瓯海中学2021学年第一学期高三12月份月考数学试题卷
2021年高三上学期12月月考数学(理)试卷 含答案
2021年高三上学期12月月考数学（理）试卷含答案一、选择题（本大题共10小题,每小题5分,满分50分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的）1．集合A={﹣1，3，5}，若f：x→2x﹣1是集合A到B的映射，则集合B可以是（）A．{0，2，3} B．{1，2，3} C．{﹣3，5} D．{﹣3，5，9}2．若的值等于（）A． B．C． D．3．二面角为，、是棱上的两点，、分别在半平面、内，，且，，则的长为A．1 B． C． D．4．已知为内一点，满足, ,且,则的面积为（）A． B． C． D．5．设是由正数组成的等比数列，公比q=2，且a1a2a3…a30=，则a3a6a9…a30=（）A．210 B．215 C．216 D．2206．若不等式在区间上有解，则a的取值范围为（）A．（,）B．C．D．7．在直角中，，，为中点（左图）．将沿折起，使得（如图），则二面角的余弦值为A． B． C． D．8．过点作圆的两切线，设两切点为、，圆心为，则过、、的圆方程是A． B．C． D．9．如果，那么的值等于（）A．－1 B．－2C．0 D．210．执行下面的程序框图，输出的S＝（）A．25 B．9 C．17 D．20第II卷（非选择题）二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，满分25分）11．若某程序框图如图所示，则该程序运行后输出的值是__________．12．的所有正约数之和可按如下方法得到：因为，所以的所有正约数之和为22222222++++⨯+⨯++⨯+⨯=++++=，参照上(133)(22323)(22323)(122)(133)91述方法，可求得的所有正约数之和为．13．矩阵A＝（k≠0）的一个特征向量为α＝，A的逆矩阵A－1对应的变换将点（3，1）变为点（1，1）．则a+k = ．14．如图，在中，，，点D在线段AC上，且，，则．15．长、宽、高分别为的长方体，沿相邻面对角线截取一个三棱锥（如图），剩下几何体的体积为．三、解答题（本大题共6小题,满分75分,解答须写出文字说明、证明过程或演算步骤）16．如图4，四棱锥中，底面是菱形，其对角线的交点为，且．（1）求证：平面；（2）设，，是侧棱上的一点，且平面，求三棱锥的体积．17．已知定义域为R的函数f（x）＝是奇函数．（1）求a，b的值；（2）若对任意的t∈R，不等式f（t2－2t）＋f（2t2－k）＜0恒成立，求k的取值范围．18．已知数列{a n}的前三项与数列{b n}的前三项相同，且a1＋2a2＋22a3＋…＋2n－1a n＝8n对任意n∈N*都成立，数列{b n＋1－b n}是等差数列．（1）求数列{a n}与{b n}的通项公式；（2）是否存在k∈N*，使得（b k－a k）∈（0,1）？请说明理由．19．选修42：矩阵与变换已知矩阵M＝有特征值λ1＝4及对应的一个特征向量e1＝．（1）求矩阵M；（2）求曲线5x2＋8xy＋4y2＝1在M的作用下的新曲线的方程．20．某校200位学生期末考试物理成绩的频率分布直方图如图所示，其中成绩分组区间是：、、、、．（1）求图中的值;（2）根据频率分布直方图，估计这200名学生物理成绩的平均值和中位数．21．已知向量，，函数．（Ⅰ）求函数的最小正周期；（Ⅱ）已知、、分别为内角、、的对边，其中为锐角，，,且，求，和的面积．参考答案1-5：DDCBD 6-10:AAABC11．12．．13．314．15．16．（1）略（2）17．（1）2，1；（2）18．（1）a n＝24－n（n∈N*）， b n＝n2－7n＋14（n∈N*）．（2）不存在k∈N*，使得（b k－a k）∈（0,1）19．（1）（2）x2＋y2＝2．20．（1）（2）73,21．（Ⅰ）；（Ⅱ），，．umV27052 69AC 榬x n-V35089 8911 褑30540 774C 睌30093 758D 疍n26159 662F 是22672 5890 墐。
2021年高三上学期12月测试数学试题 Word版含答案
2021年高三上学期12月测试数学试题 Word 版含答案班级 姓名 得分______一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，计70分.不需写出解答过程，请把答案写在答题纸的指定位置上.1．已知复数满足（为虚数单位），则= ▲ ．22．已知集合A ＝{－1，0，1，2}，B ＝{x |x 2－1＞0}，则A ∩B ＝▲________．{2} 3. 设点是角终边上一点，若，则 ▲ .4．抛掷甲、乙两枚质地均匀且四面上分别标有1，2，3，4的正四面体，记底面上的数字分别为，则为整数的概率是 ▲ ．5. 执行如图所示的算法流程图，则输出的结果是 ▲ ．-16．直线截得的弦AB 的长为 ___8______7. 已知等差数列中，，若前5项的和，则其公差为 2 8. 已知双曲线的一条渐近线与直线平行，则实数 ▲ 9．设的内角的对边分别为，若，则 或3 ▲10．已知平行四边形ABCD 中，AD ＝2，∠BAD ＝60°．若E 为DC 中点，且AE →·BD →＝1，则BD →·BE →的值为▲________．311. 在平面直角坐标系中，已知椭圆的右顶点为，上顶点为，为线段的中点，若，则该椭圆的离心率的值为12．过点作曲线的切线,切点为，设在轴上的投影是点，过点再作曲线的切线,切点为，设在轴上的投影是点，依次下去，得到第个切点，则点的坐标为 ▲ ．13．如图，点C 为半圆的直径AB 延长线上一点，AB=BC=2， 过动点P 作半圆的切线PQ ，若,则的面积的 最大值为14．中，，．若椭圆以为长轴，且过点，则椭圆的离心率是 ▲ ．二、解答题：本大题共6小题，计90分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤，请把答案写在答题纸的指定区域内.[ 15. (本小题满分14分)在△ABC 中，，，点D 在BC 边上．（1）若AD 为的平分线，且BD 1，求△ABC 的面积；（2）若AD 为△ABC 的中线，且AD ，求证：△ABC 为等边三角形． 15．（1）在△ABD 中，，在△ACD 中，，相除得：AC =2AB ． ………………………………………3分 在△ABC 中，2222π2cos 393BC AB AC AB AC AB =+-⋅==，∴AB =，AC =2………………………………………6分 ∴……………………………7分（2）∵，∴()()22222112cos 44AD AB AC AB AC A AB AC AB AC =++⋅=++⋅∴………………………………9分 又，相减得，………………………………………11分 ∴，∴即∶AB =AC ，又∠C =60°，∴三角形ABC 为等边三角形．………………14分B CPQ16．(本小题满分14分)如图，在四棱锥中，与交于点且平面平面为棱上一点.（1）求证：（2）若求证：平面（1）因为平面底面，平面底面，，平面，所以平面，又因为平面，所以．……………………6分（2）因为，，与交于，所以，又因为，所以，所以，又因为平面，平面，所以平面．……………………14分17. (本小题满分14分)平面直角坐标系xOy中，已知⊙M经过点F1（0，－c），F2（0，c），A（c，0）三点，其中c＞0．（1）求⊙M的标准方程（用含的式子表示）；（2）已知椭圆（其中）的左、右顶点分别为D、B，⊙M与x轴的两个交点分别为A、C，且A点在B点右侧，C点在D点右侧．①求椭圆离心率的取值范围；②若A 、B 、M 、O 、C 、D （O 为坐标原点）依次均匀分布在x 轴上，问直线MF 1与直线DF 2的交点是否在一条定直线上？若是，请求出这条定直线的方程；若不是，请说明理由．解：（1）设⊙M 的方程为，则由题设，得解得2,0,.D E F c ⎧=⎪⎪⎪=⎨⎪=-⎪⎪⎩………………………3分⊙M 的方程为，⊙M 的标准方程为． …………………………………5分 （2）⊙M 与轴的两个交点，，又，，由题设 即 所以………………………7分 解得，即 ．所以椭圆离心率的取值范围为．………………………………………10分 （3）由（1），得．由题设，得．∴，．∴直线MF 1的方程为， ①直线DF 2的方程为． ②…………………………………13分 由①②，得直线MF 1与直线DF 2的交点，易知为定值，∴直线MF 1与直线DF 2的交点Q 在定直线上．…………………14分18．(本小题满分16分)某地拟模仿图甲建造一座大型体育馆，其设计方案侧面的外轮廓线如图乙所示：曲线是以点为圆心的圆的一部分，其中（，单位：米）；曲线是抛物线的一部分；，且恰好等于圆的半径. 假定拟建体育馆的高米.（1）若要求米，米，求与的值；（2）若要求体育馆侧面的最大宽度不超过米，求的取值范围；（3）若，求的最大值.（参考公式：若，则）（1）因为，解得. …………… 2分此时圆，令，得，所以，将点代入中，解得. ………… 4分（2）因为圆的半径为，所以，在中令，得，则由题意知对恒成立， 8分所以恒成立，而当，即时，取最小值10，故，解得. ………… 10分（3）当时，，又圆的方程为，令，得，所以，从而，………… 12分又因为252)()5(2525t tf tt t t t-'==--⋅，令，得，………… 14分当时，，单调递增；当时，，单调递减，从而当时，取最大值为25.答：当米时，的最大值为25米. …………16分（说明：本题还可以运用三角换元，或线性规划等方法解决，类似给分）19. (本小题满分16分)已知数列，满足，，，．（1）求证：数列是等差数列，并求数列的通项公式；（2）设数列满足，对于任意给定的正整数，是否存在正整数，()，使得，，成等差数列？若存在，试用表示，；若不存在，说明理由． 19．（1）因为，所以，则142242221221n nn n n n n n n na b b b a b a b b b +=-=-=-=++++， ………………………2分 所以，又，所以，故是首项为，公差为的等差数列， ……4分 即，所以． ………………………6分 （2）由（1）知，所以， ①当时，，，，若，，成等差数列，则（）， 因为，所以，，，，所以（）不成立． …………………………9分 ②当时，若，，成等差数列， 则，所以，即，所以， ………………………12分欲满足题设条件，只需，此时， ………………14分 因为，所以，，即． …………………………15分 综上所述，当时，不存在满足题设条件；当时，存在，，满足题设条件．…16分20. (本小题满分16分)已知函数(其中是自然对数的底数)，，． ⑴记函数，当时，求的单调区间；⑵若对于任意的，，，均有成立，求实数的取值范围． 解：⑴，，得或，…………………………………2分 列表如下：（，）的单调增区间为：，，减区间为； ……6分 ⑵设，是单调增函数，，2112121221()()|()()|()()()()()()f x f x g x g x f x f x g x g x f x f x ∴->-⇒-<-<-；…8分①由得：，即函数在上单调递增， 在上恒成立，在上恒成立； 令，， 时，；时，； ，； ………………………………12 ②由得：，即函数在上单调递增，在上恒成立， 在上恒成立；函数在上单调递减，当时，， ，综上所述，实数的取值范围为．…………………………16分Zr20543 503F 倿26709 6855 桕23753 5CC9 峉g33576 8328 茨25454 636E 据29111 71B7 熷 vx34469 86A5 蚥S28942 710E 焎。
2021-2022年高三上学期12月月考数学试卷含解析
2021-2022年高三上学期12月月考数学试卷含解析一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．请把答案填写在答题卡相应位置上．（1﹣|x|）的定义域为N，则M∩N=．1．若集合M={x|x2﹣x≤0}，函数f（x）=log22．已知复数z=a+3i（i为虚数单位，a＞0），若z2是纯虚数，则a的值为．3．从某校高三年级随机抽取一个班，对该班45名学生的高校招生体检表中视力情况进行统计，其结果的频率分布直方图如图．若某高校A专业对视力的要求在0.9以上，则该班学生中能报A专业的人数为．4．将函数f（x）的图象向左平移个单位后得到函数y=4sin（2x﹣）的图象，则f（）的值为．5．如图是一个算法的伪代码，则输出的i的值为．6．已知函数f（x）=，若f（x）=5，则x= ．7．设α：2≤x≤4，β：m+1≤x≤2m+4，m∈R，如果α是β的充分非必要条件，则m的范围是．8．设Sn 是等差数列{an}的前n项和．若，则= ．9．棱长为2的正四面体的体积为．10．若实数x，y满足且z=2x+y的最小值为3，则实数b的值为．11．设一次函数f（x）为函数F（x）的导数，若存在实数x∈（1，2），使得f（﹣x0）=﹣f（x）＜0，则不等式F（2x﹣1）＜F（x）的解集为．12．在平面直角坐标系xOy中，已知圆C：（x﹣）2+（y﹣a）2=1（a≥0）上只存在一点P 到直线l：y=2x﹣6的距离等于﹣1，则实数a的值为．13．如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=2，BC=1，点A、C分别在x轴、y轴上，当点A在x轴上运动时，点C随之在y轴上运动，在运动过程中，点B到原点O的最大距离是．14．在面积为2的△ABC中，E，F分别是AB，AC的中点，点P在直线EF上，则的最小值是．二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且．（1）求角A的值；（2）若∠B=，BC边上中线AM=，求△ABC的面积．16．如图，斜四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1的底面ABCD是矩形，平面C1D1DC⊥平面ABCD，E，F分别为CD1，AB的中点．求证：（1）AD⊥CD1；（2）EF∥平面ADD1A1．17．已知等差数列{a n}的前n项和为S n，且a4=5，S9=54．（1）求数列{a n}的通项公式与S n；（2）若b n=，求数列{b n}的前n项和．18．如图，景点A在景点B的正北方向2千米处，景点C在景点B的正东方向千米处．（Ⅰ）游客甲沿CA从景点C出发行至与景点B相距千米的点P处，记∠PBC=α，求sinα的值；（Ⅱ）甲沿CA从景点C出发前往景点A，乙沿AB从景点A出发前往景点B，甲乙同时出发，甲的速度为1千米/小时，乙的速度为2千米/小时．若甲乙两人之间通过对讲机联系，对讲机在该景区内的最大通话距离为3千米，问有多长时间两人不能通话？（精确到0.1小时，参考数据：）19．已知椭圆方程右焦点F、斜率为k的直线l交椭圆于P、Q两点．（1）求椭圆的两个焦点和短轴的两个端点构成的四边形的面积；（2）当直线l的斜率为1时，求△POQ的面积；（3）在线段OF上是否存在点M（m，0），使得以MP、MQ为邻边的平行四边形是菱形？若存在，求出m的取值范围；若不存在，说明理由．20．已知三次函数f（x）=4x3+ax2+bx+c（a，b，c∈R）（1）如果f（x）是奇函数，过点（2，10）作y=f（x）图象的切线l，若这样的切线有三条，求实数b的取值范围；（2）当﹣1≤x≤1时有﹣1≤f（x）≤1，求a，b，c的所有可能的取值．参考答案与试题解析一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．请把答案填写在答题卡相应位置上．1．若集合M={x|x2﹣x≤0}，函数f（x）=log2（1﹣|x|）的定义域为N，则M∩N=[0，1）．【考点】对数函数的定义域；交集及其运算；一元二次不等式的解法．【分析】先解不等式求出集合M；再利用对数的真数大于0求出N．相结合即可求出M∩N．【解答】解：由题得：M={x|x（x﹣1）≤0}={x|0≤x≤1}=[0，1]；N={x|1﹣|x|＞0}={x|﹣1＜x＜1}=（﹣1，1）．M∩N=[0，1）．故答案为[0，1）．2．已知复数z=a+3i（i为虚数单位，a＞0），若z2是纯虚数，则a的值为3．【考点】复数的基本概念．【分析】易得z2=a2﹣9+6ai，根据纯虚数的定义可得方程，解出即可，注意a＞0．【解答】解：∵z=a+3i，∴z2=a2﹣9+6ai，又z2是纯虚数，∴，解得a=3，a=﹣3（舍去），故答案为：3．3．从某校高三年级随机抽取一个班，对该班45名学生的高校招生体检表中视力情况进行统计，其结果的频率分布直方图如图．若某高校A专业对视力的要求在0.9以上，则该班学生中能报A专业的人数为18．【考点】频率分布直方图．【分析】根据频率=小矩形的高×组距求得视力在0.9以上的频率，再根据频数=频率×样本容量求得该班学生中能报A专业的人数．【解答】解：由频率分布直方图知：视力在0.9以上的频率为（1.00+0.75+0.25）×0.2=0.4，∴该班学生中能报A专业的人数为45×0.4=18．故答案为：18．4．将函数f（x）的图象向左平移个单位后得到函数y=4sin（2x﹣）的图象，则f（）的值为﹣2．【考点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．【分析】根据函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律求得f（x）的解析式，从而求得f（）的值．【解答】解：由题意可得，把函数y=4sin（2x﹣）的图象向右平移个单位后得到函数f（x）的图象，故f（x）=4sin[2（x﹣）﹣]=4sin（2x﹣），故f（）=4sin（﹣）=﹣2，故答案为：﹣2．5．如图是一个算法的伪代码，则输出的i的值为5．【考点】伪代码．【分析】算法的功能是求满足S=9﹣（1+2+3+…+i）＜0的最大正整数i+1的值，计算S的值确定输出i的值．【解答】解：由算法语句知：算法的功能是求满足S=9﹣（1+2+3+…+i）＜0的最小正整数i+1的值，∵S=9﹣（1+2+3）=3＞0，S=9﹣（1+2+3+4）=﹣1＜0，∴输出的i值为5．故答案为：5．6．已知函数f（x）=，若f（x）=5，则x=8或﹣2．【考点】函数的零点；函数的值．【分析】分别令x﹣3=5，x2+1=5解得x，验证是否符合即可．【解答】解：由题意可得当x＞0时，令x﹣3=5，解得x=8符合题意；当x≤0时，令x2+1=5，解得x=2，或x=﹣2，应取x=﹣2；综上可得x=8或﹣2故答案为：8或﹣27．设α：2≤x≤4，β：m+1≤x≤2m+4，m∈R，如果α是β的充分非必要条件，则m的范围是[0，1] ．【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】根据充分必要条件的定义可得，解得即可．【解答】解：∵α：2≤x≤4，β：m+1≤x≤2m+4，m∈R，若如果α是β的充分非必要条件，令α：{x|2≤x≤4}，β：{x|m+1≤x≤2m+4，m∈R，}∴集合α⊆β，得，解得0≤m≤1故答案为：[0，1]．8．设S n是等差数列{a n}的前n项和．若，则=．【考点】等差数列的性质．【分析】由等差数列的求和公式表示出S3与S7，代入已知的等式左边，整理后得到a1=6d，将所求式子的分子分母分别利用等差数列的求和公式化简，将a1=6d代入，约分后即可求出值．【解答】解：∵S n是等差数列{a n}的前n项和，=，且S3=3a1+3d，S7=7a1+21d，∴=，整理得：a1=6d，则===．故答案为：9．棱长为2的正四面体的体积为．【考点】球的体积和表面积．【分析】求出正四面体的底面面积以及高，即可求解正四面体的体积．【解答】解：当棱长为2时，正四面体的底面积S==．正四面体的高h==．故正四面体的体积V=•S•h==．故答案为：．10．若实数x，y满足且z=2x+y的最小值为3，则实数b的值为．【考点】简单线性规划的应用．【分析】先根据约束条件画出可行域，设z=2x+y，再利用z的几何意义求最值，只需求出直线z=2x+y过可行域内的点A时，从而得到b值即可．【解答】解：由约束条件作出可行域（如图），当平行直线系y=﹣2x+z经过可行域内的点A（，）时，z取得最小值，即2×+=3，解之得b=．故答案为：．11．设一次函数f（x）为函数F（x）的导数，若存在实数x0∈（1，2），使得f（﹣x0）=﹣f（x0）＜0，则不等式F（2x﹣1）＜F（x）的解集为（）．【考点】导数的运算．【分析】首先判断出f（x）为奇函数，令f（x）=2ax（a＞0），根据条件列出不等式，解得即可．【解答】解：由存在实数x0∈（1，2），使得f（﹣x0）=﹣f（x0）＜0，∴f（x）为奇函数，令f（x）=2ax（a＞0），∴F（x）=ax2，∵F（2x﹣1）＜F（x）∴F（2x﹣1）﹣F（x）=a（2x﹣1）2﹣ax2=a（3x﹣1）（x﹣1）＜0即（3x﹣1）（x﹣1）＜0，解得，．故答案为：12．在平面直角坐标系xOy中，已知圆C：（x﹣）2+（y﹣a）2=1（a≥0）上只存在一点P 到直线l：y=2x﹣6的距离等于﹣1，则实数a的值为1．【考点】圆与圆的位置关系及其判定．【分析】利用圆心到直线的距离等于圆的半径加﹣1，列出方程求出a的值即可．【解答】解：圆C：（x﹣）2+（y﹣a）2=1的圆心（）半径为1，在平面直角坐标系xOy中，已知圆C：（x﹣）2+（y﹣a）2=1（a≥0）上存在一点P到直线l：y=2x﹣6的距离等于﹣1，∴，即，即或解得a=1则实数a的值为1．故答案为：1．13．如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=2，BC=1，点A、C分别在x轴、y轴上，当点A在x轴上运动时，点C随之在y轴上运动，在运动过程中，点B到原点O的最大距离是1+ ．【考点】两点间距离公式的应用．【分析】Rt△AOC的外接圆圆心是AC中点，设AC中点为D，根据三角形三边关系有OB ≤OD+BD=1+，即O、D、B三点共线时OB取得最大值．【解答】解：作AC的中点D，连接OD、BD，∵OB≤OD+BD，∴当O、D、B三点共线时OB取得最大值，∵BD==，OD=AD=AC=1，∴点B到原点O的最大距离为1+．故答案是：1+．14．在面积为2的△ABC中，E，F分别是AB，AC的中点，点P在直线EF上，则的最小值是2．【考点】解三角形；平面向量数量积的运算．【分析】根据△ABC的面积为2，可得△PBC的面积=1，从而可得PB×PC=，故=PB×PCcos ∠BPC=，由余弦定理，有：BC2=BP2+CP2﹣2BP×CPcos∠BPC，进而可得BC2≥2BP×CP﹣2BP×CPcos∠BPC．从而≥，利用导数，可得最大值为，从而可得的最小值．【解答】解：∵E、F是AB、AC的中点，∴EF到BC的距离=点A到BC的距离的一半，∴△ABC的面积=2△PBC的面积，而△ABC的面积=2，∴△PBC的面积=1，又△PBC的面积=PB×PCsin∠BPC，∴PB×PC=．∴=PB×PCcos∠BPC=．由余弦定理，有：BC2=BP2+CP2﹣2BP×CPcos∠BPC．显然，BP、CP都是正数，∴BP2+CP2≥2BP×CP，∴BC2≥2BP×CP﹣2BP×CPcos∠BPC．∴≥PB×PCcos∠BPC+2BP×CP﹣2BP×CPcos∠BPC=令y=，则y′=令y′=0，则cos∠BPC=，此时函数在（0，）上单调增，在（，1）上单调减∴cos∠BPC=时，取得最大值为∴的最小值是故答案为：二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且．（1）求角A的值；（2）若∠B=，BC边上中线AM=，求△ABC的面积．【考点】正弦定理．【分析】（1）利用正弦定理化边为角可求得cosA=，从而可得A；（2）易求角C，可知△ABC为等腰三角形，在△AMC中利用余弦定理可求b，再由三角形面积公式可求结果；【解答】解：（1）∵．∴由正弦定理，得，化简得cosA=，∴A=；（2）∵∠B=，∴C=π﹣A﹣B=，可知△ABC为等腰三角形，在△AMC中，由余弦定理，得AM2=AC2+MC2﹣2AC•MCcos120°，即7=，解得b=2，∴△ABC的面积S=b2sinC==．16．如图，斜四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1的底面ABCD是矩形，平面C1D1DC⊥平面ABCD，E，F分别为CD1，AB的中点．求证：（1）AD⊥CD1；（2）EF∥平面ADD1A1．【考点】直线与平面垂直的性质；直线与平面平行的判定．【分析】（1）利用平面与平面垂直的性质定理即可证明．（2）利用已知条件证明四边形AFEG是平行四边形，从而根据EF∥AG即可证明EF∥平面ADD1A1．【解答】证明：（1）由底面ABCD为矩形可得AD⊥CD又∵平面C1D1DC⊥平面ABCD，平面C1D1DC∩平面ABCD平面=CD，∴AD⊥平面C1D1DC．又∵CD1⊂面A1D1DA，∴AD⊥CD1．（2）设DD1中点为G，连结EG，AG．∵E，G分别为CD1，DD1的中点，∴．在矩形ABCD中，∵F是AB的中点，∴且AF∥CD，∴EG∥AF，且EG=AF．∴四边形AFEG是平行四边形，∴EF∥AG．又∵AG⊂平面ADD1A1，EF⊄平面ADD1A1，∴EF∥平面ADD1A1．17．已知等差数列{a n}的前n项和为S n，且a4=5，S9=54．（1）求数列{a n}的通项公式与S n；（2）若b n=，求数列{b n}的前n项和．【考点】数列的求和；等差数列的前n项和．【分析】（1）设等差数列{a n}的公差为d，利用等差数列的通项公式及其前n项和公式即可得出．（2）b n==，利用“裂项求和”即可得出．【解答】解：（1）设等差数列{a n}的公差为d，∵a4=5，S9=54，∴，d=1，a1=2．∴a n=2+n﹣1=n+1，S n=．（2）b n==，数列{b n}的前n项和=++++…++++=﹣﹣=﹣﹣．18．如图，景点A在景点B的正北方向2千米处，景点C在景点B的正东方向千米处．（Ⅰ）游客甲沿CA从景点C出发行至与景点B相距千米的点P处，记∠PBC=α，求sinα的值；（Ⅱ）甲沿CA从景点C出发前往景点A，乙沿AB从景点A出发前往景点B，甲乙同时出发，甲的速度为1千米/小时，乙的速度为2千米/小时．若甲乙两人之间通过对讲机联系，对讲机在该景区内的最大通话距离为3千米，问有多长时间两人不能通话？（精确到0.1小时，参考数据：）【考点】解三角形的实际应用．【分析】（Ⅰ）在Rt△ABC中，求出∠C=30°，在△PBC中，由余弦定理，求得PC，在△PBC中，由正弦定理求sinα的值；（Ⅱ）设甲出发后的时间为t小时，①当1≤t≤4时，乙在景点B处，甲在线段PA上，甲乙间的距离d≤BP＜3，此时不合题意；…②当0≤t＜1时，设乙在线段AB上的位置为点Q，在△AMQ中，由余弦定理可得结论．【解答】解：（Ⅰ）在Rt△ABC中，，∴∠C=30°在△PBC中，由余弦定理得BC2+PC2﹣2BC•PC•cos30°=BP2，即化简，得PC2﹣6PC+5=0，解得PC=1或PC=5（舍去）…在△PBC中，由正弦定理得，即∴…（Ⅱ）Rt△ABC中，设甲出发后的时间为t小时，则由题意可知0≤t≤4，设甲在线段CA上的位置为点M，AM=4﹣t在△PBC中，由余弦定理得BC2+PC2﹣2BC•PC•cos30°=BP2，即，化简得PC2﹣6PC+5=0解得PC=1或PC=5（舍去）①当1≤t≤4时，乙在景点B处，甲在线段PA上，甲乙间的距离d≤BP＜3，此时不合题意；…②当0≤t＜1时，设乙在线段AB上的位置为点Q，则AQ=2t在△AMQ中，由余弦定理得，MQ2=（4﹣t）2+（2t）2﹣2×2t×（4﹣t）×cos60°=7t2﹣16t+16 令MQ＞3即MQ2＞9，得7t2﹣16t+7＞0，解得或∴…综上，当时，甲、乙间的距离大于3米．又，故两人不能通话的时间大约为0.6小时…19．已知椭圆方程右焦点F、斜率为k的直线l交椭圆于P、Q两点．（1）求椭圆的两个焦点和短轴的两个端点构成的四边形的面积；（2）当直线l的斜率为1时，求△POQ的面积；（3）在线段OF上是否存在点M（m，0），使得以MP、MQ为邻边的平行四边形是菱形？若存在，求出m的取值范围；若不存在，说明理由．【考点】椭圆的简单性质．【分析】（1）由题意方程求出b，c的值，代入菱形面积公式得答案；（2）右焦点F（1，0），直线l的方程为y=x﹣1．设P（x1，y1），Q（x2，y2），由题设条件得y1=﹣1，．由此可求出△POQ的面积；（3）假设在线段OF上存在点M（m，0）（0＜m＜1），使得以MP，MQ为邻边的平行四（k≠0）．由题意知（1+2k2）边形是菱形．因为直线与x轴不垂直，设直线l的方程为y=k（x﹣1）x2﹣4k2x+2k2﹣2=0．由此可知0＜m＜．【解答】解：（1）由椭圆方程，得a2=2，b2=1，则c2=a2﹣b2=1，∴椭圆的两个焦点和短轴的两个端点构成的四边形的面积S=；（2）右焦点F（1，0），直线l的方程为y=x﹣1．设P（x1，y1），Q（x2，y2），由，得3y2+2y﹣1=0，解得．∴|OF|•|y1﹣y2|=|y1﹣y2|=；（3）假设在线段OF上存在点M（m，0）（0＜m＜1），使得以MP，MQ为邻边的平行四边形是菱形．∵直线与x轴不垂直，∴设直线l的方程为y=k（x﹣1）（k≠0）．由，可得（1+2k2）x2﹣4k2x+2k2﹣2=0．∴，，，，（x2﹣x1≠0），若以MP，MQ为邻边的平行四边形是菱形，则（）⊥，得，（）•=0，即（x1+x2﹣2m，y1+y2）（x2﹣x1，y2﹣y1）=0，∴（x1+x2﹣2m）（x2﹣x1）+（y1+y2）（y2﹣y1）=0，则（x1+x2﹣2m）+k（y1+y2）=0，∴（﹣2m）+k2（﹣2）=0，得2k2﹣（2+4k2）m=0，解得m=（k≠0）．∴0＜m＜．20．已知三次函数f（x）=4x3+ax2+bx+c（a，b，c∈R）（1）如果f（x）是奇函数，过点（2，10）作y=f（x）图象的切线l，若这样的切线有三条，求实数b的取值范围；（2）当﹣1≤x≤1时有﹣1≤f（x）≤1，求a，b，c的所有可能的取值．【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程；利用导数研究函数的单调性．【分析】（1））由于f（x）是奇函数，可得f（﹣x）=﹣f（x）解得a=c=0；设切点为P（t，4t3+bt），利用导数得到切线的斜率，得到切线l的方程为y﹣（4t3+bt）=（12t2+b）（x﹣t），把点（2，10）代入得到关于t的三次方程；要使切线l有三条，当且仅当g（t）=0有三个实数根，利用导数即可得出又三个实数根的充要条件，解出即可．（2）由题意，当x=±1，±时，均有﹣1≤f（x）≤1，利用上述条件即可得出a，b，c的值，再利用导数加以证明即可．【解答】解（1）∵f（x）是奇函数，∴由f（﹣x）=﹣f（x）得a=c=0，∴f（x）=4x3+bx，f′（x）=12x2+b．设切点为P（t，4t3+bt），则切线l的方程为y﹣（4t3+bt）=（12t2+b）（x﹣t），由于切线l过点（2，10），∴10﹣（4t3+bt）=（12t2+b）（2﹣t），整理得b=4t3﹣12t2+5，令g（t）=4t3﹣12t2+5﹣b，则g′（t）=12t2﹣24t=12t（t﹣2），∴g（t）在（﹣∞，0）上是增函数，在（0，2）上是减函数，在（2，+∞）上是增函数，要使切线l有三条，当且仅当g（t）=0有三个实数根，g（t）=0有三个实数根，当且仅当g（0）＞0，且g（2）＜0，解得﹣11＜b＜5．（2）由题意，当x=±1，±时，均有﹣1≤f（x）≤1，故﹣1≤4+a+b+c≤1，①﹣1≤﹣4+a﹣b+c≤1，即﹣1≤4﹣a+b﹣c≤1，②﹣1≤+++c≤1，③﹣1≤﹣+﹣+c≤1，即﹣1≤﹣+﹣c≤1，④①+②得﹣2≤8+2b≤2，从而b≤﹣3；③+④得﹣2≤1+2b≤2，从而b≥﹣3，故b=﹣3．代入①②③④得a+c=0， +c=0，从而a=c=0．下面证明：f（x）=4x3﹣3x满足条件．事实上，f′（x）=12x2﹣3=3（2x+1）（2x﹣1），所以f（x）在（﹣1，﹣）上单调递增，在（﹣，）上单调递减，在（，1）上单调递增，而f（﹣1）=﹣1，f（﹣）=1，f（）=﹣1，f（1）=1，所以当﹣1≤x≤1时f（x）满足﹣1≤f（x）≤1．xx12月5日_B w29533 735D 獝24983 6197 憗c`Q38016 9480 钀23282 5AF2 嫲25876 6514 攔32574 7F3E 缾35699 8B73 譳22027 560B 嘋。
2021年高三上学期第三次(12月)月考数学(理)试题 含答案
侧视图正视图 俯视图2021年高三上学期第三次（12月）月考数学（理）试题 含答案本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分，满分150分，考试时间为120分钟．第Ⅰ卷（选择题，共60分）一、选择题（本大题包括12小题，每小题5分，共60分，每小题给出的四个选项中，只有一项．．．．是符合题目要求的，请将正确选项填涂在答题卡上） 1.已知集合，，则（ ）A. B. C. D.2已知是虚数单位，若，则的共轭复数的虚部为（ ） A ．B ．C ．D ．3.给出下列两个命题，命题“”是“”的充分不必要条件；命题q ：函数是奇函数，则下列命题是真命题的是（ ）A ．B ．C ．D ．4.执行如图所示的程序框图，则输出的结果是 （ ） A. B.C.D.5.某几何体的三视图如图所示，则该几何体的外接球的体积为（ ） A ． B ． C ． D ．6将甲、乙等名学生分配到三个不同学校实习，每个学校至少一人，且甲、乙在同一学校的分配方案共有（）A．种 B．种 C．种 D．种7．已知变量满足：的最大值为（）A． B． C．2 D．48已知直线与圆交于两点，且（其中为坐标原点），则实数的值为（）A．B．C．或D．或9.的图象如图所示，为得到的图象，可以将的图象（）A．向右平移个单位长度 B．向右平移个单位长度C．向左平移个单位长度 D．向左平移个单位长度10. 设数列的前n项和为.且，则=（）A．B． C．D．11.过双曲线的左焦点作圆的切线，切点为，延长交抛物线于点,为原点，若，则双曲线的离心率为（）A. B. C. D.12．定义在上的单调递减函数，若的导函数存在且满足，则下列不等式成立的是（）A． B．C． D．第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分。
第13题~第21题为必考题，每个试题考生都必须作答。
第22题~第24题为选考题，考生依据要求作答。
二．填空题：把答案填在答题卡相应题号后的横线上（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13. 已知关于x的二项式展开式的二项式系数之和为32，常数项为80，则展开式的各项系数和=_________.14．如图，在边长为（为自然对数的底数）的正方形中随机取一点,则它落到阴影部分的概率为_________.15.已知M是△ABC内的一点（不含边界），且,若△MBC，△MAB，△MCA的面积分别为，记，则的最小值为_________.16已知函数，把函数的偶数零点按从小到大的顺序排列成一个数列，该数列的前n 项的和_________.三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 17. (本小题满分12分) 已知 ，， 记函数（1）求函数取最大值时的取值集合；（2）设的角所对的边分别为，若a ＝2c sin A,c ＝7，且△ABC 的面积为332，求a ＋b 的值．18.(本小题满分12分)以下茎叶图记录了甲、乙两名射击运动员训练的成绩（环数），射击次数为4次． （1）试比较甲、乙两名运动员射击水平的稳定性；（2）每次都从甲、乙两组数据中随机各选取一个进行比对分析，共选取了4次（有放回选取）．设选取的两个数据中甲的数据大于乙的数据的次数为，求的分布列及数学期望．19．（本小题满分12分）在如图所示的几何体中，四边形ABCD 为矩形，平面ABEF 平面ABCD ，EF//AB ，,AD=2,AB= AF=2EF=l ，点P在棱DF 上．（1）若P 为DF 的中点，求证：BF//平面ACP（2）若二面角D-AP-C 的余弦值为，求PF 的长度．20 (本小题满分12分)已知椭圆：的离心率为，右顶点是抛物线的焦点．直线：与椭圆相交于，两点． （Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）如果，点关于直线的对称点在轴上，求的值．21. (本小题满分12分) 设函数，其中．（Ⅰ）当时，求曲线在原点处的切线方程； （Ⅱ）试讨论函数极值点的个数； （Ⅲ）求证：对任意的，不等式恒成立．考生在第22、23、24题中任选一道作答，并用2B 铅笔将答题卡上所选的题目对应的题号右侧方框涂黑，按所涂题号进行评分；多涂、多答，按所涂的首题进行评分，不涂，按本选考题的首题进行评分.22、（本小题满分10分）选修4—1:几何证明选讲. 如图，⊙的半径为 6，线段与⊙相交于点、，，，与⊙相交于点. （1） 求长；（2）当 ⊥时，求证：.AEODC B23．（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程在直角坐标系xOy 中，曲线C 1的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cos α，y ＝2＋2sin α(α为参数)．M 是C 1上的动点，P 点满足OP →＝2OM →，P 点的轨迹为曲线C 2. (1)求C 2的方程；(2)在以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中，射线θ＝π3与C 1的异于极点的交点为A ，与C 2的异于极点的交点为B ，求|AB|.24、（本小题满分10分）选修4－5:不等式选讲. 已知，的最小值为. （Ⅰ）求的值； （Ⅱ）解关于的不等式.第三次模拟考试 数学（理）参考答案1～12 ABCC BCDC DBAA 13. 14. 15.36 16.4517【解析】（1）由题意，得)62sin(22cos 2sin 3)(π-=-=•=x x x x f ,当取最大值时，即，此时， 所以的取值集合为．（2）由a ＝2c sin A 及正弦定理得，sin A ＝2cos C sin A. ∵sin A ≠0，∴cos C ＝，∴C ＝π3.∵△ABC 面积为332，∴12ab sin π3＝332，即ab ＝6.①∵c ＝7，∴由余弦定理得a 2＋b 2－2ab cos π3＝7，即a 2＋b 2－ab ＝7.②由②变形得(a ＋b )2＝3ab ＋7.③将①代入③得(a ＋b )2＝25，故a ＋b ＝5. 18【解析】（1）25])810()89()87()86[(41)(2222=-+-+-+-=甲x D29])810()810()87()85[(41)(2222=-+-+-+-=乙x D∵ ∴ 甲运动员的射击水平平稳（2）当乙选取5环时，一定满足要求，此时的概率为当乙选取7环时，甲只能从9环、10环中选取，此时的概率为 ∴ 甲的成绩大于乙的成绩的概率为依题意，的取值分别是0，1，2，3,4，且～ ∴(运算式子形式表示也可) 因此，的分布列如下：OBAC DE FPzyxPFEDCAB∴19．解析：（Ⅰ）证明：连接BD，交AC于点O，连接OP．因为P是DF中点，O为矩形ABCD 对角线的交点，所以OP为三角形BDF中位线，所以BF // OP，因为BF平面ACP，OP平面ACP，所以BF // 平面ACP．(II)因为∠BAF=90º，所以AF⊥AB，因为平面ABEF⊥平面ABCD，且平面ABEF ∩平面ABCD= AB，所以AF⊥平面ABCD，因为四边形ABCD为矩形，所以以A为坐标原点，AB，AD，AF分别为x，y，z轴，建立如图所示空间直角坐标系．所以，，，．因为AB⊥平面ADF，所以平面APF的法向量为．设P点坐标为，在平面APC中，，，所以平面APC的法向量为，所以121212||cos,||||(n nn nn n⋅<>===⋅-解得，或（舍）．此时．20.解：（Ⅰ）抛物线，所以焦点坐标为，即，所以．又因为，所以．所以，所以椭圆的方程为．（Ⅱ）设，，因为，，所以，，所以， 所以．由，得（判别式）， 得，，即． 设， 则中点坐标为，因为，关于直线对称， 所以的中点在直线上， 所以，解得，即．由于，关于直线对称，所以，所在直线与直线垂直， 所以 ，解得． 21解：（1）当时，，则，曲线在原点处的切线方程为（２）()1,122122'->+++=++=x x ax x x a x x f ，令 当时，，所以０，则０，所以在上为增函数， 所以无极值点；当时，，所以０，则０，所以在上为增函数， 所以无极值点； 当时，，令０，则，当时，，，此时有２个极值点； 当时，，，此时有１个极值点；综上：当时，无极值点；当时，有２个极值点；当时，有１个极值点； 8（３）对于函数，令函数()332()ln(1)h x x f x x x x =-=-++ 则，，所以函数在上单调递增，又时，恒有 即恒成立.取，则有恒成立，即不等式恒成立.22、解：（1）∵OC =OD ，∴∠OCD =∠ODC ，∴∠OCA =∠ODB ． ∵∠BOD =∠A ，∴△OBD ∽△AOC ． ∴， ∵OC =OD =6，AC =4，∴，∴BD=9．（2）证明：∵OC =OE ，CE ⊥OD ．∴∠COD =∠BOD =∠A ． ∴∠AOD =180º–∠A –∠ODC=180º–∠COD –∠OCD=∠ADO ． ∴AD =AO23解 ：(1)设P(x ，y)，则由条件知M ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2，y 2. 由于M 点在C 1上，所以⎩⎪⎨⎪⎧x 2＝2cos α，y2＝2＋2sin α，即⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4cos α，y ＝4＋4sin α.从而C 2的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4cos α，y ＝4＋4sin α(α为参数)．(5分)(2)曲线C 1的极坐标方程为ρ＝4sin θ，曲线C 2的极坐标方程为ρ＝8sin θ. 射线θ＝π3与C 1的交点A 的极径为ρ1＝4sin π3，射线θ＝π3与C 2的交点B 的极径为ρ2＝8sin π3.所以|AB|＝|ρ2－ρ1|＝2 3.(10分) 24【解析】（Ⅰ），① 而 ② ③当且仅当时， ①式等号成立；当且仅当时，②式等号成立； 则当且仅当时，③式等号成立，即取得最小值. (Ⅱ)由（Ⅰ）知，则，即，， 解得原不等式的解集为.22246 56E6 囦 39744 9B40 魀327604 6BD4 比21076 5254 剔37427 9233 鈳t32962 80C2 胂330478117 脗ob8v'。
2021年高三12月月考数学理试卷 含答案
2021年高三12月月考数学理试卷含答案一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，有且只有一项符合题目要求.）1.已知集合，则（）A． B． C． D．2.若复数满足，则的共轭复数的虚部是（）A． B． C. D．3.已知，且是的必要不充分条件，则的取值范围是（）A． B． C． D．4.执行如图所示的程序框图，若输出的结果是8，则输入的数是( )A.或B.或C.或D.或5.设变量满足约束条件则的最大值为（）A．6 B．4 C．2 D．06.曲线在点处的切线与直线垂直，则实数的值为（）.A. B. C. D.7.世博会期间，某班有四名学生参加了志愿工作.将这四名学生分配到三个不同的展馆服务，每个展馆至少分配一人.若甲要求不到馆，则不同的分配方案有( )种A.36B.30C.24D.208.为得到函数的图像，只需将函数的图像（）A．向右平移个长度单位 B．向左平移个长度单位C．向右平移个长度单位 D．向左平移个长度单位9.设四边形为平行四边形，．若点满足，则=（）.A. 6 B. 9 C. 15 D. 2010.一个正三棱柱的主（正）视图是长为,宽为2的矩形,则它的外接球的表面积等于( )A.B. C. D.11.已知是双曲线的左顶点，分别为双曲线的左、右焦点，为双曲线上一点，是的重心，若，则双曲线的离心率为( )A． B． C． D．与的取值有关12.定义在上的函数的图像关于对称，且当时，（其中是的导函数），若，，，则的大小关系是（）.A. B. C. D.二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填写在答题纸上.）13.若,则=___________.14.从抛物线上一点引抛物线准线的垂线，垂足为，且，设抛物线的焦点为，则= .15.已知函数，若函数有三个零点，则的取值范围为.三、解答题：（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17.（本小题满分12分）设数列的前项和为，，，.⑴求数列的通项公式；⑵求数列的前项和. 18．(本小题满分12分）由于当前学生课业负担较重，造成青少年视力普遍下降，现从某中学随机抽取16名学生，经校医用对数视力表检査得到每个学生的视力状况的茎叶图（以小数点前的一位数字为茎，小数点后的一位数字为叶)如下：若视力测试结果不低于5.0，则称为“好视力”.⑴求校医从这16人中随机选取3人，至多有1人是“好视力”的概率；⑵以这16人的样本数据来估计整个学校的总体数据，若从该校(人数很多）任选3人，记表示抽到“好视力”学生的人数，求的分布列及数学期望.19.（本小题满分12分）如图，已知四棱锥，底面为菱形，平面，，分别是的中点．⑴证明：；⑵若为上的动点，与平面所成最大角的正切值为，求二面角的余弦值20.（本小题满分12分）已知椭圆的离心率为，以原点为圆心，椭圆的短半轴长为半径的圆与直线相切．⑴求椭圆的方程；⑵若过点的直线与椭圆相交于两点，设为椭圆上一点，且满足(为坐标原点)，当时，求实数取值范围21．（本小题满分12分）已知函数⑴讨论函数的单调性；⑵证明：若，则对任意，，有．请考生在第22、23、24三题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题记分.答题时在答题纸上注明所选题目的题号.22.（本小题满分10分）选修4—1；几何证明选讲．已知为半圆的直径，为半圆上一点，过点作半圆的切线，过点作于，交圆于点. ⑴求证：平分；⑵求的长．23.（本小题满分10分）选修4—4；坐标系与参数方程．在平面直角坐标系中，直线的参数方程为.若以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，则曲线的极坐标方程为.⑴求曲线的直角坐标方程；⑵求直线被曲线所截得的弦长.24．（本小题满分10分）选修4—5；不等式选讲．已知，且，若恒成立，⑴求的最小值；⑵若对任意的恒成立，求实数的取值范围.唐山市开滦二中xx年高三年级12月月考理科数学参考答案一、二.选择题、填空题：CABDB ACDBC BA （13），（14），（15），（16）或三、解答题：17. 解⑴,，………2分，，，数列是以1为首项，2为公差的等差数列，………4分.………………6分⑵，①132212232232121+-+-+++=∴n n n n n T ，② 由①－②得1113221221121412212122222222121+++--⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--+=--+++=n n n n n n n T ，………………10分是的中点，,,,平面,平面,,,平面,. ………………5分⑵解：由⑴平面于点，平面，是在平面的射影，是与平面所成的角，且当最短即时，,此时，,…………7分以点为坐标原点，分别以直线为轴，轴，轴建立空间直角坐标系，令，则()()()⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛1,21,23,0,1,3,0,0,3,0,0,0F C E A ,,设平面的法向量为，则，，令，解得，平面的一个法向量为，同理平面的一个法向量为，…………9分，…………11分二面角的余弦值为……………………12分.20解:(1)由题意知：所以又故所求椭圆的方程为 ……………………………… 4分(2) 由题意知直线的斜率存在.设其方程为：，由得.，设，，，∴，. (6分)∵，∴，，.∵点在椭圆上，∴，∴( 8分)∵＜，∴，∴即∴ 得： ∴ ………10分又∴或 ,故实数的取值范围是…12分21⑴解：函数的定义域为，，①当时，，由，解得，由，解得或；②当时，，在恒成立；③当时，，由，解得，由，解得或.……… 4分综上可得，当时，函数在上单调递减，在，单调递增；当时，函数在单调递增；当时，函数在上单调递减，在，单调递增……………………… 5分⑵证明：令()()()()()+∞∈-+--=+=,0,ln 11212x x a x a x x x f x F ， 则()()()()()+∞∈-+--=-+--=,0,11112'x xa x a x x a a x x F ， ()()()()051141,512<--=---=∆∴<<a a a a a ， 在恒成立，在上单调递增，………………… 9分①当时，，即，；②当时，，即，； 综上可得，若，则对任意，，有.… 12分22⑴证明：连结， 2分为半圆的切线，，又，，，，平分．……………………5分⑵解：由⑴知，………………………………………… 6分连结，四点共圆，，，……… 8分，所以．…………………… 10分.23解：解：(1) 由得：两边同乘以得： -------------3分。
2021年高三(上)12月月考数学试卷(理科) Word版含解析
2021年高三（上）12月月考数学试卷（理科） Word版含解析一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．1．（5分）若复数）是纯虚数，则实数a的值为﹣1 ．考点：复数代数形式的乘除运算．专题：计算题．分析：将化为再判断即可．解答：解：∵==是纯虚数，∴a+1=0且1﹣a≠0，∴a=﹣1．故答案为：﹣1．点评：本题考查复数代数形式的乘除运算，将复数的分母实数化是关键，属于基础题．2．（5分）（xx•松江区一模）集合A={0，2，a}，B={1，a2}，若A∪B={0，1，2，4，16}，则a的值为4．考点：并集及其运算．专题：计算题．分根据题意，由并集的计算方法，结合a与a2的关系，易得，即可得答案．析：解答：解：∵A={0，2，a}，B={1，a2}，A∪B={0，1，2，4，16} ∴∴a=4，故答案为：4．点评：本题考查了集合的并集运算，并用观察法得到相对应的元素，从而求得答案，本题属于容易题．3．（5分）经过点（2，﹣1），且与直线2x﹣3y﹣1=0垂直的直线方程是3x+2y﹣4=0．考点：直线的一般式方程与直线的垂直关系．专题：直线与圆．分析：由题意易得直线2x﹣3y﹣1=0的斜率为，进而可得所求直线的斜率，又该直线过定点，由点斜式可得方程，化为一般式即可．解答：解：根据题意，易得直线2x﹣3y﹣1=0的斜率为，根据互相垂直的直线的斜率的关系，可得l的斜率为，又由直线经过点（2，﹣1），则所求的直线方程为y+1=﹣（x﹣2），即3x+2y﹣4=0，故答案为：3x+2y﹣4=0．点评：本题为直线方程的求解，由垂直关系找出直线的斜率是解决问题的关键，注意最后要化为直线方程的一般式，属基础题．4．（5分）平面直接坐标系xoy中，角α的始边与x轴的正半轴重合，终边在直线y=﹣x 上，则sinα=±．考点：直线的倾斜角．专题：直线与圆．分析：因为知道了角α的终边，可以在角的终边上任取一点，求出该点到原点的距离，直接运用三角函数的定义求解．解答：解：在直线y=﹣x上任意取一点（a，﹣a），且a≠0 则，r==2|a|，再由sinα===±，故答案为±．点评：本题考查了任意角的三角函数定义，解答此题的关键是熟记定义，是基础题．5．（5分）某学校有两个食堂，甲、乙、丙三名学生各自随机选择其中的一个食堂用餐，则他们在同一个食堂用餐的概率为．考点：相互独立事件的概率乘法公式．专题：计算题．分析：由于学校有两个食堂，不妨令他们分别为食堂A、食堂B，则甲、乙、丙三名学生选择每一个食堂的概率均为，代入相互独立事件的概率乘法公式，即可求出他们同在食堂A用餐的概率，同理，可求出他们同在食堂B用餐的概率，然后结合互斥事件概率加法公式，即可得到答案．解答：解：甲、乙、丙三名学生选择每一个食堂的概率均为，则他们同时选中A食堂的概率为：=；他们同时选中B食堂的概率也为：=；故们在同一个食堂用餐的概率P=+=故答案为：点评：本小题主要考查相互独立事件概率的计算，运用数学知识解决问题的能力，要想计算一个事件的概率，首先我们要分析这个事件是分类的（分几类）还是分步的（分几步），然后再利用加法原理和乘法原理进行求解．6．（5分）右图是一个算法流程图，则执行该算法后输出的s=81．考点：循环结构．专题：计算题．分析：按照程序框图的流程写出前几次循环的结果，并判断每一次得到的结果是否满足判断框中的条件，直到满足条件，执行输出．解答：解：当i=1时，不满足退出循环的条件，S=3，i=2；当i=2时，不满足退出循环的条件，S=9，i=3；当i=3时，不满足退出循环的条件，S=27，i=4；当i=4时，不满足退出循环的条件，S=81，i=5；当i=5时，满足退出循环的条件，故答案为：81点本题主要考查了循环结构，在解决程序框图中的循环结构时，常采用写出前几次循环评：的结果，找规律，属于基础题．7．（5分）（xx•重庆）设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且a=1，b=2，cosC=，则sinB=．考点：余弦定理；同角三角函数间的基本关系．专题：计算题．分析：由C为三角形的内角，及cosC的值，利用同角三角函数间的基本关系求出sinC的值，再由a与b的值，利用余弦定理列出关于c的方程，求出方程的解得到c的值，再由sinC，c及b的值，利用正弦定理即可求出sinB的值．解答：解：∵C为三角形的内角，cosC=，∴sinC==，又a=1，b=2，∴由余弦定理c2=a2+b2﹣2abcosC得：c2=1+4﹣1=4，解得：c=2，又sinC=，c=2，b=2，∴由正弦定理=得：sinB===．故答案为：点评：此题考查了同角三角函数间的基本关系，正弦、余弦定理，以及特殊角的三角函数值，熟练掌握定理及基本关系是解本题的关键．8．（5分）设向量，，，的夹角为120°，则实数k=3．考点：数量积表示两个向量的夹角．专题：计算题；平面向量及应用．分析：由向量夹角公式可得，cos120°==＜0可知，k＞0，解方程即可求解k解答：解：由向量夹角公式可得，cos120°===﹣∴k＞0整理可得，k2=9∴k=3故答案为：3点评：本题主要考查了向量夹角公式的坐标表示，解题中不要漏掉对k的范围的判断，本题容易漏掉判断k而产生两解k=±39．（5分）（xx•东城区一模）过点的直线l与圆C：（x﹣1）2+y2=4交于A、B两点，C为圆心，当∠ACB最小时，直线l的方程为2x﹣4y+3=0．考直线和圆的方程的应用；直线的一般式方程．点：专题：计算题．分析：研究知点在圆内，过它的直线与圆交于两点A，B，当∠ACB最小时，直线l与CM 垂直，故先求直线CM的斜率，再根据充要条件求出直线l的斜率，由点斜式写出其方程．解答：解：验证知点在圆内，当∠ACB最小时，直线l与CM垂直，由圆的方程，圆心C（1，0）∵k CM==﹣2，∴k l=∴l：y﹣1=（x﹣），整理得2x﹣4y+3=0 故应填2x﹣4y+3=0点评：本题考点是直线与圆的位置关系，考查到了线线垂直时斜率之积为﹣1，以及用点斜式写出直线的方程．10．（5分）已知函数f（x）=，若f（3﹣2a2）＞f（a），则实数a的取值范围是a＜﹣或a＞1．考点：函数解析式的求解及常用方法；函数单调性的性质．专题：计算题．分析：当x≥0时，是减函数，所以y=log2（）也是减函数．此时的最大值是f（0）=log2（）=log21=0．当x＜0时，y=（）2x﹣1是减函数．此时的最小值（）0﹣1=0．所以函数在R上是减函数．因为f（3﹣2a2）＞f（a），所以3﹣2a2＜a，2a2+a﹣3＞0，解得a＞1或a＜﹣．解答：解：当x≥0时，是减函数，所以y=log2（）也是减函数．此时的最大值是f（0）=log2（）=log21=0．当x＜0时，y=（）2x﹣1是减函数．此时的最小值（）0﹣1=0．所以函数在R上是减函数．因为f（3﹣2a2）＞f（a），所以3﹣2a2＜a，2a2+a﹣3＞0，解得a＞1或a＜﹣．故答案为：a＞1或a＜﹣．点评：本题考查函数解析式的求解和常用方法，解题时要认真审题，注意分段函数的性质和应用．11．（5分）设函数f（x）=（x＞0），观察：f1（x）=f（x）=，f2（x）=f（f1（x））=，f3（x）=f（f2（x））=，…，根据以上事实，由归纳推理可得：当n∈N*且n≥2时，f n（x）=．考点：归纳推理．专题：归纳法．分析：由已知所给的前几函数的特点：分子都是x，分母是关于x的一次式，其常数项为2n，一次项的系数比常数项小1，据此即可得出答案．解答：解：观察：f1（x）=f（x）=，f2（x）=f（f1（x））=，f3（x）=f（f2（x））=，…，可知：分子都是x，分母是关于x的一次式，其常数项为2n，一次项的系数比常数项小1，故f n（x）=．故答案为点评：善于分析、猜想、归纳所给的式子的规律特点是解题的关键．12．（5分）（xx•江苏）如图，在平面直角坐标系xoy中，A1，A2，B1，B2为椭圆的四个顶点，F为其右焦点，直线A1B2与直线B1F相交于点T，线段OT与椭圆的交点M恰为线段OT的中点，则该椭圆的离心率为．考点：椭圆的简单性质．专题：计算题；压轴题．分析：解法一：可先直线A2B2的方程为，直线B1F的方程为，联立两直线的方程，解出点T的坐标，进而表示出中点M的坐标，代入椭圆的方程即可解出离心率的值；解法二：对椭圆进行压缩变换，，，椭圆变为单位圆：x'2+y'2=1，F'（，0）．根据题设条件求出直线B1T方程，直线直线B1T与x轴交点的横坐标就是该椭圆的离心率．解答：解法一：由题意，可得直线A2B2的方程为，直线B1F的方程为两直线联立得T（），由于此点在椭圆上，故有，整理得3a2﹣10ac﹣c2=0即e2+10e﹣3=0，解得故答案为解法二：对椭圆进行压缩变换，，，椭圆变为单位圆：x'2+y'2=1，F'（，0）．延长TO交圆O于N易知直线A1B1斜率为1，TM=MO=ON=1，，设T（x′，y′），则，y′=x′+1，由割线定理：TB2×TA1=TM×TN，（负值舍去）易知：B1（0，﹣1）直线B1T方程：令y′=0，即F横坐标即原椭圆的离心率e=．故答案：．点评：本题考查圆锥曲线的性质和应用，解题时要认真审题，仔细解答．13．（5分）已知函数f（x）=，若关于的方程满足f（x）=m（m∈R）有且仅有三个不同的实数根，且α，β分别是三个根中最小根和最大根，则的值为．考点：根的存在性及根的个数判断．专题：函数的性质及应用；三角函数的求值．分析：同一坐标系内作出函数y=f（x）的图象和直线y=m，因为两图象有且仅有三个公共点，所以m=1．再解方程f（x）=1，得最小根β=，最大根α=，将它们代入再化简，即可得到要求值式子的值．解答：解：函数f（x）=的图象如下图所示：可得函数f（x）的单调减区间为（﹣∞，﹣）和（，π）；单调增区间为（﹣，）和（π，+∞），f（x）的极大值为f（）=1，极小值为f（﹣）=﹣和f（π）=0将直线y=m进行平移，可得当m=1时，两图象有且仅有三个不同的公共点，相应地方程f（x）=m（m∈R）有且仅有三个不同的实数根．令f（x）=1，得x1=，x2=，x3=，所以β=，α=，∴β•sin（+α）=•sin=•（﹣）=故答案为：点评：本题以分段函数为例，求方程的最大根和最小根，并且用这个根来求值，着重考查了函数与方程的关系，以及三角函数求值等知识，属于中档题．14．（5分）（2011•盐城二模）已知f（x）=cosx，g（x）=sinx，记S n=2﹣，T m=S1+S2+…+S m，若T m＜11，则m的最大值为5．考点：数列与不等式的综合；数列的求和．专题：综合题；等差数列与等比数列．分析：先将数列通项化简，再求和，利用T m＜11，即可求得m的最大值．解答：解：由题意，a n=2﹣=∴S n==∴T m=S1+S2+…+S m=2m+1﹣＜11 ∴m的最大值为5．故答案为：5点评：本题考查数列的通项与求和，考查学生的计算能力，属于中档题．二、解答题：本大题共6小题，共计90分．解答应写出必要的文字说明步骤．15．（14分）（xx•湖北模拟）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且．（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）若，求△ABC面积的最大值．考点：余弦定理；二倍角的正弦；二倍角的余弦；正弦定理．专题：计算题．分析：（Ⅰ）通过求出，利用二倍角以及三角形的内角和化简，即可求出它的值；（Ⅱ）利用，结合余弦定理，求出a，c的关系，通过基本不等式求出a，c，然后求出三角形的面积最大值．解答：（本小题满分13分）解：（I）因为，所以．…（1分）又==+=．…（6分）（II）由已知得，…（7分）又因为，所以．…（8分）又因为，所以ac≤6，当且仅当时，ac取得最大值．…（11分）此时．所以△ABC的面积的最大值为．…（13分）点评：本题考查二倍角公式，余弦定理，基本不等式的应用，考查计算能力．16．（14分）已知⊙C过点P（1，1），且与⊙M：（x+2）2+（y+2）2=r2（r＞0）关于直线x+y+2=0对称．（1）求⊙C的方程；（2）设Q为⊙C上的一个动点，求的最小值．考点：关于点、直线对称的圆的方程；平面向量数量积的运算．专题：综合题．分析：（1）设圆心的坐标，利用对称的特征，建立方程组，从而求出圆心坐标，又⊙C过点P（1，1），可得半径，故可写出⊙C方程．（2）设Q的坐标，用坐标表示两个向量的数量积，化简后再进行三角代换，可得其最小值．解答：解：（1）设圆心C（a，b），则，解得a=0，b=0则圆C的方程为x2+y2=r2，将点P的坐标（1，1）代入得r2=2，故圆C的方程为x2+y2=2；（2）设Q（x，y），则x2+y2=2，=（x﹣1，y﹣1）•（x+2，y+2）=x2+y2+x+y﹣4=x+y﹣2，令x=cosθ，y=sinθ，∴=cosθ+sinθ﹣2=2sin（θ+ ）﹣2，∴θ+=2kπ﹣时，sin（θ+）的最小值为﹣1，所以的最小值为﹣2﹣2=﹣4．点评：本题考查圆的对称性，考查圆的标准方程，考查两个向量的数量积公式的应用，直线与圆的位置关系的应用，属于中档题．17．（14分）如图，xx年春节，摄影爱好者S在某公园A处，发现正前方B处有一立柱，测得立柱顶端O的仰角和立柱底部B的俯角均为30°，已知S的身高约为米（将眼睛距地面的距离按米处理）（1）求摄影者到立柱的水平距离和立柱的高度；（2）立柱的顶端有一长2米的彩杆MN绕中点O在S与立柱所在的平面内旋转．摄影者有一视角范围为60°的镜头，在彩杆转动的任意时刻，摄影者是否都可以将彩杆全部摄入画面？说明理由．考点：平面向量数量积坐标表示的应用．专题：平面向量及应用．分析：（1）摄影者眼部记为点S，作SC⊥OB于C，则有∠CSB=30°，∠ASB=60°．SA=，在Rt△SAB中，由三角函数的定义可求AB；再由SC=3，∠CSO=30°，在Rt△SCO 中由三角函数的定义可求OC，进而可求OB（2）以O为原点，以水平方向向右为x轴正方向建立平面直角坐标系．设M（cosα，sinα），α∈[0，2π），则N（﹣cosα，﹣sinα），由（Ⅰ）知S（3，﹣），利用向量的数量积的坐标表示可求cos∠MSN=∈[，1]，结合余弦函数的性质可求答案．解答：解：（1）如图，不妨将摄影者眼部记为点S，作SC⊥OB于C，依题意∠CSB=30°，∠ASB=60°．又SA=，故在Rt△SAB中，可求得BA==3，即摄影者到立柱的水平距离为3米．…（3分）由SC=3，∠CSO=30°，在Rt△SCO中OC=SC•tan30°=，又BC=SA=，故OB=2，即立柱的高度为2米．…（6分）（2）如图，以O为原点，以水平方向向右为x轴正方向建立平面直角坐标系．设M（cosα，sinα），α∈[0，2π），则N（﹣cosα，﹣sinα），由（Ⅰ）知S（3，﹣）．…（8分）故=（cosα﹣3，sinα+），=（﹣cosα﹣3，﹣sinα+），∴•=（cosα﹣3）（﹣cosα﹣3）+（sinα﹣）（﹣sinα﹣）=11（10分）||•||=×=×==由α∈[0，2π）知||•||∈[11，13]…（12分）所以cos∠MSN=∈[，1]，∴∠MSN＜60°恒成立故在彩杆转动的任意时刻，摄影者都可以将彩杆全部摄入画面点评：本题考查的是解三角形的应用，解题的关键是准确理解基本概念：仰角俯角问题，熟知锐角三角函数的定义及正弦、余弦定理．18．（16分）如图，椭圆C：+=1的右顶点是A，上下两个顶点分别为B，D，四边形DAMB 是矩形（O为坐标原点），点E，P分别是线段OA，MA的中点．（1）求证：直线DE与直线BP的交点在椭圆C上．（2）过点B的直线l1，l2与椭圆C分别交于R，S（不同于B点），且它们的斜率k1，k2满足k1•k2=﹣求证：直线SR过定点，并求出此定点的坐标．考点：直线与圆锥曲线的关系；椭圆的简单性质．专题：综合题；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：（1）确定直线DE与BP的直线方程，可得交点坐标，满足椭圆方程，可得结论；（2）设出直线方程，求得R，S的坐标，利用R，S关于原点O对称，即可得到结论．解答：证明：（1）由题意，A（4，0），B（0，2），D（0，﹣2），E（2，0），P（4，1），则直线DE的方程为y=x﹣2，直线BP的方程为联立方程，可得直线DE与BP的交点坐标为（）∵椭圆C：+=1，∴（）满足方程，∴直线DE与直线BP的交点在椭圆C上．（2）直线BR的方程为y=k1x+2解方程组，可得或∴R的坐标为（，）∵k1•k2=﹣，∴直线BS的斜率k2=﹣，∴直线BS的方程为y=﹣x+2 解方程组得或∴S的坐标为（，）∴R，S关于原点O对称∴R，O，S三点共线∴直线SR过定点，定点的坐标为O（0，0）．点评：本题考查直线的交点，考查直线与椭圆的位置关系，考查学生的计算能力，属于中档题．19．（16分）（xx•昌平区二模）设数列{a n}，对任意n∈N*都有（kn+b）（a1+a n）+p=2（a1+a2…+a n），（其中k、b、p是常数）．（1）当k=0，b=3，p=﹣4时，求a1+a2+a3+…+a n；（2）当k=1，b=0，p=0时，若a3=3，a9=15，求数列{a n}的通项公式；（3）若数列{a n}中任意（不同）两项之和仍是该数列中的一项，则称该数列是“封闭数列”．当k=1，b=0，p=0时，设S n是数列{a n}的前n项和，a2﹣a1=2，试问：是否存在这样的“封闭数列”{a n}，使得对任意n∈N*，都有S n≠0，且．若存在，求数列{a n}的首项a1的所有取值；若不存在，说明理由．考点：数列与不等式的综合；数列递推式．专题：综合题；压轴题；等差数列与等比数列．分析：（1）当k=0，b=3，p=﹣4时，3（a1+a n）﹣4=2（a1+a2…+a n），再写一式，两式相减，可得数列{a n}是以首项为1，公比为3的等比数列，从而可求a1+a2+a3+…+a n；（2）当k=1，b=0，p=0时，n（a1+a n）=2（a1+a2…+a n），再写一式，两式相减，可得数列{a n}是等差数列，从而可求数列{a n}的通项公式；（3）确定数列{a n}的通项，利用{a n}是“封闭数列”，得a1是偶数，从而可得，再利用，验证，可求数列{a n}的首项a1的所有取值．解答：解：（1）当k=0，b=3，p=﹣4时，3（a1+a n）﹣4=2（a1+a2…+a n），①用n+1去代n得，3（a1+a n+1）﹣4=2（a1+a2…+a n+a n+1），②②﹣①得，3（a n+1﹣a n）=2a n+1，a n+1=3a n，（2分）在①中令n=1得，a1=1，则a n≠0，∴，∴数列{a n}是以首项为1，公比为3的等比数列，∴a1+a2+a3+…+a n=．（4分）（2）当k=1，b=0，p=0时，n（a1+a n）=2（a1+a2…+a n），③用n+1去代n得，（n+1）（a1+a n+1）=2（a1+a2…+a n+a n+1），④④﹣③得，（n﹣1）a n+1﹣na n+a1=0，⑤（6分）用n+1去代n得，na n+2﹣（n+1）a n+1+a1=0，⑥⑥﹣⑤得，na n+2﹣2na n+1+na n=0，即a n+2﹣a n+1=a n+1﹣a n，（8分）∴数列{a n}是等差数列．∵a3=3，a9=15，∴公差，∴a n=2n﹣3．（10分）（3）由（2）知数列{a n}是等差数列，∵a2﹣a1=2，∴a n=a1+2（n﹣1）．又{a n}是“封闭数列”，得：对任意m，n∈N*，必存在p∈N*使a1+2（n﹣1）+a1+2（m ﹣1）=a1+2（p﹣1），得a1=2（p﹣m﹣n+1），故a1是偶数，（12分）又由已知，，故．一方面，当时，S n=n（n+a1﹣1）＞0，对任意n∈N*，都有．另一方面，当a1=2时，S n=n（n+1），，则，取n=2，则，不合题意．（14分）当a1=4时，S n=n（n+3），，则，当a1≥6时，S n=n（n+a1﹣1）＞n（n+3），，，又，∴a1=4或a1=6或a1=8或a1=10．（16分）点评：本题考查数列的通项与求和，考查等差数列、等比数列的判定，考查学生分析解决问题的能力，属于难题．20．（16分）已知函数（a∈R且a≠0）．（Ⅰ）求函数f（x）的单调区间；（Ⅱ）记函数y=F（x）的图象为曲线C．设点A（x1，y1），B（x2，y2）是曲线C上的不同两点，如果在曲线C上存在点M（x0，y0），使得：①；②曲线C在M处的切线平行于直线AB，则称函数F（x）存在“中值相依切线”．试问：函数f（x）是否存在“中值相依切线”，请说明理由．考点：利用导数研究曲线上某点切线方程；利用导数研究函数的单调性．专题：证明题；新定义．分析：（I）根据对数函数的定义求得函数的定义域，再根据f（x）的解析式求出f（x）的导函数，然后分别令导函数大于0和小于0得到关于x的不等式，求出不等式的解集即可得到相应的x的范围即分别为函数的递增和递减区间；（II）假设函数f（x）的图象上存在两点A（x1，y1），B（x2，y2），使得AB存在“中值相依切线”，根据斜率公式求出直线AB的斜率，利用导数的几何意义求出直线AB的斜率，它们相等，再通过构造函数，利用导数研究函数的单调性和最值即可证明结论．解：（Ⅰ）函数f（x）的定义域是（0，+∞）．…（1分）解答：由已知得，．…（2分）（1）当a＞0时，令f'（x）＞0，解得0＜x＜1；令f'（x）＜0，解得x＞1．所以函数f（x）在（0，1）上单调递增，在（1，+∞）上单调递减．…（3分）（2）当a＜0时，①当时，即a＜﹣1时，令f'（x）＞0，解得或x＞1；令f'（x）＜0，解得．所以，函数f（x）在和（1，+∞）上单调递增，在上单调递减；…（4分）②当时，即a=﹣1时，显然，函数f（x）在（0，+∞）上单调递增；…（5分）③当时，即﹣1＜a＜0时，令f'（x）＞0，解得0＜x＜1或；令f'（x）＜0，解得．所以，函数f（x）在（0，1）和上单调递增，在上单调递减．…（6分）综上所述，（1）当a＞0时，函数f（x）在（0，1）上单调递增，在（1，+∞）上单调递减；（2）当a＜﹣1时，函数f（x）在和（1，+∞）上单调递增，在上单调递减；（3）当a=﹣1时，函数f（x）在（0，+∞）上单调递增；（4）当﹣1＜a＜0时，函数f（x）在（0，1）和上单调递增，在上单调递减．…（7分）（Ⅱ）假设函数f（x）存在“中值相依切线”．设A（x1，y1），B（x2，y2）是曲线y=f（x）上的不同两点，且0＜x1＜x2，则，．==…（8分）曲线在点M（x0，y0）处的切线斜率k=f'（x0）==，…（9分）依题意得：=．化简可得：=，即==．…（11分）设（t＞1），上式化为：，即．…（12分）令，=．因为t＞1，显然g'（t）＞0，所以g（t）在（1，+∞）上递增，显然有g（t）＞2恒成立．所以在（1，+∞）内不存在t，使得成立．综上所述，假设不成立．所以，函数f（x）不存在“中值相依切线”．…（14分）点此题考查学生会利用导函数的正负求出函数的单调区间，灵活运用中点坐标公式化评：简求值，掌握反证法进行命题证明的方法，是一道综合题，属难题．34187 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2021年高三上学期12月月考数学(文)试卷 含答案
2021年高三上学期12月月考数学（文）试卷含答案一、选择题1．若集合M={﹣1，0，1}，集合N={0，1，2}，则M∪N等于（）A．{0，1} B．{﹣1，0，1} C．{0，1，2} D．{﹣1，0，1，2}2．用表示三个数中的最小值，设（x0），则的最大值为（）A．7 B．5 C．6 D．43．二面角为，、是棱上的两点，、分别在半平面、内，，且，，则的长为A．1 B． C． D．4．设为两个非零向量、的夹角，已知对任意实数，的最小值为1,（）A．若确定，则唯一确定 B．若确定，则唯一确定C．若确定，则唯一确定 D．若确定，则唯一确定5．在等差数列{a n}中，已知a3+a8>0，且S9<0，则S1、S2、…S9中最小的是（）A．S4 B．S5 C．S6 D．S76．不等式x（x+2）≥0的解集为（）A．{x|x≥0或x≤﹣2} B．{x|﹣2≤x≤0} C．{x|0≤x≤2} D．{x|x≤0或x≥2} 7．在棱长为2的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，O是底面ABCD的中心，E、F分别是CC1、AD的中点，那么异面直线OE和FD1所成的角的余弦值等于（）A． B． C． D．8．已知是双曲线的两焦点，以点为直角顶点作等腰直角三角形，若边的中点在双曲线上，则双曲线的离心率是（A）（B）（C）（D）9．如果，那么的值等于（）A．－1 B．－2 C．0 D．210．图1给出的是计算的值的一个程序框图，其中判断框内应填入的条件是（）A． B． C． D．第II卷（非选择题）二、填空题11．函数f（x）=的定义域是．12．给出下列命题：①函数的一个对称中心为；②若为第一象限角，且，则；③若，则存在实数，使得；④在中，内角所对的边分别为，若，则必有两解．⑤函数的图象向左平移个单位长度，得到的图象．其中正确命题的序号是（把你认为正确的序号都填上）．13．向量，，①若，则；②若与的夹角为，则．14．观察下列各式：，，，，………………第个式子是．15．已知变换，点在变换下变换为点，则三、解答题（题型注释）16．（共12分）设集合{}{} =|33,|1A x a x aB x x x-<<+=<->或3．（1）若，求；（2）若，求实数a的范围．17．（Ⅰ）化简：；（Ⅱ）已知为第二象限的角，化简：18．已知等差数列{a n}满足a2＝2，a5＝8．（1）求{a n}的通项公式；（2）各项均为正数的等比数列{b n}中，b1＝1，b2＋b3＝a4，求{b n}的前n项和T n．19．（本小题12分）如图4，四棱锥中，底面是菱形，其对角线的交点为，且．（1）求证：平面；（2）设，，是侧棱上的一点，且平面，求三棱锥的体积．20．直线与坐标轴的交点是圆一条直径的两端点．（1）求圆的方程；（2）圆的弦长度为且过点，求弦所在直线的方程．21．（本题满分10分）．选修4-5：不等式选讲已知a ，b ，c ∈R +，求证：（1）（ab+a+b+1）（ab+ac+bc+c 2）≥16abc ；参考答案1．D 2．C 3．C 4．B 5．B 6．A 7．B 8．A 9．B 10．A 11．12．①③④13．，．14．2(1)(2)32(21)n n n n n +-+-++-=-15．116．（1）（2）17．（Ⅰ）；（Ⅱ）018．（1）a n ＝2n －2．（2）T n ＝2n －1．19．（1）略（2）20．（1）（2）或21．（1）详见解析；（2）详见解析v39972 9C24 鰤22728 58C8 壈>24876 612C 愬 28086 6DB6 涶27108 69E4 槤37909 9415 鐕37462 9256 鉖SJ35592 8B08 謈20857 5179 兹38802 9792 鞒。
2021年高三上学期12月月考数学(理)试题 Word版含答案
2021年高三上学期12月月考数学（理）试题 Word版含答案一、选择题：（本题共8道小题,在每一小题只有一个正确答案，每小题5分，满分共40分）1.复平面内，复数对应的点在（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限2.已知集合，集合，则（）A． B． C． D．4.下列函数既是奇函数，又在区间上单调递减的是（）A． B． C． D．5.已知圆与轴的公共点为，与轴的公共点为，设劣弧的中点为，则过点的圆的切线方程是（）A． B． C． D．6.已知平面向量的夹角为，且，则的最小值为（）A． B． C． D．7.已知函数满足，当时，，若在区间上方程恰好有两个不同的实根，则实数的取值范围是（）A． B． C． D．8.正方体的棱长为，分别是棱的中点，过直线的平面分别与棱交于，设，给出以下四个命题：①；②当且仅当时，四边形的面积最小；③四边形周长是单调函数；④四棱锥的体积为常值函数；以上命题中假命题．．．的序号为（）A．①④ B．② C．③ D．③④二、填空题：（本题共6道小题，每小题5分，满分30分）9.在极坐标中，点到圆的圆心的距离为_____________.10.若点为抛物线上一点，则抛物线焦点坐标为____________；点到抛物线的准线的距离为______________.11.在中，若，则的值为____________.12.如图是某几何体的三视图，其中正视图为正方形，俯视图是腰长为的等腰直角三角形，则该几何体的体积为_________________；表面积为________________.13.若不等式组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≤+≤+≥≥ayxyxyx,62,0,1表示的平面区域是一个四边形，则实数的取值范围是__________.14.曲线是平面内到直线和直线的距离之积等于常数的点的轨迹.给出下列四个结论：①曲线过点；②曲线关于点对称；③若点在曲线上，点分别在直线上，则不小于；④设为曲线上任意一点，则点关于直线，点及直线对称的点分别为，则四边形的面积为定值.其中，所有正确结论的序号是_____________.三、解答题：（本大题共6小题，共80分.解答时应写出文字说明、演算步骤或证明过程.）15.（本小题13分）已知函数().,43cos33sincos2Rxxxxxf∈+-⎪⎭⎫⎝⎛+⋅=π（I）求的最小正周期；（II ）求在区间上的最大值和最小值. 16.（本小题13分）已知是首项为，公差为的等差数列. （I ）求的通项公式及的前项和；（II ）设表示的前项和，是首项为的等比数列，公比满足，求的通项公式及其前项和. 17.（本小题14分）如图，在四棱锥中，底面是正方形，，分别为中点，. （I ）求证：；（II ）求二面角的余弦值；（III ）在棱上是否存在一点，使？若存在，指出点的位置；若不存在，说明理由.18.（本小题13分）已知函数()()().0,12ln 2142122>++++-=a x a x a x x f （I ）求函数的单调区间；（II ）当时，存在，，求实数的取值范围. 19.（本小题14分）已知椭圆的右焦点为，短轴的端点分别为，且. （I ）求椭圆的方程；（II ）过点且斜率为的直线交于椭圆于两点，弦的垂直平分线与轴相交于点.与的交点为，试求的取值范围. 20.（本小题13分）若数列满足，则称具有性质.（I ）若数列具有性质，为给定的整数，为给定的实数.以下四个数列中哪些具有性质？请直接写出结论.①；②；③；④.（II）若数列具有性质，且满足.（i）直接写出的值；（ii）判断的单调性，并证明你的结论.（III）若数列具有性质，且满足.求证：存在无穷多个整数对，满足.北京十一学校xx 届高三十二月月考答案 xx.12.12数学卷（理科） 时间：120分钟一、选择题： 二、填空题：9. 10. ； 11. 12. ； 13. 14. ②③ 三、解答题：15.解：（I ）由已知，有()43cos 3cos 23sin 21cos 2+-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⋅=x x x x x f ………………1分………………3分………………4分 ………………5分 所以，的最小正周期………………6分 （II ）当时，………………7分故由当，即时，单调递减；………………8分 故由当，即时，单调递增；………………9分 以及414,2112,414=⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎭⎫ ⎝⎛--=⎪⎭⎫⎝⎛-πππf f f ………………10分得当时，取到最大值；当时，取到最大值………………13分故()()⎪⎭⎫⎝⎛+--=+-=+121121*********n n n n a a n n ，………………4分12121121121121215131213112111113221+=⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=⎪⎭⎫ ⎝⎛+--++⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎭⎫ ⎝⎛-=+++n n n n n a a a a a a n n …6分（II ）由（I ）得，()()()21212121231n n n a a n n S n n =-+=+=-+++= (8)分.因为，即………………9分 所以，从而………………10分又因，是公比的等比数列，所以………………11分 从而得前项和………………13分 考点：等差数列、等比数列、数列求和. 16.解：（I ）如图，连接.因为四边形是正方形，所以与互相平分. 又因为是中点，所以是中点.在中，是中点，是中点，所以.………………2分 又因为，………………3分 所以. ………………4分 （II ）取中点.在中，因为， 所以. 因为，且， 所以 因为，所以. 又因为是中点，所以.………………5分如图，以为原点，分别为轴，为单位长建立空间直角坐标系……6分 因为，所以，则()()()()0,0,1,0,2,1,0,2,1),0,0,1(,0,0,0--D C B A O . 于是.因为，所以是平面的一个法向量.………………7分 设平面的一个法向量是. 因为………………8分 所以 令，则.所以………………9分由图可知，二面角为钝角，故二面角的余弦值为.……………10分 （III ）假设在棱上存在一点,使得平面 设则.由(II)知平面的一个法向量是…11分 因为，所以可设， 则.又因为点在棱上，所以共线………………12分 因为，所以，即，无解………………13分故在棱上不存在一点，使得………………14分 考点：线面平行判定定理，利用空间向量求二面角 17.解：（1）()()()()()()1221212142112121421+--=+++--+=++++-='x a x x x a a x x x a a x x f ……………2分 令，则 ……………………3分 i 、当，即时，所以的增区间为和，减区间为………………5分 ii 、当，即时，在上恒成立，所以的增区间为 ………………6分 iii 、当，即时，所以的增区间为和，减区间为………………8分 综上所述：时，的增区间为和，减区间为 时，的增区间为时，的增区间为和，减区间为………………9分（II ）由题意，时，存在，即时，在上的最小值小于 ……………………10分 由（II ）时，在上递减，在上递增，，在上的最小值为 …………………………………………11分所以，即()()2222114ln 2142122a a a a a a -<++++-……………………12分 化简得，又，所以，所求实数的取值范围为………………13分 考点：导数综合18.解：（I ）依题意不妨设，则……………1分 由，得………………2分 又因为，…………3分 解得所以椭圆的方程为. ……………………4分 （II ）依题直线的方程为由()()01248431341222222=-+-+⎪⎩⎪⎨⎧=+-=k x k x k y x x k y 得 ………………5分 设，则………………6分所以弦的中点为 ……………………7分 所以()()()()[]21221222122141x x x x ky y x x MN -++=-+-=………………8分== ……………………9分 直线的方程为，由，得，则……………………10分 所以…………………………11分所以()()1114114134112341322222222+-=+=++++=k k k k k k k k MN DP ……………………12分 又因为，所以.…………………………13分 所以所以的取值范围是……………………14分 19.解：（I ）①②③④………………4分 （II ）（i ）故………………5分 （ii ）（1）用数学归纳法证明当时，有 当时，结论显然 设时，有成立，则当时，有()1111122223++++++>>-+>-=k k k k k k k k a a a a a a a a 故………………7分 （2）当时，由（ii ），有当()()n n n n n n a a a a a a n n >->->≥+-≥-+++--111,,,01即得 由（1）（2），有，故单调递增………………9分 （III ）令，其满足402940192015201420152014402940290201520140,a a a a a b c a a b ========---- 记，则也具有性质，且 若，则令.也具有性质，且 由（II ）知单调递增，则，矛盾 故，从而，由，及可得，即，对一切整数成立. 故取，易得（否则），满足题意由有无穷多种取值，且不同的整数对应不同的整数对， 知这样的整数对有无穷多个………………13分 232735AE9嫩$397099B1D鬝397949B72魲5P 3398984C5蓅203174F5D佝295247354獔精品文档26122 660A 昊24613 6025 急2实用文档。
2021年高三(上)12月综合练习数学试卷
2021年高三（上）12月综合练习数学试卷一、填空题（共14小题，每小题3分，满分42分）1．（3分）设集合A={5，log2（a+3）}，B={a，b（a，b∈R）}，若A∩B=1，则A∪B={﹣1，1，5} ．考点：交集及其运算．专题：计算题．分析：利用两个集合的交集的定义求得a 的值和 b 的值，进而得到集合A、B，依据并集的定义求得A∪B．解答：解：由题意可得 log2（a+3）=1，∴a=﹣1，∴b=1．∴集合A={5，1}，B={﹣1，1}，∴A∪B={﹣1，1，5}，故答案为{﹣1，1，5}．点评：本题考查集合的表示方法、两个集合的交集、并集的定义和求法，求出a，b的值是解题的关键．2．（3分）（xx•静安区一模）（文）若实数x满足对任意正数a＞0，均有x2＜1+a，则x的取值范围是[﹣1，1]．考点：函数恒成立问题．专题：计算题；转化思想．分析：实数x满足对任意正数a＞0，均有x2＜1+a⇔f（a）=a+1﹣x2，a＞0，则由一次函数要在a＞0上恒成立，从而可得f（0）＞0．解答：解：实数x满足对任意正数a＞0，均有x2＜1+a令f（a）=a+1﹣x2，a＞0则由一次函数的性质可得f（0）=1﹣x2≥0 ﹣1≤x≤1故答案为：[﹣1，1]点评：解决本题的灵魂在于“转化”，先将不等式转化为函数问题，转化为关于a的一次函数问题，最终得以解决．很多问题在实施化难为易中得以解决．构造函数也是本题的一个解题的技巧．3．（3分）已知函数f（x）=lg（x2﹣x﹣2），若∀a、b∈（m，+∞），都有[f（a）﹣f（b）]（a﹣b）＞0，则实数m最小值是2．考点：复合函数的单调性．专题：函数的性质及应用．分析：由∀a、b∈（m，+∞），都有[f（a）﹣f（b）]（a﹣b）＞0，知f（x）在（m，+∞）上单调递增，则（m，+∞）为函数f（x）增区间的子集，根据复合函数单调性的判断方法求出f（x）的增区间，由集合包含关系可得m的范围，注意函数定义域；解答：解：由x2﹣x﹣2＞0解得x＜﹣1或x＞2，所以函数f（x）的定义域为（﹣∞，﹣1）∪（2，+∞），y=x2﹣x﹣2=在（﹣∞，）上递减，在（，+∞）上递增，又x＜﹣1或x＞2，所以y=x2﹣x﹣2的减区间为（﹣∞，﹣1），增区间为（2，+∞），而y=lgu递增，所以f（x）的减区间为（﹣∞，﹣1），增区间为（2，+∞），由∀a、b∈（m，+∞），都有[f（a）﹣f（b）]（a﹣b）＞0，知f（x）在（m，+∞）上单调递增，所以（m，+∞）⊆（2，+∞），故m≥2，所以实数m的最小值为2，故答案为：2．点评：本题考查函数单调性定义及复合函数单调性的判断，复合函数单调性的判断方法为“同增异减”．4．（3分）已知不等式|x﹣m|＜1成立的充分不必要条件是＜x＜，则m的取值范围是[﹣，]考点：充要条件．专题：计算题．分析：先求出不等式|x﹣m|＜1的解集，再由不等式|x﹣m|＜1成立的充分不必要条件是＜x ＜来确定m的取值范围．解答：解：∵|x﹣m|＜1，∴﹣1＜x﹣m＜1，∴m﹣1＜x＜m+1，∵m﹣1＜x＜m+1成立的充分不必要条件是＜x＜，∴，解得﹣．故m的取值范围是[﹣]．故答案：[﹣]．点评：本题考查充分不必要条件的应用，解题时要注意含绝对值不等式的解法和应用．5．（3分）设函数f（x）在定义域R内恒有f（﹣x）+f（x）=0，当x≤0时，，则f（1）=．考点：函数奇偶性的性质．专题：函数的性质及应用．分析：由条件判断出函数是奇函数，由f（0）=0求出a的值，再由奇函数的定义得f（1）=﹣f（﹣1），代入所给的解析式求值．解答：解：由f（﹣x）+f（x）=0，得f（x）=﹣f（x），∴函数f（x）在定义域R内是奇函数，即f（0）=0，∵当x≤0时，，∴=0，解得a=，∴f（1）=﹣f（﹣1）=﹣（）=，故答案为：．点评：本题考查了函数奇偶性的应用，即根据奇函数的性质求值，再利用奇偶性对应的关系式，将所求的函数值的自变量的范围转化到已知范围内求解，考查了转化思想．6．（3分）若直线（a2+2a）x﹣y+1=0的倾斜角为钝角，则实数a的取值范围是（﹣2，0）．考点：直线的一般式方程．专题：计算题．分析：由题意可得直线的斜率a2+2a＜0，解之即可．解答：解：由题意可得直线的斜率a2+2a＜0，即a（a+2）＜0，解得：﹣2＜a＜0，故实数a的取值范围是（﹣2，0），故答案为：（﹣2，0）点评：本题考查直线的倾斜角和斜率，涉及一元二次不等式的解法，属基础题．7．（3分）（xx•浙江二模）等比数列{a n}的前n项和为S n，已知S1，2S2，3S3成等差数列，则{a n}的公比为．考点：等比数列的性质．专题：计算题；压轴题．分析：先根据等差中项可知4S2=S1+3S3，利用等比赛数列的求和公式用a1和q分别表示出S1，S2和S3，代入即可求得q．解答：解：∵等比数列{a n}的前n项和为S n，已知S1，2S2，3S3成等差数列，∴a n=a1q n﹣1，又4S2=S1+3S3，即4（a1+a1q）=a1+3（a1+a1q+a1q2），解．故答案为点评：本题主要考查了等比数列的性质．属基础题．8．（3分）函数y=Asin（ωx+φ）（ω＞0，|φ|＜，x∈R）的部分图象如图所示，则函数表达式为y=﹣4sin．考点：由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式．专题：综合题．分析：观察函数的图象可得，函数的最小值﹣4，且在一周期内先出现最小值，所以A=﹣4 由图可得周期T=16，代入周期公式T=可求ω在把函数图象上的最值点代入结合已知φ的范围可得φ的值解答：解：由函数的图象可得最大值为4，且在一周期内先出现最小值，所以A=﹣4观察图象可得函数的周期T=16，ω=又函数的图象过（2，﹣4）代入可得sin（φ）=1∴φ+|φ|＜，∴φ=函数的表达式y=﹣4sin（）点评：本题主要考查了由三角函数的图象求解函数的解析式，其步骤一般是：由函数的最值求解A，（但要判断是先出现最大值或是最小值，从而判断A的正负号）由周期求解ω=2πT，由函数图象上的点（一般用最值点）代入求解φ；9．（3分）过点P（1，1）的直线，将圆形区域{（x，y）|x2+y2≤4}分两部分，使这两部分的面积之差最大，则该直线的方程为x+y﹣2=0．考点：直线与圆相交的性质．专题：直线与圆．分析：要使直线将圆形区域分成两部分的面积之差最大，必须使过点P的圆的弦长达到最小，所以需该直线与直线OP垂直即可．解答：解：要使直线将圆形区域分成两部分的面积之差最大，必须使过点P的圆的弦长达到最小，所以需该直线与直线OP垂直即可．又已知点P（1，1），则k OP=1，故所求直线的斜率为﹣1．又所求直线过点P（1，1），故由点斜式得，所求直线的方程为y﹣1=﹣（x﹣1），即x+y﹣2=0．故答案为：x+y﹣2=0．点评：本题考查圆的方程，考查直线与圆的位置关系，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．10．（3分）函数f（x）=ax2+bx+c，其中a＜0，对∀x∈R，恒有f（x）=f（4﹣x），若f（1﹣3x2）＜f（1+x﹣x2），则x的取值范围是（﹣∞，﹣）∪（0，+∞）．．考点：二次函数的性质．专题：函数的性质及应用．分析：由∀x∈R，恒有f（x）=f（4﹣x），知f（x）的图象关于x=2对称，又由a＜0得f（x）的单调区间，根据1﹣3x2及1+x﹣x2的取值范围及函数单调性可得其大小关系，解出即可．解答：解：由∀x∈R，恒有f（x）=f（4﹣x），知f（x）的图象关于x=2对称，又a＜0，所以f（x）在（﹣∞，2]上递增，在[2，+∞）上递减，而1﹣3x2≤1＜2，1+x﹣x2=﹣＜2，故由f（1﹣3x2）＜f（1+x﹣x2），得1﹣3x2＜1+x﹣x2，即2x2+x＞0，解得x＜﹣或x＞0，故答案为：（﹣∞，﹣）∪（0，+∞）．点评：本题考查二次函数的单调性及其应用，属中档题．11．（3分）（xx•安徽模拟）已知{a n}是等比数列，a2=2，，则S n=a1+a2+…+a n（n∈N*）的取值范围是[4，8）．考点：等比数列的前n项和．专题：计算题．分析：首先根据条件求出q=，a1=4，然后由前n项和公式求出S n==8﹣8×（）n﹣1=8﹣（）n+2＜8，进而由a1，求出结果．解答：解：∵{a n}是等比数列，a2=2，，∴a5=a2q3=2×q3=∴q=∴a1=4，∴S n==8﹣8×（）n﹣1=8﹣（）n+2＜8 又∵a1=4∴4≤S n＜8 故答案为[4，8）点评：本题考查了等比数列的前n项和公式，求出数列的公比和首项是解题的关键，同时做题过程中要细心．属于基础题．12．（3分）已知函数f（x）=x3+2x，对任意的t∈[﹣3，3]，f（tx﹣2）+f（x）＜0恒成立，则x的取值范围是（﹣1，）．考点：函数恒成立问题；利用导数研究函数的单调性．专题：计算题；函数的性质及应用．分析：确定f（x）为单调递增的奇函数，再利用对任意的t∈[﹣3，3]，f（tx﹣2）+f（x）＜0恒成立，建立不等式，即可求x的取值范围．解答：解：∵f（x）=x3+2x，∴f（﹣x）=﹣x3﹣2x，∴函数是奇函数；∵f（tx﹣2）+f（x）＜0，∴f（tx﹣2）＜f（﹣x）求导函数可得f′（x）=x2+2＞0，∴函数是R上的增函数∴tx﹣2＜﹣x∴tx﹣2+x＜0∵对任意的t∈[﹣3，3]，f（tx﹣2）+f（x）＜0恒成立，∴∴﹣1＜x＜故答案为：（﹣1，）．点评：本题考查恒成立问题，考查学生的计算能力，确定f（x）为单调递增的奇函数是关键．13．（3分）在平面直角坐标系中，设直线l：kx﹣y+=0与圆C：x2+y2=4相交于A、B两点，，若点M在圆C上，则实数k=±1．考点：直线与圆相交的性质；相等向量与相反向量．专题：直线与圆．分析：把直线与圆的方程联立消去y，利用韦达定理表示出x A+x B，然后利用直线方程求得y A+y B的表达式，进而可求得M的坐标，利用点M在圆C上，即可求实数k的值．解答：解：由直线kx﹣y+=0与圆x2+y2=4相交于A，B两点，联立两方程得：（1+k2）x2+2kx﹣2=0∴x A+x B=﹣，y A+y B=kx A++kx B+=∵，∴M（﹣，）代入圆x2+y2=4可得∴k=±1故答案为：±1点评：本题主要考查了直线与圆相交的性质，平面向量的基本性质，考查学生的计算能力，属于中档题．14．（3分）（普通班做）设函数f（x）=lnx+x2+ax．若f（x）在其定义域内为增函数，则a的取值范围为[﹣2，+∞）．考点：函数的单调性与导数的关系．专题：函数的性质及应用．分析：f（x）在其定义域内为增函数可转化成只需在（0，+∞）内有2x2+ax+1≥0恒成立，建立不等关系，解之即可．解答：解：f（x）的定义域为（0，+∞）．方程2x2+ax+1=0的判别式△=a2﹣8，①当△≤0，即﹣2 ≤a≤2 时，2x2+ax+1≥0，f'（x）≥0在（0，+∞）内恒成立，此时f （x）为增函数．②当△＞0，即a＜﹣2 或a＞2 时，要使f（x）在定义域（0，+∞）内为增函数，只需在（0，+∞）内有2x2+ax+1≥0即可，设h（x）=2x2+ax+1，由得a＞0，所以a＞2 ．由①②可知，若f（x）在其定义域内为增函数，a的取值范围是[﹣2 ，+∞）．故答案为：[﹣2，+∞）．点评：本题以函数为载体，主要考查了利用导数研究函数的单调性和不等式的证明，属于中档题．二、解答题（共6小题，满分0分）15．对于函数y=f（x），若存在区间[a，b]，当x∈[a，b]时，f（x）的值域为[ka，kb]（k＞0），则称y=f（x）为k倍值函数．若f（x）=lnx+x是k倍值函数，则实数k的取值范围是（1，1+）．考点：函数的值域．专题：计算题；压轴题；新定义．分析：由于f（x）在定义域{x|x＞0} 内为单调增函数，利用导数求得g（x）的极大值为：g （e）=1+，当x趋于0时，g（x）趋于﹣∞，当x趋于∞时，g（x）趋于1，因此当1＜k＜1+ 时，直线y=k与曲线y=g（x）的图象有两个交点，满足条件，从而求得k 的取值范围．解答：解：∵f（x）=lnx+x，定义域为{x|x＞0}，f（x）在定义域为单调增函数，因此有：f（a）=ka，f（b）=kb，即：lna+a=ka，lnb+b=kb，即a，b为方程lnx+x=kx 的两个不同根．∴k=1+，令1+=g（x），令g'（x）==0，可得极大值点x=e，故g（x）的极大值为：g（e）=1+，当x趋于0时，g（x）趋于﹣∞，当x趋于∞时，g（x）趋于1，因此当1＜k＜1+ 时，直线y=k与曲线y=g（x）的图象有两个交点，方程k=1+ 有两个解．故所求的k的取值范围为（1，1+），故答案为（1，1+）．点评：本题主要考查利用导数求函数的值的方法，体现了转化的数学思想，属于基础题．16．（xx•盐城二模）设△ABC的内角A，B，C的对边长分别为a，b，c，且．（1）求证：；（2）若cos（A﹣C）+cosB=1，求角B的大小．考点：解三角形．专题：解三角形．分析：（1）由条件可得cosB=，再利用基本不等式证得成立．（2）由cos（A﹣C）+cosB=1，可得sinAsinC=．再由可得sin2B=sinA•sinC=，求得sinB=，可得B的值．解答：解：（1）∵由条件可得cosB==≥=，故成立．（2）∵cos（A﹣C）+cosB=cos（A﹣C）﹣cos（A+C）=2sinAsinC=1，∴sinAsinC=．再由可得sin2B=sinA•sinC=，∴sinB=，故B=．点评：本题主要考查正弦定理、余弦定理的应用，基本不等式，根据三角函数的值求角，属于中档题．17．（xx•丰台区一模）已知m∈R，，，．（Ⅰ）当m=﹣1时，求使不等式成立的x的取值范围；（Ⅱ）求使不等式成立的x的取值范围．考点：平面向量数量积坐标表示的应用．专题：综合题．分析：（1）将m=﹣1代入向量，，然后用向量的数量积运算表示出•整理成•=x2+x﹣1，然后解绝对值不等式|x2+x﹣1|＜1，即可得到答案．（2）根据向量数量积的坐标运算先表示出＞0，然后对m的不同取值进行分类讨论，即可得到x的范围．解答：解：（Ⅰ）当m=﹣1时，，.=x2+x﹣1．∵，∴解得﹣2＜x＜﹣1或0＜x＜1．∴当m=﹣1时，使不等式成立的x的取值范围是{x|﹣2＜x＜﹣1或0＜x＜1}．（Ⅱ）∵，∵，所以x≠﹣m∴当m＜0时，x∈（m，0）∪（1，+∞）；当m=0时，x∈（1，+∞）；当0＜m＜1时，x∈（0，m）∪（1，+∞）；当m=1时，x∈（0，1）∪（1，+∞）；当m＞1时，x∈（0，1）∪（m，+∞）．点评：本题主要考查向量的数量积运算、绝对值不等式的解法和分式不等式的解法．求解分式不等式时一般求其等价的整式不等式，切记莫忘分母不等于0这个先决条件．18．已知﹛a n﹜是以a为首项，q为公比的等比数列，S n为它的前n项和．（Ⅰ）当S1，S3，S4成等差数列时，求q的值；（Ⅱ）当S m，S n，S l成等差数列时，求证：对任意自然数k，a m+k ，a n+k，a l+k也成等差数列．考点：等差关系的确定；等差数列的性质．专题：计算题；证明题．分析：（Ⅰ）根据题意，写出等比数列﹛a n﹜的前n项和是解决本题的关键，利用S1，S3，S4成等差数列寻找关于q的方程，通过解方程求出字母q的值；（Ⅱ）根据S m，S n，S1成等差数列，利用等比数列的求和公式得出关于q的方程式是解决本题的关键，注意分类讨论思想和整体思想的运用．解答：解：（Ⅰ）由已知得出a n=a1q n﹣1，S3=a1+a2+a3=a1（1+q+q2），S4=a1+a2+a3+a4=a1（1+q+q2+q3），根据S1，S3，S4成等差数列得出2S3=S1+S4，代入整理并化简，约去q和a1，得q2﹣q﹣1=0，解得q=；（Ⅱ）当q=1时，该数列为常数列，若S m，S n，S l成等差数列，则也有a m+k，a n+k，a1+k成等差数列；若q≠1，由S m，S n，S1成等差数列，则有2S n=S1+S m，即有，整理化简得2q n﹣1=q m﹣1+q l﹣1，两边同乘以a1，得2a1q n﹣1=a1q m﹣1+a1q l﹣1，即2a n=a m+a l，两边同乘以q k即可得到2a n+k=a m+k+a l+k，即a m+k ，a n+k，a l+k成等差数列．点评：本题考查等比数列的通项公式和求和公式的运用，考查学生判断等差数列的方法，考查学生的方程思想和分类讨论思想，转化与化归思想，考查学生的运算能力．19．已知圆心为O，半径为1，弧度数为π的圆弧上有两点P，C，其中=（如图）．（1）若P为圆弧的中点，E在线段OA上运动，求的最小值；（2）若E，F分别为线段OA，OC的中点，当P在圆弧上运动时，求的最大值．考点：平面向量数量积的运算；向量的模．专题：平面向量及应用．分析：（1）由题意可得C为的中点，设OE=x（0≤x≤1），计算=，利用二次函数的性质求得它的最小值．（2）以O为原点，BA所在的直线为x轴，建立平面直角坐标系，求出E、F的坐标，设P（x，y），则x2+y2=1（y≥0），计算，可得当x+y取得最小值时，取得最大值，计算求得结果．解答：解：（1）由题意= 可得C为的中点，设OE=x（0≤x≤1），则=，所以当时，的最小值为．（2）以O为原点，BA所在的直线为x轴，建立平面直角坐标系，则，，设P（x，y），则x2+y2=1（y≥0），∴，故当x=﹣1 且y=0时，x+y取得最小值为﹣1，所以，的最大值是1﹣（﹣）=．点评：本题主要考查两个向量的数量积的定义，数量的坐标形式的运算，二次函数的性质应用，属于中档题．20．（xx•崇明县二模）已知数列{a n}是各项均不为0的等差数列，公差为d，S n为其前n项和，且满足，n∈N*．数列{b n}满足，n∈N*，T n为数列{b n}的前n项和．（1）求数列{a n}的通项公式a n和数列{b n}的前n项和T n；（2）若对任意的n∈N*，不等式恒成立，求实数λ的取值范围；（3）是否存在正整数m，n（1＜m＜n），使得T1，T m，T n成等比数列？若存在，求出所有m，n的值；若不存在，请说明理由．考点：数列与不等式的综合；等比关系的确定；数列的求和；等差数列与等比数列的综合．专题：等差数列与等比数列．分析：（1）由，n∈N*．分别令n=1和2，可分别求出数列的首项和公差，代入可得数列{a n}的通项公式，由，n∈N*，可由裂项相消法得到数列{b n}的前n项和T n；（2）由（1）中T n的表达式，然后分n为奇数和n为偶数两种情况，分别求出实数λ的取值范围，综合分类讨论结果，可得答案．精品文档实用文档 （3）由（1）中T n 的表达式，结合等比数列的性质，可构造关于m ，n 的方程，根据1＜m ＜n 及m ，n 均为整数，可得答案．解答： 解：（1）在a n 2=S 2n ﹣1中，令n=1，n=2，得，即 （2分）解得a 1=1，d=2，（3分）∴a n =2n ﹣1．∵==（ ﹣ ），∴Tn=（1﹣+﹣+…+﹣ ）=．（5分）（2）①当n 为偶数时，要使不等式λT n ＜n+8•（﹣1）n 恒成立，即需不等式λ＜=2n++17恒成立．（6分）∵2n+≥8，等号在n=2时取得．∴此时λ需满足λ＜25．（7分）②当n 为奇数时，要使不等式λT n ＜n+8•（﹣1）n 恒成立，即需不等式λ＜=2n ﹣﹣15恒成立．（8分）∵2n ﹣是随n 的增大而增大，∴n=1时，2n ﹣取得最小值﹣6．∴此时λ需满足λ＜﹣21．（9分）综合①、②可得λ的取值范围是λ＜﹣21．（10分）（3）T 1=，Tm=，Tn=，若T 1，T m ，T n 成等比数列，则（）2= （），即 =．（11分）由=，可得 =＞0，即﹣2m 2+4m+1＞0，（12分）∴1﹣＜m ＜1+．（13分）又m ∈N ，且m ＞1，所以m=2，此时n=12．因此，当且仅当m=2，n=12时，数列 {T n }中的T 1，T m ，T n 成等比数列．（14分） 点评： 本小题主要考查等差、等比数列的定义、通项、求和、对数的运算、直线方程与不等式等知识，考查化归、转化、方程的数学思想方法，以及抽象概括能力、运算求解能力、创新能力和综合应用能力28507 6F5B 潛[21001 5209 刉a[35736 8B98 讘v34312 8608 蘈32610 7F62 罢 30655 77BF 瞿-29762 7442 瑂32164 7DA4 綤。
2021-2022年高三(上)12月月考数学试卷
2021年高三（上）12月月考数学试卷一、填空题：1．（5分）已知集合A={0，2}，B={1，a2}，若A∪B={0，1，2，4}，则实数a= ±2．考点：集合关系中的参数取值问题．专题：计算题．分析：根据集合的并集的含义，有集合A或B必然含有元素4，又由集合A、B，可得a2=4，解可得答案．解答：解：根据题意，若A∪B={0，1，2，4}，则集合A或B必然含有元素4，又由A={0，2}，B={1，a2}，则a2=4，即a=±2；故答案为±2．点评：本题考查集合的并集运算，关键是理解集合的并集的含义．2．（5分）函数的最小正周期为π．考点：两角和与差的余弦函数；三角函数的周期性及其求法．专题：计算题．分析：利用三角函数间的关系式将f（x）转化为f（x）=sin（2x+）即可求得其最小正周期．解答：解：∵y=sin2xsin﹣cos2xcos =sin2x﹣（﹣）cos2x=sin（2x+），∴最小正周期T==π．故答案为：π．点评：本题考查三角函数间的基本关系式，考查三角函数的周期性及其求法，属于中档题．3．（5分）写出命题：“∀x∈R，sinx＜x”的否定：∃x∈R，sinx≥x．考点：命题的否定．专题：计算题．分析：根据否命题的定义进行求解，注意任意的否定词为存在；解答：解：对命题“∀x∈R，sinx＜x”进行否定，∃x∈R，sinx≥x，故答案为∃x∈R，sinx≥x；点评：此题主要考查命题否定的定义，注意一些常用的否定词，此题是一道基础题；4．（5分）（xx•蓝山县模拟）幂函数f（x）=xα（α为常数）的图象经过（3，），则f（x）的解析式是f（x）=．．考点：幂函数的概念、解析式、定义域、值域．专题：计算题．分析：将（3，），代入f（x）=xα（α为常数）即可求得α，从而得到答案．解答：解；∵幂函数f（x）=xα（α为常数）的图象经过（3，），∴=3α，∴α=．∴f（x）的解析式是f（x）=．故答案为：f（x）=．点评：本题考查幂函数的概念，将点的坐标代入函数表达式求得α是关键，属于基础题．5．（5分）（xx•卢湾区一模）已知函数的图象过点A（3，7），则此函的最小值是6．考点：基本不等式在最值问题中的应用；函数的图象．专题：计算题．分析：把点A代入函数式求得a，求得函数的解析式，然后把解析式整理成x﹣2++2利用基本不等式求得函数的最小值．解答：解：依题意可知3+a=7∴a=4∴f（x）=x+=x﹣2++2≥2+2=6（当且仅当x﹣2=即x=4时等号成立）故答案为：6点评：本题主要考查了基本不等式在最值问题中的应用．考查了学生对基本不等式基础知识的灵活应用．6．（5分）若直线x+y﹣1=0平分圆x2+y2﹣2ax﹣2（a2+1）y+4=0的周长，则a=0或﹣1．考点：直线与圆的位置关系．专题：计算题；直线与圆．分析：确定圆的圆心坐标，根据直线x+y﹣1=0平分圆x2+y2﹣2ax﹣2（a2+1）y+4=0周长，可得直线x+y﹣1=0经过（a，a2+1），从而可求a的值．解答：解：由题意，圆x2+y2﹣2ax﹣2（a2+1）y+4=0的圆心坐标为（a，a2+1）∵直线x+y﹣1=0平分圆x2+y2﹣2ax﹣2（a2+1）y+4=0周长，∴直线x+y﹣1=0经过（a，a2+1）∴a+a2+1﹣1=0∴a=0或a=﹣1故答案为：0或﹣1点评：本题考查圆的方程，考查圆的性质，考查学生的计算能力，属于基础题．7．（5分）已知f（x）是偶函数，它在[0，+∞）上是增函数，若f（lgx）＜f（1），则x的取值范围是．考点：奇偶性与单调性的综合．专题：计算题；函数的性质及应用．分析：根据偶函数的性质及单调性，f（lgx）＜f（1）等价于|lgx|＜1，由此可求x的取值范围．解答：解：∵f（x）是偶函数，它在[0，+∞）上是增函数，∴f（lgx）＜f（1）等价于|lgx|＜1，∴﹣1＜lgx＜1∴∴x的取值范围是故答案为点评：本题考查函数单调性与奇偶性的结合，考查学生转化问题的能力，属于中档题．8．（5分）过点M（﹣3，2）作圆O：x2+y2+4x﹣2y+4=0的切线方程是5x﹣3y+9=0，或x=﹣3．．考点：利用导数研究曲线上某点切线方程．专计算题；直线与圆．题：分析：圆O：x2+y2+4x﹣2y+4=0的圆心O（﹣2，1），圆半径r==1，设切线为y=k（x+3）﹣2，即kx﹣y+3k﹣2=0，圆心O到切线距离为：=1，由此能求出过点M（﹣3，2）作圆O：x2+y2+4x﹣2y+4=0的切线方程．解答：解：圆O：x2+y2+4x﹣2y+4=0的圆心O（﹣2，1），圆半径r==1，设切线为y=k（x+3）﹣2，即kx﹣y+3k﹣2=0，圆心O到切线距离为：=1，解得k=，故切线为：5x﹣3y+9=0．当k不存在时，直线x=﹣3也是圆的切线方程，所以，过点M（﹣3，2）作圆O：x2+y2+4x﹣2y+4=0的切线方程是5x﹣3y+9=0，或x=﹣3．故答案为：5x﹣3y+9=0，或x=﹣3．点评：本题考查圆的切线方程的求法，解题时要认真审题，仔细解答，注意点到直线的距离公式的灵活运用．9．（5分）若向量=（x，2x），=（﹣3x，2），且的夹角为钝角，则x的取值范围是（﹣∞，﹣）∪（﹣，0）∪（，+∝）．考点：数量积表示两个向量的夹角．专题：向量法．分析：本题考查的知识点是平面向量数量积表示两个向量的夹角，=（x，2x），=（﹣3x，2），且的夹角为钝角，结合数量积表示两个向量的夹角，我们可以得到一个关于x的不等式，解不等式即可得到x的取值范围，但要注意，与反向的排除．解答：解：∵的夹角θ为钝角又∵向量=（x，2x），=（﹣3x，2），∴cosθ==＜0即﹣3x2+4x＜0解x＜0，或x＞又∵当x=﹣时，与反向，不满足条件故满足条件的x的取值范围是（﹣∞，﹣）∪（﹣，0）∪（，+∝）故答案为：（﹣∞，﹣）∪（﹣，0）∪（，+∝）点评：本题是一个易错题，容易只由，的夹角为钝角得到，而忽视了不是夹角为钝角的充要条件，因为，的夹角为180°时也有，从而扩大x的范围，导致错误．10．（5分）已知直线l经过点P（2，1），且与直线2x+3y+1=0垂直，则l的方程是3x﹣2y﹣4=0．考点：直线的一般式方程与直线的垂直关系．专题：计算题．分析：与直线ax+by+c=0垂直的直线方程设为bx﹣ay+c1=0，由此根据直线l经过点P（2，1），且与直线2x+3y+1=0垂直，能够求出l的方程．解答：解：设与直线2x+3y+1=0垂直的直线为：3x﹣2y+c=0，把点P（2，1）代入，得3×2﹣2×1+c=0，解得c=﹣4．∴l的方程是3x﹣2y﹣4=0．故答案为：3x﹣2y﹣4=0．点评：本题考查直线方程的求法，是基础题．解题时要认真审题，仔细解答，注意直线与直线垂直的条件的应用．11．（5分）给出下列命题：①存在实数x，使得；②函数y=sin2x的图象向右平移个单位，得到的图象；③函数是偶函数；④已知α，β是锐角三角形ABC的两个内角，则sinα＞cosβ．其中正确的命题的个数为3．考点：命题的真假判断与应用．分析：利用和差角公式，及正弦型函数的值域，可判断①的真假；根据函数图象的平移规则，结合已知求出平移后函数的解析式，比照后可判断②的真假；利用诱导公式，将已知函数解析式化为余弦型函数，可判断③的真假；根据已知临到，进而根据正弦函数的单调性可得④的真假解答：解：sinx+cosx∈[，]，[，]，故①正确；将函数y=sin2x的图象向右平移个单位，得到的图象．故②错误；函数=是偶函数，故③正确；已知α，β是锐角三角形ABC的两个内角，则，则，sinα＞=cosβ，故④正确故答案为：3点评：本题考查的知识点是三角函数的性质，命题的真假判断与应用，其中熟练掌握三角函数的性质是解答的关键．12．（5分）如图已知圆内接四边形ABCD中，AB=2，BC=6，AD=CD=4，则四边形ABCD 的面积S=．考点：余弦定理．专解三角形．题：分析：利用余弦定理求出A，C的关系，结合圆内接四边形的对角和为180°，求出A的值，利用三角形的面积的和，求出四边形的面积即可．解答：解：由余弦定理得BD2=4+16﹣2×2×4cosA=20﹣16cosA，又BD2=16+36﹣2×4×6cosC=52﹣48cosC，∵A+C=180°，∴20﹣16cosA=52+48cosA，解得cosA=﹣，∴A=120°．S ABCD=S△ABD+S△CBD=×2×4×sin120°+×4×6×sin60°=8．故答案为：8点评：本题主要考查了余弦定理，以及三角形的面积公式的应用，同时考查了运算求解的能力，属于基础题．13．（5分）数列{a n}中，，则数列{a n}的前xx项的和为．考点：数列递推式；数列的求和．专题：计算题．分析：由已知可得，=即，，可得数列{}是以2为首项，以1为公差的等差数列，利用等差数列的通项公式可求，进而可求a n，然后利用裂项求和即可求解解答：解：∵∴=∴∵∴∴数列{}是以2为首项，以1为公差的等差数列∴=n+1∴=∴=1﹣=故答案为：点评：本题主要考查了利用数列的递推公式求解数列的和，解题的关键是构造等差数列求出数列的通项公式，及裂项求和方法的应用．14．（5分）（2011•南京模拟）已知定义在R上的函数f（x）满足f（1）=2，f′（x）＜1，则不等式f（x2）＜x2+1的解集为（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞）．考点：函数与方程的综合运用；一元二次不等式的应用；其他不等式的解法．专题：计算题．分析：设出函数f（x）满足f（1）=2且f（x）的导数f'（x）在R上恒有f′（x）＜1，然后求出不等式的解集即可．解答：解：由题意：定义在实数集R上的函数f（x）满足f（1）=2，且f（x）的导数f'（x）在R上恒有f′（x）＜1 （x∈R），不妨设f（x）=2，所以不等式f（x2）＜x2+1，化为x2+1＞2，即x2＞1，解得x∈（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞）．故答案为：（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞）．点评：此题是个中档题．考查学生利用导数研究函数单调性的能力，会利用函数的单调性解决实际问题的能力．二、解答：15．（14分）（xx•江苏）如图，在四面体ABCD中，CB=CD，AD⊥BD，点E，F分别是AB，BD的中点．求证：（1）直线EF∥面ACD；（2）平面EFC⊥面BCD．考点：直线与平面平行的判定；平面与平面垂直的判定．专题：证明题．分析：（1）根据线面平行关系的判定定理，在面ACD内找一条直线和直线EF平行即可，根据中位线可知EF∥AD，EF⊄面ACD，AD⊂面ACD，满足定理条件；（2）需在其中一个平面内找一条直线和另一个面垂直，由线面垂直推出面面垂直，根据线面垂直的判定定理可知BD⊥面EFC，而BD⊂面BCD，满足定理所需条件．解答：证明：（1）∵E，F分别是AB，BD的中点．∴EF是△ABD的中位线，∴EF∥AD，∵EF⊄面ACD，AD⊂面ACD，∴直线EF∥面ACD；（2）∵AD⊥BD，EF∥AD，∴EF⊥BD，∵CB=CD，F是BD的中点，∴CF⊥BD又EF∩CF=F，∴BD⊥面EFC，∵BD⊂面BCD，∴面EFC⊥面BCD点评：本题主要考查线面平行的判定定理，以及面面垂直的判定定理．考查对基础知识的综合应用能力和基本定理的掌握能力．16．（14分）设向量=（4cosα，sinα），=（sinβ，4cosβ），=（cosβ，4sinβ）（1）若与﹣2垂直，求tan（α+β）的值；（2）求|+|的最大值．考点：数量积判断两个平面向量的垂直关系；向量的模；同角三角函数间的基本关系．专题：平面向量及应用．分析：（1）根据向量的数乘运算及向量坐标的减法运算求出，然后由向量垂直的条件得到关于α，β的三角函数关系式，整理后即可得到tan（α+β）的值；（2）写出，然后直接运用求模公式求出模，运用三角函数的有关公式化简后即可求模的最大值．解答：解：（1）∵=（4cosα，sinα），=（sinβ，4cosβ），由与垂直，∴，即4sin（α+β）﹣8cos（α+β）=0，∴tan（α+β）=2；（2）∵=（sinβ，4cosβ），=（cosβ，4sinβ）则，∴+16cos2β﹣32cosβsinβ+16sin2β=17﹣30sinβcosβ=17﹣15sin2β，最大值为32，所以的最大值为4．点评：本题考查了运用数量积判断两个向量的垂直关系，考查了向量的模，考查了同角三角函数间的基本关系式，考查了学生的运算能力，此题是基础题．17．（14分）已知方程C：x2+y2﹣2x﹣4y+m=0，（1）若方程C表示圆，求实数m的范围；（2）在方程表示圆时，该圆与直线l：x+2y﹣4=0相交于M、N两点，，求m的值；（3）在（2）的条件下，定点A（1，0），P在线段MN上运动，求直线AP的斜率取值范围．考点：直线与圆的位置关系．专题：计算题；直线与圆．分析：（1）由D2+E2﹣4F＞0，即可求得实数m的范围；（2）利用圆心（1，2）到直线l：x+2y﹣4=0的距离公式可求得圆心到直线距离d，利用圆的半径、弦长之半、d构成的直角三角形即可求得m的值；（3）将圆的方程与直线l的方程联立可求得M，N的坐标，利用k AM，k AN即可求得直线AP的斜率取值范围．解答：解：（1）由D2+E2﹣4F＞0，得4+16﹣4m＞0，所以m＜5…（4分）（2）∵（x﹣1）2+（y﹣2）2=5﹣m，∴圆心（1，2）到直线l：x+2y﹣4=0的距离d=，又圆（x﹣1）2+（y﹣2）2=5﹣m的半径r=，|MN|=，所以+=5﹣m，得m=4…（8分）（3）联立，解得M（0，2），N（，），…（12分）而点A（1，0），∴k AM=﹣2，k AN=2∴k≥2或k≤﹣2…（14分）点评：本题考查直线与圆的位置关系，考查点到直线间的距离公式，考查方程思想与逻辑思维能力，属于中档题．18．（14分）已知△ABC中，点A（3，﹣1），AB边上的中线所在直线的方程为6x+10y﹣59=0，∠B的平分线所在直线的方程为x﹣4y+10=0，求BC边所在直线的方程．考点：与直线关于点、直线对称的直线方程．专题：计算题．分析：设B（c，d）∠B的平分线所在直线上的点为D，因为B在BD上，AB的中点在中线6x+10y﹣59=0 上，求出B的坐标，利用解答平分线方程，到角公式，求出BC的斜率，然后求出BC的方程．解答：解：设B（c，d）∠B的平分线所在直线上的点为D，因为B在BD上所以d=（c+10）即：B（c，（c+10））所以AB中点（（c+3），（c+6））AB的中点在中线6x+10y﹣59=0 上所以3（c+3）+（c+6）﹣59=0解得c=10所以B（10，5）所以AB斜率K AB==解得所以BC方程（点斜式）：y﹣5=﹣（x﹣10），即2x+9y﹣65=0点评：本题是中档题，充分利用中边所在直线方程，角的平分线方程，到角公式，求解所求直线的斜率，考查计算能力，分析问题解决问题的能力，本题的解法比较多，但是都比较复杂，考查学生的耐心和毅力．19．（10分）已知函数．（1）求h（x）的最大值；（2）若关于x的不等式xf（x）≥﹣2x2+ax﹣12对一切x∈（0，+∞）恒成立，求实数a的取值范围．考点：导数在最大值、最小值问题中的应用；利用导数研究函数的单调性．专题：综合题；导数的综合应用．分（1）求导函数，利用导数的正负，即可确定函数的单调区间，从而可求h（x）的最析：大值；（2）xf（x）≥﹣2x2+ax﹣12对一切x∈（0，+∞）恒成立，等价于xlnx﹣x2≥﹣2x2+ax ﹣12对一切x∈（0，+∞）恒成立，分离参数，求出函数的最值，即可求实数a的取值范围．解答：解：（1）因为，所以，…（2分）由h′（x）＞0，且x＞0，得0＜x＜e，由h′（x）＜0，且x＞0，x＞e，…（4分）所以函数h（x）的单调增区间是（0，e]，单调减区间是[e，+∞），所以当x=e时，h（x）取得最大值；…（6分）（2）因为xf（x）≥﹣2x2+ax﹣12对一切x∈（0，+∞）恒成立，即xlnx﹣x2≥﹣2x2+ax﹣12对一切x∈（0，+∞）恒成立，亦即对一切x∈（0，+∞）恒成立，…（8分）设，因为，故ϕ（x）在（0，3]上递减，在[3，+∞）上递增，ϕ（x）min=ϕ（3）=7+ln3，所以a≤7+ln3．…（10分）点评：本题考查导数知识的运用，考查函数的单调性与最值，考查恒成立问题，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．20．（14分）已知各项均为正数的数列{a n}前n项的和为S n，数列的前n项的和为T n，且．（1）证明数列{a n}是等比数列，并写出通项公式；（2）若对n∈N*恒成立，求λ的最小值．考点：数列与函数的综合；数列的应用．专题：综合题；等差数列与等比数列．分析：（1）利用，再写一式两式相减，化简可得2S n+1﹣S n=2，再写一式，两式相减，即可证明数列{a n}是等比数列，从而可得通项公式；（2）先求和，再分离参数，确定函数的范围，即可求得λ的最小值．解答：（1）证明：因为，其中S n是数列{a n}的前n项和，T n是数列的前n项和，且a n＞0，所以，当n=1时，由，解得a1=1，…（2分）当n=2时，由，解得；…（4分）由，知，两式相减得，即，…（5分）亦即2S n+1﹣S n=2，从而2S n﹣S n﹣1=2，（n≥2），再次相减得，又，所以所以数列{a n}是首项为1，公比为的等比数列，…（7分）其通项公式为，n∈N*．…（8分）（2）解：由（1）可得，，…（10分）若对n∈N*恒成立，只需对n∈N*恒成立，因为对n∈N*恒成立，所以λ≥3，即λ的最小值为3；点本题考查数列递推式，考查等比数列的证明，考查数列的通项与求和，考查恒成立问评：题，正确求通项是关键．实用文档。
2021年高三(上)12月月考数学试卷 Word版含解析
2021年高三（上）12月月考数学试卷 Word版含解析一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．请把答案填写在答题纸相应位置上．1．（5分）集合M={x|lgx＞0}，N={2}，则M∩N={2} ．考点：交集及其运算．专题：不等式的解法及应用．分析：根据对数函数的单调性求出集合M，再与集合N进行交集运算即可．解答：解：∵M={x|lgx＞0}={x|x＞1}，N={2}，则M∩N={2}，故答案为：{2}．点评：本题考查对数函数的性质、集合的交集运算．属于基础题．2．（5分）右图是某学校一名篮球运动员在五场比赛中所得分数的茎叶图，则该运动员在这五场比赛中得分的方差为 6.8．考点：茎叶图；极差、方差与标准差．专计算题；概率与统计．分析：根据茎叶图所给的数据，做出这组数据的平均数，把所给的数据和平均数代入求方差的个数，求出五个数据与平均数的差的平方的平均数就是这组数据的方差．解答：解：∵根据茎叶图可知这组数据是8，9，10，13，15这组数据的平均数是=11∴这组数据的方差是[（8﹣11）2+（9﹣11）2+（10﹣11）2+（13﹣11）2+（15﹣11）2]=[9+4+1+4+16]=6.8故答案为：6.8．点评：本题考查一组数据的方差，考查读茎叶图，这是经常出现的一种组合，对于一组数据通常要求这组数据的平均数，方差，标准差，本题是一个基础题．3．（5分）若是纯虚数，则tanθ的值为．考点：复数的基本概念．专题：计算题．分析：根据复数是一个纯虚数，得到这个复数的实部为0，虚部不为0，解出关于θ的正弦的值和余弦不等于的值，从而得到这个角的余弦值，根据同角的三角函数关系，得到正切值．解答：解：∵是纯虚数，∴sinθ﹣=0，cosθ﹣≠0，∴sin，cos，∴cos，∴tan，故答案为：﹣点评：本题考查复数的概念，考查同角三角函数之间的关系，是一个基础题，解题的过程中注意纯虚数的等价条件．4．（5分）执行如图所示的程序框图，若输入n的值为6，则输出s的值为15．考程序框图．专题：计算题．分析：由已知中的程序框图及已知中输入n=6，可得：进入循环的条件为i＜6，模拟程序的运行结果，即可得到输出的S值．解答：解：如图所示的程序框图，若输入n的值为6，循环条件为：i＜6，i=1，s=1，1＜6可以循环，s=1×1=1，i=1+2=3＜6，s=1×3=3，i=3+2=5＜6，s=3×5=15，i=5+2=7＞6，循环结束，输出s=15，故答案为15；点评：本题考查的知识点是程序框图，在写程序的运行结果时，我们常使用模拟循环的变法，但程序的循环体中变量比较多时，要用表格法对数据进行管理．5．（5分）（xx•北京）已知函数f（x）=lgx，若f（ab）=1，则f（a2）+f（b2）=2．考点：对数的运算性质．专题：计算题．分析：由函数f（x）=lgx，f（ab）=lg（ab）=1，知f（a2）+f（b2）=lga2+lgb2=2lg（ab）．由此能求出结果．解答：解：∵函数f（x）=lgx，f（ab）=lg（ab）=1，f（a2）+f（b2）=lga2+lgb2=lg（ab）2=2lg（ab）=2．故答案为：2．点评：本题考查对数的运算性质，是基础题．解题时要认真审题，仔细解答．6．（5分）袋子中装有分别标注数字为1，2，3，4，5的五个小球，这些小球除标注的数字外完全相同．现从中随机取出两个小球，则取出的小球上标注的数字之和为5或7的概率是．考点：古典概型及其概率计算公式．专题：概率与统计．分析：本题是一个古典概型，试验发生包含的事件是从中随机取出2个小球，共有C52种结果，满足条件的事件是取出的小球标注的数字之和为5或7，可以列举出所有的事件共有4种结果，根据古典概型概率公式得到结果．解答：解：由题意知，本题是一个古典概型，试验发生包含的事件是从中随机取出2个小球，共有C52=10种结果，满足条件的事件是取出的小球标注的数字之和为5或7，可以列举出所有的事件：1，4；2，3；2，5；3，4共有4种结果，根据古典概型概率公式得到P==，故答案为：点评：本题考查古典概型，考查数字问题，是古典概型中比较典型的问题，可以列举出所有的事件，本题是一个送分题目．7．（5分）设l是直线，α，β是两个不同的平面，下列命题中正确的是②①若l∥α，l∥β，则α∥β；②若l∥α，l⊥β，则α⊥β；③若α⊥β，l⊥α，则l⊥β；④若α⊥β，l∥α，则l⊥β．考点：命题的真假判断与应用；空间中直线与平面之间的位置关系；平面与平面之间的位置关系．专题：空间位置关系与距离．分析：①若l∥α，l∥β，则α∥β，构造反例；②若l∥α，l⊥β，则α⊥β；由线面平行的性质定理及面面垂直的判定定理可判断；③若α⊥β，l⊥α，则l⊥β，构造反例；④若α⊥β，l∥α，则l⊥β，构造反例；解答：解：①由l∥α，l∥β，不一定推出α∥β．反例如图：所以①不正确；②如图所示：过l作平面γ交平面α于直线a，因为l∥α，所以l∥a，又l⊥β，所以a⊥β，a⊂α，故α⊥β，所以②正确；③由α⊥β，l⊥α，不能推出l⊥β；反例如图：故③不正确；④若α⊥β，l∥α，未必有l⊥β．反例如图：故④不正确；点评：本题考查命题真假的判断及空间中直线与平面、平面与平面之间的位置关系，考查了相关的判定定理及性质定理，本题还考查空间想像能力及运用题设条件组织证明的能力．8．（5分）（xx•泗阳县模拟）两个正数a，b的等差中项是，等比中项是，且a＞b，则双曲线的离心率为．考点：双曲线的简单性质．专题：计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：由两个正数a，b的等差中项是，等比中项是，且a＞b，解得a=5，b=4，故双曲线为，由此能求出双曲线的离心率．解答：解：∵两个正数a，b的等差中项是，等比中项是，且a＞b，∴，解得a=5，b=4，∴双曲线为，∴c=，∴双曲线的离心率e==．故答案为：．点评：本题考查双曲线的离心率的求法，是基础题．解题时要注意等比中项和等差中项和合理运用．9．（5分）如图，在△ABC中，∠BAC=120°，AB=AC=2，D为BC边上的点，且•=0，=2，则=1．考点：向量加减混合运算及其几何意义．专题：平面向量及应用．分析：由题意可知：⊥，且D为BC中点，∠B=∠C=30°，且易求得AD=1，，而==代入可得结果．解答：解：由题意可知：⊥，且D为BC中点，∠B=∠C=30°故在直角三角形ABD中可求得AD=1，，∴====1．故答案为：1点评：本题为向量的数量积的运算，把向量适当转化时解决问题的关键，属基础题．10．（5分）已知函数f（x）=，若f（a）+f（1）=0，则实数a=﹣3．考点：函数的值．专题：计算题．分析：当a＞0时，由f（a）+f（1）=0，可得a无解，当a＜0时，由f（a）+f（1）=0，可得a=﹣3．解答：解：当a＞0时，f（a）=2a，由f（a）+f（1）=0，可得2a+2=0，解得a=﹣1（舍去）．当a＜0时，f（a）=a+1，由f（a）+f（1）=0，可得a+1+2=0，解得a=﹣3，故答案为﹣3．点评：本题主要考查求函数的值，体现了分类讨论的数学思想，属于基础题．11．（5分）已知向量，，且，则=．考点：运用诱导公式化简求值；数量积判断两个平面向量的垂直关系．专题：计算题．分析：先根据求得tanx，进而利用诱导公式对化简整理，分子分母同时除以cosx，最后把tanx代入即可．解答：解：∵∴=﹣sinx+2cosx=0，即tanx=2 ∴===故答案为点评：本题主要考查了运用诱导公式化简求值和向量的运算．属基础题．12．（5分）设曲线处的切线与直线x+ay+1=0垂直，则a=1．考点：利用导数研究曲线上某点切线方程．专题：导数的综合应用．分析：求出函数处的导数，即为曲线在此点的切线斜率，再利用两直线垂直的性质求出a．解答：解：y= 的导数为y′=，当x=时，y′=1，故y=在点（，2）处的切线斜率为1，故与它垂直的直线x+ay+1=0 的斜率为=﹣1，∴a=1，故答案为：1．点评：本题考查函数在某点的导数就是函数在此点的切线斜率，以及两直线垂直的性质．13．（5分）设圆C的圆心在双曲线（a＞0）的右焦点且与此双曲线的渐近线相切，若圆C 被直线l：截得的弦长等于2，则a=．考点：圆与圆锥曲线的综合．专题：计算题．分析：先利用圆与双曲线的渐近线相切得圆的半径，再利用圆C被直线l：截得的弦长等于2，求出a与圆心到直线l：的距离d之间的等量关系即可求出a．解答：解：设圆心坐标为（，0），因为双曲线的渐近线y=x⇒x﹣ay=0．由圆与双曲线的渐近线相切得圆心到直线的距离等于半径，即得r==，又因为圆C被直线l：截得的弦长等于2，故圆心到直线l：的距离d=1=⇒a2=2又a＞0，故a=．故答案为．点评：本题主要考查椭圆与双曲线的几何性质，直线的方程，直线与圆的位置关系以及点到直线的距离公式等基础知识，考查用代数方法研究圆锥曲线的性质和数形结合的数学思想，考查解决问题的能力和运算能力．14．（5分）给出下列命题：①f（x）是定义在[﹣1，1]上的偶函数，且在[﹣1，0]上是增函数，若，则f（sinθ）＞f（cosθ）；②函数的单调递减区间是；③若；④要得到函数．其中是真命题的有②③（填写所有真命题的序号）．考点：命题的真假判断与应用．专题：函数的性质及应用．分析：根据偶函数在对称区间上单调性相反，结合三角函数的图象和性质，可判断f（sinθ）＜f（cosθ），进而得到①错误；根据余弦型函数的单调性，求出函数=的单调区间，比照后，可得到②正确；利用降次升角公式化简函数的解析式，进而根据诱导公式，可判断③正确；利用函数图象的平移变换法则，求出平移变换后函数的解析式，比照后，可得④错误．解答：解：若，则1＞sinθ＞cosθ＞0，又由f（x）是定义在[﹣1，1]上的偶函数，且在[﹣1，0]上是增函数，故f（x）在[0，1]上是减函数，故f（sinθ）＜f（cosθ），故①错误；函数=，由2kπ≤≤2kπ+π，得，故函数的单调递减区间是，故②正确；=cosx，则f（x+π）=cos（x+π）=﹣cosx=﹣f（x）恒成立，故③正确；将的图象向右平移个单位后，得到函数=的图象，故④错误故答案为：②③点评：本题以命题的真假判断为载体考查了命题的真假判断与应用，熟练掌握三角函数的图象和性质是解答的关键．二、解答题：本大题共6小题，共90分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．（14分）已知函数，（其中ω＞0）的最小正周期为π．（Ⅰ）求ω的值，并求函数f（x）的单调递减区间；（Ⅱ）在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，若，△ABC的面积为，求△ABC 的外接圆面积．考点：由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式；复合三角函数的单调性．专题：三角函数的图像与性质．分析：（Ⅰ）利用二倍角公式以及两角和的正弦函数，化简函数的表达式，通过函数的周期，求出ω，然后求出函数的单调减区间．（Ⅱ）利用第一问的结果，求出锐角三角形的角A，通过正弦定理求出三角形的外接圆的半径，然后求解外接圆的面积．解答：解：（Ⅰ）由已知得f（x）=1+cosωx+cosωx﹣sinωx =1+cosωx﹣sinωx=1﹣sin（ωx﹣），于是有=2．∴函数f（x）的单调递减区间[k]，k∈Z．（Ⅱ）由（Ⅰ）以及已知可得，即sin（2A﹣）=，又三角形是锐角三角形，所以A=，△ABC的外接圆的半径为，△ABC的外接圆的面积为．点评：本题考查两角和的正弦函数的应用，正弦定理，三角函数的单调减区间的求法，外接圆的面积的求法，考查计算能力．16．（14分）如图，四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为棱形，∠DAB=60°，平面PCD⊥底面ABCD，E、F分别是CD、AB的中点．（1）求证：BE⊥平面PCD．（2）设G为棱PA上一点，且PG=2GA，求证：PC∥平面DGF．考点：直线与平面垂直的判定；直线与平面平行的判定．专题：计算题；证明题．分析：（1）欲证BE⊥平面PCD，可先证平面PCD⊥底面ABCD，根据平面与平面垂直的性质定理可证得；（2）欲证PC∥平面DGF，根据直线与平面平行的判定定理可知只需证PC与平面DGF内一直线平行，而PC∥MG，PC⊄平面DGF，GM⊂平面DGF，满足定理条件．解答：证明：（1）连接BD因为底面ABCD为菱形，∠DAB=60°所以DB=CB因为E为CD的中点，所以BE⊥CD因为平面PCD⊥底面ABCD且平面PCD∩底面ABCD=CDBE⊂平面ABCD所以BE⊥平面PCD（2）连接AC交FD与点M，交BE于点N，连接MG因为底面ABCD为菱形，且E、F分别为CD，AB的中点，所以DE∥BF，且DE=BF因此四边形DEBF为平行四边形，所以BE∥DF．因为E为CD的中点，所以CN=MN同理AM=MN，因此CM=2AM又在△ACP中，PG=2GA所以PC∥MG又因为PC⊄平面DGF，GM⊂平面DGF，所以PC ∥平面DGF点评： 本题主要考查了直线与平面垂直的判定，以及直线与平面平行的判定，考查空间想象能力、运算能力和推理论证能力，属于基础题．17．（14分）（2011•福建）某商场销售某种商品的经验表明，该商品每日的销售量y （单位：千克）与销售价格x （单位：元/千克）满足关系式，其中3＜x ＜6，a 为常数，已知销售价格为5元/千克时，每日可售出该商品11千克．（I ）求a 的值（II ）若该商品的成本为3元/千克，试确定销售价格x 的值，使商场每日销售该商品所获得的利润最大．考点：函数模型的选择与应用；利用导数研究函数的单调性．专题：应用题．分析： （I ）由f （5）=11代入函数的解析式，解关于a 的方程，可得a 值；（II ）商场每日销售该商品所获得的利润=每日的销售量×销售该商品的单利润，可得日销售量的利润函数为关于x 的三次多项式函数，再用求导数的方法讨论函数的单调性，得出函数的极大值点，从而得出最大值对应的x 值．解答： 解：（I ）因为x=5时，y=11，所以+10=11，故a=2（II ）由（I ）可知，该商品每日的销售量y=所以商场每日销售该商品所获得的利润为从而，f ′（x ）=10[（x ﹣6）2+2（x ﹣3）（x ﹣6）]=30（x ﹣6）（x ﹣4）于是，当x 变化时，f （x ）、f ′（x ）的变化情况如下表：由上表可得，x=4是函数f （x ）在区间（3，6）内的极大值点，也是最大值点．所以，当x=4时，函数f （x ）取得最大值，且最大值等于42答：当销售价格为4元/千克时，商场每日销售该商品所获得的利润最大．点评： 本题函数解析式的建立比较容易，考查的重点是利用导数解决生活中的优化问题，属于中档题．18．（16分）（xx •宿州三模）设函数f （x ）=p （x ﹣）﹣2lnx ，g （x ）=．（p 是实数，e 是自然对数的底数）（1）当p=2时，求与函数y=f （x ）的图象在点A （1，0）处相切的切线方程；（2）若f （x ）在其定义域内为单调递增函数，求p 的取值范围；（3）若在[1，e ]上至少存在一点x o ，使得f （x 0）＞g （x 0）成立，求p 的取值范围．考点：利用导数研究曲线上某点切线方程；函数单调性的性质；利用导数研究函数的单调性．专题：综合题．分析：（1）求导要使“f（x）为单调增函数”，转化为“f’（x）≥0恒成立”，再转化为“p≥=恒成立”，由最值法求解．同理，要使“f（x）为单调减函数”，转化为“f’（x）≤0恒成立”，再转化为“p≤=恒成立”，由最值法求解，最后两个结果取并集．（2）由“函数f（x）的图象相切于点（1，0”求得切线l的方程，再由“l与g（x）图象相切”得到（p﹣1）x2﹣（p﹣1）x﹣e=0由判别式求解即可．（3）因为“在[1，e]上至少存在一点x0，使得f（x0）＞g（x0）成立”，要转化为“f（x）max＞g（x）min”解决，易知g（x）=在[1，e]上为减函数，所以g（x）∈[2，2e]，①当p≤0时，f（x）在[1，e]上递减；②当p≥1时，f（x）在[1，e]上递增；③当0＜p ＜1时，两者作差比较．解答：解：（1）∵，要使f（x）为单调增函数，须f’（x）≥0恒成立，即px2﹣2x+p≥0恒成立，即p≥=恒成立，又≤1，所以当p≥1时，f（x）在（0，+∞）为单调增函数．要使f（x）为单调减函数，须f’（x）≤0恒成立，即px2﹣2x+p≤0恒成立，即p≤=恒成立，又＞0，所以当p≤0时，f（x）在（0，+∞）为单调减函数．综上所述，f（x）在（0，+∞）为单调函数，p的取值范围为p≥1或p≤0（2）∵，，∴f’（1）=2（p﹣1），设直线l：y=2（p﹣1）（x﹣1），∵l与g（x）图象相切，∴y=2（p﹣1）（x﹣1）得（p﹣1）（x﹣1）=，即（p﹣1）x2﹣（p﹣1）x﹣e=0y=当p=1时，方程无解；当p≠1时由△=（p﹣1）2﹣4（p﹣1）（﹣e）=0，得p=1﹣4e，综上，p=1﹣4e（3）因g（x）=在[1，e]上为减函数，所以g（x）∈[2，2e]①当p≤0时，由（1）知f（x）在[1，e]上递减⇒f（x）max=f（1）=0＜2，不合题意②当p≥1时，由（1）知f（x）在[1，e]上递增，f（1）＜2，又g（x）在[1，e]上为减函数，故只需f（x）max＞g（x）min，x∈[1，e]，即：f（e）=p（e﹣）﹣2lne＞2⇒p＞③当0＜p＜1时，因x﹣≥0，x∈[1，e]所以f（x）=p（x﹣）﹣2lnx≤（x﹣）﹣2lnx≤e﹣﹣2lne＜2不合题意综上，p的取值范围为（，+∞）点评：本题主要考查用导数法研究函数的单调性，基本思路是：当函数为增函数时，导数大于等于零；当函数为减函数时，导数小于等于零，已知单调性求参数的范围往往转化为求相应函数的最值问题．19．（16分）（xx•广东）在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C：的离心率，且椭圆C上的点到点Q（0，2）的距离的最大值为3．（1）求椭圆C的方程；（2）在椭圆C上，是否存在点M（m，n），使得直线l：mx+ny=1与圆O：x2+y2=1相交于不同的两点A、B，且△OAB的面积最大？若存在，求出点M的坐标及对应的△OAB 的面积；若不存在，请说明理由．考点：圆与圆锥曲线的综合；直线与圆相交的性质；椭圆的标准方程．专题：综合题；压轴题．分析：（1）由得a2=3b2，椭圆方程为x2+3y2=3b2，求出椭圆上的点到点Q的距离，利用配方法，确定函数的最大值，即可求得椭圆方程；（2）假设M（m，n）存在，则有m2+n2＞1，求出|AB|，点O到直线l距离，表示出面积，利用基本不等式，即可确定三角形面积的最大值，从而可求点M的坐标．解答：解：（1）由得a2=3b2，椭圆方程为x2+3y2=3b2椭圆上的点到点Q的距离=①当﹣b≤﹣1时，即b≥1，得b=1②当﹣b＞﹣1时，即b＜1，得b=1（舍）∴b=1∴椭圆方程为（2）假设M（m，n）存在，则有m2+n2＞1∵|AB|=，点O到直线l距离∴=∵m2+n2＞1∴0＜＜1，∴当且仅当，即m2+n2=2＞1时，S△AOB取最大值，又∵解得：所以点M的坐标为或或或，△AOB的面积为．点评：本题考查椭圆的标准方程，考查三角形面积的求解，考查基本不等式的运用，正确表示三角形的面积是关键．20．（16分）各项均为正数的等比数列{a n}，a1=1，a2a4=16，单调增数列{b n}的前n项和为S n，a4=b3，且6S n=b n2+3b n+2（n∈N*）．（Ⅰ）求数列{a n}、{b n}的通项公式；（Ⅱ）令（n∈N*），求使得c n＞1的所有n的值，并说明理由．（Ⅲ）证明{a n}中任意三项不可能构成等差数列．考点：数列与不等式的综合；等差数列的通项公式；等差关系的确定．专题：综合题．分析：（Ⅰ）由a2a4=a12q4=q4=16，q2=4，知a n=2n﹣1，b3=a4=8．由6S n=b n2+3b n+2，知（b n+b n﹣1）（b n﹣b n﹣1）=3（b n+b n﹣1），由此能够求出b n=3n﹣1．（Ⅱ）由b n=3n﹣1，知=，由此能求出满足条件C n＞1的所有n的值为1，2，3，4．（Ⅲ）假设{a n}中存在三项p，q，r （p＜q＜r，p，q，R∈N*）使a p，a q，a r构成等差数列，所以2•2q﹣1=2p﹣1+2r﹣1．2q﹣p+1=1+2r﹣p．因左边为偶数，右边为奇数，故假设不成立，即不存在任意三项能构成等差数列．解解：（Ⅰ）∵a2a4=a12q4=q4=16，q2=4，∵a n＞0，∴q=2，∴a n=2n﹣1答：∴b3=a4=8．∵6S n=b n2+3b n+2①当n≥2时，6S n﹣1=b n﹣12+3b n﹣1+2 ②①﹣②得6b n=b n2﹣b n﹣12+3b n﹣3b n﹣1即（b n+b n﹣1）（b n﹣b n﹣1）=3（b n+b n﹣1）∵b n＞0∴b n﹣b n﹣1=3，∴{b n}是公差为3的等差数列．当n=1时，6b1=b12+3b1+2，解得b1=1或b1=2，当b1=1时，b n=3n﹣2，此时b3=7，与b3=8矛盾；当b1=3时b n=3n﹣1，此时此时b3=8=a4，∴b n=3n﹣1．（Ⅱ）∵b n=3n﹣1，∴=，∴c1=2＞1，c2=＞1，c3=2＞1，＞1，＜1，下面证明当n≥5时，c n＜1事实上，当n≥5时，=＜0即c n+1＜c n，∵＜1∴当n≥5时，C n＜1，故满足条件C n＞1的所有n的值为1，2，3，4．（Ⅲ）假设{a n}中存在三项p，q，r （p＜q＜r，p，q，R∈N*）使a p，a q，a r构成等差数列，∴2a q=a p+a r，即2•2q﹣1=2p﹣1+2r﹣1．∴2q﹣p+1=1+2r﹣p．因左边为偶数，右边为奇数，矛盾．∴假设不成立，故不存在任意三项能构成等差数列．点评：本题考查数列与不等式的综合，解题时要认真审题，仔细解答，注意挖掘题设中的隐含条件，合理地进行等价转化．三、数学Ⅱ附加题21．（20分）（选做题）在A、B、C、D四小题中只能选做2题，每小题10分，共计20分．请在答卷纸指定区域内作答．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．（B）（选修4﹣2：矩阵与变换）二阶矩阵M有特征值λ=8，其对应的一个特征向量，并且矩阵M对应的变换将点（﹣1，2）变换成点（﹣2，4），求矩阵M2．（C）（选修4﹣4：坐标系与参数方程）已知极坐标系的极点在直角坐标系的原点，极轴与x轴的正半轴重合，曲线C的极坐标方程为ρ2cos2θ+3ρ2sin2θ=3，直线l的参数方程为（t为参数，t∈R）．试在曲线C上一点M，使它到直线l的距离最大．考点：参数方程化成普通方程；点到直线的距离公式；特征值与特征向量的计算．专题：选作题．分析：（B）利用矩阵的特征值与特征向量的关系及矩阵的运算即可求出；（C）先把极坐标方程和参数方程化为普通方程，再利用点到直线的距离公式即可求出．解答：（B）解：设，则由，得，即a+b=8，c+d=8．由，得，从而﹣a+2b=﹣2，﹣c+2d=4．由a+b=8，﹣a+2b=﹣2，c+d=8，﹣c+2d=4解得a=6，b=2，c=4，d=4 ∴，．（C）解：由曲线C的极坐标方程为ρ2cos2θ+3ρ2sin2θ=3，可得C的普通方程是x2+3y2=3，即=1．由直线l的参数方程为（t为参数，t∈R）消去参数td得直线l的普通方程是x+=0．设点M的坐标是，则点M到直线l的距离是d=．当时，即θ+，k∈Z，解得θ=2kπ+，k∈Zd取得最大值，此时，综上，点M的坐标是时，M到直线l的距离最大．点评：熟练掌握矩阵的特征值与特征向量的关系及矩阵的运算、直线与圆锥曲线的位置关系及利用点到直线的距离公式求最值问题是解题的关键．22．（10分）设F（1，0），点M在x轴上，点P在y轴上，且．（1）当点P在y轴上运动时，求点N的轨迹C的方程；（2）设A（x1，y1），B（x2，y2），D（x3，y3）是曲线C上的点，且成等差数列，当AD 的垂直平分线与x轴交于点E（3，0）时，求点B的坐标．考点：圆锥曲线的综合；数列与向量的综合．专题：综合题．分析：（1）根据，可得P为MN的中点，利用，可得，从而可得点N的轨迹C的方程；（2）先根据抛物线的定义可知，利用成等差数列，可得x1+x3=2x2，确定AD的中垂线方程，利用AD的中点在直线上，即可求得点B的坐标．解答：解：（1）设N（x，y），则由得P为MN的中点，所以…（1分）又，∴∵，…（3分）∴y2=4x（x≠0）…（5分）（2）由（1）知F（1，0）为曲线C的焦点，由抛物线定义知抛物线上任一点P0（x0，y0）到F的距离等于其到准线的距离，即…（6分）故，又成等差数列∴x1+x3=2x2…（7分）∵直线AD的斜率…（9分）∴AD的中垂线方程为…（10分）又AD的中点在直线上，代入上式，得…（11分）故所求点B的坐标为（1，±2）…（12分）点评：本题考查求轨迹方程，考查向量知识的运用，考查数列知识，解题的关键是用好向量，挖掘隐含，属于中档题．23．（10分）设数列{a n}是等比数列，a1=C2m+33m•A m﹣21，公比q是的展开式中的第二项（按x的降幂排列）．（1）用n，x表示通项a n与前n项和S n；（2）若A n=C n1S1+C n2S2+…+C n n S n，用n，x表示A n．考点：数列的求和；数列递推式；二项式定理．专题：综合题；压轴题．分析：第（1）问的提出是很自然的，在确定参数m和公比q时，自然需要讨论排列数、组合数的性质，此处为：，另外二项展开式中的第二项的求解需要注意题意，即按x 的降幂排列．以上两点注意到了很自然的能求出参数m和公比q的值来．（2）在（1）中求得前n项和S n的基础上要分两类x=1和x≠1来解答，当x=1时的形式能使我们很容易得到表达式A n=C n1+2C n2+3C n3+…+nC n n=0C n0+1C n1+2C n2+3C n3+…+nC n n，联想组合数的性质C n0+C n1+C n2+…+C n n=2n，很容易构造出解答A n的式子及方法．当x≠1时要分两组式子分别计算得到A n的值．解答：解：（1）∵a1=C2m+33m•A m﹣21∴∴m=3，…（2分）由的展开式中的同项公式知，∴a n=x n﹣1∴由等比数列的求和公式得：…（4分）（2）当x=1时，S n=n，所以：A n=C n1+2C n2+3C n3+…+nC n n=0C n0+1C n1+2C n2+3C n3+…+nC n n，又∵A n=nC n n+（n﹣1）C n n﹣1+（n﹣2）C n n﹣2+…+C n1+0C n0，∴上两式相加得：2A n=n（C n0+C n1+C n2+…+C n n）=n•2n，∴A n=n•2n﹣1，当x≠1时，，所以有：∴…（10分）点评：本题综合考查了数列及数列的前n项和的求法，二项式定理的内容．公比为参数x 的等比数列前n项和的讨论．对于二项式定理的展开应用，本题需要注意是按照参数字母x的降幂排列，忽略这一点将导致错误．;31622 7B86 箆_37873 93F1 鏱H29836 748C 璌w28412 6EFC 滼39936 9C00 鰀DDQ26264 6698 暘)。
2021年高三12月月考数学(理)试题 Word版含答案
2021年高三12月月考数学（理）试题 Word版含答案一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，满分50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1. 设集合},]2,0[yy=x-xA x则（）<Bx=2,},{1{∈=1A． [0,1] B．(1,2) C． [1,2) D． (1,3)2. “”是“”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要3. 已知为虚数单位,则复数z=的共轭复数在复平面上所对应的点在（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限4. 执行程序框图，如果输入的N是6，那么输出的p是( )A．120 B．720 C．1440 D．50405. 函数的零点一定位于区间（）A． B． C． D．6. 由曲线y=，直线y＝x－2及y轴所围成的图形的面积为( )A. B．4 C. D．67．若二项式的展开式中的常数项为70，则实数可以为（）8. 函数（其中A＞0，）的图象如图所示，为了得到g(x)=sin2x的图象，则只需将的图象（）A．向右平移个长度单位 B．向右平移个长度单位C．向左平移个长度单位 D．向左平移个长度单位9．棱长为2的正方体被一平面截成两个几何体，其中一个 几何体的三视图如图所示，那么该几何体的体积是 A ． B ．4 C ． D ． 3 10. 设实数x ，y 满足条件,若目标函数z ＝ax ＋by (a ＞0，b ＞0)的最大值为12，则2a ＋3b的最小值为( )A ．4B ．83C ．113D ．256二、填空题:本大题共5小题， 每小题5分，共25分 11 . 函数的极值点为______ 12. 向量，，且∥，则______13、某单位有840名职工, 现采用系统抽样方法, 抽取42人做问卷调查, 将840人按1, 2, , 840随机编号, 则抽取的42人中, 编号落入区间[481, 720]的人数为14、从个正整数中任意取出两个不同的数,若取出的两数之和等于的概率为,则________.15. 设函数f (x )是定义在R 上的偶函数，且对任意的x ∈R 恒有f (x ＋1)＝f (x －1)，已知当x ∈[0,1]时f (x )＝，则①：2是函数f (x )的周期； ②函数f (x )在(1,2)上递减，在(2,3)上递增； ③函数f (x )的最大值是1，最小值是0； ④当x ∈(3,4)时，f (x )＝其中所有正确命题的序号是________三、解答题：本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 16、（本小题满分12分） 已知函数为常数），且方程有两实根3和4 （1） 求函数的解析式（2） 设，解关于的不等式：17.（本小题满分12分）设函数)0(12cos 2)6sin()(2>+--=ωωπωx x x f 直线与函数图像相邻两交点的距离为.（Ⅰ）求的值（II）在中，角、、所对的边分别是、、，若点是函数图像的一个对称中心，且,求面积的最大值.18、（本小题满分12分）某联欢晚会举行抽奖活动,举办方设置了甲.乙两种抽奖方案,方案甲的中奖率为,中将可以获得2分;方案乙的中奖率为,中将可以得3分;未中奖则不得分.每人有且只有一次抽奖机会,每次抽奖中将与否互不影响,晚会结束后凭分数兑换奖品.(1)若小明选择方案甲抽奖,小红选择方案乙抽奖,记他们的累计得分为,求的概率;(2)若小明.小红两人都选择方案甲或方案乙进行抽奖,问:他们选择何种方案抽奖,累计的得分的数学期望较大?19．（本小题满分13分）如图，四棱锥的底面是正方形，侧棱⊥底面，，是的中点．（I）证明：//平面；（II）求二面角的平面角的余弦值；20．（本小题满分13分）如图,游客从某旅游景区的景点处下山至处有两种路径.一种是从沿直线步行到,另一种是先从沿索道乘缆车到,然后从沿直线步行到.现有甲.乙两位游客从处下山,甲沿匀速步行,速度为.在甲出发后,乙从乘缆车到,在处停留后,再从匀速步行到.假设缆车匀速直线运动的速度为,山路长为,经测量,,.(1)求索道的长;(2)问乙出发多少分钟后,乙在缆车上与甲的距离最短?(3)为使两位游客在处互相等待的时间不超过分钟,乙步行的速度应控制在什么范围内?A21. （本小题满分13分）已知函数。
2021年高三上学期12月月考数学试题 Word版含答案
2021年高三上学期12月月考数学试题 Word版含答案一．填空题（本大题共14小题；每小题5分，共70分．不需写出解答过程，请将答案直接写在答题卷上）1.若集合，B＝{，则=________.2.已知函数的最小正周期为，则＝_______3.函数的定义域是________．4.已知向量a和向量b的夹角为30°，|a|＝2，|b|＝3，则向量a和向量b 的数量积a·b＝________.5.在等差数列中，，则的前5项和为________．6.中心在原点，准线方程为，离心率为的椭圆的标准方程是________________．7.函数的最小值为________．8．函数的单调递减区间为________．9. 已知直线与圆相切，则的值为________．10.若函数有且只有一个零点，则实数的值为__________ .11.已知和是方程的两根，且，则=_____.12.设分别为圆和椭圆上的点，则两点间的最大距离是________．13.设是定义在上、以1为周期的函数，若在上的值域为，则在区间上的值域为 .14.已知圆心角为120°的扇形的半径为1，为弧的中点，点分别在半径上．若，则的最大值是________．二．解答题（本大题共6小题，满分90分．解答须写出文字说明、证明过程或演算步骤．）15.（本小题满分14分）如图所示，ABCD是正方形，O是正方形的中心，PO⊥底面ABCD，E是PC的中点．(1)求证：PA∥面BDE；(2)平面PAC⊥平面BDE；16.（本小题满分14分）已知向量设函数（I）求的最小正周期与单调递减区间；（II）在△ABC中，分别是角A、B、C的对边，若△ABC的面积为，求的值.17.（本小题满分14分）某商场销售某种商品的经验表明，该商品每日的销售量y（单位：千克）与销售价格x （单位：元/千克）满足关系式，其中3<x<6，为常数．已知销售价格为5元/千克时，每日可售出该商品11千克．（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）若该商品的成品为3元/千克，试确定销售价格x的值，使商场每日销售该商品所获得的利润最大．18.（本小题满分16分）在以O为原点的直角坐标系中，点A（4，－3）为△OAB的直角顶点.已知|AB|=2|OA|，且点B的纵坐标大于零.（1）求向量的坐标；（2）求圆关于直线OB对称的圆的方程；（3）是否存在实数a，使抛物线上总有关于直线OB对称的两个点？若不存在，说明理由：若存在，求a的取值范围.19.（本小题满分16分）数列满足，.(1)求，的值；(2)是否存在一个实数，使得，且数列为等差数列？若存在，求出实数；若不存在，请说明理由；(3)求数列的前项和.20.（本小题满分16分）已知函数在处的切线方程为（1）若=，求证：曲线上的任意一点处的切线与直线和直线围成的三角形面积为定值；（2）若，是否存在实数，使得对于定义域内的任意都成立；（3）若方程有三个解，求实数的取值范围．新丰中学xx 届高三第二次学情调研考试数学试题答题卷一、填空题（本大题共14小题；每小题5分，共70分．不需写出解答过 题过程，请将答案直接写在答题卷上）1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10. 11. 12. 13. 14. 二．解答题（本大题共6小题,满分90分．解答须写出文字说明、证明过 明过程或演算步骤．） 15.(本题满分14分）16.(本题满分14分）考场 __________________ 座位号__________ 班级__________________ 姓名__________________学号__________________…………………………………………………….密……………………….封………………………..线……………………………………………………………....—————————————————————————————————17.(本题满分14分）18.(本题满分16分）—————————————————————————————————19.(本题满分16分）20.(本题满分16分）新丰中学xx 届高三第二次学情调研考试数学试题答案一．填空题1. 2. 3.[1，53) 4.35.106.x 23＋y 24＝17.52 8．(0,1] 9. 8或－18 10.或 11. 12. 6 2 13. 14 4312.解析 设圆的圆心为C ，则C (0,6)，半径为r ＝2，点C 到椭圆上的点Q (10cos α，sin α)的距离CQ ＝10cos α2＋sin α－62＝46－9sin 2α－12sin α＝50－9⎝⎛⎭⎪⎫sin α＋232≤50＝52，当且仅当sin α＝－23时取等号，所以PQ ≤CQ ＋r ＝52＋2＝62，即P ，Q 两点间的最大距离是6 2.14.解析 在△COD 中，由余弦定理得CD 2＝1＋OD 2－OD ，同理在△EOC 、△DOE 中，由余弦定理分别得CE 2＝1＋OE 2－OE ，DE 2＝OE 2＋OD 2＋OD ·OE ，代入CD 2＋CE 2＋DE 2＝269整理得2(OD ＋OE )2－(OE ＋OD )－89＝3OD ·OE ，由基本不等式得3OD ·OE ≤3OD ＋OE24，所以2(OD ＋OE )2－(OE ＋OD )－89≤3OD ＋OE24，解得0≤OD ＋OE ≤43，即OD ＋OE 的最大值是43.二．解答题15.（本小题满分14分）连结OE ，如图所示． ∵O 、E 分别为AC 、PC 中点，∴OE ∥PA ． …………3分 ∵OE ⊂面BDE ，PA ⊄面BDE ，∴PA ∥面BDE ． …………7分 (2)∵PO ⊥面ABCD ，∴PO ⊥BD ． 在正方形ABCD 中，BD ⊥AC ，又∵PO ∩AC ＝0，∴BD ⊥面PAC ． …………10分 又∵BD ⊂面BDE ，∴面PAC ⊥面BDE ． …………14分 16.（本小题满分14分）解：（I ）),cos 2,1(),cos ,22sin 3(x n x x m =+=…………4分…………5分)(326)(2326222Z k k x k Z k k x k ∈+≤≤+∴∈+≤+≤+πππππππππ令)](32,6[)(Z k k k x f ∈++∴ππππ的单调减区间为 …………7分（II ）由得…………10分…………12分32112214cos 2222=⨯⨯⨯-+=-+=∴A bc c b a…………14分17.（本小题满分14分）解：（Ⅰ）因为x=5时，y=11，所以…………3分（Ⅱ）由（Ⅰ）可知，该商品每日的销售量 所以商场每日销售该商品所获得的利润222()(3)[10(6)]210(3)(6),363f x x x x x x x =-+-=+--<<-.…………8分 从而，2'()10[(6)2(3)(6)]30(4)(6)f x x x x x x =-+--=--， 于是，当x 变化时，的变化情况如下表：由上表可得，x=4是函数在区间（3，6）内的极大值点，也是最大值点，所以，当x=4时，函数取得最大值，且最大值等于42.…………13分答：当销售价格为4元/千克时，商场每日销售该商品所获得的利润最大.…………14分18.（本小题满分16分）解]（1）设⎩⎨⎧=-=+⎪⎩⎪⎨⎧=⋅==,034100,0||||||2||},,{22v u v u v u 即则由得},3,4{.86,86-+=+=⎩⎨⎧-=-=⎩⎨⎧==v u v u v u 因为或所以v －3>0,得v =8,故={6，8}. ………5分 （2）由={10，5}，得B （10，5），于是直线OB 方程：由条件可知圆的标准方程为：(x －3)2+y(y+1)2=10, 得圆心（3，－1），半径为. 设圆心（3，－1）关于直线OB 的对称点为（x ,y ）则 故所求圆的方程为(x －1)2+(y －3)2=10.………10分 （3）设P (x 1,y 1), Q (x 2,y 2) 为抛物线上关于直线OB 对称两点，则.23,022544,02252,,2252,202222222212212121212121>>-⋅-=∆=-++⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=-=+⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=--=+-+a aa a a ax a x x x a a x x ax x x x yy y y x x 得于是由的两个相异实根为方程即得 故当时，抛物线y=ax 2－1上总有关于直线OB 对称的两点.………16分 19.（本小题满分16分）解 (1)由a 3＝27，得27＝2a 2＋23＋1，∴a 2＝9，∵9＝2a 1＋22＋1，∴a 1＝2.………4分 (2)假设存在实数t ，使得{b n }为等差数列，则2b n ＝b n －1＋b n ＋1，(n ≥2且n ∈N *) ∴2×12n (a n ＋t )＝12n －1(a n －1＋t )＋12n ＋1(a n ＋1＋t )，∴4a n ＝4a n －1＋a n ＋1＋t ，∴4a n ＝4×a n －2n －12＋2a n ＋2n ＋1＋1＋t ，∴t ＝1.即存在实数t ＝1，使得{b n }为等差数列．………10分 (3)由(1)，(2)得b 1＝32，b 2＝52，∴b n ＝n ＋12，∴a n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫n ＋12·2n －1＝(2n ＋1)2n －1－1，S n ＝(3×20－1)＋(5×21－1)＋(7×22－1)＋…＋[(2n ＋1)×2n －1－1]＝3＋5×2＋7×22＋…＋(2n ＋1)×2n －1－n ，①∴2S n ＝3×2＋5×22＋7×23＋…＋(2n ＋1)×2n－2n ，②由①－②得－S n ＝3＋2×2＋2×22＋2×23＋…＋2×2n －1－(2n ＋1)×2n＋n ＝1＋2×1－2n1－2－(2n ＋1)×2n ＋n ＝(1－2n )×2n＋n －1， ∴S n ＝(2n －1)×2n－n ＋1.………16分20.（本小题满分16分）精品文档解：（1）因为所以，……… 2分又设图像上任意一点因为 ,所以切线方程为…………………… 4分令得；再令得 ,故三角形面积, 即三角形面积为定值.…………… 6分（2）由得，假设存在满足题意,则有化简,得对定义域内任意都成立,……… 8分故只有解得所以存在实数使得对定义域内的任意都成立.…11分（3）由题意知,因为且化简,得……13分即………15分如图可知,所以即为的取值范围.…………………………… 16分H)24358 5F26 弦38199 9537 锷826590 67DE 柞21594 545A 呚38476 964C 陌Q-029631 73BF 玿32756 7FF4 翴实用文档。
2021年高三(上)12月月考数学试卷(理科)含解析
2021年高三（上）12月月考数学试卷（理科）含解析一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．1．（5分）若复数）是纯虚数，则实数a的值为﹣1 ．考点：复数代数形式的乘除运算．专题：计算题．分析：将化为再判断即可．解答：解：∵==是纯虚数，∴a+1=0且1﹣a≠0，∴a=﹣1．故答案为：﹣1．点评：本题考查复数代数形式的乘除运算，将复数的分母实数化是关键，属于基础题．2．（5分）（xx•松江区一模）集合A={0，2，a}，B={1，a2}，若A∪B={0，1，2，4，16}，则a的值为4．考点：并集及其运算．专题：计算题．分根据题意，由并集的计算方法，结合a与a2的关系，易得，即可得答案．析：解答：解：∵A={0，2，a}，B={1，a2}，A∪B={0，1，2，4，16} ∴∴a=4，故答案为：4．点评：本题考查了集合的并集运算，并用观察法得到相对应的元素，从而求得答案，本题属于容易题．3．（5分）经过点（2，﹣1），且与直线2x﹣3y﹣1=0垂直的直线方程是3x+2y﹣4=0．考点：直线的一般式方程与直线的垂直关系．专题：直线与圆．分析：由题意易得直线2x﹣3y﹣1=0的斜率为，进而可得所求直线的斜率，又该直线过定点，由点斜式可得方程，化为一般式即可．解答：解：根据题意，易得直线2x﹣3y﹣1=0的斜率为，根据互相垂直的直线的斜率的关系，可得l的斜率为，又由直线经过点（2，﹣1），则所求的直线方程为y+1=﹣（x﹣2），即3x+2y﹣4=0，故答案为：3x+2y﹣4=0．点评：本题为直线方程的求解，由垂直关系找出直线的斜率是解决问题的关键，注意最后要化为直线方程的一般式，属基础题．4．（5分）平面直接坐标系xoy中，角α的始边与x轴的正半轴重合，终边在直线y=﹣x 上，则sinα=±．考点：直线的倾斜角．专题：直线与圆．分析：因为知道了角α的终边，可以在角的终边上任取一点，求出该点到原点的距离，直接运用三角函数的定义求解．解答：解：在直线y=﹣x上任意取一点（a，﹣a），且a≠0 则，r==2|a|，再由sinα===±，故答案为±．点评：本题考查了任意角的三角函数定义，解答此题的关键是熟记定义，是基础题．5．（5分）某学校有两个食堂，甲、乙、丙三名学生各自随机选择其中的一个食堂用餐，则他们在同一个食堂用餐的概率为．考点：相互独立事件的概率乘法公式．专题：计算题．分析：由于学校有两个食堂，不妨令他们分别为食堂A、食堂B，则甲、乙、丙三名学生选择每一个食堂的概率均为，代入相互独立事件的概率乘法公式，即可求出他们同在食堂A用餐的概率，同理，可求出他们同在食堂B用餐的概率，然后结合互斥事件概率加法公式，即可得到答案．解答：解：甲、乙、丙三名学生选择每一个食堂的概率均为，则他们同时选中A食堂的概率为：=；他们同时选中B食堂的概率也为：=；故们在同一个食堂用餐的概率P=+=故答案为：点评：本小题主要考查相互独立事件概率的计算，运用数学知识解决问题的能力，要想计算一个事件的概率，首先我们要分析这个事件是分类的（分几类）还是分步的（分几步），然后再利用加法原理和乘法原理进行求解．6．（5分）右图是一个算法流程图，则执行该算法后输出的s=81．考点：循环结构．专题：计算题．分析：按照程序框图的流程写出前几次循环的结果，并判断每一次得到的结果是否满足判断框中的条件，直到满足条件，执行输出．解答：解：当i=1时，不满足退出循环的条件，S=3，i=2；当i=2时，不满足退出循环的条件，S=9，i=3；当i=3时，不满足退出循环的条件，S=27，i=4；当i=4时，不满足退出循环的条件，S=81，i=5；当i=5时，满足退出循环的条件，故答案为：81点本题主要考查了循环结构，在解决程序框图中的循环结构时，常采用写出前几次循环评：的结果，找规律，属于基础题．7．（5分）（xx•重庆）设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且a=1，b=2，cosC=，则sinB=．考点：余弦定理；同角三角函数间的基本关系．专题：计算题．分析：由C为三角形的内角，及cosC的值，利用同角三角函数间的基本关系求出sinC的值，再由a与b的值，利用余弦定理列出关于c的方程，求出方程的解得到c的值，再由sinC，c及b的值，利用正弦定理即可求出sinB的值．解答：解：∵C为三角形的内角，cosC=，∴sinC==，又a=1，b=2，∴由余弦定理c2=a2+b2﹣2abcosC得：c2=1+4﹣1=4，解得：c=2，又sinC=，c=2，b=2，∴由正弦定理=得：sinB===．故答案为：点评：此题考查了同角三角函数间的基本关系，正弦、余弦定理，以及特殊角的三角函数值，熟练掌握定理及基本关系是解本题的关键．8．（5分）设向量，，，的夹角为120°，则实数k=3．考点：数量积表示两个向量的夹角．专题：计算题；平面向量及应用．分析：由向量夹角公式可得，cos120°==＜0可知，k＞0，解方程即可求解k解答：解：由向量夹角公式可得，cos120°===﹣∴k＞0整理可得，k2=9∴k=3故答案为：3点评：本题主要考查了向量夹角公式的坐标表示，解题中不要漏掉对k的范围的判断，本题容易漏掉判断k而产生两解k=±39．（5分）（xx•东城区一模）过点的直线l与圆C：（x﹣1）2+y2=4交于A、B两点，C为圆心，当∠ACB最小时，直线l的方程为2x﹣4y+3=0．考直线和圆的方程的应用；直线的一般式方程．点：专题：计算题．分析：研究知点在圆内，过它的直线与圆交于两点A，B，当∠ACB最小时，直线l与CM 垂直，故先求直线CM的斜率，再根据充要条件求出直线l的斜率，由点斜式写出其方程．解答：解：验证知点在圆内，当∠ACB最小时，直线l与CM垂直，由圆的方程，圆心C（1，0）∵k CM==﹣2，∴k l=∴l：y﹣1=（x﹣），整理得2x﹣4y+3=0 故应填2x﹣4y+3=0点评：本题考点是直线与圆的位置关系，考查到了线线垂直时斜率之积为﹣1，以及用点斜式写出直线的方程．10．（5分）已知函数f（x）=，若f（3﹣2a2）＞f（a），则实数a的取值范围是a＜﹣或a＞1．考点：函数解析式的求解及常用方法；函数单调性的性质．专题：计算题．分析：当x≥0时，是减函数，所以y=log2（）也是减函数．此时的最大值是f（0）=log2（）=log21=0．当x＜0时，y=（）2x﹣1是减函数．此时的最小值（）0﹣1=0．所以函数在R上是减函数．因为f（3﹣2a2）＞f（a），所以3﹣2a2＜a，2a2+a﹣3＞0，解得a＞1或a＜﹣．解答：解：当x≥0时，是减函数，所以y=log2（）也是减函数．此时的最大值是f（0）=log2（）=log21=0．当x＜0时，y=（）2x﹣1是减函数．此时的最小值（）0﹣1=0．所以函数在R上是减函数．因为f（3﹣2a2）＞f（a），所以3﹣2a2＜a，2a2+a﹣3＞0，解得a＞1或a＜﹣．故答案为：a＞1或a＜﹣．点评：本题考查函数解析式的求解和常用方法，解题时要认真审题，注意分段函数的性质和应用．11．（5分）设函数f（x）=（x＞0），观察：f1（x）=f（x）=，f2（x）=f（f1（x））=，f3（x）=f（f2（x））=，…，根据以上事实，由归纳推理可得：当n∈N*且n≥2时，f n（x）=．考点：归纳推理．专题：归纳法．分析：由已知所给的前几函数的特点：分子都是x，分母是关于x的一次式，其常数项为2n，一次项的系数比常数项小1，据此即可得出答案．解答：解：观察：f1（x）=f（x）=，f2（x）=f（f1（x））=，f3（x）=f（f2（x））=，…，可知：分子都是x，分母是关于x的一次式，其常数项为2n，一次项的系数比常数项小1，故f n（x）=．故答案为点评：善于分析、猜想、归纳所给的式子的规律特点是解题的关键．12．（5分）（xx•江苏）如图，在平面直角坐标系xoy中，A1，A2，B1，B2为椭圆的四个顶点，F为其右焦点，直线A1B2与直线B1F相交于点T，线段OT与椭圆的交点M恰为线段OT的中点，则该椭圆的离心率为．考点：椭圆的简单性质．专题：计算题；压轴题．分析：解法一：可先直线A2B2的方程为，直线B1F的方程为，联立两直线的方程，解出点T的坐标，进而表示出中点M的坐标，代入椭圆的方程即可解出离心率的值；解法二：对椭圆进行压缩变换，，，椭圆变为单位圆：x'2+y'2=1，F'（，0）．根据题设条件求出直线B1T方程，直线直线B1T与x轴交点的横坐标就是该椭圆的离心率．解答：解法一：由题意，可得直线A2B2的方程为，直线B1F的方程为两直线联立得T（），由于此点在椭圆上，故有，整理得3a2﹣10ac﹣c2=0即e2+10e﹣3=0，解得故答案为解法二：对椭圆进行压缩变换，，，椭圆变为单位圆：x'2+y'2=1，F'（，0）．延长TO交圆O于N易知直线A1B1斜率为1，TM=MO=ON=1，，设T（x′，y′），则，y′=x′+1，由割线定理：TB2×TA1=TM×TN，（负值舍去）易知：B1（0，﹣1）直线B1T方程：令y′=0，即F横坐标即原椭圆的离心率e=．故答案：．点评：本题考查圆锥曲线的性质和应用，解题时要认真审题，仔细解答．13．（5分）已知函数f（x）=，若关于的方程满足f（x）=m（m∈R）有且仅有三个不同的实数根，且α，β分别是三个根中最小根和最大根，则的值为．考点：根的存在性及根的个数判断．专题：函数的性质及应用；三角函数的求值．分析：同一坐标系内作出函数y=f（x）的图象和直线y=m，因为两图象有且仅有三个公共点，所以m=1．再解方程f（x）=1，得最小根β=，最大根α=，将它们代入再化简，即可得到要求值式子的值．解答：解：函数f（x）=的图象如下图所示：可得函数f（x）的单调减区间为（﹣∞，﹣）和（，π）；单调增区间为（﹣，）和（π，+∞），f（x）的极大值为f（）=1，极小值为f（﹣）=﹣和f（π）=0将直线y=m进行平移，可得当m=1时，两图象有且仅有三个不同的公共点，相应地方程f（x）=m（m∈R）有且仅有三个不同的实数根．令f（x）=1，得x1=，x2=，x3=，所以β=，α=，∴β•sin（+α）=•sin=•（﹣）=故答案为：点评：本题以分段函数为例，求方程的最大根和最小根，并且用这个根来求值，着重考查了函数与方程的关系，以及三角函数求值等知识，属于中档题．14．（5分）（2011•盐城二模）已知f（x）=cosx，g（x）=sinx，记S n=2﹣，T m=S1+S2+…+S m，若T m＜11，则m的最大值为5．考点：数列与不等式的综合；数列的求和．专题：综合题；等差数列与等比数列．分析：先将数列通项化简，再求和，利用T m＜11，即可求得m的最大值．解答：解：由题意，a n=2﹣=∴S n==∴T m=S1+S2+…+S m=2m+1﹣＜11 ∴m的最大值为5．故答案为：5点评：本题考查数列的通项与求和，考查学生的计算能力，属于中档题．二、解答题：本大题共6小题，共计90分．解答应写出必要的文字说明步骤．15．（14分）（xx•湖北模拟）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且．（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）若，求△ABC面积的最大值．考点：余弦定理；二倍角的正弦；二倍角的余弦；正弦定理．专题：计算题．分析：（Ⅰ）通过求出，利用二倍角以及三角形的内角和化简，即可求出它的值；（Ⅱ）利用，结合余弦定理，求出a，c的关系，通过基本不等式求出a，c，然后求出三角形的面积最大值．解答：（本小题满分13分）解：（I）因为，所以．…（1分）又==+=．…（6分）（II）由已知得，…（7分）又因为，所以．…（8分）又因为，所以ac≤6，当且仅当时，ac取得最大值．…（11分）此时．所以△ABC的面积的最大值为．…（13分）点评：本题考查二倍角公式，余弦定理，基本不等式的应用，考查计算能力．16．（14分）已知⊙C过点P（1，1），且与⊙M：（x+2）2+（y+2）2=r2（r＞0）关于直线x+y+2=0对称．（1）求⊙C的方程；（2）设Q为⊙C上的一个动点，求的最小值．考点：关于点、直线对称的圆的方程；平面向量数量积的运算．专题：综合题．分析：（1）设圆心的坐标，利用对称的特征，建立方程组，从而求出圆心坐标，又⊙C过点P（1，1），可得半径，故可写出⊙C方程．（2）设Q的坐标，用坐标表示两个向量的数量积，化简后再进行三角代换，可得其最小值．解答：解：（1）设圆心C（a，b），则，解得a=0，b=0则圆C的方程为x2+y2=r2，将点P的坐标（1，1）代入得r2=2，故圆C的方程为x2+y2=2；（2）设Q（x，y），则x2+y2=2，=（x﹣1，y﹣1）•（x+2，y+2）=x2+y2+x+y﹣4=x+y﹣2，令x=cosθ，y=sinθ，∴=cosθ+sinθ﹣2=2sin（θ+ ）﹣2，∴θ+=2kπ﹣时，sin（θ+）的最小值为﹣1，所以的最小值为﹣2﹣2=﹣4．点评：本题考查圆的对称性，考查圆的标准方程，考查两个向量的数量积公式的应用，直线与圆的位置关系的应用，属于中档题．17．（14分）如图，xx年春节，摄影爱好者S在某公园A处，发现正前方B处有一立柱，测得立柱顶端O的仰角和立柱底部B的俯角均为30°，已知S的身高约为米（将眼睛距地面的距离按米处理）（1）求摄影者到立柱的水平距离和立柱的高度；（2）立柱的顶端有一长2米的彩杆MN绕中点O在S与立柱所在的平面内旋转．摄影者有一视角范围为60°的镜头，在彩杆转动的任意时刻，摄影者是否都可以将彩杆全部摄入画面？说明理由．考点：平面向量数量积坐标表示的应用．专题：平面向量及应用．分析：（1）摄影者眼部记为点S，作SC⊥OB于C，则有∠CSB=30°，∠ASB=60°．SA=，在Rt△SAB中，由三角函数的定义可求AB；再由SC=3，∠CSO=30°，在Rt△SCO 中由三角函数的定义可求OC，进而可求OB（2）以O为原点，以水平方向向右为x轴正方向建立平面直角坐标系．设M（cosα，sinα），α∈[0，2π），则N（﹣cosα，﹣sinα），由（Ⅰ）知S（3，﹣），利用向量的数量积的坐标表示可求cos∠MSN=∈[，1]，结合余弦函数的性质可求答案．解答：解：（1）如图，不妨将摄影者眼部记为点S，作SC⊥OB于C，依题意∠CSB=30°，∠ASB=60°．又SA=，故在Rt△SAB中，可求得BA==3，即摄影者到立柱的水平距离为3米．…（3分）由SC=3，∠CSO=30°，在Rt△SCO中OC=SC•tan30°=，又BC=SA=，故OB=2，即立柱的高度为2米．…（6分）（2）如图，以O为原点，以水平方向向右为x轴正方向建立平面直角坐标系．设M（cosα，sinα），α∈[0，2π），则N（﹣cosα，﹣sinα），由（Ⅰ）知S（3，﹣）．…（8分）故=（cosα﹣3，sinα+），=（﹣cosα﹣3，﹣sinα+），∴•=（cosα﹣3）（﹣cosα﹣3）+（sinα﹣）（﹣sinα﹣）=11（10分）||•||=×=×==由α∈[0，2π）知||•||∈[11，13]…（12分）所以cos∠MSN=∈[，1]，∴∠MSN＜60°恒成立故在彩杆转动的任意时刻，摄影者都可以将彩杆全部摄入画面点评：本题考查的是解三角形的应用，解题的关键是准确理解基本概念：仰角俯角问题，熟知锐角三角函数的定义及正弦、余弦定理．18．（16分）如图，椭圆C：+=1的右顶点是A，上下两个顶点分别为B，D，四边形DAMB 是矩形（O为坐标原点），点E，P分别是线段OA，MA的中点．（1）求证：直线DE与直线BP的交点在椭圆C上．（2）过点B的直线l1，l2与椭圆C分别交于R，S（不同于B点），且它们的斜率k1，k2满足k1•k2=﹣求证：直线SR过定点，并求出此定点的坐标．考点：直线与圆锥曲线的关系；椭圆的简单性质．专题：综合题；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：（1）确定直线DE与BP的直线方程，可得交点坐标，满足椭圆方程，可得结论；（2）设出直线方程，求得R，S的坐标，利用R，S关于原点O对称，即可得到结论．解答：证明：（1）由题意，A（4，0），B（0，2），D（0，﹣2），E（2，0），P（4，1），则直线DE的方程为y=x﹣2，直线BP的方程为联立方程，可得直线DE与BP的交点坐标为（）∵椭圆C：+=1，∴（）满足方程，∴直线DE与直线BP的交点在椭圆C上．（2）直线BR的方程为y=k1x+2解方程组，可得或∴R的坐标为（，）∵k1•k2=﹣，∴直线BS的斜率k2=﹣，∴直线BS的方程为y=﹣x+2 解方程组得或∴S的坐标为（，）∴R，S关于原点O对称∴R，O，S三点共线∴直线SR过定点，定点的坐标为O（0，0）．点评：本题考查直线的交点，考查直线与椭圆的位置关系，考查学生的计算能力，属于中档题．19．（16分）（xx•昌平区二模）设数列{a n}，对任意n∈N*都有（kn+b）（a1+a n）+p=2（a1+a2…+a n），（其中k、b、p是常数）．（1）当k=0，b=3，p=﹣4时，求a1+a2+a3+…+a n；（2）当k=1，b=0，p=0时，若a3=3，a9=15，求数列{a n}的通项公式；（3）若数列{a n}中任意（不同）两项之和仍是该数列中的一项，则称该数列是“封闭数列”．当k=1，b=0，p=0时，设S n是数列{a n}的前n项和，a2﹣a1=2，试问：是否存在这样的“封闭数列”{a n}，使得对任意n∈N*，都有S n≠0，且．若存在，求数列{a n}的首项a1的所有取值；若不存在，说明理由．考点：数列与不等式的综合；数列递推式．专题：综合题；压轴题；等差数列与等比数列．分析：（1）当k=0，b=3，p=﹣4时，3（a1+a n）﹣4=2（a1+a2…+a n），再写一式，两式相减，可得数列{a n}是以首项为1，公比为3的等比数列，从而可求a1+a2+a3+…+a n；（2）当k=1，b=0，p=0时，n（a1+a n）=2（a1+a2…+a n），再写一式，两式相减，可得数列{a n}是等差数列，从而可求数列{a n}的通项公式；（3）确定数列{a n}的通项，利用{a n}是“封闭数列”，得a1是偶数，从而可得，再利用，验证，可求数列{a n}的首项a1的所有取值．解答：解：（1）当k=0，b=3，p=﹣4时，3（a1+a n）﹣4=2（a1+a2…+a n），①用n+1去代n得，3（a1+a n+1）﹣4=2（a1+a2…+a n+a n+1），②②﹣①得，3（a n+1﹣a n）=2a n+1，a n+1=3a n，（2分）在①中令n=1得，a1=1，则a n≠0，∴，∴数列{a n}是以首项为1，公比为3的等比数列，∴a1+a2+a3+…+a n=．（4分）（2）当k=1，b=0，p=0时，n（a1+a n）=2（a1+a2…+a n），③用n+1去代n得，（n+1）（a1+a n+1）=2（a1+a2…+a n+a n+1），④④﹣③得，（n﹣1）a n+1﹣na n+a1=0，⑤（6分）用n+1去代n得，na n+2﹣（n+1）a n+1+a1=0，⑥⑥﹣⑤得，na n+2﹣2na n+1+na n=0，即a n+2﹣a n+1=a n+1﹣a n，（8分）∴数列{a n}是等差数列．∵a3=3，a9=15，∴公差，∴a n=2n﹣3．（10分）（3）由（2）知数列{a n}是等差数列，∵a2﹣a1=2，∴a n=a1+2（n﹣1）．又{a n}是“封闭数列”，得：对任意m，n∈N*，必存在p∈N*使a1+2（n﹣1）+a1+2（m ﹣1）=a1+2（p﹣1），得a1=2（p﹣m﹣n+1），故a1是偶数，（12分）又由已知，，故．一方面，当时，S n=n（n+a1﹣1）＞0，对任意n∈N*，都有．另一方面，当a1=2时，S n=n（n+1），，则，取n=2，则，不合题意．（14分）当a1=4时，S n=n（n+3），，则，当a1≥6时，S n=n（n+a1﹣1）＞n（n+3），，，又，∴a1=4或a1=6或a1=8或a1=10．（16分）点评：本题考查数列的通项与求和，考查等差数列、等比数列的判定，考查学生分析解决问题的能力，属于难题．20．（16分）已知函数（a∈R且a≠0）．（Ⅰ）求函数f（x）的单调区间；（Ⅱ）记函数y=F（x）的图象为曲线C．设点A（x1，y1），B（x2，y2）是曲线C上的不同两点，如果在曲线C上存在点M（x0，y0），使得：①；②曲线C在M处的切线平行于直线AB，则称函数F（x）存在“中值相依切线”．试问：函数f（x）是否存在“中值相依切线”，请说明理由．考点：利用导数研究曲线上某点切线方程；利用导数研究函数的单调性．专题：证明题；新定义．分析：（I）根据对数函数的定义求得函数的定义域，再根据f（x）的解析式求出f（x）的导函数，然后分别令导函数大于0和小于0得到关于x的不等式，求出不等式的解集即可得到相应的x的范围即分别为函数的递增和递减区间；（II）假设函数f（x）的图象上存在两点A（x1，y1），B（x2，y2），使得AB存在“中值相依切线”，根据斜率公式求出直线AB的斜率，利用导数的几何意义求出直线AB 的斜率，它们相等，再通过构造函数，利用导数研究函数的单调性和最值即可证明结论．解：（Ⅰ）函数f（x）的定义域是（0，+∞）．…（1分）解答：由已知得，．…（2分）（1）当a＞0时，令f'（x）＞0，解得0＜x＜1；令f'（x）＜0，解得x＞1．所以函数f（x）在（0，1）上单调递增，在（1，+∞）上单调递减．…（3分）（2）当a＜0时，①当时，即a＜﹣1时，令f'（x）＞0，解得或x＞1；令f'（x）＜0，解得．所以，函数f（x）在和（1，+∞）上单调递增，在上单调递减；…（4分）②当时，即a=﹣1时，显然，函数f（x）在（0，+∞）上单调递增；…（5分）③当时，即﹣1＜a＜0时，令f'（x）＞0，解得0＜x＜1或；令f'（x）＜0，解得．所以，函数f（x）在（0，1）和上单调递增，在上单调递减．…（6分）综上所述，（1）当a＞0时，函数f（x）在（0，1）上单调递增，在（1，+∞）上单调递减；（2）当a＜﹣1时，函数f（x）在和（1，+∞）上单调递增，在上单调递减；（3）当a=﹣1时，函数f（x）在（0，+∞）上单调递增；（4）当﹣1＜a＜0时，函数f（x）在（0，1）和上单调递增，在上单调递减．…（7分）（Ⅱ）假设函数f（x）存在“中值相依切线”．设A（x1，y1），B（x2，y2）是曲线y=f（x）上的不同两点，且0＜x1＜x2，则，．==…（8分）曲线在点M（x0，y0）处的切线斜率k=f'（x0）==，…（9分）依题意得：=．化简可得：=，即==．…（11分）设（t＞1），上式化为：，即．…（12分）令，=．因为t＞1，显然g'（t）＞0，所以g（t）在（1，+∞）上递增，显然有g（t）＞2恒成立．所以在（1，+∞）内不存在t，使得成立．综上所述，假设不成立．所以，函数f（x）不存在“中值相依切线”．…（14分）点此题考查学生会利用导函数的正负求出函数的单调区间，灵活运用中点坐标公式化简评：求值，掌握反证法进行命题证明的方法，是一道综合题，属难题．27369 6AE9 櫩29240 7238 爸•332196 7DC4 緄x940318 9D7E 鵾F25668 6444 摄038532 9684 隄_37108 90F4 郴T。
2021-2022年高三上学期12月月考试题 数学(理) 含答案
高三理科月考试题2021年高三上学期12月月考试题 数学（理） 含答案一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求）1．若集合，2{|230,}B x x x x =-->∈R ，那么= （ ） A ． B. C. D.2．已知53()sin 8f x ax bx x =++-且，那么 （ ） A. B. C. D.3．要得到的图象，只需将函数的图象 （ ） A.向左平移个单位 B.向左平移个单位 C.向右平移个单位 D.向右平移个单位4．已知向量若与共线，则的值为（ ） A ． B ．2 C ． D ．-25．已知等差数列｛｝，，且，则此等差数列的公差d ＝（ ） A.－4 B.－3 C.－2 D.6．设，满足约束条件22010220x y x y x y +-≥⎧⎪-+≥⎨⎪--≥⎩，则的取值范围是 （ ）A.[－1，]B.[－1，5]C.[，+∞）D.[5，+∞）7．用、、表示三条不同的直线， 表示平面，给出下列命题： ①若∥，∥，则∥； ②若⊥，⊥，则⊥； ③若∥，∥，则∥； ④若⊥，⊥，则∥． 正确的是（ ）A ．①②B ．①④C ．②③D ．③④8 （ ）mA. B. C. D.9．若的展开式的二项式系数之和为64，则展开式的常数项为（ ）A.10B.20C.30D.4010．A ，B ，C ，D ，E 五人并排站成一排，如果B 必须站在A 的右边（A ，B 可以不相邻），那么不同的排法共有 （ ）A ．24种B ．60种C ．90种D ．120种11．一个三棱锥的三视图是三个直角三角形，如图所示，则该三棱锥的外接球表面积 （ ）A. B. C. D.12.已知函数()()22,2,2,2,x x f x x x ⎧-≤⎪=⎨->⎪⎩ 函数 ，其中，若函数 恰有4个零点，则的取值范围是 （ ）A. B. C. D.第II 卷（非选择题，共90分） 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分）13．若复数，其中i 是虚数单位，则 ．14．直线250154322=+=-+y x y x 被圆截得的弦AB 的长为 。
2021年高三12月月考试题(数学)
2021年高三12月月考试题（数学）一．填空题(本大题共有14小题，每小题5分，共70分) i ．如果复数是实数，则实数m=____________________ii ．若关于的方程组有解，且所有的解都是整数，则有序数对的数目为 .iii ．若数列{a n }的通项公式a n ＝，记试通过计算，，的值，推测出＝iv ．设，则使函数的定义域为R 且为奇函数的所有的值为_______v ．将函数的图象上每一点的纵坐标不变，横坐标变为原来的m (m > 0)倍，得到图象C ，若将的图象向上平移2个单位，也得到图象C ，则m =vi ．设)4()3()1()3()1(,2)(,2)(g f g g f e e x g e e x f xx x x -+-=+=--计算= ，= ，并由此概括出关于函数的一个等式，使上面的两个等式是你写出的等式的特例，这个等式是 .vii ．编辑一个运算程序：，，，则的输出结果为___________。
viii ．物体在常温下的温度变化可以用牛顿冷却规律来描述：设物体的初始温度是，经过一定时间后的温度是，则，其中称为环境温度，称为半衰期．现有一杯用88℃热水冲的速溶咖啡，放在24℃的房间中，如果咖啡降到40℃需要20min ，那么此杯咖啡从40℃降温到32℃时，还需要 minix ．椭圆=1的一个焦点为F 1，点P 在椭圆上.如果线段PF 1的中点M 在y 轴上，那么点M 的纵坐标是_____________x ．设向量，，夹角的余弦值为，则的单调增区间是xi．已知一物体在两力、的作用下，发生位移，则所做的功是_____________xii ．已知x 、y 的取值如下表所示从散点图分析，y 与x 线性相关，且，则xiii ．考察下列一组不等式：,525252,525252,52525232235533442233⋅+⋅>+⋅+⋅>+⋅+⋅>+.将上述不等式在左右两端仍为两项和的情况下加以推广，使以上的不等式成为推广不等式的特例，则推广的不等式可以是___________________.xiv．已知，且方程无实数根，下列命题： ①方程也一定没有实数根； ②若，则不等式对一切实数都成立； ③若，则必存在实数，使④若，则不等式对一切实数都成立．中，正确命题的序号是 ．(把你认为正确的命题的所有序号都填上)二．解答题(本大题共6小题，总分90分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)xv ．若，,其中,记函数(1)若图象中相邻两条对称轴间的距离不小于，求的取值范围； (2)若的最小正周期为，且当时，的最大值是，求的解析式．xvi．设数列0,1,)1(,}{-≠-+=λλλ其中且项和为的前n n n n a S S n a(1)证明：数列是等比数列；(2)设数列的公比)2,)((,21}{),(*11≥∈===-n N n b f b b b f q n n n 满足数列λ求数列的通项公式；(3)记n n nn n T n C b a C 项和的前求数列记}{),11(,1-==λ；xvii ．四棱锥的顶点P 在底面ABCD 中的投影恰好是A ，其三视图如图俯视图左视图主视图(1)根据图中的信息，在四棱锥的侧面、底面和棱中，请把符合要求的结论填写在空格处(每空只要求填一种)①一对互相垂直的异面直线 ； ②一对互相垂直的平面 ； ③一对互相垂直的直线和平面 ； (2)计算四棱锥的表面积．xviii ．北京奥运会纪念章某特许专营店销售纪念章，每枚进价为5元，同时每销售一枚这种纪念章还需向北京奥组委交特许经营管理费2元，预计这种纪念章以每枚20元的价格销售时该店一年可销售xx 枚，经过市场调研发现每枚纪念章的销售价格在每枚20元的基础上每减少一元则增加销售400枚，而每增加一元则减少销售100枚，现设每枚纪念章的销售价格为元．(1)写出该特许专营店一年内销售这种纪念章所获得的利润(元)与每枚纪念章的销售价格的函数关系式(并写出这个函数的定义域)(2)当每枚纪念销售价格为多少元时，该特许专营店一年内利润(元)最大，并求出这个最大值．xix．已知圆O : ，圆C : ，由两圆外一点引两圆切线PA 、PB ，切点分别为A 、B ，满足|PA|=|PB|.(1)求实数a 、b 间满足的等量关系；(2)求切线长|PA|的最小值；(3)是否存在以P 为圆心的圆，使它与圆O 相内切并且与圆C 相外切？若存在，求出圆P 的方程；若不存在，说明理由.xx ．已知函数(1)若在上单调递增，求的取值范围；(2)若定义在区间D 上的函数对于区间D 上的任意两个值总有以下不等式成立，则称函数为区间D 上的“凹函数”.试证当时，为“凹函数”933619 8353 荓30855 7887 碇25582 63EE 揮(24158 5E5E 幞22456 57B8 垸335851 8C0B 谋:I*P2iii32 iiiiv 1或3 v vi 0 0 vii2007 viii 10 ix ±xxi 2xii 2.6xiii ()0,,,0,>≠>+>+++n m b a b a b a b a b a m n n m n m n m （或为正整数）xiv①②④xv解析：∵ ∴故＝ ＝k x x k x x ++-=+-+212cos 212sin 2322cos 12sin 23ωωωω ＝(1)由题意可知，∴又>0，∴0<≤1(2)∵T ＝，∴＝1 ∴f （x ）=sin(2x －)＋k ＋∵x ∈从而当2x －＝即x=时f max (x )=f ()=sin ＋k ＋=k ＋1= ∴k =－ 故f (x )=sin(2x －)xvi解：(1)由)2()1()1(11≥-+=⇒-+=--n a S a S n n n n λλλλ相减得：}{),2(1,11n n n n n n a n a a a a a 数列∴≥+=∴+-=--λλλλ是等比数列 (2)1111,1)(11+=⇒+=∴+=--n n n n n b b b b b f λλλ1)1(21;1,21}1{1+=-+=∴=∴n n b b b nn 的等差数列公差为是首项为(3)n b a C a n n n n n n 11)21()11(,)21(,1--=-=∴==时λ①②①－②得：n n n n T )21()21()21()21()21(121132-+++++=- nn n n n n n T )21())21(1(2)21()21()21()21()21(121132--=-+++++=∴-所以：xvii解：(1)①，，，②平面平面，平面平面， 平面平面，平面平面， 平面平面③平面， 平面，平面， 平面，平面(2)依题意：正方形的面积是 又∴ 所以四棱锥的表面积是xviii解：(1)依题意∴此函数的定义域为 (2)当，则当时，(元)当，则当时，(元)综合上可得当时，该特许专营店获得的利润最大为32400元xix (1)连结PO 、PC ，∵|PA|=|PB|，|OA|=|CB|=1∴|PO|2=|PC|2，从而化简得实数a 、b 间满足的等量关系为: . (2)由，得 ∴当时，(3)∵圆O 和圆C 的半径均为1，若存在半径为R 圆P ，与圆O 相内切并且与圆C 相外切，则有 且 于是有: 即 从而得 两边平方，整理得 将代入上式得：故满足条件的实数a 、b 不存在，∴不存在符合题设条件的圆P.xx解：(1)由，得若函数为上单调增函数，则在上恒成立 即不等式在上恒成立. 也即在上恒成立令，上述问题等价于，而为在上的减函数，则，于是为所求(2)证明：由 得()()()()1222121212111ln ln 222f x f x ax x x x x x +⎛⎫=+++++ ⎪⎝⎭2121212124ln 222x x x x x x f a x x +++⎛⎫⎛⎫=++ ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭而()()2222212121212112242x x x x x x x x +⎛⎫⎡⎤+≥++= ⎪⎣⎦⎝⎭① 又， ∴ ②∵ ∴， ∵ ∴ ③由①、②、③得()22212121212121422x x x x x x a a x x x x ++⎛⎫+++++ ⎪+⎝⎭即，从而由凹函数的定义可知函数为凹函数。
2021年高三上学期12月月考试题 数学 含答案
F E 2021年高三上学期12月月考试题 数学 含答案第I 卷(必做题 共160分)一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．把答案填在题中横线上．1．已知复数，则z 的实部为＿＿▲＿＿．2．如图是一次青年歌手大奖赛上七位评委为甲、乙两名选手打出的分数的茎叶图(其中m 为数字0～9中的一个)，去掉一个最高分和一个最低分后，甲、乙两名选手得分的平均数分别为，则的大小关系是______▲_______(填，，)3．命题是 ▲ 命题（选填“真”或“假”）．4．若长方体相邻三个侧面的面积分别是，，，则该长方体的体积是 ▲ ．5．已知圆：，若直线与圆相切，且切点在第四象限，则＿▲＿＿＿．6．已知为奇函数，当时，，则曲线在处的切 线斜率为 ▲ ．7．函数的图像可由函数的图像至少向右平移___▲______个单位长度得到．8．已知直线平面且，，给出下列命题：①若，则；②若，则；③若，则；④若，则.其中正确的命题是_____▲_____________．9．已知点满足则点构成的图形的面积为＿＿▲＿＿．10．以抛物线的焦点为圆心，且与双曲线的渐近线相切的圆的方程是 ___▲___．11．已知△ABC 是边长为1的等边三角形，点分别是边的中点，连接并延长到点，使得，则的值为 ▲ ．12．对任意，函数满足，设 ，数列的前15项的和为，则＿▲＿＿＿＿．13．若实数，满足，则当取得最大值时，的值为 ▲ ．14．已知等差数列首项为，公差为，等比数列首项为，公比为，其中都是大于1的正整数，且，对于任意的，总存在，使得成立，则___▲___.二、解答题：(本大题6小题，共90分)15．(本题满分14分)在锐角中,角、、所对的边长分别为、、向量,且.(1)求角的大小;(2)若面积为,,求的值.16．(本题满分14分)在四棱锥中，底面是正方形，为的中点． (1)求证：∥平面；(2)若在线段上是否存在点，使？若存在，求出的值，若不存在，请说明理由．17．(本题满分14分)如图所示，把一些长度均为4米（PA＋PB＝4米）的铁管折弯后当作骨架制作“人字形”帐蓬，根据人们的生活体验知道：人在帐蓬里“舒适感”k与三角形的底边长和底边上的高度有关，设AB为，AB边上的高PH为y，则，若k越大，则“舒适感”越好。
2021年高三上学期12月月考 数学理
2021年高三上学期12月月考 数学理一、选择题：本大题12个小题，每小题5分，共60分在每小题给山的四个选项中只有一项是符合题目要求的. 1.复数则 （ ） A.B.C.D.2.设集合{}{}{}====Q P ，Q P ，b a Q a og P 则若0,,1,32 （ ） A.B.C.D.3．若不等式成立的充分条件是，则实数a 的取值范围是（ ） A ． B ．C ．D ．4.设m 、n 表示不同直线，、表示不同平面，下列命题正确的是 （ ） A ．若m ‖，m ‖ n ，则n ‖ B ．若m ，n ，m ‖，n ‖，则‖C ．若， m ，mn ，则n ‖D ．若， m ，n ‖m ，n ，则n ‖5.已知 （ ）A. B. C.D.26.函数的图象大致是 （ ）7. 已知平面上不共线的四点O ，A ，B ，C.若则的值为 （ ）A. B. C. D.8.已知平面直角坐标系上的区域D 由不等式组给定，则的最大值为 （ ）A.3B.4C.D.9.已知函数f(x)在R 上可导，且f(x)=x 2+2xf ′(2），则与的大小关系为（ ） A. f （-1）= f （1） B. f （-1）＞f （1）C. f （-1）＜ f （1）D.不确定10．已知函数的一部分图象如下图所示。
如果，则 （ ） A ． B ． C ． D ．11.函数的图象如右图所示，下列说法正确的是 （ ） ①函数满足 ②函数满足 ③函数满足 ④函数满足A.①③B.②④C.①②D.③④12．定义在R 上的函数满足：成立，且上单调递增，设，则a 、b 、c 的大小关系是 （ ） A ． B ． C ． D ．二、填空题（本大题共4小题，每小题4分，共16分） 13．设函数，若，0≤≤1，则的值 为 ．14.右图是某四棱锥的三视图，则该几何体的表面积为 .15．函数f (x )＝2－x ＋x 2－3的零点个数是________．16.已知，则不等式的解集是 三、解答题：（解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17．（本小题满分12分）已知函数()23sin()cos()sin().2424x x f x x πππ=++-+（I ）求的最小正周期；（II ）若将的图象向右平移个单位，得到函数的图象，求函数在区间上的最大值和最小值。
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瓯海中学2021学年第一学期高三12月份月考数学试题卷数学文科试卷第I 卷（选择题，共60分）一、选择题：本题共有12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的，把正确选项的代号填在指定位置上. 1．sin300°的值为（ ） A ．21 B ．－21C ．23D ．－232．已知=≠>==∈+==N M a a a t t N R x x y y M x则且},10,|{},,1|{2（ ）A ．一个点B ．),1[+∞C ．}0|{>y yD ．φ3．函数12x y -=(x >1)的反函数是（ ）A ．y =1+log 2x (x >1)B ．y =1+log 2x (x >0)C ．y =－1+log 2x (x >1)D ．y =log 2(x －1) (x >1)4．设a ，b 是不共线的向量，AB =a +k b (k ∈R), AC =－3a +b ,则A 、B 、C 共线的充 要条件是（ ）A ．k=3B ．k=－3C ．k=31 D ．k=－31 5．焦点在直线3x －4y －12=0上的抛物线的标准方程为（ ）A ．x 2=－12yB ．y 2=8x 或x 2=－16yC ．y 2=16xD ．x 2=－12y 或y 2=16x 6．在正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，A 1C 1与AD 1所成角为 （ ）A ．60°B ．90°C ．45°D ．30°7．若函数]2,[)10(log )(a a a x x f a 在区间<<=上最大值是最小值的3倍，则a =（ ）A ．42 B ．22 C ．41 D ．21 8．两平行直线l 1，l 2分别过点P （－1，3），Q （2，－1），它们分别绕P 、Q 旋转，但始终保持平行，则l 1，l 2之间的距离的取值范畴是（ ）A ．（0，+∞）B ．[0，5]C ．]5,0(D ．[0，17]9．已知圆C 与圆(x －1)2+y 2=1关于直线y=－x +2对称，则圆C 的方程为（ ）A ．(x －1)2+y 2=1B ．(x +1)2+(y －2)2=1C ．(x －2)2+(y －1)2=1D ．x 2+(y －2)2=110．已知mn ≠0，则方程mx 2+ny 2=1与mx +ny 2=0在同一坐标系下的图象可能是（ ）11．已知P 是以F 1，F 2为焦点的椭圆)0(12222>>=+b a by a x 上的一点，若PF 1⊥PF 2，tan ∠PF 1F 2=21，则此椭圆的离心率为 （ ）A ．21 B ．32 C ．31 D ．35 12．设A ，B ，C 是△ABC 三个内角，且tanA ，tanB 是方程3x 2－5x +1=0的两个实根，那么 △ABC 是（ ）A ．钝角三角形B ．锐角三角形C ．等腰直角三角形D ．以上均有可能第Ⅱ卷（非选择题 共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分.13．已知向量AB =(1, 0)，AC =(2, 2)，则||BC = 。
14．二次函数),3[5)12(2+∞---+=在x a ax y 上递减，则a 的取值范畴是 .15．设双曲线12222=-by a x (a >0, b >0)的焦距为2c ，A 、B 分别为实轴与虚轴的一个端点，若坐标原点到直线AB 的距离为2c，则双曲线的离心率为 ； 16．过直线x =2上一点M 向圆()()x y ++-=51122作切线，则M 到切点的最小距离为 ；(B)(D)(C)瓯海中学2005学年第一学期高三12月份月考数学文科答题卷一、选择题：本题共有12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的，把正确选项的代号填在指定位置上.二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分.13．___________________________________ 14．________________________________ 15．___________________________________ 16．________________________________ 三、解答题：本大题共6小题，共74分，解承诺写出文字说明证明过程或推演步骤. 17.（本小题满分12分）已知向量a =(33cos,sin 22x x )，b =(cos ,sin 22x x-)，c =(3,－1)，其中x ∈R ，（1）当a ⊥b 时，求x 值的集合； （2）求|a －c |的最大值。
18．（本小题满分12分）已知数列}{n a 的前n 项和S n 的是n 的二次函数，且1232,0,6a a a =-==. （1）求S n 的表达式； （2）求通项a n .19．（本小题满分12分）已知0,0>>b a ，且121=+ba ① 求b a +的最小值；② 若直线l 与x 轴，y 轴分别交于点A )0,(a ,B ),0(b ,求OAB ∆的面积的最小值。
班级__________________姓名__________________________座号_____________________ …………………………………………装…………………………………………订…………………………………………线…………………………………………20．（本小题满分12分）如图，在正三棱住111ABC A B C -中，各棱长相等，D 为BC 的中点。
求证：（1）11AD BCC B ⊥平面； （2）11//.A B ADC 平面21．（本小题满分12分）已知函数2244)(22+-+-=a a ax x x f 在[0，2]上有最小值3，求a的值.22．（本小题满分14分）已知定点F （1，0），动点P 在y 轴上运动，过点P 作线段PM ⊥PF 交x轴于M 点，延长MP 到N ，使|PN|=|PM|, （1）求动点N 的轨迹C 的方程；（2）直线l 与动点N 的轨迹C 交于A 、B 两点，若304||64,4≤≤-=⋅AB OB OA 且，求直线l 的斜率k 的取值范畴.瓯海中学2005学年第一学期高三12月份月考数学（文科）参考答案1.D2.B3.A4.D5.D6.A7.A8.C9.C 10.A 11.D 12.A13．5 14．1[,0)4- 15．2 16．4317．解（1）{|,}24k x x k Z ππ=+∈（2）||a c -最大值为3. 18.（1）设)0(2≠++=a c bx ax S n则2422936a b c a b c a b c ++=-⎧⎪++=-⎨⎪++=⎩………………3分 394a b c =⎧⎪=-⎨⎪=⎩2394n S n n ∴=-+ （2）11122,612n n n a S n a S S n -==-≥=-=-2,(1)612,(2)n n a n n -=⎧∴=⎨-≥⎩ 19．①22323)21)((+≥++=++=+a b b a bab a b a ，当且仅当ab b a =2即21+=a ，22+=b 时取得等号，∴b a +的最小值为223+。
②设直线l ：1=+b y a x （0,0>>b a ），则ABO S ∆=ab 21而1=+b ya x ⇒ba 211+=ab 22≥⇒22≥ab ⇒8≥ab∴4≥∆ABC S ，当且仅当4,2==b a 时取得等号，即4(min)=∆ABC S 。
20.(略)21．解：函数图像的对称轴为2ax = 分三种情形讨论 ①当200,(0)322312122aa f a a a <<=-+=∴=-+即时即或（舍）②当213)2(,40220-=∴=≤≤≤≤a a f a a 时即（舍）③318103)2()(,4222min =+-==>>a a f x f a a即时即当105105-+=∴或a （舍）综上可知12510a a =-=+或22．（1）设动点N(x , y)，则M(－x , 0),P(0,2y) (x >0)， （2分） ∵PM ⊥PF ，∴k PM ·k PF =－1，即1122-=-⋅yx y （4分）∴y 2=4x (x >0)即为所求. （6分）（2）设直线l 方程为y=k x +b , 点A(x 1, y 1) B(x 2, y 2), （7分）则由OB OA ⋅=－4，得x 1x 2+y 1y 2=－4,即162221y y +y 1y 2=－4 ∴y 1y 2=－8由k b k b y y k b y ky b kx y x y 2,84),0(04442122-=-==∴≠=+-⇒⎩⎨⎧+==（10分）当△=16－16kb=16(1+2k 2)>0时，,141,3016)3216(1616)12)(3216(1]4)[(1))(11(||2222222212122221222≤≤⨯≤++≤⨯++=-++=-+=k kk k kk k y y y y k k y y k AB 解得由题意得分∴21≤k ≤1，或－1≤k ≤－21, （13分） 即所求k 的取值范畴是]1,21[]21,1[ --. （14分）。