信号与系统3-4
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F( jω)
∠ (ω) F
30°
60°
(5π)
(3π)
(3π)
0
(5π)
−4
−4 −2
2
4
ω
−2
2
0
−30°
4
ω
−60°
f (t) = 3cos(2t −30°) +5cos(4t +60°)
第3章第4讲
9
Signals And systems
例3.21
j3 ω 求它的傅里叶反变换。 已知频谱 F( jω) = ，求它的傅里叶反变换。 jω+ 2
⋯ ⋯
t
π 2 ∞ δ ∴ δT (t) ⇔ ∑ (ω−nΩ ) T n=−∞ δ = Ω∑ (ω−nΩ )
= Ω Ω(ω) δ
n=−∞ ∞
Ω
δΩ(ω)
⋯ ⋯
⋯ ⋯
−2Ω −Ω 0 2Ω Ω
ω
周期为Ω=2π 周期为Ω=2π/T
第3章第4讲
6
Signals And systems
举 例
周期函数的频谱
n=−∞ ∞
ɺ F( jω) =F [ f (t)] =F [ ∑F ejnΩt ] n
n=−∞
∞
ɺ ɺ = ∑F F [ejnΩt ] =2 ∑Fδ(ω−nΩ π ) n n
n=−∞ n=−∞
∞
∞
上式说明：周期信号的频谱是离散的， 上式说明：周期信号的频谱是离散的，它集中在基 和它所有谐波频率上。也可以说明， 频Ω和它所有谐波频率上。也可以说明，傅里叶级 数是傅里叶变换的一种特例。 数是傅里叶变换的一种特例。
已知
1 e ε(t) ⇔ jω+ 2
−2t
根据时域微分性质，有 根据时域微分性质，
d −2t jω [e ε(t)] ⇔ dt jω+ 2
d −2t f (t) = 3 [e ε(t)] = 3 (t) −6e−2tε(t) δ dt
第3章第4讲
10
Signals And systems
例3.22(a)
Signals And systems
Parseval定理 定理
1 ∞ 1 ∞ 2 2 ∫−∞| f (t) | dt = 2π ∫−∞ F( jω) dω = π ∫0 F( jω) dω
∞ 2
时域求得的信号能量
频域求得的信号能量
上式是非周期信号的能量等式， 上式是非周期信号的能量等式，是 Parseval 定理在非周期 信号时的表示形式。所以，信号能量可以从时域中求得， 信号时的表示形式。所以，信号能量可以从时域中求得， 也可以从频域中求得。 也可以从频域中求得。
第3章第4讲
5
Signals And systems
举 例
∞
冲激串函数 δT(t)
F[δT (t)] = 2 ∑Fδ(ω−nΩ π ɺn )
n=0
δT (t)
1 T 1 2 π ɺ F = ∫ 2T δT (t)e− jnΩt dt = , Ω= n T −2 T T
⋯ ⋯
− 2T −T T 0 2T
F( jω) = F ( jω) ⋅ Ω Ω(ω) δ 1
第3章第4讲
7
Signals And systems
举 例
周期矩形脉冲信号的傅里叶变换
f (t)
第一个周期： 第一个周期：
f1(t) =G (t) ⇔τSa( τ
1
ωτ
2
⋯ ⋯
⋯ ⋯
−T
−τ 0 2
τΩ
τ
2
)
T
t
故信号的频谱为： 故信号的频谱为：
f (t)
f1(t)
δT (t)
⋯ ⋯
− 2T −T T 0 2T
⋯ ⋯
t
=
0T
∗ ⋯ ⋯
t
− 2T −T T 0 2T
⋯ ⋯
t
其中： 为第一个周期， 周期函数 f (t) = f1(t)∗δT (t) ，其中：f1(t)为第一个周期， 周期函数的傅里叶 δT (t)为冲激串。 为冲激串。 变换的一般公式 根据时域卷积定理： 若 f1(t) ⇔F ( jω)，根据时域卷积定理： 1
1 ∞ 1 ∞ 10 2 2 E = ∫ [ f (t)] dt = F( jω) dω = ∫ F( jω) dω = J −∞ 2 ∫−∞ π π 0 π
2
∞
第3章第4讲
2
Signals And systems
3.7 周期信号的傅里叶变换
傅里叶变换可以推广至周期信号，其目的是把周 傅里叶变换可以推广至周期信号， 期与非周期信号的分析统一起来， 期与非周期信号的分析统一起来， 虽然周期信号不满足绝对可积条件， 虽然周期信号不满足绝对可积条件，但周期信号 的傅里叶变换可以通过冲激函数表达出来， 的傅里叶变换可以通过冲激函数表达出来，这也 反映了周期信号的离散性。 反映了周期信号的离散性。 除了将幅度频谱画作冲激之外， 除了将幅度频谱画作冲激之外，周期信号的傅里 叶变换与其傅里叶级数的系数的双边频谱相似。 叶变换与其傅里叶级数的系数的双边频谱相似。
F( jω)
(π)
(π)
0
j
θ ω ω0
cos(ω0t +θ) ⇔π[δ(ω +ω0 )e− jθ +δ(ω −ω0 )e jθ ]
ϕ(ω)
−ω0 0
θ
ω0
−ω 0
ω0
ω
第3章第4讲
ω
−θ
4
Signals And systems
一般周期信号的傅里叶变换
周期信号可表示为: 周期信号可表示为
ɺ f (t) = ∑F e jnΩt n
e− j2πt G (t) ⇔6Sa[3(ω −2π)] 6
f (t) = e− j2πt G (t) 6
第3章第4讲
11
Signals And systems
例3.22(b)
π
已知频谱，求它的傅里叶反变换。 已知频谱，求它的傅里叶反变换。
F( jω) = cos(4 + ) ω 3 cos(4t) ⇔π[δ(ω + 4) +δ(ω −4)] 已知 根据对称性质， 根据对称性质，有 π[δ(t + 4) +δ(t − 4)] ⇔2 cos(4 ) π ω
第3章第4讲
]
12
Signals And systems
课堂练习题
F( jω) =[ε(ω) −ε(ω −2)]e− jω
求下列频谱函数F(jω 的傅里叶反变换 求下列频谱函数 ω)的傅里叶反变换 f (t)。 。 解： F( jω) =[ε(ω) −ε(ω −2)]e− jω =G (ω −1 e− jω ) 2
1
Sa(t −1 e j(t−1) ⇔ 2(ω −1 e− jω ) G ) π
1
∴
1 f (t) = π Sa(t −1 e j(t−1) )
第3章第4讲
13
Signals And systems
课堂练习题
F( jω) = 1 ( jω +α)2
求下列频谱函数F(jω 的傅里叶反变换 求下列频谱函数 ω)的傅里叶反变换 f (t)。 。
应用频移性质， 应用频移性质，有
0.5 δ(t + 4) +δ(t −4)]e [
jπ 3
π − j12t
⇔cos[4(ω − )] 12
] ⇔cos(4 − ) ω 3 π
−j 3
π
0.5 δ(t +4)e +δ(t −4)e [
jπ 3
−j π 3
π
f (t) = 0.5 δ(t + 4)e +δ(t −4)e [
F( jω) = F( jω)⋅Ω Ω(ω) δ 1 =τΩ ( Sa
∞
F( jω)
ω τ
2
)δΩ(ω)
2π
0Ω
百度文库
τ
ω
τ nΩ τ =τΩ∑Sa( )δ(ω−nΩ 显然这是 ) 显然这是T=2τ 2 n=−∞ 的频谱图
第3章第4讲
8
Signals And systems
3.8 傅里叶反变换
傅里叶反变换的求法是借助于已知的变换对和性 质
课堂练习题
F( jω) = 2ε(1−ω)
求下列频谱函数F(jω 的傅里叶反变换 求下列频谱函数 ω)的傅里叶反变换 f (t)。 。
解： 已 知 ε(t) ⇔
时 性 移 质
1 +πδ(ω) jω ejω ejω jω ε(t +1 ⇔ ) +πδ(ω)e = +πδ(ω) jω jω
ejt 对 性 称 质 2 ε(− +1 ⇔ +πδ(t) π ω ) jt
第3章第4讲
1
Signals And systems
例 3.17
ω τ
π 2 tτ 根据对称特性： 根据对称特性： Sa( ) ⇔2 G (ω) 令τ =10 10Sa(5t) ⇔2 G (ω) τ π τ π 10
∵
sin 5t 的能量。 求信号 f (t) = 2cos997t ⋅ 的能量。 πt 已知： 解：已知： 1 cos997t ⇔[δ(ω −997) +δ(ω +997)]
∴ ejt f (t) =δ(t) + jπt
第3章第4讲
15
已 G (t) ⇔τ Sa(ωτ ) 知 τ 2
对 性 τ Sa( 2 ) ⇔2 G (ω) 称 π τ 令 = 2, 得 2Sa(t) ⇔2 G (ω) τ π 2
tτ
即 得
由 移 质 频 性 由 移 质 时 性
( G ω π Sa t) ⇔ 2( )
1
Sa(t)e jt ⇔ 2(ω −1 G ) π
解：已 知
1 e ε(t) ⇔ jω +α
− t α
由 域 分 − jte−αtε(t) ⇔( 频 微 即
1 −j )′ = jω +α ( jω +α)2 1 1 − t α te ε(t) ⇔( )′ = jω +α ( jω +α)2
∴
f (t) =t e−αtε(t)
第3章第4讲
14
Signals And systems
G (t) ⇔τ Sa( τ
)
2 sin 5t 1 10 f (t) = cos997t ⋅ = cos997t ⋅10Sa(5t) π 5t π
根据频域卷积定理： 根据频域卷积定理： ( jω) = F 信号的能量为： 信号的能量为：
1 ⋅ 2 G (ω)∗[δ(ω−997) +δ(ω+997)] π 10 2 π =G (ω−997) +G (ω+997) 10 10
第3章第4讲
3
Signals And systems
正弦信号的傅里叶变换
f (t) = cos(ω0t +θ)
θ ，有 ω0
考虑余弦信号
cosω0t ⇔π[δ(ω+ω0 ) +δ(ω−ω0 )]
根据时移性质， 根据时移性质，t →t +
cos(ω0t +θ) ⇔π[δ(ω+ω0 ) +δ(ω−ω0 )] e
已知频谱，求它的傅里叶反变换。 已知频谱，求它的傅里叶反变换。
2sin 3(ω −2 )] [ π F( jω) = ω−2π 2sin 3 ] 6sin 3 ] [ ω [ ω 考虑频谱 = = 6Sa(3 ) ω ω 3 ω ωτ 已知 G (t) ⇔τSa( ) ，令 τ = 6，得 G (t) ⇔6Sa(3 ) τ ω 6 2
∠ (ω) F
30°
60°
(5π)
(3π)
(3π)
0
(5π)
−4
−4 −2
2
4
ω
−2
2
0
−30°
4
ω
−60°
f (t) = 3cos(2t −30°) +5cos(4t +60°)
第3章第4讲
9
Signals And systems
例3.21
j3 ω 求它的傅里叶反变换。 已知频谱 F( jω) = ，求它的傅里叶反变换。 jω+ 2
⋯ ⋯
t
π 2 ∞ δ ∴ δT (t) ⇔ ∑ (ω−nΩ ) T n=−∞ δ = Ω∑ (ω−nΩ )
= Ω Ω(ω) δ
n=−∞ ∞
Ω
δΩ(ω)
⋯ ⋯
⋯ ⋯
−2Ω −Ω 0 2Ω Ω
ω
周期为Ω=2π 周期为Ω=2π/T
第3章第4讲
6
Signals And systems
举 例
周期函数的频谱
n=−∞ ∞
ɺ F( jω) =F [ f (t)] =F [ ∑F ejnΩt ] n
n=−∞
∞
ɺ ɺ = ∑F F [ejnΩt ] =2 ∑Fδ(ω−nΩ π ) n n
n=−∞ n=−∞
∞
∞
上式说明：周期信号的频谱是离散的， 上式说明：周期信号的频谱是离散的，它集中在基 和它所有谐波频率上。也可以说明， 频Ω和它所有谐波频率上。也可以说明，傅里叶级 数是傅里叶变换的一种特例。 数是傅里叶变换的一种特例。
已知
1 e ε(t) ⇔ jω+ 2
−2t
根据时域微分性质，有 根据时域微分性质，
d −2t jω [e ε(t)] ⇔ dt jω+ 2
d −2t f (t) = 3 [e ε(t)] = 3 (t) −6e−2tε(t) δ dt
第3章第4讲
10
Signals And systems
例3.22(a)
Signals And systems
Parseval定理 定理
1 ∞ 1 ∞ 2 2 ∫−∞| f (t) | dt = 2π ∫−∞ F( jω) dω = π ∫0 F( jω) dω
∞ 2
时域求得的信号能量
频域求得的信号能量
上式是非周期信号的能量等式， 上式是非周期信号的能量等式，是 Parseval 定理在非周期 信号时的表示形式。所以，信号能量可以从时域中求得， 信号时的表示形式。所以，信号能量可以从时域中求得， 也可以从频域中求得。 也可以从频域中求得。
第3章第4讲
5
Signals And systems
举 例
∞
冲激串函数 δT(t)
F[δT (t)] = 2 ∑Fδ(ω−nΩ π ɺn )
n=0
δT (t)
1 T 1 2 π ɺ F = ∫ 2T δT (t)e− jnΩt dt = , Ω= n T −2 T T
⋯ ⋯
− 2T −T T 0 2T
F( jω) = F ( jω) ⋅ Ω Ω(ω) δ 1
第3章第4讲
7
Signals And systems
举 例
周期矩形脉冲信号的傅里叶变换
f (t)
第一个周期： 第一个周期：
f1(t) =G (t) ⇔τSa( τ
1
ωτ
2
⋯ ⋯
⋯ ⋯
−T
−τ 0 2
τΩ
τ
2
)
T
t
故信号的频谱为： 故信号的频谱为：
f (t)
f1(t)
δT (t)
⋯ ⋯
− 2T −T T 0 2T
⋯ ⋯
t
=
0T
∗ ⋯ ⋯
t
− 2T −T T 0 2T
⋯ ⋯
t
其中： 为第一个周期， 周期函数 f (t) = f1(t)∗δT (t) ，其中：f1(t)为第一个周期， 周期函数的傅里叶 δT (t)为冲激串。 为冲激串。 变换的一般公式 根据时域卷积定理： 若 f1(t) ⇔F ( jω)，根据时域卷积定理： 1
1 ∞ 1 ∞ 10 2 2 E = ∫ [ f (t)] dt = F( jω) dω = ∫ F( jω) dω = J −∞ 2 ∫−∞ π π 0 π
2
∞
第3章第4讲
2
Signals And systems
3.7 周期信号的傅里叶变换
傅里叶变换可以推广至周期信号，其目的是把周 傅里叶变换可以推广至周期信号， 期与非周期信号的分析统一起来， 期与非周期信号的分析统一起来， 虽然周期信号不满足绝对可积条件， 虽然周期信号不满足绝对可积条件，但周期信号 的傅里叶变换可以通过冲激函数表达出来， 的傅里叶变换可以通过冲激函数表达出来，这也 反映了周期信号的离散性。 反映了周期信号的离散性。 除了将幅度频谱画作冲激之外， 除了将幅度频谱画作冲激之外，周期信号的傅里 叶变换与其傅里叶级数的系数的双边频谱相似。 叶变换与其傅里叶级数的系数的双边频谱相似。
F( jω)
(π)
(π)
0
j
θ ω ω0
cos(ω0t +θ) ⇔π[δ(ω +ω0 )e− jθ +δ(ω −ω0 )e jθ ]
ϕ(ω)
−ω0 0
θ
ω0
−ω 0
ω0
ω
第3章第4讲
ω
−θ
4
Signals And systems
一般周期信号的傅里叶变换
周期信号可表示为: 周期信号可表示为
ɺ f (t) = ∑F e jnΩt n
e− j2πt G (t) ⇔6Sa[3(ω −2π)] 6
f (t) = e− j2πt G (t) 6
第3章第4讲
11
Signals And systems
例3.22(b)
π
已知频谱，求它的傅里叶反变换。 已知频谱，求它的傅里叶反变换。
F( jω) = cos(4 + ) ω 3 cos(4t) ⇔π[δ(ω + 4) +δ(ω −4)] 已知 根据对称性质， 根据对称性质，有 π[δ(t + 4) +δ(t − 4)] ⇔2 cos(4 ) π ω
第3章第4讲
]
12
Signals And systems
课堂练习题
F( jω) =[ε(ω) −ε(ω −2)]e− jω
求下列频谱函数F(jω 的傅里叶反变换 求下列频谱函数 ω)的傅里叶反变换 f (t)。 。 解： F( jω) =[ε(ω) −ε(ω −2)]e− jω =G (ω −1 e− jω ) 2
1
Sa(t −1 e j(t−1) ⇔ 2(ω −1 e− jω ) G ) π
1
∴
1 f (t) = π Sa(t −1 e j(t−1) )
第3章第4讲
13
Signals And systems
课堂练习题
F( jω) = 1 ( jω +α)2
求下列频谱函数F(jω 的傅里叶反变换 求下列频谱函数 ω)的傅里叶反变换 f (t)。 。
应用频移性质， 应用频移性质，有
0.5 δ(t + 4) +δ(t −4)]e [
jπ 3
π − j12t
⇔cos[4(ω − )] 12
] ⇔cos(4 − ) ω 3 π
−j 3
π
0.5 δ(t +4)e +δ(t −4)e [
jπ 3
−j π 3
π
f (t) = 0.5 δ(t + 4)e +δ(t −4)e [
F( jω) = F( jω)⋅Ω Ω(ω) δ 1 =τΩ ( Sa
∞
F( jω)
ω τ
2
)δΩ(ω)
2π
0Ω
百度文库
τ
ω
τ nΩ τ =τΩ∑Sa( )δ(ω−nΩ 显然这是 ) 显然这是T=2τ 2 n=−∞ 的频谱图
第3章第4讲
8
Signals And systems
3.8 傅里叶反变换
傅里叶反变换的求法是借助于已知的变换对和性 质
课堂练习题
F( jω) = 2ε(1−ω)
求下列频谱函数F(jω 的傅里叶反变换 求下列频谱函数 ω)的傅里叶反变换 f (t)。 。
解： 已 知 ε(t) ⇔
时 性 移 质
1 +πδ(ω) jω ejω ejω jω ε(t +1 ⇔ ) +πδ(ω)e = +πδ(ω) jω jω
ejt 对 性 称 质 2 ε(− +1 ⇔ +πδ(t) π ω ) jt
第3章第4讲
1
Signals And systems
例 3.17
ω τ
π 2 tτ 根据对称特性： 根据对称特性： Sa( ) ⇔2 G (ω) 令τ =10 10Sa(5t) ⇔2 G (ω) τ π τ π 10
∵
sin 5t 的能量。 求信号 f (t) = 2cos997t ⋅ 的能量。 πt 已知： 解：已知： 1 cos997t ⇔[δ(ω −997) +δ(ω +997)]
∴ ejt f (t) =δ(t) + jπt
第3章第4讲
15
已 G (t) ⇔τ Sa(ωτ ) 知 τ 2
对 性 τ Sa( 2 ) ⇔2 G (ω) 称 π τ 令 = 2, 得 2Sa(t) ⇔2 G (ω) τ π 2
tτ
即 得
由 移 质 频 性 由 移 质 时 性
( G ω π Sa t) ⇔ 2( )
1
Sa(t)e jt ⇔ 2(ω −1 G ) π
解：已 知
1 e ε(t) ⇔ jω +α
− t α
由 域 分 − jte−αtε(t) ⇔( 频 微 即
1 −j )′ = jω +α ( jω +α)2 1 1 − t α te ε(t) ⇔( )′ = jω +α ( jω +α)2
∴
f (t) =t e−αtε(t)
第3章第4讲
14
Signals And systems
G (t) ⇔τ Sa( τ
)
2 sin 5t 1 10 f (t) = cos997t ⋅ = cos997t ⋅10Sa(5t) π 5t π
根据频域卷积定理： 根据频域卷积定理： ( jω) = F 信号的能量为： 信号的能量为：
1 ⋅ 2 G (ω)∗[δ(ω−997) +δ(ω+997)] π 10 2 π =G (ω−997) +G (ω+997) 10 10
第3章第4讲
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Signals And systems
正弦信号的傅里叶变换
f (t) = cos(ω0t +θ)
θ ，有 ω0
考虑余弦信号
cosω0t ⇔π[δ(ω+ω0 ) +δ(ω−ω0 )]
根据时移性质， 根据时移性质，t →t +
cos(ω0t +θ) ⇔π[δ(ω+ω0 ) +δ(ω−ω0 )] e
已知频谱，求它的傅里叶反变换。 已知频谱，求它的傅里叶反变换。
2sin 3(ω −2 )] [ π F( jω) = ω−2π 2sin 3 ] 6sin 3 ] [ ω [ ω 考虑频谱 = = 6Sa(3 ) ω ω 3 ω ωτ 已知 G (t) ⇔τSa( ) ，令 τ = 6，得 G (t) ⇔6Sa(3 ) τ ω 6 2