第4章 插补原理
插补原理
插补原理：在实际加工中，被加工工件轮廓形状千差万别，严格说来，为了满足几何尺寸精度要求，刀具中心轨迹应该准确地依照工件轮廓形状来生成，对于简单曲线数控系统可以比较容易实现，但对于较复杂形状，若直接生成会使算法变得很复杂，计算机工作量也相应地大大增加，因此，实际应用中，常采用一小段直线或圆弧去进行拟合就可满足精度要求(也有需要抛物线和高次曲线拟合情况)，这种拟合方法就是“插补”，实质上插补就是数据密化过程。
插补任务是根据进给速度要求，在轮廓起点和终点之间计算出若干个中间点坐标值，每个中间点计算所需时间直接影响系统控制速度，而插补中间点坐标值计算精度又影响到数控系统控制精度，因此，插补算法是整个数控系统控制核心。
插补算法经过几十年发展，不断成熟，种类很多。
一般说来，从产生数学模型来分，主要有直线插补、二次曲线插补等；从插补计算输出数值形式来分，主要有脉冲增量插补(也称为基准脉冲插补)和数据采样插补[26]。
脉冲增量插补和数据采样插补都有个自特点，本文根据应用场合不同分别开发出了脉冲增量插补和数据采样插补。
1数字积分插补是脉冲增量插补一种。
下面将首先阐述一下脉冲增量插补工作原理。
2.脉冲增量插补是行程标量插补，每次插补结束产生一个行程增量，以脉冲方式输出。
这种插补算法主要应用在开环数控系统中，在插补计算过程中不断向各坐标轴发出互相协调进给脉冲，驱动电机运动。
一个脉冲所产生坐标轴移动量叫做脉冲当量。
脉冲当量是脉冲分配基本单位，按机床设计加工精度选定，普通精度机床一般取脉冲当量为：0.01mm，较精密机床取1或0.5 。
采用脉冲增量插补算法数控系统，其坐标轴进给速度主要受插补程序运行时间限制，一般为1~3m/min。
脉冲增量插补主要有逐点比较法、数据积分插补法等。
逐点比较法最初称为区域判别法，或代数运算法，或醉步式近似法。
这种方法原理是：计算机在控制加工过程中，能逐点地计算和判别加工偏差，以控制坐标进给，按规定图形加工出所需要工件，用步进电机或电液脉冲马达拖动机床，其进给方式是步进式，插补器控制机床。
插补原理介绍
插补原理介绍3.2 插补原理概念引出：在‘画图板’下绘制垂直、⽔平、45°、⼀般⾓度的直线，圆弧。
找同学写出其加⼯代码。
并让其观察各直线的区别。
存在差别的原因就是插补所致，引出本节题⽬―――插补。
显⽰器显⽰原理与步进电机插补原理同出⼀辙。
插补的地位：插补是加⼯程序与电机控制之间的纽带。
3.2.1 插补概述1、插补定义⽤户在零件加⼯程序中，⼀般仅提供描述该线形所必须的相关参数，如对直线，提供其起点和终点坐标；对圆弧，提供起终点坐标、圆⼼坐标及顺逆圆的信息。
⽽这些信息不能满⾜控制机床的执⾏部件运动（步进电机、交直流伺服电机）的要求。
因此，为了满⾜按执⾏部件运动的要求来实现轨迹控制必须在已知的信息点之间实时计算出满⾜线形和进给速度要求的若⼲中间点。
这就是数控系统的插补概念。
可对插补概念作如下定义：是指在轮廓控制系统中，根据给定的进给速度和轮廓线形的要求，在已知数据点之间插⼊中间点的⽅法，这种⽅法称为插补⽅法。
每种⽅法⼜可能⽤不同的计算⽅法来实现，这种具体的计算⽅法称之为插补算法。
插补的实质就是数据点的密化。
由插补的定义可以看出，在轮廓控制系统中，插补功能是最重要的功能，是轮廓控制系统的本质特征。
插补算法的稳定性和算法精度将直接影响到CNC系统的性能指标。
所以为使⾼级数控系统能发挥其功能，不论是在国外还是国内，精度⾼、速度快的新的插补算法(软件)⼀直是科研⼈员努⼒突破的难点，也是各数控公司竭⼒保密的技术核⼼。
像西门⼦、Fanuc 数控系统，其许多功能都是对⽤户开放的，但其插补软件却从不对⽤户开放。
2、插补分类插补的形式很多，按其插补⼯作由硬件电路还是软件程序完成，可将其分为硬件插补和软件插补。
软件插补的结构简单（CNC装置的微处理器和程序），灵活易变。
现代数控系统都采⽤软件插补器。
完全硬件的插补已逐渐被淘汰，只有在特殊的应⽤场合和作为软件、硬件结合插补时的第⼆级插补使⽤；从产⽣的数学模型来分，有⼀次（直线）插补、⼆次（圆、抛物线等）插补及⾼次曲线插补等。
逐点比较法直线插补原理幻灯片
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Technology
4.1 插补原理与软件设计
(一) 逐点比较法 基本思路：
当刀具按要求的轨迹移动时，每走一步都要与规定的轨迹比较， 根据比较的结果决定下一步的移动方向，使刀具向减小偏差的方 向并趋向终点移动。 NhomakorabeaX
动点P在直线上方 F>0
(0,0)
动点P在直线下方 F<0
根据偏差函数F的计算值，可确定加工点相对于直线 的位置，然后，让动点P沿减小误差的方向进给一步。
当 F≥0 +X向进一步； 当F<0 +Y向进一步
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第四章 插补、刀补与速度控制
4.1 插补原理与软件设计 4.2 刀补原理与软件设计 4.3 进给速度及加减速控制
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插补程序是CNC系统控制软件的核心。 插补分直线插补和曲线插补: 直线和圆弧是构成工件轮廓的基本线条，大多数CNC系统都 具有直线和圆弧的插补功能。高档CNC系统还具有抛物线、螺旋
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线等插补功能。 Institute of Numerical Control And Equipment TechnologyInstitute of Numerical Control And Equipment Technology
插补原理及控制方法
CNC系统对于直线和圆弧的控制并不是严格按照直线 CNC系统对于直线和圆弧的控制并不是严格按照直线 和圆弧轨迹进行控制。 和圆弧轨迹进行控制 。 上图为加工某一轮廓时的刀具轨 迹曲线， 运动进行切削加工。 迹曲线，加工时要求刀具沿曲线L运动进行切削加工。 我们可以进行这样的分析， 我们可以进行这样的分析 ， 首先将曲线 L 分割为 l0、 若干段， l1、…li、…lN若干段，再用直线和圆弧代替这些小的曲 线段， 足够小时， 就接近了原曲线； 线段 ， 当逼近误差 δ 足够小时 ， 就接近了原曲线 ； 然后 运动的合成， 数控系统通过各坐标方向 最小位移量 运动的合成 ， 不断 地控制刀具相对工件运动， 走出直线和圆弧， 地控制刀具相对工件运动 ， 走出直线和圆弧 ， 从而非常 逼近的走出所需的刀具轨迹曲线。 数字化 ” 逼近的走出所需的刀具轨迹曲线 。 这体现出了 “ 数字化” 的概念。 的概念。 这种在允许误差范围内， 用沿直线或圆弧（ 这种在允许误差范围内 ， 用沿直线或圆弧 （ 逼近函 合成的分段运动代替任意曲线运动， 数 ） 的 最小位移量 合成的分段运动代替任意曲线运动 ， 以得到所需的刀具运动轨迹的方法， 以得到所需的刀具运动轨迹的方法 ， 是数字控制的基本 构思之一，这个过程就是插补。 构思之一，这个过程就是插补。
插补开始
偏差判别
坐标进给
偏差计算 N 终点判别 Y 插补结束
二、逐点比较法直线插补 如图所示， 如图所示 ， 对 XY平面第 平面第 一象限直线段进行插补。 一象限直线段进行插补 。 直 线段起点位于坐标原点O， 线段起点位于坐标原点 ，终 点 位 于 A （ Xe,Ye ） 。 设 点 P （ Xi， Yi） 为任一动点 （ 加 ， ） 为任一动点（ 工点、插补点） 工点、插补点）。 点在直线OA上时 上时， 当P点在直线 上时， 点在直线 XeYi – XiYe = 0 当P点在直线 上方时， 点在直线OA上方时， 点在直线 上方时 XeYi – XiYe > 0 点在直线OA下方时 下方时， 当P点在直线 下方时， 点在直线 XeYi – XiYe < 0
第四章 插补原理
y L2 F0 F<0 F<0 F0 L3
四象限直线偏差符号和进给方向
L1 F0 F<0 x F<0 F0 L4
由图可见，靠近Y轴区域偏差大等于零，靠近X轴区域偏差小于零。F≥0时，进 给都是沿X轴，不管是＋X向还是－X向，X的绝对值增大；F<0时，进给都是沿Y轴， 不论＋Y向还是－Y向，Y的绝对值增大。
v y 60f y
式中 δ—脉冲当量（mm/脉冲）。合成进给速度为
v v x 2 v y 2 60 f x2 f y2
若fx=0或fy=0时，也就是刀具沿平行于坐标轴的方向切削，这时对 应轴切削速度最大
第四章 插补原理
3.1 数字积分法的基本原理
第 三 节 数 字 积 分 法
F5 F4 2Y4 1 3 F6 F5 2 X 5 1 4
F7 F6 2Y6 1 1
F8 F7 2Y7 1 0
5. 四个象限中圆弧插补 第一象限逆圆弧CD：即Fi≥0时，走—X轴， 动点的偏差函数为
Fi 1＝Fi 2 X i 1
第四章 插补原理
2.3 逐点比较法圆弧插补
第 二 节 逐 点 比 较 法
第一象限圆弧插补 流程图
例3 现欲加工第一象限顺圆弧AB，如图所示，起点A（0，4），终点B（4，0）， 试用逐点比较法进行插补。
Y 4 3 2 1 B(4,0) O 1 2 3 4 X A(0,4)
表3 圆弧插补过程
步数 起点 偏差判别 坐标进给 偏差计算 坐标计算 终点判别
如图4-14所示，从t=0时
刻到t时刻，函数y=f（t） 曲线所包围的面积可表示
Y
Y=f(t)
YO
插补原理的应用
插补原理的应用1. 简介插补原理是指在计算机数控系统中，通过将点之间的两条轴运动的合成分解为两条轴的两个分量分别进行单轴插补运动，并在同一个点合成两条轴的两个分量，从而实现多轴的联动运动。
插补原理广泛应用于机械加工、自动化生产线等领域，提高了生产效率和产品质量。
2. 插补原理的作用插补原理的主要作用是将点之间的运动轨迹转化为机床运动轨迹，实现机床的自动控制和准确的加工。
具体来说，插补原理可以实现以下三个方面的作用：•坐标系转换：将绝对坐标系转换为机床工作坐标系，确保机床按照预设的路径进行运动。
•补偿控制：通过补偿误差，提高加工精度，保证加工质量。
•切削参数控制：根据加工要求，调整切削速度、进给速度等切削参数，实现不同工件的加工。
3. 插补原理的应用案例3.1 机械加工在机械加工领域，插补原理被广泛应用于数控加工中。
通过将机械零件的设计图纸转化为数控代码，实现机床的自动控制和精确加工。
具体应用包括：•铣削加工：通过插补原理，实现数控铣床在不同切削方向上的插补运动，完成复杂零件的加工。
•钻孔加工：通过插补原理，控制数控钻床在不同点上的垂直插补运动，实现孔径不同的钻孔加工。
3.2 自动化生产线在自动化生产线中，插补原理被用于控制机器人的运动。
通过将目标轨迹转化为机器人的轨迹，实现机器人的自动化运动。
具体应用包括：•可编程控制器（PLC）插补：通过插补原理，控制PLC内置的插补电路，实现机器人的复杂轨迹运动，完成装配、焊接等工作。
•跟踪控制插补：通过传感器捕捉目标位置，利用插补原理实现机器人跟踪运动，完成物料搬运、捡拾等任务。
3.3 三维打印在三维打印领域，插补原理被应用于控制打印头的运动。
通过插补原理，将三维模型的路径转化为打印头的运动路径，实现精确的打印。
具体应用包括：•FDM打印：通过插补原理，控制热塑性材料的喷嘴在三维空间中的插补运动，实现精确的材料叠加，完成打印过程。
•SLA打印：通过插补原理，控制光固化材料的光束在三维空间中的插补运动，实现精确的固化，完成打印过程。
插补原理及控制方法课件
基于粒子群优化算法的路径规划
02
利用粒子群优化算法的群体搜索特性，寻找最优解，提高插补
路径的合理性。
基于模拟退火算法的路径规划
03
利用模拟退火算法的全局搜索能力，寻找最优解，提高插补路
Байду номын сангаас径的合理性。
结合机器学习算法优化插补控制参数
基于神经网络的参数优化
利用神经网络的自学习能力，根据历史数据学习最优参数，提高插补控制的精度。
案例二：圆弧插补算法的实现与优化
圆弧插补定义
圆弧插补原理
圆弧插补算法实现
圆弧插补优化
圆弧插补是指通过在两个给定 点之间插入若干个点，以绘制 圆弧的插补算法。
通过确定圆心和半径，以及起 始点和终点，计算出各点的坐 标值。常用的算法包括中心法 、极坐标法和参数方程法等。
一种常见的实现方法是使用参 数方程，通过设置起始点、终 点和圆心位置，以及需要插入 的点数，计算出各点的坐标值 。
一种常见的实现方法是使用参数方程，通过设置 起始点和终点，以及需要插入的点数，计算出各 点的坐标值。
直线插补原理
通过计算两个点之间的斜率和截距，确定直线方 程，然后根据需要插入的点数，计算出各点的坐 标值。
直线插补优化
对于复杂图形，需要优化直线插补算法，以减少 计算量和提高效率。一种常见的方法是使用样条 曲线插补，将直线分成若干段，每段使用不同的 斜率和截距。
对于复杂图形，需要优化圆弧 插补算法，以减少计算量和提 高效率。一种常见的方法是使 用样条曲线插补，将圆弧分成 若干段，每段使用不同的半径 和中心位置。
案例三：多轴插补算法的实现与优化
• 多轴插补定义：多轴插补是指通过同时控制多个轴的运动，以实现复杂形状的 插补算法。
第四章 插补、刀具补偿与速度控制
被积函数寄存器
根据上面几个公式，可以建立一 个数学模型——数字积分器。
Δt
＋ 累加器 Δx
数字积分器模型
例子：求在区间设被积函数为5(二进制101B)，取累加器 为3位二进制，容量为23=8。
101
101
101
101
101
101
101
101
) 000 )101 ) 010 )111 )100 ) 001 )110 ) 011 101
1 010
111
1 100
1 001
110
1 011
1 000
（2） 线段插补
如右图所示，线段位于第一象限，起点与 坐标原点重合，终点坐标A(Xe,Ye)。设有 一动点，以速度V在线段上匀速运动，其 在X、Y方向的分速度分别为Vx、Vy。则 动点在Δt时间内沿X、Y轴移动的微小位移 量为： ΔX=VxΔt
Δx
Δy
KX
i
m
e
KmX
e
Xe
Y
KY
i
m
K 1
e
Δt
m
n
＋
KmY
e
Ye
m 2
Y被积函数寄存器(KYe)
2
n
K 1
线段插补数字积分器
例3. 用数字积分法插补下图所示线段，起点坐标 O(0,0)，终点坐标为A(5,7)，写出插补该线段的过程。
数字积分插补实例
脉 冲 当 量
插补的任务就是在一段零件轮廓的起点和终点之间，根 据给定的进给速度要求，计算出若干个中间点的坐标值。
加工直线的程序
N3G01X-45000Y-75000F150
第四部分插补原理与速度控制
（3）迭代法偏差函数F的推导
①设加工点P在圆弧外侧或圆弧上，则加工偏差F≥0， 刀具需向X坐标负方向进给一步，即移动到新的加工点
P（Xi+1，Yi）。新加工点的偏差为： Fi+1，i = (Xi – 1)2 +Yi2 -（X02 + Y02）
=Xi2-2Xi+1-X02+Yi2-Y02 =F-2Xi+1 ②设加工点P在圆弧内侧，则加工偏差F<0，刀具需向
①偏差判别 根据偏差值确定刀具相对加工直线的位置。
②坐标进给 根据偏差判别的结果，决定控制沿哪个坐标 进给一步，以接近直线。
③偏差计算 计算新加工点相对直线的偏差，作为下一步 偏差判别的依据。
④终点判别 判断是否到达终点，未到达终点则返回第一 步，继续插补，到终点，则停止本程序段的插补。终 点判别可采用两种方法：一是每走一步判断Xi-Xe≥0及 Yi-Ye≥0是否成立，如成立，则插补结束否则继续。二 是把每个程序段中的总步数求出来，即n=|Xe | + | Ye | ， 每走一步n-1，直到n=0为止。
线 型 偏差判别
象
1
2
限
3
4
F≥0
-Y
+X
+Y
-X
G02
F<0
+X
+Y
-X
-Y
F≥0
-X
-Y
+X
+Y
G03
F<0
+Y
-X
-Y
+X
（3）圆弧插补自动过象限处理
为了加工二个象限或二个以上象限的圆弧，圆弧插 补程序必须具有自动过象限功能。自动过象限程序包 括象限边界处理、过象限判断及数据处理等模块。
插补原理概述
2.1 插 补 原 理
2. 逐点比较法圆弧插补
在圆弧加工过程中，要描述刀具位置与被加工圆弧之间关系，可用动
点到圆心距离大小来反映。见图2-8，设圆弧圆心在坐标原点，己知圆弧
起点 A(X，a ,终Ya )点 ，B(X圆b,弧Yb )半径为R。加工点可能在三种情况出现，圆弧 上、圆弧外、圆弧内。
①当动点 P(X位,Y)于圆弧上时有
②若 F ，0 表明动点在圆内，应向+X向进给，计算出新一点的偏差。
如此走一步，算一步，直至终点。
由于偏差计算公式中有平方值计算，下面采用递推公式给予简化。对
第(一Xi象1,Y且i限1) 顺圆，X，i+1 =FXi，，i ³Yi动则+01 =点新Yi点-1的Pi偏应( X差向i , 值-YYi )为向进给，新的动点坐标为
②若点在直线上，则有 X eY - XYe > 0
③若点在直线下方，则有 X eY - XYe = 0
X
Y
e
-
XY e
<
0
因此，可以构造函数偏差为
F = X Y - XY
(2-2)
e
e
2.1 插 补 原 理
对于第一象限直线，其偏差符号与进给方向之间的关系为：
①F=0时，表示动点在OE上，如点P，可向+X向进给，也可向+Y方向进
7
F6 0
+X
F7 F6 Ye 0 0
由直线插补例子看出，在起点和终点处，刀具都在直线上。通过逐点比较法，控
制刀具走出一条尽量接近零件轮廓直线的轨迹，当脉冲当量很小时，刀具走出的折
线非常接近直线轨迹，逼近误差的大小与脉Байду номын сангаас当量的大小直接相关。
数控课件 第4章 轨迹插补与半径补偿原理 64页
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第三节 插补方法的分类与原理
一、插补方法的分类
目前插补器中应用的插补方法分为两大类。 （一）基准脉冲插补 （二）数据采样插补
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第三节 插补方法的分类与原理
（一）基准脉冲插补
基准脉冲插补又称为行程标量插补或脉冲 增量插补。这种插补算法的特点是每次插 补结束时数控装置向每个运动坐标输出基 准脉冲序列，每个脉冲代表了最小位移， 脉冲序列的频率代表了坐标运动速度，而 脉冲的数量表示移动量。
采用逼近误差和计算误差较小的插补算法；采用 优化的小数圆整法，如：逢奇（偶）四舍五入法、 小数累进法等。
一般要求上述三误差的综合效应小于系统的最小 运动指令或脉冲当量。
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第二节 评价插补算法的指标
合成速度的均匀性指标
合成速度的均匀性：插补运算输出的各轴进给率，
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第三节 插补方法的分类与原理
（一）基准脉冲插补
基准脉冲插补又称为行程标量插补或脉冲增 量插补。这种插补算法的特点是每次插补结束 时数控装置向每个运动坐标输出基准脉冲序列， 每个脉冲代表了最小位移，脉冲序列的频率代 表了坐标运动速度，而脉冲的数量表示移动量。
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脉冲增量插补的实现方法较简单。通常仅用加法和移 位运算方法就可完成插补。因此容易用硬件来实现， 运算的速度很快。也可用软件来完成这类算法。
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第三节 插补方法的分类与原理
（一）基准脉冲插补
这类插补算法有：逐点比较法；最小偏差法；数字 积分法；目标点跟踪法；单步追综法等
第4章 插补原理
Fi+1 , j = Fi , j - 2Xi ＋ 1 ------(2)
②设加工点P（ Xi，Yj ）位于圆弧内时 有： Fi , j = Xi 2＋ Yj 2－R2<0 为逼近该圆需向+y方向进给一步，移到 新加工点P（ Xi，Yj+1 ），此时新加工 点的坐标值为： Xi = Xi ， Yj+1 = Yj+1。 将新坐标代入上式，得： Fi, j+1 = Fi , j + 2yi ＋ 1 ------(3)
作业2.
提示：第一象限顺圆弧，F0=0，进给方向-y，偏 差公式：F←F0-2y+1,x ← x，y ← y+1； F<0,进给方向+x，偏差公式： F←F+2x+1, x ← x+1，y ← y.
解答作业2. 现欲加工第一象限顺圆弧AB，如下图所示， 起点A（0，4），终点B（4，0），试用逐点比较法进行 插补。
下面讨论用递推方法进行圆弧插补的偏差计算
圆弧插补的偏差计算
①设加工点P（ Xi，Yj ）位于圆弧上或 圆弧外时有： Fi , j = Xi 2＋ Yj 2－R2≥0 为逼近该圆需向-x方向进给一步，移到 新加工点P（ Xi+1，Yj ），此时新加工 点的坐标值为： Xi+1 = Xi -1， Yj = Yj。 将新坐标代入上式，得：
令：Fi , j=
xe yi－xi ye --------（1）
偏差判别：根据刀具当前位置， 确定进给方向。 坐标进给：使加工点向给定轨迹 趋进，即向减少误差方向移动。 偏差计算：计算新加工点与给定 轨迹之间的偏差，作为下一步判 别依据。 终点判别：判断是否到达终点， 若到达，结束插补；否则，继续 以上四个步骤（如图3所示）。
插补原理文档
数控原理与应用姓名：闫超学号：20092427班级：数控09-2插补原理插补的基本概念数控系统根据零件轮廓线型的有限信息，计算出刀具的一系列加工点、完成所谓的数据“密化”工作。
插补有二层意思：一是用小线段逼近产生基本线型<如直线、圆弧等）；二是用基本线型拟和其它轮廓曲线。
插补运算具有实时性，直接影响刀具的运动。
插补运算的速度和精度是数控装置的重要指标。
插补原理也叫轨迹控制原理。
五坐标插补加工仍是国外对我国封锁的技术。
下面以基本线型直线、圆弧生成为例，论述插补原理插补方法的分类硬件插补器完成插补运算的装置或程序称为插补器软件插补器软硬件结合插补器1.基准脉冲插补每次插补结束仅向各运动坐标轴输出一个控制脉冲，各坐标仅产生一个脉冲当量或行程的增量。
脉冲序列的频率代表坐标运动的速度，而脉冲的数量代表运动位移的大小。
基准脉冲插补的方法很多，如逐点比较法、数字积分法、脉冲乘法器等。
2.数据采样插补采用时间分割思想，根据编程的进给速度将轮廓曲线分割为每个插补周期的进给直线段<又称轮廓步长）进行数据密化，以此来逼近轮廓曲线。
然后再将轮廓步长分解为各个坐标轴的进给量<一个插补周期的近给量），作为指令发给伺服驱动装置。
该装置按伺服检测采样周期采集实际位移，并反馈给插补器与指令比较，有误差运动，误差为零停止，从而完成闭环控制。
数据采样插补方法有：直线函数法、扩展DDA、二阶递归算法等逐点比较法早期数控机床广泛采用的方法，又称代数法，适用于开环系统。
1.插补原理及特点原理：每次仅向一个坐标轴输出一个进给脉冲，而每走一步都要通过偏差函数计算，判断偏差点的瞬时坐标同规定加工轨迹之间的偏差，然后决定下一步的进给方向。
每个插补循环由偏差判别、进给、偏差函数计算和终点判别四个步骤组成。
逐点比较法可以实现直线插补、圆弧插补及其它曲安插补。
特点：运算直观，插补误差不大于一个脉冲当量，脉冲输出均匀，调节方便。
逐点比较法直线插补<1）偏差函数构造对于第一象限直线OA上任一点(X,Y>:X/Y = Xe/Ye 若刀具加工点为Pi<Xi，Yi），则该点的偏差函数Fi可表示为若Fi= 0，表示加工点位于直线上；若Fi> 0，表示加工点位于直线上方；若Fi< 0，表示加工点位于直线下方。
插补原理及控制方法
因为插补运算是实时性很强的运算，若算法太复杂，计算机的每次插补运算的时间必然加长，从而限制进给速度指标和精度指标的提高。
3.插补方法的分类❑脉冲增量插补(行程标量插补)特点：✓每次插补的结果仅产生一个单位的行程增量（一个脉冲当量）。
以一个一个脉冲的方式输出给步进电机。
其基本思想是：用折线来逼近曲线（包括直线）。
✓插补速度与进给速度密切相关。
因而进给速度指标难以提高，当脉冲当量为10μm时，采用该插补算法所能获得最高进给速度是3-4 m/min。
✓脉冲增量插补的实现方法较简单，通常仅用加法和移位运算方法就可完成插补。
因此它比较容易用硬件来实现，而且，用硬件实现这类运算的速度很快的。
但是也有用软件来完成这类算法的。
✓这类插补算法有：逐点比较法；最小偏差法；数字积分法；目标点跟踪法；单步追综法等✓它们主要用早期的采用步进电机驱动的数控系统。
✓由于此算法的速度指标和精度指标都难以满足现在零件加工的要求，现在的数控系统已很少采用这类算法了。
❑数字增量插补(时间标量插补)❑特点：插补程序以一定的时间间隔定时(插补周期)运行，在每个周期内根据进给速度计算出各坐标轴在下一插补周期内的位移增量（数字量）。
其基本思想是：用直线段（内接弦线，内外均差弦线，切线）来逼近曲线（包括直线）。
插补运算速度与进给速度无严格的关系。
因而采用这类插补算法时，可达到较高的进给速度（一般可达10m/min以上）。
数字增量插补的实现算法较脉冲增量插补复杂，它对计算机的运算速度有一定的要求，不过现在的计算机均能满足要求。
这类插补方法有：数字积分法(DDA)、二阶近似插补法、双DDA插补法、角度逼近插补法、时间分割法等。
这些算法大多是针对圆弧插补设计的。
这类插补算法主要用于交、直流伺服电机为伺服驱动系统的闭环，半闭环数控系统，也可用于以步进电机为伺服驱动系统的开环数控系统，而且，目前所使用的CNC系统中，大多数都采用这类插补方法。
插补的原理
插补的原理插补是数控加工中的重要概念，它是指在机床进行加工过程中，根据加工轨迹的要求，通过控制机床的运动轴进行插补运动，从而实现复杂曲线的加工。
插补的原理是数控加工中的核心内容之一，下面将从插补的基本原理、插补的分类以及插补的应用等方面进行详细介绍。
首先，插补的基本原理是数控加工中的基础知识，它包括直线插补和圆弧插补两种基本插补方式。
直线插补是指机床在直线轨迹上进行插补运动，而圆弧插补则是指机床在圆弧轨迹上进行插补运动。
在数控加工中，插补运动是通过控制机床各个坐标轴的运动来实现的，通过对各个坐标轴的速度、加速度和位置进行合理的控制，可以实现复杂曲线的加工。
其次，插补可以根据其运动方式的不同进行分类，主要包括直线插补、圆弧插补、螺旋线插补等。
直线插补是最简单的插补方式，它是通过控制机床的各个坐标轴，使其在直线轨迹上进行插补运动。
圆弧插补则是在圆弧轨迹上进行插补运动，它需要通过对圆弧的半径、起点和终点等参数进行合理的控制。
螺旋线插补则是在三维空间中进行插补运动，它需要对螺旋线的半径、螺距、起点和终点等参数进行合理的控制。
不同的插补方式可以实现不同形状的曲线加工，从而满足不同加工要求。
最后，插补在数控加工中有着广泛的应用，它可以实现复杂曲线的加工，提高加工精度和效率。
在实际加工中，通过合理的插补运动，可以实现各种复杂曲线的加工，如汽车零部件、航空航天零部件、模具等领域的加工。
同时，插补运动还可以实现多轴联动，从而实现更加复杂的加工要求，如五轴联动加工、六轴联动加工等。
因此，插补在数控加工中具有非常重要的意义，它是实现复杂曲线加工的关键技术之一。
综上所述，插补是数控加工中的重要概念，它通过合理的运动控制，实现复杂曲线的加工。
插补的基本原理包括直线插补和圆弧插补，可以根据其运动方式的不同进行分类。
插补在数控加工中有着广泛的应用，可以实现各种复杂曲线的加工，提高加工精度和效率。
因此，深入理解插补的原理对于提高数控加工的质量和效率具有重要意义。
数控技术第4章 数控机床的工作原理4-何雪明
2. DDA直线插补
x Vx t
y Vy t
V OA
vx xe
vy ye
k
x vx t kxet
y vy t kyet
各坐标轴的位移量
x
t
n
n
0 kxedt k xet k xe
i 1
i 1
适用于闭环、半闭环以直流和交流伺服电机为 驱动装置的位置采样控制系统
主要的数字增量插补方法 直线函数法 扩展数字积分法 二阶递归扩展数字积分插补法 双数字积分插补法 角度逼近圆弧插补法 “改进吐斯丁”（Improved Tustin Method-ITM）法
4.2 基准脉冲插补
4.2.1 逐点比较插补法
第4章 数控机床的工作原理
4.1 概述
4.1.1 插补的概念
在数控机床中，刀具不能严格地按照要求加 工的曲线运动，只能用折线轨迹逼近所要加 工的曲线。
插补（interpolation）定义：机床数控系统 依照一定方法确定刀具运动轨迹的过程。也 可以说，已知曲线上的某些数据，按照某种 算法计算已知点之间的中间点的方法，也称 为“数据点的密化”。
直线OA插补轨迹
例. 插补直线OA，A（4,5）
序号 0 1 2
3
4
5
6
7
偏差判别
F0,0＝0 F1,0＝-
5<0 F1,1＝-
1<0 F1,2＝ 3>0 F2,2＝2<0 F2,3＝ 2>0 F3,3＝-
进给方向
+X +Y +Y +X +Y +X +Y
插补原理及控制方法
插补原理及控制方法插补原理是指在数控机床运动控制系统中，通过对多个轴同时进行定长或定角度的运动控制，实现复杂曲线的加工。
插补控制方法包括线性插补和圆弧插补两种。
一、线性插补线性插补是指在工件加工中，沿直线轨迹进行直线段的插补控制方法。
线性插补的原理是通过控制系统对多个轴的运动速度和方向进行精确控制，使得工件能够沿着设定的直线路径进行加工。
线性插补的控制方法包括点位控制和连续控制两种。
1.点位控制点位控制是将每个插补段分解成多个线性插补点，通过对每个点的坐标进行控制，实现工件的加工。
点位控制方式适用于工件形状简单、精度要求不高的情况下。
2.连续控制连续控制是通过对每个时间段内的轴位置进行插补计算，实现工件的连续运动。
此命令适用于工件形状复杂、精度要求较高的场景。
在连续控制中，通常使用插补算法进行计算，将每个时间段内需要插补的线性段分割成多个小段，并根据小段的长度和速度来确定每个小段的运动规律。
二、圆弧插补圆弧插补是指在数控机床加工中，通过对多个轴的运动进行控制，实现工件上圆弧曲线的加工。
圆弧插补的原理是通过对多个轴进行同步运动，控制圆弧路径的切线和加工速度，使得工件能够按照设定的半径和圆弧角度进行加工。
圆弧插补的控制方法包括圆心插补法和半径插补法。
1.圆心插补法圆心插补法是通过控制系统中的插补算法，计算每个时间段内轴的位置和速度，实现工件画圆弧的加工。
在圆心插补中，需要手动指定圆心的坐标位置和圆弧的半径、角度来实现加工。
2.半径插补法半径插补法是指通过在控制系统中指定圆弧的起点、终点和半径来实现工件圆弧的加工。
在半径插补中，插补算法会根据起始点和终点的位置，计算出圆心的位置和圆弧的角度，从而实现工件的加工。
总结：插补原理及控制方法是数控机床系统中非常重要的部分，通过对多个轴的运动进行精确控制，实现工件曲线轨迹的加工。
线性插补适用于直线段的加工，圆弧插补适用于曲线段的加工。
掌握插补原理及控制方法，对于数控机床加工精度的提高和加工效率的提高具有重要意义。
插补原理介绍范文
插补原理介绍范文插补原理是用来实现数控机床加工的基本原理，它是数控机床进行加工时控制运动轨迹和速度的核心机制。
以下是关于插补原理的详细介绍。
1.插补原理的基本概念插补原理是指根据数学模型和运动规划策略，通过计算机控制系统控制多个成分运动轨迹和速度的基本方法。
在数控机床加工中，常常需要进行直线插补、圆弧插补和螺线插补等运动，插补原理正是用来实现这些运动方式的关键。
2.插补原理的基本流程插补原理的基本流程包括坐标系转换、插值计算和控制指令生成等步骤。
首先，需要将加工对象的几何模型转换为机床坐标系下的坐标系，这样才能进行后续的数学计算。
然后，在插值计算中，根据加工轨迹的特点和要求，进行插值计算，得到每个时刻的位置和速度信息。
最后，根据计算结果，生成相应的控制指令，通过伺服系统控制机床的运动。
3.插补原理的数学模型插补原理的数学模型通常采用多项式函数来描述曲线的运动轨迹。
对于直线插补，可以使用线性函数或者高次多项式函数来进行描述。
而对于圆弧插补，通常采用二次多项式函数或者三次贝塞尔曲线来进行描述。
不同的数学模型能够更加准确地描述曲线的形状和运动轨迹，并且在实际应用中需要根据具体情况选取合适的模型。
4.插补原理的运动规划策略插补原理的运动规划策略是根据实际需要，通过数学计算得到加工路径和速度的最优解。
在运动规划中，需要综合考虑加工效率、精度要求、工件形状和加工工艺等因素，通过合理选择插补速度和运动路径，使得加工效果最好。
同时，还需要考虑机床本身的运动特性和限制条件，以便在满足加工要求的前提下尽可能提高机床的工作效率。
5.插补原理的实现方法插补原理的实现方法主要包括离散插值法和参数插值法两种。
离散插值法是将连续的曲线插值问题转化为离散点的插值问题，根据已知的离散点进行插值计算。
参数插值法则是根据给定的控制参数，通过数学计算得到曲线的运动轨迹。
离散插值法适用于简单的插值问题，而参数插值法适用于复杂的曲线插值问题。
第四章 插补原理与速度控制
n=6=N完
四象限直线插补
A2(-Xe,Ye)
A1(Xe,Ye)
A3(-Xe,-Ye) 直线插补各象限偏差符号和相应的进给方向
A4(Xe,-Ye)
（二）圆弧插补(第一象限顺圆插补)
1、偏差判别函数 2、偏差计算与进给方向 3、终点判别 4、举例
1、偏差判别函数
用P(x,y)表示某 一时刻刀具的位 置，则偏差函数 为： F=x2+y2-R2 F＞0 在圆外 F＜0 在圆内 F＝0 在圆上
X11= X10=7 Y11= Y10+1=8
n=11＜N
X12 =X11 -1=6 n=12=N Y12 = Y11=8 到达终 点
Y 8 6
B(6,8)
4
2
2
4
6
8
10
四个象限圆弧插补
F>0
F>0 F>0 F<0 F<0 F<0 F<0
F>0
F<0
F>0 F<0 F>0
F<0
F<0
F>0 F>0
+X +X,+Y +X
20-16=4 24-16=8 18-16=2 20-16=4
+X,+Y +X
+X,+Y +X +X,+Y +X +X,+Y
22-16=6 16-16=0
20-16=4 24-16=8 18-16=2 22-16=6 16-16=0
19-16=3
18-16=2
17-16=1
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第一节 插补原理（补充内容）
插补原理
一、概述 实际加工中零件形状各式各样，有由直线、圆弧组成的零件轮廓；也有 由自由曲线、曲面、方程曲线和曲面体构成的零件轮廓，对这些复杂的零 件轮廓最终还是要用直线或圆弧进行逼近以便数控加工。
数控装置的核心部分是控制运算器，它的主要任务是进行插补运算，常 用的插补运算法有：逐点比较法、数字积分法、时间分割法等。
1. 插补原理 一般来说，逐点比较法插补过程可按以下四个步骤进行：
图3 逐点比较法工作循环图
2. 直线插补
下图所示第一象限直线OA，起点O为坐标原点，用户编程时，给出直线的终 点坐标A（xe，ye），加工点为P（xi，yi）。 •若P点正好处在直线OA上，则直线方程为：
xe yi－xi ye＝0
插补计算就是对数控系统输入基本的数据（如直线的起点、终点、圆心 坐标等），运用一定的算法计算，并根据计算结果向相应的坐标发出进给 指令。实现这一插补运算的装置，称为“插补器”。
控制刀具或工具的运动轨迹是数控机床轮廓控制的核心，无论是硬件数 控（NC）系统，还是计算机数控（CNC）系统，都有插补装置。在CNC 中，以 软件插补或者硬件和软件联合实现插补；而在NC中，则完全由硬 件实现插补。但无论哪种方式，其基本原理都是相同的。
即：Fi+1，j = Fi ,j －ye
若加工点P（xi，yi）处， Fi，j <0，则应沿+y方向进给一步， 此时新加工点的坐标值为： xi = xi ， yi = yi +1
新加工点的偏差为： Fi，j +1 = xe yi+1－xi ye = xe( yi +1) －xi ye
即：Fi，j +1 = Fi ,j +xe
开始加工点正是直线的起点，故F0, 0=0。
下面推导其递推公式 设在加工点P（xi，yi）处， Fi，j ≥0，则应沿+x方向进给一步， 此时新加工点的坐标值为： xi+1 , j= xi +1 ， yi = yi
新加工点的偏差为： Fi+1，j= xe yi－(xi+1) ye = xe yi－xi ye － ye
限的直线OA，当P在直线上方（F>0） 时，应向+x方向进给一步，以逼近直 线；
当P在直线下上方（F<0）时，应向+y 方向进给一步，以逼近直线；
当P在直线上（F=0）时，既可向+x方 向进给一步，也可向+y方向进给一步。 一般将F>0及F=0视为一类情况，即 F≥0时，都向+x方向进给一步。
令：Fi , j= xe yi－xi ye --------（1）
偏差判别：根据刀具当前位置， 确定进给方向。 坐标进给：使加工点向给定轨迹 趋进，即向减少误差方向移动。 偏差计算：计算新加工点与给定 轨迹之间的偏差，作为下一步判 别依据。 终点判别：判断是否到达终点， 若到达，结束插补；否则，继续 以上四个步骤（如图3所示）。
• 数控系统中常用的插补算法有：逐点比较法、数
字积分法、时间分割法等。
• 目前普遍应用的两类插补方法为基准脉冲插补和
数据采样插补。
（一）基准脉冲插补
基准脉冲插补又称脉冲增量插补，这类插补 算法是以脉冲形式输出，每插补运算一次，最多 给每一轴一个进给脉冲。把每次插补运算产生的 指令脉冲输出到伺服系统，以驱动工作台运动，
加工图2所示直线OE也一样，先从O点沿＋X向进给一步，刀具到达 直线下方的1点，为逼近直线，第二步应沿＋Y方向移动，到达直线上 方的2点，再沿＋X向进给，直到终点。
所谓逐点比较法：就是每走一步都要和给定轨迹比较一次，根据比较
结果来决定下一步的进给方向，使刀具向减小偏差的方向并趋向终点 移动，刀具所走的轨迹应该和给定轨迹非常相“象”。
2. 采用多CPU的分布式处理方案。
3. 采用单台高性能微型计算机方案。
二、基准脉冲插补
一、 逐点比较法
加工图1所示圆弧AB，如果刀具在起始点A，假设让刀具先从A点 沿－Y方向走一步，刀具处在圆内1点。为使刀具逼近圆弧，同时又 向终点移动，需沿＋X方向走一步，刀具到达2点，仍位于圆弧内， 需再沿＋X方向走一步，到达圆弧外3点，然后再沿－Y方向走一步， 如此继续移动，走到终点。
故，对第一象限的直线OA从起点（即 坐标原点）出发，当F≥0时，+x向进 走一步；当F<0时， +y方向走一步。
对于起点在原点的第一象当两方向所 走的步数与终点坐标相等时，停止插 补。
如果直接按偏差公式（1）计算偏差，需做2次乘法、1次 减法。由于数控加工过程中，每一步都需计算偏差，这 种计算比较麻烦且耗时长。为此数控加工过程中采用递 推的方法计算偏差，即：每走一步后新的加工点的偏差 为前一点的加工偏差递推出来。 由于采用递推方法，必须知道开始加工点的偏差，而
每发出一个脉冲，工作台移动一个基本长度单位， 也叫脉冲当量，脉冲当量是脉冲分配的基本单位。
（二）数据采样插补 数据采样插补又称时间增量插补，这类算法插补结 果输出的不是脉冲，而是标准二进制数。根据编程进 给速度，把轮廓曲线按插补周期将其分割为一系列微 小直线段，然后将这些微小直线段对应的位置增量数 据进行输出，以控制伺服系统实现坐标轴的进给。 插补计算是计算机数控系统中实时性很强的一项 工作，为了提高计算速度，缩短计算时间，按以下三 种结构方式进行改进。 1. 采用软/硬件结合的两级插补方案。
图3 逐点比较法工作循环图
（若P点在直线上，则有： Fi，j ＝0
（3）若P2点在直线下方，则有 ： Fi，j <0
因此，式（1）作为点P所在区域的判别式（称为偏差判别式）。
Fi ，j= xe yi－xi ye
右图可见，对于起点在原点的第一象
结论：逐点比较法直线插补每走一步都要完成四个步骤（节拍），即： ①偏差判别：根据偏差值Fi,j>、=、<0，确定当前加工点的位置。 ②坐标进给：根据偏差值Fi,j>、=、<0，确定沿哪个方向进给一步。 ③偏差计算：根据递推公式算出新加工点的偏差，作为下一步判别依
据。 ④终点判别：判断是否到达终点，若到达，结束插补；否则，继续以