高等数学常见中值定理证明及应用

中值定理

首先我们来看看几大定理：

1、介值定理：设函数f(x)在闭区间[a,b]上连续，且在该区间的端点取不同的函数值f(a)=A及f(b)=B，那么对于A与B之间的任意一个数C，在开区间(a,b)内至少有一点ξ使得f(ξ)=C(a<ξ

Ps:c是介于A、B之间的，结论中的ξ取开区间。

介值定理的推论：设函数f(x)在闭区间[a,b]上连续,则f(x)在[a,b]上有最大值M，最小值m,若m≤C≤M,则必存在ξ∈[a,b], 使得f(ξ)=C。（闭区间上的连续函数必取得介于最大值M与最小值m之间的任何值。此条推论运用较多）

Ps：当题目中提到某个函数f(x),或者是它的几阶导函数在某个闭区间上连续，那么该函数或者其几阶导函数必可以在该闭区间上取最大值和最小值，那么就对于在最大值和最小值之间的任何一个值，必存在一个变量使得该值等于变量处函数值。

2、零点定理：设函数f(x)在闭区间[a,b]上连续,且f(a)与f(b)异号，即f(a).f(b)<0,那么在开区间内至少存在一点ξ使得f(ξ)=0.

Ps:注意条件是闭区间连续，端点函数值异号，结论是开区间存在点使函数值为0.

3、罗尔定理：如果函数f(x)满足：

（1）、在闭区间[a,b]上连续；

（2）、在开区间(a,b)内可导;

（3）、在区间端点处函数值相等，即f(a)=f(b).

那么在(a,b)内至少有一点ξ(

4、拉格朗日中值定理：如果函数f(x)满足：

（1）、在闭区间[a,b]上连续；

（2）、在开区间(a,b)内可导;

那么在(a,b)内至少有一点ξ(

f(b)-f(a)=f`(ξ).(b-a).

5、柯西中值定理：如果函数f(x)及g(x)满足

（1）、在闭区间[a,b]上连续；

（2）、在开区间(a,b)内可导;

（3）、对任一x(a

)

`()

`()()()()(ξξg f a g b g a f b f =--

Ps ：对于罗尔定理、拉格朗日中值定理、柯西中值定理结论都是开开区间内取值。 6、 积分中值定理：若函数f(x)在[a,b]上连续，则至少存在一点],[b a ∈ξ使得

)()()(a b f dx x f b

a

-=⎰

ξ

Ps ：该定理课本中给的结论是在闭区间上成立。但是在开区间上也是满足的，下面我

们来证明下其在开区间内也成立，即定理变为：若函数f(x)在[a,b]上连续，则至少存在一点

),(b a ∈ξ使得)()()(a b f dx x f b

a -=⎰ξ

证明：设⎰

=

x

a

dx x f x F )()(，],[b a x ∈

因为)(x f 在闭区间上连续，则)(x F 在闭区间上连续且在开区间上可导（导函数即为)(x f ）

。 则对)(x F 由拉格朗日中值定理有：

),(b a ∈∃ξ使得a

b dx x f a

b a F b F F b

a

-=--=

⎰

)()

()()`(ξ

而)()`(ξξf F = 所以),(b a ∈∃ξ使得

)()()(a b f dx x f b

a

-=⎰

ξ。

在每次使用积分中值定理的时候，如果想在开区间内使用，我们便构造该函数，运用拉格朗日中值定理来证明下使其在开区间内成立即可。千万不可直接运用，因为课本给的定理是闭区间。

定理运用：

1、设)(x f 在[0,3]上连续，在(0,3)内存在二阶导函数，且

⎰+==2

)3()2()()0(2f f dx x f f .

证明：(1))2,0(∈∃η使)0()(f f =η

(2))3,0(∈∃ξ使0)``(=ξf

证明：先看第一小问题：如果用积分中指定理似乎一下子就出来了，但有个问题就是积分中值定理是针对闭区间的。有的人明知这样还硬是这样做，最后只能是0分。具体证明方法在上面已经说到，如果要在开区间内用积分中指定理，必须来构造函数用拉格朗日中值定理证明其在开区间内符合。

（1）、令

]2,0[),()(0

∈=⎰

x x F dt t f x

则由题意可知)2,0(]2,0[)(上连续，在x F 内可导.

则对)(x F 由拉格朗日中值定理有：

2

)

0()2()`()2,0(F F F -=

∈∃ηη使

)2,0(),0(2

)()(2

∈==

∴⎰ηηf dt t f f

(2)、对于证明题而言，特别是真题第一问证明出来的结论，往往在第二问中都会有运用，在做第二问的时候我们不要忘记了第一问证明出来的东西，我们要时刻注意下如何将第一问的东西在第二问中进行运用：

第二问是要证明存在点使得函数二阶倒数为0，这个很容易想到罗尔定理来证明零点问题，如果有三个函数值相等，运用两次罗尔定理那不就解决问题啦，并且第一问证明出来了一个等式，如果有f(a)=f(b)=f(c)，那么问题就解决了。

第一问中已经在(0,2)内找到一点，那么能否在(2,3)内也找一点满足结论一的形式呢，有了这样想法，就得往下寻找了，

)3()2()0(2f f f +=，看到这个很多人会觉得熟悉的，和介值定理很像，下面就来

证明：

]3,0[)(在x f Θ上连续，则在]3,2[上也连续，由闭区间上连续函数必存在最大值和最

小值，分别设为M,m;

则.)3(,)2(M f m M f m ≤≤≤≤ 从而，M f f m ≤+≤

2

)

3()2(，那么由介值定理就有：

)0(2

)

3()2()(],3,2[f f f c f c =+=∈∃使

]3,2[),2,0(),()()0(∈∈==∴c c f f f ηη