第一章 鞅 第四节 离散鞅的收敛定理

第四节 离散鞅的收敛定理

设}0;{M n X X n ≤≤=为一数列，],[b a 为一闭区间，如果a X k <，b X k >+1，则称该数列上穿],[b a 一次。记

⎩⎨

⎧≤≤>+≤≤≤=M

n a X M a X M n n n n 0,,1}

,0;min{1τ

⎩⎨⎧≤≤≤+≤≤≤=M

n b X M b X M n n n n 111,,1}

,;min{ττσ

⎩

⎨

⎧≤≤>+≤≤≤=M n a X M a X M n n n n 112,,1}

,;min{σστ

⎩

⎨

⎧≤≤≤+≤≤≤=M n b X M b X M n n n n 222,,1}

,;min{ττσ

…

⎩⎨

⎧≤≤>+≤≤≤=--M n a X M a X M n n k n n k k 11,,1}

,;min{σστ ⎩

⎨

⎧≤≤≤+≤≤≤=M n b X M b X M n n k n n k k ττσ,,1}

,;min{ 于是b X a X ≥≤11,στ，数列穿过],[b a 一次，b X a X ≥≤22,στ，数列穿过],[b a 两次，如此下去，b X a X k k ≥≤στ,，数列穿过],[b a k 次，在这里都假设

k i M i i ≤≤≤1,,στ。

定义1-4-1 M k ≤σ的最大的k 称为数列}0;{M n X X n ≤≤=上穿],[b a 的次数，记为b a V 。若11+=M σ，则令0=b a V 。

定理1-4-1 （上穿不等式）设}0;{M n X X n ≤≤=为下鞅，则

|}|][{1]})[(])[({1

][0a X E a

b a X E a X E a

b V E n M b a +-≤----≤

+++

证明：令M n a X Y n n ≤≤-=+0,)(,则由定理1-3-2的推论1-3-2知n Y 也是下鞅。易见，若n X 穿过],[b a 一次，即b X a X i i ≥≤στ,，则,,0a b Y Y i i -≥=στ即n Y 穿过

],0[a b -一次。所以n Y 穿过],0[a b -的次数也是b a V ，且由n X 在],[b a 上定义的

k k στ,和由n Y 在],0[a b -上定义的k k στ,相同。再令

M M M Y Y M =+==++110,1,0τσ

则

∑∑+==--+-=-1

1

1

0)()(1M k M

k M k k k k Y Y Y Y Y Y σττσ （1）

b a V 是ω的函数，设0)(>=r w V b a ，则

r k a b Y Y k k ,,2,1,)()( =-≥-ωωτσ

r k Y Y k k >≥-,0)()(ωωτσ

)()(),())()((1

ωωωτσ

b

a M

k V a b r a b Y Y k

k -=-≥-∑= 当0=r 时，上式仍成立。

][)(])([1b a M

k V E a b Y Y E k k -≥-∑=τσ （2）

又因为k k στ,是有界停时，且1-≥k k στ，故由定理1-3-2知

11)|(--≥k k Y Y E σστF ，]

[][1

-≥k k

Y E Y E στ

从而 0)]()([)]([11

11

11≥-=

-∑∑+=+=--M k M k k k

k k Y E Y E Y Y E στ

ωτ （3）

由式（1）（2）（3）知

])()([][][][1

1

1001∑∑=+=--+-=-=-M

k M k M M k k k k Y Y Y Y E Y Y E Y E Y E σττσ

][)(b a V E a b -≥

由此得 ])()([1)]()([1][00++----=--≤

a X E a X E a

b Y E Y E a b V E M M b a 又因为|,|)(a X a X M

M +≤-+

+所以 |}.|][{1][a X E a

b V E n b a +-≤

+

定理1-4-2 设}0;{≥=n X X n 为下鞅，满足条件

∞<|][|sup n X E

记,0

k k F F ∞

=∞∨=则存在∞F 可测的随机变量∞X ，满足

∞∞

→=X X n n lim ..e a

证明：令

)}(lim )(lim ;{ωωωn n n n X X A ∞

→∞

→<=

)}(lim )(lim ;{),(ωωωn n n n X b a X b a A ∞

→∞

→<<<=

则∞∈F ),(,b a A A 。记Q 为有理数全体，则

),(,b a A A Q

b a b a ∈<= （习题1-4-1 证明此式）

往证0)(=A P ,令)(M V b a 为M X X X ,,,10 上穿],[b a 的次数，b a V 表示

,,,210 X X X 上穿],[b a 的次数。显然)(M V b a 单调非减，且)(lim M V V b a n b a ∞

→=。由

上穿不等式

|]||)(|sup [1

|}.|][{1)]([0

a X E a

b a X E a

b M V E M M n b a +-≤

+-≤≥+

所以

∞<+-≤

≥|]||)(|sup [1

][0

a X E a

b V E n n b a 由此知

1)(=∞

由上极限和下极限的定义知

{}

+∞=⊂)(;),(ωωb a V b a A

故0)(,0)),((==A P b a A P .所以n n X ∞

→lim 几乎处处存在。记

n n X X ∞

→∞=lim

则

∞∞

→=X X n n lim ..e a

由Fatou 引理得

∞<≤≤≥∞

→∞|}{|sup |][|lim |][|0

n n n n X X E X E

注1-4-1 因为