建筑力学-单元9 组合变形强度计算
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组合变形的强度计算
§9.1 组合变形概述前面研究了杆件在拉伸（压缩）、剪切、扭转和弯曲四种基本变形时的强度和刚度问题。
但在工程实际中，许多构件受到外力作用时，将同时产生两种或两种以上的基本变形。
例如建筑物的边柱，机械工程中的夹紧装置，皮带轮传动轴等。
我们把杆件在外力作用下同时产生两种或两种以上的基本变形称为组合变形。
常见的组合变形有：1.拉伸（压缩）与弯曲的组合；2.弯曲与扭转的组合；3.两个互相垂直平面弯曲的组合（斜弯曲）；4.拉伸（压缩）与扭转的组合。
本章只讨论弯曲与扭转的组合。
处理组合变形问题的基本方法是叠加法，将组合变形分解为基本变形，分别考虑在每一种基本变形情况下产生的应力和变形，然后再叠加起来。
组合变形强度计算的步骤一般如下：(1) 外力分析将外力分解或简化为几种基本变形的受力情况；(2) 内力分析分别计算每种基本变形的内力，画出内力图，并确定危险截面的位置；(3) 应力分析在危险截面上根据各种基本变形的应力分布规律，确定出危险点的位置及其应力状态。
(4) 建立强度条件将各基本变形情况下的应力叠加，然后建立强度条件进行计算。
§9.2 弯扭组合变形强度计算机械中的转轴，通常在弯曲和扭转组合变形下工作。
现以电机为例，说明此种组合变形的强度计算。
图10-1a所示电机轴，在轴上两轴承中端装有带轮，工作时，电机给轴输入一定转矩，通过带轮的皮带传递给其它设备。
带紧边拉力为F T1，松边拉力为F T2，不计带轮自重。
图10-1(1) 外力分析将作用于带上的拉力向杆的轴线简化，得到一个力和一个力偶，如图10-1(b)，其值分别为力F使轴在垂直平面内发生弯曲，力偶M1和电机端产生M2的使轴扭转，故轴上产生弯曲和扭转组合变形。
(2) 内力分析画出轴的弯矩图和扭矩图，如图10-1(c)、(d)所示。
由图知危险截面为轴上装带轮的位置，其弯矩和扭矩分别为(3) 应力分析由于在危险截面上同时作用有弯矩和扭矩，故该截面上必然同时存在弯曲正应力和扭转切应力，如图10-1(e)，a、b两点正应力和切应力均分别达到最大值，为危险点，该两点正应力和切应力分别为该两点的单元体均属于平面应力状态，图10-1(f)，故需按强度理论建立强度条件。
材料力学-组合变形杆件的强度计算
当压力作用在截面形心附近的一个区域内时，可保证
中性轴不穿过横截面。
截面核心
横截面上不 偏心压缩杆件
出现拉应力
压力必须作用 在截面核心上
截面核心的边界如何确定 ？
当压力作用在截面核心的边界上时，与此 相对应的中性轴正好与横截面相切。
ay ＝－
iz2 yF
az ＝－
iy2 zF
截面核心 是凸区域
yF
向，设钢的 [s ] = 160 MPa。试按第三强度理论校核
轴的强度。
5 kN 1.5 kN·m
12 kN
12.5 kN
2.1 kN
7 kN 9.1 kN
1.5 kN·m
4.5 kN
与P206 例 9-8 略有不同
内力图
作业：
9－17(a)、23
在 xz 平面内
产生平面弯曲
Mz ＝ F ·yF 纯弯曲
在 xy 平面内
产生平面弯曲
压-弯-弯 组合变形
F My
Mz
FN ＝ F
My ＝ F ·zF Mz ＝ F ·yF
FN My
Mz
轴力FN 引起的：
s ＝－ F
A
弯矩 Mz 引起的：
s ＝－ Mz y
Iz
弯矩 My 引起的：
s ＝－ My z
l
y
s F、q 共同引起的： ＝ s ＋ s ＝ FN － M ( x ) y
smax ＝
FN A
＋
Mmax Wz
A
Iz
smin ＝
FN － Mmax A Wz
smin ＝
FN － Mmax A Wz
smax ＞s
smax ＝s
建筑力学 第9章 组合变形杆件的应力分析与强度计算
建筑力学
§9-1 组合变形的概念
一、组合变形的概念
前面几章研究了构件的基本变形： 轴向拉（压）、扭转、平面弯曲。
由两种或两种以上基本变形组合的情况称为组合变形
组合变形
斜弯曲 拉（压）弯组合变形 偏心拉伸（压缩）变形 弯扭组合变形
§9-1 组合变形的概念
斜弯曲:
压弯组合变形:
F
Fy
z
Fz
x
y
§9-1 组合变形的概念
M z max Wz
z
Fx x
Fy
y
F
设图示简易吊车在当小车运行到梁端D时，吊车横梁处于最 不利位置。已知小车和重物的总重量F＝20kN， 钢材的许用应力[]=160MPa，暂不考虑梁的自重。 按强度条件选择横梁工字钢的型号。
C
2m
A
A
FAx FAy
30 3.46m
FBC
30 3.46m
解：1、横梁AD受力分析
z
F2
b
（最大拉应力）
l y
解：
h
z
l
F1
（最大压应力）y
§9-3 拉伸（压缩）与弯曲的组合变形
横向力与轴向力共同作用的组合变形 一、荷载分解
Fx F cos
z
Fx x
Fy
y
F
Fy F sin
§9-3 拉伸（压缩）与弯曲的组合变形
二、内力计算 a
z
Fx F cos
Fx Fy F sin
解：1、荷载分解
q
qy q cos 800 0.894 714 N / m A
B
L
qz q sin 800 0.447 358 N / m
§9-1 组合变形的概念
一、组合变形的概念
前面几章研究了构件的基本变形： 轴向拉（压）、扭转、平面弯曲。
由两种或两种以上基本变形组合的情况称为组合变形
组合变形
斜弯曲 拉（压）弯组合变形 偏心拉伸（压缩）变形 弯扭组合变形
§9-1 组合变形的概念
斜弯曲:
压弯组合变形:
F
Fy
z
Fz
x
y
§9-1 组合变形的概念
M z max Wz
z
Fx x
Fy
y
F
设图示简易吊车在当小车运行到梁端D时，吊车横梁处于最 不利位置。已知小车和重物的总重量F＝20kN， 钢材的许用应力[]=160MPa，暂不考虑梁的自重。 按强度条件选择横梁工字钢的型号。
C
2m
A
A
FAx FAy
30 3.46m
FBC
30 3.46m
解：1、横梁AD受力分析
z
F2
b
（最大拉应力）
l y
解：
h
z
l
F1
（最大压应力）y
§9-3 拉伸（压缩）与弯曲的组合变形
横向力与轴向力共同作用的组合变形 一、荷载分解
Fx F cos
z
Fx x
Fy
y
F
Fy F sin
§9-3 拉伸（压缩）与弯曲的组合变形
二、内力计算 a
z
Fx F cos
Fx Fy F sin
解：1、荷载分解
q
qy q cos 800 0.894 714 N / m A
B
L
qz q sin 800 0.447 358 N / m
组合变形构件的强度计算
叠加原理的应用条件
在小变形和线弹性条件下， 杆件上各种力的作用彼此独立，互不影响；
即杆上同时有几种力作用时，一种力对杆的作 用效果（变形或应力），不影响另一种力对杆的作 用效果（或影响很小可以忽略）；
组合变形下杆件应力的计算，将以各种基本变形的应力
及叠加法为基础。
第五页，编辑于星期二：四点 三十三分。
大拉应力。
E
D
B
C
A
第四十六页，编辑于星期二：四点 三十三分。
组合变形构件的强度计算
7、矩形截面简支梁长度为L＝2米，受均布载荷
q=30KN/m与拉力P＝500KN的联合作用。求梁内最大正
应力和跨度中央截面处中性轴的位置。
q 150
P 100
第四十七页，编辑于星期二：四点 三十三分。
组合变形构件的强度计算
杆内的最大拉应力与最大压应力。
B
L=2.5m
1m
A
1m
P
100 100
第四十三页，编辑于星期二：四点 三十三分。
组合变形构件的强度计算
4、受力如图所示，求杆件内的最大拉应力与最大压应
力。 P
L/2 L/2
H h
b
第四十四页，编辑于星期二：四点 三十三分。
组合变形构件的强度计算
5、灰铸铁的[σ]ｔ＝30MPａ，[σ]ｃ＝80MPａ， P=12KN，校核立柱的强度。
3 试分析下图所示杆件各段杆的变形类型
第十一页，编辑于星期二：四点 三十三分。
组合变形构件的强度计算
§16-2 拉伸（压缩）与弯组合变形的强度计算
工程实例
第十二页，编辑于星期二：四点 三十三分。
观察立柱变形
组合变形构件的强度计算
在小变形和线弹性条件下， 杆件上各种力的作用彼此独立，互不影响；
即杆上同时有几种力作用时，一种力对杆的作 用效果（变形或应力），不影响另一种力对杆的作 用效果（或影响很小可以忽略）；
组合变形下杆件应力的计算，将以各种基本变形的应力
及叠加法为基础。
第五页，编辑于星期二：四点 三十三分。
大拉应力。
E
D
B
C
A
第四十六页，编辑于星期二：四点 三十三分。
组合变形构件的强度计算
7、矩形截面简支梁长度为L＝2米，受均布载荷
q=30KN/m与拉力P＝500KN的联合作用。求梁内最大正
应力和跨度中央截面处中性轴的位置。
q 150
P 100
第四十七页，编辑于星期二：四点 三十三分。
组合变形构件的强度计算
杆内的最大拉应力与最大压应力。
B
L=2.5m
1m
A
1m
P
100 100
第四十三页，编辑于星期二：四点 三十三分。
组合变形构件的强度计算
4、受力如图所示，求杆件内的最大拉应力与最大压应
力。 P
L/2 L/2
H h
b
第四十四页，编辑于星期二：四点 三十三分。
组合变形构件的强度计算
5、灰铸铁的[σ]ｔ＝30MPａ，[σ]ｃ＝80MPａ， P=12KN，校核立柱的强度。
3 试分析下图所示杆件各段杆的变形类型
第十一页，编辑于星期二：四点 三十三分。
组合变形构件的强度计算
§16-2 拉伸（压缩）与弯组合变形的强度计算
工程实例
第十二页，编辑于星期二：四点 三十三分。
观察立柱变形
组合变形构件的强度计算
组合变形的强度计算
F yF
③ 求mn截面上B( y, z)点的正应力?
A
my
B n
zF
z
y
x FN y
Mz
B
z
m
O My n
y
截面内力：
FN F Mz mz FyF M y my FzF
B点应力：
B
FN A
F A
B
My Iy
z
FzF Iy
z
B
Mz Iz
y
FyF Iz
y
B
F FzF A Iy
z FyF Iz
时，引起旳变形称为偏心拉伸(或压缩)。
F F
e
A 实质上： 拉伸（压缩）与弯曲 旳组合变形
B
Fz
F的作用点A( yF，zF )
x
yF
偏心拉伸（拉伸与弯曲旳组合)
A
zF
O
y
B
求任意截面上任意一点 的正应力?
m
n
进行强度计算?
求mn截面上B( y, z)点的正应力?
Fz
F的作用点A( yF，zF )
F y
l
4.强度计算
Mz Fy x Fx cos
①外力分解：Fy F cos， Fz F sin
②内力分析：（找危险截面）
M y Fz x Fx sin
固定端截面为危险截面：Mz Fyl Fl cos
M y Fzl Fl sin
z
z
Fz F sin
b
Fz z
y
x
h
z
A
z
F
y
yx
设中性轴与 y轴的夹角为，即
tan z0 I y sin I y tan
组合变形杆件的强度计算
组合变形杆件的强度计算
一、组合变形 ：在复杂外载作用下，构件的变形会包含几种简单变形，当几种
变形所对应的应力属同一量级时，不能忽略之，这类构件的变形称为组合变
形。
R P M
P1
80ºP2 z
P2y P2Z
x
y
拉(压)弯组合变形 的强度计算
杆件同时受横向力和轴向力的作用而产生的变形。 a
R
1.分析内力,确定危险面： 危险截面：固定端截面
2 3 2 4
3 . 14 0 . 03 (1 0 . 8 )
7.05Nm
x
97 . 5 MPa
安
全
钢制圆轴上装有胶带轮A和B，二轮的直径都是D=1 m，重量是P=5 kN，A 轮上胶带的张力是水平方向，B轮上胶带的张力是垂直方向，大小如图示； 圆轴的许用应力 [σ] =80 MPa；试按第三强度理论求轴所需的直径。
解： (1)研究AB，受力分析，
(2)杆属压缩与弯曲的组合变形，画内力图；
强度是足够的 (3)危险截面：D截面，危险点：D截面的上边缘，最大压应力的值为： 查型钢表得：A=3060 mm2，W=185000 mm3，
偏心拉伸和压缩
e
偏 心 拉 伸 ， 拉 弯 组 合
P
e
偏 心 压 缩 ， 压 弯 组 合
①.内力分析 a.xz平面内弯曲的弯矩图
b.xy平面内弯曲的弯矩图
c.扭矩图
(3)求可能危险截面C和B上的合成弯矩：
C截面为危险面！
(4)强度计算：
图示皮带轮传动轴传递功率N=7kW，转速n=200r/min。皮带轮重量Q=1.8kN。左端齿 轮上的啮合力Pn与齿轮节圆切线的夹角（压力角）为20o。轴的材料为45钢，=80MPa。试 分别在忽略和考虑皮带轮重量的两种情况下，按第三强度理论估算轴的直径。
一、组合变形 ：在复杂外载作用下，构件的变形会包含几种简单变形，当几种
变形所对应的应力属同一量级时，不能忽略之，这类构件的变形称为组合变
形。
R P M
P1
80ºP2 z
P2y P2Z
x
y
拉(压)弯组合变形 的强度计算
杆件同时受横向力和轴向力的作用而产生的变形。 a
R
1.分析内力,确定危险面： 危险截面：固定端截面
2 3 2 4
3 . 14 0 . 03 (1 0 . 8 )
7.05Nm
x
97 . 5 MPa
安
全
钢制圆轴上装有胶带轮A和B，二轮的直径都是D=1 m，重量是P=5 kN，A 轮上胶带的张力是水平方向，B轮上胶带的张力是垂直方向，大小如图示； 圆轴的许用应力 [σ] =80 MPa；试按第三强度理论求轴所需的直径。
解： (1)研究AB，受力分析，
(2)杆属压缩与弯曲的组合变形，画内力图；
强度是足够的 (3)危险截面：D截面，危险点：D截面的上边缘，最大压应力的值为： 查型钢表得：A=3060 mm2，W=185000 mm3，
偏心拉伸和压缩
e
偏 心 拉 伸 ， 拉 弯 组 合
P
e
偏 心 压 缩 ， 压 弯 组 合
①.内力分析 a.xz平面内弯曲的弯矩图
b.xy平面内弯曲的弯矩图
c.扭矩图
(3)求可能危险截面C和B上的合成弯矩：
C截面为危险面！
(4)强度计算：
图示皮带轮传动轴传递功率N=7kW，转速n=200r/min。皮带轮重量Q=1.8kN。左端齿 轮上的啮合力Pn与齿轮节圆切线的夹角（压力角）为20o。轴的材料为45钢，=80MPa。试 分别在忽略和考虑皮带轮重量的两种情况下，按第三强度理论估算轴的直径。
组合变形的强度计算
组合变形的强度计算 组合变形的概念拉伸与弯曲的组合一.组合变形的概念1.组合变形:在外力的作用下，构件若同时产生两种或两种以上基本变形的情况在小变形和线弹性的前提下，可以采用叠加原理研究组合变形问题所谓叠加原理是指若干个力作用下总的变形等于各个力单独作用下变形的总和（叠加）在复杂外载作用下，构件的变形会包含几种简单变形PRzxyPP2、组合变形的研究方法——叠加原理叠加原理应用的基本步骤：①外力分析：将载荷进行分解，得到与原载荷等效的几组载荷，使构件在每一组载荷的作用下，只产生一种基本变形.②内力分析：分析每种载荷的内力，确定危险截面.③应力分析：分别计算构件在每种基本变形情况下的危险将各基本变形情况下的应力叠加，确定最④强度计算:二.弯曲与拉伸(的组合杆件在外力作用下同时产生弯曲和拉伸（压缩）变形称为弯曲与拉伸（压缩）的组合偏心拉伸:弯曲与拉伸的组合变形链环受力立柱受力拉伸与弯曲组合的应力分析ϕϕsin p p cos p p y x ==A P x ='σy I M x l P M zy =''-=σ)(作用下：z T W M A N max max +=σzC W M A N max max -=σ危险截面处的弯矩抗弯截面模量y I M A N z +=''+'=σσσ根据叠加原理，可得x 横截面上的总应力为[]T z max max T W M A N σσ≤+=[]c zmax max C W M A N σσ≤-=强度条件为例:悬臂吊车,横梁由25 a 号工字钢制成，l =4m ，电葫芦重Q 1=4kN ，起重量Q2=20kN , α=30º, [σ]=100MPa，试校核强度。
取横梁AB为研究对象，受力如图b所示。
梁上载荷为P =Q1+Q2= 24kN，斜杆的拉力S 可分解为X B和Y B（1）外力计算横梁在横向力P和Y A、Y B作用下产生弯曲；同时在X A和X B作用下产生轴向压缩。
建筑力学第09章 组合变形杆件的应力分析与强度计算
可分别计算由横向力和轴向力引起的杆横截面上 的正应力，按叠加原理求其代数和，即得在轴向拉 伸(压缩)和弯曲组合变形下，杆横截面上的正应力。
z A( y, z)
y
F
x
x l
a)
'
''
上图悬臂梁受轴向拉力及均布荷载，以此为
例来说明拉伸(压缩)和弯曲组合变形下的正应力及
强度计算方法。
)
c)
d)
分别为
b
t max
cos
M( Iz
ymax
sin
中性轴I y
zmax )
Mz Wz
My Wy
a
z
cmax
( M z Wz
My Wy
)
z
o 中性轴 d
F 力作用方向
c
对于有凸角的截面，例如a) y矩形、工字形截面b)，y
根据斜弯曲是两个平面弯曲组合的情况，最大正
应力显然产生在角点上。
A
Mz Wz
My Wy
Fl Wz
1 ql2 2 Wy
(
2 103 2 48.28 106
1 5103
2 401.9
106
)
N/m2
=107.7MPa
B
Mz Wz
My Wy
107.7
MPa
9.3 轴向拉压与弯曲的组合变形
对于EI较大的杆，横向力引起的挠度与横截面的 尺寸相比很小，因此，由轴向力引起的弯矩可以略 去不计。
A
q＝5kN/m
z
z A( y, z)
y
F
x
x l
a)
'
''
上图悬臂梁受轴向拉力及均布荷载，以此为
例来说明拉伸(压缩)和弯曲组合变形下的正应力及
强度计算方法。
)
c)
d)
分别为
b
t max
cos
M( Iz
ymax
sin
中性轴I y
zmax )
Mz Wz
My Wy
a
z
cmax
( M z Wz
My Wy
)
z
o 中性轴 d
F 力作用方向
c
对于有凸角的截面，例如a) y矩形、工字形截面b)，y
根据斜弯曲是两个平面弯曲组合的情况，最大正
应力显然产生在角点上。
A
Mz Wz
My Wy
Fl Wz
1 ql2 2 Wy
(
2 103 2 48.28 106
1 5103
2 401.9
106
)
N/m2
=107.7MPa
B
Mz Wz
My Wy
107.7
MPa
9.3 轴向拉压与弯曲的组合变形
对于EI较大的杆，横向力引起的挠度与横截面的 尺寸相比很小，因此，由轴向力引起的弯矩可以略 去不计。
A
q＝5kN/m
z
建筑力学与结构——组合变形
现以矩形截面悬臂梁为例来说明斜弯曲的应力和变形的计算。 如下图右所示悬臂梁，在自由端受集中力F作用，F通过截面形心并 与y轴成φ角。 选取坐标系如下图右所示，梁轴线作为x轴，两个对称轴分别作为y轴 和z轴
一、应力 将力F沿y轴和z轴分解为两个分量Fy和Fz，得：
这两个分量分别引起沿铅垂面和水平面的平面弯曲。求距 自由端为x的截面上任意点K的正应力，该点的坐标为z和y。
课题2 斜弯曲变形的应力和强度计算
在前面曾经指出，对于横截面具有对称轴的梁，当外力作用在纵向 对称平面内时，梁的轴线在变形后将变成为一条位于纵向对称面内的平 面曲线。这种变形形式称为平面弯曲。
但当外力不作用在纵向对称平面内时，如下图所示。实验及理论研 究表明，此时梁的挠曲线并不在梁的纵向对称平面内，即不属于平面弯 曲，这种弯曲称为斜弯曲。
σmax发生在D1点，最小正应力σmin发生在D2点，且ymax = |ymin|, Zmax=|Zmin|，σmax=|σmin| ,因此
若材料的抗拉与抗压强度相同，其强度条件就可以写为：
对于不易确定危险点的截面，例如边界没有棱角而呈 弧线的截面，如下图左所示，则需要研究应力的分布规律， 确定中性轴位置。为此，将斜弯曲正应力表达式改写为
在作强度计算时，须先确定危险截面，然后在危险截面上确定危险 点。对斜弯曲来说，与平面弯曲一样，通常也是由最大正应力控制。所 以对如上图右所示的悬臂梁来说，危险截面显然在固定端，因为该处弯 矩Mz和My的绝对值达到最大。至于要确定该截面上的危险点的位置，则 对于工程中常用的具有凸角而又有两条对称轴的截面，如矩形、工字形 等，根据对变形的判断，可知最大正应力
由上式可见，中性轴是一条通过横截面形心的直线。设它 与z轴的夹角为α， 如下图所示，则有
一、应力 将力F沿y轴和z轴分解为两个分量Fy和Fz，得：
这两个分量分别引起沿铅垂面和水平面的平面弯曲。求距 自由端为x的截面上任意点K的正应力，该点的坐标为z和y。
课题2 斜弯曲变形的应力和强度计算
在前面曾经指出，对于横截面具有对称轴的梁，当外力作用在纵向 对称平面内时，梁的轴线在变形后将变成为一条位于纵向对称面内的平 面曲线。这种变形形式称为平面弯曲。
但当外力不作用在纵向对称平面内时，如下图所示。实验及理论研 究表明，此时梁的挠曲线并不在梁的纵向对称平面内，即不属于平面弯 曲，这种弯曲称为斜弯曲。
σmax发生在D1点，最小正应力σmin发生在D2点，且ymax = |ymin|, Zmax=|Zmin|，σmax=|σmin| ,因此
若材料的抗拉与抗压强度相同，其强度条件就可以写为：
对于不易确定危险点的截面，例如边界没有棱角而呈 弧线的截面，如下图左所示，则需要研究应力的分布规律， 确定中性轴位置。为此，将斜弯曲正应力表达式改写为
在作强度计算时，须先确定危险截面，然后在危险截面上确定危险 点。对斜弯曲来说，与平面弯曲一样，通常也是由最大正应力控制。所 以对如上图右所示的悬臂梁来说，危险截面显然在固定端，因为该处弯 矩Mz和My的绝对值达到最大。至于要确定该截面上的危险点的位置，则 对于工程中常用的具有凸角而又有两条对称轴的截面，如矩形、工字形 等，根据对变形的判断，可知最大正应力
由上式可见，中性轴是一条通过横截面形心的直线。设它 与z轴的夹角为α， 如下图所示，则有
第09章 组合变形时的强度计算(2013)
T Fa
§9.4 扭转与弯曲的组合
求水平曲拐危险点的应力 1.力系简化
A . z d l y . B x a
C
F
将F向截面B的形心简化：
F F M e Fa
平面弯曲 扭转
A .
z
M e =Fa F'=F . B x
2.确定危险截面 画内力图： 截面A为危险截面
y
1
z x
3.确定危险点 截面A的上缘1点和下缘2点
FAx A FAy y
A C B
. . .
2500
1500
FC
FCx
FCy C
G B
Gx
FN 40kN
M 12kN.m
AB杆的AC段为轴向压缩与弯曲的组合变形 CB段为弯曲变形
§9.2 拉伸（压缩）与弯曲的组合 例1 最大吊重G =8kN的起重机如图所示，AB杆为工字钢，材料为 Q235钢，[]=100MPa，试选择工字钢型号。 D 解： 1.AB杆的计算简图 . 2.确定危险截面 800 . . C B A . . . 3.选择截面 先不考虑轴力的影响，选择截面
8
§2.1 轴向拉压杆的内力与应力 例2 铸铁制作的螺旋夹具如图所示，已知 F = 300N，材料的 的[t] = 30MPa，[c] = 60MPa，试校核AB段的强度。 解： 1.受力分析 2.有关几何量计算
Fe M z 1
B
F FN
C
32.45 e 1
F
3
A 11 3 3 8 57 mm 2
§9.1 组合变形与叠加原理
二、工程实例 ——交通路牌立杆：弯扭组合变形
§9.1 组合变形与叠加原理
工程力学组合受力与变形时的强度计算
代入各已知量和查表所得截面各参数，可得：
max b , c 217.8MPa 160MPa
因此，梁在斜弯曲情形下的强度是不安全的。
例题：矩形截面木梁跨长l=3.6m,截面尺寸h/b=3/2,分
布荷载集度q=0.96KN/m,试设计该梁的截面尺寸。许 用应力[]=10MPa q
M z 32M z 32 12 6 Pa 70.7 10 Pa 70.7MPa Wz πd 3 π 123 106
+
=
从图中可以看出，横截面上的A、B二点处分别 承受最大拉应力和最大压应力，其值分别为
xmax x FNx x M z 63.6MPa
Py y z C(y,z)
x
Pz
P
l x
Py P sin 以z为中性轴弯曲 Pz P cos 以y为中性轴弯曲
Py
x
M y Pz (l x ) P cos (l x) M cos M z Py (l x ) P sin (l x) M sin
试校核: 吊车大梁的强度是否安全？
解： 将斜弯曲分解为两个
平面弯曲的叠加
FPz FPsin ,
FPy FP cos
d
简支梁在中点受力的情 形 下 ， 最 大 弯 矩 Mmax=FPl / 4。得到两个 平面弯曲情形下的最大 弯矩：
FPx l FP sin l M max FPz 4 4
直接根据梁的变形情况，确定截面上的最大拉、压 应力所在位置，无需确定中性轴位置。
对于圆截面，因为 圆截面上的最大拉应力和最大压应力计算公式为 过 形 心的 任 意轴 均 为 2 2 M y M z2 M y M z2 M 截 面的对 称 轴 ， 所 以 M max＝－ ＝－ max＝ ＝ W W 当 横 截面 上 同时 作 用 W W 有 两 个弯 矩 时 ， 可 以 y 将 弯 矩用 矢 量表 示 ， 然后求二者的矢量和
第九章 组合变形时的强度计算
s s
MT
C
3)危险截面的危险点：
截面C、B点，、s数值
均为最大——危险点
C点：
s
s
tmax
|M A Wz
|
，
T Wp
B
C
B
s
ss
s
B点：
s
s
cmax
|
M W
A z
|
，
T Wp
4从)对C危、险B点点进处行于强平度面计应算力 状态，由强度条件建立强 度条件，为此先求主应力
s xMy
Myz Iy
三、危险点（距中性轴最远的点）
s max, t
P A
Mz Wz
My Wy
s max, c
P A
Mz Wz
My Wy
例 9–3 图 示 结构，求底截面上
A，B，C，D 四点
的正应力，以及最 大拉应力和最大压 应力.
x P=1z00KN 0.05m y
D
C
A
B
a=0.2m
(s3
s1)2
s eq4
s 2 3 2
( M )2 3( T )2
Wz
Wp
Wp2Wz s r4
M 2 0.75T 2 [s ]
Wz
T Wp
C
s |MA|
Wz
例9-4 传 动 轴 AB, 已 知 m=1kN.m, 紧 边 张 力 为 N, 松 边 张 力 为 N’, 且 N=N’,l=200mm,.轮的直径D=300mm, 许可应力 [s]=160MPa, 试按第四
为AB杆选择适当的工字梁。 FAy FAx
组合变形的强度计算
解：1、将实际结构简化为计算简图
q=1.4kN/㎡×1.5m=2.1kN/m，
2、内力及截面惯性矩的计算
M max
ql 2 8
2.110 3
N/m 42 m2 8
4200Nm, 4.2 kN m
屋面坡度为1:2：
tan 1
2
26o34
sin 0.447 cos 0.894
13.1 组合变形的工程实例
13.1 组合变形的工程实例
组合变形工程实例
压弯组合变形
13.1 组合变形的工程实例
组合变形工程实例
F q
hg
压弯组合变形
烟囱
13.1 组合变形的工程实例
组合变形：同时产生两种或两种以上基本变形的变形
形式。
P
P
z
R
x
M
y
P
13.1 组合变形的工程实例
对组合变形问题进行强度计算的步骤如下： （1）将所作用的荷载分解或简化为几个只引起一种基本
13.2 斜弯曲变形杆的强度计算
例题13.1 图所示屋架结构。已知屋面坡度为1：2，两屋架
之间的距离为4m，木檩条梁的间距为1.5m，屋面重（包
括檩条）为1.4kN/m2。若木檩条梁采用
1木2檩0m条m梁×的1强80度m。m的矩 形1截0M面P，a 许用应力
试校核
13.2 斜弯曲变形杆的强度计算
M z maxymax M ymaxzmax
Iz
Iy
max
M zmax Wz
M ymax Wy
13.2 斜弯曲变形杆的强度计算
斜弯曲梁的强度条件为
max
组合变形强度计算
第6章 组合变形强度计算6.1 组合变形与弹性叠加原理6.1.1 组合变形的概念在工程实际中，有许多杆件在外力作用下会产生两种或两种以上的基本变形，这种情况称为组合变形。
如图6-1（a ）所示小型压力机的框架。
为分析框架立柱的变形，将外力向立柱的轴线简化（图6-1b ），便可看出，立柱承受了由F 引起的拉伸和由Fa M =引起的弯曲。
图6-16.1.2 弹性叠加原理弹性叠加原理也称为线性叠加原理。
该原理对于求解弹性力学问题极为有用，它使我们可以把一个复杂问题化为两个或多个简单问题来处理。
在分析组合变形时，可先将外力进行简化或分解，把构件上的外力转化成几组静力等效的载荷，其中每一组载荷对应着一种基本变形。
例如，在行面对例子中，把外力转化为对应着轴向拉伸的F 和对应着弯曲的M 。
这样，可分别计算每一基本变形各自引起的应力、内力、和位移，然后将所得结果叠加，便是构件在组合变形下的应力、内力、应变和位移，这就是叠加原理。
现在再作一些更广泛的阐述。
设构件某点的位移与载荷的关系是线性的，例如，在简支梁的跨度中点作用集中力F 时，右端支座截面的转角为EIFl 162=θ这里转角θ与载荷F 的关系是线性的。
EI l 162是一个系数，只要明确F 垂直于轴线且作用于跨度中点，则这一系数与F 的大小无关。
类似的线性关系还可举出很多，可综合为，构件A 点因载荷1F引起的位移1δ与1F 的关系是线性的，即111F C =δ (a)这里1C 是一个系数，在1F 的作用点和方向给定后，1C 与1F 的大小无关，亦即1C 不是1F 的函数。
同理，A 点因另一载荷引起的位移为222F C =δ （b ）系数2C 也不是2F 的函数。
若在构件上先作用1F ，然后再作用2F 。
因为在未受力时开始作用1F ，这与（a ）式所表示的情况相同，所以A 点的位移为11F C 。
在作用时2F ，因构件上已存在1F ，它与（b ）式所代表的情况不同，所以暂时用一个带撇的系数'2C 代替2C ，得A 点的位移为22'F C 。
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σ′= Mz·y/Iz =y Mcosφ/Iz σ″= My·z/Iy =z Msinφ/Iy
根据叠加原理，K
σ=σ′+σ″
= Mz·y/Iz + My·z/Iy =M(ycosφ/Iz +zsinφ/Iy) 式中Iz和Iy分别是横截面对形心主轴z和y的惯性 矩。正应力σ′和σ″的正负号，可通过平面弯曲的变形 情况直接判断，如图9.2(b)所示，拉应力取正号，压 应力取负号。
- P/A + Mz/Wz ≤0
- 150×103/200h + 10×106/ 200h2/6 ≤0 则 h≥400mm 取 h=400mm 当h=400mm
σymax=- P/A - Mz/Wz =(-1.875-1.875)MPa=-3.75MPa
对于工程中常见的另一类构件，除受轴向荷载外， 还有横向荷载的作用，构件产生弯曲与压缩的组合变形。
若材料的抗拉和抗压强度相等，则斜弯曲的强 度条件为
σmax= Mzmax/Wz + Mymax/Wy ≤［σ］
图9.2
对于不同的截面形状， Wz/Wy 的比值可按下述
矩形截面： Wz/Wy = h/b=1.2～2 工字形截面：Wz/Wy =8～10； 槽形截面： Wz/Wy =6～8。
【例9.1】跨度l=4m的吊车梁，用32a号工字钢制成，材料 为A3钢，许用应力［σ］=160MPa。作用在梁上的集中力 P=30kN，其作用线与横截面铅垂对称轴的夹角φ=15°， 如图9.3
Wy≥387×103mm3 由 Wy= hb2/6 = 1.5b3/6 ≥387×103 解得 b≥115.68mm 为便于施工，取截面尺寸b=120mm
h=1.5b=1.5×120mm=180mm 选用120mm×180mm
9.3 偏心拉-压
图示的柱子，荷载P的作用 线与柱的轴线不重合，称为偏心 力，其作用线与柱轴线间的距离 e称为偏心距。偏心力P通过截面 一根形心主轴时，称为单向偏心 受压。
(3) 中性轴与z轴的夹角α(图9.2(c))的正切为 tanα=｜y0/z0｜= Iz/Iytanφ
从上式可知，中性轴的位置与外力的数值有关， 只决定于荷载P与y轴的夹角φ及截面的形状和尺寸。
图9.2
9.2.4 强度条件
进行强度计算，首先要确定危险截面和危险点 的位置。危险点在危险截面上离中性轴最远的点处， 对于工程上常用具有棱角的截面，危险点一定在棱 角上。图9.2(a)所示的悬臂梁，固定端截面的弯矩值 最大，为危险截面，该截面上的B、C两点为危险点， B点产生最大拉应力，C点产生最大压应力。
(3) 从图 (a)中可知：最大压应力发生在截面与偏心
力P较近的边线n-n线上；最大拉应力发生在截面与偏 心力P较远的边线m-m
σmin=σymax=- P/A - Mz/Wz σmax=σlmax=- P/A + Mz/Wz 截面上各点均处于单向应力状态，所以单向偏
σmin=σymax=｜- P/A - Mz/Wz｜≤［σy］ σmax=σlmax=- P/A + Mz/Wz ≤［σl］
该截面上由Pz在xOz Mymax= Pzl/4 = 7.76×4/4 kN·m=7.76kN·m
(3) 强度校核 由型钢表查得32a号工字钢的抗弯截面系数Wy和Wz
Wy=70.8cm3=70.8×103mm3 Wz=692.2cm3=692.2×103mm3
图9.3
【例9.2】图9.4所示矩形截面木檩条，两端简支在屋架上， 跨度l=4m。承受由屋面传来的竖向均布荷载q=2kN/m。 屋面的倾角φ=20°，材料的许用应力［σ］=10MPa。试
Py=Pcosφ Pz=Psinφ 分力Py和Pz将分别使梁在xOy和xOz两个主平面
图9.2
9.2.2 内力和应力的计算
在距自由端为x的横截面上，两个分力Py和Pz所
Mz=Py·x=Pcosφ·x=Mcosφ My=Pz·x=Psinφ·x=Msinφ 该截面上任一点K(y，z)，由Mz和My所引起的正
【解】(1) 荷载q与y轴间的夹角φ=20°，将均布荷载q沿截面对
称轴y、z qy=qcosφ=2cos20°kN/m =1.88kN/m qz=qsinφ=2sin20kN/m° =0.68kN/m
(2) 檩条在qy和qz单独作用下，最大弯矩均发生在跨中截
Mzmax= qyl2/8 = 1.88×42/8kN·m=3.76kN·m Mymax= qzl2/8 = 0.68×42/8kN·m=1.36kN·m (3) 选择截面尺寸 根据式(12.4) Mzmax/Wz + Mymax/Wy ≤［σ］ 上式中包含有Wz和Wy两个未知数。现设 Wz/Wy = h/b=1.5 3.76×106/1.5Wy + 1.36×106/Wy ≤10
图9.1
9.1.2 组合变形的解题方法
解决组合变形强度问题，分析和计算的基本步骤： 首先将构件的组合变形分解为基本变形；然后计算构件 在每一种基本变形情况下的应力；最后将同一点的应力
试验证明，只要构件的变形很小，且材料服从虎克 定律，由上述方法计算的结果与实际情况基本上是符合
9.2 斜弯曲
对于横截面具有对称轴的梁，当横向力作用在梁的 纵向对称面内时，梁变形后的轴线仍位于外力所在的 平面内，这种变形称为平面弯曲。
图9.2
9.2.3 中性轴的位置
因为中性轴上各点的正应力都等于零，设在中 性轴上任一点处的坐标为y0和z0，将σ=0代入式(9.1)，
σ=M(y0cosφ/Iz +z0 sinφ/Iy)=0
y0 cosφ/Iz +z0sinφ/Iy =0 上式称为斜弯曲时中性轴方程式。
从中可得到中性轴有如下特点： (1) (2) 力P穿过一、三象限时，中性轴穿过二、四象
单元9 组合变形强度计算
9.1 组合变形的概念 9.2 斜弯曲 9.3 偏心压缩（拉伸）
9.1 组合变形的工程概念
9.1.1 组合变形的概念
在实际工程中，构件的受力情况是复杂的，构件受 力后的变形往往不仅是某一种单一的基本变形，而是 由两种或两种以上的基本变形组合而成的复杂变形， 称为组合变形。
例如，图12.1(a)所示的屋架檩条；图12.1(b)所示的 空心墩；图12.1(c)所示的厂房支柱，也将产生压缩与 弯曲的组合变形。
图12.5
(4)
下面来讨论当偏心受压柱是矩形截面时，截面 边缘线上的最大正应力和偏心距e之间的关系。
图12.6(a)所示的偏心受压柱，截面尺寸为b×h， A=bh，Wz= bh2/6 ，Mz=Pe
σmax=- P/bh +Pe/bh2/6 =- P/bh(1- 6e/h) 边缘m-m上的正应力σmax的正负号，由上式中(16e/h )的符号决定，可出现三种情况：
【解】(1) 荷载分解
将荷载P沿梁横截面的y、z
Py=Pcosφ=30cos15°kN=29kN Pz=Psinφ=30sin15°kN=7.76kN (2) 内力计算
吊车荷载P位于梁的跨中时，吊车梁处于最不利的受 力状态，跨中截面的弯矩值最大，为危险截面。
该截面上由Py在xOy Mzmax= Pyl/4 = 29×4/4kN·m=29kN·m
① 当 6e/h <1，即e< h/6 时，σmax为压应力。截 面全部受压，截面应力分布如图12.7(a)所示。
② 当 6e/h =1，即e= h/6 时，σmax为零。 截面全部受压，而边缘m-m上的正应力恰好为零， 截面应力分布如图12.7(b)所示
③ 当 6e/h >1，即e> h/6 时，σmax为拉应力。截 面部分受拉，部分受压，应力分布如图12.7(c)所示。
图12.7
【例9.3】图示矩形截面柱，屋架传来的压力P1=100kN， 吊车梁传来的压力P2=50kN，P2的偏心距e=0.2m。已知截 面宽b=200mm (1) 若h=300mm，则柱截面中的最大拉应力和最大压应力 各为多少? (2) 欲使柱截面不产生拉应力，截面高度h应为多少?在确 定的h尺寸下，柱截面中的最大压应力为多少? 【解】(1) 内力计算
图12.6
9.4 截面核心
9.4.1 截面核心的概念
在单向偏心压缩时曾得出结论，当压力P的偏心距 小于某一值时，横截面上的正应力全部为压应力，而 不出现拉应力。当偏心压力作用在截面形心周围的一 个区域内时，使整个横截面上只产生压应力，这个荷 载作用区域称为截面核心。
(1) 将偏心力P向截面形心平移，得到一个通过柱轴线的轴向压力
P和一个力偶矩m=Pe的力偶，如图所示。 横截面m-n上的内力为轴力N和弯矩Mz，其值为
N=P Mz=Pe
(2) 对于该横截面上任一点K，由轴力N所引起的正
σ′=- N/A 由弯矩Mz
σ″=- Mzy/Iz 根据叠加原理，K
σ=σ′+σ″=- N/A - Mzy/Iz
如果外力的作用平面虽然通过梁轴线，但是不与梁 的纵向对称面重合时，梁变形后的轴线就不再位于外 力所在的平面内，这种弯曲称为斜弯曲。
P
cz
z
zPcc来自Pxy
x
y
9.2.1 外力的分解
如图9.2(a)所示的矩形截面悬臂梁，集中力P作用 在梁的自由端，其作用线通过截面形心，并与竖向 形心主轴y的夹角为φ
将力P沿截面两个形心主轴y、z方向分解为两个
N=P1+P2=(100+50)kN=150kN
Mz=P2e=50×0.2kN·m=10kN·m (2) 计算σlmax和σymax
由式(12.6)
σlmax=- P/A + Mz/Wz =(-2.5+3.33)MPa=0.83MPa σymax= -P/A - Mz/Wz =(-2.5-3.33)MPa=-5.83MPa (3) 确定h和计算σymax 欲使截面不产生拉应力，应满足σlmax≤0
根据叠加原理，K
σ=σ′+σ″
= Mz·y/Iz + My·z/Iy =M(ycosφ/Iz +zsinφ/Iy) 式中Iz和Iy分别是横截面对形心主轴z和y的惯性 矩。正应力σ′和σ″的正负号，可通过平面弯曲的变形 情况直接判断，如图9.2(b)所示，拉应力取正号，压 应力取负号。
- P/A + Mz/Wz ≤0
- 150×103/200h + 10×106/ 200h2/6 ≤0 则 h≥400mm 取 h=400mm 当h=400mm
σymax=- P/A - Mz/Wz =(-1.875-1.875)MPa=-3.75MPa
对于工程中常见的另一类构件，除受轴向荷载外， 还有横向荷载的作用，构件产生弯曲与压缩的组合变形。
若材料的抗拉和抗压强度相等，则斜弯曲的强 度条件为
σmax= Mzmax/Wz + Mymax/Wy ≤［σ］
图9.2
对于不同的截面形状， Wz/Wy 的比值可按下述
矩形截面： Wz/Wy = h/b=1.2～2 工字形截面：Wz/Wy =8～10； 槽形截面： Wz/Wy =6～8。
【例9.1】跨度l=4m的吊车梁，用32a号工字钢制成，材料 为A3钢，许用应力［σ］=160MPa。作用在梁上的集中力 P=30kN，其作用线与横截面铅垂对称轴的夹角φ=15°， 如图9.3
Wy≥387×103mm3 由 Wy= hb2/6 = 1.5b3/6 ≥387×103 解得 b≥115.68mm 为便于施工，取截面尺寸b=120mm
h=1.5b=1.5×120mm=180mm 选用120mm×180mm
9.3 偏心拉-压
图示的柱子，荷载P的作用 线与柱的轴线不重合，称为偏心 力，其作用线与柱轴线间的距离 e称为偏心距。偏心力P通过截面 一根形心主轴时，称为单向偏心 受压。
(3) 中性轴与z轴的夹角α(图9.2(c))的正切为 tanα=｜y0/z0｜= Iz/Iytanφ
从上式可知，中性轴的位置与外力的数值有关， 只决定于荷载P与y轴的夹角φ及截面的形状和尺寸。
图9.2
9.2.4 强度条件
进行强度计算，首先要确定危险截面和危险点 的位置。危险点在危险截面上离中性轴最远的点处， 对于工程上常用具有棱角的截面，危险点一定在棱 角上。图9.2(a)所示的悬臂梁，固定端截面的弯矩值 最大，为危险截面，该截面上的B、C两点为危险点， B点产生最大拉应力，C点产生最大压应力。
(3) 从图 (a)中可知：最大压应力发生在截面与偏心
力P较近的边线n-n线上；最大拉应力发生在截面与偏 心力P较远的边线m-m
σmin=σymax=- P/A - Mz/Wz σmax=σlmax=- P/A + Mz/Wz 截面上各点均处于单向应力状态，所以单向偏
σmin=σymax=｜- P/A - Mz/Wz｜≤［σy］ σmax=σlmax=- P/A + Mz/Wz ≤［σl］
该截面上由Pz在xOz Mymax= Pzl/4 = 7.76×4/4 kN·m=7.76kN·m
(3) 强度校核 由型钢表查得32a号工字钢的抗弯截面系数Wy和Wz
Wy=70.8cm3=70.8×103mm3 Wz=692.2cm3=692.2×103mm3
图9.3
【例9.2】图9.4所示矩形截面木檩条，两端简支在屋架上， 跨度l=4m。承受由屋面传来的竖向均布荷载q=2kN/m。 屋面的倾角φ=20°，材料的许用应力［σ］=10MPa。试
Py=Pcosφ Pz=Psinφ 分力Py和Pz将分别使梁在xOy和xOz两个主平面
图9.2
9.2.2 内力和应力的计算
在距自由端为x的横截面上，两个分力Py和Pz所
Mz=Py·x=Pcosφ·x=Mcosφ My=Pz·x=Psinφ·x=Msinφ 该截面上任一点K(y，z)，由Mz和My所引起的正
【解】(1) 荷载q与y轴间的夹角φ=20°，将均布荷载q沿截面对
称轴y、z qy=qcosφ=2cos20°kN/m =1.88kN/m qz=qsinφ=2sin20kN/m° =0.68kN/m
(2) 檩条在qy和qz单独作用下，最大弯矩均发生在跨中截
Mzmax= qyl2/8 = 1.88×42/8kN·m=3.76kN·m Mymax= qzl2/8 = 0.68×42/8kN·m=1.36kN·m (3) 选择截面尺寸 根据式(12.4) Mzmax/Wz + Mymax/Wy ≤［σ］ 上式中包含有Wz和Wy两个未知数。现设 Wz/Wy = h/b=1.5 3.76×106/1.5Wy + 1.36×106/Wy ≤10
图9.1
9.1.2 组合变形的解题方法
解决组合变形强度问题，分析和计算的基本步骤： 首先将构件的组合变形分解为基本变形；然后计算构件 在每一种基本变形情况下的应力；最后将同一点的应力
试验证明，只要构件的变形很小，且材料服从虎克 定律，由上述方法计算的结果与实际情况基本上是符合
9.2 斜弯曲
对于横截面具有对称轴的梁，当横向力作用在梁的 纵向对称面内时，梁变形后的轴线仍位于外力所在的 平面内，这种变形称为平面弯曲。
图9.2
9.2.3 中性轴的位置
因为中性轴上各点的正应力都等于零，设在中 性轴上任一点处的坐标为y0和z0，将σ=0代入式(9.1)，
σ=M(y0cosφ/Iz +z0 sinφ/Iy)=0
y0 cosφ/Iz +z0sinφ/Iy =0 上式称为斜弯曲时中性轴方程式。
从中可得到中性轴有如下特点： (1) (2) 力P穿过一、三象限时，中性轴穿过二、四象
单元9 组合变形强度计算
9.1 组合变形的概念 9.2 斜弯曲 9.3 偏心压缩（拉伸）
9.1 组合变形的工程概念
9.1.1 组合变形的概念
在实际工程中，构件的受力情况是复杂的，构件受 力后的变形往往不仅是某一种单一的基本变形，而是 由两种或两种以上的基本变形组合而成的复杂变形， 称为组合变形。
例如，图12.1(a)所示的屋架檩条；图12.1(b)所示的 空心墩；图12.1(c)所示的厂房支柱，也将产生压缩与 弯曲的组合变形。
图12.5
(4)
下面来讨论当偏心受压柱是矩形截面时，截面 边缘线上的最大正应力和偏心距e之间的关系。
图12.6(a)所示的偏心受压柱，截面尺寸为b×h， A=bh，Wz= bh2/6 ，Mz=Pe
σmax=- P/bh +Pe/bh2/6 =- P/bh(1- 6e/h) 边缘m-m上的正应力σmax的正负号，由上式中(16e/h )的符号决定，可出现三种情况：
【解】(1) 荷载分解
将荷载P沿梁横截面的y、z
Py=Pcosφ=30cos15°kN=29kN Pz=Psinφ=30sin15°kN=7.76kN (2) 内力计算
吊车荷载P位于梁的跨中时，吊车梁处于最不利的受 力状态，跨中截面的弯矩值最大，为危险截面。
该截面上由Py在xOy Mzmax= Pyl/4 = 29×4/4kN·m=29kN·m
① 当 6e/h <1，即e< h/6 时，σmax为压应力。截 面全部受压，截面应力分布如图12.7(a)所示。
② 当 6e/h =1，即e= h/6 时，σmax为零。 截面全部受压，而边缘m-m上的正应力恰好为零， 截面应力分布如图12.7(b)所示
③ 当 6e/h >1，即e> h/6 时，σmax为拉应力。截 面部分受拉，部分受压，应力分布如图12.7(c)所示。
图12.7
【例9.3】图示矩形截面柱，屋架传来的压力P1=100kN， 吊车梁传来的压力P2=50kN，P2的偏心距e=0.2m。已知截 面宽b=200mm (1) 若h=300mm，则柱截面中的最大拉应力和最大压应力 各为多少? (2) 欲使柱截面不产生拉应力，截面高度h应为多少?在确 定的h尺寸下，柱截面中的最大压应力为多少? 【解】(1) 内力计算
图12.6
9.4 截面核心
9.4.1 截面核心的概念
在单向偏心压缩时曾得出结论，当压力P的偏心距 小于某一值时，横截面上的正应力全部为压应力，而 不出现拉应力。当偏心压力作用在截面形心周围的一 个区域内时，使整个横截面上只产生压应力，这个荷 载作用区域称为截面核心。
(1) 将偏心力P向截面形心平移，得到一个通过柱轴线的轴向压力
P和一个力偶矩m=Pe的力偶，如图所示。 横截面m-n上的内力为轴力N和弯矩Mz，其值为
N=P Mz=Pe
(2) 对于该横截面上任一点K，由轴力N所引起的正
σ′=- N/A 由弯矩Mz
σ″=- Mzy/Iz 根据叠加原理，K
σ=σ′+σ″=- N/A - Mzy/Iz
如果外力的作用平面虽然通过梁轴线，但是不与梁 的纵向对称面重合时，梁变形后的轴线就不再位于外 力所在的平面内，这种弯曲称为斜弯曲。
P
cz
z
zPcc来自Pxy
x
y
9.2.1 外力的分解
如图9.2(a)所示的矩形截面悬臂梁，集中力P作用 在梁的自由端，其作用线通过截面形心，并与竖向 形心主轴y的夹角为φ
将力P沿截面两个形心主轴y、z方向分解为两个
N=P1+P2=(100+50)kN=150kN
Mz=P2e=50×0.2kN·m=10kN·m (2) 计算σlmax和σymax
由式(12.6)
σlmax=- P/A + Mz/Wz =(-2.5+3.33)MPa=0.83MPa σymax= -P/A - Mz/Wz =(-2.5-3.33)MPa=-5.83MPa (3) 确定h和计算σymax 欲使截面不产生拉应力，应满足σlmax≤0