第十二章习题解答详解

第12章 量子物理基础 2010-12-24

19世纪末、二十世纪初，为克服经典物理在解释一系列物理实验（如黑体辐射、光电效应、康普顿散射等）时所遇到的巨大困难，人们创立了量子理论，量子理论与相对论理论一起共同构成了现代物理学的两大理论支柱。本章介绍量子理论基础。主要内容有：普朗克能量子假设；爱因斯坦光量子假设和光电效应方程；光子和自由电子互相作用的康普顿效应；氢原子的玻尔理论；德布罗意物质波假设；不确定关系；量子力学关于氢原子的主要结果；薛定谔方程以及薛定谔方程用于求解一维势阱和势垒问题等。

§12-1 黑体辐射 普朗克量子假设

12-1-1热辐射 黑体

任何物体在任何温度下都向外发射各种波长电磁波的性质称为热辐射。实验表明:热辐射具有连续的辐射能谱,辐射能按波长的分布主要决定于物体的温度，温度越高,光谱中与能量最大的辐射所对应的波长越短 ,辐射的总能量越大。

温度为T 时，从物体表面单位面积上在单位波长间隔内所发射的功率称为单色辐出本领，用M λ（T ）表示，单位是瓦/米2（W/m 2）。温度为T 时，物体表面单位面积上所发射的各种波长的总辐射功率，称为物体的总辐射本领，用M （T ）式表示，单位为W ⋅m -2。一定温度下时，物体的辐出度和单色辐出度的关系为

0()()M T M T d λλ∞

=⎰. （12-1-1） 任何物体在任何温度下都发射热辐射，也吸收热辐射。不同物体发射(或吸收)热辐射的本领往往是不同的。1860年基尔霍夫研究指出，热辐射吸收本领大的物体，发射热辐射的本领也大。白色表面吸收热辐射的能力小,在同温度下它发出热辐射的本领也小;表面越黑, 吸收热辐射的能力就越大,在同温度下它发出热辐射的本领也越大。能完全吸收射到它上面的热辐射的物体叫做绝对黑体（简称黑体）。黑体辐射热辐射的本领最大，研究黑体辐射的规律具有重要的理论意义。

绝对黑体是理想模型，自然界中绝对黑体是不存在的，但存在着近似的绝对黑体。如不透明的空腔壁上开有一个小孔，小孔表面可以近似当作黑体。这是因为射入小孔的电磁辐射，要被腔壁多次反射，每反射一次，空腔的内壁将吸收部分辐射能。经过多次的反射，进入小孔的辐射几乎完全被腔壁吸收，由小孔穿出的辐射能可以略去不计则，故小孔可认为是近似的绝对黑体。此外，当空腔处于某确定的温度时，有电磁辐射从小孔发射出来，相当于从面积等于小孔面积的温度为T 的绝对黑体表面射出。

图12－1空腔的小孔表面是近似的绝对黑体

问题

12-1

白天，从远处看建筑物的窗户是黑暗的，这是为什么？

问题12-2 把一块表面一半涂了煤烟的白瓷砖放到火炉内烧，高温下瓷砖的哪一半显得更亮些？

12-1-2黑体辐射的实验规律

黑体辐射实验的M (λ，T)－λ曲线如图15-2所示。根据实验结果可总结出黑体辐射的两条实验规律。

首先对于给定温度的黑体，总辐射本领与温度的四次方成正比，即

4

()

M T T

σ

=（12-1-2）其中σ=5.67×10-8W／(m2·K4）为斯特藩－玻尔兹曼常数，此为斯特藩－玻尔兹曼定律。其次黑体单色辐出度M(λ，T)最大值对应的波长λm与黑体温度成反比，即

b

T=

m

λ（12-1-3）式中b=2.898×10-3m·K。（12-1-3）式表明，当黑体的温度升高时，(),

M T

λλ

-曲线上与单色辐

出度的峰值相对应的波长

m

λ向短波方向移动，此规律称为维恩位移定律。

热辐射的规律在现代科学技术上具有广泛的应用，是高温测量、遥感、红外追综等技术的物理基础。

问题12-3 铁块在炉中加热，当升高到一定温度后，可以看到铁块的颜色随着温度的升高而变化。请说明原因。

问题12-4人体也向外发出热辐射,为什么在黑暗中还是看不到人呢?

问题12-5 将地球和太阳视为黑体，假设地球处于热辐射平衡状态，平均温度为285K，试据此估算太阳的温度。(已知太阳半径、地球半径和日地距离分别是86

6.9610m, 6.3710m

S E

R R

=⨯=⨯，11

1.49610m

d=⨯。) 例12-1实验测得太阳辐射波谱的λm=490nm，若把太阳视为黑体，试计算太阳每单位表面上所发射的功率。

解：根据维恩位移定律λm T=b得，

)

K

(

10

9.5

10

490

10

898

.2

3

9

3

m

⨯

=

⨯

⨯

=

=

-

-

λ

b

T

图12－2 黑体辐射的实验曲线

又根据斯特藩－玻尔兹曼定律可求出总辐出度，即单位表面上的发射功率

483472() 5.6710(5.910) 6.8710(W/m )M T T σ-==⨯⨯⨯=⨯

12-1-3经典物理学的困难和普朗克量子假设

黑体辐射实验规律的理论解释是一个涉及热力学、统计物理学和电磁学的重大理论问题，在19世纪末吸引了许多物理学家的注意，其中最有代表意义的研究结果是维恩、瑞利和金斯的工作。1896年，维恩把辐射体上分子或原子看作线性谐振子，其辐射能谱分布类似于麦克斯韦速率分布，得到的黑体热辐射公式在波长较短处与实验结果符合得很好，但在波长很长处与实验结果相差较大。1900年，瑞利和金斯把统计物理中的能量按自由度均分定理用到电磁辐射上来，假设每个线性谐振子的平均能量都为kT ，得到的黑体热辐射公式在波长很长处与实验结果比较接近，但在波长趋向零时得到辐射能趋向无穷大，这是荒谬的。经典物理学在解释黑体辐射上的这个结果被科学界称为“紫外灾难”。

1900年，普朗克运用插值方法提出了一个与实验结果符合得很好的热辐射经验公式

2

5/2π(,)(e 1)

hc kT hc M T λλλ=- （12-1-4） 式中c 为光速， 346.62610J h s -=⨯⋅为一普适常量，称为普朗克常数。（12-4）式叫做普朗克公

式。由普朗克公式可推导出维恩位移定律和斯特藩－玻尔兹曼定律。为了从理论上解释黑体辐射的实验规律，普朗克提出了能量子假设：辐射黑体表面带电粒子的振动可视作谐振子，谐振子可以发射和吸收辐射能，但是这些振子只能处于某些分立的状态，在这些状态中。对于频率为ν 的谐振子来说，谐振子的最小能量（称为能量子）为

νεh =0 （12-1-5）

谐振子的能量是最小能量的整数倍，即谐振子的能量为

0n εε= （12-1-6）

其中n=0,1,2,,3...是整数，称为量子数,这是物理学史上首次提出量子的概念。

普朗克根据能量子假设成功地导出了与黑体辐射实验结果相符合的普朗克公式。能量子假设与经典物理学的概念是格格不入的，普朗克本人曾长期致力于用经典物理学来解释量子的概念，试图回到经典理论中，但都没有成功，直到1911年，他才真正认识到量子化是根本不可能从由经典理论导出的，量子化具有的全新的和基础性的重要意义 。

问题12-7 （1）在波长很短或温度较低的条件下，由普朗克公式可导出维恩公式

()25,2πe kc

kT M T hc λλλ--=

（2）在波长很长或温度很高的条件下，由普朗克公式可导出瑞利－金斯公式

()4,2πM T kc T λλ-=

试推导之。

例12-2 一质量为20g 的物体与一无质量的弹簧组成弹簧振子，弹簧的劲度系数为0.25N/m 。将弹簧拉伸4cm 后自由释放。(1) 用经典方法计算弹簧振子的总能量和振动频率；(2) 一个能量子具有的能量是多少？(3) 假设弹簧振子能量是量子化的，振子的量子数n 是多少？