湖南师大附中第一次月考

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湖南省长沙市湖南师范大学附属中学2024-2025学年高三上学期月考(一)化学试题及答案

2025届师大附中高三月考化学试卷(一)本试题卷分选择题和非选择题两部分，共10页。

时量75分钟，满分100分。

可能用到的相对原子质量：H：1 C：12 O：16 Sb：122一、选择题：本题共14小题，每小题3分，共42分。

每小题只有一个选项符合题目要求。

1. 化学与生活、生产密切相关，下列说法正确的是A. “酒香不怕巷子深”体现了熵增的原理B. 船体上镶嵌锌块，是利用外加电流法避免船体遭受腐蚀C. 烟花发出五颜六色的光是利用了原子的吸收光谱D. “太阳翼”及光伏发电系统能将太阳能变为化学能2. 下列化学用语或化学图谱不正确的是NH的VSEPR模型：A. 3CH CH OCH CHB. 乙醚的结构简式：3223C. 乙醇的核磁共振氢谱：D. 邻羟基苯甲醛分子内氢键示意图：3. 实验室中，下列实验操作或事故处理不合理的是A. 向容量瓶转移液体时，玻璃棒下端应在容量瓶刻度线以下B. 苯酚不慎沾到皮肤上，先用抹布擦拭，再用65C°水冲洗C. 用二硫化碳清洗试管内壁附着的硫D. 对于含重金属(如铅、汞或镉等)离子的废液，可利用沉淀法进行处理4. 下列有关有机物的说法正确的是A. 聚乙烯塑料的老化是由于发生了加成反应B. 二氯丁烷的同分异构体为8种(不考虑立体异构)C. 核酸可视为核苷酸的聚合产物D. 乙醛和丙烯醛()不是同系物，它们与氢气充分反应后的产物也是同系物5. 下列反应方程式书写不正确的是A. 将223Na S O 溶液与稀硫酸混合，产生浑浊：2-+2322S O +2H =SO +S +H O ↑↓B. 用浓氨水检验氯气泄漏：32428NH +3Cl =6NH Cl+NC. 稀硫酸酸化的淀粉-KI 溶液在空气中放置一段时间后变蓝：-2-+42222I +SO +4H =I +SO +2H O ↑D. ()32Ca HCO 溶液与少量NaOH 溶液反应：-2+-332HCO +Ca +OH =CaCO +H O ↓6. 内酯Y 可以由X 通过电解合成，并可在一定条件下转化为Z ，转化路线如图所示。

湖南师大附中2023-2024-1学年度高二上学期一次月考物理试题含答案解析

湖南师大附中2023-2024-1学年度高二上学期一次月考物理试题一、单选题(共36 分)1.一代代物理学家们在探究客观世界的过程中，不断发现物理规律，总结研究方法，推动了生产力的发展和人类文明的进步。

下列关于物理学史和物理学方法的叙述，错误的是（）A.“电场强度”概念的提出应用了比值定义法B.牛顿发现了万有引力定律，卡文迪什成功测量出了引力常量G的值C.开普勒总结了行星运动的规律，并结合第谷的数据找出了行星按照这些规律运动的原因D.法国物理学家库仑用扭秤实验发现了库仑定律【答案】C【详解】A．“电场强度”概念的提出应用了比值定义法，A正确；B．牛顿发现了万有引力定律，卡文迪什成功测量出了引力常量G的值，B正确；C．开普勒结合第谷的数据总结了行星运动的规律，并未找出行星按照这些规律运动的原因，C 错误；D．法国物理学家库仑用扭秤实验发现了库仑定律，D正确。

本题选择错误的，故选C。

2.如图所示，有一带电荷量为＋q的点电荷与均匀带电圆形薄板相距为2d，此点电荷到带电薄板的垂线通过板的圆心。

若图中a点处的电场强度为零，静电力常量为k，则图中b点处的电场强度大小是（）A.10kq9d2B.8kq9d2C.0D.kqd2【答案】A 【详解】+q在a处产生的场强大小为E=kq d2方向水平向左。

据题，a点处的电场强度为零，+q与带电薄板在a点产生的场强大小相等，方向相反，则带电薄板在a点产生的场强大小为E=kq d2方向水平向右。

根据对称性可知，带电薄板在b点产生的场强大小为E=kq d2方向水平向左。

+q在b处产生的场强大小为E=kq (3d)2方向水平向左，则b点处的电场强度大小是E b=kq(3d)2+kqd2=10kq9d2故选A。

3.2023年5月30日9时31分，搭载神舟十六号载人飞船的长征二号F遥十六运载火箭在酒泉卫星发射中心发射升空，飞船入轨后，于北京时间2023年5月30日16时29分，成功对接于空间站天和核心舱径向端口，18时22分，翘盼已久的神舟十五号航天员乘组顺利打开“家门”，欢迎远道而来的神舟十六号航天员乘组入驻“天宫”。

2023-2024学年湖南师大附中高一(上)第一次月考语文试卷

2023-2024学年湖南师大附中高一（上）第一次月考语文试卷一、现代文阅读（35分）1．（17分）阅读下面的文字，完成各题。

材料一意境是我国古典文论独创的一个概念。

它是华夏抒情文学审美理想的集中体现。

文学意境论早在刘勰《文心雕龙》和钟嵘的《诗品》中已见端倪，盛唐之后开始全面形成。

王昌龄的《诗格》甚至直接使用了“意境”这个概念，文中说：诗有三境。

一曰物境：欲为山水诗，则张泉石云峰之境，极丽绝秀者，神之于心，处身于境，视境于心，莹然掌中，然后用思，了然境象，故得形似。

二曰情境：娱乐愁怨，皆张于意而处于身，然后驰思，深得其情。

三曰意境：亦张之于意而思之于心，则得其真矣。

这段话从诗歌创作的角度，分析了意境创造的三个层次。

认为要写好“物境”，必须心身入境，对泉石云峰那种“极丽绝秀”的神韵有了透彻了解之后，才能逼真地表现出来；描写“情境”需要作者设身处地地体验人生的娱乐愁怨，有了这种情感体验，才能驰骋想象，把握情感，深刻地把它表现出来；对于“意境”，作家必须发自肺腑，得自心源，有真诚的人格、真切的发现，这样的“意境”才能真切感人。

他还探讨了意与景的关系，提出“诗不可一向把理，皆须入景，语始清味。

诗一向言意，则不清及无味；一向言景，亦无味；事须景与意相兼始好。

”这些都是前无古人的深刻见解。

王昌龄之后，诗僧皎然又把意境的研究推进了一步，提出了诸如“缘境不尽曰情”“文外之旨”“取境”等重要命题，全面发展了意境论。

中唐以后，刘禹锡提出了“境生于象外”的观点。

晚唐司空图对此加以生发，提出了“象外之象，景外之景”和“韵外之致”“味外之旨”等观点，进一步扩大了意境研究的领域。

至此，意境论的基本内容和理论构架已经确立。

总的来说，它有两大因素、一个空间，即情与景两大因素和审美想象的空间。

这就是所谓“境”。

此后，意境论逐渐成了我国诗学、画论、书论的重要范畴，历代都有学者文人对它作补充、发挥，清末王国维是意境论的集大成者。

可是，由于意境概念历经千余年的沿革变化，更由于南宋以后意境与境界概念的混用，其内容更为丰富复杂。

湖南省长沙市湖南师大附中2023-2024学年高三上学期月考卷(一)语文试题(答案解析版)

湖南省长沙市湖南师大附中2023-2024学年高三上学期月考卷（一）语文试题一、现代文阅读（35分）（一）现代文阅读I（本题共5小题，19分）阅读下面的文字，完成下面小题。

材料一：在尝试着去重新激活那个被层层叠叠的知识及社会生活沉淀物所掩盖起来的知觉的世界时，我们常常诉诸绘画，因为绘画会径直将我们重新放回被知觉的世界。

在塞尚、布拉克及毕加索那里，我们会以不同的方式遭遇到这样一些物件：柠檬、曼陀铃、葡萄、烟盒……它们止住我们的目光，拷问我们的目光，这些我们“惯熟的”物件，以一种奇特的方式向我们的目光透露着它们的秘密本质以及它们的物性形式本身。

如此，绘画将我们带回到对物本身的观看。

通过检视知觉的世界，我们认识到在这个世界里，根本就不可能把物和它的显现方式区分开。

诚然，当我像字典那样去定义桌子——三条或四条腿支撑起的一个平面，人们可以在上面吃饭、书写等等——的时候，我可能会觉得如此我就抓住了桌子的本质而完全不必在意桌腿的形状、纹饰的风格等等这般伴随性的偶然之处。

与此相反，当我在知觉一张桌子的时候，我不会不在意这桌子实现其作为桌子的功能的方式，而且，正是桌腿每一次承载起桌面的独特方式、正是那从桌脚到桌面抵抗重力的独特运动吸引着我，并使得每张桌子都卓然有别于其他的桌子。

在这里，没有任何一个细节是无关紧要的，从木头的纤维、桌腿的形状、木头的色泽及年龄到印证着木头年龄的某些涂鸦或磨损，而且“桌子”这个意谓之所以吸引我，正是因为它是透过所有这些“细节”显现出来的，这些细节体现着它在场的样态。

一旦明白了知觉学派的教导，我们就会发现我们开始懂艺术作品了，因为艺术品也是一个肉身性的总体，在此总体中，意义并不是自由的，而是系于或者说束缚于形形色色的符号以及各种各样的细节的。

绘画的意义全部在于画布之外，全部在画作所意指的东西那里，就在画作的主题那里。

实际上，所有有价值的画作都正是在和这一看法的斗争中形成的，并且至少百年以来所有的画家都在非常有意识地和这种看法作着斗争。

湖南师大附中2023-2024学年度高二第一学期第一次月考数学试题与答案

湖南师大附中2023-2024学年度高二第一学期第一次月考数学试题时量：120分钟满分：150分一、选择题：本大题共8个小题，每小题5分，满分40分．每小题只有一项是符合题目要求的．1．已知1i22iz -=+，则z z -=（）A ．i-B ．iC ．0D ．12．已知直线m ，n 和平面α，β，给出下列四个命题，其中正确的是（）A ．若m ∥α，n α⊂，则m ∥nB ．若αβ⊥，m α⊂，则m β⊥C ．若m ∥n ，n β⊥，m α⊂，则αβ⊥D ．若m α⊂，n β⊂，m ∥β，n ∥α，则α∥β3．若()()21ln 21x f x x a x -=++为偶函数，则a=（）A ．0B ．12C ．1D ．24．如图，在四面体A -BCD 中，点O 为底面△BCD 的重心，P 为AO 的中点，设AB a = ，AC b =，AD c = ，则BP = （）A ．511666a b c --B ．511666a b c -++C ．211333a b c --D ．211333a b c -++5．在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，已知b=c ，()2221sin a b A =-，则A=（）A ．34πB ．3πC ．4πD ．6π6．将一枚骰子连续抛两次，得到正而朝上的点数分别为x ，y ，记事件A 为“x y +为偶数”，事件B 为“7x y +<”，则()P B A 的值为（）A ．12B ．13C ．79D ．597．若tan 2tan 5πα=，则3cos 10sin 5παπα⎛⎫- ⎪⎝⎭=⎛⎫- ⎪⎝⎭（）A ．1B ．2C ．3D ．48．对实数a ，b ，定义运算“*”：,1,1a ab a b b a b -≤⎧*=⎨->⎩，设函数()()()212f x x x =+*+，若函数()y f x c =-有两个零点，则实数c 的取值范围是（）A ．()()2,45,+∞B ．(](]1,24,5C ．()(],14,5-∞ D ．[]1,2二、选择题：本大题共4个小题，每小题5分，满分20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9．2019年中国5G 建设有序推进，新型信息基础设施能力不断提升，有力支撑社会的数字化转型，电信业务发展迅速，下图是2010-2019年中国移动电话用户数及增速走势图．根据该图，下列说法正确的是（）A ．2010-2019年中国移动电话用户数逐年增加B ．2011-2019年中国移动电话用户数增速的中位数为7.2%C ．2011-2019年中国移动电话用户数在2011年增速最快D ．中国移动电话用户数在2011-2014年的增速逐年递减，因此期户数逐年减少10．已知直线l ：()220a x ay ++-=与n ：()2360a x y -+-=，下列选项正确的是（）A ．若l ∥n ，则a=6或1a =-B ．若l n ⊥，则1a =C ．直线恒过点（1，1-）D ．若直线n 在x 轴上的截距为6，则直线n 的斜截式为123y x =--11．已知函数()()cos 21f x A x ϕ=+-（0A >，0ϕπ<<），若函数()y f x =的部分图象如图所示，函数()()sin g x A Ax ϕ=-，则下列结论正确的是（）A ．将函数()1y f x =+的图象向左平移6π个单位长度可得到函数()g x 的图象B ．函数()y g x =的图象关于点（6π-，0）对称C ．函数()g x 在区间0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦3D ．若函数()g x θ+（0θ≥）为偶函数，则θ的最小值为712π12．如图ABCD -A 1B 1C 1D 1中，E 是棱CC 1上的动点（不含端点），点F 在侧面BCC 1B 1上运动，且满足A 1F ∥平面AD 1E ，则下列命题正确的有（）A ．侧面BCC 1B 1上存在点F ，使役A 1F ⊥BC 1B ．直线A 1F 与直线DC 所成角的正切值的范围为（02）C ．当点E 固定时，三棱雉D 1-AEF 的体积为定值D ．设正方体的棱长为1，当E 为棱CC 1上靠近C 1的三等分点时，则过点A ，D 1，E 三点的截面面积为526三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13．已知圆锥的侧面积（单位：cm 2）为2π，且它的侧面展开图是一个半圆，则这个圆锥的底面半径（单位：cm ）是__________．14．已知()()25,3log 1,3x e x f x x x -⎧≤⎪=⎨->⎪⎩，则()()126f f =__________．15．设函数()sin 5f x x πω⎛⎫=+ ⎪⎝⎭（0ω>），若()f x 在[]0,2π有且仅有5个零点，则ω的取值范围是__________．16．已知向量a ，b ，e 满足1=e ，1⋅=a e ，2⋅=b e ，2-=a b ，则⋅a b 的最小值是__________．四、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（本小题满分10分）已知直线l 经过点P （2，3），倾斜角为α．（1）若cos 5α=-，求直线l 的斜截式方程；（2）若直线l 在两坐标轴上的截距相等，求直线l 的一般式方程．18．（本小题满分12分）已知△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分別为a ，b ，c ，且cos b aA A c++=．（1）求角C ；（2）设BC 的中点为D ，且2a b +的取值范围．19．（本小题满分12分）如图，在四棱雉P -ABCD 中，PA ⊥平面ABCD ，AD ∥BC ，AD ⊥CD ，且，BC=PA=2．（1）求证：AB⊥PC；（2）若点M为PD的中点，求直线BM与平而AMC所成角的正弦值．20．（本小题满分12分）为了调查某中学高一年级学生的身高情况，在高一年级随机抽取100名学生作为样本，把他们的身高（单位：cm）按照区间[160，165），[165，170），[170，175），[175，180），[180，185]分组，得到样本身高的频率分布直方图如图所示．（1）求频率分布直方图中x的值以及样本中身高不低于175cm的学生人数；（2）在统计过程中，小明与小张两位同学因事缺席，测得其余98名同学的平均身高为172cm，方差为29．之后补测得到小明与小张的身高分别为171cm与173cm．试根据上述数据求样本的方差．21．（本小题满分12分）斜三棱柱ABC -A 1B 1C 1的体积为4，侧面ABB 1A 1上侧面BCC 1B 1，平行四边形BCC 1B 1的面积为（1）求点A 到平面BCC 1B 1的距离；（2）如图，D 为BB 1的中点，BB 1=，BC ⊥BB 1，求二面角A -B 1C -B 的大小．22．（本小题满分12分）已知函数()f x （0x >）满足：()()22f x f x a +=+，()12f =，且当(]2,4x ∈时，()2266f x x x =-+．（1）求a 的值；（2）求()2f x ≥解集；（3）设()24log 231x g x ⎛⎫=+⎪-⎝⎭，()2cos cos 2h x x m x =+（,22x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦），若()()f h x g h x ≥⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦，求实数m 的值．湖南师大附中2023-2024学年度高二第一学期第一次月考数学试题答案1．A 【解析】1i 1i 22i 2z -==-+，所以i z z -=-，故选A ．2．C 【解析】A 选项中，m 与n 平行或异面；B 选项中，m 与β可以成任意角；C 选项正确；D 选项中，若m n ∥，则无法得到αβ∥，故选C ．3．A 【解析】()f x 为偶函数，()()11f f =-，()()11ln1ln3,03a a a ∴+=-+∴=，故选A ．4．B 【解析】()111511223666BP BA AP AB AO a a b c a b c =+=-+=-+⨯++=-++．故选B ．5．C 【解析】已知b c =，由余弦定理得：()2222222cos 22cos 21cos a b c bc A b b A b A =+-=-=-，因为()2221sin a b A =-，所以cos sin A A =，又cos 0A ≠，则tan 1A =，又()0,A π∈，解得4A π=．故选C ．6．A 【解析】由题意知，若事件A “x y +为偶数”发生，则x y 、两个数均为奇数或均为偶数，其中基本事件数为()()()()()()()()()()()()()1,1,1,3,1,5,2,2,2,4,2,6,3,1,3,3,3,5,4,2,4,4,4,6,5,1，()()()()()5,3,5,5,6,2,6,4,6,6，一共18个基本事件，()181362P A ∴==，而A B 、同时发生，()()()()()()()()()1,1,1,3,1,5,2,2,2,4,3,1,3,3,4,2,5,1一共有9个基本事件，()91364P AB ∴==，则在事件A 发生的情况下，B 发生的概率为()()()114122P AB P B A P A ===，故选A ．7．C 【解析】因为tan 2tan5πα=，所以33cos sin sin 101025sin sin sin 555ππππαααπππααα⎛⎫⎛⎫⎛⎫--++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭===⎛⎫⎛⎫⎛⎫--- ⎪ ⎪ ⎝⎭⎝⎭⎝⎭sin coscos sin tan tan 3tan 55553sin cos cos sin tan tan tan5555ππππαααππππααα++===--．故选C ．8．B 【解析】由题意知，当()()2121x x +-+≤，即12x -≤≤时，()21f x x =+，当()()2121x x +-+>，即2x >或1x <-时，()2f x x =+，()21,12,2,21,x x f x x x x ⎧+-≤≤∴=⎨+><-⎩或函数()y f x c =-有两个零点，∴函数()y f x =的图象与函数y c =的图象有两个交点，画出函数()y f x =的图象如图，由图知，当(](]1,24,5c ∈ 时，函数()y f x c =-有两个零点．故选B ．9．BC 【解析】对于A ，2015年与2014年相比中国移动电话用户数减少，所以A 不正确；对于B ，2011—2019年中国移动电话用户数的增速按从小到大的顺序排列，为1.1%,2.3%,4.0%,4.6%,7.2%,10.5%,10.5%-，12.8%,14.8%，则增速的中位数为7.2%，故B正确；对于C ，2011-2019年中国移动电话用户数在2011年增速最快，故C 正确；对于D ，中国移动电话用户数在2011-2014年的增速逐年递减，但都是正增长，故D 错误．故选BC ．10．AC 【解析】若l n ∥，则()()322a a a +=-，解得1a =-或6a =，经检验，均符合，故A 正确；若l n ⊥，则()()()()222334410a a a a a a a +-+=+-=+-=，解得1a =或4a =-，故B 不正确；由():220l a x ay ++-=得()220a x y x ++-=，则0,220,x y x +=⎧⎨-=⎩得1,1,x y =⎧⎨=-⎩，所以l 恒过点()1,1-，故C 正确；若直线n 在x 轴上的截距为6，则662a =-，得3a =，所以直线n 的方程为360x y +-=，斜截式为123y x =-+，故D 不正确．故选AC ．11．BC 【解析】因为13,11,A A --=-⎧⎨-=⎩所以2A =，所以()()2cos 21f x x ϕ=+-．又因为()02cos 12f ϕ=-=，得3cos 2ϕ=（舍）或1cos 2ϕ=-，因为0ϕπ<<，可得23πϕ=，所以()()222cos 21,2sin 233f x x g x x ππ⎛⎫⎛⎫=+-=- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，函数()1y f x =+的图象向左平移6π个单位长度，即变换为：()22cos 22cos233x x g x ππ⎛⎫++=-≠ ⎪⎝⎭，A 结论错误；对于B ，22,3x k k ππ-=∈Z ，可得()g x 关于(),023k k ππ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭Z 对称，包含点,06π⎛⎫- ⎪⎝⎭，故B结论正确；对于C ，当0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，222,333x πππ⎡⎤-∈-⎢⎥⎣⎦，则函数()g x ⎡∈-⎣，所以()g x的最大值为，C 结论正确；对于D ，函数()()0g x θθ+≥为偶函数，即()22sin 223g x x πθθ⎛⎫+=+-⎪⎝⎭为偶函数，易得12πθ=为最小值，故D 错误．故选BC ．12．AC【解析】连接1BC ，过点E 作1EG BC ∥，交BC 于点G ，连接AG ，在平面11ABB A 内，过点1A 作11A I D E ∥，交1BB 于点I ，在平面1111A B C D 内，过点1A 作1A H AG ∥，交11B C 于点H ，则平面1A IH ∥平面1,AED F ∴⊂平面1A HI ，又点F 在侧面11BCC B 上运动，且平面1A HI 平面11BCC B HI =，故F HI ∈．当F 为HI 与1BC 的交点时，易证1BC ⊥平面11A B CD ，且1A F ⊂平面1111,A B CD BC A F ∴⊥，A 正确；直线1A F 与DC 所成角即为11B A F ∠，设正方体的棱长为1，则111111tan B FB A F B F A B ∠==，在点E 从1C 到C 的移动过程中，HI 从靠近1B 点移动到靠近1BC ，此时，()10,1B F ∈，故B 错误；因为1A F ∥平面1AD E ，所以1111D AEF F AD E A AD E V V V ---==，故C 正确；当E 为棱1CC 上靠近1C 的三等分点时，过点1,,A D E 三点的截面为梯形1AGED ，此时112210,33EG AD ED AG ====，得到EG 与1AD 间的距离386d =，故1385192618S =⨯⨯=，故D 错误．故选AC ．13．1【解析】如图，设圆锥的母线长为l ，底面半径为r ，则圆锥的侧面积2S rl ππ==侧，即2r l ⋅=．由于侧面展开图为半圆，可知2122l ππ=，可得2l =，因此1r =．14．e 【解析】()()51263,126log 12613f >=-= ，又()()()3233,1263e e ff f -≤∴===．15．1229510ω≤<【解析】()sin (0)5f x x πωω⎛⎫=+> ⎪⎝⎭在区间[]0,2π上有且仅有5个零点，5265πππωπ∴≤+<，解得1229510ω≤<．16．54【解析】法一：（投影法）构造图形如下图，由1,1,2e a e b e =⋅=⋅=可知，点,A B 分别在直线1x =与直线2x =上移动，且保持2AB =，取AB 的中点C ，连OC ，由极化恒等式可知，2221a b OC CA OC ⋅=-=- ．由图可知，点C 在直线32x =上运动，故a b ⋅ 取最小值时，只要OC 取最小即可．所以，当3,02C ⎛⎫ ⎪⎝⎭时，a b ⋅ 的最小值为235124⎛⎫-= ⎪⎝⎭．法二：（坐标法）由题可设()()1,,2,a m b n == ，于是()3,a b m n +=+ ，所以22221159()45()22444a b a b a b m n m n ⎛⎫⎛⎫+-⎡⎤⎡⎤⋅=-=++-=++≥ ⎪ ⎪⎣⎦⎣⎦⎝⎭⎝⎭．（极化恒等式）法三：（坐标法）由题可设()()1,,2,a m b n == ，于是()1,a b m n -=-- ，则21()2a b m n -=+-= ，即2222()3,3()222m n m n m n mn mn mn -==-=+-≥--，（基本不等式）所以34mn ≥-，当且仅当m n =-时等号成立，故352244a b mn ⋅=+≥-= ．17．【解析】（1）由题：tan 2k α==-，故直线方程为()322y x -=--，所以:27l y x =-+．（2）当截距为零时，直线方程为320x y -=；当截距不为零时，设所求直线的方程为1x y a a +=，将()2,3代入得231a a+=，解得5a =，∴直线方程为155x y +=，即50x y +-=．∴所求直线的方程为50x y +-=或320x y -=．18．【解析】（1）ABC △中，cos b a A A c++=，由正弦定理得，sin sin cos sin B A A A C ++=．所以sin cos sin sin sin C A A C B A +=+，即()sin cos sin sin sin sin cos sin cos sin C A A C A C A A C C A A +=++=++，sin sin cos sin A C A C A =+；又()0,A π∈，所以sin 0A ≠cos 1C C -=，所以1sin 62C π⎛⎫-= ⎪⎝⎭，又因为()0,C π∈，所以66C ππ-=，即3C π=．（2）设CAD θ∠=，则ABC △中，由3C π=可知20,3πθ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，由正弦定理及AD =可得22sin sin sin 33CD AC AD ππθθ===⎛⎫- ⎪⎝⎭，所以22sin ,2sin 3CD AC πθθ⎛⎫==- ⎪⎝⎭，所以224sin 4sin 6sin 36a b ππθθθθθ⎛⎫⎛⎫+=+-=+=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，由20,3πθ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭可知，51,,sin ,166662ππππθθ⎛⎫⎛⎫⎛⎤+∈+∈ ⎪ ⎪ ⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎦，所以(2a b +∈．19．【解析】（1）证明：四边形ABCD是直角梯形，AD CD BC ===，2,2AC AB ∴===，又222,AC AB BC ABC +=∴ 是直角三角形，即AB AC ⊥．PA ⊥ 平面,ABCD AB ⊂平面,ABCD AB PA ∴⊥，又,PA AC ⊂平面,PAC PA AC A = ，AB ∴⊥平面PAC ，又PC ⊂ 平面,PAC AB PC ∴⊥．（2）方法一：（几何法）112232P ABCD V -=⨯⨯+⨯=，22,23ABC ACD ABCD BC AD S S S =∴== △△梯形，又M 为PD 的中点，212323M ABC P ABCD V V --∴=⨯=．易知2,AC PD ==1614,222AM DM PD CM =====，则由余弦定理可得cos sin 2121AMC AMC ∠=∴∠=，161421055222212AMC S ∴=⨯⨯⨯=△．设点B 到面AMC 的距离为h ，则3455M ABC AMC V h S -==△．又2BM =，设直线BM 与平面AMC 所成角为θ，则sin 15302h BM θ===，故直线BM 与平面AMC 所成角的正弦值为4615．方法二：（向量法）以A 为原点，AB 所在直线为x 轴，AC 所在直线为y 轴，AP 所在直线为z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系．则()()()()()0,0,0,2,0,0,0,2,0,1,1,0,0,0,2A B C D P -，11,,122M ⎛⎫∴- ⎪⎝⎭，()5111,,1,0,2,0,,,12222BM AC AM ⎛⎫⎛⎫=-==- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．设平面AMC 的法向量为(),,n x y z = ，则0,0,n AC n AM ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩ 即20,110,22y x y z =⎧⎪⎨-++=⎪⎩解得0,2,y x z =⎧⎨=⎩令1z =，则2,0x y ==，于是，取()2,0,1n = ．设直线BM 与平面AMC 所成角为θ，则46sin cos ,15BM n BM n BM nθ⋅=== ．故直线BM 与平面AMC 所成角的正弦值为615．20．【解析】（1）由频率分布直方图知，()0.010.020.060.0751x ++++⨯=，所以0.04x =．又样本中身高不低于175cm 的学生的频率为()0.040.0250.3+⨯=，所以，样本中身高不低于175cm 的学生人数为1000.330⨯=人．（2）设除小张与小明外其他98名同学的身高为12398,,,,x x x x ⋅⋅⋅，小张与小明的身高分别为99100,x x ，样本的平均数为x ，样本的方差为2s ．由题意()()1298991001117298171173172cm 100100x x x x x x =++⋅⋅⋅+++=⨯++=．又()()()222129817217217298292842x x x -+-+⋅⋅⋅+-=⨯=，所以样本的方差()2210022112842(171172)(173172)28.44100100i i s x x =+-+-=-==∑．21．【解析】（1）设点A 到平面11BCC B 的距离为h．因为111111144333A BCB B ABC ABC B A C V V ---===⨯=三棱锥三棱锥三棱柱，所以1114333BCB S h ⋅=⨯=△．解得h =A 到平面11BCC B．（2）因为AD =，由（1），可得AD ⊥平面11BCC B ，（反证法：若AD 与平面11BCC B 不垂直，作AD '⊥平面11BCC B ，垂足为D '，连接DD '，则AD D '△为直角三角形，因此AD AD >'>!因此AD ⊥平面11BCC B ）．又1B C ⊂平面11BCC B ，所以1AD B C ⊥．过点A 作1AE B C ⊥于E ，连接DE ．又,,AE AD A AE AD ⋂=⊂平面ADE ，所以1B C ⊥平面,ADE DE ⊂平面ADE ，所以1DE B C ⊥．因此AED ∠即为二面角1A B C B --的平面角．在1ABB △中，因为D 为1BB的中点，1112AD BB AD BB ===，所以190B AB ∠=︒，即1AB AB ⊥．因为侧面11ABB A ⊥侧面11BCC B ，侧面11ABB A 侧面1111,BCC B BB BC BB =⊥，BC ⊂侧面11BCC B ，所以BC ⊥侧面111,ABB A B A ⊂侧面11ABB A ，所以1BC B A ⊥．又1,,,B A AB AB BC B AB BC ⊥=⊂ 平面ABC ．所以1B A ⊥平面,ABC AC ⊂平面ABC ，所以1B A AC ⊥．在等腰1Rt ABB △中，12AB AB ==．在矩形11BCC B中，111BCC B S BB BC =⋅==矩形，所以2BC =．在1Rt BB C △中，1B C ==．在等腰Rt ABC △中，AC ==．在1Rt AB C △中，1111122AB C S AB AC B C AE =⋅=⋅△，所以11263AB AC AE B C ⋅===．在Rt ADE △中，3sin 2263AD AED AE ∠===，所以60AED ∠=︒．所以二面角1A B C B --的大小为60︒．22．【解析】（1）由题意()12f =，所以()()3214f f a a =+=+，又当(]2,4x ∈时，()2266f x x x =-+，代入得()36f =，所以2a =．（2）设(]0,2x ∈，则(]22,4x +∈，所以()()2222(2)626222f x x x x x +=+-++=++，又()()222f x f x +=+，代入解得()2f x x x =+；显然，()f x 在(]0,2是单调递增，又()12f =，所以[]1,2x ∈时，()2f x ≥，又(]0,2x ∈时，()()()0,222f x f x f x ≥+=+，所以(]2,4x ∈时，()2f x ≥，类推可得2x >时()2f x ≥，综上，解集为[)1,+∞．（3）函数()24log 231x g x ⎛⎫=+⎪-⎝⎭，由420031x x +>⇒>-，即定义域为()0,+∞，且4231x y =+-在()0,+∞上单调递减，所以()24log 231x g x ⎛⎫=+⎪-⎝⎭在()0,+∞上单调递减，又有()12g =，结合（2）结论知1x ≥时，()()2,01f x g x x ≥≥<<时，()()2f x g x <<，由()()()1f h x g h x h x ≥⇒≥⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦恒成立，即()22cos 2cos 11x m x +-≥在,22x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦上恒成立，设[]cos 0,1x t =∈，则不等式()22210mt t m +-+≥在[]0,1t ∈上恒成立，①当0m =时，不等式化为210t -≥，显然不满足恒成立；②当0m >时，将0t =代入得()10m -+≥，与0m >矛盾；③当0m <时，只需()()10,1,12210,1,m m m m m m ⎧-+≥≤-⎧⎪⇒⇒=-⎨⎨+-+≥≥-⎪⎩⎩，综上，实数m 的值为1-．。

湖南省长沙市湖南师范大学附属中学2024-2025学年高三上学期月考历史试题+答案

大联考湖南师大附中2025届高三月考试卷（一）历史时量：75分钟满分：100分第I卷选择题（共48分）一、选择题（本大题共16小题，每小题3分，共48分。

在每小题列出的四个选项中，只有一项是符合题意的）1．岭南石峡遗址已发掘64座大小不一的墓葬，出土遗物三千余件。

有出七成套的木作工具石锛和石凿，数百件实战用的石镞、石钺；还有礼器如琮、璧等，玉琮与良渚一带相近。

据此可推断，该遗址A.已出现掌握贵重礼器的祭司阶层B.处于石器时代向国家迈进的阶段C.有直接或间接远距离的商品交换D.农业生产水平得到一定程度发展2．图1、2所示文物均被学界命名为“蜻蜓眼玻璃器”。

据此可知图1古埃及玻璃器（前＋4世纪）图2曾侯乙墓玻璃器（战国）A.社会分工发生了进一步细化B.战国手工制造水平超过古埃及C.玻璃器的生产中心发生转移D.玻璃器是中外文明交流的物证3．《史记·儒林列传》记载，“家人子”（宫侍女）出身的窦太后喜好黄老之学，召辕固生问老子书，辕固生答“家人言耳”太后大怒，命他去刺野猪，幸得景帝帮助才脱困。

这一记载最能印证汉初A.无为而治思想发生动摇B.弃道崇儒思想开始抬头C.社会等级意识仍然强烈D.皇权独尊遭受外戚挑战4．王莽改制，根据周朝办法造大钱，后又相继发行契刀、错刀、宝货等货币，民间仍用五铢钱。

王莽下诏：“敢非井田、挟五铢钱者为惑众，投诸四裔以御魑魅。

”可见当时A.制度变革获得法律保障B.币制由复杂走向简单C.托古改制重视民众基础D.政府的货币信用不足5．《公羊传》记载：“桓何以贵？母贵也。

母贵则子何以贵？子以母贵，母以子贵。

”然而汉武帝却在立幼子为太子后杀其生母，北魏时期道武帝将子贵母死立为定制。

这一转变的目的在于A.提高三纲五常的地位B.促进华夏认同C.推动少数民族封建化D.加强集权统治6．唐太宗审查《氏族志》时，认为山东崔氏“世代衰微，全无冠盖”，不配第一等。

他指示“不须论数世以前，止取今日官爵高下作等级”，新修订的《氏族志》以皇族为首，外戚次之，崔干被降为第三等。

湖南省长沙市湖南师范大学附属中学2024-2025学年高三上学期月考(一)地理试题及答案

湖南师大附中2025届高三月考试卷（一）地理得分：______本试题卷分选择题和非选择题两部分，共8页。

时量75分钟，满分100分。

第Ⅰ卷选择题（共48分）一、选择题（本大题共16小题，每小题3分，共48分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求）职住关系是指居住地与工作地的空间位置关系，下图为城郊轨道交通沿线两种职住关系模式图。

完成下面小题。

1. 极化型职住关系主要反映了轨道交通沿线（）A. 交通方式多样B. 逆城市化严重C. 生产要素集中D. 居住用地短缺2. 与极化型相比，平衡型职住关系的突出优点是（）①减缓就业型站点的拥堵②强化中心城区核心地位③缩短职工平均通勤时间④人口趋向轨道沿线集聚A. ①③B. ①④C. ②③D. ②④加车村位于贵州省黔东南苗族侗族自治州，村庄依山而建，至今保留着诸如祭祀等完整的少数民族文化。

大、小芦笙堂是加车村重要的公共活动空间，其位置和功能有明显的差异。

随着乡村振兴战略的提出，加车村立足自身发展特点，积极打造商业街、扩建基础设施等，经济发展迅速。

下图示意加车村位置和村庄区位布局。

据此完成下面小题。

3. 在加车村可以见到的景象是（）A. 水满田畴的梯田B. 漫山遍野的牦牛C. 静静流淌的小河D. 纵横交错的车道4. 与大芦笙堂相比较，推测小芦笙堂功能特点是多承担（）A. 大型祭祀及休闲、娱乐活动B. 大型祭祀及农事、商贸活动C. 小型祭祀及休闲、娱乐活动D. 小型祭祀及农事、商贸活动5. 适于加车村发展的方向是（）A. 加快人口聚集，提高城镇化水平B. 促进村庄生产、生活、生态融合 C 下寨建筑集中连片，拓展商业街 D. 协调第一、二、三产业均衡发展下图为2024年元旦跨年时刻江苏某同学查询到的太阳和月亮高度轨迹示意图，该同学在元旦（农历二十）日出时刻观察到了日、月同天景象。

据此回答下面小题。

6. 跨年钟声响起时，东半球新年的范围占全球的（）A. 5/6B. 2/9C. 1/6D. 1/97. 该同学观察到的日、月同天景象位置示意图是（）A. B. C.D.倒暖锋是我国东北地区的一种特殊天气类型，一般出现在强寒潮过境2～3天后。

2024-2025学年湖南师范大学附属中学高三上学期月考(一)语文试题及答案

湖南师大附中2025届高三月考试卷（一）语文本试卷共四道大题，23道小题，满分150分。

时量150分钟。

一、现代文阅读（35分）（一）现代文阅读Ⅰ（本题共5小题，19分）阅读下面的文字，完成下面小题。

科学中的对称对称既然在人类历史上占有非常重要、非常基本的地位，哲学家和科学家很自然会想广泛地加以运用。

1595年的时候，天文学家开普勒就曾经想用一些几何的对称来解释太阳系各行星轨道的直径的比例。

他希望在一个球里面放一个内接的正方体，在这个正方体里面放一个内接的正三角体，希望用这些正多面体的大小比例来解释太阳系各行星轨道的大小比例。

我们知道许多早期用到科学上的对称原理，并没有很大的成果，可是它们说明了科学家很早就对对称发生兴趣了。

对称在科学界开始产生重要的影响始于19世纪。

发展到近代，我们已经知道这个观念是晶体学、分子学、原子学、原子核物理学、化学、粒子物理学等现代科学的中心观念。

近年来，对称更变成了决定物质间相互作用的中心思想。

（所谓相互作用，是物理学的一个术语，意思就是力量，质点跟质点之间的力量。

）20世纪物理学的作用。

我准备分下列几节来讨论：①、②、“群”与对称、守恒定律与对称、宇称守恒与左右对称、规范对称。

最后，我想跟大家谈一下未来的发展。

①1871年麦克斯韦发表了一篇题为《物理量的数学分类》的文章。

麦克斯韦以及比他更早的一个数学家兼物理学家哈密顿，了解到物理里面所讲的量不止一种，有的叫作标量，有的叫作向量。

标量没有方向，向量除了大小外，还有方向。

这篇文章非常有意思，因为今天物理学常用的一些观念，这篇文章已经非常清楚地用一些几何图像表示了出来。

比如麦克斯韦称为“内向”的观念，今天我们常把这个量叫作“散度”（即向外发散的程度），这是一个重要观念。

另一个重要的观念叫作“旋度”。

这些观念的引进都有赖哈密顿跟麦克斯韦的努力。

在另外一篇文章里，麦克斯韦把电学跟磁学的基本公式写了下来。

这是19世纪最重要的物理学工作，麦克斯韦写这篇文章的时候，对于向量的观念虽然已经非常了解，却没有引进向量的符号。

湖南师大附中 2023-2024 学年度高一第一学期第一次月考数学试卷

湖南师大附中2023-2024学年度高一第一学期第一次大练习（月考）数学时量：120分钟满分：150分得分：_________一、选择题（本大题共8个小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题意的．请在答题卡中填涂符合题意的选项．） 1．设集合{}13A x x =≤≤，{}24B x x =<<，则A B =（）A ．{}23x x <≤ B ．{}23x x ≤≤C ．{}14x x ≤<D ．{}14x x <<2．命题：“x ∀∈R ，2x x ≠”的否定是（）A ．x ∀∉R ，2x x ≠B ．x ∀∈R ，2x x=C ．x ∃∉R ，2x x ≠D ．x ∃∈R ，2x x =3．一元二次不等式2144x x −≥的解集是（）A ．72,4⎡⎤−⎢⎥⎣⎦B ．7,24⎡⎤−⎢⎥⎣⎦C ．74,2⎡⎤−⎢⎥⎣⎦D ．7,42⎡⎤−⎢⎥⎣⎦4．已知2x >，则442x x +−的最小值是（） A ．4B ．8C ．12D ．165．设()22M a a =−，()()13N a a =+−，则有（）A ．M N >B ．M N ≥C ．M N <D ．M N≤6．已知{}31,M x x m m ==−∈Z ，{}32,N x x n n ==+∈Z ，{61P x x p ==−，}p ∈Z ，则下列结论正确的是（）A ．M PN = B ．P M N = C ．M N P ⊆ D ．N M P⊆7．命题“[]1,2x ∀∈，1120ax x+≥”为真命题的一个充分不必要条件是（） A ．1a ≥− B ．2a ≥− C ．3a ≥− D ．4a ≥− 8．在一次调查中，甲、乙、丙、丁四名同学阅读量有如下关系：同学甲、丙阅读量之和与乙、丁阅读量之和相同，同学丙、丁阅读量之和大于甲、乙阅读量之和，乙的阅读量大于甲、丁阅读量之和．那么这四名同学中阅读量最大的是（）A ．甲B ．乙C ．丙D ．丁二、选择题（本大题共4个小题，每小题5分，共20分。

湖南师范大学附属中学2024-2025学年高二上学期第一次月考物理试卷(解析版)

湖南师大附中2024—2025学年度高二第一学期第一次大练习物理时量：75分钟满分：100分一、单项选择题（本题共6小题，每小题4分，共24分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1. 物理公式或物理定律都有成立条件或适用范围，下列叙述中正确的是（） A. FB IL=是磁感应强度的定义式，适用任何磁场，但电流元IL 一定要垂直磁场方向放置 B. 2Q I Rt =用来计算一段电路电流通过时产生的热量，也可以用来计算电流在这段电路做的功 C. 在匀强电场中有关系式U Ed =，任何距离d 相等的两点，U 一定相等 D. F E q =、QC U =、U I R=都用到了比值定义法【答案】A 【解析】【详解】A ．FB IL=是磁感应强度的定义式，适用任何磁场，但电流元IL 一定要垂直磁场方向放置，故A 正确；B ．Q =I 2Rt 用来计算一段电路电流通过时产生的热量，此公式只适用于纯电阻电路，若这段电路是纯电阻电路，也可以用来计算电流在这段电路做的功，若这段电路不是纯电阻电路，不可以用来计算电流在这段电路做的功，故B 错误；C ．在匀强电场中有关系式U =Ed ，在沿电场方向距离d 相等的两点，U 一定相等，故C 错误；D ．FE q =、QC U =为比值定义法定义的物理量，但U I R=为欧姆定律，不是比值定义法，故D 错误。

故选A 。

2. 通量是物理学中的重要概念，在物理中有着重要应用。

在研究磁场时我们定义了磁通量BS Φ=，其中B 为磁感应强度、S 为垂直磁场的面积；磁通量大小可形象表示穿过某一平面的磁感线的净条数；磁通量为标量，但有正负之分。

与之类似，在静电场中，我们定义“垂直穿过某一平面的电场线条数为通过这一平面的电通量”。

如图甲，在磁感应强度大小为B 的匀强磁场中，面积为S 的平面与垂直于B 的平面间的夹角为α，如图乙为电荷量为q 的点电荷的电场，如图丙为匀强电场，场强为E 。

2024-2025学年湖南师范大学附属中学高三上学期月考(一)数学试题及答案

大联考湖南师大附中2025届高三月考试卷（一）数学命题人：高三数学备课组审题人：高三数学备课组时量：120分钟满分：150分一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，1. 已知{}()260,{lg 10}A x x xB x x =+-≤=-<∣∣，则A B = （）A. {}32x x -≤≤∣ B. {32}xx -≤<∣C. {12}xx <≤∣ D. {12}xx <<∣2. 若复数z 满足()1i 3i z +=-+（i 是虚数单位），则z 等于（）A.B.54C.D.3. 已知平面向量()()5,0,2,1a b ==- ，则向量a b + 在向量b 上投影向量为（）A. ()6,3- B. ()4,2- C. ()2,1- D. ()5,04. 记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，若396714,63a a a a +==，则7S =（）A. 21B. 19C. 12D. 425. 某校高二年级下学期期末考试数学试卷满分为150分，90分以上（含90分）为及格．阅卷结果显示，全年级1200名学生的数学成绩近似服从正态分布，试卷的难度系数（难度系数=平均分/满分）为0.49，标准差为22，则该次数学考试及格的人数约为（）附：若()2,X Nμσ~，记()()p k P k X k μσμσ=-≤≤+，则()()0.750.547,10.683p p ≈≈．A 136人B. 272人C. 328人D. 820人6. 已知()π5,0,,cos ,tan tan 426αβαβαβ⎛⎫∈-=⋅= ⎪⎝⎭，则αβ+=（）A.π6 B.π4C.π3D.2π37. 已知12,F F 是双曲线22221(0)x y a b a b-=>>的左､右焦点，以2F 为圆心，a 为半径的圆与双曲线的一条的.渐近线交于,A B 两点，若123AB F F >，则双曲线的离心率的取值范围是（）A. ⎛ ⎝B. ⎛ ⎝C. (D. (8. 已知函数()220log 0x a x f x x x ⎧⋅≤=⎨>⎩，，，，若关于x 的方程()()0f f x =有且仅有两个实数根，则实数a 的取值范围是（）A. ()0,1 B. ()(),00,1-∞⋃ C. [)1,+∞ D. ()()0,11,+∞ 二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分9. 如图，在正方体111ABCD A B C D -中，E F M N ，，，分别为棱111AA A D AB DC ，，，的中点，点P 是面1B C 的中心，则下列结论正确的是（）A. E F M P ，，，四点共面B. 平面PEF 被正方体截得的截面是等腰梯形C. //EF 平面PMND. 平面MEF ⊥平面PMN10. 已知函数()5π24f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，则（）A. ()f x 的一个对称中心为3π,08⎛⎫ ⎪⎝⎭B. ()f x 的图象向右平移3π8个单位长度后得到的是奇函数的图象C. ()f x 在区间5π7π,88⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增D. 若()y f x =在区间()0,m 上与1y =有且只有6个交点，则5π13π,24m ⎛⎤∈⎥⎝⎦11. 已知定义在R 上的偶函数()f x 和奇函数()g x 满足()()21f x g x ++-=，则（）A. ()f x 的图象关于点()2,1对称B. ()f x 是以8为周期的周期函数C. ()20240g =D.20241(42)2025k f k =-=∑三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12. 6(31)x y +-的展开式中2x y 的系数为______．13. 已知函数()f x 是定义域为R 的奇函数，当0x >时，()()2f x f x '->，且()10f =，则不等式()0f x >的解集为__________.14. 已知点C 为扇形AOB 弧AB 上任意一点，且60AOB ∠=，若(),R OC OA OB λμλμ=+∈，则λμ+的取值范围是__________.四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.15. ABC V 的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，已知22cos a b c B +=．（1）求角C ；（2）若角C 的平分线CD 交AB于点,D AD DB ==CD 的长．16. 已知1ex =为函数()ln af x x x =的极值点．（1）求a 的值；（2）设函数()ex kxg x =，若对()120,,x x ∀∈+∞∃∈R ，使得()()120f x g x -≥，求k 的取值范围．17. 已知四棱锥P ABCD -中，平面PAB ⊥底面,ABCD AD∥,,,2,BC AB BC PA PB AB AB BC AD E ⊥====为AB 的中点，F 为棱PC 上异于,P C 的点．的（1）证明：BD EF ⊥；（2）试确定点F 的位置，使EF 与平面PCD18. 在平面直角坐标系xOy 中，抛物线21:2(0)C y px p =>的焦点到准线的距离等于椭圆222:161C x y +=的短轴长，点P 在抛物线1C 上，圆222:(2)E x y r -+=（其中01r <<）.（1）若1,2r Q =为圆E 上的动点，求线段PQ 长度的最小值；（2）设()1,D t 是抛物线1C 上位于第一象限的一点，过D 作圆E 的两条切线，分别交抛物线1C 于点,M N .证明：直线MN 经过定点.19. 龙泉游泳馆为给顾客更好的体验，推出了A 和B 两个套餐服务，顾客可选择A 和B 两个套餐之一，并在App 平台上推出了优惠券活动，下表是该游泳馆在App 平台10天销售优惠券情况．销售量千张经计算可得：10101021111 2.2,118.73,38510i i i i i i i y y t y t =======∑∑∑（1）因为优惠券购买火爆，App 平台在第10天时系统出现异常，导致当天顾客购买优惠券数量大幅减少，已知销售量y 和日期t 呈线性关系，现剔除第10天数据，求y 关于t 的经验回归方程结果中的数值用分数表示；（2）若购买优惠券的顾客选择A 套餐的概率为14，选择B 套餐的概率为34，并且A 套餐可以用一张优惠券，B 套餐可以用两张优惠券，记App 平台累计销售优惠券为n 张的概率为n P ，求n P ；（3）记（2）中所得概率n P 的值构成数列{}()N n P n *∈.①求n P 的最值；②数列收敛的定义：已知数列{}n a ，若对于任意给定的正数ε，总存在正整数0N ，使得当0n N >时，n a a ε-<，（a 是一个确定的实数），则称数列{}n a 收敛于a .根据数列收敛的定义证明数列{}n P 收敛．.参考公式：()()()1122211ˆˆ,n ni i i ii in ni ii ix x y y x y nx ya y bxx x x nx====---==---∑∑∑∑.大联考湖南师大附中2025届高三月考试卷（一）数学命题人：高三数学备课组审题人：高三数学备课组时量：120分钟满分：150分一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，1. 已知{}()260,{lg 10}A x x xB x x =+-≤=-<∣∣，则A B = （）A. {}32x x -≤≤∣ B. {32}xx -≤<∣C. {12}xx <≤∣ D. {12}xx <<∣【答案】D 【解析】【分析】通过解一元二次不等式和对数函数的定义域，求出集合,A B ，再求交集．【详解】集合{}()32,{lg 10}{12}A x x B x x x x =-≤≤=-<=<<∣∣∣，则{12}A B xx ⋂=<<∣，故选：D ．2. 若复数z 满足()1i 3i z +=-+（i 是虚数单位），则z 等于（）A.B.54C.D.【答案】C 【解析】【分析】由复数的除法运算计算可得12i z =-+，再由模长公式即可得出结果.【详解】依题意()1i 3i z +=-+可得()()()()3i 1i 3i 24i12i 1i 1i 1i 2z -+--+-+====-+++-，所以z ==.故选：C3. 已知平面向量()()5,0,2,1a b ==- ，则向量a b +在向量b 上的投影向量为（）A. ()6,3- B. ()4,2- C. ()2,1- D. ()5,0【答案】A 【解析】【分析】根据投影向量的计算公式即可求解.【详解】()()7,1,15,a b a b b b +=-+⋅=== 所以向量a b +在向量b 上的投影向量为()()236,3||a b b b b b +⋅==- .故选：A4. 记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，若396714,63a a a a +==，则7S =（）A. 21 B. 19C. 12D. 42【答案】A 【解析】【分析】根据等差数列的性质，即可求解公差和首项，进而由求和公式求解.【详解】{}n a 是等差数列，396214a a a ∴+==，即67a =，所以67769,a a a a ==故公差76162,53d a a a a d =-=∴=-=-，()767732212S ⨯∴=⨯-+⨯=，故选：A5. 某校高二年级下学期期末考试数学试卷满分为150分，90分以上（含90分）为及格．阅卷结果显示，全年级1200名学生的数学成绩近似服从正态分布，试卷的难度系数（难度系数=平均分/满分）为0.49，标准差为22，则该次数学考试及格的人数约为（）附：若()2,X Nμσ~，记()()p k P k X k μσμσ=-≤≤+，则()()0.750.547,10.683p p ≈≈．A. 136人B. 272人C. 328人D. 820人【答案】B 【解析】【分析】首先求出平均数，即可得到学生的数学成绩2~(73.5,22)X N ，再根据所给条件求出(5790)P X ≤≤，即可求出(90)P X ≥，即可估计人数．【详解】由题得0.4915073.5,22μσ=⨯==，()()(),0.750.547p k P k X k p μσμσ=-≤≤+≈ ，()5790P X ∴≤≤()0.750.547p =≈，()()900.510.5470.2265P X ≥=⨯-=，∴该校及格人数为0.22651200272⨯≈（人），故选：B ．6. 已知()π5,0,,cos ,tan tan 426αβαβαβ⎛⎫∈-=⋅= ⎪⎝⎭，则αβ+=（）A.π6 B.π4C.π3D.2π3【答案】D 【解析】【分析】利用两角差的余弦定理和同角三角函数的基本关系建立等式求解，再由两角和的余弦公式求解即可．【详解】由已知可得5cos cos sin sin 6sin sin 4cos cos αβαβαβαβ⎧⋅+⋅=⎪⎪⎨⋅⎪=⋅⎪⎩，解得1cos cos 62sin sin 3αβαβ⎧⋅=⎪⎪⎨⎪⋅=⎪⎩，，()1cos cos cos sin sin 2αβαβαβ∴+=⋅-⋅=-，π,0,2αβ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，()0,παβ∴+∈，2π,3αβ∴+=，故选：D ．7. 已知12,F F 是双曲线22221(0)x y a b a b-=>>的左､右焦点，以2F 为圆心，a 为半径的圆与双曲线的一条渐近线交于,A B 两点，若123AB F F >，则双曲线的离心率的取值范围是（）A. ⎛ ⎝B. ⎛ ⎝C. (D. (【答案】B 【解析】【分析】根据双曲线以及圆的方程可求得弦长AB =，再根据不等式123AB F F >整理可得2259c a <，即可求得双曲线的离心率的取值范围.【详解】设以()2,0F c 为圆心，a 为半径的圆与双曲线的一条渐近线0bx ay -=交于,A B 两点，则2F 到渐近线0bx ay -=的距离d b ==，所以AB =，因为123AB F F >，所以32c ⨯>，可得2222299a b c a b ->=+，即22224555a b c a >=-，可得2259c a <，所以2295c a <，所以e <，又1e >，所以双曲线的离心率的取值范围是⎛ ⎝.故选：B8. 已知函数()220log 0x a x f x x x ⎧⋅≤=⎨>⎩，，，，若关于x 的方程()()0f f x =有且仅有两个实数根，则实数a 的取值范围是（）A. ()0,1 B. ()(),00,1-∞⋃ C. [)1,+∞ D. ()()0,11,+∞ 【答案】C 【解析】【分析】利用换元法设()u f x =，则方程等价为()0f u =，根据指数函数和对数函数图象和性质求出1u =，利用数形结合进行求解即可．【详解】令()u f x =，则()0f u =．①当0a =时，若()0,0u f u ≤=；若0u >，由()2log 0f u u ==，得1u =．所以由()()0ff x =可得()0f x ≤或()1f x =．如图所示，满足()0f x ≤的x 有无数个，方程()1f x =只有一个解，不满足题意；②当0a ≠时，若0≤u ，则()20uf u a =⋅≠；若0u >，由()2log 0f u u ==，得1u =．所以由()()0ff x =可得()1f x =，当0x >时，由()2log 1f x x ==，可得2x =，因为关于x 的方程()()0f f x =有且仅有两个实数根，则方程()1f x =在(,0∞-]上有且仅有一个实数根，若0a >且()(]0,20,xx f x a a ≤=⋅∈，故1a ≥；若0a <且()0,20xx f x a ≤=⋅<，不满足题意．综上所述，实数a 的取值范围是[)1,+∞，故选：C ．二､多选题：本题共36分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分9. 如图，在正方体111ABCD A B C D -中，E F M N ，，，分别为棱111AA A D AB DC ，，，的中点，点P 是面1B C 的中心，则下列结论正确的是（）A. E F M P ，，，四点共面B. 平面PEF 被正方体截得的截面是等腰梯形C. //EF 平面PMND. 平面MEF ⊥平面PMN【答案】BD 【解析】【分析】可得过,,E F M 三点的平面为一个正六边形，判断A ；分别连接,E F 和1,B C ，截面1C BEF 是等腰梯形，判断B ；分别取11,BB CC 的中点,G Q ，易证EF 显然不平行平面QGMN ，可判断C ；EM ⊥平面PMN ，可判断D.【详解】对于A ：如图经过,,E F M 三点的平面为一个正六边形EFMHQK ，点P 在平面外，,,,E F M P ∴四点不共面，∴选项A 错误；对于B ：分别连接,E F 和1,B C ，则平面PEF 即平面1C BEF ，截面1C BEF 是等腰梯形，∴选项B 正确；对于C ：分别取11,BB CC 的中点,G Q ，则平面PMN 即为平面QGMN ，由正六边形EFMHQK ，可知HQ EF ，所以MQ 不平行于EF ，又,EF MQ ⊂平面EFMHQK ，所以EF MQ W = ，所以EF I 平面QGMN W =，所以EF 不平行于平面PMN ，故选项C 错误；对于D ：因为,AEM BMG 是等腰三角形，45AME BMG ∴∠=∠=︒，90EMG ∴∠=︒，EMMG ∴⊥，,M N 是,AB CD 的中点，易证MN AD ∥，由正方体可得AD ⊥平面11ABB A ，MN ∴⊥平面11ABB A ，又ME ⊂平面11ABB A ，EM MN ∴⊥，,MG MN ⊂ 平面PMN ，EM ∴⊥平面GMN ，EM ⊂ 平面MEF ，∴平面MEF ⊥平面,PMN 故选项D 正确．故选：BD ．10. 已知函数()5π24f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，则（）A. ()f x 的一个对称中心为3π,08⎛⎫ ⎪⎝⎭B. ()f x 的图象向右平移3π8个单位长度后得到的是奇函数的图象C. ()f x 在区间5π7π,88⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增D. 若()y f x =在区间()0,m 上与1y =有且只有6个交点，则5π13π,24m ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦【答案】BD 【解析】【分析】代入即可验证A ，根据平移可得函数图象，即可由正弦型函数的奇偶性求解B ，利用整体法即可判断C ，由5πcos 24x ⎛⎫+= ⎪⎝⎭求解所以根，即可求解D.【详解】对于A ，由35π3π2π0848f ⎛⎫⎛⎫=+⨯=≠⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故A 错误；对于B ，()f x 的图象向右平移3π8个单位长度后得：3π3π5ππ228842y f x x x x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-=-+=+= ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦，为奇函数，故B 正确；对于C ，当5π7π,88x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，则5π5π2,3π42x ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦，由余弦函数单调性知，()f x 在区间5π7π,88⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减，故C 错误；对于D ，由()1f x =，得5πcos 24x ⎛⎫+= ⎪⎝⎭ππ4x k =+或ππ,2k k +∈Z ，()y f x =在区间()0,m 上与1y =有且只有6个交点，其横坐标从小到大依次为：ππ5π3π9π5π,,,,,424242，而第7个交点的横坐标为13π4，5π13π24m ∴<≤，故D 正确.故选：BD11. 已知定义在R 上的偶函数()f x 和奇函数()g x 满足()()21f x g x ++-=，则（）A. ()f x 的图象关于点()2,1对称B. ()f x 是以8为周期的周期函数C. ()20240g =D.20241(42)2025k f k =-=∑【答案】ABC 【解析】【分析】根据函数奇偶性以及所满足的表达式构造方程组可得()()222f x f x ++-=，即可判断A 正确；利用对称中心表达式进行化简计算可得B 正确，可判断()g x 也是以8为周期的周期函数，即C 正确；根据周期性以及()()42f x f x ++=计算可得20241(42)2024k f k =-=∑，可得D 错误.【详解】由题意()()()(),f x f x g x g x -=-=-，且()()()00,21g f x g x =++-=，即()()21f x g x +-=①，用x -替换()()21f x g x ++-=中的x ，得()()21f x g x -+=②，由①+②得()()222f x f x ++-=所以()f x 的图象关于点(2,1)对称，且()21f =，故A 正确；由()()222f x f x ++-=，可得()()()()()42,422f x f x f x f x f x ++-=+=--=-，所以()()()()82422f x f x f x f x ⎡⎤+=-+=--=⎣⎦，所以()f x 是以8为周期的周期函数，故B 正确；由①知()()21g x f x =+-，则()()()()882121g x f x f x g x +=++-=+-=，故()()8g x g x +=，因此()g x 也是以8为周期的周期函数，所以()()202400g g ==，C 正确；又因为()()42f x f x ++-=，所以()()42f x f x ++=，令2x =，则有()()262f f +=，令10x =，则有()()10142,f f +=…，令8090x =，则有()()809080942f f +=，所以1012(2)(6)(10)(14)(8090)(8094)2222024f f f f f f ++++++=+++=个所以20241(42)(2)(6)(10)(14)(8090)(8094)2024k f k f f f f f f =-=++++++=∑ ，故D 错误.故选：ABC【点睛】方法点睛：求解函数奇偶性、对称性、周期性等函数性质综合问题时，经常利用其中两个性质推得第三个性质特征，再进行相关计算.三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12. 6(31)x y +-的展开式中2x y 的系数为______．【答案】180-【解析】【分析】根据题意，由条件可得展开式中2x y 的系数为213643C C (1)⋅-，化简即可得到结果．【详解】在6(31)x y +-的展开式中，由()2213264C C 3(1)180x y x y ⋅⋅-=-，得2x y 的系数为180-.故答案为：180-．13. 已知函数()f x 是定义域为R 的奇函数，当0x >时，()()2f x f x '->，且()10f =，则不等式()0f x >的解集为__________.【答案】()()1,01,-⋃+∞【解析】【分析】根据函数奇偶性并求导可得()()f x f x ''-=，因此可得()()2f x f x '>，可构造函数()()2xf x h x =e并求得其单调性即可得()f x 在()1,+∞上大于零，在()0,1上小于零，即可得出结论.【详解】因为()f x 为奇函数，定义域为R ，所以()()f x f x -=-，两边同时求导可得()()f x f x ''--=-，即()()f x f x ''-=且()00f =，又因为当0x >时，()()2f x f x '->，所以()()2f x f x '>.构造函数()()2x f x h x =e ，则()()()22xf x f x h x '-'=e，所以当0x >时，()()0,h x h x '>在()0,∞+上单调递增，又因为()10f =，所以()()10,h h x =在()1,+∞上大于零，在()0,1上小于零，又因为2e 0x >，所以()f x 在()1,+∞上大于零，在()0,1上小于零，因为()f x 为奇函数，所以()f x 在(),1∞--上小于零，在()1,0-上大于零，综上所述，()0f x >的解集为()()1,01,-⋃+∞.故答案为：()()1,01,-⋃+∞14. 已知点C 为扇形AOB 的弧AB 上任意一点，且60AOB ∠=，若(),R OC OA OB λμλμ=+∈，则λμ+的取值范围是__________.【答案】⎡⎢⎣【解析】【分析】建系设点的坐标，再结合向量关系表示λμ+，最后应用三角恒等变换及三角函数值域求范围即可.【详解】方法一：设圆O 的半径为1，由已知可设OB 为x 轴的正半轴，O 为坐标原点，过O 点作x 轴垂线为y 轴建立直角坐标系，其中()()1,1,0,cos ,sin 2A B C θθ⎛ ⎝，其中π,0,3BOC θθ⎡⎤∠=∈⎢⎥⎣⎦，由(),R OC OA OB λμλμ=+∈，即()()1cos ,sin 1,02θθλμ⎛=+⎝，整理得1cos sin 2λμθθ+==，解得cos λμθ==，则ππcos cos ,0,33λμθθθθθ⎛⎫⎡⎤+==+=+∈ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，ππ2ππ,,sin 3333θθ⎤⎡⎤⎛⎫+∈+∈⎥⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭⎦所以λμ⎡+∈⎢⎣.方法二：设k λμ+=，如图，当C 位于点A 或点B 时，,,A B C 三点共线，所以1k λμ=+=；当点C 运动到AB的中点时，k λμ=+==，所以λμ⎡+∈⎢⎣故答案为：⎡⎢⎣四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.15. ABC V 的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，已知22cos a b c B +=．（1）求角C ；（2）若角C 的平分线CD 交AB于点,D AD DB ==CD 的长．【答案】（1）2π3C = （2）3CD =【解析】【分析】（1）利用正弦定理及两角和的正弦定理整理得到()2cos 1sin 0C B +=，再利用三角形的内角及正弦函数的性质即可求解；（2）利用正弦定理得出3b a =，再由余弦定理求出4a =，12b =，再根据三角形的面积建立等式求解．【小问1详解】由22cos a b c B +=，根据正弦定理可得2sin sin 2sin cos A B C B +=，则()2sin sin 2sin cos B C B C B ++=，所以2sin cos 2cos sin sin 2sin cos B C B C B C B ++=，整理得()2cos 1sin 0C B +=，因为,B C 均为三角形内角，所以(),0,π,sin 0B C B ∈≠，因此1cos 2C =-，所以2π3C =．【小问2详解】因为CD 是角C的平分线，AD DB ==所以在ACD 和BCD △中，由正弦定理可得，,ππsin sin sin sin 33AD CD BD CDA B ==，因此sin 3sin B ADA BD==，即sin 3sin B A =，所以3b a =，又由余弦定理可得2222cos c a b ab C =+-，即222293a a a =++，解得4a =，所以12b =．又ABC ACD BCD S S S =+△△△，即111sin sin sin 222ab ACB b CD ACD a CD BCD ∠∠∠=⋅⋅+⋅⋅，即4816CD =，所以3CD =．16. 已知1ex =为函数()ln af x x x =的极值点．（1）求a 的值；（2）设函数()ex kxg x =，若对()120,,x x ∀∈+∞∃∈R ，使得()()120f x g x -≥，求k 的取值范围．【答案】（1）1a = （2）(]()10,-∞-+∞ ,【解析】【分析】（1）直接根据极值点求出a 的值；（2）先由（1）求出()f x 的最小值，由题意可得是求()g x 的最小值，小于等于()f x 的最小值，对()g x 求导，判断由最小值时的k 的范围，再求出最小值与()f x 最小值的关系式，进而求出k 的范围．【小问1详解】()()111ln ln 1a a f x ax x x x a x xα--=='+⋅+，由1111ln 10e e e a f a -⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+= ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭'⎭⎝，得1a =，当1a =时，()ln 1f x x ='+，函数()f x 在10,e ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减，在1,e∞⎛⎫+ ⎪⎝⎭上单调递增，所以1ex =为函数()ln af x x x =的极小值点，所以1a =．【小问2详解】由（1）知min 11()e e f x f ⎛⎫==- ⎪⎝⎭．函数()g x 的导函数()()1exg x k x -=-'①若0k >，对()1210,,x x k ∞∀∈+∃=-，使得()()12111e 1e k g x g f x k ⎛⎫=-=-<-<-≤ ⎪⎝⎭，即()()120f x g x -≥，符合题意．②若()0,0k g x ==，取11ex =，对2x ∀∈R ，有()()120f x g x -<，不符合题意．③若0k <，当1x <时，()()0,g x g x '<在(),1∞-上单调递减；当1x >时，()()0,g x g x '>在(1,+∞)上单调递增，所以()min ()1ek g x g ==，若对()120,,x x ∞∀∈+∃∈R ，使得()()120f x g x -≥，只需min min ()()g x f x ≤，即1e ek ≤-，解得1k ≤-．综上所述，k 的取值范围为(](),10,∞∞--⋃+．17. 已知四棱锥P ABCD -中，平面PAB ⊥底面,ABCD AD ∥,,,2,BC AB BC PA PB AB AB BC AD E ⊥====为AB 的中点，F 为棱PC 上异于,P C 的点．（1）证明：BD EF ⊥；（2）试确定点F 的位置，使EF 与平面PCD【答案】（1）证明见解析（2）F 位于棱PC 靠近P 的三等分点【解析】【分析】（1）连接,,PE EC EC 交BD 于点G ，利用面面垂直的性质定理和三角形全等，即可得证；（2）取DC 的中点H ，以E 为坐标原点，分别以,,EB EH EP 所在直线为,,x y z 轴建立，利用线面角公式代入即可求解．小问1详解】如图，连接,,PE EC EC 交BD 于点G ．因为E 为AB 的中点，PA PB =，所以PE AB ⊥．因为平面PAB ⊥平面ABCD ，平面PAB ⋂平面,ABCD AB PE =⊂平面PAB ，所以PE ⊥平面ABCD ，因为BD ⊂平面ABCD ，所以BD ⊥．因为ABD BCE ≅ ，所以CEB BDA ∠∠=，所以90CEB ABD ∠∠+= ，所以BD EC ⊥，因为,,PE EC E PE EC ⋂=⊂平面PEC ，所以BD ⊥平面PEC ．因为EF ⊂平面PEC ，所以BD EF ⊥．【小问2详解】如图，取DC 的中点H ，以E 为坐标原点，分别以,,EB EH EP 所在直线为,,x y z 轴建立空间直角坐标系，【设2AB =，则2,1,BC AD PA PB ====则()()()()0,0,1,1,2,0,1,1,0,0,0,0P C D E -，设(),,,(01)F x y z PF PC λλ=<<，所以()(),,11,2,1x y z λ-=-，所以,2,1x y z λλλ===-，即(),2,1F λλλ-．则()()()2,1,0,1,2,1,,2,1DC PC EF λλλ==-=-，设平面PCD 的法向量为(),,m a b c =，则00DC m PC m ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，，即2020a b a b c +=⎧⎨+-=⎩，，取()1,2,3m =--，设EF 与平面PCD 所成的角为θ，由cos θ=sin θ=．所以sin cos ,m EF m EF m EF θ⋅====整理得2620λλ-=，因为01λ<<，所以13λ=，即13PF PC = ，故当F 位于棱PC 靠近P 的三等分点时，EF 与平面PCD18. 在平面直角坐标系xOy 中，抛物线21:2(0)C y px p =>的焦点到准线的距离等于椭圆222:161C x y +=的短轴长，点P 在抛物线1C 上，圆222:(2)E x y r -+=（其中01r <<）.（1）若1,2r Q =为圆E 上的动点，求线段PQ长度的最小值；（2）设()1,D t 是抛物线1C 上位于第一象限的一点，过D 作圆E 的两条切线，分别交抛物线1C 于点,M N .证明：直线MN 经过定点.【答案】（1（2）证明见解析【解析】【分析】（1）根据椭圆的短轴可得抛物线方程2y x =，进而根据两点斜率公式，结合三角形的三边关系，即可由二次函数的性质求解，（2）根据两点坐标可得直线,MN DM 的直线方程，由直线与圆相切可得,a b 是方程()()()2222124240r x r x r -+-+-=的两个解，即可利用韦达定理代入化简求解定点.【小问1详解】由题意得椭圆的方程：221116y x +=，所以短半轴14b =所以112242p b ==⨯=，所以抛物线1C 的方程是2y x =.设点()2,P t t ，则111222PQ PE ≥-=-=≥，所以当232ι=时，线段PQ.【小问2详解】()1,D t 是抛物线1C 上位于第一象限的点，21t ∴=，且()0,1,1t D >∴设()()22,,,M a a N b b ，则：直线()222:b a MN y a x a b a --=--，即()21y a x a a b-=-+，即()0x a b y ab -++=.直线()21:111a DM y x a --=--，即()10x a y a -++=.由直线DMr =，即()()()2222124240r a r a r -+-+-=..同理，由直线DN 与圆相切得()()()2222124240r b r b r -+-+-=.所以,a b 是方程()()()2222124240r x r x r -+-+-=的两个解，22224224,11r r a b ab r r --∴+==--代入方程()0x a b y ab -++=得()()222440x y r x y +++---=，220,440,x y x y ++=⎧∴⎨++=⎩解得0,1.x y =⎧⎨=-⎩∴直线MN 恒过定点()0,1-.【点睛】圆锥曲线中定点问题的两种解法（1）引进参数法：先引进动点的坐标或动线中系数为参数表示变化量，再研究变化的量与参数何时没有关系，找到定点.（2）特殊到一般法：先根据动点或动线的特殊情况探索出定点，再证明该定点与变量无关.技巧：若直线方程为()00y y k x x -=-,则直线过定点()00,x y ;若直线方程为y kx b =+ (b 为定值),则直线过定点()0,.b 19. 龙泉游泳馆为给顾客更好的体验，推出了A 和B 两个套餐服务，顾客可选择A 和B 两个套餐之一，并在App 平台上推出了优惠券活动，下表是该游泳馆在App 平台10天销售优惠券情况．日期t 12345678910销售量千张 1.9 1.98 2.2 2.36 2.43259 2.682.76 2.70.4经计算可得：10101021111 2.2,118.73,38510i i i i i i i y y t y t =======∑∑∑.（1）因为优惠券购买火爆，App 平台在第10天时系统出现异常，导致当天顾客购买优惠券数量大幅减少，已知销售量y 和日期t 呈线性关系，现剔除第10天数据，求y 关于t 的经验回归方程结果中的数值用分数表示；..（2）若购买优惠券的顾客选择A 套餐的概率为14，选择B 套餐的概率为34，并且A 套餐可以用一张优惠券，B 套餐可以用两张优惠券，记App 平台累计销售优惠券为n 张的概率为n P ，求n P ；（3）记（2）中所得概率n P 的值构成数列{}()Nn P n *∈.①求n P 的最值；②数列收敛的定义：已知数列{}n a ，若对于任意给定的正数ε，总存在正整数0N ，使得当0n N >时，n a a ε-<，（a 是一个确定的实数），则称数列{}n a 收敛于a .根据数列收敛的定义证明数列{}n P 收敛．参考公式： ()()()1122211ˆˆ,n ni i i i i i n n ii i i x x y y x y nx y ay bx x x x nx ====---==---∑∑∑∑.【答案】（1）673220710001200y t =+ （2）433774n n P ⎛⎫=+⋅- ⎪⎝⎭（3）①最大值为1316，最小值为14；②证明见解析【解析】【分析】（1）计算出新数据的相关数值，代入公式求出 ,ab 的值，进而得到y 关于t 的回归方程；（2）由题意可知1213,(3)44n n n P P P n --=+≥，其中12113,416P P ==，构造等比数列，再利用等比数列的通项公式求解；（3）①分n 为偶数和n 为奇数两种情况讨论，结合指数函数的单调性求解；②利用数列收敛的定义，准确推理、运算，即可得证．【小问1详解】解：剔除第10天的数据，可得 2.2100.4 2.49y ⨯-==新，12345678959t ++++++++==新，则9922111119.73100.4114,73,38510285i i i i t y t ==⎛⎫⎛⎫=-⨯==-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭∑∑新新，所以912922119114,7395 2.4673ˆ2859560009i i i i t y t y b t t ==⎛⎫- ⎪-⨯⨯⎝⎭===-⨯⎛⎫- ⎪⎝⎭∑∑新新新新新，可得6732207ˆ 2.4560001200a =-⨯=，所以6732207ˆ60001200y t =+.【小问2详解】解：由题意知1213,(3)44n n n P P P n --=+≥，其中12111313,444416P P ==⨯+=，所以11233,(3)44n n n n P P P P n ---+=+≥，又由2131331141644P P +=+⨯=，所以134n n P P -⎧⎫+⎨⎬⎩⎭是首项为1的常数列，所以131,(2)4n n P P n -+=≥所以1434(2)747n n P P n --=--≥，又因为1414974728P -=-=-，所以数列47n P ⎧⎫-⎨⎬⎩⎭是首项为928-，公比为34-的等比数列，故143)74n n P --=-，所以1934433(()2847774n n n P -=--+=+-.【小问3详解】解：①当n 为偶数时，19344334()(28477747n n n P -=--+=+⋅>单调递减，最大值为21316P =；当n 为奇数时，19344334()(28477747n n n P -=--+=-⋅<单调递增，最小值为114P =，综上可得，数列{}n P 的最大值为1316，最小值为14.②证明：对任意0ε>总存在正整数0347[log ()]13N ε=+，其中 []x 表示取整函数，当 347[log ()]13n ε>+时，347log ()34333333()()()7747474n n n P εε-=⋅-=⋅<⋅=，所以数列{}n P 收敛.【点睛】知识方法点拨：与新定义有关的问题的求解策略：1、通过给出一个新的定义，或约定一种新的运算，或给出几个新模型来创设新问题的情景，要求在阅读理解的基础上，依据题目提供的信息，联系所学的知识和方法，实心信息的迁移，达到灵活解题的目的；2、遇到新定义问题，应耐心读题，分析新定义的特点，弄清新定义的性质，按新定义的要求，“照章办事”，逐条分析、运算、验证，使得问题得以解决.方法点拨：与数列有关的问题的求解策略：3、若新定义与数列有关，可得利用数列的递推关系式，结合数列的相关知识进行求解，多通过构造的分法转化为等差、等比数列问题求解，求解过程灵活运用数列的性质，准确应用相关的数列知识.。

湖南师范大学附属中学2022-2023学年高一上学期第一次月考数学试题

湖南师大附中2022-2023学年度高一第一学期第一次大练习数学时量：120分钟满分：150分一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求． 1．若a ，b ，c ，d 为集合A 的四个元素，则以a ，b ，c ，d 为边长构成的四边形可能是（） A ．矩形 B ．平行四边形 C ．菱形 D ．梯形 2．集合{}24A x x =≤<，{}3782B x x x =-≥-，则A B =（）A ．{}34x x ≤< B ．{}2x x ≥C ．{}14x x ≤<D ．{}3x x ≥ 3．下列各式正确的个数是（）①{}{}00,1,2∈； ①{}{}0,1,22,1,0⊆； ①{}0,1,2∅⊆；①{}0∅=；①{}(){}0,10,1=；①{}00=．A ．1B ．2C ．3D ．44．已知a ，b ，c ∈R ，那么下列命题正确的是（） A ．若a b >，则22ac bc > B ．若a bc c>，则a b > C ．若33a b >且0ab <，则11a b >D ．若22a b >且0ab >，则11a b > 5．已知命题“[]01,1x ∃∈-，20030x x a -++>”为真命题，则实数a 的取值范围是（）A ．94a >-B ．4a >C ．24a -<<D ．2a >-6．不等式02xx <-成立的一个必要不充分条件是（） A ．02x << B ．01x << C ．13x << D ．1x ≥-7．若不等式11014m x x +-≥-对104x x x ⎧⎫∈<<⎨⎬⎩⎭恒成立，则实数m 的最大值为（） A ．7B ．8C ．9D ．108．在R 上定义运算：()1a b a b ⊕=+．已知12x ≤≤时，存在x 使不等式()()4m x m x -⊕+<成立，则实数m 的取值范围为（）A ．{}22m m -<<B ．{}12m m -<<C ．{}32m m -<<D ．{}12m m <<二、选择题：本大题共4个小题，每小题5分，满分20分．在每小题给出的选项中，有多项是符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分． 9．已知集合A ={1，2，2a }，B ={1，2a +}，若B A ⊆，则a 的可能取值为（） A ．1- B ．0 C ．1 D ．2 10．若0ab <<，110c d<<，则下面四个不等式成立的有（） A ．11a b> B ．c d > C ．a b c d > D ．a ba cb d>++11．下列说法正确的有（）A ．命题“若3x >，则29x >”的否定是“若3x >，则29x ≤” B ．命题“x M ∃∈，()p x ⌝”的否定是“x M ∀∈，()p x ”C ．命题“0x ∃∈R ，()200310a x ax -+->”是假命题，则实数a 的取值范围为{}62a a -≤≤D ．命题“x ∀∈R ，221m m x x -<++”是真命题，则实数m 的取值范围为1322m m ⎧⎫-<<⎨⎬⎩⎭12．已知1x y +=，0y >，0x ≠，则121x x y ++的可能取值有（） A ．54B ．34C ．12D ．14三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13．命题“全等三角形的面积相等”的否定是____________________________．14．已知0x >，则123x x --的最大值是________． 15．已知函数()21f x mx mx =--．若对于{}13x x x ∈≤≤，()5f x m <-恒成立，则实数m 的取值范围为________．16．某学习小组由学生和教师组成，人员构成同时满足以下三个条件： ①男学生人数多于女学生人数； ①女学生人数多于教师人数； ①教师人数的两倍多于男学生人数．（1）若教师人数为4，则女学生人数的最大值为________；（2）该小组人数的最小值为________．四、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．（本大题满分10分）设a ，b ∈R ，集合P ={1，a }，Q ={1-，b -}，若P =Q ．（1）求a b -的值；（2）集合{}210A x x cx =++<，(){}B x a x a b =-<<-+，若B A ⊆，求实数c 的取值范围． 18．（本大题满分12分）（1）设0x y <<，试比较()()22x yx y +-与()()22xy x y -+的大小；（2）已知a ，b ，x ，y 都是正数，且11a b>，x y >，求证：x y x a y b >++．19．（本大题满分12分）对于由有限个自然数组成的集合A ，定义集合(){},S A a b a A b A =+∈∈，记集合()S A 的元素个数为()()d S A ．定义变换T ，变换T 将集合A 变换为集合()()T A A S A =．（1）若A ={0，1，2}，求()S A ，()T A ；（2）若集合A ={1x ，2x ，3x ，…，n x }，123x x x <<<…n x <，n ∈N ，证明：“()()21d S A n =-”的充要条件是“2132x x x x -=-=…1n n x x -=-”． 20．（本大题满分12分）已知258x y +=．（1）当0x >，0y >时，求xy 的最大值；（2）当1x >-，2y >-时，若不等式2101412m m x y +≥+++恒成立，求实数m 的取值范围．21．（本大题满分12分）党的十八大以来，精准扶贫取得了历史性成就，其中产业扶贫是扶贫工作的一项重要举措，长沙某驻村扶贫小组在湘西某贫困村实施产业扶贫，计划帮助该村进行猕猴桃的种植与销售，为了迎合大众需求，提高销售量，将以装盒售卖的方式销售．经市场调研，若要提高销售量，则猕猴桃的售价需要相应的降低，已知猕猴桃的种植与包装成本为24元/盒，且每万盒猕猴桃的销售收入()I x （单位：万元）与售价量x （单位：万盒）之间满足关系式()2562,010*******17.6,10x x I x x x x -<≤⎧⎪=⎨+->⎪⎩．（1）写出利润()F x （单位：万元）关于销售量x （单位：万盒）的关系式；（利润=销售收入－成本）（2）当销售量为多少万盒时，该村能够获得最大利润？此时最大利润是多少？ 22．（本大题满分12分）已知二次函数()2ax bx c f x =++．（1）若()0f x >的解集为{}34x x -<<，解关于x 的不等式()2230bx ax c b +-+<；（2）若对任意x ∈R ，()0f x ≥恒成立，求ba c+的最大值；（3）已知4b =，a c >，若()0f x ≥对于一切实数x 恒成立，并且存在0x ∈R ，使得2000ax bx c ++=成立，求2242a c a c+-的最小值．湖南师大附中2022-2023学年度高一第一学期第一次大练习数学时量：120分钟满分：150分一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求． 1．若a ，b ，c ，d 为集合A 的四个元素，则以a ，b ，c ，d 为边长构成的四边形可能是（） A ．矩形 B ．平行四边形 C ．菱形 D ．梯形【分析】利用集合中元素的互异性，直接判断选项多边形的边长构成的集合的元素个数即可得到结果．【解析】解：因为集合中的元素是互异的，也是无序的，所以平行四边形的边长构成的集合只有2个元素；菱形的边长构成的集合只有1个元素；矩形的边长构成的集合只有2个元素；满足题意的可能是梯形．故选：D ．2．集合{}24A x x =≤<，{}3782B x x x =-≥-，则A B =（）A ．{}34x x ≤<B ．{}2x x ≥C ．{}14x x ≤<D ．{}3x x ≥【分析】先分别求出集合A ，B ，由此能求出A B ．【解析】解：集合{|24}A x x =<， {|3782}{|3}B x x x x x =--=， {|34}AB x x ∴=<．故选：A ．3．下列各式正确的个数是（） ①{}{}00,1,2∈； ①{}{}0,1,22,1,0⊆； ①{}0,1,2∅⊆；①{}0∅=；①{}(){}0,10,1=；①{}00=．A ．1B ．2C ．3D ．4【分析】利用集合之间的关系是包含与不包含、元素与集合之间的关系是属于与不属于的关系及其∅的意义即可判断出正误．【解析】解：①集合之间的关系是包含与不包含，因此{0}{0∈，1，2}，不正确，应该为{0}{0，1，2}；②{0，1，2}{2⊆，1，0}，正确； ③{0∅⊆，1，2}，正确； ④∅不含有元素，因此{0}∅；⑤{0，1}与{(0,1)}的元素形式不一样，因此不正确；⑥元素与集合之间的关系是属于与不属于的关系，应该为0{0}∈，因此不正确．综上只有：②，③正确．故选：B ．4．已知a ，b ，c ∈R ，那么下列命题正确的是（） A ．若a b >，则22ac bc > B ．若a bc c>，则a b > C ．若33a b >且0ab <，则11a b> D ．若22a b >且0ab >，则11a b> 【分析】根据不等式的性质，对A 、B 、C 、D 四个选项通过举反例进行一一验证．【解析】解：A ．若a b >，则22ac bc >（错)，若0c =，则A 不成立；B ．若a bc c>，则a b >（错)，若0c <，则B 不成立； C ．若33a b >且0ab <，则11a b >（对)，若33a b >且0ab <，则00a b >⎧⎨>⎩D ．若22a b >且0ab >，则11a b >（错)，若00a b >⎧⎨>⎩，则11a b <，∴D 不成立．故选：C ．5．已知命题“[]01,1x ∃∈-，20030x x a -++>”为真命题，则实数a 的取值范围是（）A ．94a >-B ．4a >C ．24a -<<D ．2a >-【分析】命题“0[1x ∃∈-，1]，2030x x a -++>”为真命题等价于23a x x >-在[1x ∈-，1]上有解，构造函数2()3f x x x =-求最大值代入极即可．【解析】解：命题“0[1x ∃∈-，1]，2030x x a -++>”为真命题等价于23a x x >-在[1x ∈-，1]上有解，令2()3f x x x =-，[1x ∈-，1]，则等价于()min a f x f >=（1）2=-，2a ∴>-，故选：D ．6．不等式02xx <-成立的一个必要不充分条件是（） A ．02x << B ．01x << C ．13x << D ．1x ≥-【分析】求出不等式02xx <-的解集，根据题意判断符合条件的选项即可．【解析】解：解不等式02xx <-等价于解(2)0x x -<得，02x <<，∵{}{}021x x x x <<≥-所以选项A 是充要条件，选项B 是充分不必要条件，选项C 是必要不充分条件，选项D 是既不充分也不必要条件．故选：D ． 7．若不等式11014m x x +-≥-对104x x x ⎧⎫∈<<⎨⎬⎩⎭恒成立，则实数m 的最大值为（） A ．7B ．8C ．9D ．10 【分析】根据题意，由基本不等式的性质分析可得1114x x+-的最小值为9，据此分析可得答案．【解析】解：根据题意，1(0,)4x ∈，则140x ->，则1141414(14)44(1[4(14)]()552914414414414x x x x x x x x x x x x -+=+=+-+=+++⨯----，当且仅当142x x -=时等号成立，则1114x x+-的最小值为9，若不等式11014m x x+--对1(0,)4x ∈恒成立，即式1114m x x +-恒成立，必有9m 恒成立，故实数m 的最大值为9；故选：C ．8．在R 上定义运算：()1a b a b ⊕=+．已知12x ≤≤时，存在x 使不等式()()4m x m x -⊕+<成立，则实数m 的取值范围为（）A ．{}22m m -<<B ．{}12m m -<<C ．{}32m m -<<D ．{}12m m << 【分析】由a ⊕b 的定义，化简可得当12x 时，存在x 使不等式224m m x x +<-+成立，由二次函数的最值求法可得24x x -+在[1，2]的最大值，再由二次不等式的解法，可得所求范围．【解析】解：()m x -⊕()4m x +<，即为22(1)()4m x m x m x m x -++=-++<，当12x 时，存在x 使不等式224m m x x +<-+成立，等价为22(4)max m m x x +<-+，由221154()24x x x -+=-+，可得2x =时，24x x -+取得最大值，且为6，所以26m m +<，解得32m -<<，故选：C ．二、选择题：本大题共4个小题，每小题5分，满分20分．在每小题给出的选项中，有多项是符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分． 9．已知集合A ={1，2，2a }，B ={1，2a +}，若B A ⊆，则a 的可能取值为（） A ．1- B ．0 C ．1 D ．2 【分析】利用集合交集的定义，得到B A ⊆，再利用子集的定义求解即可．【解析】解：因为B A ⊆，又集合{1A =，2，2}a ，{1B =，2}a +，所以22a +=或22a a +=，解得0a =或2a =或1a =-，当1a =-时，不满足集合的互异性，所以0a =或2a =．故选：BD ． 10．若0a b <<，110c d<<，则下面四个不等式成立的有（） A ．11a b> B ．c d > C ．a b c d > D ．a ba cb d>++ 【分析】利用不等式的性质求解即可．【解析】由0a b <<可得0a b >>，∴11a b>，故A 正确；由110c d <<可得110c d >>，且0d c <<，∴c d <，故B 不正确；由于a a b b c c d d =>=，∴a bc d >，故C 正确；由于()()a ba b d b a c ad bc a c b d>⇔+>+⇔>++，且ad ad bc bc =>=，故D 正确；故选：ACD ．11．下列说法正确的有（）A ．命题“若3x >，则29x >”的否定是“若3x >，则29x ≤”B ．命题“x M ∃∈，()p x ⌝”的否定是“x M ∀∈，()p x ”C ．命题“0x ∃∈R ，()200310a x ax -+->”是假命题，则实数a 的取值范围为{}62a a -≤≤D ．命题“x ∀∈R ，221m m x x -<++”是真命题，则实数m 的取值范围为1322m m ⎧⎫-<<⎨⎬⎩⎭【分析】直接利用命题的否定，命题真假的判定，集合间的关系判断A 、B 、C 、D 的结论．【解析】命题“若3x >，则29x >”为全称量词命题，它的否定为存在量词命题“3x ∃>，则29x ≤，故A 不正确；命题“x M ∃∈，()p x ⌝”的否定是“x M ∀∈，()p x ”，故B 正确；“0x ∃∈R ，()200310a x ax -+->”是假命题，则它的否定“x ∀∈R ，()2310a x ax -+-≤”是真命题，则有30a -<，()200310a x ax -+->且△()2430a a =+-≤，解得62a -≤≤，故C 正确；“x ∀∈R ，221m m x x -<++”是真命题，则()22min1m m x x -<++，又221331244x x x ⎛⎫++=++≥ ⎪⎝⎭．则234m m -<，解得1322m -<<，故D 正确．故选BCD ．12．已知1x y +=，0y >，0x ≠，则121x x y ++的可能取值有（） A ．54B ．34C ．12D ．14【分析】先得到1x <，再分类讨论，并利用基本基本不等式求出1||32||14x x y ++即可．【解析】解：1x y +=，0y >，0x ≠，10y x ∴=->，1x ∴<且0x ≠， ①当01x <<时，则 1||121211522||12142442444x x x x x x x x y x y x x x x +--+=+=+=+++=++--，当且仅当242x xx x-=-，即23x =时取等号， ②当0x <时，则 1||12121322||1214244244x x x x x x x x y x y x x x x --+---+=+=+=-++-+=+-+----，当且仅当242x xx x --=--，即2x =-时取等号，综上，1||32||14x x y ++，故选AB ．三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13．命题“全等三角形的面积相等”的否定是____________________________．【分析】因为原命题为全称命题，结合全称命题的否定为特称命题求解．【解析】解：原命题：全等三角形的面积一定都相等，为全称命题，∴它的否定为：存在两个全等三角形的面积不相等，故答案为：存在两个全等三角形，它们的面积不相等14．已知0x >，则123x x--的最大值是________．【分析】由函数123x x --（0x >）变形为123x x ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭，再由基本不等式求得13x x +≥=1232x x--≤-【解析】解：13x x +≥=当且仅当13x x=，即x =∴1232x x --≤-故123x x--的最大值是2-故答案为：2-15．已知函数()21f x mx mx =--．若对于{}13x x x ∈≤≤，()5f x m <-恒成立，则实数m 的取值范围为________．【分析】由已知可得当[1x ∈，3]时2(6)0max mx mx m -+-<，再结合二次函数性质求m 的取值范围．【解析】由()5f x m <-可得260mx mx m -+-<，由已知260mx mx m -+-<对于[1x ∈，3]恒成立，所以当[1x ∈，3]时，2(6))0max mx mx m -+-<，当0m >时，函数26y mx mx m =-+-的图象为开口向上，对称轴为12x =的抛物线，所以当3x =时，26([1,3])y mx mx m x =-+-∈取最大值，最大值为76m -，所以760m -<，由此可得607m <<，当0m <时，函数26y mx mx m =-+-的图象为开口向下，对称轴为12x =的抛物线，所以当1x =时，26([1,3])y mx mx m x =-+-∈取最大值，最大值为6m -，所以60m -<，由此可得0m <，当0m =时，260mx mx m -+-<对于[1x ∈，3]恒成立，综上，67m <，所以实数m 的取值范围为67m m ⎧⎫<⎨⎬⎩⎭．故答案为：67m m ⎧⎫<⎨⎬⎩⎭16．某学习小组由学生和教师组成，人员构成同时满足以下三个条件： ①男学生人数多于女学生人数； ①女学生人数多于教师人数； ①教师人数的两倍多于男学生人数．（1）若教师人数为4，则女学生人数的最大值为________；（2）该小组人数的最小值为________．【分析】①设男学生女学生分别为x ，y 人，若教师人数为4，则424x y y x >⎧⎪>⎨⎪⨯>⎩，进而可得答案；②设男学生女学生分别为x ，y 人，教师人数为z ，则2x y y z z x >⎧⎪>⎨⎪>⎩，进而可得答案；【解析】解：①设男学生女学生分别为x ，y 人，若教师人数为4，则424x y y x >⎧⎪>⎨⎪⨯>⎩，即48y x <<<，即x 的最大值为7，y 的最大值为6，即女学生人数的最大值为6．②设男学生女学生分别为x ，y 人，教师人数为z ，则2x y y z z x >⎧⎪>⎨⎪>⎩，即2z y x z <<< 即z 最小为3才能满足条件，此时x 最小为5，y 最小为4，即该小组人数的最小值为12，故答案为：6，12四、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．（本大题满分10分）设a ，b ∈R ，集合P ={1，a }，Q ={1-，b -}，若P =Q ．（1）求a b -的值；（2）集合{}210A x x cx =++<，(){}B x a x a b =-<<-+，若B A ⊆，求实数c 的取值范围．【分析】（1）利用集合P Q =元素相等，可得a 、b 的值，从而求a b -的值；（2）利用集合之间的关系求解．【解析】解：（1）设a ，b R ∈，{1P =，}a ，{1Q =-，}b -，若P Q =，则1a =-，1b =-，故0a b -=；（2）由（1）可知：{}12B x x A =<<⊆，则210x cx ++<在12x <<上恒成立，记()21f x x cx =++，则只需要()()1020f f ≤⎧⎪⎨≤⎪⎩，52c ⇒≤-．18．（本大题满分12分）（1）设0x y <<，试比较()()22x yx y +-与()()22xy x y -+的大小；（2）已知a ，b ，x ，y 都是正数，且11a b>，x y >，求证：x y x a y b >++．【分析】（1）方法一：利用作差法，即可比较两式的大小；方法二：根据题意，利用作商法，也可以比较两式的大小；（2）利用作差法，即可证明x yx a y b>++．【解析】（1）解：方法一：2222()()()()x y x y x y x y +---+222()[()()]x y x y x y =-+-+ 2()xy x y =--；因为0x y <<，所以0xy >，0x y -<，所以2()0xy x y -->，所以2222()()()()x y x y x y x y +->-+；方法二：0x y <<，所以0x y -<，22x y >，0x y +<，所以22()()0x y x y +-<，22()()0x y x y -+<；所以22222222()()01()()2x y x y x y x y x y x y xy+-+<=<-+++，所以2222()()()()x y x y x y x y +->-+；（2）证明：()()x y bx ayx a y b x a y b --=++++，因为11a b>且a ，(0,)b ∈+∞，所以0b a >>；又因为0x y >>，所以0bx ay >>，所以x yx a y b >++． 19．（本大题满分12分）对于由有限个自然数组成的集合A ，定义集合(){},S A a b a A b A =+∈∈，记集合()S A 的元素个数为()()d S A ．定义变换T ，变换T 将集合A 变换为集合()()T A A S A =．（1）若A ={0，1，2}，求()S A ，()T A ；（2）若集合A ={1x ，2x ，3x ，…，n x }，123x x x <<<…n x <，n ∈N ，证明：“()()21d S A n =-”的充要条件是“2132x x x x -=-=…1n n x x -=-”．【分析】（1）根据定义直接进行计算即可；（2）根据充分条件和必要条件，结合等差数列的性质进行证明．【解析】解：（1）若集合{0A =，1，2}，则S （A ）T =（A ）{0=，1，2，3，4}．（2）令1{A x =，2x ，}n x ⋯．不妨设12n x x x <<⋯<．充分性：设{}k x 是公差为(0)d d ≠的等差数列．则111(1)(1)2(2)(1i j x x x i d x j d x i j d i +=+-++-=++-，)j n且22i j n +．所以i j x x +共有21n -个不同的值．即(d S （A ）)21n =-．必要性：若(d S （A ）)21n =-．因为1122i i i i x x x x ++<+<，(1i =，2，⋯，1)n -．所以S （A ）中有21n -个不同的元素：12x ，22x ，⋯，2n x ，12x x +，23x x +，⋯，1n n x x -+．任意(1,)i j x x i j n +的值都与上述某一项相等．又1212i i i i i i x x x x x x +++++<+<+，且11122i i i i i x x x x x +++++<<+，1i =，2，⋯，2n -．所以212i i i x x x +++=，所以{}k x 是等差数列，且公差不为0 20．（本大题满分12分）已知258x y +=．（1）当0x >，0y >时，求xy 的最大值；（2）当1x >-，2y >-时，若不等式2101412m m x y +≥+++恒成立，求实数m 的取值范围．【分析】（1）对等式左边直接使用基本不等式即可求出xy 的最大值；（2）先由基本不等式求出10112x y +++的最小值，然后由不等式恒成立转化为2101()412min m m x y ++++，解二次不等式可求．【解析】解：（1）∵0x >，0y >，258x y +=．∴()()221112518825251021025x y xy x y +⎛⎫⎛⎫=⋅+⋅≤⋅=⨯= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭ 当且仅当254x y ==时取等号，即2x =，45y =时取等号，所以xy 的最大值为85；（2）因为258x y +=，1x >-，2y >-，即2(1)5(2)20x y +++=，所以 1011101150(2)2(1)19()[2(1)5(2)](25](2520)1220122012204y x x y x y x y x y +++=++++=+++=++++++，当且仅当50(2)2(1)12y x x y ++=++且258x y +=即173x =，23y =-时取等号，此时10112x y +++取得最小值94，因为不等式2101412m m x y ++++恒成立，所以2944m m +，解得，9122m-，∴实数m 的取值范围：为91{|}22m m -．21．（本大题满分12分）党的十八大以来，精准扶贫取得了历史性成就，其中产业扶贫是扶贫工作的一项重要举措，长沙某驻村扶贫小组在湘西某贫困村实施产业扶贫，计划帮助该村进行猕猴桃的种植与销售，为了迎合大众需求，提高销售量，将以装盒售卖的方式销售．经市场调研，若要提高销售量，则猕猴桃的售价需要相应的降低，已知猕猴桃的种植与包装成本为24元/盒，且每万盒猕猴桃的销售收入()I x （单位：万元）与售价量x （单位：万盒）之间满足关系式()2562,010*******17.6,10x x I x x x x -<≤⎧⎪=⎨+->⎪⎩．（1）写出利润()F x （单位：万元）关于销售量x （单位：万盒）的关系式；（利润=销售收入－成本）（2）当销售量为多少万盒时，该村能够获得最大利润？此时最大利润是多少？【分析】（1）根据已知条件，结合利润=销售收入－成本，分010x <≤，10x >两种情况讨论，即可求解．（2）根据已知条件，结合二次函数的性质，以及基本不等式的公式，分别求解分段函数的最大值，再通过比较大小，即可求解．【解析】解：（1）当010x <≤时，()()222456224232F x xI x x x x x x x =-=--=-+，当10x >时，()()2328144014402417.624 6.4328F x xI x x x x x x x x⎛⎫=-=+--=--+ ⎪⎝⎭，故()2232,01014406.4328,10x x x F x x x x ⎧-+<≤⎪=⎨--+>⎪⎩．（2）当010x <≤时，()()2223228128F x x x x =-+=--+，故当8Fx =时，()F x 取得最大值，且最大值为128，当10x >时，()144014406.4328 6.4328328136F x x x x x ⎛⎫=--+=-++≤-= ⎪⎝⎭，当且仅当14406.4x x =，即15x =（负值舍去）时，等号成立，此时()F x 取得最大值，且最大值为136，由于136128>，所以销售量为15万盒时，该村的获利最大，此时的最大利润为136万元． 22．（本大题满分12分）已知二次函数()2ax bx c f x =++．（2）若()0f x >的解集为{}34x x -<<，解关于x 的不等式()2230bx ax c b +-+<；（2）若对任意x ∈R ，()0f x ≥恒成立，求ba c+的最大值；（3）已知4b =，a c >，若()0f x ≥对于一切实数x 恒成立，并且存在0x ∈R ，使得2000ax bx c ++=成立，求2242a c a c+-的最小值．【分析】（1）依题意，得0a <，34b a -+=-，34cb a a-⨯=⇒=-，12(0)c a a =-<，故()222302150bx ax c b x x +-+<⇔--<，解之即可；（2）由△240b ac =-<，00a c >⇒，得到2ac b ac -，再利用基本不等式可求得ba c+的最大值；（3）依题意，可得01640a ac >⎧⎨=-⎩，即04a ac >⎧⎨⎩，由存在0x R ∈，使得200ax bx c ++=成立可得△16404ac ac =-=⇒=，利用基本不等式即可求得2242a c a c+-的最小值．【解析】解：（1）20ax bx c ++>的解集为{|34}x x -<<，0a ∴<，34b a -+=-，34cb a a-⨯=⇒=-，12(0)c a a =-<，()()222230215002150bx ax c b ax ax a a x x +-+<⇔-++<<⇔--<，∴解集为(3,5)-；（2）对任意x R ∈，()0f x 恒成立，∴△240b ac =-，即24b ac ，又0a >，0c ∴，故2ac b ac -，∴21b ac a ca c a c a c +=+++，当c a =，2b a =时取“=”， ∴b a c+的最大值为1，（3）由()0f x 对于一切实数x 恒成立，可得01640a ac >⎧⎨=-⎩即04a ac >⎧⎨⎩，由存在0x R ∈，使得200ax bx c ++=成立可得△1640ac =-， ∴△1640ac =-=， 4ac ∴=，∴2222(24(2)168222a a c a c a c a c a -+-+==---，当且仅当24a c -=时，等号成立，∴2242a c a c+-的最小值为8．。

2024-2025学年湖南师范大学附属中学高三上学期月考(一)物理试题及答案

湖南师大附中2025届高三月考试卷(一)物理本试题卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分，共8页。

时量75分钟,满分100分。

第Ⅰ卷一、单项选择题(本题共6小题，每小题4分，共24分。

每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的)1.物理学的发展离不开物理学家的研究发现，在物理学的发展中出现了多位里程碑式的科学家，下列关于物理学史描述符合事实的是A.爱因斯坦提出光子的概念，成功解释光电效应现象B.牛顿总结得到了万有引力定律，并通过扭秤实验测出了引力常量C.伽利略被称为“运动学之父”，他认为重的物体比轻的物体下落得快D.卢瑟福通过α粒子散射实验研究，提出了原子具有“枣糕模型”2.如图所示，a、b、c、d为光滑斜面上的四个点。

一小滑块自a点由静止开始下滑，通过 ab、bc、cd各段所用时间均为T。

现让该滑块自. b点由静止开始下滑，则该滑块A.通过 bc、cd段的时间均等于TB.通过c、d点的速度之比为3:5C.通过 bc、cd段的时间之比为1 1:3D.通过c点的速度大于通过段的平均速度3 如图所示，轻质弹簧一端系在质量为m=1kg的小物块上，另一端固定在墙上。

物块在斜面上静止时，弹簧与竖直方向的夹角为37°，已知斜面倾角θ=37°，斜面与小物块间的动摩擦因数μ=0.5，斜面固定不动。

设物块与斜面间的最大静摩擦力与滑动摩擦力大小相等，已知sin37°=0.6,cos37°=0.8,g=10m/s²,下列说法正确的是A.弹簧一定处于压缩状态B.小物块可能只受三个力C.弹簧弹力大小可能等于 3 ND.斜面对物块支持力可能为零4.如图所示，阳光垂直照射到斜面草坪上，在斜面顶端把一高尔夫球水平击出让其在与斜面垂直的面内运动，小球刚好落在斜面底端。

B点是运动过程中距离斜面的最远处，A点是在阳光照射下小球经过B 点的投影点，不计空气阻力，则A.小球在斜面上的投影做匀速运动B. OA 与AC长度之比为1:3C.若斜面内D点在B 点的正下方，则OD与DC长度不等D.小球在B点的速度与整个段平均速度大小相等5.如图所示，半球形容器固定在地面上，容器内黝光滑；开始时，质量分布均匀的光滑球A 和同种材质构成的质量分布均匀的光滑球B 放在容器内处于平衡状态，位置关系如图中所示，已知容器、A、B半径之比为6：2：1。

湖南省长沙市湖南师大附中高新实验中学2023-2024学年九年级下学期第一次月考英语试题(含解析)

湖南省长沙市湖南师大附中高新实验中学2023-2024学年九年级下学期第一次月考英语试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、阅读理解SpringWuyuan,JiangxiSummerChangbai Mountain,JilinSpring is the best time to visit Wuyuan in Jiangxi. The yellow flowers all over the hills make the villages look like a fairytale (童话) world. You’ll have free time to enjoy the famous tea.The best time to visit Changbai Mountain in Jilin is August. It’s usually sunny. We’ll take you to the Stone Forest, Changbai Mountain caves and Heaven’s Lake. You’ll have time to take lots of photos.AutumnThe Great Wall,BeijingWinterSanya,HainanYou can see all the colours of autumn near the Great Wall. It’s cool and dry, so it’s great for hiking. We’ll take you to the Mutianyu Wall. There won’t be too many tourists, but it’s very beautiful there.Sanya on Hainan Island is great for a holiday in winter. You can get away from the cold. The three famous beaches, Yalongwan, Sanyawan and Dadonghai, all have great sand. You’ll love swimming there.1．Where can you see Heaven’s Lake?A．In Jiangxi.B．In Jilin.C．In Beijing. 2．When is the best time to go to Wuyuan?A．In January.B．In March.C．In July. 3．Where does the text probably come from?A．A film magazine.B．A science report.C．A travel guide.Why did Chinese people have more than one name in ancient times?In ancient China, people’s names had three parts, their family name, given name and courtesy name. Take famous poet Li Bai for example. His family name, which came from his father’s name, was Li. His given name was Bai, and his courtesy name was Taibai.People used their given names when they were among family members. But in social life, they called each other by their courtesy names to show respect. This was mostly done among people of similar age. If you were talking about yourself, or if your elders were talking about you, the given name would be used instead of the courtesy name.Men would get their courtesy names when they turned 20. It was a symbol of adulthood(成年礼). Women would get their courtesy names after getting married.One’s courtesy name often had something to do with one’s given name. For example, the name of Mencius was Meng Ke. His courtesy name was Ziyu. Both Ke and Ziyu mean “carriage(马车)”. Zhuge Liang’s given name was Liang, which means “bright”. His courtesy name was Kongming, which means “very bright”.4．How many parts are there in people’s names in ancient China?A．3.B．4.C．5.5．What does the underlined phrase “courtesy name” in Paragraph 2 mean in Chinese?A．名B．姓氏C．字6．Why did people call each other by their courtesy names in social life?A．To show their love.B．To show their respect.C．To show their kindness. 7．What’s the main idea of the passage?A．The famous poet Li Bai.B．Three parts of ancient names.C．The ancient names and the modern names.①There is one thing in the world that’s smaller than your fingernail. But without it, almost all of our electronic products might not work. It’s the microchip! It is one of the most important inventions in human history. Here is some information for you to learn it.②What are microchips? Don’t be confused with potato chips. Microchips are verysmall electronic devices (设备) people use to keep and deal with information. A microchip is a set of connected electronic components (组件) that are imprinted (刻) on a very small chip. There are mainly two kinds of microchips: logic chips and memory chips.③Logic chips are the “brains” of electronic devices — they deal with information to finish a task. Memory chips store information.④When asked who invented the microchip, you may be surprised that two men invented almost the same thing at nearly the same time. But they didn’t even know what each other was working on. They were US engineers Jack Kilby and Robert Noyce. From 1958 to 1959, both of them were working on an answer to the same question: how to shrink the devices.⑤In designing (设计) an electronic device likes a computer, it is always necessary to increase the number of components. However, as there are more components, the machines will be big and heavy. How to include these components in a smart way was the problem they wanted to solve. In the end, Kilby used germanium (锗) while Noyce used silicon (硅) to make their microchips, which can include more components in a smaller size.⑥Where are microchips used? We can see them in many electronic products, from computers to cell phones, TVs, cameras, cars and airplanes. They are also used in GPS devices and ID cards. However, it’s not easy to make them. A chip may need to “travel” to many countries and areas before it becomes the final product.8．According to the passage, ________ deal with information to finish a task.A．fingernails B．components C．logic chips9．Which statement is True according to the passage?A．Two US engineers worked together to invent the microchip.B．The microchip was invented to make the machines big and heavy.C．Microchips are widely used but very difficult to make.10．Which of the following can best describe the underlined word “shrink” in Paragraph 4?A．to make something larger in sizeB．to make something smaller in sizeC．to increase the speed of something11．The structure of the passage is ________.A．B．C．阅读下面短文内容，从短文后的选项中选出能填入空白处的最佳选项。

2023届湖南师大附中高三语文上学期第一次月考试题卷及答案解析

2023届湖南师大附中高三语文上学期第一次月考试题卷（试卷满分150分。

时量150分钟。

）一、现代文阅读（35分）（一）现代文阅读Ⅰ（本题共5小题，17分）阅读下面文字，完成下面小题。

材料一：“五四”以来的文化研究中，曾出现一种认为“中西文化的差异纯粹是时代性”的观点，可称为“有古今无中外论”。

这种论调的根本错误在于，忽视乃至抹杀人类社会以民族的形式存在这一历史事实。

在原始时代，社会的基本形式是氏族、部落；在阶级社会，社会的基本形式是民族。

既然人类社会在一定的历史阶段以民族的形式存在，那么，人类文化在此阶段也一定要以民族文化的形式存在。

共同的民族文化不仅可以把一定数量的人民凝聚在一起，也可以把这些人与其他人区别开来。

人类社会以民族为基本形式这一事实还告诉我们，具体的文化总是各种各样的民族文化，而一般的人类文化只能存在于这些具体的民族文化之中。

离开了各种各样具体的民族文化，所谓一般的人类文化只是一种虚构。

因此，文化“有古今无中外论”既不符合实事求是的基本原则，也违背了一般能通过特殊而存在的辩证法。

文化方面民族差异的形成原因是多方面的、复杂的。

首先，地理的隔绝机制是民族差异形成的基本条件。

因为地域的辽阔、山海的阻碍等因素，各个民族各自独立地生存，文化上差异的产生也不可避免。

例如，随着地理上的隔绝，同一种语言会分化为各种各样的方言，会形成相对独立的经济生活网络和不同的“市民社会”，人们的思想感情也会疏远、隔膜起来。

其次，地理环境的差异是民族差异最重要的自然根源。

地理环境的差异不仅会对生活在不同地理环境中的人们的生产力、生产方式产生直接影响，而且会对他们的科学、艺术、宗教等产生直接影响。

其三，一定范围内自由创造的可能性是民族差异形成的重要机制。

种族、地理环境、文化传统等是人们从事文化创造的基础，同时也是对文化创造的限制，而自由创造只是在这一定范围内的发挥。

因而，文化的发展既非绝对必然的，也非完全自由的，而是自由和必然的统一，偶然与必然的统一。

湖南省长沙市湖南师范大学附属中学2023-2024学年高一上学期第一次大练习英语试题

湖南师大附中2023—2024学年度高一第一学期第一次大练习（月考）英语时量：120分钟满分：150分得分____________第一部分听力(共两节，满分30分)做题时，先将答案标在试卷上。

录音内容结束后，你将有两分钟的时间将试卷上的答案转涂到答题卡上。

第一节(共5小题；每小题1.5分，满分7.5分)听下面5段对话。

每段对话后有一个小题，从题中所给的A、B、C三个选项中选出最佳选项。

听完每段对话后，你都有10秒钟的时间来回答有关小题和阅读下一小题。

每段对话仅读一遍。

例：How much is the shirt?A. ￡19.15.B. ￡9.18.C. ￡9.15.答案是C。

1. When will Jim's birthday party be held?A. In July.B. In August.C. In September.2. What is Johnnie's problem?A. He quarreled with his brother.B. Nobody listens to him.C. He is in poor spirits.3. What will the man do next?A. Pay the bill.B. Make a phone call.C. Check the puter.4. When does the conversation probably take place?A. In the morning.B. At noon.C. In the afternoon.5. How much does the chair cost?A. ￡80.B. ￡72.C. ￡10.第二节分，满分22.5分)听下面5段对话或独白。

每段对话或独白后有几个小题，从题中所给的A、B、C三个选项中选出最佳选项。

听每段对话或独白前，你将有时间阅读各个小题，每小题5秒钟；听完后，各小题将给出5秒钟的作答时间。

湖南省长沙市湖南师大附中双语实验学校2023-2024学年七年级上学期第一次月考数学试题

B． a b a b
C． b a a b
D． b b a a
4．下列运算正确的是（）
A．
5 7
Hale Waihona Puke 2 75 72 7
1
C．
3
5 4
4 5
3
1
3
5．若 a+b<0，ab<0，则（）
B． 7 25 95 45 D． 3 3
A．a>0，b>0
B．a<0，b<0
C．a，b 中一正一负，且正数的绝对值大于负数的绝对值
；
1 2
；1 3
；1 4
；1 5
1 ；；……；
6
第 2023 个数是
．
16．已知 a 5， b 8 ．若 a b a b，则 a b
．
三、解答题 17．有理数的加减计算
(1) 8 3 2 1
(2)
8
3 7
7.5
21
4 7
3
1 2
18．有理数的乘除计算
(1)
1
2 7
1
5 6
1 1
2
2
1
3
1 3
4
n
1 n
1
(3)探究并计算：
1 1 4
1 47
1 7 10
1 2020 2023
．
25．已知点 A 在数轴上对应的数为 a，点 B 对应的数为 b，且|a+4|+（b﹣1）2=0，A、B
之间的距离记作|AB|，定义：|AB|=|a﹣b|．
（1）求线段 AB 的长|AB|；
（2）设点 P 在数轴上对应的数为 x，当|PA|﹣|PB|=2 时，求 x 的值；