2015中科大数学分析试题与解答
中国科学技术大学2015年线性代数与解析几何考研试题及解答
中国科学技术大学2015年线性代数与解析几何考研真题参考解答一. 1.假设在直线上的对称中心为 t +12,t +1,t +12 ,则这点与(1,0,1)的连线与直线的方向向量垂直,解得t =−13,最终可得答案为 −13,43,−13 .2.假设两个交点分别为(t,2t,−3t ),(2k +1,k −2,k +3),这两点与点(3,7,8)共线,于是(t −3,2t −7,−3t −8)//(2k −2,k −9,k −5),从此可解得t =−1517,k =−3729,从而可得交点坐标.3.二次型乘以二后对应的矩阵为 01110−31−30,特征多项式为(λ−3)(λ3+3λ−2),于是正惯性指数为2.4.容易算得第一个矩阵的特征多项式为λ2−2λ+4,它整除λ3+8,于是A 3=−8E,从而有A 9=−83E.后一空答案为(−10)n .5.设A =(a ij )3×3,去看看分量满足什么条件,最后就可得维数为3.如果先把题中矩阵搞成Jordan 标准型再算可交换矩阵有可能简化一点点计算.6.在原矩阵后面添加矩阵diag {I n ,I n ,I n },然后做行变换可得逆矩阵为:I n −A −C +AB I n −B I n.7.−8,4.二. 1.根据题设条件,我们可以通过只做初等列变换把矩阵A 变为(I m ,0),对应的矩阵语言是:存在n 阶可逆方阵P,使得AP =(I m ,0),于是取Q =P −1即可.2.A (1,x,x 2,x 3)=(1,x,x 2,x 3) 0000010000200003 ,于是A 的极小多项式为λ(λ−1)(λ−2)(λ−3).3.先算下向量组的秩,然后任取那么多个向量看看是否线性无关.4.可以先算出A 的特征多项式为(λ−1)(λ−3)(λ+1)2,然后算特征向量并正交单位化,把这些向量写在一起得所求.5.按先算特征值再算特征向量的方法把A 对角化:A 17−11 = 17−11 15001,于是p nq n=1817−1115n011−711p0q0,整理得p n=1815n+7p0+7−75n(1−p0),于是lim n→∞p n=78.算A n的时候利用特征多项式及带余除法应该更方便一点.。
中科大历年考研数学真题
直线 l1, l2 平行，且 π 与 l1 的距离是 91, 求 π 的方程。
3. 设 A : U → V 为数域 F 上的线性空间 U 到 V 上线性映射. 证明：
dim KerA + dim Im A = dim U
2 −1 1 4. 设 A = 2 2 −1 , 求方阵 P , 使得 P −1AP 为 A 的 Jordan 标准形。
··· ···
(α1, αn)
(α2, αn) ...
,
其中 (αi, αj) 是 V 的内积.
(αn, α1) (αn, α2) · · · (αn, αn)
求证:G 正定的充分必要条件是 α1, · · · , αn 线性无关。
5. 设 A 是无限维线性空间 V 的线性变换，B 是 A 在 ImA 上的限制变换. 求证：
.
a2x1 + x2 + x3 = 1
5.
使线性方程组
x1 + ax2 + x3 = a x1 + x2 + x3 =a2
有解的实数 a 的取值范围是
.
6.
已知实方阵 A 的伴随矩阵 A∗
2.
以曲线
y = x2 z=2
为准线，原点为顶点的锥面方程为
.
3. 以 xOy 平面上的权限 f (x, y) = 0 绕 x 轴旋转所得的旋转面的方程是
.如
果曲线方程是 x2 − y2 − 1 = 0, 由此得到的曲面类型是
.
4. 设 α1, α2α3α4 是线性空间 V 中 4 个线性无关的向量,
为 α1 = (1, 0, −1), α2 = (?, ?, ?), 求矩阵 A 以及使 A 对角化的矩阵 P 7. A 是复方阵，线性变换 T → AX + XA, 证明：如果 A 可对角化，那么 T 也可以对
中国科学技术大学考试试卷集(二)
三、证明Hausdorff-Young不等式：f 2 Lp; 1 Ä p Ä 2; p0为p的对偶指标，则kfOkp0 Ä kf kp.
四、考虑仿射群.R2C; / WD f.b; a/ W b 2 R; a > 0g赋予运算.b1; a1/ .b2; a2/ D .b1 C a1b2; a1a2/.
|
中科大2016 年复分析（H）期中试题
1、（24 分）计算下列积分。
（1）
∫ |dz|
|z|=2 z − 1
（2）
∫ dz
|z|=2 (z − 3)2(z4 − 1)
（3）
∫ +∞
ex 2
−∞ 1 + ex dx
2、（40 分）判断下列说法是否正确，说明理由。
（1）全纯函数一定有原函数；
（2）调和函数 log|z| 没有共轭调和函数；
2、（2 分）设 f (z) = z−1(1 − z)3(1 + z)−1，求 f (z) 在扩充的复平面上的所有支点，并求 f (z) 在 [0, 1] 上岸取正值的单值分支在点 z = i 的值。
3、（2 分）
叙述有界单连通区域的柯西定理，并对三角形区域给出详细证明。
4、（2 分）计算题
（1）计算留数
（4）设 f 为整函数且 Re(f ) < 0，则 f 为常数；
（5）设 f 为增长阶数有限的整函数，如果存在复数 a, b，使得对任意的 z ∈ C，都有 f (z) ̸= a，
f (z) ̸= b，则 f 为常数；
2、（20 分）计算下列积分。
（1）
∫ +∞ cosx −∞ a2 + x2 dx, where a > 0;
中科大数学分析历年期末考试卷
:
(3)
2
1
大学生数学竞赛及考研：122307834
7.
15
a, b ax, −π < x < 0; bx, 0 ≤ x < π.
f (x) =
(1) (2)
f (x) f (x) (a)
Fourier Fourier
∞ ∑ (−1)n , 2 n + 1 n=0
(b)
∞ ∑ n=0
0 0
π 2 π 2
n=1 n = 1.
3.
x = sin t. ∫ 1 √ ∫ 2 2 x 1 − x dx = 2
−1
1
x
π 2
2
sin2 t cos2 t dt
1 = 2 4. ∫
0 +∞ √
∫
0
0
1 sin 2t dt = 4
2
1 (1 − cos 4t) dt = . 8 ∫ +
e dt − x
n+1
n→+∞ n
sin x dx x
n→+∞ 0
e x dx
x n
n→∞
lim
1 1 1 + + ··· + n+1 n+2 n+n
)
n→∞
lim ∫
n! n ( 5 ) 2. ∫ 1− x2 dx (x + y )dx + xdy = 0.
∞ ∑ (√ n=1
√
1
∫
x ln x dx
3.
ex xn ≤ exn , x ∈ [0, 1],
n→∞ 0
∫1 e 0 ≤ 0 ex xn dx ≤ n+1 . ∫ 1 lim ex xn dx = 0.
2012中科大数学分析硕士研究生入学考试试题(回忆版)
������
1 ������ − 1 ln ( ) ⅆ������， (������ > 1) ������ 32
2012 中科大数学分析考研试题 ������ − ������ 2 ⅈ(������ ) = . / 2 展开成以2������为周期的 Fourier 级数； （2）利用上面的级数计算下面级数的和 ∑
������������ ������������ ∞ ������=1
∞
������ ������ ⅇ −������������ 在(0, ∞)上一致收
2
+
������������ ������������
+
������������ ������������
= ⅈ，且
2012 中科大数学分析考研试题 ∬
2012 中科大数学分析考研试题
中国科学技术大学
2012 年硕士学位研究生入学考试试题 数学分析（回忆版） 1、 （15 分）回答下列问题，如果结论是肯定的，请举例说明：如果 结论是否定的，请给出证明。 （1）是否存在两个发散的正数列，而它们的和是一个收敛数列？ （2）是否存在,������, ������-上的不恒为 0 的连续函数ⅈ(������ )，使它在,������, ������-中 的有理点处的取值为 0？ (3) 是否存在数列*������������ +，使
������2n−1 = ������ ������→∞ 2������ − 1 ������������������
������1 + ������2 + ⋯ + ������������ ������ + ������ = ������→∞ ������ 2 ������������������ 3、函数 ⅈ(������ ) = ∫ 在何处取得最小值？ 4、已知函数ⅈ(������ )可微，且ⅈ ′ (������ ) = 0(������ )，(������ → +∞)，证明： ⅈ(������ ) = 0(������ 2 )，(������ → +∞) (注：0代表有界量)。 5、 （1）将函数 1
中国科学技术大学数学科学学院2015(HUST版)
−
1
−
i) .
求 f 在 z0 = 1/2 处的 Taylor 级数的收敛半径.
1
3. 是否存在在开单位圆盘 U 内全纯的函数 f , 满足 | f (z)| = e|z|, ∀z ∈ U ?
面试问题
1. 什么是热传导方程? 写出它的解, 并在黑板上推算出来, 它的解有什么性质? 2. 柯西问题是什么? 3. 椭圆方程是什么? 4. 代数基本定理是什么? 在黑板上证明一下. 5. 有没有旁听量子力学的课? 6. 刘维尔定理是什么? 用刘维尔定理来证明代数基本定理. 另外一些同学的面试问题是求不定积分, 常微分方程等.
构的.
(
)
2. 设 V 为全体 2 阶对称复方阵构成的复线性空间, 设 A =
01 10
. 定义线性变换
A : V → V 使得 A(X) = AX + XA. 试求 A 的全部特征值以及相应的特征向量.
3. 考 虑 n 阶 对 称 方 阵 A, 其 元 素 由 整 数 组 成. 设 A 满 足 条 件 zAz′ > 0, 其 中 z = (z1, z2, · · · , zn) 为任意由 n 元非负整数组成的非零行向量, z′ 表示其转置. 试证明:
线性代数 (三选二)
1. 考虑实数域上的有限维线性空间 V, 以及 V 的两个线性子空间 U 和 W 满足 U ∩ W = 0.
任取 U 的补空间 U′, 即 V = U ⊕ U′. 定义投影映射 p : V → U′, p(v) = u′, 其中
v = u + u′ 使得 u ∈ U, u′ ∈ U′. 证明: 映射 p 是线性映射, 且线性空间 p(W) 与 W 是同
(1) 不等式 zAz′ ≥ 0 恒成立, 其中 z 为任意的由 n 元非负实数组成的行向量; (2) 不等式 zAz′ ≥ 0 恒成立, 其中 z 为任意的由 n 元 (非零) 正实数组成的行向量.
2015真题与解析
2015年全国硕士研究生入学统一考试数学(二)试题解析、选择题:18小题,每小题4分,共32分.下列每题给出的四个选项中题目要求的，请将所选项前的字母填在答题纸 指定位置上.(1)下列反常积分收敛的是()2・t 工函数f x 齐叫1 ^x 》)t 在(」：，：：)内()a 1门x cos —p — 01 f 0 二 lim ------ x---- 二 lim x 4cos j10xX T x(A) :1 」x dx (B)(C)三丄dx2xlnx(D)::x2护【答案】(D) 【解析】=_(x 1)e_ ，则 ^dx = _(x 1)e*e-bo2，只有一个选项符合(A) 连续 (B) 有可去间断点 (C) 有跳跃间断点 有无穷间断点【答案】(B)(D) x 1 2sin t x 2Sin t — lim -------- 【解析】f(x)=1叫(1 ■—)t 二 &0,xt二e x ， x = 0，故f (x)有可去间断点x = 0 . ⑶设函数f x =x ：cos*,x 0G 0/ 0)，若f ' x 在x = 0处连续则：()(A)—>0(C)# >2 -T- < 2【答案】(A)【解析】x ：0时,f x ]=0 f_ 0 =0x 0时,二 x 4cos 丄 x _ ysinx1f x 在 x = 0 处连续则：f _ 0 = f. 0 = lim x - cos 0 得:-1 0xJ 0x 1 1 、•]f 0 = lim + f x = lim + :x A cos x^'Asi n =0 T T I x Hx HJ得：：•-] -1 0，答案选择A ⑷设函数f (x)在—：：，•二内连续，其中二阶导数 f “(X)的图形如图所示，则曲线y = f (x)的拐点的个数为【解析】此题考查二元复合函数偏导的求解数f x, y 在D 上连续，则11 f x, y dxdy 二D(A) 0 【答(B) 1 (C) 2(C)(D)3【解析】根据图像观察存在两点, 为2个.⑸设函数f u,v 满足f x y=x 1 2 -y 2，则,:u u =1 v =1u =1 v =1 依次是 (A) 2,0 【答案】(D)(B) 0,舟(D)令 u = x y,vx从而 f(x y 」)二 x 2xo -y 变为 因而fcuu -1 v =1Pl\2uv + v 」二 u^.故 -丄•故选(D ).2.:u(6)设D 是第一象限由曲线2u(1-v) 2u 2-：v2 ?(1 v)2xy = 1，4xy = 1 与直线 y =x ， y = . 3x 围成的平面区域，函JI二阶导数变号•则拐点个数(B)JT J 為d 日 門2H f(rcos 日,rsin 日 ydr4；2sin2 (C) H 1-3dv sin i 2- f rcosv,rsin dr 4 2sin2-i (D) 匹 1启曲f(rcosO,rsin 日 pr 护sin 2 H【答案】 【解析】 （B ）根据图可得，在极坐标系下计算该二重积分的积分区域为所以 =舟(r,8) — <0JT1 J_<r < 亠］3 ' 2sin 2二、sin 2=f(x,y)dxdy = 3d} D 1si；G f (r cosv,rsin = )rdr .2sin 2 d‘11 1 '*1、 ⑺设矩阵A = 1 2 a ,b = d J4 a丿 <d 2>故选B. •若集合门 解的充分必要条件为 ( ) =「12，则线性方程组 Ax = b 有无穷多 (A) (B) (C) (D) 广11 1 1、r 1 1 11 、 【解析】（A,b ） = 12 a d T 0 1 a-1 d-1J 4 2 a dje 0 (a-1)(a-2) (d-1)(d —2)」 【答案】 (D) =T (A,b) ：：： 3，故 a =1 或 a = 2,同时 d =1或 d = 2 •故选(D ) 由 r(A) （8）设二次型f x 1,x 2, X 3在正交变换x = Py 下的标准形为2y 2y 2 y 3，其中P = （e 1,e 2,氏），若Q = （-氏，e 2）则f =（X 1,X 2,X 3）在正交变换x =Qy 下的标准形为（）（A ） 2yj -y ：住（B ） 2y f W2 2 2 2 2 2(C) 2y i -y 2 -y 3 (D) 2% g 七【答案】(A)【解析】由 x =Py ，故 f 二x T Ax 二 y T (P T AP)y =2y 2 y 2 - y 3(2 0 O' 且 P TAP = ：O 1 0 .(0 0 -b广1 00A由已知可得Q = P 00 1 = PC<0-10」<2 0 0A故 Q TAQ =C T(P TAP)C = 0-10 L0 0b所以 f = x T Ax = y T (Q T AQ) y = 2 y 2 - y ； y ；.选(A ) 二、填空题：9 14小题,每小题4分，共24分.请将答案写在答题纸(10)函数f(x) =x 2公在x=0处的n 阶导数f n (0)二 【答案】n n T In 2 ° 【解析】根据莱布尼茨公式得：f (n )(0 ) = C ：2(2x阳 =n(n T)2(l 门2厂=n(n- 1)(l n 2 )n X =O 2x 2(11)设 f x 连续，’ x l= ；0 xf t dt ，若1 =1^1 =5， 【答案】2指定位置上.(9)《y 【答案】x =arctant-3t t 3d 2ydx 2t土48 【解析】= 48.d 2y d dx 2dx212^=12t(1 t 2)2FTx1 2 3x2 2 2【解析】已知(x) =x o f(t)dt，求导得「(x) f(t)dt 2x2f(X2)，故有1:⑴二0f(t)dt =1,:(1) =1 2f (1)=5,则f (1)=2.(12)设函数y = y x是微分方程y" • y' -2y =0的解，且在x=0处y x取得极值3,则y x= ----------- .【答案】e2x2e x【解析】由题意知：y0 =3，y 0 =0，由特征方程：，2…_2=0解得=1, = -2 所以微分方程的通解为：y=G e x•C2e°x代入y 0]=3，y 0]=0解得：G =2 C2=1 解得：y = 2e x■ e^x(13)若函数Z =z(x, y )由方程e x知卡z+xyz=1确定，则dz(0,0)= ________________ .1【答案】dx 2dy3【解析】当x = 0, y = 0时z =0，则对该式两边求偏导可得x 2y 3z zx 2y 3z(3e xy) yz -eex(3e x 2y 3z - xy)^ = -xz -2e x 2y 3z.将( 0,0,0)点值代入即有1 2 1则可得dz|(00)= __dx __ dy = __(dx + 2dy ).3 3 3(14)若3阶矩阵A的特征值为2,-2,1，B =A2- A • E，其中E为3阶单位阵，则行列式B = _____ .【答案】21【解析】A的所有特征值为2,-2」.B的所有特征值为3,7,1所以|B | = 3 7 1 =21・三、解答题：15〜23小题，共94分.请将解答写在答题纸指定位置上.解答应写出文字说明、.z:x (0,0) 1 _cz__3,石(0,0)证明过程或演算步骤. (15)(本题满分10分)设函数 f(x)=x aln(1 x) bxsinx , g(x)二 kx 3 •若 f(x)与 g(x)在 x > 0 时是等价无穷小，求a, b,k 的值.【答案】^-1,^ —,b3【解析】 方法一:那么,1=lim3=lim ix x aln(1>^)bxsinxx 0g(x) x fikxa 2 a 33(1 a)x (b )x 2x 3o(x 3)可得：b-a=0,2 a方法二: 由题意得= limJ 」 x 0kx 31 -lim x 0 g(x) 二 lim X —0x a ln(1 x) bx sin x kx 3 1 — bsinx bx cosx二 lim 2~ x ① 3kx 2由分母 lim 3kx 2 二 0，得分子 lim (1 a bsin x bxcosx) = lim (1 a) = 0，求得 x ]0 X 「0 ' 1 亠 x x >0X' c ; 是1二lim t g(x) 1 1 bsin x bx cosx 1 ■■ x =lim 1~x2 -------xQ 3kx x b(1 x)sin x bx(1 x)cosx 二 lim2x —3kx (1 x )_li m x +b(1 +x)s i nx +bx(1 +x)c oxxT3kx 2x 2x 3_ _ (3)因为 ln(1 x) = xo(x )， sin x =x3o(x 3)，所以, a = -1*b = —12, 1 k = I 3li m 1 + bsin x +b(1 +x)cosx +b(1 +x) cosx + bxcosx — bx(1 + x)sin x_x 06kx由分母lim 6kx = 0，得分子x ]0 I 叫1 bsin x 2b(1 x) cosx - bxcosx -bx(1 x) sin x] = lim (1 2b cosx) = 0， 1 求得b --—； 2 b 值代入原式 进一步， f(x) 1 =lim x —0 g(x) 1 1 1 1 sin x -(1 x)cosx xcosx x(1 x)sinx Jim 2 2 2 x 「°6kx 1=lim - x )0 1 111 11 cosx - cosx (1 x)sinx cosx xsinx (1 x)sin x xsinx x(1 x)cosx2 2 2 2 2 2 6k 1-2 1 2，求得k 6k 3(16)(本题满分10分)设A>0 , D 是由曲线段y=Asin x(0乞x _ ?)及直线y = 0， 31^2所围成的平面区域，V 1， V 2分别表示D 绕x 轴与绕y 轴旋转成旋转体的体积，若 【答案】8【解析】由旋转体的体积公式，得Tt K o 2 二f 2(x)dx 二:二(Asinx)2dx 二-A亏1 一 cos2x ,2dx =n 22「xf (x)dx =-2二A 2 xd cox ^2A 0 0 0 由题V 1 =V2,求得A .JIV 2二(17)(本题满分11分) 已知函数 f (x, y)满足 fx ；(x, y) =2(y 1)e x，f x (x,O) x 2=(x 1)e ，f(0, y^y 2y ，求f (x,y)的极值. 【答案】极小值f(0, -1) = -1【解析】f xy (x, y)二2(y 1)e x两边对y 积分，得1 2 x 2 xf x (x, y)=2(—y y)e (x) =(y 2y)e (x),2故 f x (x,O) = ：(x) =(x 1)e x , 求得「(x)二 e x (x 1),故 f x (x, y) =(y 2 • 2y)e x e x (V x)，两边关于 x 积分，得 f (x, y) =(y 2 2y)e x 亠 i e x (1 x)dx二(y 2 2y)e x(1 x)de x=(y 22y)e x(1 x)e x- e xdx=(y 22y)e x(1 x)e x-e xC=(y 22y)e xxe xC由 f (0,y) =y 2 2y C =y 2 2y ，求得 C =0.所以 f (x, y) = (y 2 ■ 2y)e x xe x .f x = (y 22 y) e xe xxe xf ；=(2y+2)e x=0又 f xx =(y 2 2y)e x 2e x xe x ,f xy =2(v 1)e x, f yy=2e x,当 x =0,y =-1 时，A 二 f xx (0, -1)=1, B 二 f xy (0,-1) =0, C 二 f yy (0,-1) =2 ,2AC - B ・0, f(0, -1) = T 为极小值.(18)(本题满分10分)计算二重积分 nx(x y)dxdy ，其中 D - "x, y) x 2 y 2 _ 2, y _ x 2'DH 2 【答案】一-兰45【解析】iix(x y)dxdy 二x 2dxdyDD1 2/ 2=2 dx 2 x dyx2，求得丿x ==2 °x 6 7 8( 2 —x 2—x 2)dx2 u 謬t ：少=2:sin 22tdt蔦匚角n 2udu飞 (19)(本题满分11分)已知函数f X i ；二・t 2dt • X .1 tdt ，求f X 零点的个数? 【答案】2个【解析】f (x) = - 1 x 22x. 1 x 2= . 1 x 2(2x -1)令f (x) =0,得驻点为X ^1,211在(-：：,_) , f(x)单调递减，在(_,：：) , f (x)单调递增2 21 故f()为唯一的极小值，也是最小值. 2_______ 1 _________________ ___________________ _________________而 f ㈠二1. 1 t 2dt 亠 I 9 , 1 tdt 二 1. 1 t 2dt - 八 1 tdt222 4________________ 1二 1.1 t 2dt - 1 .1td - 1 -1 td2 2 4< .1 t ，故 1.1 t 2dt - 1 , 1 tdt < 02 26 1所以函数f （X ）在（-:：，）及（-，•：：）上各有一个零点，所以零点个数为 2.7 2（20）（本题满分10分）f(b) f(b) f(b) f(b)f(b)-f () f (b^ f ( ) f (b)「( ) f (b)f ()因为「(x)0所以f (x)单调递增所以 f (b) f ()所以怡一a 0，即X0 a ，所以a ■ x 0 ::: b ，结论得证=2 'x 2、2 -x 2dx -二5x • • 2sint71 4 2sin 2t2cos 2tdt1从而有f ( ) ::: 02lim f(x) = lim[ . 12t 2dt : .fldt]2x2-------t 2dt=+oC=Jim[ Fldt _「1 t 2dt]f / +tdt 2xJ1 +x2考虑lim _1X lim ，所以lim f(x)=::—.1 t2dt x心门x2 x心130min后该物体降至30 C，若要将该物体的温度继续降至21 C，还需冷却多长时间? 【答案】30min【解析】设t时刻物体温度为x(t)，比例常数为k( . 0)，介质温度为m,则dx k(x —m)，从而x(t) =Ce 上七m，dtx(0) =120, m =20，所以C TOO ,即x(t) =100e» 201 1又x(—) =30,所以k= 2ln10，所以x(t) 口202 100当x =21时，t = 1,所以还需要冷却3 0 min.(21)(本题满分10分)已知函数f x在区间[a,+ ：：1上具有2阶导数，f a]=0, f x 0, 设b a，曲线y = f x在点b, f b 处的切线与x轴的交点是x°,0 , a ：：： x0 :: b .【证明】根据题意得点(b, f(b))处的切线方程为y - f (b) = f (b)(x-b)令y =0，得x0 =bf (b)因为f (x) 0所以f (x)单调递增，又因为f(a) =0所以f (b) 0，又因为f (b)・0又因为x0 -a =b - a -丄型，而在区间(a,b)上应用拉格朗日中值定理有0 f (b)f(b) -f(a)b -a =f ( )/(a,b )所以-a =b _a f '' x ■ 0，I 21 12一-J22=E-AX E-A [=E = X =[E - A E - A i ；=仲 - A E - A2 」二 X 二 E - A -AS-11、 2E-A —A= -111 ，厂1-1 2」P -1 1M0 0^5-1 -1MD -1 0"-1 1 1M0 1 0 T 0 -1 1 M1 0 0 l —1 -1 2M0 0 1」<-1 -1 2M0 0 b广1 -1 -1M0 -1 0^-1 -1M0-1 0" T1-1M1 00 T0 1 -1M10 0<0 -21 M0 -1 h卫 0-1M2 - -1 b-1 0憧0-r『10 0M3 1-2T1 0M1 1 -1 T 0 1 0M11 -1<0 0 1憧 1 -b<0 0 1血 1 T 」12 1 -1 丿(23)(本题满分11 分)'a 1 0、 设矩阵A =1 a -1 且 A 3=021 a >(1) 求a 的值；(22)(本题满分11分)(2⑵若矩阵X 满足X _ XA 2【答案】a = 0, X=-1a 1 01 0⑴ A 3=0二 A =0= 1 a -1 = 1-a 2a -10 1 a_a1 a【解析】=a = 0= a = 0 (II)由题意知 X -XA 2_AX AXA 2二E= X E _A 2-AX E _ A 2EE 为3阶单位阵，求X .-AX AXA 2- E-1(0 2 —3 计(1—2 0]设矩阵A = -1 3 -3 相似于矩阵B= 0 b 0J 一2 a 丿<0 3 1丿(1)求a,b的值；(2)求可逆矩阵P，使p二AP为对角阵.【答案】(1) a=4,b=5 ；(2)"2 -3 -1、P = 1 0 -1<0 1 1」【解析】(I) A ~ B = tr (A) =tr (B) = 3 a = 1 b 10 2 -3 1 -2 0A =B ―-1 3 -3 = 0 b 01 -2 a 03 1a -b = —1 1 a = 4{ 二彳2a-b=3 b=5S 2 -3^ ‘1 0 0、r-1 2 -3"(II) A =-1 3 -3 = 0 1 0 +-1 2 -3 =E+C J-23.<0 0 b J 一2 3」1 2 -3"C = -1 2 -3 = _1 (1-2 3)J -2 3」<1C的特征值\ -，2=0, ‘3 =4'_ 0时(0E -C)x =0 的基础解系为1=(2,1,0)T; 2 =(-3,0,1)T ■ =5时(4E-C)x=0 的基础解系为l=(T,T,1)TA的特征值扎A =1 +:1,1,5•2-3 -1、Z1令P =G,勺,J)= 1 0 _1 ，••• P，AP= 1<0 1 1」<51 1 1f x = ： x，cos 1 x sin 彳1(A) ：3d"sinjn f rcos^rsin^ rdr4 2sin 2 二已知高温物体置于低温介质中，任一时刻该物体温度对时间的变化率与该时刻物体和介质的温差成正比，现将一初始温度为120 C的物体在20 C的恒温介质中冷却,。
中国科学院数学研究院数学分析试题及答案
中国科学院数学与系统科学研究院20XX 年硕士研究生招生初试试题参考解答数学分析1、求a,b 使下列函数在x=0处可导:2,1,ax b y x +≥⎧=⎨+⎩当x 0;当x<0.解：由于函数在x=0处可导，从而连续，由(00),(00)1f b f +=-=，得到b=1;又由(0),(0)0f a f +-==，得到a=0.即得。
2、 1110,,.1n n n a ∞∞==>+∑∑n n 1已知级数发散求证级数也发散a a 证明: 用反证法。
由0n a >知，1n ∞=∑n 1级数a ，111n ∞=+∑na 均为正项级数。
假设级数111n ∞=+∑n a 收敛，则1lim 01n →∞=+n a ，于是有11lim lim lim 1111111n n n n n n a a a →∞→∞→∞===-+++n n 1a a ， 从而由正项级数的比较判别法知级数1n ∞=∑n1a 收敛，矛盾，从而得证。
3、 1(1).nx dx ≥-⎰m设m,n 0为整数,求积分x 的值解：1(1),nx dx -⎰m 设I(m,n)=x 则由分部积分法有11111n101I(m,n)=(1-x)(1)|(1)(1)0111m m m n n x x x d x n x dx m m m +++-=----+++⎰⎰(1,1)1nI m n m =+-+， 从而1(,)(1,1)(2,2)112n n n I m n I m n I m n m m m -=+-=+-+++11(,0)12n n I m n m m m n -==++++!1!!()!1(1)!!n m n m n m n m n m ==+++++，即得解。
4 、0().a aa dx f x dx -=⎰⎰xf(x)设a>0,f(x)是定义在[-a,a]上的连续的偶函数,则1+e 证明：由f(x)是定义在[-a,a]上的连续的偶函数知()()f x f x -=,从而令x t =-有 ()()()11a aat t t aa af t e f t dx dt dt e e -----=-=++⎰⎰⎰xf(x)1+e 从而1()1()()212aaaat t a a aae f t dx dx dt f x dx e ----=+=+⎰⎰⎰⎰x x f(x)f(x)1+e 1+e 0000011[()()][()()]()22aaaaa f x dx f x dx f x dx f x dx f x dx -=+=+=⎰⎰⎰⎰⎰， 得证。
数学考研-中科院考研试题合辑2011-2015
«Ï ǽ ). 6 («Ï
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中国科学院研究生院
2011 年招收攻读硕士学位研究生入学统一考试试题
科目名称：数学分析
考生须知：
1. 本试卷满分为 150 分， 全部考试时间总计 180 分钟； 2. 所有答案必须写在答题纸上， 写在试题纸上或草稿纸上一律无效。 1. (30 分)
3. (15 分) 设函数 f (x) 满足， f ′′ (x) < 0（当 x > 0） ， f (0) = 0．证明对于所有 x1 > 0， x2 > 0， 有 f (x1 + x2 ) < f (x1 ) + f (x2 )．
25 10 15 15
) ) ) )
²Ë¥
n→∞ n→∞
√ lim sin2 (π n2 + n). lim an ,
ØÁ a1 = 1, an+1 = 1 + a1 (n ≥ 1).
n
2 (
«Ï
Á f (x) ¼ ¢ g(x) =
g′′ (x) + g(x) = f (x), y = ex
x 0 f (x
Ľ (−∞, +∞) ÉÙ ÉÆÙ £ £
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Ê Ä½ [a, b] É¢f (x) Ô¢g(x) ¶¢ Á f (x) > 0, g(x) > 0.
中科院数学分析试题答案
中国科学院数 数学分析试题1求a,b 使下列函数在x=0处可导:21ax b y x +≥⎧=⎨+⎩当x 0;当x<0.解：由于函数在x=0处可导，从而连续，由(00),(00)1f b f +=-=得到b=1;又由(0),(0)0f a f +-==得到a=0.即得。
2 1110,,.1n n n a ∞∞==>+∑∑n n1已知级数发散求证级数也发散a a证明: 用反证法。
由0n a >知1n ∞=∑n 1级数a ，111n ∞=+∑n a 均为正项级数。
假设级数111n ∞=+∑n a 收敛，则1lim 01n →∞=+na ，于是有11lim lim lim 1111111n n n n n n a a a →∞→∞→∞===-+++n n 1a a ，从而由正项级数的比较判别法知级数1n ∞=∑n 1a 收敛，矛盾，从而得证。
3 1(1).n x dx ≥-⎰m 设m,n 0为整数,求积分x 的值解：111111n100(1),1I(m,n)=(1-x)(1)|(1)(1)(1,1).01111n m m m n n x dx x x x n d x n x dx I m n m m m m +++--=----=+-++++⎰⎰⎰m 设I(m,n)=x 则由分部积分法有从而111(,)(1,1)(2,2)(,0)11212n n n n n I m n I m n I m n I m n m m m m m m n--=+-=+-==+++++++!1!!()!1(1)!!n m n m n m n m n m ==+++++即得解。
4 0().aaa dx f x dx -=⎰⎰xf(x)设a>0,f(x)是定义在[-a,a]上的连续的偶函数,则1+e证明：由f(x)是定义在[-a,a]上的连续的偶函数知()()f x f x -=,从而令x t =-有()()()11a a at t t a a af t e f t dx dt dt e e -----=-=++⎰⎰⎰x f(x)1+e 从而1()1()()212aaaat t a a aae f t dx dx dt f x dx e ----=+=+⎰⎰⎰⎰x x f(x)f(x)1+e 1+e 0000011[()()][()()]()22aaaaa f x dx f x dx f x dx f x dx f x dx -=+=+=⎰⎰⎰⎰⎰得证。
中科院2005年研究生入学数学分析试题及解答
中科院2005年研究生入学数学分析试题及解答中国科学院硕士研究生2005年入学考试《数学分析》试题1. (15分)计算:0x →2. (15分)设,0,a b a b >≠,证明2ln ln a b a b a b -<<+-.3. (10分)求111lim 12n n n n →∞⎛⎫+++⎪+⎝⎭.4. (10分)判断级数1(1)nn n∞=-∑的敛散性.5. (15分)设函数(,)f x y 在点(0,0)的某个邻域中连续,222()(,)x y tF t f x y dxdy+≤=⎰⎰,求0()lim t F t t +→'.6. (15分)求球面2222xy z a++=包含在柱面22221x y a b+=(b a ≤)内的那部分面积.7. (15分)设函数(,)()f x y xy ϕ=,其中(0)0ϕ=,且()u ϕ在0u =的某个邻域中满足()u k u αϕ≤，其中常数12α>，0k >。
证明(,)f x y 在点(0,0)处可微,但函数(,)g x y =在点(0,0)处不可微. 8. (15分) 设()x ϕ在区间[0,)+∞上有连续的导数,并且(0)1ϕ=.令2222222()()x y z r f r x y z dxdydz ϕ++≤=++⎰⎰⎰(0r ≥).证明()f r 在0r =处三次可微,并求(0)f '''(右导数). 9. (20分)设函数()f x 在有限区间[,]a b 上可微,且满足()()0f a f b ''<(此处()f a '和()f b '分别表示f 在a 和b 处的右导数和左导数).则(,)c a b ∃∈,使得()0f c '=.10. (20分)设xe nn n e a x ∞==∑,求0123,,,a a a a ,并证明(ln )nn a e n γ-≥(2n ≥),其中γ是某个大于e 的常数.2005年中国科学院数学分析试题解答1. 解：利用()()11y y o y αα+=++，()0y →，()441135x o x =+⋅+，()()1122x o x =+-+，()113x o x =++，()112x o x =++， 所以，原式()()()()()44011315lim 111132x x o x x o x x o x x o x →⎛⎫+⋅+--+ ⎪⎝⎭=⎛⎫⎛⎫++-++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()()0lim616x x o x x o x →+==--+. 2. 证明：不妨设0a b >>，欲证的不等式等价于ln211ab a a b b<<+-，令a x b=，不等式等价于2ln 11x x x <<+-，()1x >.令()ln f x x =-，()10f =， 因为()122f x x x x x '=+- 21022x x x x x x-==>，()1x >，所以()()10f x f >=，ln 0x ->，ln x x>，ln 1xx x<-，()1x >.令()()21ln 1x h x x x -=-+，()10h =，因为()()()()222114011x h x x x x x -'=-=>++， 所以()()1h x h >，即得()21ln 01x x x -->+，2ln 11xx x <+-，()1x >，故成立2ln 11x x x <<+-，()1x >，取a x b=，代入上式，不等式得证.3. 解：解法一 利用111ln 2n n c nε+++=++，其中lim 0n n ε→∞=， 211111ln 2212n n c n n nε++++++=+++， 111lim 12n n n n →∞⎛⎫+++ ⎪+⎝⎭11lim 12n n n →∞⎛⎫=++⎪+⎝⎭()()2lim ln 2ln n n n n c n c εε→∞⎡⎤=++-++⎣⎦ ()2lim ln 2n n n εε→∞⎡⎤=+-⎣⎦ln2=.解法二 111lim 12n nn n →∞⎛⎫+++⎪+⎝⎭111lim 1n n k kn n →∞=⎛⎫⎪= ⎪ ⎪+⎝⎭∑ ()11001ln 1ln 21dx x x ==+=+⎰. 4. 解：设n a n=，显然lim0n n a →∞=，{}n a 单调递减； 由莱布尼茨判别法知()11nn n ∞=-∑收敛，由()1n-≥，()3n ≥，得()11n n ∞=-∑发散，故()11nn ∞=-∑. 5. 解：()()200cos ,sin tF t dr f r r rd πθθθ=⎰⎰，()()20cos ,sin F t f t t td πθθθ'=⎰，由题设条件，可知()()0lim cos ,sin 0,0t f t t f θθ+→=，且关于[]0,2θπ∈是一致收敛； 于是()()2000lim lim cos ,sin t t F t f t t d tπθθθ++→→'=⎰ ()200lim cos ,sin t f t t d πθθθ+→=⎰ ()()200lim 0,00,02t f d f πθπ+→==⎰.6、计算下列曲面的面积：（1）圆柱面222a y x =+ 介乎平面0=+z x 和0=-z x 之间的部分； （2）球面2222az y x=++被椭圆柱面)0(12222a b b y a x ≤<=+所截下的部分。