数学分析上册第四版教材精选题汇总(含答案解析)
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p2.
例1 设x ,y 为实数，x y <.证明:存在有理数r 满足 x r y <<.
证 由于x y <,故存在非负整数n ,使得n n x y <.令 ()
1
2
n n r x y =
+ , 则r 为有理数，且有
n n x x r y y ≤<<≤ ,
即得x r y <<. p3.
1.实数具有阿基米德性，即对任何,a b R ∈, 若0b a >>，则存在正整数n ，使得na b >. 证明:+,a b R ∀∈，n N +∃∈, 使得nb a >, 设012
.n a a a a a = ,0a k N =∈ ,则1+110k a k +≤<，设012n b b b b b =，p b 为第
一个不为0的正整数，令+110p k n +=，则+110k nb a >>，即nb a >.
2.实数集R 具有稠密性，即任何两个不相等的实数之间必有另一个实数，且既有有理数，也有无理数。
证 若a b <，则存在n N +∈，使)(112b a n <- ，)(2
b a n
<- ， 设k 是满足k a n ≤ 的最大正整数，即
+1k a n >，0k
a n -≤ , 于是122k k k k a
b a b n n n n n ++<<=+<+-≤ ，则1k n + ，2
k n
+ 是a 与b 之间的有理数，14k n n
π
++ 是a 与b 之间的无理数。
.4P
1.设a 为有理数，x 为无理数，证明：
(1)a x +是无理数；(2)当a 0≠时，ax 是无理数.
分析：根据有理数集对加、减、乘、除（除数不为0）四则运算的封闭性，用反证法证. 证明：(1)假设a x +是有理数，则()a x a x +-=是有理数，这与题设x 是无理数相矛盾，
故a x +是无理数.
(2)假设ax 是有理数，
则当0a ≠时，ax
x a
=是有理数，这与题设x 为无理数相矛盾，故ax 是无理数.
8.设p 为正整数.证明：若p .
分析：本题采用反证法，联想到互质、最大公约数以及辗转相除法的有关知识点，可得结论.
证明：用反证法.为有理数，则存在正整数m 、n m
n
=
，且m 与n 互质.于是2m 22
,(),pn m n pn ==⋅可见n 能整除2m ，由于m 与n 互质，从而它们的最大公
约数为1，由辗转相除法知：存在整数u 、v 使1mu mv +=，则2m u mnv m +=.因
n 既能整除2m u 又能整除mnv ，故能整除其和，于是n 能整除m ，这样1n =，所
以2
p m =.这与p 不是完全平方数相矛盾.
小结：本题证明过程比较独特，先假设有理数为互质的两个数的商，利用这两个数与p 之间
的关系，运用辗转相除法得出结论，注意知识点之间的内在联系.
P7
定理1.1（确界原理） 设s 为非空数集.若s 有上界,则s 必有上确界;若s 有下界,则s 必有下确界.
证 我们只证明关于上确界的结论,后一结论可类似地证明.
为叙述的方便起见,不妨设s 含有非负数.由于s 有上界,故可找到非负整数n ,使得 1） 对于任何x S ∈有1x n <+； 2） 存在0a S ∈,使0a n ≥.
再对半开区间[),1n n +作10等分,分点为.1,.2,.9n n n ,则存在0,1,2,…,9中的一个数1n ,
使得
1） 对于任何x S ∈有1110
.n x n <+； 2） 存在1a S ∈,使11.a n n ≥. 再对半开区间111.10,.n n n n ⎡⎫
⎪⎢⎣⎭
+
作10 等分,则存在0,1,2,…,9中的一个数2n ,使得 1） 对于任何x S ∈有1221.10
n n n x +<； 2） 存在2a S ∈,使212.a n n n ≥.
继续不断地10等分在前一步骤所得到的半开区间,可知对任何1,2,k =,存在0,1,2,…,9
中的一个数k n ,使得
1） 对于任何x S ∈有121
.10k k
x n n n n <+
； （1） 2） 存在k a S ∈,使12
.k k a n n n n ≥.
将上述步骤无限地进行下去,得到实数12.k
n n n n η=.以下证明sup S η=.为此只需证
明：
（i ）对一切x S ∈有x η≤；（ii ）对任何αη<,存在a S '∈使a α<'.
倘若结论（i ）不成立,即存在x S ∈使x η>,则可找到x 的k 位不足近似k x ,使
121
.10k k k k
x n n n n η>=+
,从而得121.10k k
x n n n n >+
, 但这与不等式（1）相矛盾.于是（i ）得证.
现设αη<,则存在k 使η的k 位不足近似k k ηα>,即12
.k k n n n n α>.