复旦大学精品课程《线性代数》,矩阵初等变换复习资料

矩阵形式:
0 5 −2 x1 2 4 −3 2 x2 = 6 1 −2 1 x3 1
增广矩阵:
0 5 −2 4 −3 2 1 −2 1

倪卫明
2 6 1
第二讲 矩阵的初等变换
利用矩阵变换求解线性方程组
消元法: (1) 交换等式(1)与(3).
(6) 矩阵第三行数乘常数0.1. (7) 第三行数乘−4加到第一行. (8) 第三行数乘2加到第二行.
x1 − 3 x2 x2 x3
= −6 = 2 = 2
(10) (11) (9)
1 −3 0 0 1 0 0 0 1

−6 2 2
(9) 式(11)两端同乘3加到(10)得(12).
(9) 第二行数乘3加到第一行.
增广阵
2 −6 8 4 A = −1 −1 6 2 −6

倪卫明
4 6 −8
第二讲 矩阵的初等变换
利用矩阵变换求解线性方程组
消元法 (1) 式(1)两端同乘常数0.5得式(4). (2) 将式(4)加到等式(2)得式(5). (3) 等式(4)乘−6加到(3), 得式(6). 对矩阵的变换: (1) 矩阵第一行数乘常数0.5. (2) 第一行加到第二行. (3) 第一行数乘−6加到第三行.
(2) 第一行数乘−4加到第二行.
1 −2 1 0 5 −2 0 5 −2
1 2 2
倪卫明
第二讲 矩阵的初等变换
利用矩阵变换求解线性方程组
(3) 等式(6)减去等式(5). (4) 等式(5)两端乘2/5加到式(4). (5) 等式(5)两端乘1/5.
x1 x2 9 1 + x3 = 5 5 2 2 − x3 = 5 5 0 = 0 (7) (8) (9) 9 1 − t 5 5 2 2 x2 = + t 5 5 x3 = t x1 =
倪卫明 第二讲 矩阵的初等变换
(3) 第三行减去第二行. (4) 第二行数乘2/5加到第一行. (5) 第二行数乘1/5.
1 0 1/5 0 1 −2/5 0 0 0
9/5 2/5 0
x3 可以取任意实数t , 得:
利用矩阵变换求解线性方程组
例 3: 求解方程组:
3x1 3x1 3x2 − 7x2 − 9x2 − 6 x3 + 8 x3 + 12x3 + 6 x4 − 5 x4 − 9 x4 + 3 x5 + 8 x5 + 6 x5 = −5 = 9 = 15
x1 − 2 x 2 4 x1 − 3 x 2 5 x2 +x3 +2x3 −2x3 = 1 = 6 = 2
矩阵变换: (1) 交换第一与第三行.
(1) (2) (3) 1 −2 1 4 −3 2 0 5 −2
1 6 2
(2) −4乘等式(1)加到(2).
x1 − 2 x2 5 x2 5 x2 +x3 −2x3 −2x3 = 1 = 2 = 2 (4) (5) (6)
倪卫明
第二讲 矩阵的初等变换
利用矩阵变换求解线性方程组
例 1: 考虑下列线性方程组的解:
2x1 −x1 6x1 − 6x2 − x2 + 2x2 + 8x3 + 4x3 − 6x3 = 4 = 6 = −8 (1) (2) (3)
矩阵形式:
2 −6 8 x1 4 −1 −1 4 x2 = 6 x3 6 2 −6 −8
x1 − 3x2 + 4x3 x2 − 2x3 10x3
= 2 = −2 = 20
倪卫明
(4) (7) (8)
1 −3 4 0 1 −2 0 0 10

第二讲 矩阵的初等变换
2 −2 20
利用矩阵变换求解线性方程组
(6) 式(8)两端同乘0.1得(9). (7) 式(9)两端同乘−4 加到(4)得式(10). (8) 式(8)两端同乘2 加到(7)得式(11).
x1 x2 x3
= 0 = 2 = 2
(12) (11) (9)
1 0 0 0 1 0 0 0 1

0 2 2
倪卫明
第二讲 矩阵的初等变换
利用矩阵变换求解线性方程组
例 2: 求解方程组:
4 x1 x1 5 x2 − 3 x2 − 2 x2 − 2 x3 + 2 x3 + x3 = 2 = 6 = 1 (1) (2) (3)
→→Biblioteka 0 3 3 3 0 0 1 0 0
3 −7 −9 −9 2 3 −3 1 0
−6 8 12 12 −4 −6 4 −2 0
6 −5 −9 −9 4 6 −3 2 0
3 8 6 6 2 3 2 1 0
−5
−9 −7 3 −3 1 3 0 1 0
12 8 −6 4 −2 −6 −2 −2 0 3 2 0
x1 − 3 x2 + 4 x3 −4x2 + 8x3 20x2 − 30x3
= 2 = 8 = −20
(4) (5) (6)
1 −3 4 0 −4 8 0 20 −30

2 8 −20
(4) 式(5)两端同乘−0.25得(7). (5) 式(7)两端同乘−20 加到(6)得式(8).
(4) 矩阵第二行数乘常数−0.25. (5) 第二行数乘−20加到第三行.
增广矩阵:
0 3 −6 6 3 3 −7 8 −5 8 3 −9 12 −9 6
−5 9 15
倪卫明
第二讲 矩阵的初等变换
利用矩阵变换求解线性方程组
3 3 → 9 15 0 15 1 0 → −6 −5 0 5 1 0 → −3 4 0
矩阵的初等变换
倪卫明
第二讲 矩阵的初等变换
利用矩阵变换求解线性方程组
对线性方程组的矩阵形式: Ax = b 定义增广矩阵
A= A b
求解方法由消元法转变到对增广矩阵的操作, 下面列出消元法步 骤与相应的矩阵变换: 消元法: (1) 交换两个等式位置. (2) 某等式两端同乘非零常数. (3) 两个等式相加. (4) 将某个等式乘以非零常数, 加到另一个等式. 矩阵变换: (1) 交换矩阵的某两行. (2) 对矩阵某行数乘非零常数. (3) 将矩阵的某行加到另一行. (4) 将矩阵的某行数乘一个非 零常数, 加到另一行.