最新从考研数学试题谈导数的应用

从考研数学试题谈导

数的应用

1 引言

数学在我们的学习和工作中起奠基作用，从2003年起考研数学分数由原来的100分调整至150分，这说明数学在考研中起着举足轻重的作用。考研数学由于其自身学科的特点，一直属于拉分的科目，因此经常在一些考研论坛上听到这样的说法：得数学者得天下。这种说法可能不完全正确，但却说明了数学在考研中的重要性，可以说数学是拉开考研分数的一个分水岭。因此，我们应该引起高度的重视，而导数在考研数学中占据了相当的份量，有着广泛的应用。导数是我们解决某些问题的工具，我们在高中的时候对它就有了一定的认识，在大学里我们进一步学习导数，在研究生入学考试中我们仍然考查导数，可见导数之重要,应用之广泛。为了能更好地解决考研数学中有关导数的问题，我们就要熟练地掌握导数的定义、性质、基本公式、运算法则等并对一些能用导数解决的问题进行归纳与总结，并给出相应的求解方法。

国内外也有许多人对导数的应用进行了相应的探究，但对于导数在考研数学试题中的应用并未给出全面，系统地概括与阐述。因此，我结合所学知识和查阅相关资料，从利用导数定义解题、利用导数求未定式极限、利用导数研究函数这三方面着手对导数的应用进行讨论。

本文中例题的选取以内容为准，以题型归类，边分析例题，边讲解思路，边解题，边思考，解题完毕后，概括题型特征，归纳、总结出几类题型的解题方法。对导数的应用全面、深刻地理解，为解决数学问题提供了新的思路，新的方法和途径，有助于我们快速、准确地解决相关问题，深入理解，巩固提高，灵活运用所学知识。下面我就从考研数学真题来谈谈导数的应用。

2 利用导数定义解题

2.1 相关概念的阐述

导数：设«Skip Record If...»在«Skip Record If...»及其附近有定义，«Skip Record If...»«Skip Record If...»。若«Skip Record If...»存在，则称«Skip Record If...»在«Skip Record If...»可导且极限值称为«Skip Record If...»在«Skip Record If...»点的导数，记为«Skip Record If...»或«Skip Record If...»。

另外，还应注意一等价定义，即：«Skip Record If...»=«Skip Record If...»。导数是函数增量«Skip Record If...»与自变量增量«Skip Record If...»之比的极限。

导函数：若函数«Skip Record If...»在«Skip Record If...»内点点可导，则称«Skip Record If...»在«Skip Record If...»内为可导函数。对于

«Skip Record If...»内可导的函数来说，对«Skip Record If...»«Skip Record If...»，都有«Skip Record If...»的一个导数值«Skip Record If...»与之对应，这样就得到了一个定义在«Skip Record If...»内的函数，称为

«Skip Record If...»在«Skip Record If...»内的导函数。记作：«Skip Record If...»或«Skip Record If...»，即«Skip Record If...»。

单侧导数：包括左导数与右导数，而

左导数：«Skip Record If...»

右导数：«Skip Record If...»

单侧导数常用来判断函数在«Skip Record If...»点处的可导性，即：

若«Skip Record If...»存在«Skip Record If...»«Skip Record If...»，«Skip Record If...»存在且相等。

偏导数：函数«Skip Record If...»在点«Skip Record If...»处有定义，则«Skip Record If...»对«Skip Record If...»在点«Skip Record If...»处的偏导数可定义为：«Skip Record If...»«Skip Record If...»

«Skip Record If...»，

同理可定义«Skip Record If...»对«Skip Record If...»在点«Skip Record If...»处的偏导数为：«Skip Record If...»

«Skip Record If...»«Skip Record If...»

2.2利用导数定义解题

在遇到以下情形时我们用导数的定义进行求解：

①判断函数在某点的可导性；

②已知«Skip Record If...»存在求极限或已知极限求«Skip Record If...»；

③判断分段函数在分段点的可导性与含绝对值符号的函数的可导性；

例1（06年考研真题）设«Skip Record If...»在«Skip Record If...»处连续，且«Skip Record If...»，则（C）

（A）«Skip Record If...»且«Skip Record If...»存在（B）«Skip Record If...»且«Skip Record If...»存在

（C）«Skip Record If...»且«Skip Record If...»存在（D）«Skip Record If...»且«Skip Record If...»存在

分析：从选项知，要求的是函数在某点的函数值及判断单侧函数的存在性，前者从«Skip Record If...»入手计算，运用极限的重要结论即，后者用单侧导数的定义进行求解即可。

解：由«Skip Record If...»存在且分母极限为0，得分子极限也应为0，即：«Skip Record If...»«Skip Record If...»排除（B）（D）。而

«Skip Record If...»

«Skip Record If...»存在。故选（C）

例2 （08年考研真题）已知«Skip Record If...»，则（B）

（A）«Skip Record If...»，«Skip Record If...»都存在（B）

«Skip Record If...»不存在，«Skip Record If...»存在

（C）«Skip Record If...»存在，«Skip Record If...»不存在（D）«Skip Record If...»，«Skip Record If...»都不存在

分析：从选项知，要判断函数在某定点偏导数的存在性，用偏导数的定义进行判断即可。

解：«Skip Record If...»，此时«Skip Record If...»不存在，而«Skip Record If...»故选（B）

归纳总结：在考研数学中，导数（偏导数）的定义非常重要，我们要熟练地掌握其定义式。在解题的过程中，我们应该形成一种思维定势：若在题设条件中给出一个函数«Skip Record If...»在某点处的导数值，即«Skip Record If...»，不管“三七二十一”，根据所求把函数«Skip Record If...»在该点的导数定义式“凑”出来再说。除此之外，我们要把导数与所学过的知识结合起来解题，并能灵活