流体力学(连续性方程)
流体的连续性方程
流体的连续性方程
流体的连续性方程是描述流体运动的基本方程之一，它揭示了流体
在运动过程中质量守恒的原理。
下面将从理论基础、连续性方程的推
导以及应用等方面进行讨论。
一、理论基础
连续性方程是基于流体的连续性假设而推导得出的。
连续性假设认为，在流体运动过程中，流体的体积虽然不断变化，但质量保持不变。
流体在某个截面上的质量密度乘以截面积等于流体通过该截面的质量
流量。
二、连续性方程的推导
设流体通过某个平面截面的质量流量为Q，截面的面积为A，流体
的密度为ρ，流体在通过截面进入和流出的速度分别为v1和v2。
根据
质量守恒的原理，流入流出的质量应该相等，则有：
ρA * v1 = ρA * v2
接着，我们可以对上式进行化简，得到：
v1 = v2
这就是连续性方程，它表明了流体在运动过程中速度的连续性。
三、连续性方程的应用
连续性方程在流体力学中具有广泛的应用。
例如，在管道流动中，
通过管道的流体密度是保持不变的，因此可以利用连续性方程来描述
流体在管道中的速度变化。
在自然界中，例如河流流动、空气运动等，也可以应用连续性方程来研究非定常流体运动的规律。
此外，连续性方程还与其他流体方程相互配合，如欧拉方程、伯努
利方程等，共同构成了解决流体力学问题的重要工具。
综上所述，流体的连续性方程是一种描述流体运动的基本方程，它
是基于流体的连续性假设进行推导的。
连续性方程揭示了流体在运动
过程中质量守恒的原理，具有重要的理论和应用价值。
连续性方程是什么定律在流体力学中的应用
连续性方程是什么定律在流体力学中的应用
连续性方程是流体力学中的一个重要定律。
它表明物质的流动是连续的，即它是恒定的，不会失去或添加。
连续性方程定义了流体力学中影响流动的主要变量，即流体密度，速度
和压力。
它可以用一个公式来描述：ρ/ t + (ρv/ x ) + (ρvv/ y ) + (ρwz / z ) = 0。
这个方程描述了流体在时间和空间上的变化，即随着时间的推移，物质的流动越来越慢，可以用来研究气体和液体的流动。
可以用来评估各种变量，如流体密度、速度、压力和其
他变量的影响。
在应用连续性方程时，必须考虑在流体的混合阶段，如随着时间的推移，物质中必须有交换力存在，以使其不减少或增加。
在流体力学中，能量方程和动量方程也可以用来研究流体的运动。
当应用连续性方程时，可以考察不同变量对流体动力学的影响，比如不同密度和速度的流
体如何影响液体的压力，以及流体在某一时刻的运动行为等。
这可以帮助科学家们更好地
理解流体的运动。
总的来说，连续性方程是流体力学中重要的定律，可以用来描述和研究气体和液体的流动状态。
它考察的变量如浓度，速度和压力的影响可以帮助科学家们更好地理解流体的运动
特性。
连续性方程则是流体力学中重要的定律，也是在研究流体动力学时必不可少的方程。
流体力学的基本方程式
流体力学的基本方程式流体力学是研究流体力学原理和现象的一门学科。
它主要研究流体的运动和变形规律，包括速度、压力、密度和温度等参数的分布及其相互关系。
流体力学的基本方程式包括连续性方程、动量方程和能量方程。
这些方程式用来描述流体的性质和运动，对于解决流体力学问题至关重要。
下面将逐一介绍这些方程式及其应用。
1. 连续性方程连续性方程描述了流体的质量守恒规律。
它基于质量守恒原理，即在流体中任意一点的质量净流入/流出率等于该点区域内质量的减少率。
连续性方程的数学表达式是：∂ρ/∂t + ∇•(ρV) = 0。
其中，ρ是流体的密度，t是时间，V是流体的流速矢量，∇•表示散度运算符。
连续性方程的应用范围广泛，例如用于描述气象学中的气流动力学、河流的水量和水质传输等。
2. 动量方程动量方程描述了流体的运动规律。
它基于牛顿第二定律，即流体的运动是由外力和内力共同作用的结果。
动量方程的数学表达式是：ρ(∂V/∂t + V•∇V) = -∇P + ∇•τ + ρg。
其中，P是压力，τ是应力张量，g是重力加速度。
动量方程是解决流体流动问题的关键方程，可以用于模拟气象学中的风场、水力学中的水流、航空航天中的气体流动等。
3. 能量方程能量方程描述了流体的能量转换和传递规律。
它基于能量守恒原理，即在流体中任意一点的能量净流入/流出率等于该点区域内能量的减少率。
能量方程的数学表达式是：ρCv(∂T/∂t + V•∇T) = ∇•(k∇T) + Q - P(∇•V) + ρg•V。
其中，Cv是比热容，T是温度，k是热传导系数，Q是体积热源项。
能量方程可用于模拟热传导、对流和辐射现象，例如地下水温场、燃烧室的工作原理等。
流体力学的基本方程式是解决各种流体流动问题的基础，通过对这些方程式的应用，可以揭示流体的行为和性质，为实际工程和科学研究提供指导。
在实际应用中，还可以结合数值模拟和试验数据，进一步分析和预测流体力学问题的解，为工程决策和科学研究提供依据。
流体力学中的连续性方程
流体力学中的连续性方程在流体力学中，连续性方程是描述流体运动过程中质量守恒的基本方程之一。
它阐述了流体在运动中质量的守恒原理，即在密度不变的条件下，流体在某一给定截面上的流量必须与该截面的流体入口和出口的流量相等。
本文将详细介绍连续性方程的含义、数学表达形式以及其在流体力学中的应用。
1. 连续性方程的含义连续性方程是基于质量守恒原理推导出来的，在没有外界质量输入或输出的情况下，流体质量在运动中必须保持不变。
该方程依赖于流体的不可压缩性，即密度在流场中不发生变化。
连续性方程描述了在任意给定截面上的流体运动情况，它表明流动的流体在同一截面上的进出量必须相等。
2. 连续性方程的数学表达形式连续性方程可以用数学形式来表示，通常使用流体的质量流率来描述流体在给定截面上的流动情况。
流体的质量流率定义为单位时间内通过给定截面的质量。
设流体通过某一截面的面积为A，流速为v，流体的密度为ρ，则流体的质量流率为ρAv。
根据质量守恒原理，流体在进入和离开给定截面时，质量流率必须相等，即:ρ₁A₁v₁ = ρ₂A₂v₂其中，ρ₁和ρ₂分别为流体在截面一和截面二处的密度，A₁和A₂为截面一和截面二的面积，v₁和v₂为截面一和截面二处的流速。
3. 连续性方程的应用连续性方程在流体力学中有着广泛的应用。
首先，它用于解决流体力学问题中的流量分布和速度分布计算。
通过应用连续性方程，我们可以根据流量和密度的已知值，求解出流体的流速。
这对于通常需要研究流体的流动速度分布的问题非常有用。
其次，连续性方程也可用于设计流体力学实验。
通过选定不同的截面，我们可以实验测量流速和相应的流量，验证连续性方程是否成立。
实验结果与连续性方程的理论计算相符则证明了实验的准确性。
此外，连续性方程在物理建模和工程计算中也发挥着重要的作用。
根据流体的运动规律和边界条件，我们可以通过连续性方程建立数学模型，并通过求解连续性方程来预测和分析流体运动的行为。
综上所述，连续性方程在流体力学中具有重要的地位和作用。
流体力学中的连续性方程
流体力学中的连续性方程流体力学是研究流体运动规律的学科，而连续性方程则是流体力学中重要的基础方程之一。
连续性方程描述了流体质点的质量守恒规律，揭示了流体在运动过程中物质的连续性变化。
连续性方程的基本原理可以通过质量守恒定律推导得到。
在流体运动过程中，考虑一个固定的控制体，其边界与流体相接触。
流体在进入和离开控制体的过程中质量不会发生变化，这是因为流体是连续的，不存在断裂。
根据质量守恒定律，流体质量的变化率等于流体质量通过控制体边界的净流量。
假设控制体体积为V，流体质量为m。
则在某个时刻t下，流体质量的变化量dm可以表示为：dm = ρ(t)·dV其中，ρ(t)表示流体在时刻t下的密度，dV为控制体体积的微元。
连续性方程的基本思想就是要求流体质量的变化量等于流体质量通过边界的净流量。
因此，对于控制体内部的任意体积元，质量的变化量应等于通过表面流出的质量。
考虑流体进入和离开控制体的过程，总的质量流入率减去总的质量流出率等于质量变化率。
即，d/dt ∫ρ(t)·dV = - ∫ρ(t)·(v·n)·dA其中，d/dt表示对时间的导数，∫表示对整个控制体体积的积分，∫表示对控制体表面的积分，v表示流体速度，n表示控制体边界的外法向量。
将等式两边进行整理，可得连续性方程的一般表达式：∂ρ(t)/∂t + ∇·(ρ(t)·v) = 0其中，∂ρ(t)/∂t表示流体密度随时间的变化率，∇·(ρ(t)·v)表示速度矢量与流体密度梯度的散度。
连续性方程可以进一步简化为Euler连续性方程和Lagrangian连续性方程两种形式。
在Euler连续性方程中，选择空间坐标系为参考系，通过对流体质点的观测来研究流体运动。
在此情况下，控制体的体积保持不变，即dV = 0。
连续性方程变为：∂ρ(t)/∂t + ∇·(ρ(t)·v) = 0在Lagrangian连续性方程中，选择质点坐标系为参考系，通过跟踪某一特定质点的运动来研究流体运动。
流体力学最基本的三个方程
流体力学最基本的三个方程流体力学是研究流体运动及其相关物理现象的学科。
它的基础有三个最基本的方程，即连续性方程、动量守恒方程和能量守恒方程。
本文将详细介绍这三个方程的含义和应用。
一、连续性方程：连续性方程，也称为质量守恒方程，描述了流体运动中质量守恒的原理。
它的数学表达式为：∂ρ/∂t+∇·(ρv)=0其中，ρ是流体的密度，v是流体的速度矢量，∂/∂t表示对时间的偏导数，∇·表示向量的散度。
连续性方程的物理意义是说，质量在流体中是守恒的，即单位体积内的质量永远不会改变。
这是由于流体是连续的，无法出现质量的增减。
这个方程告诉我们，流体在流动过程中的速度变化与流体密度变化是相关的。
当流体流动速度较大时，密度通常会变小，反之亦然。
连续性方程的应用十分广泛。
在管道流动中，我们可以利用连续性方程来推导流速和截面积之间的关系。
在天气预报中，连续性方程被用来描述气象现象，如大气的上升和下沉运动，以及风的生成和消散等。
二、动量守恒方程：动量守恒方程描述了流体运动中动量守恒的原理。
它的数学表达式为：∂(ρv)/∂t + ∇·(ρvv) = -∇p + ∇·(μ∇v) + ρg其中，p是流体的压强，μ是流体的黏度，g是重力加速度。
动量守恒方程可以理解为牛顿第二定律在流体力学中的推广。
它表示流体在外力作用下的加速度与压力梯度、黏性力、重力的平衡关系。
动量守恒方程的物理意义是说，流体的运动与施加在流体上的各种力密切相关。
当外力作用于流体时，会引起流体的加速度，也即速度的变化。
这个方程告诉我们，流体的加速度是与外力、黏性力和重力共同作用而产生的。
动量守恒方程的应用十分广泛。
在飞行器设计中，我们可以利用动量守恒方程来研究气动力的产生和改变。
在水力学中，动量守恒方程可以用来分析水流的运动、喷流和冲击等。
三、能量守恒方程：能量守恒方程描述了流体运动中能量守恒的原理。
它的数学表达式为：∂(ρE)/∂t + ∇·(ρEv) = -∇·(pv) + ∇·(κ∇T) + ρg·v +q其中，E是单位质量流体的比总能量（包括内能、动能和位能），T是流体的温度，κ是流体的热传导系数，q是单位质量流体的热源项。
流体力学连续性方程的证明
两边同时除以dxdydzdt后得到
( u ) ( ) ( w) 0 t x y z
u v w d 0 dt x y z
0 对于不可压缩流体， dt d
于是，上式变为：
u v w 0 x y z
如图沿流道任取两个过流断面1为流入断面2为流出断面根据质量守恒定理则断面1上流入的流体质量应等于断面2上流出的流体质量即是
连续性方程的证明
如图所示，在流场中任取一点M，其在直角 坐标系中的位置为（x,y,z)，以M点为中心取 一微元六面体，六面体的边长dx,dy,dz分别 平行于坐标轴。 在x轴方向，dt时间内，通过表面EFGH 流入的质量是：
同理，在y方向和z方向上，时间内通过表面净流入的质量分别 为：
( ) dxdydzdt y
( w) dxdydzdt z
则在dt内通过该微元六面体的净流入的质 量为：
( u ) ( ) ( w) x y z dxdydzdt
该六面微元体原来的总质量为
dxdydz
dt dxdydz t
经过时间dt后，平均密度变为
dt时间内，六面体因密度变 化引起的总质量变化为
dxdydzdt t
根据质量守恒定理有：
( u ) ( ) ( w) x y z dxdydzdt t dxdydzdt
dx dx dydzdt x 2 x 2
由表面ABCD流出的质量是
dx dx 来自 dydzdt x 2 x 2
.
在dt时间内沿X轴方向净流入的质量为：
流体力学 质量守恒方程(连续性方程)
三、总流的连续性方程
恒定、均匀、不可压缩流体
方程的推导依据是： 质量守恒及恒定流的特性。
1、方程：
连续性方程 是不涉及任 何作用力的
方程。
取控制体，考虑到条件 1）在恒定流条件下，流管的形状与位置不随时间改变； 2）不可能有流体经流管侧面流进或流出； 3）流体是连续介质，元流内部不存在空隙； 4）忽略质量转换成能量的可能。 根据质量守恒原理
所涉及的两种概念： （1）系统；（2）控制体。
一、系统、控制体 1、系统 ——由确定的流体质点组成的流体团。
即一团确定的流体质点的集合。 系统边界
——把系统和外界分开的真实或假想的界面。
（1）系统边界的特点： 1> 系统的体积边界面形状、大小随时间改变； 2> 边界上受外力作用； 3> 在系统边界面上无质量交换； 4> 边界上可以有能量交换。
（1）有固定边界域的总流连续方程式
物理意义：流入控制体内的净质量流量与控制体内由于 密度变化在单位时间里所增加的质量相等。 适用范围：恒定流、非恒定流、可压缩、不可压缩流体、 理想流体、实际流体。
（2）恒定流的总流连续性方程
对于恒定流，有 ，则上式为 适用范围：固定边界内所有恒定流，包括可压缩或不可 压缩流体、理想流体、实际流体。
t x y z
（2）恒定不可压缩流体运动微分方程：
u x u y u z 0
x
y
z
2、简单分析：
M y
u y dxdzdt (u y
u y
y
dy)dxdzdt
u y
流体的连续性方程
流体的连续性方程流体力学是关于流体力学与流动的规律和性质的科学。
在流体的运动过程中，流体的密度和速度都会发生变化。
为了描述这种变化，我们引入了连续性方程，它是流体力学中的重要基本方程之一。
连续性方程是描述流体质量守恒的方程。
它基于以下几个假设：假设流体是连续均匀的，假设流体是非可压缩的，假设流体在稳态流动过程中质量不会减少或增加。
基于这些假设，我们可以得到流体的连续性方程。
在流体力学中，流体的连续性方程可以表示为以下形式：∇·ρv+A=0其中，ρ是流体的密度，v是流体的速度矢量，∇·是散度运算符，A 是质量流量。
连续性方程的物理意义是流体的质量在单位时间内的净流入或流出量等于单位时间内质量积累的速率。
在实际应用中，根据具体问题的不同，连续性方程可以具体表达为不同的形式。
下面将介绍几个常见的连续性方程的应用。
1. 理想流体的连续性方程理想流体是指当流体受到外力作用时不发生黏性耗散的流体。
在理想流体中，连续性方程可以写作以下形式：∇·v=0这个方程表示了在理想流体中，速度矢量场的散度为零，即流体流入和流出的速率相等，流体的质量不会减少或增加。
2. 不可压缩流体的连续性方程不可压缩流体是指密度在流动过程中可以忽略变化的流体。
在不可压缩流体中，连续性方程可以写作以下形式：∇·v=0这个方程表示了在不可压缩流体中，速度矢量场的散度为零，即流体流入和流出的速率相等，流体的质量不会减少或增加。
不过需要注意的是，不可压缩流体的连续性方程只能描述速度场的分布，而不能描述流体密度的变化。
3. 积分形式的连续性方程连续性方程还可以表示为积分形式。
在空间中的一个任意闭合曲面S上，流体质量的净流出量等于质量积累的速率，即可以表示为以下积分形式：∮S ρv·n dS = -d/dt ∭V ρ dV其中，S是曲面的边界，n是法向量，V是曲面所包围的体积，∮和∭分别表示曲面和体积的积分。
流体力学3-3连续性方程
dxdydz
M x
同理可得：
( ux ) x ( u y ) y ( uz ) z
dxdydz dxdydz dxdydz
M y M z
质量守恒定律：单位时间内流出与流入六面体的流体质量差之总
和应 等于六面体内因密度变化而减少的质量
M x M y M z [
t
( ux ) x
( u y ) y
( uz ) z
]dxdydz dxdydz
t
流体的连续性微分方程的一般形式：
( u x ) x
( u y ) y
( u z ) z
0
物理意义：作为水力学三大方程之一，体现了运动与空 间的关系 适用范围：理想流体或实际流体；恒定流或非恒定流； 可压缩流体或不可压 缩流体。
第三节 连续性方程
一、连续性微分方程
在流场内取一微元六面体如图，边长为dx,dy,dz，中心点O’流速为 （ ux,uy,uz ） D' z C' 以x轴方向为例： 左表面流速 右表面流速
ux
1 u x 2 x
1 u x 2 x
u x dx x 2
A' M A o
dz o’ uy D dx
uz ux
B'
ux
N C
u x dx x 2
uM Байду номын сангаас x
dx
uN ux
dx
y
dy B
x
∴ 单位时间内x方向流出流进的质量流量差：
( ux ) x
( ux ) 1 ( ux ) M x M 右 M 左 [ u x 1 dx ] dydz [ u x 2 x 2 x dx]dydz
简单介绍流体的连续性方程
简单介绍流体的连续性方程
流体的连续性方程是流体力学中的一种基本方程，也可称为流体
守恒方程，它可以用来描述流体运行时的总量不变。
这个方程是由著
名斯特古特定律推导出来，其本质是描述流体受速度、密度等性质变
化所受到的作用和守恒相关的质量，可以表示成称为流体的压力的
函数。
该方程式的积分可以用来确定流体的特殊性质，如流量、温度、密度等。
将连续性方程作为子方程与动量方程以及能量守恒方程配合，可以构成流体力学的完整的解析解。
流体的连续性方程的研究始于十九世纪，在当时是用来解释热液
体流动规律，主要是推出了牛顿流体力学。
牛顿流体力学发展成为具
有机构形式的流体力学学科，其子物理概念包括特殊状态、 sound speed 、 entropy 、 viscosity 、 thermal expansion 。
19世纪末，在维护物理准则范畴内，费米、洛伦兹等人提出了另一种基本概念，
即物质守恒定律，提出了流体的连续性方程来描述流体的守恒。
20世纪，斯托克的定律得到普遍的认可，这为研究流体的流动建立了
基本的模型，流体的连续性方程及其拓展就成为了流体力学的重要组
成部分。
在传热、流体的传质等工程实践中，这一守恒方程经常利用
积分性质求解流体的流动特性，其直接影响着数值模拟和计算机模拟
及工程设计。
总之，流体的连续性方程是流体力学守恒方程，用来描述流体质
量变化，它以斯特古特定律为基础，守恒关系的积分可以用来求解流
体的流动特性。
这是利用工程数学方法模拟流体运动的重要依据，也
是流体力学重要的技术要素。
流体力学三大方程公式及符号含义
流体力学是研究流体运动和力学的学科，涉及流体的运动规律、压力、密度等物理性质。
在流体力学的研究中，三大方程公式是非常重要的理论基础，它们分别是连续方程、动量方程和能量方程。
本文将对这三大方程公式及其符号含义进行详细介绍。
一、连续方程连续方程是描述流体连续性的重要方程，它表达了流体在运动过程中质点的连续性。
连续方程的数学表达式为：\[ \frac{\partial \rho}{\partial t} + \nabla \cdot (\rho \mathbf{v}) = 0 \]其中，符号和含义说明如下：1.1 ∂ρ/∂t：表示密度随时间的变化率，ρ为流体密度。
1.2 ∇·(ρv)：表示流体质量流动率的散度，∇为Nabla算子，ρv为流体的质量流速矢量。
这一方程表明了在运动的流体中，质量是守恒的，即单位体积内的质量永远不会减少，这也是连续方程的基本原理。
二、动量方程动量方程描述了流体运动过程中动量的变化和传递，是流体力学中的核心方程之一。
其数学表达式为：\[ \frac{\partial (\rho \mathbf{v})}{\partial t} + \nabla \cdot (\rho \mathbf{v} \mathbf{v}) = -\nabla p + \nabla \cdot \mathbf{\tau} + \mathbf{f} \]其中，符号和含义说明如下：2.1 ∂(ρv)/∂t：表示动量随时间的变化率。
2.2 ∇·(ρv⃗v)：表示动量流动率的散度。
2.3 -∇p⃗：表示流体受到的压力梯度力。
2.4 ∇·τ⃗：表示应力张量的散度，τ为流体的粘性应力张量。
2.5 f⃗：表示单位体积内流体受到的外力。
动量方程描述了流体内部和外部力之间的平衡关系，它是研究流体运动规律和动力学行为的重要方程。
三、能量方程能量方程描述了流体在运动过程中的能量变化规律，包括内能、压力能和动能等能量形式。
流体力学(连续性方程)
流体力学——微分形式的基本方程内容主要内容微分形式的连续性方程和动量方程；作用在流体微元上的体积力和表面力；重力场、应力场、压强场；边界条件和初始条件等微分形式的流体力学基本方程描述空间点邻域内的物理量关系，求解这些方程可得到物理量在空间分布的细节，上一章讨论了运动参数的空间分布，这一章将把力的分布形式加入基本方程。
本章内容内容¾微分形式的连续性方程¾作用在流体元上的力¾微分形式的动量方程¾纳维-斯托克斯（N-S）方程¾边界条件与初始条件¾压强场流体运动的连续性17世纪初，英国年轻科学家哈维（W.Harvey）运用伽利略倡导的定量研究原则，测量出人的心脏每小时泵出约540磅（245Kg）的血，相当于人体重的两倍多，这么多血来自何方流向何方呢？哈维通过实验和逻辑思维否定了统治人类1400多年的陈旧观念，大胆提出从动脉到静脉的血液循环理论，虽然当时还不知道毛细血管的存在。
直至45年后从发明的显微镜里首次观察到毛细血管，证实了哈维的理论。
血液循环理论是流体连续性原理的胜利，在科学史上有里程碑的意义。
(图B3.1.1)微分形式的连续性方程如图B3.1.1所示，设流体流过以M(x,y,z)为基点，以dx,dy,dz为边长的控制体元。
在δt时间内沿x方向净流出控制体（流出质量减去流入质量）的质量为取极限后可得利用质点导数概念，可改写为方程适用于：任在直角坐标系中为可压缩流体定常运动因，由（B3.1.6在直角坐标系中为表面力表面力为流场中假想面一侧的流体（或固体）对另一侧流体的接触力，如压强、粘性切应力等作用在流体面积元上的表面力（）除了与空间位置、时间有关外，还与面积元的方位有关。
作用在过M (x,y,z )点，外法线单位矢为n 的面积元上的单位面积表面力（图B3.2.2）为：A t z y x A δδδs n F p 0lim ),,,(→=(B3.2.5)称为表面应力，脚标n 代表面积元的方位sF δA δn p设简称为重力势，是单位质量流体元具有的重力势能向应力，静止流体中的表面应力始终与作用面垂直。
流体力学chap.3连续性方程
t时刻与控制 体位置重合的 流体为系统
B
∫∫∫ ηρ dV
V
ρ → 密度，η → 单位质量流体所含的物理量
2
控制体内物理量 随时间的变化
单位时间内通过控制 面流出与流入控制体 的物理量差值
DN ∂ = ∫∫∫ ηρ dV + ∫∫ ηρ u ⋅ dS Dt ∂t V S
时变项 对流项
(2-31)
∂ 恒定流： ∫∫∫ ηρ dV = 0 ∂t V
物理量N： 质量 m 动量 K
DN = ∫∫ ηρ u ⋅ dS Dt S
= mu
动能
1 mu 2 2
内能E
单位质量物理量
η ： η =1
η =u
{u x , u y , u z }
(2-32) 1 2 η = u η =e 2 e=E/m
如果流体是不可压缩 (3-2)
Dρ =0 Dt
奥高公式
∂ρ ∫∫∫ ∂t dV + ∫∫∫ (∇ ⋅ ρ u)dV = 0 V V ∂ρ + ∇ ⋅ ( ρ u )]dV = 0 ∂t
∫∫∫ [
V
积分域的任意性
∂u x ∂u y ∂u z div(u ) = ∇ • u = + + =0 ∂x ∂y ∂z
x
5
2 水动力学几种常用形式的连续性方程 （1）铅直平面二维流动的连续性方程为：
∂u x ∂u y + =0 ∂x ∂y
ds 1 s
A2 A A+dA
s
（3－4）
A1
2 （2）水平面二维流动的连续性方程
∂h ∂hU x ∂hU y + + =0 ∂t ∂x ∂y
流体的连续性方程
流体的连续性方程流体的连续性方程是流体力学中的一个基本方程，描述了流体连续性的物理现象。
它是根据质量守恒定律推导出来的，可以用来描述流体在流动过程中质量的守恒情况。
本文将从流体连续性方程的概念、推导及应用等方面进行论述。
一、流体连续性方程的概念流体连续性方程是指在流体运动中，流体质量的守恒性原理。
简单来说，流体连续性方程可以描述流体在运动过程中的物质流动情况。
它表述了在恒定密度的流体中，沿着流体流动方向，流体的质量流量保持不变的原理。
二、流体连续性方程的推导在流体运动中，我们可以通过设想一根无限细的管道穿过流体，并通过观察流经这个管道的流体来推导流体连续性方程。
假设这根管道的截面积为A，流体的流速为v，流体的密度为ρ。
根据质量守恒定律，流体的质量在单位时间内不发生变化，即：ρAv = 常数当流体通过管道某一截面时，流量（Q）为该截面上流体的质量除以密度，即：Q = Av根据这个等式，我们可以得到流体连续性方程的数学表达形式。
三、流体连续性方程的应用流体连续性方程在流体力学中有着广泛的应用。
以下是其中几个常见的应用场景：1. 流量计算通过流体连续性方程，我们可以计算出不同截面上的流体流速和流量。
这对于不同工程领域，如水利工程、石油工程等，在流体流动的过程中，准确计算流量具有重要意义。
2. 管道流动分析在管道流动分析中，可以利用流体连续性方程来解析流体在管道中的流动规律，例如管道中的压力变化、速度分布等。
这对于设计和优化管道系统具有重要作用。
3. 气象学预测在气象学中，流体连续性方程可以被用来预测气象因素的变化情况，如气压、风速等。
通过分析气象因素的变化，可以更准确地进行气象预测，提高预报准确率。
四、总结流体的连续性方程是流体力学中的一个基本方程，用以描述流体在运动过程中质量的守恒性。
它是根据质量守恒定律推导出来的，可以用于描述流体在流动过程中的质量流动情况。
流体连续性方程的应用十分广泛，在工程学、物理学等多个领域中都有重要作用。
流体运动的连续性方程
在流场中取微小直角六面体空间为控制体，正交
三个边dx，dy，dz分别平行于x，y，z轴，如图所示。
首先计算dt时间x方向流出和流入控制体的质量差，
即x方向净流出质量为：
M x
(ux
(ux )
x
dx)dydzdt
uxdydzdt
(ux ) dxdydzdt
同理，y、x z方向的净流出质量如下：
x
M
y
少的质量，即
(ux
x
)
(uy
y
)
(uz
z
)
dxdydzdt
(ux ) (uy ) (uz ) 0
t
dxdydzdt （4-17）
t x
y
z
流体运动的连续性方程
1.1 连续性微分方程
式（4-17）即为可压缩流体非恒定流的连续性微分方程，它表 达了任何可实现的流体运动所必须满足的连续性条件。其物理意 义是：流体在单位时间流经单位体积空间时，流出与流进的质量 差与其内部质量变化的代数和为零，即流体质量守恒。
流体运动的连续性方程
1.1 连续性微分方程
对于均匀不可压缩流体，ρ为常数，则
ux uy uz 0 x y z
（4-18）
式（4-18）即为不可压缩流体的连续性微分方程。该式说明：
对于均匀不可压缩流体来说，单位时间流出与流进单位体积空间的
流体体积之差等于零，即流体体积守恒。
上述形式的连续性微分方程是1755年欧拉首先建立的，是质量
1A1 2 A2
1 A2 2 A1
（4-20）
该式表明，在不可压缩流体的恒定流动中，总流沿程通
过各过流断面的体积流量都相等，因而总流过任意两流断
流体力学的连续性方程
流体力学的连续性方程流体力学是研究流体在运动过程中的力学性质的学科。
其中，连续性方程是流体力学中的重要基本方程之一，描述了流体质点在运动过程中的连续性特征。
本文将介绍流体力学的连续性方程，并探讨其在流体力学研究中的应用。
一、连续性方程的基本原理连续性方程是基于流体质点的质量守恒定律推导而来的。
它描述了在稳态条件下，流体在运动中的连续性特征。
连续性方程的基本原理可以通过以下推导得到：考虑一个质量元dV，在任意时刻t处于速度场中，流体通过其两个相对面的质量流量之差与时间t的导数成正比，即：∂(ρdV)/∂t = -(∂(ρu)dA)/∂x其中，ρ是流体的密度，dA是质量元dV的表面积，u是流体的速度。
由于流体的质量守恒定律，可以得到∂(ρdV)/∂t = -∂(ρu)dA/∂x将上式中dA展开，得到：∂(ρdV)/∂t = -∂(ρux)dA/∂x - (ρudy)dA/∂y - (ρudz)dA/∂z根据偏导数的定义，上式可以变形为：∂(ρdV)/∂t = -(∂(ρux)dV)/∂x - (∂(ρuy)dV)/∂y - (∂(ρuz)dV)/∂z再次对上式进行变形，得到：∂ρ/∂t + (∂(ρu)/∂x)dV/∂x + (∂(ρv)/∂y)dV/∂y + (∂(ρw)/∂z)dV/∂z = 0由于密度ρ是一个常量，上式可以继续简化为：∂ρ/∂t + u(∂ρ/∂x) + v(∂ρ/∂y) + w(∂ρ/∂z) = 0这就是流体力学中的连续性方程。
二、连续性方程的应用连续性方程在流体力学中有着广泛的应用。
下面我们将介绍其中的几个重要应用。
1. 流体的运动学特性连续性方程可以描述流体质点在运动中的连续性特征。
通过解连续性方程，可以获得流体的速度场分布，进而推导出流体的压力、密度等物理量的变化规律。
2. 流量计算连续性方程可以用于计算流体通过管道、沟渠等通道的流量。
通过将连续性方程应用到通道的不同截面上，可以获得截面处流速与流量之间的关系，从而实现流量的计算与预测。
流体力学 第四章 微分方程
dt时间内整个六面体流出与流进的流体质量之差： （u ) （v) （w) x y z dxdydzdt
2、六面体内流体质量的变化
在开始时，流体密度为，dt时间后流体密度变为＋ dt。 t 由于在dt时间内从六面体多流出到外部一定的流体质量，所 以内部质量要减少，这样在dt时间内六面体内流体密度变化 引起的质量减少为： dxdydz ( dt )dxdydz dxdydzdt t t
根据动量守恒 F t ( V ) x ( uV ) y ( vV ) z ( wV ) dxdydz u v w V V V V V V V V u v w dxdydz t x y z x y z t u v w V V V V V dxdydz t u x v y w z dxdydz x y z t dV dxdydz dt
对X方向，有 du u u u u u v w dt t x y z u u v w u u v w (u v w )v w v w t x x x y z x x u u 2 v 2 w2 u w v u ( ) w( ) v( ) t x 2 z x x y u V2 ( ) 2 w y 2v z t x 2
1 p du u u u u u v w x dt t x y z 1 p dv v v v v Y u v w y dt t x y z 1 p dw w w w w Z u v w z dt t x y z X
dx dy dz （ 1) u v w （2) x y z 0 （3) u v w 0 （4) （5) dx dy dz
流体力学基本方程
流体力学基本方程流体力学是研究流体力学基本方程和流体运动的科学。
流体力学方程包括连续性方程、动量方程和能量方程。
下面将详细介绍流体力学基本方程及其应用。
一、连续性方程连续性方程描述了在任何给定的瞬间，流体质点的质量是守恒的。
它可写成以下形式：∂ρ/∂t + ∇·(ρv) = 0其中，ρ代表流体的密度，t代表时间，v代表速度矢量，∇代表向量的梯度运算符。
连续性方程的应用主要体现在流体质点的质量守恒和质点间的相互作用中。
在实际应用中，我们可以通过连续性方程来确定流体的流速分布、流体的流量以及管道的流场特性等重要参数。
二、动量方程动量方程描述了流体运动过程中动量的守恒。
它可写成以下形式：ρ(∂v/∂t + v·∇v) = -∇p + ∇·τ + ρg其中，p代表压力，τ代表应力张量，g代表重力加速度。
动量方程的应用主要涉及到流体的力学特性，即流体的加速度、流速变化以及流体受外力作用下的运动行为。
通过动量方程，我们可以计算流体的速度分布、流体的力与压力的关系以及物体受到流体作用力的情况。
三、能量方程能量方程描述了流体运动过程中能量的守恒。
它可写成以下形式：ρ(∂e/∂t + v·∇e) = -p∇·v + ∇·(k∇T) + ρQ其中，e代表单位质量流体的内能，k代表流体的导热系数，T代表温度，Q代表单位时间单位体积的热源。
能量方程的应用主要与流体的能量转化和传输有关。
通过能量方程，我们可以计算流体的温度分布、热传导现象以及流体在受热源作用下的温度变化等。
综上所述，流体力学基本方程包括连续性方程、动量方程和能量方程。
这些方程是研究流体运动和流体行为的重要基础。
通过对这些方程的研究和应用，我们可以深入了解流体力学的原理和现象，并在工程和科学领域中应用于流体的设计、分析和优化等工作中。
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流体力学——微分形式的基本方程
内容主要内容
微分形式的连续性方程和动量方程；作用在流体微元上的体积力和表面力；重力场、应力场、压强场；边界条件和初始条件等
微分形式的流体力学基本方程描述空间点邻域内的物理量
关系，求解这些方程可得到物理量在空间分布的细节，上一章讨论了运动参数的空间分布，这一章将把力的分布形式加入基本方程。
本章内容
内容
¾微分形式的连续性方程
¾作用在流体元上的力
¾微分形式的动量方程
¾纳维-斯托克斯（N-S）方程¾边界条件与初始条件
¾压强场
流体运动的连续性
17世纪初，英国年轻科学家哈维（W.Harvey）运用伽利略倡导的定量研究原则，测量出人的心脏每小时泵出约540磅（245Kg）的血，相当于人体重的两倍多，这么多血来自何方流向何方呢？
哈维通过实验和逻辑思维否定了统治人类1400多年的陈旧观念，大胆提出从动脉到静脉的血液循环理论，虽然当时还不知道毛细血管的存在。
直至45年后从发明的显微镜里首次观察到毛细血管，证实了哈维的理论。
血液循环理论是流体连续性原理的胜利，在科学史上有里程碑的意义。
(图B3.1.1)
微分形式的连续性方程
如图B3.1.1所示，
设流体流过以M(x,y,z)
为基点，以dx,dy,dz为
边长的控制体元。
在δt时间内沿x方向净流出控制体（流出质量减去流入质量）的质量为
取极限后可得
利用质点导数概念，可改写为
方程适用于：任
在直角坐标系中为
可压缩流体定常运动
因，由（B3.1.6在直角坐标系中为
表面力
表面力为流场中假想面一侧的流体（或固体）对另一侧流体的接触力，如压强、粘性切应力等
作用在流体面积元上的表面力（）除了与空间位置、时间有关
外，还与面积元的方位有关。
作用在过M (x,y,z )点，外法线单位矢
为n 的面积元上的单位面积表面力
（图B3.2.2）为：
A t z y x A δδδs n F p 0lim ),,,(→=(B3.2.5)
称为表面应力，脚标n 代表面积元的方位
s
F δA δn p
设
简称为重力势，是单位质量流体元具有的重力势能
向应力，静止流体中的表面应
力始终与作用面垂直。
在静止流体中一点的法向应力
称p为静压强，就是热力学中的平衡压强，负号表示流体只受压
运动的无粘性流体中也没有切向应力，应力状态与静
（向）
= = =
把压强从法向应力中分离出来式中
（图B3.2.6）
应力矩阵可写成：
(B3.2.22) 上式右边第一项称为静压强项，第二项称为“偏应力”项，由流体运动产生（静止时为零）
上式又称为流体运动微分方程。
它表明：
单位体积流体元上的体积力及三个方向的表面应力梯度造成了单位体积流体元的加速度。
(B3.4.1)
矢量式为
N-S 方程
(B3.4.2)和(B3.4.3)式称为不可压缩牛顿流体的纳维-斯托克斯方程，若不特别说明习惯上简称为N-S方程
N-S方程是牛顿第二定律应用于流体运动中的特殊形式
N-S方程是牛顿第二定律应用于牛顿粘性流体流动中的表
达式。
由N-S方程可看到，引起单位体积流体元加速度的
作用力是：体积力＋压强梯度＋粘性应力散度。
压强和粘性应力是表面力，当它们作用在流体元某一方向上处于平衡状态时不引起该方向的加速度。
只有存在梯度（粘性应力在各个方向上的作用合力是粘性应力的散度）时才引起加速。
N-S方程是本课程中占主导地位的控制方程，在不同条件下对不同流体模型可化为不同形式
N-S方程加上连续性方程构成封闭的方程组，可在适当的边界条件和初始条件下求解
(图B3.5.2)
初始条件
对定常流无初始条件
对非定常流应知道初始时刻（t=0）的速度和压强分布
压强场
压强在流体运动、流体与固体相互作用中扮演重要角色，如机翼升力、高尔夫球及汽车的尾流阻力都与压强有关，龙卷风产生强大的负压强作用，液压泵和压缩机推动流体做功是正压强作用的结果
从(B3.4.5)式中可见
在静止流体、相对静止流体及粘性运动流体中的压强分布规律将明显不同
(B3.6.5)式称为匀质静止液体中的压强公式，它表明
在垂直方向，压强与淹深成线性关系；
在水平方向（h =常数），压强为常数，水平面是等压强面简称等压面
（静止液体中的压强分布）（动画1）
相对静止流体中的压强分布将在C1.4节中讨论。
[例B04]静压强分布图。