南京市高三三模数学试题及答案

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2020-2021学年江苏省南京市高考数学三模试卷及答案解析

江苏省南京市高考数学三模试卷一、填空题（共14小题，每小题3分，满分42分）1 .已知集合 M={0, 2, 4}, N={x|x=^, aC M},则集合 M PN= _________ .22 .已知0vav2,复数z 的实部为a,虚部为1,则忆|的取值范围是 .3 .若直线li ： x+2y-4=0与I2： mx+ （2-m ） y-3=0平行，则实数 m 的值为.4 .某校有A, B 两个学生食堂，若 a, b, c 三名学生各自随机选择其中的一个食堂用餐，则三人不在同一个食堂用餐的概率为5 .如图是一个算法流程图，则输出的 S 的值是开始 a 4— a结束6 . 一个社会调查机构就某地居民的月收入调查了 10000人，并根据所得数据画了样本的频率分布直方图（如图）.为了分析居民的收入与年龄、学历、职业等方面的关系，要从这 10000人中再用分层抽样方法抽出 100人作进一步调查，则在［2500, 3000）（元）月收入段应抽出10001500 20OT 2500 如网J50O 4Mof 频率组距月收入:元）7 .已知l 是直线，“、3是两个不同的平面，下列命题中的真命题是 .(填所有真命题的序号) ①若 l // a, l// 3,则 a// 3 ②若△ 3, l// a,则口 3③若 l // a, a// 3,则 l // 3 ④若吐 a, l // £ 则 a1 38 .如图，抛物线形拱桥的顶点距水面4m 时，测得拱桥内水面宽为 16m ；当水面升高3m 后,9 .已知正数a, b, c 满足3a-b+2c=0,则』占的最大值为 .10 .在^ ABC 中，角 A, B, C 的对边分别为 a, b, c,且 a 的,b=3, sinC=2sinA,则△ ABC 的面积为. 11 .已知S n 是等差数列｛4｝的前n 项和，若S 2>4, S 4< 16,则比的最大值是12 .将函数f (x) =sin (2x+ 0)( - 不< 9<——)的图象向右平移 4 (0v <K 兀)个单位长度后 bi 得到函数g (x)的图象，若f (x), g (x)的图象都经过点 P (0,1])，则4的值为.13 .如图，在半彳仝为1的扇形AOB 中，/AOB=60°, C 为弧上的动点，AB 与OC 交于点巳则加,而的最小值是 o B一 .一 , 一 ............... .. ........... Q ill . ........ 14 .用min{m, n}表布m, n 中的取小值.已知函数 f (x) =x+ax3~, g (x) = - lnx,设函数h (x) =min{f (x), g (x) } (x>0),若h (x)有3个零点，则实数 a 的取值范围是 .二、解答题(共6小题，满分88分)15 .在平面直角坐标系 xOy 中，点 A (cos 0 , V2| sin 9), B (sin 0 , 0),其中 OCR.2 兀一一一 ..........(i)当9=,求向重AB 的坐标； (n )当° e [0,时，求麻|的最大值.拱桥内水面的宽度为 m . <—16 ----- >16.如图，在四棱锥E- ABCD中，底面ABCD是正方形，AC与BD交于点O, EC，底面ABCD, F 为BE的中点.(1)求证：DE//平面ACF;(2)若AB=J^CE,在线段EO上是否存在点G,使得CG，平面BDE?若存在，请证明你的结论；若不存在，请说明理由.17.如图，某水域的两直线型岸边l i, 12成定角120。

江苏省南京市2019-2020学年高考数学三模考试卷含解析

江苏省南京市2019-2020学年高考数学三模考试卷一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．函数1 ()1xxef xe+=-（其中e是自然对数的底数）的大致图像为（）A． B．C．D．【答案】D【解析】由题意得，函数点定义域为x∈R且0x≠，所以定义域关于原点对称，且()1111()1111x xxx xxe eef x f xe ee----+++-===-=----，所以函数为奇函数，图象关于原点对称，故选D.2．如图所示，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的体积是（）A．83B．163C．43D．8【答案】A【解析】【分析】由三视图还原出原几何体，得出几何体的结构特征，然后计算体积．【详解】由三视图知原几何体是一个四棱锥，四棱锥底面是边长为2的正方形，高为2，直观图如图所示，1822233V =⨯⨯⨯=．故选：A ．【点睛】本题考查三视图，考查棱锥的体积公式，掌握基本几何体的三视图是解题关键． 3．已知命题:p x R ∀∈，20x >，则p ⌝是（） A ．x ∀∈R ，20x ≤B ．0x ∃∈R ，200x ≤.C ．0x ∃∈R ，200x >D ．x ∀∉R ，20x ≤.【答案】B 【解析】【分析】根据全称命题的否定为特称命题，得到结果. 【详解】根据全称命题的否定为特称命题，可得0:p x R ⌝∃∈，200x ≤本题正确选项：B 【点睛】本题考查含量词的命题的否定，属于基础题.4．做抛掷一枚骰子的试验，当出现1点或2点时，就说这次试验成功，假设骰子是质地均匀的.则在3次这样的试验中成功次数X 的期望为（） A ． B ．C ．1D ．2【答案】C 【解析】【分析】每一次成功的概率为，服从二项分布，计算得到答案.【详解】每一次成功的概率为，服从二项分布，故.故选：. 【点睛】本题考查了二项分布求数学期望，意在考查学生的计算能力和应用能力.5．2-31ii =+（） A ．15-22i B ．15--22iC ．15+22i D ．15-+22i 【答案】B 【解析】【分析】利用复数代数形式的乘除运算化简得答案．【详解】()()()()231231515111222i i i i z i i i i -----====--++-．故选B ．【点睛】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查了复数的基本概念，是基础题．6．已知{}n a 为正项等比数列，n S 是它的前n 项和，若116a =，且4a 与7a 的等差中项为98，则5S 的值是( ) A ．29 B ．30C ．31D ．32【答案】B 【解析】【分析】设正项等比数列的公比为q ，运用等比数列的通项公式和等差数列的性质，求出公比，再由等比数列的求和公式，计算即可得到所求．【详解】设正项等比数列的公比为q ，则a 4=16q 3，a 7=16q 6， a 4与a 7的等差中项为98，即有a 4+a 7=94，即16q 3+16q 6，=94，解得q=12（负值舍去），则有S 5=()5111a q q--=511612112⎛⎫⨯- ⎪⎝⎭-=1．故选C ．【点睛】本题考查等比数列的通项和求和公式的运用，同时考查等差数列的性质，考查运算能力，属于中档题． 7．复数()(1)2z i i =++的共轭复数为（） A ．33i - B ．33i + C ．13i + D ．13i -【答案】D 【解析】【分析】直接相乘，得13i +，由共轭复数的性质即可得结果【详解】∵21()()13z i i i =++=+ ∴其共轭复数为13i -. 故选：D 【点睛】熟悉复数的四则运算以及共轭复数的性质.8．半径为2的球O 内有一个内接正三棱柱，则正三棱柱的侧面积的最大值为（） A． B．C．D．【答案】B 【解析】【分析】设正三棱柱上下底面的中心分别为12O O ，，底面边长与高分别为,x h ，利用22222OA OO O A =+，可得224163h x =-，进一步得到侧面积3S xh =，再利用基本不等式求最值即可.【详解】如图所示.设正三棱柱上下底面的中心分别为12O O ，，底面边长与高分别为,x h，则2O A x =，在2R t OAO ∆中，22443h x +=，化为224163h x =-，3S xh =Q ，()222222221291212124322x x S x h x x ⎛⎫+-∴==-= ⎪⎝⎭…，当且仅当6x =时取等号，此时123S =.故选：B. 【点睛】本题考查正三棱柱与球的切接问题，涉及到基本不等式求最值，考查学生的计算能力，是一道中档题. 9．执行如图所示的程序框图，当输出的2S =时，则输入的S 的值为( )A ．-2B ．-1C ．12-D ．12【答案】B 【解析】若输入2S =-，则执行循环得1313,2;,3;2,4;,5;,6;3232S k S k S k S k S k =====-===== 132,7;,8;,9;32S k S k S k =-=====结束循环，输出32S =，与题意输出的2S =矛盾；若输入1S =-，则执行循环得11,2;2,3;1,4;,5;2,6;22S k S k S k S k S k =====-===== 11,7;,8;2,9;2S k S k S k =-=====结束循环，输出2S =，符合题意；若输入12S =-，则执行循环得212,2;3,3;,4;,5;3,6;323S k S k S k S k S k =====-=====12,7;,8;3,9;23S k S k S k =-=====结束循环，输出3S =，与题意输出的2S =矛盾；若输入12S =，则执行循环得12,2;1,3;,4;2,5;1,6;2S k S k S k S k S k ===-======-=1,7;2,8;1,9;2S k S k S k =====-=结束循环，输出1S =-，与题意输出的2S =矛盾；综上选B. 10．231+=-ii （） A ．15i 22-+ B ．1522i -- C ．5522i + D ．5122i - 【答案】A 【解析】【分析】分子分母同乘1i +,即根据复数的除法法则求解即可. 【详解】解:23(23)(1)151(1)(1)22i i i i i i i +++==-+--+, 故选:A 【点睛】本题考查复数的除法运算,属于基础题.11．数列{}n a 满足：21n n n a a a +++=，11a =，22a =，n S 为其前n 项和，则2019S =（） A ．0 B ．1C ．3D ．4【答案】D 【解析】【分析】用1n +去换21n n n a a a +++=中的n ，得312n n n a a a ++++=，相加即可找到数列{}n a 的周期，再利用2019S =6123336S a a a +++计算.【详解】由已知，21n n n a a a +++=①，所以312n n n a a a ++++=②，①+②，得3n n a a +=-，从而6n n a a +=，数列是以6为周期的周期数列，且前6项分别为1，2，1，-1，-2，-1，所以60S =，2019126123336()01214S a a a a a a =++++++=+++=L .故选：D. 【点睛】本题考查周期数列的应用，在求2019S 时，先算出一个周期的和即6S ，再将2019S 表示成6123336S a a a +++即可，本题是一道中档题. 12．已知α、,22ππβ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，αβ≠，则下列是等式sin sin 2αβαβ-=-成立的必要不充分条件的是（） A ．sin sin αβ> B ．sin sin αβ< C ．cos cos αβ> D ．cos cos αβ<【答案】D 【解析】【分析】构造函数()sin h x x x =-，()sin 2f x x x =-，利用导数分析出这两个函数在区间,22ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭上均为减函数，由sin sin 2αβαβ-=-得出sin sin 2ααββ-=-，分0α=、02πα-<<、02πα<<三种情况讨论，利用放缩法结合函数()y h x =的单调性推导出02παβ-<<<或02πβα<<<，再利用余弦函数的单调性可得出结论. 【详解】构造函数()sin h x x x =-，()sin 2f x x x =-，则()cos 10h x x '=-<，()cos 20f x x '=-<，所以，函数()y f x =、()y h x =在区间,22ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭上均为减函数，当02x π-<<时，则()()00h x h >=，()()00f x f >=；当02x π<<时，()0h x <，()0f x <.由sin sin 2αβαβ-=-得sin sin 2ααββ-=-. ①若0α=，则sin 20ββ-=，即()00f ββ=⇒=，不合乎题意；②若02πα-<<，则02πβ-<<，则()()sin sin 2sin h h αααβββββ=-=->-=，此时，02παβ-<<<，由于函数cos y x =在区间,02π⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递增，函数sin y x =在区间,02π⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递增，则sin sin αβ<，cos cos αβ<；③若02πα<<，则02πβ<<，则()()sin sin 2sin h h αααβββββ=-=-<-=，此时02πβα<<<，由于函数cos y x =在区间0,2π⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减，函数sin y x =在区间0,2π⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增，则sin sin αβ>，cos cos αβ<.综上所述，cos cos αβ<. 故选：D. 【点睛】本题考查函数单调性的应用，构造新函数是解本题的关键，解题时要注意对α的取值范围进行分类讨论，考查推理能力，属于中等题.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

南京市2021届高三年级第三次模拟考试数学试卷参考答案及评分标准

又 f(lna)＞f(1)＞0，且 lna＜a－1＜a＜27a，f(x)在[lna，＋∞)上单调递减，f(x)的图象不间断， e3
所以 f(x)在[lna，＋∞)上有且仅有 1个零点．
综上，当 a＞e时，函数 f(x)有且仅有 1个零点．
12分
高三数学试题参考答案（第 6页）
得 cos∠ABC＝3 4，又 0＜∠ABC＜π，
所以 sin∠ABC＝
1－cos2∠ABC＝
7 4．
所以△ABC的面积 S△ABC＝1 2AB·BC·sin∠ABC＝12×4×2×47＝ 7．
8分 10分
18．(本题满分 12分)
解：(1)设数列{an}的公差为 d，
因为 a1＋3，a3，a4成等差数列，所以 2a3＝a1＋3＋a4，即 2(a1＋2d)＝a1＋3＋a1＋3d，
所以满足 Sn＜500的 n的最大值为 211．
12分
19.解：(1)取 AD中点 O，连接 CO，OE．
在梯形 ABCD中，因为 AD∥BC，AD＝2BC，
所以四边形 ABCO为平行四边形，所以 CO∥AB，
所以∠OCE即为异面直线 AB与 CE所成的角或补角．
2分
在等边△PAD中，因为 E为 PD的中点，所以 OE＝12PA＝12AD＝2．在△OCE中，OC＝AB＝2，即 OE＝OC＝2，
令－13x2＋ax＋a＝0，得
3a＋ x＝
9a2＋12a
a＋
2
＝a＋
9a2＋12a
2
＞lna，
3a＋ 9a2＋12a
取 x0＝
2
，则 f(x0)＜0．
又 f(lna)＞f(1)＞0，且函数 f(x)在[lna，＋∞)上单调递减，f(x)的图象不间断，

2023届江苏省南京市高三三模联考数学试题【含答案】

一、单选题1．已知复数z 满足()1i 5i z +=+，则复数z 在复平面内所对应的点位于（）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限D【分析】利用复数除法求出z ，即可判断.【详解】因为()()5i 1i 5i 64i32i 1i 22z +-+-====-+，所以点()3,2-位于第四象限.故选：D.2．如图，直线l 和圆C ，当l 从l 0开始在平面上绕点O 按逆时针方向匀速转到（转到角不超过90°）时，它扫过的圆内阴影部分的面积S 是时间t 的函数，这个函数的图像大致是A ．B ．C ．D ．D【分析】由题意可知：S 变化情况为“一直增加，先慢后快，过圆心后又变慢”，据此确定函数的大致图像即可.【详解】观察可知面积S 变化情况为“一直增加，先慢后快，过圆心后又变慢”，对应的函数的图象是变化率先变大再变小，由此知D 符合要求.故选D .本题主要考查实际问题中的函数图像，函数图像的变化趋势等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.3．已知非零向量a ，b满足()3,1b =，π,3a b = ，若()a b a -⊥ ，则向量a 在向量b 方向上的投影向量为（）A ．14bB ．12bC ．32b D ．bA【分析】依题意可得()0a a b -⋅= ，根据数量积的定义及运算律求出a r ，即可求出a b ⋅ ，最后根据a b b b b⋅⋅⋅计算可得.【详解】因为()a b a -⊥ ，所以()20a b a a a b -⋅=-⋅=，∴2102a a b -=，又()3,1b =，所以()22312b =+=，∴1a = 或0a =（舍去），所以21a b a ⋅== ，所以a 在b方向上的投影向量为14a b b b b b⋅⋅=⋅.故选：A.4．已知集合{}1,2,3,4U =，若A ，B 均为U 的非空子集且A B ⋂=∅，则满足条件的有序集合对(),A B 的个数为（）A ．16B ．31C ．50D ．81C【分析】根据集合A 中元素的个数分类讨论，利用组合以及计数原理知识直接求解.【详解】1°A 中有1个元素，4种情况，B 有321-=7种情况，此时有4728⨯=种情况；2°A 中有2个元素，24C 种情况，B 有221-=3种情况，此时有24C 318⨯=种情况；3°A 中有3个元素，34C 种情况，B 有1种情况，此时有34C 14⨯=种情况.所以满足条件的有序集合对(),A B 一共有2818450++=个.故选：C.5．已知一组数据丢失了其中一个，另外六个数据分别是10，8，8，11，16，8，若这组数据的平均数、中位数、众数依次成等差数列，则丢失数据的所有可能值的和为A ．12B ．20C ．25D ．27D【分析】设出未知数，根据这组数的平均数、中位数、众数依次成等差数列，列出关系式，因为所写出的结果对于x 的值不同所得的结果不同，所以要讨论x 的三种不同情况．【详解】设这个数字是x ，则平均数为617x+，众数是8，若8x ，则中位数为8，此时5x =-，若810x <<，则中位数为x ，此时61287xx +=+，9x =，若10x ，则中位数为10，6121087x+⨯=+，23x =，所有可能值为5-，9，23，其和为27．故选D ．本题考查众数，中位数，平均数，考查等差数列的性质，考查未知数的分类讨论，是一个综合题目，这是一个易错题目．6．约翰·开普勒是近代著名的天文学家、数学家、物理学家和哲学家，有一次在上几何课时，突然想到，一个正三角形的外接圆与内切圆的半径之比2:1恰好和土星与木星轨道的半径比很接近，于是他想，是否可以用正多面体的外接球和内切球的半径比来刻画太阳系各行星的距离呢？经过实践，他给出了以下的太阳系模型：最外面一个球面，设定为土星轨道所在的球面，先作一个正六面体内接于此球面，然后作此正六面体的内切球面，它就是木星轨道所在的球面.在此球面中再作一个内接的正四面体，接着作该正四面体的内切球面即得到火星轨道所在的球面，继续下去，他就得到了太阳系各个行星的模型.根据开普勒的猜想，土星轨道所在的球面与火星轨道所在球面半径的比值为（）A ．3B ．3C ．33D ．9C【分析】根据正方体的性质可得内接球的半径，再由正四面体的外接球半径求出正四面体棱长，再由等体积法求正四面体的内切球半径即可得解.【详解】设土星轨道所在球面半径为R ，内接正六面体边长为a ，则32a R=，∴23a R =，所以正六面体内切球半径1123a R =，设正四面体边长b ，外接球球心为O ，G为底面中心，如图，正四面体中，323=233AG b b ⨯=，226=3PG PA AG b -=，在Rt AOG △中，222()AO AG PG AO =+-，则6143b R =，223b R =，设正四面体内切球半径r ，利用等体积法可得2213136434343V b r b b =⨯⨯⋅=⨯⋅，解得62231239r R R =⋅=，∴3339R R r R ==，故选：C.7．有一直角转弯的走廊（两侧与顶部封闭），已知两侧走廊的高度都是6米，左侧走廊的宽度为33米，右侧走廊的宽度为1米，现有不能弯折的硬管需要通过走廊.设可通过的最大极限长度为l 米（不计硬管粗细）.为了方便搬运，规定允许通过此走廊的硬管的最大实际长度为0.9m l =米，则m 的值是（）A ．7.2B ．27210C ．2725D ．9D【分析】先研究铁管不倾斜时，令PAM θ∠=，建立()133sin cos AB f θθθ=+=，π0,2θ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，利用导数求出min ()8f θ=；再研究铁管倾斜后能通过的最大长度.【详解】如图，铁管不倾斜时，令PAM θ∠=，1sin PA θ=，33cos PB θ=，()133sin cos AB f θθθ=+=，π0,2θ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，()332222cos 33sin 33sin cos sin cos sin cos f θθθθθθθθθ--'=+=.令()0f θ'<，解得：π06θ<<，令()0f θ'>，解得：ππ62θ<<，所以()f θ在π0,6⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减，在ππ,62⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增，所以min ()86f f πθ⎛⎫== ⎪⎝⎭，此时通过最大长度l AB '≤，∴8l '≤，∴倾斜后能通过的最大长度228610+=，∴0.9109m =⨯=.故选：D.8．已知函数()f x 的导函数()f x '满足：2()()e x f x f x -='，且()02f =.若函数2ππ()e ()e (1)sin 36x x g x f x a x --⎛⎫=++-+ ⎪⎝⎭有且只有一个零点，则实数a 的值为（）A ．e -B ．2e-C ．eD ．2eB【分析】由函数()f x 的性质设()2e e x xf x =+，得到()()()22ππe e e e 1sin 36x x x x g x a x --⎛⎫=+++-+ ⎪⎝⎭.由零点的定义得到()2ππe e 11sin 36x xa x -⎛⎫++=-+ ⎪⎝⎭，利用基本不等式和正弦函数的有界性求出a 的值.【详解】由函数()f x 的导函数()f x '满足：2()()e x f x f x -='，且()02f =，不妨设()2e e x xf x =+满足条件.此时()()()22ππeee e 1sin 36xxx x g x a x --⎛⎫=+++-+ ⎪⎝⎭.令()0g x =，即()2ππe 1e 1sin 036x x a x -⎛⎫+++-+= ⎪⎝⎭，()2ππe e 11sin 36x xa x -⎛⎫++=-+ ⎪⎝⎭有且仅有一个零点.因为22e e 12e 12e 1x x -++≥+=+，当且仅当2e e x x -=即1x =时取“＝”，当1x ≠时，2e e 12e 1x x -++>+，又ππ1sin 136x ⎛⎫-≤+≤ ⎪⎝⎭，所以()ππ11sin 136a a x a ⎛⎫--≤-+≤- ⎪⎝⎭，此时()2ππe e 11sin 36x xa x -⎛⎫++=-+ ⎪⎝⎭要么没零点，要么不仅一个零点，所以1x =是()g x 的唯一零点，此时()()11ππ1e 1e 1sin 2e 11036g a a ⎛⎫=+++-+=++-= ⎪⎝⎭，解得2a e =-，所以2a e =-.故选：B.二、多选题9．已知m ，n ，l 为空间中三条不同的直线，α，β，γ，δ为空间中四个不同的平面，则下列说法中正确的有（）A ．若m l ⊥，n l ⊥，则//m nB ．已知l αβ= ，m βγ= ，n γα=I ，若l m P = ，则P n ∈C ．若m α⊥，m β⊥，//αγ，则//βγD ．若αβ⊥，γα⊥，δβ⊥，则γδ⊥BC【分析】对于A ，由空间中的两直线的位置关系判断，对于B ，由平面的性质分析判断，对于C ，由线面垂直的性质和面面平行的判定方法分析判断，对于D ，在正方体模型中分析判断.【详解】m l ⊥，n l ⊥，则m 与n 可能平行，可能相交，也可能异面，A 错.因为l αβ= ，m βγ= ，l m P = ，所以,P P αγ∈∈，因为n γα=I ，所以P n ∈，B 对.m α⊥，m β⊥，则αβ∥，又αγ∥，则βγ∥，C 对.正方体中，设面α为面ABCD ，平面β为面11BCC B ，面γ为面11ABB A ，面δ为面11CDD C ，则αβ⊥，αγ⊥，δβ⊥，但γδ∥，D 错，故选：BC.10．记A ，B 为随机事件，下列说法正确的是（）A ．若事件A ，B 互斥，()12P A =，()13P B =，()56P A B = B ．若事件A ，B 相互独立，()12P A =，()13P B =，则()23P A B ⋃=C ．若()12P A =，()34P A B =，()38P A B =，则()13P B =D ．若()12P A =，()34P A B =，()38P A B =，则()14P B A =BC【分析】对于A ，根据互斥事件和对立事件的性质分析判断即可，对于B ，根据相互独立事件的性质分析判断，对于CD ，根据条件概率的公式和对立事件的性质分析判断.【详解】11()()()()1()23P A B P A P B P AB P AB =+-=-+- 1()()()()3P B P AB P AB P AB =+==，∴1()2P A B = ，A 错.11112()()()()()()()()23233P A B P A P B P AB P A P B P A P B =+-=+-=+-⨯= ，B 对.令()P B x =，()1P B x =-，()()()()34P AB P AB P A B P B x===，∴()34P AB x =，()()()()318P AB P AB P A B x P B ===-，∴()()318P AB x =-，331()()()(1)1482P A P AB P AB x x =+=+-=-，∴13x =，C 对.()()()()()()1311343162P B P AB P AB P B A P A P A -⨯-====，D 错，故选：BC.11．已知双曲线2214y x -=，直线l ：()2y kx m k =+≠±与双曲线有唯一的公共点M ，过点M 且与l垂直的直线分别交x 轴、y 轴于()0,0A x ，()00,B y 两点.当点M 变化时，点()00,P x y 之变化.则下列结论中正确的是（）A ．224k m =+B ．002y kx =C ．P 点坐标可以是()7,6D ．220011x y -有最大值125ACD【分析】联立双曲线和直线方程并根据有唯一公共点可得224k m =+，可判断A 正确；利用直线的点斜式方程写出直线AB 的直线方程可解得05k x m =-，05y m =-，所以B 错误；易知55,kP m m ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，可知当56m -=时，57km-=，所以P 点坐标可以是()7,6，即C 正确；由4222222001154412525255k k k x y k k ⎛⎫-+--==-++ ⎪⎝⎭可利用基本不等式得当2k =±时，220011x y -有最大值125，即D 正确.【详解】对于A ，联立2214y x y kx m ⎧-=⎪⎨⎪=+⎩消y 可得()2224240k x kmx m ----=，直线与双曲线只有一个公共点，且2k ≠±，则Δ0=，∴()()222244440k m k m ----=，∴224k m =+，即选项A 正确；对于B ，由方程可得M k x m =-，则2224M k m k y m m m m --=-+==，∴4,k M m m ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，则AB 的直线方程为41k y x m k m ⎛⎫+=-+ ⎪⎝⎭，令0y =，05kx m=-，令0x =，05y m=-，所以00y kx =，即B 错误；对于C ，则易知55,kP mm ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，若56m -=，则56m =-，22549466k =+=，取76k =，7565756k m -=-⨯=-，即()7,6P ，所以C 正确；对于D ，可得()()222222242222222004111542525252525k k m m m m k k k x y k k k k ----+--=-===22414112252552525525k k ⎛⎫=-++≤-+= ⎪⨯⎝⎭，当且仅当2k =±时，等号成立，即D 正确；故选：ACD12．三角函数表最早可以追溯到古希腊天文学家托勒密的著作《天文学大成》中记录的“弦表”，可以用来查询非特殊角的三角函数近似值，为天文学中很多复杂的运算提供了便利，有趣的是，很多涉及三角函数值大小比较的问题却不一定要求出准确的三角函数值，就比如下面几个选项，其中正确的是（）A ．sin 3sin1cos1>B ．3tan12>C ．()()ln cos1sin cos 2<D ．1sin 412sin 43⎛⎫<⎪⎝⎭BC【分析】对于A ，利用三角函数的性质判断出sin 30.3<，sin1cos10.3⋅>，即可判断；对于B ，判断出5tan111>，即可判断；对于C ，令cos1x =，1222x <<，利用导数判断单调性即可判断；对于D ，构造函数()ln f x x x =，利用导数判断出2()ln 3f x >，即可判断，【详解】对于A ，∵62sin 3sin171sin 9sin150.34-<︒=︒<︒=<，11112sin1cos1sin 2sin115sin 65sin 450.322224⋅=>︒=︒>︒=>，∴sin 3sin1cos1<，故A 错误；对于B ，记()3sin 6x g x x x ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，0x >，则()2cos 12x g x x ⎛⎫'=-- ⎪⎝⎭，记()2cos 12x p x x ⎛⎫=--⎪⎝⎭，0x >，则()sin p x x x '=-+，令()sin m x x x =-+，0x >，则()cos 10m x x '=-+≥恒成立，所以()m x 在()0,∞+上单调递增，所以()()00m x m >=，所以()0p x '>，所以()p x 在()0,∞+上单调递增，而()()200cos 0102p x p ⎛⎫>=--= ⎪⎝⎭，所以()0g x '>，所以()g x 在()0,∞+上单调递增，所以()()00g x g >=，所以3sin 6x x x >-，0x >，所以5sin16>，所以11cos16<，5tan111>，53211>，故3tan12>，故B 正确；对于C ，记()()ln 1f x x x =--，则()111x f x x x-'=-=，令()0f x ¢>，得01x <<；令()0f x '<，得1x >；函数()f x 在()0,1上单调递增，在()1,+∞上单调递减，所以对任意0x >，都有()()10f x f ≤=，即ln 1≤-x x 恒成立，令cos1x =，1222x <<，所以ln(cos1)ln 1x x =<-，对于函数()sin n x x x =-+，0x <，因为()cos 10n x x '=-+≥恒成立，所以()n x 在(),0∞-上单调递增，所以()()00n x n <=，即sin x x <在0x <上恒成立，因为cos20<，即2210x -<，所以()22sin(cos 2)sin 2121x x =->-，因为2121(12)0x x x x --+=-<，所以()22ln 121sin 21ln(cos1)sin(cos 2)x x x x <-<-<-⇒<，故C 正确，对于D ，令1sin4x =，若22ln ln 33x x x x <⇒<，令()ln f x x x =，()1ln 10ef x x x '=+=⇒=，由()0f x ¢>解得：1e x >，()0f x '<解得：10e x <<，所以()f x 在10,e ⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减；1,e ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递增，所以1()0.4e f x ≥->-，记()()21ln ,01x x x x x ϕ-=->+，因为()()()()222114011x x x x x x ϕ-'=-=≥++，所以()x ϕ在()0,∞+上单调递增，因为()()2111ln1011ϕ-=-=+，所以()2103ϕϕ⎛⎫<= ⎪⎝⎭，即22123ln 0.42313⎛⎫- ⎪⎝⎭<=-+，所以2()ln 3f x >，则1sin412sin 43⎛⎫> ⎪⎝⎭，故D 错.故选：BC.方法点睛：比较大小类题目解题方法：（1）结构相同的，构造函数，利用函数的单调性比较大小；（2）结构不同的，寻找“中间桥梁”，通常与0、1比较.三、填空题13．设随机变量()~3,2,10X H ，则()1P X ==______.715【分析】根据超几何分布计算公式可得2182310C C 7(1)C 15P X ===.【详解】由随机变量X 服从超几何分布()~3,2,10X H ，可知3表示选出3个，2表示有2个供选择，总数为10，根据超几何分布公式可得2182310C C 7(1)C 15P X ===.故71514．74212x y xy ⎛⎫++ ⎪⎝⎭展开式中的常数项为______.10516/6.5625【分析】利用组合知识处理二项式展开问题即可得解.【详解】74212x y xy ⎛⎫++ ⎪⎝⎭可看作7个4212x y xy ++相乘，要求出常数项，只需提供一项4x ，提供4项12xy，提供2项2y ，相乘即可求出常数项，即()421442761105C C 216x y xy ⎛⎫⋅= ⎪⎝⎭.故1051615．已知抛物线1C ：216y x =，圆2C ：()2241x y -+=，点M 的坐标为()8,0，P Q 、分别为1C 、2C 上的动点，且满足PM PQ =，则点P 的横坐标的取值范围是______.3955,106⎡⎤⎢⎥⎣⎦【分析】利用抛物线的定义和圆的性质得到4141x PM x +-≤≤++，转化为222691664161025x x x x x x x ++≤-++≤++，即可解得.【详解】因为抛物线：216y x =的焦点()4,0，准线：4x =-，所以圆心2C 即为抛物线的焦点F ，设(),P x y ，∴11PF PQ PF -≤≤+，∴4141x PQ x +-≤≤++.∵PM PQ =，∴4141x PM x +-≤≤++，2241(8)41x x y x +-≤-+≤++，∴222691664161025x x x x x x x ++≤-++≤++，∴3955106x ≤≤.故3955,106⎡⎤⎢⎥⎣⎦四、双空题16．已知数列{}n a 满足1a a =，()*12,21N 1,22n n n a n k a k a n k ++=-⎧⎪=∈⎨=⎪⎩，当1a =时，10a =______；若数列{}n a 的所有项仅取有限个不同的值，则满足题意的所有实数a 的值为______.63162【分析】先利用递推公式求出121(2)42n n a a -⎛⎫=-⋅+ ⎪⎝⎭，1211(2)22n n a a --⎛⎫=-⋅+ ⎪⎝⎭，再由1a =，求出10a ；利用通项公式判断出a 的值为2.【详解】∵()*12,21N 1,22n n n a n k a k a n k ++=-⎧⎪=∈⎨=⎪⎩∴222121222n n n a a a ++=+=+∴()2221442n n a a +-=-.∵1a a =，∴2122a a a =+=+，∴1122114(2)(2)422n n n n a a a a --⎛⎫⎛⎫-=-⋅⇒=-⋅+ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭.∴当1a =时，()410163124216a ⎛⎫=-+= ⎪⎝⎭.因为2212n n a a -=+，所以1211(2)22n n a a --⎛⎫=-⋅+ ⎪⎝⎭.要使{}n a 的所有项仅取有限个不同的值，则2a =，此时24n a =，212n a -=.否则2a ≠时，{}n a 取值有无穷多个.故6316；2.五、解答题17．已知()sin ,cos a x x ωω= ，()cos ,3cos b x x ωω= ，其中0ω>，函数()32f x a b a ⎛⎫=⋅- ⎪ ⎪⎝⎭的最小正周期为π.(1)求函数()f x 的单调递增区间；(2)在锐角ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，且满足322A f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，求a b 的取值范围.(1)单调递增区间为5πππ,π1212k k ⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦，k ∈Z(2)3,32a b ⎛⎫∈ ⎪ ⎪⎝⎭【分析】（1）根据向量数量积的坐标表示可知()sin 23f x x πω⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，由最小正周期为π可得1ω=，即可知()sin 23f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，再利用三角函数单调性即可求得()f x 的单调递增区间为5πππ,π1212k k ⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦，k ∈Z ；（2）根据三角形形状可得ππ62B <<，再由正弦定理得sin 3sin 2sin a A b B B==，又1sin ,12B ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以3,32a b ⎛⎫∈ ⎪ ⎪⎝⎭.【详解】（1）因为(sin ,cos )a x x ωω=，(cos ,3cos )b x x ωω= ，则22sin cos 1a x x ωω=+= ，(sin ,cos )(cos ,3cos )a b x x x x ωωωω⋅=⋅2sin cos 3cos x x xωωω=+133sin 2cos 2222x x ωω=++π3sin 232x ω⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，故2333()sin 22223f x a b a a b a a b x πω⎛⎫⎛⎫=⋅-=⋅-=⋅-=+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，因为()f x 最小正周期为π，所以2ππ2T ω==，所以1ω=，故()sin 23f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，由πππ2π22π232k x k -+≤+≤+，k ∈Z ，解得5ππππ1212k x k -+≤≤+，k ∈Z ，所以()f x 的单调递增区间为5πππ,π1212k k ⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦，k ∈Z .（2）由（1）及322A f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，即ππ3sin 2sin 2332A A ⎛⎫⎛⎫⨯+=+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，又π0,2A ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以π2π33A +=，解得π3A =，又ABC 为锐角三角形，即π02π02B C ⎧<<⎪⎪⎨⎪<<⎪⎩，即π02π0π2B B A ⎧<<⎪⎪⎨⎪<--<⎪⎩，解得ππ62B <<；由正弦定理得sin 3sin 2sin a A b B B==，又ππ62B <<，则1sin ,12B ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以3,32a b ⎛⎫∈ ⎪ ⎪⎝⎭.18．已知正项数列{}n a 满足11a =，2218n n a a n +-=.(1)求{}n a 的通项公式；(2)记sin π2n n n a b a ⎛⎫=⋅⋅ ⎪⎝⎭，求数列{}n b 的前2023项的和.(1)()221n a n =-(2)2023【分析】（1）由递推关系式，结合累加法求得2n a 的通项公式，分析可得{}n a 的通项公式；（2）根据n b 的关系式，结合并项求和即可得{}n b 的前2023项的和.【详解】（1）对任意的*n ∈N ，因为2218n n a a n +-=，当2n ≥时，()()2222221211n n n a a a a a a -=-++-+ ()81811n =-+⋅⋅⋅+⨯+()812311n =+++⋅⋅⋅+-+⎡⎤⎣⎦(1)812n n -=⨯+()221n =-，因为0n a >，故21n a n =-.当1n =时，11a =符合21n a n =-，所以21n a n =-，*n ∈N .（2）1sin π(1)(21)2n n n n a b a n +⎛⎫=⋅⋅=-- ⎪⎝⎭，所以当*k ∈N 时，()22141412k k b b k k ++=--++=，故1232023b b b b +++⋅⋅⋅+()()()1234520222023b b b b b b b =+++++⋅⋅⋅++1210112023=+⨯=.19．如图，圆锥DO 中，AE 为底面圆O 的直径，AE AD =，ABC 为底面圆O 的内接正三角形，圆锥的高18DO =，点P 为线段DO 上一个动点.(1)当36PO =时，证明：PA ⊥平面PBC ；(2)当P 点在什么位置时，直线PE 和平面PBC 所成角的正弦值最大.(1)证明见解析；(2)P 点在距离O 点36处【分析】（1）利用勾股定理证明出AP BP ⊥和AP CP ⊥，再用线面垂直的判定定理证明出PA ⊥平面PBC ；（2）建立空间直角坐标系，利用向量法求解.【详解】（1）因为AE AD =，AD DE =，所以ADE V 是正三角形，则3DAO π∠=，又DO ⊥底面圆O ，AE ⊂底面圆O ，所以DO AE ⊥，在Rt AOD 中，18DO =，所以633DO AO ==，因为ABC 是正三角形，所以32633182AB AO =⨯⨯=⨯=，2292AP AO PO =+=，BP AP =，所以222AP BP AB +=，AP BP ⊥，同理可证AP CP ⊥，又BP PC P = ，BP ，PC ⊂平面PBC ，所以PA ⊥平面PBC .（2）如图，建立以O 为原点的空间直角坐标系O xyz -.设PO x =，（018x ≤≤），所以()0,0,P x ，()33,9,0E -，()33,9,0B ，()63,0,0C -，所以()33,9,EP x =- ，()33,9,PB x =- ，()63,0,PC x =--，设平面PBC 的法向量为(),,n a b c = ，则3390630n PB a b cx n PC a cx ⎧⋅=+-=⎪⎨⋅=--=⎪⎩ ，令a x =，则3b x =-，63c =-，故(),3,63n x x =--，设直线PE 和平面PBC 所成的角为θ，则2222233936363sin cos ,10831081084108x x x x EP n x x x x x θ+-===+⋅+++⋅+ 222222636313108108454024540x x xx=≤=++⋅+，当且仅当2221084x x=，即36PO x ==时，直线PE 和平面PBC 所成角的正弦值最大，故P 点在距离O 点36处.20．一只不透朋的袋中装有10个相同的小球，分别标有数字0~9，先后从袋中随机取两只小球.用事件A 表示“第二次取出小球的标号是2”，事件B 表示“两次取出小球的标号之和是m ”.(1)若用不放回的方式取球，求()P A ；(2)若用有放回的方式取球，求证：事件A 与事件B 相互独立的充要条件是9m =.(1)110；(2)证明见解析.【分析】（1）根据给定条件，利用全概率公式计算作答.（2）利用列举法求出概率，结合独立性推理判断充分性，再利用条件概率公式推理判断必要性作答.【详解】（1）用C 表示“第一次取出小球的标号是2”，则1()10P C =，(|)0P A C =，9()10P C =，1(|)9P A C =，所以()()()()P A P CA CA P CA P CA =+=+()()()()P C P A C P C P A C =⨯+⨯191101010910=⨯+⨯=.（2）记第一次取出的球的标号为x ，第二次的球的标号为y ，用数组(),x y 两次取球，则()100n Ω=，充分性：当9m =时，事件B 发生包含的样本点为)(,(,5),(4,)),((,6),(3,)),((,7),921),,0,827,36,45()(81,9,0,，因此()101()()10010n B P B n ===Ω，事件AB 发生包含的样本点为()7,2，则()1()()100n AB P AB n ==Ω，又1()10P A =，于是()()()P AB P A P B =，所以事件A 与事件B 相互独立；必要性因为事件A 与事件B 相互独立，则()()()P AB P A P B =，即()()()P AB P A P B =，而1()10P A =，()()()()P AB n AB P B n B =，于是()1()10n AB n B =，事件AB 发生包含的样本点为()2,2m -，即()1n AB =，则()10n B =，又x y m +=，09x ≤≤，09y ≤≤，因此关于x 的不等式组0909x m x ≤≤⎧⎨≤-≤⎩，有10组整数解，即关于x 的不等式组099x m x m ≤≤⎧⎨-≤≤⎩，有10组整数解，从而990m m =⎧⎨-=⎩，得9m =，所以事件A 与事件B 相互独立的充要条件是9m =.21．已知椭圆E ：221164x y +=，椭圆上有四个动点A ，B ，C ，D ，//CD AB ，AD 与BC 相交于P 点.如图所示.(1)当A ，B 恰好分别为椭圆的上顶点和右顶点时，试探究：直线AD 与BC 的斜率之积是否为定值？若为定值，请求出该定值；否则，请说明理由；(2)若点P 的坐标为()8,6，求直线AB 的斜率.(1)是定值，定值为14(2)13-【分析】（1）由题意求出直线AB 的斜率，再求//CD AB 可设直线CD 的方程为()122y x t t =-+≠，设()11,D x y ，()22,C x y ，将直线方程代入椭圆方程化简，利用根与系数的关系，然后求解AD BC k k 即可；（2）设()33,A x y ，()44,B x y ，(),D x y ，记PD DA λ=，表示出点D 的坐标，将A ，D 两点的坐标代入椭圆方程，化简得3331220x y λλλ++-=，再由CD AB ∥可得PC CB λ=，从而可得4431220x y λλλ++-=，进而可得直线AB 的方程，则可求出其斜率.【详解】（1）由题意知，4a =，2b =，所以(0,2)A ，()4,0B ，所以12AB k =-，设直线CD 的方程为()122y x t t =-+≠，设()11,D x y ，()22,C x y ，联立直线CD 与椭圆的方程22116412x y y x t ⎧+=⎪⎪⎨⎪=-+⎪⎩，整理得222280x tx t -+-=，由()2244280t t ∆=-->，解得2222t -<<，且2t ≠，则122x x t +=，21228x x t =-，所以()()12121212111222244AD BCx t x t y y k kx x x x x ⎛⎫⎛⎫-+--+ ⎪⎪-⎝⎭⎝⎭==--21212212111()2424x x t x x t x tx x x -+++-=-2221121121442222244t t x t t x t x x x x x x --+-+--==--21214122844t x t x --==--，故直线AD 与BC 的斜率之积是定值，且定值为14.（2）设()33,A x y ，()44,B x y ，(),D x y ，记PD DA λ=(0λ≠)，得3386x x x y y y λλλλ-=-⎧⎨-=-⎩.所以338161x x y y λλλλ+⎧=⎪⎪+⎨+⎪=⎪+⎩.又A ，D 均在椭圆上，所以22332233116486111164x y x y λλλλ⎧+=⎪⎪⎪⎨++⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭⎪+=⎪⎩，化简得3331220x y λλλ++-=，因为CD AB ∥，所以PC CB λ=，同理可得4431220x y λλλ++-=，即直线AB ：31220x y λλλ++-=，所以AB 的斜率为13-.关键点睛：此题考查直线与椭圆的位置关系，考查椭圆中的定值问题，解题的关键是设出直线CD 的方程，代入椭圆方程中消元化简，再利用根与系数的关系，再利用直线的斜率公式表示出AD BC k k ，结合前面的式子化简计算可得结果，考查计算能力和数形结合的思想，属于较难题.22．已知函数21()ln 2f x x x ax =-，()(R)g x x a a =-+∈.(1)若y x =与()f x 的图象恰好相切，求实数a 的值；(2)设函数()()()F x f x g x =+的两个不同极值点分别为1x ，2x （12x x <）.（i ）求实数a 的取值范围；（ii ）若不等式112e x x λλ+<⋅恒成立，求正数λ的取值范围（e 2.71828=⋅⋅⋅为自然对数的底数）(1)22e a =(2)（i ）10,e ⎛⎫⎪⎝⎭（ii ）[)1,+∞【分析】（1）求导得到导函数，设出切点，根据切线方程的公式得到方程组，解得答案.（2）求导得到导函数，构造函数ln ()x h x a x=-，求导得到单调区间，计算极值确定1e a <，再排除0a ≤的情况，得到取值范围，确定1212lnx x a x x =-，设12x t x =，转化得到(1)(1)ln 0()t t t λλ+--<+，设出函数，求导计算单调区间，计算最值得到答案.【详解】（1）21()ln 2f x x x ax =-，()ln 1f x x ax =+-'，设y x =与()f x 的图象的切点为()00,x x ，则0020000ln 11 1ln 2x ax x x ax x +-=⎧⎪⎨-=⎪⎩，解得20e x =，22e a =.（2）（i ）21()()()ln 2F x f x g x x x x ax a =+=--+，定义域为()0,∞+，()ln F x x ax '=-.()ln 0F x x ax '=-=有两个不等实根1x ，2x ，考察函数ln ()x h x a x =-，21ln ()xh x x-'=，所以()e 0h '=，当0e x <<时，()0h x '>，所以()h x 在区间()0,e 上单调递增；当e x >时，()0h x '<，所以()h x 在区间()e,+∞上单调递减.故()h x 的极大值也是最大值为()1e eh a =-.因为()h x 有两个不同的零点，所以()e 0h >，即10ea ->，即1ea <；当0a ≤时，当e x >时，()0h x >恒成立，故()h x 至多一个零点，不符合题意，综上所述10ea <<下证：当10ea <<时，()h x 有两个不同的零点.()10h a =-<，()e 0h >，所以()h x 在区间()0,e 内有唯一零点；222111ln h a aaa ⎛⎫⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，令1t a =，考察函数()2ln t t t ϕ=-，2()1t t ϕ'=-，可得max ()2ln 220t ϕ=-<，所以210h a⎛⎫⎪⎭<⎝，所以()h x 在区间()e,+∞内有唯一零点.综上所述：a 的取值范围为10,e ⎛⎫⎪⎝⎭（ii ）由题设条件和（i ）可知：121x e x <<<，11ln x ax =，22ln x ax =，所以：11221212lnln ln x x x x a x x x x -==--，若不等式112ex x λλ+<⋅恒成立，两边取对数得12ln ln 1x x λλ-<-，所以()1112221212121122ln ln1ln ln 1x x x x x x x x ax a x x x x x x x λλλλλ⎛⎫+ ⎪⎝⎭+<+=+=⋅+=--，令12x t x =，则()0,1t ∈，()ln 11t t t λλ++<-恒成立，所以(1)(1)ln 0()t t t λλ+--<+在()0,1t ∈时恒成立.令(1)(1)()ln ()t h t t t λλ+-=-+，()0,1t ∈，则()2222(1)1(1)()()()t t h t t t t t λλλλ--+'=-=++.若21λ≥，即1λ≥，则当()0,1t ∈时()0h t '>，故()h t 在()0,1上单调递增，所以()()10h t h <=恒成立，满足题意；若01λ<<，则当()2,1t λ∈时有()0h t '<，故()h t 在()2,1λ上单调递减，所以当()2,1t λ∈时，()()10h t h <=，不满足题意.综上所述，正数λ的取值范围为[)1,+∞.关键点睛：本题考查了利用切线求参数，根据极值点求参数，不等式恒成立问题，意在考查学生的计算能力，转化能力和综合应用能力，其中变换得到1212lnx x a x x =-，再利用换元法构造函数求最值是解题的关键.。

2024届江苏省南京市雨花台中学高考三模数学试题

2024届江苏省南京市雨花台中学高考三模数学试题一、单选题1．集合{N14}A x x =∈-<<∣的子集个数为（） A ．2B ．4C ．8D ．162．将编号为1,2,3,4的4个小球随机放入编号为1,2,3,4的4个凹槽中，每个凹槽放一个小球，则至少有2个凹槽与其放入小球编号相同的概率是（） A ．14B ．724C ．712D ．17243．已知复数z 满足2z z z z -=+，则复数z 在复平面内对应点的轨迹为（） A ．圆B ．椭圆C ．双曲线D ．抛物线4．已知方程2sin 2sin cos 2sin 4cos 0ααααα+--=，则2cos sin cos ααα-=（）A ．45-B ．35C ．35- D ．455．在平行四边形ABCD 中，点E ，F 分别满足12BE BC =u u u r u u u r ，13DF DC =u u u r u u u r ．若λ=+u u u r u u u rBD AE μu u r AF ，则实数λ＋μ的值为（） A ．15-B ．15C ．75-D ．756．已知e lg3a =，()lg ln3b =，1ln 3c =，则a ，b ，c 的大小关系是（） A ．c b a <<B ．a c b <<C ．c a b <<D ．b c a <<7．已知球O 的直径为PC A B =、是球面上两点，且π3PA PB APB =∠=，则三棱锥P ABC -的体积（）AB C D 8．已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的左，右顶点分别为12,,A A P 是双曲线上不同于1A ，2A 的一点，设直线12,A P A P 的斜率分别为12,k k ，则当()12ln ak k b+取得最小值时，双曲线C 的离心率为（）AB C D ．2二、多选题9．下列命题中正确的是（）A ．已知随机变量16,3XB ⎛⎫⎪⎝⎭:，则()3212D X +=B ．()()()P B P AB P AB =+C ．已知一组数据：7，7，8，9，5，6，8，8，则这组数据的第30百分位数是8D ．某小组调查5名男生和5名女生的成绩，其中男生成绩的平均数为9，方差为11；女生成绩的平均数为7，方差为8，则这10名学生成绩的方差为10.510．在棱长为3的正方体111ABCD A B C D -中，M 是11A B 的中点，N 在该正方体的棱上运动，则下列说法正确的是（）A ．存在点N ，使得1//MN BCB ．三棱锥M —11A BC 的体积等于94C ．有且仅有两个点N ，使得MN ∥平面11A BCD ．有且仅有三个点N ，使得N 到平面11A BC11．下列等式中正确的是（）A ．8881C 2k k ==∑B ．82392C C k k ==∑C ．82111!8!k k k =-=-∑ D ．()8828160C C k k ==∑三、填空题12．已知圆22:2O x y +=，过点()1,3M 的直线l 交圆O 于A ，B 两点，且2AB =，则直线l 的方程为.13．分形几何学的创立为解决传统科学众多领域的难题提供了全新的思路.图1是长度为1的线段，将图1中的线段三等分，以中间部分的线段为边，向外作等边三角形，再将中间部分的线段去掉得到图2，称为“一次分形”；用同样的方法把图2中的每条线段重复上述操作，得到图3，称为“二次分形”……，依次进行“n 次分形”（n *∈N ）.规定：一个分形图中所有线段的长度之和为该分形图的长度，要得到一个长度不小于30的分形图，则n 的最小整数值是.（取1g30.4771≈，lg20.3010≈）14．古希腊数学家托勒密在他的名著《数学汇编》里给出了托勒密定理，即圆的内接凸四边形的两对对边乘积的和等于两条对角线的乘积.已知AC BD ，为圆的内接四边形ABCD 的两条对角线，sin :sin :sin CBD BDC BAD ∠∠∠=4AC =，则ABD △面积的最大值为.四、解答题15．在三角形ABC 中，角A B C ，，所对的边分别为a b c ，，，已知()(sin sin )(sin sin )a c A C b A B -+=-.（Ⅰ）求角C 的大小；（Ⅱ）若c b c …，求12b a -的取值范围. 16．如图1，在直角梯形ABCD 中，,,45,6,2,,AB DC AB BC BAD AB CD E F ⊥∠=︒==∥分别为,AD BC 的中点，沿EF 将平面EFCD 折起，使二面角C EF B --的大小为60︒，如图2所示，设,M N 分别为,AB BF 的中点，P 为线段AD 上的动点（不包括端点）．(1)求证：CN AE ⊥；(2)若直线MP 与平面ADE 所成角的正弦值是35，求AP AD ．17．学习强国中有两项竞赛答题活动，一项为“双人对战”，另一项为“四人赛”．活动规则如下：一天内参与“双人对战”活动，仅首局比赛可获得积分，获胜得2分，失败得1分；一天内参与“四人赛”活动，仅前两局比赛可获得积分，首局获胜得3分，次局获胜得2分，失败均得1分．已知李明参加“双人对战”活动时，每局比赛获胜的概率为12；参加“四人赛”活动（每天两局）时，第一局和第二局比赛获胜的概率分别为p ，13．李明周一到周五每天都参加了“双人对战”活动和“四人赛”活动（每天两局），各局比赛互不影响． (1)求李明这5天参加“双人对战”活动的总得分X 的分布列和数学期望；(2)设李明在这5天的“四人赛”活动（每天两局）中，恰有3天每天得分不低于3分的概率为()f p ．求p 为何值时，()f p 取得最大值．18．已知平面直角坐标系xOy 中，椭圆2222:1(0)x y E a b a b+=>>与双曲线2222:1x y C b a -=．(1)若E 的长轴长为8，短轴长为4，直线()1:2l y kx m k =+≠±与C 有唯一的公共点M ，过M 且与1l 垂直的直线分别交x 轴，y 轴于点()(),0,0,A x B y 两点，当M 运动时，求点(),D x y 的轨迹方程；(2)若E 的长轴长为4，短轴长为2，过E 的左焦点1F 作直线2l 与E 相交于,P Q 两点（P 在x 轴上方），分别过,P Q 作E 的切线，两切线交于点N ，求NPQ △面积的最小值． 19．已知 a n 是由正整数组成的无穷数列，该数列前n 项的最大值记为n M ，即{}12max ,,,n n M a a a =⋅⋅⋅；前n 项的最小值记为n m ，即{}12min ,,,n n m a a a =⋅⋅⋅，令n n n p M m =-（1,2,3,n =⋅⋅⋅），并将数列{}n p 称为 a n 的“生成数列”． (1)若3n n a =，求其生成数列{}n p 的前n 项和； (2)设数列{}n p 的“生成数列”为{}n q ，求证：n n p q =；(3)若{}n p 是等差数列，证明：存在正整数0n ，当0n n ≥时，n a ，1n a +，2n a +，⋅⋅⋅是等差数列．。

2022年江苏省南京市高考数学模拟试卷(5月份)(三模)+答案解析(附后)

2022年江苏省南京市高考数学模拟试卷（5月份）（三模）一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。

在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.已知R 为实数集，集合，，则( )A.B.C.D.2.已知i 为虚数单位，复数z 满足，则( )A.B.C.D. 3.为庆祝中国共青团成立100周年，某校计划举行庆祝活动，共有4个节目，要求A 节目不排在第一个，则节目安排的方法数为( )A. 9 B. 18C. 24D. 274.函数的部分图象大致为( )A. B. C. D.5.我们知道，任何一个正整数N 可以表示成，此时当时，N 是一个位数．已知，则是位数．( )A. 71B. 70C. 69D. 686.的展开式中，记项的系数为若，则a 的值为( )A. 0 B. 1C. 2D. 37.已知函数的图象与y 轴的交点为，与x 轴正半轴最靠近y 轴的交点为，y 轴右侧的第一个最高点与第一个最低点分别为B ，若的面积为其中O 为坐标原点，则函数的最小正周期为( )A. 5B. 6C. 7D. 88.已知，若，，则实数m 的取值范围是( )A. B. C. D.二、多选题：本题共4小题，共20分。

在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。

全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。

9.设，，则下列说法正确的是( )A.B. “”是“”的充分不必要条件C. “”是“”的必要不充分条件D. ，使得10.在平面直角坐标系xOy中，已知圆C：，则下列说法正确的是( )A. 若，则点O在圆C外B. 圆C与x轴相切C. 若圆C截y轴所得弦长为，则D. 点O到圆C上一点的最大距离和最小距离的乘积为11.连续抛掷一枚质地均匀的硬币3次，每次结果要么正面向上，要么反面向上，且两种结果等可能．记事件A表示“3次结果中有正面向上，也有反面向上”，事件B表示“3次结果中最多一次正面向上”，事件C表示“3次结果中没有正面向上”，则( )A. 事件B与事件C互斥B.C. 事件A与事件B独立D. 记C的对立事件为，则12.在一个圆锥中，D为圆锥的顶点，O为圆锥底面圆的圆心，P为线段DO的中点，AE为底面圆的直径，是底面圆的内接正三角形，，则下列说法正确的是( )A. 平面PACB. 平面PBCC. 在圆锥侧面上，点A到DB中点的最短距离为D. 记直线DO与过点P的平面所成的角为，当时，平面与圆锥侧面的交线为椭圆三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

【数学解析版】南京2020届高三年级三模数学卷(解析版)

6
EF 平面 PCD ， DG 平面 PCD EF / / 平面 PCD （2）四边形 ABCD 是矩形 AB AD 平面 PAD 平面 ABCD 平面 PAD 平面 ABCD AD AB 平面 ABCD AB 平面 PAD PD 平面 PAD AB PD PA PD AB PA A AB, PA 平面 PAB PD 平面 PAB PD 平面 PCD 平面 PAB 平面 PCD 【点评】第一问考查线面平行的判定定理，第二问考查面面垂直的性质定理，以及面面垂直的判定定理，属于基础题型。（优能中学教育）
S 0 For i From 1 To 4
S S i End For Pr int S
第4题 5. 将甲、乙、丙三人随机排成一行，则甲、乙两人相邻的概率为_______. 【答案】 2
3 【解析】列举法：甲乙丙，甲丙乙，乙甲丙，乙丙甲，丙甲乙，丙乙甲，共 6 种排列方式，甲乙相邻的排列方式有 4 种，故概率为 2
【解析】（1）取 PC 中点Ｇ，并连接 DG ， FG 在 PBC 中， F,G 分别为 PB, PC 中点 FG / /BC, FG 1 BC
2 四边形 ABCD 是矩形 AD / /BC, AD BC FG / / AD, FG 1 AD
2 E 为 AD 中点 FG / /ED, FG ED 四边形 DEFG 为平行四边形 EF //DG
2 10
5
2
,
3 4
2
,
3 2
sin 2 1 cos2 2 4 5
sin
72 10
,
且
0,
2
cos 1 sin 2 2 10
sin 2 sin 2 cos cos 2 sin 4 2 ( 3 7 2) 2

2021年江苏省南京市高考数学三模试卷(解析版)

2021年江苏省南京市高考数学三模试卷一、单项选择题（每小题5分）．1．已知集合A＝{x|2x＜4}，B＝{x|x2﹣2x﹣3≤0}，则A∪B＝（）A．[﹣1，2）B．（2，3]C．（﹣1，3]D．（﹣∞，3]2．已知i为虚数单位，若复数z＝+，则复数的虚部为（）A．B．C．D．3．函数y＝ln|x|+cos x的大致图象是（）A．B．C．D．4．将5名学生分配到A，B，C，D，E这5个社区参加义务劳动，每个社区分配1名学生，且学生甲不能分配到A社区，则不同的分配方法种数是（）A．72B．96C．108D．1205．已知cos（）＝，则sin（2）+cos2（）的值为（）A．B．C．D．16．声音的强弱可以用声波的能流密度来计算，叫做声强．通常人耳能听到声音的最小声强为I0＝10﹣12（瓦/米2）．对于一个声音的声强Ⅰ，用声强Ⅰ与Ⅰ0比值的常用对数的10倍表示声强Ⅰ的声强级，单位是“分贝”，即声强Ⅰ的声强级是10lg（分贝）．声音传播时，在某处听到的声强Ⅰ与该处到声源的距离s的平方成反比，即Ⅰ＝（k为常数）．若在距离声源15米的地方，听到声音的声强级是20分贝，则能听到该声音（即声强不小于Ⅰ0）的位置到声源的最大距离为（）A．100米B．150米C．200米D．15米7．在正方形ABCD中，O为两条对角线的交点，E为边BC上的动点．若＝+（λ，μ＞0），则+的最小值为（）A．2B．5C．D．8．已知a，b，c均为不等于1的正实数，且lna＝clnb，lnc＝blna，则a，b，c的大小关系是（）A．c＞a＞b B．b＞c＞a C．a＞b＞c D．a＞c＞b二、多项选择题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分）9．面对新冠肺炎疫情冲击，我国各地区各部门统筹疫情防控和经济社会发展均取得显著成效．如表显示的是2020年4月份到12月份中国社会消费品零售总额数据，其中同比增长率是指和去年同期相比较的增长率，环比增长率是指与上个月份相比较的增长率，则下列说法正确的是（）中国社会消费品零售总额月份零售总额（亿元）同比增长环比增长累计（亿元）428178﹣7.50% 6.53%106758531973﹣2.80%13.47%138730633526﹣1.80% 4.86%172256732203﹣1.10%﹣3.95%2044598335710.50% 4.25%238029935295 3.30% 5.14%2733241038576 4.30%9.30%3119011139514 5.00% 2.43%3514151240566 4.60% 2.66%391981 A．2020年4月份到12月份，社会消费品零售总额逐月上升B．2020年4月份到12月份，11月份同比增长率最大C．2020年4月份到12月份，5月份环比增长率最大D．第4季度的月消费品零售总额相比第2季度的月消费品零售总额，方差更小10．定义曲线Γ：＝1为椭圆C：＝1（a＞b＞0）的伴随曲线，则（）A．曲线Γ有对称轴B．曲线Γ没有对称中心C．曲线Γ有且仅有4条渐近线D．曲线Γ与椭圆C有公共点11．已知正四棱台的上底面边长为，下底面边长为2，侧棱长为2，则（）A．棱台的侧面积为6B．棱台的体积为14C．棱台的侧棱与底面所成角的余弦值为D．棱台的侧面与底面所成锐二面角的余弦值为12．已知函数f（x）＝3sin2x+4cos2x，g（x）＝f（x）+|f（x）|．若存在x0∈R，使得对任意x∈R，f（x）≥f（x0），则（）A．任意x∈R，f（x+x0）＝f（x﹣x0）B．任意x∈R，f（x）≤f（x0+）C．存在θ＞0，使得g（x）在（x0，x0+θ）上有且仅有2个零点D．存在θ＞﹣，使得g（x）在（x0，x0+θ）上单调递减三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分)13．（3x2+）5的展开式中的常数项为．14．写出一个离心率为，渐近线方程为y＝±2x的双曲线方程为．15．早在15世纪，达•芬奇就曾提出一种制作正二十面体的方法：如图1，先制作三张一样的黄金矩形ABCD（＝），然后从长边CD的中点E出发，沿着与短边平行的方向剪开一半，即OE＝AD，再沿着与长边AB平行的方向剪出相同的长度，即OF ＝OE，将这三个矩形穿插两两垂直放置，连结所有顶点即可得到一个正二十面体，如图2若黄金矩形的短边长为4，则按如上制作的正二十面体的表面积为，其外接球的表面积为．16．已知直线y＝kx+b与曲线y＝x2+cos x相切，则+b的最大值为．四、解答题（本大题共6小题，共70分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．已知四边形ABCD中，AC与BD交于点E，AB＝2BC＝2CD＝4．（1）若∠ADC＝，AC＝3，求cos∠CAD；（2）若AE＝CE，BE＝2，求△ABC的面积．18．已知等差数列{a n}满足：a1+3，a3，a4成等差数列，且a1，a3，a8成等比数列．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）在任意相邻两项a k与a k+1（k＝1，2，…）之间插入2k个2，使它们和原数列的项构成一个新的数列{b n}．记S n为数列{b n}的前n项和，求满足S n＜500的n的最大值．19．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，四边形ABCD为直角梯形，AD∥BC，∠ABC＝90°，AD＝2BC＝2AB＝4，△PAD为等边三角形，E为PD的中点，直线AB与CE所成角的大小为45°．（1）求证：平面PAD⊥平面ABCD；（2）求平面PAB与平面PCD所成角的正弦值．20．某乒乓球教练为了解某同学近期的训练效果，随机记录了该同学40局接球训练成绩，每局训练时教练连续发100个球，该同学每接球成功得1分，否则不得分，且每局训练结果相互独立，得到如图所示的频率分布直方图．（1）同一组数据用该区间的中点值作代表，①求该同学40局接球训练成绩的样本平均数．②若该同学的接球训练成绩X近似地服从正态分布N（μ，100），其中μ近似为样本平均数，求P（54＜X＜64）的值；（2）为了提高该同学的训练兴趣，教练与他进行比赛．一局比赛中教练连续发100个球，该同学得分达到80分为获胜，否则教练获胜．若有人获胜达3局，则比赛结束，记比赛的局数为Y．以频率分布直方图中该同学获胜的频率作为概率，求E（Y）．参考数据：若随机变量ξ～N（μ，σ2），则P（μ﹣σ＜ξ＜μ+σ）≈0.6827，P（μ﹣2σ＜ξ＜μ+2σ）≈0.9545，P（μ﹣3σ＜ξ＜μ+3σ）≈0.9973．21．在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线C：y2＝4x，经过P（t，0）（t＞0）的直线l 与C交于A，B两点．（1）若t＝4，求AP长度的最小值；（2）设以AB为直径的圆交x轴于M，N两点，问是否存在t，使得＝﹣4？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由．22．已知函数f（x）＝+alnx，a∈R．（1）若a＜e，求函数f（x）的单调区间；（2）若a＞e，求证：函数f（x）有且仅有1个零点．参考答案一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．已知集合A＝{x|2x＜4}，B＝{x|x2﹣2x﹣3≤0}，则A∪B＝（）A．[﹣1，2）B．（2，3]C．（﹣1，3]D．（﹣∞，3]解：∵A＝{x|x＜2}，B＝{x|﹣1≤x≤3}，∴A∪B＝（﹣∞，3]．故选：D．2．已知i为虚数单位，若复数z＝+，则复数的虚部为（）A．B．C．D．解：∵z＝+，∴，∴复数的虚部为﹣．故选：B．3．函数y＝ln|x|+cos x的大致图象是（）A．B．C．D．解：根据题意，设f（x）＝ln|x|+cos x，其定义域为{x|x≠0}，则f（﹣x）＝ln|x|+cos x＝f（x），y＝ln|x|+cos x为偶函数，排除BD，在区间（e，+∞）上，lnx＞1，﹣1≤cos x≤1，则f（x）＞0，排除A，故选：C．4．将5名学生分配到A，B，C，D，E这5个社区参加义务劳动，每个社区分配1名学生，且学生甲不能分配到A社区，则不同的分配方法种数是（）A．72B．96C．108D．120解：根据题意，分2步进行分析：①学生甲不能分配到A社区，则甲有4种安排方法，②剩下的4人安排到其余4个社区，则有A44＝24种分配方法，则有4×24＝96种分配方法，故选：B．5．已知cos（）＝，则sin（2）+cos2（）的值为（）A．B．C．D．1解：由cos（）＝，得sin（2）＝sin[2（α﹣）+]＝cos2（）＝，再由cos（）＝，得，可得cos2（）＝，∴sin（2）+cos2（）＝．故选：D．6．声音的强弱可以用声波的能流密度来计算，叫做声强．通常人耳能听到声音的最小声强为I0＝10﹣12（瓦/米2）．对于一个声音的声强Ⅰ，用声强Ⅰ与Ⅰ0比值的常用对数的10倍表示声强Ⅰ的声强级，单位是“分贝”，即声强Ⅰ的声强级是10lg（分贝）．声音传播时，在某处听到的声强Ⅰ与该处到声源的距离s的平方成反比，即Ⅰ＝（k为常数）．若在距离声源15米的地方，听到声音的声强级是20分贝，则能听到该声音（即声强不小于Ⅰ0）的位置到声源的最大距离为（）A．100米B．150米C．200米D．15米解：由题意可知20＝10lg，解得I＝1×10﹣10，由得k＝Is2＝10﹣10×152＝2.25×10﹣8，由人耳能听到的最小声强为10﹣12，∴s＝＝150，故选：B．7．在正方形ABCD中，O为两条对角线的交点，E为边BC上的动点．若＝+（λ，μ＞0），则+的最小值为（）A．2B．5C．D．解：如图所示，以点A为原点，以AB，AD所在直线为x，y轴建立平面直角坐标系，设正方形的边长为1，则A（0，0），B（1，0），C（1，1），D（0，1），则根据中点坐标公式可得O（），设点E的坐标为（1，m），则由＝+（λ，μ＞0），可得（1，m）＝λ（1，1）+μ（），所以1＝，则＝（）（）＝＝，当且仅当，即λ＝μ时取等号，此时的最小值为，故选：C．8．已知a，b，c均为不等于1的正实数，且lna＝clnb，lnc＝blna，则a，b，c的大小关系是（）A．c＞a＞b B．b＞c＞a C．a＞b＞c D．a＞c＞b解：令a＝e，则，∴c＝e b，代入1＝clnb得，e b lnb﹣1＝0，设f（b）＝e b lnb﹣1，则f′（b）＝e b lnb+＝e b（lnb+），设h（b）＝lnb+，h′（b）＝﹣＝，当0＜b＜1时，h′（b）＜0，当b＞1时，h′（b）＞0，又∵b≠1，h（b）的最小值大于1，即f′（b）＞0，∴f（b）＝e b lnb﹣1为增函数，∵f（1）＝﹣1＜0，f（e）＝e e﹣1＞0，∴f（1）•f（e）＜0，∴b∈（1，e），∵c＝e b∈（e，e e），∴c＞a＞b．故选：A．二、多项选择题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分）9．面对新冠肺炎疫情冲击，我国各地区各部门统筹疫情防控和经济社会发展均取得显著成效．如表显示的是2020年4月份到12月份中国社会消费品零售总额数据，其中同比增长率是指和去年同期相比较的增长率，环比增长率是指与上个月份相比较的增长率，则下列说法正确的是（）中国社会消费品零售总额月份零售总额（亿元）同比增长环比增长累计（亿元）428178﹣7.50% 6.53%106758531973﹣2.80%13.47%138730633526﹣1.80% 4.86%172256732203﹣1.10%﹣3.95%2044598335710.50% 4.25%238029935295 3.30% 5.14%2733241038576 4.30%9.30%3119011139514 5.00% 2.43%3514151240566 4.60% 2.66%391981 A．2020年4月份到12月份，社会消费品零售总额逐月上升B．2020年4月份到12月份，11月份同比增长率最大C．2020年4月份到12月份，5月份环比增长率最大D．第4季度的月消费品零售总额相比第2季度的月消费品零售总额，方差更小解：选项A：6月到7月为下降，故A错误；由图表中的数据，可以直接判断出选项B、C、D均正确，故选：BCD．10．定义曲线Γ：＝1为椭圆C：＝1（a＞b＞0）的伴随曲线，则（）A．曲线Γ有对称轴B．曲线Γ没有对称中心C．曲线Γ有且仅有4条渐近线D．曲线Γ与椭圆C有公共点解：x轴和y轴为伴随曲线的对称轴，故A正确；伴随曲线关于原点对称，故选项B错误；伴随曲线有4条渐近线分别为：x＝±a，y＝±b，故选项C正确；由椭圆中x∈[﹣a，a]，y∈[﹣b，b]，而伴随曲线中，x＞a，x＜﹣a，y＞b，y＜﹣b，故选项D错误，故选：AC．11．已知正四棱台的上底面边长为，下底面边长为2，侧棱长为2，则（）A．棱台的侧面积为6B．棱台的体积为14C．棱台的侧棱与底面所成角的余弦值为D．棱台的侧面与底面所成锐二面角的余弦值为解：作正四棱台如图所示，对于A，过A1作A1H⊥AB于H，AH＝（AB﹣A1B1）＝，所以A1H＝＝，所以棱台的侧面积为4•＝6，所以A对；对于B，连接AC、A1C1，过A1作A1A⊥AC于M，过C1作C1C⊥AC于N，A1C1＝＝2，AC＝2＝4，AM＝（AC﹣A1C1）＝1，A1M＝，上底面面积，下底面面积，棱台的体积为V＝＝＝≠14，所以B错；对于C，因为AM为AA在底面的投影，所以∠A1AM为侧棱与底面所成角，cos∠A1AM＝＝，所以C对；对于D，∠A1HM为侧面与底面所成锐二面角的平面角，cos∠A1HM＝＝＝，所以D对．故选：ACD．12．已知函数f（x）＝3sin2x+4cos2x，g（x）＝f（x）+|f（x）|．若存在x0∈R，使得对任意x∈R，f（x）≥f（x0），则（）A．任意x∈R，f（x+x0）＝f（x﹣x0）B．任意x∈R，f（x）≤f（x0+）C．存在θ＞0，使得g（x）在（x0，x0+θ）上有且仅有2个零点D．存在θ＞﹣，使得g（x）在（x0，x0+θ）上单调递减解：函数f（x）＝3sin2x+4cos2x＝5sin（2x+φ），其中φ为锐角，且cosφ＝，由题意，x0是f（x）的最小值点，所以f（x）关于x＝x0对称，所以f（x﹣x0）≠f（﹣x+x0）＝f（x+x0），故A错误；因为f（x）的最小正周期T＝＝π，所以f（x0+）为最大值，所以任意x∈R，f（x）≤f（x0+），故B正确；因为f（x0）＜0，且f（x0+）＝0，在（x0，x0+）中，f（x）＜0，此时g（x）恒为0，故不存在θ＞0，使得g（x）在（x0，x0+θ）上有且仅有2个零点，故C错误；取θ＝﹣，则在（x0，x0+θ）内，f（x）单调递减，且f（x）＞0，所以g（x）＝2f（x）单调递减，故D正确．故选：BD．三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分)13．（3x2+）5的展开式中的常数项为270．解：二项式（3x2+）5的通项公式为T r+1＝•（3x2）5﹣r（）r＝•35﹣r•x10﹣5r，令10﹣5r＝0，解得r＝2，所以二项式（3x2+）5的展开式中的常数项为：•33＝270．故答案为：270．14．写出一个离心率为，渐近线方程为y＝±2x的双曲线方程为．解：不妨设双曲线方程为，则由题意可得，，取a＝1，解得，∴双曲线方程为．故答案为：．15．早在15世纪，达•芬奇就曾提出一种制作正二十面体的方法：如图1，先制作三张一样的黄金矩形ABCD（＝），然后从长边CD的中点E出发，沿着与短边平行的方向剪开一半，即OE＝AD，再沿着与长边AB平行的方向剪出相同的长度，即OF ＝OE，将这三个矩形穿插两两垂直放置，连结所有顶点即可得到一个正二十面体，如图2若黄金矩形的短边长为4，则按如上制作的正二十面体的表面积为80，其外接球的表面积为（40+80）π．解：由题目中的图2可得正二十面体的表面是二十个全等的等边三角形，边长为4，所以表面积为；由得长边2y＝，根据对称性可知，外接球球心在所有黄金矩形对角线的交点处，直径就是黄金矩形的对角线长度，即2R＝，所以外接球的体积为4πR2＝＝．故答案为：；．16．已知直线y＝kx+b与曲线y＝x2+cos x相切，则+b的最大值为．解：y＝f（x）＝x2+cos x的导数为f′（x）＝2x﹣sin x，由于（2x﹣sin x）′＝2﹣cos x＞0，可得2x﹣sin x为增函数，当x≥0时，2x﹣sin x≥0，则y＝f（x）递增，可得f（x）≥f（0）＝1，因为y＝f（x）为偶函数，可得f（x）在（﹣∞，0）递减，问题转化为x2+cos x≥kx+b对x∈R恒成立．当x＝时，+b≤，当+b＝时，令f′（）﹣k＝0，即k＝π﹣1，所以b＝，此时x2+cos x≥（π﹣1）x+，而y＝（π﹣1）x+为f（x）在x＝处的切线方程．则+b的最大值为．故答案为：．四、解答题（本大题共6小题，共70分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．已知四边形ABCD中，AC与BD交于点E，AB＝2BC＝2CD＝4．（1）若∠ADC＝，AC＝3，求cos∠CAD；（2）若AE＝CE，BE＝2，求△ABC的面积．解：（1）在△ACD中，∠ADC＝，AC＝3，CD＝2，可得＝，即有sin∠CAD＝＝＝，可得cos∠CAD＝＝；（2）在△ABC中，AB＝4，BC＝2，BE＝2，设AE＝BE＝x，∠AEB＝α，∠CEB＝π﹣α，由余弦定理可得cosα＝＝﹣，解得x＝，cosα＝﹣，sinα＝＝，所以△ABC的面积为2×x•2sinα＝×2×＝．18．已知等差数列{a n}满足：a1+3，a3，a4成等差数列，且a1，a3，a8成等比数列．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）在任意相邻两项a k与a k+1（k＝1，2，…）之间插入2k个2，使它们和原数列的项构成一个新的数列{b n}．记S n为数列{b n}的前n项和，求满足S n＜500的n的最大值．解：（1）设等差数列{a n}的公差为d，由a1+3，a3，a4成等差数列，可得2a3＝a1+3+a4，即为2（a1+2d）＝2a1+3+3d，可得d＝3，a1，a3，a8成等比数列，可得a32＝a1a8，即为（a1+6）2＝a1（a1+21），解得a1＝4，所以a n＝4+3（n﹣1）＝3n+1；（2）由于任意相邻两项a k与a k+1（k＝1，2，…）之间有2k个2，当k＝6时，取{a n}中前6项，以及（2+4+8+16+32+64）＝126个2，可得S132＝×6×（4+19）+126×2＝321＜500；当k＝7时，取{a n}中前7项，以及（2+4+8+16+32+64+128）＝254个2，可得S261＝×7×（4+22）+254×2＝599＞500．所以[b n}中前261项去掉倒数50个2，可得S211＝599﹣100＝499．则满足S n＜500的n的最大值为211．19．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，四边形ABCD为直角梯形，AD∥BC，∠ABC＝90°，AD＝2BC＝2AB＝4，△PAD为等边三角形，E为PD的中点，直线AB与CE所成角的大小为45°．（1）求证：平面PAD⊥平面ABCD；（2）求平面PAB与平面PCD所成角的正弦值．【解答】（1）证明：取AD中点O，连接OC、OP、OE，因为四边形ABCD为直角梯形，AD∥BC，∠ABC＝90°，AD＝2BC＝2AB＝4，所以OC⊥AD，四边形ABCO是边长为2的正方形，因为△PAD为等边三角形，E为PD的中点，AD＝4，所以OE＝PD＝2，因为直线AB与CE所成角的大小为45°，OC∥AB，所以∠OCE＝45°，又因为OC＝2＝OE，所以∠OECD＝∠OCE＝45°，于是OC⊥OE，因为OE∩AD＝O，OE、AD⊂平面PAD，所以OC⊥平面PAD，又因为OC⊂平面ABCD，所以平面ABCD⊥平面PAD，故平面PAD⊥平面ABCD．（2）解：由（1）知OC、OD、OP两两垂直，建立如图所示的空间直角坐标系，＝（0，2，2），＝（2，0，0），＝（0，﹣2，2），＝（2，﹣2，0），设平面PAB和平面PCD的法向量分别为＝（x，y，z），＝（u，v，w），，令z＝﹣1，＝（0，，﹣1），，令w＝1，＝（，，1），设平面PAB与平面PCD所成角大小为θ，|cosθ|＝＝＝，sinθ＝＝＝，所以平面PAB与平面PCD所成角的正弦值为．20．某乒乓球教练为了解某同学近期的训练效果，随机记录了该同学40局接球训练成绩，每局训练时教练连续发100个球，该同学每接球成功得1分，否则不得分，且每局训练结果相互独立，得到如图所示的频率分布直方图．（1）同一组数据用该区间的中点值作代表，①求该同学40局接球训练成绩的样本平均数．②若该同学的接球训练成绩X近似地服从正态分布N（μ，100），其中μ近似为样本平均数，求P（54＜X＜64）的值；（2）为了提高该同学的训练兴趣，教练与他进行比赛．一局比赛中教练连续发100个球，该同学得分达到80分为获胜，否则教练获胜．若有人获胜达3局，则比赛结束，记比赛的局数为Y．以频率分布直方图中该同学获胜的频率作为概率，求E（Y）．参考数据：若随机变量ξ～N（μ，σ2），则P（μ﹣σ＜ξ＜μ+σ）≈0.6827，P（μ﹣2σ＜ξ＜μ+2σ）≈0.9545，P（μ﹣3σ＜ξ＜μ+3σ）≈0.9973．解：（1）①平均数＝（55×0.010+65×0.020+75×0.045+85×0.020+95×0.005）×10＝74；②由题意知，μ＝＝74，σ＝10，所以P（μ﹣σ＜X＜μ+σ）＝P（64＜X＜84）≈0.6827，P（μ﹣2σ＜X＜μ+2σ）＝P（54＜X＜94）≈0.9545，所以P（54＜X＜64）＝＝0.1359．（2）以频率估计概率，则该同学获胜的概率为（0.020+0.005）×10＝0.25＝，随机变量Y的取值为3，4，5，所以P（Y＝3）＝+＝，P（Y＝4）＝×××+×××＝，P（Y＝5）＝×××+×××＝，所以E（Y）＝3×+4×+5×＝．21．在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线C：y2＝4x，经过P（t，0）（t＞0）的直线l 与C交于A，B两点．（1）若t＝4，求AP长度的最小值；（2）设以AB为直径的圆交x轴于M，N两点，问是否存在t，使得＝﹣4？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由．解：（1）设A（，y0），由P（4，0），可得|AP|2＝（﹣4）2+y02＝﹣y02+16＝（y02﹣8）2+12≥12，当y0＝±2时，|AP|取得最小值2；（2）设直线AB的方程为x＝my+t，A（x1，y1），B（x2，y2），联立可得y2﹣4my﹣4t＝0，即有y1+y2＝4m，y1y2＝﹣4t，设以AB为直径的圆上任一点Q（x，y），M（x3，0），N（x4，0），所以Q的轨迹方程为（x﹣x1）（x﹣x2）+（y﹣y1）（y﹣y2）＝0，x1+x2＝m（y1+y2）+2t＝4m2+2t，x1x2＝（my1+t）（my2+t）＝m2y1y2+mt（y1+y2）+t2＝﹣4m2t+4m2t+t2＝t2，所以Q的轨迹方程化为x2﹣（4m2+2t）x+t2+y2﹣4my﹣4t＝0，令y＝0，x2﹣（4m2+2t）x+t2﹣4t＝0，设上式方程的两根分别为x3，x4，可得x3x4＝﹣4，即有t2﹣4t＝﹣4，解得t＝2．所以存在t＝2，使得＝﹣4．22．已知函数f（x）＝+alnx，a∈R．（1）若a＜e，求函数f（x）的单调区间；（2）若a＞e，求证：函数f（x）有且仅有1个零点．解：（1）∵f（x）＝+alnx，∴f′（x）＝，当a≤1时，令f′（x）＜0，得：x＞1；令f′（x）＞0，得0＜x＜1；当1＜a＜e时，令f′（x）＜0，得：0＜x＜lna或x＞1，令f′（x）＞0，得lna＜x＜1；因此，当a≤1时，f（x）在（0，1）递增，在（1，+∞）递减；当1＜a＜e时，f（x）在（0，lna），（1，+∞）递减；在（lna，1）递增．（2）证明：a＞e时，lna＞1，f′（x）＝，x∈（0，1）时，f′（x）＜0，x∈（1，lna）时，f′（x）＞0，x∈（lna，+∞）时，f′（x）＜0，故f（x）在（0，1）递减，在（1，lna）递增，在（lna，+∞）递减，又f（1）＝a﹣e+aln1＝a﹣e＞0，所以f（x）在（0，lna）上无零点，①设g（x）＝e x﹣ex，则g′（x）＝e x﹣e，则g（x）在（0，1）递减，在（1，+∞）递增，所以g（x）≥g（1）＝0，所以e x≥ex．取对数，得x≥1+lnx，故lnx＜x，又e x＝≥＞x2，所以lnx＝2ln＜2，所以x＞1时，f（x）＝+alnx＜+2a＜a﹣x+2a，当≥a+，即x≥时，f（x）＜0．（2a+1）2＞＞1，故f（（2a+1）2）＜0，又f（lna）＞f（1）＞0，f（x）的图象在（lna，+∞）上连续不间断，所以函数f（x）在（lna，+∞）有且仅有1个零点，②综合①②，得当a＞e时，函数f（x）有且仅有1个零点．。

精品解析：江苏省南京市高三第三次模拟考试数学试题(原卷版).docx

一、填空题（每题5分，满分70分，将答案填在答题纸上）1．已知全集U ＝R ，集合A ＝{x |x ≤－2，x ∈R }，B ＝{x |x ＜1，x ∈R }，则(∁U A )∩B ＝． 2．已知(1＋2i)2＝a ＋b i(a ，b ∈R ，i 为虚数单位)，则a ＋b ＝．3．某地区对两所高中学校进行学生体质状况抽测，甲校有学生800人，乙校有学生500人，现用分层抽样的方法在这1300名学生中抽取一个样本．已知在甲校抽取了48人，则在乙校应抽取学生人数为． 4．现有红心1，2，3和黑桃4，5共五张牌，从这五张牌中随机取2张牌，则所取2张牌均为红心的概率为．7．已知tan α＝－2，，且π2＜α＜π，则cos α＋sin α＝．8．已知m ，n 是不重合的两条直线，α，β是不重合的两个平面．下列命题： ①若α⊥β，m ⊥α，则m ∥β； ②若m ⊥α，m ⊥β，则α∥β； ③若m ∥α，m ⊥n ，则n ⊥α； ④若m ∥α，m β，则α∥β．其中所有真命题的序号是． 9．将函数f (x )＝sin(3x ＋π4)的图象向右平移π3个单位长度，得到函数y ＝g (x )的图象，则函数y ＝g (x )在[π3，2π3]上的最小值为．10．已知数列{a n }满足a n ＝a n －1－a n －2(n ≥3，n ∈N *)，它的前n 项和为S n ．若S 9＝6，S 10＝5，则a 1的值为． 11．已知函数f (x )＝⎩⎨⎧x ，x ≥0，x 2，x ＜0，，则关于x 的不等式f (x 2)＞f (3－2x )的解集是．12．在R t △ABC 中，CA ＝CB ＝2，M ，N 是斜边AB 上的两个动点，且MN ＝2，则CM →·CN →的取值范围为． 13．在平面直角坐标系xOy 中，圆C 的方程为(x －1)2＋y 2＝4，P 为圆C 上一点．若存在一个定圆M ，过P作圆M 的两条切线PA ，PB ，切点分别为A ，B ，当P 在圆C 上运动时，使得∠APB 恒为60︒，则圆M 的方程为．14．设二次函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ，b ，c 为常数)的导函数为f′(x )．对任意x ∈R ，不等式f (x )≥f′(x )恒成立，则b 2a 2+c2的最大值为．二、解答题（本大题共6小题，共90分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）16．(本小题满分14分)如图，在四棱锥P －ABCD 中，O 为AC 与BD 的交点，AB ⊥平面PAD ，△PAD 是正三角形，DC //AB ，DA ＝DC ＝2AB .（1）若点E 为棱PA 上一点，且OE ∥平面PBC ，求AE PE的值；（2）求证：平面PBC ⊥平面PDC.17．(本小题满分14分)某种树苗栽种时高度为A (A 为常数)米，栽种n 年后的高度记为f (n )．经研究发现f (n )近似地满足 f (n )＝9A a ＋bt n ，其中t ＝2-23，a ，b 为常数，n ∈N ，f (0)＝A ．已知栽种3年后该树木的高度为栽种时高度的3倍．（1）栽种多少年后，该树木的高度是栽种时高度的8倍；（2）该树木在栽种后哪一年的增长高度最大．18．(本小题满分16分)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)过点P (－1，－1)，c 为椭圆的半焦距，且c ＝2b ．过点P 作两条互相垂直的直线l 1，l 2与椭圆C 分别交于另两点M ，N ．（1）求椭圆C 的方程；（2）若直线l 1的斜率为－1，求△PMN 的面积；（3）若线段MN 的中点在x 轴上，求直线MN 的方程．20．(本小题满分16分)已知a ，b 是不相等的正数，在a ，b 之间分别插入m 个正数a 1，a 2，…，a m 和正数b 1，b 2，…，b m ，使a ，a 1，a 2，…，a m ，b 是等差数列，a ，b 1，b 2，…，b m ，b 是等比数列．（1）若m ＝5，a 3b 3＝54，求ba的值；（2）若b ＝λa (λ∈N *，λ≥2)，如果存在n (n ∈N *，6≤n ≤m )使得a n －5＝b n ，求λ的最小值及此时m 的值；（3）求证：a n ＞b n (n ∈N *，n ≤m )．南京市2014届高三年级第三次模拟考试数学Ⅱ（附加题）21．【选做题】在A 、B 、C 、D 四小题中只能选做2题，每小题10分，共计20分．请在答卷卡指定区域内作答．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．A ．选修4—1：几何证明选讲已知圆O 的内接△ABC 中，D 为BC 上一点，且△ADC 为正三角形，点E 为BC 的延长线上一点，AE 为圆O 的切线，求证：CD 2＝BD ·EC ．B ．选修4—2：矩阵与变换已知矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤a k 0 1 (k ≠0)的一个特征向量为α＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ k －1，A 的逆矩阵A －1对应的变换将点(3，1)变为点(1，1)．求实数a ，k 的值．D ．选修4—5：不等式选讲已知a ，b ，c ∈R ，a 2＋2b 2＋3c 2＝6，求a ＋b ＋c 的最大值．【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分．请在答题卡指定区域．．．．．．．内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．22．（本小题满分10分）如图，在正四棱锥P －ABCD 中，PA ＝AB ＝2，点M ，N 分别在线段PA 和BD 上，BN ＝13BD ．（1）若PM ＝13PA ，求证：MN ⊥AD ；（2）若二面角M －BD －A 的大小为π4，求线段MN 的长度．。

南京市2020届高三年级数学第三次模拟考试及答案解析

y
2
－π
3
O
2π
x
2
3
（第 4 题图）
（第 6 题图）
7．已知数列{an}为等比数列．若 a1＝2，且 a1，a2，a3－2 成等差数列，则{an}的前 n 项和
为▲．
8．在平面直角坐标系 xOy 中，已知双曲线x2－y2＝1(a＞0，b＞0)的右焦点为 F．若以 F 为 a2 b2
圆心，a 为半径的圆交该双曲线的一条渐近线于 A，B 两点，且 AB＝2b，则该双曲线的离心率为 ▲ ． 9．若正方体 ABCD－A1B1C1D1 的棱长为 2，则三棱锥 A－B1CD1 的体积为 ▲ ．
则实数 b 的取值范围为 ▲ ． →→→
13．已知点 P 在边长为 4 的等边三角形 ABC 内，满足 AP ＝λ AB ＋μ AC ，且 2λ＋3μ＝1，延
长 AP 交边 BC 于点 D．若 BD＝2DC，则→ PA ·→ PB 的值为 ▲ ．
14．在△ABC 中，∠A＝π，D 是 BC 的中点．若 AD≤ 2BC，则 sinBsinC 的最大值为 ▲ ．
（1）求椭圆 C 的方程；
（2）若点 B 是椭圆 C 的左顶点，求点 M 的坐标；
（3）若 A，M，B，O 四点共圆，求直线 AB 的斜率．
y
A M
O
x
B
(第 18 题图)
19．(本小题满分 16 分) 已知函数 f(x)＝ ex (a∈R) ，其中 e 为自然对数的底数． x2－ax＋a （1）若 a＝1，求函数 f(x)的单调减区间；（2）若函数 f(x)的定义域为 R，且 f(2)＞f(a)，求 a 的取值范围；（3）证明：对任意 a∈(2，4)，曲线 y＝f(x)上有且仅有三个不同的点，在这三点处的切线经过坐标原点．

2020-2021学年江苏省南京市高考数学三模试卷及答案解析

江苏省南京市高考数学三模试卷一、填空题（共14小题，每小题3分，满分42分）1．已知集合M={0，2，4}，N={x|x=，a∈M}，则集合M∩N=______．2．已知0＜a＜2，复数z的实部为a，虚部为1，则|z|的取值范围是______．3．若直线l1：x+2y﹣4=0与l2：mx+（2﹣m）y﹣3=0平行，则实数m的值为______．4．某校有A，B两个学生食堂，若a，b，c三名学生各自随机选择其中的一个食堂用餐，则三人不在同一个食堂用餐的概率为______．5．如图是一个算法流程图，则输出的S的值是______．6．一个社会调查机构就某地居民的月收入调查了10000人，并根据所得数据画了样本的频率分布直方图（如图）．为了分析居民的收入与年龄、学历、职业等方面的关系，要从这10000人中再用分层抽样方法抽出100人作进一步调查，则在[2500，3000）（元）月收入段应抽出______人．7．已知l是直线，α、β是两个不同的平面，下列命题中的真命题是______．（填所有真命题的序号）①若l∥α，l∥β，则α∥β②若α⊥β，l∥α，则l⊥β③若l∥α，α∥β，则l∥β④若l⊥α，l∥β，则α⊥β8．如图，抛物线形拱桥的顶点距水面4m时，测得拱桥内水面宽为16m；当水面升高3m后，拱桥内水面的宽度为______m．9．已知正数a，b，c满足3a﹣b+2c=0，则的最大值为______．10．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且a=，b=3，sinC=2sinA，则△ABC的面积为______．11．已知s n是等差数列{a n}的前n项和，若s2≥4，s4≤16，则a5的最大值是______．12．将函数f（x）=sin（2x+θ）（﹣＜θ）的图象向右平移φ（0＜φ＜π）个单位长度后得到函数g（x）的图象，若f（x），g（x）的图象都经过点P（0，），则φ的值为______．13．如图，在半径为1的扇形AOB中，∠AOB=60°，C为弧上的动点，AB与OC交于点P，则的最小值是______．14．用min{m，n}表示m，n中的最小值．已知函数f（x）=x3+ax+，g（x）=﹣lnx，设函数h（x）=min{f（x），g（x）}（x＞0），若h（x）有3个零点，则实数a的取值范围是______．二、解答题（共6小题，满分88分）15．在平面直角坐标系xOy中，点A（cosθ，sinθ），B（sinθ，0），其中θ∈R．（Ⅰ）当θ=，求向量的坐标；（Ⅱ）当θ∈[0，]时，求||的最大值．16．如图，在四棱锥E﹣ABCD中，底面ABCD是正方形，AC与BD交于点O，EC⊥底面ABCD，F 为BE的中点．（1）求证：DE∥平面ACF；（2）若AB=CE，在线段EO上是否存在点G，使得CG⊥平面BDE？若存在，请证明你的结论；若不存在，请说明理由．17．如图，某水域的两直线型岸边l1，l2成定角120°，在该水域中位于该角角平分线上且与顶点A相距1公里的D处有一固定桩．现某渔民准备经过该固定桩安装一直线型隔离网BC（B，C分别在l1和l2上），围出三角形ABC养殖区，且AB和AC都不超过5公里．设AB=x公里，AC=y公里．（1）将y表示成x的函数，并求其定义域；（2）该渔民至少可以围出多少平方公里的养殖区？18．已知点P是椭圆C上的任一点，P到直线l1：x=﹣2的距离为d1，到点F（﹣1，0）的距离为d2，且=．（1）求椭圆C的方程；（2）如图，直线l与椭圆C交于不同的两点A，B（A，B都在x轴上方），且∠OFA+∠OFB=180°．（i）当A为椭圆C与y轴正半轴的交点时，求直线l的方程；（ii）是否存在一个定点，无论∠OFA如何变化，直线l总过该定点？若存在，求出该定点的坐标；若不存在，请说明理由．19．已知函数g（x）=2alnx+x2﹣2x，a∈R．（1）若函数g（x）在定义域上为单调增函数，求a的取值范围；（2）设A，B是函数g（x）图象上的不同的两点，P（x0，y0）为线段AB的中点．（i）当a=0时，g（x）在点Q（x0，g（x0））处的切线与直线AB是否平行？说明理由；（ii）当a≠0时，是否存在这样的A，B，使得g（x）在点Q（x0，g（x0））处的切线与直线AB 平行？说明理由．20．已知数列{a n}，{b n}满足b n=a n+1﹣a n，其中n=1，2，3，…．（Ⅰ）若a1=1，b n=n，求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）若b n+1b n﹣1=b n（n≥2），且b1=1，b2=2．（ⅰ）记c n=a6n﹣1（n≥1），求证：数列{c n}为等差数列；（ⅱ）若数列中任意一项的值均未在该数列中重复出现无数次．求a1应满足的条件．[选修4-1：几何证明选讲]21．如图，△ABC内接于圆O，D为弦BC上一点，过D作直线DP∥AC，交AB于点E，交圆O 在A点处的切线于点P．求证：△PAE∽△BDE．[选修4-2：矩阵与变换]22．变换T1是逆时针旋转角的旋转变换，对应的变换矩阵是M1；变换T2对应的变换矩阵是M2=．（1）点P（2，1）经过变换T1得到点P′，求P′的坐标；（2）求曲线y=x2先经过变换T1，再经过变换T2所得曲线的方程．[选修4-4：坐标系与参数方程]23．在平面直角坐标系xOy中，以原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．设点A，B 分别在曲线C1：（θ为参数）和曲线C2：ρ=1上，求AB的最大值．[选修4-5：不等式选讲]24．已知：a≥2，x∈R．求证：|x﹣1+a|+|x﹣a|≥3．25．如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y2=2px（p＞0）的准线l与x轴交于点M，过M的直线与抛物线交于A，B两点．设A（x1，y1）到准线l的距离为d，且d=λp（λ＞0）．（1）若y1=d=1，求抛物线的标准方程；（2）若+λ=，求证：直线AB的斜率为定值．26．设f（n）=（a+b）n（n∈N*，n≥2），若f（n）的展开式中，存在某连续3项，其二项式系数依次成等差数列，则称f（n）具有性质P．（1）求证：f（7）具有性质P；（2）若存在n≤2016，使f（n）具有性质P，求n的最大值．参考答案与试题解析一、填空题（共14小题，每小题3分，满分42分）1．已知集合M={0，2，4}，N={x|x=，a∈M}，则集合M∩N= {0，2} ．【考点】交集及其运算．【分析】把M中元素代入x=确定出N，求出两集合的交集即可．【解答】解：把a=0，代入得：x=0；把a=2代入得：x=1；把a=4代入得：x=2，∴N={0，1，2}，∵M={0，2，4}，∴M∩N={0，2}，故答案为：{0，2}2．已知0＜a＜2，复数z的实部为a，虚部为1，则|z|的取值范围是（1，）．【考点】复数的代数表示法及其几何意义．【分析】由复数z的实部为a，虚部为1，知|z|=，再由0＜a＜2，能求出|z|的取值范围．【解答】解：∵复数z的实部为a，虚部为1，∴|z|=，∵0＜a＜2，∴1＜|z|=＜．故答案为：（1，）．3．若直线l1：x+2y﹣4=0与l2：mx+（2﹣m）y﹣3=0平行，则实数m的值为．【考点】直线的一般式方程与直线的平行关系．【分析】直线l1：x+2y﹣4=0与l2：mx+（2﹣m）y﹣3=0平行，直线l1的斜率存在，因此直线l2的斜率也存在．化为斜截式，利用直线相互平行的充要条件即可得出．【解答】解：∵直线l1：x+2y﹣4=0与l2：mx+（2﹣m）y﹣3=0平行，直线l1的斜率存在，∴直线l2的斜率也存在．∴两条直线的方程可以化为：y=﹣x+2；y=x+．∴，2≠．解得：m=．故答案为：．4．某校有A，B两个学生食堂，若a，b，c三名学生各自随机选择其中的一个食堂用餐，则三人不在同一个食堂用餐的概率为．【考点】古典概型及其概率计算公式．【分析】先求出基本事件的总数，再找出所要求的事件包括的基本事件的个数，利用古典概型的概率计算公式即可得出【解答】解：甲学生随机选择其中的一个食堂用餐可有两种选法，同理乙，丙也各有两种选法，根据乘法原理可知：共有23=8中选法；其中他们在同一个食堂用餐的方法只有两种：一种是都到第一个食堂，另一种是都到第二个食堂，则他们不同在一个食堂用餐的选法有8﹣2=6；他们不同在一个食堂用餐的概率为=．故答案为：5．如图是一个算法流程图，则输出的S的值是20 ．【考点】程序框图．【分析】由已知中的程序语句可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量S的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案．【解答】解：模拟执行程序，可得a=5，S=1满足条件a≥4，执行循环体，S=5，a=4满足条件a≥4，执行循环体，S=20，a=3不满足条件a≥4，退出循环，输出S的值为20．故答案为：20．6．一个社会调查机构就某地居民的月收入调查了10000人，并根据所得数据画了样本的频率分布直方图（如图）．为了分析居民的收入与年龄、学历、职业等方面的关系，要从这10000人中再用分层抽样方法抽出100人作进一步调查，则在[2500，3000）（元）月收入段应抽出25 人．【考点】分层抽样方法．【分析】直方图中小矩形的面积表示频率，先计算出[2500，3000）内的频率，再计算所需抽取人数即可．【解答】解：由直方图可得[2500，3000）（元）月收入段共有10000×0.0005×500=2500人按分层抽样应抽出人故答案为：257．已知l是直线，α、β是两个不同的平面，下列命题中的真命题是④．（填所有真命题的序号）①若l∥α，l∥β，则α∥β②若α⊥β，l∥α，则l⊥β③若l∥α，α∥β，则l∥β④若l⊥α，l∥β，则α⊥β【考点】空间中直线与平面之间的位置关系．【分析】利用线面平行、面面平行线面垂直的判定定理和性质定理对四个命题逐一分析解答．【解答】解：对于①若l∥α，l∥β，则α与β可能相交；故①错误；对于②若α⊥β，l∥α，则l与β可能平行；故②错误；对于③若l∥α，α∥β，则l可能在β内，故③错误；对于④若l⊥α，l∥β，由线面垂直和线面平行的性质定理，以及面面垂直的判定定理，可得α⊥β，故④正确；故选：④8．如图，抛物线形拱桥的顶点距水面4m时，测得拱桥内水面宽为16m；当水面升高3m后，拱桥内水面的宽度为8 m．【考点】椭圆的应用．【分析】先根据题目条件建立直角坐标系，设出抛物线的方程，然后利用点在曲线上，确定方程，求得点的坐标，也就得到水面的宽．【解答】解：以抛物线的顶点为原点，对称轴为y轴建立直角坐标系设其方程为x2=2py（p≠0），∵A（8，﹣4）为抛物线上的点∴64=2p×（﹣4）∴2p=﹣16∴抛物线的方程为x2=﹣16y设当水面上升3米时，点B的坐标为（a，﹣1）（a＞0）∴a2=（﹣16）×（﹣1）∴a=4故水面宽为8米．故答案为：8．9．已知正数a，b，c满足3a﹣b+2c=0，则的最大值为．【考点】基本不等式．【分析】消去b，结合基本不等式的性质求出最大值，即可得答案．【解答】解：根据题意，设t=，由3a﹣b+2c=0可得3a+2c=b，则t===≤==；当且仅当a=c时“=”成立，则t≤，即的最大值为；故答案为：．10．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且a=，b=3，sinC=2sinA，则△ABC的面积为 3 ．【考点】正弦定理．【分析】由已知及正弦定理可求c的值，利用余弦定理即可求得cosB的值，利用同角三角函数基本关系式可求sinB的值，根据三角形面积公式即可计算得解．【解答】解：在△ABC中，∵sinC=2sinA，a=，b=3，∴由正弦定理可得：c=2a=2，∴由余弦定理可得：cosB===，可得：sinB==，∴S△ABC=acsinB==3．故答案为：3．11．已知s n是等差数列{a n}的前n项和，若s2≥4，s4≤16，则a5的最大值是9 ．【考点】等差数列的前n项和．【分析】由s2≥4，s4≤16，知2a1+d≥4，4a1+6d≤16，所以16≥4a1+6d=2（2a1+d）+4d≥8+4d，得到d≤2，由此能求出a5的最大值．【解答】解：∵s2≥4，s4≤16，∴a1+a2≥4，即2a1+d≥4a1+a2+a3+a4≤16，即4a1+6d≤16所以16≥4a1+6d=2（2a1+d）+4d≥8+4d，得到d≤2，所以4（a1+4d）=4a1+6d+10d≤16+20，即a5≤9∴a5的最大值为9．故答案为：9．12．将函数f（x）=sin（2x+θ）（﹣＜θ）的图象向右平移φ（0＜φ＜π）个单位长度后得到函数g（x）的图象，若f（x），g（x）的图象都经过点P（0，），则φ的值为．【考点】正弦函数的图象．【分析】由f（x）的图象经过点P（0，），且﹣＜θ，可得θ=，又由g（x）的图象也经过点P（0，），可求出满足条件的φ的值【解答】解：将函数f（x）=sin（2x+θ）（﹣＜θ）的图象向右平移φ（0＜φ＜π）个单位长度后，得到函数g（x）=sin[2（x﹣φ）+θ]=sin（2x﹣2φ+θ）的图象，若f（x），g（x）的图象都经过点P（0，），∴sinθ=，sin（﹣2φ+θ）=，∴θ=，sin（﹣2φ）=，∴﹣2φ=2kπ+，k∈Z，此时φ=kπ，k∈Z，不满足条件：0＜φ＜π；或﹣2φ=2kπ+，k∈Z，此时φ=﹣kπ﹣，k∈Z，故φ=，故答案为：．13．如图，在半径为1的扇形AOB中，∠AOB=60°，C为弧上的动点，AB与OC交于点P，则的最小值是．【考点】平面向量数量积的运算．【分析】根据题意，可以得到△OAB为等边三角形，则AB=1，设BP=x，则AP=1﹣x，（0≤x≤1），利用向量加法的三角形法则，将则向已知向量转化，运用向量数量积的定义，即可得到关于x的二次函数，利用二次函数的性质，即可求得答案．【解答】解：∵OA=OB=1，∠AOB=60°，∴△OAB为等边三角形，则AB=1，设BP=x，则AP=1﹣x，（0≤x≤1），∴=（+）=+=||•||cos+||•||cos＜，＞=1+（1﹣x）•x•cosπ==（x﹣）2﹣，∵0≤x≤1，∴当x=时，取得最小值为﹣．故答案为：﹣．14．用min{m，n}表示m，n中的最小值．已知函数f（x）=x3+ax+，g（x）=﹣lnx，设函数h（x）=min{f（x），g（x）}（x＞0），若h（x）有3个零点，则实数a的取值范围是（，）．【考点】函数零点的判定定理．【分析】由已知可得a＜0，进而可得若h（x）有3个零点，则＜1，f（1）＞0，f（）＜0，解得答案．【解答】解：∵f（x）=x3+ax+，∴f′（x）=3x2+a，若a≥0，则f′（x）≥0恒成立，函数f（x）=x3+ax+至多有一个零点，此时h（x）不可能有3个零点，故a＜0，令f′（x）=0，则x=±，∵g（1）=0，∴若h（x）有3个零点，则＜1，f（1）＞0，f（）＜0，即，解得：a∈（，），故答案为：（，）二、解答题（共6小题，满分88分）15．在平面直角坐标系xOy中，点A（cosθ，sinθ），B（sinθ，0），其中θ∈R．（Ⅰ）当θ=，求向量的坐标；（Ⅱ）当θ∈[0，]时，求||的最大值．【考点】平面向量数量积的坐标表示、模、夹角．【分析】（Ⅰ）把θ=代入，求出向量的坐标表示；（Ⅱ）由向量，求出||的表达式，在θ∈[0，]时，求出||的最大值．【解答】解：（Ⅰ）当θ=时，向量=（sin﹣cos，0﹣sin）=（+，﹣×）=（，﹣）；（Ⅱ）∵向量=（sinθ﹣cosθ，﹣sinθ），∴||====；∴当θ∈[0，]时，2θ+∈[，]，∴sin（2θ+）∈[﹣，1]，∴sin（2θ+）∈[﹣1，]，∴≤，即||的最大值是．16．如图，在四棱锥E﹣ABCD中，底面ABCD是正方形，AC与BD交于点O，EC⊥底面ABCD，F 为BE的中点．（1）求证：DE∥平面ACF；（2）若AB=CE，在线段EO上是否存在点G，使得CG⊥平面BDE？若存在，请证明你的结论；若不存在，请说明理由．【考点】直线与平面垂直的判定；直线与平面平行的判定．【分析】（1）利用正方形的性质以及中线性质任意得到OF∥DE，利用线面平行的判定定理可证；（2）取EO的中点G，连接CG，可证CG⊥EO，由EC⊥BD，AC⊥BD，可得平面ACE⊥平面BDE，从而利用面面垂直的性质即可证明CG⊥平面BDE．【解答】（本题满分为14分）证明：（1）连接OF由四边形ABCD是正方形可知，点O为BD的中点，又F为BE的中点，所以OF∥DE．…又OF⊂平面ACF，DE⊄平面ACF，所以DE∥平面ACF．…（2）在线段EO上存在点G，使CG⊥平面BDE，证明如下：取EO的中点G，连接CG，在四棱锥E﹣ABCD中，AB=CE，CO=AB=CE，所以CG⊥EO．…又由EC⊥底面ABCD，BD⊂底面ABCD，所以EC⊥BD．…由四边形ABCD是正方形可知，AC⊥BD，又AC∩EC=C，所以BD⊥平面ACE，而BD⊂平面BDE，…所以，平面ACE⊥平面BDE，且平面ACE∩平面BDE=EO，因为CG⊥EO，CG⊂平面ACE，所以CG⊥平面BDE．…17．如图，某水域的两直线型岸边l1，l2成定角120°，在该水域中位于该角角平分线上且与顶点A相距1公里的D处有一固定桩．现某渔民准备经过该固定桩安装一直线型隔离网BC（B，C分别在l1和l2上），围出三角形ABC养殖区，且AB和AC都不超过5公里．设AB=x公里，AC=y公里．（1）将y表示成x的函数，并求其定义域；（2）该渔民至少可以围出多少平方公里的养殖区？【考点】基本不等式在最值问题中的应用．【分析】（1）由S△ABD+S△ACD=S△ABC，将y表示成x的函数，由0＜y≤5，0＜x≤5，求其定义域；（2）S=xysinA=sin120°=（≤x≤5），变形，利用基本不等式，即可得出结论．【解答】解：（1）由S△ABD+S△ACD=S△ABC，得，所以x+y=xy，所以y=又0＜y≤5，0＜x≤5，所以≤x≤5，所以定义域为{x|≤x≤5}；（2）设△ABC的面积为S，则结合（1）得：S=xysinA=sin120°=（≤x≤5）=（x﹣1）++2≥4，当仅当x﹣1=，x=2时取等号．故当x=y=2时，面积S取最小值\平方公里．答：该渔民总共至少可以围出平方公里的养殖区．18．已知点P是椭圆C上的任一点，P到直线l1：x=﹣2的距离为d1，到点F（﹣1，0）的距离为d2，且=．（1）求椭圆C的方程；（2）如图，直线l与椭圆C交于不同的两点A，B（A，B都在x轴上方），且∠OFA+∠OFB=180°．（i）当A为椭圆C与y轴正半轴的交点时，求直线l的方程；（ii）是否存在一个定点，无论∠OFA如何变化，直线l总过该定点？若存在，求出该定点的坐标；若不存在，请说明理由．【考点】椭圆的简单性质．【分析】（1）设P（x，y），则d1=|x+2|，d2=，由此利用=，能求出椭圆C 的方程．（2）（i）由（1）知A（0，1），又F（﹣1，0），从而k AF=1，k BF=﹣1，直线BF的方程为：y=﹣（x+1）=﹣x﹣1，代入=1，得3x2+4x=0，由此能求出直线AB的方程．（ii）k AF+k BF=0，设直线AB的方程为y=kx+b，代入=1，得，由此利用韦达定理、椭圆性质，结合已知条件能推导出直线AB总经过定点M（﹣2，0）．【解答】解：（1）设P（x，y），∵点P是椭圆C上的任一点，P到直线l1：x=﹣2的距离为d1，到点F（﹣1，0）的距离为d2，且=，∴d1=|x+2|，d2=，==，化简，得=1．∴椭圆C的方程为=1．（2）（i）由（1）知A（0，1），又F（﹣1，0），∴k AF==1，∵∠OFA+∠OFB=180°，∴k BF=﹣1，∴直线BF的方程为：y=﹣（x+1）=﹣x﹣1，代入=1，得3x2+4x=0，解得x1=0，，代入y=﹣x﹣1，得（舍），或，∴B（﹣，），k AB==，∴直线AB的方程为y=．（ii）∵∠OFA+∠OFB=180°，∴k AF+k BF=0，设直线AB的方程为y=kx+b，代入=1，得，设A（x1，y1），B（x2，y2），则，，∴k AF+k BF=+=+==0，∴（kx1+b）（x2+1）+（kx2+b）（x1+1）=2kx1x2+（k+b）（x1+x2）+2b=2k×﹣（k+b）×+2b=0，∴b﹣2k=0，∴直线AB的方程为y=k（x+2），∴直线AB总经过定点M（﹣2，0）．19．已知函数g（x）=2alnx+x2﹣2x，a∈R．（1）若函数g（x）在定义域上为单调增函数，求a的取值范围；（2）设A，B是函数g（x）图象上的不同的两点，P（x0，y0）为线段AB的中点．（i）当a=0时，g（x）在点Q（x0，g（x0））处的切线与直线AB是否平行？说明理由；（ii）当a≠0时，是否存在这样的A，B，使得g（x）在点Q（x0，g（x0））处的切线与直线AB 平行？说明理由．【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程；利用导数求闭区间上函数的最值．【分析】（1）求出g（x）的导数，由题意可得g′（x）≥0对x＞0恒成立，即为a≥x﹣x2对x＞0恒成立，求出右边函数的最大值，即可得到a的范围；（2）（i）a=0时，求出g（x）的导数，可得切线的斜率，由两点的斜率公式，化简整理，结合中点坐标公式，即可得到结论；（ii）当a≠0时，假设存在这样的A，B，使得g（x）在点Q（x0，g（x0））处的切线与直线AB 平行．由两直线平行的条件：斜率相等，化简整理，结合中点坐标公式，化为ln=，设t=（0＜t＜1），记函数h（t）=lnt﹣，求出导数，判断单调性，即可得到结论．【解答】解：（1）函数g（x）的定义域为（0，+∞），g（x）的导数为g′（x）=+2x﹣2=，若函数g（x）在定义域上为单调增函数，可得g′（x）≥0对x＞0恒成立，即为a≥x﹣x2对x＞0恒成立，由h（x）=x﹣x2=﹣（x﹣）2+，当x=时，h（x）取得最大值，则a≥；（2）（i）a=0时，g（x）=x2﹣2x，g′（x）=2x﹣2，g′（x0）=2x0﹣2，设A（x1，g（x1）），B（x2，g（x2）），（0＜x1＜x2），可得x0=，k AB====x1+x2﹣2=2x0﹣2，则g（x）在点Q（x0，g（x0））处的切线与直线AB平行；（ii）当a≠0时，假设存在这样的A，B，使得g（x）在点Q（x0，g（x0））处的切线与直线AB平行．可得g′（x0）=，即+2x0﹣2=，由x0=，可得+x1+x2﹣2=+x1+x2﹣2，即ln=，设t=（0＜t＜1），记函数h（t）=lnt﹣，则h′（t）=﹣=≥0，可得h（t）在（0，1）递增，可得当0＜t＜1时，h（t）＜h（1）=0，即方程lnt=在区间（0，1）上无解，故不存在这样的A，B，使得g（x）在点Q（x0，g（x0））处的切线与直线AB平行．20．已知数列{a n}，{b n}满足b n=a n+1﹣a n，其中n=1，2，3，…．（Ⅰ）若a1=1，b n=n，求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）若b n+1b n﹣1=b n（n≥2），且b1=1，b2=2．（ⅰ）记c n=a6n﹣1（n≥1），求证：数列{c n}为等差数列；（ⅱ）若数列中任意一项的值均未在该数列中重复出现无数次．求a1应满足的条件．【考点】数列递推式；等差关系的确定．【分析】（Ⅰ）根据数列的基本性质以及题中已知条件便可求出数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）（ⅰ）先根据题中已知条件推导出b n+6=b n，然后求出c n+1﹣c n为定值，便可证明数列{c n}为等差数列；（ⅱ）数列{a6n+i}均为以7为公差的等差数列，然后分别讨论当时和当时，数列是否满足题中条件，便可求出a1应满足的条件．【解答】解：（Ⅰ）当n≥2时，有a n=a1+（a2﹣a1）+（a3﹣a2）+…+（a n﹣a n﹣1）=a1+b1+b2+…+b n﹣1=．又因为a1=1也满足上式，所以数列{a n}的通项为．（Ⅱ）由题设知：b n＞0，对任意的n∈N*有b n+2b n=b n+1，b n+1b n+3=b n+2得b n+3b n=1，于是又b n+3b n+6=1，故b n+6=b n∴b6n﹣5=b1=1，b6n﹣4=b2=2，b6n﹣3=b3=2，b6n﹣2=b4=1，（ⅰ）c n+1﹣c n=a6n+5﹣a6n﹣1=b6n﹣1+b6n+b6n+1+b6n+2+b6n+3+b6n+4=（n≥1），所以数列{c n}为等差数列．（ⅱ）设d n=a6n+i（n≥0），（其中i为常数且i∈{1，2，3，4，5，6}），所以d n+1﹣d n=a6n+6+i﹣a6n+i=b6n+i+b6n+i+1+b6n+i+2+b6n+i+3+b6n+i+4+b6n+i+5=7（n≥0）所以数列{a6n+i}均为以7为公差的等差数列．设，（其中n=6k+i（k≥0），i为{1，2，3，4，5，6}中的一个常数），当时，对任意的n=6k+i有=；由，i∈{1，2，3，4，5，6}知；此时重复出现无数次．当时，=＜f k，所以数列为单调减数列；①若，则对任意的k∈N有fk+1＞f k，所以数列为单调增数列；②若，则对任意的k∈N有fk+1（i=1，2，3，4，5，6）均为单调数列，任意一个数在这6个数列中最多各出现一次，即数列中任意一项的值最多出现六次．综上所述：当时，数列中必有某数重复出现无数次．当a1∉B时，数列中任意一项的值均未在该数列中重复出现无数次．[选修4-1：几何证明选讲]21．如图，△ABC内接于圆O，D为弦BC上一点，过D作直线DP∥AC，交AB于点E，交圆O 在A点处的切线于点P．求证：△PAE∽△BDE．【考点】相似三角形的判定．【分析】由题意，根据相似三角形的判定方法，找出两组对应角分别相等，即可证明△PAE∽△BDE．【解答】证明：∵PA是圆O在点A处的切线，∴∠PAB=∠C．∵PD∥AC，∴∠EDB=∠C，∴∠PAE=∠PAB=∠C=∠BDE．又∵∠PEA=∠BED，∴△PAE∽△BDE．[选修4-2：矩阵与变换]22．变换T1是逆时针旋转角的旋转变换，对应的变换矩阵是M1；变换T2对应的变换矩阵是M2=．（1）点P（2，1）经过变换T1得到点P′，求P′的坐标；（2）求曲线y=x2先经过变换T1，再经过变换T2所得曲线的方程．【考点】几种特殊的矩阵变换．【分析】（1）变换T1对应的变换矩阵M1==，M1=，即可求得点P在T1作用下的点P′的坐标；（2）M=M2•M1=，由=，求得，代入y=x2，即可求得经过变换T2所得曲线的方程．【解答】解：（1）T1是逆时针旋转角的旋转变换，M1==，M1=，所以点P在T1作用下的点P′的坐标是（﹣1，2）；（2）M=M2•M1=，设是变换后图象上任一点，与之对应的变换前的点是，则M=，=，也就是，即，所以所求的曲线方程为y﹣x=y2．[选修4-4：坐标系与参数方程]23．在平面直角坐标系xOy中，以原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．设点A，B 分别在曲线C1：（θ为参数）和曲线C2：ρ=1上，求AB的最大值．【考点】参数方程化成普通方程．【分析】把曲线C1的参数方程化为普通方程，把曲线C2的极坐标方程化为直角坐标方程，求出圆心距离，即可得出最大值．【解答】解：曲线C1：（θ为参数），消去参数θ化为曲线C1：（x﹣3）2+（y﹣4）2=4，曲线C1是以（3，4）为圆心，1为半径的圆；曲线C2：ρ=1，化为直角坐标方程：x2+y2=1，是以（0，0）为圆心，1为半径的圆，可求得两圆圆心距|C1C2|==5，∵AB≤5+2+1=8，∴AB的最大值为8．[选修4-5：不等式选讲]24．已知：a≥2，x∈R．求证：|x﹣1+a|+|x﹣a|≥3．【考点】绝对值不等式的解法．【分析】利用|m|+|n|≥|m﹣n|，将所证不等式转化为：|x﹣1+a|+|x﹣a|≥|2a﹣1|，再结合题意a≥2即可证得．【解答】证明：∵|m|+|n|≥|m﹣n|，∴|x﹣1+a|+|x﹣a|≥|x﹣1+a﹣（x﹣a）|=|2a﹣1|．又a≥2，故|2a﹣1|≥3．∴|x﹣1+a|+|x﹣a|≥3（证毕）．25．如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y2=2px（p＞0）的准线l与x轴交于点M，过M的直线与抛物线交于A，B两点．设A（x1，y1）到准线l的距离为d，且d=λp（λ＞0）．（1）若y1=d=1，求抛物线的标准方程；（2）若+λ=，求证：直线AB的斜率为定值．【考点】抛物线的简单性质．【分析】（1）由题意可知x1=1﹣，A点坐标为（1﹣，1），将A点坐标代入抛物线方程求得p 的值，写出抛物线的标准方程；（2）直线AB过M（﹣，0），设直线AB的方程为y=k（x+），代入抛物线方程y2=2px，消去y，整理得，解出x1、x2，将d=x1+，代入d=λp，得，+λ=，可知，，将x1、x2代入，即可解得，可证直线AB的斜率为定值．【解答】解：（1）由条件知，x1=1﹣，则A点坐标为（1﹣，1），代入抛物线方程得p=1，∴抛物线方程为y2=2x，（2）证明：设B（x2，y2），直线AB的方程为y=k（x+），将直线AB的方程代入y2=2px，消去y得：，解得：x1=，x2=．∵d=λp，∴，+λ=，，∴p=x2﹣x1=，∴，∴直线AB的斜率为定值．26．设f（n）=（a+b）n（n∈N*，n≥2），若f（n）的展开式中，存在某连续3项，其二项式系数依次成等差数列，则称f（n）具有性质P．（1）求证：f（7）具有性质P；（2）若存在n≤2016，使f（n）具有性质P，求n的最大值．【考点】二项式定理的应用．【分析】（1）利用二项式定理计算可知f（7）的展开式中第二、三、四项的二项式系数分别为7、21、35，通过验证即得结论；（2）通过假设+=2，化简、变形可知（2k﹣n）2=n+2，问题转化为求当n≤2016时n取何值时n+2为完全平方数，进而计算可得结论．【解答】（1）证明：f（7）的展开式中第二、三、四项的二项式系数分别为=7、=21、=35，∵+=2，即、、成等差数列，∴f（7）具有性质P；（2）解：设f（n）具有性质P，则存在k∈N*，1≤k≤n﹣1，使、、成等差数列，所以+=2，整理得：4k2﹣4nk+（n2﹣n﹣2）=0，即（2k﹣n）2=n+2，所以n+2为完全平方数，又n≤2016，由于442＜2016+2＜452，所以n的最大值为442﹣2=1934，此时k=989或945．。

江苏省南京市示范名校2024年高三下学期第三次联考数学试题

江苏省南京市示范名校2024年高三下学期第三次联考数学试题注意事项：1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区。

2．选择题必须使用2B 铅笔填涂；非选择题必须使用0．5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。

3．请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。

4．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．要得到函数3sin 12y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图象，只需将函数3sin 23y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭图象上所有点的横坐标（）A ．伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再将得到的图象向右平移4π个单位长度 B ．伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再将得到的图像向左平移4π个单位长度 C ．缩短到原来的12倍（纵坐标不变），再将得到的图象向左平移524π个单位长度 D ．缩短到原来的12倍（纵坐标不变），再将得到的图象向右平移1124π个单位长度2．执行如图所示的程序框图，输出的结果为（）A ．78B ．158C ．3116D ．15163．已知函数2ln(2),1,()1,1,x x f x x x -⎧=⎨-+>⎩若()0f x ax a -+恒成立，则实数a 的取值范围是（）A ．1,12⎡⎤-⎢⎥⎣⎦B ．[0,1]C ．[1,)+∞D ．[0,2]4．已知,m n 表示两条不同的直线，αβ，表示两个不同的平面，且,m n αβ⊥⊂，则“αβ⊥”是“//m n ”的( )条件.A ．充分不必要B ．必要不充分C ．充要D ．既不充分也不必要5．设实数满足条件则的最大值为（） A ．1B ．2C ．3D ．46．若复数1a iz i-=+在复平面内对应的点在第二象限，则实数a 的取值范围是（） A ．()1,1-B ．(),1-∞-C ．()1,+∞D ．()0,∞+7．函数()2xx e f x x=的图像大致为（）A ．B ．C ．D ．8．设集合{}2A x x a =-<<，{}0,2,4B =，若集合A B 中有且仅有2个元素，则实数a 的取值范围为A ．()0,2B ．(]2,4C ．[)4,+∞D ．(),0-∞9．已知椭圆()222210x y a b a b+=>>的左、右焦点分别为1F 、2F ，过点1F 的直线与椭圆交于P 、Q 两点.若2PF Q ∆的内切圆与线段2PF 在其中点处相切，与PQ 相切于点1F ，则椭圆的离心率为（） A ．22B 3C ．23D 310．已知函数1222,0,()log ,0,x x f x x x +⎧+≤⎪=⎨>⎪⎩若关于x 的方程[]2()2()30f x af x a -+=有六个不相等的实数根，则实数a 的取值范围为（）A ．163,5⎛⎫⎪⎝⎭B ．163,5⎛⎤⎥⎝⎦C ．(3,4)D ．(]3,411．设()'f x 函数()()0f x x >的导函数，且满足()()2'f x f x x>，若在ABC ∆中，34A π∠=，则（）A ．()()22sin sin sin sin f A B f B A <B ．()()22sinC sin sin sin f B f B C<C ．()()22cos sin sin cos f A B f B A > D ．()()22cosC sin sin cos f B f B C >12．当0a >时，函数()()2xf x x ax e =-的图象大致是（）A ．B ．C ．D ．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。