，那么学生不喜欢这门课
先将原子命题符号化
p: 师上课有趣
q: 该课的习题难
r: 学生喜欢这门课
翻译为￢p∨q→￢r。