流体力学(连续性方程)

流体力学——微分形式的基本方程

内容主要内容

微分形式的连续性方程和动量方程；作用在流体微元上的体积力和表面力；重力场、应力场、压强场；边界条件和初始条件等

微分形式的流体力学基本方程描述空间点邻域内的物理量

关系，求解这些方程可得到物理量在空间分布的细节，上一章讨论了运动参数的空间分布，这一章将把力的分布形式加入基本方程。

本章内容

内容

¾微分形式的连续性方程

¾作用在流体元上的力

¾微分形式的动量方程

¾纳维-斯托克斯（N-S）方程¾边界条件与初始条件

¾压强场

流体运动的连续性

17世纪初，英国年轻科学家哈维（W.Harvey）运用伽利略倡导的定量研究原则，测量出人的心脏每小时泵出约540磅（245Kg）的血，相当于人体重的两倍多，这么多血来自何方流向何方呢？

哈维通过实验和逻辑思维否定了统治人类1400多年的陈旧观念，大胆提出从动脉到静脉的血液循环理论，虽然当时还不知道毛细血管的存在。

直至45年后从发明的显微镜里首次观察到毛细血管，证实了哈维的理论。血液循环理论是流体连续性原理的胜利，在科学史上有里程碑的意义。(图B3.1.1)

微分形式的连续性方程

如图B3.1.1所示，

设流体流过以M(x,y,z)

为基点，以dx,dy,dz为

边长的控制体元。

在δt时间内沿x方向净流出控制体（流出质量减去流入质量）的质量为

取极限后可得

利用质点导数概念，可改写为

方程适用于：任

在直角坐标系中为

可压缩流体定常运动

因，由（B3.1.6在直角坐标系中为

表面力

表面力为流场中假想面一侧的流体（或固体）对另一侧流体的接触力，如压强、粘性切应力等

作用在流体面积元上的表面力（）除了与空间位置、时间有关

外，还与面积元的方位有关。

作用在过M (x,y,z )点，外法线单位矢

为n 的面积元上的单位面积表面力

（图B3.2.2）为：

A t z y x A δδδs n F p 0lim ),,,(→=(B3.2.5)

称为表面应力，脚标n 代表面积元的方位

s

F δA δn p

设

简称为重力势，是单位质量流体元具有的重力势能

向应力，静止流体中的表面应

力始终与作用面垂直。

在静止流体中一点的法向应力

称p为静压强，就是热力学中的平衡压强，负号表示流体只受压

运动的无粘性流体中也没有切向应力，应力状态与静

（向）

= = =

把压强从法向应力中分离出来式中

（图B3.2.6）

应力矩阵可写成：

(B3.2.22) 上式右边第一项称为静压强项，第二项称为“偏应力”项，由流体运动产生（静止时为零）

上式又称为流体运动微分方程。

它表明：

单位体积流体元上的体积力及三个方向的表面应力梯度造成了单位体积流体元的加速度。

(B3.4.1)

矢量式为

N-S 方程

(B3.4.2)和(B3.4.3)式称为不可压缩牛顿流体的纳维-斯托克斯方程，若不特别说明习惯上简称为N-S方程

N-S方程是牛顿第二定律应用于流体运动中的特殊形式

N-S方程是牛顿第二定律应用于牛顿粘性流体流动中的表

达式。由N-S方程可看到，引起单位体积流体元加速度的

作用力是：体积力＋压强梯度＋粘性应力散度。压强和粘性应力是表面力，当它们作用在流体元某一方向上处于平衡状态时不引起该方向的加速度。只有存在梯度（粘性应力在各个方向上的作用合力是粘性应力的散度）时才引起加速。

N-S方程是本课程中占主导地位的控制方程，在不同条件下对不同流体模型可化为不同形式

N-S方程加上连续性方程构成封闭的方程组，可在适当的边界条件和初始条件下求解

(图B3.5.2)

初始条件

对定常流无初始条件

对非定常流应知道初始时刻（t=0）的速度和压强分布

压强场

压强在流体运动、流体与固体相互作用中扮演重要角色，如机翼升力、高尔夫球及汽车的尾流阻力都与压强有关，龙卷风产生强大的负压强作用，液压泵和压缩机推动流体做功是正压强作用的结果

从(B3.4.5)式中可见

在静止流体、相对静止流体及粘性运动流体中的压强分布规律将明显不同

(B3.6.5)式称为匀质静止液体中的压强公式，它表明

在垂直方向，压强与淹深成线性关系；

在水平方向（h =常数），压强为常数，水平面是等压强面简称等压面

（静止液体中的压强分布）（动画1）

相对静止流体中的压强分布将在C1.4节中讨论。

[例B04]静压强分布图