数学分析23.1n维欧氏空间与向量函数(含习题及参考答案)

第二十三章 向量函数微分学1 n 维欧氏空间与向量函数一、n 维欧氏空间概念：所有n 个有序实数组(x 1,x 2,…,x n )的全体称为n 维欧氏空间，或简称n 维空间，其中每个有序实数组称为n 维空间中的一个向量(或一个点)，记作：x=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛n x x x 21 (1). 约定向量总是指列向量，如(1)式； 记号x T 表示向量的转置，即x T 表示行向量.向量x 中的数x 1,x 2,…,x n 是这个向量(或点)的n 个分量(或坐标).运算：设x=(x 1,x 2,…,x n )T 与y=(y 1,y 2,…,y n )T 是n 维空间中任意两个向量，α为任意实数，则：1、向量x 与y 之和为：x+y=(x 1+y 1,x 2+y 2,…,x n +y n )T ；2、数量α与向量x 的数乘积为：αx=(αx 1,αx 2,…,αx n )T ；3、向量x 与y 的内积定义为：x T y=x 1y 1+x 2y 2+…+x n y n ；内积的性质：(1)x T x ≥0, 当且仅当x=0时，x T x=0；(2)x T y=y T x ；(3)α(x T y)=(αx)T y=x T (αy), α为实数；(4)(x+y)T z=x T z+y T z.定义了内积的n 维空间叫做n 维欧几里得空间(简称n 维欧氏空间)，记作R n .4、利用内积定义向量x ∈R n 的模为：x =x x T =∑=ni i x 12. 模的性质： (1)x ≥0, 当且仅当x=0时，x =0； (2)x α=|α|x , α为实数； (3)y x +≤x +y (三角形不等式)； (4)y x T ≤y x(柯西-施瓦茨不等式). 5、R n 中任意两点x 与y 的距离定义为：ρ(x,y)=y x -=∑=-n i i i y x12)(.其具有与模相仿的性质，如三角形不等式：ρ(x,z)≤ρ(x,y)+ρ(y,z).例：点集{x|x =r}⊂R n 表示以O 为中心, r 为半径的n 维球面; 点集{x|a x -<δ}⊂R n 表示以点a 为中心, δ为半径的n 维球形邻域; 点集{x=(x 1,x 2,…,x n )||x i -a i |<δ, i=1,2,…,n}表示n 维方形邻域.用U(a;δ)记点a=(a 1,a 2,…,a n )的球形或方形邻域，U °(a;δ)表示空心邻域.点集{x|c T x=d, c ≠0}⊂R n , 当n=2时，表示平面上一条直线；当n=3时，表示三维空间的一个平面；当n>3时，称为R n 中的一个超平面.向量方程x=φ(t)的各个分量式即为方程组：x i =φi (t), i=1,2,…,n, t ∈[α,β]. 设φi 为[α,β]上的连续函数(i=1,2,…,n). 当n=2时，表示平面中的一条连续曲线；当n=3时，表示三维空间中的一条连续曲线；当n>3时，仍为R n 中的连续曲线. 特别的，当φi (t)=a i t+b i , i=1,2,…,n, t ∈(-∞,+∞), (a i ,b i 为常数, a i 不同时为零)时,表示R n 中的一条直线，其向量形式为x=at+b (a ≠0), t ∈(-∞,+∞), 其中 a=(a 1,a 2,…,a n )T , b=(b 1,b 2,…,b n )T .过已知两点x ’, x ”的直线方程是x=(x ”-x ’)t+x ’, t ∈(-∞,+∞).当t ∈[0,1]时，上式表示联结x ’, x ”两点的直线段. R n 中的折线由首尾衔接的直线段所组成.定理23.1：设{P k }⊂R n , 则{P k }为收敛点列的充要条件是：任给ε>0, 存在K>0, 当k>K 时，对一切正整数q 都有ρ(P k ,P k+q )<ε.二、向量函数定义1：若X ⊂R n , Y ⊂R m , f 是X ×Y 的一个子集，对每一个x ∈X, 都有唯一的一个y ∈Y, 使(x,y)∈f, 则称f 为X 到Y 的向量函数(简称函数或映射), 记作：f: X →Y, x ↦y, 或记作f: X →Y, 其中X 称为函数f 的定义域. 在映射的意义下，x ∈X 在f 下的象为y=f(x)∈Y, X 在f 下的象集为 f(X)={f(x)|x ∈X }⊂Y, x 称为f(x)的原象.设f: X →Y, 若对任何x ’,x ”∈X, 只要x ’≠x ”, 就有f(x ’)≠f(x ”)，则称f 为X 到Y 的一一映射(或称为单射).一般地，当f 1,f 2,…,f m 为f 的分量函数(或坐标函数)时，可写作：f(x)=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛)()(1x f x f m =⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⋯⋯),,1(),,1(1n m n x x f x x f 或f=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛m f f 1. 两个相同维数的向量函数f 与g 在相同的定义上的和(差)函数为f ±g=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛±±m mg f g f 11. 一个实值函数α与一个向量函数f 在相同的定义域上的乘积函数为：αf=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛m f f αα 1. 两个向量函数f 与h 的复合函数是：h ◦f: X −→−f Y −→−h Z (X ⊂R n , f(X)⊂Y ⊂R m ,Z ⊂R r )或h ◦f=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛f h f h r1, 其中 (h i ◦f)(x)=h i (f 1(x),…,f m (x)), x ∈X.三、向量函数的极限与连续定义2：设D ⊂X ⊂R n , a 是D 的聚点, f: X →R m . 若存在l ∈R m , 对于l 的任意小的邻域U(l;ε)⊂R m , 总有a 的空心邻域U °(a;δ)⊂R n , f(U °(a;δ)∩D)⊂U(l;ε), 则称在集合D 上当x →a 时，f 以l 为极限，记作Dx a x ∈→lim f(x)=l. 在不致混淆，或D=X 时，简称x →a 时，f 以l 为极限，记作a x →lim f(x)=l.注：定义2的几何描述如图所示，即ax →lim f(x)=l 等价于以下任一说法：(1)l x f ax --)(lim =0; (2)设a=(a 1,a 2,…,a n ), l=(l 1,l 2,…,l n ), 则a x →lim f i (x)=),,(),,(11lim n n a a x x ⋯→⋯f i (x 1,…,x n )=l i , i=1,2,…,m.定义3：设D ⊂X ⊂R n , a ∈D, f: X →R m . 若对任何ε>0, 存在δ>0, 使得f(U °(a;δ)∩D)⊂U(f(a);ε), 则称f 在点a(关于集合D)连续.如果f 在D 上每一点都连续，则称f 为D 上的连续函数.若a 是D 的孤立点，则f 在点a 恒连续；如果a 是D 的聚点，则定义3等价于D x a x ∈→lim f(x)=f(a)或Dx a x ∈→lim f i (x)=f i (a), i=1,2,…,m.定理23.2：设g,f: X →Y(X ⊂R n ,Y ⊂R m ),h:Y →Z ⊂R ’,α: X →R,a ∈X,b=f(a)∈Y. 若f,g,α在点a 连续, h 在点b 连续，则f ±g, αf, h ◦f 都在点a 连续.定理23.3：函数f: X →R m 在点a ∈X ⊂R n 连续的充要条件为：任何点列{P k }⊂X 收敛于a 时, {f(P k )}⊂R m 都收敛于f(a).证：[充分性]若f 在点a 不连续，则存在ε0>0, 对每一个δ>k1, k=1,2,… 总能取得P k ∈X, 使得a P k -<k 1, 且)()(a f P f k -≥ε0, k=1,2,…, 与条件{P k }收敛于a 矛盾, ∴f 在点a 连续.[必要性]∀ε>0, 由于f 在点a 连续, ∴∃δ>0, 使得a x -<δ且x ∈X 时, 总有)()(a f x f -<ε. 又对任何收敛于a 的点列{P k }⊂X, ∃K>0, 当k>K 时,满足敛于a 时,a P k -<δ, ∴)()(a f x f -<ε, ∞→k lim f(P k )=f(a).定理23.4：若D ⊂R n 是有界闭集, f: D →R m 是D 上的连续函数, 则f(D)⊂R m 也是有界闭集.证：若D 是有限点集，则f(D)也有限，命题成立. 若D 和f(D)都无限.(1)先证f(D)有界.若f(D)无界,则存在点列{P k }⊂D,使)(k P f >k,k=1,2,…. 又D 是有界闭集, ∴存在{P kj }⊂{P k }, 使∞→j lim P kj =P 0∈D. 由f 在点P 0连续, 知)(x f 点P 0局部有界. 这与)(kj P f >k j >j,j=1,2,…相矛盾. ∴f(D)有界.(2)再证f(D)的闭性, 即若Q 0是f(D)的任一聚点，则Q 0∈f(D). 可设Q k ∈f(D), ∞→k lim Q k =Q 0,且P k ∈D, f(P k )=Q k . 则存在收敛子列{P kj }⊂{P k }, ∞→j lim P kj =P 0∈D, 且由f 在点P 0连续, ∴Q 0=∞→k lim Q k =∞→j lim f(P kj )=f(P 0)∈f(D).定理23.5：若D ⊂R n 是有界闭集, f: D →R m 是D 上的连续函数, 则f(D)的直径可达，即存在P ’, P ”∈D, 使得)()(P f P f ''-'=)()(max ,x f x f Dx x ''-'∈'''. 证：记定义在有界闭集D ×D 上的连续实值函数F(x ’,x ”)=)()(x f x f ''-', 由连续函数的性质知, 存在(P ’,P ”)∈D ×D, 使得F(P ’,P ”)=),(max ,x x F D x x '''∈'''=)()(max ,x f x f Dx x ''-'∈'''.定理23.6：若D ⊂R n 是有界闭集, f 是D 上的连续函数, 则f 在D 上一致连续. 即任给ε>0, 存在只依赖于ε的δ>0, 只要x ’,x ”∈D, 且 x x ''-'<δ, 就有)()(x f x f ''-'<ε.证：若f 在D 上连续而不一致连续，则存在ε0>0, 对任意δ>0,存在x ’,x ”∈D, 虽然x x ''-'<δ, 但有)()(x f x f ''-'≥ε0.取δ=k 1, (k=1,2,…,n), 总有相应的x ’,x ”∈D, 虽然x x ''-'<k1, 但有)()(x f x f ''-'≥ε0. 从而得到D 中的有界点列{x ’k },它存在收敛子列{x ’kj }, 设∞→j lim x ’kj =x 0∈D, 于是有 0x x kj -'≤kj kj x x '-''+0x x kj -''→0, (j →∞). 可见∞→j lim x ”kj =x 0, 已知f 在点x 0连续, 有)()(lim kj kj j x f x f ''-'∞→=)()(00x f x f -=0, 与 )()(kj kjx f x f ''-'≥ε0矛盾, ∴f 在D 上一致连续.定理23.7：若D ⊂R n 是道路连通集, 即D 中任意两点之间能用一条完全含于D 的连续曲线相连接. f 是D 上的连续函数, 则f(D)⊂R m 也是道路连通集.证：任给Q ’, Q ”∈f(D), 必有P ’, P ”∈D, 使Q ’=f(P ’), Q ”=f(P ”).∵D 道路连通,∴存在连续曲线x=φ(t)⊂D, t ∈[0,1], 且φ(0)=P ’, φ(1)=P ”. 从而f ◦φ: [0,1]→R m 连续, 且f(φ(t))⊂f(D),t ∈[0,1]; f(φ(0))=Q ’, f(φ(1))=Q ”, ∴f(D)道路连通.习题1、设x,y ∈R n , 证明：2y x ++2y x -=2(2x +2y ).证：记x=(x 1,x 2,…,x n )T , y=(y 1,y 2,…,y n )T , 则x+y=(x 1+y 1,x 2+y 2,…,x n +y n )T , x-y=(x 1-y 1,x 2-y 2,…,x n -y n )T , ∴2y x ++2y x -=∑=-++n i i i i i y x y x 122])()[(=2∑=+n i i i y x 122)(=2(2x +2y ).2、设E ⊂R n , 点x ∈R n 到集合E 的距离定义为ρ(x,E)=Ey ∈inf ρ(x,y). 证明： (1)若E 是闭集, x ∉E, 则ρ(x,E)>0；(2)若E 是E 连同其全体聚点所组成的集合(称为E 的闭包), 则E ={x|ρ(x,E)=0}.证：(1)∵E 是闭集, x ∉E, ∴存在x 的某邻域U(x;δ)∩E= Ø,即ρ(x,E)>2δ>0.(2)对任意的x 0∈E, 有ρ(x 0,x 0)=0,∵ρ≥0, ∴ρ(x 0,x 0)=E x ∈inf ρ(x 0,x)=ρ(x 0,E)=0. 若x 0是E 的任意聚点，则对任给的δ>0, 总存在x ’∈U 0(x 0;δ)∩E, 则ρ(x 0,E)≤ρ(x 0,x ’)<2δ, 由δ的任意性知存在ρ(x 0,E)=0.由x 0{x|ρ(x,E)=0}.又由(1)知，对任意x ∉E , 有ρ(x,E)>0. ∴E ={x|ρ(x,E)=0}.3、设X ⊂R n , Y ⊂R m , f: X →Y ；A, B 是X 的任意子集. 证明：(1)f(A ∪B)=f(A)∪f(B)；(2)f(A ∩B)⊂f(A)∩f(B)；(3)若f 是一一映射，则f(A ∩B)=f(A)∩f(B).证：(1)任取y ∈f(A ∪B), 则存在x ∈A ∪B, 使得y=f(x),则x ∈A 或x ∈B, ∴y=f(x)∈f(A)或f(B), 即y ∈f(A)∪f(B),∴f(A ∪B)⊂f(A)∪f(B).同理，任取y ∈f(A)∪f(B), 则存在x ∈A 或x ∈B, 使得y=f(x), 则x ∈A ∪B, ∴y=f(x)∈f(A ∪B), ∴f(A)∪f(B)⊂f(A ∪B).∴f(A ∪B)=f(A)∪f(B).(2)任取y ∈f(A ∩B), 则存在x ∈A ∩B, 使得y=f(x),则x ∈A 且x ∈B, ∴y=f(x)∈f(A)∩f(B), ∴f(A ∩B)⊂f(A)∩f(B).(3)任取y ∈f(A)∩f(B), 则存在x 1∈A 或x 2∈B, 使得y=f(x 1)或y=f(x 2), 当x 1=x 2=x, 即f 一一映射时, x ∈A ∩B, ∴y=f(x)∈f(A ∩B),∴f(A)∩f(B)⊂f(A ∩B). 综合(2)得：f(A ∩B)=f(A)∩f(B).4、设f, g: R n →R m , a ∈R n , b,c ∈R m , a →x lim f(x)=b, a→x lim g(x)=c, 证明： (1)b x f a=→)(lim x , 且当b=0时可逆； (2)a→x lim [f(x)T g(x)]=b T c. 证：(1)∵a→x lim f(x)=b, ∴b x f a -→)(lim x =0, 又b x f -)(≥)(x f -b , ∴)(lim x x f a →-b =0, 即b x f a=→)(lim x . 又当b=0时, b x f -)(=)(x f -b , ∴由b x f a=→)(lim x 可得， b x f a -→)(lim x =0, 即a→x lim f(x)=b. (2)由a →x lim f(x)=b 得, a →x lim f i (x)=b i ; 由a →x lim g(x)=c 得, a→x lim g i (x)=c i ; a →x lim [f(x)T g(x)]=∑=→n i i i a x g x f 1x )()(lim =∑=→n i i i a x g x f 1x )()(lim =∑=ni i i c b 1=b T c.5、设D ⊂R n , f: D →R m . 若存在正实数k, r 对任何点x,y ∈D满足)()(y f x f -≤k ry x -, 试证明f 是在D 上的连续函数. 证：若f 在D 上不连续, 则至少有一点y ∈D, 存在ε0>0, 对δ=r k 0ε,存在x ∈D, 使得y x -<δ, 且)()(y f x f -≥ε0=k δr >k r y x -, 与题设)()(y f x f -≤k r y x -矛盾! ∴f 是在D 上的连续函数.6、设x,y ∈R n , 证明下列各式，并讨论各不等式中等号成立的条件和解释n=2时的几何意义.(1)∑=n i i x 1||≤x n ；(2)y x y x -+≤2x +2y ；(3)y x -≤y x -. 证：(1)方法一：∵21||⎪⎭⎫ ⎝⎛∑=n i i x =∑∑∑=-==+⋯+++n i n n i n i i n i i x x x x x x x 3122112|||||||||||| ≤)(21)(21)(212213222222112n n n i i n i i ni i x x x x x x x ++⋯+++++-===∑∑∑ =∑∑==-+n i i n i ix n x 121221=∑=+n i i x n 1221≤n ∑=n i i x 12. ∴∑=n i i x 1||≤x n .方法二：由柯西—许瓦尔兹不等式知：∑=n i i x 1||=1||1⋅∑=n i i x ≤1x =x n .当所有分量x i (i=1,2,…,n)绝对值相等时，等式成立.当n=2时，表示直角三角形斜边的2倍不小于两直角边的和. (2)y x y x -+=∑∑==-+n i i i n i i i y x y x 1212)()( =⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎭⎫ ⎝⎛++∑∑==n i i i n i i i y x y x y x y x 12212222=()212224⎪⎭⎫ ⎝⎛-+∑=n i i i y x y x ≤()222y x +=2x +2y . 当y x +=y x -, 即x T y=0时, 等号成立.当n=2时，表示平行四边形对角线的积不大于相邻两边的平方和.(3)若x >y , 则y x -=y x -=y y y x -+-≤y y y x -+-=y x -； 若x >y , 则y x -=x y -=x x x y -+-≤x x y x -+-=y x -.方法二：利用柯西—许瓦尔兹不等式：|x T y|≤y x , 有 y x -=∑=-n i i i y x12)(=y x y x T 222-+≥y x y x 222-+=y x -.当x=y 时, 等号成立.当n=2时，表示三角形两边的差不大于第三边.7、(1)证明定理23.6；(2)设D ⊂R n , 试问向量函数f: D →R m 在D 上一致连续，是否等价于f 的所有坐标函数f i , i=1,2,…,m 都在D 上一致连续？为什么？(1)证：见定理23.6.(2)解：等价，理由如下：[必要性]当f 在D 上一致连续时, ∀ε>0, ∃δ>0, 当x ’,x ”∈D, 且 x x ''-'<δ时, 就有)()(x f x f ''-'<ε. 又)()(x f x f ''-'=∑=''-'mi ii x f x f 12))()((, ∴当x ’,x ”∈D 且x x ''-'<δ时,|f i (x ’)-f i (x ”)|≤)()(x f x f ''-'<ε.(i=1,2,…,m) 即得每个坐标函数f i , i=1,2,…,m 都在D 上一致连续.[充分性]设每个坐标函数f i , i=1,2,…,m 都在D 上一致连续, 则∀ε>0, ∃δ>0, 当x ’,x ”∈D, 且x x ''-'<δ时, 有)()(x f x f i i ''-'<mε, (i=1,2,…,m) ∴当x ’,x ”∈D 且x x ''-'<δ时, )()(x f x f ''-'<m m2ε=ε.∴f 在D 上一致连续时. 8、设f: R n →R m 为连续函数, A ⊂R n 为任意开集, B ⊂R n 为任意闭集. 试问f(A)是否必为开集？f(B)是否必为闭集?解：(1)f(A)不一定为开集，如常值向量函数f i (x)=1, (i=1,2,…,m), x ∈R n . 则f: R n →R m 为连续函数, 但开集R n 的像f(R n )不是开集.(2)f(B)不一定为闭集, 如向量函数f i (x)=x x+1, (i=1,2,…,m), x ∈R n .则f: R n →R m 为连续函数, 取B ⊂R n 为任意无界闭集, 则 f(B)={(a,a,…,a)T |a=x x+1, x ∈R n }. 显然)}({sup B f i Bx ∈=1, (i=1,2,…,m)∴(1,1,…,1)T 是f(B)的聚点, 而(1,1,…,1)T ∉f(B), ∴f(B)不是闭集.。