构造法在导数中的应用

构造法在导数中的应用

此类涉及到已知f (x )与f ′(x )的一些关系式，比较有关函数式大小或解不等式的问题，可通过构造新的函数，创造条件，从而利用单调性求解． 例 (1)函数f (x )的定义域为R .f (－1)＝2，对任意x ∈R ，f ′(x )>2，则f (x )>2x ＋4的解集为( )

A ．(－1,1)

B ．(－1，＋∞)

C ．(－∞，－1)

D ．(－∞，＋∞)

(2)已知奇函数f (x )是定义在R 上的连续可导函数，其导函数是f ′(x )，

当x >0时，f ′(x )<2f (x )恒成立，则下列不等关系一定正确的是( ) A ．e 2f (1)>－f (2) B ．e 2f (－1)>－f (2) C ．e 2f (－1)<－f (2) D ．f (－2)<－e 2f (1)

名师点拨☞

(1)若知xf ′(x )＋f (x )的符号，则构造函数g (x )＝xf (x )；

一般地，若知xf ′(x )＋nf (x )的符号，则构造函数g (x )＝x n f (x )．

(2)若知xf ′(x )－f (x )的符号，则构造函数g (x )＝f (x )

x

；

一般地，若知xf ′(x )－nf (x )的符号，则构造函数g (x )＝f (x )

x

n .

(3)若知f ′(x )＋f (x )的符号，则构造函数f (x )＝e x f (x )；

一般地，若知f ′(x )＋nf (x )的符号，则构造函数g (x )＝e nx ·f (x )．

(4)若知f ′(x )－f (x )的符号，则构造函数f (x )＝f (x )

e

x ；

一般地，若知f ′(x )－nf (x )的符号，则构造函数g (x )＝f (x )

e

nx

〔变式训练〕

(1)已知函数f (x )满足：f (0)＝1，f ′(x )

A ．(0，＋∞)

B ．(－∞，0)

C ．(1，＋∞)

D ．(－∞，1)

(2)设f (x )、g (x )分别是定义在R 上的奇函数和偶函数，当x <0时，f ′(x )g (x )＋f (x )g ′(x )>0，

且g (－3)＝0，则不等式f (x )g (x )<0的解集是( ) A ．(－3,0)∪(3，＋∞) B ．(－3,0)∪(0,3) C ．(－∞，－3)∪(3，＋∞) D ．(－∞，－3)∪(0,3)

(3)定义在R 上的偶函数f (x )的导函数为f ′(x )，且当x >0，xf ′(x )＋2f (x )<0.则( )

A ．f (e )4>f (2)e 2

B ．9f (3)>f (1)

C ．f (e )9

D ．f (e )4

2

解不等式

例4 设函数f (x )的定义域为R ，f (0)＝2，对任意的x ∈R ，f (x )＋f ′(x )>1，

则不等式e x f (x )>e x ＋1的解集为( ) A ．(0，＋∞) B ．(－∞，0) C ．(－∞，－1)∪(1，＋∞) D ．(－∞，－1)∪(0,1) 名师点拨☞

(1)利用导数解不等式的思路

已知一个含f ′(x )的不等式，可构造和f (x )有关的函数g (x )，利用g (x )的单调性，然后可利用函数单调性解不等式．

(2)利用导数证明不等式的方法

①构造法：证明f (x )

②最值比较法：证明f (x )

(3)利用导数解决不等式的恒成立或有解问题的策略

①首先要构造函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，进而得出相应的含参不等式，从而求出参数的取值范围．

②也可分离参数，通过构造函数，直接把问题转化为函数的最值问题． 〔变式训练2〕

(1)已知函数f (x )＝a

x

－1＋ln x ，若存在x 0>0，使得f (x 0)≤0有解，则实数a 的取值范围是( )

A ．a >2

B ．a <3

C ．a ≤1

D ．a ≥3

(2)定义在R 上的函数f (x )的导函数为f ′(x )，f (0)＝0，

若对任意x ∈R ，都有f (x )>f ′(x )＋1，则使得f (x )＋e x <1成立的x 的取值范围为( ) A ．(0，＋∞) B ．(－∞，0) C ．(－1，＋∞) D ．(－∞，1)

课后练习

1、定义在R 上的函数()f x 满足()11f =，

且对任意x R ∈都有()12

f x '<，则不等式()33

12x f x +>的解集为_________.

2、设函数)(x f 在R 上存在导数)(x f '，R x ∈∀，有2

)()(x x f x f =+-，在),0(+∞上

x x f <')(，

若m m f m f 22)()2(->--，则实数m 的取值范围为

3、设函数()f x '是()f x （x R ∈）的导函数，()01f =，且()()33f x f x '=-， 则()()4f x f x '>的解集是

A. 43ln ,⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭

B. 23ln ,⎛⎫

+∞ ⎪⎝⎭

C. 2,⎛⎫+∞ ⎪ ⎪⎝⎭

D. 3,⎛⎫

+∞ ⎪ ⎪⎝⎭