均值不等式课件

最小 值． • ②若和x＋y是定值S，那么当 x＝y 时，积xy有
最大 值．
• 上述命题可归纳为口诀：积定和最小，和定积 最大．
• 1．基本不等式中的a，b可以是值为任意 正数的代数式吗？
2．因为 sin x 与sin4 x，x∈(0，π)，两个都是正数，乘积
为定值，所以由均值定理得 sin x＋sin4 x≥2
• 3.2 均值不等式
• 1．同向不等式可以相加，但不能相减 或相除 ．
• 2．判定不等式是否成立，常利用不等式的 基本性质及函数的 单调性 和 特殊值 等方法．
• 3．在不等式的变形过程中，要遵循 等价变形 的原则．
• 4．两个正数a与b的等差中项为，正的等比中 项为 ab .
• 1．均值定理(又称基本不等式或均值不等式) • (1)形式：a＋2 b≥ ab • (2)成立的前提条件 a，b∈R＋ • (3)等号成立的条件：当且仅当 a＝b 时 取 等
【答案】 A
• 在应用均值不等式时，一定要注意是否满 足条件，即a＞0，b＞0，若条件不满足时， 则应拼凑出条件，即问题一端出现“和
式”，另一端出现“积式”，便于运用均 值不等式．
1.若 a＞0，b＞0，则 A＝ a2＋2 b2，B＝ a＋2 b，C＝ ab，D＝1a＋2 1b的大小顺序为________．
号．
• 2．算术平均值和几何平均值
• (1)定义
a＋b
•
2 叫做正实数a，b的算术平均值．
• ab 叫做正实数a，b的几何平均值．
• (2)结论 • 两个正实数的算术平均值
均值．
大于或等于 它 们 的 几 何 平
• (3)应用基本不等式求最值
• 如果x，y都是正数，那么 • ①若积xy是定值P，那么当 x＝y 时，和x＋y有
2 1a＋b1
≤
ab
≤
a＋b 2
≤
“＝”)，∴A≥B≥C≥D.
a2＋b2 2
(
当
且
仅
当
a＝b
时取
• 【答案】 A≥B≥C≥D
已知 a、b、c 为正数，求证：b＋ac－a＋c＋ab－b ＋a＋bc－c≥3.
• 【思路点拨】 因为不等式右边为常数，所以 应把左边拆开，按照积为常数重新组合，分别 利用基本不等式．
则面积s=xy≤
(
x
2
y
)2=81.
xy=40
• 在求实际问题中的最值时，应按下面的思路来 求解：
• (1)先理解题意，设出变量，一般把要求最值 的量定为函数；
• (2)建立相应的函数关系，把实际问题抽象成 函数的最大值或最小值问题；
• (3)在定义域内，求函数的最大值或最小值时， 一般先考虑用均值不等式，当均值不等式求最 值的条件不具备时，再考虑函数的单调性；
• （1）一个矩形的面积为100平方米，问矩形 的长，宽各为多少时矩形周长最短？
• （2）矩形周长为36米，问矩形的长，宽各为 多少时，矩形面积最大？
解:(1)设长为x，宽为y，则xy=100。所以，周长L=2(x+y) ≥4
(2)设长为x，宽为y，则周长L=2(x+y)=36,所以 x+y=18
已知 m＝a＋a－1 2(a＞2)，n＝4－b2(b≠0)，则 m、n
之间的大小关系是( )
A．m＞n
B．m＜n
C．m＝n
D．不确定
• 【思路点拨】 先利用基本不等式求出m的范 围，再利用指数函数的性质求出n的范围，从 而得出m，n的大小关系．
【解析】 ∵a＞2，∴a－2＞0， 又∵m＝a＋a－1 2＝(a－2)＋a－1 2＋2， ∴m≥2 a－2×a－1 2＋2＝4，即 m∈[4，＋∞)． 由 b≠0 得 b2≠0，∴4－b2＜4，即 n＜4， ∴n∈(0,4)，综上易得 m＞n.
• 利用均值不等式求最值的关键是获得定值 条件，解题时应对照已知和欲求的式子运
用适当的“拆项、添项、配凑、变形”等 方法创设应用均值不等式的条件．
3.已知 x＞1，求 y＝x－x21的最小值．
【解析】 y＝x－x21＝x2－x－1＋1 1＝x＋1＋x－1 1 ＝x－1＋x－1 1＋2≥2＋2＝4， 当且仅当x－1 1＝x－1， 即(x－1)2＝1 时，等式成立，∵x＞1， ∴当 x＝2 时，ymin＝4
【思路点拨】 因为 x<54，∴4x－5<0，故应先处理符号， 再将 4x－2 化为 4x－5＋3，然后用基本不等式．
【解析】 ∵x＜54，∴5－4x＞0， ∴y＝4x－2＋4x－1 5＝－[(5－4x)＋5－14x]＋3≤－2＋3 ＝1， 当且仅当 5－4x＝5－14x时，即 x＝1 时，上式等号成立． ∴x＝1 时，ymax＝1.
【证明】 左边＝ba＋ac－1＋bc＋ab－1＋ac＋bc－1 ＝ba＋ab＋ac＋ac＋bc＋bc－3. ∵a，b，c 为正数， ∴ba＋ab≥2(当且仅当 a＝b 时取“＝”)； ac＋ac≥2(当且仅当 a＝c 时取“＝”)； bc＋bc≥2(当且仅当 b＝c 时取“＝”)．
从而ba＋ab＋ac＋ac＋bc＋bc≥6(当且仅当 a＝b＝c 时取 等号)．
∴ba＋ab＋ac＋ac＋bc＋bc－3≥3， 即b＋ac－a＋c＋ab－b＋a＋bc－c≥3.
多次使用 a＋b≥2 ab时，要注意等号能否成立，叠加 法是不等式性质的应用，也是一种常用方法，对不能直接使 用均值不等式的证明需重新组合，形成均值不等式模型，再 使用．
2.已知 a、b、c∈{正实数}，且 a＋b＋c＝1. 求证：1a＋1b＋1c≥9. 【证明】 ∵a，b，c∈{正实数}． ∴1a＋1b＋1c＝a＋ab＋c＋a＋bb＋c＋a＋bc ＋c ＝3＋ba＋ac＋ab＋bc＋ac＋bc ＝3＋ba＋ab＋ac＋ac＋bc＋bc ≥3＋2＋2＋2＝9. 即1a＋1b＋1c≥9(当且仅当 a＝b＝c 时取等号)．
sin
4 x·sin
x＝4，
所以 sin x＋sin4 x的最小值为 4.上述推导正确吗？பைடு நூலகம்什么？
【提示】 因为 sin x∈(0,1]，所以均值定理的运用没问 题即结论“sin x＋sin4 x≥4”是正确的，但要使不等式取到等 号，则必须有 sin x＝sin4 x，即 sin x＝2 成立，这显然不可能， 也就是说等号是取不到的，因此，不能说 4 是 sin x＋sin4 x的 最小值．故上述推导是不正确的．