专题训练(五) 角平分线的六种运用

距离相等，OA，OB为海岸线．一轮船P离开码头O，计划沿
∠AOB的平分线航行．
(1)用尺规作出轮船的预定航线OC；
(2)在航行途中，轮船P始终保持与灯
塔A，B的距离相等，则轮船航行时 是否偏离了预定航线？请说明理由．
图5－ZT－12
解：(1)如图．
(2) 轮船航行时没有偏离预定航线． 理由：在△AOP 和△BOP 中，POAA＝＝POBB，，
∴△ABD≌△CBD(SSS)．
∴∠ABD＝∠CBD.
∴BD 平分∠ABC.
又∵OE⊥AB，OF⊥CB，∴OE＝OF.
运用五 角平分线的性质和判定的综合
8．如图5－ZT－8所示，△ABC的外角∠CBD，∠BCE的平分线相 交于点F，则下列结论一定成立的是( C) A．AF平分BC B．AF⊥BC C．AF平分∠BAC D．FA平分∠BFC
图5－ZT－8
9．如图5－ZT－9所示，已知∠B＝∠C＝90°，M是BC的中点， DM平分∠ADC. 求证：(1)AM平分∠DAB； (2)AD＝AB＋CD.
图5－ZT－9
[解析] 作ME⊥AD，证明Rt△DEM≌Rt△DCM，Rt△AEM≌Rt△ABM.
证明：(1)如图，过点 M 作 ME⊥AD 于点 E. ∵DM 平分∠ADC，∠C＝90°，∴MC＝ME. ∵M 是 BC 的中点， ∴MC＝MB＝ME. 又∵ME⊥AD，MB⊥AB， ∴AM 平分∠DAB.
图5－ZT－2
[解析] 由垂线段最短可知，当 DP⊥BC 时，DP 的长最小． ∵∠A＝∠BDC＝90°，∠ADB＝∠C， ∴∠DBA＝∠DBC.∴BD 平分∠ABC. ∵DA⊥AB，DP⊥BC，∴DP＝DA＝4.
运用二 确定三角形的面积
3．如图 5－ZT－3，在△ABC 中，∠A＝90°，BD 是△ABC 的 角平分线．若 AB＝8，BC＝10，S△ABD＝332，求△BDC 的面积．
证明：(2)在 Rt△DEM 和 Rt△DCM 中，MDME＝＝MDMC，， ∴Rt△DEM≌Rt△DCM.∴DE＝DC. 在 Rt△AEM 和 Rt△ABM 中，MAME＝＝MAMB，， ∴Rt△AEM≌Rt△ABM. ∴AE＝AB，∴AD＝AE＋DE＝AB＋CD.
[点评] 作出点M到角两边的垂线段，利用垂线段相等是解决这个问题 的关键，因此当遇到角平分线的问题时，如果不能打开思路，不妨过 角平分线上的点作出到角两边的垂线段．
4．如图5－ZT－4，D，E，F分别是△ABC三边上的点，AD平分 ∠BAC，CE＝BF.若S△DCE＝4，求S△DBF.
图5－ZT－4
[解析] 猜想△DCE和△DBF的面积相等，由已知CE＝BF，故只需 说明两个三角形中以CE，BF为底边上的高相等．
解：如图，过点 D 作 DH⊥AB 于点 H，DG⊥AC 于点 G. 因为点 D 在∠BAC 的平分线上，所以 DG＝DH. 又因为 CE＝BF， 所以12ห้องสมุดไป่ตู้E·DG＝12BF·DH. 所以 S△DBF＝S△DCE＝4.
运用三 确定三角形的周长
6．如图5－ZT－6，在△ABC中，∠B＝90°，AB＝BC，AD平分 ∠BAC，DE⊥AC，AC＝20，求△CED的周长．
[解析] 猜想△DCE和△DBF的面积相等， 由已知CE＝BF，故只需说明两个三角形中以 CE，BF为底边上的高相等．
图5－ZT－6
解：：因为 AD 平分∠BAC，DE⊥AC，DB⊥AB，所以 DE＝DB. 在 Rt△ADE 和 Rt△ADB 中，DAED＝＝DABD，，所以 Rt△ADE≌Rt△ADB. 所以 AE＝AB. 所以△CED 的周长为 CE＋DE＋CD＝CE＋DB＋CD＝CE＋(DB＋CD) ＝CE＋BC＝CE＋AB＝CE＋AE＝AC＝20.
图5－ZT－3
[解析] 由已知BC＝10，欲求△BDC的面积，需求出BC边上的高， 从而考虑过点D作DE⊥BC，由角平分线的性质可知DE＝AD，从而 问题转化为求AD的长．
解：如图，过点 D 作 DE⊥BC，垂足为 E. 因为 AB＝8，S△ABD＝332，所以12AB·AD＝332.所以 AD＝83. 因为 BD 是△ABC 的角平分线，DA⊥AB，DE⊥BC， 所以 DE＝AD＝83. 所以 S△BDC＝12BC·DE＝12×10×83＝430.
第十二章 全等三角形
专题训练(五) 角平分线的六种运用
第十二章 全等三角形
专题训练(五) 角平分线的六 运用
运用一 确定点的坐标和线段的长
1．如图5－ZT－1所示，在平面直角坐标系中，AD是Rt△OAB 的角平分线，点D到AB的距离DE＝3，则点D的坐标是 __(3_，_0_)___．
图5－ZT－1
运用四 证明两条线段相等
7．我们把两组邻边相等的四边形叫做“筝形”．如图5－ZT－7， 四边形ABCD是一个筝形，其中AB＝CB，AD＝CD. 对角线AC，BD相交于点O，OE⊥AB， OF⊥CB，垂足分别是E，F. 求证：OE＝OF.
图5－ZT－7
证明：在△ABD 和△CBD 中，AABD＝＝CCBD，， BD＝BD，
[解析] ∵欲求点D的坐标，先求线段OD的长．因为AD是Rt△OAB 的角平分线，DE⊥AB，OD⊥OA，所以DE＝OD＝3.所以点D的坐 标是(3，0)．
2．如图5－ZT－2，在四边形ABCD中，∠A＝90°，AD＝4，连 接BD，BD⊥CD，∠ADB＝∠C.若P是BC边上一动点，则DP长 的最小值为______4__．
运用六 角平分线在实际生活中的应用
11．某市有一块由三条公路围成的三角形绿地(如图5－ZT－11)， 现准备在其中建一小亭子供人们休息，而且要使小亭子中心到三 条公路的距离相等，试确定小亭子的中心位置．
解：在三角形内部分别作出两条角平分线， 其交点就是小亭子的中心位置，图略．
图5－ZT－11
12．如图5－ZT－12所示，O为码头，A，B两个灯塔与码头O的
10．已知：如图5－ZT－10，在四边形ABCD中，AB＝AD，CB ＝CD，BO平分∠ABC交AC于点O.求证：DO平分∠ADC.
图5－ZT－10
证明：如图，过点 O 作 AB，BC，CD，DA 的垂线，垂足分别为 E，F，G，H. 在△ACB 和△ACD 中，ACBB＝＝ACDD，，
AC＝AC， ∴△ACB≌△ACD(SSS)．∴∠BAC＝∠DAC，∠BCA＝∠DCA， 即 AC 平分∠BAD，CA 平分∠BCD. 由角平分线的性质可知 OE＝OH，OF＝OG. ∵BO 平分∠ABC，∴OE＝OF.∴OG＝OH. 又∵OH⊥AD，OG⊥CD， ∴DO 平分∠ADC.
OP＝OP， ∴△AOP≌△BOP(SSS)．∴∠AOP＝∠BOP， 即点 P 在∠AOB 的平分线上．故轮船航行时没有偏离预定航线．
谢 谢 观 看！
5．如图5－ZT－5，现有一块三角形的空地，其三条边长分别是 20 m，30 m，40 m．现要把它分成面积比为2∶3∶4的三部分， 分别种植不同种类的花，请你设计一种方案，并简单说明理由．( 要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法)
图5－ZT－5
解：分别作∠ACB 和∠ABC 的平分线，相交于点 P. 连接 PA，则△PAB，△PAC，△PBC 的面积之比为 2∶3∶4(如图所示)． 理由如下： 如图，∵P 是∠ABC 和∠ACB 的平分线的交点， 过点 P 分别作 PE⊥AB 于点 E，PF⊥AC 于点 F，PH⊥BC 于点 H， 则 PE＝PF＝PH，∴S△PAB＝12AB·PE＝10PE， S△PAC＝12PF·AC＝15PF，S△PBC＝12PH·BC＝20PH， ∴S△PAB∶S△PAC∶S△PBC＝10∶15∶20＝2∶3∶4.