数列的通项公式(普通)
求数列的通项公式
求数列通项公式法一 ：公式法：运用等差（等比）数列的通项公式.法二：前n 项和法：已知数列}{n a 前n 项和n S ，则⎩⎨⎧≥-==-2111n S S n S a n nn （注意：不能忘记讨论1=n ）Sn 表达式中含an ：已知n a 与n S 的关系式，利用)2(1≥-=-n S S a n n n ，将关系式转化为只含有n a 或n S 的递推关系，再利用上述方法求出n a .已知数列}{n a 前n 项和n S ，则⎩⎨⎧≥-==-2111n S S n S a n nn （注意：要验证能否合二为一）例1 数列{}n a 的前n 项和n n S n 92-=，则n a = 。
变式 数列{}n a 的前n 项和n n S n 92-=，._______85=<<k a k ，则若 变式 已知数列{}n a 的前n 项和公式，求{}n a 的通项公式①n n S n 322+=；②132-⋅=n n S例2设数列}{n a 的前n 项和为n S ，且12-=n n a S ，求数列}{n a 的通项公式； 变式 设数列}{n a 的前n 项和为n S ，且*111,42()n n a S a n N +==+∈，（1）设2n n n a b =，求证：数列{}n b 是等差数列；（2）求数列}{n a 的通项公式及前n 项和的公式法三:：利用前n 项积，已知数列}{n a 前n 项之积T n ，一般可求T n-1，则a n ＝1－n n T T （注意：不能忘记讨论1=n ）. 例 数列}{n a 中，,11=a 对所有的2≥n 都有2321n a a a a n = ，则=+53a a __________.法四 ：累加法：已知)2)((1≥=--n n f a a n n ，且{f(n)}成等差（比）数列，则求n a 可用累加法. 常见基本形式：三种例 数列}{n a 满足12212,5,32n n n a a a a a ++===-，（1）求证：数列1{}n n a a +-是等比数列； （2）求数列}{n a 的通项公式n a ；（3）求数列}{n a 的前n 项和n S .变式 已知数列}{n a ；①若满足291=a ，)2(121≥-=--n n a a n n ，则n a =_______________.变式 已知数列{}n a 满足11a =，)1(11+=-+n n a a n n (2)n ≥，则n a =_______________. 变式 已知数列{}n a 满足11a =，n n a a n n ++=--111(2)n ≥，则n a =_______________.法五：累乘法例 若满足a 1=1,)2(11≥+=-n n n a a n n ，则n a =_______________. 变式已知）（，n n n a a n a a -==+111,则数列{}n a 的通项公式=n a ( ) A. 12-n B.11-+n nn ）（ C. 2n D. n 法六 ：构造辅助数列法： 已知数列}{n a 的递推关系，研究a n 与a n －1的关系式的特点，可以通过变形构造，得出新数列)}({n a f 为等差或等比数列.共有六种类型：类型一：待定系数法例 已知数列满足1a =1，1n a +=2n a +3，则n a =_______________.变式 已知点,3121),11=+=+a x y a a n n 上，且在直线（则n a =_______________. 变式 已知数列{}n a 满足11a =，n n n a x a x a ，求的两实根，且满足为方程，26-60312=+=+-+βαβαβα类型二 取倒法例 已知数列}{n a 满足11=a ，131+=+n n n a a a ，则n a =_______ 变式 已知数列}{n a 满足11=a ，3231+=+n n n a a a ，则n a =_______ 类型三 取倒法与待定系数法相结合 例 已知数列}{n a 满足11=a ，231+=+n n n a a a ，则n a =_______ 变式 已知数列{}n a 的首项135a =，1321n n n a a a +=+，12n =，，．求{}n a 的通项公式；变式 变式 已知数列}{n a 的首项1a a =（a 是常数且1a ≠-），121(,2)n n a a n N n -=+∈≥．（1）}{n a 是否可能是等差数列，若可能，求出}{n a 的通项公式；若不可能，说明理由；（2）设(,n n b a c n N =+∈c 是常数)，若{}n b 是等比数列，求实数c 的值，并求出}{n a 的通项公式。
数列的通项公式(重要完整)
数列通项公式的求法各种数列问题在很多情形下，就是对数列通项公式的求解。
特别是在一些综合性比较强的数列问题中，数列通项公式的求解问题往往是解决数列难题的瓶颈。
本文总结出几种求解数列通项公式的方法，希望能对大家有帮助。
一、定义法直接利用等差数列或等比数列的定义求通项的方法叫定义法，这种方法适应于已知数列类型的题目．例1．等差数列{}n a 是递增数列，前n 项和为n S ，且931,,a a a 成等比数列，255a S =．求数列{}n a 的通项公式.解：设数列{}n a 公差为)0(>d d∵931,,a a a 成等比数列，∴9123a a a =，即)8()2(1121d a a d a +=+d a d 12=⇒∵0≠d ， ∴d a =1………………………………①∵255a S = ∴211)4(2455d a d a +=⋅⨯+…………② 由①②得：531=a ，53=d ∴n n a n 5353)1(53=⨯-+=】点评：利用定义法求数列通项时要注意不用错定义，设法求出首项与公差（公比）后再写出通项。
二、公式法若已知数列的前n 项和n S 与n a 的关系，求数列{}n a 的通项n a 可用公式⎩⎨⎧≥⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅-=⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅=-2111n S S n S a n n n 求解。
例2．已知数列{}n a 的前n 项和n S 满足1,)1(2≥-+=n a S n n n ．求数列{}n a 的通项公式。
解：由1121111=⇒-==a a S a当2≥n 时，有,)1(2)(211nn n n n n a a S S a -⨯+-=-=-- 1122(1),n n n a a --∴=+⨯-,)1(22221----⨯+=n n n a a ……，.2212-=a a11221122(1)2(1)2(1)n n n n n a a ----∴=+⨯-+⨯-++⨯- ].)1(2[323])2(1[2)1(2)]2()2()2[()1(21211211--------+=----=-++-+--+=n n n nn n n n n经验证11=a 也满足上式，所以])1(2[3212---+=n n n a 点评：利用公式⎩⎨⎧≥⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅-=⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅=-211n S S n S a n n n n 求解时，要注意对n 分类讨论，但若能合写时一定要合并．三、由递推式求数列通项法对于递推公式确定的数列的求解，通常可以通过递推公式的变换，转化为等差数列或等比数列问题，有时也用到一些特殊的转化方法与特殊数列。
(完整版)数列通项公式常用求法及构造法
数列通项公式的常用求法构造法求数列通项公式一、构造等差数列求数列通项公式运用乘、除、去分母、添项、去项、取对数、待定系数等方法，将递推公式变形成为(1)()f n f n +-=A （其中A 为常数）形式，根据等差数列的定义知)(n f 是等差数列，根据等差数列的通项公式，先求出)(n f 的通项公式，再根据)(n f 与n a ，从而求出n a 的通项公式。
例1 在数列{}n a 中，1a =12，133n n n a a a +=+（n N +∈），求数列{}n a 通项公式.解析：由313n n a n a a ++=得，a n+1 a n =3 a n+1-3 a n =0，两边同除以a n+1 a n 得，=-+n n a a 11131，设b n =n a 1，则b n+1- b n =31，根据等差数列的定义知， 数列｛b n ｝是首项b 1=2，公差d=31的等差数列，根据等差数列的通项公式得b n =2＋31（n-1）=31n ＋35∴数列通项公式为a n =53+n例2 在数列｛a n ｝中，S n 是其前n 项和，且S n ≠0，a 1=1，a n =1222-n n S S (n ≥2)，求S n 与a n 。
解析：当n ≥2时，a n =S n -S n-1 代入a n =1222-n n S S 得，S n -S n-1=1222-n n S S ，变形整理得S n -S n-1= S n S n-1两边除以S n S n-1得，n S 1-11-n S =2，∴｛n S 1｝是首相为1，公差为2的等差数列∴n S 1=1+2（n-1）=2n-1, ∴ S n =121-n (n ≥2),n=1也适合，∴S n =121-n (n ≥1) 当n ≥2时，a n =S n -S n-1=121-n -321-n =-38422+-n n ，n=1不满足此式， ∴a n ={21138422≥=+--n n n n二、构造等比数列求数列通项公式运用乘、除、去分母、添项、去项、取对数、待定系数等方法，将递推公式变形成为f （n+1）=Af （n ）（其中A 为非零常数）形式，根据等比数列的定义知)(n f 是等比数列，根据等比数列的通项公式，先求出)(n f 的通项公式，再根据)(n f 与n a ，从而求出n a 的通项公式。
数列求通项的七种方法及例题
数列求通项的七种方法及例题数列求通项的7种方法及例题：1. 已知首项和公比法：设数列{an}中，a1为首项，q为公比，则an = a1 × q^(n-1)。
例如：已知数列{an}中，a1=2，q=3，求a5。
答案：a5=2×3^4=2×81=1622. 已知前n项和法：设数列{an}中，Sn为前n项和，则an = S0 + S1 + S2 +···+ Sn-1 - (S1 + S2 +···+ Sn-1) = S0。
例如：已知数列{an}中，S2=6，S4=20，求a3。
答案：a3 = S2 - (S2 - S1) = 6 - (6 - 2) = 83. 等差数列的通项公式：设数列{an}为等差数列，d为公差，则an = a1 + (n-1)d。
例如：已知数列{an}为等差数列，a1=2，d=4，求a5。
答案：a5 = 2 + (5-1)4 = 184. 等比数列的通项公式：设数列{an}为等比数列，q为公比，则an = a1 ×q^(n-1)。
例如：已知数列{an}为等比数列，a1=2，q=3，求a5。
答案：a5=2×3^4=2×81=1625. 三项和平均数法：设数列{an}中，Sn = a1 + a2 + a3 +···+ an，则an = Sn/n。
例如：已知数列{an}中，S4=20，求a3。
答案：a3 = S4/4 = 20/4 = 56. 泰勒公式法：对于一般的数列，可以使用泰勒公式进行求通项。
例如：已知数列{an}中，a1=2，且当n→∞ 时，an → 0，求a4。
答案：使用泰勒公式，a4 = a1 + (n-1)(a2 - a1)/1! + (n-1)(n-2)(a3 -2a2 + a1)/2! + (n-1)(n-2)(n-3)(a4 - 3a3 + 3a2 - a1)/3! = 2 + 3(2 - 2)/1! + 3(3 - 2)(3 - 4)/2! + 3(3 - 2)(3 - 4)(3 - 5)/3! = 2 + 3(0)/1! + 3(1)(-1)/2! + 3(1)(-1)(-2)/3! = 2 - 3/2 - 3/4 + 3/6 = 2 - 1/87. 斐波那契数列法：斐波那契数列是一种特殊的数列，它的通项公式可以写作 an = an-1 + an-2。
数列的通项公式
负号用 : (1)n 或(1)n 1 调节
n n 1 调节规律： 奇数项为负用(1) 偶数项为负用(1)
an (1)
n 1
n3 n
３、
5,0, 5,0,5,0, 5,0......
分析：
１
5, 0, 5, 0, 5, 0, 5, 0......
说明它具有周期性变化的规律
a2 a1 3
n 1个式子相加
…… an an1 2n 1
an n
等差数列求和
2
小
结
1、数列的通项公式，并能根据数列前n 项的特征写出数列的一个通项公式 2、数列的前n项和sn与an的关系并会由 数列的前n项和公式求出其通项公式 3、迭加法求数列的通项公式
一、观察法：
观察数列中前几项与其序号间的关系，分解各项中的 变化部分与不变部分，再探索各项中变化部分与序号间的关 系，从而归纳出构成的规律，写出通项公式 例１、写出下列数列的一个通项公式
１、
3 5 7 9 11 , , , , ...... 2 4 8 16 32
分析： 各项是分式的，分子、分母分别观察
an 2 (n N *)
n 1
三、迭加法
an1 an f (n)型
当所给数列每依次相邻两项之间的差组成 可求和的数列时，就可用迭加法
例5:已知数列{an },a1 1, an1 an 2n 1, 求an
解：由已知可得：
a3 a2 5 a4 a3 7 a5 a4 9
分子 : 3,5, 7,9,11...... 分母 : 2, 4,8,16,32......
2n 1
2n 1 an n 2
数列的通项公式(普通版)
数列的通项公式一、知识梳理1.数列的通项公式：如果数列}{n a 的第n 项与序号n 之间的关系可以用一个公式表示，那么这个公式就叫这个数列的通项公式；记作:)(n f a n =.2.数列的通项n a 与前n 项和n S 的关系：11(1)(2)n nn S n a S S n -=⎧=⎨-⎩≥3.等差数列的通项公式：d n a a n )1(1-+=，首项:1a ，公差:d ，第n 项:n a ；4.等比数列的通项公式：11-=n n q a a ，首项:1a ，公比:q ，第n 项:n a ；二、题型精析1.观察法求通项公式（1）......321,161,81,41,21 （2）......251,161,91,41,1 （3） (11)10,98,76,54,32--（4） (9910),638,356,154,32 （5）......9...999,......99,9 n ， （6）......9...999.0,......99.0,9.0 n2.公式法求通项公式（1）数列{}n a 中，111,2n n a a a +==+ ，求数列}{n a 的通项公式.；（2）数列{}n a 中，()1111,2,22n n a a a n -==≥求数列}{n a 的通项公式.；3.累加法与累乘法求通项公式（1）累加法：形如)(1n f a a n n +=-,（其中)(n f 为可求和的数列） 例1.已知数列{}n a ，其中11=a ，)2(1≥+=-n n a a n n ，求n a .巩固练习：已知数列{}n a ，其中11=a ，)2(121≥-+=-n n a a n n ，求n a .（2）累乘法：形如)(1n f a a n n=-，（其中)(n f 为可求积的数列） 例2.已知数列}{n a ，其中11=a ，)2(21≥⋅=-n a a n n n ，求n a .巩固练习：已知数列{}n a ，其中11=a ，)2(11≥⋅-=-n a nn a n n ，求n a .4.构造数列法求通项公式构造数列法：形如q pa a n n +=+1（q p ,为常数，且0≠p ，1≠p ,0≠q ） （1）数列{}n a 中，已知11=a ,)(12*1N n a a n n ∈+=+，求数列{}n a 的通项公式. （2）数列{}n a 中，已知11=a ,)(32*1N n a a n n ∈+=+，求数列{}n a 的通项公式.巩固练习：数列{}n a 中，111,,31nn n a a a a +==+求数列{}n a 的通项公式.5.已知n a 与n S 的关系求通项公式已知数列{}n a 的其前n 项和为n S ，求通项n a .（1）若2n S n =，求n a ； （2）若n n S 2=，求n a ；巩固练习：已知数列{}n a 的其前n 项和为n S ，求通项n a .（1）若n n S n 232-=，求n a ； （2）若23-=nn s ，求n a ；6.数列通项公式的综合应用已知数列}{n a 的前n 项和)(242+∈+-=N n n n S n ，（1）求数列}{n a 的通项公式； （2）当n 为何值时，n S 达到最大？最大值是多少？三、拓展演练 1.选择题（1）数列3，12，30，60，…的一个通项公式是( )A.32)1(9+-=n n a nB.4652+-=n n a n C .2)2)(1(++=n n n a n D.21217l 12+-=n n a n （2）下列关于星星的图案构成一个数列，该数列的一个通项公式是( )A ．a n ＝n 2－n ＋1B ．a n ＝n (n －1)2C ．a n ＝n (n ＋1)2D ．a n ＝n (n ＋2)2 （3）若数列{}n a 的前n 项和为2n S n =-，则数列的通项公式是（ ） A ．21n a n =- B ．21n a n =- C ．21n a n =-+ D ．21n a n =-+ （4）在等比数列{}n a 中，若0>n a ，6491=a a ，2064=+a a ，则=n a （ ） A ．22-nB ．n -82C ．22-n 或n -82D ．n -22或22-n（5）数列{}n a 的通项公式为n n a n 2832-=，则数列{}n a 各项中最小项是 ( ) A.第4项 B.第5项 C.第6项 D.第7项 （6）已知数列{}a n 中，a 13=-且a a n n =+-211，则此数列的通项公式为 A.123-⋅-n B.n 2- C.52-n D.12--n （7）数列{}n a 中，11a =，12,()2nn n a a n N a ++=∈+，则5a =（ ） A.25 B.13 C.23 D. 12（8）数列{}n a的通项公式是)n a n N +=∈，若3111-=++n n a a ，则n 的值为（ ）A.12 B .9 C .8 D .6（9）已知等比数列}{n a 的前n 项和21n n S =-，则22212n a a a +++ 等于（ ）A.2(21)n -B.1(21)3n -C.41n -D.1(41)3n -（10）在数列{}n a 中，11=a ，0>n a ，4221+=+n n a a ，则=n a （ ）A ．34-nB ．12-nC ．34-nD ．12-n2.填空题（1）数列 ,1614,813,412,211的一个通项公式是n a =___________.（2）已知数列{}n a 中，233,211-==+n n a a a ，则4a =_________.（3）数列}{n a 中，21=a ，n a a n n 21+=+(n *∈N )，则100a 的值是_________. （4）已知数列{}n a 中， 1121,13n n a a a +==+)(+∈N n ，则通项n a = __________. （5）数列{}n a 的前n 项和114n n S a =+，则n a = .（6）数列{}n a 中，23=a ，17=a ，又数列{11n a +}为等差数列，则n a =__________.3.解答题（1）数列{}n a 中，13a =，1021a =，通项n a 是项数n 的一次函数，n S 是前n 项和，试求{}n a 的通项公式，100a 及100S .（2）设数列{}n a 为等差数列，数列{}n b 为等比数列，111a b ==，243a a b +=，342a b b =，求{}n a ，{}n b 的通项公式．（3）数列}{n a 的通项公式为254n a n n =-+，求：① 数列中有多少项负数？ ② n 为何值时，n a 有最小值？并求出最小值.（4）已知数列{}n a 满足1232n n n a a +=+⨯，12a =，求数列{}n a 的通项公式及前n 项和.（5）设数列{a n }的前项的和))(1(31*N n a S n n ∈-=.① 求a 1；a 2； ② 求证：数列{a n }为等比数列．（6）已知数列{a n }，其前n 项和为n S① 若)1(2-=n n a S ，求数列{a n }的通项公式．② 若首项是1，n a ＝1-n a ＋3n －2 (+∈N n 且n ≥2 )，求数列{a n }的通项公式． ③ 若首项是1，)1(11-+=-n n a a n n (+∈N n 且n ≥2 )，求数列{a n }的通项公式．④ 若首项是1，各项均为正值，且)(0)1(1221+++∈=+-+N n a a na a n n n n n ，求数列{a n }的通项公式．。
数列通项公式的求法(常见)
数列通项公式的求法1．前n 项和法（知n S 求n a ）⎩⎨⎧-=-11n n n S S S a )2()1(≥=n n例1、已知数列}{n a 的前n 项和212n n S n -=，求数列|}{|n a 的前n 项和n T 变式：已知数列}{n a 的前n 项和n n S n 122-=，求数列|}{|n a 的前n 项和n T 练习：1、若数列}{n a 的前n 项和nn S 2=，求该数列的通项公式。
答案：⎩⎨⎧=-122n n a )2()1(≥=n n2、若数列}{n a 的前n 项和323-=n n a S ，求该数列的通项公式。
答案：n n a 32⨯=2.形如)(1n f a a n n =-+型（1）若f(n)为常数,即：d a a n n =-+1,此时数列为等差数列，则n a =d n a )1(1-+.（2）若f(n)为n 的函数时，用累加法.例 1. （2003天津文） 已知数列｛a n ｝满足)2(3,1111≥+==--n a a a n n n ,证明213-=n n a 证明：由已知得：故,311--=-n n n a a112211)()()(a a a a a a a a n n n n n +-++-+-=---=.213133321-=++++--n n n ∴213-=n n a .例2.已知数列{}n a 的首项为1，且*12()n n a a n n N +=+∈写出数列{}n a 的通项公式.答案：12+-n n例3.已知数列}{n a 满足31=a ，)2()1(11≥-+=-n n n a a n n ，求此数列的通项公式.答案：na n 12-=评注：已知a a =1,)(1n f a a n n =-+，其中f(n)可以是关于n 的一次函数、二次函数、指数函数、分式函数，求通项n a .①若f(n)是关于n 的一次函数，累加后可转化为等差数列求和; ②若f(n)是关于n 的二次函数，累加后可分组求和;③若f(n)是关于n 的指数函数，累加后可转化为等比数列求和; ④若f(n)是关于n 的分式函数，累加后可裂项求和。
数列的通项公式
na n an 1 an 0，求通项公式an
2
1 2、已知数列{an }满足a1 3, an 1 an ， n(n 1) 求通项公式an
1 an n
4n 1 an n
(整体)换元法
4 13 3、已知数列{an }满足：a1 , a2 ,当n 3时 3 9 1 an an 1 (an 1 an 2 )，求通项公式an 3 3 n 3 an 2
的递推关系求
an 。
可以用待定系数来求通项； （2）形如
an 1 an k an 1 b
的递推数列
可以用倒数法求通项。
类等差(比)型 用累加(积)法
an 形如：an an 1 f (n) f ( n) an 1 1、已知首项为 的正项数列{an }满足： 1
( n 1) a
1 an 2n 1
6、已知数列{an }满足：a1 1, , 当n 2时 an 1 an an 1 an ，求通项公式an
1 an 2 n
形如an pan1 q 待定系数法
7、已知数列{an }满足：a1 1,当n 2时 an 2an 1 3，求通项公式an
an 2 n 1 3
8、设正项数列a0 , a1 , a2 , an ,,当n 2时 an an 2 an1 an 2 2an 1，其中a0 a1 1, 求通项公式an
1，n 0 an 2 2 n (2 1)( 2 1) (2 1) , n 1
考点：数列是一种特殊的函数,从近几年了高考
来看,数列的通项公式是一个重要的考点,
特别是已知 s n 求
数列通项公式的求法(较全)【范本模板】
常见数列通项公式的求法公式:1、 定义法若数列是等差数列或等比数列，求通公式项时,只需求出1a 与d 或1a 与q ,再代入公式()d n a a n 11-+=或11-=n n q a a 中即可.例1、成等差数列的三个正数的和等于15，并且这三个数分别加上2，5，13后成为等比数列{}n b 的345,,b b b ，求数列{}n b 的的通项公式.练习:数列{}n a 是等差数列，数列{}n b 是等比数列，数列{}n c 中对于任何*n N ∈都有1234127,0,,,,6954n n n c a b c c c c =-====分别求出此三个数列的通项公式。
2、 累加法形如()n f a a n n =-+1()1a 已知型的的递推公式均可用累加法求通项公式. （1） 当()f n d =为常数时，{}n a 为等差数列,则()11n a a n d =+-； （2） 当()f n 为n 的函数时，用累加法。
方法如下：由()n f a a n n =-+1得 当2n ≥时,()11n n a a f n --=-,()122n n a a f n ---=-,()322a a f -=，()211a a f -=，以上()1n -个等式累加得()()()()11+221n a a f n f n f f -=--+++ 1n a a ∴=+()()()()1+221f n f n f f --+++（3）已知1a ,()n f a a n n =-+1，其中()f n 可以是关于n 的一次函数、二次函数、指数函数、分式函数,求通项。
①若()f n 可以是关于n 的一次函数,累加后可转化为等差数列求和; ②若()f n 可以是关于n 的二次函数，累加后可分组求和；③若()f n 可以是关于n 的指数函数,累加后可转化为等比数列求和； ④若()f n 可以是关于n 的分式函数，累加后可裂项求和求和。
常见数列通项的求法
常见数列通项的求法
数列的通项公式是数列的核心，它描述了数列中每一项与项数之间的规律。
求数列的通项公式是数列问题中的重要内容。
以下是几种常见的求数列通项公式的方法：
1.观察法：通过对数列的前几项进行观察，找出规律，从而得到
通项公式。
2.累加法：对于形如an=an−1+f(n)的递推关系，其中f(n)是一个与
n有关的函数，通过累加得到an。
3.累乘法：对于形如an=an−1×f(n)的递推关系，其中f(n)是一个与
n有关的函数，通过累乘得到an。
4.构造法：通过构造新数列，将原数列的递推关系式转化为新数
列的递推关系式，从而求出通项公式。
5.数学归纳法：对于一些与n有关的数列，通过数学归纳法证明
其通项公式。
6.等差数列通项公式：an=a1+(n−1)d，其中d是公差。
7.等比数列通项公式：an=a1×qn−1，其中q是公比。
8.裂项相消法：对于分式形式的递推关系，通过裂项相消法求出
通项公式。
9.特征根法：对于一些特定形式的递推关系，通过特征根法求出
通项公式。
以上是常见的求数列通项公式的方法，具体使用哪种方法需要根据题目给出的条件和递推关系式来确定。
史上最全的数列通项公式的求法15种
史上最全的数列通项公式的求法15种一、等差数列（Arithmetic sequence）1.基本公式：一个等差数列的通项公式为：an = a1 + (n-1)d其中an代表数列的第n项，a1代表数列的首项，d代表数列的公差。
2.另一种形式：等差数列的通项公式还可以表示为：an = a + (n-1) * (a2-a1)/2其中an代表数列的第n项，a代表数列的首项，a1代表数列的第二项，a2代表数列的前两项。
二、等比数列（Geometric sequence）1.基本公式：一个等比数列的通项公式为：an = a1 * r^(n-1)其中an代表数列的第n项，a1代表数列的首项，r代表数列的公比。
2.另一种形式：等比数列的通项公式也可以表示为：an = a * q^n其中an代表数列的第n项，a代表数列的首项，q代表数列的公比。
三、斐波那契数列（Fibonacci sequence）1.基本公式：一个斐波那契数列的通项公式为：Fn=(φ^n-(1-φ)^n)/√5其中Fn代表数列的第n项，φ代表黄金分割比（约1.618）。
2.矩阵法：斐波那契数列的通项公式还可以通过矩阵的形式表示：Fn=(A^n*F0)，其中An是一个特定的矩阵，F0是初始向量。
四、调和数列（Harmonic sequence）1.基本公式：一个调和数列的通项公式为：an = 1/n其中an代表数列的第n项。
五、多项式数列（Polynomial sequence）一个多项式数列的通项公式为：an = an-1 + an-2 + ... + an-m其中an代表数列的第n项，an-1为前一项，an-2为前两项，an-m为前m项。
六、余弦数列（Cosine sequence）1.基本公式：一个余弦数列的通项公式为：an = a + b * cos(cn)其中an代表数列的第n项，a、b为常数，c为常数。
2.幂函数法：余弦数列的通项公式还可以表示为：an = a + b * cos(nθ)其中an代表数列的第n项，a、b为常数，θ为角度。
数列通项公式的五种求法
（n≥2），求 {an}的 通 项 公 式 。
解：因为 an＝a1＋2a2＋3a3＋……＋（n－1）an－1（n≥2）
①
所以 an＋1＝a1＋2a2＋3a3＋……＋（n－1）an－1＋nan
②
用②式－①式得 an＋1－an＝nan。
则
an＋1＝（n＋1）an（n≥2）故
an＋1 an
＝
2.在应用性质时要注意 性 质 的 前 提 条 件 ，有 时 需 要 进 行 适 当变形。
2a2，则
a2=a1， 又 知
a1=1，则
a2=1， 代 入 ③得
an=
n！ 2
（n≥2）。
≥1
综上，an 的通项公式为 an= n！ 2
n=1 n≥2 本题解题的关键是
把递推关系式
an+1=（n+1）an（n≥2）转 化 为
an+1 an
=n+1 （n ≥2）， 进
而求出
an an－1
·an－1 an－2
∈∈∈∈∈∈∈∈∈∈∈∈∈∈∈∈∈∈∈∈∈∈∈∈∈∈∈∈∈∈∈∈∈∈∈∈∈∈∈∈∈∈∈∈∈∈∈
撼，难道他们不应该好好地了解这段历史吗？ 总之，历史情境的 设计必须切合教材和学生的实际，才能达到预期的目的，提高 学生对历史的兴趣。
四、用通俗生动的语言导入新课 语言的魅力无穷，教师通过对文字的艺术加工，用喜闻乐 见的形式生动地展示出来，学生乐于接受。 如讲初一历史《南宋 与金对峙时的中国》，我编了一段导言：“话说南宋高宗年间，天 下实不太平，战乱频起，这情形造就个英雄岳飞，他从小受母训 导，精忠报国，尽心尽力。 堰城大战，杀得那金人哭爹叫娘、溃不 成军，差点儿把金的头目兀术送上了黄泉路。 这兀术不甘心，巧
数列的通项公式的几种常用求法(文科)
1、 公式法：等差数列、等比数列的通项公式的求法：若在已知数列中存在：1n n a a d +-=（常数）或1a ,(0)n n q q a +=≠的关系，可采用求等差、等比数列的通项公式的求法，确定数列的通项。
2、非等差、等比数列的通项公式的求法。
（1）观察法：通过观察数列中的项与项数的关系，找出项n a 与项数n 的关系。
（2）累差法： 若在已知数列中相邻两项存在：1()n n a a f n +-=的关系，可用“类差法”求通项。
例、在数列{}n a 中，11211,241n n a a a n +==+-，求数列的通项公式。
分析：由已知1n 41a a 2n 1n -=-+，n 取1，2，3，…，然后把(n-1)个等式相加。
解：由已知得：1n 41a a 2n 1n -=-+111()22121n n =--+。
213253111111111111(1),(),(),,()()2323525722321n n a a a a a a a a n n -∴-=--=--=--=--- ⎪⎭⎫⎝⎛---=-⎪⎭⎫ ⎝⎛-=--1n 213n 2121)a a (,,715121a a 1n n 45把上面（n-1）个等式相加得：11143(1)22142n n n a a a n n -∴-=-⇒=--（3）累积法： 若在已知数列中相邻两项存在：1a ()n n g n a +=的关系，可用“累积法”求通项。
例、在数列{}n a 中，0n a >，11,a =且有：1(1,),(,)n n a n a b n a +=+=，,a b 共线，求数列的通项n a分析：根据,a b 共线，得：11n na na n +=+，然后利用累积法求通项。
解：由已知得：11n na na n +=+32412311231234n n a a a a n a a a a n --⇒⋅⋅⋅⋅=⨯⨯⨯⨯111,n n a a a n n ∴==。
求数列通项公式常用的几种方法
求数列通项公式常用的几种方法一、公式法：已知数列｛a n｝为等差或等比数列，根据通项公式a n=a1+(n-1)d或a n=a1q n-1进行求解.例1：已知｛a n｝是一个等差数列，且a2=1,a5=-5，求｛a n｝的通项公式.二、前n项和法：已知数列｛a n｝的前n项和s n的解析式，求a n.例2：已知数列｛a n｝的前n项和s n=2n-1，求通项a n.三、s n与a n的关系式法：已知数列｛a n｝的前n项和s n与通项a n的关系式，求a ns n，其中a1=1，求a n.例3：已知数列｛a n｝的前n项和s n满足a n+1=13四、累加法：当数列｛a n｝中有a n-a n-1=f(n)，即第n项与第n-1项的差是个有“规律”的数时，就可以用这种方法. 例4：a1=0, a n+1=a n+2(n-1)，求通项a n=f(n)，即第n项与第n-1项的商是个有“规律”的数时，就可以用这种方法.五、累乘法：当数列｛a n｝中有a na n−1例5：a1=1,a n=na n-1(n≥2),求通项a nn−1六、构造法：（一）、配常数法：在数列｛a n｝中有a n=ka n-1+b（k,b均为常数且k≠0），从表面形式上来看a n是关于a n-1的“一次函数”的形式，这时用下面的方法:一般化方法：设a n +m=k(a n-1+m) 则{a n +m}成等比数列例6：已知a1=1,a n=2a n-1+1(n≥2),求通项a n（二）配一次函数法：在数列{a n}中有a n=ka n-1+bn+c（k,b,c均为常数且k≠0），这时用下面的方法:一般化方法：设a n+tn+u=k(a n-1+t(n-1)+u)则{a n+tn+u}成等比数列例7：已知a1=1,a n=2a n-1+3n-2 (n≥2),求通项a n(三)、取倒数法：这种方法适用于a n =ka n−1man−1+p , (n ≥2)（k,m,p 均为常数m ≠0），两边取倒数后得到一个新的特殊(等差或等比)数列或类似于a n =ka n-1+b 的式子. 例8：已知a 1=2,a n =2a n−1a n−1+2 (n ≥2),求通项a n(四)取对数法：一般情况下适用于a n k =a n−1l （k,l 为非零常数）例9：已知a 1=3,a n =a n−12(n ≥2) 求通项a n练习：1、已知}{n a 的首项11=a ，)(2*1N n n a a n n ∈+=+，，求}{n a 的通项公式.2、已知}{n a 中，n n a n n a 21+=+，且21=a ，求数列}{n a 的通项公式.3、已知下列各数列}{n a 的前n 项和n S 的公式为)(23S 2*∈-N n n n n ＝，求}{n a 的通项公式。
求数列的通项公式(学生版)
求数列的通项公式1、数列的通项公式如果数列{a n }的第n 项a n 与n 之间的函数关系可以用一个式子a n ＝f (n )来表示，那么这个公式叫做这个数列的通项公式．2、数列的递推公式若一个数列首项确定，其余各项用a n 与a n －1或a n +1的关系式表示(如a n ＝2a n －1＋1)，则这个关系式就称为数列的递推公式．3、由数列的递推公式求数列的通项公式的常见方法(1)待定系数法：①形如a n ＋1＝ka n ＋b 的数列求通项；②形如a n ＋1＝ka n ＋r ∙b n 的数列求通项；(2)倒数法：形如a n ＋1＝pa n qa n ＋r的数列求通项可用倒数法； (3)累加法：形如a n ＋1－a n ＝f (n )的数列求通项可用累加法；(4)累乘法：形如a n ＋1a n＝f (n )的数列求通项可用累乘法； (5) “S n ”法：数列的通项a n 与前n 项和S n 的关系：a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧S 1， n ＝1，S n －S n －1， n ≥2.；S n 与a n 的混合关系式有两个思路： ①消去S n ，转化为a n 的递推关系式，再求a n ；②消去a n ，转化为S n 的递推关系式，求出S n 后，再求a n . 考向一 待定系数法例1—1 已知数列{a n }中，a 1＝1，a n ＋1＝2a n ＋3，求数列{a n }的通项公式。
例1—2 在数列{a n }中，a 1＝－1，a n ＋1＝2a n ＋4·3n ，数列{a n }的通项公式。
可用待定系数法求通项的主要有三种：①形如a n ＋1＝ka n ＋b 的数列求通项，方法是：令a n ＋1＋λ＝k (a n ＋λ)，整理后与a n ＋1＝ka n ＋b 对比可求出λ的值，得出数列 是公比为 的等比数列；②形如a n ＋1＝ka n ＋r ∙b n 的数列求通项，方法是：令a n ＋1＋λ∙b n +1＝k (a n ＋λ∙b n )，整理后与a n ＋1＝ka n ＋r ∙b n 对比可求出λ的值，得出数列 是公比为 的等比数列；③形如a n ＋2＝ka n ＋1＋ba n 的数列求通项，方法是：a n ＋2＋λa n ＋1＝μ(a n ＋1＋λa n )，整理后与a n ＋2＝ka n ＋1＋ba n 对比可求出λ、μ的值，得出数列 是公比为 的等比数列．变式1 已知数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 1＝1，S n ＋1＝3S n ＋2，求数列的通项公式a n .例2—1 已知数列{a n }中，其中a 1＝1，且当n ≥2时，a n ＝a n －12a n －1＋1，求数列{a n }的通项公式。
数列求通项公式的9种方法
例14
已知 满足+2 = 3+1 − 2 ，2 = 2, 1 = 1，求 的通项公式
九、奇偶分项求通项公式
核心思想：
n为奇数时，设n=2k-1
n为偶数时，设n=2k
例15 数列 满足 = ቊ
2，为奇数时
，求 的通项公式。
2 ，为偶数时
变式训练15
n2
a n ，求 {an } 的通项公式.
n
变式训练 6 已知数列 {an } 满足 a1 1 ， an1 2n an ，求 {an } 的通项公式.
变式训练 7 已知数列 {an } 满足 a1 1 ， an n(an1 an ) ，求 {an } 的通项公式.
四、加法构造
数列求通项公式常见的9种方法
知识复习
1、等差数列通项公式： an＝a1＋ (n－1)d
an＝am＋(n－m)d
2、等比数列通项公式： an＝ a1·
qn－1
am＝ a1·qn－m
一、利用 an 与 Sn 关系求 an
S1，
n＝1，
an＝
Sn－Sn－1， n≥2.
例1
n＋3.
已知数列{an}的前n项和Sn，求数列{an}的通项公式．(1)Sn＝2n－1；(2)Sn＝2n2＋
17
3
变式训练 10 已知数列 {an } 满足 a1
， an an1 5( n 2) ，求 {an } 的通项公式.
2
2
五、倒数构造
型如 an1
m an
(m pq 0) 的数列直接取倒数
pan q
例 8 已知数列 {an } 满足 a1 1 ， an1
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数列的通项公式
一、知识梳理
1.数列的通项公式：如果数列}{n a 的第n 项与序号n 之间的关系可以用一个公式表示，那么这个公式就叫这个数列的通项公式；记作:)(n f a n =.
2.数列的通项n a 与前n 项和n S 的关系：1
1(1)(2)n n
n S n a S S n -=⎧=⎨-⎩≥
3.等差数列的通项公式：d n a a n )1(1-+=，首项:1a ，公差:d ，第n 项:n a ；
4.等比数列的通项公式：11-=n n q a a ，首项:1a ，公比:q ，第n 项:n a ；
二、题型精析
1.观察法求通项公式
（1）......321,161,81,41,21 （2）......251,161,91,41,1 （3） (11)
10
,98,76,54,32--
（4） (9910)
,638,356,154,32 （5）......9...999,......99,9 n ， （6）......9...999.0,......99.0,9.0 n
2.公式法求通项公式
（1）数列{}n a 中，111,2n n a a a +==+ ，求数列}{n a 的通项公式.；
（2）数列{}n a 中，()1111
,2,22
n n a a a n -==≥求数列}{n a 的通项公式.；
3.累加法与累乘法求通项公式
（1）累加法：形如)(1n f a a n n +=-,（其中)(n f 为可求和的数列） 例1.已知数列{}n a ，其中11=a ，)2(1≥+=-n n a a n n ，求n a .
巩固练习：已知数列{}n a ，其中11=a ，)2(121≥-+=-n n a a n n ，求n a .
（2）累乘法：形如
)(1
n f a a n n
=-，
（其中)(n f 为可求积的数列） 例2.已知数列}{n a ，其中11=a ，)2(21≥⋅=-n a a n n n ，求n a .
巩固练习：已知数列{}n a ，其中11=a ，)2(1
1≥⋅-=-n a n
n a n n ，求n a .
4.构造数列法求通项公式
构造数列法：形如q pa a n n +=+1（q p ,为常数，且0≠p ，1≠p ,0≠q ） （1）数列{}n a 中，已知11=a ,)(12*1N n a a n n ∈+=+，求数列{}n a 的通项公式. （2）数列{}n a 中，已知11=a ,)(32*1N n a a n n ∈+=+，求数列{}n a 的通项公式.
巩固练习：数列{}n a 中，111,,31
n
n n a a a a +==+求数列{}n a 的通项公式.
5.已知n a 与n S 的关系求通项公式
已知数列{}n a 的其前n 项和为n S ，求通项n a .
（1）若2n S n =，求n a ； （2）若n n S 2=，求n a ；
巩固练习：已知数列{}n a 的其前n 项和为n S ，求通项n a .
（1）若n n S n 232-=，求n a ； （2）若23-=n n s ，求n a ；
6.数列通项公式的综合应用
已知数列}{n a 的前n 项和)(242+∈+-=N n n n S n ，
（1）求数列}{n a 的通项公式； （2）当n 为何值时，n S 达到最大？最大值是多少？
三、拓展演练 1.选择题
（1）数列3，12，30，60，…的一个通项公式是( )
A.32)1
(9+-=n n a n B.4652
+-=n n a n C .2)2)(1(++=n n n a n D.2
1217l 12+-=n n a n （2）下列关于星星的图案构成一个数列，该数列的一个通项公式是( )
A ．a n ＝n 2－n ＋1
B ．a n ＝n (n －1)2
C ．a n ＝n (n ＋1)2
D ．a n ＝n (n ＋2)
2 （3）若数列{}n a 的前n 项和为2n S n =-，则数列的通项公式是（ ） A ．21n a n =- B ．21n a n =- C ．21n a n =-+ D ．21n a n =-+ （4）在等比数列{}n a 中，若0>n a ，6491=a a ，2064=+a a ，则=n a （ ） A ．22-n
B ．n -82
C ．22-n 或n -82
D ．n -22或22-n
（5）数列{}n a 的通项公式为n n a n 2832-=，则数列{}n a 各项中最小项是 ( ) A.第4项 B.第5项 C.第6项 D.第7项 （6）已知数列{}a n 中，a 13=-且a a n n =+-211，则此数列的通项公式为 A.123-⋅-n B.n 2- C.52-n D.12--n （7）数列{}n a 中，11a =，12,()2
n
n n a a n N a ++=∈+，则5a =（ ） A.
25 B.13 C.23 D. 12
（8）数列{}n a 的通项公式是)1
n a n N n n +=
∈++，若3111-=++n n a a ，则n 的值为（ ）
A.12 B .9 C .8 D .6
（9）已知等比数列}{n a 的前n 项和21n n S =-，则22
2
12n
a a a ++
+等于（ ） A.2(21)n - B.1(21)3n - C.41n - D.1
(41)3
n -
（10）在数列{}n a 中，11=a ，0>n a ，42
2
1+=+n n a a ，则=n a （ ）
A ．34-n
B ．12-n
C ．34-n
D ．12-n
2.填空题
（1）数列 ,16
1
4,813,412,211的一个通项公式是n a =___________.
（2）已知数列{}n a 中，233,211-==+n n a a a ，则4a =_________.
（3）数列}{n a 中，21=a ，n a a n n 21+=+(n *∈N )，则100a 的值是_________. （4）已知数列{}n a 中， 112
1,13
n n a a a +==
+)(+∈N n ，则通项n a = __________. （5）数列{}n a 的前n 项和1
14
n n S a =+，则n a = .
（6）数列{}n a 中，23=a ，17=a ，又数列{1
1
n a +}为等差数列，则n a =__________.
3.解答题
（1）数列{}n a 中，13a =，1021a =，通项n a 是项数n 的一次函数，n S 是前n 项和，试求{}n a 的通项公式，100a 及100S .
（2）设数列{}n a 为等差数列，数列{}n b 为等比数列，111a b ==，243a a b +=，342a b b =，求{}n a ，
{}n b 的通项公式．
（3）数列}{n a 的通项公式为254n a n n =-+，求：
① 数列中有多少项负数？ ② n 为何值时，n a 有最小值？并求出最小值.
（4）已知数列{}n a 满足1232n n n a a +=+⨯，12a =，求数列{}n a 的通项公式及前n 项和.
（5）设数列{a n }的前项的和))(1(3
1
*N n a S n n ∈-=.
① 求a 1；a 2； ② 求证：数列{a n }为等比数列．
（6）已知数列{a n }，其前n 项和为n S
① 若)1(2-=n n a S ，求数列{a n }的通项公式．
② 若首项是1，n a ＝1-n a ＋3n －2 (+∈N n 且n ≥2 )，求数列{a n }的通项公式． ③ 若首项是1，)
1(1
1-+
=-n n a a n n (+∈N n 且n ≥2 )，求数列{a n }的通项公式．
④ 若首项是1，各项均为正值，且)(0)1(12
21+++∈=+-+N n a a na a n n n n n ，求数列{a n }的通项公式．。