勾股定理拼图

以上的证明方法都从几何图形的面积变化入手，
运用了数形结合的思想方法，其中第一、二种类
型还与拼图有着密切的关系。
4.勾股定理的文化价值
(1) 勾股定理是联系数学中数与形的第一定理。 (2) 勾股定理反映了自然界基本规律,有文明的宇宙“人”都 应该认识它，因而勾股定理图被建议作为与“外星人”联系的 信号。 (3)勾股定理导致不可通约量的发现，引发第一次数学危机。 (4)勾股定理公式是第一个不定方程，为不定方程的解题程序树立 了一个范式。
将4个全等的直角三角形拼成边长为 (a＋b)的正方形ABCD，使中间留下 边长c的一个正方形洞．画出正方形 ABCD．移动三角形至图2所示的位 臵中，于是留下了边长分别为a与b的 两个正方形洞．则图1和图2中的白色 部分面积必定相等，所以c2=a2+b2
图1
图2
5.尝试拼图，验证勾股定理
b a
c
b

1881 年成为美国第20 任 总统.

1876 年提出有关证明.
参考:http://www.ccss.edu.hk
方法 二
a
b
½(a + b)(b + a) = ½c2 + 2(½ab)
c c b
½a2 + ab + ½b2
a
= ½c2 + ab
a 2 + b 2= c 2
方法一与方法二的比较
6.小结反思,课题拓展
学生反思：
我最大的收获； 我表现较好的方面； 我学会了哪些知识； 我还有哪些疑惑……
课题拓展：
（ 1 ）写数学日记并发挥你的聪明才智，去探索勾 股定理、去研究勾股定理，你又有什么新的发现？ （2）尝试用七巧板拼图，你能验证勾股定理吗？
评价表
评价 项目 做事有计划 查阅、整理资料 参 与 活 动 与人合作 提出问题并询问 大胆尝试并表达自己的看法 倾听别人的发言 讨论与发言 思 维 水 平 总评 有条理地表达自己的意见 解决问题的过程清楚 善于用不同的方法解决问题 独立思考 因 素 优 良 中 差
勾股定理有着悠久的历史，是人类最伟大的数 学发现之一。但由于教材的编写遵循了简约性原 则，在学习勾股定理知识的过程中，没能更深入 地介绍它产生、发展的历史背景、多样的验证方 法，以及在人类文化发展史上的贡献。 因此，在学生完成了《勾股定理》这章的学习 之后，设置了《勾股定理的“无字证明”》的课 题学习，它属于《数学课程标准》中所规定的“ 实践与综合应用”领域的内容，是对课本知识进 一步的延伸和拓展，让学生更全面的认识勾股定 理，了解拼图与定理证明之间的内在联系，通过 经历综合应用知识解决问题的过程，领会其中的 数学思想方法，以开拓学生视野，激发他们的创 新意识和学习数学的兴趣。
2
c 2 a 2 b2
用几何图形的截、割、拼、补，来证明代 数式之间的恒等关系。体现了以形证数、 形数统一、代数和几何的紧密结合 。
证明二
b
a c
(a + b)2=c2 + 4(½ab)
a2+2ab+b2=c2 + 2ab
a 2 + b 2 = c2
方法 二
美国总统的证明

加菲(James A. Garfield,1831 1881)
1．课前自主探究活动 请各个学习小组从网络或书籍上，尽可 能多的寻找和了解验证勾股定理的方法。 探究报告
《勾股定理证明方法汇总》
验证定理的具体过 程 知识运用及思想方 法
方法种类及历史背 景
2． 探 究 成 果 的
交 流 与 展 示
方法一
三国时期吴国数学家赵爽在为《周髀算经》作注解时，创制了一幅 “勾股圆方图”，也称为“弦图”，这是我国对勾股定理最早的证 明。

文艺复兴时期卓越的代表人 物. 他不仅是一位天才的画家， 并且是大数学家、科学家、 力学家和工程师. 第一次在数学上使用加减(+、 -)符号.
方法五
a
c b
证明
a
c b
证明
a b c c b a
证明
a a b c c b c b a
a2 + b2 = c2
•下面据传是当年毕达哥拉斯发现勾股定理 时做出的证明。

两个证明基本上相同！
方法一与方法二的比较

两个证明基本上相同！
方法一与方法二的「缺点」
两个证明都需要用到两个恒等式： (a b)2 = a2 2ab + b2

方法三
青出
青入 朱出
青
青出 朱入 青入
朱
约公元 263 年，三国时代魏国的 数学家刘徽为古籍《九章算术》作
注释时，用“出入相补法”证明了 勾股定理。
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欧几里得的《几何原本
》是用公理方法建立演绎 数学体系的最早典范。

「证法四」就是取材自《
几何原本》第一卷的第 47 命题。
参考:http://www.ccss.edu.hk
证明
证明
证明
证明
证明
方法五
画家的证法

达· 芬奇(Leonardo Da Vinci 1452-1519 ).


证明
a2
b2
a2 + b2 = c2 c2
方法四
希腊数学家欧几里得（Euclid，公元前330～公 元前275）在巨著《几何原本》给出一个公理化 的证明。
1955年希腊为了纪念二千五百年前古希腊在勾 股定理上的贡献，发行了一张邮票，图案是由 三个棋盘排列而成。
几何原本

欧几里得（Euclid of Alexandria; 约 325 B.C. 约 265 B.C.）
2002年世界数学家大会在北京召开，这届大会会标的中央图案正 是经过艺术处理的“弦图”，标志着中国古代数学成就。
弦图


赵爽 东汉末至三国时代吴 国人 为《周髀算经》作注， 并著有《勾股圆方图 说》。
赵爽的“弦图”证明一
c
由面积计算得 展开得 化简得
1 2 c 4 ab (b a) 2 c 2 2ab b 2 2ab a 2
c a
青朱入出图
拼 图 游 戏
拼图游戏
拼图游戏
c2
拼图游戏
拼图游戏
拼图游戏
a2 b2
a2 + b2 = c2
印度婆什迦羅的证明
c
b a
c2 = b2 + a2
II
I III
注意：
面积 I : 面积 II : 面积 III = a2 : b2 : c2
I
II III
注意：
面积 I : 面积II : 面积 III = a2 : b2 : c2