第8.4课 (了解)连续化控制方法—模拟控制器离散化方法
第四章数字控制器的连续化设计方法
4.2 模拟调节器的离散化方法
• 一、差分变换法 • 1、前向差分法 • 台劳级数：
• 因此：
前向差分法还可通过数值微分计算得到：
2、后向差分法
• 后向差分法同样可通过数值微分计算得到
• 等式左边进行拉氏变换为SU(S) • 右边进行Z变换为
例4-1 已知模拟调节器的传递函数, 用一阶差分法把其离散化。
（3）变速积分的PID算法
• 积分分离的PID控制中，当偏差比较大的时 候，积分项不起作用，积分项前面的系数 α=0；当偏差在阈值限定的误差带，积分项 累加偏差，积分项前面的系数α=1，对积分 项采用开关控制 。α是突变的 • 变速积分的实质是改进的积分分离法。
• 其基本思想是根据偏差的大小改变积分项 的累加速度。偏差越大，累加速度越慢， 积分作用越弱；偏差越小，累加速度越快， 积分作用越强。在变速积分中，α是缓慢变 化的，它对积分项采用线性控制，比积分 分离的PID控制算法更优越。
4.4 几种改进的PID控制算法
• 4.4.1 对积分项的改进 • 1、减小积分整量化误差的方法 • 增量式PID控制算式中的积分项为：
• 当采样周期比较小，积分时间常数比较大，在 运算的时候，积分项的输出就可能被计算机取 整，当作零而舍掉，积分作用消失，产生误差
这种由于计算机取整而产生的积分项 输出误差称为积分整量化误差，计算 机字长的限制是产生整量化误差的原 因。
二、零阶保持器法 零阶保持器法的基本思想是：离散近似后的数字控制 器的阶跃响应序列，必须与模拟调节器的阶跃响应的 采样值相等，因此又称为阶跃响应不变法。 这种方法就是在模拟调节器前面，串联一个零阶保持 器，最后进行Z变换，得到数字控制器的脉冲传递函 数。
例4-2 已知模拟调节器的传递函数 用零阶保持器法求其脉冲传递函数 D(z)及所对应的差分方程。
离散化方法研究实验含仿真图
实验三离散化方法研究一、实验目的1．学习并掌握数字控制器的设计方法；2．熟悉将模拟控制器D(S)离散为数字控制器的原理与方法；3．通过数模混合实验，对D(S)的多种离散化方法作比较研究，并对D(S)离散化前后闭环系统的性能进行比较，以加深对计算机控制系统的理解。
二、实验设备1．THBDC-1型控制理论·计算机控制技术实验平台2．THBXD数据采集卡一块(含37芯通信线、16芯排线和USB电缆线各1根)3．PC机1台(含软件“THBDC-1”)三、实验内容1．按连续系统的要求，照图3-1的方案设计一个与被控对象串联的模拟控制器D(S)，并用示波器观测系统的动态特性。
2．利用实验平台，设计一个数－模混合仿真的计算机控制系统，并利用D(S)离散化后所编写的程序对系统进行控制。
3．研究采样周期T S变化时，不同离散化的方法对闭环控制系统性能的影响。
4．对上述连续系统和计算机控制系统的动态性能作比较研究。
四、实验原理由于计算机的发展，计算机及其相应的信号变换装置（A/D和D/A）取代了常规的模拟控制。
在对原有的连续控制系统进行改造时，最方便的办法是将原来的模拟控制器离散化，其实质是将数字控制部分（A/D、计算机和D/A）看成一个整体，它的输入与输出都是模拟量，因而可等效于一个连续的传递函数D(S)。
这样，计算机控制系统可近似地视为以D(S)为控制器的连续控制系统。
下面以一个具体的二阶系统来说明D(S)控制器的离散化方法。
1．二阶系统的原理框图如图3-1所示。
图3-1 二阶对象的方框图图3-2 二阶对象的模拟电路图2．系统性能指标要求系统的速度误差系数 1/s ，超调量，系统的调整时间s据K v要求可得：令，则校正后的开环传递函数为由上式得，，取，则所以校正后系统的模拟电路图如下图所示。
图3-3 校正后二阶系统的模拟电路图，，为使校正后的，要求对象K由5增至10。
，，（实际可取200K电阻），3．的离散化算法图3-4 数—模混合控制的方框图图3-3中的离散化可通过数据采集卡的采样开关来实现。
第五章 预备知识 模拟控制器的离散化方法
2 aT tg T 2 k= a
D(z) =
1 + z −1 1 + ctg aT aT −1 + (1 − ctg )z 2 2
预畸变双线性变换的特点： (1)将S平面左半面映射到Z平面单位圆内。 (2)稳定的D(s)变换成稳定的D(z)。 (3)没有混叠现象。 (4)D(z)不能保持D(s)的脉冲响应和频率响应。 (5)所得的离散频率响应不产生畸变。
模拟化设计方法的一般步骤如下： 1．根据性能指标要求和给定对象的G0(s)，用连续控制理 论的设计方法，设计D(s)。 2．确定离散系统的采样周期。 3．在设计好的连续系统中加入零阶保持器。检查由于零 阶保持器的滞后作用，对原设计好的连续系统性能是否 有影响，以决定是否修改D(s)。 为了简便起见，零阶保持器的传递函数可近似为：
当T
2
T1 2 = 2
时，阻尼系数ξ=0.707，其性能最好，则得
W (s) = 1 1 2 2 T1 s + T1 s + 1 2
其开环传递函数为
Gk ( s) = D( s)G0 ( s) =
1 T1 T1 s ( s + 1) 2
因此，二阶工程设计法的设计目标是： 在给定不同的控制对象时，选择适当的模拟控制器D(s)， 使系统具有上式的开环传递函数。 例5.1 对于图5.2所示的二阶系统，设 按二阶工程设计法求模拟控制器D(s)。 解：设
n
Ai 1− e
例5.5 已知模拟控制器
i =1
− a iT
z
−1
= Ζ [D ( s ) ]
D (s) =
求数字控制器D(z)。 解： D ( z ) = Ζ [D ( s ) ] = 控制算法为：
控制系统仿真及MATLAB语言-连续系统的离散化方法46页PPT
6
、
露
凝
无
游
氛
，
天
高
风
景
澈
。
7、翩翩新 来燕，双双入我庐 ，先巢故尚在，相 将还旧居。
8
、
吁ห้องสมุดไป่ตู้
嗟
身
后
名
，
于
我
若
浮
烟
。
9、 陶渊 明（ 约 365年 —427年 ），字 元亮， （又 一说名 潜，字 渊明 ）号五 柳先生 ，私 谥“靖 节”， 东晋 末期南 朝宋初 期诗 人、文 学家、 辞赋 家、散
文 家 。汉 族 ，东 晋 浔阳 柴桑 人 （今 江西 九江 ） 。曾 做过 几 年小 官， 后辞 官 回家 ，从 此 隐居 ，田 园生 活 是陶 渊明 诗 的主 要题 材， 相 关作 品有 《饮 酒 》 、 《 归 园 田 居 》 、 《 桃花 源 记 》 、 《 五 柳先 生 传 》 、 《 归 去来 兮 辞 》 等 。
1
0
、
倚
南
窗
以
寄
傲
，
审
容
膝
之
易
安
。
6、最大的骄傲于最大的自卑都表示心灵的最软弱无力。——斯宾诺莎 7、自知之明是最难得的知识。——西班牙 8、勇气通往天堂，怯懦通往地狱。——塞内加 9、有时候读书是一种巧妙地避开思考的方法。——赫尔普斯 10、阅读一切好书如同和过去最杰出的人谈话。——笛卡儿
Thank you
连续系统离散化方法
5.2.1
连续系统离散化方法
1、反向差分变换法
对于给定的
D( s) =
U ( s) 1 = E (s) s
（5.1）
du (t ) = e(t ) ，用反向差分代替微分，得 其微分方程为 dt du (t ) u (k ) − u (k − 1) ≈ = e( k ) dt T
对（5.2）式两边取 Z 变换得： (1 − z )U ( z ) = TE ( z ) ，即
上式可以写成
1⎞ ⎛ ⎛1⎞ 2 ⎜σ − ⎟ + ω < ⎜ ⎟ 2⎠ ⎝ ⎝ 2⎠
2
2
由上式可以看出， s 平面的稳定域映射到 z 平面上以 σ = 1 / 2 ， ω = 0 为圆心， 1 / 2 为半 径的圆内，如图 5-3 所示。
jω
Im
ω =0
σ
Re
z =1
图 5-3 反向差分变换 s 平面与 z 平面的对应关系 反向差分变换方法的主要特点如下： ①变换计算简单； ②由图 5-3 看出， s 平面的左半平面映射到 z 平面的单位圆内部一个小圆内，因而，如果
⎛ z −1⎞ Re ⎜ ⎟<0 ⎝ T ⎠
令 z = σ + jω ，则上式可以写成
⎛ σ + jω − 1 ⎞ Re⎜ ⎟<0 T ⎝ ⎠
因为 T > 0 ，则有 σ − 1 < 0 即 σ < 1 ，如图 5-4 所示。
连续系统模型的离散化处理方法课件
离散系统模型是指系统的状态变化在时间上是离散的，即只在特定的时间点上 发生变化。其输入和输出信号也是离散的。这种模型通常用差分方程进行描述 。
离散化的定义及其必要性
离散化定义
离散化是将连续时间信号或系统转换为离散时间信号或系统 的过程。它涉及对连续信号的采样以及将微分方程转换为差 分方程。
数值积分法
数值积分法使用数值方法求解微分方程的解，并将连续时间微分方程转换为离散时间差分 方程。常用的数值积分法包括欧拉法、龙格-库塔法等。
z变换法
z变换法是一种在复平面上进行的离散化方法。它通过将连续时间信号的拉普拉斯变换转 换为z变换，将连续系统的传递函数转换为离散系统的传递函数。
02
常用的连续系统模型离散化方 法
03
提高精度的方法
为了提高离散系统的精度，可以采用更小的离散化步长， 使用更高阶的数值积分方法，或者采用自适应离散化技术 等。此外，还可以通过增加离散点的数量和优化插值方法 来实现更高精度的离散化。
效率问题
效率定义
离散化对效率的影响
提高效率的方法
效率问题涉及离散化过程的计算复杂 度和计算资源消耗。
改进型龙格-库塔法
针对经典四阶龙格-库塔法的不足进行 改进，如变步长龙格-库塔法等，以提 高数值解的精度和稳定性。
牛顿法
基本牛顿法
利用泰勒级数展开，将非线性方程线性化，通过迭代求解线性方程组来逼近非线 性方程的解。该方法收敛速度快，但初始值选取对结果影响较大。
牛顿-拉夫逊法
结合牛顿法和拉夫逊法的特点，通过迭代过程中修改雅可比矩阵，提高求解速度 和精度。该方法适用于大规模非线性系统的求解。
THANKS。
保持稳定性的方法
常用的保持稳定性的方法包括选择合适的离散化步长、使用稳定性更好 的数值积分方法等。此外，还可以通过引入阻尼项或者采用隐式离散化 方案来提高离散系统的稳定性。
最新第5章数字控制系统的连续——离散化设计PPT课件
重新选择采样周期。
当T0.5s时 ， D(z)8.0z6(4z0.60.096551)， 2
Gd(z)(0z.011)2((zz300.9.9581))3， 2H(z)
0.099(1z40.98)3， z2 1.507z40.704
p1,2 0.839426.08，
相应于 0.36，n 0.97的 5 连续系统，
2 增益 Kz的设计准 : 则是 D(s)与D(z)在 同 一 类 型 响 信 应 号 的 输 终 入 值 下
限 值 ） ， 在 值 采 相 样 等 点 。 上 的
li s( m s D ) R ( s ) li ( z m 1 ) D ( z ) R ( z )
s 0
z 1
注意，匹配 Z变换在如下情况下不宜采用：若 D(s) 具
有共轭复数零极点 s=±jω0 ，且其位于S主频带之外，则
设计之D(z) 将产生混叠。
零极点匹配说明：
1. D (s)分子分m 母 n同 ，阶 则， 零极 z变 点 换 一 2. D(s)分子分母不同 m阶n，
(1)将nm个 零 点 匹z配 0处 到， 相 当 于D(认 s)在为实 轴
处 有 nm个 零 点 。
810.25s
2 .5
10.1s
s2
-40 -20
4 5.5
10
ω
-40
（ 1）选择采 T样周期
从系统 bo 开 图 de环 求得开环剪 c 切 5.5r频 a/ds， 率 按经验 s 取 6~1 0c，考虑实T 时 0性 .01， s。 5 取
（ 2 ） D ( z ) 设 D ( s ) 8 计 1 0 .2 s 5 2s 0 4 1 0 .1 s s 10
数字控制系统的离散化方法
数字控制系统的离散化方法介绍本文将讨论数字控制系统的离散化方法。
数字控制系统是一种使用数字信号来控制机械设备的系统，离散化方法是将连续信号转化为离散信号的过程。
连续信号与离散信号在数字控制系统中，连续信号是指在时间和幅度上都是连续变化的信号。
而离散信号则是在时间和幅度上是间断的，仅在某些特定时间点有取值。
离散化方法将连续信号转化为离散信号，以便在数字控制系统中进行处理和控制。
离散化方法采样采样是离散化方法的第一步。
在采样过程中，连续信号按照一定的时间间隔进行取样，得到一系列离散的值。
通常，采样频率越高，离散信号的表示越精确，但同时也增加了系统处理的复杂性。
量化量化是离散化方法的第二步。
在量化过程中，采样所得到的离散值被映射到一定的离散值集合中。
这个离散值集合通常由有限数量的离散级别组成，每个级别代表了一定的数值范围。
量化的目的是减少离散信号的表示空间，以及减少系统处理的计算量。
编码编码是离散化方法的最后一步。
在编码过程中，通过对离散值进行编码，将其转化为适合数字控制系统处理的二进制信号。
常见的编码方法包括二进制码、格雷码等。
编码的目的是方便数字控制系统对离散信号进行处理、传输和存储。
结论离散化方法是数字控制系统中将连续信号转化为离散信号的重要过程。
它包括采样、量化和编码三个步骤。
通过离散化，可以使得数字控制系统更好地处理和控制机械设备，提高系统的性能和可靠性。
以上是数字控制系统的离散化方法的简要介绍和说明。
*注意：本文只是对离散化方法进行了简要介绍，并未涉及具体实施细节和技巧。
具体实施时，应按照相关规范和要求进行。
计算机控制系统经典设计方法——模拟控制器的离散化方法15页PPT
56、极端的法规，就是极端的不公。 ——西 塞罗 57、法律一旦成为人们的需要，人们 就不再 配享受 自由了 。—— 毕达哥 拉斯 58、法律规定的惩罚不是为了私人的 利益， 而是为 了公共 的利益 ；一部 分靠有 害的强 制，一 部分靠 榜样的 效力。 ——格 老秀斯 59、假如没有法律他们会更快乐的话 ，那么 法律作 为一件 无用之 物自己 就会消 灭。— —洛克
60、人民的幸福是至高无个的法自己知道紧在哪里。——西班牙
37、我们唯一不会改正的缺点是软弱。——拉罗什福科
xiexie! 38、我这个人走得很慢，但是我从不后退。——亚伯拉罕·林肯
39、勿问成功的秘诀为何，且尽全力做你应该做的事吧。——美华纳
40、学而不思则罔，思而不学则殆。——孔子
4.2 连续控制器的离散化方法
教学模块4数字控制器的模拟化设计方法教学单元2连续控制器的离散化方法教学单元2连续控制器的离散化方法连续控制器的离散化——求连续控制器传递函数D(s)的等效离散传递函数D(z)。
离散化的基本原则——保证D(z)与D(s)具有相同或相近的动态性能和频率特性。
◆z变换法◆差分变换法◆双线性变换法◆零极点匹配法2.1 z 变换法[])()(s D Z z D =控制器的输入[])()(s E Z z E =数字控制器算法)]()([)(1z D z E Z k u -= z 变换法的特点（1）形式简单、直观，这种变换方法符合z 变换的定义，通过z 变换直接得数字控制器。
——直接用z 变换，由模拟控制器求数字控制器sTz e=符合z 变换定义z 变换的频率映射关系（2）若D (s )稳定，则D(z)也稳定，而且变换前后频率不会发生畸变。
z 变换法的特点（3）产生频率混叠——将s 平面上角频率以采样角频率为周期的所有信号，都重叠地映射到z 平面上同一频率点的信号。
z 变换法的特点Tk j TTk j k T j Tj s eeee z )()2()2(1ωωπωπωωω+++====ωωs 平面角频率与z 平面角频率之间的关系为：sTz e=按z 变换定义（3）频率混叠现象z变换法的特点ωj s =虚轴单位圆ωσj s +-=左半平面单位圆内ωσj s +=右半平面单位圆外（3）频率混叠现象◆频率混叠将使数字控制器的频率响应与模拟控制器的频率响应的近似性变差，很少使用◆为防止混叠现象发生，需要提高采样频率2.2 差分变换法——把微分方程中的导数用有限差分来近似等效，得到一个与给定微分方程逼近的差分方程⎩⎨⎧前向差分后向差分（1）后向差分变换法假设有模拟信号e (t )，后向差分变换：()()()Tk e k e dt t de 1--=Tzs 11--=Tsz -=11或)()(z E s E =令后向差分变换拉氏变换)(1)(1z E Tz s sE --=z 变换后向差分变换法亦称为后向矩形积分法——以后向矩形面积近视代替积分面积——后向矩形积分法te (t )kT……TkT e dt t e kTTk ⋅=⎰-)()()1(后向矩形积分法设控制器传递函数为：()1()()U s D s E s s==()()du t e t dt =——微分方程(1)(1)(1)()()()kT kT kT k T k T k Tdu t dt du t e t dt dt ---==⎰⎰⎰(1)()((1))()kT k Tu kT u k T e t dt---=⎰TkT e dt t e kTTk ⋅=⎰-)()()1(取后向矩形积分：后向矩形积分法()((1))()u kT u k T e kT T--=⋅1()()()U z z U z TE z --=z 变换=Tz s 11--=1()1()()(1)/U z D z E z z T -==-数字控制器()1()()U s D s E s s==模拟控制器后向差分变换法也称为后向矩形积分变换法后向差分变换对系统性能的影响ωj s =当T e T J T j T j z ωωωωarctan 2212111212111+=-++=-=对S 左半平面，设ωσj s +-=Tj T T j T T j T z ωσωσωσ-++-+=-+=112121115.05.0=-z 5.05.0<-z ——半径小于0.5圆——半径为0.5的圆后向变换对系统性能的影响：◆若D (s )稳定，则D (z )一定稳定；◆数字控制器D (z )的频率产生畸变；◆是否存在频混叠？——不存在频率混叠。
控制系统中连续域—离散化设计 非常全PPT课件
5.1 连续域—离散化设计 5.2 数字PID控制器设计 5.3 控制系统z平面设计性能指标要求 5.4 z平面根轨迹设计 5.5 w’变换及频率域设计
16
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5.2 数字PID控制器设计
• 根据偏差的比例(P)、积分(I)、微分(D)进行控制(简称PID控制)，是控制系统 中应用最为广泛的一种控制规律。
19
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图5-21 PID计算机控制系统
20
第20页/共65页
5.2.2 数字PID控制算法改进
1. 抗积分饱和算法 (1)积分饱和的原因及影响
• 因长时间出现偏差或偏差较大，计算出的控制量有 很大，超出D/A转换器所能表示的数值范围。这时 的执行机构已到极限位置，仍不能消除偏差，且由 于积分作用，尽管计算PID差分方程式所得的运算 结果继续增大或减小，但执行机构已无相应的动作， 这就称为积分饱和。
(2)主要特性
A
2 T
tan
DT
2
③频率畸变：双线性变换的一对一
映射，保证了离散频率特性不产生
当采样频率较高
DT 足够小
频率混叠现象，但产生了频率畸变。
A
2 T
DT
2
D
图5-12双线性变换的频率关系
图5-11双线性变换的频率关系
10
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3. 双线性变换法
(2)主要特性
④变换前后，稳态增益不变。
②若D(s)稳定，则D(z)一定稳定
D(s) s0 D(z) z1
③变换前后，稳态增益不变。
④离散后控制器的时间响应与频率 响应，与连续控制器相比有相当
(3) 大应用的畸变。 由于这种变换的映射关
连续系统的离散化方法及近似解课件
离散化后的控制系统可以用差分方程来描述，差分方程是连续时间微分方程在离散时间域 上的对应形式。通过求解差分方程，可以得到离散控制系统的输出响应。
Z变换
Z变换是离散时间信号和系统分析的重要工具，它可以将差分方程转换为代数方程，从而 简化离散系统的分析和设计。
电路模拟中的离散化方法及近似解应用
离散系统
离散系统是指系统状态在时间上 是离散的，即系统的状态变量只 在某些特定的时刻有定义，且在 这些时刻间不发生变化。
连续系统与离散系统的区别与联系
区别
连续系统和离散系统最主要的区别在于时间的连续性。连续系统的时间变量是连 续的，而离散系统的时间变量是离散的。
联系
两者之间存在密切的联系。实际上，许多连续系统可以通过离散化方法转化为离 散系统进行处理，这是因为数字计算机在处理问题时，只能处理离散的时间信号 。反之，离散系统的某些理论和方法也可以用来处理连续系统。
连续系统的离散化方法 及近似解课件
目 录
• 连续系统与离散系统概述 • 连续系统的离散化方法 • 离散系统的近似解法 • 连续系统离散化及近似解的应用案例 • 实验与仿真
01
连续系统与离散系统概述
连续系统与离散系统的定义
连续系统
连续系统是指系统状态在时间上 是连续的，即系统的状态变量在 任何时刻都有定义且随时间连续 变化。
感谢观看
前向差分法：前向差分法使用当前时刻及其前一时刻的输入信号来近似 计算下一时刻的输出信号。这种方法简单直观，但离散化误差相对较大 。
后向差分法：后向差分法使用当前时刻及其下一时刻的输入信号来近似 计算当前时刻的输出信号。相比前向差分法，后向差分法具有较小的离
散化误差。
以上内容即为连续系统的离散化方法及近似解课件的部分内容。在实际 应用中，可以根据具体需求和场景，选择合适的离散化方法和参数，以 实现连续系统的高效、准确离散化处理。
连续控制器离散化方法
2、微分近似法 （1）前向差分法
dx(t)
x((k 1)T) x(kT) z 1s:源自x(kT)dt tkT
T
T
z 1 sT
s z 1 T
Cd
(z)
C(s)
C(
z 1) T
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（2）后向差分法
s : dx(t) x(kT ) x((k 1)T ) z 1 x(kT )
映射为Cd(z)的d-1重零点z=-1，另一个映射成
z
（4）确定Cd(z)的增益，使满足Cd(1)=C(0)，即静态增益相等
C(s)k(sb1)(sb2) (sbm) (sa1)(sa2) (san)
(z1)d1(zeb1T)(zeb2T) (zebmT)
Cd(z)kd
(zea1T)(zea2T) (zeanT)
model SYSC to a discrete-time model SYSD with sample time Ts. The string METHOD selects the discretization method among the
following:
'zoh' Zero-order hold on the inputs 'foh' Linear interpolation of inputs (triangle appx.)
差分方程为： D(z)161100zzz11128.110.76zz00..6151
z1
u ( k ) 0 . 1 u ( k 1 1 ) 1 . 7 e ( 0 k ) 6 7 . 0 e ( k 2 1 )
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第4章控制算法模拟调节器离散化方法
σ=1 Rez
S平面
第4章控制算法模拟调节器离散化
Z平面
22
方法
前向差分法有可能将S平面的稳定极点映射到Z平面的单 位圆外 ——原来设计的在模拟条件下稳定的系统，利用前向差分转变 为数字控制器后，系统可能变得不稳定。 故一般不用前向差分法。
第4章控制算法模拟调节器离散化
23
方法
（2） 后向差分法
2
2
离散后的控制器脉冲传递函数
D(z)U(z) E(z)
2
1 z1a
T z1
2z1 21z1
令
sTz1T1z1
(4.3)
第4章控制算法模拟调节器离散化
30
方法
则D(z)与模拟调节器GC(s)具有相同的形式。 ——可认为从s平面到z平面的映射函数为
D(z)GC(s)s2z1 Tz1
(4.4)
考察该映射对稳定性的影响。
u(kT)，再经数/模转换及保持器转换为连续控制量u(t)，作 用到连续的被控对象上，以控制被控对象的输出y(t)。
第4章控制算法模拟调节器离散化
2
方法
设计计算机控制系统，主要是设计数字控制器，使图所示的闭 环控制系统既要满足系统的期望指标，又要满足实时控制的要 求。
注：现在的计算机控制系统：一般给定信号是数字信号
第4章控制算法模拟调节器离散化
7
方法
主要方法： 依据性能指标要求，可以基本确定闭环传递函数。 有了开环传递函数G(s) 有了闭环传递函数GB(s) 或叫做 Φ(s)
(s) D(s)G(s) 1D(s)G(s)
设计过程就是寻找D(s)，使得在该调节器（控制器）的作用下， 闭环系统的性能满足我们的要求。
连续传递函数离散化的方法与原理
目录第一章 模拟化设计基础数字控制系统的设计有两条道路，一是模拟化设计，一是直接数字设计。
如果已经有成熟的模拟控制器，可以节省很多时间和部分试验费用，只要将模拟控制器离散化即可投入应用。
如果模拟控制器还不存在，可以利用已有的模拟系统的设计经验，先设计出模拟控制器，再进行离散化。
将模拟控制器离散化，如果用手工进行，计算量比较大。
借助数学软件MATLAB 控制工具箱，可以轻松地完成所需要的全部计算步骤。
如果需要的话，还可以使用MATLAB 的SIMULINK 工具箱，进行模拟仿真。
第一节 步骤步骤1 模拟控制器的处理在数字控制系统中，总是有传输特性为零阶保持器的数模转换器（DAC ），因此，如果模拟控制器尚未设计，则应以下图的方式设计模拟控制器，即在对象前面加上一个零阶保持器，形成一个新对象Ts 1e G s s ()--，然后针对这个新对象求模拟控制器D(s)。
事实上，模拟控制器一般是已经设计好的，无法或不方便更改了，离散化后的系统只好作为近似设计了。
然而，按照上述思路，可否将已有的控制器除以一个零阶保持器再离散化呢？还没有这方面的实际经验。
D(s)xue-模拟控制器1-e -TssG(s)对象以下假设选定的G(s)，D(s)如下图，而且不对G(s)作添加保持器的预处理。
xue-D(s)=8s+2s+15.G(s)=20s(s+2)步骤2 离散化模拟控制器离散化模拟控制器之前，先要确定离散化算法和采样时间。
离散化算法有好几种，第二章中有详细的论述，现假定采用双线性变换法。
确定采样时间，需要考虑被控对象的特性，计算机的性能，以及干扰信号的影响等，初步可按采样时间T<，Tp 为被控对象时间常数，或T=～τ，为被控对象的纯滞后，初步确定后再综合平衡其它因素，当然这需要一定的经验，现在假定取秒。
假设模拟控制器为s 2D s 8s 15+=⋅+()，在MATLAB 中，用c2d 函数进行离散化，过程为：转换结果为：xue-D(z)=6.1091(z-0.9048)z-0.4545D(s)=8s+2s+15.G(s)=20s(s+2)步骤3 检验数字控制器的性能数字控制器的性能项目比较多，我们仅以直流增益，频率特性，零极点分布说明。
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u (k ) ?
保持Z变换法特点
D(s)稳定，D(z)稳定； D(z)不能保持D(s)的脉冲响应和频率响应。
8.2.6模拟控制器的离散化方法
2. 阶跃相应不变法（加零阶保持器的Z变换法） • 特点
对于阶跃响应不变法，满足以下特点 D(z)能保持G(s)的阶跃响应采样值，但不能保证脉冲响应 采样值不变。 若G(s)稳定，则D(z)也稳定。 由于引入零阶保持器，频率混叠现象比脉冲响应不变法 减轻，但D(z)仍不能保持G(s)的频率特性。
8.2.6模拟控制器的离散化方法
3. 差分变换法
基本思想：模拟控制器若用微分方程的形式表示，其导数可用差分近似。 常用的一阶差分近似方法有：前（正）向差分和后（反）向差分。
后向差分
de(t ) e(kT ) e(kT T ) dt T
前向差分
de(t ) e(kT＋T ) e(kT ) dt T
双线性变换的频率关系
8.2.6模拟控制器的离散化方法
5. 零极点匹配法
基本思想：将G(s)的极点（s=-pi）和有限零点（s=-zi）都按 z=eTs的映射关系，一一对应地变换为D(z)的极点z=e-Tpi和零点 z=e-Tzi,其中T为采样周期。
K s ( s z1 )( s z 2 ) ( s z m ) D ( s )＝ ( s p1 )( s p2 ) ( s pn )
3. 差分变换法 以积分控制器为例
令控制器：
D (s) U (s) 1 E (s) s
G (s) U (s) 1 du (t ) e(t ) E (s) s dt u (kT＋T ) u (kT ) e(kT ) T
u ( kT T ) u ( kT ) Te ( kT )
u (t ) u (kT ),e(t ) e(kT ),dt T
e ( jT )T , de (t ) e ( kT T ) e ( kT ),
j0
de ( t ) e ( kT T ) e ( kT ) dt T
8.2.6模拟控制器的离散化方法
8.2.6模拟控制器的离散化方法
3. 差分变换法 以PID控制为例
连续PID
1 u t K P e t Ti
t
0
e t dt Td
de t dt
离散PID
T u kT K P e kT Ti
e jT
D( z ) G ( s)
s
2 z 1 T z 1
G ( s)
U (s) 1 E (s) s
梯形积分法
T u (kT ) u (kT T ) e(kT ) e( kT T ) 2
采用双线性变换方法就是利 用采样值与周期的梯形乘积 来近似积分的面积
8.2.6模拟控制器的离散化方法
单位脉冲响应
d (kT )=g (kT ) Ai e ai kT
i 1 n
离散传递函数
D (z ) d (kT )z g (kT )z -k
-k k 0 k 0
Ai e ai kT z -k
k 0 i 1 n
n
Ai z ai T i 1 z e
பைடு நூலகம்
2 2 1 Ts 1 Ts 2 2
双线性变换关系
2 z 1 s T z 1
和
z
连续与离散之间的相互转化关系
D( z ) G ( s)
s
2 z 1 T z 1
和 D( s) G ( z )
z
1Ts 1Ts
2 2
8.2.6模拟控制器的离散化方法
4. 双线性变换法(Tustin变换法) 以积分控制器为例
级数展开 取一阶近似作为s与 z之间的关系
z e sT 1 Ts z 1 Ts
1 2 2 T s 2! s z 1 T
或
利用前向差分变换，可实现从连续传递函数到离散脉冲传递函 数的近似转换。即等价于连续时间与采样值之间的近似
令： 则： e ( t ) dt
0 t k
8.2.6模拟控制器的离散化方法
2. 阶跃相应不变法（加零阶保持器的Z变换法）
例8.6 已知模拟控制器D(s)=a/(s+a)，用阶跃响应不变法求 数字控制器D(z)。
【解】
D( s) D( z ) (1 z 1 ) Z s aT －1 a z 1 e （ ） (1 z 1 ) Z aT 1 s ( s a ) 1 e z
4. 双线性变换法(Tustin变换法) 特点
连续稳定，离散 一定稳定，若连续不稳定，离散 一定不 稳定 。 双线性变换是一对一映射，保证了离散频率特性不产生 频率混叠现象。 但产生了频率畸变，由于高频特性失真严重，主要用于 低通环节的离散化。 比较适合工程上应用的一种方法。
双线性变换的映射关系
第八章 计算机控制系统设计方法
模拟控制器离散化 主讲人：宗群 教授
计算机控制系统设计方法
本章结构 • 8.1 概述 • 8.2 计算机控制系统的连续化设计方法
• • • • • • 8.2.1 计算机控制系统的连续化设计思想 8.2.2 数字PID控制器的具体设计 8.2.3 计算机控制系统的连续化设计步骤总结 8.2.4 数字PID控制器的改进 8.2.5 数字PID控制器的参数整定 8.2.6 模拟控制器的离散化方法
Z变换
8.2.6模拟控制器的离散化方法
3. 差分变换法 以积分控制器为例
U (s) 1 令控制器： D ( s ) E (s) s
D(s)
u ( kT ) u [( k 1)T ] Te ( kT )
U (s) 1 du (t ) e (t ) E (s) s dt u ( kT ) u[( k 1)T ] e ( kT ) T
8.2.6模拟控制器的离散化方法
3. 差分变换法 • 后向差分变换
级数展开 取一阶近似作为s与 z之间的关系
z 1 e sT 1 Ts
1 2 2 T s 2!
z
1
1 Ts
或
1 z 1 s T
利用后向差分变换，可实现从连续传递函数到离散脉冲传递函 数的近似转换。即等价于连续时间与采样值之间的近似
令：
k
u (t ) u (kT ),e(t ) e(kT ),dt T
则： 0
t
e ( t ) dt
e ( jT )T , de (t ) e ( kT ) e ( kT T ),
j0
de ( t ) e ( kT ) e ( kT T ) dt T
【解】
g (t ) ae at
az akT k D( z ) Z d kT Z ae z z e aT k 0
思考
u (kT ) ?
8.2.6模拟控制器的离散化方法
1.脉冲响应不变法（冲激不变法或Z变换法） • 特点
例8.8 已知模拟控制器D(s)=a/(s+a)，用前向差分求数字控制器D(z)。 【解】
aT D( z ) z ( aT 1)
8.2.6模拟控制器的离散化方法
4. 双线性变换法(Tustin变换法)
基本思想：利用级数近似展开
级数展开
ze
sT
e e
sT
2 2
sT
1 Ts 1 Ts
j 0
k
Td e kT e kT T T
S变换
E s U s KP E s Td sE s Ti s
1 Td E z z E z TE z U z KP E z 1 T T z 1 i
8.2.6模拟控制器的离散化方法
3. 差分变换法 特点
总之： 连续稳定，离散不一定稳定。 离散不能保持连续的脉冲响应和频率响应。
8.2.6模拟控制器的离散化方法
3. 差分变换法
例8.7 已知模拟控制器D(s)=a/(s+a)，用后向差分求数字控制器D(z)。 【解】
aT D( z ) 1 aT z 1
采用前向差分方法进行积分 就是利用采样值与周期的矩 形乘积来近似积分的面积
前向差分矩形积分法
8.2.6模拟控制器的离散化方法
3. 差分变换法 特点
将
s j
代入 z e sT 1 sT 得到S平面与Z平面映射关系：
(1)S左半平面部分映射到Z平面单位圆内，部分映射到单位圆外。 (2)S平面虚轴映射到Z平面上，除z=1点外，其余均在单位圆外。
• 连续系统
连续传递函数
G (s)
i 1 n
Ai s ai
单位脉冲响应
g (t ) Ai e ai t
i 1
n
ai kT g ( kT ) A e i 连续系统采样值 i 1
n
连续系统
8.2.6模拟控制器的离散化方法
1.脉冲响应不变法（冲激不变法或Z变换法） • 离散系统
离散系统
Z变换法
D ( z ) d ( kT ) z g ( kT ) z -k G ( z )
-k k 0 k 0
D ( z ) Z [G ( s )]
8.2.6模拟控制器的离散化方法
1.脉冲响应不变法（冲激不变法或Z变换法）