最新从考研数学试题谈导数的应用
考研数学-专题5 导数的概念及应用
f (x), x 0;
F
(
x)
0, x 0;
f (x), x 0;
若 f (0) 1, 则
lim F(x) F(0) lim f (x) f (0) f (0) 1
x0
x
x0
x
lim F(x) F(0) lim f (x) f (0)
x0
x
x0
x
lim f (x) f (0) f (0) 1
x0
x0
则
lim ln[ f (x) ex ] ln 2
x0
x
从而 lim ln[ f (x) ex ] 0, lim f (x) f (0) 0,
x0
x0
当 x 0 时， ln[ f (x) ex ] ln[1 f (x) ex 1] ~ f (x) ex 1
则 lim ln[ f (x) ex ] lim f (x) ex 1 f (0) 1 ln 2
1
【例 2】已知 f (x) 在 x 0 处连续，且 lim[ f (x) ex ]x 2, 则 f (0) （ ） x0
(A)不存在
(B)等于 e2 ,
(C)等于 2,
(D)等于 1 ln 2
1
ln[ f ( x)e x ]
【解】 由于 lim[ f (x) ex ]x lim e x 2
3
f (x0 n ) f (x0 ) f (x0 )n n
（其中 lim 0 ） n
f
( x0
n ) f (x0 n n
n)
f
(
x0
)
n n
n n
n n n n
n n n n n n
0
则 lim n
2021考研数学高等数学基础讲义6 导数的应用-01
考点:单调性与极值、最值1.单调性的判定法()()()(),00,0f x I I f x f x f x I ''><设函数在上连续在上满足（或）则函数在上单调增加（单调减少）.只有驻点（导数为的点）和不可导点（导数不存在的点）才能成为单调区间的分界点.定理1除最多有限个点外注:()()1110,.xf x x ⎛⎫=++∞⎡⎤ ⎪⎣⎦⎝⎭例证明在内单调增加()[)()()()()()()()2,,,,,,f x f a f x a f x a F x x a x a F x a −''+∞+∞=>⎡⎤⎣⎦−+∞例设在上连续,在内大于零记证明在内单调增.32103.496y x x x =⎡⎤⎣⎦−+例确定的单调区间2.极值及其求法()()()()()()()00000(),,,.f x x x f x f x f x f x f x f x x f x <>设在点的某邻域内有定义如果对于该去心邻域内任一有（或）那么称是函数的一个极大值（或极小值）;相应的称为函数的一个极大值点（或极小值点）极值是一个局部概念,极大不一定是最大,极大也未必大于极小.定义1注:()()()000,0.f x x f x f x ''=若在点取极值则或不存在定理2（必要条件）()()()()()00000000,1,,2f x x x f x x x f x x f x x f x x x ''''设在处连续在的某去心邻域可导.（）若在两侧变号,则是极值点,且若由正变负是极大值点,由负变正是极小值点；（）若在两侧不变号,则不是极值点.定理3（第一判别法）()()()()()()00000000000.100,0,20f x x f x f x x f x x f x x f x x '=''≠''''><''=设在处二阶可导,（）若,则是极值点,且若是极小值点,是极大值点；（）若,则可能是极值点,也可能不是极值点.定理4（第二判别法）4cos x y e x =⎡⎤⎣⎦例求函数的极值.()()3353320,y x x y x y y x +−+−=⎡⎤⎣⎦例已知函数由方程确定求的极值.3.最大值最小值000()[,]()(,)(),()[,].()(,),()[,]f x a b f x a b f x a b f x a b f x a b x x x f x a b =求连续函数在闭区间上的最值的方法第一步：求出在内的所有驻点和不可导的点；第二步：计算在上述驻点、不可导点和端点处的函数值；第三步：比较,其中最大的即为在上的最大值,最小的即为最小值设连续函数在内有唯一极值点,若是极大（小）值点则是上的最大（小）值.注:[]65,1.y x =+−⎡⎤⎣⎦例求函数上的最大值与最小值7cos ,sin 02x a t y b t t π==≤≤⎡⎤⎣⎦例在椭圆（）内嵌入一内接矩形,使其边平行于椭圆的轴,问矩形的边长分别为多少时,其面积最大.。
考研数学导数题解题技巧
考研数学导数题解题技巧导数在考研数学中占据着重要的地位，掌握好导数的解题技巧是考研数学成功的关键之一。
下面将介绍几种常见的导数题型及相应的解题技巧，希望对考研数学的学习和备考有所帮助。
一、基本函数的导数求解基本函数的导数求解是解决导数题的基础。
对于常见的基本函数，如幂函数、指数函数、对数函数、三角函数等，都有相应的求导公式。
掌握好这些求导公式并能熟练灵活地运用，能够快速求解导数。
以幂函数为例，对于函数y=x^n，其中n为常数，导数的求解公式为dy/dx=n*x^(n-1)。
在使用求导公式时，需要注意指数函数和对数函数的运算规则，掌握好它们的性质，能够更好地应用到求导题目中。
二、基本运算法则的应用在导数的求解过程中，经常需要运用到基本运算法则，如和差法则、积法则和商法则。
熟练运用这些法则可以简化复杂的导数计算过程，提高解题的效率。
以和差法则为例，对于由两个函数相加或相减而成的复合函数，可以利用和差法则将其求导分解为各个部分的导数之和或差。
这样可以简化计算过程，减少错误的可能性。
三、高阶导数求解高阶导数是指对一个函数进行多次求导得到的导数。
在考研数学中常常会涉及到高阶导数的求解，需要运用到求导的运算法则和综合运用各种基本函数的导数求解公式。
在计算高阶导数时，可以使用递推的方式进行求解。
即通过求解低阶导数的方式，逐步推导得到高阶导数的结果。
这种方法能够减少计算量和错误几率，提高解题效率。
四、隐函数求导在某些函数方程中，可能存在隐含的函数关系，即无法用常规的显式函数表示。
这时就需要用到隐函数求导的方法。
隐函数求导可以通过利用导数的定义和隐函数偏导数的概念来进行求解。
隐函数求导的关键是识别出隐含的函数关系，并利用已知信息进行求导。
这种方法在解决一些复杂的问题时非常有效，可以帮助我们深入理解函数的性质和规律。
五、应用题解题技巧考研数学中，导数的应用题是必不可少的一部分。
在解决应用题时，需要将导数技巧与具体问题相结合，通过分析问题和建立模型来解决。
考研数学三大纲解析之导数的经济应用
考研数学三大纲解析之导数的经济意义
来源：文都教育
考研数三考试大纲对导数的经济意义的要求是了解，但是经济应用中边际与弹性以及最大利润等仍是考研数三常考的内容。
边际与弹性经常以客观题的形式来考查，最大利润经常以应用题的形式考查，这两个知识点出题的难度不大。
但是由于大学时很多同学没学过，学过的也学的比较浅很多都忘记了，所以在复习时存在抵触情绪，考试的得分率并不高。
下面文都考研数学辅导老师对这部分内容帮助大家总结一下。
一、边际函数与弹性函数
1边际函数
设()f x 可导，经济学上称()f x '为边际函数，并称()0f x '为()f x 在0x x =处的边际值.
2 弹性函数
设()f x 可导，称()()()
0/lim /x y y x x f x f x x x y f x η→''===为()f x 的弹性函数，其主要反映x 变化所致()f x 变化的强弱程度或者叫灵敏度.
二、五个研究对象
1需求函数：设需求量为Q ，价格为P ，称()Q Q P =为需求函数，且一般为单减函数.
2供给函数：设供给量为q,价格为p ，称()q q p =为供给函数，且一般为单增函数.
3成本函数-总成本=固定成本+可变成本，即()()01C x C C x =+,边际成本为()C x '.
4收益函数()R x ，边际收益为()R x '.
5 利润函数()()()L x R x C x =-，边际利润为()L x '.。
考研数学知识点复习导数中的计算及应用
考研数学知识点复习：导数中的计算及应用导数的计算中要先掌握四则运算，反函数和复合函数的求导运算。
有了这些就可以将导数的大部分计算题搞定，除此之外，还需要掌握几个特殊函数的导数计算：幂指函数，隐函数，参数方程，抽象函数，我们一一介绍。
幂指函数：什么是幂指函数？一般的，将形如y=f(x)g(x)的函数称为幂指函数。
也就是说，它既像幂函数，又像指数函数，二者的特点兼而有之。
作为幂函数，其幂指数确定不变，而幂底数为自变量；相反地，指数函数却是底数确定不变，而指数为自变量。
简单的说就是底数和指数都是关于自变量的函数，像这样的就称为幂指函数，例如：y=(sinx)x2,y=xx。
对它求导有两种方法，第一：对数恒等变换，y=f(x)g(x)=eg(x)lnf(x)，再按照复合函数求导计算就可以了，即。
第二：取对数，两边同时取对数，再关于自变量求导，把因变量看成是自变量的函数，即隐函数：设F(x,y)是某个定义域上的函数。
如果存在定义域上的子集D，使得对每个x属于D，存在相应的y满足F(x,y)=0,则称方程确定了一个隐函数。
记为y=y(x)。
显函数是用y=f(x)来表示的函数，显函数是相对于隐函数来说的。
对于一个已经确定存在且可导的情况下，我们可以用复合函数求导的链式法则来进行求导。
在方程左右两边都对x进行求导，由于y其实是x的一个函数，所以可以直接得到带有y'的一个方程，然后化简得到y'的表达式。
参数方程：在给定的平面直角坐标系中，如果曲线上任意一点的坐标(x，y)都是某个变数t的函数；且对于t的每一个允许值，由方程组⑴所确定的点m(x，y)都在这条曲线上，那么方程组⑴称为这条曲线的参数方程，联系x、y之间关系的变数称为参变数，简称参数。
类似地，也有曲线的极坐标参数方程ρ=f(t)，θ=g(t)。
参数方程求导方法：一阶导数：二阶导数：其中二阶导数不需要记公式，只需要掌握二阶求导过程，做题目时直接计算就可以了。
数学导数考研题库及答案
数学导数考研题库及答案数学导数考研题库及答案导数作为数学分析中的重要概念，是数学研究中不可或缺的一部分。
在考研数学中，导数也是一个重要的考点。
为了帮助考生更好地复习导数知识，下面将为大家提供一些常见的导数考研题目及其答案。
1. 求函数f(x) = x^2 - 3x + 2的导数。
解：根据导数的定义，导数可以通过求函数的极限来计算。
对于给定的函数f(x) = x^2 - 3x + 2，我们可以使用导数的定义来求导数。
根据导数的定义，导数f'(x) = lim(h→0) [f(x+h) - f(x)] / h。
将函数f(x) = x^2 - 3x + 2代入该公式，我们可以得到f'(x) = 2x - 3。
2. 求函数f(x) = sin(x)的导数。
解：对于给定的函数f(x) = sin(x)，我们可以使用导数的定义来求导数。
根据导数的定义，导数f'(x) = lim(h→0) [f(x+h) - f(x)] / h。
将函数f(x) = sin(x)代入该公式，我们可以得到f'(x) = cos(x)。
3. 求函数f(x) = ln(x)的导数。
解：对于给定的函数f(x) = ln(x)，我们可以使用导数的定义来求导数。
根据导数的定义，导数f'(x) = lim(h→0) [f(x+h) - f(x)] / h。
将函数f(x) = ln(x)代入该公式，我们可以得到f'(x) = 1/x。
4. 求函数f(x) = e^x的导数。
解：对于给定的函数f(x) = e^x，我们可以使用导数的定义来求导数。
根据导数的定义，导数f'(x) = lim(h→0) [f(x+h) - f(x)] / h。
将函数f(x) = e^x代入该公式，我们可以得到f'(x) = e^x。
通过以上几个例子，我们可以看到导数的求解方法是相似的，都是通过导数的定义来计算。
考研导数试题及答案
考研导数试题及答案1. 计算函数 \( f(x) = x^3 - 6x^2 + 9x + 1 \) 在 \( x = 2 \) 处的导数。
答案：首先求导数 \( f'(x) = 3x^2 - 12x + 9 \)，然后将\( x = 2 \) 代入得到 \( f'(2) = 3(2)^2 - 12(2) + 9 = 12 - 24 + 9 = -3 \)。
2. 已知 \( g(x) = \ln(x) \)，求 \( g'(x) \)。
答案： \( g'(x) = \frac{1}{x} \)。
3. 求函数 \( h(x) = e^x \cdot \sin(x) \) 的导数。
答案：使用乘积法则，\( h'(x) = e^x \sin(x) + e^x \cos(x) \)。
4. 计算 \( k(x) = (x^2 - 4)^5 \) 在 \( x = 2 \) 处的导数。
答案：首先求导数 \( k'(x) = 5(x^2 - 4)^4 \cdot 2x \)，然后将 \( x = 2 \) 代入得到 \( k'(2) = 5(2^2 - 4)^4 \cdot 2\cdot 2 = 5 \cdot 0^4 \cdot 4 = 0 \)。
5. 已知 \( m(x) = \frac{1}{x} \)，求 \( m'(x) \)。
答案： \( m'(x) = -\frac{1}{x^2} \)。
6. 求函数 \( n(x) = \tan(x) \) 的导数。
答案： \( n'(x) = \sec^2(x) \)。
7. 计算 \( p(x) = \ln(x^2 + 1) \) 在 \( x = 1 \) 处的导数。
答案：首先求导数 \( p'(x) = \frac{2x}{x^2 + 1} \)，然后将\( x = 1 \) 代入得到 \( p'(1) = \frac{2 \cdot 1}{1^2 + 1} = \frac{2}{2} = 1 \)。
导数在研究函数中的应用
导数在研究函数中的应用导数是微积分中的重要概念，它在研究函数中有着广泛的应用。
导数可以描述函数在某一点上的变化率，帮助我们理解函数的性质以及解决实际问题。
本文将从几个方面介绍导数在函数研究中的应用。
一、函数的极值问题导数在研究函数的极值问题中起着重要的作用。
通过求函数的导数，我们可以得到函数的驻点和拐点，从而确定函数的极值。
具体来说，当函数的导数为零或不存在时，该点可能是函数的极值点。
通过求导数并求解方程，我们可以求得这些驻点，然后用二阶导数的符号判断它们是极大值还是极小值。
这个过程在求解最优化问题、优化生产过程中都有着广泛的应用。
二、函数的图像与性质导数可以帮助我们研究函数的图像和性质。
通过求导数，我们可以得到函数的增减性和凹凸性。
具体来说，当导数大于零时，函数是增函数；当导数小于零时，函数是减函数。
而二阶导数的正负可以判断函数的凹凸性，当二阶导数大于零时，函数是凹函数；当二阶导数小于零时，函数是凸函数。
通过分析导数和二阶导数的变化，我们可以画出函数的图像，并对函数的性质进行准确的描述。
三、函数的近似计算导数在函数的近似计算中有着重要的应用。
当函数的表达式很复杂或很难求解时，我们可以通过导数来近似计算函数的值。
具体来说，我们可以利用导数的定义公式f'(x) = lim(h->0) (f(x+h)-f(x))/h 来计算函数在某一点的导数，然后通过导数的值和函数在该点的值来估计函数在附近点的值。
这种方法在数值计算、机器学习等领域中被广泛应用。
四、函数的最优化问题导数在函数的最优化问题中也有着重要的应用。
通过求函数的导数，我们可以找到函数的驻点，从而求解函数的最值。
具体来说，当函数在某一点的导数为零或不存在时，该点可能是函数的最值点。
通过求导数并求解方程，我们可以求得这些驻点，然后通过二阶导数的符号判断它们是极大值还是极小值。
这个方法在经济学、工程学等领域中常常用来解决最优化问题。
导数在函数的研究中有着广泛的应用。
考研数学之微分中值定理与导数应用
考研数学之微分中值定理与导数的应用来源：文都教育微分中值定理可以说是考研整个高数部分的重点内容，也是难点内容，知识点琐碎，题型灵活多变而且技巧性很强，很多同学在这一部分复习的时间很长，但是最后还是觉得复习的不是很好。
下面文都数学老师大致总结一下本章经常考的题型和做题方法。
核心题型题型一 证明函数恒等于常数若'()0f x =，则()C f x =（C 为常数）． 常用：arcsin arccos 2x x π+=；arctan cot 2x arc x π+=． 例:证明：313arccos arccos(34)(||)2x x x x π--=<． 题型二 不等式的证明（1）利用函数的单调性例 证明：当0x >时，ln(1)x x +<． （2）利用函数的最值：求出函数()f x 在给定区间内的最大值M 、最小值m ，则函数在该区间内满足()m f x M ≤≤．例 证明：111ln(1)x x +<-， 当10x x <≠且时成立． （3）利用函数的凸凹性：如果要证明的不等式中包含形如122x x f +⎛⎫⎪⎝⎭、121[()()]2f x f x +的项，那么往往可以找到合适的函数，并利用该函数的凸凹性证明不等式． 例 已知0x >，0y >且x y ≠，证明：ln ln ()ln 2x y x x y y x y ++>+． （4）利用微分中值定理证明：当不等式或其适当变形中有函数值之差()()f b f a -时，一般可考虑用拉格朗日中值定理证明。
当不等式或其适当变形中有两个函数在两点的函数值之差的比值()()()()f b f ag b g a --时，可考虑用柯西中值定理． 例 设2e a b e <<<，证明：222ln ln 4b a b a e ->-． （5）利用Taylor 公式如果已知函数的高阶导数存在，则往往可以考虑通过Taylor 公式将函数展开来进行证明．例 已知02x π<<，求证211cos 12x x π-<<． 题型三 方程根的讨论（1）存在性，一般用零点定理；（2）唯一性，用单调性．例 证明方程tan 1x x =-在(0,1)内有唯一实根．题型四 ()()0n f ξ=（1）验证ξ为(1)()n f x -的最值或极值点，利用极值存在的必要条件或费马引理可得证例 （导数零点定理）设()f x 在[,]a b 上可导，''()()0f a f b +-<，证明：存在一点ξ，使'()0f ξ=．（2）验证(1)()n f x -在包含x ξ=于其内的区间上满足罗尔定理例 设()f x 在[0,3]上连续，在(0,3)内可导，又(0)(1)(2)3,(3)1f f f f ++==．证明：(0,3)ξ∃∈，使得'()0f ξ=．（3）利用Taylor 公式例 设()f x 在[1,1]-上有三阶连续导数，且(1)0,(1)1,'(0)0f f f -===，证明：(1,1)ξ∃∈-，使得'"()0f ξ=．题型五 至少存在一点(,)a b ξ∈，使得()()(0)n f k k ξ=≠或由(),,(),(),,(),'(),,()n a b f a f b f f f ξξξξ 所构成的代数式成立（1）做辅助函数()F x ；（2）验证()F x 满足罗尔定理．辅助函数()F x 的做法有如下两种：（原函数法）①将ξ改为x ；②将式子写成容易去掉一次导数符号的形式（即容易积分的形式）；③作一次积分，移项，使得等式一端为0，另一端即为辅助函数（为简便，积分常数取0）．例 设()f x 在[0,1]内可导，且(0)(1)0f f ==，证明：(0,1)ξ∃∈，使得'()()0f f ξξ+=．（常数k 值法）①令常数部分为k ；②作恒等变形，使等式一端为a 及()f a 构成的代数式，令一端为b 及()f b 构成的代数式；③分析关于端点的表达式是否为对称式或轮换对称式，若是，只要把a （或b ）改成x ，相应的函数值()f a （或()f b ）改成()f x ，则变量代换后的表达式即为辅助函数．例 设()f x 在[,]a b 上可导，证明：(,)a b ξ∃∈，使得'()()0f f ξξξ+=． 题型六 在(,)a b 内，至少存在,()ξηξη≠满足某个代数式证法：用两次拉格朗日中值定理；或用一次拉格朗日中值定理，用一次柯西中值定理；或用两次柯西中值定理．辅助函数利用分离变量法，使等式一端只含有ξ的式子，另一端只含有η的式子，然后再结合原函数法分析．例 设()f x 在[,]a b 上连续，在(,)a b 内可导，()()1f a f b ==，证明：,(,)a b ξη∃∈，使得[()'()]1e f f ηξηη-+=．以上是文都考研数学老师总结的本章的主要内容和题型，这一部分复习关键在于要多多总结方法和技巧，每一道题，多想几种方法，有助于扩展思路。
考研数学：利用导数求极限
版权所有翻印必究/考研数学：利用导数求极限极限是研究变量变化趋势的基本工具，在高等数学中许多基本概念和研究问题的方法都和极限密切相关，如函数的连续、导数、定积分等都是建立在极限的基础之上的，因此考试往往把求极限问题作为考核的一个重点，而在不同的函数类型下所采用的求极限的技巧是各不相同的，因此大家要学会判断极限的类型，熟练而又灵活的掌握各种技巧的应用。
本文主要介绍了利用导数求极限与已知极限求导数的基本应用。
旨在让大家达到能灵活运用导数方法去求解一些极限问题从而达到使问题简单化的目的。
一、导数定义法求极限这种极限求法主要针对所给的极限不易求，但是所求函数满足导数定义的形式，此时可以用导数定义法比较方便的求出极限。
定义设函数()f x 在0x 的某领域内有定义，给自变量0x 在0x 处加上增量x ∆，相应的得到因变量0x 的增量00()()y f x x f x ∆=+∆-.如果极限0000()()limlim x x f x x f x y x x ∆→∆→+∆-∆=∆∆存在，则称函数在0x 处可导，将该极限值称为函数在0x 处的导数。
记作()0f x '.例1、设函数()f x ，其中()10f =，()11f '=，求极限lim ()2x x xf x →∞+.解：根据函数()f x 在1x =处的导数的定义：()0(1)(1)1lim x f x f f x∆→+∆-'=∆所以2(1(1)222lim (lim (1lim 2(1)22222x x x f f x x x xf xf f x x x x →∞→∞→∞---+'=-=⋅=-⋅=-+++-+ 版权所有翻印必究二、已知极限求导数求导的本质是求极限，在求极限的过程中，力求使已知极限的结构形式转换为所求极限的形式是顺利求导的关键。
因此，导数与极限的考查可以是已知导数求极限，也可以通过极限去求导数。
例2、已知()f x 在2x =处可导，22()lim 24x f x x →=-，求()2f 及()2f '。
导数考研总结报告
导数考研总结报告导数是微积分的重要概念之一，在数学中有广泛的应用。
在考研数学中，导数也是一个常见的考点，因此掌握导数的相关知识对于考研数学的学习和备考非常重要。
本文将从导数的定义、性质以及应用等方面进行总结和报告。
首先，导数的定义是导数是函数在其中一点的变化率。
设函数f(x)在其中一点x0的其中一去心邻域内有定义，若极限lim(x→x0) ( f(x) - f(x0) ) / ( x - x0 )存在，那么这个极限的值就称为函数f(x)在点x0处的导数，记作f'(x0)。
其次，导数的计算方法如下：1.求常数函数的导函数时，导数恒为0；2.对于幂函数，有公式f'(x)=n*(x^(n-1))，其中n为整数；3. 对于指数函数，有公式 f'(x) = a^x * ln(a)，其中a为常数；4. 对于对数函数，有公式 f'(x) = 1 / ( x * ln(a) )，其中a为底数。
导数具有以下基本性质：1.导数存在的充要条件是函数在该点可导；2.导函数具有可加性，即若函数f(x)在点x0处可导，函数g(x)在点x0处可导，则(f+g)'(x0)=f'(x0)+g'(x0)；3.导函数具有可乘性，即若函数f(x)在点x0处可导，函数g(x)在点x0处可导，则(f*g)'(x0)=f'(x0)*g(x0)+f(x0)*g'(x0)；4.导函数具有链式法则，即若函数u=g(f(x))可导，则链式法则为u'(x)=f'(x)*g'(f(x))。
导数的应用非常广泛，主要有以下几个方面：1.判定函数在其中一点的增减性和极值情况。
通过求导函数，并对导函数进行分析，可以判定函数在其中一点的增减性，从而确定极值点；2.研究函数的凹凸性。
通过求导函数的导数，可以判定函数的凹凸性，从而研究函数的曲线形状和变化趋势；3.近似计算。
考研真题二-导数与微分
考研真题二-导数与微分考研真题二导数与微分在考研数学中，导数与微分是极其重要的概念，也是每年必考的知识点。
理解和掌握导数与微分，对于解决各类数学问题，尤其是涉及函数的性质、变化趋势等方面的问题，具有至关重要的意义。
导数，简单来说，就是函数在某一点的变化率。
它反映了函数在该点处的瞬时变化情况。
我们通过极限的概念来定义导数，设函数 y ＝f(x) 在点 x₀的某个邻域内有定义，当自变量 x 在 x₀处取得增量Δx （点 x₀＋Δx 仍在该邻域内）时，相应地函数取得增量Δy ＝ f(x₀＋Δx) f(x₀)；如果Δy 与Δx 之比当Δx→0 时的极限存在，则称函数 y ＝f(x) 在点 x₀处可导，并称这个极限为函数 y ＝ f(x) 在点 x₀处的导数，记作 f'（x₀) 。
举个简单的例子，比如我们考虑一次函数 y ＝ 2x ＋ 1 ，它的导数就是 2 。
这意味着，对于这个函数，无论 x 取何值，函数值的变化率始终是 2 。
再比如，对于二次函数 y ＝ x²，其导数为 2x 。
当 x ＝ 1 时，导数为 2 ，表示在 x ＝ 1 这一点，函数值的变化率是 2 。
导数的几何意义也非常重要。
函数在某一点的导数，就是该点处切线的斜率。
比如，对于函数 y ＝ x²，在点（1, 1) 处的导数为 2 ，这就意味着过点（1, 1) 的切线斜率为 2 。
微分则是函数增量的线性主部。
设函数 y ＝ f(x) 在某区间内有定义，x₀及 x₀＋Δx 在这区间内，如果函数的增量Δy ＝ f(x₀＋Δx) f(x₀) 可以表示为Δy ＝AΔx ＋o(Δx) ，其中 A 是不依赖于Δx 的常数，而o(Δx) 是比Δx 高阶的无穷小，那么称函数 y ＝ f(x) 在点 x₀是可微的，而AΔx 叫做函数 y ＝ f(x) 在点 x₀相应于自变量增量Δx 的微分，记作dy ，即 dy ＝AΔx 。
导数和微分之间有着密切的联系。
2_3_4 导数的应用 高等数学 微积分 考研数学
凹
故该曲线在
( , 0)
及
(32 ,
)
上向上凹,
在 (0 ,
2 3
)
上
向上凸
,
点
(
0
,
1
)
及
( 32
,
11 27
)
均为拐点.
Page 10
内容小结
1. 可导函数单调性判别
f (x) 0, x I
f (x) 在 I 上单调递增
f (x) 0, x I
f (x) 在 I 上单调递减
2.曲线凹凸与拐点的判别
§2.3.4 导数的应用
一、 函数单调性的判定法 二、 曲线的凹凸与拐点
三、函数的极值及其求法
0011 0010 1010 1101 0001 0100 1011
四、最大值与最小值问题
五、 曲线的渐近线 六、 弧微分 七、曲率及其计算公式 八、 曲率圆与曲率半径
1
一、 函数单调性的判定法
定理 1. 设函数 f (x) 在开区间 I 内可导, 若 f (x) 0 ( f (x) 0), 则 f (x) 在 I 内单调递增 (递减) .
o
x
y 3x2
y x0 0
Page 4
例2. 证明
0
x
2
时,
成立不等式
sin x
x
2
.
证: 令 f (x) sin x 2 ,
则
f
(
x)
在
(0
,
]
x
上连续 ,在
(0
,
)
上可导，且
2
2
f (x)
x cos x sin x x2
考研数学导数的重点和应用
考研数学导数的重点和应用考研数学导数的重点和应用考研的导数的由来深渊，应用也很广泛，出题比例大，考生要重点学习。
店铺为大家精心准备了考研数学导数的重点和应用指南，欢迎大家前来阅读。
考研数学有哪些导数的重点和应用【导数定义和求导要注意的】第一，理解并牢记导数定义。
导数定义是考研数学的出题点，大部分以选择题的形式出题，01年数一考一道选题，考查在一点处可导的充要条件，这个并不会直接教材上的导数充要条件，他是变换形式后的，这就需要同学们真正理解导数的定义，要记住几个关键点：1)在某点的领域范围内。
2)趋近于这一点时极限存在，极限存在就要保证左右极限都存在，这一点至关重要，也是01年数一考查的点，我们要从四个选项中找出表示左导数和右导数都存在且相等的选项。
3)导数定义中一定要出现这一点的函数值，如果已知告诉等于零，那极限表达式中就可以不出现，否就不能推出在这一点可导，请同学们记清楚了。
4)掌握导数定义的不同书写形式。
第二，导数定义相关计算。
这里有几种题型：1)已知某点处导数存在，计算极限，这需要掌握导数的广义化形式，还要注意是在这一点处导数存在的前提下，否则是不一定成立的。
第三，导数、可微与连续的关系。
函数在一点处可导与可微是等价的，可以推出在这一点处是连续的，反过来则是不成立的，相信这一点大家都很清楚，而我要提醒大家的是可导推连续的逆否命题：函数在一点处不连续，则在一点处不可导。
这也常常应用在做题中。
第四，导数的计算。
导数的计算可以说在每一年的考研数学中都会涉及到，而且形式不一，考查的方法也不同。
要能很好的掌握不同类型题，首先就需要我们把基本的导数计算弄明白：1)基本的求导公式。
指数函数、对数函数、幂函数、三角函数和反三角函数这些基本的初等函数导数都是需要记住的，这也告诉我们在对函数变形到什么形式的时候就可以直接代公式，也为后面学习不定积分和定积分打基础。
2)求导法则。
求导法则这里无非是四则运算，复合函数求导和反函数求导，要求四则运算记住求导公式;复合函数要会写出它的复合过程，按照复合函数的求导法则一次求导就可以了，也是通过这个复合函数求导法则，我们可求出很多函数的导数;反函数求导法则为我们开辟了一条新路，建立函数与其反函数之间的导数关系，从而也使我们得到反三角函数求导公式，这些公式都将要列为基本导数公式，也要很好的理解并掌握反函数的求导思路，在13年数二的考试中相应的考过，请同学们注意。
考研数学导数题解题要点
考研数学导数题解题要点考研数学是一门重要的学科，其中导数题是考研数学中的一个难点。
如何解题并掌握导数的要点成为了考生们的关注焦点。
本文将从导数的定义、导数的计算方法以及解题技巧三个方面，详细介绍考研数学导数题的解题要点。
导数的定义导数是微积分中的一个重要概念，它表示函数在某一点处的变化率。
对于一个函数f(x)，其在某一点x0处的导数可以写作f'(x0)，表示函数在该点处的切线斜率。
导数的定义可以用极限的方式表达，即f'(x0) = lim (x→x0) [f(x) - f(x0)] / [x - x0]。
导数的计算方法为了计算函数的导数，我们可以使用一些基本的求导规则。
下面介绍几种常用的导函数计算方法：1. 常数函数的导数为0：如果函数是一个常数，那么它的导数就等于0。
2. 幂函数的导数：对于幂函数y = xn，其导数为dy/dx = nx^(n-1)。
例如，对于函数y=x^2，其导数为dy/dx=2x。
3. 指数函数的导数：对于指数函数y=a^x，其中a是常数且a>0且a≠1，其导数为dy/dx = ln(a) * a^x。
例如，对于函数y=2^x，其导数为dy/dx = ln(2) * 2^x。
4. 对数函数的导数：对于对数函数y=loga(x)，其中a是常数且a>0且a≠1，其导数为dy/dx = 1 / (ln(a) * x)。
例如，对于函数y=log2(x)，其导数为dy/dx = 1 / (ln(2) * x)。
解题技巧在解题过程中，掌握一些技巧能够更加高效地解决导数题。
下面介绍几种常用的解题技巧：1. 利用基本导数公式：在解题过程中，可以利用之前提到的基本导数公式，将函数转化为更容易求导的形式。
这样可以简化计算过程，同时也能够避免一些常见的错误。
2. 使用链式法则：有些函数是由多个函数复合而成的，这时可以使用链式法则来计算导数。
链式法则的具体公式为dy/dx = dy/du * du/dx，其中u = f(x)。
数学复习点拨：导数的实际应用例析
导数的实际应用例析海南 李伟强导数的实际应用主要是解决一些生活中的优化问题，即用料最省，效率最高等问题．运用导数来解决，不但可以简化计算，而且还可以拓展我们的解题思路．例1 某商场从生产厂家以每件20元购进一批商品，若该商品的零售价定为p 元，则销售量Q （单位：件）与零售价p （单位:元）有如下关系28300170Q p p =--．问该商品零售价定为多少元时,毛利润L 最大,并求出最大毛利润．（毛利润=销售收入-进货支出) 解：设毛利润为()L p ，由题意知()20(20)L p p Q Q Q p =-=-·2(8300170)(20)p p p =--- 3215011700166000p p p =--+-,所以2()330011700L p p p '=--+．令()0L p '=，解得30p =或130p =-（舍去)．此时,(30)23000L =．因为在30p =附近的左侧()0L p '>右侧()0L p '<．所以(30)L 是极大值，根据实际问题的意义知，(30)L 是最大值，即零售定为每件30元时，最大毛利润为23000元．例2 一艘渔艇停泊在距岸9km 处，今需派人送信给距渔艇km 处的海岸站,如果送信人步行每小时5km ，船速每小时4km,问应在何处登岸再步行可使抵达渔站的时间最短？解：如图所示，设BC 为海岸线，A 为渔艇停泊处，C 为要抵达的渔站，D 为海岸线上一点且在D 处登陆，CD x =．只需将时间T 表示为x 的形式，即可确定登岸的位置． 22933415AB AC BC AC AB ===-=，，∵, 由A 到C 所需时间T 为:211(15)81(015)54T x x x =+-+≤≤，2154(15)81x T x -'=--+15， 03T x '=⇒=，在3x =附近，T '由负到正，因此在3x =处取得极小值，所以在距渔站3km 处登岸可使抵达渔站的时间最短．注：在解决与实际问题有关的最值问题时，应先将实际问题转化为求函数的最值问题，并且要特别注意自变量的取值范围． 通过以上两例我们可总结得出,解最优化问题，建立数学模型是关键，求导法则是基础，只要掌握了以上两点，这类问题也就迎刃而解了．附:例2中对211(15)8154T x x =+-+的求导为复合函数(())y f g x =求导．其求导法则为x u x y y u '''=·，其中()u g x =，你能运用这个法则,求函数T 的导数吗？。
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从考研数学试题谈导数的应用1 引言数学在我们的学习和工作中起奠基作用，从2003年起考研数学分数由原来的100分调整至150分，这说明数学在考研中起着举足轻重的作用。
考研数学由于其自身学科的特点，一直属于拉分的科目，因此经常在一些考研论坛上听到这样的说法：得数学者得天下。
这种说法可能不完全正确，但却说明了数学在考研中的重要性，可以说数学是拉开考研分数的一个分水岭。
因此，我们应该引起高度的重视，而导数在考研数学中占据了相当的份量，有着广泛的应用。
导数是我们解决某些问题的工具，我们在高中的时候对它就有了一定的认识，在大学里我们进一步学习导数，在研究生入学考试中我们仍然考查导数，可见导数之重要,应用之广泛。
为了能更好地解决考研数学中有关导数的问题，我们就要熟练地掌握导数的定义、性质、基本公式、运算法则等并对一些能用导数解决的问题进行归纳与总结，并给出相应的求解方法。
国内外也有许多人对导数的应用进行了相应的探究，但对于导数在考研数学试题中的应用并未给出全面，系统地概括与阐述。
因此，我结合所学知识和查阅相关资料，从利用导数定义解题、利用导数求未定式极限、利用导数研究函数这三方面着手对导数的应用进行讨论。
本文中例题的选取以内容为准，以题型归类，边分析例题，边讲解思路，边解题，边思考，解题完毕后，概括题型特征，归纳、总结出几类题型的解题方法。
对导数的应用全面、深刻地理解，为解决数学问题提供了新的思路，新的方法和途径，有助于我们快速、准确地解决相关问题，深入理解，巩固提高，灵活运用所学知识。
下面我就从考研数学真题来谈谈导数的应用。
2 利用导数定义解题2.1 相关概念的阐述导数：设«Skip Record If...»在«Skip Record If...»及其附近有定义，«Skip Record If...»«Skip Record If...»。
若«Skip Record If...»存在，则称«Skip Record If...»在«Skip Record If...»可导且极限值称为«Skip Record If...»在«Skip Record If...»点的导数，记为«Skip Record If...»或«Skip Record If...»。
另外，还应注意一等价定义，即：«Skip Record If...»=«Skip Record If...»。
导数是函数增量«Skip Record If...»与自变量增量«Skip Record If...»之比的极限。
导函数：若函数«Skip Record If...»在«Skip Record If...»内点点可导，则称«Skip Record If...»在«Skip Record If...»内为可导函数。
对于«Skip Record If...»内可导的函数来说，对«Skip Record If...»«Skip Record If...»，都有«Skip Record If...»的一个导数值«Skip Record If...»与之对应，这样就得到了一个定义在«Skip Record If...»内的函数，称为«Skip Record If...»在«Skip Record If...»内的导函数。
记作：«Skip Record If...»或«Skip Record If...»，即«Skip Record If...»。
单侧导数：包括左导数与右导数，而左导数：«Skip Record If...»右导数：«Skip Record If...»单侧导数常用来判断函数在«Skip Record If...»点处的可导性，即：若«Skip Record If...»存在«Skip Record If...»«Skip Record If...»，«Skip Record If...»存在且相等。
偏导数：函数«Skip Record If...»在点«Skip Record If...»处有定义，则«Skip Record If...»对«Skip Record If...»在点«Skip Record If...»处的偏导数可定义为：«Skip Record If...»«Skip Record If...»«Skip Record If...»，同理可定义«Skip Record If...»对«Skip Record If...»在点«Skip Record If...»处的偏导数为：«Skip Record If...»«Skip Record If...»«Skip Record If...»2.2利用导数定义解题在遇到以下情形时我们用导数的定义进行求解：①判断函数在某点的可导性；②已知«Skip Record If...»存在求极限或已知极限求«Skip Record If...»；③判断分段函数在分段点的可导性与含绝对值符号的函数的可导性；例1（06年考研真题）设«Skip Record If...»在«Skip Record If...»处连续，且«Skip Record If...»，则（C）（A）«Skip Record If...»且«Skip Record If...»存在（B）«Skip Record If...»且«Skip Record If...»存在（C）«Skip Record If...»且«Skip Record If...»存在（D）«Skip Record If...»且«Skip Record If...»存在分析：从选项知，要求的是函数在某点的函数值及判断单侧函数的存在性，前者从«Skip Record If...»入手计算，运用极限的重要结论即，后者用单侧导数的定义进行求解即可。
解：由«Skip Record If...»存在且分母极限为0，得分子极限也应为0，即：«Skip Record If...»«Skip Record If...»排除（B）（D）。
而«Skip Record If...»«Skip Record If...»存在。
故选（C）例2 （08年考研真题）已知«Skip Record If...»，则（B）（A）«Skip Record If...»，«Skip Record If...»都存在（B）«Skip Record If...»不存在，«Skip Record If...»存在（C）«Skip Record If...»存在，«Skip Record If...»不存在（D）«Skip Record If...»，«Skip Record If...»都不存在分析：从选项知，要判断函数在某定点偏导数的存在性，用偏导数的定义进行判断即可。
解：«Skip Record If...»，此时«Skip Record If...»不存在，而«Skip Record If...»故选（B）归纳总结：在考研数学中，导数（偏导数）的定义非常重要，我们要熟练地掌握其定义式。
在解题的过程中，我们应该形成一种思维定势：若在题设条件中给出一个函数«Skip Record If...»在某点处的导数值，即«Skip Record If...»，不管“三七二十一”，根据所求把函数«Skip Record If...»在该点的导数定义式“凑”出来再说。
除此之外，我们要把导数与所学过的知识结合起来解题，并能灵活运用。
在做有关导数定义应用的选择题时，要学会通过举反例排除的方法，一般我们可举分段函数或含绝对值符号的函数进行排除。
3 利用导数求未定式极限未定式[1]极限是每年考研必考的内容，而未定式的求解有很多方法，洛必达法则[2]是求未定式极限的重要方法之一。
洛必达法则是以导数为工具研究未定式极限的方法，而未定式极限有«Skip Record If...»，«Skip Record If...»，«Skip Record If...»，«Skip Record If...»，«Skip Record If...»，«Skip Record If...»，«Skip Record If...»这七中类型。
而使用洛必达法则的前提是«Skip Record If...»或«Skip Record If...»型未定式，对于不是这两种类型的未定式，我们必须先化简，再利用洛必达法则进行求解。
3.1 «Skip Record If...»和«Skip Record If...»型未定式若«Skip Record If...»是«Skip Record If...»或«Skip Record If...»型未定式，则直接利用洛必达法则即：若«Skip Record If...»（有限数）或«Skip Record If...»，则«Skip Record If...»=«Skip Record If...»或«Skip Record If...»。