等腰三角形经典例题整理
(完整版)等腰三角形典型例题
等腰三角形1．如图，已知点C为线段AB上一点，和都是等边三角形，AN、BM相交于点O，AN、CM交于点P，BM、CN交于点Q．（1）求证：．（2）求的度数．（3）求证：．【分析】（1）欲证，只需证明它所在的两个三角形全等．（2）的度数可用的外角来求，但要注意全等所得到这一条件的使用．（3）要，则，应该为一个等边三角形，可证明≌，从而得到．（1）证明：和都是等边三角形，，，，，即．在和中，≌，．（2）由（1）知，≌，．，即．（3）在和中，≌，，．又，，即，．【点拨】（1）要证明线段相等（或角相等），找它们所在的三角形全等．（2）本题的图形规律：共一个顶点的两个等边三角形构成的图形中，存在一对或多对绕公共点旋转变换的三角形全等．2．如图，在中,，，的平分线AM的长15，求BC的长．【分析】由AM平分，，可得，，则，所以．在中，，可得，由，可求出BC的长．解：在中，，，．AM平分，，，．在中，，．【点拨】含30度的直角三角形的性质常与直角三角形的两个锐角互余一起运用，此性质是求线段长度和证明线段倍分问题的重要方法．3．如图，，，，．求证：．【分析】根据已知“，”联想到等腰三角形“三线合一”，通过辅助线将证明转化为证明．证明：延长CE、BA交于点F．，．在和中，≌，，即．，．在和中，≌，，．【点拨】（1）利用等腰三角形“三线合一”不仅能得到线段相等、角相等，而且能得到线段的倍半关系．（2）联系等腰三角形“三线合一”作顶角平分线或底边的中线或底边的高线是常用的辅助线．4．如图，△ABC中，AB=AC，在AB边上取点D，在AC延长线上取点E，使BD=CE，连结DE交BC于G．求证：DG=GE．【分析】由于△ABC是等腰三角形，D为AB上一点，E为AC延长线上一点，故可考虑过D或E作腰AC或AB的平行线，通过构造等腰三角形，可获得结论．证法1：过D作DF∥AC，交BC于F（如图）．∴∠DFB=∠ACB．又∵AB=AC，∴∠B=∠ACB．∴∠B=∠DFB．∴DB=DF．∵CE=BD(已知)，∴DF=CE．又∠DGF=∠CGE，∠GDF=∠E，∴△DFG≌△ECG（AAS）．∴DG=GE．证法2：过E作EM∥AB交BC延长线于M．∴∠B=∠M．又∵AB=AC，∴∠B=∠ACB．又∠ACB=∠ECM，∴∠M=∠ECM．∴EC=EM．∵CE=BD(已知)，∴EM=BD．在△BDG与△MEG中，∴△BDG≌△MEG（AAS）．∴DG=GE．【点拨】（1）本题的证明方法很多，其思路是通过利用等腰三角形ABC的底角相等并借助BD=CE条件，构造新的等腰三角形来寻求结论．（2）本题在推证含DG、GE为对应边的两个三角形全等时，寻找等边是一个难点，也是本题最易出错的地方，主要表现为把BD=CE这一条件直接作为三角形全等时的对应边．5．已知：如图，△ABC中，AB=AC，∠A=36°，仿照图（1），请你再设计两种不同的方法，将△ABC分割成3个三角形，使得每个三角形都是等腰三角形（如图（1））．（2）图(2)（3）供画图用，作图工具不限，不要求写画法，不要求证明；要求标出所分得的每个等腰三角形三个内角的度数）．【分析】由于所给三角形是一个含36°的等腰三角形，因而将它分成三个等腰三角形时仍只需考虑以36°，72°，108°等为内角的等腰三角形即可．解：本题显然应有多种结果，现提供3种，以供同学们参考，如图中（2）、（3）、（4）；【点拨】像本例这种图形的分割问题的求解，一方面应把握原图形的特征，借助经验予以解决，另一方面还应大胆尝试，在操作中获得结果．6．如图，在一个宽度为的小巷内，一个梯子的长度为b，梯子的脚位于P点．将梯子的顶端放于一堵墙上Q点时，Q点离地面的高度为c，此时梯子与地面的夹角为．将梯子顶端放于对面一堵墙上R点，离开地面的高度为d，此时梯子与地面的夹角为．可知，为什么？【分析】由，，可知，又，可知为等边三角形，则，可推得．证明：连接RQ、RB．，，．又，为等边三角形，．在中，，，，，在线段PQ的垂直平分线上，．在中，，．在中，，，，即。
等腰三角形 典型题【重点】
等腰三角形典型题一、求度数类题目（主要以等边对等角、等角对等边为设未知数依据，将所有角用按x的未知数表示后，再找等量关系）1. 如图，△ABC中，AB=AC,BC=BD,AD=DE=EB，求∠A的度数。
2.如图，CA=CB,DF=DB,AE=AD，求∠A的度数3. 如图，△ABC中，AB=AC，D在BC上，DE⊥AB于E，DF⊥BC交AC于点F，若∠EDF=70°，求∠AFD的度数4. 如图，△ABC中，AB=AC,BC=BD=ED=EA，求∠A的度数CDC5. 如图，△ABC 中，AB=AC ，D 在BC 上, ∠BAD=30°, 在AC 上取点E ，使AE=AD ，求∠EDC 的度数6. 如图，△ABC 中，∠C=90°，D 为AB 上一点，作DE ⊥BC 于E ，若BE=AC,BD=21,DE+BC=1, 求∠ABC 的度数7. 如图，△ABC 中，AD 平分∠BAC ，若AC=AB+BD 求∠B ：∠C 的值8. 如图，△ABC 中，∠ABC,∠CAB 的平分线交于点P ，过点P 作DE ∥AB ，分别交BC 、AC 于点D 、E 求证：DE=BD+AECBADEP DD9. 如图，△DEF中，∠EDF=2∠E，FA⊥DE于点A，问：DF、AD、AE间有什么样的大小关系10. 如图，△ABC中，∠B=60°，角平分线AD、CE交于点O求证：AE+CD=AC11. 如图，△ABC中，AB=AC, ∠A=100°，BD平分∠ABC,求证：BC=BD+AD12. 如图,△ABC中,AB=AC,D为△ABC外一点，且∠ABD=∠ACD =60°求证：CD=AB-BDADF EBOABCDEFACFABCEF13.已知：如图，AB=AC=BE ，CD 为△ABC 中AB 边上的中线求证：CD=21CE14. 如图，△ABC 中，∠1=∠2，∠EDC=∠BAC 求证：BD=ED15. 如图，△ABC 中，AB=AC,BE=CF,EF 交BC 于点G 求证：EG=FG16. 如图，△ABC 中，∠ABC=2∠C ，AD 是BC 边上的高，B 到点E ，使BE=BD 求证：AF=FCAB DFECE CA BDE 1 2FF17. 如图，△ABC 中，AB=AC,AD 和BE 两条高，交于点H ，且AE=BE 求证：AH=2BD18. 如图，△ABC 中，AB=AC, ∠BAC=90°,BD=AB, ∠ABD=30° 求证：AD=DC19. 如图，等边△ABC 中，分别延长BA 至点E ，延长BC 至点D ，使AE=BD 求证：EC=ED20. 如图，四边形ABCD 中，∠BAD+∠BCD=180°，AD 、BC 的延长线交于点F ，DC 、AB 的延长线交于点E ，∠E 、∠F 的平分线交于点H 求证：EH ⊥FHBDABBCDFADCF HG 12 M二、等腰三角形的性质及判定一、选择题1．等腰直角三角形的一个底角的度数是（ ）A ．30°B ．45°C ．60°D ．90°2、如图，AB AC BD BC ==，，若40A ∠=，则ABD ∠的度数是（ ）A ．20B ．30C ．35D ．403.如图，在Rt △ABC 中，AB ＝AC ，AD ⊥BC ，垂足为D ．E 、F 分别是CD 、AD 上的点，且CE ＝AF ．如果∠AED ＝62º，那么∠DBF ＝（ ）A ．62ºB ．38ºC ．28ºD ．26º4、如图，在△ABC 中，AB=AC ，点D 在AC 上，且BD=BC=AD ，则∠A 等于（ ）A 、30oB 、40oC 、45oD 、36o5、如图，已知O 是四边形ABCD 内一点，OA ＝OB ＝OC ，∠ABC ＝∠ADC ＝70°，则∠DAO+∠DCO 的大小是（ ） A ．70° B ．110 C ．140° D ．150°6．如图，等边△ABC 的边长为3，P 为BC 上一点，且BP ＝1，D 为AC 上一点，若∠APD ＝60°，则CD 的长为（ ）A ．32B ．23C ．12D ．347、某等腰三角形的两条边长分别为3cm 和6cm ，则它的周长为（ ）A ．9cmB ．12cmC ．15cmD ．12cm 或15cm二、填空题8. 如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，与∠BAC 相邻的外角为80°，则∠B ＝____________.AD CPB60°BCOA9.如图，在Rt △ABC 中，∠ACB =90°，∠BAC 的平分线AD 交BC 于点D ，DE ∥AC ，DE 交AB 于点E ，M 为BE 的中点，连结DM . 在不添加任何辅助线和字母的情况下，图中的等腰三角形是 .（写出一个即可）10.如图，C 为线段AE 上一动点（不与点A ，E 重合），在AE 同侧分别作正三角形ABC 和正三角形CDE ，AD 与BE 交于一点O ，AD 与BC 交于点P ，BE 与CD 交于点Q ，连结PQ ．以下五个结论：①AD=BE ； ②PQ ∥AE ； ③AP=BQ ；④DE=DP ；⑤∠AOB=60°.恒成立的有________（把你认为正确的序号都填上）．11、一个等腰三角形的一个外角等于110︒，则这个三角形的三个角应该为 。
专题03 等腰(直角)三角形中动点问题(老师版)
专题3等腰(直角)三角形中动点问题【典型例题】1．（2021·黑龙江集贤·八年级期末）如图，等腰三角形ABC的底边BC长为3，面积是18，腰AC的垂直平分线分别交AC、AB边于点E、F．若点D为DC边的中点，点M为线段EF上一动点，则CDM周长的最小值为___．【答案】13.5【解析】【分析】连接MA、AD，易得MA=MC，则△CMD的周长为：MC+MD+CD=MA+MD+CD≥AD+CD，当M点在线段AD上时，△CMD的周长最小，再由面积可求得AD的长，从而可求得周长的最小值．【详解】如图，连接MA、AD∵EF垂直平分线段AC∴MA=MC∴△CMD的周长=MC+MD+CD=MA+MD+CD≥AD+CD∵点D为DC边的中点，BC=3∴1 1.52CD BC==∵AB=AC ∴AD⊥BC∴118 2BC AD⨯=即1318 2AD⨯=∴AD=12∴AD+CD=12+1.5=13.5即△MCD的周长的最小值为13.5故答案为：13.5【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，线段垂直平分线的性质定理，三角形的面积，两点之间线段最短等知识，关键是利用线段的垂直平分线的性质定理作辅助线MA，把MC+MD的最小值问题转化为两点间线段最短来解决．【专题训练】一、填空题1．（2022·江苏昆山·八年级期末）如图，∠ABC=30°，AB=6，动点P从点B出发，以每秒1个单位长度的速度沿射线BC运动，设点P的运动时间为t秒，当△ABP是以AB为底的等腰三角形时，t的值为______秒．【答案】【解析】【分析】过点P作PD⊥AB于点D，根据等腰三角形有性质得到BD=3，再根据30度角的直角三角形的性质结合勾股定理即可求解．【详解】解：过点P作PD⊥AB于点D，∵△ABP是以AB为底的等腰三角形，即BP=PA，∴BD=DA=12AB=3，∵∠ABC=30°，∴BP=2PD，即12BP=PD，∵BP2-PD2=BD2，∴BP2-14BP2=32，解得：BP=∵点P的运动速度是每秒1个单位长度，∴t的值为故答案为：【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，含30度角的直角三角形的性质，勾股定理等知识点，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件．2．（2021·浙江·诸暨市暨阳初级中学八年级期中）如图∠MAN＝60°，若△ABC的顶点B在射线AM上，且AB＝6，动点C从点A出发，以每秒1个单位沿射线AN运动，当运动时间t是_______秒时，△ABC是直角三角形．【答案】3或12【解析】【分析】分∠ACB＝90°和∠ABC＝90°两种情况，根据含30°角的直角三角形的性质求出AC，再求出答案即可．【详解】解：如图：当△ABC是以∠ACB＝90°的直角三角形时，∵∠MAN＝60°，∴∠ABC＝30°，∴AC=13 2AB=，∴运动时间t=3311AC==秒，当△ABC是以∠ABC＝90°的直角三角形时，∵∠MAN＝60°，∴∠ACB＝30°，∴AC=212AB=，∴运动时间t=121211AC==秒，当运动时间t是3或12秒时，△ABC是直角三角形．故答案为：3或12【点睛】本题考查了三角形的内角和定理和含30°角的直角三角形的性质，能熟记含30°角的直角三角形的性质是解此题的关键．3．（2022·新疆·乌鲁木齐市第四中学八年级期末）如图，在边长为6，面积为ABC中，N为线段AB上的任意一点，∠BAC的平分线交BC于点D，M是AD上的动点，连结BM、MN，则BM+MN的最小值是_______【答案】【解析】【分析】由等边三角形的对称性得到MC=BM，再利用垂线段最段解题．【详解】解：过点C 作CN AB ⊥于点N ，BD Q 平分∠BAC ，△ABC 为等边三角形，BM MC∴=∴BM +MN MC MN =+，当CN AB ⊥时，=MC MN CN +最小等边△ABC 面积为6，CN ∴故答案为：【点睛】本题考查轴对称—最短路径问题、等边三角形的性质等知识，是重要考点，掌握相关知识是解题关键．4．（2021·福建省罗源第二中学八年级期中）如图，在等腰△ABC 中，AB ＝AC ，∠BAC ＝120°，BC ＝30cm ，一动点P 从B 向C 以每秒2cm 的速度移动，当P 点移动____________秒时，PA 与△ABC 的腰垂直．【答案】5或10【解析】【分析】根据等腰三角形性质求出∠B =∠C =30°，分PA ⊥AC 和PA ⊥AB 两种情况分类讨论，得到BP =10cm 或BP =20cm ，即可求出点P 移动的时间．【详解】解：∵AB ＝AC ，∠BAC ＝120°，∴∠B =∠C =30°．如图①，当PA ⊥AC 时，∵∠C =30°．∴PC =2AP ，∠APC =60°，∴∠B =∠BAP =30°，∴AP =BP ，∴PC =2BP ，∴BP =13BC =13×30=10cm ，∴P 点移动了10÷2=5（秒）；如图②当PA⊥AB时，∵∠B=30°．∴PB=2BP，∠APB=60°，∴∠C=∠CAP=30°，∴AP=CP，∴BP=2CP，∴BP=23BC=23×30=20cm，∴P点移动了20÷2=10（秒）．故答案为：5或10【点睛】本题考查了等腰三角形的性质与判定，直角三角形性质等知识，熟知相关定理，根据条件分类讨论是解题关键5．（2022·福建省泉州实验中学八年级期末）如图，在等腰△ABC中，∠BAC＝30°，AB＝AC，BC＝4，点P、Q、R分别为边BC、AB、AC上(均不与端点重合)的动点，△PQR周长的最小值是______．【答案】423【解析】【分析】过BC的中点P作AB，AC的对称点M，N，连接MN交AB与Q，交AC于R，则此时△PQR周长最小，求出MQ，RQ，RN即可解决问题．【详解】过点P作AB，AC的对称点M，N，连接MN交AB于Q，交AC于R，设AP交MN于点D，则PQ MQ =，PR RN =，∴PQR 周长为PQ QR PR MQ QR EN MN ++=++≥，当,,,M Q R N 四点共线时，即当点P 是BC 的中点时，PQR 的周长最小，如图∵30BAC ∠=︒，∴75B C ∠=∠=︒，150MPN ∠=︒，∴15M N ∠=∠=︒，∴75MQB PQB B ∠=∠=∠=︒，∴MN BC ∥，2PQ PB ==，同理2PR PC ==，∵⊥AP BC ，∴AP MN ⊥．DP MN∴⊥PQ PR =DQ DR∴=∵180757530PQR ∠=︒-︒-︒=︒，∴Rt PDQ 中，112QD PQ ==∴==2QR DQ =⨯=，∴PQR 周长的最小值是22PQ QR PR ++=+=4+．故答案为：4+【点睛】本题是三角形综合题，考查了轴对称的性质，等边三角形的性质，等腰三角形的性质，含30度角的直角三角形的性质，勾股定理，正确的作出辅助线是解题的关键．6．（2022·辽宁铁西·八年级期末）同学们，我们在今后的学习中会学到这个定理：在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半．即：如图，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，若∠ABC ＝30°，则12AC AB =．问题：在Rt △ABC ，∠ACB ＝90°，∠ABC ＝30°，AC D 是边BC 的中点，点E 是斜边AB 上的动点，连接DE ，把△BDE 沿直线DE 折叠，点B 的对应点为点F ．当直线DF ⊥AB 时，AE 的长为_____．【答案】2或2【解析】【分析】如图1所示，设DF 与AB 交点为G ，先求出AB ==3BC ，由D 是BC 的中点，可以得到1322BD BC ==，由折叠的性质可知∠F =∠B =30°，BE =EF ，即可得到1324DG BD ==，1122EG EF BE ==，BG ==，由此即可求出AE 的长；如图2所示，同理可得1324DG BD ==，4BG ==，1122EG EF BE ==，则32BE BG GE BG =+==，AE AB BE =-=【详解】解：如图1所示，设DF 与AB 交点为G ，∵∠ABC =30°，∠ACB =90°，∴2AB AC ==∴BC =，∵D 是BC 的中点，∴1322BD BC ==，由折叠的性质可知∠F =∠B =30°，BE =EF ，∵DF ⊥AB ，∴∠DGB =∠FGB =90°，∴1324DG BD ==，1122EG EF BE ==，∴4BG ==，∴2332BE BG ==，∴AE AB BE =-=如图2所示，延长FD 与AB 交于点G ，同理可求出1324DG BD ==，4BG ==，1122EG EF BE ==，∴22BE BG GE BG =+==，∴2AE AB BE =-=，故答案为：2【点睛】本题主要考查了含30度角的直角三角形的性质，勾股定理，旋转的性质，熟练掌握含30度角的直角三角形的性质是解题的关键．7．（2021·全国·八年级专题练习）如图，60BOC ∠=︒，点A 是BO 延长线上的一点，10cm OA =，动点P 从点A 出发沿AB 以3cm/s 的速度移动，动点Q 从点O 出发沿OC 以1cm/s 的速度移动，如果点P Q ，同时出发，用(s)t 表示移动的时间，当t =_________s 时，POQ △是等腰三角形；当t =_________s 时，POQ △是直角三角形．【答案】52或54或10【解析】【分析】根据POQ ∆是等腰三角形，分两种情况进行讨论：点P 在AO 上，或点P 在BO 上；根据POQ ∆是直角三角形，分两种情况进行讨论：PQ AB ⊥，或PQ OC ⊥，据此进行计算即可．【详解】解：如图，当PO QO =时，POQ ∆是等腰三角形，103PO AO AP t =-=-，OQ t =，∴当PO QO =时，103t t -=，解得52t =；如图，当PO QO =时，POQ ∆是等腰三角形，310PO AP AO t =-=-，OQ t =，∴当PO QO =时，310t t -=，解得5t =；如图，当PQ AB ⊥时，POQ ∆是直角三角形，且2QO OP =，310PO AP AO t =-=-，OQ t =，∴当2QO OP =时，2(310)t t =⨯-，解得4t =；如图，当PQ OC ⊥时，POQ ∆是直角三角形，且2QO OP =，310PO AP AO t =-=-，OQ t =，∴当2QO OP =时，2310t t =-，解得：t =10．故答案为：52或5；4或10．【点睛】本题主要考查了等腰三角形的性质以及直角三角形的性质，解决问题的关键是进行分类讨论，分类时注意不能遗漏，也不能重复．二、解答题8．（2021·浙江余杭·八年级期中）如图，已知在ABC 中，90B ∠=︒，10AC =，6BC =，若动点P 从点B 开始，按B A C B →→→的路径运动，且速度为每秒2个单位长度，设出发的时间为t 秒．(1)出发2秒后，求CP 的长．(2)出发几秒钟后，CP 恰好平分ABC 的周长．(3)当t 为何值时，BCP 为等腰三角形？【答案】(1)PC 52(2)出发3秒钟后，CP 恰好平分△ABC 的周长(3)t ＝3或5.4或6或6.5时，△BCP 为等腰三角形【解析】【分析】（1）勾股定理求得AB 的长，进而根据速度求得出发2秒后BP 的长，Rt BCP △中勾股定理求解即可；（2）由于CP 恰好平分ABC 的周长，则P 点不可能位于线段BC 和AC 上，即对P 点在线段AB 上进行探究，根据题意列出一元一次方程，解方程求解即可；（3）①当P 在AB 上时，若BP ＝BC 时，②当P 在AC 上时，若BP ＝BC 时，③当P 在AC 上时，若CB ＝CP 时，④当P 在AB 上时，若PC ＝PB 时，根据题意列出一元一次方程解方程求解即可(1)由∠B ＝90°，AC ＝10，BC ＝6，∴AB ＝8，∵P 从点B 开始，按B →A →C →B ，且速度为2，∴出发2秒后，则BP ＝4，AP ＝6，∵∠B ＝90°，∴在Rt BCP △中，由勾股定理得PC 22226452BP BC +=+=；(2)P 点不可能位于线段BC 和AC 上，即对P 点在线段AB 上进行探究，根据题意可得，6＋2t ＝10＋8－2t ；解得t ＝3∴出发3秒钟后，CP 恰好平分△ABC 的周长(3)①当P 在AB 上时，若BP ＝BC 时，得到2t ＝6；则t ＝3，②当P 在AC 上时，若BP ＝BC 时，过点B 作BD AC ⊥，则68 4.810AB BC BD AB ⨯⨯===在Rt BDP △中，22226 4.8 3.6PD PD BD =-=-=在Rt ADB 中，22228 4.8 6.4AD AB BD =-=-=8 6.4 3.610.8BA AP BA AD PD ∴+=+-=+-=即210.8t =解得 5.4t =③当P 在AC 上时，若CB ＝CP 时，810612BA PA BA AC PC +=+-=+-=即212t =解得6t =④当P 在AC 上时，若PC ＝PB 时，15PA AB ==8513BA AP ∴+=+=得到2t＝6；则t＝6.5．综上可得t＝3或5.4或6或6.5时，△BCP为等腰三角形．【点睛】本题考查了勾股定理，一元一次方程的应用，等腰三角形的性质与判定，分类讨论是解题的关键．9．（2022·吉林·八年级期末）如图，△ABC是等腰直角三角形，∠ACB=90°，AB=6．动点P从点A出发，以每秒2个单位长度的速度在射线AB上运动．点P出发后，连接CP，以CP为直角边向右作等腰直角三角形CDP，使∠DCP=90°，连接PD，BD．设点P的运动时间为t秒．(1)△ABC的AB边上高为；(2)求BP的长（用含t的式子表示）；(3)就图中情形求证：△ACP≌△BCD；(4)当BP：BD=1：2时，直接写出t的值．【答案】(1)3(2)当0＜t≤3时，PB=6-2t；当t＞3时，PB=2t-6；(3)见解析(4)t的值为2或6．【解析】【分析】（1）根据等腰直角三角形的性质解答即可；（2）根据两种情况，利用线段之间关系得出代数式即可；（3）根据SAS证明△ACP与△CBD全等即可；（4）利用全等三角形的性质解得即可．(1)解：∵△ABC是等腰直角三角形，∠ACB=90°，AB=6，∴△ABC的AB边上高=12AB=3，故答案为：3；(2)解：∵AB=6，动点P从点A出发，以每秒2个单位长度的速度在射线AB上运动，∴点P在线段AB上运动的时间为62=3（秒），当0＜t≤3时，PB=6-2t，当t＞3时，PB=2t-6；(3)证明：∵△ABC是等腰直角三角形，∠ACB=90°，∴AC=BC，∵∠PCD=90°，CP=CD，∴∠ACP+∠PCB=90°，∠PCB+∠BCD=90°，∴∠ACP=∠BCD，在△ACP与△CBD中，AC BC ACP BCD CP CD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△ACP ≌△CBD （SAS ）；(4)解：∵△ACP ≌△CBD ，∴AP =BD ，当BP ：BD =1：2，即BD =2BP 时，当0＜t ≤3时，2t =2(6-2t )，解得：t =2；当BP ：BD =1：2，即BD =2BP 时，当t ＞3时，2t =2(2t -6)，解得：t =6，综上所述，t 的值为2或6．【点睛】本题是三角形的综合题，关键是根据等腰直角三角形的性质和全等三角形的判定和性质解答．10．（2022·福建·厦门一中八年级期末）在锐角△ABC 中，∠B =45°，∠C =60°，AD ⊥BC 于点D．(1)如图1，过点B 作BG ⊥AC 于点G ，求证：AC =BF ；(2)动点P 从点D 出发，沿射线DB 运动，连接AP ，过点A 作AQ ⊥AP ，且满足AP AQ =．①如图2，当点P 在线线段BD 上时，连接PQ 分别交AD 、AC 于点M 、N ．请问是否存在某一时刻使得△APM 和△AQN 成轴对称，若有，求此刻∠APD 的大小；若没有，请说明理由．②如图3，连接BQ ，交直线AD 与点F ，当点P 在线段BD 上时，试猜想BP 和DF 的数量关系并证明；当点P 在DB 的延长线上时，若27AD FD =，请直接写出PB BD 的值．【答案】(1)证明过程见解析．(2)①存在某一时刻使得△APM 和△AQN 成轴对称，∠APD =30°，理由见解析．②BP =2DF ，47PB BD =【解析】【分析】（1）根据已知条件，证明△BDF 和△ADC 全等，即可得出AC =BF ．（2）①因为∠C =60°在Rt △ABC 中∠CAD =30°，∠PAQ =90°，由对称的性质可知∠PAD =∠QAC =30°，所以可以得出∠APD =60°；②过Q 作QE ⊥AD ，交AD 与点E ,可证△APD ≌△QAE ，得出AE =PD ，再证△APD ≌△QAE ，得出EF =DF ，再通过等量代换即可．(1)证明：∵AD ⊥BC∴∠ADB =∠ADC =90°又∵∠B =45°∴△ABD 是等腰直角三角形∴AD =BD∵BG ⊥AC∴∠BGC =90°又∵∠C =60°∴∠DAC =90°-∠C =90°-60°=30°∠FBD =90°-∠C =90°-60°=30°∴∠DAC =∠FBD在△BDF 和△ADC 中，FBD CDA BDF ADC BD AD ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△BDF ≌△ADC ∴AC =BF(2)①存在某一时刻使得△APM 和△AQN 成轴对称∵AQ ⊥AP∴∠QAP =90°由(1)的证明知∠DAC =30°，根据对称的性质，得∠PAD =∠QAC =2QAP CAD ∠-∠=90︒︒－30２=30°∵∠ADP =90°∴∠APD =90°-∠PAD =90°-30°=60°②BP =2DF理由如下:如图4所示,过Q 作QE ⊥AD ，交AD 与点E ,那么∠AEQ =∠FEQ =90°∴∠AQE +∠QAE =90°又∵∠PAD +∠QAE =90°∴∠AQE =∠PAD在△APD 和△QAE 中，AQE PAD AEQ PDA AQ AP ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△APD ≌△QAE ∴AE =PD ；AD =QE∴DE =BP又∵AD =BD∴BD =QE在△QEF 和△BDF 中，QEF BDF EFQ DFB EQ DB ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△QEF ≌△BDF∴EF =DF∴BP =2DF当点P 在DB 的延长线上时，如下图所示，由上述证明过程可知PB =2DF ，BD =AD又已知27AD FD∴DF =27AD∴PB =2×27BD =47BD ∴PB BD =47【点睛】本题考查了三角形全等的判定与性质，解题的关键是通过适当的作辅助线找等量关系从而得出三角形全等，再由全等的性质找出线段的关系，本题是一道压轴题，比较难．11．（2022·北京顺义·八年级期末）我们定义：在等腰三角形中，腰与底的比值叫做等腰三角形的正度．如图1，在△ABC 中，AB ＝AC ，AB BC的值为△ABC 的正度．已知：在△ABC 中，AB ＝AC ，若D 是△ABC 边上的动点（D 与A ，B ，C 不重合）．（1）若∠A ＝90°，则△ABC 的正度为；（2）在图1，当点D 在腰AB 上（D 与A 、B 不重合）时，请用尺规作出等腰△ACD ，保留作图痕迹；若△ACD的正度是2，求∠A 的度数．（3）若∠A 是钝角，如图2，△ABC 的正度为35，△ABC 的周长为22，是否存在点D ，使△ACD 具有正度？若存在，求出△ACD 的正度；若不存在，说明理由．【答案】（1）22（2）图见解析，∠A =45°（335．【解析】【分析】（1）当∠A＝90°，△ABC是等腰直角三角形，故可求解；（2）根据△ACD的正度是22，可得△ACD是以AC为底的等腰直角三角形，故可作图；（3）由△ABC的正度为35，周长为22，求出△ABC的三条边的长，然后分两种情况作图讨论即可求解．【详解】（1）∵∠A＝90°，则△ABC是等腰直角三角形∴AB=AC∵AB2+AC2=BC2∴BC∴△ABC2故答案为：2 2；（2）∵△ACD1）可得△ACD是以AC为底的等腰直角三角形故作CD⊥AB于D点，如图，△ACD即为所求；∵△ACD是以AC为底的等腰直角三角形∴∠A=45°；（3）存在∵△ABC的正度为3 5，∴ABBC＝35，设：AB＝3x，BC＝5x，则AC＝3x，∵△ABC的周长为22，∴AB＋BC＋AC＝22，即：3x+5x+3x＝22，∴x＝2，∴AB＝3x＝6，BC＝5x＝10，AC＝3x＝6，分两种情况：①当AC＝CD＝6时，如图过点A 作AE ⊥BC 于点E ，∵AB ＝AC ，∴BE ＝CE ＝12BC ＝5，∵CD ＝6，∴DE ＝CD −CE ＝1，在Rt △ACE 中，由勾股定理得：AE =在Rt △AED 中，由勾股定理得：AD =∴△ACD 的正度＝AC AD =②当AD ＝CD 时，如图由①可知：BE ＝5，AE ，∵AD ＝CD ，∴DE ＝CE −CD ＝5−AD ，在Rt △ADE 中，由勾股定理得：AD 2−DE 2＝AE 2，即：AD 2−（5−AD ）2＝11，解得：AD ＝185，∴△ACD 的正度＝185365AD AC ==．综上所述存在两个点D ，使△ABD 具有正度．△ABD 35．【点睛】此题考查了等腰三角形的性质，解题的关键是理解正度的含义、熟知勾股定理与等腰三角形的性质．12．（2022·北京西城·八年级期末）在ABC 中，120BAC ∠=︒，AB AC =，AD 为ABC 的中线，点E 是射线AD 上一动点，连接CE ，作60CEM ∠=︒，射线EM 与射线BA 交于点F ．（1）如图1，当点E 与点D 重合时，求证：2AB AF =；（2）如图2，当点E 在线段AD 上，且与点A ，D 不重合时，①依题意，补全图形；②用等式表示线段AB ，AF ，AE 之间的数量关系，并证明．（3）当点E 在线段AD 的延长线上，且ED AD ≠时，直接写出用等式表示的线段AB ，AF ，AE 之间的数量关系．【答案】（1）见解析；（2）AB AF AE =+，证明见解析；（3）当AD ED >时，AB AF AE =+,当AD ED <时，AB AE AF=-【解析】【分析】（1）根据等腰三角形三线合一的性质得60BAD CAD ∠=∠=︒，90ADC ∠=︒，从而可得在Rt ADB 中，30B ∠=︒，进而即可求解；（2）画出图形，在线段AB 上取点G ，使EG EA =，再证明()BGE FAE ASA ≅，进而即可得到结论；（3）分两种情况：当AD ED >时，当AD ED <时，分别画出图形，证明()BHE FAE ASA ≅或()NEF AEC ASA ≅，进而即可得到结论．【详解】（1）∵AB AC =，∴ABC 是等腰三角形，∵120BAC ∠=︒，∴30B C ∠=∠=︒,18012060FAC ∠=︒-︒=︒，∵AD 为ABC 的中线，∴60BAD CAD ∠=∠=︒，90ADC ∠=︒，∴6060120DAF CAD FAC ∠=∠+∠=︒+︒=︒，∵60CEM ∠=︒，∴906030ADF ∠=︒-︒=︒，∴180(12030)30AFD ∠=︒-︒+︒=︒，∴AD AF =，在Rt ADB 中，30B ∠=︒，∴22AB AD AF ==；（2）AB AF AE =+，证明如下：如图2，在线段AB 上取点G ，使EG EA =，∵60BAC ∠=︒，∴AEG △是等边三角形，∴60AEG ∠=︒，120BGE FAE ∠=∠=︒，∵ABC 是等腰三角形，AD 为ABC 的中线，∴EB EC =，BED CED ∠=∠，∴AEB AEC ∠=∠，即AEG GEB CEF AEF ∠+∠=∠+∠，∵60CEF AEG ∠=∠=︒，∴GEB AEF ∠=∠，在BGE △与FAE 中，GEB AEF EG EA BGE FAE ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩，∴()BGE FAE ASA ≅，∴GB AF =，∴AB GB AG AF AE =+=+；（3）当AD ED >时，如图3所示：与（2）同理：在线段AB 上取点H ，使EH EA =，∵60BAD ∠=︒，∴AEH △是等边三角形，∴120BHE FAE ∠=∠=︒，60AEH ∠=︒，∵ABC 是等腰三角形，AD 为ABC 的中线，∴BED CED ∠=∠，∵60CEF AEH ∠=∠=︒，∴HEB AEF ∠=∠，∴()BHE FAE ASA ≅，∴HB AF =，∴AB HB AH AF AE =+=+，当AD ED <时，如图4所示：在线段AB 的延长线上取点N ，使EN EA =，∵60BAD ∠=︒，∴AEN △是等边三角形，∴60AEN FNE ∠=∠=︒，∵60CEF AEN ∠=∠=︒∴NEF AEC ∠=∠，在NEF 与AEC △中，60FNE CAE EN EA NEF AEC ∠=∠=︒⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩，∴()NEF AEC ASA ≅，∴NF AC AB ==，=，∴BN AF=-=-，∴AB AN BN AE AF∴AB AE AF=-．【点睛】本题考查全等三角形的判定与性质、等腰三角形的性质以及等边三角形的判定与性质，根据题意做出辅助线找全等三角形是解题的关键．。
等腰三角形 典型例题
典型例题例题1 如图，P、Q是边BC上的两点，且，求的度数．分析由已知为等边三角形，故可求得它的外角的度数，又由等腰三角形的性质求得底角的度数．解（已知）∴（等边三角形三个角都为60°）∴（等边对等角）又（三角形的一个外角等于它不相邻的两个内角和）∴同理∴说明几何计算的目的通常是找量与量的关系，等腰三角形的两底角相等，等边三角形三内角均为60°，等腰三角形三线合一的性质等都是建立量与量的关系的依据．例题2 如图，在中，在CA的延长线上，是高．试说明EF与BC的位置关系．并说明理由．分析画出准确的图形，能看出，三角尺也能显示出有这样的关系，但这并不能作为理由．真正的理由应该用我们所学的知识去推理．结论是，从图中看EF、BC没有联系，但AD与BC是垂直的，只要说明，问题就解决了．解∴又为的一个外角∴∴∴∴∴说明（1）在同一三角形中，有边相等，要联想到角相等．（2）在这里AD起到“桥梁”的作用，有的题题目中没有现成的“桥梁”，还可以自己“制造”“桥梁”．拿本题来说，过点A画BC的平行线与EF相交，或者，过点E作BC的平行线与BA的延长线相交，也都可以作为“桥梁”．有兴趣的同学可以试一试．例题3 如图是我们最为熟悉的图形之一，这个图形可以看做是按照一定规则连结正五边形的顶点得到的，被称为正五角形．这个图形有几条对称轴？在这个图形中有哪些个等腰三角形？分析由这个图形与正五边形的关系知过点和B的直线，以及有类似特点的直线都是这个图形的对称轴．由于直线是图形的对称轴，所以图形沿直线进行翻折后，点与点重合，这使得线段与重合，线段与重合，可见与都是等腰三角形，利用同样的思路可以发现图中的其他等腰三角形．解这个图形有五条对称轴．在这个图形中共有十个等腰三角形，可以视为两组：；，以及说明如果你只发现了图中的五个三角形，请不要以“粗心”原谅自己，而应该感到自己从多角度观察、思考问题的意识不强，基本功还差．例题4 一个等腰三角形的周长为18cm，一边长为4cm，求其他两边的长．分析题目中给出“一边长为4”，究竟是腰长为4，还是底边长为4呢？都无法确定，也许这两种情况都有可能，所以应该分两种情况进行讨论．解若以4cm长的边为底边，设腰长为x cm，则 cm．若以4cm长的边为腰，设底边长为x，则 cm．，出现二边之和小于第三边的情况，所以以4cm长为腰不能组成三角形．故其他两边的长为7cm、7cm．说明（1）涉及等腰三角形的边的问题，在未指明腰和底的情况下，要分情况予以讨论．（2）凡涉及三角形三边的长时，一定要检查三边能否构成一个三角形。
等腰三角形经典习题(必看)
等腰三角形经典习题(必看)等腰三角形经典题（必看）以下是一些经典的等腰三角形题，希望能对你的研究有所帮助。
1. 判断等腰三角形给定一个三角形ABC，其中AB=AC。
你需要判断这个三角形是否为等腰三角形。
解答：如果角B等于角C，则该三角形为等腰三角形。
2. 求等腰三角形的周长已知一个等腰三角形ABC，其中AB=AC，且BC=8cm。
你需要求解这个等腰三角形的周长。
解答：由于AB=AC且BC=8cm，那么周长等于AB+AC+BC=2AB+BC=2(BC/2)+BC=BC+BC=2BC=2*8cm=16cm。
3. 求等腰三角形的面积已知一个等腰三角形ABC，其中AB=AC=10cm，且角BAC等于60度。
你需要求解这个等腰三角形的面积。
解答：由于AB=AC=10cm且角BAC等于60度，我们可以利用正弦定理来计算三角形的高。
设三角形的高为h，那么有sin60度=h/10cm，解得h=10cm*sin60度=10cm*sqrt(3)/2=5sqrt(3)cm。
等腰三角形的面积可以通过底边乘以高再除以2来计算，即面积=10cm*5sqrt(3)cm/2=25sqrt(3)cm²。
4. 求等腰三角形的顶角已知一个等腰三角形ABC，其中AB=AC=5cm，且BC=6cm。
你需要求解这个等腰三角形的顶角。
解答：由于AB=AC=5cm且BC=6cm，我们可以使用余弦定理来计算角BAC的大小。
设角BAC为x度，则有cosx=(5²+5²-6²)/(2*5*5)=19/25。
解得x=arccos(19/25)≈31.8度。
因此，等腰三角形的顶角大约为31.8度。
以上是一些关于等腰三角形的经典习题，希望对你的学习有所帮助。
如果你还有其他问题，请随时向我提问。
等腰三角形与直角三角形练习题
等腰三角形与直角三角形练习题一、等腰三角形练习题（一）基础巩固1、已知等腰三角形的一个内角为 80°，则它的另外两个内角分别是多少度？解：当 80°的角为顶角时，底角的度数为：（180° 80°）÷ 2 ＝ 50°，所以另外两个内角分别是 50°，50°。
当 80°的角为底角时，顶角的度数为：180° 80°× 2 ＝ 20°，所以另外两个内角分别是 80°，20°。
2、等腰三角形的两边长分别为 6 和 8，则其周长是多少？解：当腰长为 6 时，三边长分别为 6，6，8，因为 6 ＋ 6＞8，所以能组成三角形，此时周长为 6 ＋ 6 ＋ 8 ＝ 20。
当腰长为 8 时，三边长分别为 8，8，6，因为 8 ＋ 6＞8，所以能组成三角形，此时周长为 8 ＋ 8 ＋ 6 ＝ 22。
综上，其周长为 20 或 22。
3、一个等腰三角形的周长为 20，其中一边长为 8，求另外两边的长。
解：当 8 为腰长时，底边长为 20 8× 2 ＝ 4，因为 8 ＋ 4＞8，所以能组成三角形，此时另外两边长分别为 8，4。
当 8 为底边时，腰长为(20 8)÷ 2 ＝ 6，因为 6 ＋ 6＞8，所以能组成三角形，此时另外两边长分别为 6，6。
（二）能力提升1、等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为 30°，则顶角的度数为多少？解：当等腰三角形为锐角三角形时，腰上的高与另一腰的夹角为30°，则顶角为 60°。
当等腰三角形为钝角三角形时，腰上的高与另一腰的夹角为 30°，则顶角的外角为 60°，所以顶角为 120°。
综上，顶角的度数为 60°或 120°。
2、如图，在△ABC 中，AB ＝ AC，D 是 BC 边上的中点，∠B ＝30°，求∠1 和∠ADC 的度数。
等腰三角形试题参考模板范本
等腰三角形 姓名一、填空题（16×2′=32′）1、已知等腰三角形一腰长为2cm ，底边的长为1cm ，则它的周长为 cm 。
2、已知等腰三角形的两边长分别为2和4，则它的周长为3、已知等腰三角形的两边长分别为4和54、已知等腰三角形的底角为5005、已知等腰三角形的一个角为3806、已知等腰三角形的一个角为12007、已知如图，AB=AC ，∠A=360，∠1=∠ 图中等腰三角形 个8、已知：如图，D 是ΔABC 中AB 边上一点，E 是CA 延长线上一点，EAB=AC ，AE=AD ，∠B=400，则∠E= 度；∠1= 度 A9、画水平放置的正三角形ABC 的直观图， D 1画法：1、画AB 边上的高CD B E C2、画线段A ′B ′，使A ′B ′=3、取 画∠ED ′B ′= C E4、在射线DE 上截取D ′C ′=1/2DC C ′5、连A ′C ′，B ′C ′∴Δ 就是水平放置的正三角形ABC 的 A D B A′ D ′ B ′ 10、下列命题中，①两直线平行，同位角相等；②全等三角形对应角相等；③在一个三角形中，等边对等角；④等腰三角形是等边三角形。
它们的逆命题是真命题的个数有 个二、选择题（4′×7=28′） A11、如图，在等腰三角形的底边BC 上的高AD 上取一点E ， E连BE ，CE ，则图中有全等三角形的对数（ ）A 、0对B 、1对C 、2对D 、3对 B D C12、如果等腰三角形的一个外角为1350，那么底角为（ ）A 、450B 、720C 、67.50D 、450或67.5013、以下命题属于假命题的是（ ）A 、两底角相等的三角形是等腰三角形B 、在一个三角形中，等边对等角C 、ΔABC 中，∠A=∠B ，则ΔABC 是等腰三角形D 、有一个角是600的等腰三角形是正三角形14、已知等腰三角形的底边和一腰长是方程组⎩⎨⎧=+=+7342y x y x 的解，这个三角形的周长为（ ）A 、3B 、4C 、4或5D 、515、等腰三角形一腰上的中线分此三角形为两个三角形，若这两个三角形的周长相差2，且等腰三角形底边长是8，则它的腰长是（ ）A 、3或5B 、5或6C 、5或10D 、6或1016、已知等腰三角形顶角等于一个底角的两倍，那么这个底角为（ ）A 、300B 、450C 、600D 、90017、若a 、b 、c 为ΔABC 的三边，且a 2+b 2+c 2=ab+bc+ac ，则ΔABC 是（ ）A 、等腰三角形B 、等边三角形C 、直角三角形D 、非特殊三角形三、解答题（共40′）18、（10′）在ΔABC中，AB=AC，∠CDA=600，AD⊥AC于点A，求∠BAD的度数AB D C19、（10′）画一个水平放置的底边长为2.5cm，高为3cm的正三棱柱直观图20、（10′）如图OB，OC分别是ΔABC的∠ABC和∠ACB的平分线，交于点O，过O作OE∥AB交BC于E，OF∥AC交BC于F，BC=1998，求ΔOEF的周长AOB E F C21、（10′）如图，ΔBCE，ΔADC都是正三角形，求证：AE=BDDEA C B。
等腰等边三角形典型题
等腰等边三角形典型题一、等腰三角形典型题1. 题目：在等腰△ABC中，AB = AC，∠A = 50°，求∠B和∠C的度数。
- 解析：因为AB = AC，所以△ABC是等腰三角形，等腰三角形两底角相等。
三角形内角和为180°，已知∠A=50°，设∠B = ∠C = x，则可列方程x + x+50° = 180°，2x=180° - 50°，2x = 130°，解得x = 65°，所以∠B = ∠C = 65°。
2. 题目：等腰三角形的一个角是70°，求这个等腰三角形的顶角的度数。
- 解析：分两种情况讨论。
- 当这个70°的角是底角时，因为等腰三角形两底角相等，所以另一个底角也是70°，根据三角形内角和为180°，则顶角为180°-70°×2 = 180° - 140°=40°。
- 当这个70°的角是顶角时，顶角就是70°。
3. 题目：已知等腰三角形的腰长为5cm，底边长为6cm，求这个等腰三角形的面积。
- 解析：先作等腰三角形底边上的高。
因为等腰三角形三线合一（底边上的高、中线、顶角平分线三线合一），所以底边上的高将底边平分。
底边长为6cm，则底边的一半是3cm。
根据勾股定理，高h=√(5^2)-3^{2}=√(25 - 9)=√(16) = 4cm。
三角形面积S=(1)/(2)×底×高=(1)/(2)×6×4 = 12cm^2。
二、等边三角形典型题1. 题目：等边三角形ABC的边长为6，求它的高和面积。
- 解析：- 求高：因为等边三角形三线合一，设等边三角形的高为h，边长为a = 6，根据勾股定理h=√(a^2)-<=ft((a)/(2))^{2}=√(6^2)-3^{2}=√(36 - 9)=√(27)=3√(3)。
等腰三角形经典例题整理.doc
1．等腰三角形ABC中，AB=AC，一腰上的中线BD?将这个等腰三角形周长分成15 和6 两部分，求这个三角形的腰长及底边长．2、如图，在△ABC 中，∠B 和∠C 的平分线相交于点O，且OB=OC ，请说明AB=AC 的A理由。
OB C3·.已知，AB ＝AC ，∠ABD ＝∠ACD ，求证：DB ＝DCAB CD4 已知，如图，△ABC 中，AB ＝AC ，D 是AB 上一点，E 是AC 延长线上一点，DE 交BC于F，又BD＝CE，求证：DF＝EFADB CFE5. 如图，P 是等边三角形ABC内的一点，连结PA、PB、PC，?以BP为边作∠PBQ=60°，且BQ=BP，连结CQ．观察并猜想AP与CQ之间的大小关系，并证明你的结论．6，已知，如图，AB ＝AC＝CD，求证：∠B＝2∠DAB C DE7、如图6，在等边△ABC 中，D、E 分别在边BC 、BA 的延长线上，且AE ＝BD，求证：CE＝DE.AB C DF图6 8·已知，如图，△ABC 是等边三角形，AD//BC ，AD ⊥BD ，BC＝6，求AD 的长。
D AB C9. 已知，如图，△ABC 中，∠C＝90°，AB 的垂直平分线交AB 于E，交AC 于D，AD ＝8，∠A ＝30°，求CD 的长。
CDA BE10、如图11，在△ABC 中，∠A＝90°，AB ＝AC ，D 为BC 边中点，E、F 分别在AB、AC 上，且DE ⊥DF，求证：AE＋AF 是一个定值.AFECB D图11已知，如图，△ ABC 是等边三角形， E 是 AB 上一点， D 是 AC 上一点，且 AE ＝CD ，又 BD 与 CE 交于点 F ，试求∠ BFE 的度数。
A EDFBC 6. 已知，如图，△ ABC 中，∠ B ＝90°， AC 的垂直平分线交 AC 于D ，交 BC 于E ，又∠ C ＝15°， EC ＝10，求 AB 的长。
初二数学-等腰三角形10道典型题剖析
思路分析：由BD平分∠ABC，
A
易知∠1=∠2， 则设∠1=∠2
=x，由AB=AC可得
1
∠C=∠1+∠2=2x,在△DBC中
2
由三角形内角和定理可列出x B
D C
的方程，求出x．
解：设1 x,
BD平分ABC，
A
1 2 x, AB AC,
1 2
B
D C
C ABC 1 2 2x．
在DBC中，
提示： 本题为文字命题，解题时应分为以下 三个步骤： （1）根据题意作图； （2）写出已知， （3）进行求证．
已知：在ABC中，AB AC, D为底边BC
的中点，DE AB于点E, DF AC于点F．
求证：DE DF．
A
思路分析：由等腰三角形的性质易得
E
F
B C,又BD DC，DE AB, DF AC，
∴∠FBC+∠C+∠FBC=3∠C,
∴∠FBC=∠C, ∴BF=FC, ∴AC-AB=2BE.
例8．如图，△ABD、 △AEC都是等边三角 形，求证： △AFG是等边三角形．
思路分析：利用等边三角 形的性质可推出，边、角 的等量关系，从而易证三 角形全等，进而说明
△AFG是等边三角形．
证明：∵△ABD 和△AED是正三角形， ∴AB=AD,AC=AE,∠BAD=∠CAE=60°, ∴ ∠CAD=∠BAD+∠CAB=60°+∠CAB, ∠BAE=∠CAE+∠CAB=60°+∠CAB, ∴ ∠CAD=∠BAE, △ADC≌△BAE, ∴ ∠ADF=∠GBA．
70°、40°或55°、55°
引申： 已知等腰三角形的一个角是110°， 求其余两角．
完整版)等腰三角形专项练习题
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1.在等腰三角形ABC中，AB=AC，BD平分∠ABC，已知∠A=36°，求∠1的度数。
解：由BD平分∠XXX可知∠ABD=∠CBD，又因为AB=AC，所以∠BAC=2∠ABD=2∠CBD，即∠1=180°-∠BAC=108°。
2.已知等腰三角形的两边长分别为5和6，求该等腰三角形的周长。
解：设等腰三角形的底边为x，则根据勾股定理可得x²=6²-(5/2)²=31.25，即x=√31.25，所以周长为2x+5+6=2√31.25+11≈17.5.3.在一张长为18厘米，宽为16厘米的矩形纸板上，剪下一个腰长为10厘米的等腰三角形，且要求等腰三角形的一个顶点与矩形的一个顶点重合，其它两个顶点在矩形的边上，求剪下的等腰三角形的面积。
解：如图，设剪下的等腰三角形为△ABC，其中AB=AC=10，BC=x，则根据勾股定理可得x²=16²-10²=196，即x=14.所以△ABC的面积为(1/2)×10×14=70平方厘米。
4.如图，在等腰三角形ABC中，∠B、∠C的平分线相交于F，过点F作DE∥BC，交AB于D，交AC于E，判断下列结论的正确性：①△BDF、△CEF都是等腰三角形；②DE=BD+CE；③△ADE的周长为AB+AC；④BD=CE。
解：①正确，因为∠XXX∠XXX∠XXX∠XXX∠BAC/2，所以△BDF、△CEF都是等腰三角形；②正确，因为根据相似三角形可得BD/BC=AD/AC，CE/BC=AE/AC，又因为AD=AE，所以BD=CE，即DE=2BD；③错误，因为AB+AC=2AB≠AD+DE+EA=AD+2BD；④正确，因为根据相似三角形可得BD/BC=AD/AC，CE/BC=AE/AC，又因为AD=AE，所以BD=CE。
等腰三角形经典题型总结(绝对经典)
等腰三角形知识点梳理知识点一等腰三角形的有关概念要点：定义：有两条边相等的三角形是等腰三角形。
相等的两条边叫做腰，另一条边叫做底。
两腰所夹的角叫做顶角；腰与底边的夹角叫做底角。
典例分析1、等腰三角形的两边长分别是3和6，那么它的周长为（）A．15 B．12 C．12或15 D．不能确定2、等腰三角形两边长分别是5和6，那么它的第三边长是（）A．5 B．6 C．5或6 D．不能确定3．如图，ABC∠的平分线，∠=︒，CD是ACB∆中，AB ACA=，36 Array //DE BC．找出下图中的所有等腰三角形。
（只需写出来即可）知识点二等腰三角形的性质要点：（1）性质一：等腰三角形的两个底角相等；（等边对等角）（2）性质二：等腰三角形的高、中线、角平分线互相重合；（三线合一）1 / 122 / 12典例分析1、等腰三角形的一个角是80°，则它顶角的度数是（ ） A ．80°B ．80°或20°C ．80°或50°D ．20°2、在等腰△ABC 中，AB=AC ，中线BD 将这个三角形的周长分为15和12两个部分，则这个等腰三角形的底边长为（ ） A ．7B ．11C ．7或11D ．7或103、如图所示，△ABC 中，AC=AD=BD ，∠DAC=80°，则∠B 的度数是（ ）A 、40ºB 、35ºC 、25ºD 、20º4、如图，△ABC 中，AB=AC ，∠A=36°，BD 是AC 边上的高，则∠DBC 的度数是（ ） A ．18° B ．24° C ．30° D ．36°第 4题图 第 5题图3 / 125、如图，在△ABC 中，AB=AC ，DE ∥BC ，∠ADE=48°，则下列结论中不正确的是（ ） A ．∠B=48°B ．∠AED=66°C ．∠A=84°D ．∠B+∠C=96°6、已知等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为60°，则这个等腰三角形的顶角是 （ ） A ．30°B ．60°C ．150°D ．30°或1507、如图，等腰△ABC 的周长为21，底边BC=5，AB 的垂直平分线DE 交AB 于点D ，交AC 于点E ，则△BEC 的周长为（ ） A ．13 B ．14C ．15D ．167题图 8题图8、如图，在△ABC 中，AB=AC ，点D 、E 在BC 上，连接AD 、AE ，如果只添加一个条件使∠DAB=∠EAC ，则添加的条件不能为（ ） A ．BD=CE B ．AD=AEC ．DA=DED ．BE=CD4 / 129、如图，△ABC 中，D 、E 两点分别在AC 、BC 上，则AB=AC ，CD=DE ．若∠A=40°，∠ABD ：∠DBC=3：4，则∠BDE=（ ） A ．25° B ．30° C ．35° D ．40°9题图10题图10、如图，在△ABC 中，AB=AC ，∠A=36°，AB 的中垂线DE 交AC 与D ，交AB 于E ，下列论述错误的是（ ） A ．BD 平分∠ABC B ．D 是AC 的中点C ．AD=BD=BCD ．△BDC 的周长等于AB+BCA ．45°B ．75°C ．45°或75°或15°D ．60°★12、如图，在△ABC中，∠ACB=100°，AC=AE，BC=BD，则∠DCE的度数为（）A．20°B．25°C．30°D．40°13、如图，在△ABC中，AB=20cm，AC=12cm，点P从点B出发以每秒3cm的速度向点A运动，点Q从点A同时出发以每秒2cm的速度向点C运动，其中一个动点到达端点时，另一个动点也随之停止运动，当△APQ是等腰三角形时，运动的时间是（）A．2.5秒B．3秒C．3.5秒D．4秒13 题图 14题图★14、如图所示，在△ABC中，AB=AC，∠BAD=α，且AE=AD，则∠EDC=（）A．12αB．13αC．14αD．23α5 / 126 / 1215、如图，在直角ABC ∆中，90,C CAB ∠=︒∠的平分线AD 交BC 于点D ，若DE 垂直平分线AB ，求B ∠的度数.16、如图，在ABC ∆中，,AB AC AD =和BE 是ABC ∆的高，AD 与BE 相交于点H ，且.AE BE =求证：知识点三 等腰三角形的判定要点：（1）定义判定：两边相等的三角形是等腰三角形； （2）性质判定：两角相等的三角形是等腰三角形； 典例分析1、如图，在△ABC 中，AB=AC ，∠A=36°，BD ，CE 分别为∠ABC ，∠ACB 的角平分线，则图中等腰三角形共有（ ） A ．5个B ．6个C ．7个D ．8个DDBACH E DCBA7 / 12第1题图 第 2题图 2、如图，在△ABC 中，AB=AC ，点D 、E 在BC 边上，∠ABD=∠DAE=∠EAC=36°，则图中共有等腰三角形的个数是（ ） A ．4个B ．5个C ．6个D ．7个3、在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，点A 的坐标为(1,3) ，M 为坐标轴上一点，且使得△MOA 为等腰三角形，则满足条件的点M 的个数为（ ） A ．4B ．5C ．6D ．84、如图，在平面直角坐标系中，点A 在第一象限，点P 在x 轴上，若以P ，O ，A 为顶点的三角形是等腰三角形，则满足条件的点P 共有（ ） A ．2个 B ．3个 C ．4个 D ．5个8 / 125、如图所示的正方形网格中，网格线的交点称为格点．已知A 、B 是两格点，如果C 也是图中的格点，且使得△ABC 为等腰三角形，则点C 的个数是（ ） A ．6 B ．7C ．8D ．95题图 6题图 8题图 9题图 6、如图，点A 的坐标是（1，1），若点B 在x 轴上，且△ABO 是等腰三角形，则点B 的坐标不可能是（ ）A.(2,0) B 、（0,21） C 、（0,2 ） D 、（1,0） 7、下列能断定△ABC 为等腰三角形的是（ ） A ．∠A=30°，∠B=60° B ．∠A=50°，∠B=80° C ．AB=AC=2，BC=4D ．AB=3，BC=7，周长为108、如图：若AD 平分∠BAC ，AD ∥EC ，则（ ）是等腰三角形． A ．△ABDB ．△ACDC ．△ACED ．△ABC9、如图，在△ABC 中，AD 平分外角∠EAC ，且AD ∥BC ，则△ABC 一定是（ ）A 、任意三角形B 、等边三角形C 、等腰三角形D 、直角三角形9 / 1210、如图，∠MON=43°，点A 在射线OM 上，动点P 在射线ON 上滑动，要使△AOP 为等腰三角形，那么满足条件的点P 共有（ ） A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个第10题图 第11题图11、如图，一种电子游戏，电子屏幕上有一正方形ABCD ，点P 沿直线AB 从右向左移动，当出现：点P 与正方形四个顶点中的至少两个顶点构造成等腰三角形时，就会发出警报，则直线AB 上会发出警报的点P 有（ ） A ．7个 B ．8个C ．9个D ．10个12、若△ABC 的三边a ，b ，c 满足（a-b ）（b-c ）（c-a ）=0，那么△ABC 的形状是（ ）A ．等腰三角形B ．直角三角形C ．等边三角形D ．锐角三角形10 / 1213、如图，△ABC 中，∠ABC 与∠ACB 的平分线交于点F ，过点F 作DE ∥BC 交AB 于点D ，交AC 于点E ，那么下列结论： ①△BDF 和△CEF 都是等腰三角形； ②DE=BD+CE ；③△ADE 的周长等于AB 与AC 的和； ④BF=CF ．其中正确的有（ ） A ．①②③B ．①②③④C ．①②D ．①14、如图，,BO CO 分别平分,,//,//ABC ACD OD AB OE AC ∠∠，若6,7,8,AC cm AB cm BC cm ===则DOE ∆的周长是 。
等腰三角形典型例题
等腰三角形典型例题【例1】如图所示，△ABC中，AB=AC，D在BC上，且BD=AD，DC=AC，求∠B的度数。
ACB D思路点拨：只要把“等边对等角”这一性质用在三个不同的等腰三角形中，然后用方程思想解题，列方程的依据是三角形的内角和定理。
解：∵AB=CD（已知）∴∠B=∠C（等边对等角）同理：∠B=∠BAD，∠CAD=∠CDA设∠B为X0，则∠C=X0，∠BAD=X0∴∠ADC=2X0，∠CAD=2X0在△ADC中，∵∠C+∠CAD+∠ADC=1800∴X+2X+2X=180∴X=36答：∠B的度数为360注：用代数方法解几何计算题常可使我们换翻为简。
练习1：如图所示，在△ABC中，D是AC上一点，并且AB=AD，DB=DC，若∠C=290，则∠A=__＿练习2：如图在△ABC 中，AB=AC,点D 在AC 上，且BD=BC=AD,求△ABC 各角的度数？【例2】如图所示，在△ABC 中，AB=AC ，O 是△ABC 内一点，且OB=OC 。
求证：AO ⊥BC思路点拨：要证AO ⊥BC ，即证AO是等腰三角形底边上的高，根据三线合一定理，只要先证AO 是顶角的平分线即可。
B证明：延长AO 交BC 于DAB=AC （已知） 在△ABO 和△ACO 中 OB=OC （已知） AO=AO（公共边） ∴△ABO ≌△ACO （SSS ） ∴∠BAO=∠CAO即∠BAD=∠CAD （全等三角形的对应角相等）∴AD ⊥BC ，即AO ⊥BC （等腰三角形顶角的平分线与底边上的高互相重合）评注：本题用两次全等也可达到目的.。
练习：如图所示，点D 、E 在△ABC 的边BC 上，AB=AC ，AD=AE 求证：BD=CE【例3】求证等腰三角形底边上任一点到两腰的距离之和等于一腰上C的高。
思路点拨：本题为文字题，文字题必须按下列步骤进行：（1）根据题意画出图形；（2）根据图形写出“已知”、“求证”；（3）写出证明过程。
四年级数学下册典型例题系列之第五单元：等腰三角形的实际应用专项练习(解析版)人教版
2021-2022学年四年级数学下册典型例题系列之第五单元：等腰三角形的实际应用专项练习（解析版）1．已知一个等腰三角形中的一个内角是50°，那么这个三角形的另外两个内角可能是多少度？【答案】另外两个角都是65度或一个80度、一个50度。
【解析】【分析】①当50°的角是顶角时，用180°减去50°的差除以2即可求出另外两个角的度数；②当50°的角是底角时，那么另一个底角也是50°，用180°减去2个50°的和即可求出第三个角；【详解】①50°的角是顶角：（180°－50°）÷2＝130°÷2＝65°②50°的角是底角：180°－50°×2＝180°－100°＝80°答：另外两个角都是65度或一个80度、一个50度。
【点睛】熟练掌握等腰三角形的特征及三角形的内角和是180度是解答此题的关键。
2．一个三角形它有两个角都是60°，它的一条边长是16cm。
另一个等腰三角形的周长与它相等，已知这个等腰三角形的底边长22cm，它的腰长是多少cm？【答案】13cm【解析】根据一个三角形它有两个角都是60°，可知这个三角形的第三个角也是60°，这是个等边三角形，等边三角形的三条边都相等，据此即可求出这个等边三角形的周长，也就是等腰三角形的周长，再根据等腰三角形的特征，即可求出等腰三角形的腰长。
【详解】180°－60°－60°＝120°－60°＝60°这是个等边三角形；16×3＝48（cm）（48－22）÷2＝26÷2＝13（cm）答：它的腰长是13cm。
【点睛】等腰三角形：有两条边相等的三角形。
等腰三角形经典练习题及详细答案
等腰三角形练习题一、计算题：1. 如图，△ABC 中，AB=AC,BC=BD,AD=DE=EB 求∠A 的度数2.如图，CA=CB,DF=DB,AE=AD 求∠A 的度数3、AB 于⊥AB 于E ，DF ⊥BC 交AC 于点F ，若∠EDF=70°，求∠AFD 的度数CFDA4. 如图，△ABC 中，AB=AC,BC=BD=ED=EA 求∠A 的度数5. 如图，△ABC 中，AB=AC ，D 在BC 上, ∠BAD=30°,在AC 上取点E ，使AE=AD, 求∠EDC 的度数6. 如图，△ABC 中，∠C=90°，D 为AB 上一点，作DE ⊥BC 于E ，若BE=AC,BD=21,DE+BC=1,求∠ABC 的度数BBDC7. 如图，△ABC 中，AD 平分∠BAC ，若AC=AB+BD 求∠B ：∠C 的值二、证明题：8. 如图，△DEF 中，∠EDF=2∠E ，FA ⊥DE 于点A ，问：DF 、AD 、AE 间有什么样的大小关系9. 如图，△ABC 中，∠B=60°，角平分线AD 、CE 交于点O求证：AE+CD=ACABCDAD FEABCDE12. 如图,△ABC 中,AB=AC,D 为△ABC 外一点，且∠ABD=∠ACD =60° 求证：CD=AB-BD13.已知：如图，AB=AC=BE ，CD 为△ABC 中AB 边上的中线求证：CD=21CE14. 如图，△ABC 中，∠1=∠2，∠EDC=∠BAC 求证：BD=EDECA BDE1 2 ABCD15. 如图，△ABC 中，AB=AC,BE=CF,EF 交BC 于点G 求证：EG=FG16. 如图，△ABC 中，∠ABC=2∠C ，AD 是BC 边上的高，B 到点E ，使BE=BD求证：AF=FC17. 如图，△ABC 中，AB=AC,AD 和BE 两条高，交于点H ，且AE=BE 求证：AH=2BDABDFECBD18. 如图，△ABC 中，AB=AC, ∠BAC=90°,BD=AB, ∠ABD=30° 求证：AD=DC19. 如图，等边△ABC 中，分别延长BA 至点E ，延长BC 至点D ，使AE=BD 求证：EC=ED20. 如图，四边形ABCD 中，∠BAD+∠BCD=180°，AD 、BC 的延长线交于点F ，DC 、AB 的延长线交于点E ，∠E 、∠F 的平分线交于点H 求证：EH ⊥FHBCDHABDCEF一、计算题：1. 如图，△ABC中，AB=AC,BC=BD,AD=DE=EB求∠A的度数设∠ABD为x,则∠A为2x由8x=180°得∠A=2x=45°2.如图，CA=CB,DF=DB,AE=AD求∠A的度数设∠A为x,由5x=180°得∠A=36°3. 如图，△ABC中，AB=AC，D在BC上，DE⊥AB于E，DF⊥BC交AC于点F，若∠EDF=70°，求∠AFD的度数∠AFD=160°FDAB4. 如图，△ABC中，AB=AC,BC=BD=ED=EA求∠A的度数设∠A为x∠A=71805. 如图，△ABC中，AB=AC，D在BC上, ∠BAD=30°,在AC上取点E，使AE=AD, 求∠EDC的度数设∠ADE为x∠EDC=∠AED－∠C=15°B2x6. 如图，△ABC 中，∠C=90°，D 为AB 上一点，作DE ⊥BC 于E ，若BE=AC,BD=21,DE+BC=1,求∠ABC 的度数 延长DE 到点F,使EF=BC 可证得:△ABC ≌△BFE 所以∠1=∠F 由∠2+∠F=90°, 得∠1+∠F=90°在Rt △DBF 中, BD=21,DF=1所以∠F =∠1=30°7. 如图，△ABC 中，AD 平分∠BAC ，若AC=AB+BD 求∠B ：∠C 的值在AC 上取一点E,使AE=AB 可证△ABD ≌△ADE 所以∠B=∠AEDFAE由AC=AB+BD,得DE=EC,所以∠AED=2∠C 故∠B ：∠C=2:1 二、证明题：8. 如图，△ABC 中，∠ABC,∠CAB 的平分线交于点P ，过点P 作DE ∥AB ，分别交BC 、AC 于点D 、E 求证：DE=BD+AE 证明△PBD 和△PEA 是等腰三角形9. 如图，△DEF 中，∠EDF=2∠E ，FA ⊥DE 于点A ，问：DF 、AD 、AE 间有什么样的大小关系 DF+AD=AE在AE 上取点B,使AB=AD10. 如图，△ABC 中，∠B=60°，角平分线AD 、CE 交于点O 求证：AE+CD=AC 在AC 上取点F,使AF=AE 易证明△AOE ≌△AOF, 得∠AOE=∠AOF由∠B=60°，角平分线AD 、CE,CBAD EPAD FEBOABCDEF得∠AOC=120°所以∠AOE=∠AOF=∠COF=∠COD=60°故△COD ≌△COF,得CF=CD所以AE+CD=AC11. 如图，△ABC 中，AB=AC, ∠A=100°，BD 平分∠ABC,求证：BC=BD+AD延长BD 到点E,使BE=BC,连结CE在BC 上取点F,使BF=BA易证△ABD ≌△FBD,得AD=DF再证△CDE ≌△CDF,得DE=DF故BE=BC=BD+AD也可:在BC 上取点E,使BF=BD,连结DF在BF 上取点E,使BF=BA,连结DE先证DE=DC,再由△ABD ≌△EBD,得AD=DE,最后证明DE=DF 即可 12. 如图,△ABC 中,AB=AC,D 为△ABC 外一点，且∠ABD=∠ACD =60° 求证：CD=AB-BD在AB 上取点E ，使BE=BD ，在AC 上取点F ，使CF=CD得△BDE 与△CDF 均为等边三角形，只需证△ADF ≌△AED AC FA C E F A BCDE F13.已知：如图，AB=AC=BE ，CD 为△ABC 中AB 边上的中线求证：CD=21CE 延长CD 到点E,使DE=CD.连结AE 证明△ACE ≌△BCE14. 如图，△ABC 中，∠1=∠2，∠EDC=∠BAC求证：BD=ED在CE 上取点F,使AB=AF易证△ABD ≌△ADF,得BD=DF,∠B=∠AFD 由∠B+∠BAC+∠C=∠DEC+∠EDC+∠C=180°所以∠B=∠DEC所以∠DEC=∠AFD所以DE=DF,故BD=ED15. 如图，△ABC 中，AB=AC,BE=CF,EF 交BC 于点G求证：EG=FGE C A B D E 1 2 F16. 如图，△ABC 中，∠ABC=2∠C ，AD 是BC 边上的高，B 到点E ，使BE=BD 求证：AF=FC17. 如图，△ABC 中，AB=AC,AD 和BE 两条高，交于点H ，且AE=BE 求证：AH=2BD 由△AHE ≌△BCE,得BC=AH18. 如图，△ABC 中，AB=AC, ∠BAC=90°,BD=AB,∠ABD=30°求证：AD=DC作AF ⊥BD 于F,DE ⊥AC 于E可证得∠DAF=DAE=15°,所以△ADE ≌△ADF得AF=AE,由AB=2AF=2AE=AC,所以AE=EC,因此DE 是AC 的中垂线,所以AD=DCA B DFE C B D19. 如图，等边△ABC 中，分别延长BA 至点E ，延长BC 至点D ，使AE=BD 求证：EC=ED延长BD 到点F,使DF=BC,可得等边△BEF,只需证明△BCE ≌△FDE 即可20. 如图，四边形ABCD 中，∠BAD+∠BCD=180°，AD 、BC 的延长线交于点F ，DC 、AB 的延长线交于点E ，∠E 、∠F 的平分线交于点H求证：EH ⊥FH延长EH 交AF 于点G由∠BAD+∠BCD=180°,∠DCF+∠BCD=180°得∠BAD=∠DCF,由外角定理,得∠1=∠2,故△FGM 是等腰三角形 由三线合一,得EH ⊥附录资料：不需要的可以自行删除生活中的物理知识大全厨房中的物理知识我们认真观察厨房里燃料、炊具，做饭、做菜等全部过程，回忆厨房中发生的一系列变化，会看到有关的物理现象。
等腰三角形经典习题(必看)
等腰三角形经典习题(必看)题一：求等腰三角形的面积
题目描述
给定一个等腰三角形，已知底和高的长度分别为x和y，求该等腰三角形的面积。
解题思路
由于等腰三角形的底和高两边相等，可以利用三角形的面积公式求解。
面积公式为：$S = \frac{1}{2} \times x \times y$。
题二：求等腰三角形的周长
题目描述
给定一个等腰三角形，已知底的长度为x，求该等腰三角形的周长。
解题思路
由于等腰三角形的底和两边相等，可以利用周长公式求解。
周
长公式为：$P = 2 \times x + 2 \times \sqrt{\frac{x^2}{4} + y^2}$。
题三：求等腰三角形的顶角
题目描述
给定一个等腰三角形，已知底和高的长度分别为x和y，求该
等腰三角形的顶角。
解题思路
等腰三角形的顶角可以通过三角函数求得。
顶角的弧度可以表
示为：$r = \arctan(\frac{y}{\frac{x}{2}})$，然后将弧度转换为角度：$a = \frac{180 \times r}{\pi}$。
总结
通过以上题，我们可以掌握等腰三角形的面积、周长和顶角的
求解方法，这些基础知识对于进一步研究和应用等腰三角形有重要
意义。
以上为等腰三角形经典习题，希望对您的学习有所帮助。
题型技巧练：1_1_1 等腰三角形(原卷版)
【变式1-5】如图，在四边形ABCD中，AC与BD相交于点E，AC＝AD，∠BAC＝∠BDC＝α，∠CAD＝β．
（1）求证：∠ABD＝∠ADC；
（2）当∠AED＝65°时，求β﹣2α的度数；
（3）α+2β＝180°时，求证：BD＝CD．
题型二等腰三角形的性质（周长问题）
解题技巧提炼
掌握等腰三角形的性质：
1).等腰三角形是轴对称图形，顶角平分线所在的直线是它的对称轴。
2).等腰三角形的两底角相等（简称“等边对等角”）。
3).等腰三角形底边上的高线、中线及顶角平分线重合（简称“三线合一”）。
【变式1-1】等腰三角形的一个角是 ，则它顶角的度数是（）
A． B． 或 C． 或 D．
【变式2-4】一个等腰三角形的周长为28cm．
（1）如果底边长是腰长的1.5倍，求这个等腰三角形的三边长；
（2）如果一边长为10cm，求这个等腰三角形的另两边长．
【变式2-5】如图，在△ABC中，AB＝AC，DE是边AB的垂直平分线，交AB于E、交AC于D，连接BD．
（1）若∠A＝40°，求∠DBC的度数；
【例题2】如图，在△ABC中，AB＝BC，中线AD将这个三角形的周长分成18和15两部分，则AC的长为．
解题技巧提炼
掌握等腰三角形的性质：
1).等腰三角形是轴对称图形，顶角平分线所在的直线是它的对称轴。
2).等腰三角形的两底角相等（简称“等边对等角”）。
3).等腰三角形底边上的高线、中线及顶角平分线重合（简称“三线合一”）。
A．1B．2C．3D．4
解题技巧提炼
凡是涉及等腰三角形边、角、周长、面积等问题，优先考虑分类讨论，再利用等腰三角形的性质与三角形三边关系解题即可。
等腰三角形经典练习题(5套)附带详细答案
练习一一、选择题1．等腰三角形的周长为26㎝，一边长为6㎝，那么腰长为（）Ａ．6㎝Ｂ．10㎝Ｃ．6㎝或10㎝Ｄ．14㎝2．已知△ABC，AB =AC，∠B=65°，∠C度数是( )A．50°B．65°C．70°D．75°3．等腰三角形是轴对称图形，它的对称轴是（）A．过顶点的直线B．底边的垂线C．顶角的平分线所在的直线D．腰上的高所在的直线二、填空题4．等腰三角形的两个_______相等（简写成“____________”）．5．已知△ABC，AB =AC，∠A=80°，∠B度数是_________．6．等腰三角形的两个内角的比是1：2，则这个等腰三角形的顶角的度数是_______________．7．等腰三角形的腰长是6，则底边长5，周长为__________．三、解答题8．如图AB=AD，AD∥BC，求证：BD平分∠ABC．（写出每步证明的重要依据）9．如图，在△ABC中，AB=AC，D、E分别在AC、AB边上，且BC=BD，AD=DE=EB，求∠A的度数一、选择题1．B2．B3．C二、填空题4．底角，等边对等角5．50°6．36°或90°7．16或17三、解答题8．如图AB=AD，AD∥BC，求证：BD平分∠ABC．证明：∵AB=AD（已知）∴∠ABD=∠ADB（等边对等角）∵AD∥BC（已知）∴∠ADB=∠CBD（两直线平行，内错角相等）∴∠ABD=∠CBD（等量代换）∴BD平分∠ABC．（角平分线定义）9．45练习2一、选择题1．△ABC是等边三角形，D、E、F为各边中点，则图中共．有正三角形( )A．2个B．3个C．4个D．5个2．△ABC中，∠A：∠B：∠C=1：2：3，则BC：AB等于( ) A．2：1 B．1：2 C．1：3 D．2 ：3二、填空题3．等边三角形的周长为6㎝，则它的边长为________．4．等边三角形的两条高线相交所成钝角的度数是__________．5．在△ABC中，∠A=∠B=∠C，则△ABC是_____三角形．6．△ABC中，∠AC B=90°∠B=60°，BC=3㎝，则AB=_______．三、解答题7．△ABC是等边三角形，点D在边BC上，DE∥AC，△BDE是等边三角形吗？试说明理由．8．已知：如图，P，Q是△ABC边上BC上的两点，且BP=PQ=QC=AP=AQ，求∠BAC的度数．9．已知：△ABC中，∠ACB=90°，AD=BD，∠A=30°，求证：△BDC是等边三角形．一、选择题1．D2．B二、填空题3．2㎝4．120°5．等边6．6㎝三、解答题7．△ABC是等边三角形．理由是∵△ABC是等边三角形∴∠A=∠B=∠C=60°∵DE∥AC，∴∠BED=∠A=60°，∠BDE=∠C =60°AQ CPB∴∠B =∠BED =∠BDE ∴△ABC 是等边三角形 8．∠BAC=120°9．证明：∵△ABC 中，∠ACB=90°，∠A=30°（已知）∴∠A +∠B=90°（直角三角形两锐角互余） ∴∠B= 90°－∠A= 90°－30°=60°∵△ABC 中，∠ACB=90°，∠A=30°（已知） ∴BC=BD AB =21（在直角三角形中，一个锐角等于30，那么它所对的直角边等于斜边的一半）∴△BDC 是等边三角形（有一个角是60°角的等腰三角形是等边三角形）。
等腰三角形的性质与判定复习一
等腰三角形的性质与判定复习 【例题讲解】例1、等腰三角形ABC 中，AB =AC ，一腰上的中线BD •将这个等腰三角形周长分成15和6两部分，求这个三角形的腰长及底边长．例2、如图，在△ABC 中，AB =AC ，∠ABD =∠ACD ．求证：△DBC 是等腰三角形．例3、 如图，AB =AE ，BC =E D ， ∠B =∠E ．求证：∠C =∠D ．例4如图，AB =AC ，BD ⊥AC 于D ．求证：∠BAC =2∠DBC ．例5、 有关等腰三角形的基本图形．（1）如图3，若OD 平分∠AOB ，DE ∥OB 交OA 于E ．求证：EO ＝ED ．提问：这个结论的逆命题是否正确？（2）如图 3，若 OD 平分∠AOB ， EO ＝ED ，求证： DE ∥OB ．（3）如图 3，若 DE ∥OB 交OA 于E ， EO ＝ED ，求证： OD 平分∠AOB ．DCBAEDCBADC BA总结：图3是有关等腰三角形的一个很常用的基本图形．以上三个小题说明：在图3中，“角平分线．平行线．等腰三角形”这三者中，若有两条成立，则第三条必成立．熟悉这个结论，对解决包含该图形的较复杂的题目是很有帮助的．有关的题组练习．（1）如图4，AD∥BC，BD平分∠ABC．求证：AB＝AD．（2）已知：如图5（a），AB＝AC，BD平分∠ABC，CD平分∠ACB．问：①图中有几个等腰三角形？②如图5（b），若过D作EF∥BC交AB于E，交AC于F，图中又增加了几个等腰三角形？（3）如图5（c），若将第（2）题中的△ABC改为不等边三角形，其它条件不变，情况会如何？还可证出哪些线段的和差关系？(4）对第（3）题中“两内角平分线”可作怎样的推广？相应的线段和差关系如何?推广①当过△ABC的一个内角和一个外角平分线的交点作这两角的公共边的平行线时，如图5（d）．推广②当过△ABC的两个外角平分线上一点作这两个角的公共边的平行线时，如图5（e）．（5）如图6，若BD，CD分别平分∠ABC和∠ACB，过D作DE∥AB交BC于E，作DF∥AC交BC于F．求证：BC的长等于△DEF的周长．【课后巩固】1．在△ABC中，AB=AC，若∠B=56º，则∠C=__________．2．若等腰三角形的一个角是50°，则这个等腰三角形的底角为_____________．E DCB A3． 若等腰三角形的两边长分别为x cm 和（2x －6）cm ，且周长为17cm ，则第三边的长为________．4． 如图，在△ABC 中，AB =AC ，AD ⊥BC 于D ，BE ⊥AC 于E ，若 ∠CAD =25°，则∠ABE = ，若BC =6，则CD = ． 5．△ABC 中，AB =AC ，∠ABC =36°，D ．E 是BC 上的点，∠BAD =∠DAE =∠EAC ，则图中等腰三角形有______个6．等腰三角形一腰上的高与底边夹角为20°，则其顶角的大小为___________． 7．如图，∠ABC =50°，∠ACB =80°，延长CB 到D ，使BD =AB ，延长BC 到E ，使CE =CA ，连接AD ．AE ，则∠DAE =_______．8．如下图，△MNP 中， ∠P =60°，MN =NP ，MQ ⊥PN ，垂足为Q ，延长MN 至G ，取NG =NQ ，若△MNP 的周长为12，MQ =a ，则△MGQ 周长是 ．9．△ABC 中，∠C =∠B ，D ．E 分别是AB ．AC 上的点，•AE =•2cm ，•且DE ∥BC ，•则AD =______ 10．如图，∠AOB 是一个钢架且∠AOB =10°，为了使钢架更加牢固，需在内部添加一些钢管EF ，FG ，GH ，…，添加的钢管长度都与OE 相等，则最多能添加这样的钢管______根．11．如图△ABC 中，AB =AC ，AD 、BE 是△ABC 的高，它们相交于H ，且AE=BE ．求证：AH =2BD ．12．△ABC 为非等腰三角形分别以AB 、AC 为腰向△ABC 外作等腰直角三角形ABD 和等腰直角三角形ACE ，且∠DAB =∠EAC =90°． 求证：（1）BE =CD ；（2）BE ⊥CD ．13．如图，点D 、E 在ABC ∆的边BC 上，AB AC =，AD AE =． 求证：BD CE =E D BAPQ MN G14.如图，ABC ∆中，90ACB ∠=，CD BA ⊥于D ，AE 平分BAC ∠交CD 于F ，交BC 于E ，求证：CEF ∆是等腰三角形．15．(1)Rt ABC ∆中，AB AC =，90BAC ∠=，O 为 AB 中点，若点M ．N 分别在线段AB ．AC 上移 动，且在移动过程中保持AN BM =，试判断 OMN ∆的形状，并证明你的结论．(2)如图，在△ABC 中，AB=AC ，点D 、E 、F 分别 在BC 、AB 、AC 边上，且BE=CF ，BD=CE 。
等腰三角形知识点+经典例题
第一讲等腰三角形【要点梳理】要点一、等腰三角形的定义1.等腰三角形有两条边相等的三角形，叫做等腰三角形，其中相等的两条边叫做腰，另一边叫做底，两腰所夹的角叫做顶角，底边与腰的夹角叫做底角.如图所示，在△ABC中，AB＝AC，△ABC是等腰三角形，其中AB、AC为腰，BC为底边,∠A是顶角，∠B、∠C是底角．2.等腰三角形的作法已知线段a,b(如图).用直尺和圆规作等腰三角形ABC,使AB=AC=b,BC=a.~作法：1.作线段BC=a；2.分别以B,C为圆心，以b为半径画弧，两弧相交于点A;3.连接AB,AC.△ABC为所求作的等腰三角形3.等腰三角形的对称性(1)等腰三角形是轴对称图形；.(2)∠B＝∠C；(3)BD＝CD，AD为底边上的中线.(4)∠ADB＝∠ADC＝90°，AD为底边上的高线.结论：等腰三角形是轴对称图形，顶角平分线(底边上的高线或中线)所在的直线是它的对称轴.4.等边三角形三条边都相等的三角形叫做等边三角形.也称为正三角形.等边三角形是一类特殊的等腰三角形，有三条对称轴，每个角的平分线(底边上的高线或中线)所在的直线就是它的对称轴.要点诠释：（1）等腰三角形的底角只能为锐角，不能为钝角（或直角），但顶角可为钝角（或直角）.∠A＝180°－2∠B，∠B＝∠C＝1802A︒-∠.(（2）等边三角形与等腰三角形的关系：等边三角形是特殊的等腰三角形，等腰三角形不一定是等边三角形.要点二、等腰三角形的性质1.等腰三角形的性质性质1：等腰三角形的两个底角相等，简称“在同一个三角形中，等边对等角”．推论：等边三角形的三个内角都相等，并且每个内角都等于60°.性质2：等腰三角形的顶角平分线、底边上中线和高线互相重合.简称“等腰三角形三线合一”．2.等腰三角形中重要线段的性质…等腰三角形的两底角的平分线（两腰上的高、两腰上的中线）相等.要点诠释：这条性质，还可以推广到一下结论：（1）等腰三角形底边上的高上任一点到两腰的距离相等。
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D
A
CF D
图6
B
C
9. 已知，如图，△ ABC 中，∠ C＝ 90°， AB 的垂直平分线交 AB 于 E，交 AC 于 D， AD ＝ 8，∠ A ＝ 30°，求 CD 的长。
C D
A
E
B
10、如图 11，在△ ABC 中，∠ A＝ 90°， AB ＝AC ， D 为 BC 边中点， E 、 F 分别在 AB 、
B
C
D 4 已知，如图，△ ABC 中， AB ＝ AC ，D 是 AB 上一点， E 是 AC 延长线上一点， DE 交 BC
于 F，又 BD＝ CE，求证： DF＝ EF
A
D
B
C
F
E
5. 如图， P 是等边三角形 ABC内的一点，连结 PA、 PB、PC， ?以 BP 为边作∠ PBQ=60°，且 BQ=BP，连结 CQ．观察并猜想 AP与 CQ之间的大小关系，并证明你的结论．ຫໍສະໝຸດ A DBEC
例例 4 、如图 9 ，已知 AD 为△ ABC 的高， E 为 AC 上一点， BE 交 AD 于 F ，且有 BF ＝ AC ，
FD ＝CD ，你认为 BE 与 AC 之间有怎样的位置关系 ? 你能证明它吗？
证明：线段 BE ⊥ AC ，理由如下：
∵AD ⊥ BC ，∴∠ ADB ＝∠ ADC ＝ 90°，
B
D
C
图5
证明：过 E 作 EF ⊥ CD 于点 F， ∵△ ABC 是等边三角形，∴∠ B＝ 60°，∴∠ BEF ＝ 30°， ∴BE ＝ 2BF ，即 BA ＋ AE ＝ BC ＋ BD ＝2BC ＋ CD ＝ 2（ BC ＋CF ）， ∴CD ＝ 2CF ， ∴ CF ＝ DF ，
在△ CEF 和△ DEF 中， CF ＝DF ，∠ CFE ＝∠ DFE ＝ 90°， EF ＝ EF ，
AC 上，且 DE ⊥DF ，求证： AE ＋ AF 是一个定值 .
A
F
E
C
B
D
图 11
已知，如图，△ ABC 是等边三角形， E 是 AB 上一点， D 是 AC 上一点，且 AE ＝CD，又 BD 与 CE 交于点 F，试求∠ BFE 的度数。
A
E
D
F
B
C
6. 已知，如图，△ ABC 中，∠ B ＝ 90°， AC 的垂直平分线交 AC 于 D，交 BC 于 E，又∠ C＝ 15°， EC＝ 10，求 AB 的长。
6，已知，如图， AB ＝AC ＝ CD ，求证：∠ B＝ 2∠ D A
B
C
D
E
7、如图 6 ，在等边△ ABC 中， D、E 分别在边 BC 、BA 的延长线
上，且 AE ＝ BD ，求证： CE ＝ DE .
A
B
8·已知，如图，△ ABC 是等边三角形， AD//BC ，AD ⊥ BD ，BC ＝6，求 AD 的长。
即 BE ⊥ AC .
图9
D
C
例 1、如图 5 ，在△ ABC 中， AB ＝ AC ，点 O 在△ ABC 内， OB
A
＝OC ，求证： AO ⊥ BC .
证明：延长 AO 交 BC 于点 D，
O
∵AB ＝ AC ， OB ＝OC ， OA ＝OA ，∴△ ABO ≌△ ACO ， ∴∠ BAO ＝∠ CAO ，即∠ BAD ＝∠ CAD ， ∴AD ⊥ BC ，即 AO ⊥ BC .
5、如图， AB=AC ，∠ ABD= ∠ ACD ，请你说明 AD 是 BC 的中垂线。 A
B
C
D
1．等腰三角形 ABC中，AB=AC，一腰上的中线 BD?将这个等腰三角形周长分成 15 和 6 两部分，求这个三角形的腰长及底边长．
2、如图，在△ ABC 中，∠ B 和∠ C 的平分线相交于点 O，且 OB=OC ，请说明 AB=AC 的
理由。
A
O
B
C
3· .已知， AB ＝ AC ，∠ ABD ＝∠ ACD ，求证： DB ＝ DC A
A
∴∠ FBD ＋∠ BFD ＝90°，
在 Rt △BDF 和 Rt△ ADC 中， BF ＝ AC ，FD ＝CD ， ∴Rt △ BDF ≌ Rt △ ADC ， ∴∠ BFD ＝∠ C ，∴∠ FBD ＋∠ C＝ 90°，
E F
∴∠ BEC ＝ 180°－（∠ FBD ＋∠ C）＝ 180°－ 90°＝ 90°， B