八年级数学直角三角形-P

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八年级数学《直角三角形》知识点

八年级数学《直角三角形》知识点一、直角三角形的性质1、直角三角形的两个锐角互余可表示如下：∠ C=90 ° ∠A+∠ B=90°2、在直角三角形中， 30°角所对的直角边等于斜边的一半。

∠ A =30°可表示如下：BC=1AB2∠ C =90°3、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半∠ A CB=90°可表示如下：CD= 1AB=BD=AD2D为 AB 的中点4、勾股定理直角三角形两直角边 a ， b 的平方和等于斜边 c 的平方，即 a2b2c25、射影定理 ( 了解 )在直角三角形中，斜边上的高线是两直角边在斜边上的射影的比例中项，每条直角边是它们在斜边上的射影和斜边的比例中项∠ ACB=90°CD2AD BDAC 2AD ABCD ⊥ ABBC2BDAB6、常用关系式由三角形面积公式可得：AB CD=AC BC二、直角三角形的判定1 、有一个角是直角的三角形是直角三角形。

2、如果三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形。

3、勾股定理的逆定理222如果三角形的三边长 a ，b ， c ，有关系 a b c ，那么这个三角形是直角三角形。

1、解直角三角形的概念在直角三角形中，除直角外，一共有五个元素，即三条边和两个锐角，由直角三角形中除直角外的已知元素求出所有未知元素的过程叫做解直角三角形。

2、解直角三角形的理论依据在 Rt △ ABC 中，∠ C=90 °，∠ A ，∠ B ，∠ C 所对的边分别为 a ， b ，c（ 1）三边之间的关系：a 2 b2c 2（勾股定理）（ 2）锐角之间的关系：∠ A+∠ B=90° （ 3）边角之间的关系：练习：一、选择题1. 直角三角形的斜边比一直角边长2 cm ，另一直角边长为 6 cm ，则它的斜边长为（）A 、 4 cmB 、 8 cmC 、 10 cmD 、 12 cm2. 已知一个 Rt △的两边长分别为 3 和 4，则第三边长的平方是（）A 、 25B 、 14C 、 7D 、 7 或 253. 等腰三角形的腰长为 10, 底长为 12, 则其底边上的高为 ()A 、 13B 、 8C 、 25 D、 644. 将直角三角形的三条边长同时扩大同一倍数, 得到的三角形是 ( )A 、钝角三角形B 、锐角三角形C 、直角三角形D 、等腰三角形 . 5、等腰三角形腰长为 13，底边长为 10，则它底边上的高为（） A.12 B.7 C.5 D.66. 已知 a ，b ， c 为△ ABC 三边，且满足 ( a 2－ b 2)( a 2+b 2－ c 2) ＝0，则它的形状为（）A. 直角三角形B.等腰三角形C. 等腰直角三角形D. 等腰三角形或直角三角形7. 如图， MP ⊥ NP ，MQ 为△ MNP 的角平分线， MT ＝ MP ，连接 TQ ，则下列结论中不正确的是（）A 、 TQ ＝ PQB 、∠ MQT ＝∠ MQPC 、∠ QTN ＝ 90°D 、∠ NQT ＝∠ MQT8. 在△ ABC 中 , ∠ A: ∠ B: ∠C=1:2:3,CD ⊥ AB 于 D,AB=a , 则 DB 等于 ()A.aB.aC.aD. 以上结果都不对PQMNT23 4二、解答题1、已知：如图， AC 平分∠ BAD ， CE ⊥ AB 于 E ， CF ⊥ AD 于 F ，且 BC ＝DC. 求证： BE=DFFDC1 2AE B2. 已知，如图，四边形 ABCD 中， AB=3cm ， AD=4cm ， BC=13cm ， CD=12cm ，且∠ A=90°，求四边形 ABCD 的面积。

北师大版八年级数学下册.2直角三角形全等的判定课件

课堂总结
本节课你学到了什么？
判定直角三角形全等的“四种思路”： (1)若已知条件中有一组直角边和一组斜边分别相等，用“HL”判定． (2)若有一组锐角和斜边分别相等，用“AAS”判定． (3)若有一组锐角和一组直角边分别相等，①直角边是锐角的对边，用“AAS”判定；②直角边是锐角的邻边，用“ASA”判定． (4)若有两组直角边分别相等，用“SAS”判定．
中考链接
7.【中考·镇江】如图，AD，BC相交于点O，AD＝BC，∠C＝∠D＝ 90°， (1)求证：△ACB≌△BDA； (2)若∠ABC＝35°，则∠CAO＝__2_0__°___.
证明：∵∠C＝∠D＝90°， ∴△ACB和△BDA都是直角三角形．在Rt△ACB和Rt△BDA中， AB＝BA，BC＝AD，∴Rt△ACB≌Rt△BDA.
课堂练习
5.如图，CD⊥AB，BE⊥AC，垂足分别为点D，E，BE与CD相交于点 O，且∠1＝∠2，则下列结论中正确的有( D ) ①∠B＝∠C；②△ADO≌△AEO； ③△BOD≌△COE；④图中有四对三角形全等． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
拓展提高
6.如图，在△ABC中，AB＝CB，∠ABC＝90°，F为AB延长线上一点，点E在BC上，且AE＝CF. (1)求证：Rt△ABE≌Rt△CBF；
课堂练习
3.如图，在△ABC中，∠C＝90°，E为AC上一点，ED⊥AB于点D， BD＝BC，连接BE，若AC＝6 cm，则AE＋DE等于( C ) A．4 cm B．5 cm C．6 cm D．7 cm
课堂练习
4.如图，已知AB＝AD，那么添加下列一个条件后，仍无法判定 △ABC≌△ADC的是( C ) A．CB＝CD B．∠BAC＝∠DAC C．∠BCA＝∠DCA D．∠B＝∠D＝90°

专题1-9 《直角三角形》全章复习与巩固(知识讲解)-八年级数学下册(湘教版)

1.9 《直角三角形》全章复习与巩固（知识讲解）【复习目标】1.了解直角三角形的概念，理解直角三角形的性质和判定；2.能用直角三角形的性质和判定解决简单问题；3.会运用直角三角形的知识解决有关问题．【知识梳理】要点一、直角三角形定义1.直角三角形定义：有一个角是直角的三角形叫做直角三角形.要点二、直角三角形性质(1)直角三角形中两锐角互余.(2)直角三角形中，30°锐角所对的直角边等于斜边的一半.(3)在直角三角形中，如果有一条直角边等于斜边的一半，那么这条直角边所对的锐角等于30°.(4)勾股定理：直角三角形中，两条直角边的平方和等于斜边的平方.(5)勾股定理逆定理：如果三角形的三边长a，b，c满足a2+b2=c2，那么这个三角形是直角三角形.(6)直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半.要点三、直角三角形的判定(1)有两内角互余的三角形是直角三角形.(2)一条边上的中线等于该边的一半，则这条边所对的角是直角，这个三角形是直角三角形.(3)如果三角形两边的平方和等于第三边的平方，则这个三角形是直角三角形，第三边为斜边.要点四、判定直角三角形全等的一般方法由三角形全等的条件可知，对于两个直角三角形，满足一边一锐角对应相等，或两直角边对应相等，这两个直角三角形就全等了.这里用到的是“AAS”，“ASA”或“SAS”判定定理. 要点五、判定直角三角形全等的特殊方法——斜边，直角边定理在两个直角三角形中，有斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等（可以简写成“斜边、直角边”或“HL”）.这个判定方法是直角三角形所独有的，一般三角形不具备.【典型例题】类型一、直角三角形的性质1．已知：如图，在△ABC中，AB=AC=2a,∠ABC=∠ACB=15°，CD是腰AB上的高．求CD的长.【答案】CD=a【思路点拨】根据三角形的外角的性质得∠DAC=30°，再根据含30°角的直角三角形的性质可得DC=a.解：∵∠ABC=∠ACB=15°∴∠DAC=30°∵CD是腰AB上的高AB=AC=2a∴AC=2CD∴CD=a【点拨】此题主要考查含30°的直角三角形的性质，解题的关键是利用等腰三角形得出含30°角的直角三角形.2 已知，在，ABC中，，ACB，90°，CD，AB垂足为D，BC，6，AC，8，求AB与CD 的长．【答案】AB=10∠CD=4.8.解∠在△ABC中∠∠ACB=90°∠CD⊥AB垂足为D∠BC=6∠AC=8∠由勾股定理得∠AB=∵S△ABC=12AB•CD=12AC•BC∠∴CD=AC BCAB⋅=8610⨯=4.8∠【点拨】在直角三角形ABC中∠利用勾股定理求出AB的长∠再利用等面积法求出CD的长即可．3．已知：如图，在△ABC中，∠A=30°，∠ACB=90°，M、D分别为AB、MB的中点. 求证：CD⊥AB．【思路点拨】由∠ACB=90°，M为AB的中点．根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得到CM12=AB=BM，再根据在直角三角形中，30°所对的边等于斜边的一半得到CB12=AB=BM，则CM=CB，而D为MB的中点，根据等腰三角形的性质即可得到结论．解∵∠ACB=90°，M为AB中点，∴CM12=AB=BM．∵∠ACB=90°，∠A=30°，∴CB12=AB=BM，∴CM=CB．∵D为MB的中点，∴CD⊥BM，即CD⊥AB．【点拨】本题考查了含30°的直角三角形的性质：30°所对的边等于斜边的一半；也考查了直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半以及等腰三角形的性质．类型二、直角三角形全等的判定——“HL”4、已知：如图，AB⊥BD，CD⊥BD，AD＝BC．求证：（1）AB＝CD：（2）AD∥BC．【思路点拨】先由“HL”证Rt△ABD≌Rt△CDB，再由内错角相等证两直线平行.证明：（1）∵AB⊥BD，CD⊥BD，∴∠ABD ＝∠CDB ＝90°在Rt △ABD 和Rt △CDB 中，∴Rt △ABD ≌Rt △CDB （HL ）∴AB ＝CD （全等三角形对应边相等）（2）由∠ADB ＝∠CBD∴AD ∥BC .【总结升华】证明两个直角三角形全等，首先考虑用斜边、直角边定理，再考虑用一般三角形全等的证明方法.举一反三：【变式】已知：如图，AE ⊥AB ，BC ⊥AB ，AE ＝AB ，ED ＝AC ．求证：ED ⊥AC ．证明：∵AE ⊥AB ，BC ⊥AB ，∴∠DAE ＝∠CBA ＝90°在Rt △DAE 与Rt △CBA 中，∴Rt △DAE ≌Rt △CBA （HL ）∴∠E ＝∠CAB∵∠CAB ＋∠EAF ＝90°，∴∠E ＋∠EAF ＝90°，即∠AFE ＝90°即ED ⊥AC ．5、判断满足下列条件的两个直角三角形是否全等，不全等的画“×”，全等的注明理由：AD BC BD DB ⎧⎨=⎩＝ED AC AE AB ⎧⎨⎩＝＝，（1）一个锐角和这个角的对边对应相等；（）（2）一个锐角和斜边对应相等；（）（3）两直角边对应相等；（）（4）一条直角边和斜边对应相等．（）【答案】（1）全等，“AAS ”；（2）全等，“AAS ”；（3）全等，“SAS ”；（4）全等，“HL ”.【解析】理解题意，画出图形，根据全等三角形的判定来判断.【总结升华】直角三角形全等可用的判定方法有5种：SAS 、ASA 、AAS 、SSS 、HL. 举一反三：【变式】下列说法正确的有（）（1）一个锐角及斜边对应相等的两个直角三角形全等；（2）一个锐角及一条直角边对应相等的两个直角三角形全等；（3）两个锐角对应等的两个直角三角形全等；（4）有两条边相等的两个直角三角形全等；（5）有斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等．A.2个B.3个C.4个D.5个【答案】C ．解：（1）一个锐角及斜边对应相等的两个直角三角形全等，根据AAS 可判定两个直角三角形全等；（2）一个锐角及一条直角边对应相等的两个直角三角形全等，根据AAS 或ASA 可判定两个直角三角形全等；（3）两个锐角对应等的两个直角三角形全等，缺少“边”这个条件，故不可判定两个直角三角形全等；（4）有两条边相等的两个直角三角形全等，根据SAS 或HL 可判定两个直角三角形全等；（5）有斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等，根据HL 可判定两个直角三角形全等．所以说法正确的有4个．故选C ．6、如图，AB ⊥AC 于A ，BD ⊥CD 于D ，若AC=DB ，则下列结论中不正确的是（） A ．∠A=∠D B ．∠ABC=∠DCBC ．OB=OD D ．OA=OD O BC DA【思路点拨】根据已知及全等三角形的判定方法进行分析，从而得到答案．做题时要结合已知条件与全等的判定方法逐一验证．【答案与解析】解：∵AB⊥AC于A，BD⊥CD于D∴∠A=∠D=90°（A正确）又∵AC=DB，BC=BC∴△ABC≌△DCB(HL)∴∠ABC=∠DCB（B正确）∴AB=CD又∵∠AOB=∠C∴△AOB≌△DOC(AAS)∴OA=OD（D正确）C中OD、OB不是对应边，不相等．故选C．【总结升华】本题考查三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL．注意：AAA、SSA不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角．类型三、直角三角形的折叠问题7．将一张矩形纸片如图所示折叠，使顶点落在点.已知，，则折痕的长为( )A. B. C. D.【思路点拨】直角三角形是常见的几何图形，在习题中比较多的利用数形结合解决相应的问题.常用的是两锐角互余，三边满足勾股定理和直角三角形中，30°角所对的边等于斜边的一半.【答案】C.【解析】由折叠可知，∠CED=∠C′ED =30°，因为在矩形ABCD中，∠C等于90°，CD=AB=2，所以在Rt△DCE中，DE=2CD=4.故选C.【总结升华】折叠题型一定要注意对应的边相等，对应的角相等.【变式】如图，一张直角三角形纸片，两直角边AC=4cm，BC=8cm，将△ABC折叠，点B与点A重合，折痕为DE，则DE的长为( )．A. B. C. D.5【答案】B.解析：由折叠可知，AD=BD，DE⊥AB，∴BE=AB设BD为x，则CD=8-x∵∠C=90°，AC=4，BC=8，∴AC2+BC2=AB2∴AB2=42+82=80，∴AB=，∴BE=在Rt△ACD中，AC2+CD2=AD2 ，∴42+(8-x)2=x2，解得x=5在Rt△BDE中，BE2+DE2=BD2，即()2+DE2=52，∴DE=，故选B.类型四、直角三角形的性质和判定综合运用8．如图，有两条公路OM、ON相交成30°角，沿公路OM方向离O点80米处有一所学校A．当重型运输卡车P沿道路ON方向行驶时，在以P为圆心50米长为半径的圆形区域内都会受到卡车噪声的影响，且卡车P与学校A的距离越近噪声影响越大．若一直重型运输卡车P沿道路ON方向行驶的速度为18千米/时．（1）求对学校A的噪声影响最大时卡车P与学校A的距离；（2）求卡车P沿道路ON方向行驶一次给学校A带来噪声影响的时间．。

八年级下册数学直角三角形的性质(2)

A
1 2
AB
B D
1 分析：要判断 BC= 2 1 BD=BC，那么 BC= 2
AB,可以考虑取 AB 的中点，如果如果
B
C A
四、达标检测，练习反馈：课本第 6 页练习 1、2 五、反思小结，拓展提高直角三角形有哪些性质？运用时要注意什么？六、作业布置
D
C
AB，由于∠A=30°,所以∠B=60°,
B D
B D C A
C
A
三、应用迁移，巩固提高例 1、在△ABC 中，△C=90°，∠B=15°，DE 垂直平分 AB，垂足为点 E，交 BC 边于点 D，BD=16cm，连结 AD，（1）求∠EAD 与的度数∠ADC 的度数；（2）求 ADE
O K
B D C
为什么会有这个规律呢？这节课我们来研究这个问题. 例 2 如图在△ABC 中，若∠BAC=120°，AB=AC,AD⊥AC 于点 A，BD=3，求（1）∠B、 ∠C、∠BAD 的度数；（2）AD、DC、BC 的长
文桥中学
课题：直角三角形的性质（2）课型：预习、展示、反馈课时：一课时
八年级
数学
证明：
科教、学案
主备人：
时间：2、17
学习目标：1、掌握直角三角形中，如果有一个锐角等于 30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半以及逆定理。 2、灵活运用直角三角形的性质。重点：掌握直角三角形中，如果有一个锐角等于 30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半以及逆定理难点：掌握直角三角形中，如果有一个锐角等于 30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半以及逆定理一、创设情境，导入新课 1 直角三角形有哪些性质？ (1)两锐角互余；（2）斜边上的中线等于斜边的一半 2 按要求画图：（1）画∠MON，使∠MON=30°， (2)在 OM 上任意取点 P，过 P 作 ON 的垂线 PK，垂足为 K，量一量 PO,PK 的长度，PO,PK 有什么关系？ (3) 在 OM 上再取点 Q,R，分别过 Q,R 作 ON 的垂线 QD,RE,垂足分别为 D,E，量一量 QD，OQ，它们有什么关系？量一量 RE,OR，它们有什么关系？由此你发现了什么规律？直角三角形中，如果有一个锐角等于 30°，那么它所对的直角边等于斜边的二、合作交流，探究新知 1 、探究直角三角形中，如果有一个锐角等于 30°，那么它所对的直角边为什么等于斜边的一半。（课本第 4 页）如图，Rr△ABC 中，∠A=30°，BC 为什么会等于。 2、探究直角三角形中，如果有一条直角边等于斜边的一半，那么它所对的角等于 30°。为什么？（提示：可以逆运用上述方法，课本第 5 页）证明：

八年级数学第1章直角三角形 1.1 直角三角形的性质与判定(ⅰ)(第1课时)

∠A=90°-∠B，
④∠A=∠B=∠C中，能确定△ABC是直角三角形的条件有
_____①__②__③__(填序号).
世纪金榜导学号
第十七页，共三十四页。
知识点二直角三角形斜边上中线(zhōngxiàn)的性质 (P3探究拓展)
第十八页，共三十四页。
【典例2】如图，△ABD是以BD为斜边的等腰直角三角形，△BCD中，∠DBC=90°， ∠BCD=60°，DC中点为E，AD与BE的延长线交于点F，求∠AFB 度数(dù shu). 世纪金榜导学号
)
C
A.75° B.65° C.55° D.45°
第七页，共三十四页。
2.具备下列条件(tiáojiàn)的△ABC中，不是直角三角形的是 ( D) A.∠A+∠B=∠C
B.∠A-∠B=∠C
第八页，共三十四页。
C.∠A∶∠B∶∠C=1∶2∶3 D.∠A=∠B=3∠C
第九页，共三十四页。
3.(2019·睢宁县期中(qī zhōnɡ))已知一个直角三角形的斜边长为12，则其斜边上的中线长为_____6_.
第十页，共三十四页。
知识点一直角三角形两锐角(ruìjiǎo)的关系及应用 (P2议一议拓展)
第十一页，共三十四页。
【典例1】如图，在△ABC中， ∠ACB=90°，CD是高. (1)图中有几个直角三角形？是哪几个？ (2)∠1和∠A有什么(shén me)关系？∠2和∠A呢？还有哪些
锐角相等？
第二十五页，共三十四页。
【火眼金睛】如图，△ABC为等腰直角三角形，AD为斜边BC上的高，E，F分别(fēnbié)为AB和AC的中点，试判断DE和DF的关系.
第二十六页，共三十四页。
第二十七页，共三十四页。

沪教版八年级(上)数学秋季课程第18讲直角三角形的判定、性质和推论

直角三角形是特殊的三角形，本节主要讨论直角三角形全等的判定定理和性质，难点是直角三角形的性质及应用．综合性较强，会牵涉到辅助线的添加，连接中线，将散落的条件集中到直角三角形中进行求解．1、直角三角形全等的判定方法：（1）直角三角形是特殊的三角形，对于一般三角形全等的判定方法，直角三角形都适用；（2）直角三角形还有一个特殊的判定方法：有一条直角边和斜边对应相等的两个直角三角形全等（简记“H．L”）．直角三角形的全等判定及性质知识结构模块一：直角三角形全等的判定知识精讲内容分析【例1】如图，∠D =∠C =90°，请添加一个条件，使得△ABC ≌△BAD ，并在括号内写出判定的依据。

（1）AD =__________()；（2）∠DAB =_________ ()．【例2】已知：如图，EF ⊥AD ，BC ⊥AD ，AG =DH ，AF =DC ，那么图中全等的三角形共有______对．【例3】下列命题中，正确的个数是()①两条边分别相等的两个直角三角形全等； ②斜边和直角边对应相等的两个直角三角形全等； ③斜边相等的两个等腰直角三角形全等． A ．3B ．2C ．1D ．0【例4】已知：如图，AC ⊥BC ，AD ⊥BD ，AD =BC ，CE ⊥AB ，DF ⊥AB ，垂足分别是E 、F ，求证：CE =DF ．例题解析BACDABC DEFGOH EABCDF【例5】如图，已知：Rt△ABC中，∠ACB是直角，D是AB上一点，BD=BC，过D作AB 的垂线交AC于E，求证：CD⊥BE．【例6】如图，△ABC中，AB⊥BC，AD平分∠BAC，DF⊥AC，ED=CD．求证：AC =AE+2BE．【例7】如图1，点A、E、F、C在一条直线上，AE=CF，过E、F分别作DE⊥AC，BF⊥AC．若AB=CD，（1）BD与EF有什么关系?为什么?（2）若变为图2所示位置，结论是否仍然成立?请说明理由．ABCDEAB CDEFABC DE FGABCDEFG图2图1【例8】在直角△ABC 中，AB =AC ，∠BAC =90°，直线l 为经过点A 的任一直线，BD ⊥l于点D ，CE ⊥l 于点E ，若BD >CE ，试问：（1） AD 与CE 的大小关系如何?请说明理由；（2）线段BD 、DE 、CE 之间的数量关系如何?你能说明清楚吗?试一试．【例9】如图，在△ABC 中，AB =AC ，DE 是过点A 的直线，BD ⊥DE 于D ，CE ⊥DE 于E ．（1）若BC 在DE 的同侧（如图1），且AD =CE ，求证：AB ⊥AC ．（2）若BC 在DE 的两侧（如图2），其他的条件不变，问AB 与AC 仍垂直吗?若是，请予以证明，若不是，请说明理由．图1ABCDElABCDE图2ABCD E【例10】如图，在△ABC 中，∠ACB =90°，CD 是斜边AB 上的高，在AB 上截取AE =AC ，过点E 作EF ∥CD 、交BC 边于点F ，EG 垂直BC 于点G ，求证：DE=EG ．2、两个性质：（1）直角三角形的两个锐角互余；（2）在直角三角形中，斜边的中线等于斜边的一半．如果有直角三角形，作斜边的中线这条辅助线，可达到解决问题的目的．【例11】如图，在△ABC 中，∠ACB =90°，CD ⊥AB 于D ：（1）若∠B =55°，则∠A =________；（2）若∠B ∠A =10°，则∠B =_________；（3）图中与∠A 互余的角有_________，与∠A 相等的角有_________．模块二：直角三角形的性质例题解析知识精讲ABCDEFGABCD【例12】如图，已知，四边形ABCD 中，∠ABC =∠ADC =90°，M 、N 分别是AC 、BD 中点．求证：MN ⊥BD ．【例13】如图，在Rt △ABC 中，∠C =90°，AB 的中垂线交AB 于E 、AC 于D ，BD 、CE交于F ，设∠A =y ，∠DFC =x ，（1）求证：∠CDB =∠CEB ；（2）用x 的代数式表示y ．【例14】如图ABC ∆中，AD 是BC 边上的高，CF 是AB 边的中线，BF =DC ，P 是CF 中点．求证：（1）DP FC ⊥；（2）2B BCF ∠=∠．【例15】如图，AB ，CD 交于点O ，且BD=BO ，CA =CO ，E 、F 、M 分别是OD 、OA 、BC 的中点，求证：ME MF =．ABC DE FO M AB C DMN A B CD EABCDP F【例16】如图，在梯形ABCD 中，AD //BC ，M 、N 分别是AD 、BC 的中点，若∠B 与∠C 互余，则MN 与(BC -AD )的关系是什么?【例17】如图，已知在钝角∆ABC 中，AC 、BC 边上的高分别是BE 、AD ，BE 、AD 的延长线交于点H ，点F 、G 分别是BH 、AC 的中点．（1）求证：∠FDG =90°；（2）连结FG ，试问∆FDG 能否为等腰直角三角形?若能，试确定∠ABC 的度数，并写出你的推理过程；若不能，请简要说明理由．【例18】如图，等腰直角三角形ABC 中，∠ACB ＝90°，AD 为腰CB 上的中线，CE ⊥AD交AB 于E ．求证：∠CDA ＝∠EDB ．【例19】如图，点A 、B 、C 在同一直线上，在直线AC 的同侧作△ABE 和△BCF ，连接AF 、CE ，取AF 、CE 的中点M 、N ，连接MB 、NB 、NM ．BE FHD AGCABC DE12ABCDMN（1）若△ABE 和△FBC 是等腰直角三角形，且∠ABE =∠FBC =90°，如图1所示，则△MBN 是_____________三角形；（2）若△ABE 和△FBC 中，BA =BE ，BC =BF ，且∠ABE =∠FBC =α，如图2所示，则△MBN 是_____________三角形，且∠MBN =_______；（3）若（2）中的△ABE 绕点B 旋转一定的角度，如图3，其他的条件不变那么（2）中的结论是否成立?若成立，给出你的证明，若不成立，写出正确的结论并给出证明．【例20】已知，如图，在△ABC 中，边AB 上的高CF 、边BC 上的高AD 与边CA 上的高BE 交于点H ，连接EF ，AH 和BC 的中点为N 、M ．求证：MN 是线段EF 的中垂线．A BCDE FNHMABC MEFN 图2ABCNEFM图1ABCEFNM图33、推论：（1）在直角三角形中，30°所对的直角边等于斜边的一半；（2）在直角三角形中，如果一条直角边等于斜边的一半，那么这条直角边所对的锐角等于30°．【例21】（1）△ABC 中，AB =AC =6，∠B =30°，则BC 边上的高AD =________；（2）△ABC 中，AB =AC ，AB 上的高CD =12AB ，则顶角∠BAC =_______．【例22】如图，在矩形ABCD 中，AB =2BC ，在CD 上取一点E ，使AE =AB ，则∠EBC 的度数为__________．【例23】已知：如图，在△ABC 中，BA =BC ，∠B =120°，AB 的垂直平分线MN 交AC 于例题解析模块三：直角三角形性质的推论知识精讲ABCDEABCDMEDCBAD ，求证：12AD DC ．【例24】已知：如图，Rt △ABC 和Rt △ABD 中，DA =DB ，∠ADB =90°，BC =12AB ， ∠ACB =90°，DE ⊥AB ，联结DC ，求∠EDC 的大小．【例25】已知如图，在直角△ABC 中，∠ACB =90°，∠A =30°，D 为AB 上一点，且BD =14AB ．求证：CD ⊥AB ．【例26】已知等边△ABC 中，D 、E 分别是BC 、AC 上的点，且AE =CD ，AD 与BE 相交于点F ，过点B 作BG ⊥AD ，垂足为G ，（1）求FG ：BF 的值；（2）若D 、E 分别在BC 、CA 的延长线上，其他条件都不变，上述结论是否仍然成立，请说明理由．【例27】在△ABC 中，已知∠A =60°，BE ⊥AC 于E ，CF ⊥AB 于F ，点D 是BC 中点. （1）如果AB =AC ，求证△DEF 为等边三角形；（2）如果AB ≠AC ，试猜想△DEF 是不是等边三角形，若是，请加以证明，若不是，请说明理由；（3）如果CM =4，FM =5，求BE 的长度．ABCDEFGABCDA E FM【例28】已知∠MAN ，AC 平分∠MAN ，（1）在图1中，若∠MAN =120°，∠ABC =∠ADC =90°，求证：AB +AD =AC . （2）在图2中，若∠MAN =120°，∠ABC +∠ADC =180°，则(1)中的结论是否仍然成立?若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由．【习题1】下列条件不可以判定两个直角三角形全等的是（）．A ．两条直角边对应相等B ．斜边一个锐角对应相等C ．一条直角边和一条斜边对应相等D ．一条边和一个角对应相等【习题2】如图在△ABC 中，∠ACB =90°，在AB 上截取AE =AC ，BD =BC ，则∠DCE =_________．【习题3】如图在△ABC 中，∠ACB =90°，CD ⊥AB 于点D ，∠A =30°，则AD =_____AB随堂检测ABCDABCD MNNABCD M【习题4】如图，在直角△ABC 在，∠ACB =90°，AB =8cm ，D 为AB 的中点，DE ⊥AC 于E ，∠A =30°，求BC 、CD 和DE 的长．【习题5】如图，△ABC 中，AD ⊥BC 于点D ,BE ⊥AC 于点E ，交AD 于点H ，且AD=BD ，AC=BH ，连接CH ．求证：∠ABC =∠BCH ．【习题6】如图，已知，在锐角三角形ABC 中，∠ABC =2∠C ，AD ⊥BC 于点D ，E 为AC 的中点，ED 的延长线交AB 的延长线于点F ，求证：BF =BD ．【习题7】如图，在△ABC 中，BE ⊥AC 于点E ，CF ⊥AB 于点F ，D 是边BC 的中点，连接DF 、EF 、DE ．（1）求证：ED =DF ；（2）若△DEF 是等边三角形，则△ABC 应满足什么条件?【习题8】如图，AD ∥BC ，且BD ⊥CD ，BD = CD ，AC = BC ．求证：AB = BO ．A BC DE ABCDEHAB CDEFAC BE FD【习题9】已知：如图在△ABC 中，AD 是BC 边上的高，CE 是AB 上的中线，DC =BE ，DG ⊥CE ，垂足为点G ．求证：∠AEC =3∠DCE ．【习题10】如图，在等边三角形ABC 中，D 、E 分别是BC 、AC 上的一点，且AE =CD ，AD与BE 相交于点F ，CF ⊥BE . 求AF ：BF 的值．【习题11】如图，在直角三角形ABC 中，∠BAC =90°，AB =AC ，以AB 为边向外作等边三角形ABD ，AE ⊥BD 于点E ，AE 交CD 于点M . （1）线段DM 与线段BC 有怎样的数量关系?并证明；（2）若△ABC 于△ABD 在AB 的同侧，CD 的延长线与AE 的延长线交于点M ，请在图2中画出△ABD 与点M ；线段DM 与BC 仍有（1）中的数量关系吗?并证明．ABCDE GABCDFE ABDMEABDOC课后作业【作业1】下列命题中，正确的有()个（1）腰长及底边上的高对应相等的两个等腰三角形全等（2）有一直角边和斜边对应相等的两个直角三角形全等（3）有两边和其中一边上的高对应相等的两个三角形全等A．0B．1C．2D．3【作业2】（1）直角△ABC 中，∠C =90°，CD ⊥AB ，点E 是AB 的中点，∠ACD=25°，则∠ECB =__________；（2）直角△ABC 中，∠C =90°，CD ⊥AB ，点E 是AB 的中点，∠DCE=10°，则∠B =______________．【作业3】如图，ABC ∆中，AB AC =，DB DC =，DE AC ⊥，2AC AD =，8AB =，则AD =________，AE =____________．【作业4】（1）等腰三角形底角是75°，腰长为9，则此三角形的面积是_______；（2）等腰三角形一腰上的高等于腰长的一半，则这个等腰三角形的顶角的度数是_____________．【作业5】已知：AB ⊥BC ，DC ⊥BC ，点E 在BC 上，且AE =AD ，AB =BC ，求证：CE =CD ．D ABCEABCDE ABCDE【作业6】已知：如图，△ABC 中，∠B =40°，∠C =20°，DA ⊥CA ，求证：CD=2AB ．【作业7】如图，已知：△ABC 中，AB =AC ，∠A=60°，BD =CD ，BE ∥AC ，DE ⊥BE ，求证：4BE=AC .【作业8】在等腰直角△ABC 中，D 是斜边AB 的中点，E 、F 分别在直线AC 、BC 上，且AE =CF ，联结DE 、DF 、EF ，试判断△DEF 的形状，并加以证明．【作业9】已知：如图，在四边形ABCD 中，∠ABC =∠ADC =90°，AC 、BD 相交于点O ，M 、N 分别为AC 、BD 的中点．（1）求证：MN ⊥BD ；ABCDABCD EABCDEFADM（2）当∠BAC =15°，AC =10，OB =OM 时，求MN 的长【作业10】已知：等腰直角△ABC 中，O 是斜边AC 的中点，P 是斜边AC 上的一个动点，D 是线段BC 上的一点，且BP =PD ，过点D 作AC 边上的高DE ，求证：PE =BO ．【作业11】如图1，已知点D 在AC 上，△ABC 和△ADE 都是等腰直角三角形，点M 为EC 的中点．（1）求证：△BMD 为等腰直角三角形；（2）将△ADE 绕点A 逆时针旋转45°，如图2所示，（1）中的结论是否仍然成立，请说明理由；（3）将△ADE 绕点A 逆时针旋转135°，（1）中的结论是否仍然成立，请说明理由．ABCDPEO图1 ABCDEMA BCDE图2 MB。

人教版八年级上册数学第11章直角三角形的性质与判定1(20页)

∴△EFP为直角三角形．
学习目标
新课讲授
当堂检测
课堂总结
归纳总结
“有一个角是直角的三角形是直角三角形”是直角三角形的定义，据此可判定直角三角形；“有两个角互余的三角形是直角三角形”是直角三角形的判定，由三角形内角和定理可知第三个角是直角，因此它的实质还是直角三角形的定义．
学习目标
新课讲授
当堂检测
课堂总结
练一练
1.已知∠A＝37°，∠B＝53°，则△ABC为( C )
A．锐角三角形
B．钝角三角形
C．直角三角形
D．以上都有可能
2.具备下列条件的△ABC中，不是直角三角形的是( D )
A．∠A＋∠B＝∠C
B．∠A＝
1 2
1 ∠B＝ 3
∠C
C．∠A∶∠B∶∠C＝1∶2∶3 D．∠A＝2∠B＝3∠C
学习目标
新课讲授
当堂检测
课堂总结
探究新知知识点1：直角三角形两锐角的关系
观察这两个直角三角形，它们两锐角之和分别为多少？那对于任意直角三角形，这一结论是否还成立呢？
学习目标
新课讲授
当堂检测
课堂总结
如图，在直角三角形ABC中，∠C = 90°，由三角形内角和
定理，得∠ A+ ∠ B+ ∠ C = 180°，即
学习目标
新课讲授
当堂检测
课堂总结
练一练
1.如图，∠ACB=90°， CD丄AB，垂足为D.∠ACD与∠B有什
么关系？为什么？
C
解： ∠ACD＝∠B.理由如下：
因为∠ACB＝90°，
所以∠ACD＋∠BCD＝90°.
因为CD⊥AB，
A
所以∠BCD＋∠B＝90ห้องสมุดไป่ตู้.

八年级上册数学-专题六直角三角形

专题六直角三角形一、直角三角形性质：1、直角三角形的两个锐角互余2、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半3、在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半。

4、在直角三角形中，如果一条直角边等于斜边的一半，那么这条直角边所对的角等于30°5、勾股定理：直角三角形两直角边a,b 的平方和，等于斜边c 的平方。

a 2+b 2=c 2二、直角三角形判定：1、有两个角互余的三角形是直角三角形2、如果三角形的三条边长a,b,c 满足关系：a 2+b 2=c 2,那么这个三角形是直角三角形。

3、直角三角形全等的判定：SAS,ASA,AAS,SSS,HL三、角平分线的性质：1、角的平分线上的点到角的两边的距离相等2、角的内部到角的两边距离相等的点在角的平分线上四、练习1如图，AB ∥CD ，∠CAB 和∠ACD 的平分线相较于H 点，E 为AC 的中点，EH=2.那么△AHC 是直角三角形吗？为什么？若是，求出AC 的长。

2、如图，在R t △ABC 中，∠ACB=90°，CD 垂直于AB,垂足为点D ，DB=21BC,求∠A 的度数。

3、已知，在△ABC 中，∠B =21∠A =31∠C ,AB=8cm. (1)求AB 边上的中线长，（2）求AC, BC 的长，（3）AB 边上的高AB C DEH4、如图，在RtABC 中，∠C=90°，ED 是线段AB 的垂直平分线，已知∠1=31∠ABC ，求∠A 的度数。

6、如图，在边长为4的正方形ABCD 中，F 为CD 的中点，E 是BC 上一点，且EC=41BC. 求证：△AEF 是直角三角形。

7、如图，D 为BC 的中点，DE ⊥AB 于点E,DF ⊥AC 于点F,且DE=DF.试问：AB 与AC 有什么关系？8、如图，已知BD 平分∠ABC,BA=BC,点P 在BD 上，作P M ⊥AD,P N ⊥CD,垂足分别为点M,N.求证：P M=PN .9、如图，求作一点P,使PM=PN,并且使点P 到∠AOB 的两边OA,OB 的距离相等。

人教版2020八年级数学上册第14章勾股定理 14.1 勾股定理 14.1.2 直角三角形的判定教案 (新版)

A.等腰三角形B．锐角三角形
C.直角三角形D．钝角三角形
4.将直角三角形的三边扩大相同的倍数后，得到的三角形是( )
A.直角三角形B．锐角三角形
C.钝角三角形D．不能确定
图14－1－
5.如图14－1－：四边形ABCD中已知AB＝3，BC＝4，CD＝12，DA＝13，且∠ABC＝900，求这个四边形的面积．(连接AC)
AC＝b＝A′C′，
AB＝c＝A′B′，
∴△ABC≌△A′B′C′.
∴.同学们还能找出哪些勾股数呢？
2.今天的结论与前面学习勾股定理有哪些异同呢？
3.到今天为止，你能用哪些方法判断一个三角形是直角三角形呢？
4.通过今天同学们合作探究，你能体验出一个数学结论的发现要经历哪些过程呢？
教学重点
通过边长判断一个三角形是否是直角三角形，熟悉几组勾股数，并会辨析哪些问题应用哪个结论．
教学难点
解勾股定理的逆定理是通过数的关系来反映形的特点．
授课类型
新授课
课时
第一课时
教具
多媒体课件、四个全等的直角三角形图片
教学活动
教学步骤
师生活动
设计意图
回顾
1.上节课的勾股定理内容是什么？画出图形，写出表达式.
②[讲授效果反思]
注重引导学生积极参与实验活动，从中体验任何一个数学结论的发现总是要经历观察、归纳、猜想、验证及证明的过程，同时遵循由“特殊→一般→特殊”的发展规律.
③[师生互动反思]
________________________________________________________________________
④[习题反思]
好题题号当堂训练1，2，5
错题题号例1

八年级数学直角三角形三边的关系_课件

4米
3米
例题
例1：在Rt∆ABC中，∠B=90°， AB=6， BC=8,求AC.
例2：在Rt∆ABC中，AB=c,BC=a， AC=b, ∠C=90°.
〔1〕a=3，c=5,求b. 〔2〕b=5,c=13,求a.
结论变形
直角三角形中，两直角边的平方和等于斜边的平方；
c2=a2 + b2
c a2 b2
形。
５
(每格代表１平方厘米)
勾股定理〔gou-、 b，斜边为c，那么
c a
a2b2 c2 b 即直角三角形两直角边的平
方和等于斜边的平方。
问y题=解0 决
受台风麦莎影响，一棵树在离地面 4米处断裂，树的顶部落在离树跟底部 3米处，这棵树折断前有多高？
P的面 Q的面 R的面积(单位积(单位积(单位长度) 长度) 长度)
AR Q
C
B
P
图2
图2
P、Q、
R面积关系
直角三角形三边关系
9 4 13
SP+SQ=SR
两直边的平方和等于斜边的平方
在右图(书本
109页做一做)的方
格图中，用三角
尺化出两条直角
边分别为５cm、 12cm的直角三角
12
a2=c2 － b2
a c2 b2
c
b
b2 =c2 －a2
b c2 a2
a
家庭作业：
课时达标检测134页：必做题：1题、2题、3题选做题：4题、6题
直角三角形的三边关系
y问=0题受台风麦莎影响，一棵树在离地面4米处断裂，树的顶部落在离树跟底部3米处，这棵树折断前有多高？
4米
3米
活动一

北师大版八年级数学下册《直角三角形》三角形的证明PPT(第1课时)

获取新知
知识点二：直角三角形的边的关系
B
勾股定理直角三角形两条直角边的平方
和等于斜边的平方.
A
C
关于勾股定理的证明，可以欣赏“16页的读一读”，并可以上网搜索，诸如美国第二十任总统的证法、赵爽弦图法等
勾股定理反过来，怎么叙述呢？
如果一个三角形两边的平方和等于第三边的平方,那么这个三角形是直角三角形．
一项指标.现测得AB=4 cm,BC=3 cm,AD=13 cm,CD=12 cm, ∠ABC=90°,根据这些条件,能否得出∠ACD等于90°?请说明理由.
解:能.理由:在Rt△ABC中,
∵AB=4 cm,BC=3 cm,∠ABC=90°,
∴AC=
=5(cm).
在△ACD中,∵AD=13 cm,CD=12 cm,AC=5 cm,
你来给出完整的证明过程吧，试一试
例题讲解例1 如图，在△ABC中，∠C＝70°，∠B＝30°，AD⊥BC 于点D，AE为∠BAC的平分线，求∠DAE的度数．解：由题意可知， ∠BAC＝180°－∠B－∠C＝80°. ∵AE为∠BAC的平分线， ∴∠CAE＝∠BAE＝ ∠BAC＝40°. ∵AD⊥BC，∴∠ADC＝90°. ∴∠CAD＝90°－∠C＝90°－70°＝20°. ∴∠DAE＝∠CAE－∠CAD＝40°－20°＝20°.
原命题都存在逆命题，
但是互逆命题的真假无法保证
如果一个定理的逆命题也是定理，那么这两个定理叫做互逆定理，其中的一个定理叫做另一个定理的逆定理.
注意1：逆命题、互逆命题不一定是真命题，但逆定理、互逆定理，一定是真命题.
注意2：不是所有的定理都有逆定理.
定理
“两直线平行，内错角相等”

北师版八年级数学下册教学课件(BS) 第一章三角形的证明第2课时直角三角形全等的判定

A
B
C
画图方法视频（点击文字
播放）
画图思路
N
A
B
C
M
C′
（1）先画∠M C′ N=90°
画图思路
N
A
B
C
M
B′
C′
（2）在射线C′M上截取B′C′=BC
画图思路
N
A
A′
B
C
M B′
C′
（3）以点B′为圆心，AB为半径画弧，交射线C′N于A′
画图思路
N
A
A′
B
C
M B′
C′
（4）连接A′B′
思考：通过上面的探究，你能得出什么结论？
(2)当P运动到与C点重合时，AP＝AC. 在Rt△ABC与Rt△QPA中， ∵PQ＝AB，AP＝AC， ∴Rt△QAP≌Rt△BCA(HL)， ∴AP＝AC＝10cm， ∴当AP＝5cm或10cm时，△ABC才能和△APQ全等．
【方法总结】判定三角形全等的关键是找对应边和对应角，由于本题没有说明全等三角形的对应边和对应角，因此要分类讨论，以免漏解．
B
A
C
如图，Rt△ABC中，∠C =90°，直角边是_____、_____，A斜C边是
__B__C__.
AB
前面学过的四种判定三角形全等的方法,对直角三角形是否适用？
口答：
A
A′
1.两个直角三角形中，斜边和一个锐角对应相等，这两个直角三角形全等吗？为什么？
B
C B′
C′
2.两个直角三角形中，有一条直角边和一锐角对应相等，这两个直角三
BC=B′C′,
∴Rt△ABC ≌ Rt△ A′B′个直角三角形是否全等，不全等的画“×”，

北师大版八年级数学下册1.2直角三角形直角三角形全等的判定(HL)-讲练课件-(共28张PPT)

到△AOB≌△COD，理由是（ A ）
A．HL
B．SAS
C．ASA
D．SSS
2．如图，在△ABC中，∠C＝90°，AD＝AC，DE⊥AB于点D.若
∠B＝28°，则∠AEC＝（ B ）
A．28°
B．59°
C．60°
D．62°
3．如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，ED⊥BC于点D，AB＝
BD，若AC＝8，DE＝3，则EC的长为 5 ．
B．AB＝AB
C．∠ABC＝∠ABD
D．∠BAC＝∠BAD
3．如图，在△ABC中，∠C＝90°，ED⊥AB于点D，BD＝BC，若
AC＝6 cm，则AE＋DE等于（ C ）
A．4 cm
B．5 cm
C．6 cm
D．7 cm
4．如图，AC⊥AB，AC⊥CD，要使得△ABC≌△CDA.
( 1 )若以“SAS”为依据，需添加的一个条件为 AB＝CD ；
6．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝10，BC＝5，线段PQ
＝AB，P，Q两点分别在AC和过点A且垂直于AC的射线AO上运动，当
AP＝ 5或10 时，△ABC和△PQA全等．
7．【教材P35复习题T13变式】如图，AC⊥BC，AD⊥BD，垂足分别
为点C，D，AD＝BC，CE⊥AB，DF⊥AB，垂足分别是点E，F.求证：
= ，
∴Rt△ABC≌Rt△BAD(HL)．
∴∠ABC＝∠BAD.
3.如图，△ABC和△DEF为直角三角形，∠ABC＝∠DEF＝90°，边
BC，EF在同一条直线上，斜边AC，DF交于点G，且BF＝CE，AC＝DF.
求证：GF＝GC.
证明：∵BF＝CE，∴BF＋FC＝CE＋FC.∴BC＝EF.

八年级数学直角三角形教师讲义带答案

直角三角形一、直角三角形的性质重点：直角三角形的性质定理与其推论：①直角三角形的性质，在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半;②推论：〔1〕在直角三角形中，假如一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半;〔2〕在直角三角形中，假如一条直角边等于斜边的一半，那么这条直角边所对的角为30°.难点：1.性质定理的证明方法.2.性质定理与其推论在解题中的应用.二、直角三角形全等的推断重点：驾驭直角三角形全等的断定定理：斜边、直角边公理：斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等〔HL〕难点：创立全等条件与三角形中各定理联络解综合问题。

三、角平分线的性质定理：角平分线上的点到这个角的两边的间隔相等.定理的数学表示：如图4，∵ OE是∠AOB的平分线，F是OE上一点，且CF⊥OA于点C，DF⊥OB于点D，∴ CF＝DF.定理的作用：①证明两条线段相等；②用于几何作图问题；角是一个轴对称图形，它的对称轴是角平分线所在的直线.2.关于三角形三条角平分线的定理：〔1〕关于三角形三条角平分线交点的定理：图4三角形三条角平分线相交于一点，并且这一点到三边的间隔相等.定理的数学表示：如图6，假如AP 、BQ 、CR 分别是△ABC 的内角∠BAC 、 ∠ ABC 、∠ACB 的平分线，那么： ① AP 、BQ 、CR 相交于一点I ；② 假设ID 、IE 、IF 分别垂直于BC 、CA 、AB 于点D 、E 、F ，那么DI ＝EI ＝FI. 定理的作用：①用于证明三角形内的线段相等；②用于实际中的几何作图问题. 〔2〕三角形三条角平分线的交点位置与三角形形态的关系：三角形三个内角角平分线的交点肯定在三角形的内部.这个交点叫做三角形的内心〔即内切圆的圆心〕.3.关于线段的垂直平分线和角平分线的作图：〔1〕会作线段的垂直平分线；〔2〕会作角的角平分线；〔3〕会作与线段垂直平分线和角平分线有关的简洁综合问题的图形. 四、勾股定理的证明与应用１．勾股定理内容：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方；表示方法：假如直角三角形的两直角边分别为a ，b ，斜边为c ，那么222a b c +=勾股定理的由来：勾股定理也叫商高定理，在西方称为毕达哥拉斯定理．我国古代把直角三角形中较短的直角边称为勾，较长的直角边称为股，斜边称为弦．早在三千多年前，周朝数学家商高就提出了“勾三，股四，弦五〞形式的勾股定理，后来人们进一步发觉并证明了直角三角形的三边关系为：两直角边的平方和等于斜边的平方勾股定理的证明方法许多，常见的是拼图的方法用拼图的方法验证勾股定理的思路是①图形进过割补拼接后，只要没有重叠，没有空隙，面积不会变更 ②依据同一种图形的面积不同的表示方法，列出等式，推导出勾股定理cba HG FEDCBA常见方法如下：方法一：4EFGH S S S ∆+=正方形正方形ABCD ，2214()2ab b a c ⨯+-=，化简可证．方法二：四个直角三角形的面积与小正方形面积的和等于大正方形的面积．四个直角三角形的面积与小正方形面积的和为221422S ab c ab c =⨯+=+ 大正方形面积为222()2S a b a ab b =+=++所以222a b c +=方法三：1()()2S a b a b =+⋅+梯形，2112S 222ADE ABE S S ab c ∆∆=+=⋅+梯形，化简得证３.勾股定理的适用范围勾股定理提示了直角三角形三条边之间所存在的数量关系，它只适用于直角三角形，对于锐角三角形和钝角三角形的三边就不具有这一特征，因此在应用勾股定理时，必需明了所考察的对象是直角三角形４.勾股定理的应用①直角三角形的随意两边长，求第三边在ABC ∆中，90C ∠=︒，那么c，b，a =②知道直角三角形一边，可得另外两边之间的数量关系③可运用勾股定理解决一些实际问题假如三角形三边长a ，b ，c 满意222a b c +=，那么这个三角形是直角三角形，其中c 为斜边①勾股定理的逆定理是断定一个三角形是否是直角三角形的一种重要方法，它通过“数转化为形〞来确定三角形的可能形态，在运用这肯定理时，可用两小边的平方和22a b +与较长边的平方2c 作比较，假设它们相等时，以a ，b ，c 为三边的三角形是直角三角形；假设222a b c +<，时，以a ，b ，c 为三边的三角形是钝角三角形；假设222a b c +>，时，以a ，b ，c 为三边的三角形是锐角三角形；②定理中a ，b ，c 与222a b c +=只是一种表现形式，不行认为是唯一的，如假设三角形三边长a ，b ，c 满意222a c b +=，那么以a ，b ，c 为三边的三角形是直角三角形，但是b 为斜边③勾股定理的逆定理在用问题描绘时，不能说成：当斜边的平方等于两条直角边的平方和时，bacbac cabcaba bcc baE D CBA这个三角形是直角三角形①可以构成直角三角形的三边长的三个正整数称为勾股数，即222a b c +=中，a ，b ，c 为正整数时，称a ，b ，c 为一组勾股数②记住常见的勾股数可以进步解题速度，如3,4,5；6,8,10；5,12,13；7,24,25等 ③用含字母的代数式表示n 组勾股数： 221,2,1n n n -+〔2,n ≥n 为正整数〕；2221,22,221n n n n n ++++〔n 为正整数〕2222,2,m n mn m n -+〔,m n >m ，n 为正整数〕７．勾股定理的应用勾股定理可以扶植我们解决直角三角形中的边长的计算或直角三角形中线段之间的关系的证明问题．在运用勾股定理时，必需把握直角三角形的前提条件，理解直角三角形中，斜边和直角边各是什么，以便运用勾股定理进展计算，应设法添加协助线〔通常作垂线〕，构造直角三角形，以便正确运用勾股定理进展求解．８.．勾股定理逆定理的应用勾股定理的逆定理能扶植我们通过三角形三边之间的数量关系推断一个三角形是否是直角三角形，在详细推算过程中，应用两短边的平方和与最长边的平方进展比较，切不行不加思索的用两边的平方和与第三边的平方比较而得到错误的结论．９.勾股定理与其逆定理的应用勾股定理与其逆定理在解决一些实际问题或详细的几何问题中，是密不行分的一个整体．通常既要通过逆定理断定一个三角形是直角三角形，又要用勾股定理求出边的长度，二者相辅相成，完成对问题的解决．常见图形：AB C30°D C BA ADB C10、互逆命题的概念假如一个命题的题设和结论分别是另一个命题的结论和题设，这样的两个命题叫做互逆命题。

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