【高考精品复习】第九篇 解析几何 专题五 高考解析几何命题动向

专题五高考解析几何命题动向

高考命题分析

解析几何是高中数学的又一重要内容，其核心内容是直线和圆以及圆锥曲线．由于平面向量可以用坐标表示，因此可以以坐标为桥梁，使向量的有关运算与解析几何中的坐标运算产生联系．用向量方法研究解析几何问题，主要是利用向量的平行(共线)、垂直关系及所成角研究解析几何中直线的平行、垂直关系及所成角．平面向量的引入为高考中解析几何试题的命制开拓了新的思路，为实现在知识网络交汇处设计试题提供了良好的素材，这类问题涉及面广、综合性强、背景新颖、灵活多样，求解此类问题对能力要求较高．在考基础、考能力、考素质、考潜能的考试目标指导下，每年的高考对解析几何的考查都占有较大的比例，且常考常新．

高考命题特点

(1)直线与圆的方程，圆锥曲线的定义、标准方程、几何性质等是支撑解析几何的基石，也是高考命题的基本元素．高考十分注重对这些基础知识的考查，有的是求圆锥曲线的标准方程；有的是直接考查圆锥曲线的离心率，有的是对直线与圆锥曲线的位置关系进行考查等．

(2)试题在考查相应基础知识的同时，着重考查基本数学思想和方法，如分类讨论思想、数形结合思想．除此之外，许多试卷都非常重视对考生思维能力和思维品质的考查．

(3)解析几何是高中数学的重点内容，它的特点是用代数的方法研究解决几何问题，重点是用“数形结合”的思想把几何问题转化为代数问题，这类试题涉及面广、综合性强、题目新颖、灵活多样，解题对能力要求较高．

高考动向透视

直线与圆的方程

对于直线方程，要理解直线的倾斜角和斜率的概念，掌握点到直线的距离公式等，特别是求直线方程的三种形式．而对于圆的方程，要熟练运用与圆相关的基本问题的求解方法．如求解圆的方程的待定系数法、求圆的圆心与半径的配方法、求圆的弦心距的构造直角三角形法、判断直线与圆、圆与圆的位置关系的代数法与几何法、求圆的切线的基本方法等．这些方法是解决与圆有关问题的常用方法，

必须认真领会，熟练运用．

【示例1】►(2011·杭州模拟)设O 为坐标原点，曲线x 2＋y 2＋2x －6y ＋1＝0上有

两点P ，Q 满足关于直线x ＋my ＋4＝0对称，又满足OP →·OQ

→＝0. (1)求m 的值；

(2)求直线PQ 的方程．

解 (1)曲线方程为(x ＋1)2＋(y －3)2＝9，

表示圆心为(－1,3)，半径为3的圆．

∵点P ，Q 在圆上且关于直线x ＋my ＋4＝0对称，

∴圆心(－1,3)在直线x ＋my ＋4＝0上，代入得m ＝－1.

(2)∵直线PQ 与直线y ＝x ＋4垂直．

∴可设直线PQ 的方程为y ＝－x ＋b .

将直线y ＝－x ＋b 代入圆的方程，得

2x 2＋2(4－b )x ＋b 2－6b ＋1＝0.

由Δ＝4(4－b )2－4×2×(b 2－6b ＋1)＞0，

得2－32＜b ＜2＋3 2.

设P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，

由根与系数的关系得x 1＋x 2＝－(4－b )，

x 1x 2＝b 2－6b ＋12

. ∴y 1y 2＝b 2

－b (x 1＋x 2)＋x 1x 2＝b 2－6b ＋12＋4b . ∵OP →·OQ

→＝0， ∴x 1x 2＋y 1y 2＝0，即b 2－2b ＋1＝0，

解得b ＝1∈(2－32，2＋32)．

∴所求的直线方程为x ＋y －1＝0.

本题考查了圆的方程和直线与圆的位置关系，对于直线与圆的位置关系，可联立方程，转化为交点坐标，结合条件，求出参数值．

【训练】 (2011·福建)如图，

直线l ：y ＝x ＋b 与抛物线C ：x 2＝4y 相切于点A .

(1)求实数b 的值；

(2)求以点A 为圆心，且与抛物线C 的准线相切的圆的方程．

解 (1)由⎩⎨⎧

y ＝x ＋b ，x 2＝4y ，

得 x 2－4x －4b ＝0，(*)

因为直线l 与抛物线C 相切，

所以Δ＝(－4)2－4×(－4b )＝0，解得b ＝－1.

(2)由(1)可知b ＝－1，故方程(*)为x 2－4x ＋4＝0.

解得x ＝2，代入x 2＝4y ，得y ＝1，故点A (2,1)．

因为圆A 与抛物线C 的准线相切，

所以圆A 的半径r 就等于圆心A 到抛物线的准线y ＝－1的距离，即r ＝|1－(－

1)|＝2，

所以圆A 的方程为(x －2)2＋(y －1)2＝4.

圆锥曲线的定义、标准方程

(1)圆锥曲线的定义是高考考查的重点之一．对于圆锥曲线定义的考查，一般涉及焦点、长轴、短轴、焦距之间的关系，属于基础知识、基本运算的考查，解题时要注意恒等变形，进行合理转化与化归．

(2)圆锥曲线的标准方程在新课标高考中占有十分重要的地位．一般地，求圆锥曲线的标准方程是作为解答题中考查“直线与圆锥曲线”的第一小问的，这一问至关重要，因为只有求出了曲线方程，才能进行下一步的运算．求曲线方程的方法很多，其中“待定系数法”最为常见．

【示例2】►(2011·山东)已知双曲线x 2a 2－y 2

b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的两条渐近线均和圆C ：x 2＋y 2－6x ＋5＝0相切，且双曲线的右焦点为圆C 的圆心，则该双曲线的方程为

( )．

A.x 25－y 24＝1

B.x 24－y 25＝1

C.x 23－y 26＝1

D.x 26－y 23＝1

解析 圆心的坐标是(3,0)，圆的半径是2，双曲线的渐近线方程是bx ±ay ＝0，根据已知得3b a 2＋b

2＝2，即3b 3＝2，解得b ＝2，则a 2＝5，故所求的双曲线方程是x 25－y 2

4＝1，故选A.

答案 A

本小题考查双曲线的几何性质(渐近线方程、焦点坐标)以及对直线与圆位置关系的理解与应用，求解本题时应注意将直线与圆相切转化为圆心到直线的距离等于圆的半径列式求解，本题难度适中．

圆锥曲线的离心率

离心率是高考对圆锥曲线考查的又一个重点．求离心率取值范围问题是解析几何中常见的问题，求解时，可根据题意列出关于a 、b 、c 的相应等式，并把等式中的a 、b 、c 转化为只含有a 、c 的齐次式，再转化为含e 的等式，最后求出e .该类题型较为基础、简单，一般以填空题、选择题或解答题的第一问的形式出现，是送分题，只要我们熟练掌握圆锥曲线的几何性质，就可以顺利解题．

【示例3】►(2011·新课标全国)设直线l 过双曲线C 的一个焦点，且与双曲线C 的一条对称轴垂直，l 与C 交于A ，B 两点，|AB |为C 的实轴长的2倍，则C 的离心率为

( )．

A. 2

B. 3 C ．2 D ．3

解析 设双曲线C 的方程为x 2a 2－y 2

b 2＝1(a ＞0，b ＞0)，焦点F (－c,0)，将x ＝－c

代入x 2a 2－y 2b 2＝1可得y 2＝b 4a 2，所以|AB |＝2×b 2a ＝2×2a ，∴b 2＝2a 2，c 2＝a 2＋b 2＝

3a 2，∴e ＝c a ＝ 3.

答案 B

本小题考查对双曲线的几何性质的理解与应用，考查运算求解能力及逻辑思维能力．