第一章 鞅 第四节 离散鞅的收敛定理
鞅
周生笛
• • • •
鞅的概念 多布—迈耶分解 随机积分 测度变换和鞅表示
概念
• 简单地讲，一个随机变量的时间序列没有表现出 任何的趋势，就可以称之为 鞅。他是一种用条件 数学期望定义的随机运动形式。 • 如果对于任意的n≥0， Sn 的值包含在 f n 中，就称 Sn f为 适应的。 n • 离散鞅：假定 Sn 是滤波空间｛ ，f , , F ｝的 一个适应过程，若： E(Sn ) , n Z 1. E(Sn1 f n ) Sn , n Z 2. Sn 为离散鞅 则称
0
鞅变换
• 鞅的数学期望形式是基于相应的概率测度的，通过这个， 我们可以通过适当的改变概率测度，把任意的一个随机过 程变换为鞅。
X n M n An , n Z
• 2.多布迈耶定理： (t )t(0,) 是一个 f n 适应的右连续的下 如果 鞅，E(St ) , t, 则对于任何0≤t≤ , (St ) 都 可分解为下列形式： St M t At At Mt 是右连续鞅 是一个可料增量过 程。
t 1 t
• 由定义可知，上式
X t 是一个鞅，并称( M )n 为对M的鞅变换
• 鞅变换提供了一个简单但很有用的判断鞅的方法： 当且仅当对于任意可料随机过程θ，有：
E ( M ) n 0
则,M是一个鞅。
• 简单过程随机积分
0 t0 t1 ,..., tn T
E(Sn f n ) 0
• 由上式知对 Sn 在下一时间内变化的最好预 测就是 0。换句话说，该随机变量的未来运 动方向和大小是不可预测的，这就是所谓 鞅性
多布迈耶分解
• 问题：当市场上不存在套利机会时，所有资产价 格都是均衡价格测度下的鞅。那怎样把原本是上 下鞅的资产价格运动过程变成鞅？ • 1.多布分解定理： • 令 ( X n )nz 为一个 f n 的适应下鞅，则它可以唯一 的分解为一个鞅和可料递增随机序列的和：
随机过程精品课件 (18)
即表示 给出信息集 I t ，就会知道价值 S t
从而 使用不同的信息集I t 就会产生顺序 S t 的不同
的预期。可用条件期望表示成：
E t [ S T ] E [ S T I t ], t T
鞅 设St,t[0,] 是一个随机过程，
证 由条件期望的性质可得
n
E | X n | E |Yk |
且
E( X n1
| Y0 ,,Yn )
k 0
E[( X n
Yn1)
| Y0 ,,Yn ]
E( X n | Y0 ,,Yn ) E (Yn1 | Y0 , ,Yn )
X n EYn1 X n
性质7
{X n}、{Yn} 上鞅
{ X n Yn }上鞅
{X n}、{Yn} 下鞅
{ X n Yn }下鞅
证 对m n有 E[( X m Ym ) | Y0 ,,Yn )]
E(Xm | Y0,,Yn ) E(Ym | Y0 ,,Yn )
{X n} {Yn} 上鞅 X n Yn
其它
证明
（1）与（2）的等价性
一方面 另一方面
n
n
{ n}
{ m}
{ m} (Y0 ,,Ym )
m0
m0
{ n}
{ n}
{ n1}
（2）与（3）的等价性由如下两个等式关系即得
{ n} 1 { n}
{ n} 1 { n}
也为下鞅。
性质4
{X n} 上鞅 {X n} 下鞅
{ X n} 下鞅 { X n} 上鞅
性质5
鞅收敛定理
鞅收敛定理鞅收敛定理，在概率论领域中具有重要地位。
在许多概率论的定理和应用中，鞅的概念及其收敛都是十分重要的。
该定理表明，由一系列随机变量构成的鞅在一定条件下，能够收敛于一个确定的极限值。
鞅收敛定理是鞅理论中的核心定理之一，可以用于解决很多实际中的问题。
一、鞅的定义与性质鞅是一种非常重要的概率过程，它涉及到许多重要的概率定理和实际应用。
鞅的定义相对比较简单，如果一个随机过程M = {M_n}是一列随机变量的序列，并且满足以下三个条件：1）M_n是一个可测的随机变量；2）对于n≥0，E[M_n] < ∞；3）对于n≥0，E[M_n+1 | M_0,M_1,...,M_n] = M_n则我们称之为鞅。
上面的第一个条件保证了鞅可以被测量，第二个条件保证了内部的随机性，第三个条件保证了鞅的期望性质。
鞅有许多重要的性质：1）鞅是一种无偏的估计，即E[M_n] = E[M_0]，其中M_0是鞅的起始点，通常为0；2）鞅通常用来表示一种刻意的结构，以反映出随时间的增长或下降的模式；3）鞅满足马尔科夫性质，即在给定M_n的条件下，未来的发展只取决于M_n，而与之前的结果无关。
二、鞅的收敛与鞅收敛定理由于鞅是一个任意序列的条件期望，因此它可能会收敛到一个确定的极限值。
鞅收敛定理指出，当一个鞅满足Lim E[M_n] < ∞时，则它在一定的条件下可以收敛。
鞅收敛定理有两种形式，分别是条件收敛和几乎处处收敛。
条件收敛是指，在一定的概率空间中，鞅以一定的概率收敛于一个值。
而几乎处处收敛是指，在概率空间上几乎每次试验，鞅以概率1收敛于一个值。
在鞅的收敛过程中，我们需要关注以下两点：1）鞅序列的逐点有界性；2）鞅序列的逐点收敛性。
对于一系列的随机变量构成的鞅序列，若能满足上述两点条件，那么在某些条件下，鞅可以达到收敛。
其中最常见的条件就是马尔科夫条件。
马尔科夫条件是指，鞅的未来值仅仅取决于当前的值，而并不取决于它的过去值。
第四章条件期望与鞅4.4鞅的收敛定理及应用大字体
第四章 条件期望与鞅§4.4 鞅的收敛定理及应用本节的内容也都是在固定的完备概率空间(,,)P ΩF 上讨论的，而且还假定存在的子F σ域流{,}n n =∈N F F ，{}0,1,2,=N 。
以后大部分内容也还是在带流概率空间(,,,)P ΩF F 上讨论的。
第四章 条件期望与鞅§4.4 鞅的收敛定理及应用4.4.1 收敛定理设{},n X X n =∈N 为适应随机变量序列，a b <为两个任意实数，令00T =，{}1inf :n T n X a =≤，{}12inf :,n n b T T n X >=≥，(4.4.1) ………………{}2122inf :,j n j n T T n X a −−=>≤， {}221inf :,j n ，(4.4.2) j n T T n X b −>≥=在此规定。
inf ∅=+∞由命题3.4.1，{},0k T k ≥都是停时。
{}1inf :n T n X a =≤表示{},n X X n =∈N 的轨道首次小于等于的时刻，a {}21inf :,n T n n T Xb =>≥为之后1T X 的轨道首次达到或超过的时刻。
b 若，则2T <∞X 自到的轨道穿越了1T 2T [],a b 一次。
21T −是22j j T −后X 的轨道首次小于等于的时刻， a 若，则2j T <∞X 自12−到2j T 的轨道进入[],a b 并穿越了T j[],a b一次，称之为上穿。
()1,,n X X 完成上穿[],a b 的次数，则若以表示(),b aU X n (){}{}2,n b a k U X n k T n ≥=∈≤F ， (){}{}222,b a k k n U X n k T n T +=≤<∈=F 。
命题 4.4.1(上穿不等式) 设{},n X X n =∈N 为下鞅，则其上穿次数满足：(),ba U X n ()[]()1,1ba n n E U X n E X ab a EX a b a ++⎡⎤≤−⎣⎦−≤+−。
应用随机过程离散鞅
01
收敛速度
离散鞅的收敛速度是指收敛过程 中收敛的快慢程度，通常用收敛 阶数来表示。
02
收敛阶数
收敛阶数越高，表示收敛速度越 快，离散鞅序列在较短的时间内 就能达到收敛状态。
03
收敛速度的影响因 素
离散鞅的收敛速度受到多种因素 的影响，如初始值、步长大小、 鞅的性质等。
离散鞅收敛的应用
金融领域
离散鞅在金融领域中有着广泛的应用，如股票价格模型、 期权定价等。通过离散鞅的收敛性，可以更好地理解和预 测金融市场的动态变化。
离散鞅在计算机图形学中的应用
图像处理
离散鞅在图像处理中有一定的应用价值。通过分析图像像素值的随机过程，可以利用离散鞅的性质来 优化图像处理算法，例如图像滤波、边缘检测等。
动画与仿真
在计算机动画和仿真中，离散鞅可以用于模拟自然现象或随机过程。通过模拟随机事件的序列，离散 鞅可以生成逼真的动画效果或仿真结果，提高计算机图形学的表现力和应用价值。
离散鞅理论可以用于构建股票价格模型，通过模拟股票价格的随机 波动，预测未来股票价格的走势。
风险评估
基于离散鞅的股票价格模型可以帮助投资者评估投资风险，通过计 算股票价格的波动率和相关性，评估投资组合的风险水平。
投资策略
离散鞅理论还可以用于制定投资策略，通过分析股票价格的长期趋势 和短期波动，制定买入或卖出的决策。
离散鞅在投资组合优化中的应用
投资组合优化
离散鞅理论可以用于投资组合优化问题的解决，通过模拟资产价格的随机波动，寻找最 优的投资组合配置方案。
风险控制
基于离散鞅的投资组合优化模型可以帮助投资者控制投资风险，通过限制投资组合的波 动率和相关性，降低投资组合的整体风险。
动态调整
鞅(上鞅,下鞅)的L_1收敛性
鞅(上鞅,下鞅)的L_1收敛性
杨新建
【期刊名称】《湖南师范大学自然科学学报》
【年(卷),期】1999(22)4
【摘要】讨论一鞅（上鞅，下鞅）的Ｌ１收敛性，得到了几个更为简单的充分必要条件．
【总页数】3页(P6-8)
【关键词】鞅;L1收敛性;绝对连续性;上鞅;下鞅
【作者】杨新建
【作者单位】湖南师范大学数学系
【正文语种】中文
【中图分类】O211.6
【相关文献】
1.集值拟终下鞅的收敛性与Riesz分解 [J], 李高明
2.离散参数集值序下鞅的Riesz分解及收敛性 [J], 薛红;王拉省
3.非凸集值上鞅的收敛性 [J], 赵辉;李高明
4.连续参数集值上鞅的收敛性 [J], 李高明;惠莉萍
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离散时间鞅的例子-概述说明以及解释
离散时间鞅的例子-概述说明以及解释1.引言1.1 概述离散时间鞅是概率论中的一个重要概念，是指在离散时间上具有平均值为零的随机过程。
离散时间鞅的研究在概率论、统计学、金融工程等领域具有广泛的应用。
随机过程是指在随机变量的序列上描述的一类随机现象。
离散时间鞅是离散时间上的随机过程，它在每一时刻的条件期望值等于该时刻的值，即具有无条件期望均值为零的特性。
离散时间鞅的研究往往涉及到以下几个方面的内容：首先是鞅的定义，即如何描述离散时间鞅的特性；其次是鞅的性质，包括条件期望的性质、停时和鞅的关系等；最后是鞅的应用，如在金融工程中对离散时间鞅的研究可以用于期权定价、风险管理等方面。
本文将围绕离散时间鞅的定义和性质展开详细的论述。
首先，我们将介绍离散时间鞅的定义，包括正向鞅、反向鞅以及鞅的条件性质。
接着，我们将讨论鞅的性质，包括鞅的停时性质和鞅与停时的关系。
最后，我们将探讨离散时间鞅在实际应用中的一些例子和相关的理论结果。
通过对离散时间鞅的研究，我们可以更好地理解随机过程和随机现象，并将其应用到实际问题中。
通过本文的阅读，读者将对离散时间鞅有一个清晰的认知，并了解其在概率论和相关领域的重要性。
同时，读者也可以通过本文所提供的例子和相关理论结果，将离散时间鞅的概念运用到实际问题中，提升问题的解决能力和分析思维。
1.2 文章结构文章结构部分主要介绍了整篇文章的组织结构。
本文的结构按照以下几个部分展开：1. 引言部分：在引言部分，首先对离散时间鞅的概念进行概述，介绍离散时间鞅的基本定义和特点。
随后，给出文章的整体结构和每个部分的内容摘要，并明确阐述本文的目的，即为读者提供关于离散时间鞅的例子和应用。
2. 正文部分：正文部分主要分为两个小节。
首先，在2.1节中详细介绍离散时间鞅的定义，包括离散时间鞅的概念、鞅的条件以及离散时间鞅的数学表达形式。
然后，在2.2节中探讨离散时间鞅的性质，如鞅的停时性质、条件期望性质和可变鞅性质。
应用随机过程 离散鞅ppt课件
离散鞅
引入：特殊的随机过程—鞅， 起源于“公平博弈”，近来在金
融、保险和医学应用很大.
离散鞅—离散时间的鞅.
定义：随机过程{Xn，n 0}称为关于{Yn，n 0}的下鞅，
如果对n 0，Xn是(Y0，Y1，...,Yn )的函数，EXn ，并且 E(Xn+1 | Y0，Y1，...,Yn ) Xn，
(2)如果{Xn , Fn,n 0},{Yn , Fn,n 0}是两个下鞅,a,b是两个常数，
则{aXn bYn , Fn,n 0}是下鞅. (3)如果{Xn , Fn,n 0},{Yn , Fn,n 0}是两个下鞅,则
{max{Xn ,Yn}, Fn,n 0}是下鞅. (3，)如果{Xn , Fn,n 0},{Yn , Fn,n 0}是两个上鞅,则
E(Mn ) , n 0, 则{(Mn ), Fn,n 0}是下鞅.
特别地，{| Mn |, Fn,n 0}是下鞅； 当E(Mn2 ) , n 0时，{Mn2, Fn,n 0}也是下鞅.
证明作为作业
7
E(Xn+1 | Y0，Y1，...,Yn ) Xn.
注：随机过程{Xn，n 0}是关于{Yn，n 0}的鞅，需满足：
(1)对n 0，Xn是(Y0，Y1，...,Yn )的函数； (2) E( | Xn | )<;
(3) E(Xn+1 | Y0，Y1，...,Yn ) Xn .
证明一个随机过程{Xn，n 0}是关于{Yn，n 0}的鞅，分别 验证上述三个条,...X n ).
证明见黑板.
一个重要的不等式：条件Jenson不等式
离散鞅的停时定理
离散鞅的停时定理引言在概率论中，鞅（martingale ）是一种随机过程，它具有无记忆性的特点。
离散鞅是一种离散时间的鞅，它在数学和统计学中有着广泛的应用。
离散鞅的停时定理是研究离散鞅收敛性质和停止时间之间关系的重要结果。
本文将详细介绍离散鞅的概念、停时的定义和性质，并阐述离散鞅的停时定理及其证明过程。
离散鞅的定义与性质离散鞅的定义设(X n )n≥0是一列随机变量序列，(ℱn )n≥0是一个满足ℱ0⊂ℱ1⊂⋯条件的σ-代数序列，则称(X n ,ℱn )n≥0为一个离散鞅，如果对于任意n ，都有E (|X n |)<∞且E (X n+1|ℱn )=X n 成立。
停时的定义与性质停时是一种随机变量，它表示了某个随机过程第一次达到某个状态的时刻。
具体地，设(X n )n≥0是一个随机过程，(ℱn )n≥0是相应的σ-代数序列，则一个随机变量T:Ω→ℕ0∪{∞}称为一个停时，如果对于任意n ，事件{T =n}∈ℱn 。
停时的性质如下：•对于任意n ，事件{T ≤n}=⋃k=0n {T =k}∈ℱn 。
•对于任意n ，事件{T >n}=(⋃k=0n {T =k})c =(⋂k=0n ({T =k})c )∈ℱn 。
• 对于任意n ，事件{min (T,n )=m}=({T =m,m ≤n})∪({T >n,m =n +1,…,∞})∈ℱm 。
离散鞅的停时定理离散鞅的停时定理是关于离散鞅和停时之间关系的重要结果。
具体地，在给定一列随机变量(X n )n≥0和一个停时T 的情况下，离散鞅的停时定理可以表述为：若存在正数c 使得对于任意n ，有E(|X n+1−X n |⋅I (T >n ))≤c 成立，则有E (X T )=E (X 0)。
其中I (⋅)是指示函数。
离散鞅的停时定理的证明离散鞅的停时定理可以通过条件期望的性质来证明。
具体地，我们需要使用以下两个性质：•对于任意两个随机变量Y,Z 和一个σ-代数G ，有E(Y ⋅I (Z ∈G ))=E(E (Y|G )⋅I (Z ∈G ))。
一致可积离散时间鞅一定满足鞅收敛定理
一致可积离散时间鞅一定满足鞅收敛定理一、引言鞅论是概率论中的重要分支，研究了随机过程中的均值演化规律。
鞅收敛定理是鞅论中的重要结果之一，它描述了一类特殊的随机过程在一定条件下的收敛性质。
本文将着重介绍一致可积离散时间鞅，并证明其满足鞅收敛定理。
二、一致可积离散时间鞅的概念在介绍一致可积离散时间鞅之前，我们先回顾一下鞅的定义。
设{X_n, n≥0}是一个随机过程，若对于任意的n≥0，有E(|X_n|)<∞，并且对于任意的0≤m≤n，有E(X_n|F_m)=X_m ，其中{F_n, n≥0}是一个滤过过程，那么{X_n, n≥0}就是一个鞅。
一致可积离散时间鞅是指在一定条件下，鞅序列{X_n, n≥0}满足一致可积性。
一致可积性是指存在一个常数M，使得对于任意的n≥0，有E(|X_n|)三、一致可积离散时间鞅的性质一致可积离散时间鞅具有以下性质：1. 一致可积离散时间鞅的条件期望是有界的，即对于任意的n≥0，有|E(X_n|F_{n-1})|2. 一致可积离散时间鞅的差分序列是一个平方可积序列，即对于任意的n≥1，有E((X_n-X_{n-1})^2|F_{n-1})3. 一致可积离散时间鞅的差分序列是一个零均值序列，即对于任意的n≥1，有E(X_n-X_{n-1}|F_{n-1})=0。
四、一致可积离散时间鞅的收敛定理鞅收敛定理是鞅论中的重要结果之一，它描述了一类特殊的随机过程在一定条件下的收敛性质。
对于一致可积离散时间鞅，我们有以下鞅收敛定理：如果{X_n, n≥0}是一个一致可积离散时间鞅，并且存在一个随机变量X，使得对于任意的n ≥0，有E(|X_n-X|)0，有lim_{n→∞}P(|X_n-X|≥ε)=0。
五、实例分析为了更好地理解一致可积离散时间鞅和鞅收敛定理，我们以赌博游戏为例进行实例分析。
假设有一个赌博游戏，每轮游戏中，参与者可以抛掷一枚硬币，正面朝上则赢得1元，反面朝上则输掉1元。
一致可积离散时间鞅一定满足鞅收敛定理
一致可积离散时间鞅一定满足鞅收敛定理鞅收敛定理是概率论中的重要定理之一，它描述了一致可积离散时间鞅的收敛性质。
在本文中，我们将详细讨论一致可积离散时间鞅的收敛定理，并探讨其应用和与其他相关概念的关系。
让我们回顾一下鞅的定义。
离散时间鞅是一个随机过程，它满足以下三个性质：1.可测性：对于每个时刻t，鞅的值X_t是随机变量，与之前的时刻的信息相关，并且是可测的。
2.无偏性：对于每个时刻t，鞅的期望E[X_t]等于其之前的时刻的值的期望E[X_s]，其中s≤t。
3.有界增量性：对于每个时刻t，鞅的增量X_t - X_{t-1}是有界的。
一致可积离散时间鞅是指它的各个时刻的绝对值的期望是有界的，即E[|X_t|] < ∞。
现在我们来描述一致可积离散时间鞅的收敛定理。
设{X_t}是一致可积离散时间鞅，并设X_t的极限存在，即存在随机变量X，满足lim_{t→∞} X_t = X，几乎处处成立。
那么，X是一致可积离散时间鞅的极限。
证明一致可积离散时间鞅的收敛定理可以分为两步。
首先，我们需要证明序列{X_t}是依测度收敛的。
换句话说，对于任意的ε>0，我们有lim_{t→∞} P(|X_t - X| > ε) = 0，即随着t趋于无穷，随机变量X_t以概率1趋于X。
为了证明这一步骤，我们可以使用鞅的增量性质。
具体来说，我们可以选择一个足够大的时刻T，使得对于任意的t>T，我们有E[|X_t - X_{t-1}|] < ε。
然后我们可以使用切比雪夫不等式，将这一条件转化为概率的形式，从而得到序列{X_t}的依测度收敛性。
接下来，我们需要证明极限X是一致可积离散时间鞅的性质。
具体来说，我们需要证明X满足可测性、无偏性和有界增量性。
对于可测性，我们可以使用极限的依测度收敛性，以及鞅的可测性性质得到。
对于无偏性和有界增量性，我们可以使用鞅的无偏性和有界增量性在极限中得到。
因此，我们可以得出结论，极限X满足一致可积离散时间鞅的性质。
离散鞅论及应用
离散鞅论及应用离散鞅论及应用一、 基础定义设(,,)P ΩF 为概率空间，整数集合{,1,0,1,}Q =-L L ，I 表示Q 的一个“区间”，指Q 的不间断子集，比如：{1,2,,}I n =L ，{1,2,3,}I =L 等。
定义1：设(),n n I ∈F 为单调上升（或下降），指n m ⊂F F ，,,n m I n m ∀∈≤（或n m ⊃F F ）。
设{},n Z n I ∈为随机变量序列，若n Z 关于n F 可测，n I ∈，称{},,n n Z n I ∈F 为适可测随机变量。
定义2：设{},,n n Z n I ∈F 为适可测随机变量，若下两条满足：1. ()n E Z <∞，2. (|),,,n m m E Z Z n m n m I =>∈F 。
则称{},,n n Z n I ∈F 为一个鞅。
若2改写成(|)()n m m m E Z Z Z ≥≤F ，称{},,n n Z n I ∈F 为下鞅（上鞅），合称为半鞅。
定义3设{},,n n Z n I ∈F 为适可测随机变量，{}n F 下降，若()n E Z <∞，n I ∈且(|),,,n m m E Z Z n m n m I =∀<∈F ，则称{},,n n Z n I ∈F 为一个反鞅。
命题 1.对于区间{1,2,,}I n =L ,{},,n n Z n I ∈F 为适可测随机变量列，则{},,1i i Z i n ≤≤F 为一个鞅，当且仅当{}11,,1n i n i Z i n -+-+≤≤F 为一个反鞅。
定义 4 设{},,n n Z n I ∈F 为适可测随机变量列，()n E Z <∞，n I ∈，若(|)0,,,n m E Z n m n m I =∀>∈F ，称{},,n n Z n I ∈F 为一个鞅差。
命题2 设{},1n n ≥F 为上升σ域（列），下两条成立：（1） 若{},,1n n Z n ≥F 为一个鞅，则{},,1n n X n ≥F 为一个鞅差，其中1n n n X Z Z -=-（2） 若{},,1n n X n ≥F 为一个鞅差，则{},,1n n Z n ≥F 为一个鞅，其中1nn i i Z X ==∑。
鞅基本概念、停时定理与表示定理
{ X n } 下鞅
性质7
{ X n }、{Yn } 上鞅
EX 0EX kEX n 0kn
{Xn Yn}上鞅
{ X n }、{Yn } 下鞅
{Xn Yn}下鞅
性质8
{ X n } 上鞅
{Y n } 下鞅
{ X n } 下鞅
{Y n } 上鞅
{Xn Yn} 上鞅 {Xn Yn} 下鞅
性质9 { X n } 鞅
k0
且 E(Xn1|Y0, ,Yn)E [X (nY n 1)|Y 0, ,Y n]
E(Xn|Y0, ,Yn)E(Yn1|Y , ,Yn)
XnEYn1 X n
所以，{Xn} 关于 {Yn}是鞅。
例2 在例1中，若 EYn0(0) ，则 X n 关于 Y n
是下（上）鞅。但是， MnXnn关于 Y n 是鞅。
{Yn}独立同分布，且
P (Y n 1 ) P (Y n 1 ) 12
bnbn(Y 1,Y2, ,Yn1)------第n次赌注
X0是初始赌资，则赌博者n 第n次赌博后的赌资为
Xn X0 biYi i1
则 E[Xn1Y1, ,Yn]Xn 即{Xn} 关于 {Yn}是鞅。
定理1 {Xn} 关于 {Yn}是鞅的充要条件为对任意
鞅的基本概念、停 时定理和表示定理
第一节 基本概念 第二节 鞅停时定理 第三节 连续时间鞅 第四节 鞅表示定理
第一节 基本概念
一、离散鞅的定义及性质
定义1 若随机序列
对任意
有
（1） （2）
则称 {Xn}为 离散鞅序列 简称为鞅
注： 如果{Xn}为鞅，则它有某种无后效性, 即当已 知时刻n以及它以前的值 X0 , …, Xn ,那么n+1时刻的 值 Xn+1对 X0 , X1 , …, Xn的条件期望与时刻n以前的 值 X0 , …, Xn-1无关，并且等于 Xn 。 鞅的直观背景解释：
鞅和鞅表示
则称 {St ,t ∈[0, ∞]} 适应于 {I t , t ∈ [ 0, ∞ ]} 给出信息集 I
t
t ≥ 0 时包含于信息集 I t 中，
，就会知道价值 S t
即表示
从而 使用不同的信息集I t 就会产生顺序 S t 的不同 的预期。可用条件期望表示成： 可用条件期望表示成：
首页
则称 { X n } 关于 {Yn } 为上鞅
类似 下鞅
简称 { X n }为上鞅
E ( X n +1 | Y0 ,L, Yn ) ≥ X n
关于上、下鞅的的直观解释： 上鞅表示第n+1年的平均赌本不多于第n年的赌本， 即具有上鞅这种性质的赌博是亏本赌博； 下鞅表示第n+1年的平均赌本不少于第n年的赌本， 即具有下鞅这种性质的赌博是盈利赌博。
≥| E ( X m | Y0 , L, Yn ) | =| X n |
例3
n 设{X n ， = 0,1,2, L }是在直线上整数点上的贝 努利随机游动，即它是一个以 I = {0,±1,±2, L} 为状态空间的时齐的马尔可夫链，它的转移矩阵
P = ( pij ) 满足
首页
pi , pij = qi , 0,
则 τ ( A) 是停时。
证
从 τ ( A) 的定义直接得到
χ {τ ( A ) = n } (Y0 , L , Yn )
首页
1 若Y j ∉ A, j = 0, L, n − 1, Yn ∈ A = 0 其他 即 τ ( A) 是 停 时 。
注 若令τ ( A) 为最后进入A的时刻，则τ ( A) 不是停时。 原因是要确定 τ ( A) = n ，不仅要看 Y0 , L , Yn 是否 取值在A中，还需知道全部 Y n + 1 , L 的情况。 返回
鞅逼近与预解式表示收敛的几个定理
２Ｏ Ｏ ７年 ９月
研 究 简 报
鞅 逼 近 与 预 解 式 表 示 收 敛 的几 个 定 理
胡 华
（ 宁夏大学 数学计算机学院 ， 银川 ７ ０ ２ ） ５０ １
摘 要 ： 过 引入平 稳遍历 Ｍ ｒｏ 程 的鞅 逼 近和 Ｓ∽ 的预 解 式表 示 ，给 出并证 明 了 Ｓ∽ 存 通 ａｋｖ过 在鞅 逼近 当且仅 当预 解 式表 示 收敛 ， 于 Ｍａｋｖ链 有相 应 的公 式化结 果．表 明通 过 预解 式构 对 ｒｏ 造平 稳遍 历 Ｍａｋｖ过 程 加性泛 函的鞅逼 近方 法在 此意 义下 具 有普遍 性． ｒｏ 关键 词 ：Ｍ ｒｏ ａｋｖ过程 ； ；鞅逼 近 ；预解 式表 示 鞅 中 图分类号 ： ２ １６ Ｏ １． 文 献标 识码 ： Ａ 文 章编 号 ：１７ － ８ （０７ ０ －７７０ ６ １ ４ ９ ２０ ）５０ ６ － ５ ４
ｃ ａ ｎ ，ｓ ｏ ｎ ａ ｈ ｔ ｏ ｆ ｃ ｎ ｔｕ ｔ ｇ ａ ｍａ ｔ ｇ ｅ ａ ｐ ｏ ｉ ｔ ｎ ｔ ｎ ａ ｄ ｔ ｅ ｆ ｎ ｔ ｎ ｆ ａ ｈ ｉ ｓ ｈ ｗｉｇ ｔ ｔ ｔ ｅ ｍｅｈ ｄ ｏ ｏ ｓ ｃｉ ｒｉ ａ ｐ ｒ ｘ ｍａｉ ｏ ａ ｄ ｉ ｖ ｕ ｃ ｉ ａ ｏ ｈ ｒ ｎ ｎｌ ｏ ｉ ｏｌ ｓａｉｎ ｒ ｒ ｏ ｉ Ｍａ ｋ ｖ ｐ ｃ ｓ ｉ ｈ ｓ ｌｅ ｔ ａ ｎ ｖ ｒａｉ ｎ ｅ ｈ ｓｋ ｎ ｆｃ ｎ ｉ ｏ ． ｔｔ ａ ｙ ｅ ｇ ｄ ｃ ｏ ｒ ｏ ｒ ｅ ｓｖ ａ ｔ ｅ ｒ ｏｖ ｎ ｓ ｕ ｉｅ ｓ ｔ ｕ ｄ ｒ ｔ ｉ ｉ ｄ ｏ ｏ ｄ ｔ ｎ ｏ ｅ ｈ ｌ ｙ ｉ
ｎ≥ １ ．
一
定 义 ｌ 如果存 在两 列随 机变 量 （ ）；和 （ 。 使 得 Ｓ∽ 满足 如 下条 件 ，则称 存在 Ｓ（ 的 Ｍ 。 Ａ ）；， 个 鞅逼 近 ： （ ）Ｓ∽ ：Ｍ Ａ ， ≥１ ２ Ｍ 。 于 Ｆ （ ｏ … ， ） １ ＋ ｎ ；（ ）（ ）；关 ＝ Ｘ ， 是具 有 平稳 增 量 的平方 可 积 鞅 ；
第一章鞅第六节连续参数鞅的样本函数的性质和收敛定理(精)
第六节 连续参数鞅的样本函数的性质和收敛定理一、样本函数的性质以下，记),0(),,0[+∞=+∞=+T T对一个给定的随机过程};{T t x t ∈，指定T 的一个可列子集},,{21 t t D =记},,,{21n n t t t U =为D 的前n 个元素，将n U 的元素按大小重新排列，设n t t t ααα<<< 21用)(n b a U V 表示n t t t x x x ααα,,,21严格上穿区间],[b a 的次数。
这里严格上穿指的是nt t t x x x ααα,,,21的值由小于a 变到大于b ，比如b x a x t t ><21,αα，就称严格上穿区间一次。
显然)()(1+≤n b a n b a U V U V记)(lim )(n b a n b a U V D V ∞→=则)(D V b a 是};{D t x t ∈严格上穿区间],[b a 的次数。
定理1-6-1 设},,{T t x t t ∈F 是下鞅，D 是T 中的一个可列子集，又设s r T s r <∈,,，设],[b a 为任意区间，令0>λ，于是有 （1）|)|(1)(1])},[({a Ex ab a x E a b s r D V E s s b a +-≤--≤++ （2）||)sup (],[s t s r D t x E x P ≤≥∈λλ证明：（1）设},,,,{],[21 n t t t s r D =},,,{21n n t t t U =为简单起见，设n t t t <<< 21，则s t n ≤，由定理4—1+--≤)(1)(a x E ab U EV n t n b a 因为+-)(a x E t 也是下鞅，所以++-≤-)()(a x E a x E s t n+--≤)(1)(a x E ab U EV s n b a 由单调收敛定理知()|)|(1)(1],[)](lim [)(lim a x E ab a x E a b s r D EV U V E U EV s s ban b a n n b a n +-≤--≤==++∞→∞→ （2）由定理3-3⎰≥∈∈≤≥}sup {)sup (λλλt nU t nnx t t U t dP x x P令⎩⎨⎧≥≥=若上面的集合是空集,},;min{n x n k k k t λτ 记}x sup {w;M t U t nλ≥=∈，则τ为停时，且在M 上，λτ≥x 。
第一章 鞅 第三节 离鞅的基本不等式
，
于是
得
若 有界，则 ，得
对一般的 ，令 为非负下鞅，有式子
令 ，则得
得
取 ，则 也是停时，且 ，同样有定理1-3-2知
故
（习题1-3-5证明（Ⅲ）式）
END
推论1-3-4设 为鞅， ，则
证明：因为 是鞅， 为下鞅，故
注1-3-1机序列 ，记
定理1-3-4设 为非负下鞅， 是 上的任意非降右连续函数， ,则有
证明：因为
Hale Waihona Puke 所以时，令 ，对上式从1到 求和，得
定理1-3-5设 为非负下鞅，则对任意的 ，有
END
推论1-3-1若 为鞅（下鞅）， 为停时，则 必是鞅（下鞅）。
证明：取 则 。因为 ，所以 ， ， ， ， ，故 是可料的，非负有下界的。若
若 ，则
所以 ，故 为鞅。（习题1-3-3证明下鞅的情形）
END
定理1-3-2（有界停时定理）设 为下鞅（鞅）， , 为有界停时，且 ,则
。
证明：设 ，则 是非负可料的，所以 是下鞅（鞅）。实际上，在推论1-3-1中我们已经证明了 ，故 ，从而 。同时，我们令 ，故 。此外，因为 ，所以 ，于是
因为 ，由定理1-3-2知， ，所以
时，
，
当 时，
，
所以
END
推论1-3-3设 为下鞅（鞅）， ，则
证明：
因为 ，由定理1-3-2知
又因为 ，定理1-3-2知
所以
又
再令 ，由 引理得
。
END
定理1-3-3（极值不等式）设 为下鞅，则对 有
（Ⅰ）
（Ⅱ）
（Ⅲ）
证明：取 ，则 为停时，由定理1-3-2知 ，于是
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第四节 离散鞅的收敛定理设}0;{M n X X n ≤≤=为一数列，],[b a 为一闭区间，如果a X k <，b X k >+1，则称该数列上穿],[b a 一次。
记⎩⎨⎧≤≤>+≤≤≤=Mn a X M a X M n n n n 0,,1},0;min{1τ⎩⎨⎧≤≤≤+≤≤≤=Mn b X M b X M n n n n 111,,1},;min{ττσ⎩⎨⎧≤≤>+≤≤≤=M n a X M a X M n n n n 112,,1},;min{σστ⎩⎨⎧≤≤≤+≤≤≤=M n b X M b X M n n n n 222,,1},;min{ττσ…⎩⎨⎧≤≤>+≤≤≤=--M n a X M a X M n n k n n k k 11,,1},;min{σστ ⎩⎨⎧≤≤≤+≤≤≤=M n b X M b X M n n k n n k k ττσ,,1},;min{ 于是b X a X ≥≤11,στ，数列穿过],[b a 一次，b X a X ≥≤22,στ，数列穿过],[b a 两次，如此下去，b X a X k k ≥≤στ,，数列穿过],[b a k 次，在这里都假设k i M i i ≤≤≤1,,στ。
定义1-4-1 M k ≤σ的最大的k 称为数列}0;{M n X X n ≤≤=上穿],[b a 的次数，记为b a V 。
若11+=M σ，则令0=b a V 。
定理1-4-1 （上穿不等式）设}0;{M n X X n ≤≤=为下鞅，则|}|][{1]})[(])[({1][0a X E ab a X E a X E ab V E n M b a +-≤----≤+++证明：令M n a X Y n n ≤≤-=+0,)(,则由定理1-3-2的推论1-3-2知n Y 也是下鞅。
易见，若n X 穿过],[b a 一次，即b X a X i i ≥≤στ,，则,,0a b Y Y i i -≥=στ即n Y 穿过],0[a b -一次。
所以n Y 穿过],0[a b -的次数也是b a V ，且由n X 在],[b a 上定义的k k στ,和由n Y 在],0[a b -上定义的k k στ,相同。
再令M M M Y Y M =+==++110,1,0τσ则∑∑+==--+-=-1110)()(1M k Mk M k k k k Y Y Y Y Y Y σττσ （1）b a V 是ω的函数，设0)(>=r w V b a ，则r k a b Y Y k k ,,2,1,)()( =-≥-ωωτσr k Y Y k k >≥-,0)()(ωωτσ)()(),())()((1ωωωτσba Mk V a b r a b Y Y kk -=-≥-∑= 当0=r 时，上式仍成立。
][)(])([1b a Mk V E a b Y Y E k k -≥-∑=τσ （2）又因为k k στ,是有界停时，且1-≥k k στ，故由定理1-3-2知11)|(--≥k k Y Y E σστF ，][][1-≥k kY E Y E στ从而 0)]()([)]([111111≥-=-∑∑+=+=--M k M k k kk k Y E Y E Y Y E στωτ （3）由式（1）（2）（3）知])()([][][][111001∑∑=+=--+-=-=-Mk M k M M k k k k Y Y Y Y E Y Y E Y E Y E σττσ][)(b a V E a b -≥由此得 ])()([1)]()([1][00++----=--≤a X E a X E ab Y E Y E a b V E M M b a 又因为|,|)(a X a X MM +≤-++所以 |}.|][{1][a X E ab V E n b a +-≤+定理1-4-2 设}0;{≥=n X X n 为下鞅，满足条件∞<|][|sup n X E记,0k k F F ∞=∞∨=则存在∞F 可测的随机变量∞X ，满足∞∞→=X X n n lim ..e a证明：令)}(lim )(lim ;{ωωωn n n n X X A ∞→∞→<=)}(lim )(lim ;{),(ωωωn n n n X b a X b a A ∞→∞→<<<=则∞∈F ),(,b a A A 。
记Q 为有理数全体，则),(,b a A A Qb a b a ∈<= （习题1-4-1 证明此式）往证0)(=A P ,令)(M V b a 为M X X X ,,,10 上穿],[b a 的次数，b a V 表示,,,210 X X X 上穿],[b a 的次数。
显然)(M V b a 单调非减，且)(lim M V V b a n b a ∞→=。
由上穿不等式|]||)(|sup [1|}.|][{1)]([0a X E ab a X E ab M V E M M n b a +-≤+-≤≥+所以∞<+-≤≥|]||)(|sup [1][0a X E ab V E n n b a 由此知1)(=∞<b a V P由上极限和下极限的定义知{}+∞=⊂)(;),(ωωb a V b a A故0)(,0)),((==A P b a A P .所以n n X ∞→lim 几乎处处存在。
记n n X X ∞→∞=lim则∞∞→=X X n n lim ..e a由Fatou 引理得∞<≤≤≥∞→∞|}{|sup |][|lim |][|0n n n n X X E X E注1-4-1 因为][][2][][2|][|0X E X E X E X E X E n n n n -≤-=++所以条件+∞<≥|][|sup 0n n X E 可以减弱为+∞<+≥][sup 0n n X E 。
推论1-4-1 设}0;{M n X X n ≤≤=为非负上鞅，则..,lim e a X X n n ∞∞∞→∈=F证明：因为n X 为上鞅，所以n X -为下鞅，所以∞<≤=-][][|][|1X E X E X E n n..,)(lim 'e a X X n n ∞∞∞→∈=-F ..,lim 'e a X X X n n ∞∞∞→≡-= END定义1-4-2 }0;{≥=n X X n 为随机序列，称X 为一致可积的，如果0||lim }|{|=⎰≥∞→dP X n X n λλ关于0≥n 一致成立。
定理1-4-3 设}0;{≥=n X X n 是鞅（下鞅），且一致可积，则存在可积的随机变量∞X ，∞X 关于∞F 可测，使 （ⅰ）∞∞→=X X n n lim ..e a（ⅱ）0lim =-∞∞→X X E n n（ⅲ）}0;{∞≤≤n X n 是鞅（下鞅），即对一切0≥n ，都有..),(]|[e a X X X E n n n ≥=∞F证明：因为}0;{≥=n X X n 一致可积，所以当λ充分大时，对n 一致地有ελλλ+≤+≤⎰⎰≥<}|{|}|{|||||||n n X n X n n dP X dP X X E由此可知，∞<≥][sup 0n n X E 。
由定理1-4-2知，存在∞F 可测且可积的∞X ，使∞∞→=X X n n lim ，..e a 。
∞⊆∈∀F F n A ，因为,]|[n n m X X E =F 由条件概率的定义知∞→→==∞⎰⎰m I X E I X E dP X dP X A A m Am An ],[][再由条件概率的定义和性质知，..,)(]|[e a X X X E n n n ≥=∞F （习题1-4-1 证明下鞅的情形）END推论1-4-2 设}0,{≥n n F 为σ代数流，n n F F 0∞=∞∨=，Y 是可积的随机变量，令,0],|[≥=n Y E X n n F则（ⅰ）}{n X 一致可积（ⅱ）.,,]|[lim e a Y E X n n ∞∞→=F ，且0|)|(|lim =-∞∞→F Y E X E n n证明：（ⅰ）由马尔科夫不等式∞→→≤≤≥--λλλλ,0||||)|(|11Y E X E X P n n所以⎰≥}|{|||λn X n dP X ⎰≥≤}|{|||λn X dP Y⎰≥<=}|{|}|{|||λn X k Y dP Y ⎰≥≥+}|{|}|{|||λn X k Y dP Y⎰≥=}|{|λn X dPk⎰≥+}|{|||k Y dP Y)|(|λ≥=n X kP ⎰≥+}|{|||k Y dP Y对,,0K ∃>∀ε当K k >时，2||}|{|ε<⎰≥k Y dP Y对所取的k ，取充分大的k λ，使k λλ>时，2)|(|ελ<≥n X kP所以λ充分大时，εεελ<+<⎰≥22||}|{|n X n dP X}{n X 一致可积。
（ⅱ）因为n n n n n n X Y E Y E E X E ===++]|[]|]|[[]|[11F F F F ，所以}0;{≥n X n 是鞅，又因为}0;{≥n X n 一致可积，由定理1-4-3知存在∞∞∈F X ，∞<∞||X E ，使得∞∞→=X X n n lim ，..e a 。
往证]|[∞∞=F Y E X . 因为∞→→-∞n X X E n ,0||所以对∞∈∀F A∞→→∞n I X E I X E A A n ],[][从而对∞⊂∈∀F F n A ，有∞→→=⎰⎰⎰∞n dP X dP X dP Y AAn A,所以][][A A I X E YI E ∞=上式对n n A F ∞=∈∀0 成立。
由-λ系法知，对⎪⎭⎫⎝⎛∈∀∞=n n A F 0 σ，上式也成立。
由条件概率的定义知]|[∞∞=F Y E X .END定义1-4-3 称}0,{≥n n F 是反向子σ代数流，如果210F F F ⊃⊃定义1-4-4 称}0,{≥=n X X n 为}0,{≥n n F 的反向鞅（反向上鞅或反向下鞅），如果（1）n X 是n F 可测的，且∞<||n X E（2）对m m n X X E n m =>]|[,F （相应的≤或≥）例：设Z 为随机变量，}0,{≥n Y n 是随机变量序列，且∞<||Z E 令 ,2,1,0),,,(1==+n Y Y n n n σF ]|[n n Z E X F = 则}0,{≥n X n 是}0,{≥n n F 的反向鞅。