指数函数及其性质题型及解析

指数函数及其性质题型及解析

1.下列函数中，是指数函数的是（）

①y=（-2）x②y=（）x③y=x2 ④y=x-1⑤y=5x+1⑥y=x4⑦y=3x⑧y=﹣2•3x ⑨y=πx⑩y=（-3）x

分析：根据指数函数y=a x（a＞0且a≠1）的定义进行判断即可．

解：根据指数函数y=a x（a＞0且a≠1）的定义，得；

①中y=（﹣2）x底数﹣2＜0，不是指数函数，②中y=是指数函数，③，④都是幂函数，不是指数函数；

⑤y=5x+1不是指数函数；⑥y=x4是幂函数，不是指数函数；⑦y=3x是指数函数；⑧y=﹣2•3x不是指数函数．

⑨满足指数函数的定义，故正确；⑩﹣3＜0，不是指数函数，故错误．

2.为了得到函数y=2x﹣3﹣1的图象，只需把函数y=2x上所有点（）

A．向右平移3个单位长度，再向下平移1个单位长度 B．向左平移3个单位长度，再向下平移1个单位长度C．向右平移3个单位长度，再向上平移1个单位长度 D．向左平移3个单位长度，再向上平移1个单位长度分析：函数图象的平移问题：在x上的变化符合“左加右减”，而在y上的变化符合“上加下减”．

解：函数图象的平移问题：在x上的变化符合“左加右减”，而在y上的变化符合“上加下减”．把函数y=2x 的图象向右平移3个单位长度得到函数y=2x﹣3的图象，再将所得图象再向下平移1个单位长度，得到函数y=2x﹣3﹣1的图象，故选A

3.若指数函数的图象经过点（2／3，4），求该函数的解析式及f（﹣1／2）的值

分析：设出指数函数的解析式，利用函数图象经过点的坐标求出函数解析式，再计算f（﹣1／2）的值

解：设指数函数y=f（x）=a x（a＞0且a≠1），且函数的图象经过点（2／3，4），∴=4，解得a=8；

∴该函数的解析式为y=f（x）=8x，∴f（﹣）===

4.①若函数y=（3a﹣1）x为指数函数，求a的取值范围

分析：由函数y=（3a﹣1）x为指数函数，知，由此能求出a的取值范围；根据指数函数的定义可得

求解即可

，

解：∵函数y=（3a﹣1）x为指数函数，∴，解得a＞，且a，∴a的取值范围为（，）∪（，+∞）．

②函数y=（2a2﹣3a+2）a x是指数函数，求a的取值

解：若函数y=（2a2﹣3a+2）a x是指数函数，则解得：a=

5.已知x＞0，指数函数y=（a2﹣8）x的值恒大于1，求实数a的取值范围

分析：利用指数函数的性质，可知其底数a2﹣8＞1，解之即得实数a的取值范围

解：因为x＞0，指数函数y=（a2﹣8）x的值大于1恒成立，∴a2﹣8＞1，即a2＞9，解得a＞3或a＜﹣3．

∴实数a的取值范围是（﹣∞，﹣3）∪（3，+∞）

6.已知指数函数f（x）=（a﹣1）x.（1）若f（x）在R上是增函数，求a的取值范围（2）若f（x）是R上的减函数，求a的取值范围

分析：根据指数函数的图象和性质，即可得到答案．欲使得指数函数f（x）=（a﹣1）x是R上的增函数，只须其底数大于1即可，从而求得a的取值范围．欲使得指数函数f（x）=（a﹣1）x是R上的减函数，只须其底数小于1即可，从而求得a的取值范围

解：（1）指数函数f（x）=（a﹣1）x在R上是增函数，∴a﹣1＞1，即a＞2，故a的取值范围是（2，+∞）（2）指数函数f（x）=（a﹣1）x在R上是减函数，∴0＜a﹣1＜1，即1＜a＜2，故a的取值范围是（1，2）7.在同一坐标系作出下列函数的图象，并指出它们与指数函数y=2x的图象的关系

（1）y=2x+1与y=2x+2；（2）y=2x﹣1与y=2x﹣2；（3）y=2x﹣1与y=2x+1．

分析：（1）y=2x+1的图象由函数y=2x的图象向左平移1单位得到；y=2x+2的图象由函数y=2x的图象向左平移2单位得到；（2）y=2x﹣1的图象由函数y=2x的图象向右平移1个单位得到；y=2x﹣2的图象由函数y=2x的图象向右平移

2个单位得到；（3）y=2x﹣1的图象由函数y=2x的图象向下平移1个单位得到；y=2x+1的图象由函数y=2x的图象向上平移1个单位得到．

解：y=2x+1与y=2x+2的图象如图，y=2x﹣1与y=2x﹣2的图象如图，y=2x﹣1与y=2x+1的图象如图

（1）y=2x+1的图象由函数y=2x的图象向左平移1单位得到；y=2x+2的图象由函数y=2x的图象向左平移2单位得到；（2）y=2x﹣1的图象由函数y=2x的图象向右平移1个单位得到；y=2x﹣2的图象由函数y=2x的图象向右平移2个单位得到；

（3）y=2x﹣1的图象由函数y=2x的图象向下平移1个单位得到；y=2x+1的图象由函数y=2x的图象向上平移1个单位得到．

8.指数函数y=a x y=b x y=c x y=d x在同一坐标系中图象如图，求a、b、c、d大小关系

分析：比较指数函数的底数的大小，根据函数图象的单调性可知c＞1，d＞1，0＜a＜1，0＜b＜1，然后再比较c，d的大小，a，b的大小．

解：由函数的图象可知，c＞d＞1＞a＞b＞0

9.比较大小①0.70.8，0.80.7②30.8与30.7 ③0.70.1与0.7﹣0.1

分析：先分析底数与1的关系，进而确定对应函数的单调性，再比较两个式子指数的大小，由指数函数y=0.7x 为单调递减函数可得，0.70.8＜0.70.7，由幂函数y=x0.7为增函数可得，0.70.7＜0.80.7，，从而可得

解：①由指数函数y=0.7x为单调递减函数可得，0.70.8＜0.70.7，由幂函数y=x0.7为增函数可得，0.70.7＜0.80.7，所以，0，70.8＜0.70.7＜0.80.7②∵3＞1，∴y=3x为增函数，又∵0.8＞0.7，∴30.8＞30.7③∵0＜0.7＜1，∴y=0.7x为减函数，又∵0.1＞﹣0.1．∴0.70.1＜0.7﹣0.1．

10.解关于x的不等式（1）＞34（2）a2x+1≥a x﹣5

分析：（1）直接由指数函数的单调性化指数不等式为一元二次不等式求解；（2）对a分类讨论，然后由指数函数的单调性化指数不等式为一元一次不等式求解．

解：（1）由＞34，得x2﹣3x＞4，解得：x＜﹣1或x＞4．∴不等式＞34的解集为（﹣∞，﹣1）

∪（4，+∞）；

（2）当0＜a＜1时，由a2x+1≥a x﹣5，得2x+1≤x﹣5，解得x≤﹣6；当a＞1时，由a2x+1≥a x﹣5，得2x+1≥x﹣5，解得x≥﹣6．∴当0＜a＜1时，原不等式的解集为（﹣∞，﹣6]；当a＞1时，原不等式的解集为[6，+∞）11.2000年第五次人口普查，中国人口已达到13亿，年增长率约为1%．为了有效地控制人口过快增长，实行计划生育成为我国一项基本国策．按照上述材料中的1%的增长率，从2000年起，x年后我国的人口将达到2000

年的多少？x年后的人口是2000年人口的多少倍？

解：设经过x年我国人口将达到y亿人，则y=13(1+1%)x（亿人），y÷13=(1+1%)x（倍）