北航理论力学王琪
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2010-5-15
ω = ω ( − cosθ i '+ sin θ j ' )
11
理论力学
2、求板对 x 轴的动量矩
§6-2 欧拉动力学方程
1 LC = mω (−b 2 cos θ i '+ a 2 sin θ j ' ) 12
Lo
ω x'
y'
y
Lx = J x ω x
ω
A
ω y'
C
x'
θ
Lx = LC ⋅ i 1 = − m(a 2 sin 2 θ + b 2 cos2 θ )ω 12
B
x
问题：如何求板对AB轴的转动惯量？
3、求板对质心C的动量矩对时间的导数
ω = − ωi
d Байду номын сангаасi ' ) = ω × i ' = −ω sin θ k ' dt d ( j ' ) = ω × j '= −ω cos θ k ' dt
12
d d 1 2 2 & LC = mω[−b cos θ ( i ' ) + a sin θ ( j ' )] 12 dt dt 1 & LC = − mω 2 cos θ sin θ [a 2 − b 2 ]k ' 12
⎡ J x' − J x ' y ' − J x'z ' ⎤ ⎡ωx ' ⎤ ⎡ Lox' ⎤ ⎥ ⎢ − J y 'z ' ⎥ ⎢ω y ' ⎥ (*) LO = [i ' j ' k ' ]⎢ Loy' ⎥ = [i ' j ' k ' ]⎢− J x ' y ' J y' ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ − J x 'z ' − J y 'z ' J z' ⎥ ⎢ ⎦ ⎦ ⎣ Loz' ⎥ ⎣ωz ' ⎥ ⎣ ⎦⎢
0 J y' 0
0 ⎤ ⎡ωx' ⎤ 0 ⎥ ⎢ω y ' ⎥ ⎥⎢ ⎥ J z' ⎥ ⎦⎢ ⎦ ⎣ωz ' ⎥
Lo = J x'ωx'i '+ J y'ω y' j'+ J z 'ωz 'k '
问题：L 与ω是否共线，在什么情况下共线？
O
结论：当且仅当刚体绕惯量主轴转动时，Lo与ω共线。
2010-5-15 10
2010-5-15
x
o
y
y'
整个刚体对O 点的动量矩：
LO = ∑ LOi
7
理论力学
§6-2 欧拉动力学方程
LOi = mi [( y 'i2 + z 'i2 )ω x ' − x'i y 'i ω y ' − x'i z 'i ω z ' ]i ' + mi [− x'i y 'i ω x ' + ( x'i2 + z 'i2 )ω y ' − y 'i z 'i ω z ' ] j ' + mi [− x'i z 'i ω x ' − y 'i z 'i ω y ' + ( x'i2 + y 'i2 )ω z ' ]k '
理论力学
§6-2 欧拉动力学方程
例：已知：m, a, b, ω ，质心在AB轴的中点，长边为a，短边为b, AB=2L， 求图示瞬时均质板对C点和AB轴的动量矩。若板的角速 度为常量，求板对质心C和对x轴的动量矩及其对时间的导数
y'
y
1、求板对质心C的动量矩
LC = J x 'ω x ' i '+ J y 'ω y ' j '+ J z 'ω z ' k '
理论力学
作业：6-11、思考题6-7
§6-2 欧拉动力学方程
欧拉动力学方程是研究刚体定点运动和一般运动的基本方程
2010-5-15 1
理论力学
应用背景
2010-5-15
问题的引出
2
理论力学
问题的引出
问题1：已知二自由度陀螺的运动，如何求轴承C、D的约束力？
问题2：硬盘工作时，搬动计算机，为什么易损毁硬盘？
2010-5-15
理论力学
y'
§6-2 欧拉动力学方程
y
验证：当且仅当刚体绕惯量主轴转动时，Lo与ω共线
Lo
ω
A
ω y'
C
1 LC = mω (−b 2 cos θ i '+ a 2 sin θ j ' ) 12 x' ω = ω ( − cos θ i '+ sin θ j ' )
θ
ω x'
B
x
LO = ∑ ri × mi v ei + ∑ ri × mi v ri
2010-5-15
1 LO = mR 2 (ω2 k + 2ω1k ' ) 4
15
理论力学
§6-2 欧拉动力学方程
二、刚体定点运动的欧拉动力学方程 dLO = ∑ M O ( F ( e) ) dt
LO = J x 'ω x ' i '+ J y 'ω y ' j '+ J z 'ω z ' k '
LO = ∑ LOi = ∑ mi [( y 'i2 + z 'i2 )ω x ' − x'i y 'i ω y ' − x'i z 'i ω z ' ]i '
+ ∑ mi [− x'i y 'i ω x ' + ( x'i2 + z 'i2 )ω y ' − y 'i z 'i ω z ' ] j '
Lo
ω
A
ω y'
C
x'
θ
ω x'
B
1 1 2 J x ' = mb , J y ' = ma 2 12 12 x ω = ω x 'i '+ω y ' j '+ω z 'k '
ωx' = −ω cosθ , ω y ' = ω sinθ
ωz' = 0
1 LC = mω (−b 2 cos θ i '+ a 2 sin θ j ' ) 12
2010-5-15 13
理论力学
的动量矩（矢量）：
§6-2 欧拉动力学方程
。
思考题 : 若定轴转动刚体的动量守恒、动能守恒，则对质心
y
A： 一定守恒； B：一定不守恒； C：不一定守恒。
LC =
Lo
ω
A
y'
ω y'
C
x'
θ
ω x'
B
x
1 mω (−b 2 cos θ i '+ a 2 sin θ j ' ) 12
若Lo与ω共线
LC × ω = 0
mω 2 − b 2 cos θ 12 − cos θ
a 2 sin θ mω 2 = sin θ cos θ (a 2 − b 2 ) = 0 12 sin θ
若上式成立，有： sin θ cosθ (a 2 − b 2 ) = 0 则：x 轴为惯量主轴 m 2 2 x轴为惯量主轴的充分必要条件 J xy = sin θ cos θ (a − b ) = 0 12
z
z'
⎫ J x 'ω & x ' + ( J z ' − J y ' )ω y 'ω z ' = ∑ M x ' ⎪ ⎪ ⎪ J y 'ω & y ' + ( J x ' − J z ' )ω x 'ω z ' = ∑ M y ' ⎬ ⎪ J z 'ω & z ' + ( J y ' − J x ' )ω x 'ω y ' = ∑ M z ' ⎪ ⎪ ⎭
+ ∑ mi [− x'i z 'i ω x ' − y 'i z 'i ω y ' + ( x'i2 + y 'i2 )ω z ' ]k '
LO = [ J x 'ω x ' − J x ' y 'ω y ' − J x 'z 'ω z ' ]i '
+ [− J x ' y 'ω x ' + J y 'ω y ' − J y 'z 'ω z ' ] j '+[− J x 'z 'ω x ' − J y 'z 'ω y ' + J y 'ω z ' ]k '
理论力学
§6-2 欧拉动力学方程
用随体坐标系描述定点运动刚体对固定点O 的动量矩
设：mi 是定点运动刚体上的一个质点，其对O 点的动量矩：
Loi = ri × mi vi = ri × mi (ω × ri )
= mi ri × (ω × ri ) = mi [(ri ⋅ ri )ω − (ω ⋅ ri )ri ]
例：求质量为m半径为R的均质圆盘对O点的动量矩 。 ω 1 , ω 2
y' θ
ω2
θ
x'
ω1
z'
1 Lo = mR 2 (ω2 sin θ i '+ω2 cosθ j '+2ω1k ' ) 4 另一种计算方法：LO = ∑ ri × mi v ai
ωx ' = ω2 sinθ , ω y ' = ω2 cosθ ω z ' = ω1
LOi = mi [( y 'i2 + z 'i2 )ω x ' − x'i y 'i ω y ' − x'i z 'i ω z ' ]i ' + mi [− x'i y 'i ω x ' + ( x'i2 + z 'i2 )ω y ' − y 'i z 'i ω z ' ] j ' + mi [− x'i z 'i ω x ' − y 'i z 'i ω y ' + ( x'i2 + y 'i2 )ω z ' ]k '
z
ω
r
z'
ω = ω x ' i '+ω y ' j '+ω z ' k ' , ri = x'i i '+ y 'i j '+ z 'i k '
x'
LOi = mi [( x'i2 + y 'i2 + z 'i2 )ω − (ω x ' x'i +ω y ' y 'i +ω z ' z 'i )ri ]
= LOx ' i '+ LOy ' j '+ LOz ' k '
2010-5-15 讨论：定点运动刚体动量矩的最简表达式 8
理论力学
刚体对O点的动量矩：
§6-2 欧拉动力学方程
⎡ L ox ' ⎤ LO = LOx 'i '+ LOy ' j '+ LOz 'k ' = [ i ' j ' k ' ] ⎢ L oy ' ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎦ ⎣ L oz ' ⎥ LOx ' = J x 'ω x ' − J x ' y 'ω y ' − J x 'z 'ω z ' ⎡ L ⎤ ⎡ J − J x' y' − J x'z ' ⎤ ⎡ωx' ⎤ ox' x' ⎥⎢ ⎥ LOy' = − J x' y 'ωx' + J y 'ω y ' − J y 'z 'ωz ' ⎢ Loy' ⎥ = ⎢− J x' y' − J J ωy' y y z ' ' ' ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ J z' ⎥ LOz' = − J x'z 'ωx' − J y 'z 'ω y ' + J y 'ωz ' ⎢ ⎣ Loz' ⎥ ⎦ ⎢ ⎣ωz ' ⎥ ⎦ ⎣ − J x'z ' − J y 'z ' ⎦⎢
若在 Oxyz 参考系中： 若在 Ox’y’z’ 参考系中： 2010-5-15
or ω = ωx'i'+ωy' j'+ωz'k'
是随时间t变化的量 是随时间t变化的量 6
xi , yi , zi (i = 1,2,L); ω x , ω y , ω z i ' , j ' , k ';ω x ' ,ω y ' ,ω z '
ω = ω ( − cos θ i '+ sin θ j ' )
2010-5-15
14
理论力学
§6-2 欧拉动力学方程
Lo = J x 'ω x ' i '+ J y 'ω y ' j '+ J z 'ω z 'k ' 1 1 2 J z ' = mR , J x ' = J y ' = mR 2 2 4 ω = ω1 + ω2 = ω x ' i '+ω y ' j '+ω z ' k '
ω
r
z'
Lo = ∫ r × vdm = ∫ r × (ω × r ) dm
M M
= ∫ [( r • r )ω − (ω • r ) r ]dm
M
x'
上述矢量在不同参考系中可分别表示为：
r = xi + yj + zk or r = x' i '+ y' j'+ z' k'
x
o
y
y'
ω = ωxi +ωy j +ωzk
问题：式（*）能否进一步简化？ 提示：从数学角度和物理角度探讨如何简化。
2010-5-15 9
理论力学
§6-2 欧拉动力学方程
数学：对称矩阵经过正交变换后可化成对角矩阵。 物理：如果x’ y’ z’是刚体的惯量主轴 J x ' z ' = J x ' y ' = J x ' y ' = 0
⎡ J x' − J x' y' − J x'z' ⎤ ⎡ωx' ⎤ ⎡ J x' ⎥ ⎢ LO = [i ' j' k' ]⎢− J x' y' J y' − J y'z' ⎥ ⎢ωy' ⎥ = [i ' j ' k ' ]⎢ 0 ⎢ ⎥ ⎢ ⎢ J z' ⎥ ⎢0 ⎦ ⎣ωz' ⎥ ⎣ ⎦⎢ ⎣ − J x' z ' − J y ' z '
2010-5-15 3
理论力学
笔记本电脑
问题的引出
硬盘自动保护装置
2010-5-15
4
理论力学
计算机硬盘结构示意图
问题的引出
定点运动刚体动力学问题：研究力与运动间的关系。 问题：用什么方法建立力与运动的关系？
2010-5-15 5
理论力学
§6-2 欧拉动力学方程
z
一、刚体定点运动的动量矩
Ox’y’z’为随体参考系 Oxyz 为惯性参考系 刚体对O点的动量矩：
ω = ω ( − cosθ i '+ sin θ j ' )
11
理论力学
2、求板对 x 轴的动量矩
§6-2 欧拉动力学方程
1 LC = mω (−b 2 cos θ i '+ a 2 sin θ j ' ) 12
Lo
ω x'
y'
y
Lx = J x ω x
ω
A
ω y'
C
x'
θ
Lx = LC ⋅ i 1 = − m(a 2 sin 2 θ + b 2 cos2 θ )ω 12
B
x
问题：如何求板对AB轴的转动惯量？
3、求板对质心C的动量矩对时间的导数
ω = − ωi
d Байду номын сангаасi ' ) = ω × i ' = −ω sin θ k ' dt d ( j ' ) = ω × j '= −ω cos θ k ' dt
12
d d 1 2 2 & LC = mω[−b cos θ ( i ' ) + a sin θ ( j ' )] 12 dt dt 1 & LC = − mω 2 cos θ sin θ [a 2 − b 2 ]k ' 12
⎡ J x' − J x ' y ' − J x'z ' ⎤ ⎡ωx ' ⎤ ⎡ Lox' ⎤ ⎥ ⎢ − J y 'z ' ⎥ ⎢ω y ' ⎥ (*) LO = [i ' j ' k ' ]⎢ Loy' ⎥ = [i ' j ' k ' ]⎢− J x ' y ' J y' ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ − J x 'z ' − J y 'z ' J z' ⎥ ⎢ ⎦ ⎦ ⎣ Loz' ⎥ ⎣ωz ' ⎥ ⎣ ⎦⎢
0 J y' 0
0 ⎤ ⎡ωx' ⎤ 0 ⎥ ⎢ω y ' ⎥ ⎥⎢ ⎥ J z' ⎥ ⎦⎢ ⎦ ⎣ωz ' ⎥
Lo = J x'ωx'i '+ J y'ω y' j'+ J z 'ωz 'k '
问题：L 与ω是否共线，在什么情况下共线？
O
结论：当且仅当刚体绕惯量主轴转动时，Lo与ω共线。
2010-5-15 10
2010-5-15
x
o
y
y'
整个刚体对O 点的动量矩：
LO = ∑ LOi
7
理论力学
§6-2 欧拉动力学方程
LOi = mi [( y 'i2 + z 'i2 )ω x ' − x'i y 'i ω y ' − x'i z 'i ω z ' ]i ' + mi [− x'i y 'i ω x ' + ( x'i2 + z 'i2 )ω y ' − y 'i z 'i ω z ' ] j ' + mi [− x'i z 'i ω x ' − y 'i z 'i ω y ' + ( x'i2 + y 'i2 )ω z ' ]k '
理论力学
§6-2 欧拉动力学方程
例：已知：m, a, b, ω ，质心在AB轴的中点，长边为a，短边为b, AB=2L， 求图示瞬时均质板对C点和AB轴的动量矩。若板的角速 度为常量，求板对质心C和对x轴的动量矩及其对时间的导数
y'
y
1、求板对质心C的动量矩
LC = J x 'ω x ' i '+ J y 'ω y ' j '+ J z 'ω z ' k '
理论力学
作业：6-11、思考题6-7
§6-2 欧拉动力学方程
欧拉动力学方程是研究刚体定点运动和一般运动的基本方程
2010-5-15 1
理论力学
应用背景
2010-5-15
问题的引出
2
理论力学
问题的引出
问题1：已知二自由度陀螺的运动，如何求轴承C、D的约束力？
问题2：硬盘工作时，搬动计算机，为什么易损毁硬盘？
2010-5-15
理论力学
y'
§6-2 欧拉动力学方程
y
验证：当且仅当刚体绕惯量主轴转动时，Lo与ω共线
Lo
ω
A
ω y'
C
1 LC = mω (−b 2 cos θ i '+ a 2 sin θ j ' ) 12 x' ω = ω ( − cos θ i '+ sin θ j ' )
θ
ω x'
B
x
LO = ∑ ri × mi v ei + ∑ ri × mi v ri
2010-5-15
1 LO = mR 2 (ω2 k + 2ω1k ' ) 4
15
理论力学
§6-2 欧拉动力学方程
二、刚体定点运动的欧拉动力学方程 dLO = ∑ M O ( F ( e) ) dt
LO = J x 'ω x ' i '+ J y 'ω y ' j '+ J z 'ω z ' k '
LO = ∑ LOi = ∑ mi [( y 'i2 + z 'i2 )ω x ' − x'i y 'i ω y ' − x'i z 'i ω z ' ]i '
+ ∑ mi [− x'i y 'i ω x ' + ( x'i2 + z 'i2 )ω y ' − y 'i z 'i ω z ' ] j '
Lo
ω
A
ω y'
C
x'
θ
ω x'
B
1 1 2 J x ' = mb , J y ' = ma 2 12 12 x ω = ω x 'i '+ω y ' j '+ω z 'k '
ωx' = −ω cosθ , ω y ' = ω sinθ
ωz' = 0
1 LC = mω (−b 2 cos θ i '+ a 2 sin θ j ' ) 12
2010-5-15 13
理论力学
的动量矩（矢量）：
§6-2 欧拉动力学方程
。
思考题 : 若定轴转动刚体的动量守恒、动能守恒，则对质心
y
A： 一定守恒； B：一定不守恒； C：不一定守恒。
LC =
Lo
ω
A
y'
ω y'
C
x'
θ
ω x'
B
x
1 mω (−b 2 cos θ i '+ a 2 sin θ j ' ) 12
若Lo与ω共线
LC × ω = 0
mω 2 − b 2 cos θ 12 − cos θ
a 2 sin θ mω 2 = sin θ cos θ (a 2 − b 2 ) = 0 12 sin θ
若上式成立，有： sin θ cosθ (a 2 − b 2 ) = 0 则：x 轴为惯量主轴 m 2 2 x轴为惯量主轴的充分必要条件 J xy = sin θ cos θ (a − b ) = 0 12
z
z'
⎫ J x 'ω & x ' + ( J z ' − J y ' )ω y 'ω z ' = ∑ M x ' ⎪ ⎪ ⎪ J y 'ω & y ' + ( J x ' − J z ' )ω x 'ω z ' = ∑ M y ' ⎬ ⎪ J z 'ω & z ' + ( J y ' − J x ' )ω x 'ω y ' = ∑ M z ' ⎪ ⎪ ⎭
+ ∑ mi [− x'i z 'i ω x ' − y 'i z 'i ω y ' + ( x'i2 + y 'i2 )ω z ' ]k '
LO = [ J x 'ω x ' − J x ' y 'ω y ' − J x 'z 'ω z ' ]i '
+ [− J x ' y 'ω x ' + J y 'ω y ' − J y 'z 'ω z ' ] j '+[− J x 'z 'ω x ' − J y 'z 'ω y ' + J y 'ω z ' ]k '
理论力学
§6-2 欧拉动力学方程
用随体坐标系描述定点运动刚体对固定点O 的动量矩
设：mi 是定点运动刚体上的一个质点，其对O 点的动量矩：
Loi = ri × mi vi = ri × mi (ω × ri )
= mi ri × (ω × ri ) = mi [(ri ⋅ ri )ω − (ω ⋅ ri )ri ]
例：求质量为m半径为R的均质圆盘对O点的动量矩 。 ω 1 , ω 2
y' θ
ω2
θ
x'
ω1
z'
1 Lo = mR 2 (ω2 sin θ i '+ω2 cosθ j '+2ω1k ' ) 4 另一种计算方法：LO = ∑ ri × mi v ai
ωx ' = ω2 sinθ , ω y ' = ω2 cosθ ω z ' = ω1
LOi = mi [( y 'i2 + z 'i2 )ω x ' − x'i y 'i ω y ' − x'i z 'i ω z ' ]i ' + mi [− x'i y 'i ω x ' + ( x'i2 + z 'i2 )ω y ' − y 'i z 'i ω z ' ] j ' + mi [− x'i z 'i ω x ' − y 'i z 'i ω y ' + ( x'i2 + y 'i2 )ω z ' ]k '
z
ω
r
z'
ω = ω x ' i '+ω y ' j '+ω z ' k ' , ri = x'i i '+ y 'i j '+ z 'i k '
x'
LOi = mi [( x'i2 + y 'i2 + z 'i2 )ω − (ω x ' x'i +ω y ' y 'i +ω z ' z 'i )ri ]
= LOx ' i '+ LOy ' j '+ LOz ' k '
2010-5-15 讨论：定点运动刚体动量矩的最简表达式 8
理论力学
刚体对O点的动量矩：
§6-2 欧拉动力学方程
⎡ L ox ' ⎤ LO = LOx 'i '+ LOy ' j '+ LOz 'k ' = [ i ' j ' k ' ] ⎢ L oy ' ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎦ ⎣ L oz ' ⎥ LOx ' = J x 'ω x ' − J x ' y 'ω y ' − J x 'z 'ω z ' ⎡ L ⎤ ⎡ J − J x' y' − J x'z ' ⎤ ⎡ωx' ⎤ ox' x' ⎥⎢ ⎥ LOy' = − J x' y 'ωx' + J y 'ω y ' − J y 'z 'ωz ' ⎢ Loy' ⎥ = ⎢− J x' y' − J J ωy' y y z ' ' ' ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ J z' ⎥ LOz' = − J x'z 'ωx' − J y 'z 'ω y ' + J y 'ωz ' ⎢ ⎣ Loz' ⎥ ⎦ ⎢ ⎣ωz ' ⎥ ⎦ ⎣ − J x'z ' − J y 'z ' ⎦⎢
若在 Oxyz 参考系中： 若在 Ox’y’z’ 参考系中： 2010-5-15
or ω = ωx'i'+ωy' j'+ωz'k'
是随时间t变化的量 是随时间t变化的量 6
xi , yi , zi (i = 1,2,L); ω x , ω y , ω z i ' , j ' , k ';ω x ' ,ω y ' ,ω z '
ω = ω ( − cos θ i '+ sin θ j ' )
2010-5-15
14
理论力学
§6-2 欧拉动力学方程
Lo = J x 'ω x ' i '+ J y 'ω y ' j '+ J z 'ω z 'k ' 1 1 2 J z ' = mR , J x ' = J y ' = mR 2 2 4 ω = ω1 + ω2 = ω x ' i '+ω y ' j '+ω z ' k '
ω
r
z'
Lo = ∫ r × vdm = ∫ r × (ω × r ) dm
M M
= ∫ [( r • r )ω − (ω • r ) r ]dm
M
x'
上述矢量在不同参考系中可分别表示为：
r = xi + yj + zk or r = x' i '+ y' j'+ z' k'
x
o
y
y'
ω = ωxi +ωy j +ωzk
问题：式（*）能否进一步简化？ 提示：从数学角度和物理角度探讨如何简化。
2010-5-15 9
理论力学
§6-2 欧拉动力学方程
数学：对称矩阵经过正交变换后可化成对角矩阵。 物理：如果x’ y’ z’是刚体的惯量主轴 J x ' z ' = J x ' y ' = J x ' y ' = 0
⎡ J x' − J x' y' − J x'z' ⎤ ⎡ωx' ⎤ ⎡ J x' ⎥ ⎢ LO = [i ' j' k' ]⎢− J x' y' J y' − J y'z' ⎥ ⎢ωy' ⎥ = [i ' j ' k ' ]⎢ 0 ⎢ ⎥ ⎢ ⎢ J z' ⎥ ⎢0 ⎦ ⎣ωz' ⎥ ⎣ ⎦⎢ ⎣ − J x' z ' − J y ' z '
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理论力学
笔记本电脑
问题的引出
硬盘自动保护装置
2010-5-15
4
理论力学
计算机硬盘结构示意图
问题的引出
定点运动刚体动力学问题：研究力与运动间的关系。 问题：用什么方法建立力与运动的关系？
2010-5-15 5
理论力学
§6-2 欧拉动力学方程
z
一、刚体定点运动的动量矩
Ox’y’z’为随体参考系 Oxyz 为惯性参考系 刚体对O点的动量矩：