线性代数课后习题1答案(谭琼华版)

线性代数课后题详解

第一章 行列式

1.利用对角线法则计算下列三阶行列式： (1)

；

21-1

2 解：；5)1(1222

1-12=-⨯-⨯= (2)

；1

1

12

2

++-x x x

x 解：

；

1)1)(1(11

1232222--=-++-=++-x x x x x x x x x x (3) ;22b

a b a

解：

;222

2ba ab b a b

a -=

(4)

;5

984131

11 解：

;59415318119318415115

984131

11=⨯⨯-⨯⨯-⨯⨯-⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯=

(5)

;0

00

00d

c b a

解：

;00000000000000

00=⨯⨯-⨯⨯-⨯⨯-⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯=d c b a d b c a d

c b

a (6)

.132213321 解：

.183211322133332221111

322133

21=⨯⨯-⨯⨯-⨯⨯-⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯=

2.求下列排列的逆序数： （1）34215；

解：3在首位，前面没有比它大的数，逆序数为0；4的前面没有比它大的数，逆序数为0；2的前面有2个比它大的数，逆序数为2；1的前面有3个比它大的数，逆序数为3；5的前面没有比它大的数，逆序数为0.因此排列的逆序数为5. （2）4312；

解：4在首位，前面没有比它大的数，逆序数为0；3的前面有1个比它大的数，逆序数为1；1的前面有2个比它大的数，逆序数为2；2的前面有2个比它大的数，逆序数为2.因此排列的逆序数为5.

（3）n(n-1)…21；

解：1的前面有n-1个比它大的数，逆序数为n-1；2的前面有n-2个比它大的数，逆序数为n-2；…；n-1的前面有1个比它大的数，逆序数为1；n 的前面没有比它大的数，逆序数为0.因此排列的逆序数为n(n-1)/2.

(4）13…(2n-1)(2n) …42.

解：1的前面没有比它大的数，逆序数为0；3的前面没有比它大的数，逆序数为0；…；2n-1的前面没有比它大的数，逆序数为0；2的前面有2n-2个比它大的数，逆序数为2n-2；4的前面有2n-4个比它大的数，逆序数为2n-4；…；2n 的前面有2n-2n 个比它大的数，逆序数为2n-2n.因此排列的逆序数为n(n-1). 3.写出四阶行列式中含有因子2311a a 的项. 解 由定义知，四阶行列式的一般项为 43214321)1(p p p p t a a a a -，其中t 为4321p p p p 的逆序数．由于3,121==p p 已固定，4321p p p p 只能形如13□□，

即1324或1342.对应的t 分别为

10100=+++或22000=+++

∴44322311a a a a -和42342311a a a a 为所求.

4.计算下列各行列式：

(1)

71100

251020214214

；

解：

7110025102

021

4214343

27c c c c --0

1

14

23102021

10214

---=

34)1(14

3

10

2211014

+-⨯--- =-

14

3

10

2211014

--3

2

1

132c c c c ++-

14

17172

1099

-= 0.

(2)

;0111101111011

110

解：

0111101111011

1104342c c c c --0

1

1

1

1

10110111000--=14)1(1

11

101

1

1+-⨯-- =-1

1

1

101

01

1--

12c c +-1

2

1111

001-=-

1

2

11-=-3.

(3)

ef cf bf de cd bd ae ac ab

---；

解：

1

1

1

111

111---=---=---abcdef f

f

f

d d d a a a bc

e ef

cf

bf

de cd bd ae ac ab

3

231c c c c -+1

2

12

2100--abcdef

=.41

21

02)1(1

2abcdef abcdef

=-⨯-+

(4)

;100110011001d

c b a

---

解：

d c b

a 100

11001

10

01---21ar r +d

c

b a ab 10

1

10011

010

---+=)

1()

1(1

2-⨯-+d

c

a a

b 10

1

101--+

2

3dc c +0

10

111-+-+cd c

ad

a a

b =)

1()1(23-⨯-+cd

ad ab +-+11

1

=1++++ad cd ab abcd .

(5)

;222222b

a c c

c

b c a b b a a c

b a ------

解：

b a

c c c

b c a b b a

a c

b a ------2222223

231c c c c --b

a c c

b a

c b a b c b a a c

b a --++++------2020 13r r +b a

c c b a b c b a a c b a -+++------02020

23r r +b

a c

b

c b a a c

b a ++------002020=3)(

c b a ++. (6)

;15023

21353140422

-----

解:

150

2

321353

140

422-----134152c c c c --10

31319

5

22160

422

------=1319221642

2-----2

32

12c c c c ++1511024170

20--- =15

10

247

2---=.270]10)24(157[2-=⨯--⨯--