一平行线等分线段定理

∵在梯形ABCD中，AD∥EF∥BC，AE=EB
∴DF=FC
例1:D、E 分别是△ABC中AB边和AC
边的中点.求证:DE//BC且 DE 1 BC
2
A
D B 作DE//BC
E
E′
F
C
E与E重合
作DF//AC
BF=FC =DE
若l1//l2 //l3,
AB BC
2， 3
则 DE ? EF
即： AB DE BC EF
D
E
∵DF//AC
AD CF AB CB
BF
C
2 CF ,即CF 16
38
3
BF 8 - 16 8 33
例3：如图,△ABC中,DE//BC,EF//CD. 求证:AD是AB和AF的比例中项.
分析: 分别在△ABC及△ADC中利
用平行线分线段成比例定理的推论
A
证明 在ABC中, DE//BC , AB AC
l A B
C
l
D
l1
E
l2
F
l3
除此之外，还有其它对应线段成比例吗？
怎样由 AB DE 得到其它比例式？ BC EF
AB DE BC EF
反比
合比
BC EF AB DE
合比
AB BC DE EF
AC DF BC EF
反比
AC DF AB DE
? AB BC AC DE EF DF
BC EF AC DF
F
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AD AE D
E
在ADC中, EF//CD, AD AC AF AE
B
C
AB AD AD AF
∴AD2=AB•AF,即AD是AB和AF的比例中项
例4：用平行于三角形一边且和其他两 边相交的直线截三角形,所截得的三角 形的三边与原三角形的三边对应成比例.
已知:如图,DE//BC,DE分别交AB、AC于点D、E
l1
B
l2
l3
C
图1
A1
l1
B1
l2
C1
l3
A B C
A1 B1 C1
图2
推论1 经过三角形一边的中点与另一 边平行的直线，必平分第三边。
A
E ？F
？
B
C
符号语言：∵△ABC中，EF∥BC，AE=EB
∴AF=FC
推论2 经过梯形一腰的中点，且与底 边平行的直线平分另一腰。
AD
E ？F
？
B
C
符号语言：
选修4-1 几何证明选讲
1.1平行线等分线段定理
若直线l1∥l2∥l3 ，AC∥A1C1 ，AB=BC. 那么A1B1 与 B1C1 是否相等呢？
A
l1
B
l2
l3
C
A1 B1 C1
l1
A
l2
B
l3
C
A1 B1 C1
如果一组平行线在一条直线上截 得的线段相等，那么在其他直线上截 得的线段也相等.
A
求证：AD AE DE AB AC BC
A
D
E
DE//BC EF//AB
AD AE AB AC
AE BF AC BC
DE=BF
B
F
C
AD AE DE AB AC BC
探究： 如图,直线l1,l2被三个平行平面 ,,所截,直线l1与它们的交点分别为 A,B,C,直线l2分别为D,E,F AB 与 DE 相等吗? BC EF
AD
B
E
当 AB 1
A
D
BC
B
E
C
F
当 AB 1 BC
C
F
结论：后者是前者的一种特殊情况！
例2：如图,△ABC中,DE//BC,DF//AC, AE=4,EC=2, BC=8.求BF和CF的长.
分析:运用平行线分线段成比例定理的推论
分别列出比例式求解.
A
解 ∵DE//BC
AD AE 4 2 AB AC 6 3
合比
BC AC EF DF
AB DE AC DF
平行线等分线段成比例定理
三条平行线截两条直线,所得的 对应线段成比例.
推论：
平行于三角形一边的直线截其他两边(或 两边的延长线)所得的对应线段成比例.
l l
A
l1
D
E l2
l
l
E
D l1
A
l2
B
C
l3
B
C l3
平行线分线段成比例定理与平行线 等分线段定理有何联系？