基于人口增长模型的数学建模(DOC)
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数学建模论文
题目:人口增长模型的确定专业、姓名:
专业、姓名:
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人口增长模型
摘要
随着人口的增加,人们越来越认识到资源的有限性,人口与资源之间的矛盾日渐突出,人口问题已成为世界上最被关注的问题之一。问题给出了1790—1980年间美国的人口数据,通过分析近两百年的美国人口统计数据表,得知每10年的人口数的变化。预测美国未来的人口。对于问题我们选择建立Logistic模型(模型2)现实中,影响人口的因素很多,人口也不能无限的增长下去,Logistic 模型引进常数N 表示自然资源和环境所能承受的最大人口数,因而得到了一个贝努利方程的初值问题公式,从实际效果来看,这个公式较好的符合实际情况的发展,随着时间的递增,人口不是无限增长的,而是趋近于一个数,这个即为最大承受数。我们还同时对数据作了深入的探讨,作数据分析预测,通过观测比较选择一个比较好的拟合模型(模型3)进行预测。预测接下来的每隔十年五次人口数量,分别为251.4949, 273.5988 , 293.4904 , 310.9222 325.8466。关键词:人口预测Logistic模型指数模型
一、问题重述
1790-1980年间美国每隔10年的人口记录如下表所示。
试用以上数据建立马尔萨斯(Malthus)人口指数增长模型,并对接下来的每隔十年预测五次人口数量,并查阅实际数据进行比对分析。
如果数据不相符,再对以上模型进行改进,寻找更为合适的模型进行预测。
二、问题分析
人口预测是一个相当复杂的问题,影响人口增长除了人口数与可利用资源外,还与医药卫生条件的改善,人们生育观念的变化等因素有关…….可以采取几套不同的假设,做出不同的预测方案,进行比较。
人口预测可按预测期长短分为短期预测 (5年以下)、中期预测(5~20年)和长期预测(20~50年)。在参数的确定和结果讨论方面,必须对中短期和长期预测这两种情况分开讨论。中短期预测中所用的各项参数以实际调查所得数据为基础,根据以往变动趋势可较准确加以估计,推算结果容易接近实际,现实意义较大。
三、问题假设
1.在模型中预期的时间内,人口不会因发生大的自然灾害、突发事故
或战争等而受到大的影响;
2.假设美国人口的增长遵循马尔萨斯人口指数增长的规则
3.假设人口增长不受环境最大承受量的限制
四、变量说明
:数据的起始时间,即1790年
t:时间
r:人口增长率
x∞:人口常数最大值
五、模型建立
模型一
图一
由图1可以发现美国人口的变化规律曲线近似为一条指数函数曲线,因此我们假设美国的人口满足函数关系x=f(t), f(t)=e a+bt,a,b为待定常数,根据最小二乘拟合的原理,a,b是函
数∑
=-
=
n
i
i
i
x t
f
b
a
E
1
2
)
)
(
(
)
,
(的最小值点。其中x i是t i时刻美国的人口数。利用MA TLAB 软件中的曲线拟合程序“lsqcurvefit”。
模型二
上述模型对过去的统计数据吻合得较好,但也存在问题,即人口是呈指数规律无止境地
增长,此时人口的自然增长率随人口的增长而增长,这不可能。一般说来,当人口较少时增长得越来越快,即增长率在变大;人口增长到一定数量以后,增长就会慢下来,即增长率变小这是因为,自然资源、环境条件等因素不允许人口无限制地增长,它们对人口的增长起着阻滞作用,而且随着人口的增加,阻滞作用越来越大。而且人口最终会饱和,趋于某一个常数x ∞,我们假设人口的静增长率为r(1-x(t)/x ∞),即人口的静增长率随着人口的增长而不断减小,当t →∞时,静增长率趋于零。
按照这个假设,得到
⎪⎩⎪⎨⎧=-=∞00
)()1(x
t x x x r dt dx
(1) 这便是荷兰数学家Verhulst 于19世纪中叶提出的阻滞增长模型(logistic 模型)。
利用分离变量法,人口的变化规律为:
r t e
x x x )1790(3910
)1(1--∞∞
-+=
(2)
利用MATLAB 软件中的“lsqcurvefit ”命令和函数(2) 来拟合所给的人口统计数据,
从而确定出(2)中的待定参数r 和x ∞。
模型三
从图5 看出,在前一段吻合得比较好,但在最上面,若拟合曲线更接近原始数据,对将来人口的预测应该更好。因此,把用函数(2)来拟合所给人口统计数据的评价准则略加修改,看效果如何。将拟合准则改为:
∑∑+==-+-=21
1
2
1
2
))(())(()(min n i i i n i i i x t f w x t f a E
其中w 为右端几个点的误差权重,在此处应该取为大于1的数,这样会使右边的拟合误差减小,相应的,其他点的误差会有所增加。如何才能使这些误差的增减恰当呢?可以通过调整w 和n 的具体取值,比较他们取各种不同值时的拟合效果,从而确定出一个合适的数值。
六、模型求解 模型一
图二
a =0.0154 -25.1080
x1 =279.0104
x2 =325.6156
x3 =380.0056
x4 =443.4808
X5=517.5587
模型二
图三
a =285.8931 0.0286 x1=230.9149
x2 =242.5078
x3 =252.0148
x4 =259.6639
x5 =265.7242
模型三
图四
a =388.7178 0.0260
x1 =251.4949