华师大版初二数学因式分解知识点及例题详解

初二数学——分解因式

一、 考点、热点分析

整式乘法与因式分解互为逆变形。如果把乘法公式反过来就是把多项式分解因式。

(一)常见形式：（1）平方差公式：22()()a b a b a b -=+-

（2）完全平方公式：2222()a ab b a b ±+=±

（3）立方差公式：3322()()a b a b a ab b -=-++

（4）立方和公式：3322()()a b a b a ab b +=+-+

（5）十字相乘法（十字相乘法是适用于二次三项式的因式分解的方法．）

①二次三项式：

把多项式c bx ax ++2，称为字母x 的二次三项式，其中2ax 称为二次项，bx 、 为一次项，c 为常数项．例如，322--x x 和652++x x 都是关于x 的二次三项式.

在多项式2286y xy x +-中，如果把y 看作常数，就是关于x 的二次三项式； 如果把x 看作常数，就是关于y 的二次三项式．

在多项式37222+-ab b a 中，把ab 看作一个整体，即3)(7)(22+-ab ab ，就是 关于ab 的二次三项式．同样，多项式12)(7)(2++++y x y x ，把x ＋y 看作一个整体，就是关于x ＋y 的二次三项式．

②十字相乘法的依据和具体内容

它的一般规律是：（1）对于二次项系数为1的二次三项式q px x ++2，如果能把 常数项q 分解成两个因数a ，b 的积，并且a ＋b 为一次项系数p ，那么它就可以 运用公式

分解因式．这种方法的特征是“拆常数项，凑一次项”．

注意：公式中的x 可以表示单项式，也可以表示多项式，当常数项为正数时，把它分解为两个同号因数的积，因式的符号与一次项系数的符号相同；当常数项为负数时，把它分解为两个异号因数的积，其中绝对值较大的因数的符号与一次项系数

的符号相同．

（2）对于二次项系数不是1的二次三项式c bx ax ++2(a ，b ，c 都是整数且a ≠0)来说，如果存在四个整数2121,,,c c a a ，使a a a =⋅21，c c c =⋅21，且b c a c a =+1221， 那么运用

它的特征是“拆两头，凑中间”.如：)45)(2(86522-+=-+x x y xy x

（6）分组分解法：

在多项式am+ an+ bm+ bn 中，这四项没有公因式，所以不能用提取公因式法， 再看它又不能用公式法或十字相乘法分解因式．

如果我们把它分成两组(am+ an)和(bm+ bn)，这两组能分别用提取公因式的方法 分别分解因式．即：

原式=(am +an)+(bm+ bn) ＝a(m+ n)+b(m +n)

这两项还有公因式(m+n)，因此还能继续分解，所以

原式=(am +an)+(bm+ bn) ＝a(m+ n)+b(m+ n) ＝(m +n)?(a +b)．

这种利用分组来分解因式的方法叫做分组分解法．

（二）因式分解一般要遵循的步骤:(1)先考虑能否提公因式;

(2)再考虑能否运用公式或十字相乘法;

(3)最后考虑分组分解法．对于一个还能继续分解的

多项式因式仍然用这一步骤反复进行．

口 诀：“首先提取公因式，然后考虑用公式、十字相乘试一试，分组分解要

合适，四种方法反复试，结果应是乘积式”．

二、典型例题

分解因式：

1．m 2(p －q)－p ＋q ； 2．a(ab ＋bc ＋ac)－abc ；

3．x 4－2y 4－2x 3y ＋xy 3； 4．abc(a 2＋b 2＋c 2)－a 3bc ＋2ab 2c 2；

5．(x 2－2x)2＋2x(x －2)＋1；

6．(x －y)2＋12(y －x)z ＋36z 2； 7．x 2－4ax ＋8ab －4b 2；

8．(ax ＋by)2＋(ay －bx)2＋2(ax ＋by)(ay －bx)；

9．(1－a 2)(1－b 2)－(a 2－1)2(b 2－1)2；

10．(x ＋1)2－9(x －1)2；

11．x 3n ＋y 3n ；

12．(x ＋y)3＋125；

13．8(x ＋y)3＋1；

（1）1522--x x （2）2265y xy x +-

（3）3522--x x （4）3832

-+x x 四、课后练习

一、选择题

1.下列分解因式正确的是（ ）

A ． ﹣a+a 3=﹣a （1+a 2）

B ． 2a ﹣4b+2=2（a ﹣2b ）

C ． a 2﹣4=（a ﹣2）2

D ． a 2﹣2a+1=（a ﹣1）2

2.若实数a 、b 满足a+b=5，a 2b+ab 2=﹣10，则ab 的值是（ ）

A ． ﹣2

B ． 2

C ． ﹣50

D ． 50

3.把x 3﹣2x 2y+xy 2分解因式，结果正确的是（ ）

A ． x （x+y ）（x ﹣y ）

B ． x （x 2﹣2xy+y 2）

C ． x （x+y ）2

D ． x （x ﹣y ）2

4．把a 2﹣2a ﹣1分解因式，正确的是（ ）

A ． a （a ﹣2）﹣1

B ． （a ﹣1）2

C ．

D ．

5．（﹣8）2006+（﹣8）2005能被下列数整除的是（ ）

A ． 3

B ． 5

C ． 7

D ． 9

6．若（1﹣2x+y ）是4xy ﹣4x 2﹣y 2﹣m 的一个因式，则m 的值为（ ）

A ． 4

B ． 1

C ． ﹣1

D ． 0

7．若481x 2+2x ﹣3可因式分解成（13x+a ）（bx+c ），其中a 、b 、c 均为整数，则下列叙述正确的是（ ）

A ． a =1

B ． b =468

C ． c =﹣3

D ． a +b+c=39

8．已知多项式2x 2+bx+c 分解因式为2（x ﹣3）（x+1），则b ，c 的值为（ ） A ． b =3，c=﹣1 B ． b =﹣6，c=2 C ． b =﹣6，c=﹣4 D ． b =﹣4，c=﹣6

9．如果x 2+3x ﹣3=0，则代数式x 3+3x 2﹣3x+3的值为（ ）

A ． 0

B ． ﹣3

C ． 3

D ．

二．填空题

10．在实数范围内因式分解：x 3﹣2x 2y+xy 2= _________ ．