必修二古典概型
数学新教材高一下人教A版必修第二册10.1.3 古典概型
(2)若从亚洲国家和欧洲国家中各任选1个，求这2个国家包括A1但不包括B1的概率. 解 从亚洲国家和欧洲国家中各任选1个，其一切可能的结果组成的样本 点有： (A1，B1)，(A1，B2)，(A1，B3)，(A2，B1)，(A2，B2)，(A2，B3)，(A3，B1)， (A3，B2)，(A3，B3)，共9个. 包括A1但不包括B1的事件所包含的样本点有： (A1，B2)，(A1，B3)，共 2 个，则所求事件的概率为 p＝29.
课堂小结
1.古典概型是一种最基本的数学模型.解题时要紧紧抓住古典概型的两个基本特 征，即有限性和等可能性.在应用公式 P(A)＝nk时，关键是正确理解随机事件和 样本点的关系，事件和样本空间的关系，从而求出 k，n.
2.求某个随机事件 A 包含的样本点个数和试验中样本点的总数常用的方法是列举 法(画树状图或列表)，注意做到不重不漏.
2.袋中装有标号分别为1，3，5，7的四个相同的小球，从中取出两个，下列事件
不是基本事件的是( D )
A.取出的两球标号为3和7 B.取出的两球标号的和为4 C.取出的两球的标号都大于3 D.取出的两球的标号的和为8 解析 取出的两球的标号的和为8包括取出的两球的标号为1和7或3和5两个样 本点.
2.古典概型的定义 实验具有如下特征： (1)有限性：样本空间的样本点只有有限个. (2)等可能性：每个样本点产生的可能性相等. 我们将具有以上两个特征的实验称为古典概型实验，其数学模型称为古典概率 模型，简称古典概型.
人教B版高中数学必修二课件 《概率》统计与概率PPT(古典概型)
解:样本空间为{(红,白),(红,黄),(白,红),(白,黄),(黄,红),(黄,白)},第 一次摸出红球,第二次摸出白球,只包含(红,白)一个基本事件,所以 所求概率是.
探究一
探究二
探究三
思维辨析 当堂检测
课堂篇探究学习
探究一
探究二
探究三
思维辨析 当堂检测
古典概型的概率计算
例2将一枚质地均匀的正方体骰子先后抛掷两次观察朝上的面
的点数.
(1)一共有多少种不同的结果?
(2)点数之和为5的结果有多少种?
(3)点数之和为5的概率是多少?
解:(1)将一枚质地均匀的正方体骰子抛掷一次,朝上的面的点数
有1,2,3,4,5,6,共6种结果,故先后将这枚骰子抛掷两次,一共有
所选两个国家都是亚洲国家包含的基本事件有
(A1,A2),(A1,A3),(A2,A3),共3个. 故所求事件的概率
(2)从亚洲国家和欧洲国家中各任选一个,所有的基本事件有
(A1,B1),(A1,B2),(A1,B3),(A2,B1),(A2,B2),(A2,B3),(A3,B1),(A3,B2),(A3,B3), 共9个,包含A1但不包括B1的基本事件有(A1,B2),(A1,B3),共2个.
3.做一做:下列对古典概型的说法,正确的是( )
①试验中所有可能出现的基本事件只有有限个;②每个事件出现
的可能性相等;③每个基本事件出现的可能性相等;④求从含有3件
次品7件正品的10件产品中任取一件为正品的概率为古典概型问题.
A.②④
B.①③④ C.仅①④ D.仅③④
答案:B
高一下学期数学人教A版必修第二册10.1.3古典概型课件
（1）第一次摸到红球的可能结果有8种：
P(A) 8 2 20 5
（2）第二次摸到红球的可能结果也有8种：
P(B) 8 2 20 5
（3）事件AB包含2个可能结果，即AB=｛(1,2),(2,1)｝
P(AB) 2 1
1
20 10
10
知识梳理
[规律方法] 求解古典概型概率的“四步”法：
已知某多项选择题的正确答案是AC.某某同学不会做该题,他只想 得2分,就按单项选择题处理,随机填写了一个答案,求他得2分的概率.
补充两个计数原理
分类加法计数原理是指完成一件事有几类不同的方案， 在第1类方案中有m1种不同的的方法， 在第2类方案中有m2种不同的的方法…… 在第n类方案中有mn种不同的的方法， 那么完成这件事共有N=m1+m2+……+mn种方法。
例1 一枚质地均匀的正四面体的四个面分别标有数字1，2，3，4， 将该正四面体先后抛掷两次，观察两次出现的与桌面接触面的点数 情况．
(1)求一共有多少个基本事件； (2)求“出现的点数之和大于5”包含几个基本事件数．
基本事件的计数问题
[规律方法]
1．在列出基本事件时，应先确定基本事件是否与顺序有关．写 基本事件时，一定要按一定顺序写，这样不容易漏写．
（3，1） （3，2） （3，3）
高中新教材数学人课件必修第二册第章古典概型
05
数学期望与方差
数学期望定义及性质
1 2
数学期望定义
在概率论和统计学中，数学期望（或均值，亦简 称期望）是试验中每次可能结果的概率乘以其结 果的总和。
线性性质
对于任意两个随机变量X和Y以及任意实数a和b ，有E(aX+bY)=aE(X)+bE(Y)。
3
常数性质
对于任意常数c，有E(c)=c。
方差定义及性质
组合数公式
从n个不同元素中，任取m（m≤n）个元素并成一组，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合；从n个不 同元素中取出m（m≤n）个元素的所有组合的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的组合数。用符号 c(n,m)表示。
排列组合在概率计算中应用
等可能事件的概率
如果一次试验由n个基本事件组成，而且所有结果出现的可能性都相等，那么每一个基本 事件互为等可能事件。
系统抽样
按照一定规则从总体中抽 取样本，分析抽样方法的 合理性。
有奖销售抽奖
计算不同奖项的中奖概率 ，评估活动的公平性。
其他实际问题中古典概型应用
生日悖论
分析在随机选择的群体中，至少两个人生日相同的概率。
密码安全性评估
探讨密码被破解的概率与密码长度的关系。
遗传问题中的概率计算
应用古典概型分析遗传病的遗传规律。
定义法
根据独立性的定义，如果 P(AB) = P(A)P(B)，则事 件A与事件B相互独立。
等可能法
在古典概型中，如果事件 A与事件B的发生是等可能 的，且P(AB) = P(A)P(B) ，则事件A与事件B相互独 立。
条件概率在古典概型中应用
求解复杂事件的概率
01
通过条件概率的定义，可以将复杂事件的概率转化为简单事件
人教版高中数学必修2《古典概型》PPT课件
现的点数,则试验的样本空间:
Ω={(1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(1,6),
(2,1),(2,2),(2,3),(2,4),(2,5),(2,6),
(3,1),(3,2),(3,3),(3,4),(3,5),(3,6),
(4,1),(4,2),(4,3),(4,4),(4,5),(4,6),
(2)列举出样本点的各种情况是核心,常用方法除列表法、树形图外还可以
借用坐标系来表示二维或三维问题.
变式训练3(2021福建莆田期末)甲、乙、丙三人互传一个篮球,持球者随机
将球传给无球者之一.由甲开始持球传递,经过4次传递后,篮球回到甲手上
的概率是(
1
A.
4
)
1
B.
3
3
C.
8
3
D.
4
答案 C
解析 总的样本点如图所示,所以总的样本点数为16种,
.
1
答案
4
解析 a,b,c三名学生选择食堂的结果
有:(A,A,A),(A,A,B),(A,B,A),(A,B,B),(B,A,A),(B,A,B),(B,B,A),(B,B,B),共8个,三
人在同一食堂用餐的结果有:(A,A,A),(B,B,B),共2个,所以“三人在同一食堂
1
用餐”的概率为 4
.
探究四
9
反思感悟关于有放回抽样,应注意在连续取出两次的过程中,因为先后顺序
不同,所以(a1,b1),(b1,a1)不是同一个样本点,解题的关键是要清楚无论是“不
放回抽取”还是“有放回抽取”,每一件产品被取出的机会都是均等的.
变式训练4某校有A,B两个学生食堂,若a,b,c三名学生各自随机选择其中的
新版高中数学必修2课件：10.1.3古典概型
[教材答疑]
1．教材P233思考 在10.1.1节中，我们讨论过彩票摇号试验、抛掷一枚均匀硬币 的试验及掷一枚质地均匀骰子的试验．它们的共同特征有哪些？ 提示：共同特征：(1)有限性：样本空间的样本点只有有限 个； (2)等可能性：每个样本点发生的可能性相等．
(1,4)，(1,5)，(1,6)，(2,3)，(2,4)，(2,5)，(2,6)，(3,4)，(3,5)， (3,6)，(4,5)，(4,6)，(5,6)}，共有15个样本点．
(1)从口袋中的6个球中任取2个球，所取的2个球都是白球包含 的样本点共有6个，分别为(1,2)，(1,3)，(1,4)，(2,3)，(2,4)， (3,4)．
(A，B，C，D)共11种，选对的概率为111.
4．教材P236思考 在例8中，为什么要把两枚骰子标上记号？如果不给两枚骰子 标记号，会出现什么情况？你能解释其中的原因吗？
提示：如果不给两枚骰子标记号，则不能区分所抛掷出的两
个点数分别属于哪枚骰子，如抛掷出的结果是1点和2点，有可能 第一枚骰子的结果是1点，也有可能第二枚骰子的结果是1点．这 样，(1,2)和(2,1)的结果将无法区别．
(1)如果小球是不放回的，按抽取顺序记录结果(x，y)．则x有 10种可能，y有9种可能，共有可能结果10×9＝90种．因此，事件 A的概率是1980＝15.
(2)如果小球是有放回的，按抽取顺序记录结果(x，y)，则x有 10种可能，y有10种可能，共有可能结果10×10＝100种，因此， 事件A的概率是11080＝590.
Ω＝{(1,1,1)，(1,1,0)，(1,0,1)，(1,0,0)，(0,1,1)，(0,1,0)， (0,0,1)，(0,0,0)}，
古典概型课件-2022-2023学年高一下学期数学人教A版(2019)必修第二册
＝2.( ) 3
答案：(1)× (2)√
当堂练习
例2．下列试验中，是古典概型的有( ) A．某人射击中靶或不中靶 B．在平面直角坐标系内，从横坐标和纵坐标都为整数的所有点中任取一个 C．四名同学用抽签法选一人参加会议 D．运动员投篮，观察是否投中 答案：C
概率
10.1.3古典概型 人教A版高一年级第二册
学习目标
1．了解概率的定义． 2．理解古典概型的定义． 3．会应用古典概型的概率公式解决实际问题．
新知导入
研究随机现象，最重要的是知道随机事件发生的可能性大小，对随机 事件发生可能大小的度量（数值）称为事件的概率，事件A的概率用P(A) 表示。
一．古典概型的特点
① 试验中所有可能出现的基本事件只有有限个 ② 每个基本事件出现的可能性相等
我们将具有以上两个特征的试验称为古典概型试验，其数 学模型称为古典概型模型，简称古典概型 思考：一个班中有18个男生、22名女生。采用抽签的方式， 从中随机选出一名学生，事件A=“抽到男生”，如何度量事 件A的可能性大小？
新知讲解
二.古典概型的概率公式
一般地，设试验E是古典概型，样本空间Ω包含n个样本点，事件A包含 其中的k个样本点，则定义事件 A 的概率
P( A) k n( A) n n()
其中，n(A) 和n(Ω)分别表示事件 A 和样本空间Ω的样本点个数
当堂练习
例 1．判断正误(正确的在后面的括号内打“√”，错误的打“×”．) (1)古典概型具有两个特征——无限性和等可能性．( )
笔中含有红色彩笔的概率为( )
A．4
B．3
5
5
人教版A版(2019)课标高中数学必修二10.1.3古典概型 课件
(3)事件A发生的可能性有多大？ (3)事件B发生的可能性有多大？
一般地，设试验E是古典概型，样本空间Ω包 含n个样本点，事件A包含其中的k个样本点， 则定义事件A的概率
事件A包含的样本 点的个数：n(A)
样本空间Ω包含的样本 点的个数：n(Ω)
例1 单项选择题是标准化考试中常用的题型，一般是从 A,B,C,D四个选项中选择一个正确答案，如果考生掌握了 考察的内容，他可以选择唯一正确的答案，假设考生有一 题不会做，他随机选择一个答案，答对的概率是多少？
（1）判断一个随机试验是否为古典概型；
具有以上两个特概型，如果不是, 不符合古典概型的哪个特征？
（1）从五位学生中随机选择两位去参加活动
（2）从所有整数中任取一个数
（3）某同学随机的向一靶心进行射击
考虑下面两个随机试验，是否是古典概型？如果是，如 何来度量事件A和事件B发生的可能性的大小？
试验2 掷一枚均匀硬币， 观察它落地时哪面朝上.
(1) 该试验样本空间中有多少个
样本点？ 6
(1) 该试验样本空间中有多少个
样本点？ 2
(2) 每个样本点发生的可能性 分别是多少？
(2) 每个样本点发生的可能性 分别是多少？
思考：在两个随机试验中，样本空间及样本点都具有什 么共同特征？
（1）样本空间的样本点只有有限个； （2）每个样本点发生的可能性相等.
10.1.3古典概型
1.什么叫做随机试验E的样本点？ 随机试验E的每个可能的基本结果称为样本点.
2.什么叫做随机试验E的样本空间？ 全体样本点的集合称为试验E的样本空间，记作Ω.
注：如果样本空间Ω中样本点的个数是有限个，则称样本 空间Ω为有限样本空间.
考虑下面两个随机试验，并回答相应问题.
高中数学必修二 第十章 10 1 10 1 3
10.1.3古典概型(教师独具内容)课程标准：1.了解概率的含义.2.结合具体实例，理解古典概型.3.能计算古典概型中随机事件的概率．教学重点：古典概型的定义及其概率公式．教学难点：会用列举法计算随机事件所包含的样本点数及其发生的概率.知识点一概率对随机事件发生□01可能性大小的度量(数值)称为事件的概率，事件A的概率用□02P(A)表示．知识点二古典概型的概念如果试验具有以下两个特征：(1)□01有限性：样本空间的样本点只有有限个；(2)□02等可能性：每个样本点发生的可能性相等．我们将具有以上两个特征的试验称为古典概型试验，其数学模型称为古典概率模型，简称古典概型．知识点三古典概型的概率公式一般地，设试验E是古典概型，样本空间Ω包含n个样本点，事件A包含其中的k个样本点，则定义事件A的概率□01P(A)＝k n＝n(A)n(Ω).其中，n(A)和n(Ω)分别表示事件A和样本空间Ω包含的样本点个数．1．从集合的角度理解古典概型的概率公式用集合的观点来考察事件A的概率，有利于帮助我们生动、形象地理解事件A与基本事件的关系，有利于理解公式P(A)＝kn.如图所示．把一次试验中等可能出现的n个结果组成一个集合I，其中每一个结果就是I 中的一个元素，把含m个结果的事件A看作含有m个元素的集合，则集合A是集合I的一个子集，故有P(A)＝k n.2．求解古典概型问题的一般思路(1)明确试验的条件及要观察的结果，用适当的符号(字母、数字、数组等)表示试验的可能结果(借助图表可以帮助我们不重不漏地列出所有的可能结果)．(2)根据实际问题情境判断样本点的等可能性．(3)计算样本点总个数n及事件A包含的样本点个数k，求出事件A的概率．P(A)＝事件A包含的样本点个数样本空间的样本点总数＝kn.1．判一判(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)若一次试验的结果所包含的样本点的个数为有限个，则该试验符合古典概型．()(2)从装有三个大球、一个小球的袋中，取出一球的试验是古典概型．()(3)若一个古典概型的样本点总数为n，则每一个样本点出现的可能性均为1n.()答案(1)×(2)×(3)√2．做一做(1)下列关于古典概型的说法中正确的是()①试验样本空间的样本点只有有限个；②每个事件出现的可能性相等；③每个样本点出现的可能性相等；④样本点的总数为n，随机事件A若包含k个样本点，则P(A)＝k n.A．②④B．①③④C．①④D．③④(2)掷一枚骰子，观察掷出的点数，则掷得奇数点的概率是()A.12 B.16C.13 D.14(3)从甲、乙、丙三人中任选两人担任课代表，甲被选中的概率为()A.12 B.13C.23D．1答案(1)B(2)A(3)C题型一样本点的计数方法例1(1)4张卡片上分别写有数字1,2,3,4，从这4张卡片中随机抽取2张，则取出的2张卡片上的数字之和为奇数的所有样本点数为()A．2 B．3C．4 D．6(2)连续掷3枚硬币，观察这3枚硬币落在地面上时是正面朝上还是反面朝上．①写出这个试验的所有样本点；②求这个试验的样本点的总数；③“恰有两枚硬币正面朝上”这一事件包含哪些样本点？[解析](1)用列举法列举出“数字之和为奇数”的可能结果为(1,2)，(1,4)，(2,3)，(3,4)，共4种可能．(2)①这个试验包含的样本点有：(正，正，正)，(正，正，反)，(正，反，正)，(反，正，正)，(正，反，反)，(反，正，反)，(反，反，正)，(反，反，反)．②这个试验包含的样本点的总数是8.③“恰有两枚硬币正面朝上”这一事件包含以下3个样本点：(正，正，反)，(正，反，正)，(反，正，正)．[答案](1)C(2)见解析样本点的两个探求方法(1)列举法：把试验的全部结果一一列举出来．此方法适合于较为简单的试验问题．(2)树状图法：树状图法是使用树状的图形把样本点列举出来的一种方法，树状图法便于分析样本点间的结构关系，对于较复杂的问题，可以作为一种分析问题的主要手段，树状图法适用于较复杂的试验的题目．口袋中有2个白球和2个黑球，这4个球除颜色外完全相同，4个人按顺序依次从中摸出一球，求样本点的总数．解把2个白球和2个黑球分别编号为1,2,3,4，所有可能结果如树状图所示，共24个样本点．题型二古典概型的判定例2袋中有大小相同的3个白球，2个红球，2个黄球，每个球有一个区别于其他球的编号，从中随机摸出一个球．(1)把每个球的编号看作一个样本点建立的概率模型是不是古典概型？(2)把球的颜色作为划分样本点的依据，有多少个样本点？以这些样本点建立的概率模型是不是古典概型？[解](1)因为样本点个数有限，而且每个样本点发生的可能性相同，所以是古典概型．(2)把球的颜色作为划分样本点的依据，可得到“取得一个白色球”“取得一个红色球”“取得一个黄色球”，共3个样本点．这些样本点个数有限，但“取得一个白色球”的概率与“取得一个红色球”或“取得一个黄色球”的概率不相等，即不满足等可能性，故不是古典概型．判断一个试验是古典概型的依据一个试验是否为古典概型，在于这个试验是否具有古典概型的两个特征——样本点的有限性和等可能性．下列概率模型：①在平面直角坐标系内，从横坐标和纵坐标都是整数的所有点中任取一点；②某射手射击一次，可能命中0环，1环，2环，…，10环；③某小组有男生5人，女生3人，从中任选1人做演讲；④一只使用中的灯泡的寿命长短；⑤中秋节前夕，某市工商部门调查辖区内某品牌的月饼质量，给该品牌月饼评“优”或“差”．其中属于古典概型的是________． 答案 ③解析 ①不属于．原因是所有横坐标和纵坐标都是整数的点有无限多个，不满足有限性；②不属于．原因是命中0环，1环，…，10环的概率不一定相同，不满足等可能性；③属于．原因是显然满足有限性，且任选1人与学生的性别无关，是等可能的；④不属于．原因是灯泡的寿命是任何一个非负实数，有无限多种可能，不满足有限性；⑤不属于．原因是该品牌月饼被评为“优”或“差”的概率不一定相同，不满足等可能性.题型三 古典概型的求法例3 从1,2,3,4,5这5个数字中任取三个不同的数字，求下列事件的概率： (1)事件A ＝{三个数字中不含1或5}； (2)事件B ＝{三个数字中含1或5}．[解] 这个试验的样本空间Ω＝{(1,2,3)，(1,2,4)，(1,2,5)，(1,3,4)，(1,3,5)，(1,4,5)，(2,3,4)，(2,3,5)，(2,4,5)，(3,4,5)}，样本点总数n ＝10，这10个样本点发生的可能性是相等的．(1)因为事件A ＝{(2,3,4)}， 所以事件A 包含的样本点数m ＝1. 所以P (A )＝m n ＝110.(2)因为事件B ＝{(1,2,3)，(1,2,4)，(1,2,5)，(1,3,4)，(1,3,5)，(1,4,5)，(2,3,5)，(2,4,5)，(3,4,5)}，所以事件B 包含的样本点数m ＝9. 所以P (B )＝m n ＝910.1.古典概型概率的求法步骤(1)确定等可能样本点总数n ； (2)确定所求事件包含的样本点数m ；(3)P(A)＝m n.2．使用古典概型概率公式的注意点(1)首先确定是否为古典概型；(2)A事件是什么，包含的样本点有哪些．甲、乙两人玩一种游戏，每次由甲、乙各出1到5根手指头，若和为偶数则甲赢，否则乙赢．(1)若以A表示事件“和为6”，求P(A)；(2)若以B表示事件“和大于4且小于9”，求P(B)；(3)这个游戏公平吗？请说明理由．解将所有的样本点列表如下：甲乙1234 5 1(1,1)(1,2)(1,3)(1,4)(1,5) 2(2,1)(2,2)(2,3)(2,4)(2,5) 3(3,1)(3,2)(3,3)(3,4)(3,5) 4(4,1)(4,2)(4,3)(4,4)(4,5) 5(5,1)(5,2)(5,3)(5,4)(5,5)由上表可知，该试验共有25个等可能发生的样本点，属于古典概型．(1)事件A包含了(1,5)，(2,4)，(3,3)，(4,2)，(5,1)，共5个样本点，故P(A)＝5 25＝15.(2)事件B包含了(1,4)，(1,5)，(2,3)，(2,4)，(2,5)，(3,2)，(3,3)，(3,4)，(3,5)，(4,1)，(4,2)，(4,3)，(4,4)，(5,1)，(5,2)，(5,3)，共16个样本点，所以P(B)＝1625.(3)这个游戏不公平．因为“和为偶数”的概率为1325，“和为奇数”的概率是1225，二者不相等，所以游戏不公平.题型四较复杂的古典概型的概率计算例4有A，B，C，D四位贵宾，应分别坐在a，b，c，d四个席位上，现在这四人均未留意，在四个席位上随便就坐时．(1)求这四人恰好都坐在自己席位上的概率；(2)求这四人恰好都没坐在自己席位上的概率；(3)求这四人恰好有1位坐在自己席位上的概率．[解]将A，B，C，D四位贵宾就座情况用下面图形表示出来：如上图所示，共24个等可能发生的样本点，属于古典概型．(1)设事件A为“这四人恰好都坐在自己席位上”，则事件A只包含1个样本点，所以P(A)＝124.(2)设事件B为“这四人恰好都没坐在自己席位上”，则事件B包含9个样本点，所以P(B)＝924＝3 8.(3)设事件C为“这四人恰好有1位坐在自己席位上”，则事件C包含8个样本点，所以P(C)＝824＝1 3.(1)当样本点个数没有很明显的规律，并且涉及的样本点又不是太多时，我们可借助树状图法直观地将其表示出来，这是进行列举的常用方法．树状图可以清晰准确地列出所有的样本点，并且画出一个树枝之后可猜想其余的情况．(2)在求概率时，若样本点可以表示成有序数对的形式，则可以把全部样本点用平面直角坐标系中的点表示，即采用图表的形式可以准确地找出样本点的个数．故采用数形结合法求概率可以使解决问题的过程变得形象、直观，给问题的解决带来方便．现有8名奥运会志愿者，其中志愿者A 1，A 2，A 3通晓日语，B 1，B 2，B 3通晓俄语，C 1，C 2通晓韩语，从中选出通晓日语、俄语和韩语的志愿者各1名，组成一个小组．(1)求A 1被选中的概率；(2)求B 1和C 1不全被选中的概率．解 (1)从8人中选出日语、俄语和韩语志愿者各1名，这个试验的样本空间Ω＝{(A 1，B 1，C 1)，(A 1，B 1，C 2)，(A 1，B 2，C 1)，(A 1，B 2，C 2)，(A 1，B 3，C 1)，(A 1，B 3，C 2)，(A 2，B 1，C 1)，(A 2，B 1，C 2)，(A 2，B 2，C 1)，(A 2，B 2，C 2)，(A 2，B 3，C 1)，(A 2，B 3，C 2)，(A 3，B 1，C 1)，(A 3，B 1，C 2)，(A 3，B 2，C 1)，(A 3，B 2，C 2)，(A 3，B 3，C 1)，(A 3，B 3，C 2)}，共18个样本点．由于每一个样本点被抽取的机会均等，因此这些样本点的发生是等可能的．用M 表示“A 1被选中”这一事件，则M ＝{(A 1，B 1，C 1)，(A 1，B 1，C 2)，(A 1，B 2，C 1)，(A 1，B 2，C 2)，(A 1，B 3，C 1)，(A 1，B 3，C 2)}，共6个样本点，因此P (M )＝618＝13.(2)用N 表示“B 1和C 1不全被选中”这一事件，则其对立事件N －表示“B 1，C 1全被选中”这一事件，由于N －＝{(A 1，B 1，C 1)，(A 2，B 1，C 1)，(A 3，B 1，C 1)}，共有3个样本点，而N ∪N －＝Ω，且N ∩N －＝∅，故事件N 包含的样本点个数为18－3＝15，所以P(N)＝1518＝5 6.1．若书架上放有中文书5本，英文书3本，日文书2本，由书架上抽出一本外文书的概率为()A.15 B.310C.25 D.12答案 D解析由题意知书架上共有10本书，其中外文书为英文书和日文书的和，即3＋2＝5(本)．所以由书架上抽出一本外文书的概率P＝510＝12，故选D.2．有5支彩笔(除颜色外无差别)，颜色分别为红、黄、蓝、绿、紫．从这5支彩笔中任取2支不同颜色的彩笔，则取出的2支彩笔中含有红色彩笔的概率为()A.45 B.35 C.25 D.15答案 C解析从5支彩笔中任取2支不同颜色的彩笔，这个试验的样本空间Ω＝{(红，黄)，(红，蓝)，(红，绿)，(红，紫)，(黄，蓝)，(黄，绿)，(黄，紫)，(蓝，绿)，(蓝，紫)，(绿，紫)}，共10个样本点，这10个样本点发生的可能性是相等的．而取出的2支彩笔中含有红色彩笔包含的样本点有(红，黄)，(红，蓝)，(红，绿)，(红，紫)，共4个，故所求概率P＝410＝2 5.3．甲、乙、丙三人在3天节日中值班，每人值班1天，则甲紧接着排在乙的前面值班的概率是()A.16 B.14 C.13 D.12答案 C解析因为甲、乙、丙三人在3天节日中，每人值班1天，所以样本空间Ω＝{甲乙丙，甲丙乙，乙甲丙，乙丙甲，丙甲乙，丙乙甲}，共6个样本点，而甲紧接着排在乙的前面值班的情况为{甲乙丙，丙甲乙}，共2个样本点．所以甲紧接着排在乙的前面值班的概率是13.选C.4．三张卡片上分别写上字母E，E，B，将三张卡片随机地排成一行，恰好排成英文单词BEE的概率为________．答案1 3解析三张卡片的排列方法有BE1E2，BE2E1，E1BE2，E1E2B，E2E1B，E2BE1，共6种，这6种情况发生的可能性是相等的．其中恰好排成英文单词BEE的有2种，故恰好排成英文单词BEE的概率为13.5．一只口袋内装有大小相同的5只球，其中3只白球，2只黑球，从中一次摸出2只球．(1)共有多少个样本点？(2)摸出的2只球都是白球的概率是多少？解(1)分别记白球为1,2,3号，黑球为4,5号，从中摸出2只球，有如下样本点(摸到1,2号球用(1,2)表示)：(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(2,3)，(2,4)，(2,5)，(3,4)，(3,5)，(4,5)．因此，共有10个样本点．(2)上述10个样本点发生的可能性相同，且只有3个样本点是摸到两只白球(记为事件A)，即(1,2)，(1,3)，(2,3)，故P(A)＝310.故摸出2只球都是白球的概率为310.。
人教版数学必修二3.2.1 古典概型 课堂课件(共18张PPT)
P（A）＝ A所包含的基本事件的个数 ＝ 2
基本事件的总数
21
左右两组骰子所呈现的结果，可以让我们很容 易的感受到，这是两个不同的基本事件，因此，在投掷 两2个020/6/骰7 子的过程中，我们必须对两个骰子加以区分。 14
1．古典概型定义 2．古典概型计算公式
Ｐ（Ａ）＝ 事件A包含 的基本 事件数m
=1/4=0.25
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四.公式的应用 有点难度 ，动动脑，争取做出来
在物理考试中既有单选题又有不定项选择题， 不定项选择题是从A，B，C，D四个选项中选 出所有正确的答案，同学们可能有一种感觉， 如果不知道答案，不定项选择题很难猜对， 这是为什么？
2020/6/7
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四.公式的应用
正确答案的所有可能结果有4＋6＋4＋1＝15种，从这15种 答案中任选一种的可能性只有1/15，因此更难猜对。
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例3 抛掷一白，一蓝两个骰子，求： （1）一共有多少种不同的结果？ （2）其中向上的点数之和是5的结果有
多少种？ （3）向上的点数之和是5的概率是多少？ （4）出现两个5点的概率？
(2)每个基本事件出现的可能性相等。 （等可能性）
我们将具有这两个特点的概率模型称为古典概率模型，简 称古典概型。
2020/6/7
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（1）向一个圆面内随机地投射一 个点，如果该点落在圆内任意一点 都是等可能的，你认为这是古典概 型吗?为什么？
（2）如图，某同学随机地向一靶心 进行射击，这一试验的结果只有有限 个：命中10环、命中9环……命中5环 和不中环。你认为这是古典概型吗？为什
有可能的结果将是：
（1，1）（1，2）（1，3）（1，4）（1，5）（1，6）（2，2）（2，3）
【新人教版】数学必修二第十章 10.1.3古典概型
10.1.3 古典概型学习目标 1.理解古典概型的概念及特点.2.掌握利用古典概型概率公式解决简单的概率计算问题.知识点一随机事件的概率对随机事件发生可能性大小的度量(数值)称为事件的概率，事件A的概率用P(A)表示.知识点二古典概型一般地，若试验E具有以下特征：(1)有限性：样本空间的样本点只有有限个；(2)等可能性：每个样本点发生的可能性相等.称试验E为古典概型试验，其数学模型称为古典概率模型，简称古典概型.知识点三古典概型的概率公式一般地，设试验E是古典概型，样本空间Ω包含n个样本点，事件A包含其中的k个样本点，则定义事件A的概率P(A)＝kn＝n(A)n(Ω).1.古典概型中每个事件发生的可能性相同.(×)2.古典概型有两个重要条件：①样本空间中样本点总数是有限的，每次试验只出现其中的一个结果；②各个样本点的出现是等可能的.(√)3.用古典概型的概率公式可求“在线段[0,5]上任取一点，此点小于2”的概率.(×)4.从甲地到乙地共n条线路，且这n条线路长短各不相同，求某人任选一条路线正好选中最短路线的概率是古典概型问题.(√)一、古典概型的判断例1下列概率模型是古典概型吗？为什么？(1)从区间[1,10]内任意取出一个实数，求取到实数2的概率；(2)向上抛掷一枚不均匀的旧硬币，求正面朝上的概率；(3)从1,2,3，…，100这100个整数中任意取出一个整数，求取到偶数的概率. 解(1)不是古典概型，因为区间[1,10]中有无限多个实数，取出的实数有无限多种结果，与古典概型定义中“所有可能结果只有有限个”矛盾.(2)不是古典概型，因为硬币不均匀导致“正面朝上”与“反面朝上”的概率不相等，与古典概型定义中“每一个试验结果出现的可能性相同”矛盾.(3)是古典概型，因为在试验中所有可能出现的结果是有限的，而且每个整数被抽到的可能性相等.反思感悟古典概型需满足两个条件(1)样本点总数有限.(2)各个样本点出现的可能性相等.跟踪训练1下列问题中是古典概型的是()A.种下一粒杨树种子，求其能长成大树的概率B.掷一颗质地不均匀的骰子，求掷出1点的概率C.在区间[1,4]上任取一数，求这个数大于1.5的概率D.同时掷两颗质地均匀的骰子，求向上的点数之和是5的概率答案 D解析A，B两项中的样本点的出现不是等可能的；C项中样本点的个数是无限多个；D项中样本点的出现是等可能的，且是有限个.故选D.二、古典概型概率的计算例2一个口袋内装有大小相等的1个白球和已编有不同号码的3个黑球，从中摸出2个球.求：(1)样本空间的样本点的总数n；(2)事件“摸出2个黑球”包含的样本点的个数；(3)摸出2个黑球的概率.解由于4个球的大小相等，摸出每个球的可能性是均等的，所以是古典概型.(1)将黑球编号为黑1，黑2，黑3，从装有4个球的口袋内摸出2个球，样本空间Ω＝{(黑1，黑2)，(黑1，黑3)，(黑1，白)，(黑2，黑3)，(黑2，白)，(黑3，白)}，其中共有6个样本点.(2)事件“摸出2个黑球”＝{(黑1，黑2)，(黑2，黑3)，(黑1，黑3)}，共3个样本点.(3)样本点总数n ＝6，事件“摸出两个黑球”包含的样本点个数m ＝3，故P ＝36＝12，即摸出2个黑球的概率为12.反思感悟 求古典概型概率的步骤(1)确定样本空间的样本点的总数n .(2)确定所求事件A 包含的样本点的个数m .(3)P (A )＝m n .跟踪训练2 为美化环境，从红、黄、白、紫4种颜色的花中任选2种花种在一个花坛中，余下的2种花种在另一个花坛中，则红色和紫色的花不在同一花坛的概率是________.答案 23解析 从4种颜色的花中任选2种颜色的花种在一个花坛中，余下2种颜色的花种在另一花坛的种数有：红黄—白紫、红白—黄紫、红紫—白黄、黄白—红紫、黄紫—红白、白紫—红黄，共6种，其中红色和紫色的花不在同一花坛的种数有红黄—白紫、红白—黄紫、黄紫—红白、白紫—红黄，共4种，故所求概率为P ＝46＝23.三、较复杂的古典概型的概率计算例3 先后抛掷两枚质地均匀的骰子.(1)求点数之和为7的概率；(2)求掷出两个4点的概率；(3)求点数之和能被3整除的概率.解 如图所示，从图中容易看出样本点与所描点一一对应，共36种.(1)记“点数之和为7”为事件A，从图中可以看出，事件A包含的样本点共有6个：(6,1)，(5,2)，(4,3)，(3,4)，(2,5)，(1,6).故P(A)＝636＝16.(2)记“掷出两个4点”为事件B，从图中可以看出，事件B包含的样本点只有1个，即(4,4).故P(B)＝1 36.(3)记“点数之和能被3整除”为事件C，则事件C包含的样本点共12个：(1,2)，(2,1)，(1,5)，(5,1)，(2,4)，(4,2)，(3,3)，(3,6)，(6,3)，(4,5)，(5,4)，(6,6).故P(C)＝1236＝13.反思感悟在求概率时，若事件可以表示成有序数对的形式，则可以把全体样本点用平面直角坐标系中的点表示，即采用图表的形式可以准确地找出样本点的个数.故采用数形结合法求概率可以使解决问题的过程变得形象、直观，更方便.跟踪训练3某旅游爱好者计划从3个亚洲国家A1，A2，A3和3个欧洲国家B1，B2，B3中选择2个国家去旅游.(1)若从这6个国家中任选2个，求这2个国家都是亚洲国家的概率；(2)若从亚洲国家和欧洲国家中各任选1个，求这2个国家包括A1但不包括B1的概率.解(1)由题意知，从6个国家中任选2个国家，其一切可能的结果有(A1，A2)，(A1，A3)，(A1，B1)，(A1，B2)，(A1，B3)，(A2，A3)，(A2，B1)，(A2，B2)，(A2，B3)，(A3，B1)，(A3，B2)，(A3，B3)，(B1，B2)，(B1，B3)，(B2，B3)，共15个.所选2个国家都是亚洲国家的事件所包含的基本事件有(A1，A2)，(A1，A3)，(A2，A3)，共3个，则所求事件的概率为P ＝315＝15.(2)从亚洲国家和欧洲国家中各任选1个，其一切可能的结果有(A 1，B 1)，(A 1，B 2)，(A 1，B 3)，(A 2，B 1)，(A 2，B 2)，(A 2，B 3)，(A 3，B 1)，(A 3，B 2)，(A 3，B 3)，共9个.包括A 1但不包括B 1的事件所包含的基本事件有(A 1，B 2)，(A 1，B 3)，共2个，则所求事件的概率为P ＝29.1.下列不是古典概型的是( )A.从6名同学中，选出4人参加数学竞赛，每人被选中的可能性的大小B.同时掷两颗质地均匀的骰子，点数和为7的概率C.近三天中有一天降雨的概率D.10个人站成一排，其中甲、乙相邻的概率答案 C解析 A ，B ，D 为古典概型，因为都适合古典概型的两个特征：有限性和等可能性，而C 不满足等可能性，故不为古典概型.2.甲、乙、丙三名同学站成一排，甲站在中间的概率是( )A.16B.12C.13D.23答案 C解析 样本点有：甲乙丙、甲丙乙、乙甲丙、乙丙甲、丙甲乙、丙乙甲共六个.甲站在中间的事件包括：乙甲丙、丙甲乙，共2个，所以甲站在中间的概率P ＝26＝13.3.已知5件产品中有2件次品，其余为合格品.现从这5件产品中任取2件，恰有一件次品的概率为( )A.0.4B.0.6C.0.8D.1 答案 B 解析 记3件合格品分别为A 1，A 2，A 3,2件次品分别为B 1，B 2，从5件产品中任取2件，有(A 1，A 2)，(A 1，A 3)，(A 1，B 1)，(A 1，B 2)，(A 2，A 3)，(A 2，B 1)，(A 2，B 2)，(A 3，B 1)，(A 3，B 2)，(B 1，B 2)，共10种可能，其中恰有一件次品有6种可能，由古典概型得所求事件概率为610＝0.6.4.用1,2,3组成无重复数字的三位数，这些数能被2整除的概率是( )A.16B.12C.13D.23答案 C解析 用1,2,3组成的无重复数字的三位数共6个，分别为123,132,213,231,312,321，其中能被2整除的有132,312这2个数，故能被2整除的概率为13.5.从1,2,3,4,5中任意取出两个不同的数，则其和为5的概率是________.答案 0.2解析 两数之和等于5有两种情况(1,4)和(2,3)，总的样本点有：(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(2,3)，(2,4)，(2,5)，(3,4)，(3,5)，(4,5)，共10种，所以P ＝210＝0.2.1.知识清单：(1)古典概型.(2)古典概型的概率公式.2.方法归纳：常用列举法(列表法、树状图)求样本点的总数.3.常见误区：列举样本点的个数时，要按照一定顺序，做到不重、不漏.1.下列是古典概型的是( )A.任意抛掷两枚骰子，所得点数之和作为样本点B.求任意的一个正整数平方的个位数字是1的概率，将取出的正整数作为样本点C.在甲、乙、丙、丁4名志愿者中，任选一名志愿者去参加跳高项目，求甲被选中的概率D.抛掷一枚均匀硬币首次出现正面为止，抛掷的次数作为样本点答案 C解析 A 项中由于点数的和出现的可能性不相等，故A 不是；B 项中的样本点的个数是无限的，故B 不是；C 项中满足古典概型的有限性和等可能性，故C 是古典概型；D 项中样本点既不是有限个也不具有等可能性，故D 不是.2.4张卡片上分别写有数字1,2,3,4，从这4张卡片中随机抽取2张，则取出的2张卡片上的数字之和为奇数的概率为( )A.13B.12C.23D.34答案 C解析 试验的样本空间Ω＝{(1,2)，(1,3)，(1,4)，(2,3)，(2,4)，(3,4)}，共6个样本点，且每个样本点出现的可能性相同，数字之和为奇数的有4个样本点，所以所求概率为23.3.从1,2,3,4中任取2个不同的数，则取出的2个数之差的绝对值为2的概率是( )A.12B.13C.14D.16答案 B解析 样本点的总数为6，构成“取出的2个数之差的绝对值为2”这个事件的样本点的个数为2，所以所求概率P ＝26＝13，故选B.4.小敏打开计算机时，忘记了开机密码的前两位，只记得第一位是M ，I ，N 中的一个字母，第二位是1,2,3,4,5中的一个数字，则小敏输入一次密码能够成功开机的概率是( )A.815B.18C.115D.130答案 C解析 ∵Ω＝{(M,1)，(M,2)，(M,3)，(M,4)，(M,5)，(I,1)，(I,2)，(I,3)，(I,4)，(I,5)，(N,1)，(N,2)，(N,3)，(N,4)，(N,5)}，∴基本事件总数为15.∵正确的开机密码只有1种，∴P ＝115.5.从{1,2,3,4,5}中随机选取一个数为a ，从{1,2,3}中随机选取一个数为b ，则b >a 的概率是( )A.45B.35C.25D.15答案 D解析 设“所取的数中b >a ”为事件A ，如果把选出的数a ，b 写成数对(a ，b )的形式，则样本空间Ω＝{(1,1)，(1,2)，(1,3)，(2,1)，(2,2)，(2,3)，(3,1)，(3,2)，(3,3)，(4,1)，(4,2)，(4,3)，(5,1)，(5,2)，(5,3)}，共15个，事件A 包含的样本点有(1,2)，(1,3)，(2,3)，共3个，因此所求的概率P (A )＝315＝15.6.从三男三女共6名学生中任选2名(每名同学被选中的概率均相等)，则2名都是女同学的概率为________.答案 15解析 用A ，B ，C 分别表示三名男同学，用a ，b ，c 分别表示三名女同学，则从6名同学中选出2人的所有选法为AB ，AC ，Aa ，Ab ，Ac ，BC ，Ba ，Bb ，Bc ，Ca ，Cb ，Cc ，ab ，ac ，bc ，共15种.其中2名都是女同学包括ab ，ac ，bc ，共3种.故所求的概率为315＝15.7.在1,2,3,4四个数中，可重复地选取两个数，其中一个数是另一个数的2倍的概率是________.答案 14解析 用列举法知，可重复地选取两个数共有16种可能，其中一个数是另一个数的2倍的有(1,2)，(2,1)，(2,4)，(4,2)共4种，故所求的概率为416＝14.8.袋子中放有大小和形状相同的小球若干个，其中标号为0的小球1个，标号为1的小球1个，标号为2的小球n 个.已知从袋子中随机抽取1个小球，取到标号是2的小球的概率是12，则n 的值为________.答案 2解析由题意可知n1＋1＋n＝12，解得n＝2.9.某学校有初级教师21人，中级教师14人，高级教师7人，现采用分层随机抽样的方法从这些教师中抽取6人对绩效工资情况进行调查.(1)求应从初级教师、中级教师、高级教师中分别抽取的人数；(2)若从分层随机抽样抽取的6名教师中随机抽取2名教师做进一步数据分析，求抽取的2名教师均为初级教师的概率.解(1)共抽取6人，又21∶14∶7＝3∶2∶1，所以应从初级教师、中级教师、高级教师中抽取的人数分别为3，2,1.(2)在分层随机抽样抽取的6名教师中，3名初级教师分别记为A1，A2，A3,2名中级教师分别记为A4，A5，高级教师记为A6，则从中抽取2名教师的样本空间为Ω＝{(A1，A2)，(A1，A3)，(A1，A4)，(A1，A5)，(A1，A6)，(A2，A3)，(A2，A4)，(A2，A5)，(A2，A6)，(A3，A4)，(A3，A5)，(A3，A6)，(A4，A5)，(A4，A6)，(A5，A6)}，即样本点的总数为15.抽取的2名教师均为初级教师(记为事件B)包含的样本点为(A1，A2)，(A1，A3)，(A2，A3)，共3个.所以P(B)＝315＝15.10.某小组共有A，B，C，D，E五位同学，他们的身高(单位：米)及体重指标(单位：千克/米2)如下表所示：(1)从该小组身高低于1.80米的同学中任选2人，求选到的2人身高都在1.78米以下的概率；(2)从该小组同学中任选2人，求选到的2人的身高都在1.70米以上且体重指标都在[18.5,23.9)中的概率.解(1)由题意知，从该小组身高低于1.80米的同学中任选2人这一试验E1的样本空间Ω1＝{AB，AC，AD，BC，BD，CD}，共6个样本点，且每个样本点出现的可能性相同，故属于古典概型.设事件M表示“选到的2人身高都在1.78米以下”，则M ＝{AB ，AC ，BC }，共含有3个样本点，所以P (M )＝36＝12.(2)从该小组同学中任选2人，这一试验E 2的样本空间Ω2＝{AB ，AC ，AD ，AE ，BC ，BD ，BE ，CD ，CE ，DE }，共10个样本点，且每个样本点出现的可能性相等.设事件N 表示“选到的2人的身高都在1.70米以上且体重指标都在[18.5,23.9)中”，则N ＝{CD ，CE ，DE }，共含有3个样本点，所以P (N )＝310.11.如果3个正整数可作为一个直角三角形三条边的边长，则称这3个数为一组勾股数，从1,2,3,4,5中任取3个不同的数，则这3个数构成一组勾股数的概率为( )A.110B.15C.310D.120答案 A解析 从1,2,3,4,5中任取3个不同的数的样本空间Ω＝{(1,2,3)，(1,2,4)，(1,2,5)，(1,3,4)，(1,3,5)，(1,4,5)，(2,3,4)，(2,3,5)，(2,4,5)，(3,4,5)}，共10个，其中勾股数有(3,4,5)，所以概率为110.12.先后抛掷两枚均匀的正方体骰子(它们的六个面分别标有点数1,2,3,4,5,6)，骰子朝上的面的点数分别为x ，y ，则log 2x y ＝1的概率为( )A.16B.536C.112D.12答案 C解析 所有样本点的个数为36.由log 2x y ＝1得2x ＝y ，其中x ，y ∈{1,2,3,4,5,6}，所以⎩⎨⎧ x ＝1，y ＝2或⎩⎨⎧ x ＝2，y ＝4或⎩⎨⎧ x ＝3，y ＝6满足log 2x y ＝1，故事件“log 2x y ＝1”包含3个样本点，所以所求的概率为P ＝336＝112.13.一次掷两枚均匀的骰子，得到的点数为m 和n ，则关于x 的方程x 2＋(m ＋n )x ＋4＝0无实数根的概率是________.答案 112解析 总的样本点个数为36.因为方程无实根，所以Δ＝(m ＋n )2－16<0.即m ＋n <4，其中有(1,1)，(1,2)，(2,1)，共3个样本点.所以所求概率为336＝112.14.从甲、乙、丙、丁、戊五个人中选取三人参加演讲比赛，则甲、乙都被选中的概率为________.答案 310解析 从五个人中选取三人，则试验的样本空间Ω＝{(甲，乙，丙)，(甲，乙，丁)，(甲，乙，戊)，(甲，丙，丁)，(甲，丙，戊)，(甲，丁，戊)，(乙，丙，丁)，(乙，丙，戊)，(乙，丁，戊)，(丙，丁，戊)}，共10个样本点，甲、乙都被选中的结果有3种，故所求的概率为310.15.甲、乙两人玩猜数字游戏，先由甲心中想一个数字，记为a ，再由乙猜甲刚才所想的数字，把乙猜的数字记为b ，其中a ，b ∈{1,2,3,4,5,6}，若|a －b |≤1，就称“甲、乙心有灵犀”.现任意找两人玩这个游戏，则他们“心有灵犀”的概率为( )A.19B.29C.718D.49答案 D解析 首先要弄清楚“心有灵犀”的实质是|a －b |≤1，由于a ，b ∈{1,2,3,4,5,6}，则满足要求的事件可能的结果有：(1,1)，(1,2)，(2,1)，(2,2)，(2,3)，(3,2)，(3,3)，(3,4)，(4,3)，(4,4)，(4,5)，(5,4)，(5,5)，(5,6)，(6,5)，(6,6)，共16种，而依题意得，样本点总数为36.因此他们“心有灵犀”的概率P ＝1636＝49.16.某儿童乐园在“六一”儿童节推出了一项趣味活动.参加活动的儿童需转动如图所示的转盘两次，每次转动后，待转盘停止转动时，记录指针所指区域中的数.设两次记录的数分别为x ，y .奖励规则如下：①若xy≤3，则奖励玩具一个；②若xy≥8，则奖励水杯一个；③其余情况奖励饮料一瓶.假设转盘质地均匀，四个区域划分均匀，小亮准备参加此项活动.(1)求小亮获得玩具的概率；(2)请比较小亮获得水杯与获得饮料的概率的大小，并说明理由.解(1)用数对(x，y)表示小亮参加活动先后记录的数，则样本空间Ω＝{(1,1)，(1,2)，(1,3)，(1,4)，(2,1)，(2，2)，(2,3)，(2,4)，(3,1)，(3,2)，(3,3)，(3,4)，(4,1)，(4,2)，(4,3)，(4,4)}即样本点的总数为16，记“xy≤3”为事件A，则事件A包含的样本点共5个，即(1,1)，(1,2)，(1,3)，(2,1)，(3,1)，所以P(A)＝516，即小亮获得玩具的概率为516.(2)记“xy≥8”为事件B，“3<xy<8”为事件C. 则事件B包含的样本点共6个，即(2,4)，(3,3)，(3,4)，(4,2)，(4,3)，(4,4).所以P(B)＝616＝38.事件C包含的样本点共5个，即(1,4)，(2,2)，(2,3)，(3,2)，(4,1).所以P(C)＝516.因为38>516，所以小亮获得水杯的概率大于获得饮料的概率.。
人教B版高中数学必修第二册精品课件 第五章 5.3.3 古典概型
(4)若一个古典概型的基本事件数为n,则每一个基本事件出现的概率都是
1
.(
)
√
合作探究 释疑解惑
探究一
古典概型的判断
【例1】 袋中有质地、大小相同的5个白球、3个黑球和3个红球,每个球有
一个区别于其他球的编号,从中任意摸出1个球.
Ω={(2,1),(2,2),(2,3),(3,1),(3,2),(3,3)},共包含6个样本点.
而这两个数之和为4的有(2,2),(3,1),共2个样本点.
2 1
又从A,B中各任意取一个数的结果是等可能的,故所求的概率为 6 = 3
答案:C
.
随堂练习
1.下列关于古典概型的说法正确的是(
)
①试验的样本空间所包含的样本点个数是有限的;
②每个事件出现的可能性相等;
③每个基本事件出现的可能性相等;
④若样本空间包含的样本点的总数为n,随机事件A包含k个样本点,则
P(A)=
.
A.②④
B.①③④
C.①④
D.③④
解析:根据古典概型的特征与公式进行判断,①③④正确,②不正确.
答案:B
2.若书架上放有中文书5本,英文书3本,日文书2本,任意抽取1本,则抽出的
12 2
防范措施
对于一个样本点,变换它包含的两个元素的位置,若属于不同样本点,则与
顺序有关;反之,与顺序无关.
【变式训练】 已知集合A={2,3},B={1,2,3},从A,B中各任意取一个数,则这
两个数之和等于4的概率是(
2
A.
3
1
B.
2
必修二概率公式总结归纳
必修二概率公式总结归纳一、基本事件与古典概型。
（一）基本事件。
1. 定义。
- 在一次试验中可能出现的每一个基本结果称为基本事件。
- 例如：抛掷一枚质地均匀的硬币，“正面朝上”和“反面朝上”就是两个基本事件。
（二）古典概型。
1. 定义。
- 具有以下两个特点的概率模型称为古典概率模型，简称古典概型。
- 试验中所有可能出现的基本事件只有有限个。
- 每个基本事件出现的可能性相等。
2. 概率公式。
- 对于古典概型，事件A的概率P(A)=(事件A包含的基本事件数)/(试验的基本事件总数)。
- 例如：抛掷一枚质地均匀的骰子，求掷出的点数为偶数的概率。
- 试验的基本事件总数为6（点数1,2,3,4,5,6）。
- 事件“掷出的点数为偶数”包含的基本事件数为3（点数2,4,6）。
- 所以该事件的概率P = (3)/(6)=(1)/(2)。
二、几何概型。
（一）定义。
1. - 如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的长度（面积或体积）成比例，则称这样的概率模型为几何概率模型，简称为几何概型。
（二）概率公式。
1. - 设几何概型的基本事件空间可表示成可度量的区域Ω，事件A所对应的区域为A，则P(A)=(构成事件A的区域长度(面积或体积))/(构成基本事件空间Ω的区域长度(面积或体积))。
2. - 例如：在区间[0,3]上任取一个数x，求x∈[1,2]的概率。
- 基本事件空间Ω对应的区间长度为3 - 0=3。
- 事件A（x∈[1,2]）对应的区间长度为2 - 1 = 1。
- 所以P(A)=(1)/(3)。
三、互斥事件与对立事件。
（一）互斥事件。
1. 定义。
- 若事件A与事件B不可能同时发生，即A∩ B=var nothing，则称事件A与事件B是互斥事件。
2. 概率加法公式（互斥事件）- 若事件A与B互斥，则P(A∪ B)=P(A)+P(B)。
- 例如：抛掷一枚骰子，事件A为“掷出点数为1”，事件B为“掷出点数为2”，A和B是互斥事件，P(A)=(1)/(6)，P(B)=(1)/(6)，P(A∪B)=P(A)+P(B)=(1)/(6)+(1)/(6)=(1)/(3)。
数学人教A版必修第二册10.1.3古典概型课件
(2)在三种抽样方式下,分别计算抽到的两人都是男生的概率
解:设第一次抽取的人记为x1,第二次抽取的人记为x2,则可用数组(x1,x2)
表示样本点(1)根据相应的抽样方法可知:有放回简单随机抽样的样本空
间
Ω1={(B1,B1),(B1,B2),(B1,G1),(B1,G2),(B2,B1),(B2,B2),(B2,G1),(B2,G2),
() =
()
()
2
古典概型的概率计算公式
古典概型的解题步骤
判断实验的事件是否是古典概型，并用字母表示所求的
事件(如事件A)
求出样本点总数n和事件A包含的样本点个数k
用公式 () = 求出事件A产生的概率
2
古典概型的概率计算公式
古典概型的解题步骤
以下实验不是古典概型
现的结果进行分析和计算即可
在古典概型中，每个基本事件产生的可能性都相等，称这
些基本事件为等可能基本事件
1
古典概型
古典概型的判断
判断一个概率模型是否为古典概型，根据在于——
样本空间的样本点，只有有限个
每个样本点产生的可能性相等
判断一个实验是否满足这两
个特征，应根据具体的问题情境
仔细分析，并不是所有的实验都
P(M)=
1
4
例2. 抛掷两枚质地均匀的骰子(标记为I号和Ⅱ号),视察两枚骰子分别可
能出现的基本结果.
(1)写出这个实验的样本空间，并判断这个实验是否为古典概型；
(2)求下列事件的概率：
A=“两个点数之和是5”；
B=“两个点数相等”；
C=“I号骰子的点数大于Ⅱ号骰子的点数”.
解：(1)抛掷一枚骰子有6种等可能的结果，I号骰子的每一个结果都可与
高中数学必修二课件：古典概型
②从1，2，3，…，10中任取一个数，求取到1的概率；
③在正方形ABCD内画一点P，求点P恰好为正方形中心的概率；
④向上抛掷一枚不均匀的硬币，求出现反面朝上的概率．
A．1
B．2
C．3
D．4
【解析】 古典概型的特征是样本空间中样本点的个数是有限的，并且每 个样本点发生的可能性相等，故②是古典概型；①和③中的样本空间中的样本 点个数不是有限的，故不是古典概型；④由于硬币质地不均匀，样本点发生的 可能性不相等，故④不是古典概型．故选A.
平局的含义是两人出法相同，例如都出了锤．甲赢的含义是甲出锤且乙出 剪，甲出剪且乙出布，甲出布且乙出锤这3种情况．乙赢的含义是乙出锤且甲出 剪，乙出剪且甲出布，乙出布且甲出锤这3种情况．
设平局为事件A，甲赢为事件B，乙赢为事件C.
由图容易得到： (1)平局含3个基本事件(图中的△)； (2)甲赢含3个基本事件(图中的⊙)； (3)乙赢含3个基本事件(图中的※)． 由古典概型的概率计算公式，可得： P(A)＝39＝13，P(B)＝39＝13，P(C)＝39＝13.
答：该试验的基本事件是“出现正面向上”和“出现反面向上 ”．由于该 硬币质地不均匀，故P(出现正面向上)≠P(出现反面向上)，从而两个基本事件出 现的可能性不同.
课时学案
题型一 古典概型的判断
例1 (1)下列试验中是古典概型的是( B ) A．在适宜的条件下，种下一粒种子，观察它是否发芽 B．口袋里有2个白球和2个黑球，这4个球除颜色外其他完全相同，从中任 取一球 C．向一个圆面内随机地投一个点，该点落在圆内任意一点都是等可能的 D．射击运动员向一靶心进行射击，试验结果为命中10环，命中9环，…， 命中0环
【解析】 共有(a1，a2)，(a1，b)，(a2，b)三个基本事件． 设A＝{恰有一件次品}，则A含(a1，b)，(a2，b)两个基本事件． 故P(A)＝23.
高中数学必修二 10 1 3 古典概型(含答案)
第十章概率10.1.3 古典概型一、基础巩固1．下列试验是古典概型的是（）A．种下一粒大豆观察它是否发芽B．从规格直径为（250 0.6）mm的一批产品中任意抽一根，测量其直径C．抛一枚硬币，观察其正面或反面出现的情况D．某人射击中靶或不中靶【答案】C【解析】【分析】根据古典概型的定义判断．【详解】只有Ｃ具有古典概型两特点.【点睛】本题考查古典概型的定义，在这个型下，随机实验所有可能的结果是有限的，并且每个基本结果发生的概率是相同的．2．袋中有2个红球,2个白球,2个黑球,从里面任意摸2个小球,不是基本事件的为()A．{正好2个红球} B．{正好2个黑球}C．{正好2个白球} D．{至少1个红球}【答案】D【解析】袋中有2个红球，2个白球，2个黑球，从中任意摸2个，其基本事件可能是2个红球，2个白球，2个黑球，1红1白，1红1黑，1白1黑而至少1个红球中包含1红1白，1红1黑，2个红球三个基本事件，故不是基本事件，故选D3．《周易》是我国古代典籍，用“卦”描述了天地世间万象变化．如图是一个八卦图，包含乾、坤、震、巽、坎、离、艮、兑八卦（每一卦由三个爻组成，其中“”表示一个阳爻，“”表示一个阴爻）．若从含有两个及以上阳爻的卦中任取两卦，这两卦的六个爻中都恰有两个阳爻的概率为（）A．13B．12C．23D．34【答案】B【分析】基本事件总数为6个，都恰有两个阳爻包含的基本事件个数为3个，由此求出概率.【详解】解：由图可知，含有两个及以上阳爻的卦有巽、离、兑、乾四卦，取出两卦的基本事件有（巽，离），（巽，兑），（巽，乾），（离，兑），（离，乾），（兑，乾）共6个，其中符合条件的基本事件有（巽，离），（巽，兑），（离，兑）共3个，所以，所求的概率3162 P==.故选：B.【点睛】本题渗透传统文化，考查概率、计数原理等基本知识，考查抽象概括能力和应用意识，属于基础题．4．在5件产品中，有3件一等品和2件二等品，从中任取2件，以为概率的事件是()A．恰有1件一等品B．至少有一件一等品C．至多有一件一等品D．都不是一等品【答案】C【分析】将3件一等品编号为1,2,3，2件二等品的编号为4,5，列举出从中任取2件的所有基本事件的总数，分别计算选项的概率，即可得到答案．【详解】将3件一等品编号为1,2,3,2件二等品编号为4,5，从中任取2件有10种取法：(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(2,3)，(2,4)，(2,5)，(3,4)，(3,5)，(4,5)．其中恰含有1件一等品的取法有：(1,4)，(1,5)，(2,4)，(2,5)，(3,4)，(3,5)，恰有1件一等品的概率为P1＝，恰有2件一等品的取法有：(1,2)，(1,3)，(2,3)．故恰有2件一等品的概率为P2＝，其对立事件是“至多有一件一等品”，概率为P3＝1－P2＝1－＝.【点睛】本题主要考查了古典概型及其概率的计算问题，其中明确古典概型的基本概念，以及古典的概型及概率的计算公式，合理作出计算是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于基础题．5．袋中有2个红球5个白球，取出一个白球放回，再取出红球的概率是（）A．12B．27C．16D．17【答案】B【分析】取出一个白球再放回，相当于情况不变．用红球个数除以球的总数即为摸到红球的概率．【详解】解：所有机会均等的可能有7种，摸到红球的可能有2种，因此取出红球的概率为27，故选B.【点睛】本题考察古典概型，概率等于所求情况数与总情况数之比．6．在一个不透明的袋子中，装有若干个大小相同颜色不同的小球，若袋中有2个红球，且从袋中任取一球，取到红球的概率为15，则袋中球的总个数为（）A．5B．8C．10D．12【答案】C【分析】设袋中球的总个数为n，根据已知条件可得出关于n的等式，由此可求得n的值. 【详解】设袋中球的总个数为n，由题意可得215n=，解得10n=.故选：C.7．如图所示，有一个正十二面体，12个面上分别写有1～12这12个整数，投掷这个正十二面体一次，则向上一面的数字是2的倍数或3的倍数的概率为（）A．23B．13C．12D．16【答案】A【分析】求得向上一面的数字是2的倍数或3的倍数的数字，即可根据古典概型概率求解.【详解】正十二面体，12个面上分别写有1～12这12个整数，投掷这个正十二面体一次，则向上一面的数字是2的倍数或3的倍数的数字为2,3,4,6,8,9,10,12.所以由古典概型概率可知向上一面的数字是2的倍数或3的倍数的概率为82 123=故选：A.【点睛】本题考查了古典概型概率的求法，利用列举法求古典概型概率，属于基础题. 8．下列关于古典概型的说法中正确的是( )①试验中所有可能出现的基本事件只有有限个；②每个事件出现的可能性相等；③每个基本事件出现的可能性相等；④基本事件的总数为n，随机事件A若包含k个基本事件，则()kP An=.A．②④B．③④C．①④D．①③④【答案】D【分析】利用随机试验的概念及古典概型及其概率计算公式直接求解．【详解】在①中，由随机试验的定义知：试验中所有可能出现的基本事件只有有限个，故①正确；在②中，由随机试验的定义知：每个基本事件出现的可能性相等，故②错误；在③中，由随机试验的定义知：每个基本事件出现的可能性相等，故③正确；在④中，基本事件总数为n ，随机事件A 若包含k 个基本事件，则由古典概型及其概率计算公式知P （A ）kn=，故④正确． 故选D ． 【点睛】本题考查命题真假的判断，是基础题，解题时要认真审题，注意随机试验的概念及古典概型及其概率计算公式的合理运用．9．对数的发明是数学史上的重大事件，它可以改进数字的计算方法、提高计算速度和准确度.已知{1,3}M =，{1,3,5,7,9}N =，若从集合M ，N 中各任取一个数x ，y ，则3log ()xy 为整数的概率为（ ）A ．15B ．25C ．35D ．45【答案】C 【分析】 基本事件总数2510n，利用列举法求出3log ()xy 为整数包含的基本事件有6个，再利用古典概型的概率计算公式即可求解.【详解】{1,3}M =，{1,3,5,7,9}N =，若从集合M ，N 中各任取一个数x ，y ， 基本事件总数2510n，3log ()xy 为整数包含的基本事件有()1,1，()1,3，()1,9，()3,1，()3,3，()3,9，共有6个，∴3log ()xy 为整数的概率为63105p ==. 故选：C 【点睛】本题考查了古典概型的概率计算公式、分步计数原理、列举法求基本事件个数、对数的运算，属于基础题. 10．从2名男同学和3名女同学中任选2人参加社区服务，则选中的2人都是女同学的概率为 A ．0.6 B ．0.5C ．0.4D ．0.3【答案】D【解析】分析：分别求出事件“2名男同学和3名女同学中任选2人参加社区服务”的总可能及事件“选中的2人都是女同学”的总可能，代入概率公式可求得概率.详解：设2名男同学为12,A A ，3名女同学为123,,B B B ，从以上5名同学中任选2人总共有12111213212223121323,,,,,,,,,A A A B A B A B A B A B A B B B B B B B 共10种可能，选中的2人都是女同学的情况共有121323,,B B B B B B 共三种可能 则选中的2人都是女同学的概率为30.310P ==， 故选D.点睛：应用古典概型求某事件的步骤：第一步，判断本试验的结果是否为等可能事件，设出事件A ；第二步，分别求出基本事件的总数n 与所求事件A 中所包含的基本事件个数m ；第三步，利用公式()mP A n=求出事件A 的概率. 11．袋中有5个球（3个白球，2个黑球）现每次取一球，无放回抽取2次，则在第一次抽到白球的条件下，第二次抽到白球的概率为（ ） A ．3/5 B ．3/4C ．1/2D ．3/10【答案】C 【分析】先记事件A 为“第一次取到白球”，事件B 为“第二次取到白球”，则事件AB 为“两次都取到白球”，根据题意得到()P A 与()P AB ，再由条件概率，即可求出结果. 【详解】记事件A 为“第一次取到白球”，事件B 为“第二次取到白球”， 则事件AB 为“两次都取到白球”， 依题意知3()5P A =，3263()542010P AB =⨯==， 所以，在第一次取到白球的条件下，第二次取到白球的概率是3110()325P B A ==． 故选：C. 【点睛】本题主要考查条件概率与独立事件，熟记条件概率的计算公式即可，属于常考题型. 12．下列说法错误的是（ ） A ．方差可以衡量一组数据的波动大小B ．抽样调查抽取的样本是否具有代表性，直接关系对总体估计的准确程度C ．一组数据的众数有且只有一个D ．抛掷一枚图钉针尖朝上的概率，不能用列举法求得 【答案】C 【分析】根据各个选项中的说法，可以判断是否正确，从而可以解答本题. 【详解】对于A ，方差可以衡量一组数据的波动大小，故选项A 正确；对于B ，抽样调查抽取的样本是否具有代表性，直接关系对总体估计的准确程度，故选项B 正确； 对于C ，一组数据的众数有一个或者几个，故选项C 错误；对于D ，抛掷一枚图钉,针尖朝上和针尖朝下的可能性不相等，所以针尖朝上不是一个基本事件，所以不能用列举法求得，故选项D 正确； 故选：C . 【点睛】本题考查了一组数据的方差、众数，考查了抽样方式，属于基础题.二、拓展提升13．设有关于x 的一元二次方程2220x ax b ++=．（Ⅰ）若a 是从0,1,2,3四个数中任取的一个数，b 是从0,1,2三个数中任取的一个数，求上述方程有实根的概率．（Ⅱ）若a 是从区间[]0,3任取的一个数，b 是从区间[]0,2任取的一个数，求上述方程有实根的概率． 【答案】（Ⅰ）34（Ⅱ）23【分析】（1）本题是一个古典概型，可知基本事件共12个，方程2220x ax b ++=当0,0a b ≥≥时有实根的充要条件为a b ≥，满足条件的事件中包含9个基本事件，由古典概型公式得到事件A 发生的概率．（2）本题是一个几何概型，试验的全部约束所构成的区域为{(,)|03a b a ，02}b ．构成事件A 的区域为{(,)|03a b a ，02b ，}a b ．根据几何概型公式得到结果． 【详解】解：设事件A 为“方程2220x ax b ++=有实数根”．当0,0a b ≥≥时，方程有实数根的充要条件为a b ≥． （Ⅰ）基本事件共12个：(0,0),(0,1),(0,2),(1,0),(1,1),(1,2),(2,0),(2,1),(2,2),(3,0),(3,1),(3,2)．其中第一个数表示a 的取值，第二个数表示b 的取值．事件A 中包含9个基本事件，事件A 发生的概率为93()124P A ==． （Ⅱ）实验的全部结果所构成的区域为{(,)|03,02}a b a b ≤≤≤≤．构成事件A 的区域为{(,)|03,02,}a b a b a b ≤≤≤≤≥，所求的概率为132422()323P A ⨯-⨯==⨯ 【点睛】本题考查几何概型和古典概型，放在一起的目的是把两种概型加以比较，属于基础题．14．交通指数是指交通拥堵指数的简称，是综合反映道路网畅通或拥堵的概念性指数值，记交通指数为T ，其范围为[]0,10，分别有五个级别：2)[0,T ∈，畅通；[)2,4T ∈，基本畅通；[)4,6T ∈，轻度拥堵；[)6,8T ∈，中度拥堵；[]8,10T ∈，严重拥堵.在晚高峰时段（2T ≥），从某市交通指挥中心选取了市区20个交通路段，依据其交通指数数据绘制的频率分布直方图如图所示.(1)求出轻度拥堵、中度拥堵、严重拥堵的路段的个数；(2)用分层抽样的方法从轻度拥堵、中度拥堵、严重拥堵的路段中共抽取6个路段，求依次抽取的三个级别路段的个数；(3)从(2)中抽取的6个路段中任取2个，求至少有1个路段为轻度拥堵的概率.【答案】（1）轻度拥堵、中度拥堵、严重拥堵的路段的个数分别为6，9，3；（2）从交通指数在[4,6)，[6,8)，[8,10]的路段中分别抽取的个数为2,3,1；（3）35【分析】（1）根据在频率分布直方图中，小长方形的面积表示各组的频率，可以求出频率，再根据频数等于频率乘以样本容量，求出频数；（2）根据（1）求出拥堵路段的个数，求出每层之间的占有比例，然后求出每层的个数；（3）先求出从(2)中抽取的6个路段中任取2个，有多少种可能情况，然后求出至少有1个路段为轻度拥堵有多少种可能情况，根据古典概型概率公式求出. 【详解】(1)由频率分布直方图得，这20个交通路段中， 轻度拥堵的路段有(0.1＋0.2)×1×20＝6(个)， 中度拥堵的路段有(0.25＋0.2)×1×20＝9(个)， 严重拥堵的路段有(0.1＋0.05)×1×20＝3(个). (2)由(1)知，拥堵路段共有6＋9＋3＝18(个)，按分层抽样，从18个路段抽取6个，则抽取的三个级别路段的个数分别为66218⨯=，69318⨯=，63118⨯=，即从交通指数在[4,6)，[6,8)，[8,10]的路段中分别抽取的个数为2,3,1.(3)记抽取的2个轻度拥堵路段为1A ，2A ，抽取的3个中度拥堵路段为1B ，2B ，3B ，抽取的1个严重拥堵路段为1C ，则从这6个路段中抽取2个路段的所有可能情况为：()()()()12111213,,,,,,,,A A A B A B A B()()()()()()()()()()()1121222321121311232131,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,A C A B A B A B A C B B B B B C B B B C B C ，共15种，其中至少有1个路段为轻度拥堵的情况为：()()()()()()121112131121,,,,,,,,,,,,A A A B A B A B A C A B()()()222321,,,,,A B A B A C ，共9种.所以所抽取的2个路段中至少有1个路段为轻度拥堵的概率为93155=. 【点睛】本题考查了频率直方图的应用、分层抽样、古典概型概率的求法.解决本题的关键是对频率直方图所表示的意义要了解，分层抽样的原则要知道，要能识别古典概型.15．编号为1，2的两个纸箱中各有6个相同的小球（分别标有数字1，2，3，4，5，6），从1，2两个纸箱中各摸出一个小球，分别为,x y ，求满足条件2y x = 的概率.【答案】112. 【分析】利用古典概型公式求解. 【详解】从1，2两个纸箱中各摸出一个小球的事件总数有36种. 又2y x =，其中{},1,2,3,4,5,6x y , 满足条件的有()()()1,2,2,4,3,6, 故所求概率313612P.。
2019-2020学年新教材人教B版必修第二册 5.3.3 古典概型 课件(46张)
(3)是古典概型,因为在试验中所有可能出现的结果是有 限的,而且每个整数被抽到的可能性相等.
类型二 简单的古典概型的计算
【典例】1.甲、乙、丙三名同学站成一排,甲站在中间
的概率是 ( )
A. 1 B. 1
6
2
C.1 D. 2
3
3
2.盒子中有5个大小相同的球,其中编号为a,b的是2个 黑球,编号为c,d,e的是3个红球,从中任意摸出2个球.
【思维·引】 结合基本事件及古典概型的定义进行判断.
【解析】选C.依据古典概型的特点判断,只有C项满足: ①试验中所有可能出现的基本事件只有有限个;②每个 基本事件出现的可能性相同.
【内化·悟】 基本事件有什么特点? 提示:(1)任何两个基本事件是互斥的; (2)任何事件(除不可能事件)都可以表示成基本事件的 和.
世纪金榜导学号 (1)写出所有不同的结果. (2)求恰好摸出1个黑球和1个红球的概率. (3)求至少摸出1个黑球的概率.
【思维·引】 1.写出样本可以采用列举法或树状图 法.(2)找出恰好摸出1个黑球和1个红球的样本点,利用 古典概型的概率计算公式求出;(3)找出至少摸出1个黑 球的样本空间,利用古典概型的概率计算公式求出.
10
即至少摸出1个黑球的概率为0.7.
【内化·悟】 使用古典概型概率公式计算时需要注意哪些问题?
提示:①确定是否为古典概型; ②所求事件是什么,包含的基本事件有哪些.
【类题·通】 求古典概型概率的计算步骤
(1)确定样本点的总数n. (2)确定事件A包含的样本点的个数m. (3)计算事件A的概率P(A)= m .
【解析】1.选C.样本空间为:Ω ={甲乙丙、甲丙乙、 乙甲丙、乙丙甲、丙甲乙、丙乙甲}共六个,甲站在中 间的事件包括乙甲丙、丙甲乙共2个,所以甲站在中间 的概率: P= 2＝1 .
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第一讲古典概型
一、事件与事件的关系：
1.事件：
（1）必然事件：在条件S下，一定会发生的事件，叫相对于条件S的必然事件；
（2）不可能事件：在条件S下，一定不会发生的事件，叫相对于条件S的不可能事件；
（3）确定事件：必然事件和不可能事件统称为相对于条件S的确定事件；
（4）随机事件：在条件S下可能发生也可能不发生的事件，叫相对于条件S的随机事件；
2.两个事件之间的关系包括包含事件、相等事件、互斥事件、对立事件，事件之间的运算包括和事件、
积事件，这些概念的含义分别如何？
Í.
若事件A发生时事件B一定发生，则A B
若事件A发生时事件B一定发生，反之亦然，则A=B.
若事件A与事件B不同时发生，则A与B互斥.
若事件A与事件B有且只有一个发生，则A与B相互对立.
3.概率的加法公式：若事件A与事件B互斥，则P（A+B）=P（A）+P（B）.
对立事件的概率的关系：若事件A与事件B相互对立，则P（A）+P（B）=1.
练习：一个射手进行一次射击,试判断下列事件哪些是互斥事件?哪些是对立事件?
事件A：命中环数大于7环；事件B：命中环数为10环；
事件C：命中环数小于6环；事件D：命中环数为6、7、8、9、10环.
二、基本事件：
1.抛掷两枚质地均匀的硬币，有哪几种可能结果？连续抛掷三枚质地均匀的硬币，有哪几种可能结果？
2.上述试验中的每一个结果都是随机事件，我们把这类事件称为基本事件.在一次试验中，任何两个基本事件是什么关系？
3.在连续抛掷三枚质地均匀的硬币的试验中，随机事件“出现两次正面和一次反面”，“至少出现两次正面”分别由哪些基本事件组成？
4.综上分析，基本事件有哪两个特征？
5.从字母a，b，c，d中任意取出两个不同字母的试验中，有哪些基本事件？事件“取到字母a”是哪些基本事件的和？
三、古典概型：
1.抛掷一枚质地均匀的骰子有哪些基本事件？每个基本事件出现的可能性相等吗？
2.抛掷一枚质地不均匀的硬币有哪些基本事件？每个基本事件出现的可能性相等吗？
3.从所有整数中任取一个数的试验中，其基本事件有多少个？
4.如果一次试验中所有可能出现的基本事件只有有限个（有限性），且每个基本事件出现的可能性相等（等可能性），则具有这两个特点的概率模型称为古典概型. 在射击练习中，“射击一次命中的环数”是古典概型吗？为什么？
5.随机抛掷一枚质地均匀的骰子是古典概型吗？每个基本事件出现的概率是多少？
6.一般地，如果一个古典概型共有n个基本事件，那么每个基本事件在一次试验中发生的概率为多少？
7.随机抛掷一枚质地均匀的骰子，利用基本事件的概率值和概率加法公式，“出现偶数点”的概率如何计算？“出现不小于2点” 的概率如何计算？
8.考察抛掷一枚质地均匀的骰子的基本事件总数，与“出现偶数点”、“出现不小于2点”所包含的基本事件的个数之间的关系，你有什么发现？
9.一般地，对于古典概型，事件A在一次试验中发生的概率如何计算？
10.从集合的观点分析，如果在一次试验中，等可能出现的所有n个基本事件组成全集U，事件A包含的m 个基本事件组成子集A，那么事件A发生的概率P（A）等于什么？特别地，当A=U，A=Ф时，P（A）等于什么？
【基础自测】
1.从甲、乙、丙三人中任选两名代表，甲被选中的概率为.
2.掷一枚骰子，观察掷出的点数，则掷出奇数点的概率为.
3.袋中有2个白球，2个黑球，从中任意摸出2个，则至少摸出1个黑球的概率是.
4.一袋中装有大小相同，编号为1，2，3，4，5，6，7，8的八个球，从中有放回地每次取一个球，共取2次，则取得两个球的编号之和不小于15的概率为.
5.掷一枚均匀的硬币两次，事件M：“一次正面朝上，一次反面朝上” ；事件N：“至少一次正面朝上” .
则P(M)= ,P(N)= .
【典例精讲】
例1有两颗正四面体的玩具，其四个面上分别标有数字1，2，3，4，下面做投掷这两颗正四面体玩
具的试验：用（x，y）表示结果，其中x表示第1颗正四面体玩具出现的点数，y表示第2颗正四面体玩具出现的点数.试写出：
（1）试验的基本事件；
（2）事件“出现点数之和大于3”；
（3）事件“出现点数相等”.
例2甲、乙两人参加法律知识竞答，共有10道不同的题目，其中选择题6道，判断题4道，甲、乙
两人依次各抽一题.
（1）甲抽到选择题、乙抽到判断题的概率是多少？
（2）甲、乙两人中至少有一人抽到选择题的概率是多少？
例3同时抛掷两枚骰子.
（1）求“点数之和为6”的概率；
（2）求“至少有一个5点或6点”的概率.
【小结】
1.基本事件是一次试验中所有可能出现的最小事件，且这些事件彼此互斥.试验中的事件A可以是基本事
件，也可以是有几个基本事件组合而成的.
2.有限性和等可能性是古典概型的两个本质特点，概率计算公式P（A）=事件A所包含的基本事件的个
数÷基本事件的总数，只对古典概型适用.
3.求某个随机事件A包含的基本事件的个数和实验中基本事件的总数，常用的方法是列举法（画树状图和列表），计算时要做到不重不漏.
【练习】
1.某口袋内装有大小相同的5只球，其中3只白球，2只黑球，从中一次摸出2只球.
（1）共有多少个基本事件？
（2）摸出的2只球都是白球的概率是多少？
2.袋中有6个球，其中4个白球，2个红球，从袋中任意取出两球，求下列事件的概率:
（1）A:取出的两球都是白球；
（2）B ：取出的两球1个是白球，另1个是红球.
【家庭作业】
1.盒中有1个黑球和9个白球，它们除颜色不同外，其他方面没有什么差别.现由10人依次摸出1个球.设第1个人摸出的1个球是黑球的概率为P 1，第10个人摸出黑球的概率是P 10，则P 10 P 1
（填“＞”“＜”或“=” ）.
2. 采用简单随机抽样从含有n 个个体的总体中抽取一个容量为3的样本，若个体a 前2次未被抽到，第3次被抽到的概率等于个体a 未被抽到的概率的31倍，则个体a 被抽到的概率为 .
3.从数字1，2，3中任取两个不同数字组成两位数，该数大于23的概率为 .
4.一个骰子连续投2次，点数和为4的概率为 .
5.一9.5张奖券中有2张是中奖的，首先由甲然后由乙各抽一张，求：
（1）甲中奖的概率P （A ）；
（2）甲、乙都中奖的概率；
（3）只有乙中奖的概率；
（4）乙中奖的概率.
【作业答案】
1. =
2. 31
3.21
4. 121
5.解 （1）甲有5种抽法，即基本事件总数为5.中奖的抽法只有2种，即事件“甲中奖”包含的基本事件数为2，故甲中奖的概率为P 1=5
2.
（2）甲、乙各抽一张的事件中，甲有五种抽法，则乙有4种抽法，故所有可能的抽法共5×4=20种，甲、乙都中奖的事件中包含的基本事件只有2种，故P 2=202=101. （3）由（2）知，甲、乙各抽一张奖券，共有20种抽法，只有乙中奖的事件包含“甲未中”和“乙中”两种情
况，故共有3×2=6种基本事件，∴P 3=206=103
.
（4）由（1）可知，总的基本事件数为5，中奖的基本事件数为2，故P 4=52
.。