大学物理之机械波

例题1 频率为3000Hz的声波，以1560m／s的传 播速度沿一波线传播，经过波线上的A点后，再 经13cm而传至B点．求： 1）B点的振动比A点落后的时间． 2) 波在A、B两点振动时的相位差是多少? 3）设波源作简谐振动，振幅为1mm，求振动速 度的幅值，是否与波的传播速度相等?
解：
(1)波的周期:
ρ 2 2sin2 ( t x ) ω = dV Aω u
体积元的总机械能随时间t作周期性变化，不 断地接受和放出能量。
波的强度： 波的强度：平均在单位时间内通过垂直于 波的传播方向的单位面积的能量。 波的传播方向的单位面积的能量。
1 2 2 I = ρω A u 2
波传播时振幅的变化： 波传播时振幅的变化： 平面波
π x=0处的振动方程为 y = Acos2πν(t − t') + 2
反射波
半波反射和全波反射
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§18.6 波的能量
波动的能量特性：
振源
媒质
波动中的媒质，各点都在振动，具有动能；媒 质之间存在形变，还具有势能；波在传播时，介质 由近及远地开始振动，能量不断地向外传播出去， 形成能流。
时刻的波形曲线就是，t1 时刻的波形曲线向 波传播方向平移距离 u∆ 后的波形曲线 t
问题1： 如波沿x轴的负方向传播，其波动方程为？
x y x=0 = Acos(ωt +ϕ) y = Acos[ω(t + ) +ϕ] u ω 问题2：如已知 a点的振动方程为 ya = Acos( t +ϕ)
波沿x轴的正方向传播
腹点
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由此可见，驻波特点是： 1）驻波波形固定，有波腹点和波节点，且相邻 的腹点与腹点，节点与节点间距离为 λ / 2 相邻的节点与腹点间的距离为 λ / 4 2）相邻两节点间的质点具有相同的位相，节点 两侧具有相反的位相。
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18.2简谐波 简谐波： 波源和媒质中各振动的质点都依次在作 同频率的简谐振动。 否则称为非简谐波。
各质点在各自的平衡位置附近振动，振动状 态则以一定速度向前传播。相邻为∆ x 的两质点， 其时间落后：
∆x ∆t = u
18.3 简谐波的波函数
波长
波函数 -------各质元的位移y随其平衡位置x和 时间t变化的数学表达式 T= ω 1 ω υ= = 频率-----周期的倒数 T 2π 波长 λ ------在同一条波线上，相位差为2π 的两相邻质点间的距离，即 两个相邻的同相点之间的距离 或 周期-----波时间上的周期性 波在一个周期时间内传播的距离
第18章 波动
预备知识： 物体的形变 一）形变---物体受外力作用，形状大小改变。 分类： 1）弹性形变：当形变不超过一定限度时，外力撤 去以后，物体仍可以完全恢复原状的 形变。 2）范性形变：当外力撤去以后，物体不能完全恢 复原状的形变。 二）三种弹性形变
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18.1行波 一、机械波的产生条件
Y
（１）x=0处质点振动方程 ； （２）该波的波动方程。 O 解:(1)设x=0处质点振动方程
u
X t = t'
t=t´ 时 y = Acos(2πνt'+ϕ) = 0
v<0
∴2πνt'+ϕ =
y = Acos(2πνt +ϕ)
π
2
ϕ = − 2πνt'
2
π
x π (2) 该波的波动方程为 y = Acos2πν t − t'− + u 2
波的能量
dm dV
dm =ρ dV 对体积元dV，质量： ∂y v 速度： = = A ω sin ω ( t ∂t 体积元内的动能：
x y = Acosω(t − ) u
x ) u
dWk = dWp =
1 dm v 2 2
=
1 ρdV A2 2 sin2 ω ω 2
(t
x ) u x ) u
可以证明：
y(m) A 2
uo12.Pπ4A x (m)
y =0 P v> 0
π
2
t 解： = 0 时刻: A y = O 2 v< 0
ϕ0 =
ϕp = −
Q∆φ = −
2π
λ
∆x
2π 2π ∴λ = − ∆x = − ⋅12 = 32m π π ∆φ − − 2 4
例题5: 一平面简谐波沿x 轴正向传播，其振幅为A，频率 为v，波速为u。设t=t´ 时刻的波形曲线如图。求：
x
v > 0 y =A/2
π 3
ϕ0 = −
π
3
π 原点的振动方程： y0 = Acos(4 t −
π
3 x π π 波动方程为： y = Acos[4 (t + ) − ] u 3 π x π y = Acos[4 (t + )− ] 120 3
)
例3： 一列向x 轴正方向传播的平面简谐波,在t =0时刻的 波形如图所示，其波速为u =600m/s。试写出波动方程。 y(m) u 解： 在t = 0时刻 y =0 π 5 2 . ∂y o v = 12 < 0 x (m) ∂t
1 K(∆y) 2 1 ρdV A2 2 sin2 ω ω = 2 2
(t
dWk = dW p
在行波传播过程中，体积元的动能和势能两 者不仅同步，而且大小完全相等。这和振动有明 显区别。因为波动中形变取决于相邻质点间的相 对位移∆y，而不是偏离平衡位置的位移 y ! 体积元的总机械能:
dW= dWk +dW p = 2 dWk
y
u
P .
o
xa
x
x
x − xa t' = u
问题3：ya
= Acos(ωt +ϕ) 波沿x轴的负方向传播时： xa − x y = Acos[ω(t − ) +ϕ] u
x − xa y = Acos[ω(t − ) +ϕ] u
例1：如图所示，一平面波在介质中以速度u=20m/s,沿x轴 的负方向传播，已知A点的振动方程可以表示为 （1）以A点为坐标原点写出波动方程； （2）以距A点5m处的B点为坐标原点,写出波动方程 。
u
设O点的振动方程为：
x
.
y = Acos(ωt +ϕ)
x o P
因波沿x轴正方向传播，P点比O点滞后
x P点的振动方程： y = Acos[ω(t − ) +ϕ] u
x ∆t = u
此方程表示了波线上任意点的振动方程，即为波动 方程。
x y = Acos[ω(t − ) +ϕ] u π 2 把 ω= =2 πν u = λν
ϕ0 =
π
: 2 由图可知:
λ = 24m
A = 5m
s−1
T=
λ
u
2π ω= = 50π T
原点处质点的振动方程为： y0 = 5cos(50πt + ) 2 x π y=5cos(50π t⋅2 + ) π 波动方程为： 24 2
π
例4. 有一列向 x 轴正方向传播的平面简谐波，它在t = 0时刻的波形如图所示，试求其波长。
i
O
i'
n1 n2
γ
折射
sin i u1 n2 = = = n21 sin γ u2 n1
波的反射定律：
i
i
∆BAC ≅ ∆DCA
BC=u∆t AD=u∆t
∴
BC= AD
∠BAC = ∠DCA ∴i = i′
波的折射定律：
C i n1 A D i u1∆t
2
u1 ∆t B
CB sin i AB = AD sin r AB
I ∝A
2
S1
u
S2
根据能量守恒，在一周期内通 根据能量守恒， 面的能量相等。 过 S1 和 S2 面的能量相等。
I1ST = I2S2T 1 I1 = I2
∴A = A 1 2
在均匀不吸收能量的介质中传播的平面波的振幅 保持不变。 保持不变。
球面波的振幅： 球面波的振幅：
S2 S 1
Ar =Ar
波线
球面波：
波线
波面 波面
波阵面为一平面
波阵面为一球面
平面简谐波： 波阵面为一平面的简谐波
结论： 1. 波是振动状态在媒质中的传播。波的传播速度 只取决于媒质，和波源无关；波的频率和周期只决 定于波源，和媒质无关；波的波长与媒质和波源都 有关。 2.平面简谐波中各质点的振动周期、振动振幅与波 源相同，但相位不同，设相邻为∆x的两质点间落 ∆x T 后的时间： = ∆x ∆t = u λ 两质点间相位差： ∆φ = ∆t 2π = ∆x 2π T λ ∆x
T
代入波动方程：
y = Acos(ω t −
所以波线上任一点
2π
λ
x +ϕ)
x
x
相位比O点的相位落后：
2 π
λ
波函数的三两种表达形式：
x (1) y = Acosω t − ) （ u
t x (2) y = Acos2π( − ) T λ
(3) y = Acos(ωt − kx)
K ：波数
K=
2π
= = = =
r
u∆ t r 2 n2
u 1∆ t u 2∆ t u1 u2 n2 n1 n2 1
18.8 波的叠加 驻波
一）何谓驻波 两列振幅相同的相干波在同一直线上沿相反 方向传播彼此相遇叠加而形成的波。 + u u 节 腹 电动音叉 点 点 二）驻波分析 1）波形曲线分析
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