反比例函数与一次函数的交点问题(3)学案
反比例函数与一次函数交点问题
自学指导3:(3分钟)
例数:y如2=图x,+反2比得例图函象数交y于1 点mxM(m、≠N0,)M得(图1,象3)与,求一次函
△MON得面积、
y
H
∟ ∟
(0,2) A M (1,3)
3
∟ ∟
(-2,0)H B
1
oG
x
G
N (-3,-1)
变式:如图,在平面直角坐标系xOy中,一次函数 y=kx+b得图象与反比例函数y＝m/x得图象交 于A(2,3)、B(-3,n)两点、 (1)求一次函数与反比例函数得解析式; (2)直接写出一次函数值不小于反比例函数值得 自变量x得取值范围;
D (1 ,4)E
(4 ,1)
C
(3)求△OPQ得面积、 y
P(1,4)
Q (4 ,1) E
0C D
x
(1 ,4) (4 ,1)
E F(5,0)y=-x+5
变式:如图,一次函数y1=kx+b得图象与反比例函 数y2= m/x(x＞0)得图象交于A(1,6),B(a,2)两点、 (1)求一次函数与反比例函数得解析式;
x
自学指导2:(3分钟)
例y1、如k2图,得正图比象例相函交数于y=Ak、1xB与两反点比,其例中函点数 A得 x坐标为(2,4)
(1)分别写出这两个函数得表达式;
(2)您能求出点B得坐标吗？
您就是怎样求得？
y
oA
x
B
思考12:如正果比正例比 函例数函y=数k1与x反与比反例比函例数函图数象有 交y=点k2,则/x有交几点个,?则而k交1与点k坐2应标满有足什什么么特条点件? ?
x
直角坐标系中得图象可能就是D :
一次函数与反比例函数综合应用教案
一次函数与反比例函数综合应用教案一、教学目标1. 让学生掌握一次函数和反比例函数的基本概念和性质。
2. 培养学生运用一次函数和反比例函数解决实际问题的能力。
3. 引导学生通过合作交流，提高解决问题的策略和思维能力。
二、教学内容1. 一次函数的基本概念和性质。
2. 反比例函数的基本概念和性质。
3. 一次函数和反比例函数的综合应用。
三、教学重点与难点1. 教学重点：一次函数和反比例函数的基本概念、性质和综合应用。
2. 教学难点：一次函数和反比例函数的综合应用。
四、教学方法1. 采用问题驱动法，引导学生主动探究一次函数和反比例函数的性质。
2. 利用案例分析法，让学生通过实际问题体会一次函数和反比例函数的应用价值。
3. 采用合作交流法，培养学生团队协作和沟通能力。
五、教学过程1. 导入新课：通过生活实例引入一次函数和反比例函数的概念。
2. 自主学习：让学生自主探究一次函数和反比例函数的性质。
3. 案例分析：分析实际问题，引导学生运用一次函数和反比例函数解决问题。
4. 合作交流：分组讨论，让学生分享解题策略和心得。
5. 总结提升：总结一次函数和反比例函数的性质及应用，提高学生解决问题的能力。
6. 课后作业：布置相关练习题，巩固所学知识。
六、教学活动设计1. 活动一：引入概念通过展示实际生活中的线性关系图片，如直线轨道上列车的运动，引导学生思考线性关系的表现形式。
引导学生提出一次函数的表达式，并解释其含义。
2. 活动二：探索性质学生通过绘制一次函数图像，观察并总结其在坐标系中的性质。
通过实际例子，让学生理解一次函数的斜率和截距对图像的影响。
3. 活动三：反比例函数的引入引导学生从比例关系出发，思考反比例函数的概念。
通过实际问题，如在固定面积内，距离与面积的关系，引入反比例函数。
七、教学评价设计1. 评价目标：学生能理解并应用一次函数和反比例函数解决实际问题。
通过设计具有挑战性的问题，如购物预算问题，让学生应用所学的函数知识。
初三一次函数与反比例函数综合应用教案
点坐标 线段长 三角形面积
拓展提高：当直线AB绕点A顺时针旋转与反比例函数 （x<0）的图象交于B点，且与x轴交于点C，且AB＝2BC，求点B、C的坐标和直线AB表达式．
过 点作 轴的平行线，过 点作 轴的平行线，这两条直线交于点F，若反比例函数 的图象与△ABE有公共点，请直接写出 的取值范围．
教
学
过
程
教师活动
学生活动
设计意图
一、知识梳理.
【知识点1】一次函数与反比例函数图象的交点.
1.交点坐标：
一次函数 与反比例函数 的交点坐标是方程组 的解.
2.交点个数：
（1）从图象上看：
一次函数 与反比例函数 的交点个数由 值的符号来决定.
① 值同号，两函数图象必有两个交点（当 时，正比例函数与反比例函数图象两交点关于原
若y轴上有一点P，且S△PAB=14，
求P点坐标；
若坐标轴上有一点P，且S△PAB=14，
求P点坐标．
【方法归纳】
三角形面积 点坐标
变式二：在例2的已知条件下，过点A作AE⊥x轴与E，当直线AB绕着点A转动时,与 轴的交点为D(b,0)，并与反比例函数图象的另一支还有一个交点的情形下,求△AED的面积S与b之间的函数关系式.并写出自变量b的取值范围．
学生总结，理解.
学生思考，求解.
对一次函数和反比例函数的交点与原点连线围成的三角形面积情况进行总结.
从函数表达式求点坐标，再由点坐标求函数表达式.
教
学
过
程
教师活动
学生活动
设计意图
【方法归纳】
表达式点坐标表达式点坐标
例2：已知：如图，已知A（-1,6），B(n,-1)是一次函数 的图象和反比例函数 的图象的两个交点．
新湘教版九年级数学上册学案：反比例函数与一次函数的交点问题
新湘教版九年级数学上册学案：反比例函数与一次函数的交点问题【学习目标】1、研究与探索反比例函数与一次函数的交点问题，感受它的基本类型。
2、培养数形结合的思想与解决交点问题的能力；养成多角度思考问题的良好习惯。
【学习过程】一、知识产生：1、已知点A （1，y 1）、B （2，y 2）、C （﹣3，y 3）都在反比例函数的图象上，则y 1、y 2、y 3的2、正比例函数2y =和反比例函数y x=的图象有 个交点 3、正比例函数y=k 1x(k 1≠0)和反比例函数y =2k x (k 2≠0)的一个交点为(m,n),则另一个交点为_________.二、知识发展：1、已知正比例函数y=kx 与反比例函数y=错误！未找到引用源。
的图象都过A （m ，1）点． 求：（1）正比例函数的解析式；（2）正比例函数与反比例函数的另一个交点的坐标．2、已知A （-4,2）、B （n,-4）是一次函数y 1=kx+b 的图像与反比例函数y 2=m/x 的图像的两个交点。
（1）求n 的值。
（2）反比例函数、一次函数的解析式。
（3）当X 取什么值时，12y y ，当X 取什么值时，12y y ？三、知识形成：1、老师在同一个直角坐标系中画了一个反比例函数11(0)k y k x=≠的图象以及正比例函数22(k 0)y k x =≠的图象，当K 1K 2 时，有两个交点，且关于 对称。
当K 1K 时，无交点。
2、如果已知两个函数的解析式求交点坐标，或判断交点的个数，用两个解析式联立求解即可解决。
如已知交点坐标求解析式，可把坐标直接代入解析式即可。
四、知识应用：1如图，已知直线y=mx 与双曲线y=的一个交点坐标为（3，4），则它们的另一个交点坐标是（ ）2、（2013，娄底）如图，已知A 点是反比例函数(0)k y k x=≠的图象上一点，AB y ⊥轴于B ，且ABO △的面积为3，则k 的值为_____________.3、已知：如图，一次函数的图象与y 轴交于C （0，3），且与反比例函数y=的图象在第一象限内交于A ，B 两点，其中A （1，a ），求（1）这个一次函数的解析式．（2）当X 取何值时，反比例函数的值小于一次函数的值？4、如图，在平面直角坐标系xOy 中，正比例函数y=kx 的图象与反比例函数y=的图象有一个交点A （m ，2）．（1）求m 的值； （2）求正比例函数y=kx 的解析式；（3）试判断点B （2，3）是否在正比例函数图象上，并说明理由．五、知识拓展：如图，直线y=x ﹣1与反比例函数y=的图象交于A 、B 两点，与x 轴交于点C ，已知点A 的坐标为（﹣1，m ）．（1）求反比例函数的解析式；（2）若点P （n ，1）是反比例函数图象上一点，过点P 作PE ⊥x 轴于点E ，延长EP 交直线AB 于点F ，求△CEF 的面积．。
一次函数与反比例函数的交点问题
一次函数与反比例函数的交点问题一次函数与反比例函数的交点问题，是许多学习数学的人都会遇到的一个难题。
今天，我将从理论和实践两个方面来探讨这个问题，并希望能够给大家带来一些启示和帮助。
我们来看一下一次函数和反比例函数的基本概念。
一次函数是指形式为f(x)=ax+b的函数，其中a和b是常数，x是自变量。
反比例函数是指形式为g(x)=k/x的函数，其中k是常数，x是自变量。
这两种函数都有一个共同点，那就是它们的图像都是一条直线或曲线。
尽管一次函数和反比例函数在图像上看起来很相似，但它们在求交点的问题上却有着很大的不同。
对于一次函数来说，只要已知它的斜率和截距，就可以轻松地求出它与任意一条直线的交点；而对于反比例函数来说，即使知道了它的定义域和值域，也无法直接求出它与任意一条直线的交点。
这是因为反比例函数的图像是一个双曲线，而不是一条直线。
因此，要解决一次函数和反比例函数的交点问题，就需要采用一些特殊的方法。
其中一种比较常用的方法是“代入法”。
具体来说，就是先设出一条直线的方程，然后将这条直线代入到反比例函数中去，得到一个关于x的一元二次方程。
接下来再解这个一元二次方程，就可以得到这条直线与反比例函数的交点坐标了。
这种方法虽然比较繁琐，但在实际应用中却非常方便和有效。
除了“代入法”之外，还有一种比较简单且易于理解的方法叫做“待定系数法”。
具体来说，就是先设出一条直线的方程，然后根据这条直线与反比例函数的图像相交的条件，列出一组关于a、b、k的方程组。
最后再解这个方程组，就可以得到这条直线与反比例函数的交点坐标了。
这种方法不仅简单易懂，而且可以推广到其他类型的函数之间求交点的问题上。
一次函数和反比例函数的交点问题虽然看起来比较复杂，但只要掌握了一些基本的方法和技巧，就可以轻松地解决它。
希望大家在学习数学的过程中能够多多思考和探索，不断提高自己的能力和水平。
《反比例函数与一次函数的交点问题》教学设计
《反比例函数与一次函数的交点问题》教学设计一、教学背景分析【教材内容】人教版第26章反比例函数【课标要求】在数学课程中，应当注重发展学生的数感、符号意识、空间观念、几何直观、运算能力、推理能力和模型思想。
为了适应时代发展对人才培养的需要，数学课程还要特别注重发展学生的应用意识和创新意识.【内容分析】中考常将一次函数和反比例函数放在一个坐标系内，根据所给图像提供的信息求解各函数的解析式、确定自变量取值范围、比较函数大小、图形面积等问题，是这部分内容考查的“高频考点”，题型有填空题、选择题、也有中档的解答题。
【学情分析】学生刚刚学完反比例函数，初步掌握了一次函数和反比例函数的相关知识，但由于中考一般是以综合题型的形式进行考查的，而学生综合应用知识和分析问题能力较弱，因此在本节课中特别准备了一些中考常见题型，帮助学生提升分析问题的能力和灵活应用知识的能力。
二、目标【教学目标】1.会联立方程求反比例函数与一次函数的交点坐标；2.会根据交点情况求参数的值或取值范围.【教学重点】根据交点求参数的值或取值范围.【教学难点】利用数形结合思想进行解题.【教学策略】引导启发式、讨论合作式、多媒体辅助教学，教学中注重数形结合思想的渗透。
【课前准备】多媒体课件、写字板【课的类型】专题课【课时安排】1课时三、教学活动教学环节教学活动设计设计意图教师活动学生活动一、前置作业1.在平面直角坐标系中直线y=2x+2与直线xy=的交点坐标为．2.直线2+-=xy与抛物线2xy=的交点坐标为．3.直线与双曲线的交点坐标为．课前5分钟利用练习题复习求交点坐标.重温如何求两个函数图象的交点坐标.二、例题学习类型一、求直线与双曲线的交点坐标例1.如图，一次函数的图象与反比例函数xky=（k为常数，且0k≠）的图象相交于A（-1，m）和B两点，求点 B 的坐标 .进行求交点坐标的例题来规范书写过程让学生规范联立方程来解题，规范书写过程变式1.已知直线y＝mx与双曲线xky=的一个交点坐标为（﹣1，3），则它们的另一个交点坐标是 .变式1 让学生明白还可以通过中心对称来求另一个交点坐标xy4=xy=5y x=+类型二、根据交点情况求参数的值或取值范围例2.如图，将一次函数5y x =+的图象沿y 轴向下平移b 个单位()0b >．使平移后的图象与反比例函数 的图象有且只有一个交点，求b 的值.思考：当平移后的直线与双曲线没有交点时，求b 的取值范围？变式2.如图，在平面直角坐标系中直 线y ＝x +2与反比例函数 y =−k x的图象有唯一公共点， （1）求k 的值；（2）若直线y ＝mx +2与反比例函数 y =−kx的图象有2个公共点，请你根据图象写出m 的取值范围.小组合作讨论求b 值.学生合作讨论通过几何画板展示平移，利用判别式来求解.通过思考问题拓展参数的取值范围第（1）问常规求解过程.第（2）问除了利用判别式来求解外，还考究学生的数形结合思想，属于旋转的类型，比平移高了一个难度xy 4-=三、课堂练习A组1．正比例函数y=kx的图象与反比例函数y=mx的图象有一个交点的坐标是(−1，−2)，则另一个交点的坐标为（）A．(2，1)B．（1，−2）C．（−1，2）D．（1，2）2．已知反比例函数y=kx与一次函数y=x+1的图象没有交点，则k的值可以是（）A．12B．14C．−14D．−1B组3.如图，一次函数3+=xy的图象与反比例函数)0(1<-=xxky的图象交于点A),2(m-、点B．（1）求这个反比例函数的表达式；（2）将一次函数3+=xy的图象向下平移m个单位，当平移后的函数图象与反比例函数的图象只有一个交点时，求m的值．课堂分层练习分层课堂作业设计，充分照顾各个层次的学生.四、课堂小结（1）求直线与双曲线的交点坐标；（2）根据交点求参数的值或取值范围.学生进行小结课堂小结五、挑战自我已知一次函数3y mx m=-（0m≠）和反比例函数4yx=的图象如图所示．(1)一次函数3y mx m=-必定经过点________．（写点的坐标）(2)当2m=-时，一次函数与反比例函数图象交于点A，B，与x，y轴分别交于点C，D，连接BO并延长，交反比例另一支于点E，求出此时A，B两点的坐标及ABE的面积．(3)直线3y mx m=-绕点C旋转，直接写出当直线与反比例图象无交点时m的取值范围．提供给学有余力的学生进行挑战提供给学有余力的学生进行挑战。
初中数学-反比例函数与一次函数的交点面积问题教学设计学情分析教材分析课后反思精选全文
可编辑修改精选全文完整版《反比例函数与一次函数的交点面积问题》教学设计学科数学课题反比例函数与一次函数的交点面积问题课型复习教学 目标知识目标 1. 能够熟练求解一次函数与反比例函数的表达式与交点坐标； 2. 能够熟练求解反比例函数中三角形的面积。
能力目标通过讨论交流，合作学习，培养学生研究问题和解决问题能力。
情感目标培养学生自主探究、合作交流的能力及渗透数型结合，转化等数学思想。
教学重点 能够熟练求解反比例函数中三角形的面积 教学难点 分割法，转化法的应用，规范书写证明过程。
教学用具多媒体教学方法小组合作探究教学课时1课时教 学 过 程 设 计教学过程学生活动 一、自主复习诊断1、整理反比例函数中常见的三角形图形及求面积的方法2、预习诊断1) 已知一次函数y=kx+b 经过点A （0,3）和B （-3,0）则函数的表达式为______________.2) 已知反比例函数经过点A （1,4）则反比例函数的表达式为_________3) 如图，过反比例函数)0(>=x xky 的图象上一点A 作AB ⊥x 轴于点B ，连接AO ，若S △AOB =2，则k的值为________学生复习常见的反比例函数与一次函数围成的三角形面积。
学生思考，导入课题。
学生自主完成相关内容。
yxy x y x y x yx y x4）如图,点P 是反比例函数图象上的一点,PD ⊥x轴于D.则△POD 的面积为5）面积不变性S=S=注意：（1）面积与P 的位置无关（2）当k 符号不确定的情况下须分类讨论6)曲直结合△BDA 的面积是多少？ 7）（2011•临沂）如图，一次函数y=kx+b 与反比例函数y=的图象相较于A （2，3），B（﹣3，n ）两点．（1）求一次函数与反比例函数的解析式；（2）过点B 作BC ⊥x 轴，垂足为C ，求S △ABC ．二、教材分析中考试卷中的反比例函数问题，许多都是与三角形、四边形等图形的学生掌握公理的原则，并不是越多越好。
初中数学_反比例函数与一次函数的交点面积问题教学设计学情分析教材分析课后反思
《反比例函数与一次函数的交点面积问题》教学设计学科数学课题反比例函数与一次函数的交点面积问题课型复习教学 目标知识目标 1. 能够熟练求解一次函数与反比例函数的表达式与交点坐标； 2. 能够熟练求解反比例函数中三角形的面积。
能力目标通过讨论交流，合作学习，培养学生研究问题和解决问题能力。
情感目标培养学生自主探究、合作交流的能力及渗透数型结合，转化等数学思想。
教学重点 能够熟练求解反比例函数中三角形的面积 教学难点 分割法，转化法的应用，规范书写证明过程。
教学用具多媒体教学方法小组合作探究教学课时1课时教 学 过 程 设 计教学过程学生活动一、自主复习诊断1、整理反比例函数中常见的三角形图形及求面积的方法2、预习诊断1) 已知一次函数y=kx+b 经过点A （0,3）和B （-3,0）则函数的表达式为______________.2) 已知反比例函数经过点A （1,4）则反比例函数的表达式为_________ 3) 如图，过反比例函数)0(>=x xky 的图象上一点A 作AB ⊥x 轴于点B ，连接AO ，若S △AOB =2，则k 的值为________4）如图,点P 是反比例函数 图象上的一点,PD ⊥x 轴于D.则△POD学生复习常见的反比例函数与一次函数围成的三角形面积。
学生思考，导入课题。
学生自主完成相关内容。
yxy x y x y x yx y x xy 2=的面积为5）面积不变性S=S=注意：（1）面积与P 的位置无关（2）当k 符号不确定的情况下须分类讨论6)曲直结合△BDA 的面积是多少？ 7）（2011•临沂）如图，一次函数y=kx+b 与反比例函数y=的图象相较于A （2，3），B（﹣3，n ）两点．（1）求一次函数与反比例函数的解析式； （2）过点B 作BC ⊥x 轴，垂足为C ，求S △ABC ．二、教材分析中考试卷中的反比例函数问题，许多都是与三角形、四边形等图形的面积联系在一起的，其中常见的有已知反比例函数的解析式，求其图象围成的某一图形的面积；或已知某一图形的面积，求符合条件的反比例函数的解析式等题型学生掌握公理的原则，并不是越多越好。
一次函数与反比例函数的交点问题
一次函数之间的交点；如函数y=kx+b ，y=ax+c 图像有一个交点说明这两个函数存在相同的x ，y 的值，则这个相同的x ，y 的值即为函数y=kx+b ，y=ax+c 图像的交点坐标。
因为这个相同的x ，y 的值即为函数y=kx+b ，y=ax+c 图像的交点坐标所以可通过解方程来解决即：kx+b=ax+c解得x 的值，再代入可求得y 的值即为交点坐标。
当然也可以通过在直角坐标系中画出一次函数的图像直接从图像上看到，不过这种方法要求作图精确。
一般情况下，作图法只用作帮我们寻找解题的思路。
真正要接出精确的答案还是要通过代数运算。
一次函数与反比例函数的交点；函数y=ax+b,y=xk 图像有一个交点 说明这两个函数存在相同的x,y 的值，则这个相同的x,y 的值即为函数y=ax+b, y=x k 的图像的交点坐标。
即ax+b=xk ,此式可化解为ax 2+bx-k=0 如果次一元二次方程的△＞0则表示一次函数和反比例函数有两个交点；△ ＜0则表示一次函数和反比例函数没有交点；△ =0则表示一次函数和反比例函数有一个交点。
具体情况可有下图表示：例1：已知一次函数y=kx+k 的图象与反比例函数y=x2的图象在第一象限交于B （4，n ） ，求n ，k 的值。
变式练习1；若反比例函数的图象经过点（1，3）（1） 求该反比例函数的解析式； （2）求一次函数y=2x+1与该反比例函数的图象的交点坐标。
例2已知一次函数y=﹣x+4与反比例函数x k ，当k 满足什么条件时，这两个函数在同一直角坐标系中的图象有两个公共点？变式练习：一次函数y=-x+3与反比例函数y=x1 有两个公共交点A 和B 。
求： （1） 点A 和点B 的坐标 （2） △ABO 的面积例题3一次函数y=kx+b 与反比例函数y=x m 在同一个坐标系内只有唯一的一个交点A （2，3）。
求这两个函数的表达式。
变式练习：一次函数y=-2x+3与反比例函数y=xm 在同一个坐标系内只有唯一的一个交点A 。
6.1反比例函数(教案)(3)
三、教学难点与重点
1.教学重点
（1）反比例函数的定义：y = k/x（k≠0），强调k不为零，这是反比例函数成立的前提条件。
举例：在实际问题中，如速度与时间的关系，当时间为零时，速度没有意义，因此k不能为零。
（二）新课讲授（用时10分钟）
1.理论介绍：首先，我们要了解反比例函数的基本概念。反比例函数是形如y = k/x（k≠0）的函数。它在描述现实生活中的反比关系方面具有重要应用。
2.案例分析：接下来，我们来看一个具体的案例。这个案例展示了反比例函数在描述物体在反比例力作用下运动的应用，以及它如何帮助我们解决问题。
针对这个问题，我计划在接下来的课程中，增加一些与生活紧密相关的反比例函数实例，让学生更加直观地感受反比例函数的作用。此外，我还将加强对学生的引导，鼓励他们在小组讨论中积极发表自己的观点，提高他们的参与度。
另外，我在课程中强调了反比例函数与一次函数图像的关系，但感觉学生们对此部分的掌握程度并不理想。在今后的教学中，我需要更加注重这方面的讲解和练习，让学生更好地理解两者之间的联系和区别。
3.成果分享：每个小组将选择一名代表来分享他们的讨论成果。这些成果将被记录在黑板上或投影仪上，以便全班都能看到。
（五）总结回顾（用时5分钟）
今天的学习，我们了解了反比例函数的基本概念、图像性质和实际应用。同时，我们也通过实践活动和小组讨论加深了对反比例函数的理解。我希望大家能够掌握这些知识点，并在日常生活中灵活运用。最后，如果有任何疑问或不明白的地方，请随时向我提问。
（2）反比例函数的图像与性质：双曲线、在每个象限内y随x的增大而减小（k>0）或增大（k<0）。
中考数学专题第十二讲《一次函数与反比例函数》导学案教案教学设计
第十二讲 一次函数与反比例函数★★ 试题结构特征1、以函数为模型，解决实际问题中的极值与最优方案问题2、以纯几何图形为基础，探求其位置和数量的变化规律；3、将几何图形置于直角坐标系中，探求其位置和数量的变化规律；4、以直角坐标系中的函数（或函数图象）为基础，探求几何图形的变化规律；★ 你必须记住的考点1、象限及各象限特征、对称问题2、一次函数与反比例函数表达式3、函数图像性质（增减性、平行和垂直）4、一次函数与反比例函数交点问题（交点个数和坐标）5、与函数有关的极值和面积问题6、函数与直线型结合（比较大小及取值范围）7、函数与三角函数、方程结合8、三角函数与一次函数的关系★ 你必须掌握的方法数形结合思想、分类讨论思想、方程思想。
◆ 考点一-----坐标与函数【例1】1、点A )21,4(m m --在第三象限，则m 的取值范围是（ ）A 、21>m B 、4<m C 、421<<m D 、4>m 2、在平面直角坐标系中，已知点0P 的坐标为（1，0）。
将0P 绕着原点按逆时针方向旋转︒30得到点1P ，延长1OP 到点2P ，使122OP OP =；再将2P 绕着原点按逆时针方向旋转︒30得到点3P ，延长3OP 到点4P ，使 ；342OP OP =如此继续下去。
求： （1）点2P 的坐标为（ ）；（2）点2010P 的坐标为（ ）； 【例2】1、（芜湖市）函数中自变量x 的取值范围是 ； ◎目标训练1、已知点),(b a P ，当0<ab ，点P 的位置在（ ）A 、第一象限或第三象限B 、第二象限C 、第三象限D 、第二象限或第四象限2、如图：A （1，0），点B 在直线上运动，当线段AB 最短时，点B 的坐标为（ ）3y x =-y x =-D C B P A s t O A s t O B s t O C s tO D A 、（0，0） B 、（，－） C 、（，－） D 、（－，）3、（自贡市）如图，在四边形ABCD 中，动点P 从点A 开始沿A B C D →→→的路径匀速前进到D 为止。
反比例函数与一次函数的交点问题
例：
中考中对于反比例函数与一次函数交点
问题经常涉及参数的值、给交点求解析式、
y的比较。除了这些问题以外，还要对数形
结合，分类讨论的思想进行考察。这类题目
本身并不会太难，一般都是作为一道中档次
题目。所以在中考中面对这类问题，一定要
做到避免失分.
式和一次函数关系式即可求得待定的系数；
（2）函数的图像没有交点，转化为代数问题，
用二次方程根的判别式可解．
解： （1）∵一次函数和反比例函数的图像交于点（2，m） ，
Байду номын сангаас
∴m=2﹣6，
解得m=﹣4， ∴ P (2 , -4)
则 k=2×（﹣4）=﹣8．
∴m=﹣4，k=﹣8；
∵要使两函数的图象没有交点，须使方程
x2﹣6x﹣k=0无解． ∴△=（﹣6）2﹣4×（﹣k）=36+4k＜0， 解得k＜﹣9． ∴当k＜﹣9时，两函数的图象没有交点．
【方法归纳】 • 首先需要注意的是，本题中的两小问属于并列关 系，切记不可把第(1)问的条件用在第(2)问中. • 考查反比例函数与一次函数的交点问题，注意先 代入已知的一个关系式中，再求解另一个表达式， 必须明确的是：两个函数图像有无交点的问题， 实质上就是所联立的方程组有无解的问题.
一次函数
函数
反比例函数
二次函数
反比例函数与一次函数交点问题
石家庄市第十九中学 王克维
k 例：已知反比例函数 y= （k≠0）和一次函数 y=x-6 x
（1）若一次函数与反比例函数的图像交于点 P（2，m） ，求 m 和 k 的值． （2）当 k 满足什么条件时，两函数的图像没有交点？
【分析】 （1）两个函数交点的坐标满足这两个函数关系 式，因此将交点的坐标分别代入反比例函数关系
反比例函数与一次函数的交点问题
反比例函数与一次函数的交点问题（1）求反比例函数与一次函数的交点坐标，把两个函数关系式联立成方程组求解，若方程组有解则两者有交点，方程组无解，则两者无交点．（2）判断正比例函数y=k1x和反比例函数y=k2x在同一直角坐标系中的交点个数可总结为：①当k1与k2同号时，正比例函数正比例函数y=k1x和反比例函数y=k2x在同一直角坐标系中有2个交点；②当k1与k2异号时，正比例函数正比例函数y=k1x和反比例函数y=k2x在同一直角坐标系中有0个交点．反比例函数图象的对称性：反比例函数图象既是轴对称图形又是中心对称图形，对称轴分别是：①二、四象限的角平分线Y=-X；②一、三象限的角平分线Y=X；对称中心是：坐标原点．反比例函数的性质（1）反比例函数y=xk（k≠0）的图象是双曲线；（2）当k＞0，双曲线的两支分别位于第一、第三象限，在每一象限内y随x的增大而减小；（3）当k＜0，双曲线的两支分别位于第二、第四象限，在每一象限内y随x的增大而增大．注意：反比例函数的图象与坐标轴没有交点．比例系数k的几何意义在反比例函数y=xk图象中任取一点，过这一个点向x轴和y轴分别作垂线，与坐标轴围成的矩形的面积是定值|k|．在反比例函数的图象上任意一点象坐标轴作垂线，这一点和垂足以及坐标原点所构成的三角形的面积是|k|2，且保持不变．反比例函数y=xk（k为常数，k≠0）的图象是双曲线，①图象上的点（x，y）的横纵坐标的积是定值k，即xy=k；②双曲线是关于原点对称的，两个分支上的点也是关于原点对称；③在xk图象中任取一点，过这一个点向x轴和y轴分别作垂线，与坐标轴围成的矩形的面积是定值|k|．用待定系数法求反比例函数的解析式要注意：（1）设出含有待定系数的反比例函数解析式y=xk（k为常数，k≠0）；（2）把已知条件（自变量与函数的对应值）带入解析式，得到待定系数的方程；（3）解方程，求出待定系数；（4）写出解析式．反比例函数与一次函数的交点问题（1）求反比例函数与一次函数的交点坐标，把两个函数关系式联立成方程组求解，若方程组有解则两者有交点，方程组无解，则两者无交点．（2）判断正比例函数y=k1x和反比例函数y=k2x在同一直角坐标系中的交点个数可总结为：①当k1与k2同号时，正比例函数正比例函数y=k1x和反比例函数y=k2x在同一直角坐标系中有2个交点；②当k1与k2异号时，正比例函数正比例函数y=k1x和反比例函数y=k2x在同一直角坐标系中有0个交点．（1）利用反比例函数解决实际问题①能把实际的问题转化为数学问题，建立反比例函数的数学模型．②注意在自变量和函数值的取值上的实际意义．③问题中出现的不等关系转化成相等的关系来解，然后在作答中说明．（2）跨学科的反比例函数应用题要熟练掌握物理或化学学科中的一些具有反比例函数关系的公式．同时体会数学中的转化思想．（3）反比例函数中的图表信息题正确的认识图象，找到关键的点，运用好数形结合的思想．（1）应用类综合题能够从实际的问题中抽象出反比例函数这一数学模型，是解决实际问题的关键一步，培养了学生的建模能力和从实际问题向数学问题转化的能力．在解决这些问题的时候我们还用到了反比例函数的图象和性质、待定系数法和其他学科中的知识．（2）数形结合类综合题利用图象解决问题，从图上获取有用的信息，是解题的关键所在．已知点在图象上，那么点一定满足这个函数解析式，反过来如果这点满足函数的解析式，那么这个点也一定在函数图象上．还能利用图象直接比较函数值或是自变量的大小．将数形结合在一起，是分析解决问题的一种好方法．。
反比例函数和一次函数交点问题-习题及详解.doc
反比例函数与一次函数交点问题1.如图，一次函数y=kx+b与反比例函数y=—(x>0)的图象交于A (m, 6), Bx(3, n)两点.(1)求一次函数的解析式；(2)根据图象直接写tBkx+b-y<0的x的取值范围;(3)求厶AOB的面积.2.如图，一次函数y=k1X+b的图彖经过A (0, -2), B (1, 0)两点，与反比例函数上2的图象在第一象限内的交点为M,若AOBM的面积为2.X(1)求一次函数和反比例函数的表达式；(2)在x轴上是否存在点P,使AM丄MP?若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由.3. 如图，己知一次函数yi=k]X+b 的图象与x 轴、y 轴分别交于A 、B 两点，与 反比例函数y 2=—的图彖分别交于C 、D 两点，点D (2, - 3),点B 是线段AD 的中点.求一次函数yi=kix+b 与反比例函数y 2=—的解析 X 求ACOD 的面积；直接写出kx+b -皂0时自变量x 的取值范围. X动点P (0, m )在『轴上运动，当IPC - PD|的值最求点P 的坐标. 4. 如图，己知反比例函数y=Z 的图象与正比例函数y=kx 的图象交于点A (m, x -2).(1) 求正比例函数的解析式及两函数图象另一个交点B 的坐标;(2) 试根据图象写岀不等式合kx 的解集；(3) 在反比例函数图彖上是否存在点C,使AOAC 为等边三角形？若存在，求出点C 的坐标；若不存在，请说明 理曲. --(1) 式；(2) (3) (4) 大时,5.如图，已知A (- 4, 1), B (- 1, 2)是一次函数y二kx+b与反比例函数尸巴2 x (m#0, m<0)图象的两个交点，AC丄x轴于C, BD丄y轴于D.(1)根据图象直接回答：在第二象限内，当x取何值时，一次函数大于反比例函数的值？(2)求一次函数解析式及m的值；(3)P是线段AB ±的一点，连接PC, PD,若APCA和APDB面积相等，求点P坐标.6.如图，直线y= - x+b与反比例函数y二上的图象相交于A (1, 4), B两点，X延长AO交反比例函数图象于点C,连接0B.(1)求k和b的值；(2)直接写岀一次函数值小于反比例函数值的自变量x的取值范围；(3)在y轴上是否存在一点P,使S ABACUSAAOB?若存在请求出点P坐标，若5不存在请说明理由. V个.2018年05月16日157****9624的初中数学组卷参考答案与试题解析一.解答题(共6小题)1. 如图，一次函数尸kx+b 与反比例函数尸§(x>0)的图象交于A (m, 6), B X (3, n)两点.(1) 求一次函数的解析式；(2) 根据图象直接写出也+b 』<0的x 的取值范围；【考点】G8：反比例函数与一次函数的交点问题；K3：三角形的面积.【解答】解：(1)分别把 A (m, 6), B (3, n)代入y=—(x>0)得 6m=6, 3n=6, X 解得 m=l, n=2,所以A 点坐标为(1, 6), B 点坐标为(3, 2),分别把A (1, 6), B (3, 2)代入尸kx+b 得卩+b 二° , l3k+b 二 2解得, lb=8所以一次函数解析式为y= - 2x+8；(3) 如图，当x=O 时，2x+8=8,则C 点坐标为(0, 8),(2)当 0<x<l 或 x>3 时,kx+b 6 ■7 <0;当y=0时，-2x+8=0,解得x=4,则D点坐标为（4, 0）, 所以S AAOB=S ACOD "S ACO A "S ABOD =1x4x8 - —x8xl - —x4x22 2 22.如图，一次函数y=kix+b的图象经过A (0, -2), B (1, 0)两点，与反比例函数尸冬！的图象在第一象限内的交点为M,若AOBM的面积为2・X(1)求一次函数和反比例函数的表达式；(2)在x轴上是否存在点P,使AM丄MP?若存在，求出点P的坐标；若不存【考点】G8：反比例函数与一次函数的交点问题.【解答】解：(1) V直线y=lqx+b过A (0, -2), B (1, 0)两点•卩二-2••馆+b 二0，•卩二-2・・馆二2・・・一次函数的表达式为y=2x-2・(3分)・••设M (m, n),作MD丄x轴于点DS A OBM =2,(5分)•将 M (m, 4)代入 y=2x - 2 得 4=2m - 2,*M (3, 4)在双曲线尸」X・・・反比例函数的表达式为厂更(2)过点M (3, 4)作MP 丄AM 交x 轴于点P,VMD IBP,・•・ ZPMD 二ZMBD 二ZABOtanZPMD=tanZMBD=tanZAB0=^-^=2 (8 分) OB 1・••在RtA PDM 中，理二2， MDAPD=2MD=8,・・・OP=OD+PD=11・•・在x 轴上存在点P,使PM 丄AM,此吋点P 的坐标为(11, 0) (10分) 3. 如图，已知一次函数yi 二kix+b 的图象与x 轴、y 轴分别交于A 、B 两点，与反比例函数丫2=屹的图象分别交于C 、D 两点，点D (2, -3),点B 是线段AD •仝 B ・MD 二2,/• n=4的中点.(1)求一次函数yi=kix+b与反比例函数y2=—的解析式;(2)求ACOD的面积；(3)直接写出kix+b-皂0时自变量x的取值范圉.(4)动点P (0, m)在y轴上运动，当IPC-PDI的值最大时，求点P的坐标. 【考点】G8：反比例函数与一次函数的交点问题.【解答】解：(1) V点D (2, -3)在反比例函数y2=^的图象上,xAk2=2x ( - 3)二・ 6,如图，作DE丄x轴于E,VD (2, -3),点B是线段AD的中点，A A (・ 2, 0),VA ( -2, 0), D (2, - 3)在yi=kix+b 的图象上, (-2 k ^=0〔2ki+b 二-3，解得kj= - —, b=-—,4 2・ 3 3••尸・・・C ( -4, 1), 2•・ COD =S A AOC +S A AOD =£X 2X _|>+£X 2X 3=学; 2 2 2 2(3) 由图可得，当k 】x+b-皂0时，*＜-4或0＜只＜2・(4) 作C ( - 4,色)关于y 轴的对称点C (4, 1),延长CD 交y 轴于点P, 2 2 ・・・由(？和D 的坐标可得，直线CD 为尸2*卫， y 4 2令 x=0,则 y=-—, 2・••当IPC-PDI 的值最大时，点P 的坐标为(0, 卫)・4. 如图，己知反比例函数y 二Z 的图象与正比例函数y 二kx 的图象交于点A (m, X- 2).(1) 求正比例函数的解析式及两函数图象另一个交点B 的坐标；(2) 试根据图象写出不等式全kx 的解集； X(3) 在反比例函数图象上是否存在点C,使AOAC 为等边三角形？若存在，求⑵由解得卩巴严请说明理由.【考点】G8：反比例函数与一次函数的交点问题.【解答】解：(1)把A (m, -2)代入y=Z,得-2=2, X ITI解得m= - 1,A ( - 1, -2)代入 y=kx,・・-2=kx ( - 1),解得，k=2,・・・B (1, 2),(2) Tk 二2,-^>kx 为-^->2x, X X根据图象可得：当xs- 1和0VXS1时・，反比例函数y=2的图象恒在正比例函数 Xy 二2x 图象的上方，即-^>2x. x(3) ①当点C 在第一象限吋，AOAC 不可能为等边三角形，②如图，当C 在第三象限时，要使AOAC 为等边三角形，则OA 二OC,设C(t, Z) (t<0), /. OA=V5・・・F+耳二 5,则 t 4 - 5t 2+4=0,t 2t 2= 1, t= - 1,此时C 与A 重合，舍去，r=4, t=-2, AC ( - 2, - 1),而此时 AC=V2, AC^AO, ・・・不存在符合条件的点C ・又由2x=—, 得x=l 或x= - 1 (舍去),5. 如图，已知A ( -4, 1), B ( - 1, 2)是一次函数y 二kx+b 与反比例函数严乙 X(m#0, m<0)图象的两个交点，AC 丄x 轴于C, BD 丄y 轴于D ・(1) 根据图象直接回答：在第二象限内，当x 取何值时，一次函数大于反比例 函数的值？(2) 求一次函数解析式及m 的值；(3) P 是线段AB ±的一点，连接PC, PD,若APCA 和APDB 面积相等，求【解答】解：(1)当-4<xV-l 时，一次函数大于反比例函数的值;-4k+b 二专-k+b 二2所以-次函数解析式为讨唏, 把B ( - 1, 2)代入y 二卫得m=・1x2=・2；X (3)设P 点坐标为(t,丄t+5), 2 2V APCA 和厶PDB 面积相等，.••丄•丄.(t+4) =1-1- (2-丄t-§),即得匸-工 2 2 2 2 2 2 AP 点坐标为(-—,—). 24(2)把A (・4, 1), B (・1, 2)代入尸kx+b 得 解得【考点】G8：反比例函数与一次函数的交点问题.6. 如图，直线y=・x+b 与反比例函数尸上的图象相交于A (1, 4), B 两点， X 延长AO 交反比例函数图彖于点C,连接OB.(1) 求k 和b 的值；(2) 直接写出一次函数值小于反比例函数值的自变量x 的取值范围；(3) 在y 轴上是否存在一点P,使S A P AC =4S A A OB ?若存在请求出点P 坐标，若【考点】G8：反比例函数与一次函数的交点问题.【解答】解:(1)将A (1, 4)分别代入y= - x+b 和得：4二-1+b, 4—,解得：b=5, k=4；(2) 一次函数值小于反比例函数值的自变量x 的取值范围为：x>4或0<x<l,(3) 过A 作AN±x 轴，过B 作BM 丄x 轴，由(1)知，b=5, k=4,不存在请说明理由.直线的表达式为：y=-x+5,反比例函数的表达式为：y=—X 由 -x+5二土解得：X=4,或x=l,XAB (4, 1),i i i r・•・S AAOB =S0边形™=y(AN+BM)MN=y(14-4)X3—・％PAC倉△砸，过A作AE丄y轴，过C作CD丄y轴，设P (0, t), ・・・S“AC二丄OP・CD+丄OP・AE=2O P (CD+AE) =|t|=3,〜2 2 2解得：t=3, t= - 3,。
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探索研究（一）反比例函数与一次函数的交点情况分类、如何求交点 环节回顾一次函数的位置情况 相交或平行知识点
．一、反比例函数：函数y 1 =k1x 与y 2=2k x
： 交点的特点
1，怎样求函数y 1 =k1x 与y 2=2k x
： 交点 练习 ,A 讨论求 正比例函数y x =与反比例函数2y x
=的交点 结论 组合成分式方程，解方程 ，组合成点的坐标 过程
B,探索 函数y 1 =k1x 与y 2=2k x
： 交点的特点 2、若k1与k2异号号 , 无交点 2、若k1与k2同号， 有两个不同交点，且在不同的象限，交点关于原点中心对称
8
6
4
2
2
4
6
8105
510y = 2∙x y = 2∙x y = 2x
（2011广东湛江12,3分）在同一直角坐标系中，正比例函数y x =与反比例函数2y x =
的图像大致是
6．（2012•梅州）在同一直角坐标系下，直线y =x +1与双曲线
的交点的个数为（ ）
A ．0个
B ．1个
C ．2个
D ．不能确定
二、反比例函数与一次函数的位置情况：
环节一 求y = x + 1y =
4的交点
环节二 探索一般一次函数与反比例函数相交的三种情况
y = x + 4y = x + 1y = x + 6y = x 1y = 4x 观察图形，总结归率
三中位置情况 两个交点 一个交点 无交点
1、两个交点在不同的象限： ，即 时
（y 轴分割） 或 （x 轴分割）
8
642
2
4
68105
510o 8
6
4
22468105510
o
环节三 探索一般一次函数与反比例函数相交的三种情况决定因素
y 1 =k1x+b 与y 2=2k x yk/+b=2k x ⊿>0
两个交点
⊿<0 一个交点
⊿<0
无交点
8．（2012无锡）若双曲线y =与直线y =2x +1的一个交点的横坐标为﹣1，则k 的值为（ ）
A ． ﹣1
B ． 1
C ． ﹣2
D ． 2
（2012成都）(本小题满分8分)
如图，一次函数2y x b =-+(b 为常数)的图象与反比例函数k y x
=
(k 为常数，且k ≠0)的图象交于A ，B 两点，且点A 的坐标为(1-，4)．
（1）分别求出反比例函数及一次函数的表达式；
（2）求点B 的坐标．
(2012•云南)如图，在平面直角坐标系中，O为原点，一次函数与反比例函数的图象相交于A（2，1）、B（﹣1，﹣2）两点，与x轴交于点C．
（1）分别求反比例函数和一次函数的解析式（关系式）；
（2）连接OA，求△AOC的面积．。