吉林省2013年高考复习质量监测理科数学试卷
吉林省2013模拟考试题(理科数学)答案
吉林省2013年高考复习质量监测 理科数学试题答案及评分参考评分说明：1． 本解答给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分参考制订相应的评分细则．2． 对计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度,可视影响的程度决定后继部分的给分，但不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分． 3． 解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数． 4． 只给整数分数．选择题不给中间分．一、选择题 （1）（B ） （2）（C ） （3）（A ） （4）（D ） （5）（D ） （6）（B ） （7）（C ） （8）（D ） （9）（A ） （10）（C ） （11）（B ） （12）（C ） 二、填空题（13（14）5 （15）18 （16）-512 三、解答题 （17）解：（Ⅰ）∵112n n a a -=-，∴112n na a +=-. ∴111111111111121n n n n n n n na b b a a a a a ++--=-=-==------，……………………4分∴{}n b 是首项为11121b ==-，公差为1的等差数列. ………………………………6分（Ⅱ）由（Ⅰ）知n b n =，∵211111()(2)22n n n c b b n n n n +===⋅-⋅++，………………………………………………8分∴1111111111[(1)()()()()]232435112nS n n n n =-+-+-++-+--++1111323(1)221242(1)(2)n n n n n +=+--=-++++． …………………………………12分（18）解：（Ⅰ）证明：取BC 中点O ，连结1,AO OB ．ABC △为正三角形，AO BC ∴⊥．平面ABC ⊥平面11BCC B ，平面ABC 平面11,BCC B BC =AO ⊂平面,ABCAO ∴⊥平面11BCC B ，∴AO BD ⊥．…………………………………………………4分∵正方形11BCC B 中，O D ，分别为1BC CC ，的中点， ∴1OB BD ⊥.又1AO OB O = ，BD ∴⊥平面1AO B ，1BD AB ∴⊥． …………………………………………………6分（Ⅱ）取11B C 中点E ，以O 为原点，分别以OB 、OE 、OA的方向为x 轴、y 轴、z 轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系O xyz -，不妨设2BC =.由题意知(00A ，，(1,0,0),B (110)D -，，，1(120)B ，，，则(10AB =-，，，(210)BD =- ，，，(11DA =-，，1(210)DB =，，， ……………………………8分设()n x y z =，，是平面1ADB 的法向量，则100n n D A D B ⋅⋅⎧=⎪⎨=⎪⎩ ，，即020x y x y ⎧-+=⎪⎨+=⎪⎩，，可取(12n =-，同理，设m 是平面A B D 的法向量，可取(123m =，，∴cos 4，⋅<>==⋅n m n m n m∴二面角1B AD B --4………………………………………………………12分（19）解：（Ⅰ）进入决赛的选手共13名，其中拥有“优先挑战权”的选手共3名. ……………2分 根据题意，X 的可能取值为012，，.21021315(0)26C P X C ===，113102135(1)13C C P X C ===，232131(2)26C P X C ===.X的分布列如下：…………………………………………………6分 （Ⅱ）22⨯…………………………………………………9分240(3101017) 5.584 5.024,13272020k ⨯-⨯=≈>⨯⨯⨯根据列联表中的数据，得到因此在犯错误的概率不超过0.025的前提下认为进入决赛与选择的导师有关.…………12分（20）解：（Ⅰ）NM 为AP 的垂直平分线，∴|NA |=|NP |，又∵|CN |+|NP |=22，∴|CN |+|NA |=22>2.∴动点N 的轨迹是以点(01)C -，，(01)A ，为焦点的椭圆， ……………………3分 且长轴长222=a ，焦距22c =，∴1,1,22===bc a ，∴曲线E 的方程为2212yx +=． ……………………………………………………5分（Ⅱ）⑴ 当直线l 与y 轴重合时，FHG ∆不存在. ⑵ 当直线l 与y 轴不重合时，设直线l 的方程为1,y kx =+1122(,),(,)F x y H x y，则11(,),G x y -- 由221,22,y kx x y =+⎧⎨+=⎩ 得22(2)210,k x kx ++-= 12122221,,22k x x x x kk--∴+=⋅=++…………………………………………………7分FH∴==∴点G 到直线l 的距离d===1122FH G S FH d∆=⨯⋅=122=⨯=………………………………10分设211,t k =+≥则112FH G S ∆===≤=此时，1,t = 0.k = …………………………………………………………………12分 （21）解：（Ⅰ）()2a f x x bx '=-+，∵2x =是函数()f x 的极值点，∴(2)402a fb '=-+=.∵1是函数()f x 的零点，得(1)10f b =+=，由40,210,a b b ⎧-+=⎪⎨⎪+=⎩解得6,1a b ==-. …………………………………………………2分∴2()6ln f x x x x =--,6()21f x x x'=--，令2'626(23)(2)()210x x x x f x x xxx--+-=--==>，(0,)x ∈+∞，得2x >；令'()0f x <得02x <<，所以()f x 在(0,2)上单调递减；在()2,+∞上单调递增. ………………………………4分 故函数()f x 至多有两个零点，其中1(0,2),∈0(2,)x ∈+∞， 因为()()210f f <=，()()361ln 30f =-<，()()2462ln 46ln04ef =-=>，所以()03,4x ∈，故3n =．…………………………………………………………………6分 （Ⅱ）令2()ln g b xb x a x =+-，[]2,1b ∈--，则()g b 为关于b 的一次函数且为增函数， 根据题意，对任意[]2,1b ∈--，都存在(1,)x e ∈，使得()0f x <成立， 则2m ax ()(1)ln 0g b g x x a x =-=--<在(1,)上e 有解，令2()ln h x x x a x =--，只需存在0(1,)x e ∈使得0()0h x <即可， 由于'()h x =2221a x x ax xx----=，令2()2,(1,)x x x a x e ϕ=--∈，()410x x ϕ'=->，∴()x ϕ在(1，e )上单调递增，()(1)1x a ϕϕ>=-，………………………………………9分 ①当10a -≥，即1a ≤时，()0x ϕ>，即()0h x '>，()h x 在(1，e )上单调递增， ∴()(1)0h x h >=，不符合题意.②当10a -<，即1a >时，(1)10a ϕ=-<，2()2e e e a ϕ=--若221a e e ≥->，则()0e ϕ<，所以在(1，e )上()0x ϕ<恒成立，即()0h x '<恒成立， ∴()h x 在(1，e )上单调递减,∴存在0(1,)x e ∈，使得0()(1)0h x h <=，符合题意.若221e e a ->>，则()0e ϕ>，∴在(1，e )上一定存在实数m ，使得()0m ϕ=， ∴在(1，m )上()0x ϕ<恒成立，即()0h x '<恒成立， ()h x 在(1，m )上单调递减, ∴存在0(1,)x m ∈，使得0()(1)0h x h <=，符合题意.综上所述，当1a >时，对任意[]2,1b ∈--，都存在(1,)x e ∈，使得()0f x <成立.…………………………………………………12分（Ⅱ）方法二 2'2()2a x bx af x x b xx+-=-+=，(1,)x e ∈，设()()22,1,g x x bx a x e =+-∈，因为[]2,1b ∈--，所以()g x 在()1,e 上单调递增，且()12g b a =+-， （1）当()10g ≥，即2a b ≤+时，因为[]2,1b ∈--，所以0a ≤.此时()()10g x g >≥，所以()0f x '>在(1,)e 上恒成立；即()f x 在(1,)e 上单调递增. 若存在(1,)x e ∈，使得()0f x <成立，则()110f b =+<，即1b <-恒成立.因为[]2,1b ∈--，则1b =-时不成立，所以0a ≤不成立. ……………………………9分 （2）因为[]2,1b ∈--，所以()110f b =+≤，当()10g <，即2a b >+时，因为[]2,1b ∈--，所以1a >.此时，（i ）当()0g e <时，()0g x <在(1,)e 上恒成立，则()f x 在(1,)e 上单调递减. 因为()10f ≤，所以存在(1,)x e ∈，使得()0f x <成立.（ii ）当()0g e ≥时，则存在()01,x e ∈，使得()00g x =，因为()g x 在()1,e 上单调递增， 所以当()01,x x ∈时，()0g x <，则()f x 在0(1,)x 上单调递减； 因为()10f ≤，故在()01,x 内存在(1,)x e ∈，使得()0f x <成立.综上：满足条件的a 的取值范围为1a >.……………………………………………12分（22）证明：（Ⅰ）过O 作OG ⊥EF ，则GE ＝GF ，OG ∥AB ．∵O 为AD 的中点，∴G 为BC 的中点．∴BG ＝CG ， ∴BE ＝CF . ………………………………5分 （Ⅱ）设CD 与⊙O 交于H ，连AH ，∵∠AHD ＝90°， ∴AH ∥BC, ∴AB ＝CH ．∵CD ·CH ＝CF ·CE ，∴AB ·CD ＝BE ·BF . …………………………………………………………………10分 （23）解：（Ⅰ）由已知得，直线l的参数方程为2()1122x t y t ⎧=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩，为参数，， ………………………………………3分 圆C 的直角坐标方程为2220x x y ++=. ………………………………………………5分（Ⅱ）将2()1122x t y t ⎧=-⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩，为参数，代入2220x x y ++=，整理得24(210t t +-+=，设方程两根分别为12,,t t 则121,4t t ⋅=根据参数t 的几何意义，得点P 到A B ，两点的距离之积为121||4t t =. ……………10分（24）解：（Ⅰ）由|ax ＋1|＞5得4ax >或6ax <-． 又f (x )＞5的解集为{x |2x >或3x <-}，当a ＞0时，4x a>或6x a<-，得a ＝2．当a ≤0时，经验证不合题意．综上，2a =. ……………………………………………………………………………5分（Ⅱ）设g (x )＝f (x )－()2x f ，则(),1,132,1,21,,2≤＝≥x x g x x x x x ⎧⎪--⎪⎪---<<-⎨⎪⎪-⎪⎩则函数()g x 的图象如下： 由图象可知，g (x )≥12-，故原不等式在R 上有解时，k ≥12-．即k 的取值范围是k ≥12-．………………………………………………………10分·A B CD EF H OG。
东北三省四市教研协作体2013届高三联合考试数学理试题(2013长春二模)word解析版
2013年东北三省四市教研协作体等值诊断联合考试2013年长春市高中毕业班第二次调研测试数 学(理科）本试卷分第I 卷(选择题)和第II 卷(非选择题)两部分，满分150分.考试时间为120分 钟，其中第II 卷22题一24题为选考题，其它题为必考题.考试结束后，将试卷和答题卡 一并交回.注意事项：1. 答题前，考生必须将自己的姓名、准考证号码填写淸楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内.2. 选择题必须用2B 铅笔填涂；非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹淸楚.3. 请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效.4. 保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破、不准使用涂改液、刮纸刀.第I 卷(选择题，共60分）一、选择题（本大题包括12小题，每小题5分，共60分，每小题给出的四个选项中， 只有一项是符合题目要求的，请将正确选项填涂在答题卡上）.1. 己知集合P={x|x 2-x-2≤O},Q= {x|log 2(x-1) ≤1},则Q P C R ⋂)(= A. [2,3] B. (-∞,-1]U[3,+∞) C. (2,3]D. (-∞,-1]U(3,+∞)的虚部为A.i 431+ B. 431+ C. i 413- D. 413-3. 执行如图所示的程序框图，则输出的n 为 A.3B.4C. 5D.64. 在ABC 中，若tanAtanB= tanA+ tanB+ 1，则cos C 的值是 A. 22- B. 22- C.21 D.－21 5. 已知命题p :“直线l 丄平面α内的无数条直线”的充耍条件是“l 丄α ”；命题q :若平面α丄平面ββ直线βα⊄，则“ a 丄α ”是“ a // β”的充分不必要条件. 则正确命题是A. q p ∧B. q p ⌝∨C. q p ⌝∧⌝ D . q p ∧⌝6. 如图所示是一个几何体的三视图，其侧视图是一个边长为a 的等边三角形，俯视图是两个正三角形拼成的 菱形，则该几何体的体积为A. A 3B. 23aC. 33aD. 43a7. 已知6)(xa x +（a> O)的展开式中常数项为240,则 (x + A )(X -2a)2的展开式中x 2项的系数为A. 10B. -8C. -6D. 48. 右图是依据某城市年龄在20岁到45岁的居民上网情 况调查而绘制的频率分布直方图，现已知年龄在 [30,35)、[35，40)、[40，45]的上网人数呈现递减的等差数列分布，则年龄在[35，40)的网民出现的频率为A. 0.04B. 0.06C. 0.2D. 0.39. 已知等差数列{a n }的前n 项和为满足a 2()13=S 2()13=2013,则a 1 = A. -2014B. -2013C. -2012D. -2011A. (-5,1)B. (-1,2)C (-4，-2) D. (1,3)11.122=by （a>2b> O)的两个焦点，分别过F 1，F 2作倾斜角为45。
吉林省延边州2013届高三高考复习质量检测数学理
延边州2013年高考复习质量检测理科数学数学（理）试题头说明本试卷分第I 卷（选择题）和第II 卷（非选择题）两部分，第I 卷1至3页，第II 卷4至6页，共150分。
其中第II 卷第22—24题为选考题，其它题为必考题。
考生作答时，将答案写在答题卡上，在本试卷上答题无效。
考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
注意事项：1．答题前，考生务必先将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上，认真核对条形码上的姓名、准考证号，并将条形码粘贴在答题卡的指定位置上。
2．选择题答案使用2B 铅笔填涂，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号；非选择题答案使用0.5毫米的黑色中性（签字）笔或碳素笔书写，字体工整、笔迹清楚。
3．请按照题号在各题的答题区域（黑色线框）内作答，超出答题区域书写的答案无效。
4．保持卡面清洁，不折叠，不破损。
5．做选考题前，考生按照题目要求作答，并用2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑。
参考公式：样本数据x 1, x 2, …, x n 的标准差 锥体体积公式])()()[(122221x x x x x x n s n -++-+-= Sh V 31= 其中x 为样本平均数 其中S 为底面面积，h 为高 柱体积公式 球的表面积、体积公式 Sh V = 24πS R =，34π3V R = 其中S 为底面面积，h 为高 其中R 为球的半径第Ⅰ卷 (选择题,共60分）一、选择题：本大题共12小题,每小题5分,共60分,每小题给出的四个选项中,只有 一项是符合题目要求的,请将正确选项填写在答题卡上。
1．已知全集为U =R ，{}3210,,,A =，{}A x ,y y B x ∈==2， 则右图中阴影部分表示的集合为A ．{}30,B ．{}321,,C ．{}0D ．{}21,2．已知复数Z 1 23sin 23cos i +=和复数Z 237sin 37cos i +=，则Z 1·Z 2 A ．i 2321+ B ．i 2123+ C ．i 2321- D ．i 2123-UB A3．下列命题正确的有① 用相关指数2R 来刻画回归效果，2R 越小，说明模型的拟合效果越好；② 命题p :“01,R 0200>--∈∃x x x ”的否定p ⌝:“01,R 2≤--∈∀x x x ”；③ 设随机变量X 服从正态分布N(0, 1),若p )X (P =>1，则p )X (P -=<<-2101； ④ 回归直线一定过样本点的中心（y x ,）。
2013年长春市高三5.17五校联考理科试题及答案
吉林省五校高考高端命题研究协作体第二次联考理科数学本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分，满分150分.考试时间为120分钟，其中第Ⅱ卷22题－24题为选考题，其它题为必考题.考试结束后，将试卷和答题卡一并交回. 注意事项：1． 答题前，考生必须将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内.2． 选择题必须用2B 铅笔填涂；非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚.3． 请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效.4． 保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破、不准使用涂改液、刮纸刀.第Ⅰ卷（选择题，共60分）一、选择题（本大题包括12小题，每小题5分，共60分，每小题给出的四个选项中，只有一．．．项．是符合题目要求的，请将正确选项填涂在答题卡上）. 1．已知12-=i ，若{|,},{|cos ,},nM x x i n N N x x k k R M N π==∈==∈ 则=( )A ． {}1,1-B ．{}1,0,1-C ． []1,1-D ．{}0,12. 若命题P :[]012,3,3-0200≤++∈∃x x x ，则命题P 的否定是 （ ）A ．[]012,3,3-2>++∈∀x x xB ． ()()012,,33-,-2>+++∞∞∈∀x x xC ． ()()012,,33-,-0200≤+++∞∞∈∃x x xD ． []012,3,3-0200<++∈∃x x x3. 二项式8)2(x -的展开式的所有项的系数和为( )A ．-1B ．0C ．1D ．24．已知数列{}n a 是等差数列，且公差为2，若134,,a a a 成等比数列，则2a =( )A ．8-B ． 6-C ． 8D ． 65. 将甲、乙、丙、丁四名学生分到三个不同的班，每个班至少分到一名学生，且甲、乙两名学 生不能分到同一个班，则不同分法的种数为 （ ） A ．72 B ．66 C ． 36 D ．30 6．右图是把二进制数)2(11111化为十进制数的一个程序框图,判断框内应填入的条件是 ( ) A ．4i > B ．4i ≤ C ．5i > D ．5i ≤7．已知函数c bx x x f ++=2)(，其中40,40≤≤≤≤c b ，记函数)(x f 满足条件：(2)12(2)4f f ≤⎧⎨-≤⎩为事件A ，则事件A 发生的概率为（ ） A ．14B ．58C ．38D ．128. 将函数2()cos() (cos 2sin )sin f x x x x x π=+-+的图象向左平移8π个单位后得到函数的()g x 图象，则()g x 具有性质 （ ）A 2x π=对称 B ．周期为π，图象关于(,0)4π对称C ．在(,0)2π-上单调递增，为偶函数 D ．在(0,)4π上单调递增，为奇函数9．已知抛物线xy 22=，过抛物线焦点F 的直线与抛物线相交于B A ,两点，自B A ,向准线作垂线，垂足分别为1A 、2A ，3321=F A ,22=F A ,则=21A A( )A ．33 B ．332 C ．3 D ．33410. 已知四面体ABCD 中三组对棱分别相等且长分别是2径为 ( )A ．2B ．3C ．5D ．611．已知函数31,0()9,0x x f x xx x ⎧+>⎪=⎨⎪+≤⎩，若关于x 的方程()a x x f =+22有六个不同的实根，则实数a 的取值范围是 （ ）A ．(]2,8B ．(]2,9C ．(]8,9D ．()9,812．已知点G 是A B C ∆的重心，点P 是G B C ∆内一点，若,A P A B A C λμλμ=++则的取值范围是 （ ）A ．1(,1)2B ．2(,1)3C ．3(1,)2D ．（1，2）第Ⅱ卷（非选择题，共90分）本卷包括必考题和选考题两部分，第13题－21题为必考题，每个试题考生都必须作答，第22题－24题为选考题，考生根据要求作答.二、填空题(本大题包括4小题，每小题5分，共20分，把正确答案填在答题卡中的横线上).13. 已知下列表格所示数据的回归直线方程为a x y+=8.3ˆ，则a 的值为 .14. 若删去正整数数列1,2,3，…中的所有完全平方数，得到一个新数列，这个新数列的第2013项是 _. 15．一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为 ．16．如图，1F 、2F 是双曲线)0,0(12222>>=-b a by ax过1F 的直线l 与C 的左、右两支分别交于点A 、B .若2ABF ∆为等边三角形，则双曲线的离心率为___ ___.三、 解答题（本大题包括6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）.17. （本小题满分12分）如图B A ,是单位圆O 上的动点，且B A ,分别在第一,二象限.C 是圆与x 轴正半轴的交点，AOB ∆为正三角形. 若A 点的 坐标为),(y x ，记α=∠COA ．（Ⅰ）若A 点的坐标为)54,53(,求αααα2cos cos2sin sin 22++的值；（Ⅱ）求2BC的取值范围.18．（本小题满分12分）某中学参加一次社会公益活动（以下简称活动）．该校合唱团共有100名学生，他们参加活动的次数统计如图所示.（Ⅰ）求合唱团学生参加活动的人均次数；（Ⅱ）从合唱团中任意选两名学生，求他们参加活动次数恰好相等的概率． （Ⅲ）从合唱团中任选两名学生，用ξ表示这两人参加活动次数之差的绝对值，求随机变量ξ的分布列及数学期望ξE ．1 2 3正视图 俯视图侧视图x19. （本小题满分12分）如图，PA ⊥平面ABCD ，ABCD 是矩形，PA=AB=1，PD 与平面ABCD 所成角是30°，点F 是PB 的中点，点E 是边BC 上的动点． （Ⅰ）点E 为BC 的中点时,求证：EF //平面PAC ； （Ⅱ）BE 为何值时，二面角P-DE-A 的大小为45°．20. （本小题满分12分）已知圆()()222:r n y m x M =-+-及定点)(0,1N ，点P 是圆M 上的动点，点Q 在NP 上，点G 在MP 上，且满足→NP =→NQ 2，0=⋅→→NP GQ （Ⅰ）若,4,0,1==-=r n m 求点G 的轨迹C 的方程.（Ⅱ）若动圆M 和（1）中所求轨迹C 相交于不同两点B A ,，是否存在一组实数,,,r n m 使得直线MN 垂直平分AB ，若存在，求出这组实数，若不存在说明理由.21. （本小题满分12分） 设)1()(+-=x a e x f x.（Ⅰ）若1=a ，求)(x f 的单调区间； （Ⅱ）设xea x f x g +=)()(，且()212211),,(),,(x x y x B y x A ≠，是曲线)(x g y =上任意两点，若对任意的1-≤a ，直线AB 的斜率恒大于常数m ，求实数m 的取值范围； （Ⅲ）求证：)()2(1)12(31*N n n e e n n nnn∈-<-+++ .请考生在22、23、24三题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题记分. 22．（本小题满分10分）选修4—1：几何证明选讲如图，半圆O 的直径AB 的长为4，点C 平分弧AE ，过C 作AB 的 垂线交AB 于D ，交AE 于F ．（Ⅰ）求证：AF AE CE⋅=2；（Ⅱ）若AE 是CAB ∠的角平分线，求CD 的长． 23．（本小题满分10分）选修4—4：坐标系与参数方程 在平面直角坐标系xOy 中，曲线1C 的参数方程为⎩⎨⎧-=-=2cos 3sin 32ααy x （其中α为参数，R ∈α）．在极坐标系（以坐标原点O 为极点，以x 轴非负半轴为极轴）中，曲线2C 的极坐标方程为a =-)4cos(πθρ．（Ⅰ）把曲线1C 和2C 的方程化为直角坐标方程； （Ⅱ）若曲线1C 上恰有三个点到曲线2C 的距离为23，求曲线2C 的直角坐标方程．24．（本小题满分10分）选修4—5：不等式选讲 已知函数a x x f +=)(．（Ⅰ）当1-=a 时，求不等式11)(++≥x x f 的解集；（Ⅱ）若不等式2)()(<-+x f x f 存在实数解，求实数a 的取值范围．AFEPBDC吉林省五校高考高端命题研究协作体第二次联考一、选择题AACBDB DDDACB二、填空题13. 242.8 14. 2058 15． 3116．7四、 解答题（本大题包括6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）.17. 解：（Ⅰ）因为A 点的坐标为34,55⎛⎫⎪⎝⎭，根据三角函数定义可知，40,sin 25παα<<=，得3co s 5α=， ..........2分所以22sin sin 2co s co s 2αααα++＝22sin 2sin co s 203co s 1αααα+=- ...........5分（Ⅱ）因为三角形AOB 为正三角形，所以060A O B∠=， 所以cos C O B∠=0co s(60)C O A ∠+=cos(60)α+...........6分所以222||||||2||||cos B CO C O B O C O B B O C=+-∠=22co s()3πα-+.........7分 5,62236ππππααπ<<∴<+<, 5co sco s()co s632πππα∴<+<,即co s()023πα∴-<+<, .........10分22||2B C ∴<<.........12分18． 解：由图可知，参加活动1次、2次和3次的学生人数分别为10、50和40．2分 （Ⅰ）该合唱团学生参加活动的人均次数为3.2100403502101=⨯+⨯+⨯． ---4分（Ⅱ）从合唱团中任选两名学生，他们参加活动次数恰好相等的概率为：994121002402502100=++=C C C C P ． --------6分（Ⅲ）从合唱团中任选两名学生，记“这两人中一人参加1次活动，另一人参加2次活动”为事件A ，“这两人中一人参加2次活动，另一人参加3次活动”为事件B ，“这两人中一人参加1次活动，另一人参加3次活动”为事件C ．易知：9950)()()1(21001401502100150110=+=+==C C C C C C B P A P P ξ，998)()2(2100140110====C C C C P P ξ------------10分ξ的分布列：ξ的数学期望：3299829950199410=⨯+⨯+⨯=ξE ． ------12分19. 解: 解法一:（Ⅰ）当点E 为B C 的中点时，∵在P B C ∆中，E 、F 分别为B C 、P B 的中点，∴E F ∥P C 又E F ⊄平面P A C ， 而P C ⊂平面P A C ∴E F ∥平面P A C ． ………4分 （Ⅱ）过A 作A G D E ⊥于G，连P G ， 又∵PA DE ⊥，则⊥DE 平面PAG , 则PGA ∠是二面角P D E A --的平面角，∴45=∠PGA ，∵PD 与平面ABCD 所成角是 30，∴30=∠PDA ，∴A D =1P A A B ==．∴1A G =，D G =，设B E x =，则G E x =，C E x =，在R t D C E ∆中，))2221x x=+，得B E x ==． ………12分解法二:（向量法）（Ⅰ）同解法一 ………4分 （Ⅱ）建立如图所示空间直角坐标系， ………5分则()0,0,1P ，()0,1,0B ，110,,22F ⎛⎫⎪⎝⎭，)0,0D．设B E x =，)0,1,(x E ，则设平面P D E 的法向量为(),,1m p q =，由⎝⎛=⋅=⋅→→→→0PE m PD m ，得：m ⎛⎫=-⎪⎝⎭ ， ………8分而平面ADE 的法向量为)1,0,0(=→AP , ………9分∵二面角P D E A --的大小是 45,所以45cos =||||||22→→→→⋅=AP m AP m ，11=………10分得B E x ==或 23+==x BE （舍）． ……………12分20. 解：（Ⅰ）→→=NQNP 2 Q ∴为PN 中点，又 0=⋅→→NP GQ NP GQ ⊥∴或G 点与Q 点重合GN PG =∴又4==+=+PMGP GM GN GM∴点G 轨迹是以N M ,为焦点的椭圆且1,2==c a13422=+∴yx……… 4分（Ⅱ）1°当MN 的斜率存在时，设为k MN l ：)1(-=x k y设),(11y x A ),(22y x B AB 中点),(00y x D ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+=+13413422222121y x y x 03))((4))((21212121=+-++-∴y y y y x x x xk x x y y 12121-=--⎪⎩⎪⎨⎧+=+=22210210y y y x x x k y x 14300=∴ D 在MN 直线上⎪⎩⎪⎨⎧=-=∴k y x x k y 143)1(000040=∴x 弦AB 的中点D 在椭圆C 内220<<-∴x所以矛盾，所以不存在 ……… 9分 2°当MN 的斜率不存在时 ……… 10分1=x 21y y =,221=+x x 代入椭圆021=-x xAB 是不同点,所以矛盾 ……… 11分当MN 的斜率为零，存在无数组解，如4,5==r m………12分解法2：（2）设直线AB 为)0(≠+=k b kx y联立⎪⎩⎪⎨⎧+==+b kx y yx 13422，得01248)43(222=-+++b kbx x k341243482221221+-=+-=+k bx x kkb x x ………5分中点)343,344(22++-k b k kb 在直线MN 上， ………6分则kkb 342+-= ………7分此时0<∆，故不存在 ………9分 2°当MN 的斜率不存在时1=x 21y y =,221=+x x 代入椭圆021=-x xAB 是不同点,所以矛盾 ……… 10分当MN 的斜率为零，存在无数组解， ……… 11分如4,5==r m………12分法3：（2）由焦半径公式可得21x x =，则点M 在x 轴上，………10分 如4,5==r m ………12分21. （本小题满分12分）解：（Ⅰ）1)(),1()(-='∴+-=xx e x f x e x f ， -------1分 令01=-xe 得：0=x当)0,(-∞∈x ，0)(<'x f ，所以)(x f 为减函数；当),0(+∞∈x ，0)(>'x f ，所以)(x f 为增函数. --------3分 （Ⅱ）设R x x ∈21,,且21x x <,由已知条件m x x x g x g k AB >--=1212)()(,故:1122)()(mx x g mx x g ->- --------5分令:mx x g x F -=)()(,则函数)(x F 在R 上是增函数,所以,对于任意R x a ∈-≤,1,都有0)()(≥-'='m x g x F 恒成立 -------6分而32)(2)(≥-+-=--⋅≥--='a a a ea e ea a e x g xxxx所以3≤m --------8分 法二：设R x x ∈21,,且21x x <,由已知条件m x x x g x g k AB >--=1212)()(,故:1122)()(mx x g mx x g ->- -------5分 令:mx x g x F -=)()(,则函数)(x F 在R 上是增函数,所以,对于任意R x a ∈-≤,1,都有0)()(≥-'='m x g x F 恒成立 -------6分xxxxea ee a a ex g ++-=--=')11()(令xx ea ea F ++-=)11()(关于a 的一次函数单调递减，故311)1()(min ≥++=-=xxeeF a F所以3≤m -----------8分(Ⅲ)由（Ⅰ）知1+≥x e x，取)12,,3,,1(,2-=-=n i ni x得，ni e ni 221-≤-，即2)22(i ne ni n -≤--------10分累加得：11)1()212()23()21(12121232212-<--=+++≤-+++--------e e eee e e e nn nn nn n nnnnnn n n e e n )2(1)12(31-<-+++∴-------12分22.解：（Ⅰ）证明：由已知A C C E =∴A E C ∠=E A C ∠,AC=CE, AB 为圆C 的直径，且CD ⊥AB 于点D ，∴A C D ∠=AE C ∠=E A C ∠,∴A C F ∆∽A E C ∆∴2A CA E A F =⋅,即：2C EA E A F =⋅ -------5分（Ⅱ）AE 是的角平分线，则B A E ∠=A E C ∠=E A C ∠=30ºBE C E C A ==,C A B ∠=60º, ∴AC=OA=12AB=2C D A C sin 60=⋅º=22⨯=-------10分23．解：（Ⅰ）曲线1C ：变形3sin 2,3cos 2x y αα=-=+ 两式的平方和为：22(2)(2)9x y -++=曲线2C：展开为(co s sin )2a ρθρθ+=∴x y +=-------5分（Ⅱ）曲线1C 上恰有三个点到曲线2C 的距离为32，则圆1C 的圆心到直线2C 的距离为3333222R -=-=由点到直线的距离公式得：32=∴32a =±∴曲线2C的直角坐标方程：2x y +=±-------10分24. （Ⅰ）解：1a =-时，()111f x x x =-≥++ 即：111x x --+≥1x ≤-时，111,1x x x -+++≥∴≤- 11x -≤≤时，1111,12x x x -+--≥∴-≤≤-1x ≥时，111,x x ---≥无解∴1,2x ⎛⎤∈-∞- ⎥⎝⎦ -------5分（Ⅱ）()()()()2f x f x x a x a x a x a a +-=++-+≥++-+=∴112)()(2<<-∴<-+≤a x f x f a-------10分。
2013年高考理科数学(新课标卷)试题及答案
2013年全国卷新课标——数学理科（适用地区：吉林 黑龙江 山西、河南、新疆、宁夏、河北、云南、内蒙古）本试卷包括必考题和选考题两部分，第1-21题为必考题，每个考生都必须作答.第22题~第24题，考生根据要求作答.一、选择题：本大题共12小题，在每小题给出的四个选项中，只有 一项是符合题目要求的.1. 已知集合}5,4,3,2,1{=A ，},,|),{(A y x A y A x y x B ∈-∈∈=，则B 中所含元素的个数为 A. 3B. 6C. 8D. 10【解析】选D.法一：按x y -的值为1，2，3，4计数，共432110+++=个；法二：其实就是要在1，2，3，4，5中选出两个，大的是x ，小的是y ，共2510C =种选法.2. 将2名教师，4名学生分成两个小组，分别安排到甲、乙两地参加社会实践活动，每个小组由一名教师和2名学生组成，不同的安排方案共有A. 12种B. 10种C. 9种D. 8种【解析】选A.只需选定安排到甲地的1名教师2名学生即可，共1224C C 种安排方案.3. 下面是关于复数iz +-=12的四个命题：:1P 2||=z:2P i z 22= :3P z 的共轭复数为i +1:4P z 的虚部为1-其中的真命题为A. 2P ，3PB. 1P ，2PC.2P ，4PD. 3P ，4P【解析】选C.经计算， 221,21 z i z i i ==--=-+.4. 设21,F F 是椭圆:E 12222=+by a x )0(>>b a 的左右焦点，P 为直线23a x =上的一点，12PF F △是底角为︒30的等腰三角形，则E 的离心率为A.21B.32C.43D.54【解析】选C.画图易得,21F PF △是底角为30 的等腰三角形可得212PF F F =，即3222a c c ⎛⎫-= ⎪⎝⎭, 所以34c e a==.5. 已知}{n a 为等比数列，274=+a a ，865-=a a ，则=+101a aA.7B. 5C.5-D.7-【解析】选D.472a a +=,56478a a a a ==-,474,2a a ∴==-或472,4a a =-=,14710,,,a a a a 成等比数列，1107a a ∴+=-.6. 如果执行右边的程序框图，输入正整数N )2(≥N 和 实数N a a a ,,,21 ，输出A ，B ，则A. B A +为N a a a ,,,21 的和B.2B A +为Na a a ,,,21 的算术平均数C. A 和B 分别是N a a a ,,,21 中最大的数和最小的数D. A 和B 分别是N a a a ,,,21 中最小的数和最大的数 【解析】选C.7. 如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，则此几何体的体积为 A. 6 B. 9 C. 12D. 18【解析】选B.由三视图可知，此几何体是底面为俯视图三角形，高为3的三棱锥，113932V =⨯⨯=. 8. 等轴双曲线C 的中心在原点，焦点在x 轴上，C 与抛物线x y 162=的准线交于A ，B ，两点，34||=AB ，则的实轴长为A.2B. 22C. 4D. 8 【解析】选C.易知点(-在222x y a -=上，得24a =，24a =.9. 已知0>ω，函数)4sin()(πω+=x x f 在),2(ππ单调递减，则ω的取值范围是A. ]45,21[B. ]43,21[C. ]21,0(D. ]2,0(【解析】选A.由322,22442Z k k k ππππππωπωπ+≤+<+≤+∈得，1542,24Z k k k ω+≤≤+∈，15024ωω>∴≤≤ .10. 已知函数xx x f -+=)1ln(1)(，则)(x f y =的图像大致为【解析】选B.易知ln(1)0y x x =+-≤对()1,x ∈-+∞恒成立，当且仅当0x =时，取等号. 11. 已知三棱锥ABC S -的所有顶点都在球O 的球面上，ABC △是边长为1的正三角形，SC 为球O 的直径，且2=SC ，则此棱锥的体积为 A.62 B.63 C. 32D.22【解析】选A.易知点S 到平面ABC 的距离是点O 到平面ABC 的距离的2倍.显然O ABC -是棱长为113O ABCV-=2S ABC O ABC V V --=12. 设点P 在曲线x e y 21=上，点Q 在曲线)2ln(x y =上，则||PQ 的最小值为A. 2ln 1-B. )2ln 1(2-C. 2ln 1+D.)2ln 1(2+【解析】选B.12x y e =与ln(2)y x =互为反函数，曲线12x y e =与曲线ln(2)y x =关于直线y x=对称，只需求曲线12x y e =上的点P 到直线y x =距离的最小值的2倍即可.设点1,2x P x e ⎛⎫ ⎪⎝⎭，点P 到直线y x =距离d 令()12x f x e x =-，则()112xf x e'=-.由()0f x '>得ln 2x >；由()0f x '<得ln 2x <，故当ln 2x =时，()f x 取最小值1ln 2-.所以d 1xe x -=min d =所以)min min ||21ln 2PQ d =-.二、填空题.本大题共4小题，每小题5分.13.已知向量a ，b 夹角为︒45，且1=||a ，102=-||b a ，则=||b .【解析】由已知得，()22222244||-=-=- a b a b a a b +b 2244cos 45=- a a b +b2410=-=+b ，解得=b14. 设y x ,满足约束条件⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥≥≤+-≥-0031y x y x y x 则y x Z 2-=的取值范围为 .【解析】[]3,3-.画出可行域，易知当直线2Z x y =-经过点()1,2时，Z 取最小值3-；当直线2Z x y =-经过点()3,0时，Z 取最大值3.故2Z x y =-的取值范围[]3,3-. 15. 某一部件由三个电子元件按下图方式连接而成，元件1或元件2正常工作，且元件3正常工作，则部件正常工作.设三个电子元件的 使用寿命（单位：小时）服从正态分布)50,1000(2N ，且各元件能否正常工作互相独立， 那么该部件的使用寿命超过1000小时的概率为 . 【解析】38.由已知可得，三个电子元件使用寿命超过1000小时的概率均为12，所以该部件的使用寿命超过1000小时的概率为211311228⎡⎤⎛⎫--⨯=⎢⎥⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦.16. 数列}{n a 满足12)1(1-=-++n a a n n n ，则}{n a 的前60项和为 . 【解析】1830.由1(1)21n n n a a n ++-=-得，22143k k a a k --=-……①21241k k a a k +-=-……②,再由②-①得, 21212k k a a +-+=……③由①得,()()()214365S S a a a a a a -=-+-+-+奇偶…()6059a a +-159=+++…117+()11173017702+⨯==由③得, ()()()3175119S a a a a a a =++++++奇…()5959a a ++21530=⨯=所以, ()217702301830S S S S S S =+=-+=+⨯=60奇奇奇偶偶.三、解答题：解答题应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 17. （本小题满分12分） 已知a ，b ，c 分别为ABC △三个内角A ，B ，C 的对边，0sin 3cos =--+c b C a C a .(Ⅰ) 求A ；(Ⅱ) 若2=a ，ABC △的面积为3，求b ，c .解：(Ⅰ)法一:由cos sin 0a C C b c --=及正弦定理可得sin cos sin sin sin 0A C A C B C --=,()sin cos sin sin sin 0A C A C A C C -+-=,sin cos sin sin 0A C A C C --=,sin 0C >,cos 10A A --=,2sin 106A π⎛⎫∴--= ⎪⎝⎭,1sin 62A π⎛⎫-= ⎪⎝⎭, 0A π<< ，5666A πππ∴-<-<，66A ππ∴-=3A π∴=法二:由正弦定理可得sin sin a C c A =，由余弦定理可得222cos 2a b c C ab+-=.再由cos sin 0a C C b c --=可得，222sin 02a b c a A b c ab+-⋅--=，即2222sin 220a b c A b bc +-+--=，22212b c a A bc +--=cos 1A A -=，2sin 16A π⎛⎫-= ⎪⎝⎭， 1sin 62A π⎛⎫-= ⎪⎝⎭， 0A π<< ，5666A πππ∴-<-<，66A ππ∴-=3A π∴=(Ⅱ)ABC S = △1sin 2bc A ∴4bc ∴=， 2,3a A π==， 222222cos 4a b c bc A b c bc ∴=+-=+-=，228b c ∴+=.解得2b c ==.18. （本小题满分12分）某花店每天以每枝5元的价格从农场购进若干枝玫瑰花，然后以每枝10元的价格出售.如果当天卖不完，剩下的玫瑰花做垃圾处理. (Ⅰ) 若花店某天购进16枝玫瑰花，求当天的利润y （单位：元）关于当天需求量n （单位：枝，N n ∈）的函数解析式；以100天记录的各需求量的频率作为各需求量发生的概率.（ⅰ）若花店一天购进16枝玫瑰花，X 表示当天的利润（单位：元），求X 的分布列、数学期望及方差；（ⅱ）若花店计划一天购进16枝或17枝玫瑰花，你认为应购进16枝还是17枝？请说明理由.解：(Ⅰ) ()()1080,1580,16 n n y n -≤⎧⎪=⎨≥⎪⎩（n N ∈）；(Ⅱ) （ⅰ）若花店一天购进16枝玫瑰花，X 的分布列为X 的数学期望()E X =60×0.1+70×0.2+80×0.7=76，X 的方差()D X =(60-762)×0.1+(70-762)×0.2+(80-762)×0.7=44.（ⅱ）若花店计划一天购进17枝玫瑰花，的分布列为X 的数学期望()E X =55×0.1+65×0.2+75×0.16+85×0.54=76.4，因为76.4>76，所以应购进17枝玫瑰花.19. （本小题满分12分）如图，直三棱柱111C B A ABC -中，121AA BC AC ==，D 是棱1AA 的中点，BD DC ⊥1(Ⅰ) 证明：BC DC ⊥1(Ⅱ) 求二面角11C BD A --的大小.(Ⅰ) 证明：设112AC BC AA a ===， 直三棱柱111C B A ABC -，1DC DC ∴==， 12CC a =，22211DC DC CC ∴+=，1DC DC ∴⊥.又1DC BD ⊥ ，1DC DC D = ，1DC ∴⊥平面BDC .BC ⊂ 平面BDC ,1DC BC ∴⊥.(Ⅱ)由(Ⅰ)知，1DC ，1BC =，又已知BD DC ⊥1，BD ∴. 在Rt ABD △中，,,90BD AD a DAB =∠= ， AB ∴. 222AC BC AB ∴+=，AC BC ∴⊥.法一：取11A B 的中点E ，则易证1C E ⊥平面1BDA ，连结DE ，则1C E ⊥BD ， 已知BD DC ⊥1，BD ∴⊥平面1DC E ，BD ∴⊥DE ，1C DE ∴∠是二面角11C BD A --平面角.在1Rt C DE △中，1111sin 2C E C DE C D∠=，130C DE ∴∠= .即二面角11C BD A --的大小为30 .法二：以点C 为坐标原点，为x 轴，CB 为y 轴,1CC 为z 轴,建立空间直角坐标系C xyz -.则()()()()11,0,2,0,,0,,0,,0,0,2A a a B a D a a C a .()()1,,,,0,DB a a a DC a a =--=-，设平面1DBC 的法向量为()1111,,n x y z = ，则11111100n DB ax ay az n DC ax az ⎧=-+-=⎪⎨=-+=⎪⎩ ,不妨令11x =,得112,1y z ==,故可取()11,2,1n =.同理,可求得平面1DBA 的一个法向量()21,1,0n =.设1n 与2n的夹角为θ,则1212cos n n n n θ⋅= 30θ∴= . 由图可知, 二面角的大小为锐角,故二面角11C BD A --的大小为30 .20. （本小题满分12分）设抛物线:C py x 22=)0(>p 的焦点为F ，准线为l ，A 为C 上一点，已知以F 为圆心，FA 为半径的圆F 交l 于B 、D 两点(Ⅰ) 若90BFD ∠=︒，ABD △面积为24，求p 的值及圆F 的方程；(Ⅱ)若A 、B 、F 三点在同一直线m 上，直线n 与m 平行，且n 与C只有一个公共点，求坐标原点到m ，n 的距离的比值.解: (Ⅰ)由对称性可知,BFD △为等腰直角三角形,斜边上的高为p ,斜边长2BDp =.点A 到准线l的距离d FB FD ===.由ABD S =△, 11222BD d p ⨯⨯=⨯=2p ∴=.圆F 的方程为()2218x y +-=.(Ⅱ)由对称性,不妨设点(),A A A x y 在第一象限,由已知得线段AB 是圆F 的在直径,90o ADB ∠=,2BD p ∴=,32A y p ∴=,代入抛物线:C py x 22=得A x =.直线m的斜率为AFk==直线m的方程为0x . 由py x 22= 得22x y p =,x y p'=.由x y p'==得, x p =.故直线n 与抛物线C的切点坐标为6p ⎫⎪⎪⎝⎭, 直线n的方程为0x =.所以坐标原点到m ，n3.21. （本小题满分12分） 已知函数121()(1)(0)2x f x f e f x x -'=-+.(Ⅰ) 求)(x f 的解析式及单调区间；(Ⅱ) 若b ax x x f ++≥221)(，求b a )1(+的最大值解: (Ⅰ)1()(1)(0)x f x f e f x -''=-+,令1x =得,(0)1f =,再由121()(1)(0)2x f x f e f x x -'=-+,令0x =得()1f e '=.所以)(x f 的解析式为21()2xf x ex x =-+. ()1x f x e x '=-+,易知()1x f x e x '=-+是R 上的增函数,且(0)0f '=.所以()00,()00,f x x f x x ''>⇔><⇔<所以函数)(x f 的增区间为()0,+∞,减区间为(),0-∞.(Ⅱ) 若b ax x x f ++≥221)(恒成立,即()()21()102x h x f x x ax b e a x b =---=-+-≥恒成立，()()1x h x e a '=-+ ,(1)当10a +<时,()0h x '>恒成立, ()h x 为R 上的增函数,且当x →-∞时, ()h x →-∞,不合题意;(2)当10a +=时,()0h x >恒成立, 则0b ≤,(1)0a b +=;(3)当10a +>时, ()()1x h x e a '=-+为增函数,由()0h x '=得()ln 1x a =+, 故()()()0ln 1,()0ln 1,f x x a f x x a ''>⇔>+<⇔<+当()ln 1x a =+时, ()h x 取最小值()()()()ln 111ln 1h a a a a b +=+-++-.依题意有()()()()ln 111ln 10h a a a a b +=+-++-≥,即()()11ln 1b a a a ≤+-++,10a +> ,()()()()22111ln 1a b a a a ∴+≤+-++,令()()22ln 0 u x x x x x =->,则()()22ln 12ln u x x x x x x x '=--=-,()00()0u x x u x x ''>⇔<<⇔所以当x , ()u x 取最大值2e u =.故当1a b +, ()1a b +取最大值2e .综上, 若b ax x x f ++≥221)(，则 b a )1(+的最大值为2e .请考生在第22、23、24题中任选一题作答，如果多做，则按所做第一题记分，作答时请写清题号.22. （本小题满分10分）选修4—1：几何证明选讲如图，D ，E 分别为ABC △边AB ，AC 的中点，直线DE 交ABC △的外接圆于F ，G 两点.若AB CF //，证明：(Ⅰ) BC CD =； (Ⅱ) GBD BCD ∽△△.证明：(Ⅰ) ∵D ，E 分别为ABC △边AB ，AC 的中点，∴//DE BC .//CF AB ,//DF BC ,CF BD ∴ 且 =CF BD ，又∵D 为AB 的中点，CF AD ∴ 且=CF AD ，CD AF ∴=.//CF AB ，BC AF ∴=.CD BC ∴=. (Ⅱ)由(Ⅰ)知，BC GF ，GB CF BD ∴==，BGD BDG DBC BDC ∠=∠=∠=∠BCD GBD ∴△∽△.23. （本小题满分10分）选修4—4：坐标系与参数方程已知曲线1C 的参数方程是2cos 3sin x y ϕϕ=⎧⎨=⎩（ϕ为参数），以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线2C 的极坐标方程是2=ρ.正方形ABCD 的顶点都在2C 上，且A ，B ，C ，D 依逆时针次序排列，点A 的极坐标为)3,2(π.(Ⅰ)点A ，B ，C ，D 的直角坐标； (Ⅱ) 设P 为1C 上任意一点，求2222||||||||PD PC PB PA +++的取值范围. 解：(Ⅰ)依题意，点A ，B ，C ，D 的极坐标分别为.所以点A ，B ，C ，D 的直角坐标分别为、(、(1,-、1)-； (Ⅱ) 设()2cos ,3sin P ϕϕ，则2222||||||||PD PC PB PA +++ ())2212cos 3sin ϕϕ=-+()()222cos 13sin ϕϕ++-()()2212cos 3sin ϕϕ+--+)()222cos 13sin ϕϕ++-- 2216cos 36sin 16ϕϕ=++[]23220sin 32,52ϕ=+∈. 所以2222||||||||PD PC PB PA +++的取值范围为[]32,52.24. （本小题满分10分）选修4—5：不等式选讲 已知函数|2|||)(-++=x a x x f .(Ⅰ) 当3a =-时，求不等式3)(≥x f 的解集； (Ⅱ) |4|)(-≤x x f 的解集包含]2,1[，求a 的取值范围. 解：(Ⅰ) 当3a =-时，不等式3)(≥x f ⇔ |3||2|3x x -+-≥⇔ ()()2323x x x ≤⎧⎪⎨----≥⎪⎩或()()23323x x x <<⎧⎪⎨-++-≥⎪⎩或()()3323x x x ≥⎧⎪⎨-+-≥⎪⎩ ⇔或4x ≥.所以当3a =-时，不等式3)(≥x f 的解集为{1x x ≤或}4x ≥. (Ⅱ) ()|4|f x x ≤-的解集包含]2,1[，即|||2||4|x a x x ++-≤-对[]1,2x ∈恒成立，即||2x a +≤对[]1,2x ∈恒成立，即22a x a --≤≤-对[]1,2x ∈恒成立，所以2122a a --≤⎧⎨-≥⎩，即30a -≤≤. 所以a 的取值范围为[]3,0-.。
2013年长春市高中毕业班第三次调研测试理科数学答案
2013年东北三省四市教研协作体等值诊断联合考试2013年长春市高中毕业班第三次调研测试数学(理科)参考答案及评分标准一、选择题(本大题包括12小题，每小题5分，共60分)1.B 2 .C 3. A 4. B 5.A 6.B 7.A 8.C 9.D 10.A 11.B 12.C简答与提示：1.【命题意图】本小题主要考查二元一次不等式组所表示的区域，是线性规划的一种简单应用，对学生的数形结合思想提出一定要求.【试题解析】B 360x y-+≥表示直线360x y-+=以及该直线下方的区域，20x y-+<表示直线20x y-+=的上方区域，故选B.2.【命题意图】本小题主要考查复数的基本运算，特别是共轭复数的乘法运算以及对共轭复数的基本性质的考查，对考生的运算求解能力有一定要求.【试题解析】C 由(12)z i⋅-为实数，且0z≠，所以可知(12)z k i=+，0k≠，则122a kb k==，故选C.3.【命题意图】本小题主要考查同角三角函数的基本关系式以及倍角的余弦公式的应用，对学生的化归与转化思想以及运算求解能力提出一定要求.【试题解析】A 由3cos5α=，得22229cos2sin2cos11cos cos25ααααα+=-+-==，故选A.4.【命题意图】本小题主要通过程序框图的理解考查学生的逻辑推理能力，同时考查学生对算法思想的理解与剖析.【试题解析】B 由程序框图可知：①0S=，1k=；②1S=，2k=；③3S=，3k=；④7S=，4k=；⑤15S=，5k=. 第⑤步后k输出，此时15S P=≥，则P的最大值为15，故选B.5.【命题意图】本小题主要考查平面向量的定义与基本性质，特别是对平面向量运算律的全面考查，另外本题也对考生的分析判断能力进行考查.【试题解析】A 由平面向量的基础知识可知①②④均不正确，只有③正确，故选A.6.【命题意图】本题着重考查三角函数基础知识的应用，对于三角函数的对称性也作出较高要求. 本小题同时也考查考生的运算求解能力与考生的数形结合思想.【试题解析】B 由函数()sin cosf x x a x=+的图像关于直线53xπ=对称，可知5()3fπ=，可求得a=. 故选B.7.【命题意图】本小题主要考查立体几何中球与球的内接几何体中基本量的关系，以及球表面积公式的应用，本考点是近年来高考中的热点问题，同时此类问题对学生的运算求解能力、空间想象能力也提出较高要求.【试题解析】A如图：设1O、2O为棱柱两底面的中心，球心O为12OO的中点. 又直三棱柱的棱长为a，可知OO2112OO a =，1AO a ，所以2222211712a R OA OO AO ==+=， 因此该直三棱柱外接球的表面积为2227744123a S R a πππ==⨯=，故选A. 8. 【命题意图】本小题主要考查数列的递推问题，以及等差数列的通项公式，也同时考查学生利用构造思想解决问题的能力以及学生的推理论证能力.【试题解析】C由11n n a a +=+，可知211111)n n a a ++=++=1=，故数列是公差为1的等差数列，1213==，则13168a =. 故选C.9. 【命题意图】本小题主要考查均匀随机数的意义与简单应用，对于不同尺度下点与点的对应方式也做出一定要求. 本题着重考查考生数据处理的能力，与归一化的数学思想.【试题解析】D. 由于[0,]2a π∈， [0,1]b ∈，而1[0,1]a ∈，1[0,1]b ∈， 所以坐标变换公式为12a a π=，1b b =. 故选D.10. 【命题意图】本小题是定值问题，考查抛物线的定义与基本性质及过焦点的弦的性质.本题不但对考生的运算求解能力、推理论证能力有较高要求，而且对考生的化归与转化的数学思想也有较高要求.【试题解析】A 设11(,)P x y ，22(,)Q x y ，由题意可知，1||2PF x =+，2||2QF x =+，则1212121241111||||222()4x x FP FQ x x x x x x +++=+=+++++， 联立直线与抛物线方程消去y 得，2222(48)40k x k x k -++=，可知124x x =， 故121212121244111||||2()42()82x x x x FP FQ x x x x x x +++++===+++++. 故选A. 11. 【命题意图】本小题主要考查立体几何中的三视图问题，并且对考生的空间想象能力及利用三视图还原几何体的能力进行考查，同时考查简单几何体的体积公式.【试题解析】B 由图可知该几何体是由两个相同的半圆柱与一个长方体拼接而成，因此21241282V ππ=⨯⨯+⨯⨯=+. 故选B.12. 【命题意图】本小题主要考查函数的图像与性质，对于函数图像的翻折变换以及基本不等式的应用都有考查，本题是函数与不等式的综合题，考查较为全面，难度系数较高，是一道区分度较好、综合性较强的题目. 同时对考生的推理论证能力与运算求解能力都有较高要求.【试题解析】C 设(,),(,),(,),(,)A A B B C C D D A x y B x y C x y D x y ，则4a A x -=，4a B x =，18214a C x -+=，18214a D x +=，则182118214444a a a a n m +--+-=-，分子与分母同乘以18214a a ++ 可得183********a a a a n m++++==，又363622*********a a a a +=++-≥=++，当且仅当216a +=，即52a =时，“=”成立，所以n m的最小值为112. 故选C.二、填空题(本大题包括4小题，每小题5分，共20分) 13. 76 14. 815.16. [,4]5简答与提示：13. 【命题意图】本小题主要考查积分的定义与牛顿莱布尼茨公式在解决定积分问题上的应用. 主要考查学生的运算求解能力，难度较低，解决方法常规. 【试题解析】113120021217()()32326x x dx x x +=+=+=⎰. 14. 【命题意图】本小题主要考查学生对排列组合问题基本方法的掌握与应用，同时对考生解决此类问题的策略作出考查.同时也对考生的应用意识与创新意识有一定要求. 【试题解析】2122228A C A ⋅⋅=种. 15. 【命题意图】本小题主要考查双曲线中各基本量间的关系，特别是考查通径长度的应用以及相关的计算，同时也对等比中项问题作出了一定要求.本题主要考查学生的运算求解能力、推理论证能力，以及数形结合思想.【试题解析】由题意可知211212||||||PA FF AF =⨯ ，即222()()2()b a c c a c a++=+， 经化简可得22a b =，则c e a ===16. 【命题意图】本小题主要考查曲线与方程的实际应用问题，对学生数形结合与分类讨论思想的应用作出较高要求.【试题解析】由题可知，集合A 表示圆224(3)(4)5x y -+-=上点的集合，集合B 表示圆2216(3)(4)5x y -+-=上点的集合，集合C 表示曲线2|3||4|x y λ-+-=上点的集合，此三集合所表示的曲线的中心都在(3,4)处，集合A 、B 表示圆，集合C 则表示菱形，可以将圆与菱形的中心同时平移至原点，如图所示，可求得λ的取值范围是. 三、解答题(本大题必做题5小题，三选一选1小题，共70分)17. (本小题满分12分)【命题意图】本题针对三角变换公式以及解三角形进行考查，主要涉及三角恒等变换，正、余弦定理等内容，对学生的逻辑思维能力提出较高要求.【试题解析】解：(1)由题2sin2cos sin(2)cos )C C C C C ⋅-+=-，则sin2cos cos2sin C C C C C -，化简得sin C C ，(2分)即sin C C2sin()3C π+=sin()32C π+=， (4分) 从而233C ππ+=，故3C π=. (6分) (2) 由sin()sin()2sin2A B B A A ++-=，可得sin cos 2sin cos B A A A =.又斜三角形内cos 0A ≠，所以sin 2sin B A =，由正弦定理得2b a =， (8分) 所以由22222441cos 2222a b c a a C ab a a +-+-===⋅⋅，可知243a =， (10分)所以211sin 222ABCS b a C a a ∆=⋅⋅⋅=⋅⋅=. (12分)18. (本小题满分12分)【命题意图】本小题主要考查统计与概率的相关知识，其中包括中位数与平均数的求法、基本概率的应用以及离散型随机变量的二项分布的数学期望与方差的求法. 本题主要考查学生的数据处理能力.【试题解析】解：(1) 因为在频率分布直方图上，中位数的两边面积相等，可得中位数为155. (2分)平均数为 1200.005201400.075201600.020201800.00520⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯2000.003202200.00220156.8+⨯⨯+⨯⨯=. (4分)(2) 由频率分布直方图可知，采用分层抽样抽取10户居民，其中8户为第一类用户，2户为第二类用户，则从该10户居民中抽取2户居民且这两户居民用电资费不属于同一类型的概率为11822101645C C C =. (8分)(3) 由题可知，该小区内第一类用电户占80%，则每月从该小区内随机抽取1户居民，是第一类居民的概率为0.8，则连续10个月抽取，获奖人数X 的数学期望100.88EX np ==⨯=，方差(1)100.80.2 1.6DX np p =-=⨯⨯=. (12分)19. (本小题满分12分)【命题意图】本小题主要考查立体几何的相关知识，具体涉及到线面、面面的垂直关系、二面角的求法及空间向量在立体几何中的应用. 本小题对考生的空间想象能力与运算求解能力有较高要求.【试题解析】解：(1) 证明：由题可知，4545ED DF DEF DEF ED DF EF BE AE AB ABE AEB AE AB =⎫⎫∆ ⇒∠=︒⎬⎪⊥⎭⎪⇒⊥⎬=⎫⎪∆ ⇒∠=︒ ⎬⎪⊥⎭⎭中中 (3分)ABE BCDE ABE BCDE BE EF PBE PBE PEF EF BE EF PEF ⎫⊥⎫⎪⎪=⇒⊥⎬⎪⇒⊥⎬⎪⊥⎭⎪⎪ ⊂⎭ 平面平面平面平面平面平面平面平面 (6分) (2) 以D 为原点，以DC 方向为x 轴，以ED 方向为y 轴，以过D 点平面ECDE 向上的法线方向为z 轴，建立坐标系. (7分) 则(0,1,0)E -，(1,P -，(1,0,0)F ，(2,0,0)C ，(1,1EP =-，(1,CP =-- ，(1,1,0)EF = ，(1,0,0)CP =-1(1,1,n =-，2(0,1n = ， (9分)12|cos ,|n n <>= (11分) 综上二面角E -大小为. (12分)20. (本小题满分12分)【命题意图】本小题主要考查直线与圆锥曲线的综合应用能力，具体涉及到直线与圆锥曲线的相关知识以及圆锥曲线中极值的求取. 本小题对考生的化归与转化思想、运算求解能力都有很高要求.【试题解析】解：(1) 联立曲线,M N 消去y 可得22(4)20x x m -+-=，226160x x m -+-=，根据条件可得212212364(16)060160m x x x x m ⎧∆=-->⎪+=>⎨⎪=->⎩4m <<. (4分)(2) 设11(,)A x y ，22(,)B x y ，21x x >，10y >，20y >则122121()())ABCD S y y x x x x =+-=-=(6分)令t =，则(0,3)t ∈，ABCD S ==(7分) 设32()3927f t t t t =--++，则令22()3693(23)3(1)(3)0f t t t t t t t '=--+=-+-=--+=，可得当(0,3)t ∈时，()f x 的最大值为(1)32f =，从而ABCD S 的最大值为16.此时1t =1=，则215m =.(9分)联立曲线,M 的方程消去y 并整理得 2610x x -+=，解得13x =-23x =+，所以A点坐标为(31)-，C点坐标为(31)+，12AC k =-， 则直线AC的方程为11)[(32y x -=---， (11分) 当0y =时，1x =，由对称性可知AC 与BD 的交点在x 轴上，即对角线AC 与BD 交点坐标为(1,0). (12分)21. 【命题意图】本小题主要考查函数与导数的综合应用能力，具体涉及到用导数来描述函数的单调性、极值以及函数零点的情况. 本小题主要考查考生分类讨论思想的应用，对考生的逻辑推理能力与运算求解有较高要求.【试题解析】解 (1) 由于()sin x f x e x =，所以'()sin cos (sin cos )sin()4x x x x f x e x e x e x x x π=+=+=+. (2分) 当(2,2)4x k k ππππ+∈+，即3(2,2)44x k k ππππ∈-+时，'()0f x >； 当(2,22)4x k k πππππ+∈++，即37(2,2)44x k k ππππ∈++时，'()0f x <. 所以()f x 的单调递增区间为3(2,2)44k k ππππ-+()k Z ∈， 单调递减区间为37(2,2)44k k ππππ++()k Z ∈. (4分)(2) 令()()sin x g x f x kx e x kx =-=-，要使()f x kx ≥总成立，只需[0,]2x π∈时min ()0g x ≥.对()g x 求导得()(sin cos )x g x e x x k '=+-，令()(sin cos )x h x e x x =+，则()2cos 0x h x e x '=>，((0,)2x π∈) 所以()h x 在[0,]2π上为增函数，所以2()[1,]h x e π∈. (6分) 对k 分类讨论：① 当1k ≤时，()0g x '≥恒成立，所以()g x 在[0,]2π上为增函数，所以min ()(0)0g x g ==，即()0g x ≥恒成立；② 当21k e π<<时，()0g x '=在上有实根0x ，因为()h x 在(0,)2π上为增函数， 所以当0(0,)x x ∈时，()0g x '<，所以0()(0)0g x g <=，不符合题意；③ 当ke π≥时，()0g x '≤恒成立，所以()g x 在(0,)2π上为减函数，则()(0)0g x g <=，不符合题意. 综合①②③可得，所求的实数k 的取值范围是(,1]-∞. (9分) (3) 因为()()cos (sin cos )x x F xf x e x e x x =+=+，所以()2cos x F x e x '=，设切点坐标为0000(,(sin cos ))x x e x x +，则斜率为000'()2cos x f x e x =，切线方程为000000(sin cos )2cos ()x x y e x x e x x x -+=⋅-， (10分) 将1(,0)2M π-的坐标代入切线方程，得 0000001(sin cos )2cos ()2x x e x x e x x π--+=⋅- 001tan 12()2x x π---=--，即00tan 2()2x x π=-， 令1tan y x =，22()2y x π=-，则这两个函数的图像均关于点(,0)2π对称， 它们交点的横坐标也关于2π对称成对出现，方程tan 2()2x x π=-， 20112013[,]22x ππ∈-的根即所作的所有切线的切点横坐标构成的数列{}nx 的项也关于2π对称成对出现，在20112013[,]22ππ-内共构成1006对，每对的和为π，因此数列{}n x 的所有项的和1006S π=. (12分) 22. (本小题满分10分)【命题意图】本小题主要考查平面几何的证明，具体涉及到四点共圆的证明、圆中三角形相似等内容. 本小题重点考查考生对平面几何推理能力.【试题解析】解 (1)连结BN ，则AN BN ⊥，又CD AB ⊥，则90BEF BNF ∠=∠=︒，即180BEF BNF ∠+∠=︒，则B 、E 、F 、N 四点共圆. (5分)(2)由直角三角形的射影原理可知2AC AE AB =⋅， 由Rt BEF ∆与Rt BMA ∆相似可知：BF BE BA BM=， ()BF BM BA BE BA BA EA ⋅=⋅=⋅-，2BF BM AB AB AE ⋅=-⋅，则22BF BM AB AC ⋅=-，即22AC BF BM AB +⋅=. (10分)23. (本小题满分10分)【命题意图】本小题主要考查极坐标系与参数方程的相关知识，具体涉及到极坐标方程与平面直角坐标方程的互化、平面内直线与曲线的位置关系等内容. 本小题考查考生的方程思想与数形结合思想，对运算求解能力有一定要求.【试题解析】解：(1)对于曲线1C 消去参数t 得： 当2πα≠时，1:1tan (2)C y x α-=-；当2πα=时，1:2C x =. (3分) 对于曲线2C ：222cos 2ρρθ+=，2222x y x ++=，则222:12y C x +=. (5分) (2) 当4πα=时，曲线1C 的方程为10x y --=，联立12,C C 的方程消去y 得 222(1)20x x +--=，即23210x x --=，||3MN ===， 圆心为1212(,)22x x y y ++，即12(,)33-，从而所求圆方程为22128()()339x y -++=. (10分)24. (本小题满分10分)【命题意图】本小题主要考查不等式的相关知识，具体涉及到绝对值不等式及 不等式证明等内容. 本小题重点考查考生的化归与转化思想.【试题解析】解：(1) 24()624x f x x -+⎧⎪=⎨⎪-⎩1155x x x <--≤≤>(2分) 当1x <-时，2410x x -+≤+，2x ≥-，则21x -≤<-；当15x -≤≤时，610x ≤+，4x ≥-，则15x -≤≤；当 5x >时，2410x x -≤+，14x ≤，则514x <≤.综上可得，不等式的解集为[2,14]-.(5分) (2) 设2()(2)g x a x =--，由函数()f x 的图像与()g x 的图像可知：()f x 在[1,5]x ∈-时取最小值为6，()f x 在2x =时取最大值为a ，若()()f x g x ≥恒成立，则6a ≤. (10分)。
2013吉林高考数学(理科)试题及答案[1]
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绝密★启用前2013年普通高等学校招生全国统一考试(新课标Ⅱ卷)数学(理科)注意事项：1. 本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。
答卷前考生将自己的姓名\准考证号填写在本试卷和答题卡相应位置。
2. 回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号标黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
写在本试卷上无效。
3. 答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。
4. 考试结束，将试题卷和答题卡一并交回。
第Ⅰ卷（选择题 共50分）一、 选择题：本大题共10小题。
每小题5分，共50分。
在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
（1）已知集合M=｛x|(x-1)2 < 4,x ∈R ｝，N=｛-1，0，1，2，3｝，则M ∩N =( ） （A ）｛0，1，2｝ （B ）｛-1，0，1，2｝（C ）{-1，0，2，3} （D ）{0，1，2，3}（2）设复数z 满足（1-i ）z=2 i ，则z = （ ）（A ）-1+i （B ）-1-i （C ）1+i （D ）1-i（3）等比数列｛a n ｝的前n 项和为S n ，已知S 3 = a 2 +10a 1 ，a 5 = 9，则a 1=（ ）（A ）13 （B ）13- （C ）19 （D ）19-（4）已知m ，n 为异面直线，m ⊥平面α，n ⊥平面β。
直线l 满足l ⊥m ，l ⊥n ，,l l αβ⊄⊄，则（ ）（A ）α∥β且l ∥α（B ）α⊥β且l ⊥β（C ）α与β相交，且交线垂直于l （D ）α与β相交，且交线平行于l（5）已知（1+ɑx ）(1+x )5的展开式中x 2的系数为5，则ɑ=（ ） （A ）-4 （B ）-3 （C ）-2 （D ）-1（6）执行右面的程序框图，如果输入的N=10，那么输出的S=（A ）11112310++++ （B ）11112!3!10!++++（C ）11112311++++ （D ）11112!3!11!++++（7）一个四面体的顶点在空间直角坐标系O-xyz 中的坐标分 别是（1，0，1），（1，1，0），（0，1，1），（0，0，0），画该四 面体三视图中的正视图时，以zOx 平面为投影面，则得到正视图可以为(A) (B) (C) (D)（8）设a=log 36,b=log 510,c=log 714,则（A ）c ＞b ＞a （B ）b ＞c ＞a （C ）a ＞c ＞b (D)a ＞b ＞c（9）已知a ＞0，x ，y 满足约束条件()133x x y y a x ⎧≥⎪+≤⎨⎪≥-⎩,若z=2x+y 的最小值为1，则a=(A) 14 (B) 12(C)1 (D)2（10）已知函数f(x)=x 3+ax 2+bx+c ，下列结论中错误的是 （A ）∃x α∈R,f(x α)=0（B ）函数y=f(x)的图像是中心对称图形（C ）若x α是f(x)的极小值点，则f(x)在区间（-∞,x α）单调递减（D ）若x 0是f （x ）的极值点，则()0'0f x =（11）设抛物线y 2=3px(p>0)的焦点为F ，点M 在C 上，|MF |=5，若以MF 为直径的圆过点（0，2），则C 的方程为（A ）y 2=4x 或y 2=8x （B ）y 2=2x 或y 2=8x （C ）y 2=4x 或y 2=16x （D ）y 2=2x 或y 2=16x （12）已知点A （-1，0）；B （1，0）；C （0，1），直线y=ax+b (a >0)将△ABC 分割为面积相等的两部分，则b 的取值范围是（A ）（0，1）(B)112⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭( C) 113⎛⎤ ⎥ ⎦⎝(D) 11,32⎡⎫⎪⎢⎣⎭第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题，每个试题考生都必修作答。
2013年高考理科数学(新课标卷)试题及答案
2013年全国卷新课标——数学理科（适用地区：吉林 黑龙江 山西、河南、新疆、宁夏、河北、云南、内蒙古） 本试卷包括必考题和选考题两部分，第1-21题为必考题，每个考生都必须作答.第22题~第24题，考生根据要求作答.一、选择题：本大题共12小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知集合}5,4,3,2,1{=A ，},,|),{(A y x A y A x y x B ∈-∈∈=，则B 中所含元素的个数为 A. 3 B. 6 C. 8 D. 102. 将2名教师，4名学生分成两个小组，分别安排到甲、乙两地参加社会实践活动，每个小组由一名教师和2名学生组成，不同的安排方案共有 A. 12种 B. 10种 C. 9种 D. 8种3. 下面是关于复数iz +-=12的四个命题： :1P 2||=z:2P i z 22= :3P z 的共轭复数为i +1:4P z 的虚部为1-其中的真命题为A. 2P ，3PB. 1P ，2PC. 2P ，4PD. 3P ，4P4. 设21,F F 是椭圆:E 12222=+by a x )0(>>b a 的左右焦点，P 为直线23a x =上的一点，12PF F △是底角为︒30的等腰三角形，则E 的离心率为A.21B.32 C.43D.545. 已知}{n a 为等比数列，274=+a a ，865-=a a , 则=+101a a A.7B. 5C.5-D. 7-6. 如果执行右边的程序框图，输入正整数N )2(≥N 和实数N a a a ,,,21 ，输出A ，B ，则A. B A +为N a a a ,,,21 的和B.2BA +为N a a a ,,,21 的算术平均数 C. A 和B 分别是N a a a ,,,21 中最大的数和最小的数D. A 和B 分别是N a a a ,,,21 中最小的数和最大的数7. 如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的 是某几何体的三视图，则此几何体的体积为 A. 6 B. 9 C. 12 D. 188. 等轴双曲线C 的中心在原点，焦点在x 轴上，C 与抛物线x y 162=的准线交于A ，B ，两点，34||=AB ，则的实轴长为A.2B. 22C. 4D. 89. 已知0>ω，函数)4sin()(πω+=x x f 在),2(ππ单调递减，则ω的取值范围是A. ]45,21[B. ]43,21[C. ]21,0(D. ]2,0(10. 已知函数xx x f -+=)1ln(1)(，则)(x f y =的图像大致为11. 已知三棱锥ABC S -的所有顶点都在球O 的球面上，ABC △是边长为1的正三角形，SC 为球O 的直径，且2=SC ，则此棱锥的体积为A.62 B.63 C.32 D.22 12. 设点P 在曲线xe y 21=上，点Q 在曲线)2ln(x y =上，则||PQ 的最小值为A. 2ln 1-B.)2ln 1(2- C. 2ln 1+D.)2ln 1(2+二、填空题.本大题共4小题，每小题5分.13.已知向量a ，b 夹角为︒45，且1=||a ，102=-||b a ，则=||b .14. 设y x ,满足约束条件⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥≥≤+-≥-0031y x y x y x 则y x Z 2-=的取值范围为 .15. 某一部件由三个电子元件按下图方式连接而成，元件1或元件2正常工作，且元件3正常工作，则部件正常工作.设三个电子元件的使用寿命（单位：小时）服从正态分布)50,1000(2N ，且各元件能否正常工作互相独立，那么该部件的使用寿命超过1000小时的概率为 .16. 数列}{n a 满足12)1(1-=-++n a a n n n ，则}{n a 的前60项和为 .三、解答题：解答题应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17. （本小题满分12分）已知a ，b ，c 分别为ABC △三个内角A ，B ，C 的对边，0s i n 3c o s =--+c b C a C a .(Ⅰ) 求A ；(Ⅱ) 若2=a ，ABC △的面积为3，求b ，c .18. （本小题满分12分）某花店每天以每枝5元的价格从农场购进若干枝玫瑰花，然后以每枝10元的价格出售.如果当天卖不完，剩下的玫瑰花做垃圾处理. (Ⅰ) 若花店某天购进16枝玫瑰花，求当天的利润y （单位：元）关于当天需求量n （单位：枝，N n ∈）的函数解析式；以100天记录的各需求量的频率作为各需求量发生的概率. （ⅰ）若花店一天购进16枝玫瑰花，X 表示当天的利润（单位：元），求X 的分布列、数学期望及方差； （ⅱ）若花店计划一天购进16枝或17枝玫瑰花，你认为应购进16枝还是17枝？请说明理由.19. （本小题满分12分）如图，直三棱柱111C B A ABC -中，121AA BC AC ==，D 是棱1AA 的中点，BD DC ⊥1(Ⅰ) 证明：BC DC ⊥1(Ⅱ) 求二面角11C BD A --的大小.20. （本小题满分12分）设抛物线:C py x 22=)0(>p 的焦点为F ，准线为l ，A 为C 上一点，已知以F 为圆心，FA 为半径的圆F 交l 于B 、D 两点(Ⅰ) 若90BFD ∠=︒，ABD △面积为24，求p 的值及圆F 的方程；(Ⅱ)若A 、B 、F 三点在同一直线m 上，直线n 与m 平行，且n 与C 只有一个公共点，求坐标原点到m ，n 的距离的比值.21. （本小题满分12分） 已知函数121()(1)(0)2x f x f ef x x -'=-+. (Ⅰ) 求)(x f 的解析式及单调区间；(Ⅱ) 若b ax x x f ++≥221)(，求b a )1(+的最大值 请考生在第22、23、24题中任选一题作答，如果多做，则按所做第一题记分，作答时请写清题号.22. （本小题满分10分）选修4—1：几何证明选讲 如图，D ，E 分别为ABC △边AB ，AC 的中点，直线DE 交ABC △的 外接圆于F ，G 两点.若AB CF //，证明： (Ⅰ) BC CD =；(Ⅱ) GBD BCD ∽△△.23. （本小题满分10分）选修4—4：坐标系与参数方程已知曲线1C 的参数方程是2cos 3sin x y ϕϕ=⎧⎨=⎩（ϕ为参数），以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线2C 的极坐标方程是2=ρ.正方形ABCD 的顶点都在2C 上，且A ，B ，C ，D 依逆时针次序排列，点A 的极坐标为)3,2(π.(Ⅰ)点A ，B ，C ，D 的直角坐标；(Ⅱ) 设P 为1C 上任意一点，求2222||||||||PD PC PB PA +++的取值范围.24. （本小题满分10分）选修4—5：不等式选讲 已知函数|2|||)(-++=x a x x f .(Ⅰ) 当3a =-时，求不等式3)(≥x f 的解集；(Ⅱ) |4|)(-≤x x f 的解集包含]2,1[，求a 的取值范围.。
2013年高考试题真题理科数学(新课标Ⅱ卷)Word版及答案
绝密★启用前2013年普通高等学校招生全国统一考试(新课标Ⅱ卷)数 学(理科)注意事项：1. 本试卷分第Ⅰ卷【选择题】和第Ⅱ卷【非选择题】两部分.答卷前考生将自己的姓名\准考证号填写在本试卷和答题卡相应位置.2. 回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号标黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.写在本试卷上无效.3. 答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效.4. 考试结束，将试题卷和答题卡一并交回.第Ⅰ卷【选择题 共50分】一、选择题：本大题共10小题.每小题5分，共50分.在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.【1】已知集合M=｛x|(x-1)2< 4,x ∈R ｝，N=｛-1，0，1，2，3｝，则M ∩N =( 】 【A 】｛0，1，2｝ 【B 】｛-1，0，1，2｝ 【C 】{-1，0，2，3} 【D 】{0，1，2，3} 【2】设复数z 满足【1-i 】z=2 i ，则z =【 】 【A 】-1+i【B 】-1-i【C 】1+i【D 】1-i【3】等比数列｛a n ｝的前n 项和为S n ，已知S 3 = a 2 +10a 1 ，a 5 = 9，则a 1=【 】 【A 】13 【B 】13- 【C 】19 【D 】19- 【4】已知m ，n 为异面直线，m ⊥平面α，n ⊥平面β.直线l 满足l ⊥m ，l ⊥n ，,l l αβ⊄⊄，则【】【A 】α∥β且l ∥α【B 】α⊥β且l ⊥β【C 】α与β相交，且交线垂直于l【D 】α与β相交，且交线平行于l【5】已知【1+ɑx 】(1+x )5的展开式中x 2的系数为5，则ɑ=【 】 【A 】-4【B 】-3【C 】-2 【D 】-1【6】执行右面的程序框图，如果输入的N=10，那么输出的S=【A 】11112310++++ 【B 】11112!3!10!++++ 【C 】11112311++++ 【D 】11112!3!11!++++【7】一个四面体的顶点在空间直角坐标系O-xyz 中的坐标分 别是【1，0，1】，【1，1，0】，【0，1，1】，【0，0，0】，画该四 面体三视图中的正视图时，以zOx 平面为投影面，则得到正视 图可以为(A) (B)(C)(D)【8】设a=log 36,b=log 510,c=log 714,则【A 】c ＞b ＞a 【B 】b ＞c ＞a 【C 】a ＞c ＞b (D)a ＞b ＞c【9】已知a ＞0，x ，y 满足约束条件()133x x y y a x ⎧≥⎪+≤⎨⎪≥-⎩,若z=2x+y 的最小值为1，则a=(A) 14 (B) 12(C)1 (D)2【10】已知函数f(x)=x 3+ax 2+bx+c ，下列结论中错误的是 【A 】∃x α∈R,f(x α)=0【B 】函数y=f(x)的图像是中心对称图形【C 】若x α是f(x)的极小值点，则f(x)在区间【-∞,x α】单调递减【D 】若x 0是f 【x 】的极值点，则()0'0f x =【11】设抛物线y 2=3px(p>0)的焦点为F ，点M 在C 上，|MF |=5，若以MF 为直径的圆过点【0，2】，则C 的方程为【A 】y 2=4x 或y 2=8x 【B 】y 2=2x 或y 2=8x【C 】y 2=4x 或y 2=16x 【D 】y 2=2x 或y 2=16x【12】已知点A 【-1，0】；B 【1，0】；C 【0，1】，直线y=ax+b (a >0)将△ABC 分割为面积相等的两部分，则b 的取值范围是【A 】【0，1】(B)112⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭( C) 113⎛⎤ ⎥ ⎦⎝(D) 11,32⎡⎫⎪⎢⎣⎭第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题，每个试题考生都必修作答.第22题~第24题为选考题，考生根据要求作答.二、填空题：本大题共4小题，每小题5分.【13】已知正方形ABCD 的边长为2，E 为CD 的中点，则AE BD=_______.【14】从n 个正整数1，2，…，n 中任意取出两个不同的数，若取出的两数之和等于5的概率为114，则n =________. 【15】设θ为第二象限角，若1tan 42πθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭ ，则sin cos θθ+=_________. 【16】等差数列{a n }的前n 项和为S n ，已知S 10=0，S 15 =25，则nS n 的最小值为________. 三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 【17】【本小题满分12分】△ABC 在内角A 、B 、C 的对边分别为a ，b ，c ，已知a=bcosC+csinB . 【Ⅰ】求B ；【Ⅱ】若b=2，求△ABC 面积的最大值.【19】【本小题满分12分】经销商经销某种农产品，在一个销售季度内，每售出1t 该产品获利润500元，未售出的产品，每1t 亏损300元.根据历史资料，得到销售季度内市场需求量的频率分布直方图，如右图所示.经销商为下一个销售季度购进了130t 该农产品.以x 【单位：t ，100≤x≤150】表示下一个销售季度内经销该农产品的利润.【Ⅰ】将T 表示为x 的函数【Ⅱ】根据直方图估计利润T ，不少于57000元的概率；【Ⅲ】在直方图的需求量分组中，以各组的区间中点值代表该组的各个值，需求量落入该区间的频率作为需求量取该区间中点值的概率【例如：若x [)100,110∈】则取x=105，且x=105的概率等于需求量落入[)100,110的利润T 的数学期望. (20)(本小题满分12分)x+y-=0(Ι)求M 的方程【Ⅱ】C,D 为M 上的两点，若四边形ACBD 的对角线CD ⊥AB ，求四边形ACBD 面积的最大值【21】【本小题满分12分】 已知函数f(x)=e x-ln(x+m)(Ι)设x=0是f(x)的极值点，求m ,并讨论f(x)的单调性； 【Ⅱ】当m ≤2时，证明f(x)>0请考生在第22、23、24题中任选择一题作答，如果多做，则按所做的第一部分，做答时请写清题号.【22】【本小题满分10分】选修4-1几何证明选讲 如图，CD 为△ABC 外接圆的切线，AB 的延长线交直线CD 于点D ，E 、F 分别为弦AB 与弦AC 上的点， 且BC •AE=DC •AF ，B 、E 、F 、C 四点共圆.【1】证明：CA 是△ABC 外接圆的直径； 【2】若DB=BE=EA,求过B 、E 、F 、C 四点的圆的面积与△ABC 外接圆面积的比值.【23】【本小题满分10分】选修4——4；坐标系与参数方程ABCDEF已知动点P ，Q 都在曲线C ：()2cos 2sin x y βββ=⎧⎨=⎩为参数 上，对应参数分别为β=α与α=2π为【0＜α＜2π】M 为PQ 的中点. 【Ⅰ】求M 的轨迹的参数方程【Ⅱ】将M 到坐标原点的距离d 表示为a 的函数，并判断M 的轨迹是否过坐标原点.【24】【本小题满分10分】选修4——5；不等式选讲 设a ，b ，c 均为正数，且a+b+c=1，证明： 【Ⅰ】13ab bc ca ++≤【Ⅱ】2221a b c b c a++≥ 参考答案。
吉林省各地市高考数学 最新联考试题分类汇编(17)选修
吉林省各地市2013年高考数学 最新联考试题分类汇编（17）选修系列一、解答题:22.(东北三省四市教研协作体2013届高三等值诊断联合理)（本小题满分10分）选修4－1：几何证明选讲.如图，已知⊙O 和⊙M 相交于A 、B 两点，AD 为⊙M 的直径，直线BD 交⊙O 于点C ，点G 为»BD中点，连结AG 分别交⊙O 、BD 于点E 、F ，连结CE ． ⑴ 求证：GD CE EF AG ⋅=⋅；⑵求证：.22CEEFAG GF = 22.(本小题满分10分) 选修4-1：几何证明选讲23.(东北三省四市教研协作体2013届高三等值诊断联合理)（本小题满分10分）选修4－4：坐标系与参数方程选讲.已知曲线C 的极坐标方程为4cos ρθ=，以极点为原点，极轴为x 轴正半轴建立平面直角坐标系，设直线l 的参数方程为35212x t y t ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数）. ⑴ 求曲线C 的直角坐标方程与直线l 的普通方程；⑵ 设曲线C 与直线l 相交于P 、Q 两点，以PQ 为一条边作曲线C 的内接矩形，求该矩形的面积.23.(本小题满分10分)选修4-4：坐标系与参数方程选讲弦长223||22()72PQ =-=，因此以PQ 为边的圆C 的内接矩形面积2||37S d PQ =⋅=.(10分)24.(东北三省四市教研协作体2013届高三等值诊断联合理)（本小题满分10分）选修4－5：不等式选讲.设函数()|1||2|f x x x a =+++-.⑴ 当5=a 时，求函数)(x f 的定义域；⑵ 若函数)(x f 的定义域为R ，试求a 的取值范围. 24.(本小题满分10分)选修4-5：不等式选讲22. (东北三省四市教研协作体2013届高三等值诊断联合文)（本小题满分10分）选修4－1：几何证明选讲.如图，已知⊙O 和⊙M 相交于A 、B 两点，AD 为⊙M 的直径，直线BD 交⊙O 于点C ，点G 为»BD中点，连结AG 分别交⊙O 、BD 于点E 、F ，连结CE ． ⑴ 求证：GD CE EF AG ⋅=⋅；⑵ 求证：.22CEEF AG GF = 22.(本小题满分10分) 选修4-1：几何证明选讲【命题意图】本小题主要考查平面几何中三角形相似的判定与性质，以及圆中角的性质等知识.23. (东北三省四市教研协作体2013届高三等值诊断联合文)（本小题满分10分）选修4－4：坐标系与参数方程选讲.已知曲线C 的极坐标方程为4cos ρθ=，以极点为原点，极轴为x 轴正半轴建立平面直角坐标系，设直线l 的参数方程为35212x t y t ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数）. ⑴ 求曲线C 的直角坐标方程与直线l 的普通方程；⑵ 设曲线C 与直线l 相交于P 、Q 两点，以P Q 为一条边作曲线C 的内接矩形，求该矩形的面积.23.(本小题满分10分)选修4-4：坐标系与参数方程选讲【命题意图】本小题主要考查坐标系与参数方程的相关知识，具体涉及到极坐标方程向直角坐标方程转化，参数方程向普通方程转化，以及圆内几何图形的性质等.24. (东北三省四市教研协作体2013届高三等值诊断联合文)（本小题满分10分）选修4－5：不等式选讲.设函数()|1||2|f x x x a =+++-.⑴ 当5=a 时，求函数)(x f 的定义域；⑵ 若函数)(x f 的定义域为R ，试求a 的取值范围. 24.(本小题满分10分)选修4-5：不等式选讲【命题意图】本小题主要考查不等式的相关知识，具体涉及到绝对值不等式的解法及性质等内容.22. (吉林省长春市2013年高中毕业班第四次调研测试文)（本小题满分10分）选修4－1：几何证明选讲.如图，PA 是O e 的切线，PE 过圆心O ， AC 为O e 的直径，PC 与O e 相交于B 、C 两点，连结AB 、CD .(1) 求证：PAD CDE ∠=∠；(2) 求证：2PA BDPC PE AD=⋅. 22.(本小题满分10分)【命题意图】本小题主要考查平面几何的证明及其运算，具体涉及到共圆图形的判断和圆的性质以及两个三角形全等的判断和应用等有关知识内容.本小题针对考生的平面几何思想与数形结合思想作出考查.23. (吉林省长春市2013年高中毕业班第四次调研测试文)（本小题满分10分）选修4－4：坐标系与参数方程选讲.在极坐标系内，已知曲线1C 的方程为22(cos 2sin )40ρρθθ--+=，以极点为原点，极轴方向为x 正半轴方向，利用相同单位长度建立平面直角坐标系，曲线2C 的参数方程为5145183x ty t=-⎧⎨=+⎩（t 为参数）.(1) 求曲线1C 的直角坐标方程以及曲线2C 的普通方程；(2) 设点P 为曲线2C 上的动点，过点P 作曲线1C 的两条切线，求这两条切线所成角余弦值的取值范围. 23.(本小题满分12分)【命题意图】本小题主要考查极坐标与参数方程的相关知识，具体涉及到极坐标方程与平面直角坐标方程的互化、直线与曲线的位置关系以及有关距离等知识内容.24. (吉林省长春市2013年高中毕业班第四次调研测试文)（本小题满分10分）选修4－5：不等式选讲.设函数()|3||1|f x x x =--+，x ∈R ． (1) 解不等式()1f x <-；(2) 设函数()||4g x x a =+-，且()()g x f x ≤在[2,2]x ∈-上恒成立，求实数a 的取值范围. 24.(本小题满分10分)【命题意图】本小题主要考查不等式的相关知识，具体涉及到绝对值不等式及不等式证明以及解法等内容.22. (吉林省吉林市2013届高中毕业班下学期期末复习检测理)如图，设AB ，CD 为⊙O 的两直径，过B 作PB 垂直于AB ，并与CD 延长线相交于点P ，过P 作直线与⊙O 分别交于E ，F 两点，连结AE ，AF 分别与CD 交于G ，H （Ⅰ）设EF 中点为1C ，求证：O 、1C 、B 、P 四点共圆. （Ⅱ）求证:OG =OH . 22．证明：(Ⅰ)23. (吉林省吉林市2013届高中毕业班下学期期末复习检测理)极坐标系中椭圆C 的方程为θθρ222sin 2cos 2+=以极点为原点，极轴为x 轴非负半轴，建立平面直角坐标系， 且两坐标系取相同的单位长度.（Ⅰ）求该椭圆的直角标方程，若椭圆上任一点坐标为),(y x P ，求y x 2+的取值范围；（Ⅱ）若椭圆的两条弦CD AB ,交于点Q ，且直线AB 与CD 的倾斜角互补，求证:QD QC QB QA ⋅=⋅.（Ⅱ）函数y ＝ax －1的图象是过点(0，－1)的直线．当且仅当函数y ＝f (x )与直线y ＝ax －1有公共点时，存在题设的x ．由图象知，a 取值范围为(－∞，－2)∪[ 12，＋∞)． …………………………10分（22）(吉林省实验中学2013年高三下学期第一次模拟理)（本小题满分10分）选修4－1：几何证明选讲 如图，已知PE 切⊙O 于点E ，割线PBA 交⊙O 于A 、B 两点，∠APE 的平分线和AE 、BE 分别交于点C 、D ．求证： （Ⅰ）CE DE =；（Ⅱ）CA PECE PB =． （22）解：（23）(吉林省实验中学2013年高三下学期第一次模拟理)（本小题满分10分）选修4－4：坐标系与参数方程已知圆1C 的参数方程为=cos =sin x y ϕϕ⎧⎨⎩（ϕ为参数），以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，圆2C 的极坐标方程为2cos()3πρθ=+．（Ⅰ）将圆1C 的参数方程化为普通方程，将圆2C 的极坐标方程化为直角坐标方程； （Ⅱ）圆1C 、2C 是否相交，若相交，请求出公共弦的长；若不相交，请说明理由． （23）解：（24）(吉林省实验中学2013年高三下学期第一次模拟理)（本小题满分10分）选修4－5：不等式选讲已知函数()2123=++-．f x x x（Ⅰ）求不等式()6f x≤的解集；（Ⅱ）若关于x的不等式()1≤的解集非空，求实数a的取值范围．f x a-（24）解：。
2013年高考理科数学试题(新课标II卷)(纯WORD,精心校对)
绝密★启用前2013年普通高等学校招生全国统一考试(新课标卷)数学(理科)注意事项：1. 本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.答卷前考生将自己的姓名、准考证号填写在本试卷和答题卡相应位置上.2. 回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号.写在本试卷上无效.3. 回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效.4. 考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.第Ⅰ卷（选择题 共60分）一.选择题：本大题共12小题.每小题5分，共60分.在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.(1)已知集合},4)1(|{2R x x x M ∈<-=，1{-=N ，0，1，2，3}，则M ∩=N(A)｛0，1，2｝ (B)｛-1，0，1，2｝(C){-1，0，2，3} (D){0，1，2，3}(2)设复数z 满足i z i 2)1(=-，则=z(A)i +-1 (B)i --1 (C)i +1 (D)i -1(3)等比数列}{n a 的前n 项和为n S ，已知12310a a S +=，95=a ，则=1a (A) 31 (B)31- (C) 91 (D)91- (4)已知m ，n 为异面直线，⊥m 平面α，⊥n 平面β，直线l 满足l m ⊥，l n ⊥， l ⊄α，l β⊄，则(A)βα//且α//l (B)βα⊥且β⊥l(C)α与β相交，且交线垂直于l (D)α与β相交，且交线平行于l(5)已知5)1)(1(x ax ++的展开式中2x 的系数为5，则=a(A) -4 (B)-3 (C)-2 (D)-1(6)执行右面的程序框图，如果输入的N=10，那么输出的=S (A)101...31211++++ (B)!101...!31!211++++ (C) 111...31211++++ (D) !111...!31!211++++ (7)一个四面体的顶点在空间直角坐标系xyz o -中的坐标分别是(1，0，1)，(1，1，0)，(0，1，1)，(0，0，0)，画该四面体三视图中的正视图时，以zOx 平面为投影面，则得到正视图可以为(A) (B) (C) (D)(8)设6log 3=a ，10log 5=b ，14log 7=c ，则(A)a b c >> (B)a c b >> (C)b c a >> (D)c b a >>(9)已知0>a ，x ，y 满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧-≥≤+≥).3(31x a y y x x 若y x z +=2的最小值为1，则=a (A)41 (B) 21 (C) 1 (D) 2(10)已知函数c bx ax x x f +++=23)(，下列结论中错误的是(A)R x ∈∃0，0)(0=x f(B)函数)(x f y =的图像是中心对称图形(C)若0x 是)(x f 的极小值点，则)(x f 在区间),(0x -∞单调递减(D)若0x 是)(x f 的极值点，则0)(0'=x f(11)设抛物线C ：)0(22>=p px y 的焦点为F ，点M 在C 上，|MF|=5，若以MF 为直径的圆过点(0,3)，则C 的方程为(A)x y 42=或x y 82= (B)x y 22=或x y 82=(C)x y 42=或x y 162= (D)x y 22=或x y 162=(12)已知点A(-1，0) B(1，0),C(0，1)，直线)0(>+=a b ax y 将ABC ∆分割为面积相等的两部分，则b 的取值范围是(A) (0，1) (B) )21,221(- (C) ]31,221(- (D) )21,31[ 第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题，第13~21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22题~第24题为选考题，考生根据要求作答.二.填空题：本大题共4小题，每小题5分.(13)已知正方形ABCD 的边长为2，E 为CD 的中点，则=∙_______.(14)从n 个正整数1，2，…，n 中任意取出两个不同的数，若取出的两数之和等于5的概率为141，则=n ________. (15)设θ为第二象限角，若21)4tan(=+πθ，则=+θθcos sin _________. (16)等差数列}{n a 的前n 项和为n S ，已知S 10=0，S 15 =25，则n nS 的最小值为________.三．解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.(17)(本小题满分12分)ABC ∆内角A 、B 、C 的对边分别为a ，b ，c ，已知B c C b a sin cos +=.(I)求B ；(II)若2=b ，求ABC ∆面积的最大值.(18) (本小题满分12分)如图，直棱柱111C B A ABC -中，D ，E 分别是AB ，1BB 的中点，AB CB AC AA 221===. (I)证明：//1BC 平面CD A 1； (II)求二面角E C A D --1的正弦值.(19)(本小题满分12分)经销商经销某种农产品，在一个销售季度内，每售出1t 该产品获利润500元，未售出的产品，每1t 亏损300元.根据历史资料，得到销售季度内市场需求量的频率分布直方图，如右图所示.经销商为下一个销售季度购进了130t 该农产品.以X (单位：t ，)150100≤≤X 表示下一个销售季度内的市场需求量,T (单位:元)表示下一个销售季度内经销该农产品的利润.(I)将T 表示为X 的函数； (II)根据直方图估计利润T 不少于57000元的概率；(III)在直方图的需求量分组中，以各组的区间中点值代表该组的各个值，市场需求量落入该区间的频率作为需求量取该区间中点值的概率(例如：若)110,100[∈X ，则取105=X ，且105=X 的概率等于需求量落入[100，110)的频率)，求T 的数学期望.(20)(本小题满分12分)平面直角坐标系xoy 中，过椭圆)0(1:2222>>=+b a by a x M 右焦点的直线03=-+y x 交M 于A ,B 两点，P 为AB 的中点，且OP 的斜率为21. (I)求M 的方程；(II)C ,D 为M 上的两点，若四边形ACBD 对角线AB CD ⊥，求四边形ACBD 面积的最大值.(21)(本小题满分12分)已知函数)ln()(m x e x f x +-=.(I)设0=x 是)(x f 的极值点，求m ,并讨论)(x f 的单调性；(II)当2≤m 时，证明0)(>x f .请考生在第22、23、24题中任选择一题做答，如果多做，则按所做的第一部分，做答时请写清题号.(22)(本小题满分10分)选修4-1：几何证明选讲如图，CD 为ABC ∆外接圆的切线，AB 的延长线交直线CD 于点D ，E 、F 分别为弦AB 与弦AC 上的点，且AF DC AE BC ∙=∙,B 、E 、F 、C 四点共圆.(I)证明：CA 是ABC ∆外接圆的直径；(II)若EA BE DB ==,求过B 、E 、F 、C 四点的圆的面积与ABC ∆外接圆面积的比值.(23)(本小题满分10分)选修4-4：坐标系与参数方程已知动点P ，Q 都在曲线C ：βββ(sin 2cos 2⎩⎨⎧==y x 为参数)上，对应参数分别为αβ= 与αβ2=)20(πα<<，M 为PQ 的中点.(I)求M 的轨迹的参数方程；(II)将M 到坐标原点的距离d 表示为α的函数，并判断M 的轨迹是否过坐标原点.(24)(本小题满分10分)选修4-5：不等式选讲设a ，b ，c 均为正数，且1=++c b a ，证明： (I)31≤++ca bc ab ； (II)1222≥++ac c b b a .。
2013年长春市高中毕业班第二次调研测试理科数学
设函数 .
(1)求证：当 时，不等式lnf(x)>1成立.
⑵关于x的不等式 在R上恒成立，求实数a的最大值.
2013年东北三省四市教研协作体等值诊断联合考试
2013年长春市高中毕业班第二次调研测试
数学(理科)参考答案及评分标准
一、选择题(本大题包括12小题，每小题5分，共60分)
A.0.04B. 0.06
C. 0.2D.0.3
9.已知等差数列{an}的前n项和为满足a2()13=S2()13=2013,则a1=
A.-2014B.-2013C.-2012D.-2011
10.已知函数f(x)满足f(2+x)十f(6-x) = 0，现将函数f(x)的图像按照 平移，得到g(x）=2 + x + sin(x+ 1)的图像，则 =
②当M的横坐标为 ，纵坐标大于O, =60°时，求四边形MPNQ的面积
21.(本小题满分12分）
已知函数f(x) =ax3+bx2+cx的导函数为h(x)，f(x)的图像在点(-2，f(-2))处的切线方程为3x-y+8=0，且 ,又函数g(x) = 与函数y=ln(x +1)的图像在原点处有相同的切线.
则 ；(3分)
对于数列 有： ，可得 ，即 .
，即 .(6分)
(2)由(1)可知： .
(8分)
③
④
由③-④得
.
则 .(12分)
18.(本小题满分12分)
【命题意图】本小题主要考查统计与概率的相关知识、离散型随机变量的分布列以及数学期望的求法.本题主要考查学生对数据处理的能力.
【试题解析】(1) .(4分)
高三数学试题吉林松原市普通高中2013届高三教学质量监测理
5.方茴说：“那时候我们不说爱，爱是多么遥远、多么沉重的字眼啊。
我们只说喜欢，就算喜欢也是偷偷摸摸的。
”6.方茴说：“我觉得之所以说相见不如怀念，是因为相见只能让人在现实面前无奈地哀悼伤痛，而怀念却可以把已经注定的谎言变成童话。
”7.在村头有一截巨大的雷击木，直径十几米，此时主干上唯一的柳条已经在朝霞中掩去了莹光，变得普普通通了。
8.这些孩子都很活泼与好动，即便吃饭时也都不太老实，不少人抱着陶碗从自家出来，凑到了一起。
9.石村周围草木丰茂，猛兽众多，可守着大山，村人的食物相对来说却算不上丰盛，只是一些粗麦饼、野果以及孩子们碗中少量的肉食。
吉林松原市普通高中2012—2013学年度高三教学质量监测数学（理）试题注意：1．本试卷分为第I 卷（选择题）和第II 卷（非选择题）两部分，满分150分，考试时间120分钟。
2．请考生按照考试题目的要求，把答案写到答题纸上，在试卷上作答无效，交卷时只交答题纸。
第I 卷（选择题，共60分）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
）1．在空间中，“两条直线没有公共点”是“这两条直线平行的” A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件 2．已知集合2{|},{1,0,1},M x x x N M N =≤=-则等于A ．{0}B ．{0，1}C ．{-1，1}D ．{-1，0，1}3．命题“存在00,20x x R ∈≤”的否定是A ．不存在00,20xx R ∈> B ．存在00,20xx R ∈≥C ．对任意的,20xx R ∈≤D ．对任意的,20xx R ∈>4．10名工人某天生产同一零件，生产的件数是15，17，14，10，15，17，17，16，14，12，设其平均数为a ，中位数为b ，众数为c ，则有 A ．a b c >> B ．b c a >> C ．c a b >> D ．c b a >>5．函数sin (3y x π=在点处的切线的斜率为A B C ．12D ．16．函数sin(2)6y x π=+的一个递减区间为5.方茴说：“那时候我们不说爱，爱是多么遥远、多么沉重的字眼啊。
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吉林省2013年高考复习质量监测理科数学第I 卷一、 选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
（1）已知集合A=﹛x ︱-1<x<21﹜,B=﹛x ︱x21log>0﹜,则A ∩B 为A (-1,1)B (0,1)C （0，21） D ￠(2)已知z=ii -+11，其中i 是虚数单位，则z+z 2+z 3+…+z 2013的值为A 1+iB 1-iC iD -i（3）设x,y 满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≥≥-≤--,0,0,023y y x y x 则z=-2x+y 的最小值为A －34 B －1 C 0 D 1(4)已知ππ<<a 2，cosa=k 则sin(π+a)=Akk 21- B-kk 21- C 21k - D-21k -(5)在6道题中有道理综题和3道文综题如果不放回地依次抽取2道题，则“在第1次投到理综题的条件下，第2次抽到文综题”的概率为A21 B31 C52 D53（6）92)1(x x-的展开式中的常数项为A 84B －84C 504D －504（7）已知三棱锥S —ABC 的四个顶点都在半径为1的球面上，底面ABC 是正三角形，SA =SB = SC ，且平面ABC 过球心，则三棱锥S-ABC 的体积是A433 B33 C43 D123（8）将函数y =3sin2x 的图象向右平移4π个单位长度，再将所得图象的所有点的横坐标缩短到原来的21倍（纵坐标不变），得到的函数解析式为A y =3sinxB y = -3cosxC y = 3sin4xD y =-3cos4x（10）已知某三棱锥的正视图和侧视图如图所示，则它的俯视图可能是（11）已知互相垂直的两条直线y=kx 和y=-kx 分别与双曲线2x 2-y 2=1交于点A ，B ，点P在线段AB 上，且满足OP OB OP OA ..=则所有的点P 在A 双曲线2x 2-y 2=1上B 圆x 2+y 2=1上C 椭圆1222=+y x上 D |x|+|y|=1上（12）已知函数f(x)= ⎩⎨⎧<<-≤<,63),6(30|,lg |x x f x x 设方程f(x) =2-x + b (b ∈R)的四个不等实根从小到大依次为x 1 ,x 2, x 3 ,x 4, 对于满足条件的任意一组实根，下列判断中正确的个数为①0 < x 1·x 2 < 1或0<(6-x 3).(6-x 4)<1 ② 0 < x 1·x 2 < 1且(6-x 3).(6-x 4)>1 ③ 0 < x 1·x 2 < 9或9 < x 3·x 4 < 25 ④ 0 < x 1·x 2 < 9且25 < x 3·x 4 < 36A 1B 2C 3D 4第II 卷二、填空题：本大题共4小题，每小题5分。
13、设单位向量a,b 的夹角为60°，则∣a + 2b ∣= .14、若执行如图所示的程序框图，则输出的k 值为 。
15 由直线y=x-3，曲线y=x 2以及x 轴所围成的图形的面积是_____16设△ABC 的内角A,B,C 所对的边分别为a,b,c,且4π<B<2π，acosB-bcosA =53c,则tan2B ·tan 3A 的最大值为 。
三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17、（本小题满分12分）已知数列﹛a n ﹜中，a 1=2,a n =112--n a ),2(*N n n ∈≥.(I)设b n =11-n a *N n ∈，求证：数列﹛b n ﹜是等差数列（II ）设c n =2·1+n n b b (*N n ∈)，求数列﹛c n ﹜的前n 项和S n 。
18、（本小题满分12分）如图，在四棱锥A-BCC1B1中，等边三角形ABC所在平面与正方形BCC1B1所在平面互相垂直，D为CC1中点（I）求证：BD ⊥AB1 ：（II）求二面角B－AD－B1的余弦值。
19、（本小题满分12分）某电视台2012年举办了“中华好声音”大型歌手选秀活动，过程分为初赛、复赛和决赛，经初赛进入复赛的40名选手被平均分成甲、乙两个班，由组委会聘请两位导师各负责一个班进行声乐培训。
下面是根据这40名选手参加复赛时获得的100名大众评审的支持票数制成的茎叶图：赛制规定：参加复赛的40名选手中，获得的支持票数不低于85票的可进入决赛，其中票数不低于95票的徒手在决赛时拥有“优先挑战权”。
（I ）从进入决赛的选手中随机抽出2名，X 表示其中恰有“优先挑战权”的人数，求X 的分布列（II ）请填写下面的2×2列联表，并判断“能否在犯错误的概率不超过0.025的前提下认为进入决赛与选择导师有关？下面临界值表仅供参考：参考公式：K 2=))())(()(2d b c a d c b a bc ad n ++++- ],其中n = a +b +c +d20、(本小题满分12分)如图，已知点A（0，1），点P在圆C：x2 + (y +1 )2 = 8上，点M在AP上，点N在CP上，且满足AM = MP，NM ⊥AP，设点N的轨迹为曲线E。
(I)求曲线E的方程；(II) 过原点且斜率为k(k>0)的直线l交曲线E于F，H两点，直线FO交曲线E于另一点G，求ΔFHG的面积最大值21、（本小题满分12分）设函数f(x) =x2 + bx - a·lnx.(I) 若x=2是函数f(x)的极值点，1和x0是函数f(x)的两个不同零点，且x∈(n,n+1),n∈N，求n(II) 若对任意b∈[ - 2 ,- 1 ], 都存在x∈（1 ，e ）(e 为自然对数的底数)，使得f(x)<0成立，求实数a 的取值范围。
请考生在第22、23、24题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题计分。
做答时请写清题号。
22、(本小题满分10分) 选修4-1： 几何证明选讲如图，已知ABCD 为直角三角形，其中∠B =∠C = 90°，以AD 为直径作⊙O 交BC 于E ，F 两点。
证明：(I) BE = CF(II) AB ·CD = BE ·BF23、（本小题满分10分）选修4-4 ：坐标系与参数方程 在直角坐标系xOy 中，直线l 过点P （0，21） ，且倾斜角为150°.以O 为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，圆C 的极坐标方程为0cos 22=+θρρ =0 (θ为参数，ρ> 0).I 、写出直线l 的参数方程和圆C 的直角坐标方程：II 、设直线l 与圆C 相交于A,B 两点，求 ︱PA ︱ ·︱PB ︱的值。
24、（本小题满分10分）选修4-5 ：不等式选讲已知f(x) = ︱ax + 1︱ (a ∈R)，不等式f(x) >5的解集为﹛x ︱x>2或x<-3﹜. (I)求a 的值；(II) 若不等式f(x) –f(2x ) ≤k 在R 上有解，求k 的取值范围。
吉林省2013年高考复习质量监测 理科数学试题答案及评分参考评分说明：1． 本解答给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分参考制订相应的评分细则． 2． 对计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度,可视影响的程度决定后继部分的给分，但不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分． 3． 解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数． 4． 只给整数分数．选择题不给中间分．一、选择题 （1）（B ） （2）（C ） （3）（A ） （4）（D ） （5）（D ） （6）（B ） （7）（C ） （8）（D ） （9）（A ） （10）（C ） （11）（B ） （12）（C ） 二、填空题（13） （14）5 （15）18 （16）-512 三、解答题 （17）解：（Ⅰ）∵112n n a a -=-，∴112n na a +=-. ∴111111111111121n n n n n n n na b b a a a a a ++--=-=-==------，……………4分∴{}n b 是首项为11121b ==-，公差为1的等差数列. ……………………6分（Ⅱ）由（Ⅰ）知n b n =， ∵211111()(2)22n n n c b b n n n n +===⋅-⋅++，……………………………………8分∴1111111111[(1)()()()()]232435112nS n n n n =-+-+-++-+--++1111323(1)221242(1)(2)n n n n n +=+--=-++++． ……………………12分（18）解：（Ⅰ）证明：取B C 中点O ，连结1,AO O B ．A B C △为正三角形，AO BC ∴⊥．平面ABC ⊥平面11BCC B ，平面ABC 平面11,BC C B BC =A O ⊂平面,ABC A O ∴⊥平面11BCC B ，∴AO BD ⊥．………………………………………4分∵正方形11BCC B 中，O D ，分别为1BC CC ，的中点， ∴1OB BD ⊥.又1AO OB O = ，BD ∴⊥平面1AO B ，1BD AB ∴⊥． ……………………………………6分（Ⅱ）取11B C 中点E ，以O 为原点，分别以OB 、OE 、O A的方向为x 轴、y 轴、z 轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系O xyz -，不妨设2BC =.由题意知(00A ，，(1,0,0),B (110)D -，，，1(120)B ，，，则(10AB =- ，，，(210)BD =- ，，，(11D A =-，，1(210)D B =，，， ……………8分设()n x y z =，，是平面1ADB 的法向量，则100n n D A D B ⋅⋅⎧=⎪⎨=⎪⎩，，即020x y x y ⎧-+=⎪⎨+=⎪⎩，，可取(12n =-，同理，设m 是平面ABD 的法向量，可取(123m =，，∴cos 4，⋅<>==⋅n m n m n m∴二面角1B ADB --的余弦值4………………………………………………………12分（19）解：（Ⅰ）进入决赛的选手共13名，其中拥有“优先挑战权”的选手共3名. ……2分 根据题意，X 的可能取值为012，，.21021315(0)26C P X C ===，113102135(1)13C C P X C ===，232131(2)26C P X C ===.X…………………………………6分 （Ⅱ）22⨯ 9分240(3101017) 5.584 5.024,13272020k ⨯-⨯=≈>⨯⨯⨯根据列联表中的数据，得到因此在犯错误的概率不超过0.025的前提下认为进入决赛与选择的导师有关.…………12分（20）解：（Ⅰ）NM 为AP 的垂直平分线，∴|NA|=|NP|，又∵|CN|+|NP|=22，∴|CN|+|NA|=22>2.∴动点N 的轨迹是以点(01)C -，，(01)A ，为焦点的椭圆， ……………………3分 且长轴长222=a ，焦距22c =，∴1,1,22===bc a ，∴曲线E 的方程为2212yx +=． ……………………………………………………5分（Ⅱ）⑴ 当直线l 与y 轴重合时，FH G ∆不存在. ⑵ 当直线l 与y 轴不重合时，设直线l 的方程为1,y kx =+1122(,),(,)F x y H x y ，则11(,),G x y -- 由221,22,y kx x y =+⎧⎨+=⎩ 得22(2)210,k x kx ++-= …………………………………………………7分FH ∴==∴点G 到直线l的距离d ===1122FH G S FH d ∆=⨯⋅=122==………………………10分设211,t k =+≥则112 FH GS∆===≤=此时，1,t=0.k=………………………………………………………………12分（21）解：（Ⅰ）()2af x x bx'=-+，∵2x=是函数()f x的极值点，∴(2)402af b'=-+=.∵1是函数()f x的零点，得(1)10f b=+=，由40,210,abb⎧-+=⎪⎨⎪+=⎩解得6,1a b==-. ………………………………………………2分∴2()6lnf x x x x=--,6()21f x xx'=--，令2'626(23)(2)()210x x x xf x xx x x--+-=--==>，(0,)x∈+∞，得2x>；令'()0f x<得02x<<，所以()f x在(0,2)上单调递减；在()2,+∞上单调递增. ………………………………4分故函数()f x至多有两个零点，其中1(0,2),∈(2,)x∈+∞，因为()()210f f<=，()()361ln30f=-<，()()2462ln46ln04ef=-=>，所以()3,4x∈，故3n=．…………………………………………………………6分（Ⅱ）令2()lng b xb x a x=+-，[]2,1b∈--，则()g b为关于b的一次函数且为增函数，根据题意，对任意[]2,1b∈--，都存在(1,)x e∈，使得()0f x<成立，则2max()(1)ln0g b g x x a x=-=--<在(1,)上e有解，令2()lnh x x x a x=--，只需存在(1,)x e∈使得()0h x<即可，由于'()h x=2221a x x axx x----=，令2()2,(1,)x x x a x eϕ=--∈，()410x xϕ'=->，∴()xϕ在(1，e)上单调递增，()(1)1x aϕϕ>=-，………………………………9分①当10a-≥，即1a≤时，()0xϕ>，即()0h x'>，()h x在(1，e)上单调递增，∴()(1)0h x h>=，不符合题意.②当10a-<，即1a>时，(1)10aϕ=-<，2()2e e e aϕ=--若221a e e≥->，则()0eϕ<，所以在(1，e)上()0xϕ<恒成立，即()0h x'<恒成立，∴()h x在(1，e)上单调递减,∴存在(1,)x e∈，使得0()(1)0h x h<=，符合题意.若221e e a ->>，则()0e ϕ>，∴在(1，e)上一定存在实数m ，使得()0m ϕ=， ∴在(1，m)上()0x ϕ<恒成立，即()0h x '<恒成立， ()h x 在(1，m)上单调递减, ∴存在0(1,)x m ∈，使得0()(1)0h x h <=，符合题意.综上所述，当1a >时，对任意[]2,1b ∈--，都存在(1,)x e ∈，使得()0f x <成立.………………………………………12分（Ⅱ）方法二 2'2()2a x bx af x x b xx+-=-+=，(1,)x e ∈，设()()22,1,g x x bx a x e =+-∈，因为[]2,1b ∈--，所以()g x 在()1,e 上单调递增，且()12g b a =+-， （1）当()10g ≥，即2a b ≤+时，因为[]2,1b ∈--，所以0a ≤.此时()()10g x g >≥，所以()0f x '>在(1,)e 上恒成立；即()f x 在(1,)e 上单调递增. 若存在(1,)x e ∈，使得()0f x <成立，则()110f b =+<，即1b <-恒成立. 因为[]2,1b ∈--，则1b =-时不成立，所以0a ≤不成立. ………………………9分 （2）因为[]2,1b ∈--，所以()110f b =+≤，当()10g <，即2a b >+时，因为[]2,1b ∈--，所以1a >.此时，（i ）当()0g e <时，()0g x <在(1,)e 上恒成立，则()f x 在(1,)e 上单调递减. 因为()10f ≤，所以存在(1,)x e ∈，使得()0f x <成立.（ii ）当()0g e ≥时，则存在()01,x e ∈，使得()00g x =，因为()g x 在()1,e 上单调递增，所以当()01,x x ∈时，()0g x <，则()f x 在0(1,)x 上单调递减；因为()10f ≤，故在()01,x 内存在(1,)x e ∈，使得()0f x <成立.综上：满足条件的a 的取值范围为1a >.………………………………………12分 （22）证明：（Ⅰ）过O 作OG ⊥EF ，则GE ＝GF ，OG ∥AB ． ∵O 为AD 的中点，∴G 为BC 的中点．∴BG ＝CG ， ∴BE ＝CF. ………………………………5分 （Ⅱ）设CD 与⊙O 交于H ，连AH ，∵∠AHD ＝90°， ∴AH ∥BC, ∴AB ＝CH ．∵CD·CH ＝CF·CE ，∴AB ·CD ＝BE ·BF. …………………………………………………………………10分 （23）解：（Ⅰ）由已知得，·A B CD EF H O G直线l的参数方程为2()1122x t y t ⎧=-⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩，为参数，， …………………………………3分 圆C 的直角坐标方程为2220x x y ++=. ……………………………………5分（Ⅱ）将2()1122x t y t ⎧=-⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩，为参数，代入2220x x y ++=，整理得24(210t t +-+=，设方程两根分别为12,,t t 则121,4t t ⋅=根据参数t 的几何意义，得点P 到A B ，两点的距离之积为121||4t t =. …………10分（24）解：（Ⅰ）由|ax ＋1|＞5得4ax >或6ax <-． 又f(x)＞5的解集为{x|2x >或3x <-}，当a ＞0时，4x a>或6x a<-，得a ＝2．当a ≤0时，经验证不合题意．综上，2a =. ………………………………………………………………5分 （Ⅱ）设g(x)＝f(x)－()2x f ，则(),1,132,1,21,,2≤＝≥x x g x x x x x ⎧⎪--⎪⎪---<<-⎨⎪⎪-⎪⎩则函数()g x 的图象如下： 由图象可知，g(x)≥12-，故原不等式在R 上有解时，k ≥12-．即k 的取值范围是k ≥12-．……………………………………………………10分。