定积分换元法与分部积分法习题

1．计算下列定积分： ⑴

3sin()3x dx π

ππ

+⎰；

【解法一】应用牛顿-莱布尼兹公式

3sin()3x dx π

ππ

+⎰3sin()()33x d x π

πππ=++⎰3

cos()

3x πππ

=-+

[cos()cos()]333π

π

π

π=-+-+[cos (cos )]033

π

π

=----=。

【解法二】应用定积分换元法

令3

x u π

+

=，则dx du =，当x 从

3

π单调变化到π时，u 从

23π单调变化到43π

，于是有

3sin()3x dx π

ππ

+⎰4323

sin udu ππ=⎰

4323

cos u π

π=-42[cos

cos ]33

ππ=-- [cos

(cos )]033

π

π

=----=。

⑵

1

32(115)dx

x -+⎰；

【解法一】应用牛顿-莱布尼兹公式

1

32(115)dx x -+⎰13

2

1(115)(115)5x d x --=++⎰212

11(115)52

x --=⋅+-

22111[]10(1151)(1152)=-

-+⨯-⨯211(1)1016

=--51512=。 【解法二】应用定积分换元法

令115x u +=，则1

5

dx du =

，当x 从2-单调变化到1时，u 从1单调变化到16，于是有

1

32(115)dx x -+⎰1631

15u du -=⎰2

161

1152

u -=⋅-211

(1)1016

=-

-51512=。

⑶

32

sin cos d π

ϕϕϕ⎰

；

【解法一】应用牛顿-莱布尼兹公式

3

20sin cos d πϕϕϕ⎰3

2

cos cos d πϕϕ=-⎰420

1cos 4

πϕ=-441[cos cos 0]42

π

=--

1

[01]4

=--14=。

【解法二】应用定积分换元法

令cos u ϕ=，则sin d du ϕϕ-=，当ϕ从0单调变化到

2

π

时，u 从1单调变化到0，于是有

320

sin cos d π

ϕϕϕ⎰

031u du =-⎰130u du =⎰4

1

1

4

u =14

=

。 ⑷

30

(1sin )d π

θθ-⎰

；

【解】被积式为3

(1sin )d θθ-，不属于三角函数的基本可积形式，须进行变换。由于1是独立的，易于分离出去独立积分，于是问题成为对3

sin d θθ的积分，这是正、余弦的奇数次幂的积分，其一般方法是应用第一换元法，先分出一次式以便作凑微分：

sin cos d d θθθ=-，余下的22sin 1cos θθ=-，这样得到的2(1cos )cos d θθ--便为变

量代换做好了准备。具体的变换方式有如下两种： 【解法一】应用牛顿-莱布尼兹公式

30

(1sin )d π

θθ-⎰

20

1sin sin d d ππ

θθθθ=-⎰⎰20

(1cos )cos d π

πθ

θθ=+-⎰

301

(cos cos )3

ππθθ=+-

331

(cos cos0)(cos cos 0)3

πππ=+---

1

(11)(11)3

π=+-----43π=-。

【解法二】应用定积分换元法

令cos u ϕ=，则sin d du ϕϕ-=，当ϕ从0单调变化到π时，u 从1单调变化

到1-，于是有

30

(1sin )d π

θθ-⎰

20

1sin sin d d ππ

θθθθ=-⎰⎰20

(1cos )cos d π

πθ

θθ=+-⎰

121(1)u du π-=+-⎰31

11()3

u u π-=+-

1

(11)(11)3

π=+-----43π=-。

⑸

22

6

cos udu π

π

⎰；

【解】这是正、余弦的偶次幂，其一般积分方法为，利用三角函数的半角公式：

2

1cos cos 22u u +=

，将平方部份降次成为一次的余弦三角函数：2

1cos 2cos 2

u u +=，使之可以换元成为基本可积形式： 【解法一】应用牛顿-莱布尼兹公式

2

26cos udu π

π⎰261cos 22u du π

π+=⎰226611

(cos 22)22du ud u ππ

ππ=+⎰⎰ 2

2

6

6

11(sin 2)22u u ππ

ππ=+11[()(sin sin )]22623ππππ=-+-

1(23π=

-。 【解法二】应用定积分换元法

令2u x =，则1

2

du dx =

，当u 从6π单调变化到2π时，x 从3π单调变化到π，

于是有

2

26cos udu π

π⎰261cos 22u du π

π+=⎰226611

(cos 22)22du ud u ππ

ππ=+⎰⎰ 2

36

1

1(cos )2

2u xdx ππππ=+

⎰3

11[()sin ]2262x π

πππ=-+ 11[(sin sin )]2323

ππ

π=+

-1(234π=-

。

⑹

；

【解】被积函数中含根号，且根指数及根号内多项式的次数都是2，应该应用第二类换元法中的三角变换法：

为使根号内的变量在后的平方差转换成完全平方，应令x u =，当x 从0单调

变化

到

时，u 从0单调变化到

2

π

，

且u ==

，dx udu =，使得