高中物理竞赛辅导讲义_微积分初步

微积分初步

一、微积分的基本概念

1、极限

极限指无限趋近于一个固定的数值

两个常见的极限公式

0sin lim 1x x x

→= *1lim 11x x x →∞⎛⎫+= ⎪⎝⎭

2、导数

当自变量的增量趋于零时，因变量的增量与自变量的增量之商的极限叫做导数。

0'lim x dy y y dx x

∆→∆==∆ 导数含义，简单来说就是y 随x 变化的变化率。

导数的几何意义是该点切线的斜率。

3、原函数和导函数

对原函数上每点都求出导数，作为新函数的函数值，这个新的函数就是导函数。

00()()'()lim lim x x y y x x y x y x x x

∆→∆→∆+∆-==∆∆ 4、微分和积分

由原函数求导函数：微分

由导函数求原函数：积分

微分和积分互为逆运算。

例1、根据导函数的定义，推导下列函数的导函数

（1）2y x = （2） (0)n y x n =≠ （3）sin y x =

二、微分

1、基本的求导公式

（1）()'0 ()C C =为常数 （2）()1' (0)n n x nx n -=≠

（3）()'x x e e = *（4）()'ln x x a a a =

（5）()1ln 'x x = *（6）()1log 'ln a x x a

=

（7）()sin 'cos x x = （8）()cos 'sin x x =-

（9）()21tan 'cos x x = （10）()21cot 'sin x x

= **（11）()

arcsin 'x =

**（12）()arccos 'x = **（13）()21arctan '1x x =+ **（14）()2

1arccot '1x x =-+ 2、函数四则运算的求导法则

设u =u (x )，v =v (x )

（1）()'''u v u v ±=±

（2）()'''uv u v uv =+

（3）2'''u u v uv v v -⎛⎫= ⎪⎝⎭

例2、求y=tan x 的导数

3、复合函数求导

对于函数y =f (x )，可以用复合函数的观点看成y =f [g (x)]，即y=f (u )，u =g (x ) 'dy dy du y dx du dx

== 即：'''u x y y u =

例3、求28(12)y x =+的导数

例4、求ln tan y x =的导数

三、积分

1、基本的不定积分公式

下列各式中C 为积分常数

（1） ()kdx kx C k =+⎰为常数 （2）1

(1)1n n

x x dx C n n +=+≠-+⎰

（3）x x e dx e C =+⎰ *（4）ln x

x

a a dx C a =+⎰ （5）

1ln dx x C x =+⎰ （6）sin cos xdx x C =-+⎰

（7）cos sin xdx x C =+⎰ *（8）21tan cos dx x C x =+⎰ **（9）2

1arctan 1dx x C x =++⎰ **（10

）arcsin x C =+⎰ 2、简单的定积分求法（即牛顿—莱布尼茨公式）

物理竞赛中最基本的微积分公式

牛顿—莱布尼茨公式：若f (x )是F (x )在区间[a, b ]上的导函数, 则

()()()b

a f x dx F

b F a =-⎰

而根据导函数f (x )求原函数F (x )的过程，其实就是不定积分的过程。

3、换元积分法

(1)第一类换元积分（凑微法）

例5、求22cos x x dx ⎰

** (2)第二类换元积分法

技巧性较强，没有一定的通法，高中阶段很少用到。

**例6

、6552236616(1)1t x t dx t dt t dt t t dt t t t ====-+-++⎰⎰⎰即

物理例题：

例7、已知地球的半径为R ，质量为M 。将质量为m 的质点从地面移动到无穷远处，此过程中，万有引力做了多少功？

例8、求半径为R，质量均匀的半圆形薄板的重心位置

例9、求常见几何体的转动惯量。各物体质量均为m，杆长均为L，半径均为r

(1)均匀杆绕中点转动

(2)均匀杆绕一端转动

(3)均匀圆盘绕中心转动

*(4)均匀球绕中轴转动

5.2附 微积分阅读材料

**一、求极限的罗必塔法则

()

()()()()0lim ()0x a x x a x f x F x f x F x →→∞→→∞∞∞如果当或时，两个函数与都趋于零或都趋于无穷大，

那么极限可能存在、也可能不存在。通常把这种极限称为或型未定式。

此时可以对分子分母同时求导后再求极限，从而避免出现未定式无法计算的情况。

如果求导后仍然是未定式，可多次利用罗必塔法则。如果始终是未定式，则此方法失效。 例1： 例2：

***二、分部积分法

理解、运用起来容易出错，高中阶段很少用到。

根据函数相乘的求导公式：()'''uv u v uv =+

移项可得：()'''uv uv u v =-

两边取积分：uv dx uv vu dx ''=-⎰

⎰ udv uv vdu =-⎰⎰

***例3、求cos x xdx ⎰

,cos ,sin cos sin sin sin cos u x dv xdx du dx v x x xdx

x x xdx x x x C =====-=++⎰⎰

取则 .)(')('lim )()(lim )( )( x g x f x g x f x a x x a x ∞→→∞→→=.tan lim 0x

x x →求)()(tan lim 0''=→x x x 原式1sec lim 20x x →=.1=00.sin ln sin ln lim 0bx ax x →求ax bx b bx ax a x sin cos sin cos lim 0⋅⋅=→原式.1=∞∞ax bx x cos cos lim 0→=的形式或型未定式，可以化为∞∞∞∞-∞∞⋅∞00,1,0,,000