立体几何巧思妙解之割补法

立体几何巧思妙解之割补法

在立体几何解题中，对于一些不规则几何体，若能采用割补法，往往能起到化繁为简、一目了然的作用。

一 、求异面直线所成的角

例1、如图1，正三棱锥S-ABC 的侧棱与底面边长相等，如果E 、F 分别为SC 、AB

的中点，那么异面直线EF 与SA 所成的角等于（ ）

000090604530A B C D

分析：平移直线法是求解异面直线所成角最基本的方法。如图1，只要AC 的中点G ，连EG ，FG ，解△EFG 即可.应该是情理之中的事。若把三棱锥巧妙补形特殊的正方体，定会叫人惊喜不已。

巧思妙解：如图2，把正三棱锥S-ABC 补成一个正方体11AGBH ACB S -，

1//,EF AA ∴异面直线EF 与SA 所成的角为0145A AS ∠=。故选C 。

二、体积问题

例2、如图3，已知三棱锥子P —ABC

，10,PA BC PB AC PC AB ======锥子P —ABC 的体积为（ ）。

4080160240A B C D

分析：若按常规方法利用体积公式求解，底面积可用海伦公式求出，但顶

点到底面的高无法作出，自然无法求出。若能换个角度来思考，注意到三

棱锥的有三对边两两相等，若能把它放在一个特定的长方体中，则问题不

难解决。

巧思妙解：如图4所示，把三棱锥P —ABC 补成一个长方体AEBG —FPDC ，易

知三棱锥P —ABC 的各边分别是长方体的面对角线。

PE=x,EB=y,EA=z 不妨令，则由已知有：

2222221001366,8,10164x y x z x y z y z ⎧+=⎪+=⇒===⎨⎪+=⎩

，从而知 416810468101606

P ABC AEBG FPDC P AEB C ABG B PDC A FPC AEBG FPDC P AEB

V V V V V V V V --------=----=-=⨯⨯-⨯⨯⨯⨯= 例3、如图5，在多面体ABCDEF 中，已知ABCD 是边长为1的正方形，

且BCF ADE ∆∆、均为正三角形，EF ∥AB ，EF=2，则该多面体的体积为

（ ）

（A ）

32 （B ）33 （C ）34 （D ）23

分析：要直接求解组合几何体的体积显然较困难，变换角度思考将这个组合几何体分割成特殊的几个几何体求解，则问题可迎刃而解。

巧思妙解：如图6，过A 作AG ⊥EF ，连DG ，由对称性易知DG ⊥EF ；同理，过B 作BH ⊥EF ，连CH ，也由对称性易知CH ⊥EF ，从而有EF ⊥面ADG ，EF ⊥面BCH 。从

而该多面体的体积等于直三棱柱ADG —BCH 与三棱锥E —ADG ，

三棱锥E —BC Ｈ的体积。由已知：

1,22144233343ADG BCH EF ABCD ABD BCH E ADG ADG ADG ADG EG FH AG DG BH CH S S V V V S GH S EG S ---==

====∴==∴=+=⨯+⨯⨯==⨯=点评：对于简单组合几何体的体积求解通常可用化归转化思想分割或补形求解。

三、球的有关问题

例4、一个四面体的所有棱长都为2，四个项点在同一球面上，则此球的表面积为 （ ）

（A ）3π （B ）4π （C ）3π3 （D ）6π

巧思妙解：如图7，将正四面体ABCD 补形成正方体，则正四面体、正方体

的中心与其外接球的球心是同一点.因为正四面体棱长为2，所以正方体棱长

为1，从而外接球半径R ＝2

3. S 球＝3π.故选A 。 四、二面角问题

例5、如图8，过正方形ABCD 的顶点A 作线段PA ⊥面ABCD ，若AB=PA ，则

面PAB 和面CDP 所成二面角的度数为（ ）。

000090604530A B C D

分析：按常规求二面角是想法作出它的平面角，而它是一个 “无棱二面角”，要

作出它的平面角有一定的难度。

巧思妙解：把原四棱锥补成正主体（如图9），连接CQ ，则所求二面角转

化面CDPQ 与面BAPQ 所成的二面角，则∠CQB 是二面角的平面角，易知∠

CQB 0

45=。