线性规划的标准型

一般线性规划问题的标准化
（1） 目标函数的标准化 Min Z=CX (Z’=-Z) Max Z’=-CX 目标函数有极大化和极小化两种，而极大化已经是标准形式了，所以我们只需将 极小化的目标函数进行处理，设立一个新的目标函数值 z’，令 Z’=-Z，求 z’的极 大化问题，当 z’取极大值时，z 也就取得了极小值
约束条件在我们一般的线性规划是 AX ()b ，A 是约束矩阵（系数矩阵） ，而 在标准型中，要求 AX=b 决策变量要满足非负， 没有变化， X≥0 就要求决策向量 X 中的每一个元素都要≥0， 也就是 x1≥0，x2≥0，...，xn≥0 右端向量（资源约束）也要满足非负，b≥0，就要求资源约束向量 b 中的每一个 元素都要≥0，也就是 b1≥0，b2≥0，...，bn≥0 这就是线性规划标准型的矩阵形式 希望同学们在了解了线性规划标准型的矩阵形式后， 也复习一下矩阵的乘积的相 关知识，比方说，目标函数 CX，C 是一个 1× n 的向量，X 是一个 n× 1 的向量， 那么它们相乘后就是一个具体的值 这个大家一定要清楚，对线性代数的知识如果不记得了要复习一下 线性规划标准型的向量-矩阵形式
练习题 1：是否线性规划模型？
z 2 x1 3x2 x3 x1 x2 x3 3 s.t. x1 4 x2 7 x3 9 x 0, j 1, 2,3 j
看这个模型是否属于线性规划，应该怎么看？看能不能满足我们线性规划的定 义，对吧，满足几个条件：第一个，决策变量有没有；第二个，目标函数和约束 条件是不是它们的线性表达式呢？是的吧； 第三个， 非负条件满足吗？也满足吧 那么它是不是线性规划呢？不是， 因为目标函数一定要表现出是极大化还是极小 化的特征，而这里它没有反映。它的目标函数没有反映出是 max 还是 min，它必 须是要反映出极大化或是极小化，所以它不是线性规划模型 接下来我们看第二个模型，这个模型对上面那个模型做了一定的调整 练习题 2：是否线性规划模型？
AX b s.t X 0 b 0
C=(c1,c2,...,cn)
a11 a A 21 am1 a12 a22
X=(x1,x2,...,xn)T
b=(b1,b2,...,bm)
a1n a2 n am 2 amn 和线性规划的矩阵形式相比，目标函数右端还是没有变化，左端发生了变化，必 须是极大化
x1 x2 x3 3 x1 x2 x3 3
以上四个方面的变化过程就可以将一个非标准化的线性规划模型转换成一个标 准化的线性规划模型 举例 将线性规划问题划为标准型
MinZ 2 x1 3 x2 x3 x1 x2 x3 10 3x 2 x x 8 1 2 3 x1 3 x2 x3 1 x1 , x2 0, x3符号不受限制
Max
z c1 x1 c2 x2
cn xn
a11 x1 a12 x2 a1n xn b1 a x a x a x b 2n n 2 21 1 22 2 x.t am1 x1 am 2 x2 amn xn bm x1 , x2 , , xn 0 b1 , b2 , , bm 0
唯一的几个区别反映在哪里？我们来看 首先看决策变量有没有变化，没有 目标函数有没有区别，右端是价值系数和决策变量的乘积；左端是一个极大化的 要求，一般的线性规划可以是极大化，也可以是极小化 再看约束条件，作为一般形式，要把约束系数详细的表示出来，比如第一行... 约束条件都是等式，也就是标准形式要满足的条件 2，约束符号是等号，所以这 m 个约束每一个都必须是等号 约束条件的右端向量必须大于 0， 有 m 个约束就有 m 个约束值， 所以 b1, b2, ..., bm 都要大于等于 0，而线性规划的一般形式不要求资源约束向量非负，对吧，它可 以为负 线性规划标准型的紧缩形式
Min z 2 x1 3x2 x3 x1 x2 x3 3 s.t. x1 4 x2 7 x3 9 x 0, j 1, 2, x 符号不限 3 j
我们先看目标函数，是一个线性表达式，三个决策变量...看约束条件是否满足线 性的呢？都满足...决策变量是不是满足非负条件呢？有一个决策变量 x3 符号不 限， 通过变换可以把它变为线性规划模型，这在后面将要具体介绍线性规划的标 准化问题 接下来我们来看第三个，这一个是不是属于线性规划模型呢？ 虽然决策变量 n 个，有 m 个约束条件，约束条件也都满足线性表达式的条件， 但是目标函数不对，目标函数是决策变量的非线性表达式，是乘积的形式
Max
n
z cjxj
j 1
n
aij x j bi i 1, 2, j 1 s.t x j 0 j 1, 2, , n bi 0 i 1, 2, , m
,m
决策变量还是没有变化， 价值系数也没有变化， 就是目标函数的形式发生了变化， 要用极大化表示 约束条件也发生了一定的变化，约束条件必须满足等号，在一般的线性规划中， 既可以是大于等于，也可以是小于等于，也可以是等于 线性规划标准型的矩阵形式 C 是它的价值向量，是一个横向量，X 是它的决策变量，是一个纵向量 Max z CX
先看有几个决策变量， 三个决策变量......它的目标函数是......是决策变量的线性表 达式，没有问题.......三个约束条件也都是决策变量的线性表达式......决策变量 这个问题怎么样转化为标准型，同学们思考一下，给大家一点时间 这个问题离标准型还有多远呢？ 第一，目标函数是极小化，不是一个求极大化问题； 第二，约束条件有小于等于，也有大于等于； 第三，右端常数项有一个为负值，而标准型里的右端常数项都为非负值； 第四，决策变量在线性规划标准型中要满足非负值，而 x3 在这里没有限制。 所以要针对这四个方面进行处理，明确了思路我们就可以转化了。那么这个 次序怎么安排呢？ 变换次序： [1] 让所有的约束条件都为非负（如将 x3，令 x3=x3’-x4，且 x3’≥0，x4≥0，满 足非负条件） [2] 将右端常数项变为非负值 [3] 通过引入松弛变量和剩余变量将所有的不等式约束条件变为等式约束 [4] 目标函数标准化，将求极小化问题变为求极大化问题（如引入变换 z’=-z） [5] 整理：对整个变换加以整理（比如可以把 x3’中的’去掉，但是新的 x3 和原问 题的 x3 含义不一样） 首先处理决策变量，然后处理约束条件的右端常数项和不等式，接着处理目标 函数，最后加以整理 具体步骤： 首先引入 x3’和 x4，使得 x3=x3’-x4，且 x3’≥0，x4≥0，满足非负条件； 由于右端的常数是负值，等式两端同时乘以-1，得到...... 处理完了决策变量和右端常数项以后，下面应该处理什么，处理约束条件里 的小于等于不等式和大于等于不等式 针对第一个约束，加上 x5 后就可以把小于等于号变为大于等于号了 针对第二个约束，在约束条件的左端减去一个剩余变量，就可以将此大于等于的 问题变为等式 目标函数变为极小化，引入变换 z’=-z，并且把松弛变量和剩余变量加入到 目标函数中，系数为 0
Max
z cjxj
j 1
n
n aij x j (, )bi i 1, 2, s.t j 1 x 0 j 1, 2, , n j
,m
通过这几个例子，希望同学们能够更好的理解哪些是线性规划，哪些不是线性规 划，这样有助于我们今后更好的学习相关知识点。在我们拿来一个实际的问题以 后，我们首先看看能不能够用线性规划模型来进行表达，如果能的话，再利用后 面我们要给大家讲的线性规划的求解方法进行求解。 线性规划的标准型 接下来我们来介绍线性规划的标准型，作为一个线性规划的标准型，必须满足四
它的目标函数和矩阵形式没有什么区别，只是约束条件表现形式不同 Max z CX
n Pj x j b j 1 s.t X 0 b 0
Pj=(a1j,a2j,...,amj)T, j=1,2,...,n A=(P1,P2,...,Pn) 目标函数极大化、决策变量非负和矩阵形式都一样 Pj 是系数矩阵中的第 j 列，称为系数列向量，有多少个决策变量，就有多少个系 数列向量 向量的形式在后面很多也会碰到 所以我们看线性规划标准型的表达形式和一般的线性规划模型有哪些不同 主要有 4 个要求：...... 现在的问题是我们现实中碰到的很多问题能够满足这样的标准形式吗？要把它 们转化为标准形式，也就出现了一般线性规划问题的标准化过程，而一般线性规 划的标准化同样也要涉及到 4 个方面，也就是根据前面的四个条件作出相应的 4 种变换
Y 3 Fra Baidu bibliotek=f(x)
1
2
5
-1
X
Y’=-f(x) -3
这条红色的虚线我们很容易看出来，Y’=-f(x)在区间[2,5]上的极大值是多少，是 -1，也就是当 x=2 时，Y’取得区间内的极大值-1，对吧...当 x=2 时，y=f(x)达到 了极小值 1，所以我们在目标函数标准化时完全可以引入一个新的函数值 z’=-z， 把 Min Z=CX 转化为 Max Z’=CX，当 x 使得 z’达到最大值时，也就是使得 z 达 到最小值....那么 z’和 z 之间有什么关系呢， z’=-z....最优解都是一样的， 而最优值 呢不一样，应该是它的负数（相反数） ，乘以一个-1 就可以达到了，所以我们看 目标函数的标准化很容易理解....同学们如果不理解的话可以看看这个图， 目标函 数取极小值的时候和标准化后的目标函数极大值之间刚好是一个负值的关系 这是第一个问题，怎样把一个极小化问题转化为一个极大化问题 （2） 约束条件的标准化（不等式变等式） 约束条件不等式有两类，一类是小于等于，一类是大于等于 （1）约束条件是≤类型 --左边加非负松弛变量 同样松弛变量也要满足非负条件 当我们加入了松弛变量以后，小于等于不等号就变成了等号，相应的小于等于不 等式就变成了等式 ai1x1+ai2x2+...+ainxn≤bi ai1x1+ai2x2+...+ainxn+xi=bi, xi≥0 xi 我们称之为松弛变量 （2）约束条件是≥类型 --左边减非负剩余变量 说明左端项比右端项要大，剩余变量同样要满足非负条件 ai1x1+ai2x2+...+ainxn≥bi ai1x1+ai2x2+...+ainxn-xi=bi, xi≥0 xi 我们称之为剩余变量，这个变量同样也要满足决策变量非负值的要求 （3）约束条件是等式的不需要作变换 所以， 在将不等式变为等式约束条件时， 约束条件为≤类型的在左边加入的是非 负松弛变量， 而约束条件为≥类型的减去的是非负剩余变量， 希望同学们能够很 好的掌握，记住将不等式转化为等式的方法 （3） 变量符号 xk≥0 类型，不做任何变化； xk≤0 类型，设 xk’=-xk，然后把目标函数和约束条件中的 xk 都换成 xk’ 符号不限：引入新变量 xk=xk’-xk’’ 我们在很多实际问题中遇到的情况是决策变量的符号没有限制，可以大于 0，可 以小于 0，这个问题怎么来处理啊，变量符号不限制的话，就要引入一个新的变 量， 这里就有两个变量了， 增加了变量 xk’和 xk’’都满足非负要求， 也就是 xk’≥0， xk’’≥0。当 xk’>xk’’，说明 xk>0，当 xk’<xk’’，说明 xk<0。这时我们是不是增加了 一个决策变量啊，对吧...... （4） 右端常数为负值 两边同乘以-1
个条件： 目标函数约定是极大化 max（或极小化 min）--在这本书里，标准型是 max， 而有些书里标准型是 min，当然大家只要记住一个标准就行了，另外一个只 是它的反向 约束条件均用等式表示 每一个约束条件都是等号， 我们前面给大家讲的线 性规划的矩阵形式、向量形式等时，有的是小于等于，有的是大于等于，那 么都要转变为等号 决策变量限于取非负值 决策变量必须要满足非负条件 右端常数项均为非负值 资源约束向量 b 取非负 对系数没有要求， 包括多目标函数的系数（价值系数 C） ，对约束条件的系数（系 数矩阵 A） 都没有要求， 它只要求目标函数满足... 约束条件满足...决策变量满足... 右端常数项满足 这 4 个条件希望大家记住，我们来看标准型的不同形式有哪些。我们说线性规划 的标准型同样有 4 种描述形式 线性规划标准型的描述形式 一般形式 紧缩形式 矩阵形式 向量-矩阵形式 线性规划标准型的一般形式