数学分析23.1n维欧氏空间与向量函数(含习题及参考答案)

第二十三章 向量函数微分学

1 n 维欧氏空间与向量函数

一、n 维欧氏空间

概念：所有n 个有序实数组(x 1,x 2,…,x n )的全体称为n 维欧氏空间，或简称n 维空间，其中每个有序实数组称为n 维空间中的一个向量(或

一个点)，记作：x=⎪⎪⎪⎪⎪⎭

⎫ ⎝⎛n x x x 21 (1). 约定向量总是指列向量，如(1)式； 记号x T 表示向量的转置，即x T 表示行向量.

向量x 中的数x 1,x 2,…,x n 是这个向量(或点)的n 个分量(或坐标).

运算：设x=(x 1,x 2,…,x n )T 与y=(y 1,y 2,…,y n )T 是n 维空间中任意两个向量，α为任意实数，则：

1、向量x 与y 之和为：x+y=(x 1+y 1,x 2+y 2,…,x n +y n )T ；

2、数量α与向量x 的数乘积为：αx=(αx 1,αx 2,…,αx n )T ；

3、向量x 与y 的内积定义为：x T y=x 1y 1+x 2y 2+…+x n y n ；内积的性质：

(1)x T x ≥0, 当且仅当x=0时，x T x=0；

(2)x T y=y T x ；

(3)α(x T y)=(αx)T y=x T (αy), α为实数；

(4)(x+y)T z=x T z+y T z.

定义了内积的n 维空间叫做n 维欧几里得空间(简称n 维欧氏空间)，记作R n .

4、利用内积定义向量x ∈R n 的模为：x =x x T =∑=n

i i x 12. 模的性质： (1)x ≥0, 当且仅当x=0时，x =0； (2)x α=|α|x , α为实数； (3)y x +≤x +y (三角形不等式)； (4)y x T ≤y x

(柯西-施瓦茨不等式). 5、R n 中任意两点x 与y 的距离定义为：ρ(x,y)=y x -=∑=-n i i i y x

12)(.

其具有与模相仿的性质，如三角形不等式：ρ(x,z)≤ρ(x,y)+ρ(y,z).

例：点集{x|x =r}⊂R n 表示以O 为中心, r 为半径的n 维球面; 点集{x|a x -<δ}⊂R n 表示以点a 为中心, δ为半径的n 维球形邻域; 点集{x=(x 1,x 2,…,x n )||x i -a i |<δ, i=1,2,…,n}表示n 维方形邻域.

用U(a;δ)记点a=(a 1,a 2,…,a n )的球形或方形邻域，U °(a;δ)表示空心邻域.

点集{x|c T x=d, c ≠0}⊂R n , 当n=2时，表示平面上一条直线；当n=3时，表示三维空间的一个平面；当n>3时，称为R n 中的一个超平面.

向量方程x=φ(t)的各个分量式即为方程组：x i =φi (t), i=1,2,…,n, t ∈[α,β]. 设φi 为[α,β]上的连续函数(i=1,2,…,n). 当n=2时，表示平面中的一条连续曲线；当n=3时，表示三维空间中的一条连续曲线；当n>3时，仍为R n 中的连续曲线. 特别的，

当φi (t)=a i t+b i , i=1,2,…,n, t ∈(-∞,+∞), (a i ,b i 为常数, a i 不同时为零)时,

表示R n 中的一条直线，其向量形式为x=at+b (a ≠0), t ∈(-∞,+∞), 其中 a=(a 1,a 2,…,a n )T , b=(b 1,b 2,…,b n )T .

过已知两点x ’, x ”的直线方程是x=(x ”-x ’)t+x ’, t ∈(-∞,+∞).

当t ∈[0,1]时，上式表示联结x ’, x ”两点的直线段. R n 中的折线由首尾衔接的直线段所组成.

定理23.1：设{P k }⊂R n , 则{P k }为收敛点列的充要条件是：任给ε>0, 存在K>0, 当k>K 时，对一切正整数q 都有ρ(P k ,P k+q )<ε.

二、向量函数

定义1：若X ⊂R n , Y ⊂R m , f 是X ×Y 的一个子集，对每一个x ∈X, 都有唯一的一个y ∈Y, 使(x,y)∈f, 则称f 为X 到Y 的向量函数(简称函数或映射), 记作：f: X →Y, x ↦y, 或记作f: X →Y, 其中X 称为函数f 的定义域. 在映射的意义下，x ∈X 在f 下的象为y=f(x)∈Y, X 在f 下的象集为 f(X)={f(x)|x ∈X }⊂Y, x 称为f(x)的原象.

设f: X →Y, 若对任何x ’,x ”∈X, 只要x ’≠x ”, 就有f(x ’)≠f(x ”)，则称f 为X 到Y 的一一映射(或称为单射).

一般地，当f 1,f 2,…,f m 为f 的分量函数(或坐标函数)时，可写作：

f(x)=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛)()(1x f x f m =⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⋯⋯),,1(),,1(1n m n x x f x x f 或f=⎪⎪⎪⎭

⎫ ⎝⎛m f f 1. 两个相同维数的向量函数f 与g 在相同的定义上的和(差)函数为

f ±g=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛±±m m

g f g f 11. 一个实值函数α与一个向量函数f 在相同的定义域上的乘积函数为：

αf=⎪⎪⎪⎭

⎫ ⎝⎛m f f αα 1. 两个向量函数f 与h 的复合函数是：

h ◦f: X −→−f Y −→−h Z (X ⊂R n , f(X)⊂Y ⊂R m ,Z ⊂R r )或h ◦f=⎪⎪⎪⎭

⎫ ⎝⎛f h f h r

1, 其中 (h i ◦f)(x)=h i (f 1(x),…,f m (x)), x ∈X.

三、向量函数的极限与连续

定义2：设D ⊂X ⊂R n , a 是D 的聚点, f: X →R m . 若存在l ∈R m , 对于l 的任意小的邻域U(l;ε)⊂R m , 总有a 的空心邻域U °(a;δ)⊂R n , f(U °(a;δ)∩D)⊂U(l;ε), 则称

在集合D 上当x →a 时，f 以l 为极限，记作D

x a x ∈→lim f(x)=l. 在不致混淆，或D=X 时，简称x →a 时，f 以l 为极限，记作a x →lim f(x)=l.

注：定义2的几何描述如图所示，即a

x →lim f(x)=l 等价于以下任一说法：