2020届内蒙古赤峰市高三下学期4.16模拟考试试题文科数学(解析版)
内蒙古赤峰市2024届高三下学期4.20模拟考试文科数学试题
内蒙古赤峰市2024届高三下学期4.20模拟考试文科数学试题一、单选题1．已如集合{}1,0,1,2,3,4A =-，集合{}2230B x x x =--≤，则A B =I （ ）A ．{}1,0,1,2,3-B ．{}1,0,1-C ．{}0,1,2D ．{}1,0-2．复数5i 2z =-的共轭复数为（ ） A ． i 2+ B ．i 2- C ．2i -- D ．2i --3．下列函数最小值为4的是（ ） A ．4y x x=+B ．224y x x =+C ．4y x =+D ．()4?y x =+4．已知a r ，b r 是两个不共线的向量，命题甲：向量+r r ta b 与2a b -r r 共线；命题乙: 12t =-，则甲是乙的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件5．已知ABC V 的两个顶点,A B 的坐标分别是()()1,0,1,0-，且,AC BC 所在直线的斜率之积等于()0m m ≠，则（ ）A ．当0m <时，顶点C 的轨迹是焦点在x 轴上的椭圆，并除去()()1,0,1,0-两点B ．当0m <时，顶点C 的轨迹是焦点在y 轴上的椭圆，并除去()()1,0,1,0-两点 C ．当0m >时，顶点C 的轨迹是焦点在x 轴上的双曲线，并除去()()1,0,1,0-两点D ．当0m >时，顶点C 的轨迹是焦点在y 轴上的双曲线，并除去()()1,0,1,0-两点6．已知圆 ()()22:112C x y +++=₁，圆222:440C x y x y +--=，则两圆的公切线条数为（ ）A ．4B ．3C ．2D ．17．在《九章算术》中，将四个面都为直角三角形的三棱锥称为鳖臑，已知鳖臑P ABC -的三视图如图所示（单位：cm ），则该几何体的外接球的表面积为（单位：cm 2）（ ）A ．164πB ．64πC ．100πD ．256π8．函数2()cos f x x x =-的图象大致为（ ）A ．B ．C ．D ．9．已知()()22cos ,0,2πf x x x x =∈，则()f x 的零点之和为（ ） A ．4π3B ．10π3C ．14π3D ．10π10．已知点()()()0,0,4,0,4,0O A B -， 设点M 满足 4MA MB -=，且M 为函数y OM =（ ）A B C D 11．已知函数e(2)()ln x f x x-=，下列函数是奇函数的是（ ）A ．()11f x ++B ．()11f x -+C ．()11f x --D ．()11f x +-12．如图是瑞典数学家科赫在1904年构造的能够描述雪花形状的图案.图形的作法是：从第一个正三角形（边长为1）P 1开始，把每条边分成三等份，然后以各边的中间一段为底边分别向外作正三角形，再去掉底边.反复进行这一过程，就得到一条“雪花”状的曲线，称为科赫曲线.设P n 的周长和面积分别为L n 、S n ，下列结论正确的是（ ）①P ₅的边数为434;⨯ ②4543;3L ⎛⎫=⨯ ⎪⎝⎭③n n L S ⎧⎫⎨⎬⎩⎭既不是等差数列，也不是等比数列； ④0n N S N ∃><,A ．①②③B ．①②④C ．①③④D ．①②③④二、填空题13．若连续抛两次骰子得到的点数分别为a ，b ，则点(,)P a b 在直线7a b +=上的概率为. 14．将函数sin cos y x x =-的图象向左平移()0πm m <<个单位后， 所得图象关于y 轴对称，则实数 m 的值为.15．已知函数 ()43log 3a x x f x x x -+≤⎧=⎨>⎩，，，（0a >且1a ≠）， 若()y f x =有最小值， 则实数a 的取值范围是.16．在ABC V 中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ， 已知 22²210c a b =+=，，,BC AC 边上的中线AM ，BN 相交于点P ， 则直线,AM BN 的夹角为.三、解答题17．随着中国科技的迅猛发展和进步，中国民用无人机行业技术实力和国际竞争力不断提升，市场规模持续增长.为了适应市场需求，我国某无人机制造公司研发了一种新型民用无人机，为测试其性能，对其飞行距离与核心零件损坏数进行了统计，数据如下：(1)据关系建立y 关于x 的回归模型 ˆˆˆybx a =+求y 关于x 的回归方程（ˆb 精确到0.1，ˆa 精确到1）.(2)为了检验核心零件报废是否与保养有关，该公司进行第二次测试，从所有同型号民用无人机中随机选取100台进行等距离测试，对其中60台进行测试前核心零件保养，测试结束后，有20台无人机核心零件报废，其中保养过的占比30%，请根据统计数据完成2×2列联表，并根据小概率值0.01α=的独立性检验，能否认为核心零件的报废与保养有关? 附：回归方程 ˆˆˆybx a =+中斜率和截距的最小二乘原理估计公式 121()()ˆ()nii i nii xx y y b xx ==--=-∑∑，()()()()()22,,.ˆˆn ad bc ay bx K n a b c d a bc d a c b d -=-==+++++++参考数据： 8821186,112,82743,62680i i i i i x y x y x ======∑∑18．已知数列{}n a 中，112a =，123n n n a a a +=+()*n N ∈. （1）求证：11n a ⎧⎫+⎨⎬⎩⎭是等比数列，并求数列{}n a 的通项公式；（2）已知数列{}n b 满足()312n n n nn b a -=，求数列{}n b 的前n 项和n T .19．如图， 在三棱台 111A B C ABC -中， 111A B C △和 ABC V 都为等边三角形，且边长分别为2和4，1112,90CC ACC BCC =∠=∠=︒,G 为线段AC 的中点， H 为线段BC 上的点，1//A B 平面1C GH .(1)求证: 点H 为线段BC 的中点; (2)求三棱锥 B A AH -₁的体积. 20． 已知 ()0,2x ∈，(1)比较sin x ， x 的大小， 并证明; (2)求证：sin 2e .2x xx+<- 21．已知点P 为圆()22:24C x y -+=上任意一点，()2,0A -，线段PA 的垂直平分线交直线PC于点M ，设点M 的轨迹为曲线H . (1)求曲线H 的方程；(2)若过点M 的直线l 与曲线H 的两条渐近线交于S ，T 两点，且M 为线段ST 的中点. （i ）证明：直线l 与曲线H 有且仅有一个交点； （ii ） 求证：OS OT ⋅是定值.22．直角坐标系xOy 中，曲线C₁的参数方程为 sin2sin cos k k x y θθθ=⎧⎨=+⎩（θ为参数），曲线2C 的参数方程为 cos 1sin x a t y a t =⎧⎨=+⎩，，（t 为参数， 0.a >）以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线3C 的极坐标方程为 0θα=，其中0α满足 01tan .2α=(1)当 1k =时，求曲线C₁的普通方程；(2)当 4k =时，若C₁与3C 在第一象限的交点在2C 上，求a 的值. 23．已知 x y ≠， (1)化简①22;x y x y-- ②33x y x y--(2)用数学归纳法证明： n n x y -能被x y -整除.。
2020赤峰420-文数
D.既不充分也不必要条件
4.随着我国经济实力的不断提升，居民收入也在不断增加。抽样发现赤峰市某家庭 2019 年全年的收入与 2015
年全年的收入相比增加了一倍，实现翻番。同时该家庭的消费结构随之也发生了变化，现统计了该家庭这两年不
同品类的消费额占全年总收入的比例，得到了如下折线图：
则下列结论中正确的是
极轴建立极坐标系，曲线
C
的极坐标方程为
2
12 3 sin2
.
(1)若 a=-2,求曲线 C 与 l 的交点坐标;
(2)过曲线 C 上任意一点 P 作与 l 夹角为 45°的直线,交 l 于点 A,且|PA|的最大值 10, 求 a 的值.
23. (10 分)选修 4- -5:不等式选讲
已知函数 f (x) | x 1| | x 2 | .
粮仓的表面积(含上下两底)最小那么它的底面半径是____尺.
16.设数列{an} 的前
n
项和为 Sn , 且满足 2an
Sn
1,
则使 a12
a22
an2
5 2n1 成立的 3
n
的最大值为
_____.
三、解答题:共 70 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。第 17~21 题为必考题，每个试题考生都
7.李生素数猜想是希尔伯特在 1900 年提出的 23 个问题之一，2013 年华人数学家张益唐证明了孪生素数猜想
的一个弱化形式，问题可以描述为:存在无穷多个素数 p,使得 p+2 是素数,素数对(p, p+2)称为孪生素数对.问:如果
从 30 以内的素数组成的孪生素数对中随机抽取一对，这对孪生素数的积不超过 20 的概率是
2
2020年内蒙古赤峰市高考数学模拟试卷(文科)含答案解析
2020年内蒙古赤峰市高考数学模拟试卷（文科）一、选择题1．设全集U={﹣2，﹣1，0，1，2}，集合M={﹣1，0，1}，N={x|x2﹣x﹣2=0}，则（∁U M）∩N=（）A．{2}B．{﹣1}C．{﹣2，﹣1，2}D．{﹣1，1}2．已知复数z=，则（）A．z的实部为B．z的虚部为﹣iC．|z|=D．z的共轭复数为+i3．若方程x2+=1（a是常数），则下列结论正确的是（）A．任意实数a方程表示椭圆B．存在实数a方程表示椭圆C．任意实数a方程表示双曲线D．存在实数a方程表示抛物线4．已知=（1，2），=（﹣2，4），且k+与垂直，则k=（）A．B．﹣C．﹣D．5．某产品在某零售摊位的零售价x（单位：元）与每天的销售量y（单位：个）的统计资料如下表所示：x 11 10.5 10 9.5 9y 5 6 8 10 10根据上表得回归直线方程=x+，其中=﹣3.2，=﹣，据此回归方程估计零售价为5元时销售量估计为（）A．16个B．20个C．24个D．28个6．不等式x2﹣2x+m＞0在R上恒成立的必要不充分条件是（）A．m＞2 B．0＜m＜1 C．m＞0 D．m＞17．如图所示，程序框图（算法流程图）的输出结果是（）A．34 B．55 C．78 D．898．设S n是公差d=﹣1的等差数列{a n}的前n项和，且S1，S2，S4成等比数列，则a n=（）A．﹣﹣n B．﹣n C． +n D．﹣+n9．已知某几何体的三视图（单位：cm）如图所示，则该几何体的体积是（）A．100cm3B．98cm3C．88cm3D．78cm310．已知ω＞0，|φ|＜，若x=和x=是函数f（x）=cos（ωx+φ）的两个相邻的极值点，将y=f（x）的图象向左平移个单位得到函数y=g（x）的图象，则下列说法正确的是（）A．y=g（x）是奇函数B．y=g（x）的图象关于点（﹣，0）对称C．y=g（x）的图象关于直线x=对称D．y=g（x）的周期为π11．已知点，过点P的直线与圆x2+y2=14相交于A，B两点，则|AB|的最小值为（）A．2 B． C． D．412．已知椭圆的左顶点和上顶点分别为A、B，左、右焦点分别是F1，F2，在线段AB上有且只有一个点P满足PF1⊥PF2，则椭圆的离心率为（）A．B．C．D．二、填空题13．已知sin（α+）=，且，则cosα=．14．展开式中只有第六项的二项式系数最大，则展开式中的常数项等于．15．已知长方体ABCD﹣A1B1C1D1各个顶点都在球面上，AB=3，AD=2，A1A=2，过棱AD 作该球的截面，则当截面面积最小时，球心到截面的距离为．16．已知函数f（x）=2lnx﹣x2+a在[，e]上有两个零点，则实数a的取值范围为．三、解答题17．设数列{a n}的前n项之和为S n，且满足S n=1﹣a n，n∈N*．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）令b n=（n+1）a n，求数列{b n}的前n项和T n．18．如图，在多面体ABC﹣A1B1C1中，四边形ABB1A1是正方形，AC=AB=1，△A1BC是正三角形，B1C1∥BC，B1C1=BC．（Ⅰ）求证：面A1AC⊥面ABC；（Ⅱ）求该几何体的体积．19．从某校随机抽取200名学生，获得了他们的一周课外阅读时间（单位：小时）的数据，整理得到数据分组级频数分布直方图：编号分组频数1 [0，2）122 [2，4）163 [4，6）344 [6，8）445 [8，10）506 [10，12）247 [12，14）128 [14，16） 49 [16，18） 4合计200（1）从该校随机选取一名学生，试估计这名学生该周课外阅读时间少于12小时的概率；（2）求频率分布直方图中的a，b的值；（3）假设同一组中的每个数据可用该组区间的中点值代替，试估计样本中的200名学生该周课外阅读时间的平均数在第几组．20．已知椭圆+=1（a＞b＞0）的左右焦点分别为F1，F2，点A（4，2）在椭圆上，且AF2与x轴垂直．（1）求椭圆的方程；（2）过点F2作直线与椭圆交于B、C两点，求△COB面积的最大值．21．设函数f（x）=xlna﹣x2﹣a x（a＞0，a≠1）．（1）当a=e时，求函数f（x）的图象在点（0，f（0））的切线方程；（2）若存在x1，x2∈[﹣1，1]，使得|f（x1）﹣f（x2）|≥e﹣1（e为自然对数的底数），求实数a的取值范围．[选修4-1：几何证明选讲]22．如图，四边形ABCD内接于⊙O，过点A作⊙O的切线EP交CB的延长线于P，∠PAB=35°．（1）若BC是⊙O的直径，求∠D的大小；（2）若∠PAB=35°，求证：=．[选修4-4：坐标系与参数方程选讲]23．在平面直角坐标系xOy中，已知直线l的参数方程为（t为参数），以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为：ρ2﹣3ρ﹣4=0（ρ≥0）．（1）写出直线l的普通方程与曲线C的直角坐标系方程；（2）设直线l与曲线C相交于A，B两点，求∠AOB的值．[选修4-5：不等式选讲]24．已知a＞0，b＞0，c＞0，函数f（x）=|x﹣a|+|x+b|+c的最小值为1．（1）求a+b+c的值；（2）求证：a2+b2+c2．2020年内蒙古赤峰市高考数学模拟试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题1．设全集U={﹣2，﹣1，0，1，2}，集合M={﹣1，0，1}，N={x|x2﹣x﹣2=0}，则（∁U M）∩N=（）A．{2}B．{﹣1}C．{﹣2，﹣1，2}D．{﹣1，1}【考点】交、并、补集的混合运算．【分析】直接由全集U，集合M求出∁U M，则N∩（∁U M）的答案可求．【解答】解：∵全集U={﹣2，﹣1，0，1，2}，集合M={﹣1，0，1}，N={x|x2﹣x﹣2=0}={﹣1，2}，∴∁U M={﹣2，2}．则N∩（∁U M）={﹣1，2}∩{﹣2，2}={2}．故选：A．2．已知复数z=，则（）A．z的实部为B．z的虚部为﹣iC．|z|=D．z的共轭复数为+i【考点】复数代数形式的乘除运算．【分析】根据复数的运算性质求出z，分别判断各个选项即可．【解答】解：∵z===﹣﹣i，故|z|=，故选：C．3．若方程x2+=1（a是常数），则下列结论正确的是（）A．任意实数a方程表示椭圆B．存在实数a方程表示椭圆C．任意实数a方程表示双曲线D．存在实数a方程表示抛物线【考点】曲线与方程．【分析】根据三种圆锥曲线的定义，结合举例可得选项．【解答】解：对于a=1，方程x2+=1表示圆，选项A错误；当a＞0且a≠1时，方程x2+=1表示椭圆，B正确；当a＜0时，方程x2+=1表示双曲线，C错误；对于任意实数a，方程x2+=1不是抛物线，D错误．故选：B．4．已知=（1，2），=（﹣2，4），且k+与垂直，则k=（）A．B．﹣C．﹣D．【考点】平面向量数量积的运算．【分析】由向量数量积的坐标表示和向量模的公式，可得，的数量积和模，再由向量垂直的条件：数量积为0，计算即可得到k的值．【解答】解：=（1，2），=（﹣2，4），可得•=﹣2+8=6，||==2，由k+与垂直，可得（k+）•=0，k•+2=0，即有6k+20=0，解得k=﹣．故选B．5．某产品在某零售摊位的零售价x（单位：元）与每天的销售量y（单位：个）的统计资料如下表所示：x 11 10.5 10 9.5 9y 5 6 8 10 10根据上表得回归直线方程=x+，其中=﹣3.2，=﹣，据此回归方程估计零售价为5元时销售量估计为（）A．16个B．20个C．24个D．28个【考点】线性回归方程．【分析】求出样本中心代入回归方程得出，从而得出回归方程解析式，令x=5，计算即可．【解答】解：=，=．∴7.8=﹣3.2×10+，解得=39.8．∴线性回归方程为=﹣3.2x+39.8．当x=5时，=﹣3.2×5+39.8=23.8≈24．故选C．6．不等式x2﹣2x+m＞0在R上恒成立的必要不充分条件是（）A．m＞2 B．0＜m＜1 C．m＞0 D．m＞1【考点】一元二次不等式的解法．【分析】根据不等式x2﹣x+m＞0在R上恒成立，△＜0，可解得m的范围，然后看m＞1与选项中的m范围，即可得出答案．【解答】解：当不等式x2﹣2x+m＞0在R上恒成立时，△=4﹣4m＜0，解得m＞1；所以m＞1是不等式恒成立的充要条件；m＞2是不等式成立的充分不必要条件；0＜m＜1是不等式成立的既不充分也不必要条件；m＞0是不等式成立的必要不充分条件．故选：C．7．如图所示，程序框图（算法流程图）的输出结果是（）A．34 B．55 C．78 D．89【考点】程序框图；程序框图的三种基本逻辑结构的应用．【分析】写出前几次循环的结果，不满足判断框中的条件，退出循环，输出z的值．【解答】解：第一次循环得z=2，x=1，y=2；第二次循环得z=3，x=2，y=3；第三次循环得z=5，x=3，y=5；第四次循环得z=8，x=5，y=8；第五次循环得z=13，x=8，y=13；第六次循环得z=21，x=13，y=21；第七次循环得z=34，x=21，y=34；第八次循环得z=55，x=34，y=55；退出循环，输出55，故选B8．设S n是公差d=﹣1的等差数列{a n}的前n项和，且S1，S2，S4成等比数列，则a n=（）A．﹣﹣n B．﹣n C． +n D．﹣+n【考点】等比数列的通项公式．【分析】由S1，S2，S4成等比数列，得到S22=S1•S4，即（2a1﹣1）2=a1•（4a1﹣6），求出a1，即可求出通项公式．【解答】解：由题意可得，a n=a1+（n﹣1）（﹣1）=a1+1﹣n，S n==，再根据若S1，S2，S4成等比数列，可得S22=S1•S4，即（2a1﹣1）2=a1•（4a1﹣6），解得a1=﹣，∴a n=﹣+1﹣n=﹣n，故选：B．9．已知某几何体的三视图（单位：cm）如图所示，则该几何体的体积是（）A．100cm3B．98cm3C．88cm3D．78cm3【考点】由三视图求面积、体积．【分析】由三视图可知：该几何体是由长方体截去一个三棱锥而得到的．【解答】解：由三视图可知：该几何体是由正方体截去一个三棱锥而得到的．∴该几何体的体积V=6×6×3﹣=100cm3．故选：A．10．已知ω＞0，|φ|＜，若x=和x=是函数f（x）=cos（ωx+φ）的两个相邻的极值点，将y=f（x）的图象向左平移个单位得到函数y=g（x）的图象，则下列说法正确的是（）A．y=g（x）是奇函数B．y=g（x）的图象关于点（﹣，0）对称C．y=g（x）的图象关于直线x=对称D．y=g（x）的周期为π【考点】命题的真假判断与应用；函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．【分析】根据x=和x=是函数f（x）=cos（ωx+φ）的两个相邻的极值点，得到函数的周期，求出ω=1，然后根据三角函数的图象关系求出g（x），结合函数奇偶性，对称性的性质分别进行判断即可．【解答】解：∵若x=和x=是函数f（x）=cos（ωx+φ）的两个相邻的极值点，∴若x=和x=是函数f（x）=cos（ωx+φ）的两个相邻的对称轴，则函数的周期T=2×（﹣）=2π，即=2π，则ω=1，即f（x）=cos（x+φ），①若x=时，函数取得极大值，则f（）=cos（+φ）=1，则+φ=2kπ，即φ=2kπ﹣，当k=0时，φ=﹣，此时f（x）=cos（x﹣），将y=f（x）的图象向左平移个单位得到函数y=g（x）的图象，即g（x）=）=cos[（x+）﹣]=cosx，此时函数g（x）是偶函数不是奇函数，故A错误，g（﹣）=cos（﹣）=0，即函数y=g（x）的图象关于点（﹣，0）对称，故B正确，g（）=cos（）=0，即函数y=g（x）的图象关于关于直线x=不对称，故C错误，y=g（x）的周期为2π，故D错误，②若x=时，函数取得极小值，则f（）=cos（+φ）=cos（+φ）=﹣1，则+φ=2kπ﹣π，即φ=2kπ﹣，当k=1时，φ=，∵|φ|＜，∴此时φ不存在．综上故选：B．11．已知点，过点P的直线与圆x2+y2=14相交于A，B两点，则|AB|的最小值为（）A．2 B． C． D．4【考点】简单线性规划．【分析】本题主要考查线性规划的基本知识，先画出约束条件的可行域，再求出可行域中各角点的坐标，将各点坐标代入目标函数的解析式，分析后易得直线过在（1，3）处取得最小值．【解答】解：约束条件的可行域如下图示：画图得出P点的坐标（x，y）就是三条直线x+y=4，y﹣x=0和x=1构成的三角形区域，三个交点分别为（2，2），（1，3），（1，1），因为圆c：x2+y2=14的半径r=，得三个交点都在圆内，故过P点的直线l与圆相交的线段AB长度最短，就是过三角形区域内距离原点最远的点的弦的长度．三角形区域内距离原点最远的点就是（1，3），可用圆d：x2+y2=10与直线x=y的交点为（，）验证，过点（1，3）作垂直于直线y=3x的弦，国灰r2=14，故|AB|=2=4，所以线段AB的最小值为4．故选：D12．已知椭圆的左顶点和上顶点分别为A、B，左、右焦点分别是F1，F2，在线段AB上有且只有一个点P满足PF1⊥PF2，则椭圆的离心率为（）A．B．C．D．【考点】椭圆的简单性质．【分析】由题意可求得AB的方程，设出P点坐标，代入AB的方程，由PF1⊥PF2，得•=0，运用导数求得极值点，结合椭圆的离心率公式，解方程即可求得答案．【解答】解：依题意，作图如下：由A（﹣a，0），B（0，b），F1（﹣c，0），F2（c，0），可得直线AB的方程为： +=1，整理得：bx﹣ay+ab=0，设直线AB上的点P（x，y），则bx=ay﹣ab，x=y﹣a，由PF1⊥PF2，∴•=（﹣c﹣x，﹣y）•（c﹣x，﹣y）=x2+y2﹣c2=（y﹣a）2+y2﹣c2，令f（y）=（y﹣a）2+y2﹣c2，则f′（y）=2（y﹣a）•+2y，由f′（y）=0得：y=，于是x=﹣，∴•=（﹣）2+（）2﹣c2=0，整理得：=c2，又b2=a2﹣c2，e2=，∴e4﹣3e2+1=0，∴e2=，又椭圆的离心率e∈（0，1），∴e2==（）2，可得e=，故选：D．二、填空题13．已知sin（α+）=，且，则cosα=﹣．【考点】三角函数的化简求值．【分析】由，可得：＜π，=﹣．利用cosα=，展开即可得出．【解答】解：∵，∴＜π，∴=﹣=﹣．∴cosα==+=+=．故答案为：﹣．14．展开式中只有第六项的二项式系数最大，则展开式中的常数项等于180．【考点】二项式定理．【分析】如果n是奇数，那么是中间两项的二次项系数最大，如果n是偶数，那么是最中间那项的二次项系数最大，由此可确定n的值，进而利用展开式，即可求得常数项．【解答】解：如果n是奇数，那么是中间两项的二次项系数最大，如果n是偶数，那么是最中间项的二次项系数最大．∵展开式中只有第六项的二项式系数最大，∴n=10∴展开式的通项为=令=0，可得r=2∴展开式中的常数项等于=180故答案为：18015．已知长方体ABCD﹣A1B1C1D1各个顶点都在球面上，AB=3，AD=2，A1A=2，过棱AD 作该球的截面，则当截面面积最小时，球心到截面的距离为．【考点】球内接多面体．【分析】过棱AD作该球的截面，则当截面面积最小时，截面的直径为AD=2，求出球的半径，可得球心到截面的距离．【解答】解：过棱AD作该球的截面，则当截面面积最小时，截面的直径为AD=2，∵长方体ABCD﹣A1B1C1D1各个顶点都在球面上，AB=3，AD=2，A1A=2，∴球的半径为=，∴球心到截面的距离为=，故答案为：．16．已知函数f（x）=2lnx﹣x2+a在[，e]上有两个零点，则实数a的取值范围为（1，2+）．【考点】函数零点的判定定理．【分析】求出f（x）的导数f′（x），分析f′（x）的零点和区间[，e]的位置关系，判断f （x）的单调性为在[，1]上单调递增，在（1，e）上单调递减，若有两个不同的零点，则，即可解出a的取值范围．【解答】解：f（x）=2lnx﹣x2+a，f′（x）=，∵x∈[，e]，故f′（x）=0，解得x=1，当＜x＜1，f′（x）＞0；当1＜x＜e，f′（x）＜0，故f（x）在x=1有唯一的极值点，f（1）=a﹣1，f（）=a﹣2﹣，f（e）=a+2﹣e2，则f（e）＜f（），f（x）在[，e]上有两个零点的条件，，解得1＜a＜2+，故实数a 的取值范围（1，2+]．故答案为：（1，2+]．三、解答题17．设数列{a n }的前n 项之和为S n ，且满足S n =1﹣a n ，n ∈N *．（1）求数列{a n }的通项公式；（2）令b n =（n +1）a n ，求数列{b n }的前n 项和T n ．【考点】数列的求和；数列递推式．【分析】（1）通过S n =1﹣a n 与S n ﹣1=1﹣a n ﹣1作差可知a n =a n ﹣1，进而计算可得结论； （2）通过（1）可知b n =（n +1），进而利用错位相减法计算即得结论．【解答】解：（1）∵S n =1﹣a n ，S n ﹣1=1﹣a n ﹣1，∴a n =a n ﹣1﹣a n ，即a n =a n ﹣1，又∵S 1=1﹣a 1，即a 1=，∴数列{a n }是首项、公比均为的等比数列，∴其通项公式a n =；（2）由（1）可知b n =（n +1）a n =（n +1）， ∴T n =2•+3•+4•+…+（n +1）， T n =2•+3•+…+n •+（n +1）， 两式相减得： T n =2•+++…+﹣（n +1） =+﹣（n +1）=﹣， ∴T n =3﹣．18．如图，在多面体ABC ﹣A 1B 1C 1中，四边形ABB 1A 1是正方形，AC=AB=1，△A 1BC 是 正三角形，B 1C 1∥BC ，B 1C 1=BC ．（Ⅰ）求证：面A 1AC ⊥面ABC ；（Ⅱ）求该几何体的体积．【考点】平面与平面垂直的判定；棱柱、棱锥、棱台的体积．【分析】（Ⅰ）由已知得，从而A1A⊥AC，由此能证明面A1AC ⊥面ABC．（Ⅱ）依题意得：而，，由此能求出该几何体的体积．【解答】（Ⅰ）证明：∵在多面体ABC﹣A1B1C1中，四边形ABB1A1是正方形，AC=AB=1，△A1BC是正三角形，B1C1∥BC，B1C1=BC，∴，∴，∴A1A⊥AC，又A1A⊥AB，∴A1A⊥平面ABC，∴面A1AC⊥面ABC．（Ⅱ）解：依题意得：而，，故：．19．从某校随机抽取200名学生，获得了他们的一周课外阅读时间（单位：小时）的数据，整理得到数据分组级频数分布直方图：编号分组频数1 [0，2）122 [2，4）163 [4，6）344 [6，8）445 [8，10）506 [10，12）247 [12，14）128 [14，16） 49 [16，18） 4合计200（1）从该校随机选取一名学生，试估计这名学生该周课外阅读时间少于12小时的概率；（2）求频率分布直方图中的a，b的值；（3）假设同一组中的每个数据可用该组区间的中点值代替，试估计样本中的200名学生该周课外阅读时间的平均数在第几组．【考点】频率分布直方图．【分析】（1）根据频率分布表求出1周课外阅读时间少于12小时的频数，再根据频率=求频率；（2）根据小矩形的高=，求a、b的值；（3）利用平均数公式求得数据的平均数，可得答案．【解答】解：（1）由频率分布表知：1周课外阅读时间少于12小时的频数为2+4+4=10，∴1周课外阅读时间少于12小时的频率为1﹣=0.9；（2）由频率分布表知：数据在[4，6）的频数为34，∴频率为0.17，∴a=0.085；数据在[8，10）的频数为25，∴频率为0.25，∴b=0.125；（3）数据的平均数为（12×1+3×16+5×34+7×44+9×50+11×24+13×12+15×4+17×4）=7.68（小时），∴样本中的200名学生该周课外阅读时间的平均数在第四组．20．已知椭圆+=1（a＞b＞0）的左右焦点分别为F1，F2，点A（4，2）在椭圆上，且AF2与x轴垂直．（1）求椭圆的方程；（2）过点F2作直线与椭圆交于B、C两点，求△COB面积的最大值．【考点】椭圆的简单性质．【分析】（1）由题意可得c=4，令x=4，代入椭圆方程可得=2，由a，b，c的关系，解得a，b，进而得到椭圆方程；（2）点F2（4，0），可设直线BC：x=ty+4，代入椭圆方程x2+2y2=32，可得y的方程，运用韦达定理，以及三角形的面积公式可得S△OBC=|OF2|•|y1﹣y2|，化简整理，运用解不等式即可得到所求最大值．【解答】解：（1）由A（4，2）在椭圆上，且AF2与x轴垂直，可得c=4，令x=4，代入椭圆方程可得y=±b=±，即有=2，又a2﹣b2=16，解得a=4，b=4，则椭圆方程为+=1；（2）点F2（4，0），可设直线BC：x=ty+4，代入椭圆方程x2+2y2=32，可得（2+t2）y2+8ty﹣16=0，设B（x1，y1），C（x2，y2），可得△=64t2+64（2+t2）＞0y1+y2=﹣，y1y2=﹣，|y1﹣y2|===，S△OBC=|OF2|•|y1﹣y2|=•4•=16•=16•≤16•=8，当且仅当=，即t=0时，△COB面积的最大值为8．21．设函数f（x）=xlna﹣x2﹣a x（a＞0，a≠1）．（1）当a=e时，求函数f（x）的图象在点（0，f（0））的切线方程；（2）若存在x1，x2∈[﹣1，1]，使得|f（x1）﹣f（x2）|≥e﹣1（e为自然对数的底数），求实数a的取值范围．【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】（1）求得a=e时，f（x）=xlne﹣x2﹣e x的导数，可得f（x）在（0，f（0））处的切线的斜率和切点，即可得到所求切线的方程；（2）由题意可得f（x）的最大值减去f（x）的最小值大于或等于e﹣1，由单调性知，f（x）的最小值是f（1）或f（﹣1），最大值f（0）=1，由f（1）﹣f（﹣1）的单调性，判断f（1）与f（﹣1）的大小关系，再由f（x）的最大值减去最小值f（0）大于或等于e﹣1求出a的取值范围．【解答】解：（1）当a=e时，f（x）=xlne﹣x2﹣e x的导数为f′（x）=1﹣2x﹣e x，可得函数f（x）的图象在点（0，f（0））的切线斜率为1﹣0﹣1=0，切点为（0，﹣1），即有切线的方程为y=﹣1；（2）由存在x1，x2∈[﹣1，1]，使得|f（x1）﹣f（x2）|≥e﹣1成立，而当x∈[﹣1，1]时|f（x1）﹣f（x2）|≤f（x）max﹣f（x）min，则只要f（x）max﹣f（x）min≥e﹣1，f（x）=xlna﹣x2﹣a x的导数为f′（x）=lna﹣2x﹣a x lna，又x，f'（x），f（x）的变化情况如下表所示：x （﹣∞，0）0 （0，+∞）f′（x）+0 ﹣f（x）增函数极大值减函数所以f（x）在[﹣1，0]上是增函数，在[0，1]上是减函数，所以当x∈[﹣1，1]时，f（x）的最大值f（x）max=f（0）=﹣1，f（x）的最小值f（x）min为f（﹣1）和f（1）中的最小值．因为f（1）﹣f（﹣1）=（lna﹣1﹣a）﹣（﹣lna﹣1﹣）=2lna﹣a+，令g（a）=2lna﹣a+，由g′（a）=﹣1﹣=﹣＜0，所以g（a）在a∈（0，+∞）上是减函数．而g（1）=0，故当a＞1时，g（a）＜0，即f（1）＜f（﹣1）；当0＜a＜1时，g（a）＞0，即f（1）＞f（﹣1），所以，当a＞1时，f（0）﹣f（1）≥e﹣1，即a﹣lna≥e﹣1，而函数y=a﹣lna的导数y′=1﹣，可得函数y在a∈（1，+∞）上是增函数，解得a≥e；当0＜a＜1时，f（0）﹣f（﹣1）≥e﹣1，即+lna≥e﹣1，函数y=+lna的导数为y′=﹣=，可得函数y在a∈（0，1）上是减函数，解得0＜a≤．综上可知，所求a的取值范围为（0，]∪[e，+∞）．[选修4-1：几何证明选讲]22．如图，四边形ABCD内接于⊙O，过点A作⊙O的切线EP交CB的延长线于P，∠PAB=35°．（1）若BC是⊙O的直径，求∠D的大小；（2）若∠PAB=35°，求证：=．【考点】与圆有关的比例线段；弦切角．【分析】（1）由弦切角定理得∠ACB=∠PAB=25°，从而∠ABC=65°，由此利用四边形ABCD 内接于⊙O，能求出∠D．（2）由∠DAE=25°，∠ACD=∠PAB，∠D=∠PBA，从而△ADC∽△PBA，由此能证明DA2=DC•BP，AP2=PC•BP，即可证明结论．【解答】（1）解：∵EP与⊙O相切于点A，∴∠ACB=∠PAB=35°，又BC是⊙O的直径，∴∠ABC=55°．∵四边形ABCD内接于⊙O，∴∠ABC+∠D=180°，∴∠D=112°．（2）证明：∵∠DAE=35°，∴∠ACD=∠PAB，∠D=∠PBA，∴△ADC∽△ABP，∴=，∠DBA=∠BDA，∴DA=BA，∴DA2=DC•BP，AP2=PC•BP，∴=．[选修4-4：坐标系与参数方程选讲]23．在平面直角坐标系xOy中，已知直线l的参数方程为（t为参数），以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为：ρ2﹣3ρ﹣4=0（ρ≥0）．（1）写出直线l的普通方程与曲线C的直角坐标系方程；（2）设直线l与曲线C相交于A，B两点，求∠AOB的值．【考点】简单曲线的极坐标方程；参数方程化成普通方程．【分析】（1）直线l的参数方程为（t为参数），化为，消去t可得直线l的普通方程．曲线C的极坐标方程为：ρ2﹣3ρ﹣4=0（ρ≥0），解得ρ=4．把ρ2=x2+y2代入可得曲线C的极坐标方程．（2）⊙Cd的圆心（0，0）到直线l的距离d=2．可得cos=，进而得出答案．【解答】解：（1）直线l的参数方程为（t为参数），化为，消去t可得直线l的普通方程：x+y﹣4=0．曲线C的极坐标方程为：ρ2﹣3ρ﹣4=0（ρ≥0），解得ρ=4．可得曲线C的直角坐标方程：x2+y2=16．（2）⊙Cd的圆心（0，0）到直线l的距离d==2．∴cos==，∵，∴∠AOB=，可得∠AOB=．[选修4-5：不等式选讲]24．已知a＞0，b＞0，c＞0，函数f（x）=|x﹣a|+|x+b|+c的最小值为1．（1）求a+b+c的值；（2）求证：a2+b2+c2．【考点】基本不等式．【分析】（1）运用绝对值不等式的性质，注意等号成立的条件，即可求得最小值；（2）通过作差法证明即可．【解答】解：（1）∵a＞0，b＞0，c＞0，∴f（x）=|x﹣a|+|x+b|+c≥|x﹣a﹣x﹣b|+c=a+b+c，当且仅当（x﹣a）（x﹣b）≤0时：“=”成立，故a+b+c=1；（2）3（a2+b2+c2）﹣12=3（a2+b2+c2）﹣（a+b+c）2=2a2+2b2+2c2﹣2ab﹣2bc﹣2ac=（a﹣b）2+（b﹣c）2+（c﹣a）2≥0，∴a2+b2+c2．2020年8月27日。
2020年内蒙古自治区赤峰市长胜中学高三数学文测试题含解析
2020年内蒙古自治区赤峰市长胜中学高三数学文测试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 已知i是虚数单位，复数（其中）是纯虚数，则m= （A）－2 （B）2 （C）（D）参考答案：B略2. 如图是一个算法的程序框图，当输入的值为时，则其输出的结果是( )A．5 B．4 C．3 D．2参考答案：D第一次不满足条件，。
第二次，不满足条件，。
第三次满足条件，此时，输出，选D.3. 已知定义在R的函数对任意的x满足，当，．函数，若函数在[－6,+∞)上有6个零点，则实数a的取值范围是（）A．B．C．D．参考答案：C因为，故是周期函数且周期为，如图的图像与的图像在有两个不同的交点，故的图像与在有4个不同的交点，故，解的或，选C．4. 已知由不等式组，确定的平面区域的面积为7，定点M的坐标为，若，O为坐标原点，则的最小值是A． B． C． D．参考答案：B 依题意：画出不等式组所表示的平面区域（如右图所示）可知其围成的区域是等腰直角三角形面积为，由直线恒过点，且原点的坐标恒满足，当时，，此时平面区域的面积为，由于，由此可得.由可得，依题意应有，因此（，舍去）故有，设，故由，可化为，所以当直线过点时，截距最大，即取得最小值，故选B．5. 在各项都为正数的等比数列{a n}中，首项a1=3，前三项和为21，则a3+a4+a5=（）A.33B.72C.84D.189参考答案：C6. 已知函数，方程有四个实数根，则的取值范(▲ )A． B． C． D．参考答案：D7. 经过抛物线的焦点和双曲线的右焦点的直线方程为A． B． C． D．参考答案：B8. 函数f（x）=x3+4x+5的图象在x=1处的切线在x轴上的截距为（）A．10 B．5 C．﹣1 D．参考答案：D【考点】导数的几何意义．【专题】计算题．【分析】由导函数的几何意义可知函数图象在切点处的切线的斜率值即为其点的导函数值，由此求得切线的斜率值，再根据x=1求得切点的坐标，最后结合直线的方程求出切线在x轴上的截距即得．【解答】解：∵f（x）=x3+4x+5，∴f′（x）=3x2+4，∴f′（1）=7，即切线的斜率为7，又f（1）=10，故切点坐标（1，10），∴切线的方程为：y﹣10=7（x﹣1），当y=0时，x=﹣，切线在x轴上的截距为﹣，故选D．【点评】本小题主要考查导数的几何意义、直线方程的概念、直线在坐标轴上的截距等基础知识，属于基础题．9. 某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A．B．C．D．参考答案：B【考点】由三视图求面积、体积．【专题】计算题；数形结合；数形结合法；空间位置关系与距离．【分析】几何体为同底的三棱柱和三棱锥的组合体，代入体积公式计算即可求出体积．【解答】解：由三视图可知几何体为直三棱柱和三棱锥的组合体，直棱柱的底面为直角三角形，直角边为1，2，棱柱的高为1，三棱锥的底面与棱柱的底面相同，棱锥的高为1．∴几何体的体积V=+=1+=．故选B．【点评】本题考查了常见几何体的三视图和结构特征，体积计算，属于基础题．10. 若不等式的解集为(－1,3)，则实数a等于（）A. 8B. 2C. -4D. -2参考答案：D【分析】根据绝对值不等式的解法化简，结合其解集的情况求得的值.【详解】由得.当时，无解.当时，，解得，故选D.【点睛】本小题主要考查绝对值不等式的解法，考查分类讨论的数学思想方法，属于基础题.二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 已知为的外心，,,为钝角，是边的中点，则的值等于．参考答案：5略12. 已知长方体的三条棱长分别为，，，并且该长方体的八个顶点都在一个球的球面上，则此球的表面积为____________．参考答案：13. 设，在二项式的展开式中，含的项的系数与含的项的系数相等，则的值为．参考答案：1略14. 已知,则．参考答案：试题分析：考点：向量数量积【方法点睛】平面向量数量积的类型及求法(1)求平面向量数量积有三种方法：一是夹角公式a·b＝|a||b|cos θ；二是坐标公式a·b＝x1x2＋y1y2；三是利用数量积的几何意义.(2)求较复杂的平面向量数量积的运算时，可先利用平面向量数量积的运算律或相关公式进行化简.15. 已知函数f(x)=，当时， f(x)≥+3恒成立，则=参考答案：-216. 已知函数f（x）=sin2x+cos2x，则f（x）的最小正周期是；如果f （x）的导函数是f′（x），则f′（）= ．参考答案：π；﹣1．【考点】二倍角的余弦．【专题】三角函数的图像与性质．【分析】由条件利用三角函数的恒等变换求得f（x）的解析式，再利用正弦函数的周期性求得f（x）的最小正周期．求出f′（x），可得f′（）的值．【解答】解：函数f（x）=sin2x+cos2x=sin2x+?=sin （2x+）+，故函数f（x）的周期为=π，f（x）的导函数是f′（x）=2cos（2x+），故f′（）=2cos=﹣1，故答案为：π；﹣1．【点评】本题主要考查三角函数的恒等变换、正弦函数的周期性、求三角函数的导数，属于基础题．17. 椭圆为定值，且的的左焦点为，直线与椭圆相交于点、两点，的周长的最大值是12，则该椭圆的离心率是______。
内蒙古自治区赤峰市四家子中学2020年高三数学文模拟试卷含解析
内蒙古自治区赤峰市四家子中学2020年高三数学文模拟试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 在复平面内，复数（为虚数单位）的共轭复数对应的点位于（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限参考答案：D2. 已知向量，且∥，若均为正数，则的最小值是（）A．24 B．8 C． D．参考答案：B：∵∥，∴﹣2x﹣3（y﹣1）=0，化为2x+3y=3，∴=当且仅当2x=3y=时，等号成立。
∴ 的最小值是8．故选：B．3. 直线和直线的夹角为（）A. B.C. D.参考答案：C4. 下列四个函数中，既是奇函数又在定义域上单调递增的是A、B、C、D、参考答案：D5. 下列命题中错误的是( )A．如果平面α⊥平面β，那么平面α内一定存在直线平行于平面βB．如果平面α不垂直于平面β，那么平面α内一定不存在直线垂直于平面βC．如果平面α⊥平面γ，平面β⊥平面γ，α∩β=l，那么l⊥平面γD．如果平面α⊥平面β，那么平面α内所有直线都垂直于平面β参考答案：D考点：平面与平面垂直的性质．专题：空间位置关系与距离；简易逻辑．分析：本题考查的是平面与平面垂直的性质问题．在解答时：A注意线面平行的定义再结合实物即可获得解答；B反证法即可获得解答；C利用面面垂直的性质通过在一个面内作交线的垂线，然后用线面垂直的判定定理即可获得解答；D结合实物举反例即可．解答：解：由题意可知：A、结合实物：教室的门面与地面垂直，门面的上棱对应的直线就与地面平行，故此命题成立；B、假若平面α内存在直线垂直于平面β，根据面面垂直的判定定理可知两平面垂直．故此命题成立；C、结合面面垂直的性质可以分别在α、β内作异于l的直线垂直于交线，再由线面垂直的性质定理可知所作的垂线平行，进而得到线面平行再由线面平行的性质可知所作的直线与l平行，又∵两条平行线中的一条垂直于平面那么另一条也垂直于平面，故命题成立；D、举反例：教室内侧墙面与地面垂直，而侧墙面内有很多直线是不垂直与地面的．故此命题错误．故选D．点评：本题考查的是平面与平面垂直的性质问题．在解答的过程当中充分体现了面面垂直、线面垂直、线面平行的定义判定定理以及性质定理的应用．值得同学们体会和反思．6. 已知tanθ=，则tan(﹣2θ)=（）A．7 B．﹣7 C．D．﹣参考答案：D【考点】两角和与差的正切函数．【分析】由题意和二倍角的正切公式求出tan2θ的值，由两角差的正切公式求出的值．【解答】解：由得，==，所以===，故选D．7. 若集合，，则集合等于（）A． B．C． D．参考答案：【答案】D 【解析】如右图所示。
2020年内蒙古赤峰市高考数学模拟试卷(文科)(4月份)(有答案解析)
2020年内蒙古赤峰市高考数学模拟试卷（文科）（4月份）一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.已知集合，，则A. B. C. D.2.设复数z在复平面上的对应点为，为z的共轭复数，则A. 是纯虚数B. 是实数C. 是纯虚数D. 是纯虚数3.“”是“”成立的A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件4.随着我国经济实力的不断提升，居民收入也在不断增加．抽样发现赤峰市某家庭2019年全年的收入与2015年全年的收入相比增加了一倍，实现翻番．同时该家庭的消费结构随之也发生了变化，现统计了该家庭这两年不同品类的消费额占全年总收入的比例，得到了如图折线图：则下列结论中正确的是A. 该家庭2019年食品的消费额是2015年食品的消费额的一半B. 该家庭2019年教育医疗的消费额是2015年教育医疗的消费额的倍C. 该家庭2019年休闲旅游的消费额是2015年休闲旅游的消费额的六倍D. 该家庭2019年生活用品的消费额与2015年生活用品的消费额相当5.已知，，，则a，b，c的大小关系为A. B. C. D.6.若双曲线C：的一条渐近线方程为，则A. B. C. D.7.孪生素数猜想是希尔伯特在1900年提出的23个问题之一，2013年华人数学家张益唐证明了孪生素数猜想的一个弱化形式，问题可以描述为：存在无穷多个素数p，使得是素数，素数对称为孪生素数对．问：如果从30以内的素数组成的孪生素数对中随机抽取一对，这对孪生素数的积不超过20的概率是A. B. C. D.8.设等比数列的前n项和为，若，且，，成等差数列，则A. 510B. 255C. 512D. 2569.将函数的图象向右平移个单位长度得到函数的图象，下列结论正确的是A. 是最小正周期为的偶函数B. 是最小正周期为的奇函数C. 在上单调递减D. 在上的最大值为10.已知椭圆C：，，是其左右焦点，若对椭圆C上的任意一点P，都有恒成立，则实数a的取值范围为A. B.C. D.11.已知三棱锥中，，当三棱锥体积最大值时，三棱锥的外接球的体积为A. B. C. D.12.已知函数的图象上存在点M，函数的图象上存在点N，且点M，N关于原点对称，则实数a的取值范围是A. B. C. D.二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.设在R上是奇函数，且，当时，，则______．14.已知非零向量，满足，且，则与的夹角为______．15.九章算术是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题：“今有仓，广三丈，袤四丈五尺，容粟一万斛，问高几何？”其意思为：“今有一个长方体的粮仓，宽3丈，长4丈5尺，可装粟一万斛．已知1斛粟的体积为立方尺，1丈为10尺，则该粮仓的高是______尺．若将这些粟装入一个圆柱形粮仓内，若使这个圆柱形粮仓的表面积含上下两底最小那么它的底面半径是______尺．16.设数列的前n项和为，且满足，则使成立的n的最大值为______．三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17.如图，四棱锥中，底面ABCD为直角梯形，，，，，为等边三角形，平面底面ABCD，E为AD的中点．求证：平面平面PCE；点F在线段CD上，且，求三棱锥的体积．18.在中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，且．求角A；若，求的面积的最大值．19.3月3日，武汉大学人民医院的团队在预印本平台上发布了一项研究：在新冠肺炎病例的统计数据中，男性患者往往比女性患者多．研究者分析了1月1日日的6013份病例数据，发现的患者为男性；进入重症监护病房的患者中，则有为男性．随后，他们分析了武汉大学人民医院的数据．他们按照症状程度的不同进行分析，结果发现，男性患者有为危重，而女性患者危重情况的为也就是说，男性的发病情况似乎普遍更严重．研究者总结道：“男性在新冠肺炎的传播中扮演着重要的角色．”那么，病毒真的偏爱男性吗？有一个中学生学习小组，在自己封闭的社区进行无接触抽样问卷调查，收集到男、女患者各50个数据，统计如下：轻中度感染重度包括危重总计男性患者20m x女性患者30n y总计5050100求列联表中的数据，，，的值；能否有把握认为，新冠肺炎的感染程度和性别有关？该学生实验小组打算从“轻中度感染”的患者中按男女比例再抽取5人，追踪某种中药制剂的效果．然后从这5人中随机抽取3人进行每日的健康记录，求至少抽到2名女性患者的概率．附表及公式：，．20.已知曲线C上的任意一点M到点的距离比到直线l：的距离少1，动点P在直线s：上，过点P作曲线C的两条切线PA，PB，其中A，B为切点．求曲线C的方程；判断直线AB是否能恒过定点？若能，求定点坐标；若不能，说明理由．21.已知函数．当时，求函数的极值；当时，求函数在上的最小值．22.在平面直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为为参数，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为．若，求曲线C与l的交点坐标；过曲线C上任意一点P作与l夹角为的直线，交l于点A，且的最大值，求a 的值．23.已知函数．解不等式；记函数的最大值为s，若b，，证明：．-------- 答案与解析 --------1.答案：C解析：解：，，．故选：C．可以求出集合A，B，然后进行交集的运算即可．本题考查了描述法、区间的定义，一元二次不等式的解法，交集的定义及运算，考查了计算能力，属于基础题．2.答案：D解析：解：由题意，，则，是实数；是纯虚数；是实数；，是纯虚数．故选：D．由已知求得z，进一步求出，然后逐一核对四个选项得答案．本题考查复数的代数形式的乘除运算，考查复数的代数表示法及其几何意义，是基础题．3.答案：A解析：解：，解得：．“”是“”成立的充分不必要条件．故选：A．，解出范围即可判断出关系．本题考查了对数函数的单调性、简易逻辑，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．4.答案：C解析：解：因为某家庭2019年全年的收入与2015年全年的收入相比增加了一倍，设2015年全年的收入为A，2019年全年的收入为2A．由图可知，该家庭2019年食品的消费额，2015年食品的消费额为，相等，A错；由图可知，该家庭2019年教育医疗的消费额，2015年食品的消费额为，，B错；由图可知，该家庭2019年休闲旅游的消费额，2015年休闲旅游的消费额为，，C对；由图可知，该家庭2019年生活用品的消费额，2015年生活用品的消费额为，不相等，D错；故选：C．根据题意可设出年收入，然后求出所有金额，进行比较．本题考查图表，进行推理，属于基础题．5.答案：B解析：解：，，，，，，故选：B．利用对数函数和指数函数的性质求解．本题考查三个数的大小的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意对数函数和指数函数的性质的合理运用．6.答案：A解析：解：由题意知双曲线的渐近线方程为，可化为，则，解得．故选：A．利用双曲线的渐近线方程，列出方程，求解m即可．本题考查双曲线的简单性质的应用，是基本知识的考查．7.答案：C解析：解：从30以内的素数有2，3，5，7，11，13，17，19，组成的孪生素数对有：，，，，共4个，这对孪生素数的积不超过20的有：，共1个，这对孪生素数的积不超过20的概率是．故选：C．利用列举法先求出从30以内的素数，再求出组成的孪生素数对，进而求出这对孪生素数的积不超过20的个数，由此能求出这对孪生素数的积不超过20的概率．本题考查概率的求法，考查列举法等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．8.答案：B解析：解：等比数列的前n项和为，，且，，成等差数列，，解得，．故选：B．利用等比数列通项公式和等差数列性质列方程求出公比，由此能求出等比数列的前8项和．本题考查等比数列的前8项和的求法，考查等差数列、等比数列的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．9.答案：D解析：解：令；向右平移个单位，A答案：，所以A错．B答案：此函数为偶函数，所以B错误．C答案：增区间为，所以C错误．D答案：正确．故选：D．本题考查的三角函数图象的基本性质．先将给定函数化成的形式，跟据题中所给条件作出判断．本题主要考查由函数的部分图象求解析式，函数的图象变换规律，属于基础题．10.答案：C解析：解：椭圆上的点与椭圆的焦点构成的三角形的三角形中最大时点P为短轴上的顶点，要使恒成立，则为锐角，即，即，所以，而所以，解得：或，故选：C．由于椭圆上的点与椭圆的焦点构成的三角形的三角形中最大时点P为短轴上的顶点，而恒成立可得为锐角，即可得b，c的关系，再由a，b，c之间的关系可得a的取值范围．本题考查椭圆的性质，椭圆上的点与椭圆的焦点构成的三角形的三角形中最大时点P为短轴上的顶点，及数量积的符合可得角的大小，属于中档题．11.答案：A解析：解：，当PA，PB，PC两两相互垂直时三棱锥体积最大值，放在正方体中，如图所示，可得棱长为的正方体，由外接球的直径2R是正方体的对角线可得，，解得；所以外接球的体积为故选：A．由题意可得该三棱锥为三条棱相等且两两相互垂直，放在正方体中，可得该正方体的棱长为，由正方体的对角线等于外接球的直径可得外接球的半径，进而求出体积．考查三棱锥体积最大的情况及球的体积公式，属于中档题．12.答案：B解析：解：函数的图象与函数关于原点对称，则原题等价于函数与函数的图象有交点，即方程有解，即有解，令，当时，，单调递减，当时，，单调递增．，，，所以实数a的取值范围是，故选：B．求出函数关于原点对称的函数，已知函数的图象上存在点M，函数的图象上存在点N，且点M，N关于原点对称，等价为与，有交点，构造函数，求出函数的导数，研究函数的单调性和最值，利用数形结合进行求解即可．本题主要考查函数与方程的应用，将条件转化为两个函数有交点，构造函数，求导数研究函数的最值是解决本题的关键．注意利用数形结合进行求解比较好理解．13.答案：解析：解：，关于直线对称，又为奇函数，的最小正周期为4，．故答案为：．先求出函数的一条对称轴为，进一步求得其周期为4，由此即可转化得解．本题考查利用函数性质求函数值，主要考查了函数的对称性，奇偶性及周期性，属于基础题．14.答案：解析：解：由，且，所以，所以；所以，又，所以与的夹角为．故答案为：．由题意，利用平面向量的数量积，求出夹角的余弦值，从而求得夹角．本题考查了利用平面向量的数量积求出夹角大小的问题，是基础题．15.答案：20解析：解：设粮仓的高是尺，则该粮仓的容积为立方尺．一万斛粟的体积为立方尺．由题意有：，得尺；设圆柱形粮仓的底面半径为r，高为，由题意可得，则，圆柱形粮仓的表面积平方尺．当且仅当，即时上式取等号．故答案为：20；．设粮仓的高是尺，则该粮仓的容积可求，求出一万斛粟的体积，由体积相等列式求得h；设圆柱形粮仓的底面半径为r，高为，由体积关系可得，代入圆柱形粮仓的表面积公式，利用基本不等式求最值．本题考查圆柱与棱柱体积的求法，考查数学转化思想方法，考查计算能力，是中档题．16.答案：3解析：解：由，当时，，得，当时，，得，，故是以1为首项，公比为2的等比数列，，，所以，化简得：，令，解不等式得，，故最大的，故答案为：3．先求出是以1为首项，公比为2的等比数列，根据题意得到，求出最大的n即可．本题考查了等比数列求通项公式，前n项和，还考查了不等式的解法，考查运算能力，中档题．17.答案：解：证明：为等边三角形，E为AD的中点，，平面底面ABCD，平面底面，底面ABCD，平面ABCD，，由题意知ABCE是正方形，，，平面PCE，平面PBC，平面平面PCE．解：过F作，垂足为G，三棱锥的体积：．解析：推导出，，，从而平面PCE，由此能证明平面平面PCE．过F作，垂足为G，三棱锥的体积．本题考查面面垂直的证明，考查三棱锥的体积的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．18.答案：解：由题意及正弦定理得，，，，化简得，，，，，，，由余弦定理得，，，当且仅当，，，的面积的最大值为．解析：由题中所给方程，通过正弦定理化边为角，利用三角函数性质求解；结合中结果，利用余弦定理，求出bc的值域，代入面积公式求面积，求出最值．本题考查解三角形，注意选择合理的公式，属于中档题．19.答案：解：由题意可得，，，，；，没有把握认为，新冠肺炎的感染程度和性别有关；由于在“轻中度感染”的患者中，按男女比例2：3，设抽取的5人中3名女性患者用a，b，c表示，2名男性患者用D，E表示，则所有组合为：E，，E，，E，，a，，a，，b，，a，，a，，b，，b，共10种可能的情况．其中至少抽到2名女性患者的情况有7种，则至少抽到2名女性患者的概率为．解析：直接由题意可得m，n，x，y的值；求出的值，结合临界值表得结论；利用分层抽样可得在“轻中度感染”的患者中抽取到的男女人数，再由枚举法写出基本事件总数，得到其中至少抽到2名女性患者的情况种数，再由古典概型概率计算公式求解．本题考查独立性检验，考查利用枚举法求随机事件的概率，考查计算能力，是基础题．20.答案：解：由已知得动点M到点的距离与到直线l：的距离相等，由抛物线的定义可知，曲线C为抛物线，焦点，准线l：．曲线C的方程为；设，，，由，即，得．抛物线C在点A处的切线方程为，即．，，又点在切线PA上，，同理，综合得，，的坐标都满足．直线AB：，恒过抛物线的焦点．解析：由已知得动点M到点的距离与到直线l：的距离相等，然后直接利用抛物线的定义求曲线C的方程；设，，，利用导数求过点A与B的切线方程，可得点，的坐标都满足，由此可得直线AB：，恒过抛物线的焦点．本题考查利用抛物线的定义求抛物线的方程，训练了利用“同一法”求直线方程，是中档题．21.答案：解：函数的定义域为，分，，，，函数在上为减函数；，函数在上为增函数；所以，无极大值分由可得，，由，可得，分当，即时，在成立，在此区间上为减函数，所以分当，即时，，；，；所以在为减函数，在为增函数，所以分当，即时，，，在上为增函数，分综上所述，分解析：可求得，进一步分析知函数在上为减函数，函数在上为增函数，可求函数的极值；由可得可得，，分，即，，即，当，即时，三类讨论，分别求得其最小值，最后通过分段函数式表示即可．本题考查利用导数研究函数的单调性与最值，考查分类讨论思函数与方程思想的综合运用，考查逻辑推理与综合运算能力，属于难题．22.答案：解：曲线C的极坐标方程为，整理得，转换为直角坐标方程为．当时，直线l的参数方程为为参数，整理得，转换为直角坐标方程为．所以，解得或，所以交点坐标为和曲线的直角坐标方程为，故曲线C上任意一点到直线的距离，则，当时，的最大值为，解得．当时，的最大值为，解得．故或．解析：直接利用参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间的转换的应用求出结果．利用直线和曲线的位置关系的应用建立关系，进一步点到直线的距离求出结果．本题考查的知识要点：参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间的转换，点到直线的距离公式的应用，三角函数关系式的恒等变换，正弦型函数的性质的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于中档题型．23.答案：解：，当时，恒成立；当时，，即，则；当时，显然不成立．故不等式的解集为；证明：由知，，于是，由基本不等式可知当且仅当时取等号，当且仅当时取等号，当且仅当时取等号，上述三式相加可得，当且仅当时取等号，，．解析：将函数化为分段函数的形式，再分类讨论解不等式即可；易知，利用基本不等式可得，由此得证．本题考查绝对值不等式的解法以及基本不等式的运用，考查推理能力及计算能力，属于基础题．。
2020届内蒙古赤峰市高三下学期模拟考试文科数学试题
1．C
【分析】
化简集合 ， ，根据交集定义，即可求得 ；
【详解】
故
故选：C.
【点睛】
本题主要考查了集合的交集运算，解题关键是掌握交集定义和一元二次不等式的解法，考查了分析能力和计算能力，属于基础题.
2．D
【分析】
由复数 在复平面上的对应点为 ，可得 ，根据 为 的共轭复数，可得 ，逐项验证，即可求得答案.
轻—中度感染
重度（包括危重）
总计
男性患者
女性患者
总计
（1）求 列联表中的数据 的值；
（2）能否有 把握认为，新冠肺炎的感染程度和性别有关？
（3）该学生实验小组打算从“轻—中度感染”的患者中按男女比例再抽取5人，追踪某种中药制剂的效果.然后从这5人中随机抽取3人进行每日的健康记录，求至少抽到2名女性患者的概率.
四、解答题
17．如图，四棱锥 中，底面 为直角梯形， ， ， 为等边三角形，平面 底面 为 的中点.
（1）求证：平面 平面 ；
（2）点 在线段 上，且 ，求三棱锥 的体积.
18．在 中，内角 所对的边分别是 ，且 .
（1）求角 ；
（2）若 ，求 的面积的最大值.
19．3月3日，武汉大学人民医院的团队在预印本平台 上发布了一项研究：在新冠肺炎病例的统计数据中，男性患者往往比女性患者多.研究者分析了1月1日~29日的6013份病例数据，发现 的患者为男性；进入重症监护病房的患者中，则有 为男性.随后，他们分析了武汉大学人民医院的数据.他们按照症状程度的不同进行分析，结果发现，男性患者有 为危重，而女性患者危重情况的为 .也就是说男性的发病情况似乎普遍更严重.研究者总结道：“男性在新冠肺炎的传播中扮演着重要的角色.”那么，病毒真的偏爱男性吗？有一个中学生学习小组，在自己封闭的社区进行无接触抽样问卷调查，收集到男、女患者各50个数据，统计如下：
2020-2021学年高三数学(文科)高三毕业4月份联考检测试题及答案解析
最新高三（下）4月联考数学试卷（文科）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．设全集U={1，2，3，4，5，6，7，8}，集合A={1，2，3，5}，B={2，4，6}，则（∁U A）∩B=（）A．{2} B．{4，6} C．{l，3，5} D．{4，6，7，8}2．复数=（）A．1+3i B．﹣1﹣3i C．﹣1+3i D．1﹣3i3．下列有关命题的说法正确的是（）A．“f（0）=0”是“函数f（x）是奇函数”的充要条件B．若p：．则￢p：∀x∈R，x2﹣x﹣1＜0C．若p∧q为假命题，则p，q均为假命题D．“若，则”的否命题是“若，则”4．若点（sin，cos）在角α的终边上，则sinα的值为（）A．B． C．D．5．某工厂利用随机数表对生产的700个零件进行抽样测试，先将700个零件进行编号001，002，…，699，700．从中抽取70个样本，如图提供随机数表的第4行到第6行，若从表中第5行第6列开始向右读取数据，则得到的第5个样本编号是（）A．607 B．328 C．253 D．0076．若数列{a n}满足﹣=d（n∈N*，d为常数），则称数列{a n}为调和数列．已知数列{}为调和数列，且x1+x2+…+x20=200，则x5+x16=（）A．10 B．20 C．30 D．407．已知函数图象过点，则f（x）图象的一个对称中心是（）A．B．C．D．8．如图，网格纸上正方形小格的边长为1cm，图中粗线画出的是某零件的三视图，该零件由一个底面半径为3cm，高为6cm的圆柱体毛坯切削得到，则切削掉部分的体积为（）A．20πcm3B．16πcm3C．12πcm3D．9．公元263年左右，我国数学家刘徽发现当圆内接正多边形的边数无限增加时，多边形面积可无限逼近圆的面积，并创立了“割圆术”．利用“割圆术”刘徽得到了圆周率精确到小数点后两位的近似值3.14，这就是著名的“徽率”．如图是利用刘徽的“割圆术”思想设计的一个程序框图，则输出n的值为（）（参考数据：≈1.732，sin15°≈0.2588，sin7.5°≈0.1305）A．12 B．24 C．36 D．4810．△ABC的外接圆的圆心为O，半径为2，且，且||=||，则向量在方向上的投影为（）A．B．3 C．D．﹣311．过椭圆+=1（a＞b＞0）的左顶点A且斜率为k的直线交椭圆于另一个点B，且点B在x轴上的射影恰好为右焦点F，若0＜k＜，则椭圆的离心率的取值范围是（）A．（0，）B．（，1）C．（0，）D．（，1）12．已知函数f（x）=x2+2ax，g（x）=3a2lnx+b，设两曲线y=f（x），y=g（x）有公共点，且在该点处的切线相同，则a∈（0，+∞）时，实数b的最大值是（）A．B． C．D．二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．已知函数f（x）=，则f[f（）]= ．14．已知A，B，C点在球O的球面上，∠BAC=90°，AB=AC=2．球心O到平面ABC的距离为1，则球O的表面积为．15．已知圆C：（x﹣1）2+（y﹣2）2=2，若等边△PAB的一边AB为圆C的一条弦，则|PC|的最大值为．16．已知△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，sinA+sinB﹣4sinC=0，且△ABC的周长L=5，面积S=﹣（a2+b2），则cosC= ．三、解答题（本大题共5小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）17．已知数列{a n}为等差数列，a2=3，a4=7；数列{b n}为公比为q（q＞1）的等比数列，且满足集合{b1，b2，b3}={1，2，4}．（Ⅰ）求数列{a n}，{b n}的通项公式；（Ⅱ）求数列{a n+b n}的前n项和S n．18．某数学教师对所任教的两个班级各抽取20名学生进行测试，分数分布如表，若成绩120分以上（含120分）为优秀．分数区间甲班频率乙班频率[0，30）0.1 0.2[30，60）0.2 0.2[60，90）0.3 0.3[90，120）0.2 0.2[120，150] 0.2 0.1优秀不优秀总计甲班乙班总计2.072 2.7063.841 5.024 6.635 7.879 10.828k00.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001 P（K2≥k0）（Ⅰ）求从乙班参加测试的90分以上（含90分）的同学中，随机任取2名同学，恰有1人为优秀的概率；（Ⅱ）根据以上数据完成上面的2×2列联表：在犯错概率小于0.1的前提下，你是否有足够的把握认为学生的数学成绩是否优秀与班级有关？19．如图所示的多面体中，ABCD是菱形，BDEF是矩形，ED⊥面ABCD，．（1）求证：平面BCF∥面AED；（2）若BF=BD=a，求四棱锥A﹣BDEF的体积．20．已知圆M：（x+1）2+y2=1，圆N：（x﹣1）2+y2=25，动圆P与圆M外切并与圆N内切，圆心P的轨迹为曲线C．（Ⅰ）求曲线C的方程；（Ⅱ）过曲线C上的一点作两条直线分别交曲线于A，B两点，已知OA，OB的斜率互为相反数，求直线AB的斜率．21．已知函数f（x）=lnx﹣mx2，g（x）=mx2+x，m∈R，令F（x）=f（x）+g（x）．（Ⅰ）当时，求函数f（x）的单调区间及极值；（Ⅱ）若关于x的不等式F（x）≤mx﹣1恒成立，求整数m的最小值．请考生在22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．[选修4-1：几何证明选讲]22．如图，在△ABC中，DC⊥AB于D，BE⊥AC于E，BE交DC于点F，若BF=FC=3，DF=FE=2．（1）求证：AD•AB=AE•AC；（2）求线段BC的长度．[选修4-4：坐标系与参数方程]23．在直角坐标系xOy中，圆C的参数方程（φ为参数），以O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系．（1）求圆C的极坐标方程；（2）直线l的极坐标方程是2ρsin（θ+）=3，射线OM：θ=与圆C的交点为O、P，与直线l的交点为Q，求线段PQ的长．[选修4-5：不等式选讲]24．已知f（x）=2|x﹣2|+|x+1|（1）求不等式f（x）＜6的解集；（2）设m，n，p为正实数，且m+n+p=f（2），求证：mn+np+pm≤3．高三（下）4月联考数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．设全集U={1，2，3，4，5，6，7，8}，集合A={1，2，3，5}，B={2，4，6}，则（∁U A）∩B=（）A．{2} B．{4，6} C．{l，3，5} D．{4，6，7，8}【考点】交、并、补集的混合运算．【分析】由全集U={1，2，3，4，5，6，7，8}，集合A={1，2，3，5}，B={2，4，6}，知C U A={4，6，7，8}，由此能求出（C u A）∩B．【解答】解：∵全集U={1，2，3，4，5，6，7，8}，集合A={1，2，3，5}，B={2，4，6}，∴C U A={4，6，7，8}，∴（C u A）∩B={4，6}．故选B．2．复数=（）A．1+3i B．﹣1﹣3i C．﹣1+3i D．1﹣3i【考点】复数代数形式的乘除运算．【分析】直接由复数代数形式的乘除运算化简复数，则答案可求．【解答】解：=，故选：B．3．下列有关命题的说法正确的是（）A．“f（0）=0”是“函数f（x）是奇函数”的充要条件B．若p：．则￢p：∀x∈R，x2﹣x﹣1＜0C．若p∧q为假命题，则p，q均为假命题D．“若，则”的否命题是“若，则”【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】A．f（0）=0推不出函数f（x）是奇函数，例如f（x）=x2；函数f（x）是奇函数，例如f（x）=，则f（0）无意义，即可判断出结论；B．利用非命题的定义即可判断出真假；C．若p∧q为假命题，则p，q至少一个为假命题，即可判断出真假；D．利用否命题的定义即可判断出真假．【解答】解：A．f（0）=0推不出函数f（x）是奇函数，例如f（x）=x2；函数f（x）是奇函数，例如f（x）=，则f（0）无意义，因此．“f（0）=0”是“函数f（x）是奇函数”的既不充分也不必要条件，不正确；B．若p：．则￢p：∀x∈R，x2﹣x﹣1≤0，因此不正确；C．若p∧q为假命题，则p，q至少一个为假命题，因此不正确；D．“若，则”的否命题是“若，则”，正确．故选：D．4．若点（sin，cos）在角α的终边上，则sinα的值为（）A．B． C．D．【考点】任意角的三角函数的定义．【分析】由条件利用任意角的三角函数的定义转化求解sinα的值．【解答】解：角α的终边上一点的坐标为（sin，cos）即（，），则由任意角的三角函数的定义，可得sinα=，故选：A．5．某工厂利用随机数表对生产的700个零件进行抽样测试，先将700个零件进行编号001，002，…，699，700．从中抽取70个样本，如图提供随机数表的第4行到第6行，若从表中第5行第6列开始向右读取数据，则得到的第5个样本编号是（）A．607 B．328 C．253 D．007【考点】系统抽样方法．【分析】从第5行第6个数2的数开始向右读，依次为253，313，457，860，736，253，007，其中860，736不符合条件故可得结论．【解答】解：从第5行第6个数2的数开始向右读，第一个数为253，符合条件，第二个数为313，符合条件，第三个数为457，符合条件，以下依次为：860，736，253，007，328，其中860，736不符合条件且253与第一个重复了不能取，这样007是第四数，第五个数应为328．故第五个数为328．．故选：B．6．若数列{a n}满足﹣=d（n∈N*，d为常数），则称数列{a n}为调和数列．已知数列{}为调和数列，且x1+x2+…+x20=200，则x5+x16=（）A．10 B．20 C．30 D．40【考点】数列的求和．【分析】由题意知道，本题是构造新等差数列的问题，经过推导可知{x n}是等差数列，运用等差数列的性质可求解答案．【解答】解：由题意知：∵数列{}为调和数列∴﹣=x n+1﹣x n=d∴{x n}是等差数列又∵x1+x2+…+x20=200=∴x1+x20=20又∵x1+x20=x5+x16∴x5+x16=20故选：B．7．已知函数图象过点，则f（x）图象的一个对称中心是（）A．B．C．D．【考点】正弦函数的图象．【分析】由题意可得=2sinφ，结合（|φ|＜）可得φ的值，由五点作图法令2x+=0，可解得：x=﹣，则可求f（x）的图象的一个对称中心．【解答】解：∵函数f（x）=2sin（2x+φ）（|φ|＜）的图象过点（0，），∴=2sinφ，由（|φ|＜），可得：φ=，∴f（x）=2sin（2x+），∴由五点作图法令2x+=0，可解得：x=﹣，则f（x）的图象的一个对称中心是（﹣，0）．故选：B．8．如图，网格纸上正方形小格的边长为1cm，图中粗线画出的是某零件的三视图，该零件由一个底面半径为3cm，高为6cm的圆柱体毛坯切削得到，则切削掉部分的体积为（）A．20πcm3B．16πcm3C．12πcm3D．【考点】由三视图求面积、体积．【分析】由三视图判断几何体的形状，通过三视图的数据求出几何体的体积，再计算原几何体的体积即可．【解答】解：几何体是由两个圆柱组成，一个是底面半径为3高为2，一个是底面半径为2，高为4，组合体体积是：32π•2+22π•4=34π；底面半径为3cm，高为6cm的圆柱体毛坯的体积为：32π×6=54π；所以切削掉部分的体积为54π﹣34π=20πcm3．故选：A．9．公元263年左右，我国数学家刘徽发现当圆内接正多边形的边数无限增加时，多边形面积可无限逼近圆的面积，并创立了“割圆术”．利用“割圆术”刘徽得到了圆周率精确到小数点后两位的近似值3.14，这就是著名的“徽率”．如图是利用刘徽的“割圆术”思想设计的一个程序框图，则输出n的值为（）（参考数据：≈1.732，sin15°≈0.2588，sin7.5°≈0.1305）A．12 B．24 C．36 D．48【考点】程序框图．【分析】列出循环过程中S与n的数值，满足判断框的条件即可结束循环．【解答】解：模拟执行程序，可得：n=6，S=3sin60°=，不满足条件S≥3.10，n=12，S=6×sin30°=3，不满足条件S≥3.10，n=24，S=12×sin15°=12×0.2588=3.1056，满足条件S≥3.10，退出循环，输出n的值为24．故选：B．10．△ABC的外接圆的圆心为O，半径为2，且，且||=||，则向量在方向上的投影为（）A．B．3 C．D．﹣3【考点】平面向量数量积的运算．【分析】由题意可得，可得四边形OBAC是平行四边形，结合||=||可得四边形OBAC是边长为2的菱形，且∠ABO=∠AC0=60°，可得∠ACB=∠AC0=30°，由投影的定义可得．【解答】解：∵，∴，即，可得四边形OBAC是平行四边形，∵△ABC的外接圆的圆心为O，半径为2，∴||=||=||=2，∴四边形OBAC是边长为2的菱形，且∠ABO=∠AC0=60°，∴∠ACB=∠AC0=30°，∴向量在方向上的投影为：cos∠ACB=2cos30°=．故选：A11．过椭圆+=1（a＞b＞0）的左顶点A且斜率为k的直线交椭圆于另一个点B，且点B在x轴上的射影恰好为右焦点F，若0＜k＜，则椭圆的离心率的取值范围是（）A．（0，）B．（，1）C．（0，）D．（，1）【考点】椭圆的简单性质．【分析】作出图形，则易知|AF2|=a+c，|BF2|=，再由∠BAF2是直线的倾斜角，易得k=tan∠BAF2，然后通过0＜k＜，分子分母同除a2得0＜＜求解．【解答】解：如图所示：|AF2|=a+c，|BF2|=，∴k=tan∠BAF2=，又∵0＜k＜，∴0＜＜，∴0＜＜，∴＜e＜1．故选：D．12．已知函数f（x）=x2+2ax，g（x）=3a2lnx+b，设两曲线y=f（x），y=g（x）有公共点，且在该点处的切线相同，则a∈（0，+∞）时，实数b的最大值是（）A．B． C．D．【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】分别求出函数f（x）的导数，函数g（x）的导数．由于两曲线y=f（x），y=g（x）有公共点，设为P（x0，y0），则有f（x0）=g（x0），且f′（x0）=g′（x0），解出x0=a，得到b关于a的函数，构造函数，运用导数求出单调区间和极值、最值，即可得到b的最大值．【解答】解：函数f（x）的导数为f'（x）=x+2a，函数g（x）的导数为，由于两曲线y=f（x），y=g（x）有公共点，设为P（x0，y0），则，由于x0＞0，a＞0则x0=a，因此构造函数，由h'（t）=2t（1﹣3lnt），当时，h'（t）＞0即h（t）单调递增；当时，h'（t）＜0即h（t）单调递减，则即为实数b的最大值．故选D．二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．已知函数f（x）=，则f[f（）]= ．【考点】函数的值．【分析】根据分段函数的表达式，直接代入进行求解即可．【解答】解：由分段函数可知，f（）=log，f（﹣1）=，故答案为：．14．已知A，B，C点在球O的球面上，∠BAC=90°，AB=AC=2．球心O到平面ABC的距离为1，则球O的表面积为12π．【考点】球的体积和表面积．【分析】由∠BAC=90°，AB=AC=2，得到BC，即为A、B、C三点所在圆的直径，取BC的中点M，连接OM，则OM即为球心到平面ABC的距离，在Rt△OMB中，OM=1，MB=，则OA可求，再由球的表面积公式即可得到．【解答】解：如图所示：取BC的中点M，则球面上A、B、C三点所在的圆即为⊙M，连接OM，则OM即为球心到平面ABC的距离，在Rt△OMB中，OM=1，MB=，∴OA==，即球的半径R为，∴球O的表面积为S=4πR2=12π．故答案为：12π．15．已知圆C：（x﹣1）2+（y﹣2）2=2，若等边△PAB的一边AB为圆C的一条弦，则|PC|的最大值为2．【考点】圆的标准方程．【分析】得到圆心坐标和半径．等边△PAB的一边AB为圆C的一条弦，可得|PC|的最大值为直径，即可得出结论．【解答】解：由圆C：（x﹣1）2+（y﹣2）2=2，∴圆心坐标C（1，2），半径r=．∵等边△PAB的一边AB为圆C的一条弦，∴|PC|的最大值为直径2．故答案为：2．16．已知△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，sinA+sinB﹣4sinC=0，且△ABC的周长L=5，面积S=﹣（a2+b2），则cosC= ．【考点】余弦定理．【分析】利用正弦定理化简已知的第一个等式，得到a+b=4c，代入第二个等式中计算，即可求出c的长，利用三角形的面积公式表示出三角形ABC的面积S，代入已知的等式中，利用完全平方公式变形后，将a+b=4代入化简，即可求出cosC的值．【解答】解：△ABC中，∵sinA+sinB﹣4sinC=0，∴a+b=4c，∵△ABC的周长L=5，∴a+b+c=5，∴c=1，a+b=4．∵面积S=﹣（a2+b2），∴absinC=﹣（a2+b2）=﹣[（a+b）2﹣2ab]=ab，∴sinC=，∵c＜a+b，C是锐角，∴cosC==．故答案为：．三、解答题（本大题共5小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）17．已知数列{a n}为等差数列，a2=3，a4=7；数列{b n}为公比为q（q＞1）的等比数列，且满足集合{b1，b2，b3}={1，2，4}．（Ⅰ）求数列{a n}，{b n}的通项公式；（Ⅱ）求数列{a n+b n}的前n项和S n．【考点】数列的求和；数列递推式．【分析】（Ⅰ）通过联立a2=3、a4=7计算可知等差数列{a n}的首项和公差，从而可得其通项公式；通过等比数列{b n}成公比大于1的等比数列可确定b1=1、b2=2、b3=4，进而可求出首项和公比，从而可得通项公式；（Ⅱ）通过（I），利用分组求和法计算即得结论．【解答】解：（Ⅰ）设等差数列的首项和公差分别为a1、d，∵a2=3，a4=7，∴a1+d=3，a1+3d=7，解得：a1=1，d=2，∴a n=1+2（n﹣1）=2n﹣1，∵等比数列{b n}成公比大于1的等比数列且{b1，b2，b3}={1，2，4}，∴b1=1，b2=2，b3=4，∴b1=1，q=2，∴b n=2n﹣1；（Ⅱ）由（I）可知S n=（a1+a2+…+a n）+（b1+b2+…+b n）=+=n2+2n﹣1．18．某数学教师对所任教的两个班级各抽取20名学生进行测试，分数分布如表，若成绩120分以上（含120分）为优秀．分数区间甲班频率乙班频率[0，30）0.1 0.2[30，60）0.2 0.2[60，90）0.3 0.3[90，120）0.2 0.2[120，150] 0.2 0.1优秀不优秀总计甲班乙班总计2.072 2.7063.841 5.024 6.635 7.879 10.828k00.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001 P（K2≥k0）（Ⅰ）求从乙班参加测试的90分以上（含90分）的同学中，随机任取2名同学，恰有1人为优秀的概率；（Ⅱ）根据以上数据完成上面的2×2列联表：在犯错概率小于0.1的前提下，你是否有足够的把握认为学生的数学成绩是否优秀与班级有关？【考点】独立性检验；古典概型及其概率计算公式．【分析】（Ⅰ）由图表得到乙班参加测试的90分以上的同学有6人，记为A、B、C、D、E、F．成绩优秀的记为A、B．然后利用枚举法得到从这六名学生随机抽取两名的基本事件个数，进一步得到恰有一位学生成绩优秀的事件个数，由古典概型概率计算公式得答案；（Ⅱ）直接由公式求出K的值，结合图表得答案．【解答】解：（Ⅰ）乙班参加测试的90分以上的同学有6人，记为A、B、C、D、E、F．成绩优秀的记为A、B．从这六名学生随机抽取两名的基本事件有：{A，B}，{A，C}，{A，D}，{A，E}，{A，F}，{B，C}，{B，D}，{B，E}，{B，F}，{C，D}，{C，E}，{C，F}，{D，E}，{D，F}，{E，F}共15个，设事件G表示恰有一位学生成绩优秀，符合要求的事件有：{A，C}，{A，D}，{A，E}，{A，F}，{B，C}，{B，D}，{B，E}，{B，F}共8个，∴；（Ⅱ）优秀不优秀总计甲班 4 16 20乙班 2 18 20总计 6 34 40．在犯错概率小于0.1的前提下，没有足够的把握说明学生的数学成绩是否优秀与班级有关系．19．如图所示的多面体中，ABCD是菱形，BDEF是矩形，ED⊥面ABCD，．（1）求证：平面BCF∥面AED；（2）若BF=BD=a，求四棱锥A﹣BDEF的体积．【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积；平面与平面平行的性质．【分析】（1）证明FB∥平面AED，BC∥平面AED，利用面面平行的判定定理可得结论；（2）连接AC，AC∩BD=O，证明AO⊥面BDEF，即可求出四棱锥A﹣BDEF的体积．【解答】（1）证明：∵ABCD是菱形，∴BC∥AD，∵BC⊄面ADE，AD⊂面ADE，∴BC∥面ADE…∵BDEF是矩形，∴BF∥DE，∵BF⊄面ADE，DE⊂面ADE，∴BF∥面ADE，∵BC⊂面BCF，BF⊂面BCF，BC∩BF=B，∴面BCF∥面ADE…（2）解：连接AC，AC∩BD=O∵ABCD是菱形，∴AC⊥BD∵ED⊥面ABCD，AC⊂面ABCD，∴ED⊥AC，∵ED，BD⊂面BDEF，ED∩BD=D，∴AO⊥面BDEF，…∴AO为四棱锥A﹣BDEF的高由ABCD是菱形，，则△ABD为等边三角形，由BF=BD=a，则，∵，∴…20．已知圆M：（x+1）2+y2=1，圆N：（x﹣1）2+y2=25，动圆P与圆M外切并与圆N内切，圆心P的轨迹为曲线C．（Ⅰ）求曲线C的方程；（Ⅱ）过曲线C上的一点作两条直线分别交曲线于A，B两点，已知OA，OB的斜率互为相反数，求直线AB的斜率．【考点】直线与圆的位置关系．【分析】（Ⅰ）设圆P的半径为r，由题意得|PM|+|PN|=（1+r）+（5﹣r）=6，从而曲线C是以（﹣1，0），（1，0）为焦点，长轴长为6的椭圆，由此能求出曲线C的方程．（Ⅱ）设直线QA、QB的斜率分别为k，﹣k，则A（1+λ，），B（1+μ，），由此能求出直线AB的斜率．【解答】解：（Ⅰ）∵圆M：（x+1）2+y2=1，圆N：（x﹣1）2+y2=25，动圆P与圆M外切并与圆N内切，圆心P的轨迹为曲线C，设圆P的半径为r，由题意得|PM|+|PN|=（1+r）+（5﹣r）=6，∴曲线C是以（﹣1，0），（1，0）为焦点，长轴长为6的椭圆，∴曲线C的方程为．（Ⅱ）设直线QA、QB的斜率分别为k，﹣k，则直线QA、QB的一个方向向量为（1，k），（1，﹣k），则=λ（1，k），=μ（1，﹣k），∴A（1+λ，），B（1+μ，），代入=1，并整理，得，两式相减，得：λ﹣μ=﹣，两式相加，得：λ+μ=﹣，∴直线AB的斜率k AB==．21．已知函数f（x）=lnx﹣mx2，g（x）=mx2+x，m∈R，令F（x）=f（x）+g（x）．（Ⅰ）当时，求函数f（x）的单调区间及极值；（Ⅱ）若关于x的不等式F（x）≤mx﹣1恒成立，求整数m的最小值．【考点】利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究函数的单调性．【分析】（Ⅰ）求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间，从而求出函数的极值即可；（Ⅱ）法一：令，求出函数的导数，通过讨论m的范围求出函数的单调区间，从而求出m的最小值即可；法二：分离参数，得到恒成立，令，根据函数的单调性求出函数h（x）的最大值，从而求出m的最小值即可．【解答】解：（Ⅰ），所以．…令f′（x）=0得x=1；…由f′（x）＞0得0＜x＜1，所以f（x）的单调递增区间为（0，1）．由f′（x）＜0得x＞1，所以f（x）的单调递增区间为（1，+∞）．…所以函数，无极小值…（Ⅱ）法一：令．所以．…当m≤0时，因为x＞0，所以G′（x）＞0所以G（x）在（0，+∞）上是递增函数，又因为．所以关于x的不等式G（x）≤mx﹣1不能恒成立．…当m＞0时，．令G′（x）=0得，所以当时，G′（x）＞0；当时，G′（x）＜0．因此函数G（x）在是增函数，在是减函数．…故函数G（x）的最大值为．令，因为．又因为h（m）在m∈（0，+∞）上是减函数，所以当m≥2时，h（m）＜0．所以整数m的最小值为2．…法二：由F（x）≤mx﹣1恒成立知恒成立…令，则…令φ（x）=2lnx+x，因为，φ（1）=1＞0，则φ（x）为增函数故存在，使φ（x0）=0，即2lnx0+x0=0…当时，h′（x）＞0，h（x）为增函数当x0＜x时，h′（x）＜0，h（x）为减函数…所以，而，所以所以整数m的最小值为2．…请考生在22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．[选修4-1：几何证明选讲]22．如图，在△ABC中，DC⊥AB于D，BE⊥AC于E，BE交DC于点F，若BF=FC=3，DF=FE=2．（1）求证：AD•AB=AE•AC；（2）求线段BC的长度．【考点】与圆有关的比例线段；圆內接多边形的性质与判定．【分析】（1）推导出B，C，D，E四点在以BC为直径的圆上，由割线定理能证明AD•AB=AE •AC．（2）过点F作FG⊥BC于点G，推导出B，G，F，D四点共圆，F，G，C，E四点共圆，由此利用割线定理能求出BC的长．【解答】证明：（1）由已知∠BDC=∠BEC=90°，所以B，C，D，E四点在以BC为直径的圆上，由割线定理知：AD•AB=AE•AC．…解：（2）如图，过点F作FG⊥BC于点G，由已知，∠BDC=90°，又因为FG⊥BC，所以B，G，F，D四点共圆，所以由割线定理知：CG•CB=CF•CD，①…同理，F，G，C，E四点共圆，由割线定理知：BF•BE=BG•BC，②…①+②得：CG•CB+BG•BC=CF•CD+BF•BE，即BC2=CF•CD+BF•BE=3×5+3×5=30，…所以BC=．…[选修4-4：坐标系与参数方程]23．在直角坐标系xOy中，圆C的参数方程（φ为参数），以O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系．（1）求圆C的极坐标方程；（2）直线l的极坐标方程是2ρsin（θ+）=3，射线OM：θ=与圆C的交点为O、P，与直线l的交点为Q，求线段PQ的长．【考点】简单曲线的极坐标方程；点的极坐标和直角坐标的互化．【分析】解：（I）利用cos2φ+sin2φ=1，即可把圆C的参数方程化为直角坐标方程．（II）设（ρ1，θ1）为点P的极坐标，由，联立即可解得．设（ρ2，θ2）为点Q的极坐标，同理可解得．利用|PQ|=|ρ1﹣ρ2|即可得出．【解答】解：（I）利用cos2φ+sin2φ=1，把圆C的参数方程为参数）化为（x﹣1）2+y2=1，∴ρ2﹣2ρcosθ=0，即ρ=2cosθ．（II）设（ρ1，θ1）为点P的极坐标，由，解得．设（ρ2，θ2）为点Q的极坐标，由，解得．∵θ1=θ2，∴|PQ|=|ρ1﹣ρ2|=2．∴|PQ|=2．[选修4-5：不等式选讲]24．已知f（x）=2|x﹣2|+|x+1|（1）求不等式f（x）＜6的解集；（2）设m，n，p为正实数，且m+n+p=f（2），求证：mn+np+pm≤3．【考点】绝对值三角不等式；绝对值不等式的解法．【分析】（1）利用零点分段法去掉绝对值符号，转化为不等式组，解出x的范围；（2）由基本不等式，可以解得m2+n2+p2≥mn+mp+np，将条件平方可得（m+n+p）2=m2+n2+p2+2mn+2mp+2np=9，代入m2+n2+p2≥mn+mp+np，即可证得要求证得式子．【解答】（1）解：①x≥2时，f（x）=2x﹣4+x+1=3x﹣3，由f（x）＜6，∴3x﹣3＜6，∴x＜3，即2≤x＜3，②﹣1＜x＜2时，f（x）=4﹣2x+x+1=5﹣x，由f（x）＜6，∴5﹣x＜6，∴x＞﹣1，即﹣1＜x ＜2，③x≤﹣1时，f（x）=4﹣2x﹣1﹣x=3﹣3x，由f（x）＜6，∴3﹣3x＜6，∴x＞﹣1，可知无解，综上，不等式f（x）＜6的解集为（﹣1，3）；（2）证明：∵f（x）=2|x﹣2|+|x+1|，∴f（2）=3，∴m+n+p=f（2）=3，且m，n，p为正实数∴（m+n+p）2=m2+n2+p2+2mn+2mp+2np=9，∵m2+n2≥2mn，m2+p2≥2mp，n2+p2≥2np，∴m2+n2+p2≥mn+mp+np，∴（m+n+p）2=m2+n2+p2+2mn+2mp+2np=9≥3（mn+mp+np）又m，n，p为正实数，∴可以解得mn+np+pm≤3．故证毕．2016年10月19日。
内蒙古赤峰市2020届高三4月统一能力测试文数试题 Word版含解析
内蒙古赤峰市2020届高三4月统一能力测试文数试题一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1.设全集{}2,1,0,1,2U =--，集合{}{}21,0,1,|20M N x x x =-=--=，则()U C M N ⋂=（ ） A ．{}2 B ．{}1- C ．{}2,1,2-- D ．{}1,1- 【答案】A 【解析】试题分析：因}2,2{},2,1{},1,0,1{-=-=-=M C N M U ,故}2{)(=N M C U I ,应选A. 考点：集合的交集运算. 2.已知复数11z i =-，则（ ） A ．z 的实部为12 B ．z 的虚部为12i - C ．22z = D ．z 的共轭复数为1122i +【答案】C考点：复数的概念及运算.3.若方程221y x a+=（α是常数）则下列结论正确的是（ ） A ．任意实数a 方程表示椭圆 B ．存在实数a 方程表示椭圆 C ．任意实数a 方程表示双曲线 D ．存在实数a 方程表示抛物线 【答案】B 【解析】试题分析：显然当1>a 时,该方程表示椭圆,故应选B. 考点：椭圆的标准方程.4.已知()()1,2,2,4a b ==-v v，且ka b +v v 与b v 垂直，则k =（ ）A ．103 B ．203- C ．103- D ．203 【答案】C 【解析】试题分析：由题设0)(=⋅+b b a k ,即02=+⋅b b a k ,也即0206=+k ,故310-=k ,应选C. 考点：向量的坐标形式及运算.5.某产品在某零售摊位的零售价x （单位：元）与每天的销售量y （单位：个）的统计资料如下 表所示：x 11 10.5 10 9.5 9y 56 8 10 10根据上表得回归直线方程ˆˆˆybx a =+，其中ˆˆˆ3.2,b a y bx =-=-，按此回归方程估计零售价为5元时的 销售量估计为（ ）个．A ．16个B ．20个C ．24个D ．28个 【答案】C考点：线性回归方程及运用.6.不等式220x x m -+>在R 上恒成立的必要不充分条件是（ ）A ．2m >B ．01m <<C ．0m >D ．1m > 【答案】C 【解析】试题分析：因不等式恒成立的充要条件是1m >,故当0>m 时,不等式不是恒成立的,故0>m 是不充分条件,应选C.考点：充分必要条件的判定和运用.7.执行如图所示的程序框图，输出的结果是（ ）A ．34B ．55C ．78D ．89 【答案】B考点：算法流程图的识读和理解.8.设n S 是公差1d =-的等差数列{}n a 的前n 项和，且124,,S S S 成等比数列，则n a =（ ） A ．12n -- B ．12n - C ．12n + D ．12n -+ 【答案】B 【解析】试题分析：由题设可得)64()12(1121-=-a a a ,解之得211-=a ,故n n a n -=---=21)1(21,应选B. 考点：等差数列的通项及前n 项和.9.已知某几何体的三视图（单位：cm ）如图所示，则该几何体的体积是（ ）A ．3100cm B ．398cm C ．388cm D ．378cm 【答案】A 【解析】试题分析：从三视图提供的图形信息和数据信息可知该几何体的一个四棱柱去掉一个三棱锥角所剩余的几何体.其体积10081084)4321(31636=-=⨯⨯⨯⨯-⨯⨯=V ,故应选A. 考点：三视图的识读和理解. 10.已知0,2πωϕ><，若6x π=和76x π=是函数()()cos f x x ωϕ=+的两个相邻的极值点， 将()y f x =的图像向左平移6π个单位得到函数()y g x =的图像，则下列说法正确的是（ ）A ．()y g x =是奇函数B ．()y g x =的图像关于点,02π⎛⎫- ⎪⎝⎭对称 C ．()y g x =的图像关于直线2x π=对称 D ．()y g x =的周期为π【答案】B考点：三角函数的图象和性质.【易错点晴】三角函数的图象和性质是高中数学中重要内容,也高考和各级各类考试的重要内容和考点.本题以一道求函数解析表达式为()()cos f x x ωϕ=+的实际应用问题为背景,要求研究经过平移后的函数)(x g y =的图象和性质.解答本题时,首先要求确定解析式中的未知参数ϕω,的值,求得()()cos f x x ωϕ=+,然后向左平移6π个单位后得xx g cos )(=.这里确定ϕ的值是解答本题的关键. 11.已知点(),P x y 满足41x y y x x +≤⎧⎪≥⎨⎪≥⎩，过点P 的直线与圆2214x y +=相交于,A B 两点，则AB 的最小值为（ ）A ．2B ．26C ．25D ．4 【答案】D考点：线性规划和直线与圆的位置关系的等有关知识的综合运用.【易错点晴】本题考查的是线性规划的有关知识与直线与圆等知识的综合运用.解答时先依据题设条件画出不等式组41x y y x x +≤⎧⎪≥⎨⎪≥⎩及圆2214x y +=表示的平面区域和图形,如上图, 借助题设条件可知使弦AB 最短,则弦心距最大. 根据圆的几何性质和不等式表示的区域可知,圆内部的点)3,1(P 到圆心)0,0(O 距离最大,此时10=OP ,因此最小弦长410142=-=L ,从而使问题简捷巧妙获解.12.已知椭圆()222210x y a b a b+=>>的左顶点和上顶点分别为A B 、，左、右焦点分别是12,F F ，在线段AB 上有且只有一个点P 满足12PF PF ⊥，则椭圆的离心率的平方为（ ）A ．3 B ．31- C ．5D ．51-【答案】D考点：椭圆的几何性质等知识的综合运用.【易错点晴】椭圆是圆锥曲线的重要代表曲线之一,也高考和各级各类考试的重要内容和考点.解答本题时要充分利用题设中提供的有关信息,运用椭圆的几何性质和题设中的条件将问题转化为圆心)0,0(O 到直线0=+-ab ay bx 的距离c cabb a ab d ==+=22的问题,建立了关于c a ,的方程,从而求得离心率2152-=e .借助椭圆的定义和题设条件建立方程是解答好本题的关键. 第Ⅱ卷（非选择题共90分）二、填空题（本大题共4小题，每题5分，满分20分．） 13.已知3sin 45πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭，且344ππα<<，则cos α=__________． 【答案】2 【解析】试题分析：因344ππα<<,故ππαπ<+<42,所以542591)4cos(-=--=+πα，102)5354(22]4)4cos[(cos -=+-=-+=ππαα,应填210-. 考点：三角变换及运用．14.22nx x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭展开式中只有第六项的二项式系数最大，则展开式的常数项是_________．【答案】180考点：二项式定理及运用．15.已知长方体1111ABCD A B C D -各个顶点都在球面上，13,2,2AB AD A A ===，过棱作AD 该 球的截面，则当截面面积最小时，球心到截面的距离为___________． 【答案】132【解析】试题分析：由题意可知当截面圆的直径是AD 时,过AD 的截面圆的面积最小,即1=r ,又21744921=++=R ,故球心距2131417=-=d ,应填132. 考点：球的几何性质及运用．【易错点晴】球与几何体的外接和内切问题一直是立体几何中的重点和难点问题,也是各级各类考试的重要题型之一.求解时一定要先搞清几何体是怎样与球体内切和外接的,这是解答这类问题的关键也是解好这类问题的突破口.解答本题时,其中的题设条件截面面积最小是较难领会和理解的.只要搞清这句话的含义就能顺利求解球的半径了.因此这是本题的难点,经过分析当截面圆的直径是AD 时,过AD 的截面圆的面积最小,由此可求得求的半径21744921=++=R ,继而求得球心距2131417=-=d . 16.已知函数()22ln f x x x a =-+在1,e e⎡⎤⎢⎥⎣⎦上有两个零点，则实数a 的取值范围__________．【答案】211,2e ⎛⎤+⎥⎝⎦考点：导数和函数的图像与性质等知识的综合运用．【易错点晴】本题设置的是一道函数()22ln f x x x a =-+在1,e e⎡⎤⎢⎥⎣⎦上有两个零点的前提下求参数a 的取值范围问题.解答时要先将函数的零点问题转化为方程有两个根的问题.进而分离参数,再运用函数思想将问题转化为研究函数的图象的性质和最大最小值得问题.求解时,先对函数x x x h ln 2)(2-=求到得到x x x x x x h )1)(1(222)(/-+=-=,再求得最小值是212+e ,最后借助函数的图象判定当2112+≤<ea 时, 直线a y =与函数x x x h ln 2)(2-=的图象有两个交点,从而使得问题获解.整个求解过程体现了转化与化归的数学思想和数形结合的思想.三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17.（本小题满分12分）设数列{}n a 的前n 项之和为n S ，且满足*1,n n S a n N =-∈．（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）令()1n n b n a =+，求数列{}n b 的前n 项和n T ． 【答案】(1)12n n a =；(2)332n nn T +=-.（2）由（1）得：12n nn b +=， ∴1231234122222n n n n n T -+=+++++L ，∴234112341222222n n n n n T ++=+++++L ，∴23411111111111113342211122222222212n n n n n n n n n T +++-+++=+++++-=+-=--gL ， ∴332n n n T +=-．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．12分考点：等比数列的通项、错位相减法求和等有关知识的综合运用． 18.（本小题满分12分）如图，在多面体111ABC A B C -中，四边形11ABB A 是正方形，11,AC AB A BC ==∆是正三角形，11111//,2B C BC B C BC =．（1）求证：平面1A AC ⊥平面ABC ； （2）求该几何体的体积． 【答案】(1)证明见解析；(2)125.考点：空间直线与平面的位置关系中面面垂直的判定、体积转化法等有关知识的综合运用．19.（本小题满分12分）从某校随机抽取200名学生，获得了他们一周课外阅读时间（单位：小时）的数据，整理得到数据分组及频数分布表和频率分布直方图：组号分组频数0,2121 [)2,4162 [)4,6343 [)6,8444 [)8,10505 [)10,12246 [)12,14127 [)14,16 48 [)16,18 49 [)合计200（1）从该校随机选取一名学生，试估计这名学生该周课外阅读时间少于12小时的概率；（2）求频率分布直方图中的,a b 的值；（3）假设同一组中的每个数据可用该组区间的中点值代替，试估计样本中的200名学生该周课外阅读时 间的平均数在第几组．【答案】(1)9.0；(2)125.0；(3)第四组.【解析】考点：频率分布直方图、频率分布表、加权平均数等有关知识的综合运用．20.（本小题满分12分） 已知椭圆()222210x y a b a b +=>>的左右焦点分别为12,F F ，点(4,22A 在椭圆上，且2AF 与x 轴垂直．（1）求椭圆的方程；（2）过2F 作直线与椭圆交于B C 、两点，求COB ∆面积的最大值．【答案】(1)2213216x y +=；(2)82. 【解析】试题分析：(1)借助题设条件将点()4,22A 在椭圆上建立方程求解；(2)借助题设条件联立方程组,建立目标函数运用基本不等式求解.试题解析： （1）由已知得：24,22b c a==，∴42,4a b ==， 故椭圆方程为2213216x y +=．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．5分考点：椭圆的几何性质、直线与椭圆的位置关系、基本不等式等有关知识的综合运用．【易错点晴】本题是一道考查直线与椭圆的位置关系的综合性问题.解答本题的第一问的求椭圆的标准方程问题时,直接依据题设条件将点(4,22A 的坐标代入椭圆方程建立方程,然后再结合基本量c b a ,,的关系,求出c b a ,,的值,最终求出椭圆的方程;第二问的求解过程中,先设BC 的直线方程为()()11224,,,,x ty B x y C x y =+,再与椭圆方程联立方程组消去x 得()2228160t y y ++-=.然后再借助坐标之间的关系建立目标函数2221216t t S ++=,最后运用基本不等式求出其最小值,从而使得问题获解. 21.（本小题满分12分）设函数()()2ln 0,1x f x x a x a a a =-->≠．（1）当a e =时，求函数()f x 的图像在点()()0,0f 的切线方程；（2）若存在[]12,1,1x x ∈-，使得()()121f x f x e -≥-（e 是自然对数的底数），求实数a 的取值范围．【答案】(1)1y =-；(2)[)10,,a e e ⎛⎤∈+∞ ⎥⎝⎦U . 【解析】试题分析：(1)借助题设条件运用导数的几何意义求解；(2)借助题设条件运用导数与函数单调性的关系分析推证.试题解析：所以，当1a >时，()()101f f e -≥-，即ln 1a a e -≥-，函数ln y a a =-在()1,+∞上是增函数，解得a e ≥；当01a <<时，()()101f f e --≥-，即1ln 1a e a +≥-，函数1ln y a a =+在()0,1上是减函数，解得10a e<≤． 综上可知，所求a 的取值范围为[)10,,a e e⎛⎤∈+∞ ⎥⎝⎦U ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．12分 考点：导数的几何意义导数在研究函数单调性和最值极值等方面的的综合运用．【易错点晴】导数是研究函数的单调性和极值最值问题的重要而有效的工具.本题就是以含参数a 的函数解析式为背景,考查的是导数知识在研究函数单调性和极值等方面的综合运用和分析问题解决问题的能力.本题的第一问是求指定点()()0,0f 处的切线方程,求解时先借助导数求得切点处的导函数值,即为切线的斜率；第二问中借助导数,运用导数求在不等式()()121f x f x e -≥-恒成立的前提下实数a 的取值范围.求解借助导数与函数单调性的关系,先求函数()f x 在闭区间]1,1[-上的最大值和最小值,其中通过构造函数,再分进行分析推证,进而求得实数a 的取值范围,从而使得问题简捷巧妙获解.请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.解答时请写清题号.22.（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程 在平面直角坐标系xOy 中，已知直线l 的参数方程为8cos 384sin 3x t y t ππ⎧=⎪⎪⎨⎪=-+⎪⎩（t 为参数），以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程是()23400ρρρ--=≥．（1）写出直线l 的普通方程与曲线C 的直角坐标系方程；（2）设直线l 与曲线 C 相交于A B 、两点，求AOB ∠的值．【答案】40y ++=，2216x y +=；(2)23AOB π∠=.考点：极坐标参数方程、直线与圆的位置关系等有关知识的综合运用．23.（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲已知0,0,0a b c >>>，函数()f x x a x b c =-+++的最小值为1．（1）求a b c ++的值；（2）求证：22213a b c ++≥． 【答案】(1)1；(2)证明见解析.考点：绝对值不等式的几何意义和配方法等有关知识的综合运用．。
2020-2021学年内蒙古自治区赤峰市市松山区农研地区中学高三数学文模拟试卷含解析
2020-2021学年内蒙古自治区赤峰市市松山区农研地区中学高三数学文模拟试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 双曲线的右焦点为，以原点为圆心，c为半径的圆与双曲线在第二象限的交点为A，若此圆A点处切线的斜率为，则双曲线C的离心率为A. B. C. D.参考答案：D略2. 若角的终边经过点，则（）A．B．C．D．参考答案：B3. 已知为虚数单位，复数在复平面内对应的点位于（）A．第一象限 B．第二象限C．第三象限 D．第四象限参考答案：D试题分析：因,故对应的点在第四象限,应选D.考点：复数的概念和运算.4. 若定义在R上的函数是偶函数，且满足，当时，，函数，则在区间（0,5]内的零点的个数是( ) A．2 B．3 C．4 D．5参考答案：C5. 已知函数在点（1,2）处的切线与的图像有三个公共点，则的取值范围是（）A． B． C．D．参考答案：选 D 数形结合，左边是半圆向下平移即可。
6. 一个几何体的三视图如图，则该几何体的表面积是A. 28B.27C.24D.21参考答案：C如图由三视图可以想象对应的几何体是一个大正方体上挖去了一个小正方体，所以这个几何体的表面积没变仍是：。
7. 已知平面向量是非零微量，，则向量在向量方向上的投影为（）A．1 B．C.2 D．参考答案：B试题分析:由题设,即,所以,即.故应选B.考点：向量的乘法运算及投影的概念.8. 下列函数中，在区间(0,＋∞)上为增函数的是( )A ．y ＝ln(x ＋2)B ．y ＝－C ．y ＝D ．y ＝x ＋参考答案：A9. 若存在x ∈（0，1），使x ﹣a ＞log 0.5x 成立，则实数a 的取值范围是（ ）A ．（﹣∞，+∞）B ．（﹣∞，﹣1） C ．（﹣∞，1） D ．（﹣1，+∞）参考答案：C 略10. 已知各项均不为零的数列，定义向量，则下列命题中是真命题的是 A.若对任意的，都有成立，则数列是等差数列 B.若对任意的，都有成立，则数列是等差数列 C.若对任意的，都有成立，则数列是等差数列 D.若对任意的，都有成立，则数列是等比数列参考答案：A二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 已知的展开式的常数项是第项，则正整数的值为.参考答案：12. 某班有学生40人，将其数学期中考试成绩平均分为两组，第一组的平均分为80分，标准差为4，第二组的平均分为90分，标准差为6， 则此班40名学生的数学期中考试成绩平均分 方差为参考答案： 85，成绩平均分85 ，方差为13. 若圆锥的侧面积为2π，底面积为π，则该圆锥的体积为____________。
内蒙古自治区赤峰市田家炳中学2020年高三数学文模拟试题含解析
内蒙古自治区赤峰市田家炳中学2020年高三数学文模拟试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 设，，，则（）A. B. C. D.参考答案：A略2. 关于函数（）的反函数，正确的是（）（A）有反函数（B）有反函数（C）有反函数（D）无反函数参考答案：B3. 如图，已知椭圆C1：+y2=1，双曲线C2：—=1（a>0，b>0），若以C1的长轴为直径的圆与C2的一条渐近线交于A、B两点，且C1与该渐近线的两交点将线段AB三等分，则C2的离心率为（▲）A． B．5 C． D．参考答案：A 4. 已知数列的通项公式为，则满足的整数A.有3个B.有2个C.有1个 D.不存在参考答案：【知识点】数列的概念及简单表示法,数列的和 D1 D4【答案解析】B 解析：，若，，这与矛盾，，，解得：，故选：B【思路点拨】根据数列的通项公式，去绝对值符号，因此对进行讨论，进而求得的表达式，解方程即可求得结果。
5. 如图所示，是某几何体的正视图（主视图），侧视图（左视图）和俯视图，其中俯视图为等腰直角三角形,则该几何体体积为（）A. 6+20πB. 9+16πC. 9+18πD.参考答案：C【分析】根据三视图可得该组合体下半部为一半球体，上半部为一三棱锥，根据三视图中的数据，利用椎体和球体的体积公式计算可得答案.【详解】由三视图可知：该组合体下半部为一半球体，上半部为一三棱锥，该三棱锥中一条侧棱与底面垂直，底面三角形为等腰直角三角形，其中腰长为，高为3，而球体的半径为3，所以该组合体的体积为：.故选：C【点睛】本题考查了由三视图还原直观图，考查了椎体和球体的体积公式，属于基础题.6. 一个容量100的样本，其数据的分组与各组的频数如下表则样本数据落在（10，40]上的频率为（）(A) 0.13 (B) 0.39 (C) 0.52 (D) 0.64参考答案：C7. 设x，y满足约束条件则z＝4x+y的最小值为A．-3 B．-5 C．-14 D．-16参考答案：C8. 命题“存在为假命题”是命题“”的（）A．充要条件 B．必要不充分条件C．充分不必要条件 D．既不充分也不必要条件参考答案：C9. 已知定义在R上的可导函数的导函数为,满足<，且为偶函数，，则不等式的解集为(A) (B)(0，+) (C)(1,+) (D) (4,+)参考答案：B略10. 复数在复平面内对应的点位于（）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限 D．第四象限参考答案：D二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 设向量，，则的坐标为，．参考答案：(4,3),512. 定义在上的函数满足，则等于 .参考答案： -313. 已知函数若三个正实数互不相等，且满足，则的取值范围是参考答案：14. ．抛物线的顶点为，，过焦点且倾斜角为的直线与抛物线交于两点，则的面积是．参考答案：略15. 在样本的频率分布直方图中，共有5个小长方形，若中间一个小长方形的面积等于其余4个小长方形面积和的，且样本容量为50，则中间一组的频数为___________.参考答案：略16. 已知n=，那么的展开式中含x 的项的系数为 ．参考答案：﹣30【考点】二项式系数的性质．【分析】由定积分求出n=6，从而T r+1=（﹣5）6﹣r，令，解得r=5，由此能求出的展开式中含的项的系数．【解答】解：∵=（lnx ）=lne 6﹣ln1=6，∴=， T r+1==（﹣5）6﹣r，令，解得r=5， ∴的展开式中含的项的系数为： =﹣30．故答案为：﹣30． 17. 抛物线上到焦点的距离等于9的点的横坐标是 ．参考答案：6三、 解答题：本大题共5小题，共72分。
2020年内蒙古赤峰市高考数学模拟试卷(文科)(4月份) (含答案解析)
2020年内蒙古赤峰市高考数学模拟试卷(文科)(4月份)一、单项选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.已知集合A={x|−3<x<3}，B={x|x<1}，则A∩B=()A. {x|x<1}B. {x|x<3}C. {x|−3<x<1}D. {x|−3<x<3}2.若复数z满足iz=4−5i(i为虚数单位)，则z的共轭复数z−为()A. 5−4iB. −5+4iC. 5+4iD. −5−4i3.“a2>b2”是“lna>lnb”的()A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件4.某位教师2017年的家庭总收入为80000元，各种用途占比统计如下面的折线图.2018年家庭总收入的各种用途占比统计如下面的条形图，已知2018年的就医费用比2017年的就医费用增加了4750元，则该教师2018年的旅行费用为()A. 21250元B. 28000元C. 29750元D. 85000元5.已知a=215，，，则()A. b<a<cB. c<a<bC. c<b<aD. b<c<a6.若双曲线C：x22−y23m=λ的一条渐近线方程为2x+3y=0，则m=()A. 32B. 23C. 827D. 2787.2013年5月，华人数学家张益唐教授发表论文《素数间的有界距离》，破解了“孪生素数猜想”这一世纪难题，证明了孪生素数猜想的弱化形式．孪生素数就是指相差2的素数对，最小的6对孪生素数是{3,5}，{5,7}，{11,13}，{17,19}，{29,31}，{41,43}.现从这6对孪生素数中取2对进行研究，则取出的4个素数的和大于100的概率为()A. 13B. 15C. 16D. 258.等差数列{a n}中，a3=2,a6=5，则数列{2a n}的前5项和等于()A. 15B. 31C. 63D. 1279.已知函数f(x)的图象可由函数y=3sin(2x+π3)的图象向右平移π3个单位长度得到，则下列结论错误的是A. f(x)的一个周期可为−2πB. 函数f(x)在区间(−π12,5π12)上是增函数C. 函数f(x)的图象关于直线x=π12对称D. 函数f(x)的一个零点为x=π610.已知F1、F2椭圆x216+4y215=1左右焦点，P是椭圆是一点，|PF1|=5，则∠F2PF1的大小为()A. 2π3B. 5π6C. 3π4D. π311.已知三棱锥P−ABC的外接球的球心O在AB上，且PO⊥平面ABC，2AC=√3AB，若三棱锥P−ABC的体积为32，则该三棱锥的外接球的体积为()A. 8√3πB. 6√3πC. 4√3πD. 2√3π12.已知函数f(x)=mx−2m，g(x)={x 2+2(m+1)x+1−m,x⩽0lnx,x>0，若这两个函数图象有且只有三个不同的交点，则实数m的取值范围是()A. [−2,−1]B. (−2,−1]C. [−1,0]D. [−1,0)二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.已知f(x)是奇函数，当x>0时，f(x)=x3−x，则f(−2)=______ ．14.已知向量c⃗=a⃗−(a⃗2a⃗ ⋅b⃗)b⃗ ，则向量a⃗和c⃗的夹角为______ ．15.《九章算术》卷5《商功》记载一个问题“今有圆堡壔(dǎo)，周四丈八尺，高一丈—尺，文积几何？意思是：今有圆柱形土筑小城堡，底面周长为4丈8尺，高1丈1尺，问它的体积是_________立方尺.(取π=3，1丈=10尺)16.若数列{a n}满足：a1=1，a n+1=2S n，则a4+a5+a6=______．三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17.如图，已知四棱锥P−ABCD的底面为直角梯形且∠ADC=90°，AB//CD，AC⊥BD垂足为G，PG是四棱锥P−ABCD的高，∠DAC=∠DPC=60°，PD=2，PC=1．(1)求证：平面PAC⊥平面PBD；(2)求三棱锥P−ACD的体积．18.在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，已知tanA=sinC，c=3．2−cosC(1)求b；a(2)若△ABC的面积为3，求cos C．19.研究某新药的疗效，利用简单随机抽样法给100个患者服用此药，跟踪调查后得如下表的数据．请问：(1)请分别估计服用该药品男患者和女患者中有效者所占的百分比？(2)是否有99%的把握认为服用此药的效果与患者的性别有关？(写出必要过程)(3)根据(2)的结论，能否提出更好的调查方法来更准确估计服用该药的患者中有效者所占的比例？说明理由．参考附表：K 2=n(ad−bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)，期中n −a +b +c +d20. 已知动点P 到点(12,0)的距离比它到直线x =−52的距离小2．(1)求动点P 的轨迹方程；(2)记P 点的轨迹为E ，过点M(2,0)斜率为k 1的直线交曲线E 于A ，B 两点，已知点N(1,0)，延长AN ，BN 与曲线E 交于C ，D 两点，设CD 的斜率为k 2，证明：k 2k 1为定值．21.已知函数f(x)=alnx−x2+x有两个极值点x1，x2(x1<x2).(1)若x2−x1=14，求实数a的值；(2)若−325<a<−19，求f(x1)−f(x2)x1−x2的取值范围．22.已知平面直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为{x=−3+tcosαy=√3+tsinα(t为参数，0≤α<π且α≠π2)，以原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为ρ=2√3.已知直线l与曲线C交于A、B两点，且|AB|=2√3．(1)求α的大小；(2)过A、B分别作l的垂线与x轴交于M,N两点，求|MN|．23.已知函数f(x)=|x+1|+|ax−1|．(Ⅰ)当a=1时，求不等式f(x)⩽4的解集；(Ⅱ)当x≥1时，不等式f(x)⩽3x+b成立，证明：a+b≥0．【答案与解析】1.答案：C解析：本题考查描述法表示集合的定义，以及交集的运算．属于基础题．进行交集的运算即可．解：A∩B={x|−3<x<1}．故选：C．2.答案：B解析：解：∵iz=4−5i，∴i2z=(4−5i)i，∴−z=4i+5，化为z=−5−4i．∴z的共轭复数z−=−5+4i．故选：B．利用复数的运算法则和共轭复数的意义即可得出．本题考查了复数的运算法则和共轭复数的意义，属于基础题．3.答案：B解析：解：若lna>lnb，则a>b>0，可得a2>b2；反之，“a2>b2”a，b可能为负数，推不出lna>lnb．∴“a2>b2”是“lna>lnb”的必要不充分条件．故选：B．若lna>lnb，则a>b>0，可得a2>b2；反之，“a2>b2”a，b可能为负数，推不出lna>lnb.即可判断出结论．本题考查了函数的性质、不等式的性质、简易逻辑的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．4.答案：C解析：解：设教师2018年家庭总收入为n，则n×15%−80000×10%=4750，解得n=85000，则该教师2018年的旅行费用为85000×35%=29750，故选：C．先对图表信息进行分析，再结合简单的合情推理可得解．本题考查了对图表信息的分析及进行简单的合情推理，属于基础题．5.答案：C解析：解：a=215>1，0<b=log352<log33=1，，∴a>b>c．故选：C．利用指数函数性质和对数函数性质，判断三个数的范围，即可判断三个数的大小．本题主要考查利用指数函数性质和对数函数性质比较大小，是基础题．6.答案：C解析：本题考查双曲线的渐近线，考查运算求解能力，属于基础题．利用已知条件列出关系式，转化求解即可．解：由题意知双曲线的渐近线方程为y=±√3m2x(m>0)，2x+3y=0可化为y=−23x，则√3m2=23，解得m=827．故选C．7.答案：B解析：本题考查了古典概型的计算与应用.注意事件的无漏无缺，属于基础题．先找出符合题意得所有事件，再找符合题意的事件．利用古典概型的计算，计算得结论． 解：从6对李生素数中取出2对，有{3,5}和{5,7}，{3,5}和{11,13}，{3,5}和{17,19}，{3,5}和{29,31}，{3,5}和{41,43}，{5,7}和{11,13}，{5,7}和{17,19}，{5,7}和{29,31}，{5,7}和{41,43}，{11,13}和{17,19}，{11,13}和{29,31}，{11,13}和{41,43}，{17,19}和{29,31}，{17,19}和{41,43}，{29,31}和{41,43}， 所以6对孪生素数中取出2对共有种不同取法，其中4个素数的和大于100的有{41,43}和{29,31}，{41,43}和{17,19}，{41,43}和{11,13}，共3种不同取法，则其概率为315=15． 故选B ．8.答案：B解析：本题考查了等差数列的通项公式、等比数列的前n 项和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．利用等差数列的通项公式可得a n ，再利用等比数列的前n 项和公式即可得出． 解：设等差数列{a n }的公差为d ，∵a 3=2，a 6=5， ∴{a 1+2d =2a 1+5d =5，解得d =1，a 1=0． ∴a n =n −1． ∴2a n =2n−1．则数列{2a n }的前5项和S 5=1−251−2=31．9.答案：C解析：求出平移后的图象对应的函数解析式，再由正弦函数的图象与性质求解．解：函数y =3sin (2x +π3)的图象向右平移π3个单位长度得到f(x)=3sin[2(x −π3)+π3]=3sin(2x −π3)的图象，f(−2π+x)=f(x)，故A正确；当−π12<x<5π12，−π2<2x−π3<π2，f(x)递增，B正确；当x=π12时，f(π12)=3sin(−π6)，显然图象不关于直线x=π12对称，C错误；f(π6)=0，D正确，故选C．10.答案：A解析：解：椭圆x216+4y215=1的a=4，b2=154，c2=16−154=494，则c=72，即有|F1F2|=2c=7，且|PF1|=5，|PF2|=3，在△PF1F2中，由余弦定理可得，cos∠F2PF1=32+52−722×3×5=−12，则∠F2PF1=2π3．故选A．求出椭圆的a，b，c，运用椭圆的定义，再由余弦定理，即可得到∠F2PF1的大小．本题考查椭圆的定义和运用，考查余弦定理及应用，考查运算能力，属于基础题．11.答案：C解析：本题考查了线面垂直的性质、三棱锥的体积计算公式、球的体积计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．如图所示，由于三棱锥P−ABC的外接球的球心O在AB上，且PO⊥平面ABC，可得PO是三棱锥P−ABC的高，OA=OB=OC=OP=x，AC⊥BC.而2AC=√3AB，可得BC=x，AC=√3x.利用三棱锥的体积计算公式可得x，再利用球的体积计算公式即可得出．解：如图所示，∵三棱锥P−ABC的外接球的球心O在AB上，且PO⊥平面ABC，∴PO是三棱锥P−ABC的高，OA=OB=OC=OP=x，∴∠ACB=90°，∴AC⊥BC．∵2AC=√3AB，∴∠ABC=60°，∴BC=x，AC=√3x.∴V P−ABC=13⋅S△ABC⋅PO=13×12×√3x2×x=32，解得x=√3．∴该三棱锥的外接球的体积V=4π3x3=4√3π．故选：C．12.答案：D解析：本题考查由函数零点的个数求参数的范围，属于中档题．分类讨论，将问题转化为二次方程根的分布问题，即可容易求得参数范围．解：因为f(x)=m(x−2)，且当x>0时，g(x)=lnx，①当m≤0，x>0时，f(x)与g(x)只有一个交点，要满足题意，只需当x≤0时，f(x)=g(x)有两个根，等价于x2+(m+2)x+1+m=(x+1)(x+m+1)=0有两个非正根即可．显然，该方程的两根为−1和−1−m，要满足题意，只需−1−m≤0且−1−m≠−1即可，即m≥−1且m≠0，又m≤0，故m∈[−1,0);②当m>0，x>0时，f(x)与g(x)有2个交点，要满足题意，只需当x≤0时，f(x)=g(x)有一个根，等价于x2+(m+2)x+1+m=(x+1)(x+m+1)=0有一个非正根即可．显然，该方程的两根为−1和−1−m，则只需−1−m=−1或−1−m>0即可，解得m=0或m<−1，又m>0，故m∈⌀;综上所述：m∈[−1,0)．故选D．13.答案：−6解析：解：由题意，f(2)=23−2=6，∵f(x)是奇函数，∴f(−2)=−f(2)=−6．故答案为−6．直接利用奇函数的定义，即可得出结论．本题考查函数值的计算，考查函数的奇偶性，比较基础．14.答案：π2解析：由数量积可得a⃗⋅c⃗=a⃗2−a⃗2=0.即可得出．本题考查了数量积运算，属于基础题．解：∵向量c⃗=a⃗−(a⃗2a⃗ ⋅b⃗)b⃗ ，∴a⃗⋅c⃗=a⃗2−a⃗2a⃗ ⋅b⃗×a⃗⋅b⃗ =a⃗2−a⃗2=0．∴a⃗⊥c⃗．∴向量a⃗和c⃗的夹角为π2．故答案为π2．15.答案：2112解析：本题考查求圆柱的体积，属于基础题目．根据圆柱的体积公式计算即可．解：设圆柱的底面半径为R，高为h，底面周长为C，因C=2πR，，故R=C2π则所求体积为．故答案为2112．16.答案：234解析：解：根据题意，数列{a n}满足：a n+1=2S n，即S n+1−S n=2S n，则有S n+1=3S n，又由S1=a1=1，则数列{S n}为首项为1，公比为3的等比数列，则S n=1×3n−1=3n−1，则a4+a5+a6=S6−S3=35−32=234；故答案为：234．根据题意，将a n+1=2S n变形可得S n+1−S n=2S n，则有S n+1=3S n，据此分析可得数列{S n}为首项为1，公比为3的等比数列，可得S n=1×3n−1=3n−1，又由a4+a5+a6=S6−S3，计算可得答案．本题考查数列的递推公式，注意分析数列{S n}的性质，属于基础题．17.答案：证明：(1)∵PG是四棱锥P−ABCD的高，∴AC⊥PG，∵AC⊥BD，PG，BD都在平面PGA内，且PG∩BD=G，∴AC⊥平面PBD，∵AC⊂平面PAC，∴平面PAC⊥平面PBD．解：(2)∵PD =2，PC =1，∠DPC =60°，∴由余弦定理得DC =√PD 2+PC 2−2×PD ×PC ×cos∠DPC =√3， 由题意得AD ⊥DC ，在Rt △ADC 中，∠DAC =60°， ∴AC =DCsin∠DAC =√3√32=2，∴AD =√AC 2−DC 2=√4−3=1， ∵S △ACD =12×AD ×DC =12×DG ×AC ，∴DG =AD×DC AC=1×√32=√32， ∵PG 为四棱锥P −ABCD 的高， ∴PG ⊥平面ABCD ，∵DG ⊂平面ABCD ，∴PG ⊥DG ，在Rt △PGD 中，PG +√PD 2−DG 2=√22−(√32)2=√132，∴三棱锥P −ACD 的体积V =13×S △ADC ×PG =13×12×AD ×DC ×PG =13×12×1×√3×√132=√3912．解析：(1)推导出AC ⊥PG ，AC ⊥BD ，从而AC ⊥平面PBD ，由此能证明平面PAC ⊥平面PBD ． (2)由余弦定理得DC =√3，推导出AD ⊥DC ，AC =2，AD =√AC 2−DC 2=1，DG =AD×DC AC=√32，PG ⊥平面ABCD ，由此能求出三棱锥P −ACD 的体积．本题考查面面垂直的证明，考查三棱锥的体积的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．18.答案：解：(1)tanA =sinA cosA =sinC2−cosC ，即2sinA −sinAcosC =cosAsinC ，整理得：2sinA =sinAcosC +cosAsinC =sin(A +C)=sinB ， 利用正弦定理asinA =bsinB 化简得：2a =b ， 则ba =2；(2)∵2a =b ，△ABC 面积为3，c =3， ∴S △ABC =12absinC =a 2sinC =3①， cosC =a 2+b 2−c 22ab =a 2+4a 2−94a 2，即54−94a 2=cosC②，联立①②解得：sinC=35，cosC=45．解析：(1)已知等式利用同角三角函数间的基本关系切化弦，去分母整理后，利用正弦定理化简即可求出所求式子的值；(2)利用三角形面积公式及余弦定理分别列出关系式，联立即可求出cos C的值．此题考查了正弦、余弦定理，以及三角形面积公式，熟练掌握定理及公式是解本题的关键．19.答案：解：(1)利用简单随机抽样法给50个男患者服用此药，有35位有效，因此服用该药品男患者中有效者所占的百分比=3550=70%．给50个女患者服用此药，有46位有效，因此服用该药品女患者中有效者所占的百分比=92%．(2)根据所给的数据代入求观测值的公式得到K2=100(15×46−4×35)219×81×50×50≈7.86，由于7.86>6.635，所以有99%的把握认为服用此药的效果与患者的性别有关．(3)由(2)得结论知，服用此药的效果与患者的性别有关，并且从样本数据中能看出该地区男性比女性有效的比例有明显差异，因此在调查时，先确定此病的患者中男、女的比例，再把患者分成男、女两层并采用分层抽样方法比采用简单随机抽样的方法更好．解析：(1)根据列联表可求得服用该药品男患者和女患者中有效者所占的人数，再求比例；(2)计算K2，同临界值进行比较，得到有多大把握认为服用此药的效果与患者的性别有关；(3)计算服用该药的患者中有效者、无效者的比例，来判断分层抽样否更切合实际．本题考查独立性检验的应用及分层抽样．本题解题的关键是正确代入所给的数据，求出观测值，是一个基础题．20.答案：解：(1)∵动点P到点(12,0)的距离比它到直线x=−52的距离小2，∴动点P到点(12,0)的距离与它到直线x=−12的距离相等，∴动点P的轨迹是以点(12,0)为焦点的抛物线，∴动点P的轨迹方程为y2=2x；(2)设A(x1,y1)，B(x2,y2)，C(x3,y3)，D(x4,y4)，则直线AB的方程为y=k1(x−2)，代入抛物线方程中，得y 2−2yk 1−4=0，则y 1+y 2=2k 1，y 1y 2=−4，由直线AC 过点N(1,0)，可得直线AC 的方程为y =y1x 1−1(x −1)，与y 2=2x 联立，得y 2−2(x 1−1)y 1⋅y −2=0，则y 1·y 3=−2，同理可得y 2y 4=−2，∴y 3=−2y 1，y 4=−2y 2，∴k 2=y 4−y 3x 4−x 3=2y4+y 3=−y 1y2y 1+y2=2k 1， ∴k2k 1=2为定值．解析：本题考查了动点的轨迹方程，抛物线的概念及标准方程，直线与抛物线的位置关系，定值问题的证明，属于较难题．(1)由已知转化为动点P 到点(12,0)的距离与它到直线x =−12的距离相等，则动点P 的轨迹是以点(12,0)为焦点的抛物线，即可求出轨迹方程；(2)先直线AB 的方程为y =k 1(x −2)代入抛物线方程中，得y 1+y 2=2k 1，y 1y 2=−4，同理可得y 1y 3=y 2y 4=−2，整理变形即可证明k2k 1=2为定值．21.答案：解：(1)出题得f ′(x)=ax −2x +1=−2x 2+x+ax，故x 1，x 2是关于x 的方程−2x 2+x +a =0的两个根， 故x 1+x 2=12.又x 2−x 1=14， 所以x 1=18，x 2=38， 所以a =−2x 1x 2=−332．， 令x 2x 1=t ，则．由−2x 12+x 1+a =0与−325<a <−19， 可得{2x 12−x 1=a >−325,2x 12−x 1=a <−19,, 解得16<x 1<15或310<x 1<13． 又由x 1<x 2=12−x 1，得x 1<14， 所以16<x 1<15， 故t =x 2x 1=12−x 1x 1=12x 1−1∈(32,2)．，令，则ℎ′(t)=1t −2t(t 2+1)−2t(t 2−1)(t 2+1)2=(t 2−1)2t(t 2+1)2>0，故ℎ(t)>ℎ(1)=0， 所以g′(t)>0， 故g(t)为增函数， 所以g(32)<g(t)<g(2)， 即，即f(x 1)−f(x 2)x 1−x 2的取值范围为．解析：本题考查利用导数研究函数的极值并且利用导数研究参数范围，属于难题．(1)根据x 1，x 2是关于x 的方程−2x 2+x +a =0的两个根，故x 1+x 2=12.又x 2−x 1=14，所以x 1=18，x 2=38，所以a =−2x 1x 2=−332； (2)根据题意构造函数，然后通过求导求出最值，进而求出范围即可．22.答案：解：(1)由已知直线l 的参数方程为：{x =−3+tcosαy =√3+tsinα(t 为参数，0≤α<π且α≠π2)， 则：tanαx −y +3tanα+√3=0， ∵|OA|=|OB|=2√3，|AB|=2√3， ∴O 到直线l 的距离为3，则3=√3|√tan 2α+1，解之得tanα=√33．∵0<α<π且α≠π2， ∴α=π6；(2)直接利用关系式， 解得：|MN|=|AB|cos30=4．解析：本题考查的知识要点：参数方程和极坐标方程与直角坐标方程的转化，点到直线的距离公式的应用．(1)直接利用参数方程和极坐标方程与直角坐标方程进行转化，再利用点到直线的距离公式求出结果． (2)直接利用关系式求出结果．23.答案：(Ⅰ)解：当a =1时，f(x)=|x +1|+|x −1|={2x,x >12,−1≤x ≤1−2x,x <−1．∵f(x)≤4，∴{2x ≤4x >1或−1≤x ≤1或{−2x ≤4x <−1, ∴1<x ≤2或−1≤x ≤1或−2≤x <−1，∴−2≤x ≤2， ∴不等式的解集为{x|−2≤x ≤2}．(Ⅱ)证明：当x ≥1时，不等式f(x)≤3x +b 成立， 则x +1+|ax −1|≤3x +b ， ∴|ax −1|≤2x +b −1，∴−2x −b +1≤ax −1≤2x +b −1，∴{(a +2)x ≥2−b(a −2)x ≤b, ∵x ≥1，∴{a +2≥0a +2≥2−ba −2≤0a −2−b ≤0,∴{−2≤a ≤2a +b ≥0a −2≤b,∴a +b ≥0．解析：【试题解析】本题考查了绝对值不等式的解法和利用综合法证明不等式，考查了分类讨论思想和转化思想，属中档题．(Ⅰ)将a=1代入f(x)中，然后将f(x)写出分段函数的形式，再根据f(x)≤4分别解不等式即可；(Ⅱ)根据当x≥1时，不等式f(x)≤3x+b成立，可得|ax−1|≤2x+b−1，然后解不等式，进一步得到a+b≥0．。
2025届内蒙古赤峰市高考仿真模拟数学试卷含解析
2025届内蒙古赤峰市高考仿真模拟数学试卷考生请注意：1．答题前请将考场、试室号、座位号、考生号、姓名写在试卷密封线内，不得在试卷上作任何标记。
2．第一部分选择题每小题选出答案后，需将答案写在试卷指定的括号内，第二部分非选择题答案写在试卷题目指定的位置上。
3．考生必须保证答题卡的整洁。
考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知在平面直角坐标系xOy 中，圆1C ：()()2262x m y m -+--=与圆2C ：()()22121x y ++-=交于A ，B 两点，若OA OB =，则实数m 的值为（ ） A ．1B ．2C ．-1D ．-22．若某几何体的三视图（单位:cm ）如图所示，则此几何体的体积是（ ）A ．36 cm 3B ．48 cm 3C ．60 cm 3D ．72 cm 33．已知曲线11(0x y aa -=+>且1)a ≠过定点(),kb ，若m n b +=且0,0m n >>，则41m n+的最小值为（ ）. A ．92 B ．9C ．5D ．524．函数的图象可能是下面的图象( )A ．B ．C ．D ．5．已知点P 不在直线l 、m 上，则“过点P 可以作无数个平面，使得直线l 、m 都与这些平面平行”是“直线l 、m 互相平行”的（ ） A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件6．已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的焦距为2c ，过左焦点1F 作斜率为1的直线交双曲线C 的右支于点P ，若线段1PF 的中点在圆222:O x y c +=上，则该双曲线的离心率为（ ） A ．2B ．22C ．21+D ．221+7．某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积为A ．23B ．43C ．2D ．838．正三棱锥底面边长为3，侧棱与底面成60︒角，则正三棱锥的外接球的体积为（ ） A ．4πB ．16πC ．163πD ．323π9．某中学有高中生1500人，初中生1000人为了解该校学生自主锻炼的时间，采用分层抽样的方法从高生和初中生中抽取一个容量为n 的样本.若样本中高中生恰有30人，则n 的值为（ ） A ．20B ．50C ．40D ．6010．已知集合A={y|y=|x|﹣1，x ∈R}，B={x|x≥2}，则下列结论正确的是（ ） A ．﹣3∈A B ．3∉B C ．A∩B=B D ．A ∪B=B11．一个超级斐波那契数列是一列具有以下性质的正整数:从第三项起，每一项都等于前面所有项之和(例如:1，3，4，8，16…).则首项为2，某一项为2020的超级斐波那契数列的个数为（ ） A ．3B ．4C ．5D ．612．已知椭圆2222:1(0)x y a b a bΓ+=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ，上顶点为点A ，延长2AF 交椭圆Г于点B ，若1ABF 为等腰三角形，则椭圆Г的离心率e = A ．13B ．33C ．12D ．22二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
2020年内蒙古赤峰市高考数学模拟试卷2(4月份) (含答案解析)
2020年内蒙古赤峰市高考数学模拟试卷2（4月份）一、选择题（本大题共12小题，共36.0分）1.设集合A={x|x2+3x−4≤0}，B={x|log3x≤0}，则A∩B=()A. [−4,1]B. [−4,3]C. (0,1]D. (0,3]2.复数z满足z(1−2i)=3+2i，则z.=()A. −15−85i B. −15+85i C. 75+85i D. 75−85i3.《九章算术》卷第七——“盈不足”中有如下问题：今有牛、羊、马食人苗，苗主责之粟五斗．羊主曰“我羊食半马．”马主曰“我马食半牛．”今欲衰偿之，问各出几何？翻译为：今有牛、马、羊吃了别人的禾苗，禾苗主人要求赔偿5斗粟．羊主人说：“我的羊所吃的禾苗只有马的一半．”马主人说：“我的马吃的禾苗只有牛的一半．”打算按此比率偿还，牛、马、羊的主人各应赔偿多少粟．根据该问题，马的主人应当赔偿()升粟(注：1斗=10升)．A. 1623B. 717C. 313D. 14274.已知定义在R上的奇函数f(x)在(−∞,0]上递减，且f(−1)=1，则满足f(log2x)>−1的x的取值范围是()A. (0,2)B. (0,+∞)C. (0,1)∪(1,2)D. (0,1)5.已知正项等比数列{a n}中，S n为其前n项和，且a2a4=1，S3=7则S5=()A. 152B. 314C. 334 D. 1726.如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某三棱锥的三视图，则该三棱锥的外接球的体积为()A. 323πB. 36πC. 323D. 18π7.祖冲之是我国古代杰出的数学家、天文学家和机械发明家，是世界上第一个把圆周率的值精确到7位小数的人，现在可用计算机产生随机数的方法估算出π的值，其程序框图如下图所示，其中函数rand(0,1)的功能是生成区间(0,1)内的随机数，若根据输出的k值估计出π的值为3.14，则输出k的值为()A. 314B. 628C. 640D. 7858.第十一届全国少数民族传统体育运动会在河南郑州举行，某项目比赛期间需要安排3名志愿者完成5项工作，每人至少完成一项，每项工作由一人完成，则不同的安排方式共有()种A. 60B. 90C. 120D. 1509.已知函数f(x)=2sinωx2cosωx2−√3cosωx(ω>0)，若集合{x∈(0,π)|f(x)=−1}含有4个元素，则实数ω的取值范围是()A. [32,52) B. (32,52] C. [72,256) D. (72,256]10.在直三棱柱ABC−A1B1C1中，侧棱AA1⊥平面ABC，若AB=AC=AA1=1，AB⊥AC，点M，N分别为A1C1，CC1的中点，则异面直线MN与B1C1所成的角为()A. 90°B. 60°C. 45°D.30°11.已知双曲线x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的离心率为32，过右焦点F作渐近线的垂线，垂足为M.若△FOM的面积为√5，其中O为坐标原点，则双曲线的方程为()A. x2−4y25=1 B. x22−2y25=1 C. x24−y25=1 D. x216−y220=112. 若存在两个正实数x ，y ，使得等式x 3e yx −ay 3=0成立，其中e 为自然对数的底数，则实数a的取值范围为( )A. [e 28,+∞)B. (0,e 327]C. [e 327,+∞)D. (0,e 28]二、填空题（本大题共4小题，共12.0分）13. 设x ，y 满足约束条件{3x +2y −6≤0x ≥0y ≥0，则z =x −y 的取值范围是______．14. 已知|a⃗ |=4，e ⃗ 为单位向量，当它们的夹角为60°时，a ⃗ 在e ⃗ 方向上的投影为______ ． 15. 抛物线C ：y 2=2px(p >0)的焦点为F(2,0)，直线l ：x =my −2(m >0)与抛物线相交于A ，B两点，且满足|AF⃗⃗⃗⃗⃗ |=2|BF ⃗⃗⃗⃗⃗ |，则实数m 的值为__________． 16. 数列{a n }满足a n =3a n−1+1，a 1=1，则a 2= ______ ． 三、解答题（本大题共7小题，共84.0分）17. 在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，满足a−b+c c=ba+b−c ．(1)求角A ；(2)若△ABC 的外接圆半径为1，求△ABC 的面积S 的最大值．18. 2019年电商“双十一”大战即将开始．某电商为了尽快占领市场，抢占今年“双十一”的先机，对北海地区年龄在15到75岁的人群“是否网上购物”的情况进行了调查，随机抽取了100人，其年龄频率分布表和使用网上购物的人数如下所示：(年龄单位：岁)(1)若以45岁为分界点，根据以上统计数据填写下面的2×2列联表，并判断能否在犯错误的概率不超过0.001的前提下认为“网上购物”与年龄有关？(2)若从年龄在[55,65)，[65,75]的样本中各随机选取2人进行座谈，记选中的4人中“使用网上购物”的人数为X ，求随机变量X 的分布列和数学期望． 参考数据：参考公式：K 2=n (ad−bc )2(a+b )(c+d )(a+c )(b+d )19. 已知，动点P 在抛物线x 2=2y 上，过点P 作x 轴的垂线，垂足为点H ，动点Q 满足：PQ ⃗⃗⃗⃗⃗ =12PH ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ． (1)求动点Q 的轨迹E 的方程；(2)过点N(4,5)且斜率为k 的直线交轨迹E 于A ，B 两点，M 点的坐标为(−4,4)，设直线MA ，MB 的斜率分别为k 1和k 2，求k 1⋅k 2的值．20. 如图，四棱锥P −ABCD 的底面ABCD 是边长为2的菱形，∠ABC =π3，PA ⊥平面ABCD ，点M是棱PC 的中点．(1)证明：PA//平面BMD ；(2)当PA =√3时，求直线AM 与平面PBC 所成角的正弦值．21. 已知函数f(x)=axlnx +x +2(a >0)，e 为自然对数的底数．(1)求函数f(x)的单调区间；(2)求证：对任意x ∈[1,+∞)，f′(x)<x 2+(a +2)x +1恒成立．22. 在直角坐标系xOy 中，设倾斜角为α的直线l 的参数方程为{x =3+tcos αy =tsin α(t 为参数)，直线l 与曲线C ：{x =1cos θy =tan θ(θ为参数)相交于不同的两点A ，B ． (1)若α=π3，求线段AB 的中点的直角坐标；(2)若直线l的斜率为2，且过已知点P(3,0)，求|PA|·|PB|的值．|(a>0)，23.已知f(x)=|x−a|+|x−1a(Ⅰ)求证f(x)≥2；(Ⅱ)当a=1，求解不等式f(x)≥x2−x．-------- 答案与解析 --------1.答案：C解析：【分析】本题交集的运算、一元二次不等式的解法及对数不等式，属于基础题．可求出集合A，B，然后进行交集的运算即可．【解答】解：A={x|−4≤x≤1}，B={x|0<x≤1}；∴A∩B=(0,1]．故选C．2.答案：A解析：解：由z(1−2i)=3+2i，得z=3+2i1−2i =(3+2i)(1+2i)(1−2i)(1+2i)=−15+85i，∴z.=−15−85i．故选：A．把已知等式变形，再由复数代数形式的乘除运算化简得答案．本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，是基础题．3.答案：D解析：【分析】本题主要考查了等比数列的性质，函数模型的应用，属于基础题．因为羊、马、牛食粟构成等比数列，故m+2m+4m=50，即可求出解．【解答】解：依题意设羊的主人应赔偿m升粟，则羊、马、牛食粟构成等比数列，故m+2m+4m=50，解得m=717，则马的主人应当赔偿1427升粟．4.答案：A解析：解；根据题意，函数f(x)为奇函数且在(−∞,0]上递减，则f(x)在[0,+∞)上递减， 则f(x)在R 上递减，又由f(−1)=1，则f(1)=−f(−1)=−1， 则f(log 2x)>−1⇒f(log 2x)>f(1)⇒log 2x <1， 解可得0<x <2， 即不等式的解集为(0,2)； 故选：A ．根据题意，分析可得f(x)在R 上递减，结合函数为奇函数可得f(1)=−f(−1)=−1，则不等式f(log 2x)>−1⇒f(log 2x)>f(1)⇒log 2x <1，解可得x 的取值范围，即可得答案． 本题考查函数奇偶性与单调性的综合应用，注意分析函数在R 上的单调性，属于基础题．5.答案：B解析： 【分析】本题考查等比数列的前5项和的求法，解题时要认真审题，注意等比数列的性质的合理运用，属于基础题．由已知条件利用等比数列的通项公式和前n 项和公式得{a 1q ⋅a 1q 3=1a 1(1−q 3)1−q=7q >0，由此能求出S 5．【解答】 解：由已知得： {a 1q ⋅a 1q 3=1a 1(1−q 3)1−q=7q >0，解得a 1=4，q =12， ∴S 5=a 1(1−q 5) 1−q=4(1−125)1−12=314．故选：B ．6.答案：B解析：本题考查三视图及球的体积的求解，在长方体中考虑求解即可，属于一般题．【解答】解：由三视图知，该几何体为下图中的三棱锥P−ABC，其中长方体的长宽高分别为4，2，4，则三棱锥的外接球与长方体的外接球相同，所以球的半径为r=√42+22+422=3，所以球的体积为．故选B．7.答案：D解析：【分析】本题考查的知识点是程序框图，其中根据已知中的程序流程图分析出程序的功能，并将问题转化为几何概型问题是解答本题的关键，本题属于基础题．我们可分析出程序的功能是利用随机模拟实验的方法任取(0,1)上的x，y，利用x2+y2≤1的概率，计算k的值，代入几何概型公式，即可得到答案．【解答】解：模拟程序的运行，可得x2+y2≤1发生的概率为π⋅124 1=k1000，由于：π=3.14，解得：k=785．故选：D．8.答案：D解析：本题考查排列、组合的综合应用，及分类、分步计数原理的综合应用，属于中档题． 利用先分组再分配的方法，可得不同的安排方式共有150种． 【解答】解：根据题意，分2步进行分析： ①、将5项工作分成3组， 若分成1、1、3的三组，有C 53C 21C 11A 22=10种分组方法， 若分成1、2、2的三组，有C 52C 32C 11A 22=15种分组方法，则将5项工作分成3组，有10+15=25种分组方法; ②、将分好的三组全排列，对应3名志愿者，有A 33=6种情况， 则有25×6=150种不同的分组方法． 故选D ．9.答案：D解析：【分析】本题考查三角函数的图象与性质，涉及倍角公式和两角和差的三角函数公式，属于中档题． 先利用倍角公式和两角和差的三角函数公式化简f(x)的解析表达式，然后根据f(x)=−1，利用三角函数的性质得到x 的值x =π6ω+2kπω或，根据题意分析，设直线y =−1与y =f(x)的图象在(0,+∞)上从左到右的第4个交点为A ，第5个交点为B ，则x A =3π2ω+2πω，x B =π6ω+4πω，由于方程f(x)=−1在(0,π)上有且只有4个实数根，则x A <π≤x B ，由此解不等式组求得ω的取值范围．【解答】解：f(x)=2sinωx 2cosωx 2−√3cosωx=sinωx −√3cosωx=2sin(ωx −π3)，令2sin(ωx −π3)=−1，得sin(ωx −π3)=−12， 解得ωx −π3=−π6+2kπ或ωx −π3=7π6+2kπ(k ∈Z)，所以x =π6ω+2kπω或x =3π2ω+2kπω(k ∈Z)．设直线y =−1与y =f(x)的图象在(0,+∞)上从左到右的第4个交点为A ， 第5个交点为B ，则x A =3π2ω+2πω，x B =π6ω+4πω．由于方程f(x)=−1在(0,π)上有且只有4个实数根， 则x A <π≤x B ，即3π2ω+2πω<π≤π6ω+4πω，解得72<ω≤256，故选D．10.答案：B解析：【分析】本题主要考查了异面直线所成的角，属于基础题．可得∠A1CB是异面直线MN与B1C1所成的角(或所成角的补角)，由此求解即可．【解答】解：在直三棱柱ABC−A1B1C1中，侧棱AA1⊥平面ABC，AB=AC=AA1=1，AB⊥AC，点M，N分别为A1C1，CC1的中点，∴MN//A1C，B1C1//BC，∴∠A1CB是异面直线MN与B1C1所成的角(或所成角的补角)，连结A1B，则A1B=A1C=BC=√2，∴∠A1CB=60°，∴异面直线MN与B1C1所成的角为60°．故选B．11.答案：C解析：【分析】本题考查双曲线的焦距的求法，注意运用渐近线方程和点到直线的距离公式，考查运算能力，属于中档题．运用离心率公式，求得渐近线方程，运用点到直线的距离公式可得F到渐近线的距离为b，由勾股定理可得|OA|=a，运用三角形的面积公式，结合a，b，c的关系，解得a，b，即可求出双曲线方程．解：由题意可得e=ca =32，可得：ba=√52，设F(c,0)，渐近线为y=bax，可得F到渐近线的距离为d=√a2+b2=b，由勾股定理可得|OA|=√|OF|2−|AF|2=√c2−b2=a，由题意可得12ab=√5，又a2+b2=c2，解得b=√5，a=2，c=3，可得双曲线的方程为：x24−y25=1．故选：C．12.答案：C解析：【分析】本题主要考查不等式恒成立问题，利用构造法和导数法求出函数的极值和最值是解决本题的关键．综合性较强．【解答】解：∵存在两个正实数x，y，使得等式x3e y x−ay3=0成立，∴a=e y x(y x )3，设yx =t，t>0，则a=e tt3，设f(t)=e tt3，则f′(t)=e t(t−3)t4，当t>3时，f′(t)>0，函数f(t)单调递增，当0<t<3时，f′(t)<0，函数f(t)单调递减，∴f(t)min=f(3)=e327，∴a≥e327，故选C．13.答案：[−3,2]解析：解：作出不等式组对应的平面区域如图：由z=x−y得y=x−z，平移直线y =x −z ，由图象直线当直线y =x −z 经过A(0,3)时，直线y =x −z 的截距最大，此时z 最小为z =0−3=−3，当直线y =x −z 经过B(2,0)时，直线y =x −z 的截距最小，此时z 最大为z =2−0=2，即−3≤z ≤2，故答案为：[−3,2]作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义，利用直线平移进行求解即可． 本题主要考查线性规划的应用，利用目标函数的几何意义，结合数形结合是解决本题的关键． 14.答案：2解析：解：a⃗ 在e ⃗ 方向上的投影为|a ⃗ |cos60°=4×12=2． 故答案为：2．利用向量数量积的几何意义：向量的数量积等于一个向量的模乘以另一个向量在第一个向量上的投影．本题考查向量数量积的几何意义，并利用数量积求出向量的投影，是基础题．15.答案：3√24解析：【分析】本题考查抛物线的定义，直线与抛物线的位置关系，属于中档题．先求出抛物线的方程为y 2=8x ，再由|AF ⃗⃗⃗⃗⃗ |=2|BF ⃗⃗⃗⃗⃗ |结合抛物线的定义得B 是AM 的中点，又因为OB =BF ，所以B 在OF 的垂直平分线上，得B(1,2√2)，求出m =1k BM ． 【解答】解：因为抛物线C:y 2=2px (p >0)的焦点为F (2,0)，所以p =4，故y 2=8x ，因为直线x =my −2过定点M(−2,0)，过A ，B 作抛物线准线x =−2的垂线，垂足为C ，D根据抛物线的定义有|AC⃗⃗⃗⃗⃗ |=|AF ⃗⃗⃗⃗⃗ |，|BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=|BF ⃗⃗⃗⃗⃗ |，又因为|AF ⃗⃗⃗⃗⃗ |=2|BF ⃗⃗⃗⃗⃗ | 所以|AC⃗⃗⃗⃗⃗ |=2|BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |，即B 是AM 的中点，连接OB 又因为OB =BF ，所以B 在OF 的垂直平分线上，则x B =12x F =1得B(1,2√2)，故m =1k BM =2√23=3√24． 故答案为3√24．16.答案：4解析：解：a n=3a n−1+1，a1=1，则a2=3a1+1=3+1=4．故答案为：4．利用数列递推关系即可得出．本题考查了数列递推关系、数列通项公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．17.答案：解：(1)由a−b+cc =ba+b−c化简得b2+c2−a2=bc，由余弦定理cosA=b2+c2−a22bc ，得cosA=bc2bc=12，，又因为，所以；(2)由正弦定理得，所以3=b2+c2−bc≥2bc−bc=bc，当且仅当b=c=√3时取等号，故时取等号)，即△ABC面积S的最大值为3√34．解析：本题主要考查了正弦定理，余弦定理，基本不等式，三角形面积公式在解三角形中的综合应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题．(1)根据已知等式变形得b2+c2−a2=bc，由余弦定理可得cos A，可得角A；(2)由正弦定理可求a的值，利用基本不等式可求bc的最大值，进而利用三角形面积公式即可计算得解．18.答案：解：(1)由统计表可得，低于45岁人数为70人，不低于45岁人数为30人，可得列联表如下：年龄低于45岁年龄不低于45岁总计使用网上购物601575不使用网上购物101525总计7030100于是有K的观测值k=275×25×70×30=7≈14.286>10.828．故可以在犯错误的概率不超过0.001的前提下认为“使用网上购物”与年龄有关．(2)由题意可知，X的所有可能取值为0，1，2，3，相应的概率为：P(X=0)=C32C22C52C32=110，P(X=1)=C31C21C22C52C32+C32C21C52C32=25，P (X =2)=C 22C 22C 52C 32+C 31C 21C 21C 52C 32=1330，P (X =3)=C 22C 21C 52C 32=115，于是X 的分布列为：X 0 1 2 3P 110 25 1330 115所以EX =0×110+1×25+2×1330+3×115=2215．解析：本题考查离散型随机变量的分布列以及期望的求法，独立检验的应用，考查计算能力．(1)利用已知条件，求解联列表中的数值，求出k 2，即可判断结果．(2)X 的所有可能取值为0，1，2，3，求出相应的概率，得到分布列，然后求解期望即可．19.答案：解：(1)设点Q(x,y)，由PQ ⃗⃗⃗⃗⃗=12PH ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，则点P(x,2y)， 将点P(x,2y)代入x 2=2y 得x 2=4y ．∴动点Q 的轨迹E 的方程为x 2=4y ．(2)设过点N 的直线方程为y =k(x −4)+5，A(x 1,y 1)，B(x 2,y 2).联立{y =k(x −4)+5x 2=4y，得x 2−4kx +16x −20=0， 则x 1+x 2=4k ，x 1x 2=16k −20．∵k 1=y 1−4x 1+4，k 2=y 2−4x 2+4， ∴k 1k 2=(kx 1−4k+1)(kx 2−4k+1)(x 1+4)(x 2+4)=k 2x 1x 2+(k−4k 2)(x 1+x 2)+16k 2−8k+1x 1x 2+4(x 1+x 2)+16=1−8k 32k−4=−14． 解析：(1)设Q(x,y)，则P(x,2y)，代入x 2=2y 得出轨迹方程；(2)联立直线AB 方程与Q 的轨迹方程，得出A ，B 的坐标关系，代入斜率公式计算k 1k 2化简即可． 本题考查了抛物线的性质，直线与抛物线的位置关系，直线的斜率，属于中档题．20.答案：证明：(1)如图，连结AC ，交BD 于点O ，连结MO ，∵M ，O 分别为PC ，AC 的中点，∴PA//MO ，∵PA ⊄平面BMD ，MO ⊂平面BMD ，∴PA//平面BMD ．解：(2)如图，取线段BC 的中点H ，连结AH ，∵ABCD 为菱形，∠ABC =π3，∴AH ⊥AD ，分别以AH ，AD ，AP 所在直线为x 轴，y 轴，z 轴，建立空间直角坐标系，∴A(0,0，0)，B(√3,−1,0)，C(√3,1,0)，P(0,0，√3)，M(√32,12,√32)， ∴AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(√32,12,√32)，BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,2，0)，PC⃗⃗⃗⃗⃗ =(√3,1,−√3)，设平面PBC 的法向量m⃗⃗⃗ =(x,y ，z)， 则{m ⃗⃗⃗ ⋅BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =2y =0m ⃗⃗⃗ ⋅PC⃗⃗⃗⃗⃗ =√3x +y −√3z =0，取z =1，∴m ⃗⃗⃗ =(1,0，1)， 设直线AM 与平面PBC 所成角为θ，∴sinθ=|cos <m ⃗⃗⃗ ,AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ >|=|m ⃗⃗⃗ ⋅AM⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ||m ⃗⃗⃗ |⋅|AM |=|√32×1+12×0+√32×1|√74×√2=√427．∴直线AM 与平面PBC 所成角的正弦值为√427．解析：本题考查线面平行的证明，考查线面角的正弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查推理能力与计算能力，是中档题．(1)连结AC ，交BD 于点O ，连结MO ，推导出PA//MO ，由此能证明PA//平面BMD ．(2)取线段BC 的中点H ，连结AH ，分别以AH ，AD ，AP 所在直线为x 轴，y 轴，z 轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出直线AM 与平面PBC 所成角的正弦值．21.答案：解：(1)函数f(x)的定义域是(0,+∞)，f′(x)=a(lnx +1)+1，由f′(x)=0，解得：x =e −1a −1，故f(x)在(0,e −1a −1)递减，在(e −1a −1,+∞)递增；(2)∵f′(x)=a(lnx +1)+1，故设g(x)=alnx +a +1−x 2−(a +2)x −1=alnx −x 2−(a +2)x +a ，(x ≥1,a >0)， 故g′(x)=a x −2x −a −2，∵a >0，易知g′(x)在x ∈[1,+∞)递减，∴g′(x)≤g′(1)=−4<0，故g(x)在[1,+∞)递减，故g(x)≤g(1)=−3<0，故alnx +a +1−x 2−(a +2)x −1<0恒成立，故对任意x ∈[1,+∞)，f′(x)<x 2+(a +2)x +1恒成立．解析：(1)求出函数的导数，解关于导函数的方程，求出函数的单调区间即可；(2)求出函数的导数，设g(x)=alnx +a +1−x 2−(a +2)x −1，求出函数的导数，根据函数的单调性证明即可．本题考查了函数的单调性问题，考查导数的应用以及不等式的证明，是一道综合题． 22.答案：【解答】解：(1)由曲线C ：{x =1cosθy =tanθ(θ为参数)，可得曲线C 的普通方程是x 2−y 2=1．当α=π3时，直线l的参数方程为{x=3+12ty=√32t(t为参数)，代入曲线C的普通方程，得t2−6t−16=0，设A，B两点对应的参数分别为t1，t2，则t1+t2=6，所以线段AB的中点对应的t=t1+t22=3，故线段AB的中点的直角坐标为(92,3√3 2).(2)将直线l的参数方程代入曲线C的普通方程，化简得(cos2α−sin2α)t2+6tcosα+8=0，则|PA|·|PB|=|t1t2|=|8cos2α−sin2α|=|8(1+tan2α)1−tan2α|，由已知得tanα=2，故|PA|·|PB|=403．解析：本题考查参数方程的运用，考查参数的几何意义，属于中档题．(1)若α=π3，直线l的参数方程为{x=3+tcosαy=tsinα(t为参数)，代入曲线C的普通方程，得t2−6t−16=0，求出线段AB的中点对应的t=3，即可求线段AB的中点的直角坐标；(2)若直线l的斜率为2，且过已知点P(3,0)，利用参数的几何意义求|PA|⋅|PB|的值．23.答案：解：(Ⅰ)因为|x−a|+|x−1a |≥|x−a−x+1a|=a+1a≥2，当且仅当a=1时取等号，故f(x)≥2…(5分)(Ⅱ)当a=1时，f(x)=2|x−1|，由f(x)≥x2−x，得2(x−1)≥x2−x或2(x−1)≤−(x2−x)，解得：−2≤x≤2，故解集为[−2,2]…(10分)解析：(Ⅰ)根据绝对值三角不等式的性质证明即可；(Ⅱ)代入a的值，解不等式即可．本题考查了绝对值不等式的性质，考查解不等式问题，是一道常规题．。
内蒙古省高考数学模拟考试卷及答案解析(文科)
内蒙古省高考数学模拟考试卷及答案解析（文科）班级:___________姓名：___________考号：____________一、单选题1．已知集合{}3A x x =<，{}21B x x =-<则A B =（ ） A ．{}13x x <<B ．{}1x x <C ．{}3x x <D ．∅2．复数z 满足()12i 3i z +=-，则z 的虚部为（ ） A ．75-B ．7i 5-C ．7i 5D ．153．已知,2παπ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，若cos 6πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭，则5sin 6πα⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值为（ ）A．BC．D4．下列各组向量中不平行的是( ) A ．(1,2,2),(2,4,4)a b =-=-- B ．(1,0,0),(3,0,0)c d ==- C ．(2,3,0),(0,0,0)e f ==D ．(2,3,5),(16,24,40)g h =-=5．圆22240x y x y +--=关于直线0x y -=对称的圆的方程为（ ） A ．()()22213x y -+-= B ．()()22215x y +++= C ．()()22213x y +++=D ．()()22215x y -+-=6．如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某三棱锥的三视图，则该三棱锥的体积为（ ）A ．6B ．9C ．92D ．37．设,x y 满足约束条件 202300x y x y x y --≤⎧⎪-+≥⎨⎪+≤⎩，则46y x ++的取值范围是( )A ．3[3,]7-B ．[3,1]-C ．[4,1]-D ．(,3][1,)-∞-⋃+∞9．用反证法证明命题：“若整系数一元二次方程有偶数根，那么,,a b c 中至少有一个是偶数”时，下列假设中正确的是( ) A ．假设,,a b c 不都是偶数 B ．假设,,a b c 至多有两个是偶数 C ．假设,,a b c 至多有一个是偶数D ．假设,,a b c 都不是偶数10．已知点(1,)P m 在椭圆2214x y +=的外部，则直线2y mx =+221x y +=的位置关系为( )A ．相离B ．相交C ．相切D ．相交或相切11．已知12,F F 是椭圆和双曲线的公共焦点，P 是它们的一个公共点，且以线段12F F 为直径的圆过点P ，记椭圆和双曲线的离心率分别为12,e e ，则221211e e +的值为（ ） A ．3B C ．2 D 12．已知函数()()2,01,ln ,0,x x f x x x ⎧⎪=⎨-<⎪⎩若关于x 的方程()()2[]20f x af x -+=有4个不同的实根，则a 的取值范围是（ ） A ．[]2,4 B ．(4⎤⎦C ．[]2,3D ．(⎤⎦二、填空题13．执行如图所示的程序框图，当输入m 的值为12，n 的值为9时，则输出的m 的结果是________.14．若函数()6,23log ,2a x x f x x x -+≤⎧=⎨+>⎩（0a >且1a ≠）的值域是[)4,+∞，则实数a 的取值范围是__________．15．在锐角三角形ABC 中，内角,,A B C 的对边分别为,,a b c .若2sin b A =，则cos cos cos A B C ++的取值范围是_______16．已知正方体1111ABCD A B C D -的棱长为2，N 为1DD 的中点，M 为棱1CC 上的动点，点P 在线段1B C 上运动，下面说法正确的是_____________． ①直线1BD ⊥平面11AC D ；②异面直线AP 与1DD 所成的角范围为,32ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦；③点P 到平面11AC D ④AM MN + 三、解答题18．某连锁经营公司所属5个零售店某月的销售额和利润额资料如下表：(1)判断两个变量有怎样的相关性；(2)用最小二乘法计算利润额y 对销售额x 的回归直线方程； (3)当销售额为4（千万元）时，估计利润额的大小．附注：1221ˆni ii nii x ynxybxnx==-=-∑∑．19．如图，在长方体1111ABCD A B C D -中，四边形11AA B B 是边长为2a 的正方形，AD ＝2AB .(1)若长方体的表面积为200，求a 的值； (2)若a ＝1，求点1C 到平面1A BC 的距离h .20．已知动圆M 与圆C 1：（x+4）2+y 2=2外切，与圆C 2：（x-4）2+y 2=2内切，求动圆圆心M 的轨迹方程. 21．已知函数321()33f x x x ax =-+(1)若()f x 在点(1,(1))f 处切线的倾斜角为4π，求a 的值； (2)若1a =-，求()f x 的单调区间.22．在直角坐标系xoy 中，圆C 的方程为：2220x y x +-=，如图，P 为圆C 上任意一点.(1)以直线OP 的倾斜角θ为参数，写出圆C 的参数方程；(2)设点P 的坐标为,x y （），求x y +的最大值.23．已知2()2f x x a =-.(1)当1a =时，求不等式()|1|3f x x ++≥的解集；(2)若对于任意实数x ，不等式|23|()2x f x a --<成立，求实数a 的取值范围.参考答案与解析1．A【分析】解不等式求得集合B ，由交集定义可求得结果.【详解】由21x -<得1x >，即{}1B x x => {}13A B x x ∴⋂=<<. 故选：A. 2．A【分析】化简方程求出复数z 的代数形式，结合复数虚部的定义确定其虚部. 【详解】因为()12i 3i z +=-所以()()()()3i 12i 3i 17i 17i 12i 12i 12i 555z ----====-++- 所以复数z 的虚部为75-故选：A. 3．C4．D【分析】根据平行向量（共线向量）的定义，对选项中的两个向量进行判定，即可求解． 【详解】对于A 中，可得2b a =-，所以a 与b 是平行向量； 对于B 中，可得3d c =-，所以c 与d 是平行向量；对于B 中，向量f 为零向量，零向量与任意向量平行，所以f 与e 是平行向量； 对于D 中，不满足g h λ=，所以g 与h 不是平行向量故选D ．【点睛】本题主要考查了向量的共线定理的应用，其中解答中熟记两个向量共线的条件是解答本题的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题． 5．D【分析】所给圆是以A （1，2A 关于直线x ﹣y=0对称点B 的坐标，即可求得对称的圆的方程．【详解】圆x 2+y 2﹣2x ﹣4y=0即 （x ﹣1）2+（y ﹣2）2=5，表示以A （1，2 设A （1，2）关于直线x ﹣y=0对称的点为B （2，1）故圆x 2+y 2﹣2x ﹣4y=0关于直线x ﹣y=0对称的圆的方程为：（x ﹣2）2+（y ﹣1）2=5 故选D ．【点睛】本题主要考查直线和圆的位置关系，两个圆关于一条直线对称的条件，属于中档题． 6．D【分析】首先把三视图转换为几何体，进一步利用几何体的体积公式的应用求出结果． 【详解】如图所示，三棱锥D ABC -为所求，其中3AC =，AB=2 点D 到平面ABC 的距离h 为3 所以132ABCSAB AC =⨯⨯= 所以该三棱锥D ABC -的体积11=33=333D ABC ABCV Sh -=⨯⨯ 故选：D.7．B【详解】先作可行域，而46y x ++表示两点P （x,y ）与A （-6,-4）连线的斜率，所以46y x ++的取值范围是[,][3,1]AD AC k k =-，选B.点睛：线性规划问题，首先明确可行域对应的是封闭区域还是开放区域、分界线是实线还是虚线，其次确定目标函数的几何意义，是求直线的截距、两点间距离的平方、直线的斜率、还是点到直线的距离等等，最后结合图形确定目标函数最值取法、值域范围. 8．A【分析】由题意可得()()()f b f a t f b aξ-'==-，即要求()f x 导函数()ln(1)f x x x '=--的最大值，令()ln(1)h x x x =--，对()h x 求导判断它的单调性，从而求出最大值即可.故选：A.【点睛】关键点点睛：本题的关键点是：求函数()ln(1)h x x x =--的最大值. 9．D【详解】 “,,a b c 中至少有一个是偶数”包括一个、两个或三个偶数三种情况，其否定应为不存在偶数，即“假设,,a b c 都不是偶数”，故选D. 考点：命题的否定.10．B【分析】先根据点(1,)P m 在椭圆2214x y +=的外部，求出2m 的范围，求出圆心到直线的距离，再利用几何法判断直线与圆的位置关系即可.【详解】因为点(1,)P m 在椭圆2214x y +=的外部所以2114m +>，即234m >则圆221x y +=的圆心(0,0)到直线2y mx =1d R =<<=所以直线2y mx =+221x y +=相交 故选：B【点睛】本题考查了点与椭圆的位置关系及利用几何法判断直线与圆的位置关系，属于一般题. 11．C【分析】先设椭圆的长半轴长为1 ,a 双曲线的半实轴长2 ,a 焦距为2c ，因为涉及椭圆及双曲线离心率的问题，根据椭圆及双曲线的定义可以用1 ,a 2 ,a 表示出 12,PF PF ，然后由勾股定理可求结论. 【详解】解：设椭圆的长半轴长为1a ，双曲线的实半轴长为2a ，设12,F F 是椭圆和双曲线的左右两个焦点，且122F F c =，设P 在第一象限，12,PF m PF n == 由椭圆的定义可知：1212PF PF m n a +=+= 由双曲线的定义可知：1222PF PF m n a -=-= 由此可解得：1212,m a a n a a =+=-以线段12F F 为直径的圆过点P ，所以122F PF π∠=由勾股定理可知：222(2)c m n =+，即()()22212124c a a a a =++-化简得：222122c a a =+，即221222a a c += 所以2212222a a c c+=，即2212112e e +=.故选：C.. 12．D【分析】画出()f x 的图象，根据()f x t =并讨论t 研究其实根的分布情况，将问题化为2()2h t t at =-+在[]1,2内有两个不同的零点，结合二次函数性质求参数范围. 【详解】如图，画出()f x 的图象，设()f x t =结合图象知：当1t <或2t >时()f x t =有且仅有1个实根；当12t ≤≤时()f x t =有2个实根； 问题转化为2()2h t t at =-+在[]1,2内有两个不同的零点从而2(1)30(2)62012280h a h a a a =-≥⎧⎪=-≥⎪⎪⎨≤≤⎪⎪∆=->⎪⎩，解得3a ≤.故选：D 13．3【分析】模拟执行程序即可取出输出值.【详解】输入12m =，n=9，满足m n ≠，且满足m n >，则1293m =-= 满足m n ≠，不满足m n >，则936n =-= 满足m n ≠，不满足m n >，则633n =-= 此时不满足m n ≠，输出3m =. 故答案为：3 14．(]1,2【详解】试题分析：由于函数()()6,2{0,13log ,2a x x f x a a x x -+≤=>≠+>的值域是[)4,+∞，故当2x ≤时，满足()64f x x =-≥，当2x >时，由()3log 4a f x x =+≥，所以log 1a x ≥，所以log 2112a a ≥⇒<<，所以实数a 的取值范围12a <≤.考点：对数函数的性质及函数的值域.【方法点晴】本题以分段为背景主要考查了对数的图象与性质及函数的值域问题，解答时要牢记对数函数的单调性及对数函数的特殊点的应用是解答的关键，属于基础题，着重考查了分类讨论的思想方法的应用，本题的解答中，当2x >时，由()4f x ≥，得log 1a x ≥，即log 21a ≥，即可求解实数a 的取值范围.15．32⎤⎥⎝⎦【分析】利用正弦定理化边为角求角B ，再利用三角恒等变换变换化简cos cos cos A B C ++，结合正弦函数性质求其范围.【详解】∵ 2sin b A =由正弦定理可得2sin sin B A A = 又ABC 为锐角三角形，∴ sin 0A ≠∴ sin B =，又B 为锐角 ∴ 3B π=∴ 2cos cos cos =cos cos cos()33A B C A A ππ++++-∴11cos cos cos cos cos 22A B C A A A ++=+-∴11cos cos cos cos 22A B C A A ++=++ ∴ 1cos cos cos sin()62A B C A π++=++又ABC 为锐角三角形3B π=，∴ 02A π<<且32A ππ+>∴ 62A ππ<<，故2+363A πππ<<sin(+)16A π<≤∴3cos cos cos 2A B C ++≤∴ cos cos cos A B C ++的取值范围是32⎤⎥⎝⎦故答案为：32⎤⎥⎝⎦. 16．①③【分析】利用线面垂直判定定理判断，根据异面直线的夹角的定义判断，由等体积法求点P 到平面11AC D 的距离由此判断，再求AM MN +的最小值判断.【详解】因为1111AC B D ⊥ 111AC BB ⊥ 111,B D BB ⊂平面11BB D 1111=B D BB B所以11A C ⊥平面11BB D ，又1BD ⊂平面11BB D所以111AC BD ⊥，同理可证11AD BD ⊥ 111,A C A D ⊂平面11AC D 1111=AC A D A所以直线1BD ⊥平面11AC D ；①对因为11//AA DD ，所以1A AP ∠为异面直线AP 与1DD 的夹角当P 运动到1B 的位置时，111=45A AP A AB ∠∠=所以异面直线AP 与1DD 所成的角范围不是,32ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦，②错因为11//B C A D ,1B C ⊄平面11AC D ,1A D ⊂平面11AC D所以1//B C 平面11AC D所以点P 到平面11AC D 的距离等于点1B 到平面11AC D 的距离设点1B 到平面11AC D 的距离为d ，则1111113B ACD A C D V S d -= 又111111111111422333B A C D D A C B A C B V V S DD --===⨯⨯= 111111sin 60=232A C DS A D AC =⋅所以41=33d ⨯，所以d =，③对如图将正方形11DCC D 绕1CC 旋转到与平面11ACC A 共面的位置由图可得AM MN AN +≥，当且仅当,,A M N 三点共线时取等号.又AC =CD=2，DN=1所以AM MN +④错故答案为：①③.17．(1)()*2N ，=∈n n a n (2)证明见解析()()*221N =+∈n T n n n 【分析】（1）由1n =时，得到12a =，2n ≥时由22,n n S a =-利用数列通项和前n 项和关系求解；根据()()1*21N +-+=+∈n n nb n b n n n ，利用等比数列定义求解.（2）由（1）得到()()211n n n n c b n =-=-，再利用并项法求解.【详解】（1）解：当111122n a S a ===-时，所以12a =当()1112222222n n n n n n n n a S S a a a a ---≥=-=---=-时，即12n n a a -=所以{}22n a 是以为首项，为公比的等比数列， 所以()*2N ，=∈n n a n ； （2）当2114n a b ==时所以11b =因为()()1*21N +-+=+∈n n nb n b n n n 所以111n n b b n n+-=+ 所以n b n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是11为首项，为等差的等差数列 所以n b n n= 所以2n b n =令()()211n nn n c b n =-=-则21232n n T c c c c =+++⋯⋯=-1+22222342n -+- ()()()()()()21214343221221⎡⎤⎡⎤=-++-++--+-⎣⎦⎣⎦n n n n()()*3711154121(N )=+++++-=+∈n n n n .18．(1)正相关； (2)0.50.4y x =+； (3)2.4百万元．【分析】（1）根据所给的这一组数据，根据数据的变化趋势，可知两个量之间是正相关．（2）根据所给的这组数据，计算出线性回归方程的系数，写出线性回归方程．（3）利用求出的线性回归方程，把4x =的值代入方程，估计出对应的y 的值．【详解】（1）根据已知数据可知当销售额逐渐增加时，利润额从总体上看也随着相应增加故两个变量正相关；（2）11(35679)6,(23345) 3.455x y =++++==++++= 11255200,112i i i i i xx y ====∑∑ ∴ 11256 3.40.5200536b -⨯⨯==-⨯， 3.40.560.4a =-⨯=∴线性回归方程是0.50.4y x =+ ；（3）当4x = 时，0.540.4 2.4y =⨯+=∴当销售额为4（千万元）时，估计利润额2.4百万元．19．(1)a = (2)h =【分析】（1）根据条件求出长方体的表面积即可；（2）利用1111C A BC A BCC V V --=可求出答案.（1）因为在长方体1111ABCD A B C D -中，四边形11AA B B 是边长为2a 的正方形，2=AD AB .所以长方体的表面积为222(2)42440a a a a ⨯+⨯⨯=所以240200a =，解得a =（2）因为1a =，由已知得4=AD ，AB=2，连接11A C 1BC在三棱锥11A BCC -中，111142422BCC S BC CC =⋅=⨯⨯=△ 由长方体的性质知，点1A 到平面1BCC 的距离为2AB =在1Rt AA B △中，由勾股定理知1A B ==由长方体的性质知，1BC A B ⊥所以1Rt A BC △的面积1111422A BC S AB BC =⋅=⨯=△ 因为点1C 到平面1A BC 的距离为h ，又1111C A BC A BCC V V --= 所以111133A BC BCC S h S AB ⋅=⋅△△所以114233⨯=⨯⨯，解得h =20．．【详解】试题分析：设动圆的半径为，则由已知，，所以.由双曲线定义可求得圆心的轨迹方程.试题解析：设动圆M的半径为r则由已知|MC1|=r+|MC2|=r-∴|MC1|-|MC2|=2.又C1（-4，0），C2（4，0）∴|C1C2|=8，∴2＜|C1C2|.根据双曲线定义知，点M的轨迹是以C1（-4，0）、C2（4，0）为焦点的双曲线的右支.∵a=，c=4∴b2=c2-a2=14∴点M的轨迹方程是=1（x≥）.考点：曲线的轨迹方程．【方法点睛】本题主要考查定义法求曲线的轨迹方程.熟悉一些基本曲线的定义是用定义法求曲线方程的关键:（1）圆：到定点的距离等于定长；（2）椭圆：到两定点的距离之和为常数（大于两定点的距离）；（3）双曲线：到两定点距离之差的绝对值为常数（小于两定点的距离）；（4）到定点与定直线距离相等.21．(1)23(2)单调增区间为(,1)-∞-，(3,)+∞ 单调减区间为:(1,3)-【分析】（1）求出函数的导数，根据导数的几何意义即可求得答案；（2）求出函数导数，解相应不等式，可得函数的单调区间.【详解】（1）由321()33f x x x ax =-+，可得2()23f x x x a '=-+ 故由()f x 在点(1,(1))f 处切线的倾斜角为4π得(1)1f '= 即21231,3a a -+==； （2）1a =-时321()33f x x x x =--，2()23f x x x '=-- 令2()230f x x x '=-->，则1x <- 或3x >令2()230f x x x '=--<，则13x -<<故()f x 的单调增区间为(,1)-∞-，(3,)+∞ 单调减区间为:(1,3)- .22．(1)222x cos y sin θθ⎧=⎨=⎩，其中θ为参数，0θπ≤< +1 【分析】（1）根据点P （x ，y ），可写成极坐标，然后代入圆的方程，即可得到ρ2θcos =，进而可解. （2）根据圆的参数方程，x +y =22θ2θcos sin +，根据三角函数即可求出最大值(1)P 为圆C 上任意一点，假设P （x ，y ），OP 长度为ρ，则由题可得x cos y sin ρθρθ=⎧⎨=⎩P 还在圆上，则22ρθρθ2ρθ0cos sin cos +-=（）（） 有ρ2θcos =；则222x cos y sin cos θθθ⎧=⎨=⎩，即222x cos y sin θθ⎧=⎨=⎩，其中θ为参数，0θπ≤< (2)x +y =2π2θ2θ2θ14cos sin ⎛⎫+=++≤ ⎪⎝⎭当ππ2θ42+=时，即πθ8=时，x +y 23．(1)(,1][1,)∞∞--⋃+；(2)13a <<.【分析】(1)利用分类讨论的方法解含绝对值符号的不等式作答.(2)利用绝对值三角不等式求出|23|()x f x --的最大值，再借助不等式恒成立求解作答.【详解】（1）当1a =时()21f x x =-，则不等式()|1|3f x x ++≥，即|21||1|3x x -++≥ 当1x ≤-时1213x x ---≥，解得1x ≤-，于是得1x ≤- 当112x -<<时1213x x -++≥，解得1x ≤-，无解 当12x ≥时2113x x -++≥，解得1x ≥，于是得1x ≥ 综上得：1x ≤-或1x ≥所以不等式()|1|3f x x ++≥的解集为(,1][1,)∞∞--⋃+.（2）R x ∀∈，不等式|23|()2x f x a --<成立，即R x ∀∈，不等式2|23||2|2x x a a ---<成立 而222|23||2||(23)(2)||3|x x a x x a a ---≤---=-因此，2|3|2a a -<，显然有0a >，2232a a a -<-<解得：13a <<所以实数a 的取值范围是13a <<.。
内蒙古赤峰市2020届高三数学模拟考试试题 文(含解析)
内蒙古赤峰市 2020 届高三数学模拟考试试题 文（含解析）一、选择题.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设集合，，则 中的元素个数为（ ）A. 1B. 2C. 3D. 4【答案】C【解析】【分析】先求 B,再求交集则元素个数可求【详解】由题，则，则 中的元素个数为 3 个故选：C【点睛】本题考查交集的运算，描述法，是基础题2.已知是纯虚数，复数 是实数，则 （ ）A.B.C.D.【答案】D 【解析】 【分析】 根据复数的运算及复数相等，即可得到结论．【详解】∵ 是实数，∴设a，a 是实数，则 z+1＝a（2﹣i）＝2a﹣ai， ∴z＝2a﹣1﹣ai， ∵z 为纯虚数， ∴2a﹣1＝0 且﹣a≠0，即a ，∴z＝2a﹣1﹣ai，故选：D．【点睛】本题主要考查复数的运算，以及复数的有关概念，利用待定系数法是解决本题的关 键．3.《史记》卷六十五《孙子吴起列传第五》中有这样一道题：齐王与田忌赛马，田忌的上等 马优于齐王的中等马，劣于齐王的上等马，田忌的中等马优于齐王的下等马，劣于齐王的中 等马，田忌的下等马劣于齐王的下等马，现从双方的马匹中随机选一匹马进行一场比赛，齐 王获胜的概率是（ ）A.B.C.D.【答案】A 【解析】 【分析】 首先求出满足 “从双方的马匹中随机选一匹马进行一场比赛” 这一条件的事件数，然后求 出满足“齐王获胜”这一条件的事件数，根据古典概型公式得出结果. 【详解】解：因为双方各有 3 匹马， 所以“从双方的马匹中随机选一匹马进行一场比赛”的事件数为 9 种， 满足“齐王获胜”的这一条件的情况为：齐王派出上等马，则获胜的 事件数为 3； 齐王派出中等马，则获胜的事件数为 2； 齐王派出下等马，则获胜的事件数为 1； 故满足“齐王获胜”这一条件的事件数为 6 种，根据古典概型公式可得，齐王获胜的概率，故选 A.【点睛】本题考查了古典概型问题，解题的关键是求出满足条件的事件数，再根据古典概型 的计算公式求解问题，属于基础题.4.若函数是定义在 上的奇函数，在上是增函数，且，，则使得的 的取值范围是（ ）A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】求解不等式的范围，当 时，显然不成立，可等价转化为当 时，求解的解集，当 时，求解的解集，即当 时，求解的解集，当 时，求解的解集，再根据函数 的性质求解不等式.【详解】解：因为是 R 上的奇函数，且在上是增函数，所以在上也是增函数，又因为，所以，，当 时，不等式的取值范围，等价于的取值范围，即求解的取值范围，根据函数在上是增函数，解得，，当 时，不等式的取值范围，等价于的取值范围，即求解的取值范围，根据函数在上是增函数，解得，，当 时，，不成立，故的 的取值范围是，故选 C.【点睛】本题考查了函数性质（单调性、奇偶性等）的综合运用，解题的关键是要将函数的问题转化为函数的问题，考查了学生转化与化归的思想方法.5.如图，网格纸上的小正方形的边长为 1，粗实线画出的是某几何体的三视图，则该几何体 的外接球的体积为（ ）A.B.C.D.【答案】B 【解析】 【分析】 根据几何体的三视图，可以得出该几何体是直三棱柱，且上下两底面是等腰直角三角形，侧 棱长为 4，底面等腰直角三角形的腰长为 4，找出球心的位置，求出球的半径，从而得出三 棱柱外接球的体积. 【详解】解：根据几何体的三视图，可以得出该几何体是直三棱柱，如图所示，其中四边形、四边形均是边长为 4 的正方形，三角形 、三角形是，的等腰直角三角形，设 的外接圆圆心为 ，故 即为 的中点，的外接圆圆心为 ，故 即为 的中点，设球的球心为 ，因为三棱柱的为直三棱柱，所以球的球心 为 的中点，且直线 与上、下底面垂直，连接 ，外接球的半径即为线段 的长，所以在中，，，故，即球的半径为 ，所以球的体积为，故选 B.【点睛】本题考查了柱体外接球的体积问题，由三视图解析出该几何体是前提，准确想象出 三棱柱各点、各棱、各面与外接球的位置关系，并且从立体图形中构建出平面图形是解得球半径的关键，属于中档题.6.我们可以用随机数法估计 的值，如图所示的程序框图表示其基本步骤（函数是产生随机数的函数，它能随机产生 内的任何一个实数）.若输出的结果为 7840，则由此可估计 的近似值为（ ）A. 3.119B. 3.124C. 3.136D. 3.151【答案】C【解析】【分析】程序的 功能是利用随机模拟实验的方法求取（0，1）上的 x，y，计算 x2+y2+＜1 发生的概率，代入几何概型公式，即可得到答案．【详解】x2+y2＜1 发生的概率为，当输出结果为 7840 时，i＝10001，m＝7840，x2+y2＜1 发生的概率为 P，∴，即 π＝3.136故选：C． 【点睛】本题考查了程序框图的应用问题和随机模拟法求圆周率的问题，也考查了几何概率 的应用问题，是综合题．7.已知是等差数列，且，，则（）A. -5 【答案】B 【解析】 【分析】B. -11C. -12由是等差数列，求得 ，则 可求D. 3【详解】∵是等差数列，设,∴故故选：B 【点睛】本题考查等差数列的通项公式，考查计算能力，是基础题8.设定义在 上的函数 满足，且，则下列函数值为-1 的是（ ）A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】由，得到函数的周期是 4，根据分段函数的表达式结合函数的周期性进行求解即可．【详解】由得 f（x-4）＝﹣f（x-2）＝f（x），则函数的周期是 4，则=，=-1即函数值为-1 的为 ，故选：D．【点睛】本题主要考查函数值的计算，根据函数的周期性结合分段函数的表达式利用代入法和转化法是解决本题的关键．9.要得到函数的图象，只需将函数的图象（ ）A. 向左平移 个单位B. 向右平移 个单位C. 向左平移 个单位D. 向右平移 个单位【答案】C 【解析】 【分析】由条件利用二倍角公式和两角和的正弦公式，化简函数的解析式，再利用 y＝Asin（ωx+φ）的图象变换规律，可得结论．【详解】函数＝sin（2x ）＝sin2（x ），故把函数的图象向左平移 个单位，可得函数的图象，故选：C． 【点睛】本题主要考查二倍角公式和两角和的 正弦公式，y＝Asin（ωx+φ）的图象变换规 律，熟记变换原则是关键，属于基础题．10.已知 为双曲线 的两个焦点， 是 上的一点，若，且，则 的离心率为（ ）A. 2B.C.D.【答案】B【解析】【分析】运用直角三角形的勾股定理和双曲线的定义，结合已知条件，由离心率公式即可得到所求值．【详解】由双曲线的定义可得＝2a，又得点 P 满足 即有 c a，，可得＝4c2，则离心率 e 故选：B． 【点睛】本题考查双曲线的定义，以及直角三角形的勾股定理，考查离心率的求法，以及运 算能力，属于基础题．11.已知直三棱柱 余弦值为（ ）的所有棱长都相等， 为 的中点，则 与 所成角的A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】由题意，取 AC 的中点 N，连接 N 和 NB，则 N∥AM,可得 AM 与 B 所成角为∠N B 或其补角，在△ NB 中，利用余弦定理即可求解 AM 与 B 所成角的余弦值．【详解】取 AC 的中点 N，连接 N 和 NB，则 N∥AM,所以 AM 与 B 所成角为∠NC1B 或其补角，设所有棱长为 2，则 N=B=2 ,BN= ，在△ NB 中，由余弦定理 cos∠N B=故选：A【点睛】本题考查线线角的余弦值的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意余弦定理的 合理运用12.已知函数在区间 上只有一个零点，则实数 的取值范围是（ ）A.或B.或C. 【答案】D 【解析】 【分析】 原问题等价于 xlnx﹣kx+1＝0 在区间[D. ]上有一个实根，即或 在区间[ ]上有一个实根．令，求出其值域，即可得实数 k 的取值范围．【详解】原问题等价于 xlnx﹣kx+1＝0 在区间[ ]上有一个实根，∴在区间[ ]上有一个实根．令，0，可得 x＝1，当时，f′（x）＜0，此时函数 f（x）递减，当∈（1，e]时，f′（x）＞0．此时函数 f（x）递增，∴f（x）≥f（1）＝1，且，1+e，又﹣1+e，∴实数 k 的取值范围是 k=1 或 故选：D． 【点睛】本题考查了导数的应用，考查了函数与方程思想、转化思想，属于中档题．二、填空题（将答案填在答题纸上）13.设 的满足约束条件，则的最大值为______．【答案】 【解析】 【分析】先将题中 ， 满足约束条件对应的可行域画出，目标函数意义为一条斜率为-2 的直线，通过平移求解出最值.的几何【详解】解：如图， ， 满足约束条件 边界），对应的可行域为五边形内部（含目标函数的几何意义为一条斜率为-2、截距为 的直线，当直线经过点 O 时，直线的截距最小，最小，故.【点睛】代数问题转化为几何问题解决，往往能简化计算，但必须要将每一个代数形式的几何意义分析到位，这个是数形结合的必要前提.14.设向量 的模分别为 1,2，它们的夹角为 ，则向量 【答案】 【解析】 【分析】与 的夹角为____．利用向量 夹角公式 cosθ，先求出的模以及与 的数量积，再代入公式计算求解．【详解】∵（）22﹣2 •∴||，（）• ＝3，∴cosθ，∴θ＝2＝12﹣2×1×2×cos60°+22＝3，故答案为 【点睛】本题考查了向量夹角的计算，涉及到向量数量积的计算，模的计算知识比较基础， 掌握基本的公式和技巧即可顺利求解15.若过点且斜率为 的直线与抛物线交点为 ，若，则 ____．【答案】【解析】【分析】的准线相交于点 ，与 的一个由直线方程为与准线得出点 坐标，再由可得，点 为线段的中点，由此求出点 A 的坐标，代入抛物线方程得出 的值.【详解】解：抛物线的准线方程为过点且斜率为 的直线方程为，联立方程组，解得，交点 坐标为，设 A 点坐标为，因为，所以点 为线段 的中点，所以，解得，将代入抛物线方程，即，因为 ， 解得 . 【点睛】本题考查了抛物线的性质、向量相等等知识，解决几何问题时，往往可以转化为代数问题来进行研究，考查了数形结合的思想.16.设数列 满足 ______．【答案】 【解析】 【分析】 将 相减求 即可 【详解】由题，且 平方得比数列，，则，则数列的前 项的和，进而得 的通项，得,由 错位,∴=0，故，所以 为等两式作差得-即 故答案为 【点睛】本题考查数列的递推关系求通项公式，错位相减求和，考查推理及计算能力，是中 档题三、解答题（解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17.设 的内角 ， ， 所对的边长分别是 ， ，，且满足.（1）求角 的大小；（2）若， ，求 的面积.【答案】(1)(2)【解析】 【分析】（1）由正弦定理得得，进而得【详解】（1）又， 故又，结合余弦定理得 ，则面积可求，则 B 可求（2）由余弦定理，. （2）由余弦定理得：，即 又. 【点睛】本题考查正余弦定理，三角形面积公式，熟记定理及面积公式是关键，是基础题18.国家统计局进行第四次经济普查，某调查机构从 15 个发达地区，10 个欠发达地区，5 个贫困地区中选取 6 个作为国家综合试点地区，然后再逐级确定普查区域，直到基层的普查 小区.普查过程中首先要进行宣传培训，然后确定对象，最后入户登记，由于种种情况可能 会导致入户登记不够顺利，这为正式普查提供了宝贵的试点经验，在某普查小区，共有 50 家企事业单位，150 家个体经营户，普查情况如下表所示：普查对象类别顺利不顺利合计企事业单位401050个体经营户9060150合计13070200（1）写出选择 6 个国家综合试点地区采用的抽样方法； （2）根据列联表判断是否有 97.5%的把握认为“此普查小区的入户登记是否顺利与普查对象的类别有关”，分析造成这个结果的原因并给出合理化建议.附：参考公式：，其中参考数据：0.500.400.250.150.100.050.0250.455 0.708 1.323 2.072 2.706 3.841 5.024【答案】(1) 分层抽样(2)见解析 【解析】 【分析】 （1）由分层抽样的定义与特点结合题意确定为分层抽样；(2)计算 的值即可进行判断， 再分析原因给出建议即可 【详解】（1）分层抽样 （2）由列联表中的数据可得 的观测值所以有 97.5%的把握认为“此普查小区的入户登记”是否顺利与普查对象类别有关 原因：1.居民对普查不够重视， 不愿意积极配合； 2.企事业单位工作时间固定，个体经营者相对时间不固定 建议：1.要加大宣传力度，宣传要贴近居民生活，易被居民接受； 2.合理的安排普查时间，要结合居民工作特点. 【点睛】本题考查分层抽样，考查独立性检验， 的计算，考查计算能力，是基础题19.如图，在四棱锥中， 底面 ，，，，点 为棱 的中点.（1）证明：;（2）若 与底面 所成角的正弦值为 ，求点 到平面 的距离.【答案】(1)见证明；(2)【解析】【分析】（1）连接,且面 ，即可证明,证明是正方形得，再由（2）由 平面 ，得 与底面角为，由,得，得求解距离即可证明 平 所成的平面，利用【详解】证明:（1）连接,BE,且,, 为棱 的中点，且是正方形，又 平面 ， 平面 ,平面 ,,平面又平面 ,（2）因为 平面 ，所以 与底面 所成的平面角为 ，且,∵,∴tan = 得设点 到平面 的距离为 ，由已知得，，得，所以，点 到平面 的距离为 .【点睛】本题考查线面垂直的判定，线面角的应用，点面距离的考查，考查空间想象和推理 能力，是中档题20.顺次连接椭圆应该的四个顶点恰好构成了一个边长 为且面积为 的菱形.（1）求椭圆 的方程；（2）设，过椭圆 右焦点 的 直线交于 两点，若对满足条件的任意直线，不等式恒成立，求 的最小值.【答案】(1)(2)【解析】 【分析】（1）列 a,b,c 的方程组求解即可（2）当直线垂直于 轴时得，当直线不垂直于 轴时，设直线与椭圆联立，利用，代入韦达定理得即可求解【详解】（1）由已知得：，解得所以，椭圆 的方程为 （2）设当直线垂直于 轴时，此时，当直线不垂直于 轴时，设直线由，得且 ，要使不等式恒成立，只需，即 的最小值为 .【点睛】本题考查椭圆的方程，直线与椭圆的位置关系，向量坐标化运算及数量积，考查运 算求解能力，是中档题21.已知函数（1）若 ，求函数 的极值和单调区间；（2）若，在区间 上是否存在 ，使，若存在求出实数 的取值范围；若不存在，请说明理由.【答案】(1) 函数的单调递减区间为 ，单调递增区间为极小值为 3，无极大值(2)见解析 【解析】 【分析】（1）， 判 断 符 号 变 化 ， 则 极 值 和 单 调 区 间 可 求 ，（ 2 ）由时，，时得为函数的唯一极小值点，讨论当 求解时和当 时，的 a 的范围即可【详解】（1）当 时，时，，且 有极小值时，故函数的单调递减区间为 ，单调递增区间为极小值为 3，无极大值.（2）时，，时为函数的唯一极小值点又，当时在区间 上若存在 ，使，则，解得当 时，在为单调减函数，，不存在，使综上所述，在区间 上存在 ，使，此时【点睛】本题考查导数与函数的 单调性，函数的最值，极值与单调区间的求解，分类讨论思 想，考查推理能力，是中档题22.选修 4-4：坐标系与参数方程 在直角坐标系 中，曲线 的参数方程为的直线与曲线 交于 两点. （1）求 的取值范围； （2）求 中点 的轨迹的参数方程.为参数），过点且倾斜角为【答案】(1)(2)（为参数，）.【解析】 【分析】 （1）求出曲线和直线的普通方程，通过直线与圆相交求出斜率的范围，从而得出倾斜角的 范围；（2）设出 对应的参数，联立直线与圆的方程，借助韦达定理表示 的参数，从而得出 点 的轨迹的参数方程.【详解】解：（1） 曲线 的直角坐标方程为,当 时，与 交于两点，当 时，记，则的方程为，与 交于两点当且仅当，解得 即或，或，综上 的取值范围是 .（2）的参数方程为（为参数，），设 对应的参数分别为，则且 满足，由韦达定理可得：，故,又点 的坐标 满足所以点 的轨迹的参数方程为（为参数，）.【点睛】本题考查了直线的倾斜角问题，常见解法是转化为求斜率的范围问题；还考查了点 的轨迹问题，常见解法有相关点法、几何图形性质等方法.23.已知函数，.（1）若，不等式恒成立，求实数 的取值范围；（2）设，且，求证：.【答案】(1)(2)见证明【解析】【分析】（1）不等式恒成立，等价于，然后求出函数解决问题；的最小值，从而（2）要证，即证明即可.【详解】解：（1）由，，，所以 的取值范围是（2）由（1），当且仅当， 时等号成立，，然后借助于基本不等式证 ，，【点睛】本题考查了基本不等式、绝对值不等式等知识，运用基本不等式时，要注意题意是 否满足“一正、二定、三相等”的条件，熟练运用绝对值不等式也是解决本题的关键.。
2020年内蒙古第二次高考模拟考试文科数学试题与答案
2020年内蒙古第二次高考模拟考试文科数学试题与答案（满分150分，考试时间120分钟）注意事项：1．答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号码填写在答题卡和试卷指定位置上，并将条形码准确粘贴在条形码区域内。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知集合y x y x M ,|),{(=为实数,且}222=+y x ,y x y x N ,|),{(=为实数, 且}2=+y x ,则N M 的元素个数为（ ） A ．0B ．1C ．2D ．32．若复数满足3(1)12i z i +=-,则z 等于（ ）A ．32 C ．2D ．123. 已知直线l 和平面,αβ，且l α⊂，则“l β⊥”是“αβ⊥”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件4. 函数1tan()23y x π=+的最小正周期为（ ）A.4π B. 2πC. πD. 2π5. 公元263年左右，我国数学家刘徽发现当圆内接正多边形的边数无限增加时，多边形面积可无限逼近圆的面积，并创立了“割圆术”，利用“割圆术”刘徽得到了圆周率精确到小数点后两位的近似值3.14，这就是著名的“徽率”．如图是利用刘徽的“割圆术”思想设计的一个程序框图，则输出n 的值为（ ）（参考数据：sin15°=0.2588，sin7.5°=0.1305）A. 12B. 24C. 48D. 966. 函数x x x x x f 22cos 3cos sin 2sin )(++=的最小正周期和最小值分别是（ ） A. π，0B. 2π，0C. π，22-D. 2π，22-7.如图所示，一个简单空间几何体的三视图其正视图与侧视图都是边长为2的正三角形，其俯视图轮廓为正方形，则其体积是（ ）A.36B.423C.433D.838. 已知椭圆的焦点分别为，，点，在椭圆上，于，，，则椭圆方程为（ ）A. B.C. D.9. 若x 、y 满足约束条件，则z=3x-2y 的最小值为（ ）A. B. C. D. 510. 设，则的大小关系为（ ）A. B.C.D.11.直线是抛物线在点处的切线，点是圆上的动点，则点到直线的距离的最小值等于( ) A.B.C.D.12. 已知函数，若方程有四个不同的解，且，则的取值范围是( ）A.B.C.D.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
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2020年高考卷（文科）数学（4月份）模拟试卷一、选择题（共12小题）.1．已知集合A＝{x|x2﹣x﹣2＜0}，B＝{x|y＝}，则A∩B＝（）A．（﹣∞，2]B．（﹣∞，1]C．（﹣1，1]D．[﹣1，2]2．设复数z在复平面上的对应点为（1，﹣1），为z的共轭复数，则（）A．z+是纯虚数B．z﹣是实数C．z•是纯虚数D．是纯虚数3．“x＞y＞0”是“lg（x+1）＞lg（y+1）”成立的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件4．随着我国经济实力的不断提升，居民收入也在不断增加．抽样发现赤峰市某家庭2019年全年的收入与2015年全年的收入相比增加了一倍，实现翻番．同时该家庭的消费结构随之也发生了变化，现统计了该家庭这两年不同品类的消费额占全年总收入的比例，得到了如图折线图：则下列结论中正确的是（）A．该家庭2019年食品的消费额是2015年食品的消费额的一半B．该家庭2019年教育医疗的消费额是2015年教育医疗的消费额的1.5倍C．该家庭2019年休闲旅游的消费额是2015年休闲旅游的消费额的六倍D．该家庭2019年生活用品的消费额与2015年生活用品的消费额相当5．已知a＝2，b＝5，c＝log32，则a，b，c的大小关系为（）A．a＜b＜c B．c＜b＜a C．c＜a＜b D．b＜a＜c6．若双曲线C：的一条渐近线方程为3x+2y＝0，则m＝（）A．B．C．D．7．孪生素数猜想是希尔伯特在1900年提出的23个问题之一，2013年华人数学家张益唐证明了孪生素数猜想的一个弱化形式，问题可以描述为：存在无穷多个素数p，使得p+2是素数，素数对（p，p+2）称为孪生素数对．问：如果从30以内的素数组成的孪生素数对中随机抽取一对，这对孪生素数的积不超过20的概率是（）A．B．C．D．8．设等比数列{a n}的前n项和为S n，若a1＝1，且4a2，2a3，a4成等差数列，则S8＝（）A．510B．255C．512D．2569．将函数y＝sin x cos x﹣cos2x+的图象向右平移个单位长度得到函数g（x）的图象，下列结论正确的是（）A．g（x）是最小正周期为2π的偶函数B．g（x）是最小正周期为4π的奇函数C．g（x）在（π，2π）上单调递减D．g（x）在[0，]上的最大值为10．已知椭圆C：+＝1，F1，F2是其左右焦点，若对椭圆C上的任意一点P，都有•＞0恒成立，则实数a的取值范围为（）A．（﹣3，0）∪（0，3）B．[﹣3，0）∪（0，3]C．（﹣∞，﹣3）∪（3，+∞）D．（﹣∞，﹣3]∪[3，+∞）11．已知三棱锥P﹣ABC中，PA＝PB＝PC＝，当三棱锥P﹣ABC体积最大值时，三棱锥P﹣ABC的外接球的体积为（）A．πB．36πC．πD．π12．已知函数y＝1+2lnx（x∈[，e]）的图象上存在点M，函数y＝﹣x2+a的图象上存在点N，且点M，N关于原点对称，则实数a的取值范围是（）A．[0，1+]B．[0，e2﹣3]C．[1+，e2﹣3]D．[1+，+∞）二、填空题13．设f（x）在R上是奇函数，且f（1﹣x）＝f（1+x），当x∈（0，1）时，f（x）＝x3，则f（）＝．14．已知非零向量，满足||＝2||，且（﹣）⊥，则与的夹角为．15．《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题：“今有仓，广三丈，袤四丈五尺，容粟﹣一万斛，问高几何？”其意思为：“今有一个长方体的粮仓，宽3丈，长4丈5尺，可装粟一万斛．已知1斛粟的体积为2.7立方尺，1丈为10尺，则该粮仓的高是尺．若将这些粟装入一个圆柱形粮仓内，若使这个圆柱形粮仓的表面积（含上下两底）最小那么它的底面半径是尺．16．设数列{a n}的前n项和为S n，且满足2a n＝S n+1，则使a12+a22+…+a n2＜•2n+1成立的n的最大值为．三、解答题：共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答，第22～23题为选考题，考生根据要求作答.（--）必考题：共60分17．如图，四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为直角梯形，AB⊥AD，∠ADC＝45°，AD ∥BC，AD＝2AB＝2，△ADP为等边三角形，平面PAD⊥底面ABCD，E为AD的中点．（1）求证：平面PBC⊥平面PCE；（2）点F在线段CD上，且＝，求三棱锥F﹣ABP的体积．18．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，且b+c＝a cos B+a sin B．（1）求角A；（2）若a＝2，求△ABC的面积的最大值．19．3月3日，武汉大学人民医院的团队在预印本平台SSRN．上发布了一项研究：在新冠肺炎病例的统计数据中，男性患者往往比女性患者多．研究者分析了1月1日～29日的6013份病例数据，发现55.9%的患者为男性；进入重症监护病房的患者中，则有58.8%为男性．随后，他们分析了武汉大学人民医院的数据．他们按照症状程度的不同进行分析，结果发现，男性患者有11.8%为危重，而女性患者危重情况的为7%．也就是说，男性的发病情况似乎普遍更严重．研究者总结道：“男性在新冠肺炎的传播中扮演着重要的角色．”那么，病毒真的偏爱男性吗？有一个中学生学习小组，在自己封闭的社区进行无接触抽样问卷调查，收集到男、女患者各50个数据，统计如下：轻﹣中度感染重度（包括危重）总计男性患者20m x女性患者30n y总计5050100（1）求2×2列联表中的数据m，n，x，y的值；（2）能否有99.9%把握认为，新冠肺炎的感染程度和性别有关？（3）该学生实验小组打算从“轻﹣中度感染”的患者中按男女比例再抽取5人，追踪某种中药制剂的效果．然后从这5人中随机抽取3人进行每日的健康记录，求至少抽到2名女性患者的概率．附表及公式：K2＝，n＝a+b+c+d．P（K2≥k0）0.050.0250.0100.0050.001 k0 3.841 5.024 6.6357.87910.828 20．已知曲线C上的任意一点M到点F（0，1）的距离比到直线l：y＝﹣2的距离少1，动点P在直线s：y＝﹣1上，过点P作曲线C的两条切线PA，PB，其中A，B为切点．（1）求曲线C的方程；（2）判断直线AB是否能恒过定点？若能，求定点坐标；若不能，说明理由．21．已知函数f（x）＝x2+（1﹣a）x﹣lnx．（1）当a＞0时，求函数f（x）的极值；（2）当a＜0时，求函数f（x）在上[，1]的最小值．（二）选考题：共10分.请考生在第22、23二题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分.作答时，用2B铅笔在答题卡.上把所选题目对应的标号涂黑.[选修4-4：坐标系与参数方程]22．在平面直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为（t为参数），以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为．（1）若a＝﹣2，求曲线C与l的交点坐标；（2）过曲线C上任意一点P作与l夹角为45°的直线，交l于点A，且|PA|的最大值，求a的值．[选修4--5：不等式选讲]23．已知函数f（x）＝|x+1|﹣|x﹣2|．（1）解不等式f（x）≤l；（2）记函数f（x）的最大值为s，若a+b+c＝s（a，b，c＞0），证明：a2b2+b2c2+c2a2≥3abc．参考答案一、选择题：共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知集合A＝{x|x2﹣x﹣2＜0}，B＝{x|y＝}，则A∩B＝（）A．（﹣∞，2]B．（﹣∞，1]C．（﹣1，1]D．[﹣1，2]【分析】可以求出集合A，B，然后进行交集的运算即可．解：A＝{x|﹣1＜x＜2}，B＝{x|x≤1}，∴A∩B＝（﹣1，1]．故选：C．2．设复数z在复平面上的对应点为（1，﹣1），为z的共轭复数，则（）A．z+是纯虚数B．z﹣是实数C．z•是纯虚数D．是纯虚数【分析】由已知求得z，进一步求出，然后逐一核对四个选项得答案．解：由题意，z＝1﹣i，则，∴是实数；是纯虚数；是实数；，是纯虚数．故选：D．3．“x＞y＞0”是“lg（x+1）＞lg（y+1）”成立的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【分析】lg（x+1）＞lg（y+1）⇔x+1＞y+1＞0，解出范围即可判断出关系．解：lg（x+1）＞lg（y+1）⇔x+1＞y+1＞0，解得：x＞y＞﹣1．∴“x＞y＞0”是“lg（x+1）＞lg（y+1）”成立的充分不必要条件．故选：A．4．随着我国经济实力的不断提升，居民收入也在不断增加．抽样发现赤峰市某家庭2019年全年的收入与2015年全年的收入相比增加了一倍，实现翻番．同时该家庭的消费结构随之也发生了变化，现统计了该家庭这两年不同品类的消费额占全年总收入的比例，得到了如图折线图：则下列结论中正确的是（）A．该家庭2019年食品的消费额是2015年食品的消费额的一半B．该家庭2019年教育医疗的消费额是2015年教育医疗的消费额的1.5倍C．该家庭2019年休闲旅游的消费额是2015年休闲旅游的消费额的六倍D．该家庭2019年生活用品的消费额与2015年生活用品的消费额相当【分析】根据题意可设出年收入，然后求出所有金额，进行比较．解：因为某家庭2019年全年的收入与2015年全年的收入相比增加了一倍，设2015年全年的收入为A，2019年全年的收入为2A．由图可知，该家庭2019年食品的消费额0.2×2A＝0.4A，2015年食品的消费额为0.4×A ＝0.4A，相等，A错；由图可知，该家庭2019年教育医疗的消费额0.2×2A＝0.4A，2015年食品的消费额为0.3×A＝0.3A，，B错；由图可知，该家庭2019年休闲旅游的消费额0.3×2A＝0.6A，2015年休闲旅游的消费额为0.1×A＝0.1A，，C对；由图可知，该家庭2019年生活用品的消费额0.15×2A＝0.3A，2015年生活用品的消费额为0.05×A＝0.05A，不相等，D错；故选：C．5．已知a＝2，b＝5，c＝log32，则a，b，c的大小关系为（）A．a＜b＜c B．c＜b＜a C．c＜a＜b D．b＜a＜c【分析】利用对数函数和指数函数的性质求解．解：∵a10＝25＝32，b10＝52＝25，∴a＞b＞1，∵0＜log32＜1，∴0＜c＜1，∴c＜b＜a，故选：B．6．若双曲线C：的一条渐近线方程为3x+2y＝0，则m＝（）A．B．C．D．【分析】利用双曲线的渐近线方程，列出方程，求解m即可．解：由题意知双曲线的渐近线方程为，3x+2y＝0可化为，则，解得．故选：A．7．孪生素数猜想是希尔伯特在1900年提出的23个问题之一，2013年华人数学家张益唐证明了孪生素数猜想的一个弱化形式，问题可以描述为：存在无穷多个素数p，使得p+2是素数，素数对（p，p+2）称为孪生素数对．问：如果从30以内的素数组成的孪生素数对中随机抽取一对，这对孪生素数的积不超过20的概率是（）A．B．C．D．【分析】利用列举法先求出从30以内的素数，再求出组成的孪生素数对，进而求出这对孪生素数的积不超过20的个数，由此能求出这对孪生素数的积不超过20的概率．解：从30以内的素数有2，3，5，7，11，13，17，19，组成的孪生素数对有：（3，5），（5，7），（11，13），（17，19），共4个，这对孪生素数的积不超过20的有：（3，5），共1个，∴这对孪生素数的积不超过20的概率是p＝．故选：C．8．设等比数列{a n}的前n项和为S n，若a1＝1，且4a2，2a3，a4成等差数列，则S8＝（）A．510B．255C．512D．256【分析】利用等比数列通项公式和等差数列性质列方程求出公比，由此能求出等比数列的前8项和．解：∵等比数列{a n}的前n项和为S n，a1＝1，且4a2，2a3，a4成等差数列，∴2×（2q2）＝4q+q3，解得q＝2，∴S8＝＝255．故选：B．9．将函数y＝sin x cos x﹣cos2x+的图象向右平移个单位长度得到函数g（x）的图象，下列结论正确的是（）A．g（x）是最小正周期为2π的偶函数B．g（x）是最小正周期为4π的奇函数C．g（x）在（π，2π）上单调递减D．g（x）在[0，]上的最大值为【分析】本题考查的三角函数图象的基本性质．先将给定函数化成A sin（ωx+φ）的形式，跟据题中所给条件作出判断．解：令f（x）＝sin x cos x﹣cos2x+＝sin2x﹣cos2x﹣＝sin（2x﹣）﹣；∵f（x）向右平移个单位∴g（x）＝sin[2（x﹣﹣）]﹣＝sin（2x﹣）﹣＝﹣cos2x﹣，A答案：T＝＝＝π，所以A错．B答案：此函数为偶函数，所以B错误．C答案：增区间为kπ≤x≤kπ+，所以C错误．D答案：正确．故选：D．10．已知椭圆C：+＝1，F1，F2是其左右焦点，若对椭圆C上的任意一点P，都有•＞0恒成立，则实数a的取值范围为（）A．（﹣3，0）∪（0，3）B．[﹣3，0）∪（0，3]C．（﹣∞，﹣3）∪（3，+∞）D．（﹣∞，﹣3]∪[3，+∞）【分析】由于椭圆上的点与椭圆的焦点构成的三角形的三角形中∠F1PF2最大时点P为短轴上的顶点，而•＞0恒成立可得∠F1PF2为锐角，即∠F1PO＜45°可得b，c的关系，再由a，b，c之间的关系可得a的取值范围．解：椭圆上的点与椭圆的焦点构成的三角形的三角形中∠F1PF2最大时点P为短轴上的顶点，要使•＞0恒成立，则∠F1PF2为锐角，即∠F1PO＜45°，即tan F1PO＝＜1，所以c2＜b2，而c2＝a2﹣b2＝a2+9﹣a2＝9所以9＜a2，解得：a＞3或a＜﹣3，故选：C．11．已知三棱锥P﹣ABC中，PA＝PB＝PC＝，当三棱锥P﹣ABC体积最大值时，三棱锥P﹣ABC的外接球的体积为（）A．πB．36πC．πD．π【分析】由题意可得该三棱锥为三条棱相等且两两相互垂直，放在正方体中，可得该正方体的棱长为，由正方体的对角线等于外接球的直径可得外接球的半径，进而求出体积．解：PA＝PB＝PC＝，当PA，PB，PC两两相互垂直时三棱锥P﹣ABC体积最大值，放在正方体中，如图所示，可得棱长为的正方体，由外接球的直径2R是正方体的对角线可得，2R＝＝3，解得R＝；所以外接球的体积为V＝＝故选：A．12．已知函数y＝1+2lnx（x∈[，e]）的图象上存在点M，函数y＝﹣x2+a的图象上存在点N，且点M，N关于原点对称，则实数a的取值范围是（）A．[0，1+]B．[0，e2﹣3]C．[1+，e2﹣3]D．[1+，+∞）【分析】求出函数y＝﹣x2+a关于原点对称的函数y＝x2﹣a，已知函数y＝1+2lnx（x∈[，e]）的图象上存在点M，函数y＝﹣x2+a的图象上存在点N，且点M，N关于原点对称，等价为y＝1+2lnx（x∈[，e]）与y＝x2+a，有交点，构造函数，求出函数的导数，研究函数的单调性和最值，利用数形结合进行求解即可．解：函数y＝﹣x2+a的图象与函数y＝x2﹣a关于原点对称，则原题等价于函数y＝1+2lnx（x∈[，e]）与函数y＝x2﹣a的图象有交点，即方程1+2lnx＝x2﹣a（x∈[，e]）有解，即a＝x2﹣1﹣2lnx（x∈[，e]）有解，令f（x）＝x2﹣1﹣2lnx（x∈[，e]）f′（x）＝2x﹣＝，当x∈（，1）时，f′（x）＜0，f（x）单调递减，当x∈（1，e）时，f′（x）＞0，f（x）单调递增．f（x）min＝f（1）＝0，f（）＝＝1+，f（e）＝e2﹣3，所以实数a的取值范围是[0，e2﹣3]，故选：B．二、填空题：共4小题，每小题5分，共20分.13．设f（x）在R上是奇函数，且f（1﹣x）＝f（1+x），当x∈（0，1）时，f（x）＝x3，则f（）＝．【分析】先求出函数f（x）的一条对称轴为x＝1，进一步求得其周期为4，由此即可转化得解．解：∵f（1﹣x）＝f（1+x），∴f（x）关于直线x＝1对称，又f（x）为奇函数，∴f（x）的最小正周期为4，∴．故答案为：．14．已知非零向量，满足||＝2||，且（﹣）⊥，则与的夹角为．【分析】由题意，利用平面向量的数量积，求出夹角的余弦值，从而求得夹角．解：由，且，所以（﹣）•＝•﹣＝0，所以•＝；所以cosθ＝＝＝，又θ∈[0，π]，所以与的夹角为．故答案为：．15．《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题：“今有仓，广三丈，袤四丈五尺，容粟﹣一万斛，问高几何？”其意思为：“今有一个长方体的粮仓，宽3丈，长4丈5尺，可装粟一万斛．已知1斛粟的体积为2.7立方尺，1丈为10尺，则该粮仓的高是20尺．若将这些粟装入一个圆柱形粮仓内，若使这个圆柱形粮仓的表面积（含上下两底）最小那么它的底面半径是尺．【分析】设粮仓的高是h（尺），则该粮仓的容积可求，求出一万斛粟的体积，由体积相等列式求得h；设圆柱形粮仓的底面半径为r，高为h1，由体积关系可得，代入圆柱形粮仓的表面积公式，利用基本不等式求最值．解：设粮仓的高是h（尺），则该粮仓的容积为45×30h＝1350h（立方尺）．一万斛粟的体积为10000×2.7＝27000（立方尺）．由题意有：1350h＝27000，得h＝20（尺）；设圆柱形粮仓的底面半径为r，高为h1，由题意可得πr2•h1＝27000，则，∴圆柱形粮仓的表面积S＝＝＝（平方尺）．当且仅当，即r＝时上式取等号．故答案为：20；．16．设数列{a n}的前n项和为S n，且满足2a n＝S n+1，则使a12+a22+…+a n2＜•2n+1成立的n的最大值为3．【分析】先求出{a n}是以1为首项，公比为2的等比数列，根据题意得到，求出最大的n即可．解：由2a n＝S n+1，①当n＝1时，2a1＝a1+1，得a1＝1，当n≥2时，2a n﹣1＝S n﹣1+1，②①﹣②得，a n＝2a n﹣1，故{a n}是以1为首项，公比为2的等比数列，，，所以a12+a22+…+a n2＝1+4+42+…+4n﹣1＝，化简得：（2n）2﹣10•2n﹣1＜0，令t＝2n＞0，解不等式t2﹣10t﹣1＜0得，0＜t＜，故最大的n＝3，故答案为：3．三、解答题：共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答，第22～23题为选考题，考生根据要求作答.（--）必考题：共60分17．如图，四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为直角梯形，AB⊥AD，∠ADC＝45°，AD ∥BC，AD＝2AB＝2，△ADP为等边三角形，平面PAD⊥底面ABCD，E为AD的中点．（1）求证：平面PBC⊥平面PCE；（2）点F在线段CD上，且＝，求三棱锥F﹣ABP的体积．【分析】（1）推导出PE⊥AD，PE⊥BC，CE⊥BC，从而BC⊥平面PCE，由此能证明平面PBC⊥平面PCE．（2）过F作FG⊥AB，垂足为G，三棱锥F﹣ABP的体积V F﹣ABP＝V P﹣ABF＝．解：（1）证明：∵△PAD为等边三角形，E为AD的中点，∴PE⊥AD，∵平面PAD⊥底面ABCD，平面PAD∩底面ABCD＝AD，∴PE⊥底面ABCD，BC⊂平面ABCD，∴PE⊥BC，由题意知ABCE是正方形，∴CE⊥BC，∵PE∩EC＝E，∴BC⊥平面PCE，∵BC⊂平面PBC，∴平面PBC⊥平面PCE．（2）解：过F作FG⊥AB，垂足为G，∴三棱锥F﹣ABP的体积：V F﹣ABP＝V P﹣ABF＝＝＝＝＝．18．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，且b+c＝a cos B+a sin B．（1）求角A；（2）若a＝2，求△ABC的面积的最大值．【分析】（1）由题中所给方程，通过正弦定理化边为角，利用三角函数性质求解；（2）结合（1）中结果，利用余弦定理，求出bc的值域，代入面积公式求面积，求出最值．解：（1）由题意及正弦定理得sin B+sin C＝sin A cos B+sin A sin B，∵A+B+C＝π，∴sin C＝sin（A+B），sin B+sin（A+B）＝sin A cos B+sin A sin B，化简得sin B（sin A﹣cos A﹣1）＝0，∵sin B＞0，∴sin A﹣cos A﹣1＝0，∴sin（A﹣）＝，∵0＜A＜π，∴A＝，（2）∵a＝2，∴由余弦定理得，bc＝b2+c2﹣12，∴bc＝b2+c2﹣12≥2bc﹣12，（当且仅当b＝c），∴bc≤12，∴，∴△ABC的面积的最大值为3．19．3月3日，武汉大学人民医院的团队在预印本平台SSRN．上发布了一项研究：在新冠肺炎病例的统计数据中，男性患者往往比女性患者多．研究者分析了1月1日～29日的6013份病例数据，发现55.9%的患者为男性；进入重症监护病房的患者中，则有58.8%为男性．随后，他们分析了武汉大学人民医院的数据．他们按照症状程度的不同进行分析，结果发现，男性患者有11.8%为危重，而女性患者危重情况的为7%．也就是说，男性的发病情况似乎普遍更严重．研究者总结道：“男性在新冠肺炎的传播中扮演着重要的角色．”那么，病毒真的偏爱男性吗？有一个中学生学习小组，在自己封闭的社区进行无接触抽样问卷调查，收集到男、女患者各50个数据，统计如下：轻﹣中度感染重度（包括危重）总计男性患者20m x女性患者30n y总计5050100（1）求2×2列联表中的数据m，n，x，y的值；（2）能否有99.9%把握认为，新冠肺炎的感染程度和性别有关？（3）该学生实验小组打算从“轻﹣中度感染”的患者中按男女比例再抽取5人，追踪某种中药制剂的效果．然后从这5人中随机抽取3人进行每日的健康记录，求至少抽到2名女性患者的概率．附表及公式：K2＝，n＝a+b+c+d．P（K2≥k0）0.050.0250.0100.0050.001 k0 3.841 5.024 6.6357.87910.828【分析】（1）直接由题意可得m，n，x，y的值；（2）求出K2的值，结合临界值表得结论；（3）利用分层抽样可得在“轻﹣中度感染”的患者中抽取到的男女人数，再由枚举法写出基本事件总数，得到其中至少抽到2名女性患者的情况种数，再由古典概型概率计算公式求解．解：（1）由题意可得，m＝30，n＝20，x＝50，y＝50；（2）∵＜10.828，∴没有99.9%把握认为，新冠肺炎的感染程度和性别有关；（3）由于在“轻﹣中度感染”的患者中，按男女比例2：3，设抽取的5人中3名女性患者用a，b，c表示，2名男性患者用D，E表示，则所有组合为：（D，E，a），（D，E，b），（D，E，c），（D，a，b），（D，a，c），（D，b，c），（E，a，b），（E，a，c），（E，b，c），（a，b，c）共10种可能的情况．其中至少抽到2名女性患者的情况有7种，则至少抽到2名女性患者的概率为．20．已知曲线C上的任意一点M到点F（0，1）的距离比到直线l：y＝﹣2的距离少1，动点P在直线s：y＝﹣1上，过点P作曲线C的两条切线PA，PB，其中A，B为切点．（1）求曲线C的方程；（2）判断直线AB是否能恒过定点？若能，求定点坐标；若不能，说明理由．【分析】（1）由已知得动点M到点F（0，1）的距离与到直线l：y＝﹣1的距离相等，然后直接利用抛物线的定义求曲线C的方程；（2）设A（x1，y1），B（x2，y2），P（t，﹣1），利用导数求过点A与B的切线方程，可得点A（x1，y1），B（x2，y2）的坐标都满足，由此可得直线AB：y＝，恒过抛物线的焦点F（0，1）．解：（1）由已知得动点M到点F（0，1）的距离与到直线l：y＝﹣1的距离相等，由抛物线的定义可知，曲线C为抛物线，焦点F（0，1），准线l：y＝﹣1．∴曲线C的方程为x2＝4y；（2）设A（x1，y1），B（x2，y2），P（t，﹣1），由x2＝4y，即，得y．∴抛物线C在点A处的切线方程为，即．∵，∴，又点P（t，﹣1）在切线PA上，∴，①同理，②综合①②得，A（x1，y1），B（x2，y2）的坐标都满足．∴直线AB：y＝，恒过抛物线的焦点F（0，1）．21．已知函数f（x）＝x2+（1﹣a）x﹣lnx．（1）当a＞0时，求函数f（x）的极值；（2）当a＜0时，求函数f（x）在上[，1]的最小值．【分析】（1）可求得f′（x）＝ax+（1﹣a）﹣＝，进一步分析知函数f（x）在（0，1）上为减函数，函数f（x）在（1+∞）上为增函数，可求函数f（x）的极值；（2）由（1）可得f′（x）＝（x＞0）⇒可得x1＝﹣，x2＝1，分﹣≥1，即﹣1≤a＜0，＜﹣＜1，即﹣4＜a＜﹣1，当0＜﹣≤，即≤﹣4时，三类讨论，分别求得其最小值，最后通过分段函数式表示即可．解：（1）函数f（x）的定义域为（0，+∞），f′（x）＝ax+（1﹣a）﹣＝…2分∵a＞0，x＞0，∴＞0，f′（x）＜0⇒0＜x＜1，函数f（x）在（0，1）上为减函数；f′（x）＞0⇒x＞1，函数f（x）在（1+∞）上为增函数；所以f（x）极小值＝f（1）＝1﹣，无极大值…5分（2）由（1）可得f′（x）＝（x＞0），∵a＜0，由f′（x）＝0，可得x1＝﹣，x2＝1…6分当﹣≥1，即﹣1≤a＜0时，f′（x）≤0在x∈[，1]成立，f（x）在此区间[，1]上为减函数，所以f（x）min＝f（1）＝1﹣…7分当＜﹣＜1，即﹣4＜a＜﹣1时，x∈[，﹣]，f′（x）＜0；x∈（﹣，1），f′（x）＞0；所以f（x）在[，﹣]为减函数，在（﹣，1）为增函数，所以f（x）min＝f（﹣）＝1﹣+ln（﹣）…9分当0＜﹣≤，即a≤﹣4时，∵x∈[，1]，f′（x）≥0，∴f（x）在[，1]上为增函数，∴f（x）min＝f（）＝﹣a+2ln2…11分综上所述，f（x）min＝…12分（二）选考题：共10分.请考生在第22、23二题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分.作答时，用2B铅笔在答题卡.上把所选题目对应的标号涂黑.[选修4-4：坐标系与参数方程]22．在平面直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为（t为参数），以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为．（1）若a＝﹣2，求曲线C与l的交点坐标；（2）过曲线C上任意一点P作与l夹角为45°的直线，交l于点A，且|PA|的最大值，求a的值．【分析】（1）直接利用参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间的转换的应用求出结果．（2）利用直线和曲线的位置关系的应用建立关系，进一步点到直线的距离求出结果．解：（1）曲线C的极坐标方程为，整理得3ρ2+ρ2sin2θ＝12，转换为直角坐标方程为．当a＝﹣2时，直线l的参数方程为（t为参数），整理得，转换为直角坐标方程为x+2y+2＝0．所以，解得或，所以交点坐标为（﹣2，0）和（1，）．（2）曲线的直角坐标方程为x+2y﹣a＝0，故曲线C上任意一点P（）到直线的距离d＝＝，则|PA|＝＝，当a≥0时，|PA|的最大值为，解得a＝1．当a＜0时，|PA|的最大值为，解得a＝﹣1．故a＝1或﹣1．[选修4--5：不等式选讲]23．已知函数f（x）＝|x+1|﹣|x﹣2|．（1）解不等式f（x）≤l；（2）记函数f（x）的最大值为s，若a+b+c＝s（a，b，c＞0），证明：a2b2+b2c2+c2a2≥3abc．【分析】（1）将函数f（x）化为分段函数的形式，再分类讨论解不等式即可；（2）易知a+b+c＝3，利用基本不等式可得2（a2b2+b2c2+c2a2）≥2abc（a+b+c），由此得证．解：（1），当x≤﹣1时，﹣3≤1恒成立；当﹣1＜x＜2时，2x﹣1≤1，即x≤1，则﹣1＜x≤1；当x≥2时，3≤1显然不成立．故不等式的解集为（﹣∞，1]；（2）证明：由（1）知，s＝3，于是a+b+c＝3，由基本不等式可知（当且仅当a＝c时取等号），（当且仅当a＝b时取等号），（当且仅当c＝b时取等号），上述三式相加可得，2（a2b2+b2c2+c2a2）≥2abc（a+b+c）（当且仅当a＝b＝c时取等号），∵a+b+c＝3，∴a2b2+b2c2+c2a2≥3abc．。