经典控制理论——第四章(1)
线性系统的可控性和可观性
第四章 线性系统的可控性和可观性§4-1 问题的提出经典控制理论中用传递函数描述系统的输入—输出特性，输出量即被控量，只要系统是因果系统并且是稳定的，输出量便可以受控，且输出量总是可以被测量的，因而不需要提出可控性和可观性的概念。
现代控制理论是建立在用状态空间法描述系统的基础上的。
状态方程描述输入)(t u 引起状态)(t x 的变化过程；输出方程描述由状态变化所引起的输出)(t y 的变化。
可控性和可观性正是定性地分别描述输入)(t u 对状态)(t x 的控制能力，输出)(t y 对状态)(t x 的反映能力。
它们分别回答：“输入能否控制状态的变化”——可控性 “状态的变化能否由输出反映出来”——可观性可控性和可观性是卡尔曼（Kalman ）在1960年首先提出来的。
可控性和可观性的概念在现代控制理论中无论是理论上还是实践上都是非常重要的。
例如：在最优控制问题中，其任务是寻找输入)(t u ，使状态达到预期的轨线。
就定常系统而言，如果系统的状态不受控于输入)(t u ，当然就无法实现最优控制。
另外，为了改善系统的品质，在工程上常用状态变量作为反馈信息。
可是状态)(t x 的值通常是难以测取的，往往需要从测量到的)(t y 中估计出状态)(t x ；如果输出)(t y 不能完全反映系统的状态)(t x ，那么就无法实现对状态的估计。
状态空间表达式是对系统的一种完全的描述。
判别系统的可控性和可观性的主要依据就是状态空间表达式。
【例如】（1）u x x⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⎥⎦⎤⎢⎣⎡=202001 []x y 01=分析：上述动态方程写成方程组形式：⎪⎩⎪⎨⎧=+==1221122xy u x x x x 从状态方程来看，输入u 不能控制状态变量1x ，所以状态变量1x 是不可控的；从输出方程看，输出y 不能反映状态变量2x ，所以状态变量2x 是不能观测的。
即状态变量1x 不可控、可观测；状态变量2x 可控、不可观测。
经典控制理论——第四章2
开环零极点对系统的影响
图a,b
开环零、极点对系统的影响
图4-13c,d,e,f 开环零、极点对系统的影响
我们以图（a）所示系统为参照，在它基础上增加 开环零、极点，研究它们对系统的影响。当K>0时， 图（a），（b）代表的系统始终是稳定的，但图 （b）代表的系统可以选择到一对比图（a）离虚轴 更远的闭环极点，这说明增加合适的位于虚轴左侧 的开环零点，既可以增加稳定裕度又可以提高快速 性。
水轮机调速系统就存在这种现象。
（a）
（b）
（c）
闭环零点对时间响应的影响
用根轨迹法分析系统的暂态特性
由根轨迹求出闭环系统极点和零点的位置 后，就可以按第三章所介绍的方法来分析系统 的暂态品质。
小 结
根轨迹是以开环传递函数中的某个参数（一般 是根轨迹增益）为参变量而画出的闭环特征方 程式的根轨迹图。根据系统开环零、极点在s 平面上的分布，按照一定的规则，就能方便的 画出根轨迹的大致形状。 根轨迹图不仅使我们能直观的看到参数的变化 对系统性能的影响，而且还可以用它求出指定 参变量或指定阻尼比相对应的闭环极点。根据 确定的闭环极点和已知的闭环零点，就能计算 出系统的输出响应及其性能指标，从而避免了 求解高阶微分方程的麻烦。
这里提出了一个重要的设计理念：鲁棒性设计。 理论分析与工程实际总是有差距的，不注意这种差距， 有时会闹出笑话。一个控制系统的设计，需要充分考 虑工程实际中的非理想因素，比如：建模误差、参数 不准、外部干扰等。 建立系统数学模型时，总要忽略一些非线性、小 时间常数等因素，这叫建模误差；建立数学模型时， 对实际系统参数的测量或估计不可能百分之百的准确， 而且运行中系统参数也会变化，这说明参数不准是普 遍存在的；来自外部环境的干扰更是五花八门、难以 统计，未建模的干扰会使运动偏离理论轨迹。所以， 要使理论上设计的系统能够真正用于实际，必须保证 在上述非理想因素下设计目标仍然能达到或基本达到， 这样的控制系统称为具有鲁棒性的系统。
04第四章-李雅普诺夫稳定性理论
几何意义：
当t t0时,系统受扰动,平衡状态受破坏,产生对应初始状态 x0,当t t0后, 运动状态x(t)会发生变化。
若无论多么小球域S( ),总存在一个球域S( ),当
x0 S( )时, x(t)轨线不会超出S( ),则平衡点xe为
Lyapunov意义下稳定。 实际上，工程中的李氏 稳定是临界不稳定
说明：
J P1AP A~J 考察eJt即可看出 e At的有界性
例：
0 0 J1 0 -1
李氏稳定
0 1 J2 0 0
不稳定
0 0 J3 0 0
李氏稳定
0 0 A J1 0 -1
e At
1
0
0
e-t
x(t)
e At x0
1 0
0 e-t
x10
x20
x10
e-t x20
f1
xn
令
x x xe ,
A
f xT
f 2
xe
x1
f2 x2
f2
xn
xe
f
n
fn
fn
x1 x2 xn
则
.
x
x
( xe常数)
判定法：
.
x Ax
(1) A的所有特征值均有负实部,则xe是渐近稳定的, 与R(x)无关. (2) A的特征值至少有一个有正实部,则xe是不稳定的, 与R(x)无关. (3) A的特征值至少有一个实部为0,则xe的稳定性 与R( x)有关, 不能由A来决定.
P为实对称矩阵 , pij p ji
第二节 李雅普诺夫间接法
李氏间接法利用系统矩阵A的特征值 1, 2,, n 或者说系统极点来判断系统稳定性。
第4章（1）线性控制系统的能控性和能观性
第4章（1）线性控制系统的能控性和能观性第四章线性控制系统的能控性和能观性在现代控制理论中，能控性(Controllability)和能观性(Observ- ability)是两个重要的概念，它是卡尔曼(Kalman)在1960年提出的，是最优控制和最优估计的设计基础。
能观（测）性针对的是系统状态空间模型中的状态的可观测性，它反映系统的内部状态x(t)（通常是不可以直接测量的）被系统的输出量y(t)（通常是可以直接测量的）所反映的能⼒。
能控性严格上说有两种，⼀种是系统控制输⼊u(t)对系统内部状态x(t)的控制能⼒，另⼀种是控制输⼊u(t)对系统输出y(t)的控制能⼒。
但是⼀般没有特别指明时，指的都是状态的可控性。
所以，系统的能控性和能观性研究⼀般都是基于系统的状态空间表达式的。
4-1 线性连续定常系统的能控性定义对于单输⼊n 阶线性定常连续系统bu Ax x+= 若存在⼀个分段连续的控制函数u(t)，能在有限的时间段 []f t t ,0内把系统从0t 时刻的初始状态()0t x 转移到任意指定的终态()f t x ，那么就称系统在0t 时刻的状态()0t x 是能控的；如果系统每⼀个状态()0t x 都能控，那么就称系统是状态完全可控的。
反之，只要有⼀个状态不可控，我们就称系统不可控。
对于线性定常连续系统，为简便计，可以假设00=t ，()0=f t x ，即00=t 时刻的任意初始状态()0x ，在有限时间段转移到零状态()0=f t x （原点）。
4-2线性连续定常系统的能控性判别4-2-1具有约旦标准型系统的能控性判别 1．单输⼊系统具有约旦标准型系统bu x x+Λ==Λn λλλλ0000000000000321n λλλλ≠≠≠≠ 321即为n 个互异根或bu Jx x+==++n m m J λλλλλλ000000000000000100000000121111m 个重根1λn-m 个互异根n m m λλλ≠≠≠++ 21 例：分析下列系统的能控性（1）u b x x+??=221000λλ[]x c c y 21=解：?=111x xλ 1x 与u ⽆关，即不受u 控制 ?+=u b x x2222λ 2x 为能控状态该系统为状态不完全能控，因⽽为不能控系统。
现代控制理论-复习第四章
即可能有多个平衡状态.
例4.1 x1 x1 x2 x1 x2 x23
x1 0
x1
x2
x23
0
因此该系统有三个平衡状态
0 xe1 0
0
xe2
1
0 xe3 1
在n维状态空间中，向量x的长度称为向量x的范数，用 ‖x‖表示，则：
S( )
x1
x
若平衡状态xe是稳定的，即当t无限增大时，状态轨迹不超
过 ，s(且 最) 终收敛于xe，则称平衡状态xe渐近稳定。
3.大范围渐近稳定
x f (x,t)
在整个状态空间中，对所有初始状态x0出发的轨迹都 具有渐近稳定，则系统的平衡状态xe是大范围渐近稳定的 。
注： （1）由于从状态空间中的所有点出发的轨迹都要收 敛于xe，因此系统只能有一个平衡状态，这也是大 范围渐近稳定的必要条件。
3、二次型标量函数v(x)的定号性判据
（1）v(x)正定的充要条件是：P阵的所有各阶主子行
列式均大于零，即
1 p11 0,
2
p11 p21
p12 0, p22
,
p11 n
pn1
p1n 0
pnn
（2）v(x)负定的充要条件是：P阵的各阶主子式满足
（2）对于线性定常系统，当A为非奇异的，系统只 有一个唯一的平衡状态xe = 0。所以若线性定常系 统是渐近稳定的，则一定是大范围渐近稳定的。
（3）对于非线性系统，由于系统通常有多个平衡 点，因此非线性系统通常只能在小范围内渐近稳定 。
4. 不稳定
如果对于某个实数ε> 0和任一实数δ> 0，在球 域S(δ)内总存在一个初始状态x0，使得从这一初始 状态出发的轨迹最终将超出球域S(ε)，则称该平衡 状态是不稳定的。
机械工程控制基础(第4章 系统的频率特性分析)
（4.1.10）
根据频率特性的定义可知，系统的幅频特性和相频特性分别为：
G ( j ) Xi ( ) G ( j ) A ( ) X o ( )
（4.1.11）
故 G ( j ) G ( j ) e
j G ( j )
就是系统的频率特性，它是将 G ( s )
d dt
微分方程
dt
s 传递函数 s
系统
j
频率特性
j
图4.1.2 系统的微分方程、传递 函数和频率特性相互转换关系图
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4.1.4 频率特性的特点和作用
第1
系统的频率特性就是单位脉冲响应函数的Fourier变换，即频谱。 所以，对频率特性的分析就是对单位脉冲响应函数的频谱分析。
第2
K
所以
A
X o Xi
1 T
2
2
arctan T
或
K 1 T
2 2
e
j arctan T
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2. 将传递函数中的s换为 j (s=j )来求取
由上可知，系统的频率特性就是其传递函数G(s)中复变量s j 的特殊情况。由此得到一个极为重要的结论与方法，即将系统的传递
G
j 端点的轨迹即为频率特性的极坐标图, 或称为Nyquist 图, 如
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图4.2.1所示。它不仅表示幅频特性和相频特性, 而且也表示实频特性和
虚频特性。图中的箭头方向为从小到大的方向。
正如4.1节所述, 系统的幅频特性和相频特
性分别为
A ( ) X o ( ) Xi G
自动控制理论期末复习(知识点总结第四章-第五章)
Automatic Control Theory自动控制理论第四章 线性系统的根轨迹法根轨迹法是一种图解方法，它是经典控制理论中对系统进行分析和综合的基本方法之一。
由于根轨迹图直观地描述了系统特征方程的根(即系统的闭环极点)在s 平面上的分布，因此，用根轨迹法分析自动控制系统十分方便，特别是对于高阶系统和多回路系统，应用根轨迹法比用其他方法更为方便，因此在工程实践中获得了广泛应用。
1、根轨迹的基本概念闭环系统的稳定性取决于闭环系统的极点分布，其它性能取决于其零极点分布。
因此，可以用系统的零极点分布来间接研究控制系统的性能。
伊万思在1948年提出了一种在复平面上由开环零极点确定闭环零极点的图解方法——根轨迹法。
将开环系统的某一个参数(比如开环放大系数)的全部值与闭环特征根的关系表示在一张图上。
根轨迹定义开环系统传递函数的某一个参数从零变到无穷时，闭环系统特征方程的根在复平面上变化的轨迹。
研究根轨迹的目的：分析系统的各种性能（稳定性、动态和稳态性能） 相关术语：*01210121()()()()()()()()()()mim i nn jj s z b s z s z s z G s H s K a s p s p s p s p ==----==----∏∏❖ 开环零点：指系统开环传递函数中分子多项式方程的根 ❖ 开环极点：指系统开环传递函数中分母多项式方程的根 ❖ 根轨迹增益：K *为开环系统根轨迹增益❖ 闭环零点：指系统闭环传递函数中分子多项式方程的根 ❖闭环极点：指系统闭环传递函数中分母多项式方程的根1*11()()()()1()()()()nj j n mjij i G s s p G s s G s H s s p K s z ===-Φ==+-+-∏∏∏闭环零点由前向通道的零点和反馈通道的极点构成。
对于单位反馈系统，闭环零点就是开环零点。
闭环极点与开环零、极点以及根轨迹增益K*均有关。
经典控制理论
典型信号（单位）阶跃函数（Step function ） 0,)(1≥t t室温调节系统和水位调节系统（单位）斜坡函数（Ramp function ） 速度 0,≥t t （单位）加速度函数（Acceleration function ）抛物线0,212≥t t （单位）脉冲函数（Impulse function ） 0,)(=t t δ正弦函数（Simusoidal function ）Asinut ，当输入作用具有周期性变化时。
============================================================================设线性定常系统由下述n 阶线性常微分方程描述：)()()()()()()()(1111011110t r b t r dt db t r dt d b t r dt d b tc a t c dt da t c dtd a t c dt d a m m m m m m n n n n n n ++⋅⋅⋅++=++⋅⋅⋅++------系统传递函数为：)()()()()(11101110s N s M a s a s a s a b s b s b s b s R s C s G n n n n m m m m =++⋅⋅⋅++++⋅⋅⋅++==----传递函数与微分方程之间有关系)()()(s R s C s G =如果将dtdS ⇔置换 微分方程传递函数⇔ ============================================================================传递函数的极点和零点对输出的影响)()()()()(11*jnj imi P S Z S K s N s M s G --==∏∏== i Z ),,2,1(m i ⋅⋅⋅= 为传递函数的零点j P ),,2,1(n j ⋅⋅⋅= 为传递函数的极点 极点是微分方程的特征跟，因此，决定了所描述系统自由运动的模态。
自动控制原理第四章
. . .. . ..
-1
2 1
s
关系
R( s )
f
G( s)
H (s)
C ( s)
* 前向通路传函： G ( s) KG
(s z ) (s p )
i 1 i i 1 q i
根轨迹不会穿越虚轴进入右半s平面，则系 统稳定，如果根轨迹越过虚轴进入s右半平面， 此时根轨迹与虚轴交点处的K值，就是临界开 环增益。 2.稳态性能
开环传递函数在坐标 原点有一个极点，所 以属I型系统
jw
. . .. . ..
-1
2 1
s
由坐标原点处的极点数确定系统类型； 若给定系统的稳态误差要求，则可以确定 闭环极点位置的容许范围。
绘制根轨迹方法： 1.试探法：任选s1点看是否满足相角条件； 2.按基本规则(如下节讲述)手工绘制；
3.用计算机绘制。
4.2 根轨迹绘制的基本法则
一、绘制根轨迹的基本法则 法则1. 根轨迹的起点和终点 根轨迹起始于开环极点，终止于开环零点，若n>m， 则有n-m条根轨迹终止于无穷远处。
K
n
m
j
nm
与实轴的夹角： a (2k 1)
nm
k 0,1,..., n m 1
180
sa n m 1
0
sa
nm 2
90
180
90
0
sa 0 n m 3 60
60
s a 45 0 nm 4
45
证明: G s H s K s zi
第四章可控与可观
若系统可控，则
x P 1 x
Ax bu , 使其状态方程化为可控标准型x
a i ( i 0, , n 1)为 I A n a n 1 n 1 a1 a0 各项系数
Modern Control Theory
现 代 控 制 理 论
（3 ）
4 1 0 0 0 4 0 x x 0 3 1 0 0 3 2
4 1 0 0 0 4 0 x x 2 3 1 0 0 3 0
Page: 1
4-1 问题的提出
现 代 经典控制理论以传递函数描述系统的输入—输出特性，输出量即被控量， 控 制 只要系统是稳定的，输出量便可以受控，且输出量总是可以被测量的，因而不 理 需要提出可控性和可观性的概念。 论
现代控制理论建立在状态空间表达式描述系统的基础上。状态方程描述
输入 u(t ) 引起状态
0 1 u 0 0
1 0 u 0 1
（4 ）
解：
（1）系统是可控的。 （2）系统是不可控的。 （3）系统是可控的。 （4）系统是不可控的。
Modern Control Theory
Page: 14
4-3 线性定常连续系统状态完全可控的条件
现 代 控 制 理 论
二、 可控标准型
Page: 2
4-1 问题的提出
现 代 控 制 理 论
【例】RLC网络
取x1 i L , x 2 uc , y uc
当
x1，x2所有变量，称系统可控。
R1R4 R2 R3 ，即电桥不平衡时，u能控制
u
控制量对状态变量的控制能力－称状态可控性 输出量对状态变量的反映能力－称状态可观测性
自动控制理论第四章 线性系统的根轨迹分析
由以上分析得知：
根轨迹表明了系统参数对闭环极点分布的影 响，通过它可以分析系统的稳定性、稳态和 暂态性能与系统参数之间的关系。
利用根轨迹，可对系统动态特性进行下述分析： （1）判断该系统在K1从0到变化时的稳定性； （2）判断系统在K1从0到变化时根轨迹的条数； （3）判断该系统K1取值在何范围时处于过阻尼、 临界阻尼和 欠阻尼状态； （4）判断系统的“型”，从而计算系统稳态特性； （5）当K1值确定后，在根轨迹上找到闭环极点，从而计算系 统闭环性能指标；或反之；
•根轨迹法作为经典控制理论的基本方法,与频率特性法 互为补充,是分析和研究自动控制系统的有效工具。
•实际上，我们可以利用matlab方便地绘制系统的根轨 迹图。
本章内容
第一节 根轨迹的基本概念 第二节 绘制根轨迹的方法 第三节 参量根轨迹和多回路系统根轨迹 第四节 正反馈系统和零度根轨迹 第五节 利用根轨迹分析系统的暂态性能 第六节 延迟系统的根轨迹 本章小结、重点和习题
当K1由0变化到时，试按一般步骤与规则绘制 其根轨迹图。 解: （1）本系统为3阶系统，有3条根轨迹； （2）起始点：系统没有开环零点，只有三个开环 极点，分别为p1=0，p2=-1，p3=-2。 （3）渐近线：K1时， p1 p2 p3 0 1 2 a 1 有3条根轨迹趋向无穷远处， nm 30 其渐近线与实轴的交点和 (2q 1)180 (2q 1)180 a nm 3 倾角分别为：
满足相角条件,s1=-1.5+j2.5是该系统根轨迹上的点。
（3）利用幅值条件求得与s1 相对应的K1值。
K1
s1 ( s1 2) ( s1 6.6) ( s1 4)
1.5 j 2.5 0.5 j 2.5 5.1 j 2.5 2.5 j 2.5
自动控制原理第四章 根 轨 迹 法
K=2.5
-2
＞0.5时，特征根为共轭复根，欠阻尼系 统，响应为衰减振荡；可根据性能要求
K
设置闭环极点。
当特征方程>2阶时无法求解，如何绘制根轨迹图？
4-2. 绘制根轨迹的基本依据和条件
特征方程为： 1+G(s)H(s)=0
即： G(s)H(s)= -1
R(s)
Y(s)
G(s)
-
H(s)
G( s )H( s ) 1
4-1. 根轨迹基本概念
根轨迹的定义：
开环传递函数的某一参数从0变到∞时，闭环系 统特征方程式的根在s平面上的变化轨迹。
R(s)
-
E(s) G1(s)
D1(s) G 2(s)
H(s)
Y(s) D2(s)
如
G1( s )G2 ( s )H ( s )
Kg s( s 1 )( s 2 )
常规根轨迹
求解：设 Gk ( s ) KgG1( s )，则对于1 KgG1( s ) 0，有
dK g ds
d [G11( s )] ds
0 （Kg在根轨迹的分离点上取极值）
或 dG1( s ) 0 （特征式满足 d( s ) 0）
ds
ds
注：只须用其中之一，且只是必要条件
续前例：求分离点上的坐标。
幅值条件
G( s )H( s ) 180( 2k 1 ), k 0，1，2，
相角条件
零极点表达形式下的幅值条件和相角条件：
m
n
K g (s zi )
(s pi )
G(s)H(s)
i1 n
1 ,或
Kg
i1 m
,
(s pi )
(s zi )
控制工程,第四章
实轴开始，以反时针旋转（或顺时针旋转）
来定义的；
② 在极坐标图上，G(jw) 在实轴和虚轴上
的投影是它的实部和虚部；
③ 它不仅表示了实频特性和虚频特性，而
且也表示了幅频性和相频特性。
控制工程基础
二、典型环节的极坐标图
第四章 频域分析法
一般系统都是由典型环节组成，熟悉典型环 节的频率特性，对了解系统的频率特性和分析系 统的动态特性带来很大的方便。
解：G(j)G(s)sj1K jT
控制工程基础
A()G(j) K 1T22
()G(j)arctgT
第四章 频域分析法
G(j) K ejarctgT 1T22
系统的稳态输出：
xo(t)Ai G(j)sin[tG(j)] KAi sin[tarctgT] 1T22
控制工程基础
第四章 频域分析法
（2）前一项为稳态响应，当 t ts 时，系统的输 出即可视为稳态响应。
xo(t)
AiK sint(arct)gT 1T22
控制工程基础
第四章 频域分析法
故频率特性： A() Ao K
Ai 1T22 () arctgT
或
K
ejarctgT
1T22
2、将传递函数中，s换为 j 来求取：
例2：用方法2求解例1。
控制工程基础
第四章 频域分析法
第二节 频率特性极坐标图(Nyquist)
一、频率特性极坐标图表示
频率特性的极坐标图又称Nyquist图，也称 幅相频率特性图。
极坐标图是当 j 由零变化到无穷大时，矢 量 G( j) 极坐标系统上端点的轨迹。
控制工程基础
第四章 频域分析法
注意：
① 在极坐标图上，正（或负）相角是从正
经典控制理论
经典控制理论在20世纪30到40年代，奈奎斯特、伯德、维纳等人的著作为自动控制理论的初步形成奠定了基础；二次大战以后，又经过众多学者的努力，在总结了以往的实践和关于反馈理论、频率响应理论并加以发展的基础上，形成了较为完整的自动控制系统设计的频率法理论。
1948年又提出了根轨迹法。
至此，自动控制理论发展的第一阶段基本完成。
这种建立在频率法和根轨迹法基础上的理论，通常被称为经典控制理论。
经典控制理论以拉氏变换为数学工具，以单输入－单输出的线性定常系统为主要的研究对象。
将描述系统的微分方程或差分方程变换到复数域中，得到系统的传递函数，并以此作为基础在频率域中对系统进行分析和设计，确定控制器的结构和参数。
通常是采用反馈控制，构成所谓闭环控制系统。
经典控制理论具有明显的局限性，突出的是难以有效地应用于时变系统、多变量系统，也难以揭示系统更为深刻的特性。
当把这种理论推广到更为复杂的系统时，经典控制理论就显得无能为力了，这是因为它的以下几个特点所决定。
1．经典控制理论只限于研究线性定常系统，即使对最简单的非线性系统也是无法处理的；2．经典控制理论只限于分析和设计单变量系统，采用系统的输入－输出描述方式，这就从本质上忽略了系统结构的内在特性，也不能处理输入和输出皆大于1的系统。
实际上，大多数工程对象都是多输入－多输出系统，尽管人们做了很多尝试，但是，用经典控制理论设计这类系统都没有得到满意的结果；3．经典控制理论采用试探法设计系统。
即根据经验选用合适的、简单的、工程上易于实现的控制器，然后对系统进行分析，直至找到满意的结果为止。
虽然这种设计方法具有实用等很多优点，但是，在推理上却是不能令人满意的，效果也不是最佳的，人们自然提出这样一个问题，即对一个特定的应用课题，能否找到最佳的设计。
综上所述，经典控制理论的最主要的特点是：线性定常对象，单输入单输出，完成镇定任务。
即便对这些极简单的对象、对象描述及控制任务，理论上也尚不完整，从而促使现代控制理论的发展：对经典理的精确化、数学化及理论化。
第四章 稳定性与李雅普诺夫方法
x (t; x0 , t0 )
(4-2)
中
x0 (t0 ; x0 , t0 ) ---表示x在初始时刻t0时的状态； t---是从开始观察的时间变量。
式（4-2）实际上描述了系统式（4-1）在n维状态空间中从初始条件 t0 , x0
出发的一条状态运动的轨迹，简称系统的运动或状态轨迹。
xe 的邻域。因此，若有x ∈s（ε）， 0
x xe ( x1 x1e ) ( x2 x2e ) ( xn xne )
2 2 2
1 2
同理，若方程式（4-1）的解位于球域s（ε）内，便有
(t; x0 , t0 ) xe
t t0
（4-7）
xe
称 xe 稳定。如果x（t）不仅有界而且有 lim x(t ) 0，收敛于原点，则称 xe 渐进
稳定。如果x（t）为无界，则称
xe 不稳定。在经典控制理论中，只有渐进稳
t
定的系统才称做稳定系统。只在李雅普诺夫意义下稳定，但不是渐进稳定的系 统则称临界稳定系统，这在工程上属于不稳定系统。
（2）由系统的传递函数
s 1 0 1 s 1 1 1 W s c sI A B 1 0 0 s 1 1 ( s 1)( s 1) s 1
可见传递函数的极点s＝－1位于s的左半平面，故系统输出稳定。这是因为具 有正实部的特征值 2 ＝+1被系统的零点s＝+1对消了，所以在系统的输入输 出特性中没被表现出来。由此可见，只有当系统的传递函数W（s）不出现零、 极点对消现象，并且矩阵A的特征值与系统传递函数W（s）的极点相同，此 时系统的状态稳定性才与其输出稳定性相一致。
控制工程基础_第四章
二．频率特性的求法
频率特性的求法有三种
１．根据已知系统的微分方程，把输入以正弦函数代入 ，求其稳态解，取其输出的稳态分量与输入正弦的 复数比即得系统的频率特性。 ２．根据传递函数求取，将传递函数G(s)中的s用j替代 ，即为频率特性G(j)。 ３．通过实验测得。
它描述了稳态情况下，系统输出与输入之间的幅值比随频率的 变化情况，即幅值的衰减或放大特性。
系统的相频特性定义：输出信号与输入信号的相位之差随频 率的变化，记为()。
它描述了输出相位对输入相位的滞后或超前特性。
幅频特性A()和相频特性()统称为系统频率特性，记作 G(j)。频率特性G(j)是频率的复变函数，是一个矢量。
Y ( s ) p ( s ) G ( s ) X ( s ) ( s p )( s p ) ( s p ) 1 2 n
X s
2 2
于是输出量的拉氏变换为
X Y ( s ) G ( s ) X ( s ) 2 2 ( s ps ) ( p ) ( s p ) s 1 2 n p ( s )
y ( t X X G ( j ) aY ( s ) ( s j ) G ( s ) ( s j ) s 2 j
X X G ( j) a Y ( s ) ( s j) G ( s ) ( s j) s j s j 2 2 s 2 j
频率特性分析方法具有如下特点：
可通过分析系统对不同频率的稳态响应获得系统动态 特性。 频率特性有明确物理意义，可用实验方法获得。
这对那些不能或难于用分析方法建立数学模型的系统或环节， 具有非常重要的意义。即使对于能用分析法建模系统，也可 通过频率特性实验对其模型加以验证和修改。