专题训练(五) 角平分线的六种运用
解三角形之三角形的角平分线和中线问题(典型例题+跟踪训练)【解答题抢分专题】备战2023年高考数学
【解答题抢分专题】备战2023年高考数学解答题典型例题+跟踪训练（新高考通用）专题05解三角形之三角形中线和角平分线问题目录一览一、梳理必备知识二、基础知识过关三、典型例题讲解四、解题技巧实战五、跟踪训练达标1.正弦定理R CcB b A a 2sin sin sin ===.（其中R 为ABC ∆外接圆的半径）2sin ,2sin ,sin ;a R A b R B c R C ⇔===（边化角）sin ,sin ,sin ;222a b c A B C R R R⇔===（角化边）2.余弦定理：222222222cos 2cos 2cos .2b c a A bc a c b B ac a b c C ab ⎧+-=⎪⎪+-⎪=⎨⎪⎪+-=⎪⎩⇒2222222222cos ,2cos ,2cos .a b c bc A b a c ac B c a b ab C ⎧=+-⎪=+-⎨⎪=+-⎩3.三角形面积公式：B ac A bcC ab S ABC sin 21sin 21sin 21===∆=12++为三角形ABC 的内切圆半径4.三角形内角和定理：一、梳理必备知识在△ABC 中，有()A B C C A B ππ++=⇔=-+222C A B π+⇔=-222()C A B π⇔=-+. 5.三角形中线问题如图在ABC ∆中，D 为CB 的中点，2AD AC AB =+，然后再两边平方，转化成数量关系求解！（常用）6.角平分线如图，在ABC ∆中，AD 平分BAC ∠，角A ,B ,C 所对的边分别为a ，b ，c ①等面积法ABC ABD ADC S S S ∆∆∆=+⇒111sin sin sin 22222A AAB AC A AB AD AC AD ⨯⨯=⨯⨯+⨯⨯（常用）②内角平分线定理：AB AC BD DC =或AB BDAC DC =③边与面积的比值：ABDADCS AB AC S =【常用结论】①在ABC ∆中，sin sin ;a b A B A B >⇔>⇔>②sin 2sin 2,.2A B A B A B π==+=则或③在三角函数．．．．中，sin sin A B A B >⇔>不成立。
2022年中考数学几何模型之角平分线的五种模型(讲+练)(解析版)
专题01 角平分线的五种模型模型一、角平分线垂两边例1.如图，AD是△ABC的角平分线，且AB：AC＝3：2，则△ABD与△ACD的面积之比为（）A．3：2B．6：4C．2：3D．不能确定【答案】A【详解】过点D作DE⊥AB于E，DF⊥AC于F．∵AD为∠BAC的平分线，∴DE=DF，又AB：AC=3：2，∴S△ABD：S△ACD=（12AB•DE）：（12AC•DF）=AB：AC=3：2．故选A．例2.如图，∠AOP＝∠BOP＝15°，PC//OA，PD⊥OA，若PC＝4，则PD的长为___．【答案】2【详解】解：过P作PE⊥OB，交OB与点E，∵∠AOP＝∠BOP，PD⊥OA，PE⊥OB，∴PD＝PE，∵PC//OA，∴∠CPO＝∠POD，又∠AOP＝∠BOP＝15°，∴∠CPO＝∠BOP＝15°，又∠ECP为△OCP的外角，∴∠ECP＝∠COP＋∠CPO ＝30°，在直角三角形CEP 中，∠ECP ＝30°，PC ＝4，∴PE ＝12PC ＝2，则PD ＝PE ＝2．故答案为：2． 【变式训练1】如图所示，在四边形ABCD 中，DC //AB ，∠DAB =90°，AC ⊥BC ，AC =BC ，∠ABC 的平分线交A D ，AC 于点E 、F ，则BFEF的值是___________.11221BCBC BC ==--【详解】解：如图，作FG ⊥AB 于点G ，∠DAB -90°，∴FG /AD ，∴BF EF =BGAGAC ⊥BC ，∴∠ACB =90° 又BF 平分∠ABC ，∴FG =FC 在Rt △BGF 和Rt △BCF 中BF BFCF GF=⎧⎨=⎩ ∴△BGF ≌△BCF （HL ），∴BC =BGAC =BC ，∴∠CBA =45°，∴AB =2BC1BF BG BC EF AG AB BG ∴====- 【变式训练2】如图，BD 平分ABC 的外角∠ABP ，DA =DC ，DE ⊥BP 于点E ，若AB =5，BC =3，求BE 的长．【答案】1【详解】解：过点D 作BA 的垂线交AB 于点H ，∵BD平分△ABC的外角∠ABP，DH⊥AB，∴DE＝DH，在Rt△DEB和Rt△DHB中，DE DHDB DB=⎧⎨=⎩，∴Rt△DEB≌Rt△DHB（HL），∴BE＝BH，在Rt△DEC和Rt△DHA中，DE DHDC DA=⎧⎨=⎩，∴Rt△DEC≌Rt△DHA（HL），∴AH＝CE，由图易知：AH＝AB−BH，CE＝BE＋BC，∴AB−BH＝BE＋BC，∴BE＋BH＝AB−BC＝5−3＝2，而BE＝BH，∴2BE＝2，故BE＝1．【变式训练3，的平分线相交于点E，过点E作交AC于点F，则EF的长为.【答案】【解析】延长FE交AB于点D G H，如图所示：四边形BDEG是矩形，平分CE平分，四边形BDEG是正，，设，则，，，解得，，即，解得，.模型二、角平分线垂中间例．如图，已知，90,,BAC AB AC BD ∠=︒=是ABC ∠的平分线，且CE BD ⊥交BD 的延长线于点E ．求证：2BD CE =． 【答案】见解析【详解】证明：如图，延长CE 与BA 的延长线相交于点F ，∵90,90EBF F ACF F ∠+∠=︒∠+∠=︒，∴EBF ACF ∠=∠，在ABD △和ACF 中，EBF ACF AB AC BAC CAF ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩，∴()ABD ACF ASA △≌△，∴BD CF =，∵BD 是ABC ∠的平分线，∴EBC EBF ∠=∠．在BCE ∆和BFE ∆中，EBC EBF BE BE CEB FEB ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩，∴()BCE BFE ASA ≌△△， ∴CE EF =，∴2CF CE =， ∴2BD CF CE ==．【变式训练1】如图，已知△ABC ，∠BAC ＝45°，在△ABC 的高BD 上取点E ，使AE ＝BC ． （1）求证：CD ＝DE ；（2）试判断AE 与BC 的位置关系？请说明理由；【答案】（1）见解析；（2）AE BC ⊥，理由见解析；（3）【详解】（1）证明：∵BD AC ⊥，45BAC ∠=︒，∴90,45EDA BDC ABD BAD ∠=∠=︒∠=∠=︒，∴AD BD =，在Rt ADE △和Rt BDC 中，∵AD BDAE BC =⎧⎨=⎩ ∴()Rt ADE Rt BDC HL ≅，∴CD ＝DE ； （2）AE BC ⊥，理由如下：如图，延长AE ，交BC 于点F ， 由（1）得,90EAD EBF EAD AED ∠=∠∠+∠=︒，∵AED AEF ∠=∠，∴90BEF EBF ∠+∠=︒，∴90EFB =︒，即AE BC ⊥；【变式训练2】如图，D 是△ABC 的BC 边的中点，AE 平分∠BAC ，AE ⊥CE 于点E ，且AB =10，AC =16，则DE 的长度为________【答案】3【解答】解：如图，延长CE ，AB 交于点F .AE 平分∠BAC ，AE ⊥EC ，∴∠F AE =∠CAE ，∠AEF =∠AEC =90°在△AFE 和△ACE 中，EAF EAC AE AE AEF AEC =⎧⎪=⎨⎪=⎩∠∠∠∠，∴△AFE ≌ACE （ASA ），∴AF =AC =16，EF =EC ，∴B F =6又D 是BC 的中点，∴BD =CD ，∴DE 是△CBF 的中位线，∴DE =12BF =3，故答案为：3. 【变式训练3】如图，在ABC ∆中，CD 是ACB ∠的平分线，AD CD ⊥于点D ,DE //BC 交AB 于点E ，求证:EA EB =.【答案】见解析【解答】证明：延长AD 交BC 于点F .CD 平分ACF ∠, ACD FCD ∴∠=∠.又,,AD CD CD CD ⊥=ADC ∴∆≌FDC ∆,AD FD ∴=. 又DE ∥BC ,EA EB ∴=.模型三、角平分线+平行线构造等腰三角形例.如图所示，在△ABC 中，BC =6，E 、F 分别是AB 、AC 的中点，动点P 在射线EF 上，BP 交CE 于D，∠CBP 的平分线交CE 于Q ，当CQ =13CE 时，EP +BP =________.【答案】12【解答】解：如图，延长BQ 交射线EF 于点M .E 、F 分别是AB 、AC 的中点，∴EF //BC ，∴∠CBM =∠EMBBM 平分∠ABC ，∴∠ABM =∠CBM ，∴∠EMB =∠EBM ，∴EB =EM ，∴EP +BP =EP +PM =EM CQ =13CE ，∴EQ =2CQ由EF //BC 得，△EMQ ∽△CBQ∴2 212 12EM EQEM BC EP BP BC CQ==∴==∴+=【变式训练1】如图，平分于点C ，，求OC 的长？【解析】如图所示：过点D 作交OA 于点E ，则，平分，，中，，.【变式训练2C=90°，AD平分∠CAB，BE平分∠ABC，AD、BE相交于点F，且，则AC=．【解析】过点E于G，连接CF，如图所示：分别是，CF是的平分线，，，由勾股定理可得.模型四、利用角平分线作对称例.平分.【答案】见解析【解析】证明：在AB上截取，连接DE，如图所示：.【变式训练】AD是△ABC的角平分线，过点D作DE⊥AB于点E，且DE＝3，S△ABC＝20．（1）如图1，若AB＝AC，求AC的长；（2）如图2，若AB＝5，请直接写出AC的长．【答案】（1）203；（2）253【详解】解：（1）如图1，作DF⊥AC于F，∵AD 是△ABC 的角平分线，DE ⊥AB ，DF ⊥AC ，∴DF ＝DE ＝3， 由题意得，12×AB ×3＋12×AC ×3＝20，解得，AC ＝AB ＝203； （2）如图2，作DF ⊥AC 于F ，∵AD 是△ABC 的角平分线，DE ⊥AB ，DF ⊥AC ，∴DF ＝DE ＝3， 由题意得，12×5×3＋12×AC ×3＝20，解得，AC ＝253． 模型五、内外模型例.如图，在△ABC 中，AB=AC ，∠A=30°，E 为BC 延长线上一点，∠ABC 与∠AC E 的平分线相交于点D ，则∠D 的度数为（ ）A ．15°B ．17.5°C ．20°D ．22.5°【答案】A4321DA【解析】∵∠ABC与∠AC E的平分线相交于点D，∴∠DCE=∠DCA，∠CBD=∠ABD，即.的外角的平分线CP与内角BP交于点P，若，则.【解析】平分平分又，过点P的延长线，垂足分别为点E、F、G，如图所示：由角平分线的性质可得，AP是.课后训练1．如图，BD是ABC的外角∠ABP的角平分线，DA＝DC，DE⊥BP于点E，若AB＝5，BC＝3，则BE 的长为（）A ．2B ．1.5C ．1D ．0【答案】C【详解】解：如图，过点D 作DF AB ⊥于F ，BD 是ABP ∠的角平分线，DF AB ⊥，DE ⊥BP ，DE DF ∴=，在Rt BDE 和Rt BDF 中，BD BDDE DF =⎧⎨=⎩，()Rt BDE Rt BDF HL ∴△≌△，BE BF ∴=，在Rt ADF 和Rt CDE △中，DA DCDE DF=⎧⎨=⎩，()Rt ADF Rt CDE HL ∴△≌△，AF CE ∴=，AF AB BF =-，CE BC BE =+，AB BF BC BE ∴-=+，2BE AB BC ∴=-，5AB =，3BC =，2532BE ∴=-=，解得：1BE =．故选：C ．2．如图，AD 是ABC 中BAC ∠的平分线，DE AB ⊥交AB 于点E ，DF AC ⊥交AC 于点F ，若7ABC S =△，32=DE ，5AB =，则AC 的长为（ ）A ．133B ．4C ．5D ．6【答案】A【详解】∵AD 是ABC ∆中BAC ∠的平分线，DE AB ⊥于点E ，DF AC ⊥交AC 于点F ，∴32DF DE ==． 又∵ABCABD ACDSSS=+，5AB =，∴1313752222AC =⨯⨯+⨯⨯，∴133AC =．故选：A ． 3．如图，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，∠BAC 的平分线交BC 于点D ，CD ＝2，BD ＝3，Q 为AB 上一动点，则DQ 的最小值为（ ）A．1B．2C．2.5D【答案】B【详解】解：作DH⊥AB于H，如图，∵AD平分∠BAC，DH⊥AB，DC⊥AC，∴DH=DC=2，∵Q为AB上一动点，∴DQ的最小值为DH的长，即DQ的最小值为2．故选：B．4．如图，已知在四边形ABCD中，∠BCD＝90°，BD平分∠ABC，AB＝6，BC＝9，CD＝4，则四边形ABCD 的面积是______．【答案】30【详解】过D作DE⊥AB，交BA的延长线于E，则∠E＝∠C＝90°，∵∠BCD＝90°，BD平分∠ABC，∴DE＝DC=4，∴四边形ABCD的面积S＝S△BCD＋S△BAD＝12×BC×CD＋12×AB×DE＝12×9×4＋12×6×4＝30，故答案为：30．5．如图，在△ABC中，AD为△ABC的角平分线，DE⊥AB，垂足为E，DF⊥AC，垂足为F，若AB=5，AC=3，DF=2，则△ABC的面积为______．【答案】8【详解】解：∵AD为△ABC的角平分线，DE⊥AB，DF⊥AC，∴DE=DF=2，∴△ABC的面积=12×5×2+12×3×2=8，故答案侍：8．6．在△ABC中，∠ABC＝62°，∠ACB＝50°，∠ACD是△ABC的外角∠ACD和∠ABC的平分线交于点E，则∠AEB＝_____︒【答案】25【详解】解：如图示：过点E ，分别作EF BD ⊥交BD 于点E ，EG AC ⊥交AC 于点G ，EH AB ⊥，交AB 延长线于点H ， ∵BE 平分ABC ∠，CE 平分ACD ∠，∴EH EF =，EG EF =，∴EH EG =，∴AE 平分HAC ∠， ∵62ABC ∠=︒，50∠=°ACB ，∴6250112HAC ABC ACB ∠=∠+∠=︒+︒=︒，∴111125622EAO HAC ∠=∠=⨯︒=︒， ∵BE 平分ABC ∠，62ABC ∠=︒∴11623122EBC ABC ∠=∠=⨯︒=︒ 在AOE △和BOC 中，OBC OCB OAE AEB ∠+∠=∠+∠∴31505625AEB OBC OCB OAE ∠=∠+∠-∠=︒+︒-︒=︒，故答案是：25． 7．如图，DE ⊥AB 于E ，DF ⊥AC 于F ，若BD =CD ，BE =CF ．（1）求证：AD 平分∠BAC ：（2）已知AC =18，BE =4，求AB 的长． 【答案】（1）见解析；（2）10AB =．【详解】（1）证明：DE AB ∵⊥，DF AC ⊥，90E DFC ∴∠=∠=︒，在Rt BED 和Rt CFD △中，BD CD BE CF =⎧⎨=⎩，∴Rt BED Rt CFD ≅()HL ，DE DF ∴=，DE AB ∵⊥，DF AC ⊥，AD ∴平分BAC ∠；（2）解：DE DF =，AD AD =，Rt ADE Rt ADF ∴≅()HL ，AE AF ∴=，AB AE BE AF BE AC CF BE =-=-=--，184410AB ∴=--=．8．如图1，在平面直角坐标系中，△ABC 的顶点A （-4，0），B （0，4），AD ⊥BC 交BC 于D 点，交y 轴正半轴于点E （0，t ）（1）当t=1时，点C 的坐标为 ； （2）如图2，求∠ADO 的度数；（3）如图3，已知点P （0，3），若PQ ⊥PC ，PQ=PC ，求Q 的坐标（用含t 的式子表示）． 【答案】（1）点C 坐标（1，0）；（2）∠ADO =45°；（3）Q （-3，3-t ）． 【详解】（1）如图1，当t =1时，点E （0，1）， ∵AD ⊥BC ， ∴∠EAO +∠BCO =90°， ∵∠CBO +∠BCO =90°，∴∠EAO =∠CBO ，在△AOE 和△BOC 中，∵90EAO CBOAO BO AOE BOC ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠︒⎩＝，∴△AOE ≌△BOC （ASA ），∴OE =OC =1，∴点C 坐标（1，0）． 故答案为：（1，0）；（2）如图2，过点O 作OM ⊥AD 于点M ，作ON ⊥BC 于点N ，∵△AOE ≌△BOC ，∴S △AOE =S △BOC ，且AE =BC ， ∵OM ⊥AE ，ON ⊥BC ，∴OM =ON ，∴OD 平分∠ADC ；AD ⊥BC ，90ADC ∴∠=︒∴∠ADO =1452ADC ∠=︒；（3）如图3，过P 作GH ∥x 轴，过C 作CG ⊥GH 于G ，过Q 作QH ⊥GH 于H ，交x 轴于F ，∵P （0，3），C （t ，0），∴CG =FH =3，PG =OC =t ， ∵∠QPC =90°，∴∠CPG +∠QPH =90°， ∵∠QPH +∠HQP =90°，∴∠CPG =∠HQP ，∵∠QHP=∠G=90°，PQ=PC，∴△PCG≌△QPH，∴CG=PH=3，PG=QH=t，∴Q（-3，3-t）．。
微专题(六) 与角平分线有关的四种基本模型 课件(共19张PPT) 2024年中考数学总复习专题突破
5
.所以
6
= 4 =
10
.
3
10
【答案】
3
图34
17
微专题（六） 与角平分线有关的四种基本模型
模型四 角平分线+轴对称
构造
复习讲义
全等三角形
6.如图6，在 △ 中， ∠ = 108∘ ， = ，
图6
平分 ∠ ，交 于点 .求证： = + .
B. 2 + 3
C. 2 + 3
D.3
图2
12
微专题（六） 与角平分线有关的四种基本模型
模型二 角平分线+角平分线的垂线
复习讲义
构造
等腰三角形
3.如图3，在 △ 中， < ， 平分
∠ ， ⊥ 于点 ，连接 .若 △ 的
面积为4，求 △ 的面积．
复习讲义
学习至此，请完成微专题练习（六） （第267页）
10
微专题（六） 与角平分线有关的四种基本模型
复习讲义
微专题练习（六）
与角平分线有关的四种基本模型
模型一 角平分线+边的垂线
构造
双垂直
1.如图1， 平分 ∠ ， ⊥ 于点 ，
△ = 8 ， = 2 ， = 4 ，则 的长是
= 8 ，所以 = 10 .所以 : : = : : = 3: 4: 5 .设
16
微专题（六） 与角平分线有关的四种基本模型
复习讲义
= = 3 ，则 = = 4 ， = 5 .因为 = 10 ，所以
3 + 5 + 4 = 10 .所以 =
八年级数学上册 第十二章 全等三角形 专题训练(五)作辅助线构造三角形全等的常见技巧课件
(2)过点 A 作 AD⊥x 轴，垂足为 D，过点 C 作 CE⊥AD，垂足为 E.同(1) 可证△ACE≌△BAD，∴AE＝BD，CE＝AD.∵A(1，3)，B(－1，0)，∴BD ＝2，AD＝3.∴CE＝3，DE＝AD－AE＝1，∴C(4，1)
(3)过点 A 作 AD⊥x 轴，AE⊥ y 轴，垂足分别为 D， E.同(1)可证 △BAD≌△CAE，∴CE＝BD，AE＝AD.∵B(－4，0)，C(0，－1)，∴OB＝4， OC＝1，∴AE＝OB－BD＝OB－CE＝OB－(OC＋OE)＝3－AE，∴AE＝32 ， ∴A(－32 ，32 )
∠CFP＝∠DEP， 在△CFP 和△DEP 中，PF＝PE，
∠1＝∠2，
∴△CFP≌△DEP(ASA)，∴PC＝PD
第四页，共二十二页。
2．如图，在四边形ABCD中，BC＞BA，AD＝CD，若BD平分(píngfēn)∠ABC，求证：∠A ＋∠C＝180°.
第五页，共二十二页。
证明：过点 D 作 DE⊥BC 于点 E，过点 D 作 DF⊥AB 交 BA 的延长线于 点 F，
(2)∵AB－BE<AE<AB＋BE，∴AB－AC<2AD<AB＋AC，又AB＝5，AC＝3， ∴2<2AD<8.∴1<AD<4
第十五页，共二十二页。
方法2：倍延过中点的线段 8．如图，在△ABC中，D是BC边上(biān shànɡ)的中点，DE⊥DF，DE交AB于点E，DF 交AC于点F，连接EF. 求证：BE＋CF＞EF.
(一)结合“ 过角平分线上一点作角两边的垂线”模型(móxíng)构造全等三角形 1．如图，已知∠AOB＝90°，OM是∠AOB的平分线，将三角尺的直角顶点P在射线 OM上滑动，两直角边分别与OA，OB交于点C，D.求证：PC＝PD.
角平分线专题训练
《角平分线》专题班级姓名业精于勤而荒于嬉，行成于思而毁于随。
——韩愈一、填空题1．___ __叫做角的平分线．2．角的平分线的性质是__________ _________________．它的题设是_____ ____，结论是___ __．3．到角的两边距离相等的点，在___ __.所以，如果点P到∠AOB两边的距离相等，那么射线OP是___ __．4．完成下列各命题，注意它们之间的区别与联系．（1）如果一个点在角的平分线上，那么__ ___；（2）如果一个点到角的两边的距离相等，那么__ ___；（3）综上所述，角的平分线是__ ___的集合．图7－1 5．（1）三角形的三条角平分线___ __它到___________________________．（2）三角形内，到三边距离相等的点是___ __．6．如图7－1，已知∠C＝90°，AD平分∠BAC，BD＝2CD，若点D到AB的距离等于5cm，则BC的长为_____cm．一、解答题10．已知：如图7－5，△ABC中，AB＝AC，D是BC的中点，DE⊥AB于E，DF⊥AC 于F.求证：DE＝DF．图7－511．已知：如图7－6，CD⊥AB于D，BE⊥AC于E，CD、BE交于O，∠1＝∠2．求证：OB＝OC.图7－612．已知：如图7－7，△ABC中，∠C＝90°，试在AC上找一点P，使P到斜边的距离等于PC．（画出图形，并写出画法）图7－7拓展、探究、思考13．已知：如图7－8，直线l1，l2，l3表示三条相互交叉的公路，现要建一个塔台，若要求它到三条公路的距离都相等，试问：（1）可选择的地点有几处？（2）你能画出塔台的位置吗？图7－814．已知：如图7－9，四条直线两两相交，相交部分的线段构成正方形ABCD．试问：是否存在到至少三边所在的直线的距离都相等的点？若存在，请找出此点，这样的点有几个？若不存在，请说明理由．图7－9一、选择题1．如图8－1，若OP 平分∠AOB ，PC ⊥OA ，PD ⊥OB ，垂足分别是C 、D ，则下列结论中错误的是 （ ）A ．PC ＝PDB ．OC ＝OD C ．∠CPO ＝∠DPO D ．OC ＝PC图8－1 图8－2 图8－32．如图8－2，在RtΔABC 中，∠C ＝90°，BD 是∠ABC 的平分线，交AC 于D ，若CD＝n ，AB ＝m ，则ΔABD 的面积是（ ）A ．mn 31B ．mn 21 C ．mn D ．2mn 二、填空题3．已知：如图8－3，在RtΔABC 中，∠C ＝90°，沿着过点B 的一条直线BE 折叠ΔABC ，使C 点恰好落在AB 边的中点D 处，则∠A 的度数等于_____．4．已知：如图，在ΔABC 中，BD 、CE 分别平分∠ABC 、∠ACB ，且BD 、CE 交于点O ，过O 作OP ⊥BC 于P ，OM ⊥AB 于M ，ON ⊥AC于N ，则OP 、OM 、ON 的大小关系为_____． 图三、解答题5．已知：如图8－5，OD 平分∠POQ ，在OP 、OQ 边上取OA ＝OB ，点C 在OD 上，CM ⊥AD 于M ，CN ⊥BD 于N .求证：CM ＝CN ．图8－56．已知：如图，ΔABC 的外角∠CBD 和∠BCE 的平分线BF 、CF 交于点F .求证：点F 必在∠DAE 的平分线上．7．已知：如图8－7，A、B、C、D四点在∠MON的边上，AB＝CD，P为∠MON内一点，并且△P AB的面积与△PCD的面积相等．求证：射线OP是∠MON的平分线．8．如图8－8，在ΔABC中，∠C＝90°，BD平分∠ABC，DE⊥AB于E，若△BCD与△BCA 的面积比为3∶8，求△ADE与△BCA的面积之比．图8－89．已知：如图8－9，∠B＝∠C＝90°，M是BC的中点，DM平分∠ADC．（1）求证：AM平分∠DAB；（2）猜想AM与DM的位置关系如何？并证明你的结论．图8－9 10．已知：如图8－10，在ΔABC中，AD是△ABC的角平分线，E、F分别是AB、AC 上一点，并且有∠EDF＋∠EAF＝180°．试判断DE和DF的大小关系并说明理由．。
角平分线的性质专项练习(含解析)
角平分线的性质专项练习一、单选题知识点一：角平分线的有关证明1．在Rt ABC 中，90B ︒∠=，AD 平分BAC ∠，交BC 于点D ，DE AC ⊥，垂足为点E ，若3BD =，则DE 的长为（ ）A ．3B ．32C ．2D ．62．如图，在△ABC 中，AB ＝6，BC ＝5，AC ＝4，AD 平分∠BAC 交BC 于点D ，在AB 上截取AE ＝AC ，则△BDE 的周长为( )A ．8B ．7C ．6D ．53．如图，在ABC 中，90,C AD ∠=平分,BAC DE AB ∠⊥于点,E 给出下列结论．CD ED =①;,AC BE AB +=② ③BDE BAC ∠=∠， DA ④平分CDE ∠，::BDE ACD S S AB AC =⑤其中正确的有（ ）个A ．5B ．4C ．3D ．2知识点二：角平分线的性质定理4．如图，在Rt ABC ∆中，90B =∠，以点A 为圆心，适当长为半径画弧，分别交AB AC 、于点,D E ，再分别以点D E 、为圆心，大于12DE 为半径画弧，两弧交于点F ，作射线AF 交边BC 于点1,4BG AC ==，则ACG ∆的面积是（ ）A ．1B ．32C ．2D ．525．如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，AD 是中线，DE ⊥AB ，DF ⊥AC ，垂足分别为E ，F ，则下列四个结论中：①AB 上任一点与AC 上任一点到D 的距离相等；②AD 上任一点到AB ，AC 的距离相等；③∠BDE ＝∠CDF ；④∠1＝∠2；其中正确的有( )A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个6．如图，AB ∥CD ，BP 和CP 分别平分∠ABC 和∠DCB ，AD 过点P ，且与AB 垂直．若AD ＝8，则点P 到BC 的距离是（ ）A ．8B ．6C ．4D ．27．如图，已知在四边形ABCD 中，90BCD ∠=︒，BD 平分ABC ∠，6AB =，9BC =，4CD =，则四边形ABCD 的面积是（ ）A．24 B．30 C．36 D．42知识点三：角平分线判定定理=，则（）8．如图，AC AD=，BC BDA．CD垂直平分AD B．AB垂直平分CDC．CD平分ACB∠D．以上结论均不对9．如图,已知AB∥CD，PE⊥AB，PF⊥BD，PG⊥CD，垂足分别E、F、G，且PF=PG=PE，则∠BPD=（）．A．60°B．70°C．80°D．90°10．如图所示，若DE⊥AB，DF⊥AC，则对于∠1和∠2的大小关系下列说法正确的是（）A．一定相等B．一定不相等C．当BD=CD时相等D．当DE=DF时相等11．如图，在CD上求一点P，使它到OA，OB的距离相等，则P点是（）A ．线段CD 的中点B ．OA 与OB 的中垂线的交点C ．OA 与CD 的中垂线的交点 D ．CD 与∠AOB 的平分线的交点知识点四：角平分线性质的实际应用12．如图，在ABC ∆中，90︒∠=C ，8AC =，13DC AD =，BD 平分ABC ∠，则点D 到AB 的距离等于( )A ．4B ．3C ．2D ．113．如图，Rt △ABC 中，∠C=90°，AD 平分∠BAC ，交BC 于点D ，若AB=14，S △ABD=14，则CD=（ ）A ．4B ．3C ．2D ．114．如图，AD 是△ABC 的角平分线，DE ⊥AB ，垂足为E ，S △ABC ＝7，DE ＝2，AB ＝4，则AC 长是（ ）A ．6B ．5C ．4D ．3知识点五：尺规作图-角平分线15．尺规作图作AOB ∠的平分线方法如下：以O 为圆心，任意长为半径画弧交OA 、OB 于C 、D ，再分别以点C 、D 为圆心，以大于12CD 长为半径画弧，两弧交于点P ，作射线OP ，由作法得OCP ODP ≌的根据是（ ）A ．SASB ．ASAC ．AASD ．SSS16．如图，在ABC ∆中，,40AC BC A =∠=︒，观察图中尺规作图的痕迹，可知BCG ∠的度数为（）A ．40︒B ．45︒C ．50︒D ．60︒17．如图1，已知ABC ∠，用尺规作它的角平分线．如图2，步骤如下，第一步：以B 为圆心，以a 为半径画弧，分别交射线BA ，BC 于点D ，E ；第二步：分别以D ，E 为圆心，以b 为半径画弧，两弧在ABC ∠内部交于点P ；第三步：画射线BP ．射线BP 即为所求．下列正确的是（ ）A ．a ，b 均无限制B ．0a >，12b DE >的长C ．a 有最小限制，b 无限制D ．0a ≥，12b DE <的长18．如图,观察图中尺规作图痕迹,下列说法错误的是( )A ．OE 是AOB ∠的平分线B ．OC OD =C ．点C,D 到OE 的距离不相等D ．AOE BOE ∠=∠二、填空题 知识点一：角平分线的有关证明19．如图，已知△ABC 的周长是21，OB ，OC 分别平分∠ABC 和∠ACB ，OD ⊥BC 于D ，且OD ＝4，△ABC 的面积是_____．20．如图,在平面直角坐标系xOy 中,点A 、B 分别在x 轴的正半轴、y 轴的正半轴上移动,点M 在第二象限，且MA 平分∠BAO ，做射线MB ，若∠1=∠2，则∠M 的度数是_______。
八年级数学角平分线、中点专题训练试题
A DBC八年级数学角平分线、中点专题训练试题【例题讲解】（一）过角平分线上一点向角两边作垂线段，利用角平分线上的点到角两边距离相等去作题．1．如图在四边形ABCD 中，BC>BA ，AD=DC ，BD 平分∠ABC ． 求证：︒=∠+∠180C A .2．已知：如图，在∆ABC 中，∠A=90°，AB=AC ，∠1=∠2，求证：BC=AB+AD ． 3．如图，□ABCD 中，E 是DC 上一点，F 是AD 上一点，AE 交CF 于点O ，且AE=CF.求证：OB 平分AOC ∠.（二）有和角平分线垂直的线段时，把它延长可得到中点或相等的线段，从而与三角形中位线或三角形全等建立起联系．4．已知：如图，∠1=∠2，AB ﹥AC ，CD ⊥AD 于D ，H 是BC 中点， 求证：DH=21（AB －AC ）． 5．已知：如图，AB=AC ，∠BAC=90°，∠1=∠2，CE ⊥BE ，求证：BD=2CE（三）有角平分线时，常作平行线，构造等腰三角形。
（角平分线+平行线⇒三角形.）6．已知：如图，)(AC AB ABC ≠∆中，D 、E 在BC 上，且DE=EC ，过D 作DF ∥AB,交AE 于点F ，DF=AC.求证：AE 平分BAC ∠. （四）作斜边中线，利用斜边中线性质解题7.如图，在ABC Rt ∆中，AB=AC ，︒=∠90BAC ，O 为BC 的中点. ①写出点O 到ABC ∆的三个顶点A 、B 、C 的距离的关系（不变证明）②如果点N 、M 分别在线段AB 、AC上移动，在移动中保证AN=BM ，请判断OMN 的形状，并证明你的结论.M（五）有底中点，连中线，利用等腰三角形三线合一性质证题8.已知：如图，矩形ABCD ，E 为CB 延长线上一点，且AC=CE ，F 为AE 中点， 求证：FD BF ⊥.（六）有中线时可延长中线，构造全等三角形或平行四边形： 9．已知：如图，AD 为ABC ∆中线，求证：AD AC AB 2>+.10.已知：如图，在ABC ∆中，︒=∠90C ，M 为AB 中点，P 、Q 分别在AC 、BC 上，且QM PM ⊥于M.求证：222BQ AP PQ +=.11．已知：如图，ABC ∆的边BC 的中点为N ，过A 的任一直线BD AD ⊥于D ，AD CE ⊥于E.求证：NE=ND.（七）有中点，造中位线12.如图，在ABC ∆中，AD 是BC 边上的高，B C ∠=∠21，点E 为BC 的中点， 求证：AB=2DE.D13.已知：如图，E 、F 分别为四边形ABCD 的对角线中点，AB>CD.求证：()CD AB EF ->21.（八）与梯形中点有关的辅助线：①有腰中点时，常见以下三种引辅助线法14.已知：如图，在梯形ABCD 中，AB ∥CD ，DC AB >，M 为AD 中点，且CM BM ⊥. 求证：（1）BM 平分ABC ∠，CM 平分DCB ∠.（2）BC CD AB =+.15.已知：如图，在直角梯形ABCD 中，AD ∥BC ，BC AB ⊥，M 为CD 的中点.求证：AM=MB.AD FEBCB（1B（2GB（3B【随堂练习】1.如图，△ABC为等边三角形，D、F分别是BC、AB上的点，且CD=BF，以AD为边作等边△ADC．(1)求证：△ACD≌△CNBF；(2)当D在线段BC上何处时，四边形CDEF为平行四边形，且∠DEF=30°?证明你的结论．2、如图，在△ABC中，∠C=90°，点M在BC上，且BM＝AC，N在AC上，且AN=MC，AM与BN相交于P，求证：∠BPM=45°．3.如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，∠C=60°，BC＝2，D是AC的中点，以D作DE⊥AC与CB的延长线交于E，以AB、BE为邻边作长方形ABEF，连结DF，求DF的长．例1.如图，在矩形ABCD中，已知AD=12，AB=5，P是AD边上任意一点，PE⊥BD于E，PF⊥AC于F，那么PE+PF的值为．例2.△ABC中，点O是AC边上的一个动点，过点O作直线MN∥BC，设MN交∠BCA的平分线于点E，交∠BCA的外角平分线于点F．(1)求证：CO＝FO；(2)当点O运动到何处时，四边形AECF是矩形?并证明你的结论．(3)当△ABC满足什么条件时，四边形AECF是正方形?AD ，BE∥AC，DE交AC的延长线于F点，交BE于E点.（1）求例3.如图，ABCD为平行四边形，a证：DF=FE；（2）若AC=2CF，∠ADC=60°，AC⊥DC，求BE的长；（3）在（2）的条件下，求四边形ABED的面积.例4.如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=2，BC=3．D是BC边上一点，直线DE⊥BC于D，交AB于E，CF∥AB交直线DF于F．设CD=x．（1）当x取何值时，四边形EACF是菱形？请说明理由；（2）当x取何值时，四边形EACD的面积等于2？例5.阅读下面短文：如图1，△ABC是直角三角形，∠C=90°，现将△ABC补成矩形，使△ABC的两个顶点为矩形一边的两个端点，第三个便点落在矩形这一边的对边上，那么符合要求的矩形可以画出两个：矩形ACBD和矩形AEFB(如图2)．解答问题；(1)设图2中矩形ACBD和矩形AEFB的面积分别为S l、S2，则S1 S2(填“>”，“=”或“<”)；(2)如图3，△ABC是钝角三角形，按短文中的要求把它补成矩形，那么符合要求的矩形可以画出个，利用图3把它画出来；(3)如图4，△ABC是锐角三角形且三边满足BC>AC>AB，按短文中的要求把它补成矩形，则符合要求的矩形可以画出个，利用图4把它画出来；(4)在(3)中所画出的矩形中，哪一个的周长最小?为什么?【随堂练习】1．如图，BD是平行四边形ABCD的对角线，点E、F在BD上，要使四边形AECF是平行四边形，还需要增加的一个条件是C M2．(1)如图，已知矩形ABCD 中，对角线AC 、BD 相交于O ，AE ⊥BD 于E ，若∠DAE ：∠BAE ＝3：1，则∠CAC ＝ ； (2)矩形的一个角的平分线分矩形一边为lcm 和3cm 两部分，则这个矩形的面积为_______cm 2．3．如图，以△ABC 的三边为边在BC 的同一侧分别作三个等边三角形，即△ABD 、 △BCE 、△ACF ．(1)四边形ADEF 是 ； (2)当△ABC 满足条件 时，四边形ADEF 为矩形； (3)当△ABC 满足条件 时，四边形ADEF 不存在．4．已知一个三角形的一边长为2，这边上的中线为1，另两边之和为1+3，则这两边之积为 ．5．如图，ABCD 中，M 是AB 上的一点，连结CM 并延长交DA 的延长线于P ，交对角线BD 于N ，求证：NP MN CN ⋅=218．如图，在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，∠B=∠ACD ⑴请再写出图中另外一对相等的角；⑵若AC=6，BC=9，试求梯形ABCD 的中位线的长度。
专题训练 与三角形的角平分线有关的计算
专题训练 与三角形的角平分线有关的计算------教材P29T11的运用及拓展 教材母题：（教材P29T11）如图,△ABC 中,∠ABC 和∠ACB 的平分线BE,CF 相交于点G.求证:)(21180)1(0ACB ABC BGC ∠+∠-=∠()A BGC ∠+=∠219020证明:ACB GCB ABC GBC ∠=∠∠=∠∴21,21G ,相交于点CF BE,的平分线ACB 和∠ABC ∠∵(1))(21ACB ABC GCB GBC ∠+∠=∠+∠∴)(21180)(180180000ACB ABC GCB GBC BGC AACB ABC ∠+∠-=∠+∠-=∠∴∠-=∠+∠ (2)在△ABC 中,A A ACB ABC BGC A ACB ABC ∠+=∠--=∠+∠-=∠∴∠-=∠+∠2190)180(21180)(211801800000拓展类型1 一个内角平分线和一个外角平分线的夹角 如图，BD 是△ABC 的角平分线，CD 是△ABC 的外角平分线。
(1)若∠ABC=55°，∠ACB=65°，求∠D 的度数.(2)若∠A=60°，求∠D 的度数.(3)试探究∠D 与∠A 之间的数量关系.A D ∠=∠21拓展类型2 两个外角平分线的夹角如图,BD 、CD 分别是△ABC 的两个外角∠CBE 、∠BCF 的平分线.(1)若∠ABC=40°，∠ACB=60°，则∠D= 度.(2)若∠A=60°，则∠D= 度.(3)试探究∠D 与∠A 之间的数量关系..针对训练1．如图，点O是△ABC的∠ABC与∠ACB两个角的平分线的交点，若∠BOC＝118°，则∠A的角度是________°2.如图，在△ABC中，∠ABC的平分线与∠ACB的外角平分线交于点D，∠A＝50°，则∠D＝_ _3.如图，在△ABC中，P点是∠BCE和∠CBF的角平分线的交点，若∠A＝60°，则∠P＝______4.如图，在平面直角坐标系中，A，B分别是x，y轴上的两个动点，∠BAO的平分线与∠ABO的外角平分线相交于点C，在A，B的运动过程中，∠C的度数是一个定值，这个定值为________。
第9章 三角形专题训练：与三角形角平分线相关的解题模型(含答案)
专题：与三角形角平分线相关的解题模型◆类型一 同一顶点处的角平分线、高线夹角模型【方法点拨】三角形同一顶点的高线与角平分线的夹角度数等于另外两角度数之差的一半．如图，AE ，AD 分别为△ABC 的角平分线和高线，则∠EAD ＝12(∠B －∠C )．1．如图①，在△ABC 中，AD 平分∠BAC ，AE ⊥BC 于E ，∠B ＝40°，∠C ＝70°.(1)求∠DAE 的度数；(2)如图②，若把“AE ⊥BC ”变成“点F 在DA 的延长线上，FE ⊥BC 于E ”，其他条件不变，求∠DFE 的度数．◆类型二 与三角形内外角平分线相关的夹角模型【方法点拨】①两内角平分线的夹角的度数：三角形的两个内角平分线交于一点，所形成的夹角的度数等于90°加上第三角的度数的一半．如图①，∠BOC ＝90°＋12∠A .②一内角平分线与一外角平分线夹角的度数：三角形的一个内角平分线与一个外角平分线交于一点，所形成的夹角度数等于第三角的度数的一半．如图②，BA 1，CA 1分别为△ABC的一条内、外角平分线，BA 2，CA 2分别为△A 1BC 的一条内、外角平分线，则∠A 1＝12∠A ，∠A 2＝12∠A 1，…… ③两外角角平分线夹角的度数：三角形的两个外角平分线交于一点，所形成的夹角度数等于90°减去第三角的度数的一半．如图③，BO ，CO 分别为△ABC 的两条外角平分线，则∠O ＝90°－12∠A . 2．认真阅读下面关于三角形内外角平分线所夹角的探究，完成所提出的问题．(1)如图①，O 是△ABC 内一点，BO ，CO 分别平分∠ABO ，∠ACO .若∠A ＝46°，则∠BOC ＝________；若∠A ＝n °，则∠BOC ＝________________；(2)如图②，O 是△ABC 外一点，BO ，CO 分别平分△ABC 的外角∠CBE ，∠BCF .若∠A ＝n °，求∠BOC 的度数；(3)如图③，O 是△ABC 外一点，BO ，CO 分别平分∠ABC ，∠ACD .若∠A ＝n °，求∠BOC 的度数．参考答案与解析1．解：(1)∵∠B ＝40°，∠C ＝70°，∴∠BAC ＝70°.∵AD 平分∠BAC ，∴∠BAD ＝∠CAD ＝35°，∴∠ADE ＝∠B ＋∠BAD ＝75°.∵AE ⊥BC ，∴∠AEB ＝90°，∴∠DAE ＝90°－∠ADE ＝15°.(2)同(1)可得∠ADE ＝75°.∵FE ⊥BC ，∴∠FEB ＝90°，∴∠DFE ＝90°－∠ADE ＝15°.2．解：(1)113° 90°＋12n ° (2)∵∠BOC ＝180°－(∠OBC ＋∠OCB )，而BO ，CO 分别平分∠CBE ，∠BCF ，∴∠OBC ＝12∠CBE ，∠OCB ＝12∠BCF ，∴∠BOC ＝180°－12(∠CBE ＋∠BCF )，而∠CBE ＝180°－∠ABC ，∠BCF ＝∠180°－∠ACB ，∴∠BOC ＝180°－12(180°＋∠A )＝90°－12∠A ，∴∠BOC ＝90°－12n °. (3)∵∠BOC ＝∠OCD －∠OBD ，∠A ＝∠ACD －∠ABC ，而BO ，CO 分别平分∠ABC ，∠ACD ，∴∠ACD ＝2∠OCD ，∠ABC ＝2∠OBD ，∴∠A ＝2∠OCD －2∠OBD ＝2∠BOC ，∴∠BOC ＝12n °.。
角平分线专题训练
1八年级角平分线专题1、如图，BD 是四边形ABCD 中∠ABC 的平分线，∠A ＋∠C ＝180°，求证：DA ＝CD2、如图，在四边形ABCD 中，BD 是∠ABC 的角平分线，若CD ＝AD ，过D 点作DE ⊥AB ，求证：AB ＋BC ＝2BE3、如图在△ABC 中，AB ＞AC ，点O 是∠A 的平分线上一点，过O 点作OE ⊥AB 于E ，作OF ⊥AC 交AC 的延长线于F ，且BE ＝CF ，若AB ＝12，AC ＝5，求BE 长。
4、如图，在△ABC 中，P 、Q 分别是BC 、AC 上的点，PR ⊥AB 于R ，PS ⊥AC 于S ，若AQ ＝PQ ，RP ＝PS ，你能得到哪些结论？并证明。
5、如图，已知BF 是∠DBC 的平分线，CF 是∠ECB 的平分线，求证：点F 在∠BAC 的平分线上。
6、如图，已知OD 平分∠AOB ，在OA 、OB 边上取OA ＝OB ，点P 在OD 上，且PM ⊥BD ，PN ⊥AD ，求证：PM ＝PNA BC DA BC D E A C B E F AC B PRS Q A B C F E D AO BDP MN27、如图，在△ABC 中，∠C ＝90°，AD 平分∠BAC ，DE ⊥AB 于E ，F 在AC 上，且BD ＝DF ，求证：CF ＝EB8、如图在四边形ABCD 中，AC 平分∠BAD ，∠ADC ＋∠ABC ＝180度，CE ⊥AD 于E ，猜想AD 、AE 、AB 之间的数量关系，并证明你的猜想，9、如图，已知△ABC 中，CE 平分∠ACB ，且AE ⊥CE ，∠AED ＋∠CAE ＝180度，求证：DE ∥BC10、如图，已知△ABC 中，∠BAC ＝90度，AD ⊥BC ，EF ⊥BC ，FM ⊥AC ，∠ABE ＝∠CBE ，求证：FM＝FD11、如图，AD ⊥DC ，BC ⊥DC ，E 是DC 上一点，AE 平分∠DAB ，BE 平分∠ABC ，求证：点E 是DC 中点。
专题训练(五) 角平分线的六种运用
专题训练(五) 角平分线的六种运用► 运用一 确定点的坐标和线段的长1．如图5－ZT －1所示，在平面直角坐标系中，AD 是Rt △OAB 的角平分线，点D 到AB 的距离DE ＝3，则点D 的坐标是________．图5－ZT －12．如图5－ZT －2，在四边形ABCD 中，∠A ＝90°，AD ＝4，连接BD ，BD ⊥CD ，∠ADB ＝∠C.若P 是BC 边上一动点，则DP 长的最小值为________．图5－ZT －2► 运用二 确定三角形的面积3．如图5－ZT －3，在△ABC 中，∠A ＝90°，BD 是角平分线．若AB ＝8，BC ＝10，S △ABD＝323，求△BDC 的面积．图5－ZT －34．如图5－ZT－4，D，E，F分别是△ABC三边上的点，AD平分∠BAC，CE＝BF.若S△DCE ＝4，求S△DBF.图5－ZT－45．如图5－ZT－5，现有一块三角形的空地，其三条边长分别是20 m，30 m，40 m．现要把它分成面积比为2∶3∶4的三部分，分别种植不同种类的花，请你设计一种方案，并简单说明理由．(要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法)图5－ZT－5►运用三确定三角形的周长6．如图5－ZT－6，在△ABC中，∠B＝90°，AB＝BC，AD平分∠BAC，DE⊥AC，AC＝20，求△CED的周长．图5－ZT－6►运用四证明两条线段相等7．如图5－ZT－7，BD是∠ABC的平分线，AB＝BC，点P在BD上，PM⊥AD，PN⊥CD，M，N分别是垂足．求证：PM＝PN.图5－ZT－78．我们把两组邻边相等的四边形叫做“筝形”．如图5－ZT－8，四边形ABCD是一个筝形，其中AB＝CB，AD＝CD.对角线AC，BD相交于点O，OE⊥AB，OF⊥CB，垂足分别是E，F.求证：OE＝OF.图5－ZT－8►运用五角平分线的性质和判定的综合9．如图5－ZT－9所示，△ABC的外角∠CBD，∠BCE的平分线相交于点F，则下列结论一定成立的是( )A．AF平分BC B．AF⊥BCC．AF平分∠BAC D．FA平分∠BFC图5－ZT－910．如图5－ZT－10所示，已知∠B＝∠C＝90°，M是BC的中点，DM平分∠ADC.求证：(1)AM平分∠DAB；(2)AD＝AB＋CD.图5－ZT－1011．已知：如图5－ZT－11，在四边形ABCD中，AB＝AD，CB＝CD，BO平分∠ABC交AC 于点O.求证：DO平分∠ADC.图5－ZT－11►运用六角平分线在实际生活中的应用12．如图5－ZT－12所示，O为码头，A，B两个灯塔与码头O的距离相等，OA，OB为海岸线．一轮船P离开码头O，计划沿∠AOB的平分线航行．(1)用尺规作出轮船的预定航线OC；(2)在航行途中，轮船P始终保持与灯塔A，B的距离相等，则轮船航行时是否偏离了预定航线？请说明理由．图5－ZT－12详解详析1．[答案] (3，0)[解析] 欲求点D 的坐标，先求线段OD 的长．因为AD 是Rt △OAB 的角平分线，DE ⊥AB ，OD ⊥OA ，所以DE ＝OD ＝3，所以点D 的坐标是(3，0)． 2．[答案] 4[解析] 由垂线段最短可知，当DP ⊥BC 时，DP 的长最小． ∵∠A ＝∠BDC ＝90°，∠ADB ＝∠C ， ∴∠DBA ＝∠DBC ，∴BD 平分∠ABC . ∵DA ⊥AB ，DP ⊥BC ，∴DP ＝DA ＝4.3．[解析] 由已知BC ＝10，欲求△BDC 的面积，需求出BC 边上的高，从而考虑过点D 作DE ⊥BC ，由角平分线的性质可知DE ＝AD ，从而问题转化为求AD 的长．解：如图，过点D 作DE ⊥BC ，垂足为E .因为AB ＝8，S △ABD ＝323，所以12AB ·AD ＝323，所以AD ＝83.因为BD 是角平分线，DA ⊥AB ，DE ⊥BC ， 所以DE ＝AD ＝83，所以S △BDC ＝12BC ·DE ＝12×10×83＝403.4．[解析] 猜想△DCE 和△DBF 的面积相等，由已知CE ＝BF ，故只需说明两个三角形中以CE ，BF 为底边上的高相等．解：如图，过点D 作DH ⊥AB 于点H ，DG ⊥AC 于点G .因为点D 在∠BAC 的平分线上， 所以DG ＝DH . 又因为CE ＝BF ， 所以12CE ·DG ＝12BF ·DH ，所以S △DBF ＝S △DCE ＝4.5．解：分别作∠ACB 和∠ABC 的平分线，相交于点P .连接PA ，则△PAB ，△PAC ，△PBC 的面积之比为2∶3∶4(如图所示)．理由如下：∵P 是∠ABC 和∠ACB 的平分线的交点，如图，过点P 分别作PE ⊥AB 于点E ，PF ⊥AC 于点F ，PH ⊥BC 于点H ，则PE ＝PF ＝PH ， ∴S △PAB ＝12AB ·PE ＝10PE ，S △PAC ＝12PF ·AC ＝15PF ，S △PBC ＝12PH ·BC ＝20PH ，∴S △PAB ∶S △PAC ∶S △PBC ＝10∶15∶20＝2∶3∶4.6．[解析] △CED 的周长为CE ＋DE ＋CD ，而题中仅给出AC ＝20，于是猜想CE ＋DE ＋CD ＝AC ，可通过角平分线的性质及全等三角形的性质进行线段间的转化，进而验证猜想．解：因为AD 平分∠BAC ，DE ⊥AC ，DB ⊥AB ，所以DE ＝DB .又AD ＝AD ，所以Rt △ADE ≌Rt △ADB ，所以AE ＝AB ，所以△CED 的周长为CE ＋DE ＋CD ＝CE ＋DB ＋CD ＝CE ＋(DB ＋CD )＝CE ＋BC ＝CE ＋AB ＝CE ＋AE ＝AC ＝20.7．[解析] 结合已知条件PM ⊥AD ，PN ⊥CD ，欲证明PM ＝PN ，只需证明DP 平分∠ADC .问题可转化为证明∠ADB ＝∠CDB ，从而需证明△ADB ≌△CDB .证明：因为BD 是∠ABC 的平分线，所以∠ABD ＝∠CBD . 又AB ＝CB ，BD ＝BD ， 所以△ADB ≌△CDB ， 所以∠ADB ＝∠CDB ， 所以∠ADP ＝∠CDP .又因为PM ⊥AD ，PN ⊥CD ，所以PM ＝PN .8．证明：在△ABD 和△CBD 中，⎩⎪⎨⎪⎧AB ＝CB ，AD ＝CD ，BD ＝BD ，∴△ABD ≌△CBD (SSS)， ∴∠ABD ＝∠CBD ， ∴BD 平分∠ABC .又∵OE ⊥AB ，OF ⊥CB ，∴OE ＝OF . 9．C10．[解析] 作ME ⊥AD ，证明△DEM ≌△DCM ，Rt △AEM ≌Rt △ABM . 证明：(1)过点M 作ME ⊥AD 于点E .∵DM 平分∠ADC ，∠C ＝90°，∴MC ＝ME . ∵M 是BC 的中点，∴MC ＝MB ＝ME . 又∵ME ⊥AD ，MB ⊥AB ，∴∠EAM ＝∠BAM ，即AM 平分∠DAB . (2)在Rt △DEM 和Rt △DCM 中，⎩⎪⎨⎪⎧ME ＝MC ，DM ＝DM ， ∴Rt △DEM ≌Rt △DCM ，∴DE ＝DC .在Rt △AEM 和Rt △ABM 中，⎩⎪⎨⎪⎧ME ＝MB ，AM ＝AM ，∴Rt △AEM ≌Rt △ABM .∵AE ＝AB ，∴AD ＝AE ＋DE ＝AB ＋CD .[点评] 作出点M 到角两边的垂线段，利用垂线段相等是解决这个问题的关键，因此当遇到角平分线的问题时，如果不能打开思路，不妨过角平分线上的点作出到角两边的垂线段．11．证明：如图，过点O 作AB ，BC ，CD ，DA 的垂线，垂足分别为E ，F ，G ，H .∵AB ＝AD ，CB ＝CD ，AC ＝AC ，∴△ACB ≌△ACD (SSS)， ∴∠BAC ＝∠DAC ，∠BCA ＝ ∠DCA ，即AC 平分∠BAD ，CA 平分∠BCD . 由角平分线的性质可知OE ＝OH ，OF ＝OG . ∵BO 平分∠ABC ， ∴OE ＝OF ， ∴OG ＝OH ， ∴DO 平分∠ADC . 12．解：(1)如图．..(2)轮船航行时没有偏离预定航线．理由：在△AOP和△BOP中，⎩⎪⎨⎪⎧PA＝PB，OA＝OB，OP＝OP，∴△AOP≌△BOP(SSS)，∴∠AOP＝∠BOP，即点P在∠AOB的平分线上．故轮船航行时没有偏离预定航线．。
第03讲 线段的垂直平分线、角平分线性质、尺规作图(3大考点6种解题方法)(原卷版)
第03讲线段的垂直平分线、角平分线性质、尺规作图（3大考点6种解题方法）考点考向一．角平分线的性质角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等．注意：①这里的距离是指点到角的两边垂线段的长；②该性质可以独立作为证明两条线段相等的依据，有时不必证明全等；③使用该结论的前提条件是图中有角平分线，有垂直角平分线的性质语言：如图，∵C 在∠AOB的平分线上，CD⊥OA，CE⊥OB∴CD＝CE二．线段垂直平分线的性质（1）定义：经过某一条线段的中点，并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线（中垂线）垂直平分线，简称“中垂线”．（2）性质：①垂直平分线垂直且平分其所在线段．②垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等．③三角形三条边的垂直平分线相交于一点，该点叫外心，并且这一点到三个顶点的距离相等．三．作图—基本作图基本作图有：（1）作一条线段等于已知线段．（2）作一个角等于已知角．（3）作已知线段的垂直平分线．（4）作已知角的角平分线．（5）过一点作已知直线的垂线．四．作图—复杂作图复杂作图是在五种基本作图的基础上进行作图，一般是结合了几何图形的性质和基本作图方法．解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．五．作图—应用与设计作图应用与设计作图主要把简单作图放入实际问题中．首先要理解题意，弄清问题中对所作图形的要求，结合对应几何图形的性质和基本作图的方法作图．六．作图—代数计算作图代数计算作图是实际问题中要求所作图形具备一定的条件，如角的度数或边的长度．（1）根据题意计算出图形所具备的条件，边长，角度等，在网格纸上作图或利用圆规和直尺作图．（2）直接利用尺规作图做出符合题意的图形．如在数轴上找到表示无理数的点．要熟悉几何图形的性质和5种基本作图的步骤，才能灵活运用熟练作图．考点精讲一．角平分线的性质（共5小题）1．（2021秋•温岭市期末）如图，OP平分∠AOB，E为OA上一点，OE＝4，P到OB的距离是2，则△OPE 的面积为（）A．2B．3C．4D．82．（2021秋•北仑区期中）如图，AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB于点E，S△ABC＝9，DE＝2，AB＝5，则AC的长是（）A．2B．3C．4D．53．（2021秋•东阳市期末）如图，在△ABC中，∠C＝90°，以A为圆心，任意长为半径画弧，分别交AC，AB于点M，N，再分别以M，N 为圆心，大于MN长为半径画弧，两弧交于点O，作射线AO，交BC 于点E．已知CE＝3，BE＝5，则AC的长为（）A．8B．7C．6D．54．（2021秋•新昌县期末）如图，AB∥CD，BP和CP分别平分∠ABC和∠BCD，AD过点P且与AB垂直．若AD＝8，BC＝10，则△BCP的面积为（）A．16B．20C．40D．805．（2021秋•诸暨市校级月考）如图，在△ABC中，AC＝6cm，AB＝9cm，D是边BC上一点，AD平分∠BAC，在AB上截取AE＝AC，连接DE，已知DE＝2cm，BD＝3cm．求：（1）线段BC的长；（2）若∠ACB的平分线CF交AD于点O，且O到AC的距离是acm，请用含a的代数式表示△ABC的面积．二．线段垂直平分线的性质（共8小题）6．（2021秋•海曙区期末）如图，△ABC中，AB的垂直平分线分别交AB、BC于点D、E，AC的垂直平分线分别交AC、BC于点F、G，若∠EAG＝40°，则∠BAC的度数是（）A．140°B．130°C．120°D．110°7．（2021秋•温州期末）如图，已知线段AB，以点A，B为圆心，5为半径作弧相交于点C，D．连结CD，点E在CD上，连结CA，CB，EA，EB．若△ABC与△ABE的周长之差为4，则AE的长为（）A．1B．2C．3D．48．（2021秋•余杭区月考）如图，在△ABC中，DE是AC的中垂线，分别交AC、AB于点D、E，若△BCE 的周长为8，BC＝3，求AB的长．9．（2021秋•义乌市期中）如图，已知△ABC中，边AB、AC的垂直平分线分别交BC于E、F，若∠EAF ＝90°，AF＝3，AE＝4．（1）求边BC的长；（2）求出∠BAC的度数．10．（2021秋•柯桥区月考）已知：如图，△ABC中，∠A＝90°，BC的垂直平分线DE交BC于点E，交AC于点D．（1）若∠C＝35°，求∠DBA的度数；（2）若△ABD的周长为30，AC＝18，求AB的长．11．（2021秋•余杭区期中）如图，△ABC中，∠BAC＝130°，AB，AC的垂直平分线分别交BC于点E，F，与AB，AC分别交于点D，G，则∠EAF的度数为（）A．65°B．60°C．70°D．80°12．（2021秋•上城区期中）如图，在△ABC中，AD是BC边上的高线，AD的垂直平分线分别交AB，AC 于点E，F．（1）若∠DAC＝20°，求∠FDC的度数；（2）试判断∠B与∠AED的数量关系，并说明理由．13．（2021秋•西湖区期末）如图，线段AB，BC的垂直平分线l1、l2相交于点O．若∠1＝40°，则∠AOC＝（）A．50°B．80°C．90°D．100°三．作图—基本作图（共4小题）14．（2021秋•鄞州区期中）如图，在△ABC中，∠B＝65°，∠C＝30°，分别以点A和点C为圆心，大于AC的长为半径画弧，两弧相交于点M、N，作直线MN，交BC于点D，连接AD，则∠BAD的度数为（）A．45°B．55°C．60°D．65°15．（2021秋•诸暨市期末）下列尺规作图分别表示：①作一个角的平分线，②作一条线段的垂直平分线．其中作法正确的是（）A．①B．②C．①②D．无16．（2021秋•新昌县期末）如图，已知△ABC．（1）请用直尺和圆规作∠ABC的角平分线BD，交AC于点D．（保留作图痕迹，不写作法）（2）在（1）的条件下，若∠A＝100°，∠C＝28°，求∠BDA的度数．17．（2021秋•余姚市期末）如图，在△ABC中，CE⊥AB于点E．（1）用尺规作BD⊥AC，垂足为点D．（不写作法，保留痕迹）（2）在（1）所画的图中，若BE＝CD．求证：AB＝AC．四．作图—复杂作图（共5小题）18．（2021秋•临海市期末）如图，已知△ABC，点D在边AB上．（1）求作点D，使点D到点B，C的距离相等；（尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）（2）连接DC，已知∠B＝32°，求∠ADC的度数．19．（2021秋•缙云县期末）（拓展创新）如图所示，正方形网格中的每个小正方形边长都是1，每个小格的顶点叫格点，以格点以顶点分别按下列要求画三角形．（1）使三角形的三边长分别为3，2，；（在图①中画一个即可）（2）使三角形为钝角三角形且面积为4．（在图②中画一个即可）20．（2021秋•新昌县期中）如图，在△ABC中，AB＞AC，按以下步骤作图：分别以点B和点C为圆心，大于BC长为半径作圆弧，两弧相交于点M和点N，作直线MN交AB于点D；连结CD．（1）则MN是BC的线．（2）若AB＝8，AC＝4，求△ACD的周长．21．（2021秋•西湖区校级期中）如图，已知△ABC．（1）尺规作图：①作出△ABC的角平分线CD；②作出BC的中垂线交AB于点E．（2）连结CE，若∠ABC＝60°，∠A＝40°，则∠DCE＝．22．（2021秋•拱墅区期中）如图，△ABC中，AC＞AB．（1）作AB边的垂直平分线交BC于点P，作AC边的垂直平分线交BC于点Q，连接AP，AQ．（尺规作图，保留作图痕迹，不需要写作法）（2）在（1）的条件下，若BC＝14，求△APQ的周长．五．作图—应用与设计作图（共6小题）23．（2021秋•临海市期末）如图，在5×5的网格纸中，△ABC的三个顶点都在格点上．请仅用直尺，按要求画图．（1）在图1中画出过点B的直线l，使其平分△ABC的面积；（2）在图2中画出线段BD，使其平分∠ABC，且点D在格点上．24．（2021秋•椒江区期末）如图，两条公路OA，OB相交于点O，在∠AOB内部有两个村庄C，D．为方便群众接种新冠疫苗，该地决定在∠AOB内部再启动一个方舱式接种点P，要求同时满足：（1）到两条公路OA，OB的距离相等．（2）到两村庄C，D的距离相等．请你用直尺和圆规作出接种点P的位置（保留作图痕迹）．25．（2021秋•宁波期末）定义：如果三角形的两个内角α和β满足α+2β＝90°，那么我们称这样的三角形为“类直角三角形”．如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝8，BC＝6．请把这个三角形分割成两个三角形，使得其中一个为“类直角三角形”，并求出这个“类直角三角形”的面积．（备注：要求尺规作图）26．（2021秋•婺城区校级月考）如图，在7×6的方格中，△ABC的顶点均在格点上．试按要求画出线段EF（E，F均为格点），各画出一条即可．27．（2021春•南岗区校级月考）如图，网格中的每个小正方形的边长都是2，线段交点称做格点．（1）画出△ABC的高CD；（2）连接格点，用一条线段将图中△ABC分成面积相等的两部分；（3）直接写出△ABC 的面积是．28．（2021春•鼓楼区校级月考）我们知道，三角形具有性质：三条角平分线相交于一点，三条中线相交于一点．事实上，三角形还具有性质：三条高所在直线相交于一点．如图，在由小正方形组成的4×3的网格中，三角形的顶点都在小正方形的格点上．请运用上述三角形的性质，在该网格中，仅用无刻度的直尺，作出AC边上的高BH，再作出BC边上的高AK．（不写作法，保留作图痕迹）六．作图—代数计算作图（共1小题）29．（2021秋•诸暨市期中）如图，在5×5的正方形网格中，每个小正方形的边长都为1，请在所给网格中解答下面问题．（1）图中线段AB的两端点都落在格点（即小正方形的顶点）上，求出AB的长度；（2）再以AB为一边画一个等腰三角形ABC，使点C在格点上，且另两边的长都是无理数；（3）请直接写出符合（2）中条件的等腰三角形ABC 的顶点C的个数．巩固提升一、单选题1．（2021·衢州市实验学校教育集团（衢州学院附属学校教育集团）八年级期末）如图，在,OA OB 上分别截取,OD OE ，使OD OE =，再分别以点,D E 为圆心，以大于12DE 的长为半径作弧，两弧在AOB ∠内交于点C ，作射线,OC OC 就是AOB ∠的角平分线．这是因为连结,CD CE ，可得到COD COE ≌，根据全等三角形对应角相等，可得COD COE ∠=∠．在这个过程中，得到COD COE ≌的条件是（ ）A ．SASB ．AASC ．ASAD ．SSS2．（2021·浙江八年级期末）如图是用直尺和圆规作一个角等于已知角的示意图，说明O O ∠'=∠的依据是（ ）A ．SASB ．SSSC ．AASD ．ASA3．（2020·浙江八年级期末）ABC 内找一点P ，使P 到B 、C 两点的距离相等，并且P 到C 的距离等于A 到C 的距离．下列尺规作图正确的是（ ）A ．B ．C ．D ．4．（2020·浙江八年级期末）如图，在AOB ∠的两边上，分别取OM ON =，再分别过点M 、N 作OA 、OB 的垂线，交点为P ，画射线OP ，则OP 平分AOB ∠的依据是（ ）A ．SSSB ．SASC ．AASD ．HL5．（2020·浙江八年级期末）如图，已知ABC ，求作一点P ，使P 到A ∠的两边的距离相等，且PA PB =、下列确定P 点的方法正确的是（ ）A ．P 为AB ∠∠、两角平分线的交点B ．P 为AC AB 、两边上的高的交点 C ．P 为AC AB 、两边的垂直平分线的交点D ．P 为A ∠的角平分线与AB 的垂直平分线的交点二、填空题 6．（2019·浙江八年级期末）如图，依据尺规作图的痕迹，计算∠α=________°．7．（2019·浙江杭州·八年级月考）用直尺和圆规作一个角等于已知角的示意图如下，则要说明D O C DOC '''∠=∠，需要证明D O C DOC '''∆∆≌，则两个三角形全等的依据是________（写出全等简写）．8．（2018·浙江全国·）用直尺和圆规作一个角的平分线的示意图如图所示，则能说明∠AOC ＝∠BOC 的依据是_______．9．（2020·浙江高照实验学校八年级月考）如图，在ABC 中，∠C ＝90°，∠B ＝30°，以点A 为圆心，任意长为半径画弧分别交AB、AC于点M和N，再分别以M、N为圆心，大于12MN的长为半径画弧，两弧交于P，连接AP并延长交BC于点D，则∠ADB＝_____度．10．（2019·浙江杭州市·）尺规作图作∠AOB的平分线方法如下：以O为圆心，任意长为半径画弧交OA，OB于C，D，再分别以点C，D为圆心，以大于12CD长为半径画弧，两弧交于点P，作射线OP.由作法得△OCP≌△ODP的根据是_________．三、解答题11．（2019·浙江八年级期中）如图，在△ABC中，AB＝AC，∠ABC＝76°．（1）用直尺和圆规作∠ABC的平分线BD交AC于点D（保留作图痕迹，不要求写作法）；（2）在（1）中作出∠ABC的平分线BD后，求∠BDC的度数．12．（2021·浙江八年级期末）电信部门要修建一座电视信号发射塔，如图，按照设计要求，发射塔到两个城镇A，B的电网必须相等，到两条高速公路m和n的距离也必须相等，发射塔应修建在什么位置，从图中标出．（保留作图痕迹，说明理由）13．（2020·浙江）已知ABC ，用尺规作图：（1）作AC 边上的中线；（2）画AB 边上的高．14．（2019·浙江宁波·八年级期中）某小区为方便M 、N 两幢住宅楼的住户投放分类后的垃圾，拟在小区主路AB AC 、的交叉区域内设置一个垃圾投放点P ，现要求P 点到两条道路的距离相等，且使PM PN =，请你通过尺规作图找出这一P 点（不写作法，保留作图痕迹）15．（2020·浙江八年级期末）已知：线段c 和αβ∠∠，求作：ABC ，使得AB c A B αβ=∠=∠∠=∠，，（不写作法，但保留作图痕迹）16．（2020·浙江）已知线段a 及锐角α，用直尺和圆规作ABC ，使B α∠=∠，AB BC a ==．17．（2020·浙江）如图，线段a ，利用直尺和圆规按照下列要求作出图形．（保留作图痕迹，不要求写作法）（1）作一个等边三角形，边长为a ；（2）在第（1）题的图中，作一个α∠，使30︒=α．18．（2020·浙江八年级期末）如图，BAC ∠和点D .在BAC ∠内部，试求作一点P ，使得点P 到BAC ∠两边的距离相等，同时到点A ，D 的距离也相等.（不写作法，保留作图痕迹）19．（2021·浙江八年级期末）如图，已知ABC ，请按下列要求作图：（1）作BC边上的中线．（2）用直尺和圆规作ABC的角平分线CG．≌（使点D与A对应，点E与B对应，点F与C对应）．（3）用直尺和圆规作DEF，使DEF ABC20．（2020·浙江八年级期中）如图，已知ABC（1）用直尺和圆规按下列要求作图：（保留作图痕迹）在BC上作点D，使点D到AB和AC的距离相等；过BE AD交CA的延长线于E；点B作//（2）若AF BE⊥，垂足为F，证明BF EF．。
微专题 角平分线问题七大方法
针对训练 2. 如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，∠C＝2∠B，求证：AB＝AC＋CD.
第2题图
证明：如解图，在AB上取点E，使得AE＝AC， AE＝AC
在△AED和△ACD中 ∠1＝∠2 ， AD＝AD
∴△AED≌△ACD(SAS)，
第6题图
方法七 三角形一内角一外角角平分线的交角 方法解读 如图，若点P是∠ABC和外角∠ACE的平分线的交点，则∠P＝ 1 ∠A.
2
针对训练
7. 如图，在△ABC中，∠ABC＝50°，∠ACB＝60°，点E在BC的延长线上，
∠ABC的平分线BD与∠ACE的平分线CD相交于点D，连接AD，下列结论中不正确
∴∠AED＝∠C，ED＝CD，
∵∠C＝2∠B，且∠AED＝∠B＋∠BDE，
∴∠B＝∠BDቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ，
∴BE＝DE，
∴AB＝AE＋BE＝AC＋DE＝AC＋CD.
第2题解图
方法三 作角平分线的垂线构造等腰三角形 方法解读 如图，P是∠MON的平分线上一点，A是射线OM上一点，AP⊥OP于点P，延长 AP交ON于点B，OP为△AOB的高线、中线，可得△AOB是等腰三角形， Rt△AOP≌Rt△BOP.
微专题 角平分线问题七大方法
(10年4考，常在几何图形中涉及考查) 方法一 过角平分线上的点向角两边作垂线
方法解读 如图，P是∠MON的平分线上一点，过点P作PA⊥OM于点A，PB⊥ON于点B，根据 角平分线上的点到角两边的距离相等得PB＝PA，所以Rt△AOP≌Rt△BOP.
方法总结 过角平分线上一点向角两边作垂线，利用角平分线上的点到角两边距离相等的性质， 构造相等线段，全等三角形．
初一数学(上册)角平分线专题训练
角平分线专题训练1．如图，已知∠COB＝3∠AOC，OD平分∠AOB，且∠AOB＝120°，求∠COD的度数．2．OC，OD是分别从∠AOB的顶点O引出的两条射线，若∠AOB＝75°，∠COB＝45°并且OD平分∠AOC，试求∠BOD的度数．3．如图，已知∠BOC＝2∠AOB，OD平分∠AOC，∠BOD＝14°，求∠AOB的度数．4．如图，已知∠AOE是平角，OD平分∠COE，OB平分∠AOC，∠COD：∠BOC＝2：3，求∠COD，∠BOC的度数．5．如图，已知A、O、B三点在一条直线上，OC平分∠AOD，∠AOC+∠EOB＝90°，试问：∠DOE和∠EOB之间有怎样的关系？请说明理由．6．如图，已知∠BOC＝2∠AOC，OD平分∠AOB，且∠COD＝20°，求∠AOB的度数．7．如图，已知∠BOC＝2∠AOC，OD平分∠AOB，且∠BOC＝84°，求∠COD的度数．8．如图，∠AOC＝140°，OD平分∠AOC，OE平分∠BOC．（1）求∠BOE的度数．（2）求∠DOE的度数．9．已知：如图，BD平分∠ABC，∠ABD＝3∠DBE，∠ABE＝40°，求∠EBC的度数．10．如图所示，已知∠AOB＝90°，∠BOC＝30°，OM平分∠AOC，ON平分∠BOC；（1）求∠MON；（2）∠AOB＝α，∠BOC＝β，求∠MON的度数．11．如图，O为直线AB上一点，∠AOC＝50°，OD平分∠AOC，∠DOE＝90°（1）请你数一数，图中有多少个小于平角的角；（2）求出∠BOD的度数；（3）请通过计算说明OE是否平分∠BOC．12．（1）如图，已知∠AOB＝90°，∠BOC＝30°，OM平分∠AOC，ON平分∠BOC，求∠MON的度数．（2）若（1）中∠AOB＝α°，其它条件不变，求∠MON的度数．（3）若（1）中∠BOC＝β°（β为锐角），其它条件都不变（∠AOB仍是90°），求∠MON 的度数．（4）从（1）（2）（3）的结果中能看出什么规律？。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
9．如图5－ZT－9所示，已知∠B＝∠C＝90°，M是BC的中点， DM平分∠ADC. 求证：(1)AM平分∠DAB； (2)AD＝AB＋CD.
图5－ZT－9
[解析] 作ME⊥AD，证明Rt△DEM≌Rt△DCM，Rt△AEM≌Rt△ABM.
证明：(1)如图，过点 M 作 ME⊥AD 于点 E. ∵DM 平分∠ADC，∠C＝90°，∴MC＝ME. ∵M 是 BC 的中点， ∴MC＝MB＝ME. 又∵ME⊥AD，MB⊥AB， ∴AM 平分∠DAB.
距离相等，OA，OB为海岸线．一轮船P离开码头O，计划沿
∠AOB的平分线航行．
(1)用尺规作出轮船的预定航线OC；
(2)在航行途中，轮船P始终保持与灯
塔A，B的距离相等，则轮船航行时 是否偏离了预定航线？请说明理由．
图5－ZT－12
解：(1)如图．
(2) 轮船航行时没有偏离预定航线． 理由：在△AOP 和△BOP 中，POAA＝＝POBB，，
运用三 确定三角形的周长
6．如图5－ZT－6，在△ABC中，∠B＝90°，AB＝BC，AD平分 ∠BAC，DE⊥AC，AC＝20，求△CED的周长．
[解析] 猜想△DCE和△DBF的面积相等， 由已知CE＝BF，故只需说明两个三角形中以 CE，BF为底边上的高相等．
图5－ZT－6
解：：因为 AD 平分∠BAC，DE⊥AC，DB⊥AB，所以 DE＝DB. 在 Rt△ADE 和 Rt△ADB 中，DAED＝＝DABD，，所以 Rt△ADE≌Rt△ADB. 所以 AE＝AB. 所以△CED 的周长为 CE＋DE＋CD＝CE＋DB＋CD＝CE＋(DB＋CD) ＝CE＋BC＝CE＋AB＝CE＋AE＝AC＝20.
第十二章 全等三角形
专题训练(五) 角平分线的六种运用
第十二章 全等三角形
专题训练(五) 角平分线的六 运用
运用一 确定点的坐标和线段的长
1．如图5－ZT－1所示，在平面直角坐标系中，AD是Rt△OAB 的角平分线，点D到AB的距离DE＝3，则点D的坐标是 __(3_，_0_)___．
图5－ZT－1
证明：(2)在 Rt△DEM 和 Rt△DCM 中，MDME＝＝MDMC，， ∴Rt△DEM≌Rt△DCM.∴DE＝DC. 在 Rt△AEM 和 Rt△ABM 中，MAME＝＝MAMB，， ∴Rt△AEM≌Rt△ABM. ∴AE＝AB，∴AD＝AE＋DE＝AB＋CD.
[点评] 作出点M到角两边的垂线段，利用垂线段相等是解决这个问题 的关键，因此当遇到角平分线的问题时，如果不能打开思路，不妨过 角平分线上的点作出到角两边的垂线段．
运用四 证明两条线段相等
7．我们把两组邻边相等的四边形叫做“筝形”．如图5－ZT－7， 四边形ABCD是一个筝形，其中AB＝CB，AD＝CD. 对角线AC，BD相交于点O，OE⊥AB， OF⊥CB，垂足分别是E，F. 求证：OE＝OF.
图5－ZT－7
证明：在△ABD 和△CBD 中，AABD＝＝CCBD，， BD＝BD，
∴△ABD≌△CBD(SSS)．
∴∠ABD＝∠CBD.
∴BD 平分∠ABC.
又∵OE⊥AB，OF⊥CB，∴OE＝OF.
运用五 角平分线的性质和判定的综合
8．如图5－ZT－8所示，△ABC的外角∠CBD，∠BCE的平分线相 交于点F，则下列结论一定成立的是( C) A．AF平分BC B．AF⊥BC C．AF平分∠BAC D．FA平分∠BFC
图5－ZT－3
[解析] 由已知BC＝10，欲求△BDC的面积，需求出BC边上的高， 从而考虑过点D作DE⊥BC，由角平分线的性质可知DE＝AD，从而 问题转化为求AD的长．
解：如图，过点 D 作 DE⊥BC，垂足为 E. 因为 AB＝8，S△ABD＝332，所以12AB·AD＝332.所以 AD＝83. 因为 BD 是△ABC 的角平分线，DA⊥AB，DE⊥BC， 所以 DE＝AD＝83. 所以 S△BDC＝12BC·DE＝12×10×83＝430.
图5－ZT－2
[解析] 由垂线段最短可知，当 DP⊥BC 时，DP 的长最小． ∵∠A＝∠BDC＝90°，∠ADB＝∠C， ∴∠DBA＝∠DBC.∴BD 平分∠ABC. ∵DA⊥AB，DP⊥BC，∴DP＝DA＝4.
运用二 确定三角形的面积
3．如图 5－ZT－3，在△ABC 中，∠A＝90°，BD 是△ABC 的 角平分线．若 AB＝8，BC＝10，S△ABD＝332，求△BDC 的面积．
OP＝OP， ∴△AOP≌△BOP(SSS)．∴∠AOP＝∠BOP， 即点 P 在∠AOB 的平分线上．故轮船T－10，在四边形ABCD中，AB＝AD，CB ＝CD，BO平分∠ABC交AC于点O.求证：DO平分∠ADC.
图5－ZT－10
证明：如图，过点 O 作 AB，BC，CD，DA 的垂线，垂足分别为 E，F，G，H. 在△ACB 和△ACD 中，ACBB＝＝ACDD，，
AC＝AC， ∴△ACB≌△ACD(SSS)．∴∠BAC＝∠DAC，∠BCA＝∠DCA， 即 AC 平分∠BAD，CA 平分∠BCD. 由角平分线的性质可知 OE＝OH，OF＝OG. ∵BO 平分∠ABC，∴OE＝OF.∴OG＝OH. 又∵OH⊥AD，OG⊥CD， ∴DO 平分∠ADC.
5．如图5－ZT－5，现有一块三角形的空地，其三条边长分别是 20 m，30 m，40 m．现要把它分成面积比为2∶3∶4的三部分， 分别种植不同种类的花，请你设计一种方案，并简单说明理由．( 要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法)
图5－ZT－5
解：分别作∠ACB 和∠ABC 的平分线，相交于点 P. 连接 PA，则△PAB，△PAC，△PBC 的面积之比为 2∶3∶4(如图所示)． 理由如下： 如图，∵P 是∠ABC 和∠ACB 的平分线的交点， 过点 P 分别作 PE⊥AB 于点 E，PF⊥AC 于点 F，PH⊥BC 于点 H， 则 PE＝PF＝PH，∴S△PAB＝12AB·PE＝10PE， S△PAC＝12PF·AC＝15PF，S△PBC＝12PH·BC＝20PH， ∴S△PAB∶S△PAC∶S△PBC＝10∶15∶20＝2∶3∶4.
[解析] ∵欲求点D的坐标，先求线段OD的长．因为AD是Rt△OAB 的角平分线，DE⊥AB，OD⊥OA，所以DE＝OD＝3.所以点D的坐 标是(3，0)．
2．如图5－ZT－2，在四边形ABCD中，∠A＝90°，AD＝4，连 接BD，BD⊥CD，∠ADB＝∠C.若P是BC边上一动点，则DP长 的最小值为______4__．
4．如图5－ZT－4，D，E，F分别是△ABC三边上的点，AD平分 ∠BAC，CE＝BF.若S△DCE＝4，求S△DBF.
图5－ZT－4
[解析] 猜想△DCE和△DBF的面积相等，由已知CE＝BF，故只需 说明两个三角形中以CE，BF为底边上的高相等．
解：如图，过点 D 作 DH⊥AB 于点 H，DG⊥AC 于点 G. 因为点 D 在∠BAC 的平分线上，所以 DG＝DH. 又因为 CE＝BF， 所以12CE·DG＝12BF·DH. 所以 S△DBF＝S△DCE＝4.
运用六 角平分线在实际生活中的应用
11．某市有一块由三条公路围成的三角形绿地(如图5－ZT－11)， 现准备在其中建一小亭子供人们休息，而且要使小亭子中心到三 条公路的距离相等，试确定小亭子的中心位置．
解：在三角形内部分别作出两条角平分线， 其交点就是小亭子的中心位置，图略．
图5－ZT－11
12．如图5－ZT－12所示，O为码头，A，B两个灯塔与码头O的