定积分换元法与分部积分法习题
【2019年整理】定积分的换元法与分部积分法99169
四、设 f ( x)在 a , b 上连续，
证明
b
f ( x)dx
b f (a b x)dx.
a
a
五、证明：
1 x m (1 x)n dx 1 x n (1 x)m dx .
0
0`
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六、证明：
a f ( x)dx
a
[ f (x)
f ( x)]dx,
a
0
并求
0
0
（2）设 x t dx dt,
x 0 t ,
x t 0,
0
0 xf (sin x)dx ( t) f [sin( t)]dt
0 ( t) f (sin t)dt,
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0 xf (sin x)dx 0 f (sin t)dt 0 tf (sin t)dt
解 令 u arcsin x, dv dx,
则 du dx , v x, 1 x2
1
2 arcsin xdx
0
x
arcsin
1
x2 0
1 2
0
1
1
1 2
2 6 20
1 d(1 x2 ) 1 x2
xdx 1 x2
12
1
1 x2
2
0
3 1.
12 2
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3
x
3
)dx
___________________；
2、 (1 sin3 )d ________________； 0
3、 2 2 x 2 dx _____________； 0
4、
1 (arcsin x)2
2
1
2
1 x2
定积分换元法与分部积分法习题
1．计算下列定积分： ⑴3sin()3x dx πππ+⎰；【解法一】应用牛顿-莱布尼兹公式3sin()3x dx πππ+⎰3sin()()33x d x ππππ=++⎰3cos()3x πππ=-+[cos()cos()]333ππππ=-+-+[cos (cos )]033ππ=----=。
【解法二】应用定积分换元法令3x u π+=，则dx du =，当x 从3π单调变化到π时，u 从23π单调变化到43π，于是有3sin()3x dx πππ+⎰4323sin udu ππ=⎰4323cos uππ=-42[coscos ]33ππ=-- [cos(cos )]033ππ=----=。
⑵132(115)dxx -+⎰；【解法一】应用牛顿-莱布尼兹公式132(115)dx x -+⎰1321(115)(115)5x d x --=++⎰21211(115)52x --=⋅+-22111[]10(1151)(1152)=--+⨯-⨯211(1)1016=--51512=。
【解法二】应用定积分换元法令115x u +=，则15dx du =，当x 从2-单调变化到1时，u 从1单调变化到16，于是有132(115)dxx -+⎰163115u du -=⎰21611152u -=⋅-211(1)1016=--51512=。
⑶32sin cos d πϕϕϕ⎰；【解法一】应用牛顿-莱布尼兹公式320sin cos d πϕϕϕ⎰32cos cos d πϕϕ=-⎰4201cos 4πϕ=-441[cos cos 0]42π=--1[01]4=--14=。
【解法二】应用定积分换元法令cos u ϕ=，则sin d du ϕϕ-=，当ϕ从0单调变化到2π时，u 从1单调变化到0，于是有320sin cos d πϕϕϕ⎰031u du =-⎰130u du =⎰4114u =14=。
⑷30(1sin )d πθθ-⎰；【解】被积式为3(1sin )d θθ-，不属于三角函数的基本可积形式，须进行变换。
第三节定积分换元法和分部积分法 (2)共72页
2sin n1xd (coxs) 0
sn i 1 x n cx o 2 s 2 (n 1 )sn i 2 x n c2 o x d xs 00
及 f(( t)) ( t) d t F (() ) F (())
F (b)F (a) 从而(1)式成立.
例2. 求a a2x2dx 0
x a
解: 令 x = asint.
当 0xa时 , 0t2 0
x = asint
t
2
且 x 0 t 0 ,
xa t2,
a 2 x 2 a1 s2 it n a ctos
T
T
0 f(x)d xa f(x)d x
故等式成立.
例6. 设 f(x) C (0 [,1 ])则 ,
2f(sxi)d nx2f(cxo )dxs
0
0
证: 作变x换 2t,则
2f(sx i)d nx0f(cto ) (sdt)
2
f (coxs)dx
0
2
0
特别地有
2sin nxdx2conxsdx
证明: (1)式右、左均代表一个数, 我们验证这两个 数相等.
由i)知f (x)在[a, b]上有原函数.设为F(x), 又由
复合函数求导法则.和 ii) 知F((t))是 f ((t))'(t)在 [, ]上的一个原函数.
由Newton-Leibniz公式有
b
af(x)dxF(b)F(a)
一、换元法
例1. 求 2 xex2dx 0
解: Newton-Leibniz公式, 若F' (x) = f (x), 则
a bf(x )d x F (b ) F (a ) F (x )b a
定积分计算例题
定积分是微积分的一个重要概念，它是对函数在一个区间上的积累结果的度量。
定积分的计算方法主要有直接法、换元法和分部积分法等。
下面通过几个例题来详细介绍定积分的计算方法。
例1：计算定积分∫(0,2) x^2 dx。
解：根据定积分的定义，我们可以将这个定积分表示为一个求和的形式：∫(0,2) x^2 dx = 1/3 * (x^3) | (0,2) = 8/3所以，定积分∫(0,2) x^2 dx的值为8/3。
例2：计算定积分∫(0,π/2) sin(x) dx。
解：这是一个典型的利用换元法求解的定积分问题。
我们可以令u = sin(x)，则du = cos(x) dx。
因此，原定积分可以转化为：∫(0,π/2) sin(x) dx = ∫(0,π/2) u du = u | (0,π/2) = sin(π/2) - sin(0) = 1所以，定积分∫(0,π/2) sin(x) dx的值为1。
例3：计算定积分∫(0,1) (e^x - x^2) dx。
解：这是一个典型的利用分部积分法求解的定积分问题。
我们可以令u = e^x，则du = e^x dx；v = x^2，则dv = 2x dx。
因此，原定积分可以转化为：∫(0,1) (e^x - x^2) dx = ∫(0,1) u dv -∫(0,1) v du = u*v | (0,1) - [uv] | (0,1) = e^1 - 1 - [e^x*x^2] | (0,1) = e^1 - 1 - (e^1 - 1) = e^1 - e^1 + 1 - 1 = 0所以，定积分∫(0,1) (e^x - x^2) dx的值为0。
通过以上三个例题，我们可以看到定积分的计算方法主要包括直接法、换元法和分部积分法等。
在实际应用中，我们需要根据具体的问题选择合适的计算方法。
同时，我们还需要注意在计算过程中保持变量的一致性，避免出现符号错误。
3.6定积分的换元法与分部积分法 答案详解
3.6 定积分的换元法与分部积分法一、计算下列定积分： 1．1301d (21)x x +⎰解：原式12130011(21)112(21)(21)1222499x x d x --⎡⎤+⎛⎫=++==--=⎪⎢⎥-⎝⎭⎣⎦⎰ 2．21e ⎰解：原式2221112e e e ⎡====⎣⎰⎰3．221cos (sin )xdx x x ππ--⎰注：(sin )1cos x x x '-=-，可以考虑整体凑微分解：原式222111d(sin )(sin )sin 2x x x x x x πππππ⎡⎤=-=-=⎢⎥--⎣⎦⎰ 4．20xπ⎰注：被积函数根号里有“1cos x +”的形式，可考虑用倍角公式将根号内化为平方项开出，注意开出根号时加绝对值，然后利用积分区间的可加性去绝对值 解：原式222000cos )222x x xdx dx dx πππππ===+-⎰⎰⎰⎰2200cos cos sin sin 222222x x x x x x d d ππππππ⎤⎤=-=-=⎥⎥⎦⎦5．1-⎰注：被积函数的根号外面还出现了x ，但是将x 凑微分并不能解决问题，因而我们采用第二类换元法，将整个根号换元去跟号，注意换元必换限解：25,,d d 42t tt x x t -===- 当1,3;1,1x t x t =-===原式2331323115d 11142(5)d 58836t t t t t t t t -⎛⎫⋅- ⎪⎡⎤⎝⎭==-=-=⎢⎥⎣⎦⎰⎰ 6．ln 0x ⎰解：222,ln(1),d d 1tt x t x t t ==+=+ 当0,0;ln 2,1x t x t ====原式[]2211122000211d 2d 2arctan 21114t t t t t t t t π+-⎛⎫===-=- ⎪++⎝⎭⎰⎰ 7．1解：（法一：倒代换）令211,d d x x t t t==-当1,1;x t x t ====原式11==-=-=注：倒代换1x t=是第二类换元法的一种特例，针对取倒数后较简单的问题有奇效 （法二：三角代换）令tan x t =()22x ππ-<<sec t =，2d sec d x t t=当1;43x ,t x ππ====原式233332224444sec d cos d dsin 1tan sec sin sin sin t t t t t t t t t t ππππππππ⎡⎤====-=⎢⎥⎣⎦⎰⎰⎰8．222(2sin x dx ππ-+⎰注：注意到本题积分区间关于原点对称，可先考虑被积函数的奇偶性，用偶倍积零的性质辅助计算，虽然被积函数非奇非偶，但若将完全平方展开后4sin 部分的定积分为零，使问题简化解：原式2222(4sin 4sin 4)d x x x ππ-=+-⎰22222202(4sin 4)d 2(4sin 4)d x x x x x x πππ-=+-=+-⎰⎰22204(1cos 2)d 2(4)d x x x x ππ=-+-⎰⎰[]323200242sin 286312x x x x ππππ⎡⎤=-+-=-⎢⎥⎣⎦ 二、计算下列定积分： 1．1ln d ex x x ⎰解：原式e e e e 2222111111111ln d ln dln e d 22222x x x x x x x x ⎡⎤==-=-⎣⎦⎰⎰⎰e 22211111e e 2444x ⎡⎤=-=+⎣⎦ 注：需记住分部积分的几种常见形式和凑微分的方法，此题幂乘对数，应凑幂后分部积分2．34d 1cos 2xx xππ-⎰解：原式=[]333324444111d d cot cot cot d 2sin 222x x x x x x x x x ππππππππ=-=-+⎰⎰⎰[]3344111cot d ln sin ln8182818281822x x x πππππππ=-+=-+=-+⎰ 注：①计算积分时需熟悉各种三角恒等变换，此题中22111csc 1cos 22sin 2x x x ==-，类似的22111sec 1cos 22cos 2x x x ==+ ②此题幂乘三角，凑三角后分部 3．1ln d eex x ⎰注：①如遇被积函数含绝对值函数，或取最大max(f1,f2)、取最小min(f1,f2)等函数，首先应利用积分区间的可加性去掉绝对值或最大最小结构．此题应将积分区间分成1[,1]e和[1,]e ，在前一个区间ln x 取值为负，后一个区间取值为正②单个对数的定积分直接用分部积分计算解：原式11ln d ex x =-⎰1ln d ex x+⎰[][]111111(ln ln )(ln ln )eeeex x xd x x x xd x =--+-⎰⎰11[(1)]((1))e e e e =---+--e 22-=4．24d x π⎰注：三角函数里出现了根号，因而首先用第二类换元去掉根号，再用分部积分法计算 解：2,,d 2d t x t x t t ===当20,0;,42x t x t ππ====原式[]222202cos d 2dsin 2sin 2sin d t t t t t t t t t ππππ===-⎰⎰⎰[]202cos 2t πππ=+=-三、设(21),xf x xe += 求53()f x dx ⎰．解 （法一）令1212t x t x -+=⇒=，所以121()e 2t t f t --=，即121()e 2x x f x --=11111555555222223333331111()d (1)e d e d e d d e d2222x x x x x x f x x x x x x x x e ------=-=-=-⎰⎰⎰⎰⎰⎰ 5511115522222233331e e d e 5e 3e 2e d (e e)2x x x x x x x ----⎡⎤⎡⎤-=--=----⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎰⎰5122234e 2e 2e 2e x -⎡⎤=--=⎢⎥⎣⎦（法二）令21x t =+，则()(21)tf x f t te =+=，2dx dt =当3,1;5,2x t x t ====5222213111()222()t t t t f x dx te dt tde te e dt ⎡⎤∴=⋅==-⎣⎦⎰⎰⎰⎰22212(2)2t e e e e ⎡⎤=--=⎣⎦四、设2ln(1), 0()1, 01x x f x x x+>⎧⎪=⎨≤⎪+⎩，求20(1)f x dx -⎰．解 （法一）令11x t x t -=⇒=+，dx dt =当0,1x t ==-；2,1x t == 21121101(1)d ()d d l n (1)d1f x x f t t t t t t --∴-==+++⎰⎰⎰⎰[][]1111000arctan ln(1)d ln(1)ln 2d 41tt t t t t t tπ-=++-+=+-+⎰⎰[]11001ln 21d ln 2ln(1)2ln 214144t t t t πππ⎛⎫=+--=+--+=+- ⎪+⎝⎭⎰ （法二）2ln , 1(1)1, 11(1)x x f x x x >⎧⎪-=⎨≤⎪+-⎩21220011(1)ln 1(1)f x dx dx xdxx ∴-=++-⎰⎰⎰[]12212011(1)ln ln 1(1)d x x x xd x x =-+-+-⎰⎰ []10arctan(1)2ln 2(21)2ln 214x π=-+--=+-考研真题：12311d xe x x =⎰（）. 解：1112223211111111x x xe dx e dx e d x x x x x=⋅=-⎰⎰⎰ 令1t x=，当x =1时,t =1,当x =2时,t =1/2, 故原式=1112111112211111122222122tttt t t e te dt te dt tde tee dt e e e ⎡⎤-===-=--==⎣⎦⎰⎰⎰⎰。
定积分换元法与分部积分法习题教学文稿
定积分换元法与分部积分法习题1．计算下列定积分：⑴3sin()3x dx πππ+⎰；【解法一】应用牛顿-莱布尼兹公式3sin()3x dx πππ+⎰3sin()()33x d x ππππ=++⎰3cos()3x πππ=-+[cos()cos()]333ππππ=-+-+[cos (cos )]033ππ=----=。
【解法二】应用定积分换元法令3x u π+=，则dx du =，当x 从3π单调变化到π时，u 从23π单调变化到43π，于是有 3sin()3x dx πππ+⎰4323sin udu ππ=⎰4323cos uππ=-42[coscos ]33ππ=-- [cos(cos )]033ππ=----=。
⑵132(115)dxx -+⎰；【解法一】应用牛顿-莱布尼兹公式132(115)dx x -+⎰1321(115)(115)5x d x --=++⎰21211(115)52x --=⋅+-22111[]10(1151)(1152)=--+⨯-⨯211(1)1016=--51512=。
【解法二】应用定积分换元法令115x u +=，则15dx du =，当x 从2-单调变化到1时，u 从1单调变化到16，于是有132(115)dx x -+⎰163115u du -=⎰21611152u -=⋅-211(1)1016=--51512=。
⑶320sin cos d πϕϕϕ⎰；【解法一】应用牛顿-莱布尼兹公式320sin cos d πϕϕϕ⎰320cos cos d πϕϕ=-⎰4201cos 4πϕ=-441[cos cos 0]42π=--1[01]4=--14=。
【解法二】应用定积分换元法令cos u ϕ=，则sin d du ϕϕ-=，当ϕ从0单调变化到2π时，u 从1单调变化到0，于是有320sin cos d πϕϕϕ⎰031u du =-⎰130u du =⎰4114u =14=。
定积分换元法与分部积分法习题教学文稿
定积分换元法与分部积分法习题1 •计算下列定积分:⑴ g 3)dx；【解法一】应用牛顿-莱布尼兹公式【解法二】化到sin( x3)dx sin(x3 3[cos( 应用定积分换元法于是有dx ；2(11 5x)3；【解法一】应用牛顿u，则dx du，sin(x )dx3 3[cos3 -莱布尼兹公式1 dx2(11 5x)31 (1 1 2【解法二】应用定积分换元法令11 5x u，变化到16,于是有1 dx32(11 5x)3)d(x 3)cos(x 3)cos(—一)] [ cos3 3 3当x从3单调变化到423sinudu3(cos3)]35x) 3d(111^(11 5 11)2cosu43235x) 1(112(11 5 2)2]则dx 1du，5(cos )]。
32时，u从3单调变[cos43cos2]35x) 21( 12 1)10 16251512 当x从2单调变化到1时，u从1单调16u 1 3du 152 1611o（卡1）誥。
⑶ 0%in cos 1 2 3 d ；【解法一】应用牛顿-莱布尼兹公式1 44[cos cos 0] 4 2【解法二】应用定积分换元法单调变化到0,于是有⑷ o (1 sin 3 )d ；由于1是独立的，易于分离出去独立积分，于是问题成为对sin 3 d 的积分,这是正、余弦的奇数次幕的积分，其一般方法是应用第一换元法，先分出一次 式以便作凑微分： sin d d cos ，余下的sin 21 cos2 ，这样得到的1 -cos 31]令cos u ，sin du，单调变化到 2时，u 从12sin cos 3:u 3du0u3du(1 cos 2)d cos 便为变量代换做好了准备。
具体的变换方式有如下两种:【解法一】应用牛顿-莱布尼兹公式30 (1 sin )d1d°sin 2sin d0 o (1 cos2)d cos(cos(coscos0) 1(cos 33cos 3 0)【解法二】应用定积分换元法1)1(11)2• 3 2sin cos d2 32cosdcos1 4cos4【解】被积式为(1 sin 3)d ，不属于三角函数的基本可积形式，须进行变换。
定积分习题课
公式
f (u)du u (x)
即 f [(x)](x)dx f ((x))d(x)
(也称配元法 , 凑微分法)
例1. 求
解: 令 u ax b ,则 d u adx , 故
原式 = um 1 d u 1 1 um1 C a a m1
4x)
dx
3 2
dx
cos 2x d(2x)
1 8
cos
4
x
d(4x)
例 9 cos x cos 2xdx
原式=
1 2
(cos
x
cos
3x)dx
1 sin x 1 sin 3x C
2
6
例10 tan3 x sec2 xdx
原式= tan2 xsec x(tan xsec x)dx (sec2 x 1)sec xd(sec x)
例8. 求
含sin 2k xcos2l x 二倍角公式
解: cos4 x (cos2 x)2 (1 cos 2x)2
2
1 4
(1
2
cos
2
x
cos
2
2
x)
1 4
(1
2
cos
2x
1cos 2
4x
)
1 4
(23
2
cos
2x
1 2
cos
4x)
cos4 x dx
1 4
(
3 2
2
cos
2
x
1 2
cos
F(b) F(a),
说明:
1) 当 < , 即区间换为[ , ] 时， 定理 1 仍成立 .
第三节 定积分的换元法和分部积分法 例题 习题 小结
六、
2.
练习题2
一、填空题：
1、设 n 为正奇数，则 2、设 n 为正偶数，则 3、 0 xe
e
1 1 x
0
2
sin xdx ___________；
n
0
2
cos xdx =___________；
n
dx ______________；
4、 1 x ln xdx _____________； 5、 0 x arctan xdx ____________ .
0, 当 n 为正奇数时 4、 2( n 1)! ! ； , 当 n 为正偶数时 n!!
5、0. 三、8.
四、设 f ( x )在 a , b 上连续， 证明
b
f ( x )dx
a
b
f ( a b x )dx .
a
五、证明：
1
x (1 x ) dx
m n
1
x (1 x ) dx .
n m
0
0`
六、证明：
a
a
f ( x )dx
a
[ f ( x ) f ( x )]dx ,
1
1
1
1
xf ( 2 x )0 f ( 2 x )dx 2 2 0
1 1
1
1 2 5 2
f ( 2 ) 1 4
1 4
f ( 2 x )0
1
f ( 2)
f (0) 2.
练习题1
一、填空题： 1、 2、
sin( x 3 )dx ___________________；
定积分的换元积分法与分部积分法
解：对 p 1,
a
dx (a 0) p x
收敛或发散
b
1
1 1 1 p 1 p 1 ( b ) x dx x p 1 p 1 p 1
p
重要的问题是b的指数是正数还是负数. 假如是
负数, 则当b趋向无穷时, b–p+1趋向于0. 若指数为
正数,则b–p+1当b趋于无穷时无界增长. 因此, 若–
a
udv uv a vdu .
a
回忆：：
定积分的分部积分公式
不定积分的分部积分公 式为 :
udv uv vdu .
例1. 计算
解: 原式 =
x arctan x
1 2
1 0
1
0
1 1 2 d (1 x ) 2 4 2 0 1 x
1 2 ln( 1 x ) 2 4 0 1 ln 2 2 4
当p>1时积分有值
1
b 1 1 1 1 p 1 b ) dx lim p dx lim ( p b p 1 b 0 x p 1 x
1 1 ( ) p 1 p 1
定理1 (比较判别法) [a,), g ( x) f ( x) 0, 设 且f ( x)， ( x)于[a,)内有界, 则 g (1) 当 a g ( x)dx 收敛时，a f ( x)dx 也收敛 ； (2) 当
1
dx 增长且无界, x
y 1 x
dx 发散. y x
1
b
dx x
0
1
b
x
2. 其它情形意义
定积分换元法与分部积分法习题
1．计算下列定积分： ⑴3sin()3x dx πππ+⎰；【解法一】应用牛顿-莱布尼兹公式3sin()3x dx πππ+⎰3sin()()33x d x ππππ=++⎰3cos()3x πππ=-+[cos()cos()]333ππππ=-+-+[cos (cos )]033ππ=----=。
【解法二】应用定积分换元法令3x u π+=，则d x d u =，当x 从3π单调变化到π时，u 从23π单调变化到43π，于是有3s i n ()3x d x πππ+⎰4323s i n udu ππ=⎰4323c o s u ππ=-42[coscos ]33ππ=-- [cos(cos )]033ππ=----=。
⑵132(115)dxx -+⎰；【解法一】应用牛顿-莱布尼兹公式132(115)dx x -+⎰1321(115)(115)5x d x --=++⎰21211(115)52x --=⋅+-22111[]10(1151)(1152)=--+⨯-⨯211(1)1016=--51512=。
【解法二】应用定积分换元法令115x u +=，则15dx du =，当x 从2-单调变化到1时，u 从1单调变化到16，于是有132(115)dx x -+⎰163115u du -=⎰21611152u -=⋅-211(1)1016=--51512=。
⑶32sin cos d πϕϕϕ⎰；【解法一】应用牛顿-莱布尼兹公式320sin cos d πϕϕϕ⎰32cos cos d πϕϕ=-⎰4201cos 4πϕ=-441[cos cos 0]42π=--1[01]4=--14=。
【解法二】应用定积分换元法令cos u ϕ=，则sin d du ϕϕ-=，当ϕ从0单调变化到2π时，u 从1单调变化到0，于是有320sin cos d πϕϕϕ⎰031u du =-⎰130u du =⎰4114u =14=。
3.6 定积分的换元法与分部积分法
= ϕ (t ) 把
例1 求积分 解一
∫
a
0
a 2 − x 2 dx ( a > 0 ) .
原来的积分变量换为新积分变量时， 原来的积分变量换为新积分变量时，积分限也要换 为相应于新变量所对应的积分限 为相应于新变量所对应的积分限.
∫
a
0
a 2 − x 2 dx
π
2
π
∫ f ( x ) dx
b a
x = ϕ ( t ) , dx = ϕ ′ ( t ) dt
a → α,
b→β
∫α
β
f ϕ ( t ) dϕ ( t )
x = a sin t , dx = a cos tdt 0 → 0, a →
∫
π
2 0
a cos t ⋅ a cos tdt
=∫ f ϕ ( t ) ϕ ′ ( t ) dt. α
切记： 切记：换元的同时要换限， 换元的同时要换限，且原积分变量
x
a +lO
1 4 1 cos3 2 xd(2x) = ∫ 4 cos 2 2 xd(sin2x) 2 ∫0 2 0
π
4 0
π
π
∫
0 0
u 2 du = 0
3
1 π 1 = ∫ 4 (1 − sin 2 2 x)d(sin2x) = (sin 2 x 2 0 2 = 1 1 1 (1 − ) = . 2 3 3
sin 3 2 x − 3
π
4 0
)
此结果明显错误！ 此结果明显错误！因为原式的被积函数＞ 因为原式的被积函数＞０， 积分下限又＜ ＜积分上限， 积分下限又 积分上限，因此原式表示 x 轴上方的 一个曲边梯形的面积， 一个曲边梯形的面积，应该＞ 应该＞０，错在哪里？ 错在哪里？ π cos x, 0 ≤ x ≤ 2 , 2 注意第二个等号， 注意第二个等号，当 0 ≤ x ≤ π 时，1− sin x = − cos x, π ≤ x ≤ π 2
定积分的换元法与分部积分法
1 1 1 1 xf ( 2 x )0 f ( 2 x )dx 2 2 0
1 1 1 f ( 2) f ( 2 x )0 2 4 5 1 f ( 2) f (0) 2. 2 4
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练 习 题1
一、填空题：
1、 sin( x )dx ___________________； 3 3
2、
0
(1 sin 3 )d ________________；
2
3、 0 4、
2 x 2 dx _____________；
2
1 x 5 x 3 sin 2 x dx ________________________ .. 5、 5 4 2 x 2x 1
2 , 3 , t tan t 0, 3 4
正确解法是
2
2
dx x x2 1
3 4 3
x sec t
3 4
2 3
1 sec t tan tdt sec t tan t
2
dt . 12
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思考题2解答
1 1 0 xf (2 x )dx 2 0 xdf (2 x )
则 有 a f ( x )dx f [ ( t )] ( t )dt .
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b
应用换元公式时应注意:
t （1）用 x (t ) 把变量x 换成新变量 时，积分限也
相应的改变.
求出 f [ ( t )] ( t )的一个原函数(t ) 后，不 （2）
必象计算不定积分那样再要把(t ) 变换成原 变量 x 的函数，而只要把新变量 t 的上、下 限分别代入(t ) 然后相减就行了.
定积分的换元法和分部积分法-B
奇偶函数积分2公0af式(x：)dx,
常用积分公式： f(x)为 偶 函 数
0,
，f(x)为 奇 函 数
例
如1： . 10 10
x3 cosx 1 x2 ex2
dx
5 x3sin2 x
3.5
x4
2x2
dx 1
cosx
5.
4
4
1ex
dx
2. x4
s
inxdx
1
4.1
x7 x1 cosxdx
一、定积分的换元法
3 定积分的积分法
二、定积分的分部积分法 此处添加正文，文字是您思想的提炼，为了演示发布的良好效果，
简意赅地阐述您的观点。
三、常用积分公式
1.凑微分法
例1.求
2
1
2
1 dx 3x
一、定积分的 换元法
例 2 .求 0 12 x 1 10 d 0 x
3
例 3.求ee2
x
1 dx 1ln2 x
设 函 数 u(x练)习、 v(计x)算在 区 间 a,b 上 具 有 连
续 导 数 ， 则 有abudvuvb a例ab1vd计.算u
二、分部积 分公式
定积分的分部积分公式
1
0
xarctaxnd.x
例2
计算
4 ln x
1
dx x
1 xexdx 0
01 02 a a
f(x)dx0a
f(x)
f(x)dx
计算 9cosxdx.
4x
解 9 cos xdx t x dt 2 1xdx 3 2c ostdt
4x
x4 t 2
2
x9 t 3
2sint
定积分的换元法和分部积分法
3、定积分分部积分公式的用法与不定积分分部积分 公式的用法类似。
0
分部积分
t sint
6
0
6 sintdt
0
1 62
[
cos
t
]6 0
3 1.
12 2
例16
计算
e-1
ln(1
x)dx
0
解
e-1
ln(1
x)dx
e-1
ln(1
x)d( x)
0
0
x
ln(1
x)
e1 0
e1
0
xd
ln(1
x)
e
1
e-1 0
x
1
1
x
dx
e
1
e-1 0
(1
1
1
x
)dx
f ( x)为偶函数；
0
0,
f ( x)为奇函数。
证毕。
例10
计算
3 3
x5 sin2 x dx.
1 x2 x4
解
3 3
x5 sin2 x dx 1 x2 x4
0
奇函数
例11
计算
π
2
π 2
sin2
x cos xdx
解
π
2
π 2
sin2 x cos xdx
π
2
2
0
sin2
x cos xdx
π
2
2
e
1
x
ln
|
1
x
|
e1 0
1
例17
定积分(辅导班、习题课)
例 32.（07.4）设函数 f(x)具有连续的一阶导 数, 且满足
f ( x) x ( x 2 t 2 ) f (t)dt x 2 0
求 f(x)的表达公式.
15
例
33.（07.2）设
f(x)是区间[0,
4
] 上的单调、
可导函数，且满足
f (x) f 1(t)dt x t cos t sin tdt
1内至少
2
一点 ζ ，使 f (ζ ) f (ζ ) .
10
例 21.
求函数
f
(x)
x2
0
(2
t )e t dt
的最大值和最
小值。(95.3)
x t2
例 22. 已知函数 f ( x) 0 e 2 dt, x ，
求 f (x) ，并讨论 f ( x) 的单调性，奇偶性及函
数图形的凹凸性，并求 f (x) 的图形的拐点和 水平渐近线。（88.4.5）
得
7.积分中值问题
解法思路: 通常是积分中值定理、介值定理和微分中值定理的联合使用。
23
例 41. 设在[a, b]上 f (x)连续.且满足
f (a) f ( x) f (b).证明:c [a, b]使
ab f ( x)dx f (a)(c a) f (b)(b c)
证：令 F( x) f (a)(x a) f (b)(b x)
解法思路:
一． 变量代换公式和分部积分公式 本身就是高度普遍性的积分等 式，亦可用来推出其它积分等 式；
二． 视为变限积分函数问题，转化 为导数的应用问题。
三． 用中值定理
17
例 34.设 f ( x) 处处连续，证明：
a x3 f ( x2 )dx 1
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1．计算下列定积分： ⑴3sin()3x dx πππ+⎰；【解法一】应用牛顿-莱布尼兹公式3sin()3x dx πππ+⎰3sin()()33x d x ππππ=++⎰3cos()3x πππ=-+[cos()cos()]333ππππ=-+-+[cos (cos )]033ππ=----=。
【解法二】应用定积分换元法令3x u π+=，则dx du =，当x 从3π单调变化到π时，u 从23π单调变化到43π，于是有3sin()3x dx πππ+⎰4323sin udu ππ=⎰4323cos u ππ=-42[coscos ]33ππ=-- [cos(cos )]033ππ=----=。
⑵132(115)dxx -+⎰；【解法一】应用牛顿-莱布尼兹公式132(115)dx x -+⎰1321(115)(115)5x d x --=++⎰21211(115)52x --=⋅+-22111[]10(1151)(1152)=--+⨯-⨯211(1)1016=--51512=。
【解法二】应用定积分换元法令115x u +=，则15dx du =，当x 从2-单调变化到1时，u 从1单调变化到16，于是有132(115)dx x -+⎰163115u du -=⎰21611152u -=⋅-211(1)1016=--51512=。
⑶32sin cos d πϕϕϕ⎰；【解法一】应用牛顿-莱布尼兹公式320sin cos d πϕϕϕ⎰32cos cos d πϕϕ=-⎰4201cos 4πϕ=-441[cos cos 0]42π=--1[01]4=--14=。
【解法二】应用定积分换元法令cos u ϕ=，则sin d du ϕϕ-=，当ϕ从0单调变化到2π时，u 从1单调变化到0，于是有320sin cos d πϕϕϕ⎰031u du =-⎰130u du =⎰4114u =14=。
⑷30(1sin )d πθθ-⎰；【解】被积式为3(1sin )d θθ-，不属于三角函数的基本可积形式，须进行变换。
由于1是独立的，易于分离出去独立积分，于是问题成为对3sin d θθ的积分，这是正、余弦的奇数次幂的积分，其一般方法是应用第一换元法，先分出一次式以便作凑微分：sin cos d d θθθ=-，余下的22sin 1cos θθ=-，这样得到的2(1cos )cos d θθ--便为变量代换做好了准备。
具体的变换方式有如下两种： 【解法一】应用牛顿-莱布尼兹公式30(1sin )d πθθ-⎰201sin sin d d ππθθθθ=-⎰⎰20(1cos )cos d ππθθθ=+-⎰301(cos cos )3ππθθ=+-331(cos cos0)(cos cos 0)3πππ=+---1(11)(11)3π=+-----43π=-。
【解法二】应用定积分换元法令cos u ϕ=，则sin d du ϕϕ-=，当ϕ从0单调变化到π时，u 从1单调变化到1-，于是有30(1sin )d πθθ-⎰201sin sin d d ππθθθθ=-⎰⎰20(1cos )cos d ππθθθ=+-⎰121(1)u du π-=+-⎰3111()3u u π-=+-1(11)(11)3π=+-----43π=-。
⑸226cos udu ππ⎰；【解】这是正、余弦的偶次幂，其一般积分方法为，利用三角函数的半角公式：21cos cos 22u u +=，将平方部份降次成为一次的余弦三角函数：21cos 2cos 2u u +=，使之可以换元成为基本可积形式： 【解法一】应用牛顿-莱布尼兹公式226cos udu ππ⎰261cos 22u du ππ+=⎰226611(cos 22)22du ud u ππππ=+⎰⎰ 226611(sin 2)22u u ππππ=+11[()(sin sin )]22623ππππ=-+-1(23π=-。
【解法二】应用定积分换元法令2u x =，则12du dx =，当u 从6π单调变化到2π时，x 从3π单调变化到π，于是有226cos udu ππ⎰261cos 22u du ππ+=⎰226611(cos 22)22du ud u ππππ=+⎰⎰ 23611(cos )22u xdx ππππ=+⎰311[()sin ]2262x ππππ=-+ 11[(sin sin )]2323πππ=+-1(234π=-。
⑹；【解】被积函数中含根号，且根指数及根号内多项式的次数都是2，应该应用第二类换元法中的三角变换法：为使根号内的变量在后的平方差转换成完全平方，应令x u =，当x 从0单调变化到时，u 从0单调变化到2π，且u ==，dx udu =，使得u udu =201cos 222udu π+=⎰ 220cos 2du udu ππ=+⎰⎰2201cos 222uud u ππ=+⎰ 2201sin 22uu ππ=+1(sin 0)22ππ=+-2π=。
⑺12dx x； 【解】被积函数中含根号，且根指数及根号内多项式的次数都是2，应该应用第二类换元法中的三角变换法：为使根号内的变量在后的平方差转换成完全平方，应令sin x u =，当x单调变化到1时，u 从4π单调变化到2π2cos sin u u ==，cos dx udu =，使得12dx x 224cos cos sin u udu u ππ=⋅⎰224cot udu ππ=⎰224(csc 1)u du ππ=-⎰ 24(cot )u u ππ=--[(cotcot )()]2424ππππ=--+-14π=-。
⑻ax ⎰（0a >）；【解】被积函数中含根号，且根指数及根号内多项式的次数都是2，应该应用第二类换元法中的三角变换法：为使根号内的变量在后的平方差转换成完全平方，应令sin x a u =，当x 从0单调变化到a 时，u 从0单调变化到2π，且222sin sin cos x a u a u ==⋅，cos dx a udu =，使得ax⎰2220sin cos cos a u a u a udu π=⋅⋅⎰422sin 24audu π=⎰4201cos 442a u du π+=⎰421(sin 4)84a u u π=+41[(sin 20)]824a ππ=+-4116a π=。
⑼1【解】被积函数中含根号，且根指数及根号内多项式的次数都是2，应该应用第二类换元法中的三角变换法：为使根号内的变量在后的平方和转换成完全平方，应令tan x u =，当x 从1单调变时，u 从4π单调变化到3π，且222sec tan sec uduu u ==2cos sin u du u =21sin sin d u u =使得13241sin sin d u uππ=⎰ 这时，再令sin u t =，当u 从4π单调变化到3π时，t从2单调变化到2， 又得3241sin sin d u u ππ⎰21dt t ===-=。
⑽⎰；【解】被积函数中含根号，且根指数及根号内多项式的次数都是2，应该应用第二类换元法中的三角变换法。
由于根号内的二次多项式并非为三角变换中的平方和或差的标准形式，需要先将其转化为标准形：==现在，根号内的二次多项式成为了变量在后的平方差的形式了，因此可令1sin x u -=，当x 从0单调变化到1时，1x -从1-单调变化到0，从而u 对应从2π-单调变化到0，cos u ===，cos dx udu =，于是⎰2cos cos u udu π-=⋅⎰021cos 22u du π-+=⎰0211(sin 2)22u u π-=+11{[0()][sin 0sin()]}222ππ=--+--4π=。
⑾41⎰；【解】被积函数中含根号，可见根指数与根号内多项式的次数不相等，应该应用第二类换元法中的直接变换法：u =，当x 从1单调变化到4时，u 从1单调变化到2，且由此得2x u =，2dx udu =11u =+，于是41⎰2121udu u =+⎰2112(1)1du u =-+⎰212(ln 1)u u =-+2[(21)(ln3ln 2)]=---32(1ln )2=-22(1ln )3=+。
【解法二】为便于积分，可使变换后的分母成为简单变量，即令1u +=，当x 从1单调变化到4时，u 从2单调变化到3，且由此得2(1)x u =-，2(1)dx u du =-1u=，于是41⎰322(1)u du u -=⎰3212(1)du u =-⎰322(ln )u u =- 2[(32)(ln3ln 2)]=---32(1ln )2=-。
⑿1【解】被积函数中含根号，可见根指数与根号内多项式的次数不相等，应该应用第二类换元法中的直接变换法：【解法一】令u =，当x 从34单调变化到1时，u 从12单调变化到0，且由此得21x u =-，2dx udu =-11u =-，于是101221u du u -=-⎰12012(1)1du u =+-⎰1202(ln 1)u u =+-112(ln ln1)22=+-12ln 2=-。
【解法二】为便于积分，可使变换后的分母成为简单变量，1u =，当x 从34单调变化到1时，u 从12-单调变化到1-，且由此得21(1)x u =-+，2(1)dx u du =-+，1u=，于是11122(1)u du u ---+=⎰12112(1)du u --=+⎰1212(ln )u u --=+112[()(1)ln ln 1)]22=---+---12ln 2=-。
⒀1-⎰；【解】被积函数中含根号，可见根指数与根号内多项式的次数不相等，应该应用第二类换元法中的直接变换法：令u =，当x 从1-单调变化到1时，u 从3单调变化到1，且由此得21(5)4x u =--，12dx udu =-1u=，于是1-⎰123111(5)42u udu u --=⋅-⋅⎰1231(5)8u du =-⎰31311(5)83u u =- 311[(13)5(13)]83=---16=。
⒁1221xedx x ⎰； 【解】由于11221xx e dx e dx x x =⋅，为含复合函数1x e 的积分，且微分部份21dx x 仅与复合函数1xe 之中间变量1x 的微分21dx x-相差一个常数倍，可以应用第一换元积分法：【解法一】应用牛顿-莱布尼兹公式1221xe dx x ⎰1211x e d x=-⎰121x e =-112()e e =--e =-【解法二】应用定积分的换元法令1u x =，当x 从1单调变化到2时，u 从1单调变化到12，且由此得21dx du x-=，于是1221xe dx x ⎰12211x e dx x =⎰121u e du =-⎰121u e =-112()e e =--e =-⒂212t tedt -⎰；【解】为含复合函数22t e -的积分，且微分部份tdt 与复合函数22t e-之中间变量22t -的微分tdt -仅相差一个常数倍，可以应用第一换元积分法：【解法一】应用牛顿-莱布尼兹公式2120t te dt -⎰2212()2t te d -=--⎰2120t e -=-102()ee -=--1=-。