必修二古典概型

第一讲古典概型

一、事件与事件的关系：

1.事件：

（1）必然事件：在条件S下，一定会发生的事件，叫相对于条件S的必然事件；

（2）不可能事件：在条件S下，一定不会发生的事件，叫相对于条件S的不可能事件；

（3）确定事件：必然事件和不可能事件统称为相对于条件S的确定事件；

（4）随机事件：在条件S下可能发生也可能不发生的事件，叫相对于条件S的随机事件；

2.两个事件之间的关系包括包含事件、相等事件、互斥事件、对立事件，事件之间的运算包括和事件、

积事件，这些概念的含义分别如何？

Í.

若事件A发生时事件B一定发生，则A B

若事件A发生时事件B一定发生，反之亦然，则A=B.

若事件A与事件B不同时发生，则A与B互斥.

若事件A与事件B有且只有一个发生，则A与B相互对立.

3.概率的加法公式：若事件A与事件B互斥，则P（A+B）=P（A）+P（B）.

对立事件的概率的关系：若事件A与事件B相互对立，则P（A）+P（B）=1.

练习：一个射手进行一次射击,试判断下列事件哪些是互斥事件?哪些是对立事件?

事件A：命中环数大于7环；事件B：命中环数为10环；

事件C：命中环数小于6环；事件D：命中环数为6、7、8、9、10环.

二、基本事件：

1.抛掷两枚质地均匀的硬币，有哪几种可能结果？连续抛掷三枚质地均匀的硬币，有哪几种可能结果？

2.上述试验中的每一个结果都是随机事件，我们把这类事件称为基本事件.在一次试验中，任何两个基本事件是什么关系？

3.在连续抛掷三枚质地均匀的硬币的试验中，随机事件“出现两次正面和一次反面”，“至少出现两次正面”分别由哪些基本事件组成？

4.综上分析，基本事件有哪两个特征？

5.从字母a，b，c，d中任意取出两个不同字母的试验中，有哪些基本事件？事件“取到字母a”是哪些基本事件的和？

三、古典概型：

1.抛掷一枚质地均匀的骰子有哪些基本事件？每个基本事件出现的可能性相等吗？

2.抛掷一枚质地不均匀的硬币有哪些基本事件？每个基本事件出现的可能性相等吗？

3.从所有整数中任取一个数的试验中，其基本事件有多少个？

4.如果一次试验中所有可能出现的基本事件只有有限个（有限性），且每个基本事件出现的可能性相等（等可能性），则具有这两个特点的概率模型称为古典概型. 在射击练习中，“射击一次命中的环数”是古典概型吗？为什么？

5.随机抛掷一枚质地均匀的骰子是古典概型吗？每个基本事件出现的概率是多少？

6.一般地，如果一个古典概型共有n个基本事件，那么每个基本事件在一次试验中发生的概率为多少？

7.随机抛掷一枚质地均匀的骰子，利用基本事件的概率值和概率加法公式，“出现偶数点”的概率如何计算？“出现不小于2点” 的概率如何计算？

8.考察抛掷一枚质地均匀的骰子的基本事件总数，与“出现偶数点”、“出现不小于2点”所包含的基本事件的个数之间的关系，你有什么发现？

9.一般地，对于古典概型，事件A在一次试验中发生的概率如何计算？

10.从集合的观点分析，如果在一次试验中，等可能出现的所有n个基本事件组成全集U，事件A包含的m 个基本事件组成子集A，那么事件A发生的概率P（A）等于什么？特别地，当A=U，A=Ф时，P（A）等于什么？

【基础自测】

1.从甲、乙、丙三人中任选两名代表，甲被选中的概率为.

2.掷一枚骰子，观察掷出的点数，则掷出奇数点的概率为.

3.袋中有2个白球，2个黑球，从中任意摸出2个，则至少摸出1个黑球的概率是.

4.一袋中装有大小相同，编号为1，2，3，4，5，6，7，8的八个球，从中有放回地每次取一个球，共取2次，则取得两个球的编号之和不小于15的概率为.

5.掷一枚均匀的硬币两次，事件M：“一次正面朝上，一次反面朝上” ；事件N：“至少一次正面朝上” .

则P(M)= ,P(N)= .

【典例精讲】

例1有两颗正四面体的玩具，其四个面上分别标有数字1，2，3，4，下面做投掷这两颗正四面体玩

具的试验：用（x，y）表示结果，其中x表示第1颗正四面体玩具出现的点数，y表示第2颗正四面体玩具出现的点数.试写出：

（1）试验的基本事件；

（2）事件“出现点数之和大于3”；

（3）事件“出现点数相等”.

例2甲、乙两人参加法律知识竞答，共有10道不同的题目，其中选择题6道，判断题4道，甲、乙

两人依次各抽一题.

（1）甲抽到选择题、乙抽到判断题的概率是多少？

（2）甲、乙两人中至少有一人抽到选择题的概率是多少？

例3同时抛掷两枚骰子.

（1）求“点数之和为6”的概率；

（2）求“至少有一个5点或6点”的概率.

【小结】

1.基本事件是一次试验中所有可能出现的最小事件，且这些事件彼此互斥.试验中的事件A可以是基本事

件，也可以是有几个基本事件组合而成的.

2.有限性和等可能性是古典概型的两个本质特点，概率计算公式P（A）=事件A所包含的基本事件的个

数÷基本事件的总数，只对古典概型适用.

3.求某个随机事件A包含的基本事件的个数和实验中基本事件的总数，常用的方法是列举法（画树状图和列表），计算时要做到不重不漏.

【练习】

1.某口袋内装有大小相同的5只球，其中3只白球，2只黑球，从中一次摸出2只球.

（1）共有多少个基本事件？

（2）摸出的2只球都是白球的概率是多少？

2.袋中有6个球，其中4个白球，2个红球，从袋中任意取出两球，求下列事件的概率:

（1）A:取出的两球都是白球；

（2）B ：取出的两球1个是白球，另1个是红球.

【家庭作业】

1.盒中有1个黑球和9个白球，它们除颜色不同外，其他方面没有什么差别.现由10人依次摸出1个球.设第1个人摸出的1个球是黑球的概率为P 1，第10个人摸出黑球的概率是P 10，则P 10 P 1

（填“＞”“＜”或“=” ）.

2. 采用简单随机抽样从含有n 个个体的总体中抽取一个容量为3的样本，若个体a 前2次未被抽到，第3次被抽到的概率等于个体a 未被抽到的概率的31倍，则个体a 被抽到的概率为 .

3.从数字1，2，3中任取两个不同数字组成两位数，该数大于23的概率为 .

4.一个骰子连续投2次，点数和为4的概率为 .

5.一9.5张奖券中有2张是中奖的，首先由甲然后由乙各抽一张，求：

（1）甲中奖的概率P （A ）；

（2）甲、乙都中奖的概率；

（3）只有乙中奖的概率；

（4）乙中奖的概率.

【作业答案】

1. =

2. 31

3.21

4. 121

5.解 （1）甲有5种抽法，即基本事件总数为5.中奖的抽法只有2种，即事件“甲中奖”包含的基本事件数为2，故甲中奖的概率为P 1=5

2.

（2）甲、乙各抽一张的事件中，甲有五种抽法，则乙有4种抽法，故所有可能的抽法共5×4=20种，甲、乙都中奖的事件中包含的基本事件只有2种，故P 2=202=101. （3）由（2）知，甲、乙各抽一张奖券，共有20种抽法，只有乙中奖的事件包含“甲未中”和“乙中”两种情