1三次函数切线专题

、过三次函数上一点的切线问题。

3

2

设点p 为三次函数f （x ） ax bx ex d （a 0）图象上任一点，则过点P 一定有直线与y f （x ）

的图象相切。若点 P 为三次函数图象的对称中心，则过点 P 有且只有一条切线；若点 P 不是三次函数图象

的对称中心，则过点 P 有两条不同的切线。 证明 设P （x i ，y i ） 过点P 的切线可以分为两类。 1、 P 为切点

k 1 f /(x 1) 3ax 12 2bx 1 e ，

2

切线方程为：y y_! (3ax 1

2bx 1 e)(x x 1)

f （x ）图象的切线，切于另一点 Q （ X 2, y 2）

当X 1

K

—时，两切线重合，所以过点 P 有且只有一条切

线。

3a

当X 1

—时,

3a

k 1 k 2，所以过点 P 有两条不同的切线。

其切线方程为:

y y 1 (3ax 12 2bx 1

e)(x X 1)

3 2 1 b 2

y y 1

(— ax 1 4 bx 1 2 e)(x X 1) 4a

由上可得下面结论：

过三次函数 f （X ） 3

,

2

ax bx ex

d (a 0）上异于对称中心的任一点 卩1（人，％）作y f （x ）图

象的切

线，切于另一点P 2（X 2，y 2），过P 2（X 2,y 2）作y f （x ）图象的切线切于P 3（X 3,y 3），如此继续，得到点

列

三次函数切线问题

k

2

y2

%

3

ax 2

3

ax

bx ； bx, ex 2 ex-! X 2

ax 2

ax 1

又

k 2

f/

(X

2

)

2

3ax 2

2bx 2 e

ax

2 2

ax 1 X 2 2

ax 1

bx 1 bx 2

即 (X 2 X 1 )(2x 2

X

」） 0 x 2

a

得

3 2 1 b 2

k 2

ax 1 — bx 1 e

4

2 4a

2

讨论：当 k 1 k 2 时，3ax 1 2bx 1 e

e 3ax 2

2

2bx 2 e

1 b

X 1

代入（ 1 )式 2 2a

3 2

1

b 2 e ，得 X 1

b

—ax 1 bx 1

4

2

4a

3a

P 不是切点，过P 点作y

2

ax 1x 2 2

bx 1 bx 2 e

(1)

X n 1 X n

2、过三次函数外一点的切线问题。

则切线方程为 y y 1 (3ax 12 2bx 1 c)(x x 1),

把点P(x o , y o )代入得：

3

2

2ax 1 (b 3ax o )x 1 2bx o X 1 y o d cx o 0,

设 g(x) 2ax 3 (b 3ax 0)x 2 2bx 0x y 0 d cx 0.

(1) 右X o

,则过点P 恰有- 条切线；

3a

(2) 右X o

b ,

且 g(x o )g( )0，则过点P 恰有一条切线；

3a 3a

(3)

若X o —,

且 g(x o )g(

)=0，则过点P 有两条不冋的切线;

3a 3a

(4) 若X o b , 、 ， b 、八

3a ,且g(X o )g( 3a ) °，则过点P

有三条不同的切线。

其中 g(x):

Y O f (x) f /(x)(x

X o ).

证明 设过点 P 作直线与y f (X)图象相切于点Q(x 1, y 1),

f (x)图象相切。

y P 4 ( X 4 , y 4 ) - P n (x n , y

n ) ------ ，则 X n 1

1

X n 2 —，且当n

2a 时，点趋近三次函数图象的对称中心。

明：设过

P n (X n ，y n ) f (x)图

象切于点

P n 1(X n 1, Y n 1)的切线为 P n P n 1 ，

y n 1

y n

2 aX n 1

aX n

2

1

X n aX n

bX n i bx n

k f /

(X 1 2 1

) 3ax

n 1

2bX n 2 2 aX n 1

aX n 1X n aX

n

bx n i

bX n c = 3ax n

2bX n

即(X n 1

X n )(2X n 1

X n

X n 1 b 2a

设X n 1

数列｛ X n

舟(X n

2

b

｝是公比

为

b 3a

1

的等比数列,

X n

3a

b 1 n 1 (X

1

3a )(

lim x n

n

_b_ o

3a

设点P (X g , y o )为三次函数f (x) ax 3

bx 2

cx d(a 0)图象外，则过点P 一定有直线与