概率的几个基本性质
概率的基本性质
（3）“A没被选中”包含下列5个基本事 件： (B，C，D，E )，(B，C，D，F )， (B，C，E，F )，(B，D，E，F )，
(C，D，E，F )
有关集合知识：
1、集合之间的包含关系：
A B
BA
2、集合之间的运算： （1）交集： A∩B
（2）投掷一颗骰子，掷出的点数不为3， 5.
5、互斥事件
若A∩B为不可能事件（ A∩B = ），那么称事 件A与事件B互斥。
事件A与事件B互斥的含义是：这两个事件在任 何一次试验中都不会同时发生，可用图表示为：
A={出现4点} B={出现6点} M={出现的点数为偶数}
B
A
N={出现的点数为奇数}
解：（1）Ω ={(正,正,正)， (反,正,正)，
(正,反,正)， (正,正,反)， (正,反,反)，
(反,正,反)，(反,反,正)，(反,反,反)}；
解：（1）Ω ={(正,正,正)， (反,正,正)，
(正,反,正)， (正,正,反)， (正,反,反)， (反,正,反)，(反,反,正)，(反,反,反)}；
基本事件空间：所有基本事件构成的集合 称为基本事件空间。基本事件空间常用大 写希腊字母Ω表示。
例如，掷一枚硬币，观察落地后哪一 面向上，这个试验的基本事件空间就是 集合{正面向上，反面向上}。
即 Ω = {正面向上，反面向上}.
或简记为Ω ={正，反}.
掷一颗骰子，观察掷出的点数，这个事 件的基本事件空间是
解：（1）这个试验的基本事件空间是： Ω={(A,B,C,D )，(A,B,C,E )，(A,B,C,F )，
(A,B,D,E )，(A,B,D,F )，(A,B,E,F )，
高中数学必修二课件：概率的基本性质
一次购物 1至4件 5至8件
量
9至 12件
13至 16件
顾客数(人)
x
30
25
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
y
结算时间
1
1.5
2
2.5
(分钟/人)
已知这100位顾客中一次购物量超过8件的顾客占55%.
17件 及以上
10
3
①确定x，y的值，并求顾客一次购物的结算时间的平均值；
②求一位顾客一次购物的结算时间不超过2分钟的概率(将频率视为概率)．
错解：因为P(A)＝36＝12，P(B)＝36＝12， 所以P(A∪B)＝P(A)＋P(B)＝1. 错因分析：由于事件A与事件B不是互斥事件，更不是对立事件，因此 P(A∪B)＝P(A)＋P(B)不成立．因此解答此题应从“A∪B”这一事件出发求解． 答：因为A∪B包含4种结果，即出现1，2，3和5，所以P(A∪B)＝46＝23.
②由于A，AB型血不能输给B型血的人，故“任找一个人，其血不能输给小 明”为事件A′＋C′，根据互斥事件的概率加法公式，得P(A′＋C′)＝P(A′) ＋P(C′)＝0.28＋0.08＝0.36.
(2)某超市为了解顾客的购物量及结算时间等信息，安排一名员工随机收集
了在该超市购物的100名顾客的相关数据，如下表所示．
(2)某商场在元旦举行购物抽奖促销活动，规定顾客从装有编号为0，1，2， 3，4的五个相同小球的抽奖箱中一次任意摸出两个小球，若取出的两个小球的 编号之和等于7，则中一等奖，等于6或5，则中二等奖，等于4，则中三等奖， 其余结果不中奖．
①求中二等奖的概率； ②求不中奖的概率．
【解析】 从五个小球中一次任意摸出两个小球，不同的结果有(0，1)， (0，2)，(0，3)，(0，4)，(1，2)，(1，3)，(1，4)，(2，3)，(2，4)，(3，4)，共 10种．记两个小球的编号之和为x.
概率知识点归纳整理总结
概率知识点归纳整理总结概率基础知识1. 样本空间和事件概率论的基本概念是样本空间和事件。
样本空间是一个随机试验所有可能结果的集合，通常用Ω表示。
事件是样本空间的一个子集，表示随机试验的一些结果。
事件的概率描述了该事件发生的可能性有多大。
2. 概率的定义在样本空间Ω中，事件A包含n(A)个基本事件，概率P(A)定义为P(A)=n(A)/n(Ω)，即事件A的发生可能性是A包含的基本事件数目与样本空间的基本事件数目之比。
3. 概率的性质概率具有以下几个性质：（1）非负性：对于任意事件A，有0≤P(A)≤1；（2）规范性：样本空间的概率为1，即P(Ω)=1；（3）可列可加性：若事件A1，A2，A3，...两两互斥，则P(A1∪A2∪A3∪...)=P(A1)+P(A2)+P(A3)+...。
4. 条件概率条件概率是指在事件B已经发生的条件下，事件A发生的概率，表示为P(A|B)，其定义为P(A|B)=P(A∩B)/P(B)。
5. 独立事件两个事件A和B称为独立事件，当且仅当P(A∩B)=P(A)P(B)。
6. 贝叶斯定理贝叶斯定理是用来计算逆概率的定理，它表示为P(A|B)=P(B|A)P(A)/P(B)。
概率的应用1. 排列与组合排列和组合是概率论的一个重要应用。
排列是指从n个不同元素中取出m个元素进行排列的种数，用P(n,m)表示，其公式为P(n,m)=n!/(n-m)!。
组合是指从n个不同元素中取出m个元素进行组合的种数，用C(n,m)表示，其公式为C(n,m)=n!/(m!(n-m)!）。
2. 事件的独立性在概率论中，独立性是一个重要的概念。
事件A和事件B称为独立事件，如果P(A∩B)=P(A)P(B)，即事件A的发生与事件B的发生互不影响。
在实际应用中，很多情况下要求两个事件的独立性，以便于计算事情发生的可能性。
3. 随机变量随机变量是概率论中的一个重要概念，它是一个从样本空间到实数的映射。
随机变量可分为离散型和连续型两种。
概率的基本性质(经典)
规律方法总结
随堂即时巩固
课时活页训练
学习目标研读
课前自主探究
课堂互动讲练
第 三 章 概 率
温故知新
当几个集合是有限集时，常用列举法列出集 合中的元素，求集合A∪B与A∩B中的元素个 数．A∩B中的元素个数即为集合A与B中____ 公共___元素的个数；而当A∩B＝Ø时， A∪B中的元素个数即为两个集合中元素个数 __之和____；而当A∩B≠Ø时，A∪B中的元 素个数即为A、B中元素个数之和_____减去 __A∩B中的元素个数．本节要学习的互斥事 件和对立事件与集合之间的运算有着密切的 联系，学习中要仔细揣摩、认真体会
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第 三 章 • 某班有50名同学，其中男女各25名，今有这个班的一个学 生在街上碰到一个同班同学，则下列结论正确的是( ) 概 • A．碰到异性同学比碰到同性同学的概率大 率 上 • B．碰到同性同学比碰到异性同学的概率大 页 • C．碰到同性同学和异性同学的概率相等 • D．碰到同性同学和异性同学的概率随机变化 下
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第 三 章 概 率
被调查者不必告诉调查人员自己回答的是哪一个问题，只需要 回答“是”或“不是”，因为只有被调查者本人知道回答了 哪个问题，所以都会如实回答．如果被调查者中的600人 (学号从1到600)中有180人回答了“是”，由此可以估计 在这600人中闯过红灯的人数是( ) 上 页 A．30 B．60 C．120 D．150 下 [答案] B 页
概率的基本公理
概率的基本公理
概率的基本公理
概率是对不确定性所关注的某些现象所做出的可能性之间的关系的数学表示，因此它是科学研究中主要用于处理不确定性的重要理论工具，也是中国从古至今用于形成统计学思想的基础理论。
概率的传统理论基于以下几个基本公理：
(1)基本性质：概率是一个介于0与1之间的实数，它是一种反映可能性的大小，在实际中可以表示为一定范围内的实际发生概率；
(2)单事件概率：单一事件发生的概率一定是满足0小于等于P（A）小于等于1的简单实数；
(3)组合事件概率：如果事件A和事件B连接在一起，因此P（AB）代表他们同时发生的概率；
(4)对所有可能事件概率的和：在一组确定的可能事件中，所有可能事件的概率之和等于1。
概率是统计科学的重要理论基础，概率的基本公理也是中国多古至今科学研究中处理不精确性现象的重要工具。
传统的概率理论基于四个基本公理，它们基本上可以概括中国概率理论的核心思想。
3.1.3概率的几个基本性质
解：(1)“甲获胜”是“和棋或乙获胜”的对立事件，因为“和棋 与“乙获胜”是互斥事件，所以 甲获胜的概率为：1-（0.5+0.3）=0.2 (2)设事件A={甲不输}，B={和棋}，C={甲获胜} 则A=B∪C,因为B,C是互斥事件，所以 P(A)=P(B)+P(C)=0.5+0.2=0.7
A A∩B B A B
A B
(4)若A B为不可能事件（A B=）， 那么称事件A与事件B互斥。
(5)若A B为不可能事件，A B为必然事件， 那么称事件A与事件B互为对立事件。
1.给定下列命题，判断对错。 1 ）互斥事件一定对立； 2 ）对立事件一定互斥； 3 ）互斥事件不一定对立；
(2)若事件A发生，则事件B一定发生，反之也成立， 则称这两个事件相等。
记：A=B
若B A，且A B，则称事件A与事件B相等。
(3)若某事件发生当且仅当事件发生A或事件B发生， 则称此事件为事件A与事件B的 并事件（或和事件）。记A B（或A+B）
B
A
A∪B
(4)若某事件 生 且 事件A生且事件 B 生， 此事件 事件A与事件B的交 事件（或 事件）。 记A B（或AB）
4) 若A B, 则 p(A) ＜P(B)
2) 概率的加法公式
( 互斥事件时同时发生的概率)
在掷骰子实验中，事件，A { 出现1 点 }；B { 出现2点 }；
C { 出现的点数小于3}；
A B C=A∪B
P(C)=p(A∪B)=p(A)+p(B)=1/6+1/6=1/3 当事件A与B互斥时, A∪B发生的概率为 P(A∪B)=P(A)+P(B)
概率的基本概念与性质
概率的基本概念与性质概率是数学中一个非常重要的概念，在我们日常生活和各个学科中都有广泛的应用。
本文将介绍概率的基本概念和其性质，以帮助读者对概率有更深入的了解。
一、概率的概念概率是描述事件发生可能性的数值，通常用一个介于0到1之间的数表示。
0表示不可能事件，1表示必然事件。
在概率理论中，把某个随机试验的所有可能结果构成的集合称为样本空间Ω，包含于样本空间Ω的每一个结果称为样本点。
设A是样本空间Ω中的一个事件，则A的概率P(A)是指事件A发生的可能性大小。
二、概率的性质1. 非负性：对于任意事件A，概率值P(A)大于等于0。
2. 规范性：对于样本空间Ω，其概率值为1，即P(Ω)=1。
3. 容斥性：对于两个事件A和B，概率值的和可以表示为P(A∪B)=P(A)+P(B)-P(A∩B)。
其中，P(A∩B)表示事件A和事件B同时发生的概率。
4. 加法性：对于两个互斥事件A和B（即事件A和B不可能同时发生），概率值的和可以表示为P(A∪B)=P(A)+P(B)。
5. 频率解释：概率可以通过重复试验的频率来估计。
当试验重复次数趋于无穷大时，某个事件发生的频率将接近其概率值。
三、计算概率的方法1. 古典概率：适用于每一个样本点发生的可能性相等的情况。
即P(A)=事件A包含的样本点数/样本空间Ω中的样本点数。
2. 几何概率：适用于具有几何结构的问题。
概率可以通过几何图形的面积、长度或体积来计算。
3. 统计概率：通过统计数据来计算概率，具体包括频率概率和条件概率。
四、条件概率条件概率是指在已知事件B发生的条件下，事件A发生的概率，记作P(A|B)。
条件概率可以通过求解P(A∩B)/P(B)得到。
五、独立事件两个事件A和B是独立的，当且仅当事件A的发生不依赖于事件B的发生。
对于独立事件，乘法公式可以表示为P(A∩B)=P(A)P(B)。
六、贝叶斯定理贝叶斯定理是用来计算反向概率，即在已知事件B发生的条件下，事件A发生的概率。
概率的基本概念与性质
概率的基本概念与性质概率，是数学中一个重要的概念，用来描述随机事件发生的可能性大小。
它在各个领域都有广泛的应用，如统计学、经济学、物理学等。
本文将介绍概率的基本概念和性质，帮助读者更好地理解概率论的基础知识。
1. 概率的定义和表示方法概率是描述事物发生可能性的一个数值，通常用介于0和1之间的实数表示。
概率可以使用分数、小数或百分比来表示。
以事件A发生的概率为例，可以用P(A)或Pr(A)来表示。
2. 概率的性质(1) 非负性：对于任何事件A，其概率P(A)都大于等于0，即P(A)≥0。
(2) 可加性：对于任意的不相容事件（互斥事件）A和B，它们的概率可以相加，即P(A∪B) = P(A) + P(B)。
(3) 规范性：对于一定发生或一定不发生的事件，其概率分别为1和0，即P(S) = 1和P(∅) = 0，其中S代表样本空间，∅代表不可能事件。
3. 概率的计算方法(1) 古典概型：指的是所有可能的结果都是等可能发生的情况。
在古典概型中，事件A的概率等于事件A包含的有利结果数目与样本空间的大小之比，即P(A) = 有利结果数目 / 样本空间大小。
(2) 几何概型：指的是通过对空间的测量来计算概率。
例如，在计算一个点在一个平均分布的正方形区域中的概率时，可以用该点所在区域的面积与整个区域的面积之比。
(3) 统计概率：是通过观察和统计数据来计算概率。
统计概率常用于实际问题，根据大量数据的分析和推断得出概率值。
4. 概率的性质与公式(1) 加法规则：对于任意两个事件A和B，其概率可以通过加法规则计算，即P(A∪B) = P(A) + P(B) - P(A∩B)。
其中P(A∩B)表示事件A和B同时发生的概率。
(2) 乘法规则：对于相互独立的两个事件A和B，其概率可以通过乘法规则计算，即P(A∩B) = P(A) × P(B)。
注意，乘法规则只适用于独立事件。
(3) 条件概率：指在事件B发生的条件下，事件A发生的概率，表示为P(A|B)。
3.1.3 概率的几个基本性质
若某事件发生当且仅当事
件A发生且事件B发生，则称 此事件为事件A和事件B的交 事件（或积事件)。
B
记作：A
A
B（或AB）
二、基础知识讲解
在掷骰子的试验中，我们可以定义许多事件，如：
C1 ={出现1点}； C2 ={出现2点}； C3 ={出现3点}； C4 ={出现4点}； C5 ={出现5点}； C6 ={出现6点}； D1 ={出现的点数不大于1}；D2={出现的点数大于3}； D3 ={出现的点数小于5}； E ={出现的点数小于7}；F ={出现的点数大于6}；
二、基础知识讲解
思考：在掷骰子的试验中，定义事件
A={出现的点数为1}；B={出现的点数为2} C={出现的点数小于或等于2}；D={出现点大于2}
1、 发生C的概率是多少？ P(C)=1/3
2、事件C可以看成哪两个事件的并事件？这两个事件 是什么关系？它们发生的概率与事件C发生的概率有 什么联系？ C=A∪B，A、B是互斥事件，
G ={出现的点数为偶数}；H ={出现的点数为奇数}。
思考3： 上述事件中，哪些事件发生会使得 I={出现 1 点或 5
点} 也发生？反过来可以么？
A
若某事件发生当且仅当
B
事件A发生或事件B发生，则
称此事件为事件A和事件B的 并事件（或和事件)。
记作 : A
B（或A B）
二、基础知识讲解
在掷骰子的试验中，我们可以定义许多事件，如：
P(C)=P(A)+P(B)＝1/3
3、事件C与D有什么关系？发生的概率各是多少？
思考：什么情况下两个事件 A 与 B 的并事件发生的概 率，会等于事件 A 与事件 B 各自发生的概率之和？
数学知识点：概率的基本性质(互斥事件、对立事件)_知识点总结
数学知识点：概率的基本性质（互斥事件、对立事件）_知识点总结
数学知识点：概率的基本性质（互斥事件、对立事件）互斥事件：事件A和事件B不可能同时发生，这种不可能同时发生的两个事件叫做互斥事件。
如果A1，A2，…，An中任何两个都不可能同时发生，那么就说事件A1，A2，…An彼此互斥。
对立事件：
两个事件中必有一个发生的互斥事件叫做对立事件，事件A的对立事件记做。
注：两个对立事件必是互斥事件，但两个互斥事件不一定是对立事件。
事件A+B的意义及其计算公式：
（1）事件A+B：如果事件A，B中有一个发生发生。
（2）如果事件A，B互斥时，P（A+B）=P（A）+P（B），如果事件A1，A2，…An彼此互斥时，那么P（A1+A2+…+An）=P（A1）+P（A2）+…+P（An）。
（3）对立事件：P（A+）=P（A）+P（）=1。
概率的几个基本性质：
（1）概率的取值范围：[0,高考地理，1].
（2）必然事件的概率为1.
（3）不可能事件的概率为0.
（4）互斥事件的概率的加法公式：
如果事件A，B互斥时，P（A+B）=P（A）+P（B），如果事件A1，A2，…An彼此互斥时，那么P（A1+A2+…+An）=P（A1）+P（A2）+…+P（An）。
如果事件A，B对立事件，则P（A+B）=P（A）+P（B）=1。
互斥事件与对立事件的区别和联系：
互斥事件是不可能同时发生的两个事件，而对立事件除要求这两个事件不同时发生外，还要求二者之一必须有一个发生。
因此，对立事件是互斥事件的特殊情况，而互斥事件未必是对立事件，即“互斥”是“对立”的必要但不充分条件，而“对立”则是“互斥”的充分但不必要条件。
考研概率论知识点梳理
考研概率论知识点梳理概率论是一门研究随机现象的数学分支，广泛应用于各个领域。
对于考研生而言，掌握概率论知识点是非常重要的。
本文将梳理考研概率论的一些核心知识点，帮助考研生系统地了解和掌握概率论的基础知识。
1. 概率与随机事件概率是描述随机事件发生可能性大小的数值，是在满足一定的条件下，对可能出现的事件进行衡量的方式。
随机事件是指在某一试验中，能够发生或者不发生的现象或结果。
2. 概率的性质概率具有以下几个基本性质：- 非负性：概率值始终大于等于零。
- 规范性：样本空间中的所有事件的概率之和为1。
- 可列可加性：对于互斥事件，它们的概率之和等于它们的并集事件的概率。
3. 古典概型古典概型是指在一定条件下，所有随机现象的可能结果都是等可能的。
例如投掷一个均匀的六面骰子，六个面朝上的概率都是1/6。
4. 条件概率条件概率是指事件A在已知事件B发生的条件下发生的概率。
条件概率的计算公式为P(A|B) = P(A∩B) / P(B)，其中P(A∩B)表示事件A与B同时发生的概率，P(B)表示事件B发生的概率。
5. 独立事件如果事件A的发生与事件B的发生是相互独立的，即事件A的发生不会对事件B的发生产生影响，那么称事件A与事件B是独立事件。
独立事件的概率计算公式为P(A∩B) = P(A) * P(B)。
6. 事件的运算事件的运算包括并、交、差、对立等几个基本运算方法。
并集表示事件A或者事件B发生的情况，记作A∪B；交集表示事件A和事件B同时发生的情况，记作A∩B；差集表示事件A发生而事件B不发生的情况，记作A-B；对立事件表示事件A不发生的情况，记作A的补事件。
7. 随机变量随机变量是对随机事件结果的数量化表示。
它可以是离散型随机变量，也可以是连续型随机变量。
离散型随机变量取有限或可数个数值，而连续型随机变量则可以取任意值。
8. 概率函数和密度函数对于离散型随机变量，我们使用概率函数来描述其概率分布情况；对于连续型随机变量，我们使用密度函数来描述其概率分布情况。
概率的名词解释概型分类
概率的名词解释|概型分类概率的名词解释：概率，又称或然率、机率或可能性，它是概率论的基本概念。
概率是对随机事件发生的可能性的度量，一般以一个在0到1之间的实数表示一个事件发生的可能性大小。
概率的性质：概率具有以下7个不同的性质：性质1：P(Φ)=0;性质2：(有限可加性)当n个事件A1,…,An两两互不相容时：P(A1∪...∪An)=P(A1)+...+P(An);性质3：对于任意一个事件A：P(A)=1-P(非A);性质4：当事件A,B满足A包含于B时：P(B-A)=P(B)-P(A)，P(A)≤P(B);性质5：对于任意一个事件A，P(A)≤1;性质6：对任意两个事件A和B，P(B-A)=P(B)-P(AB);性质7：(加法公式)对任意两个事件A和B，P(A∪B)=P(A)+P(B)-P(A∩B)。
概率的概型分类：古典概型古典概型讨论的对象局限于随机试验所有可能结果为有限个等可能的情形，即基本空间由有限个元素或基本事件组成，其个数记为n，每个基本事件发生的可能性是相同的。
若事件A包含m个基本事件，则定义事件A发生的概率为p(A)= ，也就是事件A发生的概率等于事件A所包含的基本事件个数除以基本空间的基本事件的总个数，这是P.-S.拉普拉斯的古典概型定义，或称之为概率的古典定义。
历史上古典概型是由研究诸如掷骰子一类赌博游戏中的问题引起的。
计算古典概型，可以用穷举法列出所有基本事件，再数清一个事件所含的基本事件个数相除，即借助组合计算可以简化计算过程。
几何概型几何概型若随机试验中的基本事件有无穷多个，且每个基本事件发生是等可能的，这时就不能使用古典概型，于是产生了几何概型。
几何概型的基本思想是把事件与几何区域对应，利用几何区域的度量来计算事件发生的概率，布丰投针问题是应用几何概型的一个典型例子。
设某一事件A(也是S中的某一区域)，S包含A，它的量度大小为μ(A)，若以P(A)表示事件A发生的概率，考虑到“均匀分布”性，事件A发生的概率取为：P(A)=μ(A)/μ(S)，这样计算的概率称为几何概型。
概率的基本概念与性质
概率的基本概念与性质概率是数学中一种重要的概念，用于描述事件发生的可能性大小。
它在统计学、自然科学、社会科学等领域得到广泛应用。
本文将介绍概率的基本概念、性质以及其在现实生活中的应用。
一、概率的基本概念概率是事件发生可能性的度量，其取值范围在0到1之间。
如果事件不可能发生，则概率为0；如果事件肯定发生，则概率为1。
对于某一随机事件E，其概率用P(E)表示。
二、概率的性质1. 非负性：概率值始终大于等于0，即P(E) ≥ 0。
2. 规范性：对于必然事件S（样本空间），其概率为1，即P(S) = 1。
3. 加法性：对于互不相容的事件E1、E2，它们的和事件E1∪E2的概率等于各事件概率的和，即P(E1∪E2) = P(E1) + P(E2)。
三、概率的计算方法1. 古典概型：当每个基本事件发生的可能性相等时，可以应用古典概率计算方法。
例如，投掷一个均匀的骰子，出现每个点数的概率都是1/6。
2. 几何概型：当事件的发生概率与空间的几何形状相关时，可以应用几何概率计算方法。
例如，在一个正方形面积为1的均匀分布区域中，某个事件发生的概率可以通过事件占据的面积计算。
3. 统计概型：当无法使用古典或几何概率计算方法时，可以应用统计概率计算方法。
通过实验或观察数据，统计概率通过频率计算事件发生的可能性。
四、概率的应用1. 风险评估：概率可以用于评估风险的大小，帮助人们做出决策。
例如，在投资时，可以利用概率计算预期收益和风险。
2. 假设检验：在统计学中，概率被用于验证假设的合理性。
通过比较观察到的数据与期望结果之间的差异，可以计算出概率值判断假设是否成立。
3. 数据预测：概率可以应用于预测模型，帮助预测未来事件的发生概率。
例如，天气预报就是通过统计概率模型进行天气预测的。
总结：概率作为数学中的基本概念，用于描述事件发生的可能性大小。
它具有非负性、规范性和加法性等性质。
在实践中，可以根据古典概型、几何概型或统计概型来计算概率。
概率的基本性质
4、抛掷骰子，事件A= “朝上一面的数是奇数”， 事件B = “朝上一面的数不超过3”，
求P（A∪B）
解法一： 因为P（A）=3/6=1/2，P（B）=3/6=1/2 所以P（A∪B）= P（A）+ P（B）=1 解法二： A∪B这一事件包括4种结果，即出现1，2，3和5 所以P（A∪B）= 4/6=2/3
试验的可能结果 A 事件 A 事件A的对立事件 A B 事件B包含事件A A=B 事件B与事件A相等 A∪B(或A+B) 事件A与事件B的并
A∩B(或AB)
集合A的补集 集合B包含集合A
集合B与集合A相等 集合B与集合A的并
A∩B=
事件A与事件B的交 集合B与集合A的交 事件A与事件B互斥 集合B与A的交集为空集
排队人数 概率 0 0.1 1 0.16 2 0.3 3 0.3 4 0.1 5人以上 0.04
求至多2个人排队的概率。 解：设事件Ak={恰好有k人排队}， 事件A={至多2个人排队}, 因为A=A0∪A1∪A2,且A0，A1，A2这三个事件是
互斥事件，
所以 P(A)=P(A0)+P(A1)+P(A2)=0.1+0.16+0.3=0.56。
特别地，当事件A与事件B是对立事件时，有 P（A）=1－ P（B）
练习：1.如果某士兵射击一次，未中靶的概率为0.05，
求中靶概率。 解：设该士兵射击一次，“中靶”为事件A,“未中靶” 为事件B,则A与B互为对立事件， 故P(A)=1-P(B)=1-0.05=0.95。
2. 甲、乙两人下棋，若和棋的概率是0.5，乙获胜的概率 是0.3. 求：（1）甲获胜的概率；（2）甲不输的概率。
概率的基本性质
概率的基本概念
概率的基本概念概率是数学中一个重要的概念，用于描述某个事件发生的可能性大小。
它是通过对事件发生的次数进行统计分析得出的，可以用来预测未知事件的发生概率。
在生活和科学研究中，概率是一个极为常用的工具。
本文将介绍概率的基本概念，包括概率的定义、性质和计算方法。
一、概率的定义概率可以用数值来表示，其取值范围在0和1之间。
其中，0表示事件不可能发生，1表示事件一定会发生。
在某些情况下，概率也可以超出0到1的范围。
例如，当概率为0.5时，表示事件发生和不发生的可能性均等。
二、概率的性质1. 互斥性：互斥事件指的是两个事件不能同时发生。
例如，掷一枚硬币时，它只能正面或反面朝上，不可能两面都朝上。
对于互斥事件A和B，它们的概率之和等于各事件概率的和，即P(A或B) = P(A) + P(B)。
2. 完备性：完备事件指的是一组互斥事件的集合，它们的概率之和等于1。
例如，掷一枚硬币时，正面朝上和反面朝上是完备事件。
即P(正面朝上) + P(反面朝上) = 1。
3. 加法定理：加法定理是概率计算中的重要定理，用于计算两个事件同时发生的概率。
对于两个事件A和B，其概率之和减去它们同时发生的概率，等于两个事件分别发生的概率之和，即P(A或B) = P(A)+ P(B) - P(A和B)。
4. 乘法定理：乘法定理是概率计算中的另一个重要定理，用于计算两个事件同时发生的概率。
对于两个事件A和B，其概率等于事件A发生的概率乘以在事件A发生的条件下事件B发生的概率，即P(A和B) = P(A) * P(B|A)，其中P(B|A)表示在事件A发生的条件下事件B发生的概率。
三、概率的计算方法1. 等可能概型：当每个事件发生的可能性相等时，使用等可能概型来计算概率。
例如，投掷一枚均匀的骰子，每个点数出现的可能性相等。
这时，某个事件发生的概率等于该事件发生的次数除以总事件数。
2. 频率法：通过对事件进行大量重复实验并统计结果的方法来计算概率。
高二数学概率的基本性质
2、某人对靶射击一次，观察命中环数 A =“命中偶数环” B =“命中奇数环” C =“命中 o 数环”
A，B是互斥事件 A，B是对立事件
给定下列命题，判断对错。
想一想?
错 对 对
1）互斥事件一定对立；
2）对立事件一定互斥； 3）互斥事件不一定对立；
3、一名学生独立解答两道物理习题，考察这两道 习题的解答情况。 记 A = “该学生会解答第一题，不会解答第二题” B = “该学生会解答第一题，还会解答第二题” 试回答： 1. 事件A 与事件B 互斥吗？为什么？ 2. 事件A 与事件B 互为对立事件吗？为什么？
4、某检查员从一批产品中抽取8件进行检查，观察 其中的次品数 记：A =“次品数少于5件” ; B = “次品数恰有2件” C = “次品数多于3件” ; D = “次品数至少有1件” 试写出下列事件的基本事件组成： A∪ B ， A ∩C, B∩ C ;
A∪B = A A∩C= “有4件次品”
B∩C =
解法二：A∪B这一事件包括4种结果，即出现1， 2， 3和 5 所以P（A∪B）= 4/6=2/3
请判断哪种正确?
2.某射手射击一次射中，10环、9环、
8环、7环的概率分别是0.24、0.28、
0.19、0.16计算这名射手射击一次
1）射中10环或9环的概率；
2）至少射中7环的概率；
包含关系
小结
3.1.3
概率的基本性质
一、 事件的关系和运算
3.并事件 (或和) 4.交事件 (或积) 5.互斥事件 6.互为对立事件
Ⅰ.互斥事件： 不可能同时发生的两个事件叫做互斥事件.
A B
其中必有一个发生的互斥事件叫做对立事件. 对立事件：
概率的基本性质
6、由对立事件的意义： A
A
是一个必然事件，它
的概率等于１，又由于Ａ与 A 互斥，
P( A A) P( A) P( A) 1
对立事件的概率的和等于1
王新敞
奎屯 新疆
从上面的公式还可得到：
P( A) 1 P( A)
三、讲解范例：
例1 如果从不包括大小王的52张扑克牌中随
机抽取一张，那么取道红心的概率是0.25，取
一、复习引入：
1 事件的定义： 在一定的条件下所出现的某种结果叫做事件.
随机事件：在一定条件下可能发生也可能不发生的事件； 必然事件：在一定条件下必然发生的事件；
不可能事件：在一定条件下不可能发生的事件 2 随机事件的概率: 一般地，在大量重复进行同一试验时，事件A发 m 生的频率 总是接近某个常数，在它附近摆动，这 n 时，就把这个常数叫做事件A的概率，记作 P ( A)
3.概率的确定方法： 通过进行大量的重复试验，用这个事件发生的频
率近似地作为它的概率；
4．概率的性质： 必然事件的概率为1， 不可能事件的概率为0， 随机事件的概率为 0 P( A) 1 必然事件和不可能事件看作随机事件的两个极端情形
5、基本事件：一次试验连同其中可能出现的每一个
结果(事件A)称为一个基本事件
都是互斥的，那么就说事件
A1 , A2 ,, An 彼此互斥.
从集合的角度看， 几个事件彼此互斥，是 指由各个事件所含的结
A
B
C
果组成的集合彼此互不
相交，如图。
2．对立事件的概念 从盒中任意摸出一个球，若摸出的球不是红的， 即事件Ａ没发生，记作 由于事件Ａ和事件
A
A 不可能同时发生，它们是互 A
高中数学必修三第三章概率知识要点
一、随机事件的概率1.事件与随机事件在一定条件下必然发生的事件叫；在一定条件下不可能发生的事件叫；在一定条件下可能发生也可能不发生的事件叫。
2.事件的频率与概率⑴若在n次试验中事件A发生了m次, 则称为事件A的频率。
记做。
二、⑵若随着试验次数n的增大, 事件A的频率总接近某个常数p, 在它的附近作微小摆动, 则称为事件A的概率, 记做, 显然。
三、 3.概率从数量上反映了一个事件的大小。
四、概率的基本性质1.事件的关系与运算:（1）互斥事件：若为, 则称事件与事件互斥。
（2）对立事件：若为, 为, 则称事件与事件互为对立事件。
2.概率的几个基本性质:（1）概率的取值范围是: 。
（2）的概率为1；的概率为0。
五、（3）如果事件与事件互斥, 那么。
六、（4）如果事件与事件对立, 那么；；。
七、古典概型1.古典概型的特征:（1）：一次试验中, 基本事件只有有限个；八、（2）: 每个基本事件发生的可能性都相等。
九、2、求古典概率的常用方法: 列举法与列表法。
十、几何概型1.几何概型的特征:（1）几何概型的基本事件有无穷多个；（2）每个事件发生的概率只与构成该事件区域的长度（面积或体积）成比例。
2.求几何概率用到的一个方法: 线性规划。
练习题：1.甲盒中有红, 黑, 白三种颜色的球各3个, 乙盒子中有黄, 黑, 白, 三种颜色的球各2个, 从两个盒子中各取1个球, 求取出的两个球是不同颜色的概率.2.设关于的一元二次方程, 若是从区间任取的一个数, 是从区间任取的一个数,求上述方程有实数根的概率.3.将一颗质地均匀的正方体骰子（六个面的点数分别为1, 2, 3, 4, 5, 6）先后抛掷两次, 将得到的点数分别记为.将的值分别作为三条线段的长, 求这三条线段能围成等腰三角形的概率.1 / 1。
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(2)设事件A={甲不输}，B={和棋}，C={甲获胜} 则A=B∪C,因为B,C是 互斥事件，
所以 甲不输的概率:P(A)=P(B)+P(C)=0.5+0.2=0.7
小结
概率的基本性 质
0≤P(A) ≤1
必然事件的概率 为1
不可能事件的概率 为0
概率的加法公 式
对立事件计算公 式
概率的几个基本性 质
பைடு நூலகம்
概率的几个基本性质
（1）、对于任何事件的概率的范围是： 0≤P（A）≤1
其中不可能事件的概率是P（A）=0 必然事件的概率是P（A）=1
不可能事件与必然事件是一般事件的特 殊情况
思考 什么情况下两个事件 A 与 B 的并事件发生的概率， ：会等于 事件 A 与事件 B 各自发生的概率之和？ （2）概率的加法公式：
解： （1）因为C=AUB,且A与B不会同时发生，所以A与B是互斥事 件，根据概率的加法公式，得P(C)=P(A)+P(B)=0.5
（2）因为C与D是互斥事件，又由于 CUD 为必然事件，所以 C与D互为对立事件，所以P(D)=1-P(C)=0.5
练习： 1.如果某士兵射击一次，未中靶的概率为0.05，求中靶概率。
如果事件 A 与事件 B 互斥，则
P(A B) P(A) P(B)
特别地，如果事件 A 与事件 B 是互为对立事件 ，则
P(A) 1 P(B)
例.如果从不包括大小王的52张扑克牌中随机抽取一张，那么 取到红心（ 事件A）的概率是1/4，取到方块（事件B）的概率是1/4。问：
（1）取到红色牌（事件C）的概率是多少？ （2）取到黑色牌（事件D）的概率是多少？
解：设该士兵射击一次，“中靶”为事件A,“未中靶”为事件B, 则A与B互为对立事件，故P(A)=1-P(B)=1-0.05=0.95。
2.甲，乙两人下棋，若和棋的概率是0.5，乙获胜的概率是0.3 求：（1）甲获胜的概率；（2）甲不输的概率。
解：(1)“甲获胜”是“和棋或乙获胜”的对立事件，因为“和棋”与“乙 获胜”是互斥事件