2015-01概率统计试卷+答案

福州大学概率论与数理统计试卷A (20150111)(3学分)
一、 单项选择(每小题3分，共18分)
1．设B A ⊂且相互独立，则( )
A. P (A ) = 0
B. P (A ) = 0或1
C. P (A ) = 1
D. 上述都不对
2、设总体X 服从正态分布(0,4)N ，而1215,,,X X X 是来自X 的简单随机样本，则随机变量
22
110
22
11152()
X X Y X X ++=++，服从分布为 （ ） A. F 分布 B. t 分布 C. 2
χ分布 D. 标准正态分布
3. 随机变量X 的EX =μ，2
)(σ=X D ，则由切比雪夫不等式估计≥<-)2(σμX P （ ） A ．
4
3 B ．
4
1 C ．
2
1 D ． 以上都不对
4. 对于随机变量X ,Y ，若E (XY )=E (X )E (Y )，则 （ ）
A. DY DX XY D ⋅=)(
B.DY DX Y X D +=+)(
C. X 与Y 独立
D. X 与Y 不独立
5. 两个相互独立的随机变量X 和Y 分别服从正态分布N (0, 1)和N (1, 1)，则 ( )
A ．21}0{=≤+Y X P
B ．21}1{=≤+Y X P
C ． 21}0{=≤-Y X P
D ．2
1
}1{=≤-Y X P
6. 设随机事件A 与B 相互独立，A 发生B 不发生的概率与B 发生A 不发生的概率相等，且
41
)(=A P ，则()P B = ( )
A ．32
B ．41
C ．3
1 D ．以上都不对
学院 专业 级 班 姓 名 学 号
二．填空题（每空2分，共32分） 1. 某元件寿命ξ服从为λ)1000(1
小时=-λ
的指数分布，3个这样
的元件使用1000小时后，都没有损坏的概率为 .
2. 设随机变量X 的密度函数为,01
()0,
ax b x f x +<<⎧=⎨
⎩其它， 又已知}3
1{}31{>=<X P X P ,则
常数a = ；b = ；
3．估计量的三个最基本的评价标准是 ； ； 。

4．设二维随机变量(X , Y )的概率密度为⎩⎨
⎧>>=+-其他
,0),()
1(y x xe y x f y x ，
则X 与Y 的边缘密度分别为=)(x f X ________________, =)(y f Y ________________， 在Y y =)0(>y 的条件下，X 的条件密度=)|(|y x f Y X ________________。

5. 设二维随机变量(X , Y )
的分布密度为222(;
(,)0,
C R x y R f x y ⎧⎪+<=⎨⎪⎩其它则C = ；
(X , Y )落入圆)0(222R r r y x <<≤+内的概率为________________
6. 一个商店每星期四进货，以备星期五、六、日3天销售，根据多周统计，这3天销
售件数321,,ξξξ彼此独立，且有如下分布：
如果进货44件，不够卖的概率是
7．设X,Y 为随机变量，且D (X +Y )=7, DX =4, DY =1，则XY ρ= 。

8. 一个罐子里装有黑球和白球，有放回地取出一个容量为n 的样本，其中有k 个白球，求罐子里
黑球数和白球数之比R 的最大似然估计量为___________。

9. 掷20颗色子，则点数之和的数学期望为 ，方差为
三、计算题(每小题10分，共30分)
1.假设盒内有9个产品，其正品数为9,,1,0 个是等可能的，今向内放入一个正品，然后从盒内随机取出一个产品，求它是正品的概率是多少？
2．设随机变量)1,0(~N X ，求12
+=X Y 的概率密度()Y f y 。

3.设某车间有300台独立工作的车床，各台车床开工的概率都是0.6，每台车床开工时需功率1千瓦，问供电所至少要供给着车间多少功率的电，才能以99.9%的概率保证这个车间不会因为供电不足而影响生产？（用中心极限定理）（999.0)09.3(=Φ）
四、计算题(每小题10分，共20分)
1. 设X 服从参数为λ的指数分布，概率密度为⎩⎨
⎧≥=-其他
)(x e x f x
X λλ 试求参数λ的矩估计与极大似然估计。

2．设二维随机变量（X, Y ）在区域D:12
2
≤+y x 上服从均匀分布，
求X 和Y 的相关系数并判别X 和Y 的独立性。

装 订 线 装 订 线 装 订 线
概率统计试题（20150111）参 考 答 案
一．选择题 1.D 2.A 3.A 4.B 5.B 6.B 二．填空题 1、3
-e
2.4
7
,
23- 3.无偏性，有效性，一致性 4.
⎩⎨
⎧≤>=-0
0)(x x e x f x
X
⎪⎩⎪
⎨⎧≤>+=0
0)1(1)(2
y y y y f Y
⎩⎨
⎧>+==+-其它
112x xe )y ()y (f )y ,x (f )y x (f )
y (x Y Y X 5.)321(3,3223R r R
r R -π 6.0.022 7.0.5 8. 1ˆ-=k n R 9.70，3175
三．计算题1. 设i A ：9个产品中有i 个正品，i =0,1,…,9，B ：任取一个是正品
则9,,1,0,101
)|(,101)( =+==i i A B P A P i i ， 2011)|()()(9
=
=∑=i i i A B P A P B P 2．解：Y 的分布函数为(
)
y X P y Y P y F Y ≤+=≤=1)()(2
当1≤y 时，0)(=y F Y ；当1>y 时，
)
1()1()
11()()(----=-≤≤--=≤=y F y F y X y P y Y P y F X X Y 因此
Y
的概率密度
⎪⎩
⎪
⎨⎧>-=--其他
01)
1(21
)(21
y e y y f y Y π
3. 设X 为实际开工的车床数，则)6.0,300(~B X ,
由中心极限定理得X 近似服从)4.06.0300,6,0300(⨯⨯⨯N ,即)72,180(~N X 设b 为供电所供给着车间电的千瓦数，)(b X P <≈)72
180(
-Φb =0.999 ，999.0)09.3(=Φ
则
09.372
180=-b ，22.206=b
四 计算题1. ∵X ～)(λE ∴E(X)=λ
1 矩估计： X X E =)( X 1ˆ=λ
似然函数 n
i x n
i
e
L 1
)(=-=λλ
θ=
∑=-n
i i
x n
e
1
λ
λ,
故∑=-=n
i i x n L 1
ln ln λλ,0/ln 1=-=∑=n
i i x n L d d
λθ X x
n n
i i
/1/ˆ1
==∑=λ
2. ⎪⎩⎪⎨⎧≤+=其它,
01
,1
),(22y x y x f π
()(,)x f x f x y dy +∞
-∞
=⎰
=⎪
⎩
⎪⎨⎧<<--=
⎰---其他
01112122112
x x dy x x
ππ
()(,)y f y f x y dx +∞
-∞
=⎰
⎪
⎩
⎪⎨⎧<<--=
⎰---其他
01112122
112
y y dx y y ππ
1
)(1
1
112
2
==⎰⎰
----x x xdy dx X E π
1
)(1
1
112
2
==⎰⎰
----x x ydy dx Y E π
01
)(1
1
112
2
==⎰⎰
----x x xydy dx XY E π
，0)()()(),cov(=-=Y E X E XY E Y X
0=XY ρ
.),()(),(,,不独立与对任意Y X y f x f y x f y x Y X ∴⋅≠。