东北三校(哈尔滨师大附中、东北师大附中、辽宁省实验中学)2019高三第一次联合考试数学理

2019年哈师大附中第一次高考模拟考试

理 科 数 学

本试卷分第I 卷（选择题）和第II 卷（非选择题）两部分，共150分，考试时间120分钟。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 注意事项：

1．答题前，考生务必先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内。

2．选择题必须使用2B 铅笔填涂；非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。

3．请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。

4．作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。

5．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。

第I 卷（选择题，共60分）

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．设集合2{|20}A x x x =-≤，{|40}B x x =-≤≤，则R A C B = A ．R

B ．{|0}x R x ∈≠

C ．{|02}x x <≤

D ．∅ 2．若复数z 满足iz = 2 + 4i ，则复数z =

A ．2 + 4i

B ．2 - 4i

C ．4 - 2i

D ．4 + 2i

3．在251

()x x

-的二项展开式中，第二项的系数为

A ．10

B ．-10

C ．5

D ．-5

4．执行如图所示的程序框图，若输入如下四个函数：

①()sin f x x =，②()cos f x x =，③1

()f x x

=，④2()f x x =， 则输出的函数是 A ．()sin f x x = B ．()cos f x x = C ．1()f x x

=

D ．2()f x x =

5．直线m ，n 均不在平面α，β内，给出下列命题：

① 若m ∥n ，n ∥α，则m ∥α； ② 若m ∥β，α∥β，则m ∥α； ③ 若m ⊥n ，n ⊥α，则m ∥α； ④ 若m ⊥β，α⊥β，则m ∥α。

其中正确命题的个数是

A ．1

B ．2

C ．3

D ．4

6．等差数列{}n a 的前n 项和为S n ，若a 2 + a 4 + a 6 = 12，则S 7的值是

A ．21

B ．24

C ．28

D ．7 7．某几何体的三视图如图所示，其中俯视图为扇形，则该几何体的体积为

A ．23π

B ．3

π

C ．

29

π D ．

169

π

8．2

20

sin 2

x

dx π

=⎰ A ．0 B ．

14

2

π

-

C ．

14

4

π

- D ．

12

π

-

9．变量x ，y 满足约束条件1,2,314,y x y x y ≥-⎧⎪

-≥⎨⎪+≤⎩

若使z = ax + y 取得最大值的最优解有无穷多个，则实数a 的

取值集合是

A ．{3,0}-

B ．{3,1}-

C ．{0,1}

D ．{3,0,1}-

10．一个五位自然数12345a a a a a ，{0,1,2,3,4,5}i a ∈，1,2,3,4,5i =，当且仅当a 1 > a 2 > a 3，a 3 < a 4 < a 5时称为“凹数”（如32019，53134等），则满足条件的五位自然数中“凹数”的个数为

A ．110

B ．137

C ．145

D ．146

11．双曲线22

22:1(0,0)x y C a b a b -=>>的右焦点为(,0)F c ，以原点为圆心，c 为半径的圆与双曲线在

第二象限的交点为A ，若此圆在A 点处切线的斜率为

3

3

，则双曲线C 的离心率为 A ．31+

B ．6

C ．23

D ．2

12．已知函数23log (1)1,1()32, x x k

f x x x k x a -+-≤<⎧⎪=⎨-+≤≤⎪⎩，若存在k 使得函数()f x 的值域是[0,2]，则实数a 的

取值范围是

A ．[3,)+∞

B ．1

[,3]2

C ．(0,3]

D ．{2}

第II 卷（非选择题，共90分）

本卷包括必考题和选考题两部分，第13题 ~ 第21题为必考题，每个试题考生都必须作答，第22题 ~ 第24题为选考题，考生根据要求作答。

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分。

13．若向量a ，b 满足||1=a ，||2=b ，且a 与b 的夹角为3

π

，则|2|+=a b __________。

14．若33cos()sin 65π

αα+

-=

，则5sin()6

π

α+=__________。

15．正四面体ABCD 的棱长为4，E 为棱BC 的中点，过E 作其外接球的截面，则截面面积的最小值为__________。

16．已知数列{}n a 的通项公式为11n a n =

+，前n 项和为S n 。若对于任意正整数n ，不等式216

n n m

S S ->恒成立，则常数m 所能取得的最大整数为__________。

三、解答题（解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17．（本小题满分12分）

三角形ABC 中，内角A ，B ，C 所对边a ，b ，c 成公比小于1的等比数列，且sin sin()2sin 2B A C C +-=。 （1）求内角B 的余弦值； （2）若3b =，求ΔABC 的面积．

18．（本小题满分12分）

如图，在四棱锥S —ABCD 中，底面ABCD 是直角梯形，AD 垂直

于AB 和DC ，侧棱SA ⊥底面ABCD ，且SA = 2，AD = DC = 1。 （1）若点E 在SD 上，且AE ⊥SD ，证明：AE ⊥平面SDC ； （2）若三棱锥S —ABC 的体积1

6

S ABC V -=

，求面SAD 与面SBC 所成

二面角的正弦值大小。 19．（本小题满分12分）

某城市随机抽取一年（365天）内100天的空气质量指数API 的监测数据，结果统计如下：

API

[0,50] (50,100] (100,150] (150,200] (200,250] (250,300] 300> 空气质量 优 良 轻微污染 轻度污染 中度污染 中度重污染 重度污染

天数

4

13

18

30

9

11

15

（1）若某企业每天由空气污染造成的经济损失S （单位：元）与空气质量指数API （记为ω）的

关系式为：

0, 0100,4400, 100300,2000, 300.S ωωωω≤≤⎧⎪

=-<≤⎨⎪>⎩

试估计在本年内随机抽取一天，该天经济损失S 大于200元且不超过600元的概率； （2）若本次抽取的样本数据有30天是在供暖季，其中有8天为重度污染，完成下面2×2列联表，并判断能否有95%的把握认为该市本年空气重度污染与供暖有关？

附：

P (K 2 ≥ k 0)

0.25

0.15

0.10

0.05

0.025 0.010 0.005

0.001

k 0

1.323

2.072 2.706

3.841 5.024 6.635 7.879 10.828