2020年北京市高考数学试卷-(含答案)
2020年北京市高考数学试卷(精品解析版)
绝密★本科目考试启用前2020年普通高等学校招生全国统一考试（北京卷）数学本试卷共5页，150分，考试时长120分钟．考试务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．第一部分（选择题 共40分）一、选择题10小题，每小题4分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1. 已知集合{1,0,1,2}A =-，{|03}B x x =<<，则A B =（ ）．A. {1,0,1}-B. {0,1}C. {1,1,2}-D. {1,2}【答案】D 【解析】 【分析】根据交集定义直接得结果. 【详解】{1,0,1,2}(0,3){1,2}A B =-=，故选：D.【点睛】本题考查集合交集概念，考查基本分析求解能力，属基础题. 2. 在复平面内，复数z 对应的点的坐标是(1,2)，则i z ⋅=（ ）． A. 12i + B. 2i -+C. 12i -D. 2i --【答案】B 【解析】 【分析】先根据复数几何意义得z ，再根据复数乘法法则得结果. 【详解】由题意得12z i =+，2iz i ∴=-. 故选：B.【点睛】本题考查复数几何意义以及复数乘法法则，考查基本分析求解能力，属基础题.3. 在52)的展开式中，2x 的系数为（ ）．A. 5-B. 5C. 10-D. 10【答案】C 【解析】 【分析】首先写出展开式的通项公式，然后结合通项公式确定2x 的系数即可. 【详解】()52x -展开式的通项公式为：()()()55215522r rrrr r r T Cx C x--+=-=-，令522r -=可得：1r =，则2x 的系数为：()()11522510C -=-⨯=-. 故选：C.【点睛】二项式定理的核心是通项公式，求解此类问题可以分两步完成：第一步根据所给出的条件(特定项)和通项公式，建立方程来确定指数(求解时要注意二项式系数中n 和r 的隐含条件，即n ，r 均为非负整数，且n ≥r ，如常数项指数为零、有理项指数为整数等)；第二步是根据所求的指数，再求所求解的项． 4. 某三棱柱的底面为正三角形，其三视图如图所示，该三棱柱的表面积为（ ）．A. 63B. 623+C. 123+D. 123+【答案】D 【解析】 【分析】首先确定几何体的结构特征，然后求解其表面积即可.【详解】由题意可得，三棱柱的上下底面为边长为2的等边三角形，侧面为三个边长为2的正方形，则其表面积为：()1322222sin 6012232S ⎛⎫=⨯⨯+⨯⨯⨯⨯︒=+ ⎪⎝⎭. 故选：D.【点睛】(1)以三视图为载体考查几何体的表面积，关键是能够对给出的三视图进行恰当的分析，从三视图中发现几何体中各元素间的位置关系及数量关系．(2)多面体的表面积是各个面的面积之和；组合体的表面积应注意重合部分的处理．(3)圆柱、圆锥、圆台的侧面是曲面，计算侧面积时需要将这个曲面展为平面图形计算，而表面积是侧面积与底面圆的面积之和．5. 已知半径为1的圆经过点(3,4)，则其圆心到原点的距离的最小值为（ ）． A. 4 B. 5 C. 6 D. 7【答案】A 【解析】 【分析】求出圆心C 的轨迹方程后，根据圆心M 到原点O 的距离减去半径1可得答案. 【详解】设圆心(),C x y ，则()()22341x y -+-=，化简得()()22341x y -+-=，所以圆心C 的轨迹是以(3,4)M 为圆心，1为半径的圆，所以||1||OC OM +≥22345+=，所以||514OC ≥-=， 当且仅当C 在线段OM 上时取得等号， 故选：A.【点睛】本题考查了圆的标准方程，属于基础题.6. 已知函数()21x f x x =--，则不等式()0f x >的解集是（ ）．A. (1,1)-B. (,1)(1,)-∞-+∞C. (0,1)D. (,0)(1,)-∞⋃+∞【答案】D 【解析】 【分析】作出函数2xy =和1y x =+的图象，观察图象可得结果.【详解】因为()21xf x x =--，所以()0f x >等价于21x x >+，在同一直角坐标系中作出2xy =和1y x =+的图象如图：两函数图象的交点坐标为(0,1),(1,2)， 不等式21x x >+的解为0x <或1x >.所以不等式()0f x >的解集为：()(),01,-∞⋃+∞. 故选：D.【点睛】本题考查了图象法解不等式，属于基础题.7. 设抛物线的顶点为O ，焦点为F ，准线为l ．P 是抛物线上异于O 的一点，过P 作PQ l ⊥于Q ，则线段FQ 的垂直平分线（ ）． A. 经过点O B. 经过点P C. 平行于直线OP D. 垂直于直线OP【答案】B 【解析】 【分析】依据题意不妨作出焦点在x 轴上的开口向右的抛物线，根据垂直平分线的定义和抛物线的定义可知，线段FQ 的垂直平分线经过点P ，即求解.【详解】如图所示：．因为线段FQ 的垂直平分线上的点到,F Q 的距离相等，又点P 在抛物线上，根据定义可知，PQ PF =，所以线段FQ 的垂直平分线经过点P . 故选：B.【点睛】本题主要考查抛物线的定义的应用，属于基础题.8. 在等差数列{}n a 中，19a =-，51a =-．记12(1,2,)n n T a a a n ==……，则数列{}n T （ ）． A. 有最大项，有最小项 B. 有最大项，无最小项 C. 无最大项，有最小项 D. 无最大项，无最小项【答案】B 【解析】 【分析】首先求得数列的通项公式，然后结合数列中各个项数的符号和大小即可确定数列中是否存在最大项和最小项.【详解】由题意可知，等差数列的公差511925151a a d --+===--， 则其通项公式为：()()11912211n a a n d n n =+-=-+-⨯=-， 注意到123456701a a a a a a a <<<<<<=<<，且由50T <可知()06,i T i i N <≥∈，由()117,ii i T a i i N T -=>≥∈可知数列{}n T 不存在最小项， 由于1234569,7,5,3,1,1a a a a a a =-=-=-=-=-=， 故数列{}n T 中正项只有有限项：263T =，46315945T =⨯=.故数列{}n T 中存在最大项，且最大项为4T . 故选：B.【点睛】本题主要考查等差数列的通项公式，等差数列中项的符号问题，分类讨论的数学思想等知识，属于中等题.9. 已知,R αβ∈，则“存在k Z ∈使得(1)k k απβ=+-”是“sin sin αβ=”的（ ）． A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件【答案】C 【解析】 【分析】根据充分条件，必要条件的定义，以及诱导公式分类讨论即可判断. 【详解】(1)当存在k Z ∈使得(1)kk απβ=+-时，若k 为偶数，则()sin sin sin k απββ=+=；若k 为奇数，则()()()sin sin sin 1sin sin k k απβππβπββ=-=-+-=-=⎡⎤⎣⎦； (2)当sin sin αβ=时，2m αβπ=+或2m αβππ+=+，m Z ∈，即()()12kk k m απβ=+-=或()()121kk k m απβ=+-=+，亦即存在k Z ∈使得(1)kk απβ=+-．所以，“存在k Z ∈使得(1)kk απβ=+-”是“sin sin αβ=”的充要条件.故选：C.【点睛】本题主要考查充分条件，必要条件的定义的应用，诱导公式的应用，涉及分类讨论思想的应用，属于基础题.10. 2020年3月14日是全球首个国际圆周率日（π Day ）．历史上，求圆周率π的方法有多种，与中国传统数学中的“割圆术”相似．数学家阿尔·卡西的方法是：当正整数n 充分大时，计算单位圆的内接正6n 边形的周长和外切正6n 边形（各边均与圆相切的正6n 边形）的周长，将它们的算术平均数作为2π的近似值．按照阿尔·卡西的方法，π的近似值的表达式是（ ）．A. 30303sin tan n n n ︒︒⎛⎫+ ⎪⎝⎭ B. 30306sin tan n n n ︒︒⎛⎫+ ⎪⎝⎭C. 60603sin tan n n n ︒︒⎛⎫+ ⎪⎝⎭D. 60606sin tan n n n ︒︒⎛⎫+ ⎪⎝⎭【答案】A 【解析】 【分析】计算出单位圆内接正6n 边形和外切正6n 边形的周长，利用它们的算术平均数作为2π的近似值可得出结果.【详解】单位圆内接正6n 边形的每条边所对应的圆周角为360606n n ︒︒=⨯，每条边长为302sin n︒， 所以，单位圆的内接正6n 边形的周长为3012sin n n︒， 单位圆的外切正6n 边形的每条边长为302tann ︒，其周长为3012tan n n︒， 303012sin12tan 303026sin tan 2n n n n n n n π︒︒+︒︒⎛⎫∴==+ ⎪⎝⎭，则30303sin tan n n n π︒︒⎛⎫=+ ⎪⎝⎭. 故选：A.【点睛】本题考查圆周率π的近似值的计算，根据题意计算出单位圆内接正6n 边形和外切正6n 边形的周长是解答的关键，考查计算能力，属于中等题.第二部分（非选择题 共110分）二、填空题共5小题，每小题5分，共25分.11. 函数1()ln 1f x x x =++的定义域是____________． 【答案】(0,)+∞ 【解析】 【分析】根据分母不为零、真数大于零列不等式组，解得结果.【详解】由题意得010x x >⎧⎨+≠⎩，0x ∴>故答案为：(0,)+∞【点睛】本题考查函数定义域，考查基本分析求解能力，属基础题.12. 已知双曲线22:163x y C -=，则C 的右焦点的坐标为_________；C 的焦点到其渐近线的距离是_________．【答案】 (1). ()3,0 (2).【解析】 【分析】根据双曲线的标准方程可得出双曲线C 的右焦点坐标，并求得双曲线的渐近线方程，利用点到直线的距离公式可求得双曲线的焦点到渐近线的距离.【详解】在双曲线C 中，a =b =3c =，则双曲线C 的右焦点坐标为()3,0，双曲线C 的渐近线方程为2y x =±，即0x ±=，所以，双曲线C=.故答案为：()3,0.【点睛】本题考查根据双曲线的标准方程求双曲线的焦点坐标以及焦点到渐近线的距离，考查计算能力，属于基础题.13. 已知正方形ABCD 的边长为2，点P 满足1()2AP AB AC =+，则||PD =_________；PB PD ⋅=_________．【答案】 (1). (2). 1-【解析】 【分析】以点A 为坐标原点，AB 、AD 所在直线分别为x 、y 轴建立平面直角坐标系，求得点P 的坐标，利用平面向量数量积的坐标运算可求得PD 以及PB PD ⋅的值.【详解】以点A 为坐标原点，AB 、AD 所在直线分别为x 、y 轴建立如下图所示的平面直角坐标系，则点()0,0A 、()2,0B 、()2,2C 、()0,2D ，()()()()1112,02,22,1222AP AB AC =+=+=， 则点()2,1P ，()2,1PD ∴=-，()0,1PB =-， 因此，()22215PD =-+=()021(1)1PB PD ⋅=⨯-+⨯-=-.5；1-.【点睛】本题考查平面向量的模和数量积的计算，建立平面直角坐标系，求出点P 的坐标是解答的关键，考查计算能力，属于基础题.14. 若函数()sin()cos f x x x ϕ=++的最大值为2，则常数ϕ的一个取值为________． 【答案】2π（2,2k k Z ππ+∈均可）【解析】 【分析】根据两角和的正弦公式以及辅助角公式即可求得()()()22cos sin 1f x x ϕϕθ=+++，可得()22cos sin 12ϕϕ++=，即可解出.【详解】因为()()()()22cos sin sin 1cos cos sin 1f x x x x ϕϕϕϕθ=++=+++，()22cos sin 12ϕϕ++=，解得sin 1ϕ=，故可取2ϕπ=. 故答案为：2π（2,2k k Z ππ+∈均可）.【点睛】本题主要考查两角和的正弦公式，辅助角公式的应用，以及平方关系的应用，考查学生的数学运算能力，属于基础题.15. 为满足人民对美好生活的向往，环保部门要求相关企业加强污水治理，排放未达标的企业要限期整改，设企业的污水排放量W 与时间t 的关系为()W f t =，用()()f b f a b a---的大小评价在[,]a b 这段时间内企业污水治理能力的强弱，已知整改期内，甲、乙两企业的污水排放量与时间的关系如下图所示.给出下列四个结论： ①在[]12,t t 这段时间内，甲企业的污水治理能力比乙企业强；②在2t 时刻，甲企业的污水治理能力比乙企业强； ③在3t 时刻，甲、乙两企业的污水排放都已达标；④甲企业在[][][]112230,,,,,t t t t t 这三段时间中，在[]10,t 的污水治理能力最强． 其中所有正确结论的序号是____________________． 【答案】①②③ 【解析】 【分析】根据定义逐一判断，即可得到结果 【详解】()()f b f a b a---表示区间端点连线斜率的负数，在[]12,t t 这段时间内，甲的斜率比乙的小，所以甲的斜率的相反数比乙的大，因此甲企业的污水治理能力比乙企业强；①正确；甲企业在[][][]112230,,,,,t t t t t 这三段时间中，甲企业在[]12,t t 这段时间内，甲的斜率最小，其相反数最大，即在[]12,t t 的污水治理能力最强．④错误；在2t 时刻，甲切线的斜率比乙的小，所以甲切线的斜率的相反数比乙的大，甲企业的污水治理能力比乙企业强；②正确；在3t 时刻，甲、乙两企业的污水排放量都在污水打标排放量以下，所以都已达标；③正确； 故答案为：①②③【点睛】本题考查斜率应用、切线斜率应用、函数图象应用，考查基本分析识别能力，属中档题.三、解答题共6小题，共85分，解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.16. 如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，E 为1BB 的中点．（Ⅰ）求证：1//BC 平面1AD E ；（Ⅱ）求直线1AA 与平面1AD E 所成角的正弦值． 【答案】（Ⅰ）证明见解析；（Ⅱ）23. 【解析】 【分析】（Ⅰ）证明出四边形11ABC D 为平行四边形，可得出11//BC AD ，然后利用线面平行的判定定理可证得结论；（Ⅱ）以点A 为坐标原点，AD 、AB 、1AA 所在直线分别为x 、y 、z 轴建立空间直角坐标系A xyz -，利用空间向量法可计算出直线1AA 与平面1AD E 所成角的正弦值. 【详解】（Ⅰ）如下图所示：在正方体1111ABCD A B C D -中，11//AB A B 且11AB A B =，1111//A B C D 且1111A B C D =，11//AB C D ∴且11AB C D =，所以，四边形11ABC D 为平行四边形，则11//BC AD ， 1BC ⊄平面1AD E ，1AD ⊂平面1AD E ，1//BC ∴平面1AD E ；（Ⅱ）以点A 为坐标原点，AD 、AB 、1AA 所在直线分别为x 、y 、z 轴建立如下图所示的空间直角坐标系A xyz -，设正方体1111ABCD A B C D -的棱长为2，则()0,0,0A 、()10,0,2A 、()12,0,2D、()0,2,1E ，()12,0,2AD =，()0,2,1AE =，设平面1AD E 的法向量为(),,n x y z =，由100n AD n AE ⎧⋅=⎨⋅=⎩，得22020x z y z +=⎧⎨+=⎩，令2z =-，则2x =，1y =，则()2,1,2n =-.11142cos ,323n AA n AA n AA ⋅<>==-=-⨯⋅. 因此，直线1AA 与平面1AD E 所成角的正弦值为23. 【点睛】本题考查线面平行的证明，同时也考查了利用空间向量法计算直线与平面所成角的正弦值，考查计算能力，属于基础题.17. 在ABC 中，11a b +=，再从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为己知，求： （Ⅰ）a 的值： （Ⅱ）sin C 和ABC 面积．条件①：17,cos 7c A ==-；条件②：19cos ,cos 816A B ==． 注：如果选择条件①和条件②分别解答，按第一个解答计分． 【答案】选择条件①（Ⅰ）8（Ⅱ）sin C =, S = 选择条件②（Ⅰ）6（Ⅱ）sin C =, S =. 【解析】 【分析】选择条件①（Ⅰ）根据余弦定理直接求解，（Ⅱ）先根据三角函数同角关系求得sin A ,再根据正弦定理求sin C ,最后根据三角形面积公式求结果；选择条件②（Ⅰ）先根据三角函数同角关系求得sin ,sin A B ，再根据正弦定理求结果，（Ⅱ）根据两角和正弦公式求sin C ，再根据三角形面积公式求结果. 【详解】选择条件①（Ⅰ）17,cos 7c A ==-，11a b +=22222212cos (11)72(11)7()7a b c bc A a a a =+-∴=-+--⋅⋅-8a ∴=（Ⅱ）1cos (0,)sin 77A A A π=-∈∴==，由正弦定理得：7sin sin sin sin a c C A C C ==∴=11sin (118)822S ba C ==-⨯=选择条件②（Ⅰ）19cos ,cos ,(0,)816A B A B π==∈，sin A B ∴====由正弦定理得：6sin sin a b a A B ===（Ⅱ）91sin sin()sin cos sin cos 168C A B A B B A =+=+=+=11sin (116)622S ba C ==-⨯=【点睛】本题考查正弦定理、余弦定理，三角形面积公式，考查基本分析求解能力，属中档题.18. 某校为举办甲、乙两项不同活动，分别设计了相应的活动方案：方案一、方案二．为了解该校学生对活动方案是否支持，对学生进行简单随机抽样，获得数据如下表：假设所有学生对活动方案是否支持相互独立．（Ⅰ）分别估计该校男生支持方案一的概率、该校女生支持方案一的概率；（Ⅱ）从该校全体男生中随机抽取2人，全体女生中随机抽取1人，估计这3人中恰有2人支持方案一的概率；（Ⅲ）将该校学生支持方案的概率估计值记为0p ，假设该校一年级有500名男生和300名女生，除一年级外其他年级学生支持方案二的概率估计值记为1p ，试比较0p 与1p 的大小．（结论不要求证明） 【答案】（Ⅰ）该校男生支持方案一的概率为13，该校女生支持方案一的概率为34； （Ⅱ）1336,（Ⅲ）01p p < 【解析】 【分析】（Ⅰ）根据频率估计概率，即得结果；（Ⅱ）先分类，再根据独立事件概率乘法公式以及分类计数加法公式求结果； （Ⅲ）先求0p ，再根据频率估计概率1p ，即得大小. 【详解】（Ⅰ）该校男生支持方案一的概率为2001200+4003=，该校女生支持方案一的概率为3003300+1004=；（Ⅱ）3人中恰有2人支持方案一分两种情况，（1）仅有两个男生支持方案一，（2）仅有一个男生支持方案一，一个女生支持方案一，所以3人中恰有2人支持方案一概率为：2121311313()(1)()(1)3433436C -+-=; （Ⅲ）01p p <【点睛】本题考查利用频率估计概率、独立事件概率乘法公式，考查基本分析求解能力，属基础题. 19. 已知函数2()12f x x =-．（Ⅰ）求曲线()y f x =的斜率等于2-的切线方程；（Ⅱ）设曲线()y f x =在点(,())t f t 处的切线与坐标轴围成的三角形的面积为()S t ，求()S t 的最小值． 【答案】（Ⅰ）2130x y +-=，（Ⅱ）32. 【解析】 【分析】（Ⅰ）根据导数的几何意义可得切点的坐标，然后由点斜式可得结果；（Ⅱ）根据导数的几何意义求出切线方程，再得到切线在坐标轴上的截距，进一步得到三角形的面积，最后利用导数可求得最值.【详解】（Ⅰ）因为()212f x x =-，所以()2f x x '=-，设切点为()00,12x x -，则022x -=-，即01x =，所以切点为()1,11， 由点斜式可得切线方程为：()1121y x -=--，即2130x y +-=. （Ⅱ）显然0t ≠， 因为()y f x =在点()2,12t t-处的切线方程为：()()2122y t t x t --=--，令0x =，得212y t =+，令0y =，得2122t x t+=，所以()S t =()221121222||t t t +⨯+⋅，不妨设0t >(0t <时，结果一样)，则()423241441144(24)44t t S t t t t t++==++，所以()S t '=4222211443(848)(324)44t t t t t +-+-=222223(4)(12)3(2)(2)(12)44t t t t t t t-+-++==， 由()0S t '>，得2t >，由()0S t '<，得02t <<， 所以()S t 在()0,2上递减，在()2,+∞上递增， 所以2t =时，()S t 取得极小值， 也是最小值为()16162328S ⨯==. 【点睛】本题考查了利用导数的几何意义求切线方程，考查了利用导数求函数的最值，属于中档题.20. 已知椭圆2222:1x y C a b+=过点(2,1)A --，且2a b =．（Ⅰ）求椭圆C 的方程：（Ⅱ）过点(4,0)B -的直线l 交椭圆C 于点,M N ,直线,MA NA 分别交直线4x =-于点,P Q ．求||||PB BQ 的值．【答案】（Ⅰ）22182x y +=；（Ⅱ）1. 【解析】 【分析】(Ⅰ)由题意得到关于a ,b 的方程组，求解方程组即可确定椭圆方程；(Ⅱ)首先联立直线与椭圆的方程，然后由直线MA ,NA 的方程确定点P ,Q 的纵坐标，将线段长度的比值转化为纵坐标比值的问题，进一步结合韦达定理可证得0P Q y y +=，从而可得两线段长度的比值.【详解】(1)设椭圆方程为：()222210x y a b a b+=>>，由题意可得：224112a ba b⎧+=⎪⎨⎪=⎩，解得：2282a b ⎧=⎨=⎩， 故椭圆方程为：22182x y +=.(2)设()11,M x y ，()22,N x y ，直线MN方程为：()4y k x =+，与椭圆方程22182x y +=联立可得：()222448x k x ++=，即：()()222241326480k x k x k +++-=，则：2212122232648,4141k k x x x x k k --+==++. 直线MA 的方程为：()111122y y x x ++=++， 令4x =-可得：()()()1111111141214122122222P k x k x y x y x x x x ++-++++=-⨯-=-⨯-=++++， 同理可得：()()222142Q k x y x -++=+. 很明显0P Q y y <，且：PQPB y PQy =，注意到： ()()()()()()()()122112121242424421212222P Q x x x x x x y y k k x x x x +++++⎛⎫+++=-++=-+⨯⎪++++⎝⎭， 而：()()()()()122112124242238x x x x x x x x +++++=+++⎡⎤⎣⎦2222648322384141k k k k ⎡⎤⎛⎫--=+⨯+⎢⎥ ⎪++⎝⎭⎣⎦()()()22226483328412041k k k k -+⨯-++=⨯=+，故0,P Q P Q y y y y +==-.从而1PQPB y BQy ==. 【点睛】解决直线与椭圆综合问题时，要注意：(1)注意观察应用题设中的每一个条件，明确确定直线、椭圆的条件；(2)强化有关直线与椭圆联立得出一元二次方程后的运算能力，重视根与系数之间的关系、弦长、斜率、三角形的面积等问题．21. 已知{}n a 是无穷数列．给出两个性质：①对于{}n a 中任意两项,()i j a a i j >，在{}n a 中都存在一项m a ，使2i m ja a a =；②对于{}n a 中任意项(3)n a n ，在{}n a 中都存在两项,()k l a a k l >．使得2kn la a a =．(Ⅰ)若(1,2,)n a n n ==，判断数列{}n a 是否满足性质①，说明理由；(Ⅱ)若12(1,2,)n n a n -==，判断数列{}n a 是否同时满足性质①和性质②，说明理由；(Ⅲ)若{}n a 是递增数列，且同时满足性质①和性质②，证明：{}n a 为等比数列. 【答案】(Ⅰ)详见解析；(Ⅱ)详解解析；(Ⅲ)证明详见解析. 【解析】 【分析】(Ⅰ)根据定义验证，即可判断； (Ⅱ)根据定义逐一验证，即可判断；(Ⅲ)解法一：首先，证明数列中的项数同号，然后证明2231a a a =，最后，用数学归纳法证明数列为等比数列即可.解法二：首先假设数列中的项数均为正数，然后证得123,,a a a 成等比数列，之后证得1234,,,a a a a 成等比数列，同理即可证得数列为等比数列，从而命题得证. 【详解】(Ⅰ){}2323292,3,2n a a a a Z a ===∉∴不具有性质①；(Ⅱ){}22*(2)1*2,,,2,2i j i i i j n j ja a i j N i j i j N a a a a ---∀∈>=-∈∴=∴具有性质①；{}2*(2)11,3,1,2,22,k l n k n n la n N n k n l a n a a ---∀∈≥∃=-=-===∴具有性质②；(Ⅲ)解法一首先，证明数列中的项数同号，不妨设恒为正数：显然()0*n a n N ≠∉，假设数列中存在负项，设{}0max |0n N n a =<， 第一种情况：若01N =，即01230a a a a <<<<<，由①可知：存在1m ，满足12210m a a a =<，存在2m ，满足22310m a a a =<， 由01N =可知223211a a a a =，从而23a a =，与数列的单调性矛盾，假设不成立.第二种情况：若02N ≥，由①知存在实数m ，满足0210Nm a a a =<，由0N 的定义可知：0m N ≤，另一方面，000221NNm N N a a a a a a =>=，由数列的单调性可知：0m N >，这与0N 的定义矛盾，假设不成立. 同理可证得数列中的项数恒为负数. 综上可得，数列中的项数同号.其次，证明2231a a a =：利用性质②：取3n =，此时()23kla a k l a =>，由数列的单调性可知0k l a a >>， 而3kk k la a a a a =⋅>，故3k <， 此时必有2,1k l ==，即2231a a a =，最后，用数学归纳法证明数列为等比数列：假设数列{}n a 的前()3k k ≥项成等比数列，不妨设()111s s a a q s k -=≤≤，其中10,1a q >>，（10,01a q <<<的情况类似）由①可得：存在整数m ，满足211k km k k a a a q a a -==>，且11k m k a a q a +=≥ （*） 由②得：存在s t >，满足：21s s k s s t ta aa a a a a +==⋅>，由数列的单调性可知：1t s k <≤+， 由()111s s a a qs k -=≤≤可得：2211111s t k s k k ta a a q a a q a ---+==>= （**）由（**）和（*）式可得：211111ks t k a q a qa q ---≥>，结合数列的单调性有：211k s t k ≥-->-， 注意到,,s t k 均为整数，故21k s t =--， 代入（**）式，从而11kk a a q +=.总上可得，数列{}n a 的通项公式为：11n n a a q -=.即数列{}n a 为等比数列. 解法二：假设数列中的项数均为正数：首先利用性质②：取3n =，此时23()kla a k l a =>， 由数列的单调性可知0k l a a >>， 而3kk k la a a a a =⋅>，故3k <， 此时必有2,1k l ==，即2231a a a =，即123,,a a a 成等比数列，不妨设22131,(1)a a q a a q q ==>，然后利用性质①：取3,2i j ==，则224331121m a a q a a q a a q ===， 即数列中必然存在一项的值为31a q ，下面我们来证明341a a q =，否则，由数列的单调性可知341a a q <，在性质②中，取4n =，则24k k k k l l a aa a a a a ==>，从而4k <， 与前面类似的可知则存在{,}{1,2,3}()k l k l ⊆>，满足24kl a a a =，若3,2k l ==，则：2341kla a a q a ==，与假设矛盾； 若3,1k l ==，则：243411kla a a q a q a ==>，与假设矛盾； 若2,1k l ==，则：22413kla a a q a a ===，与数列的单调性矛盾； 即不存在满足题意的正整数,k l ，可见341a a q <不成立，从而341a a q =，然后利用性质①：取4,3i j ==，则数列中存在一项2264411231m a a q a a q a a q===，下面我们用反证法来证明451a a q ，否则，由数列的单调性可知34151a q a a q <<，在性质②中，取5n =，则25k k k k l la a a a a a a ==>，从而5k <， 与前面类似的可知则存在{}{}(),1,2,3,4k l k l ⊆>，满足25k la a a =， 即由②可知：22222115111k k l k l l a a q a a q a a q----===， 若214k l --=，则451a a q ，与假设矛盾；若214k l -->，则451a a q >，与假设矛盾；若214k l --<，由于,k l 为正整数，故213k l --≤，则351a a q ≤，与315a q a <矛盾；综上可知，假设不成立，则451a a q . 同理可得：566171,,a a q a a q ==，从而数列{}n a 为等比数列，同理，当数列中的项数均为负数时亦可证得数列为等比数列.由推理过程易知数列中的项要么恒正要么恒负，不会同时出现正数和负数.从而题中的结论得证，数列{}n a 为等比数列.【点睛】本题主要考查数列的综合运用，等比数列的证明，数列性质的应用，数学归纳法与推理方法、不等式的性质的综合运用等知识，意在考查学生的转化能力和推理能力.衡石量书整理。
2020年北京市高考数学试卷-解析版
2020年北京市高考数学试卷-解析版2020年北京市高考数学试卷一、选择题（本大题共10小题，共40.0分）1.已知集合A={−1,1,2}，A={A|0<A<3}，则A∩A=()A.{−1,1}B.{0,1}C.{−1,1,2}D.{1,2}2.在复平面内，复数z对应的点的坐标是(1,2)，则A⋅A=()A.1+2AB.−2+AC.1−2AD.−2−A3.在(√A−2)的5的展开式中，A²的系数为()A.−5B.5C.−10D.104.某三棱柱的底面为正三角形，其三视图如图所示，该三棱柱的表面积为()A.6+√3B.6+2√3C.12+√3D.12+2√35.已知半径为1的圆经过点(3,4)，则其圆心到原点的距离的最小值为()A.4B.5C.6D.76.已知函数A(A)=2A−A−1，则不等式A(A)>的解集是()A.(−1,1)B.(−∞,−1)∪(1,+∞)C.(0,1)D.(−∞,0)∪(1,+∞)7.设抛物线的顶点为O，焦点为F，准线为A。
A是抛物线上异于O的一点，过P作AA⊥A于Q，则线段FQ的垂直平分线()A.经过点OB.经过点PC.平行于直线OPD.垂直于直线OP8.在等差数列{AA}中，A1=−9，A5=−1.记AA=A1A2…AA(A=1,2，…)，则数列{AA}()A.有最大项，有最小项B.有最大项，无最小项C.无最大项，有最小项D.无最大项，无最小项9.已知A，A∈A，则“存在A∈A使得A=AA+(−1)AA”是“AAAA=AAAA”的()A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件10.2020年3月14日是全球首个国际圆周率日(AAAA)。
历史上，求圆周率A的方法有多种，与中国传统数学中的“割圆术”相似，数学家___的方法是：当正整数n充分大时，计算单位圆的内接正6n边形的周长和外切正6n边形(各边均与圆相切的正6n边形)的周长，将它们的算术平均数作为2A的近似值。
2020年高考数学北京卷-答案
2020年普通高等学校招生全国统一考试（北京卷）数学答案解析一、选择题1.【答案】D【解析】{1,0,1,2}(0,3){1,2}A B =-=，故选：D .【考点】集合交集概念【考查能力】分析求解2.【答案】B【解析】由题意得12i z =+，i i 2z =-∴.故选：B .【考点】复数几何意义，复数乘法法则【考查能力】基本分析求解3.【答案】C【解析】)52展开式的通项公式为：()()55215522r r r r r r r T C C x --+=-=-， 令522r -=可得：1r =，则2x 的系数为：()()11522510C -=-⨯=-. 故选：C .【考点】二项式定理的核心是通项公式4.【答案】D【解析】由题意可得，三棱柱的上下底面为边长为2的等边三角形，侧面为三个边长为2的正方形，则其表面积为：()1322222sin 60122S ⎛⎫=⨯⨯+⨯⨯⨯⨯︒=+ ⎪⎝⎭故选：D .5.【答案】A【解析】设圆心(),C x y 1， 化简得()()22341x y -+-=，所以圆心C 的轨迹是以()3,4M 为圆心，1为半径的圆，所以||1||5OC OM =+=≥，所以||514OC -=≥，当且仅当C 在线段OM 上时取得等号，故选：A .【考点】圆的标准方程6.【答案】D【解析】因为()21x f x x =--，所以()0f x ＞等价于21x x +＞，在同一直角坐标系中作出2x y =和1y x =+的图象如图：两函数图象的交点坐标为()0,1，()1,2，不等式21x x +＞的解为0x ＜或1x ＞.所以不等式()0f x ＞的解集为：()(),01,-∞⋃+∞.故选：D .【考点】图象法解不等式7.【答案】B【解析】如图所示：．因为线段FQ 的垂直平分线上的点到F ，Q 的距离相等，又点P 在抛物线上，根据定义可知，PQ PF =，所以线段FQ 的垂直平分线经过点P .故选：B .【考点】抛物线的定义的应用8.【答案】B 【解析】由题意可知，等差数列的公差511925151a a d --+===--， 则其通项公式为：()()11912211n a a n d n n =+-=-+-⨯=-，注意到123456701a a a a a a a =＜＜＜＜＜＜＜＜，且由50T ＜可知()06,i T i i ∈N ＜≥， 由()117,i i i T a i i T -=∈N ＞≥可知数列{}n T 不存在最小项， 由于19a =-，27a =-，35a =-，43a =-，51a =-，61a =故数列{}n T 中的正项只有有限项：263T =，46315945T =⨯=.故数列{}n T 中存在最大项，且最大项为4T .故选：B .【考点】等差数列的通项公式，等差数列中项的符号问题，分类讨论的数学思想9.【答案】C【解析】（1）当存在k ∈Z 使得π(1)k k αβ=+-时，若k 为偶数，则()sin sin πsin k αββ=+=；若k 为奇数，则()()()sin sin πsin 1ππsin πsin k k αββββ=-=⎡-+-⎤=-=⎣⎦；（2）当sin sin αβ=时，2πm αβ=+或π2πm αβ+=+，m ∈Z ，即()()π12kk k m αβ=+-=或()()π121kk k m αβ=+-=+，亦即存在k ∈Ζ使得π(1)k k αβ=+-．所以，“存在k ∈Ζ使得π(1)k k αβ=+-”是“sin sin αβ=”的充要条件.故选：C .【考点】充分条件，必要条件的定义的应用，诱导公式的应用，涉及分类讨论思想的应用10.【答案】A【解析】单位圆内接正6n 边形的每条边所对应的圆周角为360606n n ︒︒=⨯，每条边长为302sin n ︒， 所以，单位圆的内接正6n 边形的周长为3012sinn n ︒， 单位圆的外切正6n 边形的每条边长为302tan n ︒，其周长为3012tan n n︒， 303012sin12tan 303026sin tan 2n n n n n n n π︒︒+︒︒⎛⎫==+ ⎪⎝⎭∴， 则3030π3sin tan n n n ︒︒⎛⎫=+ ⎪⎝⎭. 故选：A .【考点】圆周率π的近似值的计算，根据题意计算出单位圆内接正6n 边形和外切正6n 边形的周长【考查能力】计算二、填空题11.【答案】(0,)+∞【解析】由题意得010x x ⎧⎨+≠⎩＞，0x ∴> 故答案为：(0,)+∞【考点】函数定义域【考查能力】基本分析求解12.【答案】()3,0【解析】在双曲线C中，a =，b =3c ==，则双曲线C 的右焦点坐标为()3,0， 双曲线C的渐近线方程为y =，即0x ±=， 所以，双曲线C=.故答案为：()3,0【考点】根据双曲线的标准方程求双曲线的焦点坐标以及焦点到渐近线的距离【考查能力】计算13.1-【解析】以点A 为坐标原点，AB 、AD 所在直线分别为x 、y 轴建立如下图所示的平面直角坐标系，则点()0,0A 、()2,0B 、()2,2C 、()0,2D ，()()()()1112,02,22,1222AP AB AC =+=+=， 则点()2,1P ，()2,1PD =-∴，()0,1PB =-，因此，(PD =-=()021(1)1PB PD ⋅=⨯-+⨯-=-.1-.【考点】平面向量的模，数量积的计算，平面直角坐标系【考查能力】计算14.【答案】π2（π2π,2k k +∈Z 均可）【解析】因为()()()cos sin sin 1cos f x x x x ϕϕθ=+++，2，解得sin 1ϕ=，故可取2ϕπ=. 故答案为：π2（π2π,2k k +∈Z 均可）. 【考点】两角和的正弦公式，辅助角公式的应用，平方关系的应用【考查能力】数学运算15.【答案】①②③【解析】()()f b f a b a---表示区间端点连线斜率的负数， 在[]12,t t 这段时间内，甲的斜率比乙的小，所以甲的斜率的相反数比乙的大，因此甲企业的污水治理能力比乙企业强；①正确；甲企业在[][][]112230,,,,,t t t t t 这三段时间中，甲企业在[]12,t t 这段时间内，甲的斜率最小，其相反数最大，即在[]12,t t 的污水治理能力最强．④错误；在2t 时刻，甲切线的斜率比乙的小，所以甲切线的斜率的相反数比乙的大，甲企业的污水治理能力比乙企业强；②正确；在3t 时刻，甲、乙两企业的污水排放量都在污水打标排放量以下，所以都已达标；③正确；故答案为：①②③【考点】斜率应用，切线斜率应用，函数图象应用【考查能力】基本分析识别能力三、解答题16.【答案】（Ⅰ）证明见解析 （Ⅱ）23. 【解析】（Ⅰ）如下图所示：在正方体1111ABCD A B C D -中，11AB A B ∥且11AB A B =，1111A B C D ∥且1111A B C D =，11AB C D ∴∥且11AB C D =，所以，四边形11ABC D 为平行四边形，则11BC AD ∥，1BC ⊄∵平面1AD E ，1AD ⊂平面1AD E ，1BC ∴∥平面1AD E ；（Ⅱ）以点A 为坐标原点，AD 、AB 、1AA 所在直线分别为x 、y 、z 轴建立如下图所示的空间直角坐标系A xyz -，设正方体1111ABCD A B C D -的棱长为2，则()0,0,0A 、()10,0,2A 、()12,0,2D 、()0,2,1E ，()12,0,2AD =，()0,2,1AE =，设平面1AD E 的法向量为(),,n x y z =，由100n AD n AE ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，得22020x z y z +=⎧⎨+=⎩， 令2z =-，则2x =，1y =，则()2,1,2n =-. 11142cos ,323n AA n AA n AA ⋅>==-=-⨯⋅＜.因此，直线1AA 与平面1AD E 所成角的正弦值为23.【考点】线面平行的证明，利用空间向量法计算直线与平面所成角的正弦值【考查能力】计算17.【答案】选择条件①（Ⅰ）8（Ⅱ）sin C =,S = 选择条件②（Ⅰ）6（Ⅱ）sin C =S =. 【解析】选择条件①（Ⅰ）7c =∵，1cos 7A =-，11a b += 2222cos a b c bc A =+-∵，()()222111721177a a a ⎛⎫=-+--⋅⋅- ⎪⎝⎭∴ 8a =∴（Ⅱ）1cos 7A =-∵，(0,π)A ∈，sinA =∴ 由正弦定理得：sin sin a c AC =，7sinC =，sin C =∴()11sin 118822S ba C ==-⨯=选择条件②（Ⅰ）1cos 8A =∵，9cos 16B =，A ，()0,πB ∈sin A=∴，sin B==由正弦定理得：sin sina bA B=，，6a=∴（Ⅱ）()91sin sin sin cos sin cos168C A B A B B A=+=+=+=()11sin116622S ba C==-⨯=【考点】正弦定理，余弦定理，三角形面积公式【考查能力】基本分析求解18.【答案】（Ⅰ）该校男生支持方案一的概率为13，该校女生支持方案一的概率为34（Ⅱ）1336（Ⅲ）1p p＜【解析】（Ⅰ）该校男生支持方案一的概率为2001200+4003=，该校女生支持方案一的概率为3003300+1004=；（Ⅱ）3人中恰有2人支持方案一分两种情况，（1）仅有两个男生支持方案一，（2）仅有一个男生支持方案一，一个女生支持方案一，所以3人中恰有2人支持方案一概率为：2121311313113433436C⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⋅-+⋅-⋅=⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭；（Ⅲ）1p p＜【考点】利用频率估计概率，独立事件概率乘法公式【考查能力】基本分析求解19.【答案】（Ⅰ）2130x y+-=（Ⅱ）32【解析】（Ⅰ）因为()212f x x=-，所以()2f x x'=-，设切点为()00,12x x-，则22x-=-，即1x=，所以切点为()1,11，由点斜式可得切线方程为：()1121y x-=--，即2130x y+-=.（Ⅱ）显然0t≠，因为()y f x=在点()2,12t t-处的切线方程为：()()2122y t t x t--=--，令0x =，得212y t =+，令0y =，得2122t x t +=， 所以()()221121222||t S t t t +=⨯+⋅， 不妨设0t ＞（0t ＜时，结果一样）时，则()4232414411442444t t S t t t t t ++⎛⎫==++ ⎪⎝⎭， 所以()()422223848114432444t t S t t t t+-⎛⎫'=+-= ⎪⎝⎭ ()()()()()2222234123221244t t t t t t t -+-++==，由()0S t '＞，得2t ＞，由()0S t '＜，得02t ＜＜，所以()S t 在()0,2上递减，在()2,+∞上递增，所以2t =时，()S t 取得极小值，也是最小值为()16162328S ⨯==. 【考点】利用导数的几何意义求切线方程，利用导数求函数的最值20.【答案】（Ⅰ）22182x y += （Ⅱ）1【解析】（1）设椭圆方程为：()222210x y a b a b+=＞＞，由题意可得： 224112a b a b⎧+=⎪⎨⎪=⎩，解得：2282a b ⎧=⎨=⎩， 故椭圆方程为：22182x y +=. （2）设()11,M x y ，()22,N x y ，直线MN 的方程为：()4y k x =+， 与椭圆方程22182x y +=联立可得：()222448x k x ++=， 即：()()222241326480k x k x k +++-=， 则：21223241k x x k -+=+，212264841k x x k -=+.直线MA 的方程为：()111122y y x x ++=++， 令4x =-可得：()()()1111111141214122122222P k x k x y x y x x x x ++-++++=-⨯-=-⨯-=++++， 同理可得：()()222142Q k x y x -++=+. 很明显0P Q y y ＜，且：P QPBy PQ y =，注意到： ()()()()()()()()122112121242424421212222P Q x x x x x x y y k k x x x x +++++⎛⎫+++=-++=-+⨯ ⎪++++⎝⎭， 而：()()()()()122112124242238x x x x x x x x +++++=⎡+++⎤⎣⎦2222648322384141k k k k ⎡⎤⎛⎫--=+⨯+⎢⎥ ⎪++⎝⎭⎣⎦ ()()()22226483328412041k k k k -+⨯-++=⨯=+，故0P Q y y +=，P Q y y =-. 从而1P QPBy PQ y ==. 【考点】解决直线与椭圆的综合问题21.【答案】（Ⅰ）22a =∵，33a =，23292a a =∉Z ，{}n a ∴不具有性质①； （Ⅱ）i ∀∵，j ∈*N ，i j ＞，()2212i j i j a a --=，2i j -∈*N ，22i i j j a a a -=∴，{}n a ∴具有性质①； n ∀∈*N ∵，3n ≥，1k n ∃=-，2l n =-，2(2)1122k l n k n l a a a ---===，{}n a ∴具有性质②，； （Ⅲ）【解法一】首先，证明数列中的项数同号，不妨设恒为正数： 显然()0*n a n N ≠∉，假设数列中存在负项，设{}0max |0n N n a =<， 第一种情况：若01N =，即01230a a a a ＜＜＜＜＜，由①可知：存在1m ，满足12210m a a a =＜，存在2m ，满足22310m a a a =＜， 由01N =可知223211a a a a =，从而23a a =，与数列的单调性矛盾，假设不成立. 第二种情况：若02N ≥，由①知存在实数m ，满足0210N m a a a =＜，由0N 的定义可知：0m N ≥， 另一方面，0000221N N m N N a a a a a a ==＞，由数列的单调性可知：0m N ＞，这与0N 的定义矛盾，假设不成立.同理可证得数列中的项数恒为负数.综上可得，数列中的项数同号. 其次，证明2231a a a =： 利用性质②：取3n =，此时()23k la a k l a =＞， 由数列的单调性可知0k l a a ＞＞， 而3k k k la a a a a =⋅＞，故3k ＜， 此时必有2k =，1l =，即2231a a a =， 最后，用数学归纳法证明数列为等比数列：假设数列{}n a 的前()3k k ≥项成等比数列，不妨设()111s s a a q s k -=≤≤，其中10a ＞，1q ＞，（10a ＜，01q ＜＜的情况类似）由①可得：存在整数m ，满足211k k m k k a a a q a a -==＞，且11k m k a a q a +=≥（*） 由②得：存在s t ＞，满足：21s s k s s t ta a a a a a a +==⋅＞，由数列的单调性可知：1t s k +＜≤， 由()111s s a a q s k -=≤≤可得：2211111s t k s k k ta a a q a a q a ---+===＞（**）由（**）和（*）式可得：211111k s t k a q a q a q ---≥＞，结合数列的单调性有：211k s t k ---≥＞，注意到s ，t ，k 均为整数，故21k s t =--，代入（**）式，从而11k k a a q +=.总上可得，数列{}n a 的通项公式为：11n n a a q -=.即数列{}n a 为等比数列.【解法二】假设数列中的项数均为正数：首先利用性质②：取3n =，此时()23k la a k l a =＞， 由数列的单调性可知0k l a a ＞＞， 而3k k k la a a a a =⋅＞，故3k ＜， 此时必有2k =，1l =，即2231a a a =， 即1a ，2a ，3a 成等比数列，不妨设21a a q =，()2311a a q q =＞，然后利用性质①：取3i =，2j =，则224331121m a a q a a q a a q===， 即数列中必然存在一项的值为31a q ，下面我们来证明341a a q =，否则，由数列的单调性可知341a a q ＜，在性质②中，取4n =，则24k k k k l la a a a a a a ==＞，从而4k ＜， 与前面类似的可知则存在{}{}(),1,2,3k l k l ⊆＞，满足24k la a a =， 若3k =，2l =，则：2341k la a a q a ==，与假设矛盾； 若3k =，1l =，则：243411k la a a q a q a ==＞，与假设矛盾；若2k =，1l =，则：22413k la a a q a a ===，与数列的单调性矛盾； 即不存在满足题意的正整数k ，l ，可见341a a q ＜不成立，从而341a a q =，同理可得：451a a q =，561,a a q =，从而数列{}n a 为等比数列，同理，当数列中的项数均为负数时亦可证得数列为等比数列.由推理过程易知数列中的项要么恒正要么恒负，不会同时出现正数和负数.从而题中的结论得证，数列{}n a 为等比数列.【考点】数列的综合运用，等比数列的证明，数列性质的应用，数学归纳法与推理方法、不等式的性质的综合运用【考查能力】转化能力和推理能力。
2020年高考数学北京卷 试题+答案详解
2020年普通高等学校招生全国统一考试（北京卷）数学本试卷共5页，150分，考试时长120分钟．考试务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．第一部分（选择题共40分）一、选择题：10小题，每小题4分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1.已知集合{1,0,1,2}A =-,{|03}B x x =<<，则A B = （）．A.{1,0,1}- B.{0,1} C.{1,1,2}- D.{1,2}2.在复平面内，复数z 对应的点的坐标是(1,2)，则i z ⋅=（）．A.12i +B.2i-+ C.12i- D.2i--3.在52)-的展开式中，2x 的系数为（）．A.5- B.5C.10- D.104.某三棱柱的底面为正三角形，其三视图如图所示，该三棱柱的表面积为（）．A.6+B.6+C.12+D.12+5.已知半径为1的圆经过点(3,4)，则其圆心到原点的距离的最小值为（）．A.4B.5C.6D.76.已知函数()21x f x x =--，则不等式()0f x >的解集是（）．A.(1,1)- B.(,1)(1,)-∞-+∞ C.(0,1)D.(,0)(1,)-∞+∞ 7.设抛物线的顶点为O ，焦点为F ，准线为l ．P 是抛物线上异于O 的一点，过P 作PQ l ⊥于Q ，则线段FQ 的垂直平分线（）．A.经过点OB.经过点PC.平行于直线OPD.垂直于直线OP8.在等差数列{}n a 中，19a =-，31a =-．记12(1,2,)n n T a a a n ==……，则数列{}n T （）．A.有最大项，有最小项B.有最大项，无最小项C.无最大项，有最小项D.无最大项，无最小项9.已知,R αβ∈，则“存在k Z ∈使得(1)k k απβ=+-”是“sin sin αβ=”的（）．A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件10.2020年3月14日是全球首个国际圆周率日（πDay ）．历史上，求圆周率π的方法有多种，与中国传统数学中的“割圆术”相似．数学家阿尔·卡西的方法是：当正整数n 充分大时，计算单位圆的内接正6n 边形的周长和外切正6n 边形（各边均与圆相切的正6n 边形）的周长，将它们的算术平均数作为2π的近似值．按照阿尔·卡西的方法，π的近似值的表达式是（）．A.30303sin tan n n n ︒︒⎛⎫+ ⎪⎝⎭ B.30306sin tan n n n ︒︒⎛⎫+ ⎪⎝⎭C.60603sin tan n n n ︒︒⎛⎫+ ⎪⎝⎭D.60606sin tan n n n ︒︒⎛⎫+ ⎪⎝⎭第二部分（非选择题共110分）二、填空题：共5小题，每小题5分，共25分.11.函数1()ln 1f x x x =++的定义域是____________．12.已知双曲线22:163x y C -=，则C 的右焦点的坐标为_________；C 的焦点到其渐近线的距离是_________．13.已知正方形ABCD 的边长为2，点P 满足1()2AP AB AC =+ ，则||PD =_________；PB PD ⋅=_________．14.若函数()sin()cos f x x x ϕ=++的最大值为2，则常数ϕ的一个取值为________．15.为满足人民对美好生活的向往，环保部门要求相关企业加强污水治理，排放未达标的企业要限期整改、设企业的污水摔放量W 与时间t 的关系为()W f t =，用()()f b f a b a---的大小评价在[,]a b 这段时间内企业污水治理能力的强弱，已知整改期内，甲、乙两企业的污水排放量与时间的关系如下图所示.给出下列四个结论：①在[]12,t t 这段时间内，甲企业的污水治理能力比乙企业强；②在2t 时刻，甲企业的污水治理能力比乙企业强；③在3t 时刻，甲、乙两企业的污水排放都已达标；④甲企业在[][][]112230,,,,,t t t t t 这三段时间中，在[]10,t 的污水治理能力最强．其中所有正确结论的序号是____________________．三、解答题:共6小题，共85分，解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.16.如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，E 为1BB 的中点．（Ⅰ）求证：1//BC 平面1AD E ；（Ⅱ）求直线1AA 与平面1AD E 所成角的正弦值．17.在ABC 中，11a b +=，再从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为己知，求：（Ⅰ）a 的值：（Ⅱ）sin C 和ABC 的面积．条件①：17,cos 7c A ==-；条件②：19cos ,cos 816A B ==．注：如果选择条件①和条件②分别解答，按第一个解答计分．18.某校为举办甲、乙两项不同活动，分别设计了相应的活动方案：方案一、方案二．为了解该校学生对活动方案是否支持，对学生进行简单随机抽样，获得数据如下表：男生女生支持不支持支持不支持方案一200人400人300人100人方案二350人250人150人250人假设所有学生对活动方案是否支持相互独立．（Ⅰ）分别估计该校男生支持方案一的概率、该校女生支持方案一的概率；（Ⅱ）从该校全体男生中随机抽取2人，全体女生中随机抽取1人，估计这3人中恰有2人支持方案一的概率；（Ⅲ）将该校学生支持方案的概率估计值记为0p ，假设该校年级有500名男生和300名女生，除一年级外其他年级学生支持方案二的概率估计值记为1p ，试比较0p 与1p 的大小．（结论不要求证明）19.已知函数2()12f x x =-．（Ⅰ）求曲线()y f x =的斜率等于2-的切线方程；（Ⅱ）设曲线()y f x =在点(,())t f t 处的切线与坐标轴围成的三角形的面积为()S t ，求()S t 的最小值．20.已知椭圆2222:1x y C a b+=过点(2,1)A --，且2a b =．（Ⅰ）求椭圆C 的方程：（Ⅱ）过点(4,0)B -的直线l 交椭圆C 于点,M N ,直线,MA NA 分别交直线4x =-于点,P Q ．求||||PB BQ 的值．21.已知{}n a 是无穷数列．给出两个性质：①对于{}n a 中任意两项,()i j a a i j >，在{}n a 中都存在一项m a ，使2i m ja a a =；②对于{}n a 中任意项(3)n a n ，在{}n a 中都存在两项,()k l a a k l >．使得2k n la a a =．(Ⅰ)若(1,2,)n a n n == ，判断数列{}n a 是否满足性质①，说明理由；(Ⅱ)若12(1,2,)n n a n -== ，判断数列{}n a 是否同时满足性质①和性质②，说明理由；(Ⅲ)若{}n a 是递增数列，且同时满足性质①和性质②，证明：{}n a 为等比数列.参考答案一、选择题.1.【答案】D【解析】{1,0,1,2}(0,3){1,2}A B =-=I I ，故选D.2.【答案】B【解析】由题意得12z i =+，∴2iz i =-.故选B.3.【答案】C【解析】)52-展开式的通项公式为()()55215522r rrrr r r T CC x--+=-=-，令522r -=可得1r =，则2x 的系数为()()11522510C -=-⨯=-.故选C.4.【答案】D【解析】由题意可得，三棱柱的上下底面为边长为2的等边三角形，侧面为三个边长为2的正方形，则其表面积为：()1322222sin 60122S ⎛⎫=⨯⨯+⨯⨯⨯⨯︒=+ ⎪⎝⎭D.5.【答案】A【解析】设圆心(),C x y 1=，化简得()()22341x y -+-=，∴圆心C 的轨迹是以(3,4)M 为圆心,1为半径的圆，∴||1||OC OM +≥5==，∴||514OC ≥-=，当且仅当C 在线段OM 上时取得等号，故选A.6.【答案】D【解析】∵()21xf x x =--，∴()0f x >等价于21x x >+，在同一直角坐标系中作出2x y =和1y x =+的图象如图：两函数图象的交点坐标为(0,1),(1,2)，不等式21x x >+的解为0x <或1x >.∴不等式()0f x >的解集为()(),01,-∞+∞ .故选D.7.【答案】B【解析】如图所示，线段FQ 的垂直平分线上的点到,F Q 的距离相等，又点P 在抛物线上，根据定义可知，PQ PF =，所以线段FQ 的垂直平分线经过点P .故选B.8.【答案】B【解析】由题意可知，等差数列的公差511925151a a d --+===--，通项公式为()()11912211n a a n d n n =+-=-+-⨯=-，∵123456701a a a a a a a <<<<<<=<< ，50T <，∴()06,i T i i N <≥∈，由()117,ii i T a i i N T -=>≥∈可知数列{}n T 不存在最小项，由于1234569,7,5,3,1,1a a a a a a =-=-=-=-=-=，∴数列{}n T 中的正项只有有限项：263T =，46315945T =⨯=.∴数列{}n T 中存在最大项，且最大项为4T .故选B.9.【答案】C【解析】（1）当存在k Z ∈使得(1)k k απβ=+-时，若k 为偶数,则()sin sin sin k απββ=+=；若k 为奇数,则()()()sin sin sin 1sin sin k k απβππβπββ=-=-+-=-=⎡⎤⎣⎦（2）当sin sin αβ=时，2m αβπ=+或2m αβππ+=+，m Z ∈，即()()12kk k m απβ=+-=或()()121kk k m απβ=+-=+，∴存在k Z ∈使得(1)k k απβ=+-．∴“存在k Z ∈使得(1)k k απβ=+-”是“sin sin αβ=”的充要条件.故选C.10【答案】A【解析】单位圆内接正6n 边形的每条边所对应的圆周角为360606n n︒︒=⨯，每条边长为302sinn ︒，∴单位圆的内接正6n 边形的周长为3012sin n n︒，单位圆的外切正6n 边形的每条边长为302tan n ︒，其周长为3012tan n n︒，∴303012sin 12tan303026sin tan 2n n n n n n n π︒︒+︒︒⎛⎫==+ ⎪⎝⎭，则30303sin tan n n n π︒︒⎛⎫=+ ⎪⎝⎭.故选A.二、填空题.11【答案】(0,)+∞【解析】由题意得010x x >⎧⎨+≠⎩，∴0x >,故答案为(0,)+∞.12【答案】(1)()3,0.【解析】在双曲线C中，a =，b =，则3c ==，则双曲线C 的右焦点坐标为()3,0，双曲线C的渐近线方程为2y x =±，即0x ±=，∴双曲线C 的焦点到其渐近线的距离为23312=+.故答案为()3,0;3.13【答案】(1)5；(2)1-.【解析】以点A 为坐标原点，AB 、AD 所在直线分别为x 、y 轴,建立如图所示的平面直角坐标系，则点()0,0A 、()2,0B 、()2,2C 、()0,2D ，()()()()1112,02,22,1222AP AB AC =+=+= ，则点()2,1P ，()2,1PD ∴=-，()0,1PB =- ，∴()22215PD =-+= ，()021(1)1PB PD ⋅=⨯-+⨯-=- .故答案为5；1-.14【答案】2π（2,2k k Z ππ+∈均可）【解析】∵()()()()22cos sin sin 1cos cos sin 1sin f x x x x ϕϕϕϕθ=++=+++，∴()22cos sin 12ϕϕ++=，解得sin 1ϕ=，故可取2ϕπ=.故答案为2π（2,2k k Z ππ+∈均可）.15【答案】①②③【解析】()()f b f a b a---表示区间端点连线斜率的负数，在[]12,t t 这段时间内，甲的斜率比乙的小，∴甲的斜率的相反数比乙的大，∴甲企业的污水治理能力比乙企业强；①正确；甲企业在[][][]112230,,,,,t t t t t 这三段时间中，当甲企业在[]12,t t 这段时间内时，甲的斜率最小，其相反数最大，即在[]12,t t 的污水治理能力最强．④错误；在2t 时刻，甲切线的斜率比乙的小，∴甲切线的斜率的相反数比乙的大，甲企业的污水治理能力比乙企业强；②正确；在3t 时刻，甲、乙两企业的污水排放量都在污水打标排放量以下，都已达标；③正确；故答案为①②③.三、解答题16【答案】（Ⅰ）证明见解析；（Ⅱ）23.【解析】（Ⅰ）如图所示，在正方体1111ABCD A B C D -中，11//AB A B 且11AB A B =，1111//A B C D 且1111A B C D =，∴11//AB C D 且11AB C D =，∴四边形11ABC D 为平行四边形，则11//BC AD ，1BC ⊄ 平面1AD E ，1AD ⊂平面1AD E ，∴1//BC 平面1AD E ；（Ⅱ）以点A 为坐标原点，AD 、AB 、1AA 所在直线分别为x 、y 、z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系A xyz -，设正方体1111ABCD A B C D -的棱长为2，则()0,0,0A 、()10,0,2A 、()12,0,2D 、()0,2,1E ，()12,0,2AD =，()0,2,1AE = ，设平面1AD E 的法向量为(),,n x y z =，由100n AD n AE ⎧⋅=⎨⋅=⎩ ，得22020x z y z +=⎧⎨+=⎩，令2z =-，则2x =，1y =，则()2,1,2n =-.11142cos ,323n AA n AA n AA ⋅<>==-=-⨯⋅.∴直线1AA 与平面1AD E 所成角的正弦值为23.17【答案】选择条件①（Ⅰ）8（Ⅱ）3sin 2C =,63S =；选择条件②（Ⅰ）6（Ⅱ）7sin 4C =,1574S =.【解析】选择条件①（Ⅰ）17,cos 7c A ==- ，11a b +=2222cos a b c bc A =+- ,∴2221(11)72(11)7()7a a a =-+--⋅⋅-,∴8a =.（Ⅱ）2143cos (0,)sin 1cos 77A A A A π=-∈∴=-=，由正弦定理得873sin sin sin sin 2437a c C A C C=∴=∴=113sin (118)863222S ba C ==-⨯⨯=选择条件②（Ⅰ）19cos ,cos ,(0,)816A B A B π==∈ ，∴223757sin 1cos ,sin 1cos 816A AB B =-==-=,由正弦定理得：116sin sin 3757816a b a aa A B -=∴=∴=（Ⅱ）sin sin()sin cos sin cos C A B A B B A=+=+918161684=+=11sin (116)62244S ba C ==-⨯⨯=.18【答案】（Ⅰ）该校男生支持方案一的概率为13，该校女生支持方案一的概率为34；（Ⅱ）1336,（Ⅲ）01p p <.【解析】（Ⅰ）该校男生支持方案一的概率为2001200+4003=，该校女生支持方案一的概率为3003300+1004=；（Ⅱ）3人中恰有2人支持方案一分两种情况，（1）仅有两个男生支持方案一，（2）仅有一个男生支持方案一，一个女生支持方案一，∴3人中恰有2人支持方案一概率为2121311313((1()3433436C -+-=;（Ⅲ）01p p <19【答案】（Ⅰ）2130x y +-=，（Ⅱ）32.【解析】（Ⅰ）∵()212f x x =-，∴()2f x x '=-，设切点为()00,12x x -，则022x -=-，即01x =，∴切点为()1,11，由点斜式可得切线方程为：()1121y x -=--，即2130x y +-=.（Ⅱ）显然0t ≠，∵()y f x =在点()2,12t t-处的切线方程为()()2122y t t x t --=--，令0x =，得212y t =+，令0y =，得2122t x t+=，∴()S t =()221121222||t t t +⨯+⋅，不妨设0t >(0t <时，结果相同)，则()423241441144(2444t t S t t t t t++==++，∴()S t '=4222211443(848)(324)44t t t t t +-+-=222223(4)(12)3(2)(2)(12)44t t t t t t t-+-++==，由()0S t '>，得2t >，由()0S t '<，得02t <<，∴()S t 在()0,2上递减，在()2,+∞上递增，∴2t =时，()S t 取得极小值，也是最小值为()16162328S ⨯==.20【答案】（Ⅰ）22182x y +=；（Ⅱ）1.【解析】（1）设椭圆方程为()222210x y a b a b+=>>，由题意可得224112ab a b⎧+=⎪⎨⎪=⎩，解得2282a b ⎧=⎨=⎩，∴椭圆方程为22182x y +=.（2）设()11,M x y ，()22,N x y ，直线MN 的方程为()4y k x =+，与椭圆方程22182x y +=联立可得()222448x k x ++=，即()()222241326480k x k x k +++-=，则2212122232648,4141k k x x x x k k --+==++.直线MA 的方程为：()111122y y x x ++=++，令4x =-，可得()()()1111111141214122122222P k x k x y x y x x x x ++-++++=-⨯-=-⨯-=++++，同理可得()()222142Q k x y x -++=+.显然0P Q y y <，且PQPB y PQy =，注意到()1212442122P Q x x y y k x x ⎛⎫+++=-++ ⎪++⎝⎭()()()()()()()12211242422122x x x x k x x +++++=-+⨯++，而()()()()()122112124242238x x x x x x x x +++++=+++⎡⎤⎣⎦2222648322384141k k k k ⎡⎤⎛⎫--=+⨯+⎢⎥ ⎪++⎝⎭⎣⎦()()()22226483328412041k k k k -+⨯-++=⨯=+，∴0,P Q P Q y y y y +==-.从而1PQPB y PQy ==.21【答案】（Ⅰ）详见解析；（Ⅱ）详解解析；（Ⅲ）证明详见解析.【解析】（Ⅰ）{}2323292,3,2n a a a a Z a ===∉∴Q 不具有性质①；（Ⅱ）∵2*(2)1*,,,2,2i j i ja i j N i j i j N a --∀∈>=-∈，∴22i i j ja a a -=，∴{}n a 具有性质①；∵2*(2)11,3,1,2,22k l n k n la n N n k n l n a a ---∀∈≥∃=-=-===，∴{}n a 具有性质②；（Ⅲ）【解法一】首先，证明数列中的项数同号，不妨设恒为正数：显然()0*n a n N ≠∉，假设数列中存在负项，设{}0max |0n N n a =<，第一种情况：若01N =，即01230a a a a <<<<< ，由①可知存在1m ，满足12210m a a a =<，存在2m ，满足22310m a a a =<，由01N =可知223211a a a a =，从而23a a =，与数列的单调性矛盾，假设不成立.第二种情况：若02N ≥，由①知存在实数m ，满足0210Nm a a a =<，由0N 的定义可知：0m N ≤，另一方面，000221NNm N N a a a a a a =>=，由数列的单调性可知0m N >，这与0N 的定义矛盾，假设不成立.同理可证得数列中的项数恒为负数.综上可得，数列中的项数同号.其次，证明2231a a a =：利用性质②：取3n =，此时()23k la a k l a =>，由数列的单调性可知0k la a >>，而3kk k la a a a a =⋅>，故3k <，此时必有2,1k l ==，即2231a a a =，最后，用数学归纳法证明数列为等比数列：假设数列{}n a 的前()3k k ≥项成等比数列，不妨设()111s s a a q s k -=≤≤，其中10,1a q >>，（10,01a q <<<的情况类似）由①可得存在整数m ，满足211k k m k k a a a q a a -==>，且11k m k a a q a +=≥（*）由②得存在s t >，满足：21s s k s s t ta aa a a a a +==⋅>，由数列的单调性可知：1t s k <≤+，由()111s s a a q s k -=≤≤可得：2211111s t k s k k ta a a q a a q a ---+==>=（**）由（**）和（*）式可得：211111ks t k a q a qa q ---≥>，结合数列的单调性有：211k s t k ≥-->-，注意到,,s t k 均为整数，故21k s t =--，代入（**）式，从而11kk a a q +=.总上可得，数列{}n a 的通项公式为11n n a a q-=.即数列{}n a 为等比数列.【解法二】假设数列中的项数均为正数：首先利用性质②：取3n =，此时()23k la a k l a =>，由数列的单调性可知0k l a a >>，而3kkk la a a a a =⋅>，故3k <，此时必有2,1k l ==，即2231a a a =，即123,,a a a 成等比数列，不妨设()22131,1a a q a a qq ==>，利用性质①取3,2i j ==，则224331121m a a q a a q a a q===，即数列中必然存在一项的值为31a q ，下面证明341a a q =，否则，由数列的单调性可知341a a q <，在性质②中，取4n =，则24k k k k l l a aa a a a a ==>，从而4k <，与前面类似的可知则存在{}{}(),1,2,3k l k l ⊆>，满足24k l a a a =，若3,2k l ==，则：2341k la a a q a ==，与假设矛盾；若3,1k l ==，则：243411k la a a q a q a ==>，与假设矛盾；若2,1k l ==，则：22413k la a a q a a ===，与数列的单调性矛盾；即不存在满足题意的正整数,k l ，可见341a a q <不成立，从而341a a q =，同理可得：455161,,a a q a a q == ，从而数列{}n a 为等比数列，同理，当数列中的项数均为负数时亦可证得数列为等比数列.由推理过程易知数列中的项要么恒正要么恒负，不会同时出现正数和负数.从而题中的结论得证，数列{}n a 为等比数列.。
2020年北京市高考数学试卷-(答案与解析)
具有性质②；
(Ⅲ)解法一
首先，证明数列中的项数同号，不妨设恒为正数：
显然 ，假设数列中存在负项，设 ，
第一种情况：若 ，即 ，
由①可知：存在 ，满足 ，存在 ，满足 ，
由 可知 ，从而 ，与数列的单调性矛盾，假设不成立.
第二种情况：若 ，由①知存在实数 ，满足 ，由 的定义可知： ，
所以 时， 取得极小值，
也是最小值为 .
20.(1)设椭圆方程为： ，由题意可得：
，解得： ，
故椭圆方程为： .
(2)设 ， ，直线 的方程为： ，
与椭圆方程 联立可得： ，
即： ，
则： .
直线MA的方程为： ，
令 可得： ，
同理可得： .
很明显 ，且： ，注意到：
，
而：
，
故 .
从而 .
21.(Ⅰ) 不具有性质①；
由①可得：存在整数 ，满足 ，且 （*）
由②得：存在 ，满足： ，由数列的单调性可知： ，
由 可得： （**）
由（**）和（*）式可得： ，
结合数列的单调性有： ，
注意到 均为整数，故 ，
代入（**）式，从而 .
总上可得，数列 的通项公式为： .
即数列 为等比数列.
解法二：
假设数列中的项数均为正数：
16.如图，在正方体 中，E为 的中点．
（Ⅰ）求证： 平面 ；（Ⅱ）求直线 与平面 所成角 正弦值．
17.在 中， ，再从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为己知，求：
（Ⅰ）a的值：
（Ⅱ） 和 的面积．
条件①： ；条件②： ．
注：如果选择条件①和条件②分别解答，按第一个解答计分．
2020年北京市高考文科数学试卷(含解析版)
绝密★本科目考试启用前2020 年普通高等学校招生全国统一考试（北京卷）数学本试卷共5 页，150 分，考试时长120 分钟．考试务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．第一部分（选择题共40 分）一、选择题10 小题，每小题4 分，共40 分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1.已知集合A = {-1, 0,1, 2} ，B = {x | 0 <x< 3} ，则A B =（）．A.{-1, 0,1}B.{0,1}C. {-1,1, 2}D. {1, 2} 【答案】D【解析】【分析】根据交集定义直接得结果.【详解】A I B = {-1, 0,1, 2}I(0, 3) = {1, 2}，故选：D.【点睛】本题考查集合交集概念，考查基本分析求解能力，属基础题.2.在复平面内，复数z 对应的点的坐标是(1, 2) ，则i ⋅z =（）．D. -2 -iA.1+ 2iB.-2 +iC.1- 2i【答案】B【解析】【分析】先根据复数几何意义得z ，再根据复数乘法法则得结果.【详解】由题意得z =1+ 2i ，∴iz =i - 2 .故选：B.【点睛】本题考查复数几何意义以及复数乘法法则，考查基本分析求解能力，属基础题.33 35-rrrr +15 53.在( x - 2)5 的展开式中， x 2 的系数为（ ）．A. -5 【答案】CB. 5C. -10D. 10【解析】 【分析】首先写出展开式的通项公式，然后结合通项公式确定 x 2 的系数即可. 【详解】( - 2) 展开式的通项公式为： T= C r( x ) (-2) = (-2)C rx2，令5 - r = 2 可得： r = 1 ，则 x 2 的系数为： (-2)1C 1 = (-2)⨯ 5 = -10 .25故选：C.【点睛】二项式定理的核心是通项公式，求解此类问题可以分两步完成：第一步根据所给出的条件(特定项)和通项公式，建立方程来确定指数(求解时要注意二项式系数中 n 和 r 的隐含条件，即 n ，r 均为非负整数，且 n ≥r ，如常数项指数为零、有理项指数为整数等)；第二步是根据所求的指数，再求所求解的项．4. 某三棱柱的底面为正三角形，其三视图如图所示，该三棱柱的表面积为（）．A. 6 +B. 6 + 2C. 12 +D.12 + 2【答案】D5-r x 35【解析】【分析】首先确定几何体的结构特征，然后求解其表面积即可.【详解】由题意可得，三棱柱的上下底面为边长为2 的等边三角形，侧面为三个边长为2 的正方形，则其表面积为：S = 3⨯(2⨯ 2)+ 2⨯⎛1⨯ 2⨯ 2⨯sin 60︒⎫=12 + 2 3 .2 ⎪⎝⎭故选：D.【点睛】(1)以三视图为载体考查几何体的表面积，关键是能够对给出的三视图进行恰当的分析，从三视图中发现几何体中各元素间的位置关系及数量关系．(2)多面体表面积是各个面的面积之和；组合体的表面积应注意重合部分的处理．(3)圆柱、圆锥、圆台的侧面是曲面，计算侧面积时需要将这个曲面展为平面图形计算，而表面积是侧面积与底面圆的面积之和．5.已知半径为1 的圆经过点(3, 4) ，则其圆心到原点的距离的最小值为（）．A. 4B. 5C. 6D. 7【答案】A【解析】【分析】求出圆心C 的轨迹方程后，根据圆心M 到原点O 的距离减去半径1 可得答案.【详解】设圆心C (x, y )，则化简得(x - 3)2 +(y - 4)2 =1，=1，所以圆心C 的轨迹是以M (3, 4) 为圆心，1 为半径的圆，(x -3)2 +(y - 4)2所以| OC | +1 ≥| OM | == 5 ，所以| OC |≥ 5 -1 = 4 ，32+ 42当且仅当C 在线段OM 上时取得等号，故选：A.【点睛】本题考查了圆的标准方程，属于基础题.6.已知函数f (x) = 2x-x -1 ，则不等式f (x) > 0 的解集是（）．(1, +∞) A.(-1,1) B. (-∞, -1)C. (0,1)D. (-∞, 0) ⋃(1, +∞)【答案】D【解析】【分析】作出函数y = 2x和y =x +1 的图象，观察图象可得结果.【详解】因为f (x)= 2x -x -1，所以f (x)> 0 等价于2x>x +1 ，在同一直角坐标系中作出y = 2x和y =x + 1 的图象如图：两函数图象的交点坐标为(0,1),(1, 2) ，不等式2x>x +1 的解为x < 0 或x > 1 .所以不等式f (x)> 0 的解集为：(-∞, 0)⋃(1, +∞).故选：D.【点睛】本题考查了图象法解不等式，属于基础题.7.设抛物线的顶点为O ，焦点为F ，准线为l ．P 是抛物线上异于O 的一点，过P 作PQ ⊥l 于Q ，则线段FQ 的垂直平分线（）．A. 经过点OC. 平行于直线OP B. 经过点PD. 垂直于直线OP【答案】B【解析】【分析】依据题意不妨作出焦点在x 轴上的开口向右的抛物线，根据垂直平分线的定义和抛物线的定义可知，线段FQ 的垂直平分线经过点P ，即求解.【详解】如图所示：．因为线段FQ 的垂直平分线上的点到F ,Q 的距离相等，又点P 在抛物线上，根据定义可知，PQ = PF ，所以线段FQ 的垂直平分线经过点P .故选：B.【点睛】本题主要考查抛物线的定义的应用，属于基础题.8.在等差数列{a n}中，a1=-9 ，a3=-1 ．记T n=a1a2…a n(n =1, 2,…) ，则数列{T n}（）．A.有最大项，有最小项B. 有最大项，无最小项C. 无最大项，有最小项D. 无最大项，无最小项【答案】B【解析】【分析】首先求得数列的通项公式，然后结合数列中各个项数的符号和大小即可确定数列中是否存在最大项和最小项.【详解】由题意可知，等差数列的公差d =a5-a1 =-1+ 9= 2 ，5 -1 5 -1则其通项公式为：a n=a1+(n -1)d=-9 +(n -1)⨯2 = 2n -11 ，注意到a1 <a2 <a3 <a4 <a5 < 0 <a6 = 1 <a7 <，且由T5< 0 可知T i< 0(i ≥ 6, i ∈N )，Ti 由Ti-1 =ai>1(i ≥ 7, i ∈N )可知数列{T n}不存在最小项，由于a1 =-9, a2 =-7, a3 =-5, a4 =-3, a5 =-1, a6 =1，故数列{T n}中的正项只有有限项：T2 = 63 ，T4 = 63⨯15 = 945 .故数列{T n}中存在最大项，且最大项为T4.故选：B.【点睛】本题主要考查等差数列通项公式，等差数列中项的符号问题，分类讨论的数学思想等知识，属于中等题.9.已知α, β∈R ，则“存在k ∈Z 使得α=kπ+ (-1)kβ”是“sin α= sin β”的（）．A.充分而不必要条件B. 必要而不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】C【解析】【分析】根据充分条件，必要条件的定义，以及诱导公式分类讨论即可判断.【详解】(1)当存在k ∈Z 使得α=kπ+ (-1)kβ时，若k 为偶数，则sin α= sin (kπ+β)= sin β；若k 为奇数，则sinα= sin (kπ-β)= sin ⎡⎣(k -1)π+π-β⎤⎦= sin (π-β)= sin β；(2)当sin α= sin β时，α=β+ 2mπ或α+β=π+ 2mπ，m ∈Z ，即α=kπ+(-1)k β(k = 2m)或α=kπ+(-1)k β(k = 2m +1)，亦即存在k ∈Z 使得α=kπ+ (-1)kβ．所以，“存在k ∈Z 使得α=kπ+ (-1)kβ”是“ sin α= sin β”的充要条件.故选：C.【点睛】本题主要考查充分条件，必要条件的定义的应用，诱导公式的应用，涉及分类讨论思想的应用，属于基础题.10.2020 年3 月14 日是全球首个国际圆周率日（πD ay）．历史上，求圆周率π的方法有多种，与中国传统数学中的“割圆术”相似．数学家阿尔·卡西的方法是：当正整数n 充分大时，计算单位圆的内接正6n 边形的周长和外切正6n 边形（各边均与圆相切的正6n 边形）的周长，将它们的算术平均数作为2π的近似值．按照阿尔·卡西的方法，π的近似值的表达式是（）．⎛30︒ 30︒⎫ ⎛30︒ 30︒⎫A.3n sinn +tan ⎪n B. 6n sin n+tan ⎪n⎝⎭⎝⎭⎛60︒ 60︒⎫ ⎛60︒ 60︒⎫C.3n sinn +tan ⎪n D. 6n sin n+tan⎪n⎝⎭⎝⎭【答案】A【解析】【分析】计算出单位圆内接正6n 边形和外切正6n 边形的周长，利用它们的算术平均数作为2π的近似⎩y 值可得出结果.【详解】单位圆内接正 6n 边形的每条边所对应的圆周角为360︒ = 60︒， 每条边长为 n ⨯ 6 n2 s in 30︒ ，n所以，单位圆的内接正6n 边形的周长为12n sin 30︒ ，n单位圆的外切正6n 边形的每条边长为2 tan30︒ ，其周长为12n tan30︒ ，nn12n sin 30︒ +12n tan 30︒∴2π = n n = 6n ⎛sin 30︒ + tan 30︒ ⎫ ， 2 n n ⎪⎝ ⎭则π = 3n ⎛sin30︒+ tan 30︒ ⎫ . n n ⎪ ⎝ ⎭故选：A.【点睛】本题考查圆周率π 的近似值的计算，根据题意计算出单位圆内接正6n 边形和外切正6n 边形的周长是解答的关键，考查计算能力，属于中等题.第二部分（非选择题 共 110 分）二、填空题共 5 小题，每小题 5 分，共 25 分.11. 函数 f (x ) =1x +1+ ln x 的定义域是 ．【答案】(0, +∞)【解析】【分析】根据分母不为零、真数大于零列不等式组，解得结果.⎧ 【详解】由题意得 x > 0 ，∴ x > 0⎨x +1 ≠ 0 故答案为： (0, +∞)【点睛】本题考查函数定义域，考查基本分析求解能力，属基础题.12. 已知双曲线C :x 2- = 1，则 C 的右焦点的坐标为 ；C 的焦点到其渐近线的距6 3离是 ．26 3 3 3 PD |= 【答案】(1). (3, 0)(2).【解析】【分析】根据双曲线的标准方程可得出双曲线C 的右焦点坐标，并求得双曲线的渐近线方程，利用点到直线的距离公式可求得双曲线的焦点到渐近线的距离.【详解】在双曲线C 中，a = ，b = ，则c = 为(3, 0) ， = 3 ，则双曲线C 的右焦点坐标双曲线C 的渐近线方程为 y =±2 x ，即 x ± 2所以，双曲线C 的焦点到其渐近线的距离为2 y = 0 ，= .故答案为： (3, 0) ； .【点睛】本题考查根据双曲线的标准方程求双曲线的焦点坐标以及焦点到渐近线的距离，考查计算能力，属于基础题.13. 已知正方形 ABCD 的边长为2，点 P 满足 AP = 1( AB + AC ) ，则| ；2PB ⋅ PD =．【答案】(1).(2). -1【解析】【分析】以点 A 为坐标原点， AB 、 AD 所在直线分别为 x 、 y 轴建立平面直角坐标系，求得点 P 的坐标，利用平面向量数量积的坐标运算可求得 以及 PB ⋅ PD 的值.【详解】以点 A 为坐标原点， AB 、 AD 所在直线分别为 x 、 y 轴建立如下图所示的平面直角坐标系，3a 2 +b 2 3 12+ 25PD5cos 2 ϕ + (sin ϕ +1)2( )则点 A (0, 0) 、 B (2, 0) 、C (2, 2) 、 D (0, 2) ，AP = 1 AB + AC = 1 (2, 0) + 1(2, 2) = (2,1) ，2 2 2则点 P (2,1) ，∴ PD = (-2,1) ， PB = (0, -1) ，因此，故答案为：； -1.= ，PB ⋅ PD = 0 ⨯(-2) +1⨯ (-1) = -1.【点睛】本题考查平面向量的模和数量积的计算，建立平面直角坐标系，求出点 P 的坐标是解答的关键，考查计算能力，属于基础题.14. 若函数 f (x ) = sin(x + ϕ) + cos x 的最大值为 2，则常数ϕ 的一个取值为．【答案】 π （2k π + π, k ∈ Z 均可） 22【解析】【分析】根据两角和的正弦公式以及辅助角公式即可求得 f ( x ) =( x +θ ) ，可得 = 2 ，即可解出.【详解】因为 f ( x ) = cos ϕ sin x + (sin ϕ +1)cos x =sin ( x +θ ) ，所以 = 2 ，解得sin ϕ = 1 ，故可取ϕ = π . 2故答案为： π （ 2k π + π, k ∈ Z 均可）. 2 2【点睛】本题主要考查两角和的正弦公式，辅助角公式的应用，以及平方关系的应用，考查学生的数学运算能力，属于基础题.15. 为满足人民对美好生活的向往，环保部门要求相关企业加强污水治理，排放未达标的企业PD =(-2)2 +125 cos 2 ϕ + (sin ϕ +1)2cos 2 ϕ + (sin ϕ +1)2cos 2ϕ + (sin ϕ +1)2要限期整改、设企业的污水摔放量W 与时间t 的关系为W =f (t) ，用-f (b) -f (a)的大小评b -a价在[a, b] 这段时间内企业污水治理能力的强弱，已知整改期内，甲、乙两企业的污水排放量与时间的关系如下图所示.给出下列四个结论：①在[t1 ,t2 ]这段时间内，甲企业的污水治理能力比乙企业强；②在t2时刻，甲企业的污水治理能力比乙企业强；③在t3时刻，甲、乙两企业的污水排放都已达标；④甲企业在[0, t1],[t1, t2],[t2, t3]这三段时间中，在[0, t1]的污水治理能力最强．其中所有正确结论的序号是．【答案】①②③【解析】【分析】根据定义逐一判断，即可得到结果【详解】-f (b) -f (a)表示区间端点连线斜率的负数，b -a在[t1 ,t2 ]这段时间内，甲的斜率比乙的小，所以甲的斜率的相反数比乙的大，因此甲企业的污水治理能力比乙企业强；①正确；甲企业在[0, t1 ],[t1, t2 ],[t2 , t3 ]这三段时间中，甲企业在[t1 ,t2 ]这段时间内，甲的斜率最小，其相反数最大，即在[t1 ,t2 ]的污水治理能力最强．④错误；在t2时刻，甲切线的斜率比乙的小，所以甲切线的斜率的相反数比乙的大，甲企业的污水治理能力比乙企业强；②正确；在t3时刻，甲、乙两企业的污水排放量都在污水打标排放量以下，所以都已达标；③正确；故答案为：①②③【点睛】本题考查斜率应用、切线斜率应用、函数图象应用，考查基本分析识别能力，属中档题.三、解答题共6 小题，共85 分，解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.16.如图，在正方体ABCD -A1B1C1D1中，E 为BB1的中点．（I）求证：BC1 // 平面AD1E ；（II）求直线AA1与平面AD1E 所成角的正弦值．【答案】（Ⅰ）证明见解析；（Ⅱ）2 .3【解析】【分析】（I）证明出四边形ABC1D1为平行四边形，可得出BC1 //AD1，然后利用线面平行的判定定理可证得结论；（I I）以点A 为坐标原点，AD 、AB 、AA1 所在直线分别为x 、y 、z 轴建立空间直角坐标系A -xyz ，利用空间向量法可计算出直线AA1与平面AD1E 所成角的正弦值.【详解】（Ⅰ）如下图所示：⎩⎩在正方体 ABCD - A 1B 1C 1D 1 中， AB //A 1B 1 且 AB = A 1B 1 ， A 1B 1 //C 1D 1 且 A 1B 1 = C 1D 1 ，∴ AB //C 1D 1 且 AB = C 1D 1 ，所以，四边形 ABC 1D 1 为平行四边形，则 BC 1 //AD 1 ，BC 1 ⊄ 平面 AD 1E ， AD 1 ⊂ 平面 AD 1E ，∴ BC 1 // 平面 AD 1E ；（Ⅱ）以点 A 为坐标原点， AD 、 AB 、 AA 1 所在直线分别为 x 、 y 、 z 轴建立如下图所示的空间直角坐标系 A - xyz ，设正方体 ABCD - A 1B 1C 1D 1 的棱长为2 ，则 AD 1 = (2, 0, 2) ， AE = (0, 2,1) ，A (0, 0, 0) 、A 1 (0, 0, 2) 、D 1 (2, 0, 2) 、E (0, 2,1)，设平面 AD E 的法向量为n = (x , y , z ) ，由⎧n ⋅ AD 1 = 0 ，得⎧2x + 2z = 0 ，1⎨n ⋅ AE = 0 ⎨2 y + z = 0令 z = -2 ，则 x = 2 ， y = 1，则n = (2,1, -2).cos < =-2 . 3因此，直线AA 与平面AD E 所成角的正弦值为2 .113【点睛】本题考查线面平行的证明，同时也考查了利用空间向量法计算直线与平面所成角的正弦值，考查计算能力，属于基础题.17.在ABC 中，a +b = 11，再从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为己知，求：（Ⅰ）a 的值：（Ⅱ）sin C 和ABC 的面积．条件①：c = 7, cos A =-1 ；7条件②：cos A =1, cos B =9．816注：如果选择条件①和条件②分别解答，按第一个解答计分．【答案】选择条件①（Ⅰ）8（Ⅱ）sin C =3, S = 6 3 ；2选择条件②（Ⅰ）6（Ⅱ）sin C =7, S =157.4 4【解析】【分析】选择条件①（Ⅰ）根据余弦定理直接求解，（Ⅱ）先根据三角函数同角关系求得sin A ,再根据正弦定理求sin C ,最后根据三角形面积公式求结果；选择条件②（Ⅰ）先根据三角函数同角关系求得sin A, sin B ，再根据正弦定理求结果，（Ⅱ）根据两角和正弦公式求sin C ，再根据三角形面积公式求结果.【详解】选择条件①（Ⅰ） c = 7, cos A =-17a +b =11∴a= 8 +c2- 2bc cos A∴a2= (11-a)2+ 72- 2(11-a) ⋅7 ⋅(-1)7（Ⅱ）cos A =-1，A∈(0,π)∴sin A = =4 3 7 7n, AA >=1n ⋅AA1n ⋅AA1=-43⨯ 2a2=b21- cos2A1- cos 2 B a 由正弦定理得： sin A = c ∴8 sin C 4 3 7= 7 sin C ∴sin C = 3 2S = 1 ba sin C = 1 (11- 8) ⨯8⨯ 3 = 6 2 2 2 选择条件②（Ⅰ） cos A = 1 , cos B = 9，A , B ∈(0,π )∴sin A 8 16 = 3 7, s in B == 5 7 8 16a =b ∴a = 11- a ∴ a = 6 由正弦定理得： sin A sin B 3 7 5 78 16（II ） sin C = sin( A + B ) = sin A cos B + sin B cos A =3 7 ⨯ 9 + 5 7 ⨯ 1 =7S = 1 ba sin C = 1(11- 6) ⨯ 6⨯7 = 15 78 16 16 8 42 2 4 4【点睛】本题考查正弦定理、余弦定理，三角形面积公式，考查基本分析求解能力，属中档题.18. 某校为举办甲、乙两项不同活动，分别设计了相应的活动方案：方案一、方案二．为了解该校学生对活动方案是否支持，对学生进行简单随机抽样，获得数据如下表：假设所有学生对活动方案是否支持相互独立．（I ） 分别估计该校男生支持方案一的概率、该校女生支持方案一的概率；（II ） 从该校全体男生中随机抽取 2 人，全体女生中随机抽取 1 人，估计这 3 人中恰有 2 人支持方案一的概率；31- cos 2 A 男生女生支持不支持支持不支持 方案一 200 人 400 人 300 人 100 人 方案二 350 人250 人150 人250 人（III）将该校学生支持方案的概率估计值记为p0，假设该校年级有500 名男生和300 名女生，除一年级外其他年级学生支持方案二的概率估计值记为p1，试比较p0与p1的大小．（结论不要求证明）1【答案】（Ⅰ）该校男生支持方案一的概率为33 ，该校女生支持方案一的概率为；4（Ⅱ）13,（Ⅲ）p <p 3610【解析】【分析】（I）根据频率估计概率，即得结果；（II）先分类，再根据独立事件概率乘法公式以及分类计数加法公式求结果；（III）先求p0，再根据频率估计概率p1，即得大小.2001【详解】（Ⅰ）该校男生支持方案一的概率为=，200+40033003该校女生支持方案一的概率为=；300+1004（Ⅱ）3 人中恰有2 人支持方案一分两种情况，（1）仅有两个男生支持方案一，（2）仅有一个男生支持方案一，一个女生支持方案一，所以3 人中恰有2 人支持方案一概率为：(1)2 (1-3) +C1(1)(1-1)3=13;（III）p1 <p34233436【点睛】本题考查利用频率估计概率、独立事件概率乘法公式，考查基本分析求解能力，属基础题.19.已知函数f (x) = 12 -x2．（I）求曲线y =f (x) 的斜率等于-2 的切线方程；（II）设曲线y =f (x) 在点(t, f (t)) 处的切线与坐标轴围成的三角形的面积为S (t) ，求S (t)的最小值．【答案】（Ⅰ）2x +y -13 = 0 ，（Ⅱ）32 .【解析】【分析】12)⋅ ，( ) （I ） 根据导数的几何意义可得切点的坐标，然后由点斜式可得结果；（II ） 根据导数的几何意义求出切线方程，再得到切线在坐标轴上的截距，进一步得到三角形的面积，最后利用导数可求得最值.【详解】（Ⅰ）因为 f (x ) = 12 - x 2 ，所以 f '( x ) = -2x ， 设切点为( x 0 ,12 - x 0 ) ，则-2x 0 = -2 ，即 x 0 = 1 ，所以切点为(1,11) ，由点斜式可得切线方程 ： y -11 = -2 ( x -1) ，即2x + y - 13 = 0 . （Ⅱ）显然t ≠ 0 ，因为 y = f (x ) 在点(t ,12 - t 2 ) 处的切线方程为： y - (12 - t 2 )= -2t ( x - t ) ，令 x = 0 ，得 y = t 2 +12 ，令 y = 0 t 2 +12 ，得x = ，2t所以S (t ) = 1⨯(t 2 + t 2 +12 22 | t |不妨设t > 0 (t < 0 时，结果一样) ，t 4 + 24t 2 + 1441 则 S t == (t 3+ 24t + 144) ， 4t4 t所以 S '(t ) = 1(3t 2 + 24 - 144 3(t 4 + 8t 2 - 48)) = 4t 2 4t 23(t 2 - 4)(t 2 + 12)3(t - 2)(t + 2)(t 2 + 12)==，4t 24t 2由 S '(t ) > 0 ，得t > 2 ，由 S '(t ) < 0 ，得0 < t < 2 ，所以 S (t ) 在(0, 2) 上递减，在(2, +∞) 上递增， 所以t = 2 时， S (t ) 取得极小值， 也是最小值为 S (2) =16 ⨯16 = 32 .8【点睛】本题考查了利用导数的几何意义求切线方程，考查了利用导数求函数的最值，属于中档题.20. 已知椭圆C :x 2+y 2= 过点 A (-2, -1) ，且a = 2b ．a 2b21y + ⎨ 2 y y2 （I ） 求椭圆 C 的方程：（II ） 过点 B (-4, 0) 的直线 l 交椭圆 C 于点 M , N ,直线 MA , NA 分别交直线 x = -4 于点P , Q ．求| PB |的值．| BQ |【答案】（Ⅰ） x 2+ = 1；（Ⅱ）1.82【解析】【分析】(Ⅰ)由题意得到关于 a ,b 的方程组，求解方程组即可确定椭圆方程；(Ⅱ)首先联立直线与椭圆的方程，然后由直线 MA ,NA 的方程确定点 P ,Q 的纵坐标，将线段长度的比值转化为纵坐标比值的问题，进一步结合韦达定理可证得 y P + y Q = 0 ，从而可得两线段长度的比值.【详解】(1)设椭圆方程为： x 2 y = 1(a > b > 0)，由题意可得：⎧ 4 + 1 = 1a b⎧a 2 = 8 ⎪ a2⎪⎩b 2 a = 2b ，解得： ⎨ ， ⎩b = 2故椭圆方程为： x 2+ = 1.82(2)设 M (x 1, y 1 ) ， N ( x 2 , y 2 ) ，直线 MN 的方程为： y = k ( x + 4) ，与椭圆方程 x 2 + = 1联立可得： x 2 + 4k 2 ( x + 4)2 = 8 ，8 2即：(4k 2 +1) x 2 + 32k 2 x + (64k 2 - 8) = 0 ，-32k 2 则： x 1 + x 2 =4k 2+1, x 1x 2 =64k 2 - 8 .4k 2+1直线 MA 的方程为： y +1 =y 1 +1( x + 2) ，x 1 + 2令 x = -4 可得： y = -2⨯ y 1 +1 -1 = -2⨯ k ( x 1 + 4) +1 - x 1 + 2 = -(2k +1)( x 1 + 4) ， P x + 2 x + 2 x + 2 x + 21 1 1 12 2 22 2= ⨯= ，a n n a同理可得： y = -(2k +1)( x 2 + 4) . x 2 + 2很明显 y P y Q < 0 ，且：=，注意到：y + y = -(2k +1)⎛ x 1 + 4 + x 2 + 4 ⎫ = -(2k +1)⨯ ( x 1 + 4)( x 2 + 2) + ( x 2 + 4)( x 1 + 2) ， P Qx + 2 x + 2 ⎪ ( x + 2)( x + 2) ⎝ 1 2 ⎭ 1 2而： ( x 1 + 4)( x 2 + 2) + ( x 2 + 4)( x 1 + 2) = 2 ⎡⎣x 1x 2 + 3( x 1 + x 2 ) + 8⎤⎦= ⎡ 64k 2 - 8 ⎛ -32k 2 ⎫ ⎤ 2 ⎢ 4k 2 +1+ 3⨯ 4k 2 +1 ⎪ + 8⎥⎣⎝ ⎭ ⎦ (64k 2 - 8) + 3⨯(-32k 2 ) + 8(4k 2 +1)2 0 4k 2+1故 y P + y Q = 0, y P = - y Q .从而= = 1 .【点睛】解决直线与椭圆的综合问题时，要注意：(1) 注意观察应用题设中的每一个条件，明确确定直线、椭圆的条件；(2) 强化有关直线与椭圆联立得出一元二次方程后的运算能力，重视根与系数之间的关系、弦长、斜率、三角形的面积等问题．21. 已知{a n } 是无穷数列．给出两个性质：2①对于{a }中任意两项a i , a j (i > j ) ，在{a } 中都存在一项a ，使 i= a ；n n mm ja 2②对于{a n }中任意项a n (n …3) ，在{a n } 中都存在两项a k , a l (k > l ) ．使得a n(I) 若a n = n (n = 1, 2,) ，判断数列{a n } 是否满足性质①，说明理由；= k ．a l(II) 若a = 2n -1(n = 1, 2, ) ，判断数列{a }是否同时满足性质①和性质②，说明理由； (III) 若{a n }是递增数列，且同时满足性质①和性质②，证明：{a n } 为等比数列.【答案】(Ⅰ)详见解析；(Ⅱ)详解解析；(Ⅲ)证明详见解析.【解析】PBPQy Py Q PB PQ y Py QQa 2 a a ma 【分析】(I) 根据定义验证，即可判断；(II) 根据定义逐一验证，即可判断；a 2 (III) 解法一：首先，证明数列中的项数同号，然后证明a 3 = 2，最后，用数学归纳法证明数a 1列为等比数列即可.解法二：首先假设数列中的项数均为正数，然后证得a 1, a 2 , a 3 成等比数列，之后证得a 1, a 2 , a 3, a 4 成等比数列，同理即可证得数列为等比数列，从而命题得证.a 29 【详解】(Ⅰ)Q a = 2, a = 3, 3 = ∉ Z ∴{a } 不具有性质①； 2 3 n2a 2 a 2(Ⅱ) Q ∀i , j ∈ N *, i > j , i = 2(2i - j )-1, 2i - j ∈ N * ∴ i = a∴{a }具有性质①； a j a ja 22i - j nQ ∀n ∈ N *, n ≥ 3, ∃k = n -1,l = n - 2, k = 2(2k -l )-1 = 2n -1 = a ,∴{a } 具有性质②；n nl(Ⅲ)【解法一】首先，证明数列中的项数同号，不妨设恒为正数：显然a n ≠ 0 (n ∉ N *)，假设数列中存在负项，设N 0 = max {n | a n < 0} ，第一种情况：若 N 0 = 1，即a 0 < 0 < a 1 < a 2 < a 3 <，由①可知：存在m 1 ，满足a a 2 = 2 < 0 ，存在m 2 ，满足aa 2 = 3 < 0 ， m 1 m 21 1a 2 a 2由 N 0 = 1可知 2= 3 ，从而a 2 = a 3 ，与数列的单调性矛盾，假设不成立. a 1 a 1a 2第二种情况：若 N ≥ 2 ，由①知存在实数m ，满足a = N 0< 0 ，由 N 的定义可知：m ≤ N ，0 012 2另一方面， a m = N 0> N 0 = aa a N 0 ，由数列 单调性可知： m > N 0 ，1N 0这与 N 0 的定义矛盾，假设不成立.同理可证得数列中的项数恒为负数.aaa 1a 1 1 1a 综上可得，数列中的项数同号.a 2 其次，证明a 3 = 2：a 1利用性质②：取n = 3 ，此时a 32= k (k > l ) ， a l由数列的单调性可知a k > a l > 0 ，而 a 3 = a k ⋅ a ka l> a k ，故 k < 3 ，2 此时必有k = 2, l = 1 ，即a3 = 2，a 1最后，用数学归纳法证明数列为等比数列：假设数列{a n }的前k (k ≥ 3) 项成等比数列，不妨设a s= a q s -1(1 ≤ s ≤ k ) ，其中a 1 > 0, q > 1，（ a 1 < 0, 0 < q < 1 情况类似）由①可得：存在整数m ，满足 a a2= k = a q k > a，且a = a q k ≥ a（*）a k -1a 2 am 1 k +1由②得：存在 s > t ，满足： a = s = a ⋅ s > a ，由数列的单调性可知： t < s ≤ k +1， k +1 a s a ss -1t t22s -t - - 由 a = a q (1 ≤ s ≤ k ) 可得： a = s= a q 1 > a = a q k 1 （**）s 1 k +1 1 k 1t 由（**）和（*）式可得： a q k ≥ a q 2s -t -1 > a q k -1，结合数列的单调性有： k ≥ 2s - t -1 > k -1， 注意到 s , t , k 均为整数，故k = 2s - t -1， 代入（**）式，从而a= a q k .k +11总上可得，数列{a }的通项公式为： a = a q n -1 .nn1即数列{a n }为等比数列.【解法二】假设数列中的项数均为正数：m1 kaa 1 4 1 4 1 4 1 4 1 首先利用性质②：取n = 3 ，此时 a 3由数列的单调性可知a k > a l > 0 ，2= k (k > l ) ， a l而 a 3 = a k ⋅ a ka l> a k ，故 k < 3 ，2 此时必有k = 2, l = 1 ，即a3 = 2，a 1即 a , a , a 成等比数列，不妨设a = a q , a = a q 2(q > 1) ，1232 13 1a 2 a 2q 4然后利用性质①：取i = 3, j = 2 ，则a = 3 = 1 = a q 3 ， a 2 a 1q即数列中必然存在一项的值为a q 3 ，下面我们来证明a = a q 3，否则，由数列的单调性可知 a < a q 3 ，在性质②中，取n = 4 ，则a a 2 = k = a a k > a，从而k < 4 ，4 a k a kl l与前面类似的可知则存在{k , l } ⊆ {1, 2, 3}(k > l ) ，满足a 4a 2a 2= k ，a l若 k = 3, l = 2 ，则： a = k = a q 3，与假设矛盾；1la 2 若 k = 3, l = 1，则： a = k = a q 4 > a q 3 ，与假设矛盾； 1 1la 2若 k = 2, l = 1 ，则： a = k = a q 2= a ，与数列的单调性矛盾；1 3l即不存在满足题意的正整数 k , l ，可见a < a q 3 不成立，从而a = a q 3，同理可得：a = a q 4 , a = a q 5 , ，从而数列{a } 为等比数列，5161n同理，当数列中的项数均为负数时亦可证得数列为等比数列.由推理过程易知数列中的项要么恒正要么恒负，不会同时出现正数和负数.从而题中的结论得证，数列{a n } 为等比数列.m 14a 4 a 4a【点睛】本题主要考查数列的综合运用，等比数列的证明，数列性质的应用，数学归纳法与推理方法、不等式的性质的综合运用等知识，意在考查学生的转化能力和推理能力.。
2020年北京市高考数学试卷(解析版)
绝密★本科目考试启用前2020年普通高等学校招生全国统一考试（北京卷）数学本试卷共5页，150分，考试时长120分钟．考试务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．第一部分（选择题 共40分）一、选择题10小题，每小题4分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1.已知集合，，则（ ）． A. B.C.D.【答案】D 【解析】 【分析】根据交集定义直接得结果.【详解】， 故选：D.【点睛】本题考查集合交集概念，考查基本分析求解能力，属基础题. 2.在复平面内，复数对应的点的坐标是，则（ ）． A. B.C.D.【答案】B 【解析】 【分析】先根据复数几何意义得，再根据复数乘法法则得结果. 【详解】由题意得，. 故选：B.【点睛】本题考查复数几何意义以及复数乘法法则，考查基本分析求解能力，属基础题. 3.在的展开式中，的系数为（ ）．{1,0,1,2}A =-{|03}B x x =<<A B = {1,0,1}-{0,1}{1,1,2}-{1,2}{1,0,1,2}(0,3){1,2}A B =-=I I z (1,2)i z ⋅=12i +2i -+12i -2i --z 12z i =+2iz i ∴=-52)-2xA. B. 5 C. D. 10【答案】C 【解析】 【分析】首先写出展开式的通项公式，然后结合通项公式确定的系数即可. 【详解】展开式的通项公式为：，令可得：，则的系数为：. 故选：C.【点睛】二项式定理的核心是通项公式，求解此类问题可以分两步完成：第一步根据所给出的条件(特定项)和通项公式，建立方程来确定指数(求解时要注意二项式系数中n 和r 的隐含条件，即n ，r 均为非负整数，且n ≥r ，如常数项指数为零、有理项指数为整数等)；第二步是根据所求的指数，再求所求解的项． 4.某三棱柱的底面为正三角形，其三视图如图所示，该三棱柱的表面积为（）．A. B.C.D.【答案】D 【解析】【分析】首先确定几何体的结构特征，然后求解其表面积即可.【详解】由题意可得，三棱柱的上下底面为边长为2的等边三角形，侧面为三个边长为2的正方形，5-10-2x )52-()()55215522r rrrr r r T CC x--+=-=-522r -=1r =2x ()()11522510C -=-⨯=-6+6+12+12+则其表面积为：. 故选：D.【点睛】(1)以三视图为载体考查几何体的表面积，关键是能够对给出的三视图进行恰当的分析，从三视图中发现几何体中各元素间的位置关系及数量关系．(2)多面体表面积是各个面的面积之和；组合体的表面积应注意重合部分的处理．(3)圆柱、圆锥、圆台的侧面是曲面，计算侧面积时需要将这个曲面展为平面图形计算，而表面积是侧面积与底面圆的面积之和．5.已知半径为1的圆经过点，则其圆心到原点的距离的最小值为（ ）． A. 4 B. 5 C. 6 D. 7【答案】A 【解析】 【分析】求出圆心的轨迹方程后，根据圆心到原点的距离减去半径1可得答案. 【详解】设圆心，化简得，所以圆心的轨迹是以为圆心，1为半径的圆，所以，所以，当且仅当在线段上时取得等号， 故选：A.【点睛】本题考查了圆的标准方程，属于基础题.的()1322222sin 60122S ⎛⎫=⨯⨯+⨯⨯⨯⨯︒=+ ⎪⎝⎭(3,4)C M O (),C x y 1=()()22341x y -+-=C (3,4)M ||1||OC OM +≥5==||514OC ≥-=C OM6.已知函数，则不等式的解集是（ ）． A. B. C. D.【答案】D 【解析】 【分析】作出函数和的图象，观察图象可得结果.【详解】因为，所以等价于，在同一直角坐标系中作出和的图象如图：两函数图象的交点坐标为， 不等式的解为或.所以不等式的解集为：. 故选：D.【点睛】本题考查了图象法解不等式，属于基础题.7.设抛物线的顶点为，焦点为，准线为．是抛物线上异于的一点，过作于，则线段的垂直平分线（ ）．A. 经过点B. 经过点C. 平行于直线D. 垂直于直线【答案】B()21x f x x =--()0f x >(1,1)-(,1)(1,)-∞-+∞ (0,1)(,0)(1,)-∞⋃+∞2x y =1y x =+()21xf x x =--()0f x >21x x >+2x y =1y x =+(0,1),(1,2)21x x >+0x <1x >()0f x >()(),01,-∞⋃+∞O F l P O P PQ l ⊥Q FQ O P OP OP【解析】 【分析】依据题意不妨作出焦点在轴上的开口向右的抛物线，根据垂直平分线的定义和抛物线的定义可知，线段的垂直平分线经过点，即求解.【详解】如图所示：．因为线段的垂直平分线上的点到的距离相等，又点在抛物线上，根据定义可知，，所以线段的垂直平分线经过点. 故选：B.【点睛】本题主要考查抛物线的定义的应用，属于基础题.8.在等差数列中，，．记，则数列（ ）． A. 有最大项，有最小项 B. 有最大项，无最小项 C. 无最大项，有最小项 D. 无最大项，无最小项【答案】B 【解析】 【分析】首先求得数列的通项公式，然后结合数列中各个项数的符号和大小即可确定数列中是否存在最大项和最小项.【详解】由题意可知，等差数列的公差， 则其通项公式为：， 注意到， 且由可知， 由可知数列不存在最小项， x FQ P FQ ,F Q P PQ PF =FQ P {}n a 19a =-31a =-12(1,2,)n n T a a a n ==……{}n T 511925151a a d --+===--()()11912211n a a n d n n =+-=-+-⨯=-123456701a a a a a a a <<<<<<=<< 50T <()06,i T i i N <≥∈()117,ii i T a i i N T -=>≥∈{}n T由于， 故数列中的正项只有有限项：，. 故数列中存在最大项，且最大项为. 故选：B.【点睛】本题主要考查等差数列通项公式，等差数列中项的符号问题，分类讨论的数学思想等知识，属于中等题.9.已知，则“存在使得”是“”的（ ）． A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件【答案】C 【解析】 【分析】根据充分条件，必要条件的定义，以及诱导公式分类讨论即可判断. 【详解】(1)当存在使得时，若为偶数，则；若为奇数，则； (2)当时，或，，即或，亦即存在使得．所以，“存在使得”是“”的充要条件.故选：C.【点睛】本题主要考查充分条件，必要条件的定义的应用，诱导公式的应用，涉及分类讨论思想的应用，属于基础题.10.2020年3月14日是全球首个国际圆周率日（ Day ）．历史上，求圆周率的方法有多种，与中国传统数学中的“割圆术”相似．数学家阿尔·卡西的方法是：当正整数充分大时，计算单位圆的内接正边形的周长和外切正边形（各边均与圆相切的正边形）的周长，将它们的算术平均数作为的近似值．按照阿尔·卡西的方法，的近似值的表达式是（ ）．的1234569,7,5,3,1,1a a a a a a =-=-=-=-=-={}n T 263T =46315945T =⨯={}n T 4T ,R αβ∈k Z ∈(1)k k απβ=+-sin sin αβ=k Z ∈(1)kk απβ=+-k ()sin sin sin k απββ=+=k ()()()sin sin sin 1sin sin k k απβππβπββ=-=-+-=-=⎡⎤⎣⎦sin sin αβ=2m αβπ=+2m αβππ+=+m Z ∈()()12kk k m απβ=+-=()()121kk k m απβ=+-=+k Z ∈(1)kk απβ=+-k Z ∈(1)kk απβ=+-sin sin αβ=ππn 6n 6n 6n 2ππA. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】计算出单位圆内接正边形和外切正边形的周长，利用它们的算术平均数作为的近似值可得出结果. 【详解】单位圆内接正边形的每条边所对应的圆周角为，每条边长为， 所以，单位圆的内接正边形的周长为， 单位圆的外切正边形的每条边长为，其周长为， ，则. 故选：A.【点睛】本题考查圆周率的近似值的计算，根据题意计算出单位圆内接正边形和外切正边形的周长是解答的关键，考查计算能力，属于中等题.第二部分（非选择题 共110分）二、填空题共5小题，每小题5分，共25分.11.函数的定义域是____________． 【答案】 【解析】 【分析】根据分母不为零、真数大于零列不等式组，解得结果.【详解】由题意得，故答案为：30303sin tan n n n ︒︒⎛⎫+ ⎪⎝⎭30306sin tan n n n ︒︒⎛⎫+ ⎪⎝⎭60603sin tan n n n ︒︒⎛⎫+ ⎪⎝⎭60606sin tan n n n ︒︒⎛⎫+ ⎪⎝⎭6n 6n 2π6n 360606n n ︒︒=⨯302sin n︒6n 3012sin n n︒6n 302tann ︒3012tan n n︒303012sin12tan 303026sin tan 2n n n n n n n π︒︒+︒︒⎛⎫∴==+ ⎪⎝⎭30303sin tan n n n π︒︒⎛⎫=+ ⎪⎝⎭π6n 6n 1()ln 1f x x x =++(0,)+∞010x x >⎧⎨+≠⎩0x ∴>(0,)+∞【点睛】本题考查函数定义域，考查基本分析求解能力，属基础题.12.已知双曲线，则C 的右焦点的坐标为_________；C 的焦点到其渐近线的距离是_________． 【答案】 (1).(2).【解析】 【分析】根据双曲线的标准方程可得出双曲线的右焦点坐标，并求得双曲线的渐近线方程，利用点到直线的距离公式可求得双曲线的焦点到渐近线的距离. 【详解】在双曲线中，，，则，则双曲线的右焦点坐标为，双曲线的渐近线方程为，即， 所以，双曲线.故答案为：.【点睛】本题考查根据双曲线的标准方程求双曲线的焦点坐标以及焦点到渐近线的距离，考查计算能力，属于基础题.13.已知正方形的边长为2，点P 满足，则_________；_________．【答案】 (1).(2).【解析】 【分析】以点为坐标原点，、所在直线分别为、轴建立平面直角坐标系，求得点的坐标，利用平面向量数量积的坐标运算可求得以及的值.【详解】以点为坐标原点，、所在直线分别为、轴建立如下图所示的平面直角坐标系，22:163x y C -=()3,0C C a =b =3c ==C ()3,0C y x =0x ±=C =()3,0ABCD 1()2AP AB AC =+ ||PD =PB PD ⋅=1-A AB AD x y P PD PB PD ⋅A AB AD x y则点、、、，，则点，，，因此，..【点睛】本题考查平面向量的模和数量积的计算，建立平面直角坐标系，求出点的坐标是解答的关键，考查计算能力，属于基础题.14.若函数的最大值为2，则常数的一个取值为________． 【答案】（均可）【解析】 【分析】根据两角和的正弦公式以及辅助角公式即可求得，可得，即可解出.【详解】因为，，解得，故可取. 故答案为：（均可）.【点睛】本题主要考查两角和的正弦公式，辅助角公式的应用，以及平方关系的应用，考查学生的数学运算能力，属于基础题.15.为满足人民对美好生活的向往，环保部门要求相关企业加强污水治理，排放未达标的企业要限期整改、()0,0A ()2,0B ()2,2C ()0,2D ()()()()1112,02,22,1222AP AB AC =+=+= ()2,1P ()2,1PD ∴=- ()0,1PB =- PD ==()021(1)1PB PD ⋅=⨯-+⨯-=-1-P ()sin()cos f x x x ϕ=++ϕ2π2,2k k Z ππ+∈()()f x x θ=+2=()()()cos sin sin 1cos f x x x x ϕϕθ=++=+2=sin 1ϕ=2ϕπ=2π2,2k k Z ππ+∈设企业的污水摔放量W 与时间t 的关系为，用的大小评价在这段时间内企业污水治理能力的强弱，已知整改期内，甲、乙两企业的污水排放量与时间的关系如下图所示.给出下列四个结论： ①在这段时间内，甲企业的污水治理能力比乙企业强；②在时刻，甲企业的污水治理能力比乙企业强； ③在时刻，甲、乙两企业的污水排放都已达标；④甲企业在这三段时间中，在的污水治理能力最强． 其中所有正确结论的序号是____________________． 【答案】①②③ 【解析】 【分析】根据定义逐一判断，即可得到结果 【详解】表示区间端点连线斜率的负数，在这段时间内，甲的斜率比乙的小，所以甲的斜率的相反数比乙的大，因此甲企业的污水治理能力比乙企业强；①正确；甲企业在这三段时间中，甲企业在这段时间内，甲的斜率最小，其相反数最大，即在的污水治理能力最强．④错误；在时刻，甲切线的斜率比乙的小，所以甲切线的斜率的相反数比乙的大，甲企业的污水治理能力比乙企业强；②正确；在时刻，甲、乙两企业的污水排放量都在污水打标排放量以下，所以都已达标；③正确； 故答案为：①②③()W f t =()()f b f a b a---[,]a b []12,t t 2t 3t [][][]112230,,,,,t t t t t []10,t ()()f b f a b a---[]12,t t [][][]112230,,,,,t t t t t []12,t t []12,t t 2t 3t【点睛】本题考查斜率应用、切线斜率应用、函数图象应用，考查基本分析识别能力，属中档题.三、解答题共6小题，共85分，解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.16.如图，在正方体中，E 为的中点．（Ⅰ）求证：平面；（Ⅱ）求直线与平面所成角的正弦值． 【答案】（Ⅰ）证明见解析；（Ⅱ）. 【解析】 【分析】（Ⅰ）证明出四边形为平行四边形，可得出，然后利用线面平行的判定定理可证得结论； （Ⅱ）以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立空间直角坐标系，利用空间向量法可计算出直线与平面所成角的正弦值. 【详解】（Ⅰ）如下图所示：1111ABCD A B C D -1BB 1//BC 1AD E 1AA 1AD E 2311ABC D 11//BC AD A AD AB 1AA x y z A xyz -1AA 1AD E在正方体中，且，且，且，所以，四边形为平行四边形，则， 平面，平面，平面；（Ⅱ）以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立如下图所示的空间直角坐标系，设正方体的棱长为，则、、、，，，设平面的法向量为，由，得， 令，则，，则..因此，直线与平面所成角的正弦值为. 【点睛】本题考查线面平行的证明，同时也考查了利用空间向量法计算直线与平面所成角的正弦值，考查计算能力，属于基础题.17.在中，，再从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为己知，求： （Ⅰ）a 的值：（Ⅱ）和的面积．1111ABCD A B C D -11//AB A B 11AB A B =1111//A B C D 1111A B C D =11//AB C D ∴11AB C D =11ABC D 11//BC AD 1BC ⊄ 1AD E 1AD ⊂1AD E 1//BC ∴1AD E A AD AB 1AA x y z A xyz -1111ABCD A B C D -2()0,0,0A ()10,0,2A ()12,0,2D ()0,2,1E ()12,0,2AD =()0,2,1AE = 1AD E (),,n x y z = 100n AD n AE ⎧⋅=⎨⋅=⎩22020x z y z +=⎧⎨+=⎩2z =-2x =1y =()2,1,2n =-11142cos ,323n AA n AA n AA ⋅<>==-=-⨯⋅1AA 1AD E 23ABC 11a b +=sin C ABC条件①：； 条件②：．注：如果选择条件①和条件②分别解答，按第一个解答计分．【答案】选择条件①（Ⅰ）8（Ⅱ）,选择条件②（Ⅰ）6（Ⅱ）, . 【解析】【分析】选择条件①（Ⅰ）根据余弦定理直接求解，（Ⅱ）先根据三角函数同角关系求得,再根据正弦定理求,最后根据三角形面积公式求结果；选择条件②（Ⅰ）先根据三角函数同角关系求得，再根据正弦定理求结果，（Ⅱ）根据两角和正弦公式求，再根据三角形面积公式求结果.【详解】选择条件①（Ⅰ）（Ⅱ）由正弦定理得：选择条件②（Ⅰ）由正弦定理得： 17,cos 7cA ==-19cos ,cos 816A B ==sin C =S =sin C =S =sin A sin C sin ,sin A B sin C 17,cos 7c A ==- ，11a b +=22222212cos (11)72(11)7()7a b c bc A a a a =+-∴=-+--⋅⋅- 8a ∴=1cos (0,)sin 7A A A π=-∈∴==，7sin sin sin sin a c C A C C==∴=11sin (118)822S ba C ==-⨯=19cos ,cos ,(0,)816A B A B π==∈ ，sin A B ∴====6sin sin a b a A B ===（Ⅱ）【点睛】本题考查正弦定理、余弦定理，三角形面积公式，考查基本分析求解能力，属中档题.18.某校为举办甲、乙两项不同活动，分别设计了相应的活动方案：方案一、方案二．为了解该校学生对活动方案是否支持，对学生进行简单随机抽样，获得数据如下表：男生女生支持不支持 支持 不支持 方案一 200人 400人 300人 100人 方案二 350人250人150人250人假设所有学生对活动方案是否支持相互独立．（Ⅰ）分别估计该校男生支持方案一的概率、该校女生支持方案一的概率；（Ⅱ）从该校全体男生中随机抽取2人，全体女生中随机抽取1人，估计这3人中恰有2人支持方案一的概率；（Ⅲ）将该校学生支持方案的概率估计值记为，假设该校年级有500名男生和300名女生，除一年级外其他年级学生支持方案二的概率估计值记为，试比较与的大小．（结论不要求证明）【答案】（Ⅰ）该校男生支持方案一的概率为，该校女生支持方案一的概率为； （Ⅱ）,（Ⅲ） 【解析】 【分析】（Ⅰ）根据频率估计概率，即得结果；（Ⅱ）先分类，再根据独立事件概率乘法公式以及分类计数加法公式求结果； （Ⅲ）先求，再根据频率估计概率，即得大小.【详解】（Ⅰ）该校男生支持方案一的概率为，91sin sin()sin cos sin cos 168C A B A B B A =+=+==11sin (116)622S ba C ==-⨯=0p 1p 0p 1p 1334133601p p <0p 1p 2001200+4003=该校女生支持方案一的概率为；（Ⅱ）3人中恰有2人支持方案一分两种情况，（1）仅有两个男生支持方案一，（2）仅有一个男生支持方案一，一个女生支持方案一，所以3人中恰有2人支持方案一概率为：; （Ⅲ）【点睛】本题考查利用频率估计概率、独立事件概率乘法公式，考查基本分析求解能力，属基础题. 19.已知函数．（Ⅰ）求曲线的斜率等于的切线方程；（Ⅱ）设曲线在点处的切线与坐标轴围成的三角形的面积为，求的最小值． 【答案】（Ⅰ），（Ⅱ）. 【解析】 【分析】（Ⅰ）根据导数的几何意义可得切点的坐标，然后由点斜式可得结果；（Ⅱ）根据导数的几何意义求出切线方程，再得到切线在坐标轴上的截距，进一步得到三角形的面积，最后利用导数可求得最值.【详解】（Ⅰ）因为，所以，设切点为，则，即，所以切点为， 由点斜式可得切线方程：，即. （Ⅱ）显然， 因为在点处的切线方程为：，令，得，令，得，所以，不妨设时，结果一样，则，为3003300+1004=2121311313()(1()(13433436C -+-=01p p <2()12f x x =-()y f x =2-()y f x =(,())t f t ()S t ()S t 2130x y +-=32()212f x x =-()2f x x '=-()00,12x x -022x -=-01x =()1,11()1121y x -=--2130x y +-=0t ≠()y f x =()2,12t t-()()2122y t t x t --=--0x =212y t =+0y =2122t x t+=()S t =()221121222||t t t +⨯+⋅0t >(0t <)()423241441144(24)44t t S t t t t t++==++所以 ， 由，得，由，得， 所以在上递减，在上递增， 所以时，取得极小值， 也是最小值为. 【点睛】本题考查了利用导数的几何意义求切线方程，考查了利用导数求函数的最值，属于中档题.20.已知椭圆过点，且．（Ⅰ）求椭圆C 的方程：（Ⅱ）过点的直线l 交椭圆C 于点,直线分别交直线于点．求的值．【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）1.【解析】 【分析】(Ⅰ)由题意得到关于a ,b 的方程组，求解方程组即可确定椭圆方程；(Ⅱ)首先联立直线与椭圆的方程，然后由直线MA ,NA 的方程确定点P ,Q 的纵坐标，将线段长度的比值转化为纵坐标比值的问题，进一步结合韦达定理可证得，从而可得两线段长度的比值.【详解】(1)设椭圆方程为：，由题意可得：，解得：， 故椭圆方程为：.()S t '=4222211443(848)(324)44t t t t t+-+-=222223(4)(12)3(2)(2)(12)44t t t t t t t-+-++==()0S t '>2t >()0S t '<02t <<()S t ()0,2()2,+∞2t =()S t ()16162328S ⨯==2222:1x y C a b+=(2,1)A --2a b =(4,0)B -,M N ,MA NA 4x =-,P Q ||||PB BQ 22182x y +=0P Q y y +=()222210x y a b a b +=>>224112a ba b⎧+=⎪⎨⎪=⎩2282a b ⎧=⎨=⎩22182x y +=(2)设，，直线的方程为：，与椭圆方程联立可得：，即：，则：. 直线MA 的方程为：， 令可得：， 同理可得：.很明显，且：，注意到： ， 而：，故.从而. 【点睛】解决直线与椭圆的综合问题时，要注意：(1)注意观察应用题设中的每一个条件，明确确定直线、椭圆的条件；(2)强化有关直线与椭圆联立得出一元二次方程后的运算能力，重视根与系数之间的关系、弦长、斜率、三角形的面积等问题．21.已知是无穷数列．给出两个性质：()11,M x y ()22,N x y MN ()4y k x =+22182x y +=()222448x k x ++=()()222241326480k x k x k +++-=2212122232648,4141k k x x x x k k --+==++()111122y y x x ++=++4x =-()()()1111111141214122122222P k x k x y x y x x x x ++-++++=-⨯-=-⨯-=++++()()222142Q k x y x -++=+0P Q y y <P QPB yPQ y =()()()()()()()()122112121242424421212222P Q x x x x x x y y k k x x x x +++++⎛⎫+++=-++=-+⨯ ⎪++++⎝⎭()()()()()122112124242238x x x x x x x x +++++=+++⎡⎤⎣⎦2222648322384141k k k k ⎡⎤⎛⎫--=+⨯+⎢⎥ ⎪++⎝⎭⎣⎦()()()22226483328412041k k k k -+⨯-++=⨯=+0,P Q P Q y y y y +==-1PQPB y PQy =={}n a①对于中任意两项，在中都存在一项，使； ②对于中任意项，在中都存在两项．使得．(Ⅰ)若，判断数列是否满足性质①，说明理由； (Ⅱ)若，判断数列是否同时满足性质①和性质②，说明理由；(Ⅲ)若是递增数列，且同时满足性质①和性质②，证明：为等比数列. 【答案】(Ⅰ)详见解析；(Ⅱ)详解解析；(Ⅲ)证明详见解析. 【解析】 【分析】(Ⅰ)根据定义验证，即可判断； (Ⅱ)根据定义逐一验证，即可判断；(Ⅲ)解法一：首先，证明数列中的项数同号，然后证明，最后，用数学归纳法证明数列为等比数列即可.解法二：首先假设数列中的项数均为正数，然后证得成等比数列，之后证得成等比数列，同理即可证得数列为等比数列，从而命题得证.【详解】(Ⅰ)不具有性质①； (Ⅱ)具有性质①； 具有性质②；(Ⅲ)【解法一】首先，证明数列中的项数同号，不妨设恒为正数：显然，假设数列中存在负项，设， 第一种情况：若，即，由①可知：存在，满足，存在，满足， {}n a ,()i j a a i j >{}n a m a 2i m ja a a ={}n a (3)n a n …{}n a ,()k l a a k l >2k n la a a =(1,2,)n a n n == {}n a 12(1,2,)n n a n -== {}n a {}n a {}n a 2231a a a =123,,a a a 1234,,,a a a a {}2323292,3,2n a a a a Z a ===∉∴Q {}22*(2)1*2,,,2,2i j i i i j n j ja a i j N i j i j N a a a a ---∀∈>=-∈∴=∴Q {}2*(2)11,3,1,2,22,k l n k n n la n N n k n l a n a a ---∀∈≥∃=-=-===∴Q ()0*n a n N ≠∉{}0max |0n N n a =<01N =01230a a a a <<<<< 1m 12210m a a a =<2m 22310m a a a =<由可知，从而，与数列的单调性矛盾，假设不成立. 第二种情况：若，由①知存在实数，满足，由的定义可知：，另一方面，，由数列单调性可知：，这与的定义矛盾，假设不成立. 同理可证得数列中的项数恒为负数. 综上可得，数列中的项数同号.其次，证明：利用性质②：取，此时，由数列的单调性可知， 而，故， 此时必有，即，最后，用数学归纳法证明数列为等比数列：假设数列的前项成等比数列，不妨设，其中，（情况类似）由①可得：存在整数，满足，且 （*） 由②得：存在，满足：，由数列的单调性可知：， 由可得： （**）由（**）和（*）式可得：，结合数列的单调性有：，的的01N =223211a a a a =23a a =02N ≥m 0210Nm a a a =<0N 0m N ≤000221NNm N N a a a a a a =>=0m N >0N 2231a a a =3n =()23k la a k l a =>0k l a a >>3kk k la a a a a =⋅>3k <2,1k l ==2231a a a ={}n a ()3k k ≥()111s s a a q s k -=≤≤10,1a q >>10,01a q <<<m 211k k m k k a a a q a a -==>11k m k a a q a +=≥s t >21s s k s s t ta aa a a a a +==⋅>1t s k <≤+()111s s a a qs k -=≤≤2211111s t k s k k ta a a q a a q a ---+==>=211111ks t k a q a q a q ---≥>211k s t k ≥-->-注意到均为整数，故， 代入（**）式，从而.总上可得，数列的通项公式为：.即数列为等比数列.【解法二】假设数列中的项数均为正数：首先利用性质②：取，此时，由数列的单调性可知， 而，故， 此时必有，即，即成等比数列，不妨设，然后利用性质①：取，则， 即数列中必然存在一项的值为，下面我们来证明， 否则，由数列的单调性可知，在性质②中，取，则，从而， 与前面类似的可知则存在，满足，若，则：，与假设矛盾； 若，则：，与假设矛盾； 若，则：，与数列的单调性矛盾； 即不存在满足题意的正整数，可见不成立，从而，,,s t k 21k s t =--11kk a a q +={}n a 11n n a a q -={}n a 3n =()23k la a k l a =>0k l a a >>3kk k la a a a a =⋅>3k <2,1k l ==2231a a a =123,,a a a ()22131,1a a q a a qq ==>3,2i j ==224331121m a a q a a q a a q===31a q 341a a q =341a a q <4n =24k k k k l l a aa a a a a ==>4k <{}{}(),1,2,3k l k l ⊆>24k l a a a =3,2k l ==2341k la a a q a ==3,1k l ==243411k la a a q a q a ==>2,1k l ==22413k la a a q a a ===,k l 341a a q <341a a q =同理可得：，从而数列为等比数列， 同理，当数列中的项数均为负数时亦可证得数列为等比数列.由推理过程易知数列中的项要么恒正要么恒负，不会同时出现正数和负数.从而题中的结论得证，数列为等比数列.【点睛】本题主要考查数列的综合运用，等比数列的证明，数列性质的应用，数学归纳法与推理方法、不等式的性质的综合运用等知识，意在考查学生的转化能力和推理能力. 455161,,a a q a a q == {}n a {}n a。
2020年北京市高考数学试卷(pdf详细解析版)
的“割圆术”相似，数学家阿尔卡西的方法是：当正整数 n 充分大时，计算单位圆的内接正 6n 边形的周长和外 切正 6n 边形（各边均与圆相切的正 6n 边形）的周长，将它们的算术平均数作为 2π的近似值。按照阿尔卡西的 方法， π 的近似值的表达方式是
（A） 3n(sin 30 tan 30)
n
n
答案： (0, )
解析：要使
x
1
1
有意义，则有
x
1
0
，即
x
1
，要使
ln
x
有意义，则
x
0
，所以函数的定义域是
(0,
)
（12）已知双曲线 C : x2 y2 1，则 C 的右焦点的坐标为________； C 的焦点到其渐近线的距离是________． 63
答案：（3，0）， 3
解析：设双曲线的焦距为 2c，则有 c2 6 3 9 ，故 c=3，则 C 的右焦点的坐标为（3，0）.易知 C 的焦点到其渐
（7）设抛物线的顶点为 O ，焦点为 F ，准线为 l ，P 是抛物线上异于 O 的一点，过 P 做 PQ ⊥ l 于 Q ，则线段 FQ
的垂直平分线
（A）经过点 O
（B）经过点 P
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（C）平行于直线 OP
答案：B
（D）垂直于直线 OP
解析：如图，连接 PF，由抛物线的定义可知， PF PQ ，所以线段 FQ 的垂直平分线经过点 P，故选 B
（5）已知半径为 1 的圆经过点 (3,4) ，则其圆心到原点的距离的最小值为
（A）4 （C）6 答案：A
（B）5 （D）7
解析：由已知，圆心在以点 A(3, 4) 为圆心，1 为半径为圆上，当圆心在下图点 B 位置时，圆心到原点的距离最 小，所以圆心到原点的距离的最小值为 OB OA 1 32 42 1 5 1 4 ，选 A
2020年高考北京卷数学试题解析
2020年全国普通高等学校招生统一考试数学试卷（北京卷）一、选择题1.已知集合{1,0,1,2},{03}A B x x =-=<<，则A B =（ ） A.{}1,0,1- B.{}0,1C.{}1,1,2-D.{}1,2【答案】D【解析】由题意得，{}12A B ⋂=，，故选D. 2.在复平面内，复数z 对应的点的坐标是(1,2)，则i z =·（ ） A.12i + B.2i -+ C.12i - D.2i --【答案】B【解析】由题意知，12i z =+，所以()i i 12i 2i z ⋅=⋅+=-+，故选B.3.在)52的展开式中，2x 的系数为（ ）A.5-B.5C.10-D.10【答案】C【解析】由二项式定理得52)的展开式的通项552155C (2)C (2)r rrrr rr T x--+=-=-，令522r -=，得1r =，所以12225C (2)10T x x =-=-，所以2x 的系数为10-，故选C. 4.某三棱柱的底面为正三角形，其三视图如图所示，该三棱柱的表面积为（ ）A.6 B.6+ C.12+ D.12+【答案】D【解析】将三视图还原为直观图(图略)，知该三棱柱是正三棱柱，其高为2，底面是边长为2的等边三角形，正三棱柱的上、下两个底面的面积均为1122sin 602222︒⨯⨯⨯=⨯⨯=面的面积均为224⨯=，故其表面积为12+，选D.5.已知半径为1的圆经过点()3,4，则其圆心到原点的距离的最小值为（ ） A.4 B.5C.6D.7【答案】A【解析】设该圆的圆心为()a b ，，则圆的方程为22()()1x a y b -+-=，该圆过点(34)，，22(3)(4)1a b ∴-+-=，此式子表示点()a b ，在以()34，为圆心，1为半径的圆上，则点()a b ，到原点14=，故选A.6.已知函数()21x f x x =--，则不等式()0f x >的解集是（ ） A.()1,1- B.()(),11,+-∞-∞ C.()0,1 D.()(),01,+-∞∞【答案】D【解析】函数()21x f x x =--，则不等式()0f x >的解集即21x x >+的解集，在同一平面直角坐标系中画出函数2x y =，1y x =+的图象(图略)，结合图象易得21x x >+的解集为(0)(1)-∞⋃+∞，，，故选D.7.设抛物线的顶点为O ，焦点为F ，准线为l ，P 是抛物线上异于O 的一点，过P 作PQ l ⊥于Q ，则线段FQ 的垂直平分线（ ） A.经过点O B.经过点P C.平行于直线OP D.垂直于直线OP【答案】B【解析】连接PF ，由题意及抛物线的定义可知PQ FP =，则QPF 为等腰三角形，故线段FQ 的垂直平分线经过点P .故选B.8.在等差数列{}n a 中，19a =-，51a =-，记()121,2,n n T a a a n ==……,则数列{}n T （ ） A.有最大项，有最小项 B.有最大项，无最小项 C.无最大项，有最小项 D.无最大项，无最小项【答案】B解析：设等差数列{}n a 的公差为d ，19a =-，51a =-，5941a d ∴=-+=-，2d ∴=，9(1)2211n a n n ∴=-+-⨯=-.令2110n a n =-≤，则 5.5n ≤，5n ∴≤时，0n a <；6n ≥时，0n a >.190T ∴=-<，2(9)(7)630T =-⨯-=>，3(9)(7)(5)3150T =-⨯-⨯-=-<，4(9)(7)(5)(3)9450T =-⨯-⨯-⨯-=>，5(9)(7)(5)(3)(1)9450T =-⨯-⨯-⨯-⨯-=-<，当6n ≥时，0n a >，且1n a ≥，10n n T T +∴<<，12(12)n n T a a a n ∴==，，有最大项4T ，无最小项，故选B.9.已知R αβ∈，，则“存在k Z ∈使得()=1kk απβ+-”是“sin =sin αβ”的（ ） A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件【答案】C【解析】若存在k ∈Z 使得π(1)k k αβ=+-，则当2k n =，n ∈Z 时，2πn αβ=+，则sin sin(2π)sin n αββ=+=；当21k n =+，n ∈Z 时，(21) πn αβ=+-，则sin sin(2ππ)sin(π)sin n αβββ=+-=-=.若sin sin αβ=，则2πn αβ=+或2ππn αβ=+-，n ∈Z ，即π(1)k k αβ=+-，k ∈Z ，故选C.10.2020年3月14日是全球首个国际圆周率日（π Day ）.历史上，求圆周率π的方法有多种，与中国传统数学中的“割圆术”相似，数学家阿尔·卡西的方法是:当正整数n 充分大时，计算单位圆的内接正6n 边形的周长和外切正6n 边形（各边均与圆相切的正6n 边形）的周长，将它们的算术平均数作为2π的近似值，按照阿尔·卡西的方法，π的近似值的表达式是（ ） A.30303sin tan n n n +（）°°B.30306sin tan n n n +（）°°C.60603sin tan n n n+（）°° D.60606sin tan n n n+（）°° 【答案】B【解析】连接圆心与圆内接正6n 边形的各顶点，则圆内接正6n 边形被分割成6n 个等腰三角形，每个等腰三角形的腰长均为圆的半径1，顶角均为360606n n=︒︒，底角均为6018030902n n-=-︒︒︒︒，所以等腰三角形的底边长均为30302cos 902sinn n ⎛⎫-= ⎪⎝⎭︒︒︒，故单位圆的内接正6n 边形的周长为3062sinn n⨯︒；连接圆心与圆外切正6n 边形的各顶点，则圆外切正6n 边形被分割成6n 个等腰三角形，每个等腰三角形底边上的高均为圆的半径1，顶角均为360606n n =︒︒，顶角的一半均为30n︒，所以等腰三角形的底边长均为302tann ︒，故单位圆的外切正6n 边形的周长为3062tann n︒⨯.因为单位圆的内接正6n 边形的周长和外切正6n 边形的周长的算术平均数为2π的近似值，所以303062sin 62tan 30302π6sin 6tan 2n n n n n n n n︒︒⨯+⨯=⨯+⨯︒︒≈，所以30303030π3sin3tan 3sin tan n n n n n n n ⎛⎫≈⨯+⨯=+ ⎪⎝︒︒︒⎭︒，故选A. 二、填空题 11.函数1()In 1f x x x =++的定义域是_________. 【答案】()0+∞， 【解析】函数1()ln 1f x x x =++的自变量满足100x x +≠⎧⎨>⎩，，0x ∴>，即定义域为()0+∞，.12.已知双曲线22:163x y C -=，则C 的右焦点的坐标为_________；C 的焦点到其渐近线的距离是_________.【答案】(3,0)【解析】双曲线22:163x y C -=中，2639c =+=，3c ∴=，则C 的右焦点的坐标为(30)，， C 的渐近线方程为y x =，即y =，即0x ±=，则C 的焦点到其渐近线的距离d =.13.已知正方形ABCD 的边长为2，点P 满足1()2AP AB AC =+，则PD =_________；PB PD ·=_________.；1-【解析】解法一 如图，由题意及平面向量的平行四边形法则可知，点P 为BC 的中点，在三角形PCD 中，||5cos cosPD DPB DPC =⋅∠=-∠=，||||cos 11PB PD PB PD DPB ⎛∴⋅=⋅∠==- ⎝.解法二 以A 为坐标原点，AB AD ，所在直线分别为x 轴，y 轴，建立如图所示的平面直角坐标系，则(00)(20)(22)(02)A B C D ，，，，，，，，1()(21)2AP AB AC ∴=+=，，(21)P ，，(21)PD ∴=-，，(01)PB =-，，||5PD ∴=(01)(21)1PB PD ⋅=-⋅-=-，，.14.若函数()sin()cos f x x x ϕ=++的最大值为2，则常数φ的一个取值为_________. 【答案】π2（符合π2π+,2k k ∈Z 都可以，答案不唯一） 【解析】易知当sin()y x ϕ=+，cos y x =同时取得最大值1时，函数()sin()cos f x x x ϕ=++取得最大值2，故sin()cos x x ϕ+=，则π2π,2k k ϕ=+∈Z ，故常数ϕ的一个取值为π2. 15.为满足人民对美好生活的向往，环保部门要求企业加强污水治理，排放未达标的企业要限期整改，设企业的污水排放量W 与时间t 的关系为()W f t =，用()()f b f a b a---的大小评价在[,]a b 这段时间内企业污水治理能力的强弱。
2020年北京卷数学高考试题文档版(含答案)
2020年北京市高考数学试卷一、选择题共10小题，每小题4分，共40分。
在每小题列出的的四个选项中，选出符合题目要求的一项。
1．（4分）已知集合{1A =-，0，1，2}，{|03}B x x =<<，则(A B = )A ．{1-，0，1}B ．{0，1}C ．{1-，1，2}D ．{1，2}2．（4分）在复平面内，复数z 对应的点的坐标是(1,2)，则(i z = ) A ．12i +B ．2i -+C ．12i -D ．2i --3．（4分）在5(2)x -的展开式中，2x 的系数为( ) A ．5-B ．5C ．10-D ．104．（4分）某三棱柱的底面为正三角形，其三视图如图所示，该三棱柱的表面积为( )A ．63+B ．623+C ．123D ．1223+5．（4分）已知半径为1的圆经过点(3,4)，则其圆心到原点的距离的最小值为( ) A ．4B ．5C ．6D ．76．（4分）已知函数()21x f x x =--，则不等式()0f x >的解集是( ) A ．(1,1)- B ．(-∞，1)(1-⋃，)+∞C ．(0,1)D ．(-∞，0)(1⋃，)+∞7．（4分）设抛物线的顶点为O ，焦点为F ，准线为l ．P 是抛物线上异于O 的一点，过P 作PQ l ⊥于Q ，则线段FQ 的垂直平分线( ) A ．经过点OB ．经过点PC ．平行于直线OPD ．垂直于直线OP8．（4分）在等差数列{}n a 中，19a =-，51a =-．记12(1n n T a a a n =⋯=，2，)⋯，则数列{}(n T)A ．有最大项，有最小项B ．有最大项，无最小项C ．无最大项，有最小项D ．无最大项，无最小项9．（4分）已知α，R β∈，则“存在k Z ∈使得(1)k k απβ=+-”是“sin sin αβ=”的()A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件10．（4分）2020年3月14日是全球首个国际圆周率日(π)Day ．历史上，求圆周率π的方法有多种，与中国传统数学中的“割圆术”相似，数学家阿尔卡西的方法是：当正整数n 充分大时，计算单位圆的内接正6n 边形的周长和外切正6n 边形（各边均与圆相切的正6n 边形）的周长，将它们的算术平均数作为2π的近似值．按照阿尔卡西的方法，π的近似值的表达式是( ) A ．30303(sin tan )n n n ︒︒+ B ．30306(sin tan )n n n ︒︒+ C ．60603(sintan )n n n︒︒+ D ．60606(sintan )n n n︒︒+ 二、填空题共5小题，每小题5分，共25分。
2020北京高考数学参考答案
绝密★本科目考试启用前2020年普通高等学校招生全国统一考试（北京卷）数 学一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分. 1．D 2．B 3．C 4．D 5. A 6. D7. B8. B9. C10. A二、填空题：本大题共5题，每小题5分，共25分. 11．),0(+∞12．)0,3(3 13．5 1- 14.)22Z k k ∈+（ππ15．①②③注：第12题第13题的第一问3分，第二问2分；第15题全部选对得5分，不选或有错选得0分，其他得3分.三、解答题：本大题共6小题，共85分. 其他正确解答过程，请参照评分标准给分. 16.（本小题13分）解：I Q （）正方体1111ABCD-A B C D ∴11AB C D P ，11AB=C D ∴四边形11ABC D 是平行四边形 ∴11BC AD PQ 1111BC AD E AD AD E ⊄⊂面，面，∴11BC AD E.P 平面II （）由正方体1111ABCD-A B C D 可知：11,,,AB AD AB AA AD AA ⊥⊥⊥不妨设正方体1111ABCD-A B C D 的棱长为2，如图，以A 为原点建立如图所示的空间直角坐标系A xyz —.值得到答案即可）（一个k其中11AD E A (0,0,0)，(2,0,2)，(0,2,1)，(0,0,2) 1(0,0,2)AA =，1(2,0,2)AD =，(0,2,1)AE =设1AD E 平面的法向量(,,)n x y z = 100AD n=AE n=⎧⋅⎪⎨⋅⎪⎩即22020x z=y+z=+⎧⎨⎩ 令1y =，则2,2x z ==− 则(2,1,2)n =−设直线1AA 与1AD E 平面所成角为θ，则1112sin cos ,3AA n AA n AA nθ⋅=<>=== ∴直线1AA 与1AD E 平面所成角的正弦值是2.317.（本小题14分）解析：选择条件①，解答如下：（Ⅰ）在∆ABC 中，Q a + b = 11 ， 11b a ∴=− 又Q 7c =，1cos 7A =−根据余弦定理222222(11)71cos 22(11)77b c a a a A bc a +−−+−===−−⨯ 8.a =解得（Ⅱ）在∆ABC 中，Q 1cos 7A =−sin 7A ∴== 又8,7,a c ==Q根据正弦定理sin sin a cA C=,7sin sin 27C C ==，解得Q 11a b +=，8, 3.a b =∴=11sin 83222ABC S ab C ∴==⨯⨯⨯=△条件②,解析如下：（Ⅰ）在ABC △中，Q 1cos ,8A =9cos .16B =sin 816A B ∴==== 又1111a b b a +=∴=−Q ，根据正弦定理sin sin a bA B==解得 6.a =（Ⅱ）在ABC 中，由（Ⅰ）得6,5a b == 因为在ABC △中，πA B C ++=，91sin sin()sin cos cos sin 8168164C A B A B A B ∴=+=+=⨯+⨯=11sin 652244ABC S ab C ∴==⨯⨯⨯=△18.（本小题14分）解：(1)设男生支持方案一的事件为A,女生支持方案一的为事件B共抽取了200+400=600名男生，支持方案一的有200人 所以()31600200==A P 共抽取了300+100=400名女生，支持方案一的有300人 所以()43400300==B P (2) 由频率估计总体，由（1）可得()31=A P ,()43=B P ,可视为每个男生支持方案一的概率为31，每个女生支持方案一的概率为43； 抽取了2个男生，1个女生恰有2人支持方案一的事件为C()36134131433231212=⨯⎪⎭⎫ ⎝⎛+⨯⨯⨯=C C P所以这3人中恰有2人支持方案一的概率为3613. (3)10p p >19.（本小题15分）解：（Ⅰ）设切点横坐标为x 0. ¢f (x )=-2x .则¢f (x 0)=-2x 0=-2,得x 0=1.切线方程为y -f (1)=-2(x -1),即2x +y -13=0.（Ⅱ）依题意t¹0 .先研究t >0时,f (t )=12-t 2,¢f (t )=-2t .故曲线y =f (x )在(t ,f (t ))处的切线方程为y -f (t )=¢f (t )(x -t ), 即y +t2-12=-2t (x -t ).令x =0,得y =t2+12; 令y =0,得2122t x t+= . 故所求三角形面积为s (t )=(t 2+12)24t =14(t 3+24t +144t )(t >0) 2222211443(12)(4)()(324)44t t s t t t t+−'=+−=. 令¢s (t )=0,得t =2.所以，当t 变化时，¢s (t )与s (t )的变化情况如下表所示：所以当t=2时,s(t)有最小值s(2)=32.又因为f(x)=12-x2满足f(-x)=f(x),故图像关于y轴对称.综上，当t=±2时, s(t)有最小值32．20.（本小题15分）（Ⅱ）当直线l的斜率为0时，不妨设(M N−由平面几何知识得BP BQ====这时 1.BPBQ=由()222644844m m m∆=−⨯⨯+>>0，解得且12122288,44my y y ym m+=⋅=++,此时111:1(2)2AMyl y xx++=++，令4x=−，112(1)12Pyyx−+=−+同理可得222(1)1.2Qyyx−+=−+12121212122112122(1)2(1)222112(1)22(1)(2)(1)(2)(2)(2)2(2)(2)P Q y y y y x x y y x x y x y x x x x x −+−++=+−++++=−++++++++++++=−⨯++122112122112121222(1)(2)(1)(2)(2)(2)(1)(2)(1)(2)(2)(2) (2)(2)()88 (2)(2)44y x y x x x y my y my my my m m y y m y y mm m m m m ++++++++=+−++−+−−=+−++=+−+++=Q0P Q y y ∴+= BP BQ ∴= 1BPBQ∴= 综上：1BPBQ=。
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（Ⅰ）求椭圆C的方程：
（Ⅱ）过点 的直线l交椭圆C于点 ,直线 分别交直线 于点 ．求 的值．
21.已知 是无穷数列．给出两个性质：
①对于 中任意两项 ， 中都存在一项 ，使 ；
②对于 中任意项 ，在 中都存在两项 ．使得 ．
(Ⅰ)若 ，判断数列 是否满足性质①，说明理由；
故选：A.
6.因为 ，所以 等价于 ，
在同一直角坐标系中作出 和 的图象如图：
两函数图象的交点坐标为 ，
不等式 的解为 或 .
所以不等式 的解集为： .
故选：D.
7.如图所示： ．
因为线段 的垂直平分线上的点到 的距离相等，又点 在抛物线上，根据定义可知， ，所以线段 的垂直平分线经过点 .
故选：B.
2020年北京高考数学试卷
1、选择题10小题，每小题4分，共40分．
1.已知集合 ， ，则 （ ）．
A. B. C. D.
2.在复平面内，复数 对应的点的坐标是 ，则 （ ）．
A. B. C. D.
3.在 的展开式中， 的系数为（ ）．
A. B. 5C. D. 10
4.某三棱柱的底面为正三角形，其三视图如图所示，该三棱柱的表面积为（ ）．
16.如图，在正方体 中，E为 的中点．
（Ⅰ）求证： 平面 ；
（Ⅱ）求直线 与平面 所成角 正弦值．
17.在 中， ，再从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为己知，求：
（Ⅰ）a的值：
（Ⅱ） 和 的面积．
条件①： ；
条件②： ．
注：如果选择条件①和条件②分别解答，按第一个解答计分．
18.某校为举办甲、乙两项不同活动，分别设计了相应的活动方案：方案一、方案二．为了解该校学生对活动方案是否支持，对学生进行简单随机抽样，获得数据如下表：
（Ⅲ）将该校学生支持方案的概率估计值记为 ，假设该校一年级有500名男生和300名女生，除一年级外其他年级学生支持方案二的概率估计值记为 ，试比较 与 的大小．（结论不要求证明）
19.已知函数 ．
（Ⅰ）求曲线 的斜率等于 的切线方程；
（Ⅱ）设曲线 在点 处的切线与坐标轴围成的三角形的面积为 ，求 的最小值．
给出下列四个结论：
①在 这段时间内，甲企业的污水治理能力比乙企业强；
②在 时刻，甲企业的污水治理能力比乙企业强；
③在 时刻，甲、乙两企业的污水排放都已达标；
④甲企业在 这三段时间中，在 的污水治理能力最强．
其中所有正确结论的序号是____________________．
三、解答题共6小题，共85分，解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.
双曲线 的渐近线方程为 ，即 ，
所以，双曲线 的焦点到其渐近线的距离为 .
故答案为： ； .
13.以点 为坐标原点， 、 所在直线分别为 、 轴建立如下图所示的平面直角坐标系，
男生
女生
支持
不支持
支持
不支持
方案一
200人
400人
300人
100人
方案二
350人
250人
150人
250人
假设所有学生对活动方案是否支持相互独立．
（Ⅰ）分别估计该校男生支持方案一的概率、该校女生支持方案一的概率；
人，估计这3人中恰有2人支持方案一的概率；
(Ⅱ)若 ，判断数列 是否同时满足性质①和性质②，说明理由；
(Ⅲ)若 是递增数列，且同时满足性质①和性质②，证明： 为等比数列.
2020年北京高考数学试卷答案
1.D.2.B.3.C.4.D.
5.设圆心 ，则 ，
化简得 ，
所以圆心 的轨迹是以 为圆心，1为半径的圆，
所以 ，所以 ，
当且仅当 在线段 上时取得等号，
所以，“存在 使得 ”是“ ”的充要条件.
故选：C.
10.单位圆内接正 边形的每条边所对应的圆周角为 ，每条边长为 ，
所以，单位圆 内接正 边形的周长为 ，
单位圆的外切正 边形的每条边长为 ，其周长为 ，
，
则 .
故选：A.
11.由题意得 ， 故答案 ：
12.在双曲线 中， ， ，则 ，则双曲线 的右焦点坐标为 ，
A. B. C. D.
5.已知半径为1的圆经过点 ，则其圆心到原点的距离的最小值为（ ）．
A. 4B. 5C. 6D. 7
6.已知函数 ，则不等式 的解集是（ ）．
A. B.
C. D.
7.设抛物线的顶点为 ，焦点为 ，准线为 ． 是抛物线上异于 的一点，过 作 于 ，则线段 的垂直平分线（ ）．
A. 经过点 B. 经过点
A B.
C. D.
第二部分（非选择题 共110分）
二、填空题共5小题，每小题5分，共25分.
11.函数 的定义域是____________．
12.已知双曲线 ，则C的右焦点的坐标为_________；C的焦点到其渐近线的距离是_________．
13.已知正方形 的边长为2，点P满足 ，则 _________； _________．
8.由题意可知，等差数列的公差 ，
则其通项公式为： ，
注意到 ，
且由 可知 ，
由 可知数列 不存在最小项，
由于 ，
故数列 中的正项只有有限项： ， .
故数列 中存在最大项，且最大项为 .
故选：B.
9.(1)当存在 使得 时，
若 为偶数，则 ；
若 为奇数，则 ；
(2)当 时， 或 ， ，即 或 ，
亦即存在 使得 ．
C. 平行于直线 D. 垂直于直线
8.在等差数列 中， ， ．记 ，则数列 （ ）．
A. 有最大项，有最小项B. 有最大项，无最小项
C. 无最大项，有最小项D. 无最大项，无最小项
9.已知 ，则“存在 使得 ”是“ ”的（ ）．
A 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件
C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件
14.若函数 最大值为2，则常数 的一个取值为________．
15.为满足人民对美好生活的向往，环保部门要求相关企业加强污水治理，排放未达标的企业要限期整改，设企业的污水排放量W与时间t的关系为 ，用 的大小评价在 这段时间内企业污水治理能力的强弱，已知整改期内，甲、乙两企业的污水排放量与时间的关系如下图所示.
10.2020年3月14日是全球首个国际圆周率日（ Day）．历史上，求圆周率 的方法有多种，与中国传统数学中的“割圆术”相似．数学家阿尔·卡西的方法是：当正整数 充分大时，计算单位圆的内接正 边形的周长和外切正 边形（各边均与圆相切的正 边形）的周长，将它们的算术平均数作为 的近似值．按照阿尔·卡西的方法， 的近似值的表达式是（ ）．