5.1 数字信号分析的基本知识

Rxx(0)=ψx2
3.功率谱密度函数
功率谱是用以表示振动信号在某频段的能量成分，振动信号在时间历程 T
内的平均功率为
∫ P = 1 T x2 (t)dt T0
振动信号在单位带宽∆f 内的平均功率称为自功率谱密度函数Gxx(f)，即
lim ∫ = Gxx ( f )
1
1 T x2 (t, f , ∆f )dt
准周期信号的数学形式为
∞
∑ x(t ) = xn sin(2πfnt +θn ) n=1
如果上式中的任意两个频率fm/fn 之比不等于有理数，如图所示的非周期 信号的离散谱。则称为准周期信号。例如
（x=t） x1 sin (2t +θ1 ) + x2 sin (3t +θ2 ) + x3 sin ( 5 t +θ3 )
基本知识
信号的频谱主要有两类：幅值谱和相位谱。 自然界的信号都有“特征频谱”，频谱也可以用于机器部件的故障诊断。 当机器部件产生疲劳或裂缝时，其频谱发生改变，与正常频谱相比较，即 可实现对故障的诊断，避免事故发生。 同理，可用于人体疾病的监测和诊断。
动态信号可归纳为3种类型： ①周期性信号。 ②准周期信号。 ③非周期信号。
相干函数
相干函数在工程上也有许多应用： ①检验互谱和传递函数测量的有效性，在相干函数为1时，充分有效。 ②确定许多单独信号源对一给定测点信号的贡献大小，γ2 越大，说明由x(t) 引起的y(t)的成分越大。 γ2 =1 表示y(t)全部由x(t)引起。 γ2 =0表示y(t)全部由噪声n(t)所引起。因而，可以用来分离噪声。
因为2/ 5 和3/ 5 不是有理数（基本周期无限长），所以称为准周期信号， 但经测试而得到的频谱仍然为离散谱 。
3.非周期信号
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非周期信号属于瞬变型数据。它有一个重要特征，就是不能用离 散谱加以表示。从数学上讲，它不能表达为傅里叶级数，只能表 示为傅里叶积分的形式，即
此外，在不少场合下还要描述两个或几个振动信号之间的一些相互特性， 以确定它们各个振动信号之间的相互关系。如：互相关函数和互谱密度 函数，它们分别描述了各振动信号在幅值域与时域和频率域上的有关相 互关系。
1.均方值 (1)均值
在时间历程T内的振动信号x(t)所有值的算术平均值，称为均值。表达式为
1T
1
1
T
x(t, f , ∆f ) y(t, f , ∆f )dt
∆f T →∞ T 0
互谱密度函数一般是复数形式，即
Gxy ( f ) = Exy ( f ) − jQxy ( f )
实部 Exy( f ) 称为共谱密度函数； 虚部 Qxy( f ) 称为重谱密度函数。
4.相干函数
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2.自相关函数
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振动信号的自相关函数是描述在一个t时刻的信号与另一个t+τ时刻的信号 之间的依赖关系。表达式为
lim ∫ = Rxx (τ )
1 T x(t)x(t +τ )dτ
T T →∞
0
特点：
自相关函数Rx值可正可负，且在τ=0时，为最大值 （均方值） 随机噪声的自相关函数为0， 周期性分量的自相关函数不为零。
1.周期性信号
周期信号的数学形式可采用傅里叶级数展开的形式
∑ x(t)
=
a0 2
+
∞
[an
n=1
cos(2πnf1t) + bn
sin(2πnf1t)]
∑ =
x0 2
+
∞ n=1
xn
sin(2πnf1t
+ θn ),
θn
=
arctan
bn an
xn =
a
2 n
+
bn2
式中
1 f1＝T
为基频；
2.准周期信号
工程振动 测试技术
数字信号分析 ----基本知识
数字信号分析(1)傅里叶分析
工程测试的信号一般为模拟的时间历程信号，为了将测试的繁琐 时间历程数据变得简单明了，一般要利用计算机进行数字信号分 析将其简化，使其数据的物理概念更加明确。 数字信号分析是振动测试中的一种重要方法，也是近年来测试技 术的发展方向。将模拟信号转化成数字信号（A/D转换），依据快 速傅里叶变换(FFT)理论进行数据分析，可进行实时分析，并可处 理非平稳信号。 特点：精度高，速度快，容易实现。
lim ∫ µx
=
T →∞
T
x(t)dt
0
用以描述振动过程不变(静止)的分量。
1.均方值
(2)均方值
在时间历程T内，振动信号x(t)平方值的算术平均值，称为均方值。表达式为
lim ∫ ψ
2 x
=
T →∞
1 T
T 0
x2 (t)dt
均方值ψx2描述了振动信号的平均能量或平均功率。均方值的 正平方根ψx称为均方根值或有效值。
∫ X ( f ) = +∞ x(t)e− j2πftdt −∞
X ( f ) = X ( f ) e − j(θ )
一般在有限时间T内，可进行即时频谱密度计算
∫ X ( f ) = T x(t)e− j2πft dt 0
振动信号的特征值
在振动信号处理中常用统计函数来描述它的基本特性，即均方值、自相 关函数和自功率谱密度函数。这里，均方值提供了数据强度方面的描述； 自相关函数和功率谱密度函数等分别在时域和频域上提供了有关信息。
∆f T →∞ T 0
功率谱密度函数与自相关函数互为正、逆傅里叶变换：
∫ Gxx (
f
)
=
1
2π
+∞ −∞
Rx
(τ
)e−
jωτ
dτ
∫ Rxx (τ
)
=
1 2
+∞ −∞
Gxx
(
fቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
)e
j
2π
f
τ
df
傅里叶变换对
3.功率谱密度函数
同理，振动信号的互功率谱密度函数定义为：
lim ∫ = Gxy ( f )
相干函数是一个在频域中描述两个振动信号相关特性的函数。其定义为
γ
2 xy
(ω )
=
Gxy (ω ) 2 Gxx (ω )G yy (ω
)
如果在某个频域上γxz2(ω)=0，则x(t)和y(t) 在此频率上是不相干的； 如对所有频率的γxz2(ω)=0 都成立，则x(t)和y(t) 在统计意义上是独立的。
基本知识
概述
信号分析是将一复杂信号分解为若干简单信号，然后分别对这些信号分 量的特性进行分析。 这样的分解，可以抓住信号的主要成分进行分析，使复杂问题简单化。 实际上，这也是解决所有复杂问题最基本、最常用的方法。 信号分析中一个最基本的方法是：把频率作为信号的自变量，在频域里 进行信号的频谱分析。